311

Astrid Fischer

Gegenseitige Beeinflussungen von Darstellungen und Vorstellungen zum Vektorraumbegriff

Zusammenfassung

Der Aufsatz zeigt, wie sich sowohl innere, gedankliche als auch äußere, durch Zeichen gegebene, Repräsentationen von Wissen in einem Aufgabenkontext auswirken, in dem Studierende sich mit einer linearen Abbildung zwischen zwei verschiedenen Vektorräumen auseinander setzen. Die Be­obachtungen stammen aus einer Fallstudie mit drei Probandinnen und Probanden, mit denen je­weils ein Einzelinterview geführt wurde. Die Ergebnisse werden in Beziehung zu semiotischen Erwägungen hinsichtlich der Rolle von Darstellungen beim Lernen von Mathematik und zu Grundvorstellungen von Vektorräumen gesetzt. Für Vorstellungen wie für Darstellungen wird der Basisbegriff als ein zentrales Repräsentationsinstrument diskutiert.

Abstract

This artic1e discusses the influence of inner, cognitive representations and of outer representations of knowledge in the setting of a linear mapping between two different vector spaces. A case study with three university students observes them in three separate interviews where they deal with a mathematical problem. The results of this study are discussed in respect to semiotic considerations on the role of signs on learning mathematics and in respect to general concepts of adequate inner representations of vector spaces. The concept of "basis" is discussed as a central tool for both kinds of representations.

1 Forschungsinteresse

Überall in der Mathematik spielen Beschreibungsformen von Objekten, Operationen und Zusammenhängen eine zentrale Rolle. Das Wechseln von Zeichensystemen dient nicht nur einer anderen Darstellung von fertigen Ergebnissen, sondern wird vielfach zur Fort­entwicklung der Erkenntnisse eingesetzt. Fischer (2006b) zeigt Beispiele, in denen Stu­dierende formale Zeichen als Werkzeuge einsetzen, nicht nur zum Weitergeben ihrer mathematischen Ideen, sondern auch zur Denkorientierung für sich selbst. In diesen Bei­spielen beeinflussen die selbst gewählten Zeichen die weiteren Überlegungen der Studie­renden. In diesem vorliegenden Aufsatz wird das Prinzip der Anregung mentaler Prozes­se durch äußere Darstellungen aufgenommen und in einem vielschichtigen Beziehungs­komplex untersucht. Der Kontext, in dem diese Prozesse beobachtet werden, ist die Er­örterung einer linearen Abbildung zwischen zwei Vektorräumen. Hier spielen Strukturie­rungen von Vektorräumen mit Hilfe von Basen eine zentrale Rolle. Der Basisbegriff ist ein Ordnungsinstrument, das einerseits in äußeren, formalen Darstellungen zum Notieren von Vektorraumelementen und linearen Abbildungen verwendet wird, zugleich aber auch zur Strukturierung von persönlichen Vorstellungen eines Vektorraums und einer li­nearen Abbildung geeignet ist. Der Artikel fragt nach situationsgebundenen Vektor-

(JMD 28 (2007) H. 3/4, S. 311-330)

312 Astrid Fischer

raumvorstellungen und ihren Entstehungsgeschichten, soweit sie sich aus Einflüssen ge­gebener Darstellungsformen und möglichen bereits vorhandenen Vorstellungen konstitu­ieren. Eine Wechselwirkung zwischen diesen beiden Komponenten wird auf verschiede­nen Ebenen untersucht: Seitens der Darstellungen sind das die reinen Schreibfiguren, die in der Aufgabenstellung vorgegeben werden, aber auch die grundsätzliche Bedeutung von Basen fiir die Strukturierung eines Raums und einer linearen Abbildung, einschließ­lich der Implikationen eines Basiswechsels. Seitens der persönlichen Vorstellungen einer Person sind das ihre Orientierungs- und Strukturierungsprinzipien im Kontext von Vek­torräumen, die insbesondere in einer Begegnung mit einem Wechsel des Bezugssystems herausgefordert sind.

Das folgende Kapitel gibt einen kurzen Einblick in theoretische Konzepte fiir das Zu­sammenspiel von äußeren Zeichen und Vorstellungen. Dazu gehört eine semiotische Sichtweise zur Bedeutung von Zeichen und eine Erörterung der Rolle von Vorstellungen beim Lernen von Mathematik. Das Kapitel entfaltet so dann eine Sachanalyse zum Vek­torraumbegriff. Hier werden Grundvorstellungen erörtert, welche wesentliche Aspekte von dem, was einen Vektorraum ausmacht, beinhalten. Diese Grundvorstellungen wur­den ursprünglich in ihren Hauptgesichtspunkten aus dem Verhalten von drej Studieren­den in mehreren Interviews abgeleitet. Die Merkmale der individuellen Vorstellungen wurden dann in einer stoffdidaktischen Analyse auf ihre Tragfähigkeit als Modelle fiir den Vektorraumbegriff hin untersucht und konstituieren in modifizierter Form in die Grundvorstellungen (Vgl. Fischer, A. 2003). Das dritte Kapitel beschäftigt sich mit drei Fallstudien mit den erwähnten Studierenden 1. Eine erste hypothesengeleitete Deutung der Daten zeigt mögliche situationsbezogene Vorstellungen der Probandinnen und Pro­banden auf. Diese Vorstellungen werden dann - soweit möglich - mit Merkmalen der in der Sachanalyse genannten Grundvorstellungen beschrieben. Das Zustandekommen der vermuteten individuellen, situationsbezogenen Vorstellungen wird aus einem Zusam­menspiel der Einflüsse gegebener Zeichen und möglicher, bereits zuvor vorhandener Vorstellungen erklärt. Im Schlusskapitel werden die Ergebnisse zusammengefasst und Konsequenzen aus den gewonnenen Erkenntnissen fiir die Lehre vorgeschlagen.

2 Repräsentationen in der Vektorraumtheorie - eine Sachanalyse zum Vektorraumbegriff

Objekte wie Vektorräume und ihre Elemente, lineare Abbildungen und Ähnliches, mit denen sich die lineare Algebra beschäftigt, sind nicht gegenständlich.2 Daher gestaltet sich ein unmittelbarer Verweis auf ein Objekt dieser Art schwierig. Für Prozesse des Entwickelns oder Lernens von Mathematik sind Darstellungen und Vorstellungen zwei Mittel, die fiir eine Konstruktion von mathematischen Objekten und einen Umgang mit ihnen eine wichtige Rolle spielen. Während hier mit "Darstellungen" äußere Repräsenta-

2

Ihre Namen sind in Fischer, A. (2003) mit den Anfangsbuchstaben abgekürzt. (Die drei Fall­studien in Fischer (2006a) beziehen sich auf andere Studierende.) V gl. Sfard (2000).

Vektorraumbegriff 313

tionen - dazu gehören insbesondere formale Zeichen, aber auch verbale Erläuterungen -eines mathematischen Begriffs bezeichnet werden, verweist der Ausdruck "Vorstellun­gen" auf die internen, gedanklichen Repräsentationen dieses Begriffs. Letztere können ebenfalls verschiedene Formen annehmen, etwa netzwerkartige Schemata, die über As­soziationen arbeiten, visuelle Bilder oder kognitive Modelle, welche die Funktionsweise des repräsentierten Begriffs widerspiegeln. Unterschiedliche didaktische Blickrichtungen auf Vektorräume betonen unterschiedlich stark die Bedeutung des syntaktischen Um­gangs mit formalen Darstellungen in Vektorräumen und die Rolle der Konstruktion von individuellen Vorstellungen über die Struktur und Funktionsweise von Vektorräumen.

2.1 Epistemologische Aspekte der Vektorraumtheorie

Zahlreiche Autoren3, die sich mit dem Lernen von Studierenden in der linearen Algebra

beschäftigen, bezeichnen die lineare Algebra als besonders schwierig zu lehren. Sie be­klagen ein unzulängliches Begriffsverständnis bei ihren Studentinnen und Studenten, das sich darin zeigt, dass viele Lernende zwar Prozeduren kopieren können, ihre Kenntnisse nicht aber in andere Notationsformen oder auf andere Problemstellungen übertragen und dort nutzen können. Einige Autoren ziehen den Schluss, dass die strukturmathemati­schen Aspekte der linearen Algebra eine Überforderung für die meisten ihrer Schüler sind, und zumindest in Anfangerkursen der Schwerpunkt der Lehre auf das Rechnen mit Matrizen gelegt werden sollte, ohne ein tieferes Begriffsverstehen anzustreben.4 Diese Position, die den Aufbau von Vorstellungen über allgemeine Handlungs- und Ordnungs­prinzipien in Vektorräumen ausklammert, scheint mir jedoch zu kurz gegriffen.

