Geometrische Optik1. Grundlagen

Licht elektromagnetische Welle ( Elektrodynamik )

Elektrisches Feld E

Magnetisches Feld BGegenseitige periodische

Anregung

BE

BE

E

E

Def.: Polarisationsrichtung

• Ausbreitungsrichtung im Vakuum:

• Vakuum-Dispersionsrelation:

• Vakuum-Lichtgeschwindigkeit:

• Im isotropen Medium:

BEk

λ

2πk k cω

00με1c

nλλ ncc

BrechungsindexBrechungsindex εμn nicht-ferromagnetische

Stoffe: nicht-ferromagnetische

Stoffe:

Näherung ( geometrische Optik ) Lichtstrahlen

Wellenlänge Objektgrößen ( Blenden, Löcher, Aperturgrenzen, ... )

Wellennatur unerheblich ( Beugung, Interferenz unwichtig )

nur Ausbreitungsrichtung und ggf. Polarisation relevant

Def.: Strahlenbündel durch Blenden (Aperturen) berandete Lichtwelle

Def.: Lichtstrahl Ausbreitungsrichtung

Isotrope Medien Normale auf Wellenfrontk

StrahlenPhasenflächen

Annahme: keine Absorption lineare Superposition von Strahlen

Beispiel: Beugung einer ebenen Lichtwelle am Spalt

L >> x

Ebene Welle

k

xk

erstes Beugungs-Minimum

Blende

Δx

λ

2

θ tan

Δx

λ

2

θ tan

paralleles Strahlenbündel

• Beugungseffekte klein

• jedoch für : Kugelwelle

1Δx

λ

2

Δθtan

ΔxΔθL

ΔxΔθL

Δx

λ2LΔθLΔx

1Lλ

ΔxF

2

Fresnel-Zahl

!

Lichtstrahlen in isotropen, inhomogenen Medien

Fermatsches Prinzip: Lichtstrahlen zwischen zwei Punkten A und B

durchlaufen Wege kürzester Zeit ( bzgl. benachbarter Wege )

A BWmin

Wmin Wdsc

ndt

dt

ds

n

cv

dssnc

1Δt

B

A

optische Weglänge bzw. Eikonal L

Fermatsches Prinzip

0WLδWWLδL

ExtremumdssnL

minmin

B

A

0WLδWWLδL

ExtremumdssnL

minmin

B

A

Folgerung: Lichtwege sind umkehrbar.

minimal kürzeste Verbindung von A und B

Spezialfall: Ausbreitung im homogenen Medium, n const.

dsnLB

A

n·Weglänge

Lichtstrahlen breiten sich im homogenen Medium geradlinig ausLichtstrahlen breiten sich im homogenen Medium geradlinig aus

Anwendungen:

Fata Morgana

heiße Straße

n

Gradientenlichtleiter

n

n

Isochronen

n

2. Reflexion und Brechung

22

20

202

21

20

2011

zyxx

zyxxnL

z

x

y 0

x0x1 x2

A

B1 2

n1

n2

2.1. Reflexion

x

y

z

A( x1 , 0 , z1 )

( x0 , y0 , 0 )

( x2 , 0 , z2 )B

Grenzfläche zwischen zwei Medien

n1

n20y0

y

L0

0

Strahlebene Grenzfläche

Reflexionsgesetz

( Einfallswinkel Ausfallswinkel )

Reflexionsgesetz

( Einfallswinkel Ausfallswinkel )

2110

αsinαsinnx

L0

Tafelrechnung

•

Anwendungen: Lichtumlenkung durch Winkelspiegel (Umlenkwinkel unabhängig von Orientierung der Spiegelsysteme)

•

Umkehr Parallelverschiebung

45

90-Ablenkung

Passive Lichtumkehr ( 3-D )

• Katzenauge ( Verkehrsschilder,... )

• Laserreflexion von Mondoberfläche

• ...

2

22

022

21

2011

zxxn

zxxnL

2.2. Brechung

analog zur Reflexion Strahlebene Grenzfläche

z

x

y 0

x0x1

x2

A

B

1

2

n1

n2 ( n1 )

reflektierter Teilstrahl

Brechungsgesetz ( Snellius )

n1 sin n2 sin

Brechungsgesetz ( Snellius )n1 sin n2 sin

22110

αsinnαsinnx

L0

Tafelrechnung

Anwendung: Totalreflexion( beim Übergang vom dichteren ins dünnere Medium )

Grenzwinkel 2 G bei

sin

2

1G n

nαsin

Einfallswinkel G Totalreflexion

Beispiel: Luft n1 1

Wasser n2 1,33G

z

x

y 0

1

´

2

n1

2

•

2G

n2 ( n1 )

reflektierter Strahl

n1 sin n2 sin

3. Die optische Abbildung

optisches System

Reflexionen

Brechungen

Blenden ( Apertur )A

Objektpunkt

B

Bildpunkt

ideale, d.h. scharfe Abbildungideale, d.h. scharfe AbbildungFermat a) alle Strahlen (A B) haben gleiche Laufzeit sind isochron

b) Objekt- und Bildpunkt sind austauschbar (Lichtweg umkehrbar)

