Fünfer und Zehner 1 - … · Als Kopiervorlage freigegeben © Schulverlag plus AG/Klett und Balmer Verlag AG, 2013 1 | 2 Fünfer und Zehner 1 A201-01 1 ... 5 Mögliche Lösungen:

Lösungen

Als Kopiervorlage freigegeben © Schulverlag plus AG /Klett und Balmer Verlag AG, 2013

1 | 2

www.mathbuch.info

Fünfer und Zehner A201-011

1

A Stapel von 1 m Höhe: 833 · CHF 0.05 ca. CHF 42

B 1 000 Fünfrappenstücke: CHF 50

C 5 kg Fünfrappenstücke: 5 000 g:

1,8 g = 2778 ca. CHF 139

D Mögliche Lösung:

Für eine Pultläche von 45 × 65 cm würden etwa 1 000 Münzen benötigt. ca. CHF 50

2

A Für CHF 0.50, 1.– und 2.– wahr, allgemein falsch

B Falsch

C Wahr

D Wahr

3

Lösungen


2 | 2

www.mathbuch.info

Fünfer und Zehner

4

A Nur die erste Aussage ist falsch.

Der Preis für 100 g ist bei der Packung zu 80 g am höchsten,

bei der Packung zu 250 g am tiefsten.

B Der Preis für 100 g ist bei der Packung zu 250 g am höchsten,

bei der Packung zu 1600 und 1400 g am tiefsten.

C Der Preis für 100 g ist bei der Packung zu 250 g am höchsten,

bei der Packung zu 500 g am tiefsten.

5

Mögliche Lösungen:

Bestimmung

der Schrittlänge

Anzahl Schritte 10

A Umrechnung: Schritte in Meter [m]

B Messung mit dem Messband [m] 7,8

Abweichung (A–B) [m]

Distanz-Messungen

Pausenplatz

(Länge)

Turnhalle

(Länge)

Schulweg

(Länge)

Schulzimmer

(Breite)

36 62 420 6,5

28,10 48,40 327,60 5,10

28,40

0,3

A201-011

Lösungen


1 | 3

www.mathbuch.info

Rechnen – schätzen – überschlagen A203-013

1

A 2 + 3 = 5 4 + 7 = 11 6 + 12 = 18 13 + 14 = 27 25 + 26 = 51 36 + 28 = 64

102 + 208 = 310 100 + 1 002 = 1 102 24 + 2 340 = 2 364

B 9 – 6 = 3 12 – 8 = 4 24 – 16 = 8 32 – 9 = 23 47 – 23 = 24 63 – 48 = 15

100 – 38 = 62 106 – 59 = 47 1 003 – 580 = 423

C 2 · 4 = 8 3 · 40 = 120 60 · 3 = 180 40 · 70 = 2 800 500 · 3 = 1 500

80 · 600 = 48 000 12 · 12 = 144 11 · 9 = 99 14 · 14 = 196 700 · 900 = 630 000

12 · 300 = 3 600

D 37 + 89 = 126 46 + 168 = 214 297 + 36 = 333 476 + 383 = 859

2 784 + 378 = 3 162 5 329 + 6 837 = 12 166 111 + 2 222 = 2 333

E 45 : 9 = 5 56 : 7 = 8 96 : 8 = 12 121 : 11 = 11 360 : 4 = 90 630 : 70 = 9

7 200 : 2 = 3 600 4 900 : 70 = 70 10 000 : 8 = 1 250

F 11 · 14 = 154 23 · 4 = 92 26 · 54 = 1 404 37 · 7 = 259 48 · 76 = 3 648

149 · 35 = 5 215 29 · 754 = 21 866 367 · 592 = 217 264 2 587 · 498 = 1 288 326

G 378 – 179 = 199 436 – 87 = 349 832 – 285 = 547 4 531 – 2 748 = 1 783

5 890 – 3 756 = 2 134 65 422 – 8 075 = 57 347

H 300 : 12 = 25 238 : 17 = 14 207 : 9 = 23 1 058 : 23 = 46 1 112 : 8 = 139

4 002 : 46 = 87 5 103 : 27 = 189 30 135 : 123 = 245

2

Individuelle Lösungen

3

A

754 · 29 = 21 866

B

876 · 54 = 47 304

C

243 · 35 = 8 505

· 700 50 4

20 14 000 1 000 80

9 6 300 450 36

· 800 70 6

50 40 000 3 500 300

4 3 200 280 24

· 200 40 3

30 6 000 1 200 90

5 1 000 200 15

Lösungen


2 | 3

www.mathbuch.info

Rechnen – schätzen – überschlagen

4

B

D

5


6

A Morgens: 100 g Brot, Müesli; dies ergibt zusammen vielleicht 250 g.

Mittags: Suppe, Teigwaren, Gemüse; dies ergibt gegen 500 g.

Abends: Brot und Käse; etwa 300 g

Zwischendurch: vielleicht nochmals 300 g

Pro Tag insgesamt zwischen 1 und 1,5 kg

Im Jahr 400 · 1,2 kg ≈ 500 kg

Im ganzen Leben 30 bis 40 t

Dies entspricht der Ladung eines grossen Lastwagens. Rechnet man das Trinken dazu,

ergeben sich vielleicht 100 t pro Person und Leben.

14 892 + 23 751 = 38 643 mindestens: 14 000 + 23 000 = 37 000

gerundet: 15 000 + 24 000 = 39 000

höchstens: 15 000 + 24 000 = 39 000

123 456 + 234 567 = 358 023 mindestens: 120 000 + 230 000 = 350 000

höchstens: 130 000 + 240 000 = 370 000

gerundet: 120 000 + 230 000 = 350 000

47 315 – 23 729 = 23 586 höchstens: 48 000 – 23 000 = 25 000

mindestens: 47 000 – 24 000 = 23 000

gerundet: 47 000 – 24 000 = 23 000

987 654 – 345 678 = 641 976 höchstens: 990 000 – 340 000 = 650 000

mindestens: 980 000 – 350 000 = 630 000

gerundet: 990 000 – 350 000 = 640 000

356 · 37 = 13 172 mindestens: 300 · 30 = 9 000

höchstens: 400 · 40 = 16 000

gerundet: 400 · 40 = 16 000

5 640 · 8 = 45 120 mindestens: 5 000 · 8 = 40 000

höchstens: 6 000 · 8 = 48 000

gerundet: 6 000 · 8 = 48 000

44 679 : 53 = 843 mindestens: 42 000 : 60 = 700

höchstens: 45 000 : 50 = 900

gerundet: 40 000 : 50 = 800

975 · 246 = 239 850 mindestens: 900 · 200 = 180 000

höchstens: 1 000 · 300 = 300 000

gerundet: 1 000 · 200 = 200 000

97 047 : 789 = 123 mindestens: 90 000 : 900 = 100

höchstens: 100 000 : 500 = 200

gerundet: 90 000 : 900 = 100

82 · 37 046 = 3 037 772 mindestens: 80 · 30 000 = 2 400 000

höchstens: 90 · 40 000 = 3 600 000

gerundet: 80 · 40 000 = 3 200 000

52 716 : 573 = 92 mindestens: 48 000 : 600 = 80

höchstens: 60 000 : 500 = 120

gerundet: 50 000 : 500 = 100

A203-013

Lösungen


3 | 3

www.mathbuch.info

Rechnen – schätzen – überschlagen A203-013

6

B Der Bereich von 5 bis 10 km pro Tag ist realistisch.

Pro Jahr sind das einige tausend Kilometer.

In 20 Jahren etwa einmal um die Welt ist eine gute Bezugsgrösse.

C Ein durchschnittlicher Raucher raucht mindestens 1 Pack Zigaretten pro Tag.

Dies tut er während ungefähr 50 Jahren. Die Kosten bewegen sich im Bereich

von 50 · 400 · 5 ≈ 100 000 Franken.

Wenn man 1 Million Raucherinnen und Raucher annimmt, so ergeben sich

2 Milliarden Franken pro Jahr. Auch 5 Milliarden sind schwer zu widerlegen.

D Variante 1

Aus dem Atlas kann man die 1 000 mm Regen pro Jahr in 1 000 Liter pro m2

übersetzen.

Dies ergibt 105 Liter pro a,

107 Liter pro ha,

109 Liter pro km2 und damit

40 · 103 · 109 ≈ 4 · 1013 Liter pro Jahr.

Variante 2

Der Rhein transportiert im Mittel mehr als 1 000 m3 Wasser pro Sekunde

aus dem Land hinaus.

Nimmt man die doppelte Menge für alle Gewässer der Schweiz, so ergibt sich

2 000 · 3 600 · 24 · 400 ≈ 7 · 1010 m3.

Man bleibt in der Grössenordnung.

7

Die Lösungen von allen Fermi-Fragen im SB hängen von den getrofenen Annahmen

und dem Lösungsweg ab. Bei der Beurteilung ist zu überprüfen, ob die Annahmen

einer sinnvollen Grössenordnung entsprechen und ob der Lösungsweg klar und fehler-

frei ist.

Lösungen


1 | 2

www.mathbuch.info

So klein! – So gross! A204-014

1


2

Eine mögliche Tabelle zum Text «Nach der Geburt»:

Alter Länge Gewicht Trinkmenge

pro Tag

Geburt 51,0 cm 3,4 kg 20– 50 ml

1 Woche 3,6 kg 500– 600 ml

1 Monat 54,5 cm 4,2 kg 600– 900 ml

2 Monate 58,0 cm 5,0 kg 600–1 000 ml

3 Monate 61,5 cm 5,8 kg 600–1 000 ml

4 Monate 65,0 cm 6,6 kg 600–1 000 ml

3

Zehnerpotenzen Vor sätze Symbol Zahlwort Längen Gewichte Hohlmasse

1 000 000 000 000 000 Peta P Billiarde

1 000 000 000 000 Tera T Billion

1 000 000 000 Giga G Milliarde

1 000 000 Mega M Million 1 t = 1 000 000 g

1 000 Kilo k Tausend 1 km = 1 000 m 1 kg = 1 000 g

100 Hekto h Hundert 1 hl = 100 l

10 Deka da Zehn

1 Eins 1 m 1 g 1 l

0,1 Dezi d Zehntel 1 dm = 0,1 m 1 dl = 0,1 l

0,01 Zenti c Hundertstel 1 cm = 0,01 m 1 cl = 0,01 l

0,001 Milli m Tausendstel 1 mm = 0,001 m 1 mg = 0,001 g 1 ml = 0,001 l

0,000 001 Mikro µ Millionstel 1 µm = 0,000 001 m 1 µg = 0,000 001 g 1 µl = 0,000 001 l

0,000 000 001 Nano n Milliardstel

0,000 000 000 001 Piko p Billionstel

0,000 000 000 000 001 Femto f Billiardstel

4


5

A Etwa 15

B Vergleich mit 1 kg Zucker/Mehl (Packung)

C Etwa faustgross. Ein Stein hat etwa die dreifache Dichte von Wasser.

