Fun fdimensionale Kosmologie Von P. JORDAN, Hamburg

(Eingegangen 1948 Juni 18) Die Arbeit enth'dlt eine zusammenfassende Gesamtdarstellung der i n verschiedenen Arbeiten des Verf assers

und seiner &fitarbliter ausgzfiihrten Untersuchungen zur fiinfdimensionalen (projektiven) Relativitatstheorie und ihrer Anwendung zur PrAzisierung der vom Vxfasser friiher inluktiv entwickelten Kosmologie und Sternentstehungs- Theorie. D2r erste Teil bringt eine (unabh'dngig von sonstigen Arbsiten lesbare) Erltluterung der projektiven Relativi- tatstheorie i n derjenigen erweiterten Form, welche der Verfasser 1 9 4 entwickelt ha t ; dabei wird die in der alteren Fas- sung der Theorie als eine. Konstante angesehene Invariante J = Xa X, als skal re FeldgrliDe behandelt. Obwohl in mzinen ersten Untersuchungen diese Erweitemng der Theorie zu einer erheblichen Komplizierung des Formelappa- rates zu fuhren schien, gelingt jetzt eine sehr einfache Durchfiihrung der mathematischen Theorie.

D x zwjite Teil bsschiiftigt sich mit der phy3ikalischen Deutung der so gewonnenen mathematischen Zusam- menhtlnge, mit der Aufstellung der Fzldgleichungen - die Variabilitiit der GrBDe J ermliglicht es, eine s inngedBe mathemitische Prtlzisierung zu geben f Lir die DrRacsche Idee einer i n kosmologischen Zeitma Ben veriinderlichen Gra- vitations-,,Konstanten" - und mit der Anwendung auf Kosmologie und Sternentstehung, gemU3 den Ergebnissen von LUDWIG und M~~LLER, welche die systematische Ausfiihrung meines aus dem ,,DIRAcschen Prinzip" entwickelten Modells des Kosmos und der Sternentstehung erbrachten. AbschlieBend werden die Beziehungen der dargestellten Theorie zu den Erfahrungstatsachen besprochen; meine Bcurteilung einiger diesbeziiglicher Punkte ha t sich etwas verhdert.

Einleitung Bekanntlich hat DIRAC in dic Erorterung der kosmologischen Fragen den neuen Gedanken ein-

gefuhrt, daD die ,, Gravitationskonstante" f in Wahrheit veranderlich und eine Funktion des Weltalters sei. Dieser Gedanke ist in kosmologischen Oberlegungen des Verfassers ubernommen worden.

Er fiihrt auf die Aufgabe einer Verallgemeinerung oder Exweiterung der EINsTEINschen allgemeinen Relativitats- und Gravitationstheorie, fur welche ja die Vorstellung einer Konstanz von f wesentlich war. Man muB in die relativistische Feldtheorie neben den bisherigenFeldgroDen zusatzlich die ,,Gravitations-

invariante" f oder x = - als skalare FeldgroBe einfuhren. In Untersuchungen, die mich wahrend

der zweiten Kriegshalfte beschaftigten, habe ich die funfdimensionale oder projektive Form der allge- meinen Relativitatstheorie als besonders geeigneten Ausgangspunkt fur eine solche Verallgemeinerurg erkannt. Schon vorher war der gleiche Gedanke in unveroffentlichten Untersuchungen von EINSTEIN und BERGMANN verfolgt 1). Seither sind meine Untersuchungen fortgefuhrt und.auch durch Arbeiten der Herren G. LUDWIGund C1. MULLER sowie durch Oberlegungen von O.HECKMANN wesentlich gefordert worden. Wegen der zeitbedingten Schwierigkeiten sind diese Arbeiten nur zum Teil (und nicht in der Reihenfolge der Entstehung) veroffentlicht, so daB es fur den Leser schwer ist, einen Uberblick zu ge- winnen 3. Ferner haben die Anwendungen auf die Kosmologie und das Problem der Sternentstehung in der Einzelausfuhrung gegenuber meinen ersten Veroffentlichungen 3, Ahanderungen erfahren, haupt- sachlich auf Grund von Aufschlussen, die ich freundlichen Mitteilungen von Herrn BAADE verdanke. Es durfte deshalb niitzlich sein, im folgenden eine Gesamtdarstellung der Theorie zu geben, in solcher Form, daS sie fur jeden Kenner der allgemeinen Relativitatstheorie ohne Heranziehung sonstiger Lite- ratur lesbar ist.

Teil I. Mathematische Grundlagen 8 I . D i e I n v a r i a n z g r u p p e d e r p r o j e k t i v e n R e l a t i v i t a t s t h e o r i e Die von KALUZA und KLEIN begriindete funfdimensionale Form der Relativitatstheorie - deren

Ziel die Einbeziehung des MAxwELLfeldes ist - wurde durch VEBLEN in eine besonders elegante Gestalt gebracht. Diese von VEBLEN eingefuhrte p r o j e k t i v e Fassung der Theorie wurde anfangs als eine gewisse Abanderung der Auffassungsweise von' KALUZA und KLEIN angesehen; doch hat die weit ere Entwicklung ergeben, daD in Wirklichkeit die beiden fraglichen Fassungen mathematisch gleichwertig sind4). Im folgenden sol1 die projektive Fassung bevorzugt werden, ohne daD wir darin gegenuber KALUZA und KLEIN mehr als eine Abanderung der Darstellungsform sehen.

8 n f C2

1) Vgl. P. G. ~ E R G M A N N , Ann. of Math. 49.255 (1948). *) Vgl. P. JORDAN, Ann. d. Phys. 1.219 (1947) und die dort genanntenfruheren Arbeiten. Ferner: P. JORDAN

und C1. M~LLER, 2. f. Naturf. 2a.1 (1947). G. LUDWIG, Z. f. Naturf. 2a.3, 482 (1947). G. LUDWIG und C1. M~LLER, Ann. d. Phys. 2.76 (1948) und die dort genannten Arbeiten.

a) Vgl. P. JORDAN, Die Hsrkunft deJ Stern?. Stuttgart 1947, und die dort genannten friiheren Arbeiten. '1 Hierauf wurde ich durch Herrn W. PAULI hingewiesen. Vgl. auch die erwtlhnte Arbeit von P. G. BERCMANN

.

Astrnn. Nacbr. Bd. 276 13

184 P. ~ O R D A N : Fdnfdimensionale kosmologie

Die projektive Fassung der Theorie stellt die vier Weltkoordinaten da: als Funktionen der V c r - h ii 1 t n i s s e von fiinf Koordinaten. Diese letzteren werden dann nicht beliebigen, sondern nur h o - m o g c n e n Transformationen (ersten Grades) unterworfen. Die Tatsache, daB diese Betrachtangs- weise tiefliegende mat hematischc Symmetrieeigenschaften der physikalischen Gesetze erkennbar macH und eine sehr einfachc Zusammcnfassung von Beziehungen crlaubt, die in gewohnlicher Ausdrucksweise recht verwickclt und unubersichtlich erscheinen, beruht darauf, daB die I n v a r i a n z g r u p p e der allgemcincn Relativitatstheorie in den derart cingefiihrten fiinf Koordinaten eine wesentlich symmc- trischc und schoncre Gestalt gewinnt.

Die gewiihnlichc, vierdimensionalc Thcorie zeigt Invarianz nicht nur gegeniiber Koordinatcntrans- formationcn, snndern auch gcgcniiber E i c h t r a n s f o r m a t i o n e n. Mit @k sei das Viererpotential bezeichnet . Die Gruppc @ der Transformat ionen, gegen welche die Frldgleichungrn invariant sind. wird c r z c u g t einerseits durch die Eichtransformationen ,

:I ntlvrrrscit s durch dic Koordinatrntransformationen

I 1

In dcr Gcsamtgruppe (Y bilden die Koordinatentransformationen (2) eine U n t e r g r u 11 p c , und die Eichtransformat ionen (I) sogar cincn N o r m a 1 t e i 1 e r: Sei T eine Transformation dR + x ' ' ~ dcr Gestalt (I), S eine Transformation x " ~ + x " ' ~ der Gestalt (2), wahrend die Transformation xk-+xIA ihre Inverse S-l brdrute. Dann ist die Transformation S-l TS oder X ~ _ + X " ' ~ offenbar beschriehendurch

x k = X'"k

mit

grmal3 (I) und S gemla (2).

f k ( X ) = / k ( x 1 , x2, x3, x4) . Man erhalt also das allgemeinste Element der Gruppe (H als Transformation der Gestalt TS mit T

Wir behaupten nun: D i e G r u p p e B i s t i s o m o r p h d c r G r u p p c & a l l e r l i o m o g e n c n T r a n s -

f o r m a t i o n e n i p f u n f V e r a n d e r l i c h c n XI, X2, X s , X4, X5. Das allgcmeinstc Element der Gruppe $j5 ist cine Transformation der Gestalt

Diese Gruppe hesitzt cjnen N o r m a 1 t e i 1 e r '37, gebildct durch solche Transformationen (4, hei denen

Fv = F (fur v =o, I , . . ., 4) ( 5 )

F = const (6)

ist. Im 2 e n t r 11 m der Gruppe $j5 liegen diejenigen Transformationen (4), ( 5 ) , fur wrlche

ist ; die cinparametrigc Gruppe dieser Transformationen (6) sei 8 genannt. Wirverscharfen unsere Behauptung: @ i s t e i n s t u f i g i s o m o r p h m i t d e r F a k t o r -

Zunachst ist offenbar '%?I8 einstufig isomorph mit der Eichgruppe (I) : Wir konnen zuordnen g r L' P P e $3518.