BF

Brennpunkt( focal point )

Spezialfall: A

parallele Strahlen optisches System

Reflexionen

Brechungen

Blenden ( Apertur )

Fallunterscheidung:

A Breelles Bild

darstellbar auf Bildschirm

virtuelles Bild

AB

nur darstellbar mit zweitem abbildenden System ( z.B. Auge )

A

Beispiele:

a) Ebener Spiegel:Spiegel

A

• virtuelles Bild• aufrecht• Abbildungs-Maßstab 1 1

Der ebene Spiegel ist das einzige optische System, das jeden Raumpunkt P ideal in einen Raumpunkt P abbildet.

Der ebene Spiegel ist das einzige optische System, das jeden Raumpunkt P ideal in einen Raumpunkt P abbildet.

b) Elliptischer Spiegel:

Spiegel

Der elliptische Spiegel bildet die Brennpunkte ( und nur die Brennpunkte )

ineinander ab.

Der elliptische Spiegel bildet die Brennpunkte ( und nur die Brennpunkte )

ineinander ab.

Brennpunkt Brennpunkt

Spezialfall:

Kugelspiegel Selbstabbildung des Mittelpunkts

c)Lochkamera:Schirm /

Film

a b

d

P

Pd

• Näherungsabbildung, Unschärfe d• invertiertes Bild

• Abbildungsmaßstab b a große Schärfe

• Loch d klein große Tiefenschärfe

kleine LichtstärkeBildfleck:

da

b1d

a

bad

Optimum:

opt

optB d

1λb2d

a

badd

λ2ba

bad opt

λ2

ba

bad opt

abhängig von Wellenlänge!

Beugungsfleck:

d

λb2dB

Grenze der geometrischen Optik

D f

d)Berechnung von Oberfächenformen ( Linsen ):

Zielsystem:

F

x

yRealisierung:

F

x

y

n( x , y )

L const.

fnDL1

( 1 )

( 2 )

222 xDfynxL

( Hyperbel )

1

b

y

a

xxLL

2

2

2

2M21

Übung

x

y

xM

a

Mxxa

by

Mxxa

by

D f

F

x

y

n

Bemerkung:• x(y) nur für diesen einen Strahlengang (achsparallele

Strahlen) korrekt sonst Abbildungsfehler• Vereinfachte Herstellung: sphärischer Schliff

gute Näherung für Wölbungsdicke ≪ f

x

y

xM

a

Mxxa

by

Mxxa

by

Gute Abbildung für dünne Linsen und achsnahe Strahlen

4. Elementare optische Bausteine4.1. Hohlspiegel

a)Achsparallele Srahlen:

y

x f

s1

s2

( x , y )

Fermat

2221 yxfxfssf2L

xf4y2 Parabolspiegel

z.B. für Astronomie, Autoscheinwerfer etc.

Bemerkung:

• x(y) nur für diesen einen (achsparallelen) Strahlengang korrekt sonst Abbildungsfehler

• Vereinfachte Herstellung: sphärische Hohlspiegel

gute Näherung für achsnahe Strahlen

.

Sphärische Hohlspiegel:

fM F

R

hR / 2

2cosα

11RFMRf

αcos

2RFM

achsnahe Strahlen:

1cosα,1αRh

2

Rf Brennweite des

Hohlspiegels

achsferne Strahlen: sphärische Aberration hff

R

hR

R

h1cosα

R

hsinα

22

2

2

hR

R

2

11Rhf

22

hR

R

2

11Rhf

22

0f

R0,87hd.h.60α

Grenzfall:

R

b) Punkt-zu-Punkt-Abbildung achsnaher Strahlen:

b

M

g

h

A

B

S Außenwinkel ASM Außenwinkel MSB

δ2βγ

2f

h

R

hsinδδ

b

htanββ

g

htanγγ

Rechnung bis O(h):

Abbildungsgleichung:f

1

b

1

g

1

g: Gegenstandsweiteb: Bildweitef: Brennweite

0 vor dem Spiegel 0 hinter dem Spiegel

gilt auch für Punkte

jenseits (aber nahe) der

optischen Achsegilt auch für Punkte

jenseits (aber nahe) der

optischen Achse

B

c)Abbildung eines Gegenstandes:

b

M

g

F

G

geometrische Konstruktion:

• Parallelstrahl Brennpunkt• Mittelpunktstrahl Selbstreflexion

• Brennpunktstrahl Parallelstrahl

Strahlensatz

bR

Rg

B

G

b

1g1

b1

g1

fb

fg

b2

2g

2

2

b2f

2fg

g R

R b

b

g

bgb

bgg

bgb

gbg

1

12

2

gb

bg

Abbildungsmaßstab:g

b

G

B

Reelle und virtuelle Bilder des Hohlspiegels (achsnahe Strahlen):

1) g R 2f :

Bild reell ( f b R 2f )

invertiert ( BG 0 )

verkleinert ( BG 1 )

BM

G

F

2) R g f :

Bild reell ( b R 2f )

invertiert ( BG 0 )

vergrößert ( BG 1 )

Strahlengang von Fall 1) invertiert

Strahlengang von Fall 1) invertiert

BM F

G

Reelle und virtuelle Bilder des Hohlspiegels (achsnahe Strahlen):

3) f g 0 :

Bild virtuell ( b 0 )

aufrecht ( BG 0 )

vergrößert ( BG 1 )

B

M F

G

Reelle und virtuelle Bilder des Hohlspiegels (achsnahe Strahlen):

Umkehrung des Strahlengangs in 3) Konkavspiegel

4) g 0 :

Bild virtuell ( f b 0 )

aufrecht ( BG 0 )

verkleinert ( BG 1 )

MF

G

F hinter Spiegel f 0B hinter Spiegel b 0G vor Spiegel g 0

F hinter Spiegel f 0B hinter Spiegel b 0G vor Spiegel g 0

B

g

b

G

B

f

1

b

1

g

1

universell mit obiger Vorzeichenkonvention

4.2. Prismen

n

C

21

12A

B

• Strahlablenkung

• Farbaufspaltung durch Dispersion ( Spektrographie )

Ablenkwinkel :

nγ,,αfββαα

βαβαδ

12121

2211

A,B,C: 21

22π

12π

ββγ

ββγπ

γααδ 21

Bemerkung: 2

n

Snellius121

n

Snellius1122 αβγββα :nγ,,ααα

Bemerkung: Umkehrbarkeit des Lichtweges

1221 α,αδα,αδ

n

γα2δ γα2δ Spezialfall: symmetrischer Strahlengang

βββααα 2121 βββααα 2121

2

γβ2βββγ 21

2γsinnαsin Snellius

21212121 dαdαdβdβ0dβdβγββ

Beweis: 2

2

1

1

dβ

dα

dβ

dαSymmetrie

q.e.d. 0dαdαdδγααδ 2121

Messung von min 2γsin

αsinn

Bemerkung: Symmetrie Extremum ( genauer: Minimum )

Farbaufspaltung (bei minimaler Ablenkung):

2γ

2γδ sinnsinαsinγα2δ

n

weißrotgrün

blau

2γ

2γ22

2γδ

21

2γ sin2

sinn1cos

sin

1

dδ

dn

dλ

dn

sinn1

sin2

dλ

dδ

dλ

dn

dn

dδ

2γ22

2γ

aus mikroskopischen

Modellen (klassisch bzw. quantenmechanisch)

Normale Dispersion: (durchsichtige Medien, fern von Absorption)

0dλ

dn 0dλ

dn

(sonst: anomale Dispersion)

also:

4.3. Linsen

4.3.1. Brechung an sphärischen Flächen

Licht

R

f b

f b

Licht

R

f b

f b

sphärische Fläche Grundelement der sphärischen Linse

Vorzeichenkonvention:

Abbildungsgleichung für achsnahe Strahlen:

Rechnung bis Oh:βα 11 Außenwinkel APM

2222 βααβ Außenwinkel BPM

22112211 βnβnαnαn Snellius

b1

R1

2R1

g1

1Rh

bh

2gh

1 nnβ,,

R

nn

b

n

g

n 1221

R

nn

b

n

g

n 1221

2hO

n1 n2 n1

Rh MR

A

g

B

b

11 12

β

2α1α P

(Analog: n2n1 divergierende Strahlen virtuelles Bild)

R

nn

b

n

g

n 1221

R

nn

b

n

g

n 1221

Rnn

nf

R

nn

f

n

12

22

12

2

2

Brennweiten:g

f2bb

f1g

Rnn

nf

R

nn

f

n

12

11

12

1

1

äquivalente Formulierungen der Abbildungsgleichung:

1b

f

g

f 21

1b

f

g

f 21

1

1

2

221

f

n

f

n

b

n

g

n

1

1

2

221

f

n

f

n

b

n

g

n

4.3.2. Dünne Linsen

Dünne Linse 2 sphärische Grenzflächen; Dicke D ≪ Brennweiten

A ( g ) linke Fläche ( R1 ) Ã ( ):b~

1

1221

R

nn

b~n

g

n

2112

11

R

1

R

1nn

b

n

g

n

R2

n1n2

M1

R1

A

g

B

b

M2D0

nach Ã

b~

12

21

12

1

RR

RR

nn

nfmit

f

1

b

1

g

1

Abbildungsgleichung

à ( ) rechte Fläche ( R2 ) B ( b ):b~

2

2121

R

nn

b~

n

b

n

Interpretation von f:

gfb

bfg

f (beidseitige) Brennweite

LinsenumkehrLichtumkehr

12

21

RR

RR

f Linsen-Eigenschaft

f invariant

Definition: Die Größe 1/f heißt Brechkraft. Dioptriemf1 1 Dioptriemf1 1

Beispiel: n1 n2,5 R1 m R2 m f m

R1 0R2 0

1/f 0Sammellinse

R1 0R2 0

1/f 0Zerstreuungslinse

12

21

12

1

RR

RR

nn

nfmit

f

1

b

1

g

1

Abbildungsgleichung

Typen von Grenzflächen:

Licht

konvexR

konkavR

planR

Licht

bikonkavR1 R2

1 2

plankonkavR1 R2

konvexkonkavR1 R2

konkav f 0

Linsentypen:

Licht

bikonvexR1 R2

1 2

plankonvexR1 R2

konkavkonvexR1 R2

konvex f 0

Bi-Linsen Plan-Linsen Menisken-L.

b

B

4.3.3. Abbildung durch dünne Linsen

DParallelversetzung 0

für D 0

Sammellinse

G

F Fg

f f

Parallelstrahl

Mittelpunktstrahl

Brennpunktstrahl

reelles Bild

b

B

Zerstreuungslinse

G

F Fg

f f

Parallelstrahl

Mittelpunktstrahl

Brennpunktstrahl

Verwende rückwärtige Brennpunkte virtuelles Bild

Strahlensatz Abbildungsmaßstabg

b

G

B

f

x

x

f

Newtonsche Abbildungsgleichung fx x 2 fx x 2

b

B

Sammellinse

G

F Fg

f f

Parallelstrahl

Mittelpunktstrahl

Brennpunktstrahl

x

x

g

b

G

B

f

x

x

f fx x 2 fx x 2

• x x f BG eins-zu-eins-Abbildung

• Abstand Quelle-Schirm g b fest, verschiebe Linse 2 Stellungen mit scharfem Bild: x, x x, x Brennweitenmessung ohne absolute Linsenposition

b

B

Sammellinse

G

F Fg

f f

Parallelstrahl

Mittelpunktstrahl

Brennpunktstrahl

x

x

g

b

G

B

f

x

x

f fx x 2 fx x 2

b

B

Sammellinse

G

F Fg

f f

Parallelstrahl

Mittelpunktstrahl

Brennpunktstrahl

x

x

1G

B2fg

1G

B2fg

f

1

b

1

g

1

f

1

b

1

g

1

0f 0f

Bbfg

Bild reelles es,invertiertfg

Bild s virtuelle,aufrechtesfg

b

B

Zerstreuungslinse

G

F Fg

f f

Parallelstrahl

Mittelpunktstrahl

Brennpunktstrahl

f

1

b

1

g

1

f

1

b

1

g

1

g

b

G

B

g

b

G

B

0b

0f

0b

0f

• aufrechtes, verkleinertes, virtuelles Bild

• 0 b f

Tangen

te

5. Matrixmethoden der geometrischen Optik5.1. Definitionen

s Entfernung entlang ReferenzstrahlReferenzstrahl Sollbahn optische Achse

x, y transversale Abweichungen eines Lichtstrahls vom Referenzstrahl

s

y

0s0

Hier: Betrachte nur eine transversale Projektion y. Annahme: x und y Lichtaus-breitung sind voneinanander unabhängig (entkoppelt).

Vollständige Beschreibung des Strahls:

0

0

0

0

0

0

sα

sy

sαtan

sy

sy

sy

Zustandsvektor

s0 beliebig

Transferabbildung:

sy

sys

a

a

a

a

sy

sy

y

y

e

e

e

e

sy

sy

y

y

Transferabbildung eines optischen Systems:

s

y

0 se

sa

Definition des Referenzstrahls

00,0g0,0f 00,0g0,0f

ee

ee

a

a

e

e

22

y,ygy,yf

yy

yy

: ℝ ℝ

Taylorentwicklung für achsnahe Strahlen:

2e

2ee

0,0ee

0,0eee

2e

2ee

0,0ee

0,0eee

y,yyy

gy

y

g0,0gy,yg

y,yyy

fy

y

f0,0fy,yf

O

O

a11

y

yM

y

y

e

e

a

a

y

yM

y

y

e

e

a

a

linearisierte Transfergleichung

2221

1211

aa

aaM

Transfermatrix

• i.a. eine Transfermatrix pro transversale Projektion

• falls x, y nicht entkoppelt Formalismus mit 44-Transfermatrizen und

4-komponentigen Zustandsvektoren ( x, x, y, y )