D 1 000 Smarties, 1 000 000 Ameisen

Lösungen


2 | 2

www.mathbuch.info

So klein! – So gross!

6

A Etwa 5 g

B Etwa 1 __ 10

cm2

7

A 1 dl = 10 cl = 100 ml; mehr als 100 Patronen

B 20 cm · 10 cm · 5 cm = 1 000 cm3 = 1 l

8

Mögliche Beispiele

1 mm: Breite eines mitteldicken Filzstiftstriches

1 cm: Breite eines Fingernagels oder Fingers

1 dm: Breite einer WC-Rolle

1 m: Schrittlänge

1 km: entsprechende abgemessene Referenzlänge im Dorf / in der Stadt

9

A Individuelle Lösungen

B Individuelle Lösungen

C ≈ 200 l

D ≈ 10 l

E ≈ 20 Eimer

F Individuelle Lösungen

G Individuelle Lösungen

H Individuelle Lösungen

I 700 g

A204-014

Lösungen


1 | 2

www.mathbuch.info

Koordinaten A206-016

1

A–C Individuelle Lösungen

D In der Nähe von Bordeaux (F) am Atlantik

2

A (2 600 000/1 200 000)

B Alte x-Koordinate + 2 000 000, alte y-Koordinate + 1 000 000

C Im Atlantik östlich der Azoren

3

A «+» bedeutet bei der x-Koordinate rechts des Ursprungs, bei der y-Koordinate

oberhalb des Ursprungs. Entsprechend bedeutet «–» bei der x-Koordinate links

des Ursprungs und bei der y-Koordinate unterhalb des Ursprungs.

B (0 /0)

C Punkte auf der x-Achse haben die y-Koordinate 0.

D Punkte auf der y-Achse haben die x-Koordinate 0.

4

A P1(0 /6) P2(– 6/3) P3(– 6/– 3) P4(0 /– 6) P5(6 /– 3) P6(6 /3)

5

A

B Die Punkte liegen exakt übereinander.

C Die Punkte liegen exakt auf gleicher Höhe.

D Die Punkte haben unterschiedliche Vorzeichen bei der x-Koordinate und gleiche

bei der y-Koordinate.

x5

5

y

Lösungen


2 | 2

www.mathbuch.info

6

A A(2/1) B(6/4) C(6/8)

B A’(2/– 1) B’(6/– 4) C’(6/– 8)

C A’’(– 2/– 1) B’’(– 6/– 4) C’’(– 6/– 8)

D A’’’(– 2/1) B’’’(– 6/4) C’’’(– 6/8)

Diese Koordinaten unterscheiden sich von den Koordinaten in C durch

das Vorzeichen bei der x-Koordinate.

E Individuelle Lösungen

Koordinaten A206-016

Lösungen


1 | 5

www.mathbuch.info

x-beliebig A210-0110

1

A

B

2


I Luc: Es kommen immer vier Würfel dazu. Also hat die fünfte Figur 5 · 4 Würfel,

also 20 Würfel.

Joe: Ich starte mit vier Würfeln. In jeder weiteren Figur kommen vier Würfel dazu.

Die fünfte Figur hat (5 – 1) · 4 + 4 Würfel, also 4 · 4 + 4 Würfel,

also 20 Würfel.

Tom: Ich vergleiche die Zeilen in der Wertetabelle. Die Zahlen in der unteren Zeile

sind immer das Vierfache der Zahlen in der oberen Zeile. Die fünfte Figur

hat also 20 Würfel.

II Luc: Es kommen immer zwei Würfel dazu. Aber in der ersten Figur fehlt

ein Würfel. Also zähle ich 1 weg. Bei der fünften Figur sind es 5 · 2 – 1 Würfel.

Joe: Ich starte mit einem Würfel. In den weiteren Figuren kommen jeweils

zwei weitere dazu. Die fünfte Figur hat (5 – 1) · 2 + 1 Würfel.

Tom: In der unteren Zeile der Wertetabelle hat es immer eines weniger als das

Doppelte der oberen Zeile. In der fünften Figur hat es 5 · 2 – 1 Würfel.

I

II

III

IV

VI

V

Wertetabelle

I Figur 1 2 3 4 5 10

Anzahl Würfel 4 8 12 16 20 40

II Figur 1 2 3 4 5 10


III Figur 1 2 3 4 5 10


IV Figur 1 2 3 4 5 10


V Figur 1 2 3 4 5 10


VI Figur 1 2 3 4 5 10


Lösungen


2 | 5

www.mathbuch.info

2III Luc: Es kommen immer drei Würfel dazu. Die fünfte Figur hat 5 · 3 Würfel.

Joe: Ich starte mit drei Würfeln. In jeder weiteren Figur kommen drei Würfel dazu.

Die fünfte Figur hat (5 – 1) · 3 + 3 Würfel.


sind immer das Dreifache der oberen Zeile. Die fünfte Figur hat 5 · 3 Würfel.

IV Luc: Es kommen immer zwei Würfel dazu. Die erste Figur hat einen mehr.

Also zähle ich 1 dazu. Die fünfte Figur hat 5 · 2 + 1 Würfel.

Joe: Ich starte mit drei Würfeln. In jeder weiteren Figur kommen zwei dazu.



sind immer um 1 grösser als das Doppelte der oberen Zeile. Die fünfte Figur

hat 5 · 2 + 1 Würfel.

V Luc: Es kommen immer zwei Würfel dazu. Die erste Figur hat zwei Würfel mehr.

Also gebe ich 2 dazu. Die fünfte Figur hat 5 · 2 + 2 Würfel.

Joe: Ich starte mit vier Würfeln. Bei jeder weiteren Figur kommen zwei dazu.



sind immer um 2 grösser als das Doppelte der Zahlen in der oberen Zeile.

Die fünfte Figur hat 5 · 2 + 2 Würfel.

VI Luc: Es kommen immer drei Würfel dazu. Die erste Figur hat zwei weniger.

Also zähle ich 2 ab. Die fünfte Figur hat 5 · 3 – 2 Würfel.

Joe: Ich starte mit einem Würfel. In jeder weiteren Figur kommen drei dazu.



sind immer um 2 kleiner als das Dreifache der oberen Zeile. Die fünfte Figur

hat 5 · 3 – 2 Würfel.

B, C Individuelle Lösungen

3

A 12. Figur hat 34 Würfel, 20. Figur hat 58 Würfel

C Term Luc: x · 3 – 2

3 · 3 – 2 = 7 12 · 3 – 2 = 34 20 · 3 – 2 = 58

Term Joe: 1 + 3 · (x – 1)

1 + 3 · (3 – 1) = 7 1 + 3 · (12 – 1) = 34

1 + 3 · (20 – 1) 58

Term Tom: 3x – 2

3 · 3 – 2 = 7 3 · 12 – 2 = 34 3 · 20 – 2= 58

D Mögliche Lösungen:

I 4 · x oder 4 · (x – 1) + 4

II 2 · x – 1 oder 2 · (x – 1) + 1

III 3 · x oder 3 · (x – 1) + 3

IV 2 · x + 1 oder 2 · (x – 1) + 3

V 2 · x + 2 oder 2 · (x – 1) + 4

VI 3 · x – 2 oder 3 · (x – 1) + 1


Lösungen


3 | 5

www.mathbuch.info


4


5

A

B Figurenfolge: individuelle Lösungen

Term 5x – 3

C Figurenfolge: individuelle Lösungen

Figur 1 2 3 4 5 10


6

A Figurenfolge I

Figur 1 2 3 4 5 10 3(x – 1) + 2

Anzahl Würfel 2 5 8 11 14 29 3x – 1

Figurenfolge II

Figur 1 2 3 4 5 10 5(x – 1) + 3

Anzahl Würfel 3 8 13 18 23 48 5x – 2

Figurenfolge III

Figur 1 2 3 4 5 10 7(x – 1) + 4

Anzahl Würfel 4 11 18 25 32 67 7x – 3

B

Die Folgen werden jeweils ein Stockwerk höher.

Das hat zur Folge, dass im Vergleich zur vorangehenden jeweils

mit einem Würfel mehr gestartet wird und dann 2 mehr dazukommen.

Vergleicht man in der Wertetabelle die Unterschiede der zweiten Zeilen,

dann wird dieser Unterschied regelmässig grösser.

Figur 1 2 3 4 5 10 x

Anzahl Würfel 1 5 9 13 17 37 4x – 3

Lösungen


4 | 5

www.mathbuch.info

6

B Figurenfolge IV

Figur 1 2 3 4 5 10 9 (x – 1) + 5

Anzahl Würfel 5 14 23 32 41 86 9x – 4

Figurenfolge V

Figur 1 2 3 4 5 10 11 (x – 1) + 6

Anzahl Würfel 6 17 28 39 50 105 11 x – 5

C Die erste Figur wird von Folge zu Folge immer um einen Würfel grösser.

Die Zunahme wird von Folge zu Folge immer um 2 grösser.

7

Figurenfolge I

Figur 1 2 3 4 5 20 x

Anzahl Würfel 2 7 12 17 22 97 5x – 3

Figurenfolge II

Figur 1 2 3 4 5 20 x

Anzahl Würfel 2 4 6 8 10 40 2x

Figurenfolge III

Figur 1 2 3 4 5 20 x

Anzahl Würfel 4 8 12 16 20 80 4x

Figurenfolge IV

Figur 1 2 3 4 5 20 x

Anzahl Würfel 1 3 5 7 9 39 2x – 1

Figurenfolge V

Figur 1 2 3 4 5 20 x

Anzahl Würfel 3 5 7 9 11 41 2x + 1

Figurenfolge VI

Figur 1 2 3 4 5 20 x

Anzahl Würfel 5 7 9 11 13 43 2x + 3


Lösungen


5 | 5

www.mathbuch.info


8 Sichtbare und unsichtbare Würfelflächen

A

B Die Anzahl der sichtbaren und die Anzahl der unsichtbaren Würfellächen ergeben

zusammen die Anzahl aller Würfellächen.

4x + 1 + (2x – 1) = 6x

9

A

B

C

10

A 2x + (x + 1) = 3x + 1

Milena: Es gibt bei jedem Schritt zwei rote Würfel dazu, also 2x. Bei jedem Schritt

kommt ein weisser Würfel dazu. Einen weissen Würfel gibt es zusätzlich.

Dominik: Es kommen immer drei dazu, gestartet wird mit einem Würfelchen.

B 2x + (x + 1) = 3x + 1

Ja: Der erste Term lässt sich vereinfachen: 2x + x + 1 = 3x + 1.