F = const - e@; (7) man beachtr, daS einc additive Konstantc in @ ohne EinfluB auf die Transformation (I) ist.

ordnen der Transfnrmation ( 2 ) folgende einparametrigc Schar von Transformationen (4) zu: .

Ferner hat Q5 eine Untergruppc 9 derart, daB einstufig isomorph zur Gruppe (2) ist : Wir

FO = C = const,

P. JORDAN : Fiinfdimensionale Kosmologie 195

odrr

Damit ist die Zuordnung von @ und &/a vollstandig festgelegt ; die Richtigkeit unserer Behaup- tung ergibt sich dabei aus folgender Bemerkung: Wird die Transformation (7) mit T , und die Trans- formation (8) mit bezeichnet, so ist s-1 TS gerade die zugeordnete Transformation zii (3), also zii S-l TS.

Natiirlich ist die ausgefuhrte Zuordnung insofern willkurlich, als man in as noch einen beliebigen Automorphismus ausfuhren konnte. Wahlt man insbesondere einen i n n e r e n Automorphismus, ver- mittelt durch eine Koordinatentransformation (2), so lauft das nach (3) offenbar darauf hinaus, daD man die Koordinaten xh nicht unmit telbar durch die Verhaltnisse XA/XQ, sondern durch irgend vier andere homogene Funktionen nullten Grades von den X v darstellt.

wiirde durch die einfachere Feststellung un- mittelbarer Isomorphie von @ und Q5 selbst zu ersetzen sein, wenn in der Eichtransformation (I) eine additive Konstante der Funktion '@ n i c h t herausfallen wiirde. Es scheint deshalb sehr hemerkens- wert, daR quantenmechanische Wellenfunktionen y sich bei ,(I) gemaR

Die oben festgestellte Isomorphie von @ rnit

transformieren, wobei e die Ladung des Elektrons ist ; so daR es hier auch auf die additive Konstante wirklich ankommt . Allerdings mit der Einschrankung, daR ganzzahlige Vielfache von k c/e in (10) belang- 10s bleiben: die Beschrankung der elektrischen Ladungen auf ganzzahlige Vielfache der Elementar- ladung bedingt also, daS die Transformationsgruppe as doch nicht genau einstufig isomorph rnit der Transformationsgruppe der Relativitatstheorie wird. Dies stutzt wohl die (von 0. KLEIN brieflich hetonte) Vermutung, daR ein Verstandnis fur die elektrische Elementarladung eine uber die projektive Fassung noch hinausgehende Vertiefung der fiinfdimensionalen Theorie erfordern diirfte.

$ 2 . F u n f d i m e n s i o n a l e u n d v i e r d i m e n s i o n a l e M e t r i k . Im folgendensollen griechische Tensorindizes stets funf Werte durchlaufen, lateinische nur vier. 1st F eine Funktion der fbf Koordinaten X p bzw. der vier xh, so sol1 FIP bzw. FIR die Ableitung nach X p bzw. xk bcdeuten. Die Tatsache, 'daR die xk homogene Funktionen der X r vom Grade Null sind, driickt sich also aus in

Ferner kann umere Beschrankung auf die Transformat ionsgruppe a5 ausgedriickt werden durch x , t X , = 0. (1)

(2) X'V X!' = X'V ;

offenbar bedeutet das, daR die Xpsich bei diesen Transformationen wie e i n V e k t o r v e r h a 1 t e n. 1 2 einen P r o j e k t o r , wenn sie a) sich gegenuber den Trans-

formationen as wie ein Tensor transformieren, b) homogene Funktionen (n--m)-ten Grades von den X p sind:

lP

Wir nennen die Grofien Ti;

T:;: :: = (n-m) T: : : : :;. (3)

Diese Beschrankung bedeutet offenbar, daD die Kenntnis eines Projektorfeldes - als Funktion der funf Koordinaten X p - .nicht m e h r bedeutet, als die Kenntnis eines Feldes in einer v i e r - d i m e n s i o n a 1 e n Mannigfaltigkeit.

Bei Mitberiicksichtigung von S p i n o r f e l d e r n muD man die Homogenitatsfordemng abandern; diese hier nicht zu erorternden Verhaltnisse sind vom Standpunkt der hier vertretenen Theorie ausfuhr- lich behandelt in einer demnachst erscheinenden Monographie von G. LUDWIG.

Im funfdimensionalen Gebiete sei nun eine M e t r i k g,, eingefuhrt ; die g,,, die im Sinne von (3) einen Projektor bilden sollen, verwenden wir in ublicher Weise zum Hinauf- und Hinunterziehen der Tensorindizes. Wir wollen den Tensor d;, der aus g,, duroh Hinaufziehen des Y entsteht : d: = gPAg?', folgericht igerweise mit g; bezeichnen.

.

Die I n v a r i a n t e J = g,, Xr X' = X,XV (4)

sei stets $; 0. Wir konnen dann einen Vektor av eindeutig zerlegen in einen zu X v parallelen und einen zu X v orthogonalen Anteil:

196

oder

p. JQRDAH: l?unfdimensionale r(osmo1ogie

l lu .xu. f l , = f l ( " ) + .Yv --I J ( 5 ' )

Inshesondere ist fiir jeden Skalar S entsprechend (3) : (6)

SI, = .SI("). (7) Diese Rezeichnungswrise iihertrlgt sich ohne weiteres auf bcliehige Tensoren. Es wird z . H.

Definition: Als V e r k u r z u n g dcs funfdimensionalen Vektors bezeichnen wir dcn v i c r - c l i m c n s i o n a 1 e n V e k t o r

(9)

Xk = o . (10)

ak = f l ( k ) . (11)

f lk = Xk a / ' . I!'

Wir konnen also ( I ) anch so ausdrucken:

Dic Verkurzung cines Vektors av hangt nach (10) allein von scinem auf Xv orthogonalen Anteil ah:

Entsprechend definieren wir Verkiirzungen fur Projcktoren mit heliebig vielen zunachst o b c r e n lndizcs; beispielsweisr

(14 (13)

(14)

k - k 1 1 - 2 , . g v - xIpgv - 111'

g k v = 5;' g"' = g: grv ;

gk' = x k 51 gpv = gh g l g/I. Ic l p c v

Die Komponenten der v o 1 1 s t a n d i g e n Verkurzung eines Projektors - mit nur noch latei- nischen Indizes - sind homogene Funktionen der Xp vom Grade Null, also Funktionen der x k ; und zwar bilden sie einen Tensor im vierdimensionalen Sinne.

Aus der Tatsache, daB die xR vier voneinander unabhangige Funktionen der X" sind, folgert man1eicht:a) A u s a k = o f o l g t , d a S d e r V e k t o r ac p a r a l l e l X p i s t : a c = c o n s t X p . - b) A u s d c r T a t s a c h e D e t ( g 8 " J + o f o l g t a u c h DetI$')+o. Wir konnen und wollcn tlanach die gki bzw. die durch

definierten

nach unten gezogen werden:

( g V ) = (gk')- l (1.5)

als M e t r i k der vierdimensionalen Welt benutzen. Somit konnen die Indizes der durch Verkurzung entstandencn vierdimensionalen Tensorrn auch

f lk = g h l a' = g k l g i (I!'. (16)

g: = g h l g" (17)

f lk = & f l p (1s)

tik = gE al1. (10)

gig; =g: = s; (20)

Insbesondere ist dem Zeichen g$ die Bedeutung

zuzuschreiben; und dann kann (16) auch in der Form

geschriehen werden; analog zu (9) odcr

Entsprechendes gilt fur beliebige Projektoren. Aus diesen Erwagungen folgt ohne weit ere fherlegung, daB

ist ; denn die linkr Seite entsteht durch Verkiirzung des Projektors g; g; = g;;. Andcrerseits ist

wie sich folgendermaaen ergibt.

P. JORDAN : Fiinfdimensionale Kosiiiologic 197

Zunaclist beweisen wir I a(') =g;&;

a(,) = g ) a . j ( 2 2 )

Die Differenz a(,) - g; uk hat namlich einerseits wegen (20) und (11) die Verkureung Null, ist also nach obiger Bemerkung a) parallel zu XI; -andererseits ist sie wegcn (6) und (19) auch orthogonal zu X'.

