-442-

Anhang

Uber numerische Methoden.

AI: Interpolatorische Quadratur

In diesem ersten Abschnitt sol len die AusfUhrungen des Abschnittes 9.6. Uber

numerische Integration erganzt und vertieft werden. Eine prinzipielle I1!thode. numerische Integrationsverfahren zu konstruieren. besteht darin. den Integranden (stUckweise) durch geeignete Polynome zu ersetzen. diese zu integrieren und aas Resultat als Naherung fUr das gesuchte Integral zu nehmen. Urn dies genauer zu beschreiben. befassen wir uns zunachst mit der Polynom-Interpolation.

Es seien t .tI •...• t e[a.~]cR sogenannte StUtzstellen in einem Intervall [a.~]. o m Ferner sei f(x) : [a.~] .. lR eine gegebene Funktion. Gesucht ist ein Polynom

P m(x) von maximalem Grade m. welches an den m+I StUtzstellen die zugehorigen Funktionswerte (StUtzwerte) annimmt:

Nun gilt folgender Satz:

Satz Al.I: Es existiert genau ein Polynom Pm(x) von maximalem Grade m. das die Interpola­tionsaufgabe (1) lost. 1st ferner f(x)eCm+I[a.~]. dann existiert zu jedem

xe[a.~] eine Stelle ~(x)e[a.~] mit m n (x-tk)

(2) f(x)-Pm(x) = k=o 'f(m+I)(~(x)) . (m+l)!

Bewei s:

Wir geben ein Polynom an. das (1) erfUllt:

(3) m m x-tk

P(x):= rf.·n t="t. m j=o J k=o j k

k*j

Sei Qm(x) ein wei teres Polynom mit maximalem Grade m. das (1) erfUllt. Dann hat das Polynom Rm(x) := Pm(x)-Qm(x) ebenfalls hochstens den Grad m. besitzt aber aie m+I Nullstellen to •...• tm. Also ist Pm(x) '" Qm(x). Es bleibt noch (2) zu zeigen: FUr x = t k• k = O •...• m ist (2) trivialerweise erfUllt. Nun sei x * tk

-443-

(k = O, ... ,m) beliebig, fest gewahlt. Wir definieren die Zahl m -1

c := (f(x)-P (x))· (n(x-t k)) sowie die Funktion m 0

m F(t) := f(t)-P (t)-c.n(t-tk) .

m 0

Es ist F(t)€Cm+1[a,~1, und F(t) besitzt die m+2 Nullstellen x,to'" .,tm. Also hat F(m+1)(t) mindestens eine Nullstelle ~(x)€ [a,~l. Dies folgt durch mehrfache

Anwendung des Mittelwertsatzes (vgl. (1), Abschn. 6.3). Differenziert man nun den Ausdruck fUr F(t) m+1 mal und setzt dann t = ~(x) ein, so ergibt sich (2) .

• Uas Polynom (3) heiSt Interpolationspolynom von fIx) zu den StUtzstellen

to"'" tm·

Wir wenden uns nun den Integrationsverfahren zu, mit den en man Integrale der

Form

[3 ( 4 ) f f (x) dx =: I (f)

a

naherungsweise berechnet. Wahlt man die StUtzstellen aquidistant, spricht man

von den Newton-Cotes-Formeln, die jetzt hergeleitet werden sollen. Es sei

(Sa) tk = a+k'h, k = O,l, ... ,m; h = [3~a

FUr das Interpolationspolynom ergibt sich wegen (3):

m (5b) P (x) = L f.·l·(x)

m j=o J J

m x-t mit lj(x) = k~O tj-~k

k*j

i~un wi rd (4) approximiert durch die Quadraturfonnel

[3 m [3 m (6 ) I (f) := fP (x)dx = L f··fl.(x)dx =: h· L y.f.

m a m j=o J a J j=o J J

Zur Berechnung der Gewichte Yj benutzen wir die Substitution

x = a+h's , ° ~ s ~ m

und erhalten

-444-

(7) 1 a m m s-k

Yj = h .!Lj(X)dX = ~ k~O J=k ds, j = D, ... ,m .

k*j

Hieraus sieht man: Die Gewichte YO' ... 'Ym sind von f(x) und [a,a] unabhangige rationale Zahlen; sie sind daher in einschlagigen Formelsammlungen tabelliert. Dhne Beweis geben wir eine Formel fUr den Quadraturfehler

an: FUr f(x)eCm+2[a,a] und geeignete Zwischenstellen ~€(a,B) gilt:

hm+3 m m ( +2) ~ .Jt·n(t-j)dt·f m (~) fUr m gerade , \m+<'I' 0 0

m+2 m m ~ .J n (t-j)dt.f(m+1)(~) fUr m ungerade \mT"I' 0 0

Oie Gewichte sowie die Fehler sind fUr einige m in folgender Tabelle angegeben:

:~ m J 0 1 2 3 4 -Em(f) Name

1 1 .!. TI-f(~)(~).h3 Trapez-Regel I 2

2 1 4 1 ~f( 4) (~) .h5 Simpson-Regel "3 "3 "3

3 3 9 9 3 ~f(4)(~).h5 3 1r '8 '8 '8 '8 -Regel

4 14 64 24 64 14 -.J!f( 6) (~) . h 7 Ni 1 ne- Rege 1 45 45 45 45 45 945

Bei kleinen Intervall-Breiten ~-« und nicht zu groBem m fUhren die Newton­Cotes-Formeln i.a. zu brauchbaren Ergebnissen, liefern aber leider fUr groBere Integrationsintervalle oft schlechte Naherungen, die bei einer Steigerung des Interpolationsgrades m haufig noch schlechter werden. Bei aquidistanten StUtz­stellen ist also eine Steigerung von m nicht der richtige Weg, und es liegt daher folgende Vorgehensweise nahe: Sei [a,b] das Integrationsintervall. Man zerlegt nun [a,b] in n Teilintervalle der Lange H = b~a, wendet die Newton-Cotes-Formeln einzeln auf diese Teilinter-

