Geschichte der Mathematik Zahlen und Rechentechnik der ...math- · Geschichte der Mathematik Zahlen und Rechentechnik der Ägypter Christiane Beller Da die Hieroglyphen in der Präsentation

Geschichte der Mathematik Zahlen und Rechentechnik der Ägypter

Christiane Beller

Da die Hieroglyphen in der Präsentation nicht erkennbar waren, hier Kopien der Folien.


Christiane Beller

Die ältesten Zahlenangaben stammen aus der 1. und 2. Dynastie, die zwischen 3300 und 2740 vor Christus einzuordnen ist. Sie wurden auf den Siegesdenkmälern der Könige Namer und Chaasechem gefunden. Es sind Hieroglyphen, die zur Darstellung von Zahlen verwendet wurden. An der obigen Darstellung wird deutlich, dass die Ägypter mit dem Zehnersystem gerechnet haben. Sie haben für die Zehnerpotenzen bis 1 000 000 für jeden Zehner eine eigene Hieroglyphe. Die Darstellung der „Spirale“ wird auch als „Strick“ bezeichnet. Die Spirale kann z.B. aus einem Tau o.ä. gelegt werden. Die Bezeichnung von 1000 als „Lotosblume“ und 100 000 als „Kaulquappe“ wird auf des häufige Auftreten in der Region zurückgeführt. Die Verwendung des „Genius“ (oder auch Gott der Unendlichkeit) zur Darstellung von 1 000 000 wurde auch als Mann interpretiert, der wegen der Größe der Zahl erschrocken sei. Dies ist der Literatur nach aber nicht korrekt (Vogel, Kurt; Ifrah, Georges). Neuere Untersuchungen haben gezeigt, dass es sich um einen Genius handelt, der das Himmelsgewölbe stützt. Die Hieroglyphe steht auch für „Ewigkeit“ oder „Million Jahre“. Diese Die Benutzung des Genius für 1 000 000 verschwand mit der Zeit, so dass man Zahlen dieser Größenordnung in multiplikativer Schreiweise notierte. Ein Beispiel dieser Notation befindet sich auf der nachfolgenden Folie (untere Darstellung). Die Ägypter konnten Zahlen sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links notieren. Wo der Zeilenanfang ist, wird durch die Blickrichtung der Personen und Tiere erkennbar. Ihre Blickrichtung ist immer zum Zeilenanfang gerichtet. Die Notation der Zahl von rechts nach links hat für unsere Notation der Zahlen keine Auswirkung, da die Symbole für die Zehnerpotenzen genau so verwendet werden, wie oben angegeben.


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Bei der Notation von Zahlen wurden die Zeichen gruppiert, damit die Zeilen nicht zu lang wurden und die Lesbarkeit erhöht wurde. Die Gruppen bestand aus 2, 3, 4 oder mehr Zeichen, die häufig übereinander gestellt wurden. Die Gruppierung der Zahlen erfolgte möglichst so, dass die Zahl auf einen Blick erkannt werden konnten („Erkennbarkeit auf einen Blick“). Die Darstellung von 2 800 000 ohne Benutzung des Genius wurde vorgenommen, wie die untere Darstellung zeigt. Man erhält mit dieser Darstellung die gesuchte Zahl, indem man die 28 (zwei Bügel und vier Merkstriche) mit 100 000 („Kaulquappe“) multipliziert (28 * 100 000 = 2 800 000).


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Die Notation der im Beispiel genannten Zahl (2 375 486) beginnt mit der größten Zehnerpotenz ganz links. Um die Zahl ablesen zu können, muss man in diesem Fall 1 000 000 + 1 000 000 für die erste Stelle bestimmen, 100 000 + 100 000 + 100 000 für die zweite Stelle usw. Somit erhält man am Ende die dargestellte Zahl.


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Wie hierzu vorgegangen wurde, ist auf der nächsten Folie dargestellt.