S n t z : E s i s t ak b k = U ( Q ) b ( @ ) . (23)

Uenn die rechte Seite ist nach (22 ) gleich a(Q) g: b k , also nach (11) und (19) gleicli der linken Seite. Hiernach ergibt sich der Beweis von (21) aus g; g; = gyn) g:), unter Benutzung von (8). Wegen .-. x, x ,

d xk = g i d X, kann man die mit (21) gleichwertige Beziehung g k l gi gf = g,", gkr = g,, - 7 J auch so- ausdriicken:

Nach obigem ist eine funfdimensionale Projektorgleichung nv = o g 1 e i c 11 w e r t i g rnit einem vierdimensionalen Gleichungssystem, bestehend aus der Vektorgleichung uk = o und der ska- laren Gleichung a, X, = 0. Entsprechendes gilt fur beliebige fiinfdimensionale Projektorgleichungen: Beispielsweise ware eine Gleichung R,, = o mit symmetrischem Projektor R,, = R,, gleichwertig mit den vierdimensionalen Gleichungen

Rkr = O (d. h. gfg;' R,, = o ) ; 1 I RkvX' = O (d. 11. gtR,-,X' = o ) ;

R,, X, X' = o . $3 . V i e r d i m e n s i o n a l e k o v a r i a n t e D i f f e r e n t i a t i o n . Um zu erkennen, in

welcher Weise sich vierdimensionale Differentialgleichungen durch fiinfdimensionale ausdriicken (bzw. umgekehrt), mussen wir den Zusammenhang der vierdimensionalen und fiinfdimensionalen kovarianten Differentiation untersuchen. Es empfiehlt sich aber, dieser Untersuchung eine genauere Betrachtung der vierdimensionalen Differentiation vorangehen zu lassen, da eine genauere Klarung ihrer Eigen- schaften, als sie in der Literatur gewohnlich erstrebt wird, den fraglichen Zusammenhang leichter zu ermitteln gestattet.

Die iibliche Definitionsweise, wonach die kovariante Ableitung Tf ; ; : Ilj dasjenige Tensorfeld ist, welches im Punkte P mit der gewohnlichen Ableitung T f .. 1 lj ubereinstimmt, sofern das benutztc Koordinatensystem in diesem Punkte P ein e b e n e s ist (mit g k l l j = o), 1aOt (nachdem man sich iiber- zeugt hat, daB es in der Tat fur jeden Punkt P ein in P ebenes Koordinatensystem gibt, was - nebenbei bemerkt - ohne die iibliche umstandliche Heranziehung der geodatischen Linien moglich ist), folgende Eigenschaften der kovarianten Ableitung erkennen:

(I) Es gelten die gewohnlichen Regeln fur Differentiation der Summen und Produkte von Tensor- komponent en.

(11) Wenn das Vektorfeld ak (bzw. a k ) im Punkte P verschwindet, so ist dort n i j = ui. (bzw.

(111) Es ist U k l l j - u,llk = ukli - ujp. (IV) Es ist grrlj = 0, so daD die Operation der kovarianten Differentiation v e r t a u s c h b a r

ist mit derjenigen des Hinauf- uhd Hinunterziehens der Tensorindizcs. Esist fiir das Spatere wichtig, daB diese Eigenschaften auch als ausreichende D e f i n i t i o n der

kovarianten Ableitung dienen konnen. Der Beweis dieser Bemerkung ist folgender: ,Zunachst erhalten wir aus (I), (11), daI3

akllj = ~ k l j ) .

.

ak - - U l j k + 'x a' ,

ukllj = ak1j-A;. 1 11.1

S l l k = Slk ; ( 2 )

" i j =Ti,. (3)

rif = qA ; (4)

I J (1) - I li

ist. Ferner wird fur jeden S k a 1 a r

denn m8n wende (I) an auf den Vektor S uk. Betrachtung des Skalars S = uk b k liefert dann

Aus (111) folgt nun

198 P. JORDAN: Fdnfdimensionale Kosmologie

und aus (5) dann die Formel I

rj, = - 2 g”” (gkiul j + gjnbjk - gkjli , , ) * ( 5 )

I € i l / s s n l z : J c d e r T e n s o r T i : : : i s t d a r s t c l l b a r a l s S u m m e v o n P r o - d u k t e n v o n V e k t o r e n. (Beweis trivial.)

Daher ist gemaD (I) dann auch die kovariante Ableitung eines beliebigen Tensors eindeutig fest- gelegt, im Sinne der bekannten explizierten Formel, auf deren Anschreiben wir verzichten durfen.

Diesen Erwagungen, deren Nutzen sich splter zeigen wird, mogen einige Bemerkungen uber den RIEMANNsChen Krummungstensor folgen. Die Differenz akll l l l j - a~ll,llr ist jedenfalls eine Linearform in den a,,, und den atnjln; da aber

2. (akl l l l l j - “klljl l l) uk == ( a R f l k ) l l / l ( j - ( U k ak)lljlll = O (6 )

(7) ist - denn fur jeden Skalar gilt

wegen (111) und (2) - so cnthalt die fraglicho Linearform tatsachlich nur die a,,,, und in Silllli - Slljllr = 0

ist auUerdeni

Fcrner brkommen wir die Symmctrieeigenschaft

{GmkII}[ l j ] = 0 8 (10)

- wobei die linke Seite. die Summe der durch zyklische Vertauschung von k, I , j entstehenden Aus- driicke bedeuten sol1 - ebenfalls ohne Rechnung aus folgender Erwagung: Aus (111) folgt, daB fur schiefsymmetrische Tensoren Hkr = - Hn die Vbereinstimmung

gilt - wegen des obigen Hilfssatzes genugt es, dies fur den Fall Hk[ = Uk br - a / b k zu bestatigen. { H w } [ M ~ I = {Hklli} LWI (11)

(12)

Nach (11) und (111) wird dann { l lkl l l , i , -- NRlljlll)[kj1] = { (Uk\ \ l - Ulllk)l l j}~klj] = {(akll - alIk)lj}!klj] = o ,

womit (10) bewiesen ist. Aus (10) und (9) bekommt man als Folgerung

G m ~ j = GIjnik . L&hnlich bekommt man auch die wichtige Beziehung

( ;k l =G”’ . ,h mI

niulielos, wenn man das Kechnen mit dem kompliziertcn expliziten Ausdruck fur Gi,lk/j ganz vermeidet . Im Funfdimensio-

nalen gibt es unter den e r 1 a u b t e n Koordinatensystemen k e i n in irgendeinem Punkte P e b c - n c s , weil

niit gPvlA = o unvertrlglicll ist. Die Axiome (I) bis (IV) konnen jedoch auch hier zur I) e f i n i t i o n der kovarianten Ableitung benutzt werden; und die kovariante Ableitung eines Projektors ist wiederum ein Projektor. Die Symmetrieeigenschaften des vierdimensionalen Kriimmungstensors Gnblj gelten daher auch fur den funfdimensionalen K r ii m m u n g s p r o j c k t o r Rgpm.

$ 4. 1; u n f d i m e n s i o n a 1 e k o v a r i a n t c I) i f f e r c n t i a t i o n.

gp,.1a xi = - 2 gpv (1)

Fur jeden Projektor b, gilt XTig bv + X’ bgllv = o .

x;, b, + X’ b,lr = 0 ;

F’ bv)ll, + X’ ( h l v - bvll,) 9

( 2 )

(2 ’ )

Denn es ist nacli (3), fi 2:

und wegen (111) und ( z ) , $ 3 ist die linke Seite (2’) glcich

also gleich der linken Seite (2).

Der H i 1 f s s a t z von 3 3 iibertragt sich - wie leicht erkennbar - aucli auf Projektorcn; und folglich kann man aus (2) wegen (I) eine allgemeine Formel fur beliebige Projektoren ableiten. Fur Projektoren B,, mit z w e i Indizes wird:

Bv, + Xila Bev + X’ Bp\\v = o ; (3)

P. JORDAN: Fiinfdimensionale Kosmologie 199

und fur B,, = ge, ergibt das die ,,KILLINGsche Gleichung"

Wir benutzen die Bezeichnung

und schreiben (2) jetzt als

Xu! le + XQllu = o .