0

0

a12

a21 a22

5.2. Spezielle Transfermatrizena) Lichtausbreitung im homogenen, isotropen Medium (Driftstrecke):

ea

ea

yαtany

αtandyy

s

y

0se sa

ye

ya

d

ee ydy

10

d1M

b) Durchgang durch brechende Ebene:

s

y

0se sa

ye ya

2

1

nn0

01M

ee

ee

yαtan

αsinα

aaaa yαtanαsinα

e

n1 n2

e1a2

ea

ynyn

yy

Snellius

c) Durchgang durch sphärische Grenzfläche:

s

y

0se sa

2

1

2

12

nn

Rnnn

01M

n1 n2

e1 ya2 y

ae yyh

hR

ea yy

4.3.1.

enn

ennn

R1

a

11Rh

2122

1Rh

12Rh

2

yyy

nnnn

nn

2

1

2

21

5.3. Folge optischer Systeme

y

yM

y

y

0

01

1

1

y

yM

y

y

0

01

1

1

y

yM

y

y

1

12

2

2

y

yM

y

y

1

12

2

2

y

yMM

y

y

0

012

2

2

MMM 12tot MMM 12tot

Matrixmultiplikation

Allgemein:

211n2nn1nn21 MMMM 211n2nn1nn21 MMMM

s

y

0 s0 s1 s2

System 1 System 2

M1 M2

Mtot

Beispiele:

a) Dünne Linse:

s

y

0

ae ss

R2R1n1

n212 RR MMM

2

1

12

12

1

2

21

21

nn

Rnnn

nn

Rnnn

0101

1

01

1

01

211

12

11

12

21

21

R1

R1

nnn

Rnnn

Rnnn

1 / f

1

01M

f1

1

01M

f1

b) Dünne Linse Driftstrecke:

fd MMM

1

d1

1

01

10

d1

f1

fd

f1

s

y

0

f

sesa

d

Folgerung: d rechtsseitige Brennweite falls gilt:

0y0y ae für alle ye

d.h. fd0ayay0 11e11a

gleiches Resultat wie von obiger (uneleganter) geometrischer Betrachtung

c) Driftstrecke dünne Linse:

df MMM

fd

f1

f1 1

d1

10

d1

1

01

s

y

0

f

sase

d

Folgerung: d linksseitige Brennweite falls gilt:

eae y 0y0y für alle

d.h. fd0ayay0 22e22a

gleiches Resultat wie von obiger (uneleganter) geometrischer Betrachtung

1

d1M

fd

f1

1

d1M

fd

f1

s

y

0

f

sase

d

Bemerkung:

eef1

a y yyfd für alle

s

y

0

fF

Beliebig orientierte parallele Strahlen werden in die Brennebene abgebildet

(Punkt-Winkel-Abbildung)

Folgerung: Strahlengang-Konstruktion für beliebige Strahlen

F

Brennebene

parallelverschobener Mittelpunktstrahl

d) Abbildung durch dünne Linsen:

sy

0

f

FF

G

B

fg

b

fg

f1

fgb

fb

f1

fb

gfb1

bg1

10

g1

1

b1MMMM

MbMf Mg

Scharfe Abbildung ya f ye unabhängig von a12 0

(Abbildungsgleichung)

ey

f

1

b

1

g

1

f

1

b

1

g

1

g

b

b

1

g

1b1

f

b1a

G

BGayayB 1111e11a

Dann folgt:

5.4. Phasenraum einer Strahlenmenge

Alternative Definition: Zustandsvektor

Transfer

sysn

sy

ee

e

aa

a

yn

yM~

yn

y

Folge: Wegen det AB det A det B gilt dies auch für beliebige Kombinationen

Vorsicht: Werden Spiegelungen auch zugelassen, gilt nur 1M~

det

Optisches System

ne na

a

e

n

nMdet,1M

~det

Optisches System

n n

1Mdet,1M~

det

Folge: Driftstrecken, brechende Flächen, Linsen erfüllen alle

1M~

det

1M~

det 1M~

det so what?

Theorem von Liouville: Die Strahlenmenge nimmt in der ( y , n y )-Ebene, dem sogenannten Phasenraum, für alle s die gleiche Fläche ein:

const.syndsydsd 2 const.syndsydsd 2

Beweis: eee

eee

aaaaaaa

2 yndydyn,y

yn,yyndydd

e2d

Funktional-Determinante

1M

~det

yn,y

yn,y

ee

aa

e

aa

ee

a

e

a

ynyn

yyn

yny

yy

eee

aaa

q.e.d.,dd e2

a2

Beispiel:

Fast paralleles Strahlenbündel

s1 s2 s3

f

F

n 1

y

y

s1

Scherung

Sch

erun

g

s2

s3

Ellipsenfläche konstant

Ellipsenfläche konstant

Varianzen und Kovarianzen:2y 2y yy s

s1 max min 0 unkorreliert

s2 max max 0 maximal negativ korreliert

s3 min max 0 unkorreliert

Konsequenzen:

• Kein Strahlenbündel ist perfekt parallel kein Brennpunkt ist perfekt

f

sF

Strahleinhüllende

Strahltaille vor dem Brennpunkt

• Stochastische Prozesse (diffuse Streuung,...) vergrößern d2

• d2-Verkleinerung erfordert Einspeisung von InformationBeispiel: Stochastische Kühlung von Antiprotonstrahlen (S. van der Meer, Nobelpreis 1983)

Strahlform: i.a. gaußförmig, z.B. dy

dnyρ

y0

Gauß-Verteilung

2y yσ

2y

2

σ2

yexpyρ

• bleibt bei linearer Transferfunktion gaußförmig

• beschreibbar durch Breiten, d.h. (Ko-)Varianzen

sysysy

sysysysΣ

2

2

sysysy

sysysysΣ

2

2

-Matrix:

Mittelung über alle Strahlen des Bündels

2y

2y

yσ

yσ

11,σσyy yy

räumliche Breite

Winkeldivergenz

Korrelationsgrad

2y

2

σ2

yexpyρ

dy

dnyρ

y0

Gauß-Verteilung

2y yσ

• Transfer ( na ne ):

e

e

a

a

y

yM

y

y

Tea MΣMΣ

gaußsche

Fehlerfortpflanzung

• Folge ( na ne ): eT

ea ΣdetMdetΣdetMdetΣdet 11

Emittanz Phasenraumvolumenconst.Σdetε

sysysy

sysysysΣ

2

2

sysysy

sysysysΣ

2

2

h2

6. Dicke Linsen, Linsensysteme, Hauptebenen6.1. Das Hauptebenenkonzept Idee:Ersetze optisches System durch ein anderes (einfache Brechung ( f )

an zwei Hauptebenen (H1, H2)) mit gleicher Transfermatrix (aber i.a. unterschiedlichem Strahlengang innerhalb des Systems)

s

FB

f

FA

h1

f

f Systembrennweite

f Systembrennweite

H2H1

Konstruktionsvorschrift: • Driftstrecke bis H1

• Strahlübertragung nach H2

• Brechung an dünner Linse• Driftstrecke bis Systemende

1hM

22Id 1M fM

2hM

h2

s

FB

f

FA

h1

f

H2H1

f,h,hParameter freie 31Mdetmitaa

aaM 21

2221

1211

fh

f1

fhh

21fhd 5.3.

1

f1

21

212

1hh1

10h1

1001

101

10h1

M

Eindeutige Lösung:

a

1aa1fh

a

1aa1fh

a

1f

21

11112

21

22221

21

a

1aa1fh

a

1aa1fh

a

1f

21

11112

21

22221

21

6.2. System aus zwei Linsen

s

f1 f2

d

12 fdf MMMM

1

01

10

d1

1

01

12 f1

f1

22121

1

fd

ffd

f1

f1

fd

1

d1

ff

d

f

1

f

1a

f

1

212121

ff

d

f

1

f

1a

f

1

212121

da1fh

da1fh

1

2

ff

112

ff

221

da1fh

da1fh

1

2

ff

112

ff

221

Nahe Linsen (d 0): wie Einzellinse 0hh , f

1

f

1

f

1 21

21

Additionstheorem für n nahe Linsen: f

1

f

1

n

1i i

f

1

f

1

n

1i i

6.3. Dicke Linsen

12 RdR MMMM

2

1

12

12

1

2

21

21

nn

Rnnn

nn

Rnnn

01

10

d101

22

12

212

12

211

12

2

1

12

12

Rd

nnn

RRd

nnn

R1

R1

nnn

nn

Rd

nnn

1

d1

h2

sf

h1

G

Bn1

n1

FBn2

fFA

d

H1 H2R1 R2

h2

sf

h1

G

Bn1

n1FBn2

fFA

d

H1 H2R1 R2Vereinbarung: Messe g, b

von H1, H2 aus

bg

Vereinbarung + Konstruktion

b

1

g

1

f

1

b

1

g

1

f

1

g

b

G

B

g

b

G

B

12

12112

22

12221

R

fd

n

nna1fh

R

fd

n

nna1fh

12

12112

22

12221

R

fd

n

nna1fh

R

fd

n

nna1fh

RR

d

n

nn

R

1

R

1

n

nna

f

1

212

12

211

1221

RR

d

n

nn

R

1

R

1

n

nna

f

1

212

12

211

1221

Korrektur zur dünnen Linse

7. Linsenfehler • achsferne Strahlen• Strahlbündel asymmetrisch zur Achse• nicht-monochromatischer Strahl

7.1. Chromatischer Aberrationn n: Glas hat normale Dispersion, d.h. n f

chromatische Aberration

f

rotblau

Linse: 21 R

1

R

1ρmitρ1n

f

1

λdλd

ndρρnd

f

1d

Achromat: Linsensystem mit df /d bei einer mittleren Wellenlänge.