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Für die Addition der im Beispiel angegebenen Zahlen wurden gleiche Individualzeichen zusammengefasst. Da das ägyptische Zahlensystem ein Zehnersystem ist, musste man nach dem Zusammenschieben die Individualzeichen möglicherweise Anpassungen vornehmen. In dem angegebenen Beispiel sind z.B. nach dem Zusammenschieben 11 Merkstriche vorhanden. An dieser Stelle muss man für 10 Merksteiche einen Bügel einfügen und statt der vorher 11 Merkstriche nun noch einen notieren. Eine Anpassung in ähnlicher Art muss bei den Spiralen (Hundertern) vorgenommen werden. Nach der Anpassung erhält man das gesuchte Ergebnis, was auch als letztes notiert ist. Wo Änderungen der Individualeichen notwendig sind, kann man auch anhand der schriftlichen Addition verdeutlichen, die wir heute verwenden. Hier die schriftliche Addition

der oben angegebenen Aufgabe: 1 2 0 2 4 1 6

+ 3 5 2 7 4 51 5 551 51

Zur Darstellung von Zahlen, die größer als 10 sind, notieren wir die einer an der entsprechenden Stelle und notieren den Übertrag (die Zehner) in der nachfolgenden Zeile (Zur genauen Vorgehensweise siehe Vortrag von Julia Grote „Algorithmen für Grundrechenarten in verschiedenen Ländern“). An den Stellen, an denen wir Überträge verwenden, mussten die Ägypter eine Anpassung der Individualzeichen vornehmen.

Die genaue Berechnung einer Differenz ist auf der nachfolgenden Folie nähre beschrieben.

1 1


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Man erhält die Differenz zweier Zahlen, indem man die Anzahl der Zeichen der zweiten Zahl von der ersten wegstreicht. Da aber schon in dem angegebenen Beispiel deutlich wird, dass nicht immer ausreichend Zeichen vorhanden waren, die weggestrichen werden können, sind teilweise Anpassungen erforderlich. Zur anschaulichen Darstellung hier die Erklärung der Vorgehensweise anhand des Beispiels: Damit ausreichend Bügel vorhanden sind, wird eine Spirale umgewandelt in zehn Bügel. Die Notation der Zahl sieht dann folgender maßen aus:

7 6 6 4 4 33 3 22222 22222 2

111 111

An dieser Stelle wird schon deutlich, dass diese Veränderung zur Berechnung der Aufgabe noch nicht ausreichend ist. Als nachfolgende Schritte werden noch weitere Umwandlungen vorgenommen (nachfolgend die einzelnen Schritte):

1. Änderung einer Lotosblume in 10 Spiralen: 76643333333333333

22222 22222 2

111111


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2. Änderung einer Kaulquappe in 10 große Finger: 7 6 55555

5555543333333333333

22222 22222 2

111 111

3. Änderung eines großen Fingers in 10 Lotosblumen: 7 6

555555555

44444444444

3333333333333

22222 22222 2

111 111

4. Änderung des Genius in 10 Kaulquappen:

6666666666

6

555555555

44444444444

3333333333333

22222 22222 2

111 111

In diesem Schritt sind von jedem Symbol ausreichend Zeichen zum Wegstreichen vorhanden. Somit erhält man das gewünschte Ergebnis durch (wegzustreichende Symbole sind rot markiert):

66666 66666

6

55555 5555

44444 44444 4

3333333333333

22222222222

111111

Nun ist das gesuchte Ergebnis direkt an den noch schwarzen Symbolen ablesbar: 849 671.


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An dem Beispiel kann man erkennen, dass Aufgabenstellungen schon einige Hieroglyphen umfassen. Um bei uns die Aufgabenstellung zu notieren, sind in unserer Schreibweise folgende Zeichen erforderlich: ⋅100 10 , was eine wesentliche Verkürzung ist. Bei der angegebenen Aufgabe wird schon deutlich, dass die Ägypter die Multiplikation mit 10 leicht umsetzen konnten, indem das Individualzeichen verändert wurde. Bei mehrstelligen Zahlen, die mit 10 multipliziert werden sollen, mussten alle Symbole jeweils um 10 erhöht werden, also alle Individualzeichen verändert werden. Bei der Berechnung eines Produktes stand den Ägyptern nicht das Einmaleins zur Verfügung, das wir heute verwenden. Sie kannten allerdings die Rechenoperation der Verdopplung. Um kompliziertere Aufgaben berechnen zu können, mussten sie sich behelfen. Hierzu nutzten sie in Additionsschema, das nachfolgend an einem Beispiel erklärt wird.

Zur Berechnung der Aufgabe 15 · 13 wurde zuerst eine Art „Tabelle“ angelegt. Rechts wurde der Multiplikator 15 notiert, links der Multiplikand 1.


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Als nächster Schritt wurden Verdopplungen der vorhergehenden Zeile vorgenommen, d.h. 1 · 2 und 15 · 2. Diese Berechnung wurde so lange wiederholt, bis der Wert in der linken Spalte nicht größer ist, als der gesuchte Multiplikand. In diesem Fall musste man nach der dritten Verdopplung abbrechen, da 16 größer wäre als 13, somit für die gesuchte Aufgabe nicht relevant ist.


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Zur Bestimmung des gesuchten Ergebnisses musste die Summe der linken Spalte so gebildet werden, dass man den Multiplikanden 13 erhält. Damit man sich vergessen hat, welche Zeilen benutzt wurden, wurden links von den Multiplikanden Markierungen notiert. In dem angegebenen Beispiel war der gesuchte Multiplikand 13. Man benutzte zunächst die Zeile, in der der größte Multiplikand stand, hier 8, somit bekam die letzte Zeile eine Markierung. Da noch 5 als Differenz zu 13 übrig blieben (13 – 8 = 5), wurden als weitere Zeilen die dritte und erste Zeile markiert. Da 8 + 4 + 1 = 13 ergibt, ist man an dieser Stelle fertig mit diesem Schritt.


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Mit Hilfe der Markierungen der benutzten Zeilen konnte das Ergebnis der Produkts bestimmt werden. Hierzu wurden den die Zahlen in der rechten Spalte der markierten Zeilen addiert. Diese Summe ergabt das Ergebnis der Aufgabe. Für unser Beispiel ist das: 120 + 60 + 15 = 195. Das Ergebnis von 15 · 13 ist somit 195.


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Wie schon erwähnt, sieht die Division ähnlich aus wie die Multiplikation. Zur Verdeutlichung der Berechnung wird die Division anhand eines Beispiels genauer beschrieben. Auch für die Division wurde eine Art Tabelle angelegt. Rechts wurde der Divisor, in diesem Fall 15, eingetragen, links eine 1. In der nächsten Zeile wurde jeweils die Verdopplung des vorherigen Wertes notiert. Dieser Schritt wurde so lange wiederholt, bis der Wert in der rechten Spalte nicht größer ist als 195.

Bei dem Beispiel muss man mit den Verdopplungen abschließen, wenn 120 erreicht ist. Im nächsten Schritt würde man 240 erhalten, was größter ist als 195 und somit für diese Aufgabe nicht relevant ist. Zur Bestimmung des Ergebnisses wurde aus der rechten Spalte die Summe der Zahlen so bestimmt, dass man 195 erhielt. Um die Zeilen festzulegen, die benutzt wurden, wurde mit der größt möglichen Zahl der Zeilen begonnen. In dem Beispiel wurde mit der vierte Zeile begonnen. Damit man sich merken konnte, welche Zeilen verwendet wurden, wurde auch bei der Division links der benutzten Zeilen eine Markierung notiert. Zur Ermittlung der weiteren Zeilen, die berücksichtigt wurden, wurde nun die Differenz 195 – 120 gebildet, man erhielt 75. Als weitere Zeilen wurden noch die dritte und erste Zeile benötigt (60 + 15 = 75).


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Das Ergebnis von 195 : 15 erhält man nun durch Addition der Zahlen der linken Spalte der markierten Zeilen. Man erhält für 195 : 15 durch 8 + 4 + 1 = 13. Während der Präsentation kam die Frage auf, wie die Berechung der Aufgabe 196 : 15 aussieht. Für diese Berechnung wird ebenfalls eine Tabelle aufgestellt, die ebenfalls die Zeilen einhält, die bei 195 : 15 erforderlich waren. Da man für die Ermittlung des Ergebnisses in der rechten Spalte die Zeilen so addieren muss, dass man 196 erhält, fehlt noch 1. Hierzu ist noch eine zusätzliche Zeile erforderlich. Man erhält den Wert 1 in der rechten Spalte, indem man die erste Zeile durch 15 dividiert. Die Zeile würde folgendermaßen aussehen: 15 1 15 steht für 1/15, d.h. man benötigt Brüche zur Bestimmung der Lösung zu Aufgabe 196 : 15. Wie man mit Brüchen näher rechnet, wird später noch näher erläutert. An dieser Stelle nur der Hinweis, wie man solche Aufgaben lösen kann.