Xeu = 2 Xulle = XuIe - Xelo,

tfbrigens ist ( x U 1 1 e 1 1 7 ) ~ e r l = 0

X' X,l(" = 0 . und

Aus der Definition

bekommen wir fur a, = X, wegen (4), (7): npllollr - npllrl lo = - RIpr av

fur (10) ist die Tatsache

benutzt, aus der man weiter auch J l A = Jlli = 2 X p l l A Xp = X m X"

erhalt. Der verjungte Krummungsprojektor RpV = R:,lv ergibt danach

I I R p v Xfi x' = - Jllpllv gp' - - X"' X p v ;

2 4 I

2 K,v X' = - x:pll v .

Wir st ellen ferncr folgende Formeln zusammen: I

X(r)p = Xvp + - Xv J l p ) J

Wegen

wird schlieUlich

2 AY(v)(a) X(')(,) = XI, XVI' -- J

Wir wollen zwei Tensoren A;:::,BL::: k o n g r u e n t nennen, wenn i h r c V e r k u r - z u n g e n g l e i c h sind:

A ; : : ' . G B ; : : : bedeute A : : : : = B ! : : : . 0 4 ) Kongruenzen konnen wie Gleichungen addiert und multipliziert werden; aber man kann in ihnen

Deshalb betrachten wir einen neuen Differcntiationsprozefl, wclclier die Axiome (I), (11) und (Iv) n i c h t die kovariante Differentiation ausfuhren.

erfiillt und dann eindeutig gegeben ist durch

@,Ilk = @CIId + 2- (&A xu - x:a X,) ao * ( '5) 2 J

Da gemaB (Iv) diese Differentiation mit der Operation des Hinauf- und Hinunterziehens der Tensorindizes vertauschbar sein SOU:

gp'llll = 0 J (16)

200 1'. J OKDAN : l'lnfdiniensionale Kosmologie

so kann p in (15) aucli oben gcschriebcn werden:

was allgeincin iibrigens

crgibt . (18')

q 1 2 = 0. ( 1 0 )

(20 )

.Slplll* = S l p l l v ; (21)

, . . . Jl,, , J V , ) . . . (V9 l )

1 / 1 1 . . . PnJ? 1 0 1 , ) . . . (vm)llA

Weken X' ( I# ) =o wird

1 ) i c s c Differentiation d a r f a . l so i n K o n g r u e n z e n a u s g e f i i l i r t w c r d c n : Aus (14) folgt auch

v . . . v . . . - 4 , t . . . 1111 = B, . . . lljl *

Ferner wird wcgen (7), $ 2 :

cndlich ist

( 2 2 )

vgl. dazu (7).

$ 5 . Z u s a n i m e n h a n g d e r K r i i m m u n g s t e n s o r e n . Analog zu (8), $ 3 erschlieljen wir (unter Benutzung von (zI), f 4):

~ p ~ ~ ~ o ~ l ~ r - apiilrllll = - GYpar uv ; (1)

und wir b e 11 a u p t c' n , daD die V e r k u r z u n g des hier auftrctenden Up, gleich dem vier- dimensionalen Kriimmungstensor G'?klj sci. Der Beweis ergibt sich folgendermaljen:

Die Verkurzung von TL : : : llp hangt offenbar nur von der Verkiirzung von TF : : : ab: G e - n a u e r i s t f e s t z u s t c l l e n , daJ3 s i c g l e i c h d e r v i c r d i m e n s i o n a l - k o v a - r i a n t e i i A b l e i t u n g d i e s e r l e t z t e r e n V e r k u r z u n g i s t .

Wir beweisen diesen H a u p t s a t z , indem wir zeigen, dalj die Verkurzung yon 1; : : : 111a jene vier Axiome von (I) bis (IV) erfiillt, welche die kovariantc (vierdimensionalc) Ableitung eindcutig kennzeichnen.

Axiom (I) beddrf keiner Erorterung; Axiom (IV) erledigt sich durch Hinweis auf (16), $4; Axiom (11) bestatigen wir so: Zunachst ist

WIA u(dilla %)Iia; i n eiiiem Punkte P, wo U k = o ist, wird also uplll~ E a(,)lt; und dort wird weiter: u ( , ) l ~ = (gfl Uk) lA

= g: UklA = g i gi ak l r . Die Verkiirzung hiervon ist aber I l k \ [ .

Axiom (HI) bestatigt sich so: Dic Verkurzung von n,lllr - arlllp wird gleich a k l i - u y . Ucnn wegen (IZ), $ 2 , ist g:l, =g: , , l , also

.

k I k 1 tz(r)lllr - N ( u ) l l l p = a ( p ) l t - U ( v ) l p gp n k l r - g&lp = g,gv ( U k l l - W l k )

Damit ist der genannte Hauptsatz bcwiesen. Als eine Anwendung ergibt sich: Kach ( z z ) , $4, ist

so dab also der S e c h s e r v e k t o r x k l =-xlk R o t a t i o n e i n e s V i e r e r v e k t o r s ist. Die in (I) behauptete Beziehung des vierdimensionalen Krummungstensors zur funfdimensionalen

Kongruenz-Differentiation erfordert nach Beweis des Hauptsatzes nur noch folgende fherlegung: Das Koeffizientensystem Gj, in (I) ist i m K o n g r u e n z s i n n e bereits dadurch festgelegt, dalj (I) insbesondere fur alle zu X, o r t h o g o n a 1 e n Vcktoren a r = a(,) gilt. Wir diirfen deshalb die rechte Seite (I) nach dem Satz von $ 2 auch so schreiben:

(3) - G(!)ror a(,) = - Gk,,, a h .

= J i i i p i i i ~ g(p) ( ’ ) + = J \ l k l l l gk’ + - J I k J I I gk i ;

2.T

J I , ~ Jivgl’” 2.T

I -

zu (7) vgl. ( r C ‘ ) , $ 2 und (II’), $ 3.

Teil 11. Physikalische Anwendung

201

(7)

$ 6. P h y s i k a 1 i s c 11 e I) e u t u n g. Wir deuten nach Einfiihrung geeignet dimensionierter Einheiten die gii als EINsTEINsChe Komponenten des Gravitationsfeldes,. und den Sechservektor

Xkl &-kt = - J

als elektromagnetische Feldstarken. Endlich setzen wir

J C2 - x = - 8 n J - _ 2 c2 -

Es sind dann F e 1 d g 1 e i c h u n g e n aufzustellen, und in Analogie zu den EINSTEINSchen = o des reinen Gravitationsfeldes wird man zunachst Feldgleichungen

R p v = O (3) in Betracht ziehen, was in der in (25), 5 2, beschriebenen Weise mit 15 = 10 + 4 + I vierdimensio- nalen Gleichungen aquivalent ist, welche wir jetzt entwickeln wollen.

Aus (5), 8 5 entnehmen wir:

(4) 3

G(?fi(‘)Z L R(!)p(’)r - ---.x(’)r XW,. , 4 J

Nun ist nach den Formeln (IO), (13‘), (21) aus $ 4 :

I I RC”.)p(v)z = R ~ p v r - - X’ X u R v p a r

J

also

202 P. JORDAN: Fiinfdimensionale Kosmologie

Andererseits berechnen wir nach den Formeln (IZ'), (7'), (18) von $ 3 I I

2 2 R,,, X u = - X ~ l l v gAv = -- XWllv g(')(')

I 2 R k v x " = ( J F ! k ) ~ l i + T F ! k J l i .

Endlicli bekommen wir aus ( 1 2 ) , (13') , $ 4 und (6), (7), tj 5:

Wenn also die Feldgleichungen fiinfdimensional die einfache Gestalt R,, = o haben, so bedeutet das nach (6) , ( 8 ) , (9) vierdimensional, wenn wir jetzt (2) einfiihren:

Aus (!+) bekommen wir im Falle x =const die A X w E L L S c 11 c n t i 1 e i c h 11 n g e n. An- dcrerseits konnen wir (6*), (g*) kombinieren zu

was bei Vernachlassigung der rechtcn Seitc - wieder entsprechend x = const - zu den Feldgleichungen dcr kombinierten EINSTEIN-MAxwELLSchen Theorie fiihrt .

Jedoch haben die Feldgleichungen R,, = o nur bei verschwindendem elektromagnetischt m Feld Fhi = 0 c x a k t die EINSTEINschen Gravitationsglcichungen Ghl= o zusammen mit x = const zur Losung; andernfalls, also bei Fhr =+ 0, ergeben sich stets auch kleine hderungen von x , die jedoch auBerhalb der praktischen MeBbarkeit liegen.

Bekanntlich sind die Gleichungen Gkl = o die L A G R A N G E S C ~ ~ I ~ Gleichungen drs invarianten Variationsproblems mit dem htegranten G 6; undentsprechend gehoren die Gleichungdn R,, =o zu

6/Rl - i d X =o; =Det lg ,vl . (11)

Die altere Fassung der projektiven Relativitatstheorie 1) erganzte ihre Feldgleicliungen durcli die Nebenbedingung J =const, urn der Annahme x =const Rechnung zu tragen. Die Feldgleichungen wurden dann so fcstgelegt, daD ( 1 1 ) m i t d i e s e r N e b e n b e d i n g u n g gelten sollte. Es ergeben sich fur

die nur 14 statt 15 Gleichungen P@O XQ xa P,, = x, x, -- J 2 '

und das ist gleichbedeutend mit den aus (8) und (10) durch x =const hervorgehendcn klassisclien Glei- chungen der kombinierten EINSTEIN-MAXWELLSchen Theoric.

Im Rahmen der jetzigen Thebrie mua betont werden, daD kein zwingender Grund fur die Auszeich- nung gerade des Variationsproblems (11) besteht, da ja neben der Invarianten R noch drei weitere einfache Invarianten J und JI,, Jl.grv und X,, X r v zur Verfiigung stehen. Beispielsweise konnten

l) vgl. W. PAULI; Ann. d. Phys. 18.30j, 337 (1933) und die dort genannte Literatur.

