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Komplexe Zahlen: Fraktale und Chaos
Oliver RothInstitut für MathematikUniversität Würzburg
Lehrerfortbildung "W- und P-Seminare"Würzburg, 7. Oktober 2009
Grundlagenphase: Komplexe Zahlen
– Möglicher Ausgangspunkt: Mitternachtsformel– Arithmetik komplexer Zahlen– Geometrie komplexer Zahlen– Geometrische Konstruktionen als Abbildungen der komplexen Ebene
(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien,
Möbiustransformationen
)
Vortrags– bzw. Facharbeitsphase: Anwendungen
– Stereographische Projektion– Hyperbolische Geometrie und Kunst– Fraktale und Chaostheorie– Fraktale und Chaostheorie– Möbiustransformationen und Lorentztransformationen– · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Grundlagenphase: Komplexe Zahlen– Möglicher Ausgangspunkt: Mitternachtsformel– Arithmetik komplexer Zahlen– Geometrie komplexer Zahlen– Geometrische Konstruktionen als Abbildungen der komplexen Ebene
(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien,
Möbiustransformationen
)
Vortrags– bzw. Facharbeitsphase: Anwendungen
– Stereographische Projektion– Hyperbolische Geometrie und Kunst– Fraktale und Chaostheorie– Fraktale und Chaostheorie– Möbiustransformationen und Lorentztransformationen– · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Grundlagenphase: Komplexe Zahlen– Möglicher Ausgangspunkt: Mitternachtsformel– Arithmetik komplexer Zahlen– Geometrie komplexer Zahlen– Geometrische Konstruktionen als Abbildungen der komplexen Ebene
(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien,
Möbiustransformationen
)
Vortrags– bzw. Facharbeitsphase: Anwendungen
– Stereographische Projektion– Hyperbolische Geometrie und Kunst– Fraktale und Chaostheorie– Fraktale und Chaostheorie– Möbiustransformationen und Lorentztransformationen– · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Grundlagenphase: Komplexe Zahlen– Möglicher Ausgangspunkt: Mitternachtsformel– Arithmetik komplexer Zahlen– Geometrie komplexer Zahlen– Geometrische Konstruktionen als Abbildungen der komplexen Ebene
(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien,
Möbiustransformationen
)
P
Vortrags– bzw. Facharbeitsphase: Anwendungen
– Stereographische Projektion– Hyperbolische Geometrie und Kunst– Fraktale und Chaostheorie– Fraktale und Chaostheorie– Möbiustransformationen und Lorentztransformationen– · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Grundlagenphase: Komplexe Zahlen– Möglicher Ausgangspunkt: Mitternachtsformel– Arithmetik komplexer Zahlen– Geometrie komplexer Zahlen– Geometrische Konstruktionen als Abbildungen der komplexen Ebene
(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien,
Möbiustransformationen
)
P
Vortrags– bzw. Facharbeitsphase: Anwendungen
– Stereographische Projektion– Hyperbolische Geometrie und Kunst– Fraktale und Chaostheorie– Fraktale und Chaostheorie– Möbiustransformationen und Lorentztransformationen– · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Grundlagenphase: Komplexe Zahlen– Möglicher Ausgangspunkt: Mitternachtsformel– Arithmetik komplexer Zahlen– Geometrie komplexer Zahlen– Geometrische Konstruktionen als Abbildungen der komplexen Ebene
(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien,
Möbiustransformationen
)
P
P ′
|P ′| = 1|P|
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– Stereographische Projektion– Hyperbolische Geometrie und Kunst– Fraktale und Chaostheorie– Fraktale und Chaostheorie– Möbiustransformationen und Lorentztransformationen– · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien,
Möbiustransformationen
)
P
P ′
|P ′| = 1|P|
z
Mittelpunkt z0Radius r
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– Stereographische Projektion– Hyperbolische Geometrie und Kunst– Fraktale und Chaostheorie– Fraktale und Chaostheorie– Möbiustransformationen und Lorentztransformationen– · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien,
Möbiustransformationen
)
P
P ′
|P ′| = 1|P|
z
Mittelpunkt z0Radius r
Vortrags– bzw. Facharbeitsphase: Anwendungen
– Stereographische Projektion– Hyperbolische Geometrie und Kunst– Fraktale und Chaostheorie– Fraktale und Chaostheorie– Möbiustransformationen und Lorentztransformationen– · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Grundlagenphase: Komplexe Zahlen– Möglicher Ausgangspunkt: Mitternachtsformel– Arithmetik komplexer Zahlen– Geometrie komplexer Zahlen– Geometrische Konstruktionen als Abbildungen der komplexen Ebene
(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien,
Möbiustransformationen
)
P
P ′
|P ′| = 1|P|
z
Mittelpunkt z0Radius r
z ′
Mittelpunkt z0Radius r
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– Stereographische Projektion– Hyperbolische Geometrie und Kunst– Fraktale und Chaostheorie– Fraktale und Chaostheorie– Möbiustransformationen und Lorentztransformationen– · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)
P
P ′
|P ′| = 1|P|
z
Mittelpunkt z0Radius r
z ′
z ′= r2
z−z0+ z0
Mittelpunkt z0Radius r
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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)
Vortrags– bzw. Facharbeitsphase: Anwendungen
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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)
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Grundlagenphase: Komplexe Zahlen– Möglicher Ausgangspunkt: Mitternachtsformel– Arithmetik komplexer Zahlen– Geometrie komplexer Zahlen– Geometrische Konstruktionen als Abbildungen der komplexen Ebene
(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)
Vortrags– bzw. Facharbeitsphase: Anwendungen
– Stereographische Projektion– Hyperbolische Geometrie und Kunst– Fraktale und Chaostheorie– Fraktale und Chaostheorie– Möbiustransformationen und Lorentztransformationen– · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Grundlagenphase: Komplexe Zahlen– Möglicher Ausgangspunkt: Mitternachtsformel– Arithmetik komplexer Zahlen– Geometrie komplexer Zahlen– Geometrische Konstruktionen als Abbildungen der komplexen Ebene
(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)
Vortrags– bzw. Facharbeitsphase: Anwendungen
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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)
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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)
Vortrags– bzw. Facharbeitsphase: Anwendungen
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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)
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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)
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Grundlagenphase: Komplexe Zahlen– Möglicher Ausgangspunkt: Mitternachtsformel– Arithmetik komplexer Zahlen– Geometrie komplexer Zahlen– Geometrische Konstruktionen als Abbildungen der komplexen Ebene
(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)
Vortrags– bzw. Facharbeitsphase: Anwendungen
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Grundlagenphase: Komplexe Zahlen– Möglicher Ausgangspunkt: Mitternachtsformel– Arithmetik komplexer Zahlen– Geometrie komplexer Zahlen– Geometrische Konstruktionen als Abbildungen der komplexen Ebene
(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)
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Grundlagenphase: Komplexe Zahlen– Möglicher Ausgangspunkt: Mitternachtsformel– Arithmetik komplexer Zahlen– Geometrie komplexer Zahlen– Geometrische Konstruktionen als Abbildungen der komplexen Ebene
(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)
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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)
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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)
Vortrags– bzw. Facharbeitsphase: Anwendungen
– Stereographische Projektion– Hyperbolische Geometrie und Kunst– Fraktale und Chaostheorie– Fraktale und Chaostheorie– Möbiustransformationen und Lorentztransformationen– · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Grundlagenphase: Komplexe Zahlen– Möglicher Ausgangspunkt: Mitternachtsformel– Arithmetik komplexer Zahlen– Geometrie komplexer Zahlen– Geometrische Konstruktionen als Abbildungen der komplexen Ebene
(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)
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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)
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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)
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– Stereographische Projektion
– Hyperbolische Geometrie und Kunst– Fraktale und Chaostheorie– Fraktale und Chaostheorie– Möbiustransformationen und Lorentztransformationen– · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)
Vortrags– bzw. Facharbeitsphase: Anwendungen
– Stereographische Projektion– Hyperbolische Geometrie und Kunst
– Fraktale und Chaostheorie– Fraktale und Chaostheorie– Möbiustransformationen und Lorentztransformationen– · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)
Vortrags– bzw. Facharbeitsphase: Anwendungen
– Stereographische Projektion– Hyperbolische Geometrie und Kunst
– Fraktale und Chaostheorie– Fraktale und Chaostheorie– Möbiustransformationen und Lorentztransformationen– · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)
Vortrags– bzw. Facharbeitsphase: Anwendungen
– Stereographische Projektion– Hyperbolische Geometrie und Kunst– Fraktale und Chaostheorie
– Fraktale und Chaostheorie– Möbiustransformationen und Lorentztransformationen– · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Grundlagenphase: Komplexe Zahlen– Möglicher Ausgangspunkt: Mitternachtsformel– Arithmetik komplexer Zahlen– Geometrie komplexer Zahlen– Geometrische Konstruktionen als Abbildungen der komplexen Ebene
(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)
Vortrags– bzw. Facharbeitsphase: Anwendungen
– Stereographische Projektion– Hyperbolische Geometrie und Kunst– Fraktale und Chaostheorie
– Fraktale und Chaostheorie
– Möbiustransformationen und Lorentztransformationen
– · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Grundlagenphase: Komplexe Zahlen– Möglicher Ausgangspunkt: Mitternachtsformel– Arithmetik komplexer Zahlen– Geometrie komplexer Zahlen– Geometrische Konstruktionen als Abbildungen der komplexen Ebene
(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)
Vortrags– bzw. Facharbeitsphase: Anwendungen
– Stereographische Projektion– Hyperbolische Geometrie und Kunst– Fraktale und Chaostheorie
– Fraktale und Chaostheorie
– Möbiustransformationen und Lorentztransformationen– · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Grundlagenphase: Komplexe Zahlen– Möglicher Ausgangspunkt: Mitternachtsformel– Arithmetik komplexer Zahlen– Geometrie komplexer Zahlen– Geometrische Konstruktionen als Abbildungen der komplexen Ebene
(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)
Vortrags– bzw. Facharbeitsphase: Anwendungen
– Stereographische Projektion– Hyperbolische Geometrie und Kunst– Fraktale und Chaostheorie– Fraktale und Chaostheorie– Möbiustransformationen und Lorentztransformationen– · · · · · · · · · · · · · · · · · ·