Man kann auch einige Zahlen einsetzen und überprüfen:

2x + x + 1 = 3x + 1.

mit 5: 2 · 5 + 5 + 1 = 16 3 · 5 + 1 = 16

mit 10: 2 · 10 + 10 + 1 = 31 3 · 10 + 1 = 31

Figur 1 2 3 4 5 10 x

Anzahl Würfel 1 2 3 4 5 10 x

Anzahl aller Würfellächen 6 12 18 24 30 60 6 · x

Anzahl der sichtbaren Würfellächen 5 9 13 17 21 41 4x + 1

Anzahl der unsichtbaren Würfellächen 1 3 5 7 9 19 2x – 1

Figur 1 2 3 4 5 10 x

Anzahl Würfel 1 2 3 4 5 10 x




Figur 1 2 3 4 5 10 x

Anzahl Würfel 2 4 6 8 10 20 2 · x




Figur 1 2 3 4 5 10 x

Anzahl Würfel 3 6 9 12 15 30 3 · x




Lösungen


1 | 4

www.mathbuch.info

Knack die Box A211-0111

1


2

B In jeder roten Box liegen 3, in jeder blauen 2 Hölzchen.

D Beispiele von Aufgaben, die sich nicht lösen lassen:

Die letzte Aufgabe wird lösbar, wenn ein Hölzchen zerbrochen werden darf.

3

A Anordnung A gehört zu Gleichung 4.

Anordnung B gehört zu Gleichung 2.

Anordnung C gehört zu Gleichung 1.

B Zu Gleichung 3 gehört die Boxenanordnung

C Gleichung zu Aufgabe 1: 2 · x + 5 = 3 · y + 3

Gleichung zu Aufgabe 2: y + 3 = 3 · x und 2 · y = 3 · x

4

A–C

5


Anzahl in einer blauen Box 2 5 8 11 14 59

Anzahl in einer roten Box 2 4 6 8 10 40

= =

= =

= =

und

und

und

helle Box dunkle Box

=

Anordnung Tabelle Gleichung

A 3 3 · x = y

B 4 x = y + 2

C 1 x + 2 = y

=

2 x = 3 · y

Lösungen


2 | 4

www.mathbuch.info

6

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

x y

=

=

=

=

=

=

=

=

=


Lösungen


3 | 4

www.mathbuch.info


7

Tabelle 1

Anzahl Hölzchen

in einer blauen Schachtel

1 2 3 4 5=

y = x + 3

Anzahl Hölzchen

in einer roten Schachtel

4 5 6 7 8

Tabelle 2

Anzahl Hölzchen


2 4 6 8 10=

x = 2 · y

Anzahl Hölzchen


1 2 3 4 5

Tabelle 3

Anzahl Hölzchen


1 2 3 4 5=

y = 2 · x

Anzahl Hölzchen


2 4 6 8 10

Tabelle 4

Anzahl Hölzchen


0 1 2 3 …=

y + x = 10

Anzahl Hölzchen


10 9 8 7 …

8

x = 2 · y

Liv und Vera haben dieselbe Situation gelegt.

Vera beginnt den Satz in einer blauen Box …

Liv beginnt den Satz in einer roten Box …

Wenn es in der blauen doppelt so viele hat wie in der roten,

dann hat es in der roten halb so viele wie in der blauen.

9

A Mögliche Lösungen:

I In einer roten Box liegen vier mehr als in einer blauen.

In einer blauen Box liegen vier weniger als in einer roten.

II In einer roten Box liegen doppelt so viele wie in einer blauen.

In einer blauen Box liegen halb so viele wie in einer roten.

III In einer blauen Box liegen doppelt so viele wie in einer roten.

In einer roten Box liegen halb so viele wie in einer blauen.

IV In einer blauen Box liegen drei mehr als in einer roten.

In einer roten Box liegen drei weniger als in einer blauen.

V In einer roten Box liegen zwei mehr als in einer blauen.

In einer blauen Box liegen zwei weniger als in einer roten.

VI In einer roten Box liegen dreimal so viele wie in einer blauen.

In einer blauen Box liegt ein Drittel so viele wie in einer roten.

=

Lösungen


4 | 4

www.mathbuch.info

9

B «Mehr als» bedeutet addieren – «weniger als» bedeutet subtrahieren.

Es ist die Umkehrung des Addierens.

«Mal so viel wie» oder «so viel wie» deutet auf eine Multiplikation,

«ein Viertel von» deutet auf eine Division. Es ist die Umkehrung der Multiplikation.

10

Verschiedene Formulierungen sind möglich. Z. B.:

I In einer roten Box liegen viermal so viele wie in einer blauen.

In einer blauen Box liegt nur ein Viertel so viele wie in einer roten.

II In einer roten Box liegen zwei mehr als doppelt so viele wie in einer blauen.

In einer blauen Box liegt die Hälfte des um 2 verkleinerten Inhalts einer roten Box.

III In einer blauen Box liegen zwei mehr als doppelt so viele wie in einer roten.

In einer roten Box liegt die Hälfte des um 2 verkleinerten Inhalts einer blauen Box.

IV In einer roten und in einer blauen Box liegen insgesamt fünf Hölzchen.

(Hier gibt es keine zweite Text-Variante.)

V In einer blauen Box liegen fünf mehr als in einer roten.

In einer roten Box liegen fünf weniger als in einer blauen.

VI In einer roten Box liegen zwei mehr als dreimal so viele wie in einer blauen.

In einer blauen Box liegt ein Drittel des um 2 verkleinerten Inhalts einer roten Box.

11 Kopiervorlage Quartettkarten

Anordnung 1, Gleichung 2, Tabelle 4 und Text 1 gehören zusammen.




12

G1 = G4 = G6, dazu passen T4, T9.

G2, dazu passen T1, T7.

G3 = G7, dazu passen T2, T6.

G5, dazu passt T3.

G8, dazu passen T8, T10.

Die Gleichung zu T5 lautet: x = y


Lösungen


1 | 4

www.mathbuch.info

Parallelogramme und Dreiecke A212-0112

1

A Flächen I und IV sind gleich gross,

Flächen II, III und V sind gleich gross.

B, C Individuelle Lösungen

D Fläche bei I und IV: A = 6 cm2

Fläche bei II, III und V: A = 4,5 cm2

2

B Die beiden gegenüberliegenden Seiten sind parallel, zwei Figuren sind rechtwinklig,

zwei Figuren haben gleich lange Seiten, Parallelogramm und Rechteck sind

gleich gross. Das Parallelogramm ist doppelt so gross wie der Rhombus. Rhombus

und Quadrat haben gleich lange Seiten, …

Quadrat: A = 25 cm2 u = 20 cm

C, D Quadrat: A = 25 cm2 u = 20 cm

Rhombus: A = 20 cm2 u = 20 cm

Rechteck: A = 40 cm2 u = 26 cm

Parallelogramm: A = 40 cm2 u = 32 cm

3

Parallelogramm: A = 12 cm2

4

A Rhombus: A = 24 cm2 u = 24 cm

Rechteck: A = 24 cm2 Höhe = 6 cm oder 4 cm u = 20 cm

Quadrat: A = 16 cm2 Höhe = 4 cm u = 16 cm

Parallelogramm: A = 12 cm2 u = 20 cm

Rhombus: a = 7 cm u = 28 cm

B Weil in Quadrat und Rechteck die Seiten senkrecht aufeinander stehen,

ist die eine Seite immer auch die Höhe, die auf der anderen Seite steht.

C Weil in Quadrat und Rechteck die Seiten senkrecht aufeinander stehen,

ist die eine Seite immer auch die Höhe, die auf der anderen Seite steht.

5

Mögliche Lösung:

6

I gleichschenklig A = 31 cm2

II stumpfwinklig A = 22 cm2

III rechtwinklig A = 24 cm2

c

abhc

hb

c

ab

ha

c

ab

Lösungen

Als Kopierv♦�✁✂✄☎ ✆�☎✝✄☎✄☎✞☎✟ © Schulverlag plus AG /Klett und Balmer Verlag AG, 2013

2 | 4

www.mathbuch.info

7

A

B In der Zeichnung die Höhe auf b eintragen und die Höhe messen.

Gleichschenklig A = 10,2 cm2

8

A–C I

Rechtwinkliges Dreieck A = 6 cm2 u = 12 cm

a c

bC A

hb

a

c b

C

A

B

ha


Lösungen

Als Kopierv✠✡☛☞✌✍ ✎✡✍✏✌✍✌✍✑✍✒ ➞ ✓✔✕✖☛✗✍✡☛☞✌ ❡☛✖✘ ✙✚ /❑☛✍✛✛ ✖✒✜ ✢☞☛✣✍✡ ✤erlag AG, 2013

3 | 4

www.mathbuch.info


8

II

2. Lösung, wenn das Dreieck im Uhrzeigersinn orientiert ist.

Spitzwinkliges Dreieck A = 15 cm2 u = 18,2 cm

III

Gleichseitiges Dreieck A = 7 cm2 u = 12 cm

IV

V hb = 5 cm

Alle Dreieckstypen (ohne gleichseitig) sind möglich. Ecke B liegt auf

der Parallele zu b im Abstand von 5 cm.

a

c

b

C

A B

hc

a

c b

C

A

B

ha

a

c

b

C

A B

hc

C'

Lösungen

Als Kopierv✥✦✧★✩✪ ✫✦✪✬✩✪✩✪✭✪✮ ✯ ✰✱✲✳✧✴✪✦✧★✩ ✵✧✳✶ ✷✸ /✹✧✪✺✺ ✳✮✻ ✼★✧✽✪✦ ✾erlag AG, 2013

4 | 4

www.mathbuch.info

9

I Ja: Jede Diagonale teilt ein Viereck in zwei Dreiecke.

II Ja: Jedes Vieleck lässt sich in Dreiecke aufteilen.

III Nein: Gekrümmte Linien lassen sich nicht so berechnen.

10

A Alle Parallelogramme haben die gleiche Fläche.

B Bei einer Teilung durch eine Diagonale entstehen zwei lächengleiche Dreiecke.

Ist der kleinere Winkel im Parallelogramm < 60 °, entstehen durch die Teilung

mit der kürzeren Diagonalen zwei spitzwinklige Dreiecke. Wählt man die längere

Diagonale, sind die Dreiecke stumpfwinklig.

Ist der kleinere Winkel grösser als 60° und kleiner als 90 °, entstehen bei der

Halbierung durch eine Diagonale immer zwei spitzwinklige Dreiecke.

C Je zwei Dreiecke sind gleich.

11

Mögliche Lösung:

5

4

4

5

10cm²10cm²

10cm²10cm²

2,5

2,5

2,5

2,5


65

Hinweise Lösungen

1

B Mögliche Lösungen:

Mit folgenden Anzahlen lassen sich auf mehr als zwei Arten Quader bauen:

12 = 6 · 2 · 1 = 4 · 3 · 1 = 2 · 2 · 3

16 = 4 · 4 · 1 = 4 · 2 · 2

18 = 6 · 3 · 1 = 3 · 3 · 2

20 = 5 · 4 · 1 = 5 · 2 · 2

24 = 6 · 4 · 1 = 6 · 2 · 2 = 4 · 3 · 2

Ebenso lassen sich mit 30, 32, 36 und 40 Würfeln verschiedene Quader bauen.