P. JORDAN : Funfdiniensionale Kosmologie 203

wir statt (11) das Variationsprobkm

in Betracht ziehen; welches an Stellc von R,, = o die Feldgleichungen

ergabe. Obwohl die rnit dem Problem der ,,e i n h e i t 1 i c h c n F e 1 d t h e o r i e" beschaftigten Ver-

fasser im allgemeinen gerade darin ihr Ziel gesehen haben, eine eindeutig ausgezeichnete Gestalt dcr Feldgleichungen bzw. des entsprechenden Variationsproblems zu ermitteln, so mochten wir doch radikal die Auffassung vertreten, daD dieses Ziel unerreichbar ist. Theoretische AnEatze, welche nicht nur die Qnantenerscheinungen, sondern sogar auch die Existenz von Spinorfeldern auBer acht lassen, durfen sich nicht so weit gesteckte Ziele setzen. Wir mochten also den e m p i r i s c h e n Standpunkt als den einzig angemessenen betrachten, und die Wahl der Feldgleichungcn von der Erfahrung bestimmen lassen, wenn auch unter Verwertung der grundsatzlichen Uberzeugung, daD die Feldgleichungen in der funfdimensionalen Formulierung e i n f a c h e r werden als in ihrer gleichbedeutendenvierdimensionalen Fassung.

Nach G. LUDWIG (a. a. 0.) 1aUt sich ein einfaches Rezept angeben, nach.welchem ein funfdimen- sionales Variat ionsproblem

/- d / L j - g d X = o , (14)

worin L eine aus den g,, (als unabhangigen Funktionen) gebildete Invariante ist, unmittelbar in ein gleichwertiges vierdimensionales Variationsprinzip umzuformen ist. Man kann (14) ersetzen durch

wobei L jetzt als Funktion der folgenden unabhangigen Veranderlichen ausgedriickt scin soll: gki, n und @r = Viererpotential (dessen R o t a t i o n Frr ist).

Beispielsweise ist im Falle L = R in (13) die Formel

zu benutzen, welche entsprechend wie die oben schon gebrauchten zu erhalten ist.

§ 7. I n d u k t i v e K o s m o 1 o g i e. Um die Aussagen unserer Feldgleichungen uber dic Gra- vitationsinvariante x an der Erfahrung priifen zu konnen, mussen wir eine bestimmte Vorstellung ubcr das in der Natur verwirklichte kosmologische Model1 zugrundelegen. Obwohl die dafur zur Verfugung stehenden Tat sachen bis heute viele verschiedene Beurteilungen gefunden haben, ergibt sich doch ein in grorjen Zugen e i n d e u t i g e s Bild, sofern man ein Prinzip zugrundelegt, welches wir als das DIRAC- sche Prinzip bezeichnen wollen. l) Danach finden die den Kosmos kennzeichnenden MaDgroDen ihren sinngemaDen Ausdruck als Vielfache der mikrophysikalischen ElementarmaBe : Wirkungsquantum h, Elementarlange 10 -13 cm, Elementarzeit 10-23 sec. (Der zugehorige Massewert ist dann etwas kleiner als die Protonmasse mp.) Das Alter des Kosmos, also die Zeitdauer von etwa 4 bis 5 Milliarden Jahren, erhalt dann den ungefahren Zahlwert 1040; der Weltradius ebenso, die Weltmasse etwa 10~0. Die durch- schnittliche oder maximale Masse der Sterne wird etwa 1060. Diese hier auftretenden riesigen dimen- sionslosen Zahlen sollen nun grundsatzlich als Funktionen .- und zwar als Potenzen - des Weltalters 1040 angenommen werden : Nur so kann man der uberaus unbefriedigenden Vorstellung entgehen, daD in den elementaren Nat urgesetzen selbst dimensionslose Koeffizienten ungeheurer GroDenordnung vor- kommen.

DIRAC hat in diesem Sinne die Gravitationsinvariante x , da sie, dimensionslos gemacht, die GroDen- ordnung ~ o - ~ o h a t , als u m g e k e h r t p r o p o r t i o n a l m i t d e m W e l t a l t e r erklart. Mit gleicher Berechtigung miissen wir aber die mittlere Massendichte im Kosmos: p = I O - ~ * g cm4, eben- falls fur umgekehrt proportional mit dem Weltalter ansehen, da sie ebenfalls im ElementarmaD etwa I O - ~ O wird. Andererseits verlangt die GroDenordnung des Weltradius Proportionalitat mit der Zeit - mit einem Faktor der GroDenordnung c, in Vbereinstimmung rnit dem HuBBLE-Effekt. Fiir die Welt- masse ist danach (oder auch unmittelbar durch Hinweis auf ihre angegebene GroDenordnung) Anwachsen mit dem Q u a d r a t d e s W e 1 t a 1 t e r s zu erschlieBen. Die durchschnittliche oder maximale Sternmasse sollte entsprechend rnit t3/* (t = Weltalter) zunehmen, und die A n z a h 1 1 0 ~ 0 der vorhan- denen Sterne mit t l la .

I) Ausfuhrliches zu dem irn folgenden Angedeuteten in der oben erwahnten Schrift ,,Die Herkunft der Sterne".

204 I?. JORDAN : Fiinfdimensionalc Kosuiologie

Das Gesamtbild, welches sich so ergibt , ist das eines geschlossenen KIEMANNSChen Raumes, dessen Krummungsradius proportional dem Weltalter zunimmt, wahrend die darin befindliche Gesamtmasse mit t 2 wachst. Die Anzahl der ihn bevolkernden Sternc nimmt mit t l l z zu, und die neu entstehenden Sternc haben jeweils einc rnit t3I2 proprtionale Massc. Diescs Bild bcdarf jedoch noch naherer Ausfuh- rung in Riicksicht auf die Spiralnebel, deren Anzahl folgcrichtigerweise als proportional 1114 anzusetzcn ware, wahrend die danach zu crwartendc fortlaufende Neuentstehung von Spiralnebeln Stcrn-Anzahlen in den jeweils groBten Spiralnebeln ergeben collte, die ebenfalls proportional t1/4 waren. ubrigens erreicht (nach freundlichem miindlichen Hinweis von Herrn GORA) der D r e h i m p u 1 s von Spiral- nebeln im Falle der MilchstraI3e und des Andromeda-Nebels etwa die GroBenordnung 10~00 - Bei Einzelsternen oder Doppelsternen (odcr dem Planetensystt m) andererseit s finden wir Drehimpulsv, welche um die GroBenordnung xo8O - t2 schwanken.

Die Bedenken, welche sich auf Grund des Energiesatzes gegen die Vorstellung einer wachsenden Weltmasse zunachst ergebcn, konnen in vorlaufiger Weise ausgeschaltet werden durch den Hinweis, daB in dem erlauterten Bilde die positive Ruheenergie gerade von gleicher GroBenordnung wird, wie dcr Uetrag der negativen potcntiellen Gravitationscnergie. Jedoch kann erst eine prazise Durchrcchnung kosmologischcr Modelle auf Grund einer entsprcchenden Feldt heorie klaren, ob dieser Hinwcis t atsach- lich einen Weg zur Losung des Problems bezeichnet.

Eine von den kosmologischen Zusammenhiingen unabhangige Anwcndung des DIRAcschen Prin- zips bietet sich in der Kernphysik. Das M e s o n hat cine Lebensdauer, die fast um die Grooenordnung xo20 groDer als dic Elcmentarzeit ist, und dcshalb (nach BLACKETT) als rnit t1l2 proportional vermutrt werden sollte. Danach miiBten sich in der Altersbestimmung sehr alter geologischer Schichten v e r - s c h i c d e n c Werte ergeben, wcnn man einmal einen Alpha-Strahler und andererseits einen Beta- Stiahler als Uhr benutzt. Dieser Yunkt ist von HOUTERMANS und dem Verf. nahcr erortert worden'). Die seither am Rubidium durchgefiihrten Messungen von HOUTERMANS und HAXEL crwiesen jedoch innerhalb der bis heutc erreichbar gewordenen Genauigkeit noch hereinstimmung beider Uhren-Arten. Wenn man trotzdem das DIRAcsche Prinzip in diescr speziellen Anwendung fur richtig halt, mu13 man folgern, daB zwischen dem Alter der Welt und dem der Erde (etwa 3 Milliarden Jahre) immerhin noch ein merklichcr Unterschied besteht (etwa 30-50 O h ) . Aber auch in diesem Falle sollte eine Erfassung dcr frdglichen Verschiedcnheit bei wciterer Verscharfung der Messungen nicht unerreichbar sein. Sie wiirde unsere hha l t spunkte fur eine quantitative Theorie der Friihstadien unseres Kosmos wesentlich btt- reichern.

