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Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
Fuzzymengen
Ein Modellansatz zur Beschreibung von Vagheiten
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
• Menge– Zuordnung von Werten zu Elementen x aus X einer Menge M durch
charakteristische Funktion:
• Problem– Anwendungen fordern „Übergänge“ zwischen Zugehörigkeit und
Nicht-Zugehörigkeit zu einer Menge• Zugehörigkeitswerte 0,1 werden erweitert zu reellem Einheitsintervall I
Fuzzymengen – Was ist das?
101,0 xxI
MMx
Mxxmx M ,
0
1)(:
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
Fuzzymengen – Was ist das?
• man erhält neue charakteristische Funktion
– scharfe Mengen sind spezielle unscharfe Mengen
• unscharfe Menge ist durch Zugehörigkeitsfunktion eindeutig bestimmt:
• wichtige Größen:– Träger:
– Höhe:
– Kern:
Axmx A ,1,0)(:
)()(:,, xmxmBAxBA BA
0)()supp( xmxA Adef
)(sup)hgt( xmA Ax
def
1)()ker( xmxA Adef
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
Fuzzymengen – Was ist das?
• weitere scharfe Mengen zuordenbar:– α-Schnitt:
– scharfer α-Schnitt:
– α-Komponente:
– A ist durch (scharfen) α-Schnitt eindeutig bestimmt und lässt sich in scharfe Mengen zerlegen
• Kern:
• Träger:
)(xmxA Adef
)(xmxA Adef
)(sup)(sup)(sup)(:
1,01,01,0xmxmxmxmx
AAAA
)(xmxA Adef
1)ker( AA0)supp( AA
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
Fuzzymengen – Was ist das?
• geltende Gesetze für :
– Inklusion als Halbordnung:
)()(: xmxmBAx BAdef
)hgt()hgt(
)supp()supp(
:1,0:1,0
BABA
BABA
BABABA
CACBBA
AA
BAABBA
A
BA,
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
Mengenoperationent-Norm-basierte Operationen
• t-Norm-basierte Operation:– ist eine binäre Operation t:
– kommutativ, assoziativ, monoton wachsend
– 1 als neutrales Element, 0 als Nullelement
– für beliebige muss gelten:
– nicht interaktiv heißt eine t-Norm, wenn gilt: und besonders: (Idempotenz)
1,01,0 2
1,0,,,, vuzyx
00t1t)4(T
tt)3(T
t)t()tt()2(T
tt)1(T
xundxx
vuyxvyux
zyxzyx
xyyx
vuvu ,t uuu t
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
Mengenoperationen t-Norm-basierte Operationen
• Durchschnitt ist definiert durch:
– übliche t-Normen ( ):• Durchschnitt t0:
• algebraisches Produkt t1:
• beschränktes Produkt t2:
• drastisches Produkt t3:
– es gilt:
t
)(t)()(::: t xmxmxmxBAD BAdefD
vuvu ,mint0
1,0, vu
vuvu 1t
1,0maxt2 vuvu
sonst
vuvuvu
0
11,mint3
vuvuvuvu 0123 tttt
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
Mengenoperationen t-Norm-basierte Operationen
• t-Conorm st ist eine zu t duale t-Conorm– Definition:
– binäre Operation
– kommutativ, assoziativ, monoton wachsend
– für beliebige muss gelten:
)1t()1(1s:1,0, t vuvuvu def
1,01,0 2
1,0u11s
0s
t
t
u
uu
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
Mengenoperationen t-Norm-basierte Operationen
• Vereinigung– wird aus Durchschnitt mittels Komplementbildung erzeugt:
–
– übliche t-Conormen ( ):• Vereinigung s0:
• algebraische Summe s1:
• beschränkte Summe s2:
• drastische Summe s3:
– es gilt:
t
CCCdef BABA )( tt
1,0, vu
