Grundlagen der Nachrichtentechnik 1 Communications 1nts.uni-duisburg-essen.de/downloads/nts1/NT1_S1-100.pdf3 Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Grundlagen der Nachrichtentechnik 1 WS 2003/2004

1

Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Grundlagen der Nachrichtentechnik 1 WS 2003/2004

S. 1FachgebietNachrichtentechnische Systeme

N T SUNIVERSITÄT

D U I S B U R GE S S E N

Grundlagen der Nachrichtentechnik 1

Communications 1Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik



N T SUNIVERSITÄT


Nachrichtentechnik 1Organisatorisches

Vorlesung 2 SWS

Übung 2 SWS Betreuer: Dipl.-Ing. Thorsten Kempka

Folienkopien sind verfügbar

Prüfung: schriftlich

Neue Forschungsthemen im Fachgebiet Nachrichtentechnische Systeme

Studien- und Diplomarbeiten

2



N T SUNIVERSITÄT


Nachrichtentechnik 1Literatur

Literatur zur Vorlesung:R. Unbehauen: Systemtheorie, Oldenbourg-Verlag

H. Marko: Methoden der Systemtheorie, Springer-Verlag



N T SUNIVERSITÄT


Nachrichtentechnik 1Inhalt1 Einführung2 Testsignale3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme4 Fourier-Transformation5 Laplace-Transformation6 Hilbert-Transformation7 Abtasttheorem8 z-Transformation 9 Lineare zeitdiskrete Systeme

3



N T SUNIVERSITÄT


Nachrichtentechnik 11 Einführung

Inhalt: Theorie linearer SystemeBegründer der modernen Systemtherorie: Karl Küpfmüller

NT1: Deterministische Signale und Systeme

SystemEingangssignal Ausgangssignal



N T SUNIVERSITÄT



BeispieleÜbertragungssysteme

Stabilitätsuntersuchungen in Regelkreisen

Mechanische Schwingungssysteme

Allgemein: lineare Systeme (beschrieben durch lineare Differentialgleichungen)

4



N T SUNIVERSITÄT



Beispiel: digitales Mobilfunksystem

passivesFilter

Empfangs-filter

Aufwärts-Mischung

Abwärts-Mischung

Sende-filter

ZuordnungkomplexerSymbole

Ent-zerrungDetektion

Funk

kana

l

Synchronisation

Daten



N T SUNIVERSITÄT



SignalFunktion der Zeit x(t)

Funktion des Ortes v(x)

Beispiele

Musiksignal

Zeitfunktion der Mikrofon-/Lautsprecherspannung

Zeitfunktion der Auslenkung der Mikrofon-/Lautsprechermembran

5



N T SUNIVERSITÄT



Rauschen

Fernsehsignal

Zeitfunktion der Spannung am Ausgang eines RC-Gliedes beim Einschaltvorgang

n(t)

t

u(t)

t



N T SUNIVERSITÄT



System

Allgemeiner Zusammenhang zwischen Eingang und Ausgang:yi(t) = f(x1(t), x2(t), x3(t) ... xn(t))

System

x2(t)

xn(t)

x1(t)

y2(t)

ym(t)

y1(t)

. . . .

. . . .

(1.1)

6



N T SUNIVERSITÄT



Vektorielle Darstellung:Y(t) = f(X(t))

mit X(t) = (x1(t), x2(t), x3(t) ... xn(t))und Y(t) = (y1(t), y2(t), y3(t) ... ym(t))

Wichtiger Sonderfall: ein Eingang, ein Ausgang

(1.4)(1.3)(1.2)

y = f(x(t))x(t) y(t)



N T SUNIVERSITÄT



Klassifizierung von Systemen

nichtlineare Differential-gleichung

nichtlineare Gleichungnichtlinear

Volterra-ReiheTaylor-Reiheschwach nichtlinear

lineare Differential-gleichung

lineare Gleichung (Gerade)

linear

gedächtnisbehaftetgedächtnislosSystem

7



N T SUNIVERSITÄT



LinearitätGegeben: y1(t) und y2(t) seien Ausgangssignale für beliebige Eingangssignale x1(t) und x2(t)

Ein System heißt linear, wenn gilt:Aus x1(t) → y1(t) und x2(t) → y2(t) folgt:c1 x1(t) + c2 x2(t) → c1 y1(t) + c2 y2(t) mit beliebigen Koeffizienten c1 und c2 .