Die GroBcnordnung 1oa0 tritt auch dann auf, wenn man das Drehnioment der Erde oder der Sonnc dividiert durch das entsprcchende m a g n e t i s c h e D i P o 1 m o m c n t ; und BLACKETTS 2) Ver- mutung einer hier vorliegenden grundsatzlichen GesctzmaBigkeit - Auftreten eines magnetischen Mo- mentes, das ungefahr glcich $ma1 Drehmoment ist, bei jeder rotierenden Kugel -stellt die Phvsik vor hcsonders reizvolle Probleme.

Der allgemeine Charakter der oben in Bet racht gezogenen Feldgleichungen - sowohl der einfachen K,, = o als auch der Gleichungen (13), $ 6 - stimmt jedenfalls insoweit gut mit den Anforderungen dcserlauterten Modells zusammen, als sie solche Ansatze zu ihrer Losung nahelegen, in welchen in einem homogenen Raum x als Potenz t-" des Weltalters t angenommen wird. Denn dann werden in (6*), (9*), 5 6, die rechten Seiten proportional t -2 ; und fur GM ist Proportionalitat rnit t - 2 gerade der Ausdruck cines Anwachsens des Weltradius proportional t . Fur die Komponentcn des Tensors FkiF;i bzw. ihre hfittelwerte ergabe sich dann Proportionalitat rnit P2, und das ist gerade das, was auf Grund ciner primitiven Energiebilanz plausibel erscheint : Eincr Energiedichte E N 1u-2, also Gesamtcnergic N E R ; N la+l ( R , = Weltradius) wurde eine negative potentielle Gravitationsenergie N x (E R3,) ZR;;'

,- t X + l kompensierend gegenuber stehen. Diese Erwagungen scheinen zu zeigen, daB wir auf dem richtigen Wege sind. Abcr erst die voll-

stiindige Durchrechnung kosmologischer Modelle kann entscheiden, ob die Feldgleichungen schon als endgiiltig angesehen werden konnen oder noch Abanderungen erfordern.

$ 8. D a s k o s m o 1 o g i s c h e G 1 i e d. Bekanntlich haben die EINsTEINschen Feldgleichungen Gkl = O die unwillkommenc Eigenschaft, daB sie - auch in ihrer der Anwesenheit von Matcrie ent- sprechenden Vcrallgemeinerung - n i c h t auf einen geschlossenen RIEMANNschen Raum als Losung fuhren. Die abgeanderte Vakuum-Feldgleichung

G k l - g k l = - A gk l , 2

einem Variationsproblem __

a / (G - A ) 1' --; dx = o

1) F. G. HOUTERMANS, P. JOKDAN, Mttinger Sachr. s.80 (1945); z. I. xaturf. 1.125 (1945). 2, P. 31. S. BLAcKETT, Nature 159.658 (1947).

I?. J O R D A N : I;iinfdimc.nsionde Kosmologie 205

entsprechend, ist gut geeignet, die Bedeutung des D I R A c s c h e n P r i n z i p s au erlautern: Um die EINsTEINsche Zylinderwelt als Losung der Feldgleichungen zu erhalten, mu13 man (auDer dem Materie- tensor) noch einen Koeffizienten in die Feldgleichungen hineinstecken, welcher die GroBenordnung des Weltradius Ro festlegt: A in (I) ist bekanntlich gleich R r 2 . So tr i t t in diesen Feldgleichungen (I), wenn man sie in natiirlichen mikrophysikalischen MaBeinheiten schreibt , eine dimensionslose Zahl der GroBen- ordnung 10-80 auf.

Die projektiven Feldgleichungen R,, = o lassen aber, wie zuerst von HECKMANN erkannt wurde, gleichfalls keinen positiv gekrummten Raum als Losung zu und sind daher gemaB unserem Programm noch abzuandern. Die von LUDWIG und MULLER (a. a. 0.) erorterte Form der Feldgleichungen cnt- spricht rinem Variationsproblem

mit einem Koeffizienten A, welcher ahnliche Wirkung hat, wie das EINsTEINsChe 1 in (I), aber mit dem von unserem Standpunkt aus fundamentalen Unterschied, daB d i e s e s il ohne weiteres eine dimen- sionslose Zahl ist, der die GroBenordnung I zugeschrieben werden darf. Es liegt kein Grund vor, einen bestimmten Wert il festzulegen, doch zeigt sich, daB 1 > 312 sein muB, damit wir einen RIEMANNsChen Raum als mogliche Losung erhalten. Ferner ist (3) im Unterschied zu (2) von vornherein nicht auf eine Zylinderwelt , sondern eine expandierende zugeschnitten (entsprechend dem 'Umstand, daB das DIRAC- sche Prinzip grundsatzlich eine Zylinderwelt ausschlieBt). Denn der Ansatz J - t -a ergibt bereits nach (3), daB R ~ t - 2 werden muB.

Da die projektive Relativitatstheorie im Gegensatz zur vierdimensionalen das elektromagnetische Feld von vornherein mit einschlieat, so konnen wir die aus (3) entspringenden Feldgleichungen benutzeri, um ein kosmologisches Modell zu konstruieren, in welchem an Stelle der Materie nur elektromagnetische Strahlung vorhanden ist (Lichtquanten-Welt). Da die Durchrechnung dieses Modells in der Arbeit von LUDWIG und MULLER (a. a. 0.) leicht zuganglich ist, sol1 hier auf Einzelheiten der Rechnung nicht ein- gegangen werden. Die wesentlichen Ergebnisse werden wir im nachsten Paragraphen kurz besprechen.

Das Aufstellen einesModells, welches dem KosmQs in seiner wirklichen Gestalt entspricht, erfordert eine Mitberiicksichtigung der M a t e r i e , und naturgemaa muB man sich dabei zunachst mit einer Be- handlungsweise begniigen, welche in wesentlich hoherem Grade als das bisher Besprochene den Charakter des Vorlaufigen besitzt .

Da die Probleme der Materie und ihrer Atomistik lange Zeit als wesentliche Aufgaben der ,,einheit- lichen Feldtheorie" angesehen worden sind, sei unsere Stellungnahme hierzu kurz prazisiert. Gegenuber der alteren Auffassung, daB es Aufgabe der Kontinuums-Feldtheorie sei, die- materiellen Elementar- teilchen als (echte oder approximative) Singularitaten des Feldes zu erklaren, sind auf Grund der Er- gebnisse der Quantentheorie zwei Einwande zu erheben: Erstens muB z. B. die Existenz korpuskularer Elektronen als grundsatzlich analog der Existenz korpuskularer Lichtquanten aufgefaBt werden ; eine Theorie, welche von der Q u a n t e 1 u n g des elektromagnetischen Feldes absieht, macht sich also einer Unfolgerichtigkeit schuldig, wenn sie gleichwohl die Materie als korpuskular zu beschreiben ver- sucht. Zweitens wissen wir, daB zur Beschreibung von Elektronen und sonstigen Teilchen mit halbzah- ligem Spin S p i n o r f e 1 d e r erforderlich sind: Eine nur mit Tensoren arbeitende Theorie ist also von vornherein auaerstande, von solchen Teilchen Rechenschaft zu geben. Das Problem der Materiestxuktur kann nur als q u a n t e n t h e o r e t i s c h e s Problem angegriffen werden; die Untersuchung der Singularitaten der Losungen der Feldgleichungen b e h a 1 t jedoch in diesem Rahmen erhebliche Be- deu t ung.

Eine folgerichtige Einbeziehung der Materie in die q u a n t e n f r e i e Feldtheorie kann also nur so geschehen, .daB die W e 1 1 e n f u n k t i o n e n der Materie mitberiicksichtigt werden. Ob oder in welchem Umfang dieses Programm durchfuhrbar ist im Sinne einer E r w e i t e r u n g d e r G e o - m e t r i e (wozu die SCHRoDINGERSChen Ideen betreffs des M e s o n f e 1 d e s bedeutungsvolle Ansatze zu geben scheinen), ist eine so weit ausgreifende Frage, daB es angebracht scheint, die hier verfolgten Fragen der Kosmologie davon zunachst ganz zu trennen.

Es ist deshalb durchaus folgerichtig, daB LUDWIG die Eilifiihrung der Materie in die oben dar- gelegte Theorie in provisorischer Weise so vollzogen hat, daB er sie durch ein s k a 1 a r e s W e 1 1 e n - f e 1 d als einfachste Moglichkeit dargestellt hat.

Hiernach wird es moglich, auch ein unserem tatsachlichen Kosmos entsprechendes Modell voll- standig durchzurechnen.