vuvu ,maxs0 uvvuvu 1s
vuvu ,1mins2
sonst
vuvuvu
1
00,maxs3
vuvuvuvu 0123 ssss
)(s)()(::: tt xmxmxmxBAD BAdefD
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
Mengenoperationen t-Norm-basierte Operationen
• kartesisches Produkt:– heißt unscharfes, t-Norm-basiertes kartesisches Produkt:
– es gilt:
BA
)(t)()),((:,
::
bmambamba
BAC
BAC
)()()(
)()()(
,
)()(
ttt
ttt
tt
tttt
tttt
CABACBA
CABACBA
AA
BCACCBCABA
CBACBA
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
Mengenoperationen
• ZADEH (1965)– Verallgemeinerungen der elementaren mengenalgebraischen
Operationen für unscharfe Mengen• Vereinigung:
• Durchschnitt:
• Komplement:
– erkannte als einzige nicht-interaktive Verknüpfung, es gilt:
– deutete andere Varianten an
)(),(max)(::: xmxmxmxBAC BAdefC )(),(min)(:: xmxmxmBAD BAdefD
)(1)(::: xmxmxAK AdefKC
AAAAAA ,
maxsmin,t 00
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
Mengenoperationen
• geltende Gesetze:– α-Schnitte:
– für beliebige unscharfe Mengen A,B,C gelten:
• dabei kann durch ersetzt werden
1)()(
)(,)(1 xmxAA
BABABABA
AC
tt
tt
tt
tttt
tt
,
,
)()(
AAA
CBCABA
BABBAA
CBACBA
ABBA
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
Mengenoperationen
• geltende Gesetze:– Distributivgesetze
– Subdistributivgesetze
• Gleichheit statt Inklusion nur für
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
ttt
ttt
ttt
ttt
CABACBA
CABACBA
CABACBA
CABACBA
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
tt
tt
tt
tt
CBACABA
CBACABA
CBACABA
CBACABA
maxsmin,t 00
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
Mengenoperationen
• geltende Gesetze:– Komplementbildung
• ist idempotent
• kehrt Inklusionsbeziehung um
• deMorgansche Gesetze gelten
• nicht alle Eigenschaften des gewöhnlichen Komplements gelten
– und sind möglich, da
CCAACC ABBA
CCC
CCC
BABA
BABA
tt
tt
)(
)(
CAA t CAA t
)()(: amamaA CAA
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
Mengenoperationen
• Werteverlauf für t0, s0
Funktionswerte der Norm t0
00.2
0.40.6
0.81
u0
0.2
0.40.60.81
v0
0.250.5
0.751
t0
00.2
0.40.6
0.81
u
Funktionswerte der Norm s0
00.2
0.40.6
0.81
u0
0.2
0.40.60.81
v0
0.250.5
0.751
s0
00.2
0.40.6
0.81
u
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
Mengenoperationen
Funktionswerte der Norm s1
00.2
0.40.6
0.81
u0
0.20.40.60.81
v0
0.250.5
0.751
s1
00.2
0.40.6
0.81
u
Funktionswerte der Norm s2
00.2
0.40.6
0.81
u0
0.20.40.60.81
v0
0.250.5
0.751
s2
00.2
0.40.6
0.81
u
Funktionswerte der Norm s3
00.2
0.40.6
0.81
u0
0.20.40.60.81
v0
0.250.5
0.751
s3
00.2
0.40.6
0.81
u
Funktionswerte der Norm t1
00.2
0.40.6
0.81
u0
0.20.40.60.81
v0
0.250.5
0.751
t1
00.2
0.40.6
0.81
u
Funktionswerte der Norm t2
00.2
0.40.6
0.81
u0
0.20.40.60.81
v0
0.250.5
0.751
t2
00.2
0.40.6
0.81
u
Funktionswerte der Norm t3
00.2
0.40.6
0.81
u0
0.20.40.60.81
v0
0.250.5
0.751
t3
00.2
0.40.6
0.81
u
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
Mengenoperationen einparametrische t-Norm-basierte Operationen
• einparametrische Familien von t-Normen– Teilklassen der Menge der möglichen t-Normen