Lineare Systeme werden durch lineare Differentialgleichungen beschrieben.

(1.5)



N T SUNIVERSITÄT



Beispiel: (1.6)xxyyy 5352 +=−+ &&&&

8



N T SUNIVERSITÄT


Nachrichtentechnik 12 Testsignale

Sprungfunktion

Modellierung von Einschalt- und EinschwingvorgängenProblem: nicht differenzierbar!

(2.1) ≥

=sonst0

0für1)(s

tt

s(t)1

t



N T SUNIVERSITÄT



Begrenzte Rampenfunktion

Näherung der Sprungfunktion, da die begrenzte Rampenfunktion differenzierbar ist:

(2.2)

≥

≤≤−+

−≤

=

2für1

22für

21

2für0

)(s

ε

εεε

ε

ε

t

tt

t

t

)(slim)(s0

tt εε→

= (2.3)

sε(t)1

t2ε

2ε−

9



N T SUNIVERSITÄT



Rechteckfunktion

Darstellung durch Sprungfunktionen:

Rechteckfunktion der Dauer ∆T und mit der Verschiebung T0

(2.4)

(2.5)

≤≤−=

sonst0für1)(rect 2

121 tt

rect(t)

t21

21−

1

( ) ( )21

21 ss)(rect −−+= ttt

t

20TT ∆+20

TT ∆−

1

∆−

TTt 0rect

0T



N T SUNIVERSITÄT



Dreieckfunktion

Darstellung durch Sprungfunktionen:

(2.6)

≤≤−≤≤−+

= ≤−=∆

sonst010für1

01fürt1

sonst01für1)( tt

tttt

∆(t)

t

1

−1 1

)1()1(s)2()(s)1()1(s)( −⋅−+−⋅++⋅+=∆ ttttttt (2.7)

10



N T SUNIVERSITÄT



Gauß-Funktion

Fläche:

(2.8)2

0e)(G

−

= Tt

ts

-3 -2 -1 1 2 30Tt

1

2

0e

−

Tt

1e−

0G 2ded)(

2

0 Tttts Tt

π== ∫∫∞

∞−

−∞

∞−(2.9)



N T SUNIVERSITÄT



Diracsche Delta-Funktion

mit

Darstellung durch Rechteckfunktion:

(2.9) =∞

=sonst0

0für)(

ttδ

1d)(δ =∫∞

∞−tt

δ(t)1

t

(2.10)

=

→ εεδ

ε

tt rect1lim)(0

t2ε

2ε−

ε1

εεtrect1

(2.11)

11



N T SUNIVERSITÄT



Andere Definitionen der Delta-Funktion

Ausblendeigenschaft

(2.12)δ(t)

1

t(2.13)

∆=

→ εεδ

ε

tt 1lim)(0

(2.14)

2

e2lim)(0

−

→⋅= ε

ε επδ

t

t

)()()()( 000 TtTfTttf −⋅=−⋅ δδ

)(d)()( 00 TftTttf =−⋅∫∞

∞−δ (2.15)

f(t)

t

δ(t−T0)

T0



N T SUNIVERSITÄT



Zusammenhang der δ-Funktion mit der Sprungfunktion:

Ableitung der δ-Funktion:

Die δ-Funktion und ihre Ableitungen sind verallgemeinerte Funktionen

(2.16))(dds t

tδ=

)(d

(t)d tt

δδ ′= (2.17)

)(tδ′

t

12



N T SUNIVERSITÄT



Weitere Eigenschaften der δ-Funktion:

(2.18))()( tt −=δδ

)()( ttt δδ =′⋅−

)(1)( ta

at δδ =

ta2ε

a2ε−

ε1

εεtarect1

(2.19)

(2.20)



N T SUNIVERSITÄT



Harmonische Schwingungen

(2.21)