Weitere Quader wären möglich, wenn längere Kantenlängen erlaubt wären.

2

A, B Der grösstmögliche Würfel besteht aus 27 Holzwürfeln (Seitenlänge 3).

Die Oberfl äche des 3-mal-3-mal-3-Würfels besteht aus 6 · 9 = 54 Quadratfl ächen.

Würfel entlang

einer Kante

Anzahl benötigte

Würfel

Anzahl Seitenfl ächen der

kleinen Würfel auf der Oberfl äche

1 1 6

2 8 24

5 125 150

10 1 000 600

20 8 000 2 400

30 27 000 5 400

50 125 000 15 000

x x3

6x2

3

A Stecknadelkopf, Wassertropfen, Sandkorn

B Radiergummi, (kleine) Himbeere, (kleiner) Spielwürfel

C Melone, Buch, 1 l Milch, Blumentopf

D Stier, (grosser) Käsekessel, Badewanne, Schrank, Baumstamm

4

A Alle Quader haben das gleiche Volumen: V = 512 cm3

B Die kleinste Oberfl äche hat der würfelförmige Quader: S = 384 cm2

C Die grösste Oberfl äche hat der stangenförmige Quader: S = 1 032 cm2

5

Beispiel: a = 2 cm, b = 3 cm, c = 5 cm

V = 30 cm3 S = 62 cm

2

A V = 60 cm3 Je nach verdoppelter Seitenlänge

B V = 120 cm3 Je nach verdoppelter Seitenlänge

C V = 240 cm3 S = 248 cm2

D V = 810 cm3 S = 558 cm2

In der Aufgabe wird das übliche Vorgehen

bei der Volumenberechnung von Quadern

(a · b · c) umgedreht, indem vom Volumen

ausgegangen wird und entsprechende

Kantenlängen gesucht werden.

Zahlen, die sich in Faktoren grösser als

1 und kleiner als 8 zerlegen lassen, können

mit nicht stangenförmigen Quadern dar-

gestellt werden.

1

Wesentliche Erkenntnis: Das Volumen

wächst viel schneller als die Seitenlängen

eines Würfels. Würfel mit den Seitenlängen

1, 2, 3, 4, 5, 6 … cm sind 1, 8, 27, 64,

125, 216 … cm3 gross. Mit der entsprechen-

den Anzahl kleiner Würfel lassen sich

grössere Würfel bauen.

2

Je nach Lernstand der Klasse kann diese

Aufgabe nur mit selbst gewählten Zahlen

oder auch allgemein bearbeitet werden.

5

13Mit Würfeln Quader bauen


2 | 3

www.mathbuch.info

Lösungen

Mit Würfeln Quader bauen A213-0113

5

E V = 1 960 cm3 S = 992 cm2

F V = 30 · x3 cm3 S = 62 · x2 cm2

Allgemein: V = a · b · c S = 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

A V = 2 · a · b · c Zwischen 1- und 2-mal so gross

B V = 4 · a · b · c Zwischen 2- und 4-mal so gross

C V = 8 · a · b · c S = 4 · (2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c)

D V = 27 · a · b · c S = 9 · (2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c)

E V = 64 · a · b · c S = 16 · (2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c)

F x3 · abc S = x2 · (2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c)

6

A Alle vier Quader haben die gleiche Oberläche: S = 216 cm2

B Grösstes Volumen: Quader C V = 216 cm3

Zweitgrösstes Volumen: Quader B V = 182 cm3

Drittgrösstes Volumen: Quader D V = 180 cm3

Kleinstes Volumen: Quader A V = 141 cm3

7

Rand Länge Breite Grundläche Randläche Volumen

0 cm 24 cm 16 cm 384 cm2 0 cm2 0 cm3

1 cm 22 cm 14 cm 308 cm2 72 cm2 308 cm3

2 cm 20 cm 12 cm 240 cm2 128 cm2 480 cm3

3 cm 18 cm 10 cm 180 cm2 168 cm2 540 cm3

4 cm 16 cm 8 cm 128 cm2 192 cm2 512 cm3

5 cm 14 cm 6 cm 84 cm2 200 cm2 420 cm3

6 cm 12 cm 4 cm 48 cm2 192 cm2 288 cm3

7 cm 10 cm 2 cm 20 cm2 168 cm2 140 cm3

8 cm 8 cm 0 cm 0 cm2 128 cm2 0 cm3

8

Höhe Breite Länge Volumen Oberläche

x = 14,85 – A2 = 21 – 2 ∙ A2 = A2 ∙ B2 ∙ C2 2 ∙ (A2 ∙ B2 + A2 ∙ C2 + B2 ∙ C2)

0,25 14,6 20,5 74,8 616,2

0,5 14,35 20,0 143,5 608,4

0,75 14,1 19,5 206,2 600,3

1,0 13,85 19,0 263,2 592,0

1,25 13,6 18,5 314,5 583,5

1,5 13,35 18,0 360,5 574,7

1,75 13,1 17,5 401,2 565,6

2,0 12,85 17,0 436,9 556,3

2,25 12,6 16,5 467,8 546,8

Lösungen


3 | 3

www.mathbuch.info

Mit Würfeln Quader bauen A2x13-0113

9

Einige Präzisierungen zum Flechtkörper:

Wir lechten drei Stränge ■ «vorne – oben – hinten – unten»

■ «links – unten – rechts – oben» und

■ «vorne – rechts – hinten – links».

■ Jeder Streifen wechselt dauernd von «oben durch» nach «unten durch».

■ Beim Flechten beginnt man mit Vorteil mit allen drei Streifen gleichzeitig.

■ Gegenüberliegende Flächen haben dieselbe Farbe.

■ Verschiedene Farbpaarungen ergeben zueinander senkrechte Kanten.

Kopfgeometrie: Würfel kippen

10

10 10

9

9

9

9

8

8

8

8

8

88

7

7

8

7

6

6

6

5

5

7

6

6

6

5

5

3

5

6

3

3

6

5

6

5

7

6

5

5

4

4

4

2

2

2

3

4

4

4

3

3

3

8

6

6

6

5

3

5

6

3

37

7

10

9

9

8

8

8

8

7

7

7

8

7

9

8

7

6

6

5

5

8

76

5

7

8

6

6

5

7

6

5

6

5

76

5

7

3

6

5

2

3

4

4

6

5

7

8 7 8 7 8 9 10

Start

Lösungen


1 | 4

www.mathbuch.info

Wasserstand und andere Graphen A214-0114

1


2


3

4


5

Die Linie ist eine Strecke durch den Ursprung des Koordinatensystems;

die Füllhöhe ist proportional zur Füllzeit.

6

Bei gleicher Füllzeit ist die Pegelhöhe beim breitesten Gefäss am kleinsten.

Oder anders ausgedrückt: Das schmalste Gefäss ist am schnellsten gefüllt.

Füllhöhe in mm

Füllmenge

Füllhöhe in mm

Füllmenge

Füllhöhe

✘�✁✂

Lösungen


2 | 4

www.mathbuch.info

7

A Tabelle I

Tabelle II

Tabelle III

Mögliche Gefässe

C Tabelle I: proportional

Tabelle II: nicht proportional

Tabelle III: nicht proportional

0 50 100

40

50

60

30

20

10

0150 200 250 300

Füllhöhe [mm]

Füllmenge [ml]

0 50 100

80

100

120

60

40

20

0150 200 250 300

Füllhöhe [mm]

Füllmenge [ml]

0 50 100

150

200

250

100

50

0150 200 250 300

Füllhöhe [mm]

Füllmenge [ml]


Lösungen


3 | 4

www.mathbuch.info


8

9

A Mögliche Beschreibung:

Nach dem Start verursacht die lang gezogene Kurve, dass die volle Geschwindigkeit

nicht erreicht wird. Darauf folgt eine einigermassen gerade Strecke, wo das Auto

mit etwa 50 km/h fahren kann. Ungefähr nach der Hälfte des Weges sorgt eine enge

Kurve dafür, dass die Geschwindigkeit vorübergehend stark gedrosselt werden

muss. Die Reststrecke bis zum Schulhaus ist wieder fast gerade, so dass sie mit voller

Geschwindigkeit zurückgelegt werden kann.

B Ein Graph könnte ungefähr so aussehen:

10

Läufer A startet relativ schlecht, wird aber dauernd schneller und überholt Läufer B

kurz v♦✄ ☎✆✝ ✞✟✆✠✡

Läuf✆✄ ❡ ✠☛☞✌✍ ✎✆✏✄ ✑♦✒✎✍✓✒✍ ☞✒☎ ✔✟✄☎ ✑☞✄✉ ✕♦✄ ☎✆✝ ✞✟✆✠ ✒♦✖✏ ✕♦✒ ✗☛☞✌✆✄ ✙ ✚✛✆✄✏♦✠✍✡

Läuf✆✄ ✜ ✎✍✓✄✍✆✍ ☛☞✎✎✆✄st schnell, liegt bis 250 m v♦✄ ☎✆✝ ✞✟✆✠ ✟✒ ✢✚✏✄☞✒✣✤

✎✍✚✄✉✍ ☎✓✒✒ ✕✆✄✝☞✍✠✟✖✏ ✓✒ ✆✟✒✆✄ ✥✚✄☎✆✤ ✛✠✆✟✛✍ ✛✟✎ ✆✍✔a zur 50. Sekunde dort und läuft

anschliessend doch noch zügig ins Ziel. Er erreicht das Ziel nach 70 Sekunden.

Stückzahl

D

Grösse

B

Lärmpegel

Zeit

A

Preis

Zeit

E

Gewinn

Preis

C

Ge✦✧★✩✪

Preis

I

IV

II

V

III

20

200 400 600 800 1000 1200

40

60

Geschwindigkeit [km/h]

Distanz vom Wohnort [m]

Lösungen

❆✫✬ ✭✮✯✰✱✲✳✮✲✫✴✵✱ ✶✲✱✰✵✱✵✱✷✱✸ ➞ ✹✺✻✼✫✳✱✲✫✴✵ ✯✫✼✬ ❆✽ /✭✫✱❑❑ ✼✸✾ ✿✴✫❀✱✲ ❁erlag AG, 2013

4 | 4

www.mathbuch.info

11

A Rundkurs 1: Ein gleichbleibendes Tempo ist möglich.

Rundkurs 2: Für die zwei Richtungsänderungen um 180° muss die Geschwindigkeit

relativ stark reduziert werden.

Rundkurs 3: Für alle drei Kurven muss die Geschwindigkeit reduziert werden,

am wenigsten stark in der dritten Kurve.

B

12

A Rundstrecke B (evtl. Rundstrecke E)

B

Distanz zu S

Geschwindigkeit

zurückgelegte Strecke

S S

Geschwindigkeit


S S

GeschwindigkeitIII


S S

Geschwindigkeit


S S

GeschwindigkeitIVIII


S S

Geschwindigkeit


S S

GeschwindigkeitVIV


73

Hinweise Lösungen

15Kosten berechnen

1

A Z. B. CHF 8.00. Damit werden je Sandwich etwa CHF 3.00 Gewinn erwirtschaftet.