$9. K o s m o 1 o g i e u n d S t e r n e n t s t e h u n g . Die von LUDWIG und MULLER vorgelegte vollstandige Durchrechnung hat zu folgenden Ergebnissen gefuhrt : Setzen wir voraus, daB die Materie praktisch u n b e w e g t ist (in einem entsprechcnden Koordinatensystem), so wachst der Radius e

206 P. JORDAN : Fiinfdimcnsionale Kosmologie

der vierdimensionalen Kugcl, dcren dreidimensionale Oberflache der RrEMANNsche Raum ist, gemaB 2

o . = c t -. f 2 1 - 3 '

fcrner ist, mit ciner noch offen bleibendcn Normierungskonstanten a. :

und die M a s s c n d i c h t

was eine Gesamtweltmasse

. a - 1 I x = 8 , . ___ - - , 1 1 - 3 9 0 ,

o wird '10

e /I, = - ,

M = 2 n2 e2 a,, ergibt. In der Tat ergibt sich also dasjenige Bild des Kosmos im ganzen, welches wir oben vom empi-

rischcn Standpunkt aus als das wahrscheinliche erlautert hatten: Sowohl x als auch p sind u m g e - k c h r t p r o p o r t i o n a l d e m W e l t a l t e r t ; und die Weltmassc w a c h s t r n i t te.

Es wurdc obcn betont, da13 diesc Proportionalitaten im Hinblick auf das E n e r g i e p r i n z i p vernunftig seien, weil eine elementare ubcrlegung zeigt, daI3 hierbei die negative potentielle Energie der Gravitation standig proportional der Weltmassc (= Summe aller Sternmassen) ist, so daB man eine K o m p e n s a t i o n z u e i n e r G e s a m t e n e r g i e N u l l fur dcnkbar halten kann. Aber naturlich konnte erst die wirklichc Durchrechnucg nach den vorausgesetzten exakten relativistischen Feldgleichungen klarstellen, daD die durch diesc elementaren fmerlegungen nahegclegtb Moglichkrit wirklich einwandfrei ausfiihrbar ist.

Setzen wir nun aber voraus, die Materie sei auf so hoher Temperatur, daD sie sich praktisch rnit Lichtgeschwindigkeit bewegt - oder betrachtcn wir eine materiefreic ,,Lichtquantcnwclt " - so bc- kommen wir statt desscn:

' 3 . @ = c t ljz ( I - * ) '

p = bo =const; (6) also Gesamtweltmasse M = z z2 e3 bo.

Hier nimmt also die Gravitationsinvariantc s c h n e 11 e r ab, namlich mit k2; und in einer wiederum der elementaren Energiebetrachtung entsprechenden Weise ergibt sich als daran angepaotes Gesetz eine K o n s t a n z d e r M a s s e n d i c h t e , also Anwachsen der positiven Gesamtmasse rnit t9. Wenn wir unter Beachtung des DIRAcschen Prinzips, wie es oben erlautert wurde, diesem zweiten kosmologischen Modell ebenfalls eine gewisse reale Bedeutung zuschreiben wollen, so mussen wir offenbar fur ,u die ungefahre GroBenordnung der K e r n d i c h t e annehmen. Indem wir dies tun, benutzen wir das fragliche zweite Modell als Unterlage einer T h e o r i e d e r S t e r n e n t s t e h u n g.

Die Hauptaufgabe einer jeden Theorie der Sternentstehung sehen wir in der Beantwortung der Frage, warum es im Kosmos eine recht deutlich ausgepragte o b e r e G r e n ze d e r S t e r n m a s s e n gibt . Diese Aufgabestellung dcr Sternentstehungstheorie war bislang nicht klar erkannt worden - man hat vielmehr immer wieder die obere Grenze der Sternmassen aus S t a b i 1 i t a t s g r u n d e n heraus zu verstehen gesucht, derart, daD man sich vorstellte, noch schwerere Sterne wiirden nicht mehr stationar fur langere Zeit bestehen konnen, sondern etwa zu einer Explosion neigen. Zweifellos ist dies eine volligc Verkennung der Sachlage. Einerseits ist rein empirisch feststellbar, daD auch Sterne, welche die nor- male Grenzmasse merklich iiberschreiten, st ationar existenzfahig sind - da es ja einige Ausnahmefalle solcher Sterne tatsachlich gibt. (Von den umstrittenen TRUMPLER-Sternen sei dabei ganz abgesehen.) Man kann ubrigens vielleicht vermuten, daB die fraglichen Sterne erst durch nachtragliche Vereinigung mehrerer normaler Sterne entstandemsind. - Andererseits erweisen sich theoretische Versuche, eine Instabilitat oder Existenzunfahigkeit ,,iiberschwerer" Sterne zu deduzieren, bei naherer Prufung als verfehlt. Dies gilt z. B. von der aus der bewunderungswiirdigen CHANDRAsEKHARSchen Theorie der entarteten Sterne abgeleiteten These, daD Sterne, die eine gewisse Grenzmasse uberschreiten, nicht be- fahigt seien, zu entarten ').

Wir konnen also eine Antwort auf die eigentliche Hauptfrage der Sterntheorie - warum die Sternmassen nicht uber etwa 1 0 ~ 0 mp hinausgehen - nur von einer theoretischen Analyse der E n t - s t e h u n g s b e d i n g u n g e n der Sterne erwarten. Dabei laDt uns die traditionelle Vorstellung der

1) Vgl. dam ,,Dic Herkunft der Sterne", Kapitel 11.

P. JORDAN : Fiinfdiinensionale Kosmologie 207

Entstehung von Sternen durch Kondensation von Staub- und Gasmaterie vollig im Stich; es bedeutet deshalb eine wichtige Klarung, daB dieser Vorstellung neuerdings auch insofern ihre wichtigste Stiitze entzogen ist, als BAADE 1) zeigen konnte, daB auch die angeblich ,,unaufgelosten" Teile der uns benach- bartenspiralnebel in Wahrheit aus Einzelsternen bestehen - so daB es Spiralnebel, welche ,,noch nicht zu Sternen kondensiert" waren, offenbar gar nicht gibt. Die jetzt zu besprechende Theorie der Stern- entstehung ist die einzige, welche einen Versuch macht, dies zentrale Problem des Massenwertes xo60 m p anzugreifen, und zwar in einer Weise, welche in voller Harmonie steht rnit dem DIRAcschen Prinzip.

Die Raumzeit-Mannigfaltigkeit eines Kosmos, der ein mit konstanter Geschwindigkeit (Radius proportional Zeit) anwachsender RIEMANNscher Raum ist, stellt offenbar einen K e g e 1 dar. Stellen wir uns npn aber vor, daB dieser Kegel, genauer betrachtet, auBer seiner einen Spitze noch viele weitere kleinere Sekundarspitzen habe, die uberall aus dem Kegelmantel herauswachsen (parallel rnit der Haupt- spitze zu denken). Eine Ebene t =const wird dann unter Umstanden diesen ,,Kegel rnit Sekundar- spitzen" in einem m e h r t e i 1 i g e n dreidimensionalen Raum schneiden; d. h. der dreidimensionale Schnitt wird nicht allein aus dem normalen, grooen Kosmos-Raum bestehen, sondern noch zusatzlich aus einem unabhangig davon existierenden kleinen ,,Sonderkosmos", der erst bei spateren Zeitwerten mit dern groBen Kosmos Verbindung aufnimmt und dann schlieBlich ganz in diesem aufgeht.

Nehmen wjr nun insbesondere an, daB dieser Sonderkosmos wiihrend der Dauer seines abge- trennten Bestehens, in seiner ,,V o r g e s c h i c h t e r r oder seinem Embryonalzustand, dem z w e i t e n obigen Modell entspreche. Wahrend dieser Vorgeschichte findet also ein rnit der vom Ursprung des fraglichen RIEMANNschen Raumes ab gerechnete Zeit t , proportionales Anwachsen seines Radius el statt ; die Gravitationskonstante x ist (bis auf Zahlfaktoren der GroBenordnung I) gleich ti2, wenn x und tl in mikrophysikalischen MaBeinheiten gemessen werden. Die M a s s e n d i c h t e p ist k o n - s t a n t von der GroDenordnung I (Kerndichte), die Temperatur so hoch, daB die Elementarteilchen praktisch Lichtgeschwindigkeit haben. Die M a s s e des Sonderkosmos ist wahrend seiner Vorgeschichte - ti. Die Verschmelzung mit dem groBen Kosmos, in welchem x N t-1 ist, kann d a n n stattfinden, wenn x in beiden Raumen gleich groB, also

ist, SO daB beim ,,heutigen" Werte t geradc t ,= 102OElementarzeiten (e 10-3sec) wird; und die Masse M ist dann gleich x060 mp.

D a m i t h a b e n w i r e i n M o d e l l f u r e i n e n d e n k b a r e n V o r g a n g d e r S t e r n e n t s t e h u ng .

$10. z u m S u p e r n o v a - P r o b 1 e m. Die in den letzten Jahren ausgefuhrten Arbeiten von BAADE und MINKOWSKI 2) geben uns heute sehr vie1 festere Unterlagen fur die Beurteilung der Probleme der Sternentstehung, als bei der ersten Darlegung 8) der oben entwickelten Kosmologie zur Verfugung standen. Wir sind jetzt endgiiltig sicher, daQ die Spiralnebel auch in den sog. ,,unaufgelosten" Teilen aus Einzelsternen und nicht etwa aus diffusen Gasmassen bestehen - die traditionelle Vorstellung einer Sternentstehung durch Zusammenballung von Gasmassen verliert dadurch ihre starkste Stutze. An- dererseits sind unsere Kenntnisse uber die drei historischen galaktischen Supernovae vom T n u s I sehr erweitert und vertieft . Ober die erwahnten Arbeiten hinaus verdanke ich freundlichen Mitteilungen von Herrn BAADE dic Kenntnis unveroffentlichter Tatsachen, welche meine Auffassungen wesentlich beeinfluBt haben.

