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Entscheidungstheorie Teil 4: Prognosemodelle Prof. Dr. Steffen Fleßa Lst. für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre und Gesundheitsmanagement Universität Greifswald. Gliederung. 1 Grundlagen Werte- und Zielsystem Konzepte der Entscheidungstheorie Prognosemodelle - PowerPoint PPT Presentation
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EntscheidungstheorieTeil 4: Prognosemodelle
Prof. Dr. Steffen FleßaLst. für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre und Gesundheitsmanagement
Universität Greifswald1
Gliederung
1 Grundlagen2 Werte- und Zielsystem3 Konzepte der Entscheidungstheorie4 Prognosemodelle
4.1 Statistische Prognosemodelle4.1.1 Gleitende Durchschnitte4.1.2 Exponentielle Glättung4.1.3 Ökonometrische Modelle4.1.4 Neuronale Netze
4.2 Prognostizierende Modelle4.2.1 Netzplantechnik4.2.2 Markov-Modelle4.2.3 System Dynamics4.3.4 Simulation
4.3 Expertenprognosen
2Entscheidungstheorie - Fleßa
Prognose-Dilemma
• „Prognosen sind schwierig, besonders wenn sie die Zukunft betreffen.“ (zugeschrieben Karl Valentin, Mark Twain, Winston Churchill u.a.)
3
• „Ein Prognostiker ist ein Mann, der in lichten Momenten düstere Ahnungen hat“. (Tennessee Williams)
Entscheidungstheorie - Fleßa
Prognosemodelle• Einordnung– Grundproblem: Unsicherheit der Zukunft
• Entwicklung von Umweltzuständen• Wirkungszusammenhänge
– Folge: Modelle sind wirkungsdefekt– Gegenmaßnahme: Prognose
• Definition: Modelle zur Ermittlung bzw. Vorhersage von Informationen über unsichere, zukünftige Sachverhalte. Prognosen liefern Planungsinformationen
4Entscheidungstheorie - Fleßa
Prognosen: Typologie• Umweltprognosen: Prognosen über zukünftige
Entwicklungen von Problemdaten• Entwicklungsprognose: Teilmenge der
Umweltprognosen: Prognose eines Umweltzustandes, der vom Entscheider nicht beeinflusst werden kann
• Wirkungsprognosen: Prognose von Wirkungszusammenhängen zwischen Parametern und Handlungsalternativen
5Entscheidungstheorie - Fleßa
Prognosen: Typologie (Forts.)• Ergebnisprognosen: Prognose über den Endzustand
eines Systems bei Wahl einer bestimmten Handlungsalternative. Oftmals werden für das Ergebnis bestimmte Wahrscheinlichkeiten angegeben.
• Prognosen über zukünftige Handlungsalternativen: Vorhersage der technischen, sozialen, politischen oder kulturellen Entwicklung, die neue Handlungsalternativen entstehen oder alte unmöglich werden lässt
• Prognosen über zukünftig zu verfolgende Ziele: Prognose über Veränderungen des Zielsystems
6Entscheidungstheorie - Fleßa
Prognosen: Typologie (Forts.)
• Prognosen im engeren Sinne: Umwelt-, Wirkungs- und Ergebnisprognosen
• Zeithorizont von Prognosen: Kurzfristige, mittelfristige und langfristige Prognosen
7Entscheidungstheorie - Fleßa
Wahl der Prognosemethoden• Grundsätzliche Eignung der Methode für
die Vorhersage– z. B. linearer Ansatz bei zyklischen Verläufen
• Prognosefehler– Genauigkeit der Methode
• Prognosekosten– „Ökonomie der Modellbildung“– Grundsatz: So genau wie nötig bei
vertretbarem Aufwand
8Entscheidungstheorie - Fleßa
4.1.1 Gleitende Durchschnitte• Grundproblem: Zeitreihenanalyse– Zeitreihe: Zeitlich geordnete Folge von
Beobachtungswerten y1,..yt, …, yn– Normalfall: Äquidistante Beobachtungszeitpunkte,
d.h. Zeiträume zwischen zwei Beobachtungen sind konstant
– Methoden:• Gleitende Durchschnitte• Glättung• Ökonometrie• Komponentenanalyse,…
9Entscheidungstheorie - Fleßa
Beispiel
x y
1 9
2 13
3 17
4 14
5 11
x y
6 16
7 22
8 16
9 15
10 17
x y11 2212 2013 1714 2015 26
10Entscheidungstheorie - Fleßa
Beispiel
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16x [Zeit in Monate]
y
Aufgabe: Wie kann man eine Prognose für den
Zeitpunkt t=16 erstellen?
11Entscheidungstheorie - Fleßa
Lösung 1:
• Prinzip: Fortschreibung des letzten Wertes • Syn.: Gleitender Durchschnitt der Länge h=1• z. B. „Das Wetter wird morgen so wie heute!“
(In Bayern meistens richtig!)• Anwendung: oftmals bei Budgetierung
tt yy 1ˆ
12Entscheidungstheorie - Fleßa
Lösung 1
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18x [Zeit in Monate]
y
y16=y15=26y17=y16=26
13Entscheidungstheorie - Fleßa
Lösung 2: yt+1=0,5*(yt+ yt-1)
• Prinzip: Fortschreibung des Durchschnitts der letzten beiden Werte
• Syn.: Gleitender Durchschnitt der Länge h=2• z. B. „Das Wetter wird morgen so wie der
Durchschnitt von gestern und heute!“ • Anwendung: fängt kleine Schwankungen auf
11 5,0ˆ ttt yyy
14Entscheidungstheorie - Fleßa
Lösung 2
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18x [Zeit in Monate]
y
y16=1/2*y15+1/2*y14=13+10=23y17=1/2*y16+1/2*y15=0,5*(23+26)
=24,5
15Entscheidungstheorie - Fleßa
Lösung 3: Gleitender Durchschnitt der Länge h
h
iitht yy
11
11ˆ
Alle Werte gehen gleichmäßig in die Bewertung ein, d.h. Werte, die lange zurück liegen, sind nicht
„abgeschwächt“.Saisonale Schwankungen werden nicht
berücksichtigtNur für kurzfristige Trendaussagen geeignet, nicht für die exakte Punktlandung oder für strategische
Aussagen16Entscheidungstheorie - Fleßa
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
x [Zeit in Monate]
y
y Glättung
Lösung 3:h=5
Deutlich glatter Verlauf. Aber: Unterschätzung der
Entwicklung bei steigendem Verlauf (Überbetonung der alten, nicht mehr relevanten Werte); Überschätzung
bei fallendem Verlauf!17Entscheidungstheorie - Fleßa
Berechnung in Excel
18Entscheidungstheorie - Fleßa
4.1.2 Exponentielle Glättung• Prognosewert für Periode t+1 ergibt sich als
alter Prognosewert, der um den Schätzfehler bereinigt wird.
ttt
ttt
ttt
yyyyyyyyy
ˆˆˆˆˆ1ˆ 1
Glättungsparameter λ (0,1) λ=1: Schätzwert für t+1 = Messwert für t
λ=0: Schätzwert für t+1 = Schätzwert für t λ=0,5: Schätzwert für t+1 = Schätzwert für t
korrigiert um die Hälfte des Schätzfehlers des letzten Wertes 19
Was ist hier „exponentiell“?
iti
iti
tttt
tttt
tttt
ttt
ttt
ttt
yy
yyyy
yyyy
yyyy
yyy
yyyyyy
ˆ11
...111
...ˆ111
ˆ111
ˆ11
ˆ11ˆ1ˆ
1
33
22
1
23
22
1
222
1
12
1
11
1
(1-λ)i ist je geringer, je größer i ist, d.h. je weiter wir uns vom Prognosezeitpunkt entfernen, desto geringer ist das Gewicht des alten Wertes. 20
Beispiel (λ=0,3)x y Schätzung Schätzfehler 0,3*Fehler1 9 - - -2 13 9,00 4,00 1,203 17 10,20 6,80 2,044 14 12,24 1,76 0,535 11 12,77 -1,77 -0,536 16 12,24 3,76 1,137 22 13,37 8,63 2,598 16 15,96 0,04 0,019 15 15,97 -0,97 -0,29
10 17 15,68 1,32 0,4011 22 16,08 5,92 1,7812 20 17,85 2,15 0,6413 17 18,50 -1,50 -0,4514 20 18,05 1,95 0,5915 26 18,63 7,37 2,2116 21 20,84 0,16 0,0517 21 20,89 0,11 0,03 21
Beispiel (λ=0,3)
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18x [Zeit in Monate]
y
y Exponentielle Glättung 5 Per. Gleitender Durcschnitt (y)22
Entscheidungstheorie - Fleßa
4.1.3 Ökonometrische Modelle• Grundlage: Statistisches Verfahren zur
Analyse der Abhängigkeiten von endogenen und exogenen Variablen. Ökonometrische Modelle können für Prognosen verwendet werden (müssen es aber nicht, da die Bestimmung von Einflussfaktoren bereits ein wichtiger Wissenszuwachs jenseits der Prognose ist).
23Entscheidungstheorie - Fleßa
Grundmodell
• Gegeben ist eine exogene Variable x und eine endogene Variable y. Gesucht ist der Zusammenhang zwischen x und y.
• Ansätze– Korrelation–Methode der kleinsten Quadrate– Goal Programming
24Entscheidungstheorie - Fleßa
Beispielx y2 34 53 31 32 16 68 53 61 111 153 411 914 1311 1415 17
25Entscheidungstheorie - Fleßa
Beispiel
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 2 4 6 8 10 12 14 16
x
y
26
Korrelationskoeffizient (ρ)• Inhalt: Ein Maß für
den Zusammenhang zwischen zwei Variablen
• Hinweis: Oftmals Berechnung mit1/(n-1)
• Berechnungsbeispiel: Regression.xls
• -1≤ρ≤1
yx
n
iiin
x
n
iin
n
iin
yxCovyx
yyxxyxCov
xVar
xxxVar
xx
),(),(
),(
)(
)(
1
1
2
1
1
1
1
27Entscheidungstheorie - Fleßa
Beispiele
x
y keine (geringe)
Korrelation
x
y
Positive Korrelation
x
y Negative
Korrelation
28Entscheidungstheorie - Fleßa
New evidence for the Theory of the Stork
• Zusammenhang zwischen Zahl der Störche und Geburtenrate beim Menschen?
• Hofer et al. (2004) in: Paediatric and Perinatal Epidemiology 18, S. 88-92.
• Analyse für Niedersachsen, Berlin undBrandenburg
29Entscheidungstheorie - Fleßa
New evidence for the Theory of the Stork
• Ergebnisse:– Korrelation für Niedersachsen:
Reduktion beider Größen 1970-85;Konstanz 1985-95
– Berlin: keine Störche; jedoch Anstieg derGeburten 1990-2000
– Erklärung: Zunahme der Störche in Brandenburg
30Entscheidungstheorie - Fleßa
Geburtenrate und Störche in EuropaLand Fläche
(km2)Störche (Paare)
Menschen (106)
Geburtenrate (103/ Jahr)
Albanien 28.750 100 3.2 83
Belgien 30.520 1 9.9 87
Bulgarien 111.000 5.000 9.0 117
Dänemark 43.100 9 5.1 59
Deutschland 357.000 3.300 78 901
Frankreich 544.000 140 56 774
Griechenland 132.000 2.500 10 106
Holland 41.900 4 15 188
Italien 301.280 5 57 551
Österreich 83.860 300 7.6 87
Polen 312.680 30.000 38 610
Portugal 92.390 1.500 10 120
Rumänien 237.500 5.000 23 23
Spanien 504.750 8.000 39 439
Schweiz 41.290 150 6.7 82
Türkei 779.450 25.000 56 1.576
Ungarn 93.000 5.000 11 12431
Korrelation und Kausalität
• Korrelation Kausalität (Ursache-Wirkungs-Beziehung)
• Scheinkorrelation: „dritte Variable“ beeinflusst beide Merkmale systematisch
• Beispiel: Zunehmende Verstädterung vernichtet Nistplätze und fördert Kleinstfamilien
32Entscheidungstheorie - Fleßa
Nachteil der Korrelation
• Eine Prognose ist auf Grundlage der Korrelation nicht möglich.
• Zusammenhänge lassen sich nur sehr bedingt darstellen.
33Entscheidungstheorie - Fleßa
Methode der Kleinsten Quadrate
• Prinzip: Lege eine Kurve so durch die Punktmenge, dass die Summe der quadrierten vertikalen Abweichungen von dieser Kurve zu den gegebenen Werten minimal ist.
34Entscheidungstheorie - Fleßa
Prinzip: Kleinste Quadrate
x
y
u2
(x2, y2)
(x1, y1) (x3, y3)
u3
u1
35Entscheidungstheorie - Fleßa
Prinzip: Kleinste Quadrate
x
y
(x2, y2)
(x1, y1) (x3, y3)
36Entscheidungstheorie - Fleßa
Alternative Gerade
x
y
(x2, y2)
(x1, y1) (x3, y3)
37Entscheidungstheorie - Fleßa
Berechnung der kleinsten Quadratesumme
!ˆˆ
ˆˆˆ
,ˆ
1
2
101
2
10
MinxyuZ
xy
wobeiyyu
n
iii
n
ii
ii
iii
xy
yxCov
x
10
21
ˆˆ
),(ˆ
Lösung: Gerade geht immer durch
den Mittelwert
von x und y38Entscheidungstheorie - Fleßa
Analyse in Excel
• Einfache Regression möglich• Analyse-Funktion „Regression“ liefert
Angaben zur Regressions-Statistik (Interpretation!)- Korrelationskoeffizient- Bestimmtheitsmaß- Koeffizienten- t-Statistik
39Entscheidungstheorie - Fleßa
Beispiel y = 1,005x + 0,6352
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 2 4 6 8 10 12 14 16
x
y
Vorgehen in Excel:Anklicken eines Punktes, „Trendlinie hinzufügen“ –
„Linear“
ΔxΔy; ß1= Δy/ Δx
ß0
40Entscheidungstheorie - Fleßa
Verwendung
2
2ˆ2
y
y
ss
R
• Punktprognose:110
ˆˆˆ xyi
• Bestimmtheitsmaß:
= Anteil der Varianz von y, der durch die Regression erklärt wird
= Maß der Güte der Regression41
Entscheidungstheorie - Fleßa
Beispiel y = 1,005x + 0,6352
R2 = 0,864
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 2 4 6 8 10 12 14 16
x
y
Vorgehen in Excel:Anklicken eines Punktes, „Trendlinie hinzufügen“ –
„Linear“ - „Bestimmtheitsmaß
anzeigen“
42
Erweiterungen
• Mehrere Exogene• Nichtlineare Funktionen• Intervallprognosen• Hypothesentest
43Entscheidungstheorie - Fleßa
Mehrere Exogene• Multiples lineares
Regressionsmodell
yXXX
xx
xxX
y
yy
Ttxxxy
nTT
n
nn
ntnttt
1
1
111
11
22110
ˆ1
1
;ˆ
ˆˆ;
..1,ˆ...ˆˆˆˆ
44Entscheidungstheorie - Fleßa
Nicht-lineare Regression
• Vorsicht: Viele Anschlussrechnungen sind nicht mehr möglich– z. B.: Bestimmtheitsmaß nur bedingt zu
gebrauchen– z. B. Intervallschätzer nur bedingt möglich
45Entscheidungstheorie - Fleßa
Beispiel
y = 4,98Ln(x) - 0,4635R2 = 0,7525
y = 1,005x + 0,6352R2 = 0,864
y = 1,8771e0,1577x
R2 = 0,7514
-5
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12 14 16
x
y
46
Intervallprognose• Prinzip: es wird nicht ein Punkt angegeben,
sondern ein bestimmtes Intervall, innerhalb dessen der „wahre“ Wert mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens X % liegt
• Beispiel: für 95 % aller Stichproben erhält man ein Intervall, in dem der wahre Wert liegt.
• Je weiter wir uns vom Durchschnitt der exogenen Variablen entfernen, desto größer wird das anzugebende Konfidenz-(=Vertrauens)intervall.
47Entscheidungstheorie - Fleßa
Intervallprognose
x
y
x
y
95% Konfidenz-intervall
yoben
yunten
xi 48
Hyothesentest• Häufig: Hypothese H0: ß1=0 d.h. hat keinen Einfluss
auf y
1̂
)ˆ( 1f
)ˆ( 1E
95 % aller möglichen Werte von 1̂
49
Signifikanzniveau• Fehler vom Typ 1: eine Nullhypothese wird als falsch
abgelehnt, obwohl sie wahr ist• Fehler vom Typ 2: eine Hypothese wird als wahr
angenommen, obwohl sie falsch ist.• P-Wert:
– Für die aktuelle Stichprobe wird H0 ablehnt.– P: Die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler vom Typ 1 zu begehen– je kleiner der p-Wert, desto signifikanter ist der Zusammenhang
• p=0,05: hohes Risiko, dass keine Signifikanz besteht• p=0,01: mittleres Risiko, dass keine Signifikanz besteht• p=0,001: geringes Risiko, dass keine Signifikanz besteht
50Entscheidungstheorie - Fleßa
Voraussetzungen der OLS-Schätzung
1.Lineares Modell, jeweils eine endogene und exogene Variable (reelle Zahlen)
2.Die Residuen haben einen Erwartungswert von null
3.Homoskedastizität: Die Residuen haben eine konstante Varianz
4.Die Residuen sind nicht autokorreliert5.Spezifikation: Die Exogene ist richtig gewählt
51Entscheidungstheorie - Fleßa
Erweiterungen des Modells
1.Lineares Modell, jeweils eine endogene und exogene Variable (reelle Zahlen)
2.Die Residuen haben einen Erwartungswert von null
3.Homoskedastizität: Die Residuen haben eine konstante Varianz
4.Die Residuen sind nicht autokorreliert5.Spezifikation: Die Exogene ist richtig gewählt
Erweiterungen: Mehrere Exogene: Multiple Lineare Regression
Mehrere Endogene: Systeme von RegressionsgleichungenUnabhängige Regressionsgleichungen
Abhängige Regressionsgleichungen Exogene ist natürliche Zahl oder binär (z. B. Mann=0;
Frau=1): Dummy Variablen
Endogene ist natürliche Zahl oder binär (z. B. Gesund=0; Krank=1): LOGIT- und PROBIT-Modelle
52
Erweiterungen des Modells
1.Lineares Modell, jeweils eine endogene und exogene Variable (reelle Zahlen)
2.Die Residuen haben einen Erwartungswert von null
3.Homoskedastizität: Die Residuen haben eine konstante Varianz
4.Die Residuen sind nicht autokorreliert5.Spezifikation: Die Exogene ist richtig gewähltProblem:
Es könnte durchaus sein, dass das Residuum bei großen Werten
der Exogenen stärker / mehr streut als bei kleinen Werten (Heteroskedastizität)
Lösung: Generalized Least Square (GLS)
53
Erweiterungen des Modells
1.Lineares Modell, jeweils eine endogene und exogene Variable (reelle Zahlen)
2.Die Residuen haben einen Erwartungswert von null
3.Homoskedastizität: Die Residuen haben eine konstante Varianz
4.Die Residuen sind nicht autokorreliert5.Spezifikation: Die Exogene ist richtig gewählt
Problem: Es könnte durchaus sein, dass ein Zusammenhang zwischen
den aufeinander folgenden Residuen besteht (Autokorrelation)Lösung
Generalized Least Square (GLS)
54Entscheidungstheorie - Fleßa
Erweiterungen des Modells
1.Lineares Modell, jeweils eine endogene und exogene Variable (reelle Zahlen)
2.Die Residuen haben einen Erwartungswert von null
3.Homoskedastizität: Die Residuen haben eine konstante Varianz
4.Die Residuen sind nicht autokorreliert5.Spezifikation: Die Exogene ist richtig gewählt
Fehlspezifikationz. B. Prognose des Konsums verwendet nur Altersstufe und
Kinderzahl, aber nicht Familieneinkommen
55Entscheidungstheorie - Fleßa
Qualitative Endogene• Normalerweise: Quantitative Endogene, z. B. y= Absatz• Ausnahme: Qualitative Endogene, z. B. „Kunde kauft das
Produkt“• Übertragung der Qualitativen:• Lösung:
– Annahme: Nutzen eines Gutes hängt linear von verschiedenen Exogenen ab
– Die Wahrscheinlichkeit, dass der Nutzen zum Wert „1“ führt, kann durch eine Verteilungsfunktion angegeben werden• y‘ ist die Wahrscheinlichkeit, dass y den Wert „1“ annimmt (damit
zwischen 0 und 1 verteilt)• Problem: Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung hat y?
10i
Kunde kaufty
sonst
56Entscheidungstheorie - Fleßa
Lösungen• Wahrscheinlichkeit, dass y=1, wird durch eine
Standardnormalverteilung angegeben: PROBIT-Modell
• Wahrscheinlichkeit, dass y=1, wird durch eine Logistische Funktion angegeben: LOGIT-Modell
• Software: Enthält entsprechende Tools• VORSICHT: Kombination von LOGIT, GLS und
Systeme von Gleichungen ist extrem schwierig, z. B. Full-Information-Maximum-Likelihood Schätzer (FIML)
• Erweiterungen: Multi-nominale Endogene (z. B. y=0, 1, 2, 3)
57Entscheidungstheorie - Fleßa
Goal-Programming• Prinzip: Abstände werden minimiert, nicht
quadrierte Abstände• Lösung: LP• Problem: Anschlussrechnungen schwierig, z. B.
Intervallschätzung nur über Monte-Carlo-Simulation
1..ni y, Exogene :Konstante : y1..ni x,Exogene :Konstante : x
0 Residuums; des lNegativtei :
0 Residuums; des lPositivtei :
hränkteichenbescnicht vorz Residuum; : arameterSteigungsp :
eterHöhenparam :
i
i
ii
ii
uu
uu
uba
i
!
1..nifür 0
1..nifür
1..nifür
1
MinuuZ
uu
uuu
-a-bxyu
n
iii
ii
iii
iii
58
4.1.4 Neuronale Netze
• Analogie zum menschlichen Gehirn:– Neuronen (Knoten)– Netze: Verbindungen zwischen Knoten– Neuronen haben üblicherweise mehrere
Eingangsverbindungen sowie eine Ausgangsverbindung.
• Aktionspotential: Wenn die Summe der Eingangsreize einen gewissen Schwellenwert überschreitet, sendet das Neuron ein Ausgangssignal
59Entscheidungstheorie - Fleßa
Neuronales Netz
Reiz
Neuron
Ausgangssignal 60Entscheidungstheorie - Fleßa
Neuronales Lernen• Eigenschaft neuronaler Netze: Erlernen
(„Trainieren“) von komplexen Mustern ohne vorherige Festlegung der Regeln; Neue Verknüpfungen und Reizschwellenwerte entstehen.– Je häufiger ein Neuron A gleichzeitig mit Neuron B
aktiv ist, umso bevorzugter werden die beiden Neuronen aufeinander reagieren ("what fires together, wires together").
– Verbindungen bauen sich selbständig auf, ohne dass dies ein bewusster Programmierschritt wäre
61Entscheidungstheorie - Fleßa
Künstliches neuronales Netz
• Forschungsgegenstand der Neuroinformatik, Künstliche Intelligenz
• Versuch der Nachkonstruktion des Lernverhaltens von Neuronalen Netzen
• Beispiele: Vorhersage der Aktienkursentwicklung• Vorteile:
– Lernfähigkeit, wenn Kausalzusammenhänge nicht bekannt sind– Toleranz gegenüber fehlerhaften, ja sogar unbekannten Inputs
• Nachteile– Intensives Training, zeitintensiv– Neuronales Netz ist „Black Box“– kein „optimales“ Ergebnis
62Entscheidungstheorie - Fleßa
4.2 Prognostizierende Modelle4.2.1 Netzplantechnik
• Definition: Ein Netzplan ist ein Graph, der mit Hilfe von Knoten und Kanten (größere) Projekte visualisiert und Anschlussrechnungen ermöglicht
• Arten– Tätigkeitsgraph und Ereignisgraph– Stochastische und deterministische NPT
• Teilprobleme– Strukturplanung– Zeitplanung– Kostenplanung– Ressourcenplanung
63Entscheidungstheorie - Fleßa
Praxis der NPT• wahrscheinlich häufigstes OR-Verfahren, jedoch
meist „versteckt“ in Projektmanagement-Software (z. B. MS-Project)
• Arten:– CPM (Critical Path Method, 1956): Theorie– MPM (Metra Potential Method, 1957): Praxis– PERT (Program Evaluation and Review Technique,
1956): Theorie
64Entscheidungstheorie - Fleßa
Strukturplanung• Strukturliste
Nr. Tätigkeit Vorgänger Nachfolger
A Vorbereiten des Grundstückes - B
B Aushub der Fundamente A C
C Rohbau B D, FD Innenausbau C EE Inbetriebnahme D, F, G -F Außenanlagen/Zuwege Bereiten C EG Mitarbeiterschulung - E
65Entscheidungstheorie - Fleßa
Tätigkeitsgraph• Inhalt:– Knoten = Tätigkeit– Kante = Anordnungsbeziehung– Metra-Potential-Methode (MPM)
BEGINN A B C D E END
G
F
ENDE
66Entscheidungstheorie - Fleßa
Ereignisgraph• Inhalt:– Knoten = Ereignis
(z. B. Anfang/Ende einer Tätigkeit)– Kante = Tätigkeit– Critical Path Method (CPM), Program Evaluation and
Review Technique (PERT)
A B C D E
G
SF
67Entscheidungstheorie - Fleßa
Zeitplanung im GanttdiagrammNr. Tätigkeit Zeitbedarf [Tage] Nachfolger
A Vorbereiten des Grundstücks 20 B
B Aushub der Fundamente 60 C
C Rohbau 150 D, F
D Innenausbau 120 E
E Inbetriebnahme 10 -
F Außenanlagen/Zuwege Bereiten 20 E
G Mitarbeiterschulung 30 E
68Entscheidungstheorie - Fleßa
Zeitplanung im Ganttdiagramm
G
A
Zeit
Tätigkeit
B
C
D
E
F
100 200 300
Ende: 360
69Entscheidungstheorie - Fleßa
F
G
A
Zeit
Tätigkeit
B
C
D
E
100 200 300
Ende: 360
Puffer
Erweiterung: Puffer
Tätigkeiten ohne Puffer sind zeitkritisch, d.h. sie bilden den „kritischen Pfad“ 70
Zeitplanung im MPM
Knotennummer
Name der Tätigkeit i
Nr.
Zu.
Zuständigkeit
Di FZi.
SZi.
FEi.
SEi.
Vorgangsdauer
Spätester Endzeitpunkt
Frühester Endzeitpunkt
Spätester Anfangszeitpunkt
Frühester Anfangszeitpunkt
71Entscheidungstheorie - Fleßa
Zeitplanung im MPM
Name der Tätigkeit i
i Zu.
Di FZi.
SZi.
FEi.
SEi.
Name der Tätigkeit j
j Zu.
Dj FZj SZj FEj SEj.
dij = Zeitlicher Mindestabstand zwischen Beginn von Tätigkeit i und Beginn von Tätigkeit j
72Entscheidungstheorie - Fleßa
Vorbereiten des Grundstücks
A .
20 .
Aufhub der Fundamente
B .
60
Rohbau
C .
150 . . . .
Innenausbau
D .
120
Außenanlagen u. Zuwege Bereiten
F .
20 . .
Mitarbeiterschulung
G .
.
30
20 120
150
60
150
20
0
Inbetriebnahme
E .
10 .
Zeitplanung im MPM
73Entscheidungstheorie - Fleßa
Vorbereiten des Grundstücks
A .
20 0 .
Aufhub der Fundamente
B .
60 20.
Rohbau
C .
150 80.
Innenausbau
D .
120 230.
. .
Außenanlagen u. Zuwege Bereiten
F .
20 230.
Mitarbeiterschulung
G .
30 0
30
20 120
150
60
150
20
0
Inbetriebnahme
E .
10 350.
FZj = Max{FZi+dij} für alle Vorgängerknoten FZ1=0 für den Beginnknoten
Hinrechnung
74
Vorbereiten des Grundstücks
A .
20 0 0. . .
Aufhub der Fundamente
B .
60 20. 20.
Rohbau
C .
150 80. 80.
Innenausbau
D .
120 230.
230.
.
Außenanlagen u. Zuwege Bereiten
F .
20 230.
330.
Mitarbeiterschulung
G .
30 0 320.
30
20 120
150
60
150
20
0
Inbetriebnahme
E .
10 350.
350.
SZi = Min{SZj-dij} für alle Nachfolgerknoten SZn=FZn für den Endknoten
Rückrechnung
75
Vorbereiten des Grundstücks
A .
20 0 0. 20. 20.
Aufhub der Fundamente
B .
60 20. 20. 80. 80
Rohbau
C .
150 80. 80. 230.
230.
Innenausbau
D .
120 230.
230.
350.
350.
Außenanlagen u. Zuwege Bereiten
F .
20 230.
330.
250.
350.
Mitarbeiterschulung
G .
30 0 320.
30. 350.
30
20 120
150
60
150
20
0
Inbetriebnahme
E .
10 350.
350.
360.
360.
FEi = FZi+Di SEi=SZi+Di
Endzeitpunkte
76
Puffer• Puffer I: Gesamtpuffer– Alle Vorgänger fangen frühest möglich an, alle
Nachfolger spätest möglich– P_Ii=SZi-FZi
• Puffer II: freier Puffer– Alle Vorgänger fangen frühest möglich an, alle
Nachfolger frühest möglich– P_IIi=Min{FZj-FZi-dij}, wobei P_IIi≥0
• Puffer III: unabhängiger Puffer– Alle Vorgänger fangen spätest möglich an, alle
Nachfolger frühest möglich77Entscheidungstheorie - Fleßa
Vorbereiten des Grundstücks
A .
20 0 0. 20. 20.
Aufhub der Fundamente
B .
60 20. 20. 80. 80
Rohbau
C .
150 80. 80. 230.
230.
Innenausbau
D .
120 230.
230.
350.
350.
Außenanlagen u. Zuwege Bereiten
F .
20 230.
330.
250.
350.
Mitarbeiterschulung
G .
30 0 320.
30. 350.
30
20 120
150
60
150
20
0
Inbetriebnahme
E .
10 350.
350.
360.
360.
P_I(G) = 320-0=320 P_II(G) = 350-0-30 = 320 P_I(F) = 330-230 = 100
P_II(F) = 350-230-20 = 100
Puffer
78
Kostenplanung
Nr. Tätigkeit Zeitbedarf [Tage] Kosten pro Tag
A Vorbereiten des Grundstückes
20 100
B Aushub der Fundamente 60 100
C Rohbau 150 200
D Innenausbau 120 200
E Inbetriebnahme 10 100
F Außenanlagen/Zuwege Bereiten
20 200
G Mitarbeiterschulung 30 50079
Kostenverlauf bei frühestem Beginn
0-20 20-30 30-80 80-230 230-250 250-350 350-360A 100B 100 100C 200D 200 200E 100F 200G 500 500Kosten/ Tag
600 600 100 200 400 200 100
Tage 20 10 50 150 20 100 10Sum-me 12000 6000 5000 30000 8000 20000 1000 80
Kostenverlauf für späteste und früheste Zeitpunkte
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Zeit [Tage]
Kos
ten
Szi Fzi81
PERT-COST
• Ermittlung von zeitlichen und kostenmäßigen Überschreitungen
• Hinweis: Nicht zu verwechseln mit der stochastischen NPT PERT.
82Entscheidungstheorie - Fleßa
PERT-COST (Beispiel)
Zeit „jetzt“
Plankosten zur Planzeit
Plankosten zur Istzeit
Istkosten zur Istzeit
Kosten
Plankosten zur Istzeit - Plankosten zur Planzeit= Zeitliche Überschreitung
83Entscheidungstheorie - Fleßa
PERT-COST (Beispiel)
Zeit „jetzt“
Plankosten zur Planzeit
Plankosten zur Istzeit
Istkosten zur Istzeit
Kosten
Kosten-abweichung
84Entscheidungstheorie - Fleßa
Ressourcenplanung• Bedeutung: falls Ressourcen nicht ausreichend
sind, müssen die Tätigkeiten verschoben werden
• Varianten– Verschiebung innerhalb der Puffer– Verlängerung des frühesten Endzeitpunktes
• Verfahren von Fehler• Optimierung: Konventionalstrafe vs. Kosten für
Zusatzaggregate• Praxisbeispiel MS-Project: Bauprojekt ET 4
85Entscheidungstheorie - Fleßa
4.2.2 Markov-Modelle• Prozess: Folge von ursächlich verbundenen
Ereignissen im Zeitablauf• Stochastischer Prozess: Abfolge ist nicht fest
vorgegeben, sondern unterliegt bestimmten (bekannten) Wahrscheinlichkeiten
• Markov-Prozess: Die Übergangswahr-scheinlichkeit aij von Zustand wi nach wj hängt allein von Zustand wi zum Zeitpunkt t, jedoch nicht vom Zustand wk zum Zeitpunkt t-1 ab („Beschränktes Gedächtnis“).
86Entscheidungstheorie - Fleßa
Zustände und Übergänge im Markov-Graph
w1
w2
w4
w3
13a31a
24a
42a14a
41a
12a21a
43a34a
23a
32a
87
11a
22a
33a
44a
Beschreibung von Prozessen• anhand von Ereignissen– z. B. Zahl der Ankünfte (Poissonverteilt)
• anhand von Übergängen– z. B. Zwischenankunftszeiten ‚
(Negativ-Exponentiell-Verteilt)
• Von besonderer Bedeutung sind hierbei Warteprozesse (Warteschlangentheorie)
88Entscheidungstheorie - Fleßa
Markov-Modell
Aww tt 1Aww tt 1
tt Aww 0
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
A
...
...
...
21
22221
11211
;...
1
n
t
w
ww
89Entscheidungstheorie - Fleßa
Prognose mit Markov-Modellen
• Vorhersage des Zustandsvektors zum Zeitpunkt t
• Berechnung von Kennziffern, z. B. durchschnittliche Aufenthaltsdauer im System, durchschnittliche Wartezeiten etc.
tt Aww 0
90Entscheidungstheorie - Fleßa
Spezialfälle
• Absorbierende Markovketten– es gibt einen Zustand, der nicht mehr
verlassen werden kann, z. B. Totalschaden, Tod
• Inhomogene Markovketten– Übergangswahrscheinlichkeiten sind nicht
konstant
91Entscheidungstheorie - Fleßa
Beispiel: Leihwagen zwischen drei Orten
Greifswald Berlin
Hamburg
Schrott
92Entscheidungstheorie - Fleßa
Übergangsmatrix
Greifswald Berlin Hamburg Schrott
Greifswald 0,7 0,2 0,05 0,05
Berlin 0,05 0,8 0,1 0,05
Hamburg 0,1 0,1 0,7 0,1
Schrott 0 0 0 1
93Entscheidungstheorie - Fleßa
Zugänge, Anfangsbestand, Entwicklung
Zugang Anfangsbe-stand t=0
t=1 t=50
Greifswald 1 50 60 19
Berlin 2 100 112 43
Hamburg 2 200 155 25
Schrott 0 0 28 513
94Entscheidungstheorie - Fleßa
Zugänge, Anfangsbestand, Entwicklung
Zugang Anfangsbe-stand t=0
t=1 t=50
Greifswald 1 50 61 19
Berlin 2 100 112 43
Hamburg 2 200 155 25
Schrott 0 0 28 513
Zugang zu gering, um die Zahl der Autos
zu halten: Simulation –
wie viele Zugänge
brauche ich wo, um
Konstanz zu gewährleisten
? 95Entscheidungstheorie - Fleßa
Zugänge, Anfangsbestand, Entwicklung
Zugang Anfangsbe-stand t=0
t=1 t=50
Greifswald 3 50 63 77
Berlin 4 100 114 158
Hamburg 17 200 170 122
Schrott 0 0 28 1193
96Entscheidungstheorie - Fleßa
Zugänge, Anfangsbestand, Entwicklung
Zugang Anfangsbe-stand t=0
t=1 t=50
Greifswald 3 50 63 77
Berlin 4 100 114 158
Hamburg 17 200 170 122
Schrott 0 0 28 1193
357
Pro Periode zusätzlicher
Transport von Greifswald (22/50
Fahrzeuge) und von Berlin (58/50
Fahrzeuge) nach Hamburg nötig, um Konstanz zu halten.
97Entscheidungstheorie - Fleßa
4.2.3 System Dynamics• Problem der Prognose mit Markov-
Modellen: Homogenität, d.h. Unveränderlichkeit der Übergangswahrscheinlichkeiten
• Populationswachstum: Zuwachs ist abhängig von der bestehenden Population
98Entscheidungstheorie - Fleßa
Wachstum (Rate = 0,05)
t Anfangsbestand Zuwachs Endbestand
0 100.000.000
1 100.000.000 5.000.000 105.000.0002 105.000.000 5.250.000 110.250.0003 110.250.000 5.512.500 115.762.5004 115.762.500 5.788.125 121.550.625
5 121.550.625 6.077.531 127.628.156
6 127.628.156 6.381.407 134.009.564
7 … … …
99Entscheidungstheorie - Fleßa
Wachstum
0,0E+00
2,0E+08
4,0E+08
6,0E+08
8,0E+08
1,0E+09
1,2E+09
1,4E+09
1,6E+09
1,8E+09
2,0E+09
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Zeit [Jahre]
Popu
latio
n
100
System Dynamics Modell
Imaginäre Quelle
Zuwachs in t
101Entscheidungstheorie - Fleßa
System Dynamics Modell
Immaginäre Quelle
Population
Zuwachs in t
102Entscheidungstheorie - Fleßa
System Dynamics Modell
Immaginäre Quelle
Population
Zuwachst in t
Rate
103Entscheidungstheorie - Fleßa
Gleichungen
Zeitraumproiten Zeiteinhe: T Zeitraumpro ate Wachstumr:r
t Zeitpunktzum Population :
,1
t
ttt
P
wobeiPTrPP
trtt
TePP
TrPLim
0
1,1
TwobeiPrPPPP
tt
ttt
Differentialgleichung
Differenzengleichung
104Entscheidungstheorie - Fleßa
System Dynamics einer PopulationJahr Bevölkerung
Exponential-gleichung
Differenzen-gleichungt = 1 Tag
Differenzen-gleichungt = 1 Monat
0 100.000 100.000 100.0001 105.127 105.126 105.1162 110.517 110.516 110.4943 116.183 116.182 116.1474 122.140 122.138 122.0895 128.402 128.400 128.3366 134.985 134.983 134.9017 141.906 141.903 141.8038 149.182 149.178 149.0589 156.931 156.826 156.684
10 164.872 164.866 164.701 105
Umsetzung
• World Dynamics (Club of Rome; Grenzen des Wachstums)
• Industrial bzw. Business Dynamics (Forrester, Sterman)
• Disease Dynamics• Software: Dynamo (1960), Stella (1980),
etc.
106Entscheidungstheorie - Fleßa
Industrial Dynamics• EDV-gestütztes dynamisches Modell der
Unternehmung• Technischer Wandel induzierte neues
Management-Verständnis• Neue Anforderungen an Methoden der
Entscheidungsfindung• Erfassung und Simulation von Informationen
zwischen– Abteilungen eines Unternehmens– Unternehmen einer Wertschöpfungskette
107Entscheidungstheorie - Fleßa
Beispiel 1
• Bedeutung von Werbung und Konsumentenverhalten• Konsequenzen für Unternehmen einer
Wertschöpfungskette(Produktion und Verteilung)
• Abstimmungsprobleme als Peitscheneffekt (Bullwhip Effect)
Beispiel 1• Ineffizienz isolierter Prozesse
zwischen Hersteller, Groß- und Einzelhandel
• Hohe Produktionsschwankungen bei relativ geringen Nachfrage- schwankungen aufgrund zeitlicher Verzögerungen zwischen Kundennachfrage, Bestellung und Lieferung
• Lösung durch Supply Chain Management: integrative Planung der Aktivitäten innerhalb der Kette zur Minimierung von Informations- und Anpassungsproblemen
Beispiel 2• Darstellung und Analyse von
Bestandsveränderungen
4.3.4 Simulation• Prinzip: Experimentiermodell, d.h.
„Durchspielen“ unterschiedlicher Alternativen in konstruierten Systemen
• Perspektiven– „What-If“?– „How-to-achieve“?
111Entscheidungstheorie - Fleßa
Arten• Deterministische Simulation: Eintritt von
Ereignissen sicher• Stochastische Simulation: Eintritt von
Ereignissen unterliegt Wahrscheinlichkeit• Monte-Carlo-Simulation: – Analyse statischer Probleme mit bekannten
Wahrscheinlichkeiten– Ermittlung von Verteilungen: Durch wiederholtes
Durchrechnen mit unterschiedlichen Zufallszahlen ergibt sich eine Verteilung der Ergebnisparameter
– Beispiel: Boot-Strapping in Netzplänen
112Entscheidungstheorie - Fleßa
Arten (Forts.)• Diskrete Simulation (Discrete Event Simulation, DES)
– Modellierung von dynamischen Systemen– Erzeugen von Objekten mit bestimmten Eigenschaften– Aufzeichnung der Zustände der Objekte zu bestimmten
Zeitpunkten– Subarten:
• Ereignisorientierte Simulation: Es wird immer nur der nächste Zeitpunkt betrachtet, an dem sich eine Zustandsänderung ergibt („Ereignisliste“)
• Zeitorientierte Simulation: Simulationszeit wird jeweils um denselben Zeittakt weitergestellt, auch wenn kein Ereignis eintritt
• Kontinuierliche Simulation– z. B. Chemie
113Entscheidungstheorie - Fleßa
Zufallszahlen• Notwendigkeit: stochastische Simulation• Aufgaben– Teil 1: 0-1-Gleichverteilte Zufallszahlen– Teil 2: Zufallszahlen nach bestimmten Verteilungen
• Normalverteilt• Logarithmisch-Normalverteilt• Logistischverteilt• Poissonverteilt• Dreiecksverteilt• Betaverteilt
114Entscheidungstheorie - Fleßa
Beispiel: standardnormalverteilte Zufallszahl
• Schritt 1: Erzeuge 12 0-1-gleichverteilte Zufallszahl– Erwartungswert je Zufallszahl: 0,5– Varianz je Zufallszahl: 1/12
• Schritt 2: Addiere die 12 Zufallszahlen und ziehe sechs ab– Erwartungswert: 0,5*12-6=0– Varianz: 12*1/12 = 1– Ergebnis: annähernd standardnormalverteilte ZZ
115Entscheidungstheorie - Fleßa
Beispiele für Simulation
• Simulation der Produktionsprozesse• Flugsimulator• Numerische Integration• Prognose epidemiologischer Prozesse
116Entscheidungstheorie - Fleßa
Anforderungen an Simulationsprogramme
• Generierung von Zufallszahlen• Überwachung des zeitlichen Ablaufs einer
Simulation („Simulationsuhr“)• Sammlung, Analyse und statistische
Auswertung relevanter Daten/ Ergebnisse• Aufbereitung und Präsentation
117Entscheidungstheorie - Fleßa
Simulationssprachen
• Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…)
• Simulationssprachen– GASP, GPSS, SIMAN, SIMSCRIPT, SIMULA
• Anwendungssoftware– SimFactory; ProModel
118Entscheidungstheorie - Fleßa
4.3 Expertenprognosen• Direkte Befragung– verschiedene Techniken, um diskrete oder
kontinuierliche Variablen zu erfragen• Delphi-Methode
119Entscheidungstheorie - Fleßa
Delphi-Methode1.Definition des Prognoseproblems2.Auswahl der Experten, Separierung3.Schriftliche Befragung der Expertenmeinungen4.Zusammenstellung der Prognosen5.Rückführung der Ergebnisse an Experten6.Erneute schriftliche Befragung der Experten7.Wiederholung der Schritte 4,5,6, bis die
Ergebnisse ausreichend konvertiert sind. evtl. ergeben sich Intervalle
120Entscheidungstheorie - Fleßa