Dies entspricht einem Gewinn von ca. CHF 60.00, falls alle Sandwiches

verkauft werden.

B

C Preislich am meisten ins Gewicht fällt der Einkauf der Trutenbrustfi lets,

die nur in 4er-Packungen gekauft werden können. Für 29 oder 30 Sandwiches

braucht man also gleich viele 4er-Packungen mit Trutenbrustfi lets.

D Bei 5 Stück: ca. CHF 8.00

Bei 10 Stück: ca. CHF 6.00



Relativ günstig ist der Stückpreis bei Stückzahlen von 4, 8, 12, 16, 20, …,

also bei Stückzahlen, die durch 4 geteilt werden können, weil die Trutenbrustfi lets

jeweils für vier Sandwiches gekauft werden. Besonders günstig sind 36 Sandwiches.

2

A Marc verdoppelt und nimmt dann den 10. Teil vom Doppelten.

Er zählt dann die drei Werte zusammen.

Roger berechnet zuerst den 5. Teil und verdoppelt dann viermal.

Urs berechnet zuerst den 5. Teil, verzehnfacht dann, addiert dazu den

ersten Betrag und zuletzt noch den Betrag für 50 g.

B

C Beispiele: Die Werte können mit dem Graphen oft nur ungefähr bestimmt werden.

100 g ca. 2.20 (exakt 2.25)

200 g 2.50 (das ist der exakte Wert)

400 g 9.00

Die Aufgabe kann auch mithilfe von

Tabellenkalkulationen gelöst werden. Im

Wesentlichen benötigt man dazu die

Ad ditionen sowie eine Formel, die aus der

Anzahl Sandwiches die Kosten für einen

Artikel berechnet. Wenn in Feld A13 die

Anzahl Sandwiches steht, kann die Formel

für Butter lauten:

= GANZZAHL(($A13 + 19) / 20)*3.8

Damit werden für die Butterkosten für

1 bis 20 Sandwiches CHF 3.80 berechnet,

für 21 bis 40 Sandwiches CHF 7.60.

1 2

Stück

5

Stück

10

Stück

20

Stück

50

Stück

Trutenbrustfi lets 8.80 17.60 26.40 44.00 114.40

Butter 3.80 3.80 3.80 3.80 11.40

Tomaten 4.80 4.80 4.80 4.80 14.40

Toastbrot 3.50 3.50 7.00 10.50 24.50

Senf 3.50 3.50 3.50 7.00 10.50

Eier 4.60 4.60 9.20 18.40 41.40

Eisbergsalat 2.50 2.50 2.50 2.50 5.00

Total Kosten [CHF] 31.50 40.30 57.20 91.00 221.60

pro Stück 15.75 8.05 5.70 4.55 4.45

Den Lernenden soll bewusst werden, dass

die Anzahlen in beiden Spalten multipliziert /

dividiert bzw. entsprechende Anzahlen

addiert / subtrahiert werden können. Ist ein

proportionales Wertepaar bekannt, können

daraus unendlich viele weitere berechnet

werden.

2

Gewicht (g) Preis (CHF) Gewicht (g) Preis (CHF) Gewicht (g) Preis (CHF)

120 2.70 120 2.70 120 2.70

20 0.45 600 13.50 240 5.40

100 2.25 100 2.25 480 10.80

500 11.25 500 11.25 20 0.45

500 11.25

Lösungen


2 | 3

www.mathbuch.info

3

A Beispiele zu weiteren Wertepaaren:

500 g € 10.00

50 g € 1.00

Situation A

B Beispiele zu weiteren Wertepaaren:

40 €/kg 500 g

10 €/kg 2 kg

Situation B

C Beispiele zu weiteren Wertepaaren:

40 €/kg € 10

10 €/kg € 2.50

Situation C

4

Uhr: CHF 75 Sprite: CHF 3.75 Fahrrad: CHF 800

Mögliche Argumente bei der Preisfestlegung:

■ Die Währung soll für den Kunden keine Rolle spielen.

■ Der Händler möchte vorwiegend in EUR einkassieren und bei Zahlungen in CHF

mit Gewinn wechseln können.

0 100 200

6.00

7.00

8.00

5.00

4.00

3.00

2.00

1.00

0.00300 400

[€]

[g]

0 5 10 15 20

1400

1600

1200

1000

800

600

400

200

025 30

[g]

[€/kg]

0 5 10 15 20

10

8

6

4

2

025 30

[€]

[€/kg]

Kosten berechnen A215-0115

75

Hinweise Lösungen

15Kosten berechnen

5

A Grün: Für 150 GBP musste man 239.50 CHF bezahlen.

Rot: Für 200 EUR musste man 268.70 CHF bezahlen.

Blau: Für 250 USD musste man 251.25 CHF bezahlen.

B CHF 201.– CHF 1 074.70

C Individuelle Lösungen

6

A 100 durch den jeweiligen Wechselkurs dividiert (Randspalte)

Man könnte einigen interessierten und

leistungsstarken Lernenden die Frage

stellen, was geschieht, wenn man CHF 1000

in EUR wechselt, dann wieder in CHF,

dann wieder in EUR …

5

Weil hier ein bestimmter Betrag in CHF

gewechselt wird, muss dieser Betrag durch

den Wechselkurs dividiert werden. Wird

ein Betrag in einer Fremdwährung verkauft,

wird dieser mit dem Wechselkurs multi-

pliziert.

Lernende mit Lernschwierigkeiten können

diese Aufgabe auslassen.

6

Schweizer Franken Fremdwährungen

[CHF] [USD] [EUR] [GBP] [JPY]

100 99.50 74.45 62.65 8 410.00

200 199.00 148.85 125.25 16 821.00

500 497.50 372.15 313.20 42 052.00

1 000 995.00 744.30 626.35 84 104.00

2 000 1 990.00 1 488.65 1 252.75 168 209.00

3 500 3 482.50 2 605.15 2 192.30 294 365.00

1 0.9950 0.7445 0.6264 84.104

x 0.9950 · x 0.7445 · x 0.6264 · x 84.104 · x

Literatur

■ Jundt, Werner; Wälti, Beat, 2011, Mathematische Beurteilungsumgebungen Sek I / 1, «Proportionalität», S. 24 – 27, «Kostenberechnung», S. 36 – 39,

Schulverlag plus AG, Bern

Lösungen


1 | 4

www.mathbuch.info

Wie viel ist viel? A216-0116

1

Von Bild zu Bild werden die abgebildeten Strecken um den Faktor 10 verkleinert.

Das Volumen des nächstgrösseren Würfels ist jeweils 10 ∙ 10 ∙ 10 = 1 000 Mal grösser.

Anstatt die Masse in cm3 anzugeben, könnte man auch schreiben: 1 cm3, 1 dm3,

1 m3, 1 000 m3, 1 000 000 m3, 1 km3. 1 km3 ist daher 1015 cm3 bzw. 1 Billiarde cm3.

Eine mögliche Textfolge zu den Strecken kann sich an den Bildern orientieren:

1 cm: Kantenlänge eines Würfels

10 cm: Höhe eines Bechers

100 cm: Länge einer Pultkante

1 000 cm: Höhe eines Hauses

10 000 cm: Länge eines Fussballplatzes

1 00 000 cm: Länge eines Dorfs

2

A Tausend mal tausend = 1 Million = 1 000 000 = 106

Tausend mal eine Million = 1 Milliarde = 1 000 000 000 = 109

Tausend mal 109 = 1 Billion = 1 000 000 000 000 = 10 12

Tausend mal 10 12 = 1 Billiarde = 1 000 000 000 000 000 = 10 15

B 1 Million = 1 000 000 = 106

1 Billion = 1 000 000 000 000 = 10 12

1 Trillion = 1 000 000 000 000 000 000 = 10 18

1 Quadrillion = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1024

C Individuelle Lösungen. Viele Taschenrechnermodelle stellen 12 Zifern dar und

wechseln nachher zur Gleitkommadarstellung.

D Günstig ist eine Eingabe der ersten Zifer gefolgt von einem Komma und allfällig

weiteren Zifern. Diese Zahl kann mit einer Zehnerpotenz multipliziert werden.

Beispiel: 3,45 ∙ 10 EE 12 oder 3,45 ∙ 10 y x12 oder 3,45 ∙ 10 12

37 = 2 187 3 ∙ 107 = 30 000 000

2,518 ist eine achtstellige Zahl mit sehr vielen Nachkommastellen,

2,5 ∙ 10 18 ist eine 19-stellige Zahl (25 und 17 Nullen).

3

A 1. Eine Billion zwei Milliarden drei Millionen = 1 002 003 000 000

2. Eine Million zweitausendunddrei = 1 002 003

3. Einhundertdreiundzwanzig Milliarden einhundertdreiundzwanzig Millionen

einhundertdreiundzwanzigtausend = 123 123 123 000

4. Eine Billion zweihundert Milliarden = 1 200 000 000 000

5. Einhundertzwanzig Milliarden = 120 000 000 000

6. Zwölf Milliarden = 12 000 000 000

7. Eine Milliarde zweihundert Millionen = 1 200 000 000

8. Eine Million zweihunderttausend = 1 200 000

B 2 200 002 2 200 020 2 200 200 2 202 000 2 220 000

2 300 001 2 300 010 2 300 100 2 301 000 2 310 000

C Pedro: 10 100 000, Flavia: 2 000 000 oder umgekehrt

D Julia: 21 000 000, Jon: 10 110 000 oder umgekehrt

Lösungen


2 | 4

www.mathbuch.info

3

E ■ Ein Plättchen von 105 auf 106, das andere von 103 nach 104

■ Ein Plättchen von 105 auf 104, das andere von 104 nach 103

F Individuelle Lösungen

4

A

B

C Die Zahl 1 Milliarde würde etwa 100 m weiter rechts liegen,

wenn man die Zahlengerade verlängern könnte.

Die Zahl 1 Billion würde etwa 100 km weiter rechts liegen,

wenn man die Zahlengerade verlängern könnte.

5

A, B 106 · 0,1 mm = 105 mm = 100 m

109 · 0,1 mm = 108 mm = 100 km (1 Milliarde Haare)

10 11 mm = 100 000 km (1 Billion Haare)

6

A, B Mit 1 m/Person ergeben sich Resultate, je nach Anzahl Personen,

zwischen 20 m und 500 km.

C 8 000 km

D 7 000 000 km (fast 200-mal so lang wie der Erdumfang)

7

A Z. B.: Drei der vier Adressaten schicken die Mail jeweils an vier weitere Personen

weiter. Schon bald hat die Mail sehr viele Personen erreicht.

B 1d 4E 2d 12E 3d 36E 4d 108E 5d 324E

6d 972E …

C Am 14. Tag werden bereits beinahe 6,5 Millionen Personen angeschrieben.

