Geostatistik in der Geoinformation II Kovarianzfunktionen & stochastische Prädiktion Referent: Jens Saatkamp Betreuer: Prof. Dr.-Ing. Wolf-Dieter Schuh

Geostatistik in der Geoinformation II

Kovarianzfunktionen&

stochastische Prädiktion

Referent: Jens Saatkamp

Betreuer: Prof. Dr.-Ing. Wolf-Dieter Schuh Boris Kargoll

19.11.01 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 2

Meßreihe: Modellansatz

Meßwerte setzen sich zusammen aus:

Trend: modellierbar mit determinis-tischem Modell (Andreas)

stochastischem Signal

Rauschen > zufällig

Ort

Meßwert l(Ort)Trend = Ax

Signal + Rauschen=z+n

l=Ax+z+n


Bezug zur Geoinformation

• Wo tritt so etwas in Geoinformations-systemen auf?

Messungen / Ermittlungen von:• Grundwasserständen• Stoffkonzentrationen im Wasser• geochemischen Variablen (Erzgehalte)• topographischen Höhenmaßen

• Können über Ortskoordinaten räumlich eingeordnet werden.


GIS > stochastisches Signal

• Beispiel: Geländemodell• große Gebirge > angenähert durch Trend• kleine „Hügel" werden hier nicht erfaßt• „Hügel“ einfach als zufällig verteilt angenommen =

stochastisches Signal

grober Trend feinere Betrachtung


Motivation

Problem:• An einer Stelle fehlt

eine Messung.Abhilfe:• Wert dort rechnerisch

vorhersagen = prädizieren!

• Bestimmen einer Funktion.

• Berechnen des Funktionswertes.

Ort x

Signal z(x)


Stochastischer Ansatz

• Meßwert annehmen als Realisierung einer Zufallsvariable, d.h. jeder Meßwert besitzt eine eigene Verteilungsfunktion

• Inwieweit sind die Meßwerte stochastisch voneinander abhängig = korreliert?

• Inwieweit hängt die Korrelation der Meßwerte vom Ort ab?

• Aufgabe: untersuchen des räumlichen Zusammenhangs Verteilungsfunktionen betrachten


Grundlagen: Momente von Zufallsvariablen

• Erwartungswert: E {z(xi)}=mz

• Autokorrelation: rxixj=E {z(xi) * z(xj)}

Erwartungswert des Produktes zweier Meßwerte aus einer Meßreihe

• Autokovarianz:Cov (xi, xj) = E {[z(xi) - mz} ] * [z(xj) - mz]} Erwartungswert des Produktes der Abweichungen zweier Meßwerte vom Mittelwert

Sonderfall i=j: Varianz


Schwache Stationarität

• die Meßreihe muß schwach stationär sein• Mittelwert der Messungen unabhängig vom

betrachteten Ort: mxi = const.

Meßreihe schwankt um einen konstanten Wert

• hier: mxi = 0

Autokorrelation = Autokovarianz


Schwache Stationarität

• Autokorrelation (hier =Autokovarianz) ist:

nur abhängig vom Abstand zwischen den Meßstellen = relative Lage auf der x-Achse

nicht abhängig von der absoluten Lage auf der x-Achse

Cov (xi,xj) =Cov (|xj-xi|)=Cov(s) Definition: s= |xj-xi|

• Varianz ist endlich


Wie den Zusammenhang ermitteln?

Idee:

Ermitteln einer Kovarianzfunktion


Diagramm

• Berechnung der Kovarianzen für alle möglichen Meßwertkombinationen nur „Nachbarwerte“

betrachten! d.h. weglassen aller Kovarianzen von Punkten, deren Abstand auf der x-Achse z.B. mehr als 100 beträgt

• Auftragen im Diagramm in Abhängigkeit vom Abstand s der Meßstellen untereinander

s> Abstand

zi*zj > Kovarianz


Klassenbildung

Problem:• keine Funktion

erkennbar

Lösung: • Abstandsintervalle

= Abstandsklassen

s> Abstand

zi*zj > Kovarianz


Mittelbildung

Lösung: • Abstandsintervalle

= Abstandsklassen• Bilden des Mittels

in jeder Abstandsklasse

• für den Abstand 0 eigene Klasse bilden = Varianz

s> Abstand

zi*zj > Kovarianz


Funktion

s> Abstand

zi*zj > Kovarianz Lösung: • Abstandsintervalle

= Abstandsklassen• Bilden des Mittels

in jeder Abstandsklasse

empirische Kovarianz-funktion


Mathematische Kovarianzfunktionen

• empirische Kovarianzfunktionen > diskrete Werte

Wie erreicht man kontinuierliche Werte?

