Grundlagen der Elektrotechnik Praktikum Teil 2 Versuch B2/3 · Versuch B2/3 - Parallelschwingkreis 3.1 Einleitung Als realer Parallelschwingkreis wird die Parallelschaltung einer

Grundlagen der ElektrotechnikPraktikum Teil 2

Versuch B2/3

"Parallelschwingkreis"

Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik (ATE)

Elektrotechnik und Informationstechnik

Fakultät für Ingenieurwissenschaften

Universität Duisburg-Essen

Duisburg, Januar 2011

Versuch B2/3 - Parallelschwingkreis

Inhaltsverzeichnis

3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Kenngrößen des Schwingkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Strom und Spannung am Parallelschwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.4 Gütemessung am Parallelschwingkreis (Pauli–Verfahren) . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.5 Verstimmungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.6 Bestimmung des Phasenverlaufs der Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.7 Versuchsablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

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3.1 Einleitung

Als realer Parallelschwingkreis wird die Parallelschaltung einer realen Kapazität (physikalisch als ka-pazitive Admittanz darstellbar) und einer realen Induktivität (physikalisch als induktive Impedanzdarstellbar) gemäss Abbildung 1 bezeichnet. Dabei sind Cp und Lr als ideale, d.h. verlustfreie Bauele-mente anzusehen; die Verluste der realen Bauelemente werden jeweils durch RCp bzw. RLr repräsen-tiert. Diese Darstellung der physikalischen Gegebenheiten lässt sich auch durch ein Ersatzschaltbildgemäss Abbildung 2 ausdrücken, wobei L und C wieder jeweils als ideale Bauelemente zu verstehensind. G = 1/R stellt den gesamten Verlustleitwert der Parallel–Ersatzschaltbilder der realen Bauele-mente Kapazität und Induktivität dar (vgl. auch Versuch B1/2: R–L und R–C Kombination). DieSchaltung beschreibt somit eine frequenzabhängige Admittanz. Der Kehrwert der Admittanz (also dieImpedanz der Schaltung) ist als Funktion der Frequenz f identisch mit der Spannung u (f), wenn dieAdmittanz mit einem konstanten Strom gespeist wird

3.2 Kenngrößen des Schwingkreises

Für die Impedanz der Schaltung nach Abbildung 2 gilt, falls G = 1/R als frequenzunabhängig ange-sehen wird,

Z =1

G + jωC + 1jωL

=1

G + j(ωC − 1

ωL

) . (1)

Wird der Imaginärteil von Y = 1/Z Null, so sind Y und Z reell und Y nimmt betragsmäßig seinenkleinsten Wert an, während Z maximal wird. Dieser Zustand wird als Resonanz des Schwingkreisesbezeichnet und die zugehörige Resonanzkreisfrequenz ergibt sich z.B. aus der Bedingung ImY = 0zu

ω0 =1√LC

. (2)

ı 0

Cp RCp

Lr

RLr

u

ı 0

ı (C) ı (R) ı (L)

C R = 1G

Lu

Abbildung 1. Realer Parallelschwing-kreis.

Abbildung 2. Ersatzschaltbild Paral-lelschwingkreis.

1


Im Resonanzfall ist der kapazitive Blindleitwert jωC und der induktive Blindleitwert − j/(ωL). Die Be-träge dieser Blindleitwerte sind gleich groß und der Wert wird als Kennleitwert YK des Schwingkreisesbezeichnet. Es gilt

YK = ω0C =1

ω0L=

√C

L. (3)

Unter Verwendung der Gln. (1) und (2) lässt sich für die Spannung u am Schwingkreis angegeben:

u =ı 0

G + j(ωC − 1

ωL

) =ı 0

G + jω0C(

ωω0

− ω0

ω

) =ı 0

G[1 + jω0C

G

(ωω0

− ω0

ω

)] . (4)

Der Ausdruck ω0C/G stellt eine feste, frequenzunabhängige Größe für einen bestimmten Schwingkreisdar, er wird als Güte Q, sein Kehrwert als Verlustfaktor tan δ bezeichnet:

Q =ω0C

G=

1

ω0LG=

1

G

√C

L, tan δ =

1

Q. (5)

Der frequenzbestimmende Teil der Gl. (4),

v =ω

ω0− ω0

ω, (6)

wird als Verstimmung v des Schwingkreises bezeichnet (siehe Abbildung 3). Damit kann nun folgendeeinfache Beziehung für die Spannung u angegeben werden:

u =ı 0

G [1 + jQv]=

u 0

1 + jQv, (7)

bzw.

u

u 0

=1

1 + jQv

(8)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−3

−2

−1

0

1

2

3

ω/ω0

ω/ω0

ω0/ωVer

stim

mung v

Abbildung 3. Verstimmung v als Funktion der Kreisfrequenz ω.

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mit

∣∣∣∣u

u 0

∣∣∣∣ =1√

1 + Q2v2, ϕ = arctan(−Qv). (9)

Der Verlauf des Betrages |u /u 0| als Funktion der Verstimmung bzw. Frequenz wird als Resonanzkurve

des Parallelschwingkreises bezeichnet. Die Resonanzkurve und der zugehörige Phasenverlauf sind inAbbildung 4 als Funktionen der normierten Frequenz ω/ω0 dargestellt.

Eine weitere wichtige Kenngröße des Schwingkreises ist seine Bandbreite. Sie gibt an, in welchemFrequenzbereich die Spannung am Schwingkreis über einem (noch festzulegenden) Mindestwert liegt.Als sinnvoller Wert wurde das 1/

√2–fache des Maximalwertes (das ist die Spannung im Resonanzfall)

festgelegt. Damit folgt aus Gl. (9)

∣∣∣∣u

u 0

∣∣∣∣ =1√2

=1√

1 + Q2v2=⇒ v1,2 = ± 1

Q= ± tan δ =⇒ ω1,2

ω0− ω0

ω1,2= ± 1

Q,

Abbildung 4. Verlauf des Betrags der Spannung und des Phasenwinkels für verschiedene Güten Qals Funktion der Kreisfrequenz ω.

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woraus sich als sinnvolle Lösungen ergeben:

ω1

ω0= − 1

2Q+

√1

4Q2+ 1,

ω2

ω0= +

1

2Q+

√1

4Q2+ 1.

Damit ergibt sich die absolute Bandbreite (vgl. Abbildung 4)

∆ω = ω2 − ω1 =ω0

Q= ω0 tan δ = ω0

G

YK(10)

bzw. die bezogene oder relative Bandbreite

∆ω

ω0=

1

Q= tan δ. (11)

Die Phase der Impedanz bei den Kreisfrequenzen ω1 und ω2 beträgt

ϕ1,2 = arctan(−Qv1,2) = ±45. (12)

Aus diesem Grund werden die Kreisfrequenzen ω1 und ω2 auch als 45–Frequenzen bezeichnet (sieheauch Abbildung 5 und Abbildung 6).

Aus der Definition der 45–Frequenzen ergibt sich außerdem mit

v2 =ω2

ω0− ω0

ω2=

1

Q= −v1 =

ω0

ω1− ω1

ω0

=⇒ ω0 =√

ω1ω2 bzw. mit ω = 2πf =⇒ f0 =√

f1f2,

das heißt, die Resonanzfrequenz des Schwingkreises ist der geometrische Mittelwert der beiden 45–Frequenzen.

Im Y

45

45 G

ω = ∞ω = ω2 ;v2 = 1

Q= tan δ

ω = ω0 ;v = 0

Re Y

ω

ω = ω1 ;v1 = − 1

Q= − tan δ

ω = 0

Im Z

Re Z

ω = 0ω = ∞

ω

45

45

ω = ω1 ; v1 = − 1Q

= − tan δ

1G

ω = ω2 ; v2 = 1Q

= tan δ

ω = ω0

Abbildung 5. Ortskurve der Admittanzdes Parallelschwingkreises.

Abbildung 6. Ortskurve der Impedanzdes Parallelschwingkreises.

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3.3 Strom und Spannung am Parallelschwingkreis

Für den in Abbildung 2 dargestellten Schwingkreis berechnen sich die Teilströme ı (R), ı (L) und ı (C)

zu

ı (R) =u

R=

ı 0

1 + jQv,

ı (L) =u

jωL=

ı 0

jωLG(1 + jQv),

und

ı (C) = jωCu =jωCı 0

G(1 + jQv).

Im Resonanzfall, d.h. für ω = ω0 bzw. v = 0 folgt

ı (R) = ı 0, (13)

ı (L) =u

jω0L=

ı 0

jω0LG= − jQ ı 0 (14)

und

ı (C) = jω0Cu =jω0Cı 0

G= jQ ı 0 (15)

Das bedeutet, im Resonanzfall tritt in der Kapazität und der Induktivität eine Stromüberhöhung umden Faktor Q auf.

3.4 Gütemessung am Parallelschwingkreis (Pauli–Verfahren)

Mit der Schaltung nach Abbildung 7 lässt sich der unbekannte Verlustleitwert und bei Kenntnisdes Kennleitwertes mit Gl. (5) die Güte eines Schwingkreises allein durch Spannungsmessungen undmit Hilfe bekannter Widerstände bestimmen. Da bei der Resonanzfrequenz stets die Beziehung ı 0 =u G bzw. ı 0/u 0 = G gilt, ergibt sich bei Zuschaltung verschiedener äußerer ohmscher Leitwerte GZ

der in Abildung 8 skizzierte Verlauf des Kehrwertes der Spannung als Funktion von G, falls eineKonstantstromquelle verwendet wird, die Messung bei der Resonanzfrequenz durchgeführt wird undder Innenwiderstand des Messgerätes bekannt oder so groß ist, dass er bei der Messung vernachlässigtwerden kann.

u |u | C Gx L GZ

Abbildung 7. Mess-Schaltung für das Pauli–Verfahren.

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GZ,2 GZ,3 GZ,4 GZGx

1|u |

0 GZ,1

Abbildung 8. Zur Bestimmung der Güte eines Parallelschwingkreises.

3.5 Verstimmungsverfahren

Unter Verwendung einer Konstantstromquelle und eines (z.B. durch einen Drehkondensator) in derResonanzfrequenz abstimmbaren Parallelschwingkreises lässt sich jede Impedanz bzw. Admittanz auszwei Spannungsmessungen und zwei Resonanzfrequenzmessungen ermitteln.

Beispiel:

Es sei Y 1 = G1+ jωC1 eine unbekannte Admittanz. Für den unbelasteten Schwingkreis nach Abbildung9 gilt bei Resonanz:

ı 0 = u 0GL und ω02 =

1

LC0,

ı 0

|u | C0

∆C

L GL w1 w2 Y 1

ü = w1/w2

Abbildung 9. Mess-Schaltung zur Bestimmung unbekannter komplexerLeitwerte.

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mit C0 als dem Wert der Kapazität, der den Resonanzzustand herstellt.

Wird die Admittanz Y 1 (über einen idealen Übertrager) parallel zum Schwingkreis geschaltet, so giltbei der dann (durch Variation von C auf C0 − ∆C) neu einzustellenden Resonanzfrequenz

ı 0 =(

G +G1

ü2

)u 1 und ω0

2 =1(

C0 + C1

ü2 − ∆C)

Lmit ∆C = C0 − C ′.

Aus diesen Beziehungen ergibt sich für C1 und G1, falls die Größen |u 0|, |u 1| und ∆C gemessen werdenund C0 sowie das Übersetzungsverhältnis ü des Übertragers bekannt sind:

G1 = ü2 G

(U0

U1− 1

), (16)

C1 = ü2 ∆C = ü2 (C0 − C ′) . (17)

Somit ist die unbekannte Admittanz bestimmt.

Eine andere Möglichkeit zur Bestimmung von C1 besteht darin, die Verschiebung der Resonanzfrequenzbeim Zuschalten von Y 1 zu messen. Aus den Gleichungen für die Resonanzfrequenzen vor (f01) undnach (f02) Zuschalten von Y 1 ergibt sich:

C1 = ü2C0

[(f01

f02

)2

− 1

]. (18)

3.6 Bestimmung des Phasenverlaufs der Spannung

Der in Gl. (9) angegebene frequenzabhängige Verlauf des Betrags der Spannung lässt sich messtech-nisch relativ einfach ermitteln. Die Bestimmung des Phasenverlaufs ist jedoch mit einfachen Messge-räten bzw. Versuchsaufbauten nicht möglich.

Da der Verlauf des Betrags der Spannung jedoch proportional dem Verlauf des Betrags der Impedanzdes Schwingkreises ist, lässt sich unter Verwendung der Ortskurven nach Abbildung 5 und Abbildung6 ein Bestimmungsverfahren für den Phasenverlauf ableiten; der Phasenverlauf wird graphisch ausdem gemessenen Verlauf des Spannungsbetrags ermittelt.

Voraussetzung für eine einfache und richtige Auswertung ist eine normierte Darstellung für den Betragder Spannung und für die Impedanz, d.h. die Spannung |u | wird auf die Maximalspannung |u 0| beiResonanz, die Impedanz auf den Leitwert R = 1/G (Impedanz im Resonanzfall) bezogen. Wird fürdie Maximalwerte von |u /u 0| und |Z|G derselbe Maßstab gewählt, so lassen sich die normiertenSpannungsbeträge mit einem Zirkel unmittelbar in die Ortskurve der normierten Impedanz übertragen(siehe Abbildung 10). Aus der Ortskurve lassen sich dann die zugehörigen Phasenwinkel bestimmen,so dass der angegebene Phasenverlauf erhalten wird.

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|u /u 0| ; |Z|G

Abbildung 10. Zur Ermittlung des Phasenverlaufs der Spannung alsFunktion der Frequenz aus dem Verlauf des Betrages der Spannung.

8


3.7 Versuchsablauf

1. Bauen Sie einen Schwingkreis nach Abbildung 9 auf. Die Schwingkreiskapazität soll 1, 8 nF be-tragen, als Induktivität soll der in der Versuchsschaltung eingebaute Übertrager verwendet wer-den. Der Schwingkreis wird durch eine in der Versuchsschaltung eingebaute spannungsgesteuerteKonstantstromquelle gespeist, deren Eingang an den Ausgang eines Wobbelgenerators geschal-tet werden soll. Die Wechselspannung am Schwingkreis soll auf dem ELVIS-Oszilloskop Kanal1, Source ACH 0 und die gleichgerichtete Wechselspannung (sie entspricht dem Scheitelwert derSpannung am Schwingkreis) soll auf dem ELVIS-Oszilloskop Kanal 2, Source ACH 1 dargestelltwerden.Hinweis:Die externen Geräteverbindungen sind mittels BNC-Kabel zu realisieren. Die ELVIS-ProtoboardAnschlüsse BNC1 und BNC2 sind mit den Kanälen ACH0 und ACH1 zu verschaltet:BNC1+ mit ACH0+BNC1- mit ACH0-BNC2+ mit ACH1+BNC2- mit ACH 1-Es sind folgende BNC-Verbindungen zu erstellen:Kästchen Parallelschwingkreis X

a) ATE-Eingang , T-BNC-Stück mit BNC1-ELVIS und Frequenzgenerator Output

b) BNC (Ausgangsspannung am Schwingkreis, gleichgerichtet) mit BNC2-ELVIS

2. Start des ELVIS-Oszilloskops, Einstellen von Channel A und B, Source, Scale, Timebase , Trig-ger Source usw. Durch Handabstimmung des Wobbelgenerators ist die Resonanzfrequenz desaufgebauten Schwingkreises zu bestimmen. Spannung und Resonanzfrequenz werden vom EVIS-Oszilloskops abgelesen. Die Amplitude der Generatorspannung bei Resonanzfrequenz ist so ein-zustellen, dass ein sinnvoll auswertbarer Maßstab für eine normierte Darstellung des Betrags-verlaufs der Spannung gemäß Abbildung 4 bzw. Abbildung 10 möglich ist.Hinweis:Frequenzgenerator: Amplitude auf 6Vpp einstellen,Alternativ können die Resonanzfrequenz und die dazugehörige Gleichspannung mit dem LABVIEW-Programm ”Alternative Ermittlung Resonanz-Frequenz und Kurve DAQmx“ ermittelt werden.

3. Zeichnen Sie mit Hilfe des Programms die Resonanzkurve des Schwingkreises auf und ermittelnSie aus ihr die Bandbreite ∆f sowie die Güte Q unter Verwendung der Gleichung (10) für zweiFälle:

a) Übertrager sekundärseitig unbelastet,

b) Übertrager sekundärseitig bei ü = 3 mit R = 1, 2 kΩ beschaltet.

Hinweis:Als Arbeitsmittel stehen die LABVIEW-Programme:

a) ”Alternative Ermittlung Resonanz-Frequenz und Kurve DAQmx“ (große Darstellung derResonanzkurve). Einstellung: DAQmx-Taskname: 2SpannungT; Reset on, off beachten! Ein-gabe von Resonanzfrequenz und Resonanzspannung.

b) ”Print Arbeitsblatt Resonanz+Orts+Phasen-Kurve“ Schalter on/off beachten; Optimierender normierten Darstellung durch Veränderung der angepassten Eingabe von Resonanzfre-quenz und Resonanzspannung.

4. Mit dem unter 3.6 erläuterten Verfahren ist der Phasenverlauf der Schwingkreisspannung beiü = 3 mit 1, 2 kΩ belasteten Schwingkreis zu ermitteln.Hinweis:Hierzu wird das LABVIEW-Programm ”Arbeitsblatt Resonanz + Orts + Phasen + Signal-Kurv“ geöffnet, wobei zunächst noch einmal die Resonanzfrequenz mit Hilfe des entsprechenden

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Diagramms bestimmt werden soll. Aus der Resonanzkurve wird der Phasenverlauf auf dem aus-gedruckten Arbeitsblatt erstellt.

5. Bestimmen Sie den Parallelersatzleitwert des Schwingkreises nach Abbildung 2 mit Hilfe desPauli–Verfahrens. Der Übertrager soll bei ü = 1 betrieben werden.Hinweis:Mittels ELVIS Digital Multimeter und Mini Resistanz Box Wertepaare bestimmen. Verschalten:ELVIS DMM Voltage HI und LO mit Ausgangsspannung am Schwingkreis direkt.

6. Bestimmen Sie mit Hilfe des Verstimmungsverfahrens nach 3.5 drei komplexe Leitwerte unterVerwendung eines Parallel–Ersatzschaltbildes.

Unbedingt mitzubringendes Arbeitsmaterial:

• Millimeterpapier DIN A 4

• Winkelmesser

• Lineal

• Zirkel.

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