Wenn man die zuvor angeschriebenen Personen dazu addiert, ergeben sich weit

mehr als 8 Millionen Personen.

0 500 1 000

1 10 100

0 500 000 1 Million

1 000 10 000 100 000


Lösungen


3 | 4

www.mathbuch.info


7

D

In diesem Fall verdoppelt sich die Zahl der angeschriebenen Personen von Tag zu Tag.

E Gutgläubige Personen werden irregeführt, die Spam-Ordner quellen über,

die Datenleitungen werden «verstopft», negative Gefühle werden ausgelöst,

Arbeitszeit wird «vernichtet, …

8

A Korrekt

B Falsch bzw. unwahrscheinlich

C Falsch bzw. unwahrscheinlich

D Falsch (972 Empfängerinnen und Empfänger haben nicht nebeneinander Platz)

E Falsch (972 Empfängerinnen und Empfänger haben nicht nebeneinander Platz)

9

A 1R 2 2R 2 + 4 = 6 3R 6 + 8 = 14 4R 14 + 16 = 30

30 Lernende werden nach 4 Reihen informiert.

B 5R 30 + 32 = 62 6R 62 + 64 = 126 6R 126 + 128 = 254 …

10

A 5 16 27 16 1

8 49 216 625 1 024 729 128 1

B Auf der Reihe von oben Mitte bis Mitte rechts

C –

D 8 27 64 125 216 …

E 81 = 34 = 92 64 = 82 = 43 = 26 512 = 83 = 44 = 28 729 = 93 = 36…

F Beispiel: 28 und 35 (Diferenz 13)

G 27 = 33 81 = 34 256 = 44 1 024 = 45 4 096 = 46 16 384 = 47

78 125 = 57 3 90625 = 58 1 953 125 = 59 10 077 696 = 69 60 466 176 = 6 10

XXX OOO

XX

X

OO OO

OOO XXX XXX OOO

XX

OOO XXX

Lösungen

Lösungen


4 | 4

www.mathbuch.info

10

H Die ungeraden Potenzen beinden sich auf Streifen von links oben nach rechts unten.

Alle Potenzen von 3, 5, 7, … sind ungerade, da das Produkt von ungeraden Zahlen

ungerade ist.

I Z. B.: 3 · 9 ist gleich gross wie 9 · 3 – Faktoren in einer Multiplikation darf man

vertauschen.

39 ist (viel) grösser als 93 – Basis und Exponent in einer Potenz dürfen nicht

vertauscht werden, man bekommt nach einer Vertauschung ganz andere

Ergebnisse.

K Z. B.: 48 : 84 = 6 5536 : 4 096 = 16 = 42

108 : 54 = 100 000 000 : 625 = 160 000 = 204


Lösungen


1 | 2

www.mathbuch.info

Operieren mit Brüchen A217-0117

1


B 1 __ 3 von 4 __

6 = 4 __

18 = 2 __

9 4 __

6 von 1 __

3 = 4 __

18 = 2 __

9

1 __ 4 von 3 __

6 = 3 __

24 = 1 __

8 3 __

6 von 1 __

4 = 3 __

24 = 1 __

8

1 __ 6 von 3 __

4 = 3 __

24 = 1 __

8 3 __

4 von 1 __

6 = 3 __

24 = 1 __

8

Das Ergebnis bleibt beim Vertauschen der Reihenfolge der beiden Brüche gleich.

C 7 ist die erste Primzahl > 6 und lässt sich nur in 1 · 7 zerlegen.

5 __ 6 liegt möglichst nahe bei 7 __

8 .

2

A, B Individuelle Lösungen

C Der Zähler bleibt 1, die Nenner werden multipliziert.

3


C Die Zähler werden multipliziert und auch die Nenner werden multipliziert.

4


C Die Zähler werden multipliziert und auch die Nenner werden multipliziert.

5

A 5 __ 8 von 3 __

5 = 15

__ 40

= 3 __ 8

3 __ 5 von 5 __

8 = 15

__ 40

= 3 __ 8

B Das Vertauschen der Reihenfolge beider Brüche führt zum gleichen Ergebnis.

C Man kann beispielsweise am Rechteckmodell zeigen, dass die Reihenfolge auf das

Ergebnis keinen Einluss hat.

9

D Brüche auf den gleichen Nenner erweitern und Zähler addieren

E Brüche auf den gleichen Nenner erweitern und Zähler subtrahieren

Lösungen


2 | 2

www.mathbuch.info

10

C Beide Brüche auf den gleichen Nenner erweitern

Manchmal muss man die beiden Nenner nicht unbedingt multiplizieren,

wenn man ein gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner inden soll:

■ Wenn die beiden Nenner 3 und 6 heissen, muss man nicht unbedingt

18 als gemeinsamen Nenner wählen – es genügt, wenn man 6 verwendet

(6 ist auch schon ein gemeinsames Vielfaches von 3 und 6).

■ Wenn die beiden Nenner 4 und 6 heissen, muss man nicht unbedingt

24 als gemeinsamen Nenner wählen – es genügt, wenn man 12 verwendet

(12 ist auch schon ein gemeinsames Vielfaches von 4 und 6).

11


12


13

A Die neue Fläche ist 9 __ 4 der Ausgangsläche.

B Die neue Fläche ist 4 __ 9 der Ausgangsläche.

C Die neue Fläche ist 25 __

16 der Ausgangsläche.

D Die neue Fläche ist 8 __ 15

der Ausgangsläche.

E Die neue Fläche ist 15 __

16 der Ausgangsläche.

Operieren mit Brüchen A217-0117


2 | 2

www.mathbuch.info

Lösungen

Prozente A218-0118

5

Bei Angaben in Franken, Kilogramm und allgemein bei Grössenangaben

kommen häuig Dezimalbrüche vor. Bei Zinssätzen und Wohnungsgrössen

erfolgt die Angabe eher als gewöhnlicher Bruch. Prozente verwendet man

insbesondere dann, wenn Anteile miteinander verglichen werden sollen,

sowie bei Wahrscheinlichkeiten.

6

A 1. Falsch

2. Wahr

3. Falsch: Nur etwa 2 % der Facebook-Nutzenden sind älter als 64.

4. Wahr


7


8

A Auch andere Reihenfolgen sind möglich.

2 % = 2 ___

100 = 1 __

50 = 0,02

1 __ 6 =

16, __

6 ____

100 = 16,

__ 6 % = 0,1

__ 6

87,5 % = 87,5

___ 100

= 875 ____

1 000 = 7 __

8 = 0,875

3 __ 10

= 30 ___

100 = 30 % = 0,3

0,075 = 7,5

___ 100

= 75 ____

1 000 = 3 __

40 = 7,5 %

0,8 __

3 = 83, __

3 % = 83,3

____ 100

= 5 __ 6

27 % = 0,27 = 27 ___

100

1,25 = 125 ___

100 = 125 % = 5 __

4


Lösungen


1 | 3

www.mathbuch.info

Summen und Produkte A219-0119

1

A Mögliche geschickte Wege:

45 + 32 + 18, zuerst 32 + 18 ausrechnen, Ergebnis 45 + 50 = 90

123 + 258 + 12 + 177 = (123 + 177) + (258 + 12) = 300 + 270 = 570

17 · 4 · 25 = 17 · 100 = 1 700

8 · 3 · 125 · 6 = (8 · 125) · (3 · 6) = 1 000 · 18 = 18 000

15 · 0,2 = (10 + 5) · 0,2 = 10 · 0,2 + 5 · 0,2 = 2 + 1 = 3

oder 15 · 2 : 10 = 30 : 10 = 3

0,9 · 2,5 : 3 : 0,5 = (0,9 : 3) · (2,5 : 0,5) = 0,3 · 5 = 1,5

2

A a · b = b · a

B a – b ≠ b – a

C a : b ≠ b : a

3

A Mögliche Lösung:

In Worten: Man kann zuerst die Summe der ersten und zweiten Zahl berechnen, dann

die dritte addieren oder zur ersten Zahl die Summe der zweiten und dritten addieren.

Algebraisch: (a + b) + c = a + (b + c)

B Ungültig

C Gültig

D Ungültig

4


5


B Steht ein + vor der Klammer, kann ich auch ohne Klammer rechnen.

Steht ein – vor der Klammer, muss ich die Aufgabe in der Klammer «umkehren»,

also aus a – b mache ich b – a, aus a + b mache ich – a – b, aus – a – b

mache ich a + b.


2 | 3

www.mathbuch.info

Lösungen


5

C

6


7

A Gültig

B Ungültig

C Ungültig

D Gültig

8

a · c + a · d + b · c + b · d = ac + ad + bc + bd

9

A–C Individuelle Lösungen

a b c

a

a

b

b

c

c

a

b

c

a + (b + c) = a + b + c

a + (b – c) = a + b – c

a – (b + c) = a – b – c

a – (b – c) = a – b + c

Lösungen


3 | 3

www.mathbuch.info


10

A Beispiele

Orange: 2a2 + 4bc

Gelb, Rot: a2 + b2 + c2 + ab + ac + bc

Blau: 2ab + 2ac + 2bc

Grün, Violett: 2ab + 2ac + b2 + c2

B Gelb = Rot Grün = Violett

C Z. B. Gelb + Grün = Rot + Violett

D Rot + Blau + Gelb = Orange + Grün + Violett

11

A Im Deckstein ist der Term 2x + 6y.


x 47 44 41 … 2

y 1 2 3 … 16

B Im Deckstein ist der Term 8x + 12. Das ergibt 100, wenn x = 11 ist.

C Im Deckstein ist der Term 20a. Das ergibt 1 000, wenn a = 50 ist.

12

A

Das Produkt der 3 äusseren Terme ist das Quadrat des Produktes der 3 inneren Terme.

B Die Summe der 3 äusseren Terme ist 3x2 + 6xy + 2y2.

Mögliche Lösungen mit x, y ≠ 0:

x y Term

1 1 11

1 2 23

1 3 39

2 1 26

2 2 44

3 1 47

b

a + 2b

2a + b·

ab + 2b2

2a2 + 5ab + 2b

2

2ab + b2

Lösungen


1 | 3

www.mathbuch.info

Symmetrien und Winkel A220-0120

1

A Das zweite Bild von links ist das Original. Das klarste Indiz ist die Unterschrift des

Künstlers. In Frage kommen nur das zweite und das vierte Bild, da die anderen streng

symmetrisch sind. Mit einem Spiegel lassen sich aus dem Original alle anderen

Bilder gewinnen.

B Das vierte Bild ist das Spiegelbild des Originals (rechts/ links vertauscht).

Das erste Bild ist durch Verdoppeln der linken Hälfte des Originals entstanden.

Das dritte Bild ist durch Verdoppeln der rechten Hälfte des Originals entstanden.

Die nicht ganz symmetrischen Bilder wirken lebendiger.

2


3

Eine halbe Umdrehung bringt die Flügel des Propellers gegenseitig zur Deckung.

