Geometrie Am Radom

Ministerium für Bildung und Kultur Beispielaufgabe für die

Schleswig-Holstein schriftliche Abiturprüfung

in der Profiloberstufe

Kernfach Mathematik

Thema: Analytische Geometrie

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Geometrie am Radom

Ein Radom ist eine geschlossene,

kugelförmige Schutzhülle, die

Radarantennen vor äußeren Ein-

flüssen schützt.

Zum Aufbau eines Radoms wird zunächst eine tetraederförmige

Stahlkonstruktion errichtet. Dazu werden auf dem Sockel die Punkte

A( 0 / 0 / 8 ), B( 0 / 324 / 8 ) und C(-36 /12 3 / 8 ) – in guter

Näherung! - als Eckpunkte des Grunddreiecks gewählt.

(Alle Längenangaben sind Maßzahlen in Meter.)

a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist. Bestimmen Sie

die Koordinaten des Punktes D, der 33 m oberhalb des Schwer-

punktes S des Dreiecks ABC liegt.

(Zur Kontrolle: D( -12 / 12 3 / 41))

(6 P)

b) • Begründen Sie, dass jeder Punkt auf der Geraden durch S

und D den gleichen Abstand zu den Eckpunkten A,B und C

hat.

• Alle Punkte, die gleich weit von den Punkten A und D

entfernt sind, liegen in einer Ebene E. Bestimmen Sie diese

Ebene E.

(Eine mögliche Lösung ist

12 6

12 3 6 3 0

33 24 5

E : x

,

− −

⋅ − =

�

.)

• Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes und den

Radius der Kugel K, deren Oberfläche A, B, C und D enthält.

(Zur Kontrolle: M(-12 / 12 3 / 22

347); r =

22

555 )

(13 P)




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c) Die Fertigstellung des Radoms soll im Rahmen einer Open-Air-

Veranstaltung mit einer Lasershow gefeiert werden. Dazu wird

eine Laserkanone außerhalb des Radoms am Ort

P( 20 / 312 / 22

347) aufgestellt. Der Laserstrahl wird dann von P

aus in Richtung M gerichtet.

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, an dem der Strahl

auf die Radomoberfläche trifft. ( 8 P)

d) Für die Lasershow soll der Laserstrahl im Takt der Musik Figuren

auf die Radomoberfläche „zaubern“. Dazu darf der Strahl aus der

UrsprungsrichtungPM��

nur so weit nach oben abgelenkt werden,

dass er gerade noch die Kuppel streift. Bestimmen Sie den

maximalen Ablenkwinkel von der ursprünglichen Richtung. ( 3 P)




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Zuordnung

Bewertung Aufg. Erwartete Leistung

I II III

a) Man berechnet zunächst die Beträge der Vektoren AB,BC

��

und AC��

.

0

24 3 24 3 41 57

0

36

12 3 1296 432 1728 41 57

0

36

12 3

0

AB ,

BC ,

AC BC

= = ≈

−

= − = + = ≈

−

= =

��

��

��

Die drei Beträge sind gleich, das Dreieck ABC ist gleichseitig.

3

Der Ortsvektor des Schwerpunktes S eines Dreiecks ABC ist

durch ( )1

3OS OA OB OC= ⋅ + +��

gegeben.

0 36 36 1201 1

0 24 3 12 3 36 3 12 33 3

8 8 8 24 8

OS

− − − = ⋅ + + = ⋅ =

��

Da das Dreieck ABC parallel zur x1-x2-Ebene liegt, lautet der

Ortsvektor des Punktes D

12 120

12 3 0 12 3

8 33 41

OD

− − = + =

��

.

2

1




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b) Begründung

Eine Gleichung der Geraden g durch S und D lautet

12 0

12 3 0

41 1

g : x s

− = +

�

.

Da der Schwerpunkt beim gleichseitigen Dreieck gleichzeitig

Umkreismittelpunkt ist und die Gerade g orthogonal zur

Ebene, in der das Dreieck ABC liegt, verläuft, folgt die

Behauptung aus dem Satz des Pythagoras (s.Skizze):

(Alternativ kann man auch die drei Abstände eines Geraden-

punktes zu den Eckpunkten konkret berechnen. Man erhält

dann 2576d s= + .)

Bestimmung der Ebene

Die gesuchte Ebene ist die Mittelebene zu AD.

Um die Gleichung der Mittelebene zu AD aufzustellen,

ermittelt man zunächst die Gleichung der Geraden, die die

Kante AD enthält. OA ist ein Ortsvektor, der zur Geraden

hinführt, OAODAD −= ist ein Richtungsvektor.

−+

=33

312

12

8

0

0

: rxg AD�

3

1

2

1

S Eckpunkt

Geradenpunkt




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Der Ortsvektor des Mittelpunktes der Strecke AD lautet mit

0 5 =r , dann

−=

−+

=5,24

36

6

5,16

36

6

8

0

0

ADOM .

Der Richtungsvektor von AD ist Normalenvektor der

Mittelebene, daher lautet eine Normalenform

12 6

12 3 6 3 0

33 24 5

E : x

,

− −

⋅ − =

�

.

Bestimmung der Kugel

Weil der Mittelpunkt M zum einen gleichweit von A,B und C,

aber zum anderen auch gleichweit von A und D entfernt ist,

liegt M sowohl auf der Geraden g als auch auf der Ebene E.

Diese Ebene E wird mit der Geraden durch S und D zum

Schnitt gebracht. Dazu wird der Geradenterm für den

Ortsvektor in E eingesetzt.

0

1

0

0

5,16

36

6

33

312

12

5,24

36

6

1

0

0

41

312

12

33

312

12

=

+

−

−=

−−

+

−

−ss ��

22

5550335,54421672 −=⇒=+++ ss

Damit lautet der Ortsvektor des Schnittpunktes M

−=

−

−=

22

347312

12

1

0

0

22

555

41

312

12

OM .

Der Abstand von M zu D ist auf Grund obiger Rechnung 22

555.

Damit ist M der Mittelpunkt der Umkugel.

2

1

1

3




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c) Der Laserstrahl läuft entlang der Geraden l mit der Gleichung

−+

=0

0

1

22

347312

20

: txl�

. Man setzt den Term von l für den

Ortsvektor ��

x in der Kugelgleichung

2

2

22

555

22

347312

12

:

=

−−xk�

ein.

22

2

22

555

0

0

1

0

0

32

22

347312

12

0

0

1

22

347312

20

=

−+

=

−−

−+

tt

0484

18759164

22

555641024 2

22 =+−⇔

=+− tttt .

Dies führt zu folgenden Lösungen:

1

2

187591 308025 555 14932 1024 32 32

484 484 22 22

187591 308025 555 125932 1024 32 32

484 484 22 22

t ,

t .

= − − = − = − =

= + − = + = + =

Wegen der geringeren Distanz muss t1 genutzt werden.

291

20 221149

12 3 0 12 322

347 0 347

22 22

OK

− = + =

��

1

1

1

2

1

2




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d) Es ist folgende Figur zu analysieren.

1 05550 7884 37 97

22 32

rcos( ) cos ( , ) ,

MPα α −= = ⇒ ≈ ≈

⋅

Alternativlösungen über Polarebenen bzw. über

Schnittprobleme sind denkbar, aber sehr aufwändig.

3

12 15 3

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