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Für Aufgaben, bei denen der Dividend kleiner ist als der Divisor, wird ähnlich gerechnet, wie bei der Division von Aufgaben, bei denen der Dividend größer ist als der Divisor. Allerdings sind hierzu keine Verdopplungen von Zeile zu Zeile erforderlich, sondern Halbierungen. Hierbei wird deutlich, dass die Ägypter schon Brüche kannten. Die Aufgabe 2 : 8 wird also ebenfalls mit dem Tabellenschema notiert. Von Zeile zu Zeile werden die Zahlen der vorherigen Zeile allerdings durch 2 dividiert.


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Wie vorhin schon erwähnt, kannten die Ägypter schon Brüche. Wie sie notiert wurden und wie man mit ihnen rechnete, wird nachfolgend näher beschrieben. Die Ägypter notierten Brüche auf ähnliche Art wie ganze Zahlen. Sie fügten zur Verdeutlichung, dass es sich um einen Bruch handelt, eine Hieroglyphe „Mund“, die in diesem Zusammenhang die Bedeutung „Teil“ hat, oberhalb der Zahl ein. Wenn mehrere Symbole zur Darstellung des Nenners notwendig waren, wurd die Hieroglyphe ganz rechts über der kleinsten Zehnerpotenz notiert (zu sehen an 1/249). Durch diese Darstellung werden nur Stammbrüche, also Brüche mit Zähler 1, beschrieben. Die Ägypter hatten nur wenige Brüche zusätzlich zu den Stammbrüchen. Sie hatten Symbole für ½ , ⅔ und ¾ (entsprechende Symbole sind oben dargestellt). In einigen Büchern wird auch beschrieben, dass ¼ als × dargestellt wurde.


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Zur Darstellung von Brüchen mussten die Ägypter die Summe von mehreren Stammbrüchen bilden, wobei die Wiederholung eines Bruches nicht zulässig war. Um zu ermitteln, welche Stammbrüche zur Darstellung benutzt wurden, wurde zu erst überprüft, ob ½, ⅓ usw. in dem darzustellenden Bruch enthalten waren. Man versuchte die Brüche mit möglichst großen Stammbrüchen darzustellen.

Für die Darstellung des Bruches 35 wurde also zuerst überprüft, ob ½ in 35 enthalten ist. Mit den uns heute bekannten Verfahren, würden wir zur Kontrolle die beiden Brüche zuerst gleichnamig machen und anschließend die Differenz bestimmen.

= = + = +3 6 5 1 1 1

5 10 10 10 2 10 an dieser Stelle ist die Umrechnung schon abgeschlossen, da nur noch Stammbrüche verwendet werden. Bei komplizierteren Brüchen kann es erforderlich sein, mehrere Stammbrüche zu überprüfen, bevor die endgültige Darstellung ermittelt ist. An anderer Stelle in der Literatur wurde die Darstellung des Bruches über die Division des Zählers durch den Nenner bestimmt (wie bei Subtraktion von Brüchen zur Darstellung von 4

15 beschrieben).


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Zur einfacheren Schreibweise wird in den Büchern eine vereinfachte Darstellung der Brüche vorgenommen. Die Notation von Brüchen als Hieroglyphen ist aufwendiger, sodass man Brüche in eine uns zugänglichere Form notiert werden. Um Stammbrüche zu notieren, wird in der Literatur oft nur der Nenner des Stammbruchs mit einem waagrechten Strich darüber geschrieben. Für die Notation von ⅔ wurden in dieser Schreibweise einfach zwei waagrechte Striche über der 3 notiert.


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Zur Addition von Brüchen ist hier eine Beispielaufgabe, die aus dem Papyrus Rhind stammt (Informationen zum Papyrus Rhind sind in der Präsentation von Michalke zum Thema „Die bemerkenswerte Geometrie im antiken Ägypten und Babylonien“ zu finden). In der angegebenen Aufgabe soll folgende Aufgabe bestimmt werden:

+ + + + + + +1 1 1 1 1 1 1 12 4 8 16 32 64 72 576

. Unter den letzten 5 Brüchen sind in rot so genannte

Hilfszahlen notiert. Diese Zahlen geben an, mit welchem Faktor der entsprechende Bruch erweitert werden musste, um ihn zu den anderen zu addieren. In dieser Aufgabe würde man

z.B. 116

mit 36 erweitern und 36576

erhalten. Somit würde man für die fünf letzten Brüche in

folgender Weise erhalten: + + + +36 18 9 8 1

576 576 576 576 576.


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Als Ergebnis dieser „Teilaufgabe“ erhält man, indem man die Hilfszahlen addiert und erhält: 72

576, was sich zu 1

8 kürzen lässt. Die übrigen Brüche kann man schon im Kopf dazu

addieren: + = =1 1 2 18 8 8 4

, + = =1 1 2 14 4 4 2

und + = =1 1 2 12 2 2

.


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Die Subtraktion von Brüchen wird auch mittels Hilfszahlen durchgeführt. Als Beispiel auch hier eine Aufgabe aus dem Papyrus Rhind:

Die Aufgabe besteht darin, ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2 11- +3 15

zu berechnen. Die Hilfszahlen geben, wie auch bei

der Addition von Brüchen, an, mit welchen Faktoren erweitert werden muss. Die Aufgabe

sähe also nach der Erweiterung so aus: ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

20 11- +30 15

. Aus dieser Aufgabe kann man noch

nicht direkt erkennen, wie man weiter gerechnet hat. Man kann aber erkennen, dass man 2030

zu 1015

kürzen kann. Nun wird zuerst die Klammer berechnet: =10 1 11+15 15 15

. Jetzt kann

man 1 umwandeln zu 1515

. An dieser Stelle sieht man, dass das Ergebnis durch − =15 11 415 15 15

zu bestimmen ist. Da die Ägypter aber keine eigene Darstellung für 415

hatten, mussten sie

noch über die Aufgabe 4 : 15 die Darstellung ermitteln.


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Man notiert wie bei der Division in einer Art Tabelle in der rechten Spalte 15 und in der linken 1. Als erster Schritt wird in der zweiten Zeile der Wert 1/10 unter der 1 und 1 ½ unter 15 notiert. Die Zeile wird als durch 10 dividiert.


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Anschließend wird dann in der nachfolgenden Zeile der Wert für 1 : 5, also 1

5, und 15 : 5,

also 3, notiert. Da man 4 : 15 darstellen soll, fehlt noch 1 bis zum gesuchten Ergebnis

(4 – 3 = 1). Also wird in der nachfolgenden Zeile der Wert 1 : 15 = 115

und 15 : 15 = 1 notiert.


Christiane Beller

Durch die Merkstriche werden wieder die Zeilen markiert, die zur Ermittlung des Ergebnisses erforderlich sind. Wie schon in der Beschreibung oben angegeben, erhält man 4 durch 3 + 1. Somit muss vor der dritten und vierten Zeile ein Merkstrich notiert werden. Das Ergebnis zu 4

15 erhält man also durch +

1 15 15

.


Christiane Beller

Zusätzlich zu den verschiedenen Rechentechniken habe ich etwas zur hieratischen Schrift notiert. Dies habe ich vor allem deshalb gemacht, da ich mir nicht sicher war, ob ich mit den von mir präsentierten die Zeit vollkommen ausgenutzt war. Aus Zeitgründen wurde dieser Teil nicht präsentiert. Daher hier eine Beschreibung der Hieroglyphen und der hieratischen Schrift. Da man schon im Anfang der Präsentation gesehen hat, dass die Notation mit Hieroglyphen sehr aufwendig war, kann man sich vorstellen, dass auch die Ägypter eine einfachere Schreibweise nutzen wollten. Aus den Hieroglyphen ist durch Schematisierung und Reduzierung auf das Wesentliche die hieratische Schrift entstanden. Hierbei wurden zur Unterscheidung der verschiedenen Zahlen charakteristische Merkmale hinzugefügt. Eine Entwicklung der Zeichen für 20 bzw. 30 sind in dem Bild dargestellt. Durch die Darstellung wird deutlich, dass es eine Entwicklung in der Art der Notation gegeben hat. Es wird auch deutlich, dass sich einige Symbole sehr ähneln.


Christiane Beller

An dieser Stelle ein weiteres Beispiel zur Entwicklung der Zahlen 5 bis 9 in hieratischer Schrift. Man erkennt zu Anfang noch deutlich die Verbindung zur Schreibweise mit Hieroglyphen. Vergleicht man allerdings die Hieroglyphen nur mit dem letzten hieratischen Schriftzeichen ist kein direkter Zusammenhang erkennbar.


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Abschließend noch eine Übersicht, in der die Notation der Zahlen 1 bis 10 sowie einige weitere Zahlen dargestellt sind.

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