UNS(jLD 4, fiat die ,,kosmologische Physik" bereichert durch die beiden uberraschenden Gedanken, daB 1. neue Sterne noch heute entstehen und 2. die Supernovae mogkicherweise Sternerzeugungen anzeigen.

Insbesondere sollten die B-Sterne auf Grund ihrer chemischen Zusammensetzung und ihrer Hellig- keiten als jugendliche Sterne anzusehen sein; genetische Zusammenhange mit dem Supernovae-Pha- nomen sind angedeutet durch das parallel gehende Auftreten in den S p i r a 1 a r m e n. Ich war durch diese Auffassung UNSOLDS ermutigt, die Supernovae als Erzeugungen im Sinne der obigen Theorie zu betrachten, die also zunachst zur Bildung von B-Sternen fuhren sollten. Jedoch halte ich das jetzt nicht mehr fur wahrscheinlich.

Es sind namlich gerade die in den Spiralarmen gehauften Supernovae solche des Typs 11, der vielleicht nur besonders kraftige gewohnliche Novae umfaBt ; und es sprechen nach BAADE starke Griinde dafur, daD die in den Spiralarmen auftretende ,,Population I", zu der die B- und 0-Sterne gehoren, erst durch einen nachtraglichen Umbildungs-Vorgang aus der ,,Population 11" entstanden ist - wobei es sich vielleicht n i c h t um zusatzliche Neubildung von Sternen handelt, sondern z. B. urn starke Massen-

t ;e =t-' (7)

I) W. BAADE, Astrophys. J. 100.137, 147 (1944). *) W. BAADE, Astrophys. J. 96.188 (1942); 97.119 (1943); 102.309 (1945). - R. MINKOWSKI. Astrophys. J. a) P. JORDAN, Ann. d. Phys: 36.64 (1939). 4, A. UNS~LD, 2. Astrophys. 24.278 (1948). Die entscheidenden Punkte dieser Arbeit wurden mir durch Herrn

96.199 (1942); 97.128 (1943).

UNSOLD freundlicherweise 1944 bekannt gemacht.

208 P. JORDAN : Fiinfdimensionale Kosmologie

zunahme gewisser Sterne durch Aufsammeln von Dunkelmaterie ; hierdurch konnten vermutlich eoen- falls diejenigenTatsachen erklart werden, welche UNS~LD als Griinde fur ein geringes Alter der B-Sterne angefuhrt hat.

Ich mochte deshalb jetzt die Vorstellung bevorzugen, daB gerade die Population 11, welche in den Kugelhaufen sowie in den nicht zu den Armen gehorenden Teilen der Spiralnebel (insbesondere, aber n i c h t n u r , ihren Zentren) auftritt, als urspriingliche anzusehen ist, so daD etwaige Neubildungen sich ihr einordnen sollten. Nun gehoren wohl die Supernovae I in der Tat zur Population 11; und jeden- falls gehoren zu dieser die p 1 a n e t a r i s c h e n N e b e 1 , die man vermutlich als Spuren von Super- novae I deuten darf. Die Hypothcse, dal3 es sich bei diesen Supernovae I in der Tat um Neuerzeugungen handele, scheint diskutabel 1).

Allerdings macht die hier vertretene Theorie n i c h t n o t w e n d i g , daD Neuerzeugungen in den uns beobachtbaren Spiralnebeln noch vorkommen. Man wird ja fur die Spiralnebel eine ahnliche Entstehungsweise annehmen miissen, wie sie oben fur den Einzelstern erlautert wurde: Also Bildung cines zunach5t isolierten Sonderkosmos, in welchem dann at N +l* sein mul3te. (Eine theoretische Deutung dieses Exponenten 4/3 lie@ bislang nicht vor.) In diesem Sonderkosmos sollten dann die Sterne - jeder aus einem s e k u x i d a r e n Sonderkosmos - in der oben beschriebenen Weise entstehen; und es muD zunachst offen bleiben, ob spater, nacherfolgter Eingliederung dcs Spiralnebels in den all- gcmeinen Kosmos, uberhaupt noch nachtragliche Sternbildungen erfolgen. (1st diese Eingliederung - zunachst in der Form eines turbulent explodierenden Haufens von ,,Sterngas" - einmal erfolgt, so bietet das Verstandnis der weiteren Entwicklung zum typischen Spiralnebel nach v. W E I Z S ~ K E R a) keine Schwierigkeiten mehr.)

Unabhangig von dieser Frage scheinen uns zwei Punkte stark zugunstcn der hier betrachteten Theorie der Sternentstehung zu sprechen.

I. Die Untersuchungen uber die kosmische Haufigkeitsverteilung der Elemente und ihre theore- tischen Deutungsmoglichkeiten konvergieren sichtlich gegen die Annahme eines Anfangszustandes, welcher hohe Materiedichte - nicht weit von der Dichte der Kernmaterie - mit hoher Temperatur vereinigte, und welcher dann durch rasche Expansion Auflockerung und Abkuhlung erfuhr. Vgl. die Uberlegungen von UNSOLD (a. a. O.), GAMOW *), JENSEN und SUESS a), KLEIN, BESKOW und TREFFEN- BERG '). Dies ist in schoner Obereinsthnmung mit der hier vertretenen Theorie. Ob es andererseits mit einer Thcorie in Einklang gebracht werden konnte, welche die Bildung der chemischen Elemente in eine hypothetische urspriingliche Vereinigung aller heutc vorhandenen (und als schon damals vorhanden gewesen vorgestellten) Materie verlegt , ist ungewil3.

2. Nachdem bewiesen ist (EHMERT, FORBUSH), daU eruptive Vorgange auf der Sonne kleine Bei- trage zur Hohenstrahlung liefern, ,wird eine verniinftige Deutung dieser Erscheinung kaum umhin konnen, die alte BAADE-ZWICKYsche Theorie wieder aufzugreifen. Novae werden im Verhiiltnis zur sichtbaren Ausstrahlung wesentlich mehr Hohenstrahlung liefern als die Sonne; und Supernovae erst recht. Es muB dann allerdings, da die Energiedichte der Hohenstrahlung bekanntlich Ioomal so groD wie die des aukrgalaktischen Lichtes ist, jeder der fur die Hohenstrahlung in erster Linie verantwort- lichen Sterne etwa 106 ma1 mehr Hohenstrahlung als sichtbares Licht liefern. Damit wird nun die er- forderliche Energielieferung so grol3, da13 ein anderer als der hier erorterte Neubildungsvorgang schwer- lich dazu ausreichen konnte.

BAADE und ZWICKY haben aber seinerzeit mit eindrucksvollen ffberlegungen abgeschatzt , daD auch bei einer Supernova I der sichtbaren Lichtaussendung eine Idmal oder sogar Io6mal grokre kurz- wellige Energielieferung gegenuberstehen sollte. Der einzige Vorgang an einem schon vorhandenen Stern, der diese Energie liefern konnte, ware die damals von diesen Verfassern erwogene totale Um- wandlung in einen Neutronenstern. Aber MINKOWSKIS Untersuchung des K r e b s n e b e 1 s und seines Zentralsterns hat eindeutig ergeben, daD es sich hier zwar um einen weikn Zwerg (extremer Tem- peratur), aber keineswegs um einen Neutronenstern handelt : diese Umstlnde scheinen dafur zu sprechen, daD wir die Supernovae I in der Tat als Neubildungen deuten mussen.

I) B. J. BOK und F.E. REILLY (Astrophys. J. 107.255 [1g47]) habenauf das nichtseltene Vorkommen kleinerisolier- ter Stiicke von Dunkelmaterie hingewiesen, mit Durchmessern von ~ b i s 10 Lichtjahren. Die Ansicht dieser Verfasser. die fraglichen Gzbilde seien kugelfarmig oder elliptisch, ist nach freundlicher Mitteiiung von Herm BAADB allerdings unzutreffend. Vielleicht kannten diese isolierten Materiehhfchen durch den gleichen Vorgang entstanden sein wie die planetarischen Nebel, nur mit dem Unterschied, da6 es zu einem vollstan- digen Zerplatzen, ohne restlichen Zentralstern, gekommen ist.

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*) C. F. v. WEIZS~~CICER, 2. Astrophys. ~4.181 (1947). ') G. GAMOW, Phys. Rev. 70.572 (1946). ') Nach freundlicher persanlicher Mitteilung. b, 0. KLEIN, G. BESKOW, L. TREFFENBERG, Arkiv f . Mat. Astronomi och Fys. 33. Nr. I. - 0. KLRIN, ebencla

34A. Nr. 19.