Erfordert Kombination von mehreren Linsen unterschiedlichen Materials.

kein perfekter Brennpunkt

λdλd

ndρ

λd

ndρ

f

1d

f

1d

f

1d0

22

11

21

Konstruktion eines zweilinsigen Achromats:

n1

n2

f1 f2

geklebt

f

1

f

1

f

1

21

f

1

f

1

f

1

21

λdnd

λdnd

ρ

ρ

1

2

2

1 jj

j

ρ1nf

1

λdnd1n

λdnd1n

f

f

12

21

1

2

1

2

Zielbrennweite f vorgegeben bestimme f1 und f2 aus und .1 2

Abhilfen:• Blenden gegen achsferne Strahlen Verringerung der Lichtstärke • besser als ; generell ex. optimale sphärische Form

• Kombinationen Sammel- / Streulinsen sphärische Korrektur

• nicht-sphärische Linsen aus gepresstem Kunststoff ( Acrylglas )

7.2. Sphärische Aberration

Sphärische Oberflächen kein perfekter Brennpunkt, nicht

einmal für achsparallele Strahlen sphärische Aberration

monochromatisch

f

Bildform

Sphärische Aberration bei schrägem Einfall: Koma

Koma

Bildform

7.3. Astigmatismus unterschiedliche Brechkraft in x- und y-Richtg.Extremfall: Zylinderlinse( Korrekturlinse für astigmatische Systeme )

sA

B

BildlinieAbbildung durch astigmatische Linse:

s

xy

Bemerkung: Stark unterschiedliche Einfallswinkel in x und y Astigmatismus durch sphärische Aberration auch bei perfekter (sphärischer) Linse

7.4. Bildfeldwölbung und VerzeichnungSphärische Aberration Ebenen werden in gewölbte Flächen abgebildet

s

G

B

Bildfeldwölbung

Bild in Brennebene

Randunschärfe

Abblenden

Verzeichnung

tonnenförmige kissenförmige

Entstehung der Verzeichnung:

s

Ideale Bildebene für achsnahe

Strahlen

Verzeichnung mit Kissenform

Blende

Ideale Bildebene für achsnahe

Strahlen

Entstehung der Verzeichnung:

s

Verzeichnung mit Tonnenform

Blende

8. Optische Instrumente

Aufgaben: • Bilderzeugung: Kamera, Diaprojektor, …• Vergrößerter Sehwinkel: Lupe, Mikroskop, Fernrohr, ...

Definition: Winkelvergrößerung α

αV

0

α

αV

0

Sehwinkel mit Instrument

Sehwinkel mit bloßem Auge

Definition: Deutliche Sehweite cm25s0 cm25s0 (ermüdungsfreie Akkomo-dation des Auges)

Auflösung des Auges bei s0: mrad0,31α min0 mrad0,31α min0

Kleinste sichtbare Objektgröße bei s0: μm70αsΔx min00

min μm70αsΔx min00

min

Wirkung eines Instruments: ΔxV

1Δx,α

V

1α minminmin

0min0 Δx

V

1Δx,α

V

1α minminmin

0min0

g

s

b

s

g

b

b

s

G

B

α

αV

s

Gα,

b

Bα 000

0Lupe

00

g f

G

8.1. Die Lupe

s

Lupe ( f )akkomodiertes

Auge

FF

B

b

aufrechtes, vergrößertes virtuelles Bild

aufrechtes, vergrößertes virtuelles Bild

b g,relles Bild

auf Netzhautrelles Bild

auf Netzhaut

f

sVfgb 0

Lupe entspanntes Auge:

f

s1V

s

1

f

1

g

1sb 0s

Lupe0

00

s0-akkomodiert:

G

Gf1

8.2. Das Mikroskop

s

Okular

F1

virtuelles Bild in

virtuelles Bild in

G Linse vergrößertes Zwischenbild Lupe Auge

F1

Objektiv

F2 F2

f2

Tubuslänge 21 f,ft g f1

entspanntes Auge

2

0Lupe

Okular1

2

f

sV,

f

t

g

ft

G

G

ff

stV

21

0Mikroskop

ff

stV

21

0Mikroskop

h

8.3. Das Fernrohr

f

f

fh

fh

α

βV

oku

obj

obj

okuF

2 Linsen im Abstand d f1 f2

f0ff

d

f

1

f

1

f

1

2121

teleskopisches System

Parallelstrahlen

Parallelstrahlen

a) Astronomisches ( Keplersches ) Fernrohr: f1, f2 0Okular ( f2

foku )Objektiv ( f1 fobj )

okufokuobj ff

s

Zwischen- bild

entspanntes Auge

Aperturblende Lichtstärke Gesichtsfeldblende

scharfe Bildfeldbegrenzung

• Bild invertiert Umkehrprisma für terrestrischen Einsatz

• Tubuslänge fobj ist i.a. sehr groß

b)Holländisches ( Galileisches ) Fernrohr: f1 0, f2 0

okuf

okuobj ff

s

Objektiv ( f1 fobj ) entspanntes Auge

Okular ( f2 foku )

f

fV

oku

objF

f

fV

oku

objF

• aufrechtes Bild• kompaktere

Bauweise

c) Weiter Systeme

• Spiegelteleskope

• Feldstecher

• ...