Lengnink & Predig~r (2000) fragen demgegenüber nach der Bedeutung der linearen Algebra für Lernende im Sinne eines Alltagsbezugs. Sie stellen die Tätigkeiten in den Vordergrund, die in der linearen Algebra eine zentrale Rolle spielen, und als "Denkhand­lungen" Alltagserfahrungen widerspiegeln. Sie heben unter diesen das Erzeugen und das Aussondern hervor. Diese Denkhandlungen werden in der linearen Algebra in einer ma­thematikspezifischen Weise gestaltet. Dazu gehört insbesondere: sie werden formalisiert. Anstelle einer Reduzierung der linearen Algebra auf den formalen Umgang mit den Ob­jekten in Vektorräumen wird bei diesem Formalisieren von Tätigkeiten der Bezug zu vertrauten, alltäglichen Erfahrungen - und damit zu Vorstellungen, die vom Alltag ge­prägt sind - hergestellt. Auch Brieskorn (1983) legt besonderen Wert auf sinnstiftende Bezüge, indem er Strategien und Motive für mathematisierende - also insbesondere for­malisierende, theorieentwickelnde - Handlungen bei der Entstehung der Vektorraumthe­orie aufzeigt.5 Dorier (2000) setzt bei der Entwicklungsgeschichte der linearen Algebra an. In einer ausführlichen epistemologischen Analyse kommt er zu dem Schluss, dass

4

V g1. die Sammelbände Carlson et a1. (1997a) und Dorier (2000), in denen jeweils in einer Rei­he von Aufsätzen diese Merkmale hervorgehoben werden. Dazu gehören unter anderen die Beiträge von Harel (1997), Vinner (1997), Hillel (2000) und Sierpinska (2000). V g1. die Empfehlungen der "Linear Algebra Curriculum Study Group" fiir die US­amerikanischen Colleges (Carlson et al. (1997b )). Dies geschieht 2.B. auf den Seiten 74 - 96 unter der Leitfrage: "Wovon handelt die lineare Al­gebra?" und auf den Seiten 102 - 146 unter der Frage "Wovon handelt die analytische Geo­metrie?"

314 Astrid Fischer

der Vektorraumbegriff sich historisch als Gemeinsamkeit einer Vielzahl von sehr unter­schiedlichen Forschungsinteressen und -ergebnissen herausgeschält hat. Er zeigt, dass als Folge dieser Entwicklung, verschiedene mathematische Objekte und Operationen durch eine gemeinsame Darstellung zu repräsentieren, die modeme Vektorraumtheorie durch ein hohes Maß an Formalisierung gekennzeichnet ist. Formale Zeichensysteme werden hier also als ein Mittel zur Repräsentation verwendet, das sich für Objekte und Operationen ganz unterschiedlicher Art eignet und zudem zur Darstellung allgemeiner, organisierender Begriffe verwendet wird. Gerade die allgemeine Verwendbarkeit der formalisierten Darstellungen in der Vektorraumtheorie, die Studierenden so viel Mühe bereitet, ist nach Dorier in der epistemologischen Entwicklung der Theorie begründet und ein unverzichtbares Charakteristikum.

Für die didaktische Forschung stellt sich die Frage, wie Lernende die Kemideen der Vektorraumtheorie in eigenen Vorstellungen erfassen und mit den formalen Repräsenta­tionen verbinden können.

Eine Möglichkeit des Vorgehens ist eine anHingliche Auseinandersetzung mit einem oder mehreren Vektorraumbeispielen, wie dies in der historischen Genese der Theorie geschah. Dorier et al. (2000) wählen diesen Ansatz. Sie wollen damit nicht nur Bei­spielmaterial bereitstellen, sondern auch das Bedürfnis nach einer einheitlichen Darstel­lung der verschiedenen Phänomenbereiche wecken, um den Nutzen des Werkzeugs der Formalisierung zu vermitteln. Bei diesem Vorgehen werden Referenzkontexte6 angebo­ten, in denen spätere allgemeine Darstellungen durch Lernende gedeutet werden können. Die Bedeutung von Referenzkontexten fur das Lernen von mathematischen Konzepten erklärt Steinbring (2005) folgendermaßen: Solange Lernende die abstrakte Begriffsbe­deutung, auf die ein mathematisches Zeichen verweisen soll, noch nicht mental kon­struiert haben, brauchen sie als Ersatz einen Referenzkontext, in dem der Begriff in ein­gebetteter Form erscheint, und der vorläufig als Referenzobjekt verwendet werden kann. Ein solcher Kontext wird Lernenden das Ausbilden von Vorstellungen erleichtern.

Ein anderer Zugang zur Vektorraumtheorie kann durch den Umgang mit formalen Darstellungen geschehen, wie sie mit den Vektorraumaxiomen gegeben sind. Hier wird das Zeichensystem selbst - Objekte sowie Operationen mit den zugehörigen Regeln -, welches durch die Axiome bereitgestellt wird, zum Gegenstand mathematischer Betrach­tung. Durch Transformationen dieses Systems werden Schlussfolgerungen gezogen. Die­ser Ansatz entspricht der axiomatisch-deduktiven Form, in der mathematische Ergebnis­se üblicherweise veröffentlicht werden. Das beschriebene Vorgehen passt zu den Prinzi­pien des diagrammatischen Denkens: Ein wesentlicher Bestandteil dieses Denkens ist das Transformieren von Zeichensystemen, welche mathematische Strukturen widerspie­geln. Ein Merkmal dieser Denkhaltung ist, dass man sich innerhalb der Diagramme und ihrer Transformationsmöglichkeiten nicht dafür interessiert, ob sie referentielle Bedeu­tung haben. Sie werden als mathematische Objekte an sich aufgefasst, nicht als Stellver-

6 V gl. Steinbring (2005).

Vektorraumbegriff 315

treter für andere, z. B. abstrakte, gedankliche Objekte.7 Dieser Zugang fragt also nicht nach Vorstellungen, die mit dem mathematischen Handeln einhergehen.

Der zunächst rein syntaktische Umgang mit Zeichen, die als eigenständige Objekte, statt als Referenzen für andere (konkrete oder abstrakte) Objekte angesehen werden, kann jedoch in einem späteren Schritt zu einer gedanklichen Konstruktion von abstrak­ten Objekten führen, welche als Referenzen für die Zeichen verstanden werden. Diesen abstrakten Objekten wird gedanklich quasi der Charakter von Gegenständen zugespro­chen. Ihre Eigenschaften ergeben sich aus dem, was man über die auf sie verweisenden Zeichen weiß. Sie sind somit letztlich aus der Syntax abgeleitet. 8

Meines Erachtens ist bei bei den Ansätzen erforderlich, dass Lernende neben den un­mittelbaren äußeren Darstellungen, die ihnen dargeboten werden - sei es im Kontext ei­nes Vektorraumbeispiels oder als Axiomensystem -, Vorstellungen über das Gefüge entwickeln, in dem die jeweiligen Bestandteile untereinander stehen, und das abstrakt durch die Vektorraumaxiome beschrieben wird. Nach Fischbein (1987)9 sind solche Vorstellungen wichtig, weil sie besser an das individuelle Denken angepasst sind als äu­ßere Darstellungen. Er spricht nicht nur von bewusst geformten Vorstellungen, sondern insbesondere auch von unbewusst aufgebauten Vorstellungen, die er "tacit models" nennt, und denen er großen Einfluss beim produktiven Denken zuspricht.

2.2 Der Basisbegriff als Werkzeug zum Ordnen

Ein Instrument zur Repräsentation eines Vektorraumgefüges, das sowohl für Darstellun­gen verwendet wird, als auch für Vorstellungen ein geeignetes Gerüst geben kann, ist der Basisbegriff. Diese Doppelfunktion wird in diesem Abschnitt für endlich-dimensionale Vektorräume beleuchtet.

Die mathematische Struktur eines Vektorraums ist durch die Vektorraumaxiome vollständig festgelegt. Die Axiome implizieren jedoch eine Fülle von Beziehungen, wel­che nicht unmittelbar aus den Voraussetzungen ersichtlich sind. Diese Beziehungen fin­den formal ihren Ausdruck in Begriffen wie "Untervektorraum", "Linearkombination", "lineare Abhängigkeit", "lineare Unabhängigkeit", "Erzeugendensystem", "Basis", "Di­mension" und "lineare Abbildung" und in Sätzen über diese Begriffe. Ein tragfahiges kognitives Modell des Vektorraumbegriffs ist mehr als ein inneres Abbild der Vektor­raumaxiome. Es strukturiert die Elemente eines Vektorraums in einem Beziehungsgefü­ge oder, aus einer anderen Sicht formuliert, es lotet die Handlungsmöglichkeiten aus, die dieser Raum zulässt.

Der Begriff der "Basis" stellt ein Werkzeug zum Ordnen bereit, welches sowohl in Darstellungen wie auch in Vorstellungen Anwendung findet. Zunächst einmal besitzt je­der endlich-dimensionale Vektorraum eine Basis. Wenn man eine solche Basis kennt,

9

Das Diagrammatische Denken ist z. B. in Dörfler (2002) erläutert. Dörfler (2003) gibt Beispie­le aus der linearen Algebra, wie durch diagrammatisches Schließen neue Erkenntnisse gewon­nen werden. Zu der Entstehung gedanklicher, abstrakter Objekte aus dem Umgang mit zunächst bedeu­tungsfreien Zeichen vgl. Sfard (2000). Vgl. Fischbein (1987), S. 122.