– für bestimmte Parameterwerte streben die Durchschnitte und Vereinigungen gegen die bereits definierten
– ausreichend umfangreich
– einfach handhabbar, überschaubar
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
Mengenoperationen einparametrische t-Norm-basierte Operationen
• HAMACHER (1978)– Familie von t-Normen mit Parameterbereich
– duale t-Conormen
–
–
,tH 0
))(1(t , uvvu
uvvu defH
,sH
uv
uvuvvuvu defH )1(1
)1(s ,
3,11, tt,tt HH
3,11, ss,ss HH
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
Mengenoperationen einparametrische t-Norm-basierte Operationen
• YAGER (1980)– Familie von t-Normen mit Parameterbereich
– duale t-Conormen
–
–
pY ,t 0p
ppp
defpY vuvu1
, ))1()1((,1min1t
pY ,s
ppp
defpY vuvu1
, )(,1mins
30,21,0, tt,tt,tt pYpYpY
30,21,0, ss,ss,ss pYpYpY
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
Mengenoperationen einparametrische t-Norm-basierte Operationen
• WEBER (1983)– Familie von t-Normen mit Parameterbereich
– duale t-Conormen
–
–
,tW 1
1
1,0maxt ,
uvvuvu defW
,sW
1,1mins ,
uvvuvu defW
31,20,1, tt,tt,tt WWW
3,20,1, ss,ss,ss WWW
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
Mengenoperationen
• Erweiterungsprinzip:– sei g eine n-stellige Funktion in X:
– lässt sich g auf unscharfe Zahlen aus erweitern?
– soll sich aus ergeben
– Zugehörigkeitswerte sollen Zugehörigkeitswert bestimmen
– wird so zu erweitert, dass gilt:
– gilt auch α-Schnitt-weise:
ng :
)(XF
)( iA ami
))...(( 1 nB aagm
ng : )()(:ˆ FFg n
)(),...,(minsup)(:
:)...(::)(
1
)...(...
1
1
1
1
nAA
xxgyxx
defB
ni
xmxmymy
AAgBFA
n
n
n
),...,( 1 nAAgB
)supp(B )supp( iA
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
Zahlenarithmetik
• praktischer Ansatz:– Zugehörigkeitsfunktion sollte nur 1 Maxima haben, d.h. die Menge
ist konvex:
– Grundbereich sollte Menge der reellen Zahlen sein:
– unscharfe Zahl: , d.h. Kern ist Einermenge
– unscharfes Intervall:
– jede unscharfe Zahl ist ein unscharfes Intervall
– gewöhnliche Zahlen sind besondere unscharfe Zahlen
)(),(min)( bmamcmbca AAA
aA )ker(
21 ,)ker( aaA
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
Zahlenarithmetik
• Grundrechenarten:– Erweiterungsprinzip wird angewendet:
– für Summe, Differenz und Produkt sei # das entsprechende Operationszeichen (+,-,*)
– Negatives
– Quotient: nur für unscharfes Intervall
– Kehrwert
– Quotient
)(),(minsup)(:,, ymxmamyxa BAyxa
S
)()(::: amamaAN AN
)supp(0 B
sonst
BaamamBK B
K 0
)supp()/1()/1()(:: 1
)(),(minsup)(::
/,
1 ymxmamBABAQ BA
yxayx
Qdef
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
Zahlenarithmetik
• Maximumbildung:
– da gilt besser:
• Mimimumbildung analog
)(),(minsup)(:
:),max(:
,max,
ymxmzmz
BAC
BA
yxzyx
C
)(),(supmin,)(sup),(minmax
)(),(minsup,)(),(minsupmax)(
zmxmymzm
zmxmymzmzm
BAzx
Bzy
A
BAzx
BAzy
C
yzxzyxz ,max
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
Zahlenarithmetik
• geltende Gesetze:– Kommutativ- und Assoziativgesetze gelten
– Distributivgesetz nur bedingt:
• nur, wennoder A eine unscharfe Einermenge ist
– -A nur bedingt additives Inverses von A
• da nur für , aber i.A.
)()()( CABACBA
)()()( CABACBA )supp(0)supp(0 CBA
AA
00
01)(
x
xxm )( AA
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
Zahlenarithmetik
• für Rechnen mit unscharfen Zahlen können folgende Vereinbarungen vorteilhaft sein:–
– Intervall ist monoton steigend, Intervall monoton fallend
– beide Intervalle sind einem bestimmten Funktionstyp zuzuordnen
• falls – die Einschränkungen der Zugehörigkeitsfunktion interessieren nur
auf und
– werden genannt
1)( 0 amA
),( 0a ),( 0 a
),()supp( 21 aaA
),( 01 aa ),( 20 aaRA
LA mm ,
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
ZahlenarithmetikL/R-Darstellung unscharfer Zahlen
• Definition– eine L/R-Darstellung einer unscharfen Zahl liegt vor, falls A durch
seiner Zugehörigkeitsfunktion angegeben wird
– sind lineare Funktionen, heißt A unscharfe Zahl mit linearer L/R-Zerlegung oder dreiecksförmig
• gilt zusätzlich und , dann heißt A trapezförmig
– man schreibt genau dann, wennund
RA
LA mm ,
RA
LA mm ,
),()ker( 00 aaA ),()supp( 21 aaA
210 ,; aaaA),()supp( 21 aaA
1)( 0 amA
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
ZahlenarithmetikL/R-Darstellung unscharfer Zahlen
• seien und unscharfe Zahlen mit linearer L/R-Darstellung– Summe
– Differenz
– Negatives
– Multiplikation mit Skalar
– Produkt und Quotient unscharfer Zahlen mit linearer L/R-Darstellung sind i.A. keine unscharfer Zahlen mit linearer L/R-Darstellung mehr
– Beispiel:
210 ,; aaaA 210 ,; bbbB
221100 ,; bababaBA
122100 ,; bababaBA
120 ,; aaaA
210 ,; aaaA
-2 2 4 6 8 10 12
0.5
1x y xyyxxy
6,3;5,5,1;3 YX
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
ZahlenarithmetikL/R-Darstellung unscharfer Zahlen
• es existieren Näherungsformeln ( ):
– Produkt:
– Quotient:
– Kehrwert:
• Multiplikation ohne Einschränkung der Träger
– man setzt und findet:
und erhält als Näherungsformel:
)supp(),supp( BA),()supp( rl ccBA
22122111
22122111
,,,max
,,,,min
babababac
babababac
r
l
rl ccbaBA ,;00
221100 ,; bababaBA0,/,/;/ 1122100 bbababaBA
)supp(00, 11 Aba
0,/1,/1;/1 11201 bbbbB
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
ZahlenarithmetikL/R-Darstellung unscharfer Zahlen
• statt linearer Funktionstypen für auch andere möglich– können verschiedene Funktionstypen haben
– Ansatz von DUBOIS/PRADE (1987):• Funktionen sind durch Hilfsfunktionen L,R bestimmt:
–
–
– L,R monoton fallend für positive Argumente
• mit Parametern werden dann definiert als:
• man schreibt dann
• sind L,R lineare Funktionen und , ergeben sich folgende Beziehungen:
RA
LA mm ,
RA
LA mm ,
RA
LA mm ,
1,0:, RL1)0()0( RL
RA
LA mm ,
)/)(()(:
)/)(()(:
00
00
paxRxmax
qxaLxmaxRA
LA
0,,,,0 qppqa
RLpqaA /0 ,; bxxL 1)( cxxR 1)(
)(,)( 0210 aacpaabq
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
ZahlenarithmetikL/R-Darstellung unscharfer Zahlen
• seien und unscharfe Zahlen mit L/R-Zerlegung– Summe
– Negatives• man beachte, dass L und R die Rollen vertauscht haben
• Differenz ist nur für L=R eine einfache L/R-Darstellung
– Produkt ( ) nur mit Näherungsformel
– Kehrwert ( ) ähnlich:• L und R haben wieder Rollen vertauscht
RLpqaA /,; RLpqbB /,;
RLppqqbaBA /,;
LRqpaA /,;
BABA )supp(0,)supp(0,0, BAba
RLppbppaqqbqqaabBA /,;
)supp(0 B LRbqbpbB /221 /,/;/1
Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi
• Quellen:– BANDEMER/GOTTWALD
• Einführung in Fuzzy-Methoden (Akademie Verlag, 1992)