sehr kompakt

gleichmäßige Ausleuchtungscharfes Bild

der Glühwendel

8.4. Der Diaprojektor

KondensorDurchmesser großBrennweite klein

Projektions-Leinwand

Objektiv

Halogenlampe

Hohlspiegel

Bildbühne mit Diapositiv

scharfes, invertiertes Bild des Diapositivs

scharfes, invertiertes Bild des Diapositivs

Durchmesser d

8.5. Lichtstärke optischer InstrumenteBeispiel: Abbildung durch Linse (Kamera)

Linse ( f )Objekt Blende Eintrittspupille

Filmebene

Abstand 0

Bild (Größe B)

Bild der Blende Austrittspupille

Einfallende Lichtmenge d2 Lichtmenge pro Filmfläche 2

2

Bd

2Folge: Belichtungszeit 2 Blendenzahl Blende 1 1,4 2 2,8 4 5,6 8 11 16 22 32 45 64

1000 500 250 125 60 30 15 8 4 2 1 0,5 0,25 11 sT z. B.

B f Licht pro Film Def.: Blendenzahl df22 fd

z

9. Der Regenbogen Regentropfen, n 1,33

parallele Lichtstrahlen von der Sonne

x

α2β4βαβ2180βα180

R

R

zarcsin2

Rn

zarcsin4zφ

Rn

zβsin,

R

zαsin

Beobachtungsebene Sonne-Tropfen-AugeBeobachtungsebene

Sonne-Tropfen-AugeAblenkwinkel 180

R

zarcsin2

Rn

zarcsin4zφ

R

zarcsin2

Rn

zarcsin4zφ

zR

0

10

20

30

40

0

10

20

30

40

φd

Nd

42φ max 42φ max

Sonnenstrahlen (gleichverteilt in z)

divergierende LichtstrahldichteKaustik

Regenbogen bei 42

0i

i

i0 φzφ

zz

zdd

zdNd

d

Ndconst.

0zd

φd falls

φd

Nd

423

n4Rz0

zd

d max

2

0

• Regenbogen unter 42 Sonne im Rücken

• Höhe des Regenbogens hängt vom Sonnenstand ab

• normale Dispersion (Wasser) Rot außen, Blau innen

• im Prinzip beliebig viele weitere Kaustiken bei 2, 3, 4,... Reflexionen

• einzig sichtbare weitere Kaustik: 2 Reflexionen Nebenregenbogen bei 51, umgekehrte Farbfolge

• zwischen Haupt- und Nebenregenbogen: Dunkelzone

• Licht vom Regenbogen ist charakteristisch polarisiert ( beim Fotografieren: Effektverstärkung mit Polarisationsfiltern)

R

zarcsin2

Rn

zarcsin4zφ

R

zarcsin2

Rn

zarcsin4zφ

Monte-Carlo-Simulation des Regenbogens auf dem Computer:

a) Würfle mit Zufallszahlengenerator gleichverteilt RR,z

gleichverteilte Zufallszahl 0,1η1 Rη21z 1

b) Würfle mit Zufallszahlengenerator Polarisation des Lichtstrahls zerlege das unpolarisierte Licht von der Sonne in linear polarisierte Strahlen, 50% parallel, 50% senkrecht zur Beobachtungsebene ( Physik 3 )

gleichverteilte Zufallszahl 0,1η2

sonst0,5η falls||

onPolarisati 2

c) Berechne die Winkel und und mit Fresnel-Formeln ( Physik 3 ) die transmittierte und die reflektierte Strahlintensität. Fülle Histogramme für alle möglichen Strahlwege, jeweils gewichtet mit der Strahlintensität, bis die Gewichte sicher zu vernachlässigen sind ( d.h. Strahlintensität )

Wiederhole a), b), c) für sehr viele ( z.B. 106 ) StrahlenWiederhole a), b), c) für sehr viele ( z.B. 106 ) Strahlen

HauptregenbogenHauptregenbogen

NebenregenbogenNebenregenbogen

DunkelzoneDunkelzone

II

II

||

||

II

II

||

||

Nebenregenbogen 5. Ordnung ( 5 Reflexionen )

Nebenregenbogen 5. Ordnung ( 5 Reflexionen )