• mathematische Kovarianzfunktionen müssen positiv definit sein,

d.h. positiv definite Kovarianzmatrizen erzeugen

• ermitteln z.B. mit einem Gauß-Markoff-Modell


Ansätze für mathematische Kovarianzfunktionen

Funktionen müssen positiv definit sein!

s

Cov

s

Cov

e-as e-as²


Ansätze für mathematische Kovarianzfunktionen

• Weitere Ansätze:

s

Cov

sinc(as)= assin as

• Sinc-Funktion• Funktionen der Form

cos(as), sin(as)

• beliebige Linearkombinationen, Produkte, Quotienten der hier genannten Funktionen


Merkmale von Kovarianzfunktionen

s

Cov • Amplitude maximale Kovarianz



• Amplitude maximale Kovarianz

• Krümmung im Ursprung Veränderung bei

unmittelbar benachbarten Meßwerten

s

Cov



• Amplitude maximale Kovarianz

• Krümmung im Ursprung Veränderung bei

unmittelbar benachbarten Meßwerten

• Halbwertsbreite Abstand, bis zu dem

die Kovarianz auf die Hälfte zurückgeht

Cov

s


Beispiel 1

empirische Kovarianzfunktio

n

mathematische Kovarianzfunktio

n80*e-4,4*10-3*s²

• Meßreihe über 560km• jeden Kilometer eine Messung


Beispiel 2

empirische Kovarianzfunktio

n

mathematische Kovarianzfunktio

n50*e-1,2*10-3*s²

• Meßreihe über 560km• jeden Kilometer eine Messung


Anwendung

• Wie kann die ermittelte Kovarianzfunktion zur Prädiktion genutzt werden?

Kollokation

Kolmogoroff-Wiener-Prädiktion


Schätzfunktion

Annahme:• „wahre“ Funktion f(x) existiert für beliebige Orte x

beschreibt das Signal

Ansatz:• schätzen von f(x) durch eine Funktion

)()()(~1

i

n

ii xzxxf

n: Anzahl der Meßwerte bekannt: z(xi) Meßwerte gesucht: i (x)


Kleinste Quadrate - Schätzung

Minimumaufgabe:• minimieren von ² in Abhängigkeit von den i:

22 )()(~

xfxfE

• eingesetzt:

2

1

2 )()()( xfxzxE i

n

ii

• Erwartungswert des quadratischen Schätzfehlers:

0²

i

ermitteln der i


Ergebnis

zxxDxxDxf ijj 1,,)(~Ergebnis:

)(...)(

)0(...),(......

),(...)0(),(...),(

11

1

1

1

nn

n

n

xz

xz

CovxxCov

xxCovCovxxCovxxCov

D sind Kovarianzmatrizen:• linke Matrix (1xn): Kovarianzen von gemessenen Werten

und dem Wert an der zu prädizierenden Stelle ist also für jedes x einzeln zu ermitteln


Ergebnis


)(...)(

)0(...),(......

),(...)0(),(...),(

11

1

1

1

nn

n

n

xz

xz

CovxxCov

xxCovCovxxCovxxCov

D sind Kovarianzmatrizen:• rechte Matrix (nxn): Kovarianzen von Meßwerten

kann direkt bestimmt werden, ohne daß bekannt ist, welche Werte zu prädizieren sind

• ist zu invertieren


Ergebnis


)(...)(

)0(...),(......

),(...)0(),(...),(

11

1

1

1

nn

n

n

xz

xz

CovxxCov

xxCovCovxxCovxxCov

z ist ein nx1 Vektor: • enthält die Meßwerte• im voraus bekannt


Zusammenfassung


Anleitung zum Rechnen

1. den Trend eliminieren (> Andreas)2. Berechnung der empirischen Kovarianzfunktion3. Modellierung der empirischen durch eine positiv

definite mathematische Kovarianzfunktion4. Berechnung der Matrix D(xj,xi)5. Berechnen von D(xj,xi)-1*z6. für einzelne zu prädizierende x: Berechnung von

D(x,xj)7. Bestimmen des Funktionswertes der geschätzten

Funktion: zxxDxxDxf ijj 1,,)(~


Beispiel 1

• Meßwerte zwischen 300km und 330km• prädizierte Werte jeweils um 0,5km versetzt• Kovarianzen berechnet mit der Funktion:

80*e-4,4*10-3*s²

)(~xf


Bewertung

• Vorteile dieses Ansatzes: geschätzte Funktion ist harmonisch Funktion gilt für den gesamten Bereich: vermeidet Problem der

Unstetigkeiten bei Splines und anderen stückweisen Funktionen

• Nachteil: Funktion enthält Inverse einer nxn Matrix: großer Rechenaufwand

• in der Geostatistik werden in der Regel andere Verfahren verwendet: Variogramme > Kriging

• Wird hier dasselbe nur mit einem anderen theoretischen Ansatz gemacht?

Jeff


E N D E

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