4


5

A Die linke Karte ist achsensymmetrisch, die rechte ist punktsymmetrisch.

B Die rechte Karte ist die richtige. Spielkarten sind punktsymmetrisch. Der Vorteil

der Punktsymmetrie liegt darin, dass die Karten immer gleich aussehen, egal,

von welcher Seite sie in die Hand genommen werden. Bei achsensymmetrischen

Karten wäre das nicht der Fall.

C Die linke, «falsche» Karte ist achsensymmetrisch.

6

I Zweifach achsensymmetrisch und punktsymmetrisch.

Beide Diagonalen sind Symmetrieachsen.

II Punktsymmetrisch, aber nicht achsensymmetrisch.

III Achsensymmetrisch an einer Diagonalen, aber nicht punktsymmetrisch.

IV Weder achsen- noch punktsymmetrisch. Bezüglich der Form hat das Bild

eine horizontale Symmetrieachse. Die Färbung hebt aber diese Symmetrie auf.

7

Mögliche Lösung:

Lösungen


2 | 3

www.mathbuch.info

8

A

B

9

10

A Es sind 2 Scharen paralleler Geraden mit jeweils gleichem Abstand. Die dritte Schar

von Parallelen ist durch die Schnittpunkte der ersten beiden Scharen bestimmt.

B

C α + β + γ = 180°

Die 3 Winkel liegen jeweils nebeneinander und ergeben einen gestreckten Winkel

bzw. die Hälfte eines vollen Winkels von 360°.

α

γ

γ

γ

γ

γ

β

δ

δ

δ

δ

δ

α

α

α

β

β

β

α

α

β

β

γ

γ

α

α

β

β

γ

γ

α

α

β

β

γ

γ

α


Lösungen


3 | 3

www.mathbuch.info


11

A 90°

B Höchstens ein stumpfer Winkel

C 3 Symmetrieachsen

D Jeder Winkel ist gleich gross, also 180° : 3 = 60°.

12

A 360°, jedes Viereck lässt sich mit einer Diagonalen in 2 Dreiecke aufteilen.

B Gegenüberliegende Winkel sind gleich gross. Zwei benachbarte Winkel ergeben

zusammen 180°.

13

A 540°, jede Diagonale teilt ein Fünfeck in ein Viereck und ein Dreieck.

B 720°, Zerlegung in 4 Dreiecke

C (n – 2) 180°, Zerlegung in n – 2 Dreiecke

14

A Zwei Lösungen möglich: C (10/9) D (4/11) oder C’(6/– 3) D’(0/– 1)

B M(6/7) M’(4/1)

C Z. B. M liegt in der Mitte von A (2/5) und C (10/9). Mitte der x-Werte 2 und 10 ist 6.

Mitte der y-Werte 5 und 9 ist 7.

15

A D (11 /10)

B M (6/5)

C Z. B. jedes Parallelogramm ist punktsymmetrisch mit Drehpunkt M

(Schnittpunkt der beiden Diagonalen).

Lösungen


1 | 3

www.mathbuch.info

Boccia – Pétanque – Boule A221-0121

1

A I Team «Grün» gewinnt einen Punkt.

II Unentschieden. Die nächstliegende grüne und die nächstliegende

rote Kugel sind gleich weit vom Schweinchen entfernt.

III Team «Rot» gewinnt einen Punkt.

IV Team «Rot» gewinnt einen Punkt.

V Unentschieden

VI Team «Grün» gewinnt drei Punkte.

B Verschiedene Erklärungen möglich

2

A, B S1, S2, S3, S4 sind mögliche Lagen des Schweinchens,

wenn das Spiel unentschieden ausgeht.

C Konstruktion:

■ Von P und Q aus mit gleicher Zirkelöfnung je einen Bogen schlagen,

■ die beiden Schnittpunkte miteinander verbinden,

■ auf der entstehenden Geraden – der Mittelsenkrechten zwischen P und Q –

liegen alle Punkte, die von den gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind.

3

A Die Punkte auf der Faltlinie sind jeweils gleich weit von den aufeinanderliegenden

Punkten entfernt.

B Die Kreislinie geht durch die 3 Punkte A, B und C. M ist also gleich weit von

den 3 Eckpunkten entfernt.

4

A Die Punkte auf der Faltlinie sind jeweils gleich weit von den beiden Dreiecksseiten

entfernt.

B Die 3 Lote sind gleich lang.

P

Q

S4

S3

S2

S1

g

Lösungen

Als Kopierv♦�✁✂✄☎ ✆�☎✝✄☎✄☎✞☎✟ ➞ ✠✡☛☞✁✌☎�✁✂✄ ❡✁☞✍ ✎✏ /Klett und Balmer Verlag AG, 2013

2 | 3

www.mathbuch.info

5

A Es sind zwei Parallelen zu g und die zwei Parallelen zu h im Abstand von 1 cm.

Die beiden Parallelenpaare schneiden sich in insgesamt 4 Punkten.

B Wie A, jedoch Abstand 2 cm

C, D

E, F Individuelle Lösungen

6

7

C ω1 = 130° ω2 = 150° ω3 = 80°

D ω1 = 2α ω2 = 2β ω3 = 2γ

S4S3

S2

S1

g

h

S P

A

B

SP=6cm

w=Winkelhalbierende

g

h

w

70º


Lösungen

❆✑✒ ✓✔✕✖✗✘✙✔✘✑✚✛✗ ✜✘✗✖✛✗✛✗✢✗✣ ✤ ✥✦✧★✑✙✗✘✑✚✛ ✕✑★✒ ❆✩ /✓✑✗❑❑ ★✣✪ ✫✚✑✬✗✘ ✭erlag AG, 2013

3 | 3

www.mathbuch.info


8

A Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten ist Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.

B Schnittpunkt zweier Winkelhalbierenden ist Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks.

9

A Quadrat und Rechteck

B Quadrat und Rhombus

C Man kann zuerst einen Kreis zeichnen und dann vier Tangenten an den Kreis.

Das ergibt ein sogenanntes Tangentenviereck.

D Man kann zuerst einen Kreis zeichnen und dann 4 Punkte auf der Kreislinie

auswählen. Das ergibt ein sogenanntes Sehnenviereck.

Lösungen


1 | 2

www.mathbuch.info

Jugendliche und Medien A222-0122

1

A Blau steht für Jungen und Rot für Mädchen. Die Zahlenangaben zeigen,

welcher Prozentanteil der Befragten das entsprechende Medium in der Freizeit

täglich oder mehrmals pro Woche benützt.

B Etwa 540 der Befragten sind Mädchen und 460 sind Jungen. Also benützen

z. B. etwa 96 % von 540 Mädchen täglich oder mehrmals pro Woche

das Handy. Das sind etwa 518 von den 540 Mädchen.

C Je etwa 330–340 der Befragten sind deutscher, französischer oder italienischer

Muttersprache. Die Prozentzahlen beziehen sich jedoch auf alle Befragten.

Man weiss also nicht, ob mehr französischsprachige oder mehr deutschsprachige

Jugendliche fernsehen.

D Mögliche Lösung:

Etwa 280 von 460 befragten Jungen und

etwa 100 Mädchen nutzen Computer- und Videospiele täglich/mehrmals pro Woche.

2


B Nein, es ist nicht ersichtlich, ob Jungen und Mädchen ausgewogen berücksichtigt

wurden und ob Jugendliche ohne Lehrstelle und Ausbildung nach der obligatorischen

Schulzeit in der Stichprobe enthalten sind. Ebenso wurden die Rätoromanisch

Sprechenden nicht berücksichtigt. Unklar ist, ob beispielsweise unter den deutsch-

sprachigen Jugendlichen auch fremdsprachige aufgeführt sind, welche in einer

deutschsprachigen Klasse sind.

3

A

B Insgesamt sind es etwa 710 000 Jugendliche zwischen 12 und 19 Jahren.

1 080 von 710 000 = 1 080 ______

710 000 ≈ 0,0015 = 0,15 %

C 3 __ 4 von 710 000 = 532 500 sind deutschsprachig.

1 __ 3 von 1 080 = 360 der Befragten sind deutschsprachig.

360 von 532 500 ≈ 0,0007 = 0,07 % der deutschsprachigen Jugendlichen

wurden befragt.

Anzahl

Alter12 13 14 15 16 17 18 1980000

90000

95000

85000

100 000

Lösungen


2 | 2

www.mathbuch.info

4

B Mögliche Lösungen:

Zwischen Mädchen und Jungen wird nicht mehr unterschieden.

Man kann nicht nur herauslesen, wie viele etwas täglich oder mehrmals

pro Woche tun, sondern auch, wie viele etwas

■ nur einmal pro Woche oder in 14 Tagen,

■ nur einmal pro Monat oder seltener und

■ wie viele eine Tätigkeit nie ausführen.

C Mögliche Lösung:

Man kann aus beiden Tabellen herauslesen, wie viele Prozent der Befragten eine der

in Tabelle 1 aufgeführten Tätigkeiten ausführen. In Tabelle 2 sind zusätzlich weitere

Tätigkeiten aufgeführt sowie seltener als täglich bis mehrmals pro Woche ausgeführte

Tätigkeiten.

D Individuelle Lösungen

5


6

A 30 Jungen wurden befragt.


7

A 0 · 6 + 4 · 15 + 12 · 45 + 3 · 75 + 2 · 105 + 3 · 135 = 1 440

1 440 : 30 = 48

Der durchschnittliche Fernsehkonsum der Jungen am Samstag beträgt

etwa 48 Minuten.


8

A 15 der befragten Mädchen schauen oft, 9 manchmal und 6 nie Tierilme.

B Die 15-jährigen Jungen schauen durchschnittlich am längsten fern,

etwa 30 Minuten pro Tag.

C Es wurden entweder 67 Jungen und 83 Mädchen oder 68 Jungen und

82 Mädchen befragt.

9


Jugendliche und Medien A222-0122

Lösungen


1 | 3

www.mathbuch.info

Schieben – drehen – zerren A223-0123

1

Verschiedene Formulierungen möglich

2

A, B Abb. 4 und 5

Abb. 1

P Spiegelpunkt

P

Z

Z

Symmetrieachse

Schubspie-

gelungsachse

Scherungsachse

Symmetrieachse

gerichtete Verschiebungs-

strecke

Dehnungsachse,

Dehnfaktor 2

Dehnungsachse,

Dehnfaktor 3

Abb. 2 Abb. 3

Abb. 4 Originalfigur Abb. 5

Abb. 6 Abb. 7 Abb. 8

Abb. 9 Abb. 10 Abb. 11

Drehung um 90º

um Drehpunkt P

12Streckfaktor

von Z aus

Streckfaktor 2 von Z aus

45ºScherungs-

winkel

Symmetrieachse

Symmetrieachse

Lösungen


2 | 3

www.mathbuch.info

2

C Objekte der Natur bestehen oft aus zwei spiegelbildlichen Hälften –

allerdings sind diese Objekte der Natur prinzipiell alle dreidimensional

und damit nicht spiegelbildlich in Bezug auf eine Achse, sondern in Bezug

auf eine Ebene.