-445-

valle an und summiert anschlieBend die Naherungsformeln auf; man setzt also

b-a N := m·n, h := N' sowie

a+h·k k = 0, ... ,N j = O, ... ,n

Xo xl x2 x3 x6 Xg x12 x15 a I I I I I , ' b

Yo Y1 Y2 Y3 Y4 Y5

m = 3 , n = 5

b n-1 Y'+l Wegen I(f) = Jf(x)dx = L fJ f(x)dx erhalten wir jetzt die summierten Newton-

a j=o Yj

Cotes-Formeln in folgender Form:

(j+1 )m

(9 )

~ Yk·f(x k) k=Jm

k = 0, ... ,m ; j = 0, ... , n-1 .

Obung: Mit Hilfe von Formel (8) leite man die folgende Darstellung fUr den

~ummierten) Fehler

R~m) (f) : = I ( f)- SI~ m) ( f)

her: r'2 )'-'i ' t.~(t-j)dt'f(m+2)(~) fUr m gerade , R(m) (f)

= m· (m+ )! ~ 0

N hm+1. (b-a) m m

m.(m+1)! J n (t-j)dt.f(m+1)(~) fUr m ungerade 0 0

Wir geben zum AbschluB die summierte Trapezregel (m = 1) sowie die summierte

Simpson-Regel (m = 2) mit ihren Fehlerdarstellungen an:

( lOa) b h n-1 h2.(b-a) (2) ff(x)dx ="2 . L (f(x k)+f(xk+1))- 12 ·f (~) a k=o

(lOb) b h n-1 h4.(b-a) (4) Jf(x)dx = 3" . L (f(x2k)+4f(x2k+1)+f(x2k+2))- 180 ·f (~). a k=o

Db ungen:

1. ~Ii t der Formel (7) berechne man die in der Tabelle angegebenen Gewichte

Yo'" "Ym fUr m = 1,2,3,4 .

-446-

2. Man leite die Fehlerdarstellung fUr die Trapezregel (also (8) fUr m = 1) her, indem man (2) sowie den Mittelwertsatz der Integralrechnung (Satz 2.1. Abschn. 9.2) verwendet.

A2: Iterative Losung linearer Gleichungssysteme

Als Erganzung zu Kapitel 10 sollen hier kurz Iterationsverfahren zur Losung li­nearer Gleichungssysteme behandelt werden; sie sind in speziellen Fallen den direkten Verfahren (vgl. GauB-Elimination in Abschnitt 10.5) vorzuziehen, z.B. bei sehr groBen Systemen mit schwach besetzten Koeffizientenmatrizen, moglicher­weise noch mit unregelmaBiger Struktur. In solchen Fallen namlich hat man bei Iterationsverfahren wesentlich weniger Schwierigkeiten mit Speicherplatzpro­blemen in den e1ektronischen Rechenanlagen. Ein Iterationsverfahren besteht in der Wahl eines Startvektors x(o) und der rekursiven Erzeugung einer Folge von Vektoren x(v), v = 1,2,3, ...• die (komponentenweise) gegen die gesuchte Losung xilt konvergiert:

( 1) { lim x~v) = x~ fUr i 1, ...• n v-

. Iv) (v) (v) T xli mltX' =(x1 , ... ,xn ),

Mit A = (aik)n,n' b (bl"" .bn)T sei das folgende lineare Gleichungssystem gegeben:

(2) A'x = b, DetA * 0 •

des sen (eindeutig bestimmte) Losung mit xli bezeichnet sei. Wir spalten A auf:

(3) A = N-P, N,Pt:R (n,n). DetN * 0 •

wobei wir anstreben wollen, daB N eine moglichst einfache Struktur hat. Wir de­finieren nun M := N- 1.P. d := N- 1.b und konnen dann (2) in der aquivalenten Form schreiben:

(2ilt) X = M'x+d .

Ausgehend von einem Startvektor x(o) bilden wir nun die Vektorfolge:

-447-

( 4 ) x ( v) = M. x ( v- 1 ) +d, v = l, 2, . .. .

Konvergiert die Vektorfolge (4) komponentenweise, dann ist der Grenzvektor die

gesuchte Uisung von (2); in diesem Falle schreiben wir:

(5) lim x(v) x* = A-l.b . v--

lJie ~'l!trix Min (2*) bzw. (4) wird die Iterationsmatrix des Verfahrens genannt. Wir wollen jetzt die Frage untersuchen, unter welchen Bedingungen die Iteration

(4) konvergiert. Sind Al , A2, ... ,An€[ die Eigenwerte von M, dann nennen wir die

Zahl

(6) p (M) : = max I A. I l~i~n 1

den Spektralradius der Matrix M. Man kann nun beweisen, daB die Folge der Poten­zen M", v = 1,2,3, ... (elementweise) gegen die Nullmatrix konvergiert genau dann

wenn p(M)<1 ist:

(7) p(M) < 1 .. limMv = 0 . v-

Den Beweis von (7) mUssen wir hier Ubergehen. Nun gilt

Satz A2.1: Oas Iterationsverfahren (4) zur Losung von (2) konvergiert fUr jeden Startvektor x(o)€:R n genau dann, wenn p( M)<1 ist.

Bewei s:

Es sei e(v) := x(V)_x*, v = 1,2, ... die Folge der Fehlervektoren. Setzen wir in

(2*) den Losungsvektor x* ein und subtrahieren diese Gleichung von (4), dann folgt:

(8a) e (v) M· e (v-l) , v = 1, 2, ...

bzw. (8b) e(v) MV.e(o), v = 1,2, ....

GrenzUbergang v- und Benutzung von (7) liefert die eine Richtung der Aussage. - 1st andererseits e(o) ein Eigenvektor zum betragsmaBig groBten Eigenwert von M, dann kann im Falle p(M) ~ 1 die Folge e(v) nicht gegen Null konvergieren .•

-44S-

Di e Bestimmung des Spektra 1 radi us is t in der Praxi soft mUhsam; wi r wollen daher eine sogenannte Norm der Iterationsmatrix M einfUhren (i .Z. II MID, die leicht auszurechnen ist, und die uns ein hinreichendes Konvergenzkriterium liefert. Mit M = (m'k) setzen wir:

1 n,n

n (9a) t t Mt I : = max 1: 1m. k I .

l~d~n k=l 1

Ferner wollen wir auch fUr Vektoren x = (X1, ... ,Xn)T schreiben:

(9b) II xii : = max I x ,I . 1fifn 1

Der Leser beweise als Obung die folgenden Ungleichungen:

(10) II Mxll :; II Mil ,11 xII •

(11) p(M) :; II Mil. p(M) ~ II MTII

Hinweis zu (11): Man gehe aus von einer Eigenwertgleichung Mx = AX mit I Ixl I = 1 und benutze auBerdem. daB M und MT die gleichen Eigenwerte haben. Nun folgt

Satz A2.2: Oas Iterationsverfahren (4) zur Losung von (2) konvergiert fUr jeden Startvektor x(o)€lR n, falls II Mil <1 oder II MTII <1 gilt. Ferner gelten fUr die Fehlervektoren die Ungleichungen:

Beweis: ergibt sich unmittelbar aus (Sa) und (10). • Wir betrachten nun zwei wichtige Iterationsverfahren, die man aus dem Ansatz (3) gewinnen kann. Dazu nehmen wir an. daB alle Diagonalelemente von A von Null ver­schieden sind: aii * O. i = 1, ...• n .

a) Das Gesamtschritt- oder Jacobi-Verfahren: Wi r wahlen

-449-

also die Oiagonale von A. Es gilt also fUr die Iterationsmatrix

(13b)

und fUr die Komponenten der Iterationsvektoren x(v) erhalten wir aus (4):

(Bc) x(v) = _1_ .(b.- ~ a . .. x(v-l) 1 aii 1 j=1 lJ J

j*i

fUri=l, ... ,n

v = 1,2, .. .

b) Oas Einzelschritt- oder GauI3-Seidel-Verfahren:

Wi r wahlen

(14a) 11

Hieraus erhalten wir fUr die Iterationsmatrix:

(14b)

und fUr die Komponenten der Iterationsvektoren x(v) ergibt sich aus (4):

(14c) (v) __ 1_ _ i-I (vt n (v-I)

xi - (b . 1: a· . x . 1: a·· x . ) fU r i = 1, ... , n aii 1 j=l lJ J j=i+l lJ J v = 1,2, .. .

Beispiel:

Die Losung von (2) ist x* = (1,2,3)T.

Die Iterationen sollen mit x(o) = (O,O,O)T gestartet werden, und es soll vier­ma 1 iteri ert werden.

-450-

a) Anwendung des Gesamtschrittverfahrens. Mit (13c) ergibt sich:

,i 1) • r~·~·\. ,i 2)

\~,3 ... ) Ferner rechnet man aus:

~ '6 ... ) (O,S ... ) (0,911" ... ) - (3)_ (4)_ 1,6 ... , x - 1,81 ... , x - 1,911"... .

2,6... 2,S ... 2,911" ...

MGeO ~ :fC : 0 0; D Es ergi b t s i ch also II e (v) II ; ~ .11 e (v-I) II . Wir geben zur Kontrolle die Fehler und deren Quotienten in einer kleinen Tabelle an:

v lIe(v)1I II e ( v ) II . II e ( v- 1 ) 11- 1

° 3

1 0,3 ...

2 0,3 ... 0,3 ...

3 0,16 ... 0,5

4 0,05 ... 0,3 ...

b) Anwendung des Einzelschrittverfahrens. Mit (l4c) ergibt sich:

~'694 ... ) ~.9490 ... ) (0.9915.). - (3)_ (4)_ 1.8472... , x - 1.9745... , x - 1.9957 ...

2.949... 2.9915... 2.9985 ..

Ferner rechnet man aus:

so daB man erhalt:

-451-

Die Tabelle aer Fehler und deren Quotienten sieht jetzt so aus:

v

0

0,916 ... 0.305 ...

2 0.305 ... 0,3 ...

3 0,0509 ... 0,166 ...

4 0,0085 ... 0,166 ...

In diesem Beispiel konvergiert also das Einzelschrittverfahren etwas schneller,

als das Gesamtschrittverfahren.

A3: Iterative Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren

Die einfachste iterative Methode zur Berechnung eines betragsgroBten Eigenwertes

mit zugehorigem Eigenvektor ist das Verfahren von v. Mises:

FUr Y = (Y1' ...• yn)T€Rn fUhren wir die folgende Norm ein:

II y II = max I y·1 . l~i~n 1

1st nun A€lI~ (n.n) gegeben, dann lautet das Verfahren:

{a) Man wahle x(o)€R n mit II x(o) II = 1,

(1) b) Man bilde fUr v = 0,1,2, ... die Folge: x(v+l) = 1 .Ax(v)

IIAx(v) II .

~il.n sieht, daB die Vektorfolge {x(v)} normiert ist, d.h. es gilt Ilx(v)11 = 1

fUr v = 0,1, .... Die Renormierung sollte in der Praxis unbedingt durchgefUhrt

werden, urn die Erzeugung extrem groBer bzw. kleiner Komponenten zu vermeiden. Nun gil t

Satz A3.1: Sei A€R ( n. n) di agona 1 ahnl i ch und es gebe genau ei nen betragsgroBten Ei genwert

Al von A. Falls dann der Startvektor x(o) geeignet gewahlt wird, dann gilt fUr die in (1) definierte Iteration:

-452-

(2a) a) A·x{v) = A1'x{v)+£{v) mit lim £(v) = 0 ,

(2b)

Hi erbei

v-

b) Es existiert ein Index k so, daB gilt:

(v+l) limIIAx{v)II' ~ = Al . v- XIV}

k

ist x~v) die Komponente Nr. k des Vektors x(v). • Der Satz besagt also, daB die Vektorfolge {x(v)} eine Eigenrichtung zu Al immer

besser approximiert, und daB die Zahlenfolge auf der linken Seite von (2b) gegen

den Eigenwert Al konvergiert.

Beispiel: Gesucht ist der groBte Eigenwert Al und ein zugehoriger Eigenvektor x der Matrix

A = C~ I~J' Wir starten mit x{o) (1,O)T und erhalten fur v = 0:

A'x(o) = C~~ IIA.x(o)11 = 10, also nach (1):

x ( 1) = --.!. . (10) = ( 1) 10 -4 ~-0.4

v = 1: A.x{l) = (~:~)~ IIA'x(1)11 = 9.6, also:

x(2) = 9 :6 .c:::) ~ C~.4792)' v = 2: A'x(2) ~ (~:~in .. IIA.x(2)11 ~ 9.521, also:

(3). 1 (9.521) ( 1 ) x "" 9.521' -4.719 ~ -0.4956

Wahlen wir in (2b) k = 1, dann hat man in den Zahlen IIA'x(v)11 Naherungen fur Al und in den Vektoren x(v) Naherungen fUr eine zu Al gehorige Eigenrichtung.

Anmerkung: Es gilt exakt: Al = 9.5, sowie x = (1,-0.5)T .

- 453-

A4: Verfahren vom Runge-Kutta-Typ zur numerischen Losung gewohnlicher

Differentialgleichungen

Viele in der Praxis auftretende Anfangswertprobleme sind nicht elementar inte­

grierbar, so daB man auf Naherungsverfahren angewiesen ist. Da die AusfUhrungen

Uber Differenzenverfahren in Teil III, Abschn. 15.5 nur sehr knapp gehalten

sind, sollen hier einige wichtige Erganzungen gebracht werden.

Wir gehen aus von einem Anfangswertproblem der Form

( 1 )

J y' (x) f(x,y(x)),

ly(a)=yo'

x€[a,b]

zerlegen das Intervall [a,b] in N Teilintervalle der Lange 6X durch die StUtz­

stellen

(2 ) a+j·6x 0,1, ... ,N ; b-a 6X = N

und erhalten durch Integration von (1) das folgende System von Integralglei­

chungen:

j = 0,1, ... ,N-1 .

Der Grundgedanke ist nun der, das Integral auf der rechten Seite in geeigneter

Weise durch interpolatorische Quadratur zu approximieren (vgl. AI). Man erhalt so einen numerischen Algorithmus zur naherungsweisen Berechnung der Losung

y(x) in den StUtzstellen xo' ... ,xN. Dabei wird die Naherung i .a. umso besser

sein, je kleiner 6X gewahlt wird.

WCihlt man den Interpolationsgrad m und setzt h := 6~ , dann erhCilt man als

Approximation der Gleichung Nr. j in (1*) mittels der Formel (6), Abschnitt Al

die folgende Beziehung

m (3 ) y(x. 1) ~ y(x.)+h· E y.·f(x.+ih, y(x.+ih))

J+ J i =0 1 J J

-454-

Unser Ziel ist es, explizite Formeln herzuleiten. Da aber nun die Werte von

f(·,·) nur fUr i = 0 bekannt sind, muB man Y(Xj+i.h) fUr i > 0 in geeigneter

Weise entwickeln. Eine Ausnahme bildet das bereits in Abschn. 15.5 behandelte Polygonzugverfahren:

das darauf beruht, daB man den Integranden durch eine Konstante (Interpolations­

grad m = 0) ersetzt. Dabei haben wir in (4a) statt y(xj ) uj gesetzt, da ja die i~aherungswerte i .a. von den exakten Funktionswerten etwas abweichen werden.

FUr m = 1 ersetzen wir y(xj+h) durch den 8eginn der Taylor-Entwicklung: y(Xj)+h.f(xj,y(xj )) und erhalten die Trapezregel:

(4b) {

u = y o 0 /:,X

u. 1 = u.+ --;y ·[f(x.,u.)+f(x.MX,U.+/:,x·f(x.,u.))J, J+ J L J J J J J J

j = 0, ... ,N-1 .

Uer Fall m = 2 (Simpson-Regel) liefert ein sehr viel genaueres und in der Praxis gern benutztes Verfahren, das sogen. klassische Runge-Kutta-Verfahren: Ausgehend von der Formel

~+1 ~ ~ ~ f f(x ,y(x) )dx "" 6" [f(xJ. ,y(x .) )+4· f(x.+ 2'y(xJ.+ 2))+ x. J J

J

erhiilt man durch geeignete Entwicklungen den Algorithmus

uo;= Yo • FUr j = 0, ... ,N-1 bilde man

/:'x uj +1:= uj + 6" . (k1+2k2+2k 3+k4)

(4c) mit

k1 .- f(xj,u j ) , /:'x /:'x

k2 .- f(x j + 2 ' u/ 2 k1)

k4 .- f(X j MX,U/Mk 3) .

-455-

Weitere Formeln fUr m> 2 wollen wir hier nicht mehr diskutieren.

Die eben diskutierten numerischen Verfahren (4a) bis (4c) lassen sich allgemein

schreiben in der Form:

wobei ~(.) die Verfahrensfunktion heiSt. Setzt man hier die exakten Losungswerte

Y(Xj) ein, dann wird die rechte Seite natUrlich nicht mehr exakt Null sein. Wir

nennen

(5)

den lokalen Abschneidefehler des Verfahrens an der StUtzstelle xj . Er ist ein

MaS dafUr, wie gut das numerische Verfahren das exakte Problem (1) annahert.

Falls gilt

dann nennt man das Verfahren konsistent von der Ordnung p. Es gilt

a) Das Polygonzugverfahren (4a) ist konsistent von der Ordnung 1,

b) die Trapezregel (4b) ist konsistent von der Ordnung 2,

c) das Runge-Kutta-Verfahren (4c) ist konsistent von der Ordnung 4.

Beispiel:

Das Anfangswertproblem

y' (x) = l+/(x) , X€[O,ll y(O) = 0

hat die Losung y(x) = tg x.

Wirwollen die drei Differenzenverfahren (4a), (4b), (4c) fUr D.X =i, also N = 2 testen. ~t Uo = 0 ergeben sich fUr j = 0,1 nacheinander die Formeln:

1 2 122 uj + 4(2+u j +(u j + 2 (l+u j )) )

mit 2 k1 .- l+u j ,

-456-

In der folgenden kleinen Tabelle sind neb en den exakten Werten be; xl = i und x2 = 1 die jeweiligen Naherungen sowie die Fehler ej = y(xj)-uj angegeben:

Polygonzu verfahren Trapezregel ~unge-~utta-Vertanren

j y(xj ) uj ej uj ej uj ej 11 0.5463 ... 0.5 U.046 ... U.5625 -0.016 ... U_. 546u ... 0.0003 ...

2 1. 5574 ... 1.125 ... 0.43 ... 1. 5141 0.043 ... 1. 5546 ... 0.0028 ...

- 457-

Verzeichnis der Symbo1e und AbkUrzungen

Symbole Symbole !N, !N o,2 , 0) , IR, (t 1, 2, 4t x(t) 197 ->, < , < > 4 af

fX=:il( 210

1'1, 1'1 4, 32 \If = aradf D .. f 215 {, .. ), e, C , t,¢,V,fl,\ 6 a(x,y",. ) 218 a\u v, .. l: 7 anf n!, II

f xx' a;(IT 221 9

(" ) 10 L\U = U +u +u 222

~ - Nu11punkt des IR 27 xx yy zz

... (Uber einem Buchstaben) 30 fJ, fff 234, 240

... G G ei , e; 32, 36 V·W, vxw 32, 37 ~, ~, #> 251, 253, 275

1: (u,v) 33 div, grad, rot 262, 263 [u,v,wl 40 'V, V·, \/x 263 i = A~ 45 f(a+), f(a-) 362

argz, z 47 48 G G aG ,QA

[ ], ( ), [ ), ( 1 54 Res f(z) 409 inf, sup <;4

Zo

lim 56 (p,q) bezeichnet den groBten gemeinsamen a ... b ... (Zuordnungssymbo1) 62 Tei1er von p und q fUr

-> (strebt gegen) 209 p€ 7L , qe~

-> (strebt gleichmaBig gegen) qlp bedeutet: q tei1t p fUr glm 97 pe 7l , qe~

fog hh . _{+1' falls a ~ 0 L\X, dx, L\f, df, f' df 69 51 9 a - -1, falls , Ox a < 0 f", f(n) 79 lim sup = nm 92 IR+ 101

Ib f , f 124, 125 a

IR n 151, 152 ( .. ,)T AT A* 152, 160 IR (m,n), (t(m,n) 159

dim 153

rgA, DetA = I * I 166, 167

Aadj. SpA = SpurA 171, 183

-458-

Wir erklaren noch die folgenden, im Text auftretenden Symbole und AbkUrzungen:

x := y

x ~ y

x ~ y

x « y

x » y

f " 9 -# bzw. 4· max M

min M exp(x)

Ogl. bzw. Ogl n

FS

RWP

x ist definitionsgemaB gleich y

x ist ungefahr gleich y x ist proportional y

x ist sehr viel kleiner als y

x ist sehr viel groBer als y

Funktion fist identisch gleich 9

Normalen- bzw. Tangentenvektor supM, falls supMeM infM, falls infMeM eX

Oifferentialgleichung bzw. Oifferentialgleichungen

Fundamental system

Randwertproblem

Ein Stern unter dem Integralzeichen: f* bezeichnet einen Integranden, des sen

Gestalt aus dem Zusammenhang im Text eindeutig klar hervorgeht.

Ab Kapitel 10 werden die Vektoren nicht mehr durch Pfeile gekennzeichnet. Aus­nahmen werden in Abschnitt 16.5 und stellenweise in Abschnitt 20.2 gemacht.

Mit en [a,b] bzw. en(G) wird die Menge aller auf [a,b] bzw. G definierten Funk­tionen bezeichnet, die dort stetige Ableitungen bzw. stetige partielle Ablei­tungen bis zur Ordnung n besitzen.

LIT ERA T U R

a) Allgemeine Literatur [1] B1ickensdorfer-Eh1ers; Eschmann; Neunzert; Sche1skes: Mathematik fUr Physi­

ker und Ingenieure (2 Bde). Springer 1980/82.

[2] Brauch, W.; Dreyer, H. J.; Haacke, W.: Mathematik fUr Ingenieure des Ma­

schinenbaus und der E1ektrotechnik. Teubner Stuttgart 1977.

[3] Burg, K.; Haf, H.; Wille, F.: Hohere Mathematik fUr Ingenieure (4 Bde). Teubner Stuttgart 1985/86.

[4] Hainzl, J.: Mathematik fUr Naturwissenschaft1er. Teubner Stuttgart 1974.

[5] Laugwitz, D.: Ingenieurmathematik (5 Bde). 81 Mannheim Nr. 59-62, 93.

[6] Luh, W.: Mathematik fUr Naturwissenschaft1er (2 Bde). Akadem. Verlagsge­sel1sch. Wiesbaden 1978, 1982.

[7] Tietz, H.: EinfUhrung in die Mathematik fUr Ingenieure (2 Bde). Vanden­

hoeck u. Ruprecht Gottingen 1979/80.

b)· Nachschl agewerke· und· Aufgabensamml ungen [8] Bronstein, I. N.; Semendjajew, K. A.: Taschenbuch der Mathematik. Harri

Deutsch Frankfurt 1981.

[9] Laugwitz, D.; Schmieden, C.: Aufgaben zur 1ngenieurmathematik. B1 Mannheim Nr. 95.

[10] Spiegel, M. R.: Hohere Mathematik fUr Ingenieure und Naturwissenschaft1er. Schaum's Outline, McGraw-Hill 1978.

c) Zusatzliche Literatur

[11] Carrier, G. F.; Pearson, C. E.: Partial Differential Equations. Academic Press 1976.

[12] Collatz, L.: Differentia1g1eichungen. Teubner Stuttgart 1973.

-460-

[13] Janich, K.: Analysis fUr Physiker und Ingenieure. Springer 1983.

[14] Lingenberg, R.: EinfUhrung in die Lineare Algebra. BI Mannheim 1976.

[15] Strang, G.: Linear Algebra and its Applications. Academic Press 1976.

[16] Wylie, C. R.: Advanced Engineering Mathematics. McGraw-Hill 1975.

SACHVERZEICHNIS

A

Abbildung 155

-, konforme 423

-, 1 ineare 155

Abelscher Grenzwertsatz 109, 115

Abhangigkeitsintervall 381

Ab 1 eitung 69

in einer Richtung 214

komplexe 398

partielle 210 Tabelle von 120, 121

tota 1 e 211 Abschneidefehler 455

Ahnlichkeits-Ogl. 289

~hnlichkeitstransformation 185

Alternativsatz 343

Amplitude 355

Anfangswertproblem 299 f ~quipotential-Flachen 270

-, Linien 425

Archimedisches Prinzip 232 Arcus-Funktionen 76 f Area-Funktionen 116 f

B

Bahnbeschleunigung 203

Bahngeschwindigkeit 198

barometrische Hohenformel 103

Basis 153

Bernoulli'sche Ogl. 293

Bernoulli'sche Ungleichung 8

Bessel'sche Ogl. 335

Bessel'sche Ungleichung 361

bestimmtes Integral 124

Bestimmtheitsbereich 381

Betrag einer Zahl 4 bijektiv 156

Bild 156

Binomialkoeffizient 10

Binomische Reihe 107 f

Binomischer Satz 11

Bogenlange 198

Bolzano-WeierstraB 55

Brachystochrone 428, 434

C

Cauchy-Folge 59

Hadamard 92

Integralformeln 418

Integra 1 satz 406

Konvergenzkriterium 59

Produkt 95

- Riemann'sche Dgln 399

Charakteristiken 392

-, der Wellengleichung 381

-, Verfahren 391

charakteristische Gleichung 183

charakteristisches Polynom 183, 324 Cramer'sche Regel 176

o Oefinitionsbereich 62

Determi nante 39, 41, 166

Deviationsmomente 190

Diagonalmatrix 186

Differential, totales 213

Differentialgleichung 280

- ~hnlichkeits 289

- Bernoulli 293

Bessel 335

Cauchy-Riemann 399

ell i pti sche 366 - Euler 375

exakte 296

hyperb 01 i sche 366

lineare 291,318

parabol ische 366

Ri ccati 295

Oifferentialquotient 69

Differenzenquotient 69

Differenzenverfahren 305, 336, 453 f

Oimension 153 ~ .. hl t P bl 279, 368, 372 ul rl C e - ro em 427, 437 tJivergenz 262

Orehimpuls 190

tJreiecksmatrix 186

Dreiecksungleichung 5, 36

Durchbiegung eines Stabes 283

E

Ebenengleichung 42

Eigenfunktion 346

Eigenvektor 183 Eigenwert 183 Eigenwertproblem 182, 346

-, numerische Losung 451 f

Einzelschrittverfahren 449 elementare Funktion 145, 209 elementare Umformung 164 elementar integrierbar 145

Eliminationsverfahren 177, 180

elliptische Dgl. 366

elliptisches Integral 200

Energie-Ell ipsoid 191

Erzeugendensystem 153

Euklidischer Betrag 154

Euklid, Satz von 8

Euler'sche Ogl. 375 Euler'sche Gleichung 432, 433 exakte Ogl. 296

Exponentialfunktion 99, 416 Extremale e. Funktionals 430

Extremum 80, 227

- 462-

F

Faustregel 327

Fermat'sches Prinzip 82

Finite Elemente 438 f

Flachenelement 258

Fl achensa tz 207

Folge 56

Divergenz einer 56

- Grenzwert einer 56

Konvergenz einer 56

- monotone 60

Fourier-Koeffizient 357

-, Polynom 356

-, Reihe 362

freier Fall 282, 312

Frequenz 355

Fundamentalsatz der Analysis 127

-, fUr holomorphe Funktionen 407

-, der Variationsrechnung 431 Fundamentalsystem 319 Funktion 62

antitone 74 - differenzierbare 69

- elementare 209 - gerade 119

- gleichmaBig stetig 64

harmonische 264, 402

'morphe 400

integrierbare 234

- isotone 74

- komplex differenzierbare 398

- konkave 79

- konvexe 79 lipschitzstetige 64, 300

- monotone 75 - partiell differenzierbare 210 - periodische 355

- rationale 63

stetige 64, 209

totaldifferenzierbare 211

ungerade 119 zusammengesetzte 66

Funktional 430

Determi nante 242

kltrix 218

G

r- Funkti on 148

Gauf}- El i mi na ti on 180

Gauf}-Jordan-Elirilination 177

GauB, Satz von 21, 53, 273, 275

Gauf}-Seidel-Verfahren 449 Gebietsintegral 234 f

gedampfte Schwingung 329

Geodati sche 429 Gesamtschritt-Verfahren 448 f -, numerische Losung 446

Geschwindigkeitspotential 403

glatte Funktion 362

-, Fl ache 257

-, Kurve 250 Gleichungssystem 172 f - gestaffeltes 181 -, homogenes 173

-, 1 i neares 172

Gradient 215

Gradientenfeld 254 Graph -einer Funktion 208

Green, Satz von 274

Grundcharakteristiken 395

H

Haufungspunkt 54

Hamilton-Operator 263

harmonische Funktion 264, 402

harmonische Schwingung 329 Hauptminor 183

Hauptteil einer Laurent-Reihe 417

- 463-

Haupttragheitsachsen 192 Hesse'sche Matrix 226

-, Normalform 29,43

holomorph 400

Holomorphiegebiet 400

homogenes Gleichungssystem 173

Horner-Schema 14

Hydrodynamische Gleichung 397

Hyperbelfunktionen 113

hyperbolische Dgl. 366

Infimum 54

inhomogenes Gleichungssystem 173

injektiv 156

Integrabilitatsbedingung 254, 297

Integral 124 -, bestimmtes 124

-, unbestimmtes 125

Integralbasis 319

Integralformeln von Cauchy 418

Integralsatz von Cauchy 406

- GauB 273,' 275 -, Green 274

-, Stoke~ 273, 275 Integration von Potenzreihen 129

Integration, numerische 148

Integrierender Faktor 298 holG

Interpolation 442 f Interpolationspolynom 443

interpolatorische Quadratur 442 I nterva 11 54 invertierbare Matrix 169

Isoklinien einer Dgl. 285

isoperimetrisches Problem 429

Iterationsmatrix 447

Iterationsverfahren 446 f Jacobi-Verfahren 448 f

K

kartesische Koordinaten 24 Kern 156 Kettenlinie 341, 437 Kettenregel 71, 216

kompressibel 396 konform 422 Konsistenz 455 Kontinuitatsgleichung 397 Konvergenz einer Folge 56 -, einer Funktionenfolge 97 -, gleichma6ige 97

Konvergenzbereich 91, 92 Konvergenzkreis 414

Konvergenzradius 92, 414 Koordinatenvektor 193 KrUmmung 201 KrUmmungs-Kreis 202 -, Radius 202 Kugel-Koordinaten 243 Kurve im Raum 197 Kurvenintegral 251 - Hauptsatz 254 - komplexes 404

L

Laplace-uperator 264 Laurent-Reihe 416 Leibn~kriterium 90 L-Hospital, Satz von 85 lineare Abbildung 155

Linearfaktoren 20 lineare Ogl. 291, 313, 318 -, Gleichungen 28, 172 -, Vektorraum 150 linear unabhangig 152, 318 Liouville, Satz von 419 Lipschitz-Bedingung 300 L ipschitz-Konstante 64

-464-

lipschitzstetig 64, 300

Logarithmus 99, 425

M

~~jorantenkriterium 88 Matrix 159 -. adjungierte 170

-, diagonalahnliche 186 - hermitesche 186 - invertierbare 169 - nichtsingulare 169 - orthogonale 186 - pasitiv definite 189 - regul are 169 - symmetrische 186 - transponierte 160 - uni tar~ 186 - Vandermonde'sche 325 - Wronski'sche 318 Matrixnorm 448

~'aximum 80 f, 227 t-t!nge 6 f lIe6fehler 231 M; 1 ne- Rege 1 444

Mi nima lfl achenprob 1 em 429 Minimum 80 f, 227 Mises, Verfahren von 451 Mi ttelwertsatz 77, 223 -, der Integralrechnung 126, 235

~bivre, Formel von 48 Multiplikationssatz fUr Oeterminanten 172

N

Nabla-Operator 263 Neumann-Problem 368 Newton-Cotes Formeln 443 f Newton'sches Potential 270 Newton-Verfahren 22, 83 nichtsingulare Matrix 169

Niveaulinie 208

i~orm einer ~atrix 448

-, eines Vektors 448 Normalenvektor 34, 258

Nullstellensatz 67

- 465-

Taylorentwicklung von 18

- trigonometrische 356

positiv definit 189

Pote~:ial-Funktion 254

-, G1eichung 264

numerische Integration 148, 443 f -, Strbmung 276 numer. Lbsung v. G1eichungssystemen 446f Potenzreihen 91 f

-, von Eigenwertproblemen 451 f

o Oberf1achenintegra1 259

Orthogona1itat 154

-, der Winkelfunktionen 356

orthonormierte Basis 155

Ortsvektor 33

P

parabolische Dgl. 366

Parameterdarste11ung 197

Parseva1 'sche G1eichung 361

partie11e Ab1eitung 210

-, Integration 131

Partia1bruchzer1egung 139 Pasca 1 'sches Orei eck 11

Peano, Satz von 300

Permutation 12

Phasenverschiebung 355

Pivotsuche 180

Poisson-G1eichung 367, 372

-, Integralforme1 379

Pol einer komp1. Funktion 417

Po1arkoordinaten 27, 243

Polygonzugverfahren 306, 336, 454

Po1ynome 14

Division von 16 komplexe 52 f

Nullstellen von 19, 53 ree 11 e 14 f

Differentiation von 97

Identitatssatz fUr 99, 415

komp1exe 413 f

Konvergenz von 92

Tabe11e von 120, 121

Pote~'reihenansatz 302, 335

Produktansatz 347, 374,38r;

Produktintegration 131

Produktrege1 70

Projektion 24, 30

Q

quadratische Form 189

Quudratur, interpo1atorische 442 Quelle einer Strbmung 276

Quotientenkriterium 89, 93 Quotientenregel 70

R

radioaktiver Zerfall 103, 282

rationale Funktion 138

Randmaximumprinzip 378 f Randwertproblem 338

halbhomogenes 342

inhomogenes 342

1ineares 342

Sturm'sches 338

vo11homogenes 342

Rang 166

regulare Matrix 169

Rei he 86 f

absolut konvergente 90

a lterni erende 90

bedingt konvergente 90

- binomische 107

di vergente 87

Fourier 361 f

geometrische 86

harmonische 87

konvergente 87

trigonometrische 355, 361 f

Res i duensatz 410

Residuum 409

Resonanz 330

Restglied 105, 106

Riccati'sche Dgl. 295

Richtungsableitung 214

Richtungsfeld einer Dgl. 285

Ritz-Verfahren 438 f

Rotation 263 Rotationsenergie 191

Rotationskorper 248 Runge-Kutta Verfahren 454 f

S

Saite, schwingende 347

Sattelpunkt 227

Schranke 54

schrittweise Naherung 304 f

Schwerpunkt 190, 246

Schwingungen eines Pendels 283, 328

Senke einer Stromung 276

Simpson-Regel 149, 444"f

Singularitat einer hol. Funktion 409

Skalarprodukt 32, 36, 154 Spaltenrang 164 Spatprodukt 40 Spektralradius e. ~atrix 447

Spur 183

Stab, belasteter 339 f

-466-

Stammfunktion 122

Stationarer Punkt 79, 228

Steti gkei t 64

stetiges Wachs tum 104

Storfunktion 324, 327

Stokes, Satz von 273, 275

Stromfunktion 403

stUckweise glatt 233, 362

StUtzstellen 442

StUtzwerte 442 Substitutionsregeln 135 f, 242

Supremum 54

surjektiv 156

Systeme von linearen Gleichungen 172 f

-, von Dgln 330 f

T

Tangentenvektor 198, 257

Tangentialebene 212 Taylor-Po1ynom 105 -, Rei he 106

Taylor'sche Forme 1 224, 105

Teilfolge 60

Tensor 194 f -, produkt 196

Torus 248

totale Ableitung 211

totales Differential 213

Tr~gheits-El1ipsoid 192

- i10ment 190, 247

Tensor 190

Translationsenergie 191

Trapezregel 149, 444 f

Trennung der Veranderlichen 287 Triangulierung 438, 441

trigonometrische Funktion 25 f, 416

U

Umkehrfunktion 75

unbes ti mmtes Integra 1 125

Untervektorraum 153

V

Vandermonde'sche Matrix 325

Variation der Konstanten 291, 321

Variation, erste 430, 431

Vektor 30, 151

Vektorfeld ('62

Vektornorm 448

Vektorprodukt 37

Vektorraum 150

Verfahrensfunktion 455

W

Warmeleitungsgleichung 370, 385

Wahrscheinlichkeit 13

Wellengleichung 222, 368, 379

Wertebereich 62

Winkelfunktionen 25 f, 416

Wirbel einer Stromung 276

Wronski'sche l'latri x 318

Wurzelkriterium 89, 93

Wurzeln komplexer Zahlen 49 f

Z

Zahl 1 f

imaginare 47

komplexe 45

konjugiert komplexe 48

rationale

ree 11 e 3

Zeilenrang 164

Zentralkraftfeld 206

zusammengesetzte Abbildung 158

Zwischenwertsatz 68

- 467-

Zylinder-Koordinaten 244