316 Astrid Fischer

kann man durch lineares Kombinieren mit ihrer Hilfe alle Elemente des Vektorraums konstruieren; sie werden über diese Basis in einer bestimmten Beziehung zu einander beschrieben. Die Basiselemente stellen quasi Elementarbausteine dar, aus denen ein "Gebäude" - der Vektorraum - errichtet wird. Jedes Element des Vektorraums besitzt einen in Bezug auf die Elementarbausteine eindeutig bestimmten individuellen Bauplan, nach dem es erzeugt bzw. durch den es beschrieben wird: Dies geschieht mit Hilfe seiner "Koordinaten" bzgl. der gewählten Basis. Nun gibt es aber zumeist sehr viele verschie­dene Basen in einem Vektorraum. Ein Basiswechsel bedeutet den Übergang zu einem anderen System von Elementarbausteinen. Dabei bleibt das architektonische Prinzip er­halten, aber die individuellen Baupläne der Elemente werden angepasst. Durch die Wahl einer bestimmten Basis werden bestimmte Teilstrukturen des Vektorraums hervorgeho­ben. Dies geht so weit, dass die Bezeichnung eines gegebenen Vektorraumelements durch seinen Bauplan bzgl. einer bestimmten Basis festgelegt werden kann. Diese letzte Eigenschaft ermöglicht z.B. die prägnante Beschreibung einer linearen Abbildung auf einem gegebenen Vektorraum bei zu Grunde liegender Basis durch die Angabe eines rechteckigen Zahlenschemas, einer Darstellungsmatrix.

Der Wechsel des Bezugssystems führt zu einem Wechsel der Darstellungen von Vek­toren und linearen Abbildungen. Nun sind Vektoren als mathematische Objekte keine gegenständlichen, sondern "virtuelle" ObjektelO

, die oftmals nur über diese Darstellun­gen zugänglich sind. Der Darstellungswechsel erweist sich damit als eine große kogniti­ve Herausforderung. Er unterbindet nämlich die Möglichkeit, die virtuellen Objekte mit ihren Darstellungen zu identifizieren bzw. führt zu kognitiven Konflikten, falls diese Gleichsetzung mental vorgenommen wird. Zur Verdeutlichung dieses Problems kann ein Vergleich mit anderen Darstellungswechseln in der Erfahrung Lernender dienen: In der Notation der natürlichen Zahlen wird in der fünften Klasse häufig der Wechsel vom De­zimalsystem zum Dualsystem thematisiert. Mit den natürlichen Zahlen sind Kinder der fünften Klasse jedoch so vertraut, dass sie quasi gegenständliche Vorstellungen von die­sen Zahlen besitzen, zumal sie Zahldarstellungen - wie z. B. Strichlisten - kennen, wel­che nicht auf das Zehner- oder Zweiersystem aufbauen. Dies ist bei den Elementen eines allgemeinen Vektorraums jedoch nicht möglich. In manchen Beispielen von Vektorräu­men wie etwa einem Raum von Pfeilklassen hat man allerdings auch basisunabhängige Zeichen, mit denen man auf die einzelnen Vektoren verweist. In diesem Fall ist ein Ba­siswechsel kognitiv weniger problematisch.

2.3 Grundvorstellungen zum Vektorraumbegriff

Wie können tragfähige Vorstellungen über das Wesen eines Vektorraums aussehen? Welche Aspekte sollten sie enthalten? Vom Hofe (1996) bezeichnet Ideen, die für ein umfassendes Begriffsverständnis erforderlich oder hilfreich sind, als "Grundvorstellun­gen". Er siedelt sie zwischen den objektiven mathematischen Inhalten und den persönli­chen, internen Vorstellungen Einzelner an. Sie tragen bei zu einer Sinnkonstituierung, indem sie an bekannte Sachverhalte anknüpfen. Zudem unterstützen sie einen Aufbau von kognitiven Modellen, die ein gedankliches Handeln ermöglichen, welches den Ope-

10 Vgl. Sfard (2000).

Vektorraumbegriff 317

rationen im Zusammenhang mit dem mathematischen Begriff entspricht. Hier werden im Folgenden drei Grundvorstellungen aufgezeigt, die wesentliche Merkmale des Vektor­raumbegriffs aufnehmen, aber auch jede ihre spezifischen Begrenzungen haben. Ihre Implikationen hinsichtlich der Rolle von Basen werden erörtert.

2.3.1 Elementtypvorstellungen

Eine Elementtypvorstellung orientiert sich an einem spezifischen Vektorraumbeispiel. Sie sieht den Vektorraum charakterisiert durch die Wesensart der Elemente dieses be­sonderen Beispielraums. Es gibt eine Vielzahl von sehr unterschiedlichen Elementtyp­vorstellungen.

Ein Beispiel ist eine Menge von Pfeilklassen im Anschauungsraum, die auf bestimm­te Weise verknüpft und in ihrer Länge und Orientierung verändert werden. I I Dass dies einen Raum beschreibt, der die Vektorraumaxiome erfüllt, ist apriori nicht ersichtlich, sondern muss im Einzelnen nachgewiesen werden. Die geometrischen Eigenschaften des euklidischen Raums stehen im Vordergrund der Vorstellung. Zu ihnen können neben seinen Vektorraumeigenschaften weitere Merkmale gehören, wie z. B. die Existenz von Längen und Winkeln.

Ein anderes Beispiel für eine Elementtypvorstellung ist die Lösungsmenge eines ho­mogenen linearen Gleichungssystems, in der komponentenweise addiert und mit Skala­ren multipliziert wird. Auch hier stehen nicht die Vektorraumeigenschaften im Vorder­grund der Vorstellung, sondern müssen erst aufgrund der durch das Gleichungssystem festgelegten Eigenschaften erschlossen werden.

2.3.2 Die Komponentenvorstellung

Die Komponentenvorstellung sieht einen Vektorraum als Menge an, deren Elemente ei­

ne Struktur in fest vorgegebenen Komponenten besitzen. Beim Rn sind die n Positionen der n-Tupel diese von vornherein festgelegten Komponenten. Addition und skalare Mul­tiplikation geschieht komponentenweise.

Bei der Komponentenvorstellung liegt das Augenmerk auf Charakteristika der Ele­mente eines Vektorraums. Operationen, die in der axiomatischen Vektorraumdefinition eine entscheidende Rolle spielen, stehen im Hintergrund. Im Unterschied zu Element­typvorstellungen beinhaltet die Komponentenvorstellung eine vektorraumspezifische Strukturierung, die ein für Vektorräume typisches Gefüge widerspiegelt. Sie gründet auf die Idee, dass ein Vektorraum eine Basis besitzt. Dabei schränkt sie die Allgemeinheit des Vektorraumbegriffs ein, indem sie eine kanonische, ausgezeichnete Basis voraus­setzt. Diese Basis ist das Bezugssystem, welches für die spezifische Strukturierung nach Komponenten verantwortlich ist.

2.3.3 Die Baukastenvorstellung

Die Baukastenvorstellung sieht einen Vektorraum als eine Art Bauprinzip, welches be­stimmte Grundhandlungen zur Konstruktion neuer Objekte festlegt. Diese Grundhand-

11 Die Verknüpfung kann rein geometrisch über das Hintereinanderhängen von Pfeilen definiert werden.

318 Astrid Fischer

lungen sind das Addieren und das skalare Multiplizieren, welche zusammen das lineare Kombinieren von Objekten, genannt "Vektoren", ermöglichen. Die Vektoren selbst sind als Bausteine, auf die die Handlungen angewendet werden können, notwendig, aber in ihrer Wesensart nicht näher von Interesse. Die Bausteine und die daraus erzeugten Ob­jekte haben gleichartigen Charakter, denn die Bausteine selbst sind Erzeugnisse (durch triviale Kombinationen) und alle erzeugten Objekte können ihrerseits als Bausteine ver­wendet werden. Ein Beispiel, in dem ein Vektorraum mit diesem Bauprinzip erzeugt wird, ist die Konstruktion eines Erweiterungskörpers eines gegebenen Körpers durch die Adjunktion der Wurzeln eines irreduziblen Polynoms. Die Elemente des Erweiterungs­körpers werden als Linearkombinationen dieser Wurzeln konstruiert, wobei die Koeffi­zienten in dem ursprünglichen Körper liegen.

Die Baukastenvorstellung setzt implizit die Existenz eines Erzeugendensystems vor­aus. 12 Es ist für den Fokus der Vorstellung aber nicht von Interesse, aufweiche Baustei­ne das lineare Kombinieren angewendet wird. Die Bausteine sind beliebig austauschbar, und es spielt für die Anwendung der Handlungen auch keine Rolle, ob sie linear abhän­gig sind oder nicht. Die Baukastenvorstellung ist insofern ein besonders geeignetes kog­nitives Modell für die formale axiomatische Definition des Vektorraums, als beide den Schwerpunkt auf die Regeln für die Operationen im Raum legen.

Die Baukasten- und die Komponentenvorstellung sind sich in vielen Konsequenzen ähnlich. So kann man nach Festlegung einer Basis vI' ... ' vn die Zeichenkombination

a l VI + ... + an V n sowohl in der Komponenten- wie auch in der Baukastenvorstellung in­

terpretieren: Im ersten Fall ist es die Darstellung eines Vektors v, dessen Komponenten (bzgl. der gegebenen Basis) an den Koeffizienten der Basisvektoren abgelesen werden, im zweiten Fall wird der Term als die Ausführung eines linearen Kombinierens gelesen.

2.3.4 Die Relevanz der drei beschriebenen Grundvorstellungen

Mit der Erläuterung der Elementtyp-, der Komponenten- und der Baukastenvorstellung ist nicht der Anspruch erhoben, alle Grundvorstellungen zum Vektorraumbegriff er­schöpfend zu behandeln. Ein solcher Nachweis wäre wohl auch schwer zu führen. An­ders sieht es mit dem Anspruch aus, dass diese drei den Namen "Grundvorstellung" ver­dienen. Als solche sollten sie auf einer mittleren Beschreibungsebene zwischen einem mathematischen Begriff, den sie widerspiegeln, und individuellen Vorstellungen zu die­sem Begriff liegen. Das folgende Kapitel wird demonstrieren, dass Merkmale der drei oben ausgeführten Grundvorstellungen sich in individuellen Vorstellungen von Studie­renden zeigen. In diesem Abschnitt wird die Relevanz der drei Grundvorstellungen für die lineare Algebra aufgezeigt.

Elementtypvorstellungen treten in den meisten aktuellen Lehrbüchern zur linearen Algebra bereits in einem Einführungskapitel auf. 13 Sie spielten auch in der historischen

12 Dieses System muss nicht notwendig endlich sein, und somit ist die Existenz eine Selbstver­ständlichkeit.

13 Erwähnt sei hier stellvertretend für viele andere Fischer, G. (2003), S.1-l9, wo er den R3 als 3-Tupelraum und den geometrischen Anschauungsraum mit Hilfe von Vektorpfeilen als Einfüh­rungsbeispiel erläutert.

Vektorraumbegriff 319

Entwicklung der linearen Algebra eine konstituierende Rolle. Die Komponentenvorstel­lung wird durch das wichtigste Beispiel für endlich-dimensionale Vektorräume, den

K n (für einen Körper K), inspiriert. Die Bedeutung dieses Vektorraums liegt in seiner Eigenschaft, dass er eine kanonische Basis besitzt. Ein jeder n-dimensionale K­Vektorraum kann über die Angabe eines Isomorphismus, oder anders formuliert, über

die Wahl einer spezifischen Basis, mit dem K n identifiziert werden. Diese Eigenschaft wird zur Vereinfachung von Überlegungen und Darstellungen über n-dimensionale Vek­torräume genutzt. 14 Die Baukastenvorstellung wird in Lehrbüchern selten unterstützt. Sie liegt aber der axiomatischen Vektorraumdefinition, welche ebenso wie die Baukasten­vorstellung die Operationsmöglichkeiten und -grenzen in einem Vektorraum in den Vor­dergrund stellt. Ein historisches Beispiel für das Auftreten einer Baukastenvorstellung ist die Konstruktion eines Erweiterungskörpers durch "künstliches" Erzeugen seiner Ele­mente aus den gedachten - Wurzeln eines Polynoms.

3 Empirische Befunde

3.1 Eine Untersuchung zum Polynomraum

Drei Studierende, die die Anfangervorlesung "Lineare Algebra und analytische Geomet­rie I" besuchten, nahmen gegen Ende ihres ersten Semesters an Einzelinterviews über ih­re Vektorraumvorstellungen teil. l5 Kurz vor diesen Interviews waren den Studierenden in der Veranstaltung der Basisbegriffund die Möglichkeit, lineare Abbildungen mit Hil­fe von Basen in prägnanter Weise zu beschreiben, erstmals begegnet. Sie hatten zwar schon Übungsaufgaben zu diesem Thema bearbeitet, besaßen aber noch keine routine­mäßigen Erfahrungen. Insbesondere waren sie in keiner Übungsaufgabe aufgefordert, zu überprüfen, ob eine gegebene Abbildung linear fortgesetzt werden kann. Im zweiten Teil der Interviews wurde folgende Aufgabe diskutiert:

f: R [x] -> JR2 ist eine Abbildung vom Raum der Polynome mit einem ,;1

Grad kleiner oder gleich I in den R2 mit der Eigenschaft: fex + 1) = (1; 0)

und f(2x) = (0; 4).

Gibt es eine lineare Abbildung mit diesen Eigenschaften? Wenn ja, gibt es mehr als eine?

14 Vgl. wiederum Fischer, G. (2003), S. 138. Hier wird der kanonische Isomophismus von einer gegebenen Basis eines n-dimensionalen Vektorraums in den K 2 definiert, den Fischer "Koor­dinatensystem" bzgl. dieser gegebenen Basis nennt.

15 Die Untersuchung einschließlich des ersten Teils der Interviews ist in Fischer (2006a), S. 62-91, ausfiihrlich beschrieben. Die Transkripte sind im Anhang der Arbeit, S. 318-361, wieder­gegeben.

320 Astrid Fischer

Die Aufgabe stellt Anforderungen in unterschiedlicher'Hinsicht. Sie gibt in formaler mathematischer Sprache eine Problemsituation vor. Sie fragt nach einer linearen Abbil­dung und spricht zwei Vektorräume an, nämlich einen Polynomraum und einen Stan­dardvektorraum. Zur Lösung der Aufgabe ist ein Verständnis von einigen strukturieren­den Begriffen wie "Basis", "Dimension", "lineare (Un)abhängigkeit" und "Erzeugen­densystem" hilfreich. Und schließlich erfordert die Auseinandersetzung mit der Aufgabe ein elementares Verständnis der Logik von Beweisen.

Diese Aufgabe wurde mit der Absicht ausgewählt, Einblicke in die Vektorraumvor­stellungen der Interviewten zu bekommen, die ihnen möglicherweise selbst gar nicht bewusst sind. Für die Studierenden steht jedoch ein anderes Thema im Vordergrund: Sie werden hier nicht aufgefordert, ihre Vorstellungen von Vektorräumen explizit zu erläu­tern, sondern Überlegungen zu einer linearen Abbildung anzustellen. Da die Eigenschaf­ten linearer Abbildungen als strukturerhaltende Abbildungen in enger Weise mit den Strukturen ihres Definitions- und ihres Zielraums vernetzt sind, werden in Argumentati­onen und Umgangsformen mit linearen Abbildungen indirekt Überzeugungen in Bezug auf Vektorräume einfließen.

3.1.1 Lösungswege für die gestellte Aufgabe

Die Aufgabe kann mit unterschiedlichem Kenntnisgrad von Eigenschaften von Vektor­räumen und linearen Abbildungen gelöst werden. Eine einfache Argumentation ist fol­gende: Die beiden Polynome x + 1 und 2x bilden eine Basis des Raums der reellen Poly­nome vom Grad kleiner als zwei. Daher kann jede Abbildung in einen anderen reellen Vektorraum, die durch Bilder der beiden Polynome vorgegeben wird, in eindeutiger Weise linear auf den ganzen Polynornraum fortgesetzt werden. Somit lautet die Antwort auf die gestellten Frage: Es gibt genau eine lineare Abbildung mit den genannten Eigen­schaften. Dieser Antwort kann noch eine Erklärung hinzugefügt werden, woran man er­kennt, dass die beiden Polynome eine Basis bilden. So ist ohne Rechnung zu erkennen, dass sie linear unabhängig sind, da keines als Vielfaches des anderen geschrieben wer­den kann. Eine andere Basis des Raums bilden offensichtlich x und 1. Somit ist der Raum zweidimensional und (x+ 1; 2x) ist eine Basis.

Eine Lösungsstrategie, die nicht auf das Wissen zurückgreift, dass jede lineare Ab­bildung über die Bilder der Vektoren einer Basis definiert werden kann, muss direkt von den Linearitätseigenschaften einer linearen Abbildung ausgehen. Sie kann folgende Schritte gehen: Falls es eine lineare Abbildung mit den genannten Eigenschaften gibt, so bildet sie x=0,5·(2x) auf 0,5·(0;4)=(0;2) und somit l=(x+l)-x auf

(1;0) - (0;2) = (1;-2) ab. Damit bildet sie also ein allgemeines Polynom ax + b auf

a(0;2) + b(l;-2) = (a + b; 2a - 2b) ab. Somit ist gezeigt, dass nur eine lineare Abbildung

in Frage kommt. Mit Hilfe der Rechengesetze in den Vektorräumen ist noch zu zeigen, dass die gefundene Abbildung linear ist, d. h. dass die Linearitätsgleichungen

j(alx+bl )+ j(a2x+b2) = j(a]x+bl + a2x+b2) und

:ij(ax+b) = j(:i(ax+b)) gelten.

Ebenfalls denkbar sind Mischstrategien, die einen Teil der Überlegungen des zweiten Lösungsweges durch Argumente ersetzen, welche auf Eigenschaften von ordnenden Be-

Vektorraumbegriff 321

griffen zurückgreifen. So könnte ein Ansatz von der Frage ausgehen, ob x + 1 und 2x je­

des Polynom (eindeutig) erzeugen, d. h. untersuchen, ob es zu jedem Polynom ax + b (eindeutige) Skalare 1 und JL gibt, so dass ax + b = l(x + 1) + JL(2x) ist.

3.1.2 Der Polynomraum aus der Sicht der drei Grundvorstellungen

Die aufgezeigten Lösungsstrategien bauen auf formale Sätze oder Definitionen auf. Eine Strategie anderer Art argumentiert mit Vorstellungen von Vektorraumstrukturen und den strukturerhaltenden Abbildungen. Ein solcher Zugang kann implizit hinter formalen Strategien stehen und diese leiten. Hier sollen nun Ausprägungen der oben vorgestellten Grundvorstellungen zum Vektorraumbegriffin Bezug auf den Polynomraum, der in der Aufgabe auftritt, aufgezeigt werden.

Eine Elementtypvorstellung zum Polynomraum kann die Polynome als algebraische Terme ansehen, welche addiert, aber auch mit einander multipliziert werden können. 16

Eine noch weiter gehende Sicht kann Polynome auch als Funktionsterme verstehen und den Polynomraum als Funktionenraum ansehen, in dem nicht nur formale Verknüpfun­gen der Polynome möglich sind, sondern in dem x als Variable für reelle Zahlen auf­tritt. 17

In der Komponentenvorstellung können die formalen Zeichen ,,x" und ,,1" als Kenn­zeichnung für "die" zwei Komponenten angesehen werden, in denen alle Polynome auf­treten.

Zur Baukastenvorstellung passt die Deutung eines Ausdrucks ax + b als ein lineares Kombinieren von x und I. Im Hinblick auf die Sonderrolle, die die Polynome x + I und 2x in der Aufgabe spielen, gibt es aber auch Sinn, an die Möglichkeiten zu denken, wie diese beiden Polynome linear kombiniert werden können, also Polynome a(x + 1) +b(2x) zu betrachten.

3.2 Überlegungen von drei Studierenden

In den folgenden Abschnitten werden ausgewählte Transkriptionsausschnitte aus den drei Interviews erörtert. Die Interpretation geschieht jeweils in zwei Teilen: In einem ersten Schritt wird eine plausible Deutung der Äußerungen gegeben. Im zweiten Schritt werden Rückschlüsse auf mögliche Vorstellungen gezogen und das Zusammenspiel von inneren und äußeren Repräsentationen aufgezeigt.

3.2.1 Herr Sendig

Herr Sendig äußert zunächst die Überzeugung, dass es keine line.are Abbildung mit den gegebenen Bedingungen gibt. Auf die Frage nach einer Begründung antwortet er:

16 Bzgl. der Multiplikation ist der Raum jedoch nicht abgeschlossen, da er den Grad der Polyno­me beschränkt.

17 In der Veranstaltung selbst wurde x als formales Zeichen definiert und Polynome durch for­male Summenbildung und skalare Vervielfachung erklärt.

322 Astrid Fischer

"Ich hab auf der rechten Seite in zwei verschiedenen Koordinaten ne Null und egal, ob ich jetzt die erste Koordinate als die x-Koordinate wähle und die zweite als die x hoch null, also die ganzen Zahlen." [ ... ] "Also wir müssen doch jetzt, ehm, also dem, alles, was x hat, eine Koordinate zuordnen und der Konstante eine Koordinate."

Herr Sendig hält eine lineare Abbildung mit den genannten Bedingungen nicht für möglich. Er begründet dies mit den spezifischen Bildern, die den Polynomen x + I und 2x zugeordnet werden. Er bezieht sich in seiner Argumentation auf die äußere Gestalt der vier Darstellungen, denen der eine Bedeutung zuschreibt: Zunächst geht er auf die rechte Seite des Tafelanschriebs ein. Dort stehen die 2-Tupel als zugeordnete Bilder, nämlich (1,0) und (0,4) . Das erste 2-Tupel hat in seiner zweiten Koordinate, das zweite

2-Tupel in seiner ersten Koordinate eine Null. Danach spricht er von einer ,,x"­Koordinate und einer ,,x hoch null"-Koordinate18

• Diese treten bei den Polynomen auf. Er beschreibt damit zwei Typen von Koordinaten, nämlich einerseits "erste" und "zwei­te" Koordinate, welche die Positionen in einem 2-Tupel bezeichnen, und andererseits ,,x" und ,,xc,, Koordinate, welche die zwei Summanden eines Polynoms kennzeichnen. Er er­klärt, dass für eine lineare Abbildung nur die Identifizierung je einer Koordinate aus dem

Polynomraum und einer Koordinate aus dem R2 in Betracht kommt, mit anderen Worten:

die kanonische Einbettung.

Die Bedeutung, die Herr Sendig den Darstellungen der Vektorraumelemente bei­misst, geht über die Informationen hinaus, die sie formal tragen. Der Leitgedanke seiner Interpretation ist eine Beschreibung der Vektorraumelemente nach Komponenten, wobei die Komponenten der Elemente des Polynomraums an anderen Zeichen erkannt werden

als diejenigen des R2. Seine Auswahl nach welchen Komponenten die Vektoren jeweils

gegliedert werden, und das heißt letztlich, nach welchen Basen er die Räume strukturiert, scheint sich nach der jeweiligen Darstellungsform zu richten, in der die Vektoren der beiden Räume gegeben sind. Dieser Einfluss der äußeren Gestalt der Zeichen - etwa der Polynome - ist so stark, dass Herr Sendig die Möglichkeit einer anderen Strukturierung geradezu ausschließt: Er kommt nicht auf die Idee, die Polynome in Komponenten nach x + I und 2x darzustellen, und diese Komponenten mit den Positionen der 2-Tupel zu identifizieren, wie die Angabe der Bilder dieser beiden Polynome vielleicht anregen könnte. Die Vorstellung, die hinter seinem Verhalten zu stehen scheint, ist der Kompo­nentenvorstellung ähnlich.

Sodann zeigt die Episode, dass für Herrn Sendig in den Überlegungen über lineare Abbildungen Strukturen eine Rolle spielen, die der formalen Definition und ihren forma­len Konsequenzen nicht entsprechen: Er orientiert sich in seiner Argumentation nicht an den formalen Eigenschaften von linearen Abbildungen, sondern an der Vorstellung, dass

18 In der Vorlesung waren Polynome als formale Summen anxn + ... +ajxj +aoxo

anxn + ... + ajX + ao definiert worden. Offenbar liest Herr Sendig in die gegebene Darstellung

der Konstante 1 die Bedeutung lxo hinein.

Vektorraumbegriff 323

das Gefüge des einen Raums mit dem des anderen in Deckung zu bringen ist. Im Hin­blick darauf, dass lineare Abbildungen strukturerhaltende Abbildungen sind, ist dieses Verhalten sinnvoll. Der Fehler, den Herr Sendig macht, besteht in der Auswahl der zu erhaltenden Strukturen: Anstelle der durch die formale Vektorraumdefinition gegebenen Strukturen dient ihm seine persönliche Strukturierungsstrategie als Leitlinie. Das führt zu einer einseitigen Orientierung an jeweils einer Basis. 19

Bei Herrn Sendig scheint sich folgende Entwicklung abzuzeichnen: 1. Die Darstellungen der Polynome bzw. der 2-Tupel sind die vertrauten Bezeich­

nungen. Sie geben die Identifizierungsmöglichkeit der einzelnen Objekte und tre­ten somit in der Rolle von Namen dieser Objekte auf.

2. Diese Darstellungen geben Herrn Sendig jeweils eine gedankliche Strukturierung

der Elemente des Polynomraums bzw. des R2 nach bestimmten Komponenten

vor. Die äußere Gestalt von Zeichen bestimmt also die Vorstellungen. 3. Die Vorstellung, dass die Struktur der Vektorräume durch das Gefüge gegeben ist,

welches die jeweiligen Komponententypen ihnen geben, prägt das kognitive Mo­dell von strukturerhaltenden Abbildungen: Es vermittelt die Überzeugung, dass die Komponenten des Definitionsraums durch die des Zielraums repräsentiert, al­so mit ihnen in gewisser Weise identifiziert werden müssen. Hier dominiert die Vorstellung von linearen Abbildungen über die formalen Vorgaben, welche durch die Definition von linearen Abbildungen gemacht werden.

3.2.2 Frau Heck

Im Interview mit Frau Beck dreht sich das Gespräch nicht um die Deutung oder den Umgang mit den Zeichen für die Elemente der beiden Vektorräume, sondern um die Im­plikationen der Verwendung einer Basis bei der Darstellung einer linearen Abbildung. Auf die Behauptung, dass f als lineare Abbildung durch die Angaben in der Aufgabe vollständig festgelegt ist, weil x + 1 und 2x eine Basis bilden, antwortet Frau Beck:

"Also wenn das ne Basis ist, ist es eindeutig, und wenn es eindeutig ist, dann ist es die Basis. Obwohl eigentlich, die Rückrichtung ist ja dann gegeben, in dem Fall." [ ... ] "Aber ob das die Basis ist, ist die Frage, also müssen sie linear unabhängig sein."

Frau Beck betont das "wenn" im ersten Teil ihrer Aussage, und drückt damit aus: "Falls {x + 1, 2x} eine Basis des Polynomraums ist, sind aus den Angaben aus der Auf-

gabe die Bilder aller Polynome ableitbar." Den zweiten Teil ihrer Aussage meint sie als Rückrichtung der ersten, wobei sie die "wenn"- und die "dann"-Bedingung vertauscht:

• "Wenn alle Bilder aus den vorgegebenen Eigenschaften der Abbildung f erschlossen werden können, dann ist {x + 1, 2x} die Basis."

19 Die angeführten Äußerungen lassen außerdem fragen, ob aus Herrn Sendigs Sicht die Identifi­zierung der Komponenten der beiden Vektorräume sogar bijektiv sein muss. In einem anderen Teil des Interviews (vgl. Fischer (2006a), S. 321, Transkriptzeilen 131-133) äußert er explizit zumindest die Überzeugung, dass sie injektiv sein muss.

324 Astrid Fischer

Überraschend ist der bestimmte Artikel für "Basis" im zweiten Teil der Aussage. Die spätere Aussage, "ob das die Basis ist, ist die Frage", weist darauf hin, dass es sich bei der Wahl des Artikels nicht um eine sprachliche Ungenauigkeit handelt.2o Der bestimmte Artikel kann Dreierlei bedeuten. Vielleicht will Frau Beck sagen, dass der Polynomraum genau eine Basis besitzt. Zu dieser Interpretation passt nicht die Tatsache, dass sie die Frage, ob {x + 1, 2x} die Basis ist, von der in der Aufgabe gewählten Abbildung abhän-

gig macht. Die zweite Interpretation lautet: Frau Beck sieht {x + 1, 2x} als die Basis der

Abbildungf an. Es ist denkbar, dass sie die Vokabel "Basis" nicht im fachsprachlichen, sondern im umgangssprachlichen Sinn als "Grundlage" interpretiert, auf der die Abbil­dungf definiert wird. Diese Deutung passt jedoch nicht zum ersten Teil ihrer Aussage, in dem sie in Frage stellt, ob {x + 1, 2x} überhaupt eine Basis ist. Schließlich ist noch mög-

lich, dass sie {x + I,2x} als "Basis" sowohl auf den Polynomraum als auch auf die Ab­

bildung f bezieht und sagen will: {x + 1, 2x} ist diejenige Basis (im mathematischen

Sinn) des Polynomraums, auf weIcher die gegebene Definition vonfgründet. Frau Becks Äußerung gründet nicht auf einem syntaktischen Zugang, der das gegebene Zeichensys­tem nach den zugehörigen Regeln umstellt, sondern auf einem anderen Leitprinzip, nach dem die Darstellung der Abbildung gedeutet wird: eine Basis strukturiert das System von Abbildung und Definitionsraum.

Nachdem die Bilder der Polynome x M (0;2) und 1 M (1;-2) bestimmt sind, ist im

weiteren Verlauf des Interviews von der Basis {(l;-2), (0;2)} und der Basis {(I;O), (0;1)}

die Rede. Zur ersten gibt Frau Beck den Kommentar:

"Das ist aber die Basis, die das R hoch zwei erzeugt, oder nicht?"

Die beiden Basen des R2, von denen die Rede ist, sind die Bilder der Polynome x und

I, weIche eine Basis des R2 als Bildraum vonf bilden, und die Standardbasis. Frau Beck

verwendet für die eine Basis, nämlich die Bilder der beiden Polynome, den bestimmten Artikel, weIcher zum Ausdruck bringt, dass dies die einzige erzeugende Basis ist. Es ist nicht denkbar, dass Frau Beck die Standardbasis nicht als eine Basis erkennt. Daher ist wie oben zu vermuten, dass Frau Beck ihre Aussage in engem Zusammenhang mit der Aufgabe, und das heißt, mit der Abbildung f sieht. Ich vermute Folgendes: Frau Beck

versteht den Vektorraum R2 hier als Bildraum von f Bzgl. einer Darstellung von f mit

Hilfe der Polynomraumbasis {I, x} wird dieser Bildraum als Erzeugnis einer ganz be­

stimmten Basis, nämlich der Bilder dieser Polynomraumbasis, betrachtet. Als Bildraum

vonfhat der R2 quasi eine andere Identität als er sie als Standardvektorraum ohne weite­

ren Zusammenhang besitzt. Mit anderen Worten sind für Frau Beck das lineare Erzeug-

20 Im Verlauf des Interviews gibt Frau Beck noch mehrfach Hinweise auf eine bewusste Wahl von bestimmten und unbestimmten Artikeln für Basen.

Vektorrau mbeg riff 325

lllS von {(1;-2),(O;2)} und das lineare Erzeugnis von {(1;O),(O;I)} zwei verschiedene

Vektorräume, obwohl ihre Elemente identisch sind.

Frau Becks Verhalten weist auf eine reichhaltige, aufwändig strukturierte Vektor­raumvorstellung hin. Sie berücksichtigt Strukturierungen mit Hilfe von verschiedenen Basen, ohne einer dieser Basen absoluten Vorrang zu geben. Aber innerhalb eines Auf­gaben- oder Beschreibungskontextes zeichnet sie jeweils eine bestimmte Basis als ei­gentlich strukturgebend aus. Dies geht so weit, dass sie ein und demselben Vektorraum in verschiedenen Kontexten verschiedene ,,kanonische" Basen zuschreibt, welche dem Vektorraum aus ihrer Sicht verschiedene Identitäten zu geben scheinen. Innerhalb eines gegebenen Beschreibungskontextes könnte somit ihre Vorstellung mit der Komponen­tenvorstellung in Einklang stehen. Dabei wählt sie die zugrunde liegende Basis ihrer Vektorraumvorstellung nicht wie Herr Sendig nach der äußeren Gestalt der Zeichen, die für die Elemente des Raums stehen, sondern nach der ausgezeichneten Rolle, welche be­stimmte Vektoren für die Aufgabe spielen. Sie interpretiert die Darstellungen also auf einer anderen Ebene als Herr Sendig. Berücksichtigt man ihre Flexibilität im Wechseln der Darstellungsmittel einer linearen Abbildung, so ist der Aspekt der Baukastenvorstel­lung, einen Vektorraum als Erzeugnis einer Basis anzusehen, passend. Allerdings fehlt bei Frau Beck das Merkmal der Baukastenvorstellung, dass verschiedene Erzeugenden­systeme denselben Vektorraum erzeugen können. Frau Beck befindet sich hier mögli­cherweise in einem Übergangsstadium, in dem sie eine Vorstellung von einer einfachen Grundstruktur eines Vektorraums, die durch ein bestimmtes Bezugssystem gegeben ist, ausweitet auf eine Vorstellung, in der das Bezugssystem gewechselt werden kann.

Wir finden in Frau Becks Überlegungen folgendes Zusammenspiel von Darstellun­gen und Vorstellungen:

1. Jede formale Darstellung einer linearen Abbildung - gegründet auf die Angabe der Bilder einer Basis - impliziert eine bestimmte Strukturierung von Frau Becks Vorstellung des Definitions- und des Bildraums. Hier ist die Wahl der äußeren Repräsentation maßgebend für die innere Repräsentation. Der Leitgedanke in dem Aufbau einer Vorstellung ist dabei eine Strukturierung der Vektorräume auf­grund äußerer Darstellungsformen.

2. Die verschiedenen möglichen Strukturierungen eines kognitiven Vektorraummo­dells implizieren die Idee von Vektorräumen unterschiedlicher Identitäten. Diese Vorstellung dominiert nun die objektiv gegebene Tatsache, dass die Vektorräume formal identisch sind.

3.2.3 Frau Rolle

Frau Rolle nähert sich der Frage, ob es eine lineare Abbildung f mit den genannten Be­dingungen gibt, indem sie sich zunächst klar macht, wie sich die Linearitätseigenschaf­ten auf die gegebene Situation auswirken. Sie notiert21

:

21 Auf Frau Ro//es Wunsch hin wurden die Elemente des R2 in der Aufgabe als Spaltenvek­toren notiert.

326

JCx+I)=JCx) +JCI) = (~J

JC2x) = 2JCx) = (~J Etwas später wendet sie jedoch ein:

Astrid Fischer

"Ich such jetzt irgendetwas, wo x jetzt ist irgendwie z. B. eins null oder eins eins oder so was, so ne Darstellung wie hier." (Frau Rolle zeigt auf die beiden notierten Spal­tenvektoren) [ ... ] "Aber ich verstehe nicht, weil x ist für mich irgend ne konkrete Zahl, die ich hier ein­setzen kann, hundert oder ne Million oder so etwas, und dann hätte ich hier z. B. hundert plus eins oder so und dann soll das abgebildet werden auf eins null, das ist mein Problem."

Frau Rolle vermutet, dass x als Vektor anzusehen ist, und behandelt es zuvor bei der Anwendung der Linearitätsbedingungen für f auch so. Dennoch hat sie ein Problem mit diesem Standpunkt: Ein ,.x" kann sie sich nicht abgebildet vorstellen auf einen Spalten­vektor. Sie wünscht sich eine Darstellung für x als Spalten- oder Zeilenvektor. Denn mit einem ,.x" verbindet sie die Idee, dass es für eine reelle Zahl steht. Wenn man hundert für x einsetzt und dann eins addiert, hat man wiederum eine reelle Zahl. Unter dieser Vorstellung wird natürlich die Vektorraumstruktur des Polynomraums aufgebrochen, da das x+ I als hunderte ins auch ein Vielfaches von I ist.

Frau Rolles Versuch, sich den Polynomraum als Vektorraum zu erschließen, indem sie von Eigenschaften der konstituierenden Elemente - x bzw. x+ I - ausgeht, entspricht dem Umgang mit einer Elementtypvorstellung. Sie kommt jedoch in diesem Fall nicht zu einem kognitiven Vektorraummodell, wie sie selbst deutlich zum Ausdruck bringt. Dabei ist ihr "nur" die Assoziation, welche sie mit dem Zeichen ,.x" verbindet, und die Wesensmerkmale, die sie diesem Zeichen dadurch zuschreibt, im Wege. Denn ihr Wunsch, anstelle von x eine Darstellung als Spaltenvektor mit zwei Komponenten zu wählen, zeigt ihren Versuch, in ein Zeichensystem zu wechseln, das sie als vektorraum-

spezifisch oder vektorraumkompatibel empfindet. Ihre Beispiele (~Joder (~J als Zei­

chen für x, und ihre Erklärung, dass irgendein Zeichen dieser Art für sie hilfreich wäre, weisen darauf hin, dass sie kein starres Bezugssystem im Sinn hat, wie das bei Herrn Sendig der Fall ist. Eine Vektorraumvorstellung, die zu dieser Äußerung passt, beinhaltet eine Strukturierung des Raums in zwei Dimensionen. Dazu passt die Baukastenvorstel­lung oder auch eine statische Vorstellung ähnlich der Komponentenvorstellung, jedoch ohne kanonisches. Bezugssystem.

In ihren ersten Gleichungen, in denen sie die Linearitätseigenschaften von f auf die beiden Polynome x + I und 2x anwendet, geht Frau Rolle mit diesen Objekten streng nach den in einem Vektorraum geltenden Regeln um. Sie interessiert sich in diesem ers­ten Umgang mit den Objekten nicht für deren Wesensart, die ihr ja bei den folgenden

Vektorraumbegriff 327

Überlegungen Schwierigkeiten bereitet. Dieses anfangliche rein formale Vorgehen, wel­ches nur den Operationsgesetzen folgt, deutet auf eine Orientierung an Handlungen.

Für Frau Rolle scheinen Zeichen zu bestimmten Handlungsroutinen aufzufordern, welche auf diese Zeichen anzuwenden sind. Dieser Signalcharakter ist so stark, dass er sogar eine andere Einsicht, die Frau Rolle explizit benennt, blockieren kann. In ihrer ers­ten Deutung der Aufgabenstellung überwiegt der Erfahrungsbereich der linearen Abbil­dungen, zu denen die Handlungsroutinen der Anwendung der Linearitätseigenschaften gehören. Diese Routine setzt Frau Rolle ein, ohne sie in einen logisch klaren Zusam­menhang zur Aufgabenstellung zu setzen. Im Weiteren dominiert dann der Erfahrungs­bereich der (Schul-)Analysis, in dem x als Funktions- oder Termvariable reelle Zahlen ersetzt. Er kann von Frau Rolle nicht in eine Vektorraumvorstellung integriert werden.

Das Wechselspiel von Darstellungen und Vorstellungen scheint sich demnach bei Frau Rolle so zu gestalten:

1. Zeichen initiieren bestimmte Handlungsroutinen. Diese geben einen bestimmten Kontext, innerhalb dessen mit den Zeichen eine bestimmte Vorstellung verbun­den ist.

2. Die Handlungsvorstellung, die mit einem bestimmten Zeichen verbunden wird, dominiert alle formalen Umgangsregeln aus anderen Kontexten. Zeichen können nicht zugleich in verschiedenen Handlungskontexten gedacht werden.

4 Zusammenfassung und mögliche Konsequenzen

4.1 Der Einfluss von äußeren und inneren Repräsentationen

Der Aufsatz zeigt Wechselwirkungen von Darstellungen und Vorstellungen, die ent­scheidenden Einfluss auf die Auseinandersetzung von drei Studierenden mit einer Auf­gabe aus der linearen Algebra haben. Hierbei spielt insbesondere der Basisbegriff, wel­cher für Darstellungen ebenso wie für Vorstellungen als Ordnungshilfe zu dienen ver­mag, eine wichtige Rolle: Das Werkzeug "Basis" wird in den Interviews in vieWiltiger Weise zum Teil explizit, zum Teil implizit eingesetzt. So wird es sowohl in externen wie auch in internen Repräsentationen genutzt, um auf die Elemente des Polynomraums und

die Elemente des R2 Bezug nehmen zu können. Zudem dient es als Instrument zur Dar­

stellung der linearen Abbildung, wozu beide Vektorräume in einer geeigneten Weise ge­ordnet werden. Die drei Interviewten organisieren diese verschiedenen Rollen von Basen auf unterschiedliche Weise: Herr Sendig wählt eine vereinfachende Sicht vom Gefüge eines Vektorraums, indem er für beide Räume jeweils nur eine, die namengebende, Basis in Betracht zieht. Er schränkt die Möglichkeiten einer linearen Abbildung auf die Identi­fizierung von Vielfachen dieser beiden ausgezeichneten Basen ein. Frau Beck berück­sichtigt die Tatsache, dass Vektorräume als Erzeugnisse verschiedener Basen aufgefasst werden können. Sie vereinfacht sich die Fülle an unterschiedlichen Sichtweisen, die sich daraus ergeben, indem sie die Identität eines Vektorraums durch die jeweilige Basis fest­legt, die in einer bestimmten Situation als gestaltgebend anzusehen ist. Frau Rolle schließlich kämpft mit dem Problem, wie sie das Element x des Polynomraums über­haupt als Vektor auffassen kann. Sie erkennt in dem gegebenen Polynomraum zwar An-

328 Astrid Fischer

sätze einer Vektorraumstruktur, kann sich auf diese Sicht aber zunächst nicht einlassen, weil andere Sichtweisen der Elemente und zugehöriger Operationen ihre Vorstellung dominieren.

Die drei Fallstudien demonstrieren ein weites Feld möglicher Vektorraumvorstellun­gen, die in einer einzigen Aufgabe angesprochen werden können. Dabei klingen die Grundvorstellungen des Elementtyps, der Komponenten und des Baukastens in ver­schiedenen Variationen an. Es wird deutlich, dass die jeweilige Vorstellung, die ein Stu­dent oder eine Studentin aufbaut oder heranzieht, entscheidend durch die Darstellungs­form der Aufgabenstellung geprägt ist. Insofern erweisen sich gegebene Zeichen als ein­flussreich. Jedoch führt die Verbindung der vorgegebenen Darstellung mit bereits vor­handenen persönlichen kognitiven Modellen von Vektorräumen zu unterschiedlichen si­tuationsbezogenen Vorstellungen bei den drei Studierenden. Diese individuellen Vorstel­lungen prägen ihrerseits die Möglichkeiten und Grenzen des weiteren mathematischen Handelns und Beschreibens. Sie dominieren die durch die formalen Vorgaben gegebe­nen objektiven Möglichkeiten.

4.2 Weiterreichende Schlussfolgerungen aus der Fallstudie

Die drei Interviewten sind natürlich keinesfalls repräsentativ für alle Studierenden, so dass verallgemeinernde Aussagen nicht gemacht werden können. Dennoch zeigt die Fallstudie Möglichkeiten auf, mit denen in der Lehre gerechnet werden sollte.

Mathematikvorlesungen beinhalten manchmal den impliziten Anspruch, dass es ge­nügt, sich den formalen Vorgaben zu stellen und aus ihnen Schussfolgerungen zu ziehen. Auch wenn Dozenten selbst nicht dieses Bild von Mathematik haben, so wird es doch durch eine rein deduktiv geordnete Präsentation des Vorlesungsinhalts an die Studieren­den vermittelt. Die in diesem Aufsatz erörterten Fallstudien demonstrieren die Schwie­rigkeit einer strikten Orientierung an formalen Vorgaben, wenn diese nicht mit den per­sönlichen Vorstellungen konform gehen. Dies gilt insbesondere, wenn Fehlvorstellungen das Handeln leiten. Die Fallstudien, zeigen zugleich aber auch, dass die interviewten Stu­dierenden die eigenen Vorstellungen einzusetzen verstehen, um wertvolle Ideen zum Lö­sen des gestellten mathematischen Problems zu entwickeln. Hier zeigt sich ein großes Potential, das besser genutzt werden kann.

In der Literatur wird insbesondere darauf verwiesen, dass Lernende Schwierigkeiten mit einem Transfer von Informationen und Erkenntnissen zwischen verschiedenen An­schauungsbereichen oder Darstellungsformen haben. Im Hinblick auf das Verhalten der drei Interviewten ist für einen solchen Transfer - zumindest für manche Lernende - viel­leicht gar kein direkter Transfer zwischen den äußeren Repräsentationen möglich, son­dern der Zwischenschritt über eigene Vorstellungen unerlässlich. Das Verhalten der drei Interviewten zeigt, dass sie Informationen aus der Aufgabenstellung zunächst in den Rahmen eigener interner Repräsentationen einordnen und eine möglicherweise etwas veränderte Vorstellung aufbauen, in die sowohl die äußere als auch ihre interne Reprä­sentation einfließen. Diese Vorstellung ist Grundlage ihres weiteren Vorgehens. Falls in einem solchen Zwischenschritt nun eine ungeeignete Vorstellung konstruiert wird, so wird der Transferschritt in eine andere äußere Darstellung ebenfalls problematisch oder

Vektorraumbegriff 329

gar unmöglich sein. Dies könnte manche in der Literatur referierte Schwierigkeiten im Zusammenhang mit Transferaufgaben erklären.

Eine sinnvolle didaktische Maßnahme ist daher die Förderung von tragfähigen Vor­stellungen und der kritische Umgang mit Vorstellungen und Darstellungen. Dorier et a1. (2000), Brieskom (1983) und Lengnink & Prediger (2000) thematisieren je auf ihre Wei­se übergeordnete Fragestellungen und Zusammenhänge, die Lernenden einen Blick auf das Ganze hinsichtlich Zielen und Ordnungskriterien ermöglichen, so dass diese sich nicht in Detailfragen verlieren. Auf diese Weise wird der Aufbau von Vorstellungen an­geregt, welche auf verschiedene Darstellungen und Anschauungsbereiche übertragbar sind. Ich möchte noch einen Punkt ergänzen: Es scheint mir unerlässlich, zumindest in Anfängervorlesungen mit ungeübten Hörerinnen und Hörern dem Wechselspiel von Darstellungen und Vorstellungen durch bewussten Umgang mit ihnen Rechnung zu tra­gen. In Anbetracht der großen Vielfalt an Vektorraumvorstellungen, die hier bei nur drei Studierenden ein und derselben Vorlesung zur linearen Algebra anklingen, scheint es mir dabei nicht möglich, die individuellen Vorstellungen im Einzelnen zu thematisieren. Stattdessen schlage ich vor, die Studierenden zu einem kompetenten Umgang mit ihren Vorstellungen anzuregen. Dazu kann z. B. gehören, die eigenen Vorstellungen mündlich und auch schriftlich darzustellen und ihre Tragfähigkeit in verschiedenen Kontexten zu erörtern. So können Studierende lernen, Widersprüche zwischen formal gegebenen Be­dingungen und eigenen Überzeugungen zu entdecken und ihre Vorstellungen zu korri­gieren und auch weiterzuentwickeln.

Ob die vorgeschlagenen Maßnahmen für die Lehre der linearen Algebra erfolgreich sind, müssten weitere Forschungsarbeiten erst noch untersuchen. So ist z. B. offen, ob der vermutete Einfluss von Vorstellungen auf Transfertätigkeiten zwischen verschiede­nen Darstellungsformen vielleicht nur bei einem Teil der Studierenden eine entscheiden­de Rolle spielt. Ebenso wäre eine quantitativ breitere Studie über Vorstellungen von Studierenden wünschenswert. Wenn bei drei Probanden drei sehr unterschiedliche Vor­stellungen zutage treten, scheint es lohnend, bei einer größeren Anzahl von Studierenden nach weiteren gedanklichen Modellen zu suchen. Insbesondere ist es von Interesse, ob ihre Bestandteile ebenfalls als Varianten der drei in diesem Aufsatz präsentierten Grund­vorstellungen beschrieben werden können, und diese Grundvorstellungen ein Gerüst zu einer Kategorisierung von internen Repräsentationen bereitstellen könnten.

5 Literatur

Brieskom, Egbert [1983]: Lineare Algebra und analytische Geometrie I. Noten zu einer Vorlesung mit historischen Anmerkungen von Erhard Scholz. Braunschweig: Vieweg.

Carlson, David & Johnson, Charles & Lay, David & Porter, Duane (Hg.) [1997a]: Resources for Teaching Linear Algebra. MAA notes 42, 53 - 58.

Carlson, David & Johnson, Charles & Lay, David & Porter, Duane [1997b]: The Linear Algebra Study Group Recommendations for the first Course in Linear Algebra. In: Carlson, David & Johnson, Charles & Lay, David & Porter, Duane (Hg.) Resources for Teaching Linear Algebra. MAA notes 42, 53 - 58.

Dörfler, Willi [2002]: Formation ofMathematical Objects as Decision Making. In: Mathematical Thinking and Learning. An International Journal. 4(4), 337 - 350.

330 Astrid Fischer

Dörfler, Willi [2003]: Diagrammatisches Denken in der Linearen Algebra. In: Beiträge zum Ma­thematikunterricht, (2003), 189 - 192.

Dorier, Jean-Luc [2000]: Epistemo1ogica1 Ana1yses ofthe Genesis ofthe Theory ofVector Spaces. In: Dorier, Jean-Luc (Hg.), On the Teaching of Linear Algebra. Dordrecht: K1uwer Aca­demic Publishers, 1 - 81.

Dorier, Jean-Luc & Robert, Aline & Robinet, Jaque1ine & Rogalski, Marc [2000]: The Meta Le­ver. In: Dorier, Jean-Luc (Hg.), On the Teaching of Linear Algebra. Dordrecht: Kluwer Academic Pub1ishers, 151 - 172.

Fischbein, Efraim [1987]: Intuition in Science and Mathematics. An Educationa1 Approach. Dord­recht: K1uwer Academic Pub1ishers.

Fischer, Astrid [2003]: Mentale Modelle zum Vektorraumbegriff. Erste Ergebnisse einer empiri­schen Untersuchung unter Studierenden. In: mathematica didactica 26 (2003), 91 - 114.

Fischer, Astrid [2006a]: Vorstellungen zur linearen Algebra: Konstruktionsprozesse und -ergebnisse von Studierenden. Dissertation, Dortmund.

Fischer, Astrid [2006b]: Der Einsatz von Zeichen als Werkzeuge zur mentalen Konstruktion abs­trakter Objekte. In: JMD 27 (2006) 3/4, 180 - 199.

Fischer, Gerd [2003]: Lineare Algebra. Wiesbaden: Vieweg. Hare!, Guershon [1997]: The Linear Algebra Study Group Recommendations: Moving Beyond

Concept Definition. In: Carlson, David & Johnson, Charles & Lay, David & Porter, Duane (Hg.) Resourcesfor Teaching Linear Algebra. MAA notes 42, lO7 -126.

Hillei, Joe! [2000]: Modes ofDescription and the Problem ofRepresentation in Linear Algebra. In: Dorier, Jean-Luc (Hg.), On the Teaching of Linear Algebra. Dordrecht: Kluwer Academic Pub1ishers, 191 - 202.

Lengnink, Kat ja & Prediger, Susanne [2000]: Mathematisches Denken in der Linearen Algebra. In: ZDM (2000), 111 - 122.

Sfard, Anna [2000]: Symbolizing Mathematical Reality into Being - or how Mathematical Dis­course and Mathematical Objects Create Each Other. In: Cobb, Paul & McClain, Kay & Yackel, Ema (Hg.), Symbolizing and Communicating in Mathematics Classroom. Perspec­tives on Discourses, Tools and Instructional Design. Mahwah, New York: Erlbaum, 37-98.

Sierpinska, Anna [2000]: On Some Aspects üf Students' Thinking in Linear Algebra. In: Dorier, Jean-Luc (Hg.), On the Teaching of Linear Algebra. Dordrecht: Kluwer Academic Pub­lishers, 209-264.

Steinbring, Heinz [2005]: The Construction ofNew Mathematical Knowledge in Classroom Inter­action. An Epistemo1ogical Perspective. New York: Springer.

Vom Hofe, Rudolf [1996]: Grundvorstellungen - Basis für inhaltliches Denken. In: mathematik lehren 78(1996), 4 - 8 ..

Vinner, Shlomo [1997] Scenes from Linear Algebra Classes. In: Carlson, David & Johnson, Charles & Lay, David & Porter, Duane (Hg.) Resources for Teaching Linear Algebra. MAA notes 42, 155 - 171.

Adresse der Autorin

Dr. Astrid Fischer Universität Duisburg-Essen Fachbereich Mathematik Universitätsstr. 2 45117 Essen

Manuskripteingang: 14. September 2006 Typoskripteingang: 3. Mai 2007