Zweidimensional und spiegelbildlich in Bezug auf eine Achse sind viele Buchstaben

unseres Alphabets.

Zweidimensional und spiegelbildlich in Bezug auf eine Achse können natürlich

auch Bilder und Fotograien von dreidimensionalen Objekten sein,

z. B. Bilder von Schmetterlingen, Käfern, Spinnen, aber auch Bilder

von menschlichen Gesichtern.

3

A, B Abb. 2

C Warenband, Lift, Rolltreppe, Standseilbahn, Schlitten, Gabelstapler, Sonnenstore usw.

Schiebungen als geometrische Muster:

Fenster einer Fassade, Häuschen auf kariertem Papier, Tapetenmuster, Stofmuster

usw.

4

A, B Abb. 1 (gleichzeitig auch Punktspiegelung) und 6

C Drehungen, die als Bewegung zu beobachten sind:

Windrad, Zahnrad, Riesenrad, Turbine, Uhrzeiger, Kreisel, Pirouette, Karussell, Türe,

Scheibenwischer usw.

Drehungen als geometrische Muster:

Fensterrosetten, Tellerverzierungen, Kreisornamente usw.

gerichtete Verschiebungs-

strecke

P Spiegelpunkt

P

Drehung um 90º

um Drehpunkt P


Lösungen


3 | 3

www.mathbuch.info


5

A Abb. 1, 2, 4, 5, 6, 9

B Punktspiegelung ist auch Drehung um 180°. Drehungen sind Kongruenz-

abbildungen. Punktspiegelung entspricht auch dem nacheinander Ausführen

zweier Achsenspiegelungen an zwei senkrecht aufeinander stehenden

Achsen, die durch den Drehpunkt gehen.

6

A Abb. 8 und 11

B Vergrösserungen, Verkleinerungen in der Fotograie auf dem Fotokopierer,

auf Plänen mit verschiedenen Massstäben, in Modellen usw.

7

A Abb. 3, 7 und 10

B Abb. 3 und 7 sind durch Dehnungen in eine Richtung entstanden,

Abb. 10 durch eine kompliziertere Abbildung.

Solche liegen z. B. in den folgenden Fällen vor:

■ Scherung (Abb. 10)

■ Schattenwürfe

■ Zerrspiegelungen (z. B. in Löfeln oder Windschutzscheiben)

■ Projektionen auf gekrümmte Flächen

■ Figuren auf gedehnten Membranen (z. B. Luftballon)

■ Perspektivische Verzerrungen (z. B. Strassenmarkierung)

8


Lösungen


1 | 2

www.mathbuch.info

Situation – Tabelle – Term – Graph A225-0125

1


C W1 T2 G1 Variante 2a

W2 T3 G2 Variante 2b

W3 T1 G3 Variante 1b

D

E 29,5 x

F

G Variante 2 ist für alle Anzahlen die günstigste, wenn die Fahrt mit dem Velo gemacht

wird.

Werden die öfentlichen Verkehrsmittel benutzt, ist Variante 1 nur für eine oder

zwei DVDs günstiger. Für einen Einkauf ab 3 DVDs ist Variante 2 günstiger.

2

A–E Individuelle Lösungen mithilfe der Kopiervorlage

3

A Variante 1 CHF 29.50

Variante 2 CHF 44.00


B Variante 1 CHF 0


Variante 3 CHF 6.50

C Variante 1 29.50 x

Variante 2 19.50 x + 24.10

Variante 3 25.90 x + 6.50

D Bei 1 DVD ist die 1. Variante die günstigste.

Bei 2 DVDs ist die 3. Variante die günstigste.

Ab 3 DVDs ist die 2. Variante die günstigste.

Anzahl DVDs 1 2 3 4 10

Gesamtkosten [CHF] 29.5 59 88.5 118 295

0 1 2 3 4

50

0[Stück]5

100

75

25

125

150

[CHF]

Lösungen

Als Kopiervorlage freigegeben ➞ �✁✂✄☎✆erlag plus AG /❑☎✝✞✞ ✄✟✠ ✡☛☎☞✝✌ ✍erlag AG, 2013

2 | 2

www.mathbuch.info

4 T-Shirts

Angebot 1

Anzahl 1 2 3 4 5 10 x

Preis [CHF] 30 60 90 120 150 300 30x

Angebot 2

Anzahl 1 2 3 4 5 10 x

Preis [CHF] 65 80 95 110 125 200 15x + 50

Angebot 3

Anzahl 1 2 3 4 5 10 x

Preis [CHF] 55 75 95 115 135 235 20x + 35

Bis 3 T-Shirts ist Angebot 1 das günstigste.

Ab 4 T-Shirts ist Angebot 2 das günstigste.

Situation – Tabelle – Term – Graph A225-0125

Lösungen


1 | 3

www.mathbuch.info

Proportionalität – umgekehrte Proportionalität A229-0129

1

A Durchschnittsgewicht einer Orange: 251,9 g ≈ 250 g

B Durchschnittliche Saftmenge einer Orange: 117,4 ml ≈ 120 ml

2

Durchschnittsgewicht einer Orange: 250 g

Durchschnittliche Saftmenge einer Orange: 120 ml

A 2 dl Orangensaft: etwa 2 Orangen

3 dl Orangensaft: etwa 2 1 __ 2 Orangen

B 1 l Orangensaft: ≈ 2,100 kg 0,1 l Orangensaft: ≈ 0,200 kg

2 l Orangensaft: ≈ 4,200 kg 0,2 l Orangensaft: ≈ 0,400 kg



3

A

B

C

4

A, B

5

A

Anzahl Orangen 1 2 5 10 12 25 50 100 x

Gewicht in kg 0,250 0,500 1,250 2,500 3,000 6,250 12,500 25,000 0,25 x

Anzahl Orangen 1 x

Saftmenge in l 0,120 0,12x

Saftmenge in l 1 x

Anzahl 2dl-Gläser 5 5x

Glasgrösse 1 dl 2 dl 2,5 dl 3 dl 5 dl

Anzahl Gläser /10 l 100 50 40 33 1 __ 3 20

Anzahl Gläser /8 l 80 40 32 26 2 __ 3 16

Anzahl Gläser /7,5 l 75 37,5 30 25 15

Anzahl Gläser /6 l 60 30 24 20 12

Gewicht [kg]

Orangen [Anzahl]50

25

100

20

15

10

5

Lösungen


2 | 3

www.mathbuch.info

5

B

C

6

Saftmenge [l]

Orangen [Anzahl]51 10

0,12

0,6

1,2

2dl-Gläser [Anzahl]

Saftmenge [l]1,0 2,0

5

1

10

Gläser [Anzahl]

Glasgrösse [dl]50

5

1004020 33

4

3

2

2,5

1

1 __ 3


Lösungen


3 | 3

www.mathbuch.info


7


Proportionale Zuordnung

Das Doppelte der einen Sorte bedingt das Doppelte der anderen Sorte. y : x ist immer gleich gross.

Umgekehrt proportionale Zuordnung

Das Doppelte der einen Sorte bedingt die Hälfte der anderen Sorte. y · x ist immer gleich gross.

8

A Graph I: mögliche Wertetabelle

x 1 2 5 10 20

y 6 12 30 60 120

Für gleiche Sprünge nach rechts (x-Achse) steigt der Graph jeweils um die gleiche

Höhe (y-Achse).

B Graph II: mögliche Wertetabelle

x 1 2 4 6 8

y 72 36 18 12 9

Je weniger von der einen Sorte, desto mehr von der andern Sorte.

C Graph I

Die Gerade geht durch den Ursprung P(0/0).

Graph II

Die beiden Äste des Graphen nähern sich immer mehr der y- und der x-Achse.

Lösungen


1 | 2

www.mathbuch.info

Konstruktionen A230-0130

Lösungen

1

A

C Mögliche Lösung:

■ Strecke b = 6 cm, Endpunkte A und C.

■ Länge a = 4,5 cm in den Zirkel, bei C einstecken, Kreis zeichnen.

■ Länge c = 7 cm in den Zirkel, bei A einstecken, Kreis zeichnen, 2 Schnittpunkte.

■ Schnittpunkte C so, dass Dreieck ABC im Gegenuhrzeigersinn gezeichnet ist.

D 1,5 cm < c < 10,5 cm

2

B Mögliche Lösung:

■ Strecke a = 5 cm, Endpunkte B und C.

■ Bei B Winkel β im Gegenuhrzeigersinn abtragen, Strahl zeichnen.

■ Bei C Winkel γ im Uhrzeigersinn abtragen, Strahl zeichnen.

■ Schnittpunkt der Strahlen ergibt Eckpunkt A des Dreiecks ABC.

C, D 0° < γ < 80°

3


■ Strecke a = 5 cm zeichnen, Eckpunkte B und C.

■ Bei C Winkel γ im Uhrzeigersinn abtragen, Strahl zeichnen.

■ Länge b = 7 cm in den Zirkel nehmen, bei C einstecken und Länge auf Strahl

abtragen, ergibt Punkt A des Dreiecks ABC.

4

A α kann zwischen 0° und 180° gewählt werden. Dementsprechend ist die Fläche

zwischen A = 0 cm2 und 15 cm2 (bei α = 90°).

B Mögliche Lösung:

Strecke zeichnen (a oder b)

Winkel abtragen

Zweite Strecke abtragen

Durch parallel Verschieben Parallelogramm vervollständigen

A BA B

A B

C

A B

Lösungen


2 | 2

www.mathbuch.info

Konstruktionen A230-0130

5

A, B Mögliche Lösung:

■ Diagonale zeichnen

■ An beiden Eckpunkten in beide Richtungen Winkel von 45° abtragen

■ Schnittpunkte der entsprechenden Strahlen ergeben die beiden anderen

Eckpunkte des Quadrats

6


■ Strecke c = 5 cm zeichnen, Eckpunkte mit A und B bezeichnen

■ Bei B im Uhrzeigersinn Winkel β = 40° abtragen, Strahl zeichnen

■ Länge b = 3,5 cm in den Zirkel nehmen, bei A einstecken und Kreisbogen zeichnen,

ergibt zwei Schnittpunkte mit Strahl, d. h. zwei verschiedene Lösungen für das

Dreieck ABC und ABC’

B a, c und β

C Das ergibt auch zwei Lösungen, davon ergibt jedoch eine Lösung ein Dreieck

im Gegenuhrzeigersinn.

D b muss mindestens so lang sein wie die Länge des Abstands von A zum Strahl a

von B aus (Lot von A auf a).

Documents

Fünfer und Zehner 1 - … · Als Kopiervorlage freigegeben © Schulverlag plus AG/Klett und Balmer Verlag AG, 2013 1 | 2 Fünfer und Zehner 1 A201-01 1 ... 5 Mögliche Lösungen: