DifferentialgleichungenGeschwindigkeit und Beschleunigung

Für eine geradlinige Bewegung auf der x-Achse: x xt.Momentangeschwindigkeit : vt x t dx

dtMomentanbeschleunigung : at v t x t dv

dt d2xdt2.

Integration liefert: dvdt dt dv vt vt0 t0

t

asds

analog: dxdt dt dx xt xt0 t0

t

vsds

mit xt0 und vt0 Position und Geschwindigkeit für t t0.

1

Beispiel : zweites Newtonsche GesetzF ma F mx m d2x

dt2

Senkrechter, freier Fall/Wurf in x Richtung (senkrecht zurErdoberfläche) mit Luftwiderstand ( vF mg kx mg kx mx x k

m x g.Differentialgleichung 2. Ordnung für die Ortsfunktion xtAnfangswertproblem: Position und Geschwindigkeit zu einemAnfangszeitpunkt, also xt0 und vt0 sind vorgegeben sonstallgemeine Lösung mit 2 freien Parametern.

UMFORMUNG: mit der neuen Variablen v x v k

m v gDifferentialgleichung 1. Ordnung

2

Beispiel : radioaktiver ZerfalldNdt N Differentialgleichung 1. Ordnung

Lös.: Nt N0et 1 freier Parameter (Anfangsbedingung) N0Beispiel : elektrisches Potential im ladungsfreien Raum

U 2Ux2

2Uy2

2Uz2

0

partiellen Differentialgleichung (3 unabhängige Variable)

3

Begriffe und Definitionen In Differentialgleichungen treten Funktionen und ihre Ableitungen auf. Wenn diese Funktionen nur von einer unabhängigen Variablen (t) abhängen, spricht man

von gewöhnlichen Differentialgleichungenandernfalls von partiellen Differentialgleichungen

Differentialgleichungen werden hinsichtlich ihrer Ordnung klassifiziert. Wenn die gesuchte Funktion skalar ist: skalare Differentialgleichung

wenn die gesuchte Funktion vektorwertig ist: System von Differentialgleichungen. In Anlehnung an die Physik (Weg x als Funktion der Zeit t) werden wir stets nach einer

Lösung x(t) suchen. Also haben wir DGL der Form : dxdt x fx, t.

In vielen Büchern y(x):dydx y fx,y

4

DEFINITION: Die Ordnung einer Differentialgleichung ist die Ordnung derhöchsten Ableitung, die in der Differentialgleichung auftritt.

Beispiel : x tx2 DGL 1. Ordnung

Beispiel : xx5 2 tx lnx 0 DGL 5. Ordnung

Beispiel : x 0 DGL 2. Ordnung; Lösung: xt at b, a,b Parameterxt 3t 2 spezielle oder partikuläre Lösungxt at b, a,b freie Parameter allgemeine Lösung

DEFINITION: Eine parameterabhängige Lösung einer DGL n-ter Ordnung heißtallgemein, wenn sie n frei wählbare Konstanten enthält.

5

Die allgemeine Form einer skalaren DGL 1. Ordnung ist

Ft,x,x 0wobei : D Rn1 R eine Funktion von drei Veränderlichen ist. Eine DGLdieser Art nennt man implizite Differentialgleichung.

Unter einer Lösung verstehen wir eine auf einem Intervall I R definierte,differenzierbare Funktion xt für die gilt:

t,xt,x t D und Ft,xt,x t 0, für t I .

Lösungen einer DGL nennt man auch Trajektorien der DGL.

Wenn es möglich ist die Gleichung Ft,x,x 0 nach x aufzulösen, erhält mandie explizite Standardform einer skalaren Differentialgleichung 1. Ordnung

x ft,xwobei f eine Funktion von zwei Veränderlichen ist.

6

Beispiel : x 5x 0 implizite DGL 1. Ordnung

x 5x explizite DGL 1. Ordnung

allgemeine Lösung: xt ce5t c Rspezielle Lösungen: xt 3e5t , xt 6e5t

Trajektorien für 3e5t,0.2e5t,0.02e5t, 0. 02e5t

7

Beispiel :Wenn f nicht von x abhängt, dann erhält man die einfachste gewöhnlicheDifferentialgleichung,

x ftmit der einparametrigen Lösungsschar

xt t c, c R,wobeit eine Stammfunktion von ft ist.Wenn f jedoch von x abhängt, ist die Situation viel schwieriger.

8

DEFINITION: Ist zusätzlich zur Differentialgleichung x ft,x noch dieAnfangsbedingung

xt0 x0, t0,x0 Dgegeben, so spricht man von einem Anfangswertproblem (AWP).

9

Verallgemeinerung auf eine DGL n-ter Ordnung:DEFINITION:

Ft, x, x , . . . . . xn 0

ist eine implizite DGL n-ter Ordnung. Kann man die DGL nach xn auflösen:

xn ft, x, x , . . . . . xn1

haben wir eine explizite DGL n-ter Ordnung.

Eine n-mal differenzierbare Funktion xt heißt explizite Lösung wenn gilt:

Ft, xt, x t, . . . . . xnt 0

bzw.

xtn ft, xt, x t, . . . . . xn1t

10

Eine GleichungUx, t 0 nennen wir eine implizite Lösung, wenn siewenigstens in einem Intervall eine Auflösung x xtbesitzt,die eine expliziteLösung der DGL darstellt.

DEFINITION: Anfangswertproblem (AWP) : gesucht wird eine Lösung x(t) für

die DGL n-ter Ordnung

xn ft, x, x , . . . . . xn1

mit

xt0 x0, x t0 x0, . . . . .xn1t0 x0n1

mit t0,x0,x0, . . .x0n1

vorgegebenen Werten im Definitionsbereich von f.

Beispiel: senkrechter Wurf nach oben: DGL 2. Ordnung, Anfangsbedingungen zurZeit t0 Ort x0 und Anfangsgeschwindigkeit x t0 v0

11

Lineare DGL 1. OrdnungDEFINITION: Eine skalare lineare DGL 1. Ordnung hat die Form

x qtx ft

Die Gleichung heißt homogen, falls ft 0 ist, andernfalls inhomogen.linear: Linearität des Differentialoperators

L : C1I CI, x x qtx,

L ddt qt Lx dx

dt qtx x qtx

also gilt Lx1 x2 Lx1 Lx2 , reelle Zahlen

mit anderen Worten: sind x1t und x2t Lösungen der homogenen DGL,dann ist es auch jede Linearkombination x1t x2t

12

Die homogene GleichungFür x 0 kann man die homogene Gleichung x qtx 0 zu

x x qt d ln|x|

dt qt

umformen, denn d ln|x|dt 1

xdxdt

xx

ln|x| t0

t

qsds d

|xt| edet0

tqsds

cet0

tqsds

, c R.

xt cet0

tqsds

, c Reinparametrige Schar von Lösungen mit Scharparameter c.Dabei ist t0 fest gewählt.

13

anschaulich:x x qt 1

xdxdt qt dx

x qtdt

also ebenfalls: ln|x| t0

t

qsds d

14

DEFINITION: eQt mit Qt t0

tqsds heißt integrierender

Faktor der Differentialgleichung x qtx 0Satz: jede Lösung von x qtx 0 hat die Form

xt ceQt

Beweis: Multiplizieren mit eQt liefert0 eQtx qtx d

dt xeQt

xeQt c konstant, x ceQt.

Damit sind alle Lösungen gefunden, man sagt: Die allgemeine Lösung derhomogenen Differentialgleichung x qtx 0 hat die Form

xht cet0

tqsds

, c R

15

Beispiel:

x a bcos tx 0, a,b R

allgemeineLösung

xt ce0

tabcos sds

ceatb sin t, c R.

16

Die inhomogene GleichungDEFINITION: Eine beliebige Lösung der inhomogenenGleichung x qtx ft nennt man eine Partikulärlösung.Konstruktion einer Partikulärlösung xpt mittels Variation derKonstanten:

Ansatz

xpt cteQt.

Einsetzen ergibt

c teQt cteQtqt cteQtqt ft,c t eQtft,ct eQtftdt.

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Beispiel: x qx a, q,a konstant.ct eQtftdt,Qt

0

tqsds

ct a eqtdt aq e

qt,

xpt aq e

qteqt aq .

konstante Partikulärlösung.

18

Satz: Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichungx qtx ft hat die Form

xt xht xpt.Dabei ist xht die allgemeine Lösung der homogenen Gleichungund xpt eine Partikulärlösung.Beweis: wegen

L ddt qt, Lx Lxh xp Lxh Lxp 0 ft ft

also ist xt xht xpt eine Lösung der inhomogenen Gleichung. zwei beliebige Lösungen x1, x2 der inhomogenen Gleichung unterscheiden sich nur

durch Addition einer Lösung der homogenen Gleichung

Lx1 f, Lx2 f, z : x1 x2.Anwenden von L auf z: Lz Lx1 x2 Lx1 Lx2 f f 0

19

Also haben alle Lösungen die Gestalt : xht xpt Beispiel:

x qx a a,q ... konstantallgemeine Lösung:

xt ceqt aq , c R

20

Satz: Das Anfangswertproblem

x qtx ft, t I Rxt0 x0

ist für beliebiges t0 I, x0 R eindeutig lösbar.Beweis: Aus der Form der allgemeinen Lösung folgt

x0 ceQt0 xpt0.Daraus kann man c eindeutig bestimmen:

c eQt0x0 xpt0

21

Beispiel: Für die geradlinige Bewegung bei Luftwiderstand ist das folgende AWPgegeben:

v km v g, v0 v0

Die allgemeine Lösung lautet

vt ce km t mgkEinsetzen von t0 0, v0 v0 ergibt

v0 c mgk c v0

mgk

vt v0 mgk e km t mgk

die Lösung des AWP. Man sieht, daß die Geschwindigkeit für t exponentiellgegen die konstante Geschwindigkeit

mgk konvergiert.

22

v0 10;k/m 2. ;mg/k 5.

23

Nichtlineare DGL 1. OrdnungJede skalare DGL 1. Ordnung,

x ft,x, t,x D R2

die nicht die im vorigen Abschnitt definierte lineare Struktur hat, ist eine

nichtlineare Differentialgleichung 1. Ordnung.

Geometrische Darstellung:

Betrachte x ft,x als den Anstieg im Punkt x, t in der x, t Ebene. in

jedem Punkt t,x ein Linienelement definiert mit dem Anstieg fx, t.

24

Lösungen x t2 x2

Isoklinen/ Richtungsfeld/

Richtungsfeld der DGL: Gesamtheit der Linienelemente in allen Punkten t,xAnfangswertproblem: Suche eine Kurve durch das Richtungsfeld, das durchden Punkt t0,x0 geht und in jedem Punkt tangential zum Richtungsfeld liegt.Isoklinen: Kurven konstanter Steigung des Richtungsfeldes.

ft,x c, c R

25

Gibt es immer Lösungen (Existenz) und sind diese eindeutig ?

Satz: DGL x ft,x mit:1. ft,x sei stetig auf D R22. ft,x sei Lipschitz–stetig bezüglich x, d.h.

|ft,x1 ft,x2| L|x1 x2|, t,x1, t,x2 D.aus Voraussetzung 1 Existenz einer Lösung des AWP

aus Voraussetzungen 1 2 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung des AWP

d.h. es gibt genau eine stetig differenzierbare Funktion xt mit x ft,x undxt0 x0. Diese Lösung existiert solange die Kurve t, xt in D verläuft.

26

Beispiel: ft,x ex1 t erfüllt die obige Voraussetzung aufjedem endlichen Rechteck I1 I2.Beispiel: ft,x 2 x erfüllt die Voraussetzung nur, falls in Dgilt: x 0.Beweis:

|ft,x ft, 0| |2 x 0| L|x1 x2| L|x 0|

| 2x| L aber | 2

x| für x 0

z. B. Anfangswertproblem

x 2 x , t 0, x0 0 zwei Lösungen: xt 0 xt t2

Da die Bedingung der Lipschitz-Stetigkeit bei x 0 nicht erfüllt ist, stellt das keinenWiderspruch zum Existenz- und Eindeutigkeitssatz dar

27

Lösungen von x 2 x

28

Spezielle DGL 1. OrdnungEs gibt eine Reihe von Gleichungstypen für nichtlin. DGL für die man Lösungen (bis

auf Integration) angeben kann.

Separable (trennbare) DGLDefinition: x gt

hx ist eine separable DGL

Lösung: Hx sei Stammfunktion von hx ddx Hx hx.

also folgt ddt Hxt hxtx t.

x gthx d

dt Hxt gt

unbestimmte Integration nach tHxt Gt c Gt Stammfunktion von gt

explizite Lösung durch Auflösen nach xt

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xt H1Gt cFormaler Lösungsweg:1. Trennen der beiden Variablen

x t dxdt gt

hx hxdx gtdt

2. beidseitiges Integrieren

hxdx gtdt c.Beispiel:

x ex1 t 1 tex gt

hx

Hx ex, Gt t t2

2

30

Lösung (implizite Darstellung)

ext t t2

2 c, c R

Lösung (explizite Darstellung)

xt ln c t t2

2 , c R

Lösung des Anfangswertproblems (AWP): x0 x0Hx0 G0 c c Hx0 G0 ex0

xt lnex0 t t2

2

Ausdruck inKlammer 0 :t t x0 1 1 2ex0 .

Die Lösung existiert daher nur auf dem Intervall t, t.Für t twird die Lösung

unbeschränkt.

31

Trajektorien von x ex1 t

32

Autonome DGL

Definition: x fx ist eine autonome DGL (Spezialfall einerseparablen DGL mit hx 1)Formale Lösung: x dx

dt fx dxfx dt dx

fx t c

aber nur in Intervallen wo 1fx 0

33

qualitative Überlegungen: Nullstellen von fx sind die Stationärlösungen (Ruhelagen, Fixpunkte) der DGL.xt x0 mit fx0 0 dxt

dt dx0dt 0 fx0 fxt

Isoklinen: const x fx, t const fx Isoklinen parallel zurt-Achse.

im Intervall zwischen 2 benachbarten Fixpunkten (Nullstellen) ist fx 0 oderfx 0 Also verlaufen die Lösungen nach steigenden (abfallendem) x mit t.

Eine Lösungskurve kann die Stationärlösung xt x0 nicht schneiden(Eindeutigkeitsatz)

Ruhelagen die alle benachbarten Lösungen anziehen stabil (f x0 0)Ruhelagen die alle benachbarten Lösungen abstoßen instabil (f x0 0)(folgt unmittelbar aus Kurvendiskussion)

Beispiel: x a bx2, a,b 0.x0 a

b stabile x1 ab instabile stationäre Lösung

34

x a bx2

35

DGL mit homogenen VariablenDefinition: Funktion gt,x heißt homogen vom Gradm Z, falls

gst, sx smgt,x, s, t,x R.

Beispiel: 3t2x4 2tx5 homogen vom Grad 6.Beispiel: sin x

t homogen vom Grad 0.Beispiel: 1

t2x2homogen vom Grad 1.

Beispiel: 6t x2 nicht homogen.

Definition: Eine DGL der Form x gt,xht,x mit g und h homogen vom selben

Grad ist eine DGL mit homogenen Variablen

36

Lösungsansatz:

xt tutführt auf die separable DGL

u t u gt, tuht, tu tmg1,u

tmh1,u fu.

Trennen der Variablen

dufu u ln|t|c.

mit

dufu u Fu F xt ln|t|c

implizite Darstellung der allgemeinen Lösung

37

Beispiel: x t3x3tx2

DGL mit homogenen Variablen.

Substitution x ut

u t u 1 u3u2

u t 1u2t

Trennung der Variablen

u2du 1t dt

Integration

u33 ln t c x3

3t3 ln t c

38

Exakte DGLDefinition: Eine exakte DGL entsteht aus einer Funktion Ux, t const durchdifferenzieren (Kettenregel) und hat die Form:

U tx, t Uxx, tx 0 mit Ux 0 x

Utx, tUxx, t

Definition: Die DGL Ax, t Bx, tx 0 heißt exakt, wenn es eine Funktion U(Stammfunktion) gibt, so daßUt U

t A Ux Ux B

(vgl. Potential und Kraft in der Ebene: F gradU)Exaktheitstest: Ax, t Bx, tx 0 ist exakt wenn gilt:

x Ax, t

t Bx, t Integrabilitätsbedingung

(vgl. Kraft hat ein Potential wenn rotF 0

39

Lösungsweg:1. Überprüfung ob exakt x Ax, t

t Bx, t

2. Ux, t Ax, tdt cx (unbest. nach t integrieren)

3. Uxx, t x Ax, tdt

ddx cx Bx, t (partiell nach x

differenzieren)

4. cx durch integration nach x bestimmenBeispiel: 2xt 2x t2x 0 x0 11. Ax 2t Bt2. Ux, t 2xtdt cx t2x cx3. Uxx, t t2 d

dx cx 2x t2

4. cx 2xdx x2 Ux, t t2x x2 const5. xt 0 1 t2x x2 1 y 1

2 x4 4 x2

40

Bernoulli DGLDefinition: x atx btx ax, bx stetig, 0,1für 0,1 liegt eine homogene/inhomogene lin. DGL vor1. Multiplizieren mit

1 x : x1 x at1 x1 bt1 2. Substitution t xt1 1 xx 3. at1 bt1 lineare DGL4. Rücksubstitution in der Lösung

41

Beispiel: x 1t x tx2 2

1. 1x2x 1x2 1t x 1x2tx2 x2x x1t t2. t xt1 1x2x

t t 03. Lösung der hom. DGL

t 0: ddt t d

dtt ln ln t c ln c

t h ct

4. Lösung der inhom. DGLx qtx ft: pt ct 1tctct2

ct2 t 0 c t c c t3 0 dc

dt t2

ct t33 p t2

3 t t23 constt t33const

3t5. wegen t xt1 xt 3t

t3c

42

Riccati DGLDefinition: x atx btx2 ftEs gibt für diese DGL kein explizites Lösungsverfahren. Habenwir aber eine partikuläre Lösung x0t erraten, kann man sie mitder Substitution

vt 1xt x0t

d.h. xt x0t 1vt

auf eine lineare DGL zurückführen.

Beispiel: x x x2 1 t t2 Verhulst-Wachstumsgesetz mit

Steuerungsfunktion

partik. Lösung: x0t 1 t1. Substitution vt 1

xtt1 x 1 1v2v

1 1v2v 1 t 1

v 1 t 1v

2 1 t t2

43

v v2t 1 1 0 lin. DGL2. Lösung der hom. DGL v v2t 1 0:

dvv 2t 1dt lnv t2 t v cet2t

3. Lösung der inhom. DGLv v2t 1 1 0:vpt ctet2t c et2t vpt et2t e2d vt et2t e2d c

4. xt 1 t 1vt

5. Bemerkung: Mathematica e2d

2e1/4Erfi 12 1 2t

imaginary errorfunction erf(ix)/i

44

Rückführung durch Substitutionen aufbekannte DGL TypenBeispiel: x fat bx cSubstitution u at bx c u a bx u a bfuseparierbar

........................

........................

Was tun wir wenn alles versagt ???

45

Numerische Integration1. problematisch mit Bleistift und Papier2. mittels Computer: Programme (Fortran, Pascal).......3. mittels Mathematica, Maple, Derive (?): fertige Befehleexakte Pendelgleichung mit Mathematica:

NDSolve[{t g sintL 0,0 0,0 2.,t,t, 0, 100

46

DGL n-ter Ordnung System von n DGL 1.OrdungSatz: DGL n-ter Ordnung mit n Anfangsbedingungen:

xn ft,x,x , . . . . . .xn1

xit0 x0i i 0,1,2. . . .n 1

kann in ein System von n DGL 1. Ordnung umgewandeltwerden.

Man definiert neue Variable:

x1 x, xi1 xi1 i 2, . . . .n

47

das ergibt ein System von n Gleichungen:

x1 x2x2 x3

. . . . .xn1 xnxn ft,x1, . . . . ,xn

sowie Anfangsbedingungen:

x1t0 x0,x2t0 x0 . . . . . . .xnt0 x0n1

48

Beispiel: harmon.Oszillator mit Reibung

mx kx cx k 0,c 0

x km x cm x

x 2x x

es ist vt xt v 2x vx v

x0 x0 v0 v0

49

Euler’sche MethodeAWP: x fx, t xt0 x0Diskretisierung: Unterteilung der Strecke t0 bis t:Schrittweite: h tt0

n Stützpunkte: ti t0 kh k 0,1,2. . .nGesucht: Funktionswerte xt1,xt2. .xtn der Lösung des AWP

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Aus dem Mittelwertsatz der Diff.R. folgt:f,xxtk1 xtk hf,x tk tk1

Man ersetzt Steigung f, t am unbekannten Ort durchNäherungswert Ftk,xk,hder nur von tk,xk,h abhängt.

xtk1 xtk hFtk,xk,h

einfachste Näherung (EULER)

f,x ftk,xk Ftk,xk,halso xtk1 xtk hftk,xk Polygonzug

Formal: ft,x dxdt

xt

xh xtk1 xtk hft,x

51

52

Verbesserte Euler Methode (Heun)Im allgemeinen wird der Mittelwert 12 ftk,xk ftk1,xk1 einebessere Approximation für die Steigung im Polygonzug vontk,xk nach tk1,xk1 sein als ftk,xk.Wir kennen aber xk1 nicht, aber wir können die Euler Methodenehmen um damit eine gute Approximation von xk1 zu erhaltenund dann den Mittelwert für die endgültige Berechnung vonxk1verwenden.

Ftk,xk,h 12 K1 K2

K1 ftk,xkK2 ftk h,xk hK1

53

54

Runge Kutta Methodezur Berechnung der Steigung F wird noch eine weitereStützstelle tk 1

2 h und ein gewichtetes Mittel aus vierFunktionswerten von f verwendet

Ftk,xk,h 16 K1 K2 K3 K4

K1 ftk,xk

K2 ftk 12 h,xk 12 hK1

K3 ftk 12 h,xk 12 hK2

K4 ftk h,xk hK3

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56

Güte der VerfahrenEULER HAUN RUNGE-KUTTA (Fehler ist von OrdnungOh)

57

Es genügt nicht ein Verfahren (Euler) mit großemVerfahrenfehler zu nehmen und einfach die Schrittweite extremklein zu machen:1. Rechenzeit steigt extrem an (bei gleichen Fehler benötigteman mit Euler 3 Tage und mit Heun M. 45 s und mitRunge-Kutta 1s)

2. Bei extrem kleinen h dominieren die Rundungsfehler, dasheißt man kann die Genauigkeit nicht beliebig steigern.

3. Bei Systemen mit Energieerhaltung (Ekin Epot const, z.B.harm. Oszillator ohne Dämpfung, Mehrkörperprobleme(Sonnensystem)) kann man überprüfen ob dieGesamtenergie "davonläuft"Schrittweite verringern.

4. Viele weitere Verfahren, variable Schrittweite,Predictor-Corrector Methoden.

58

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Beispiel: harmon.Oszillator mit Reibung

mx kx cx k 0,c 0

x km x cm x

x 2x x

es ist vt xt v 2x vx v

xt0 x0 vt0 v0EULER xtk1 xtk hftk,xk1.Schritt

xt1 xt0 hvt0 x0 hv0vt1 vt0 h2xt0 vt0 v0 h2x0 v0

60

k-ter Schritt

xtk1 xtk hvtkvtk1 vtk h2xtk vtk

Matmematica File

61