(2.22)

)cos()( ttx ω=

(2.23)

)sin()( ttx ω=

ttx ωje)( =

13



N T SUNIVERSITÄT



Signalparameter:Momentane Leistung eines Signals x(t)

P(t) = x2(t)

Mittlere Leistung

Energie

∫−∞→

=T

TTttx

TP d)(

21lim 2

∫−∞→

=T

TTttxE d)(lim 2

(2.24)

(2.25)

(2.26)



N T SUNIVERSITÄT



Komplexe Signale:

∫−∞→

=T

TTttx

TP d)(

21lim 2

∫−∞→

=T

TTttxE d)(lim 2

(2.27)

(2.28)

(2.29)

2)( xtP =

14



N T SUNIVERSITÄT


-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

xtxˆ

)(

πω2

0t


BeispieleSinusförmiges Signal (leistungsbegrenzt):

(2.30)txtx 0sinˆ)( ω⋅=



N T SUNIVERSITÄT


-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0


Momentane Leistung:

Mittlere Leistung:

2ˆ2sin

41

22ˆ

d)(sinˆ2

d)(21lim

20

0

2

0

02

2

00

2202

0

0

xttx

ttxttxT

PT

TT

=+⋅=

⋅==

∫∫−∞→

ωωπ

ω

ωπ

ω

ωπ

ωπ

(2.31)

(2.32)

txtxtP 0222 sinˆ)()( ω⋅==

2

2

ˆ)(

xtx

πω2

0t

15



N T SUNIVERSITÄT


-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0


Dreieck-Doppelimpuls (energiebegrenzt):

≤≤−⋅

≤≤

−⋅

≤≤⋅

=∆∆

sonst0

für 4

ˆ

für 4

2ˆ

0für 4

ˆ

)(

43

43

4

4

TtT

Ttx

tT

tx

tT

tx

tx

T

TT

T

(2.33)

xtx

ˆ)(∆∆

Tt



N T SUNIVERSITÄT


-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0


Energie

Dreieckförmiges Signal

TxtT

xtT

txttxETT

24

0

3

2

2324

0

2 ˆ31

3ˆ4d

4ˆ4d)( =

=

⋅== ∫∫∞

∞−∆∆∆∆ (2.34)

(2.35)

∑∞

−∞=∆∆ −=

nnTtxtx )()(D

xtx

ˆ)(D

Tt

16



N T SUNIVERSITÄT


-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

xtx

ˆ)(2

D

Tt


Momentane Leistung des dreieckförmigen Signals:

Mittlere Leistung des dreieckförmigen Signals:

(2.36)3ˆ1d)(

21lim

22

DxE

Tttx

TP

T

TT=== ∆∆

−∞→ ∫



N T SUNIVERSITÄT



Gaußimpuls (energiebegrenzt):

Energie:

Rechteckimpuls:

Energie

(2.37)

0

22

2GG 8

deded)(

2

0

2

0 TttttsE Tt

Tt

π==

== ∫∫∫∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−

TttTtE

T

T∆==

∆

= ∫∫∆−

∆−

∞

∞−

2

2

22rect d1drect (2.38)

17



N T SUNIVERSITÄT


Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme

Kausalität

Ausgangssignal y(t0) hängt nur von Werten x(t) ab mit t ∈ {−∞ ... t0}

Ein System heißt kausal, wenn gilt:Aus x1(t) → y1(t) und x2(t) → y2(t) sowiex1(t) = x2(t) für t ≤ t0 folgt:y1(t) = y2(t) für t ≤ t0 (3.1)

y = f(x(t))x(t) y(t)



N T SUNIVERSITÄT



ZeitinvarianzGegeben: System mit Eingangssignal x(t) und Ausgangssignal y(t)

Ein System ist zeitinvariant, wenn gilt:Aus x(t) → y(t) folgt x(t−t0) → y(t−t0). (3.2)

x(t) x(t−t0) y(t) y(t−t0)

t0 t t0 t

18



N T SUNIVERSITÄT



StabilitätEin begrenztes Eingangssignal x(t) führt zu einem begrenzten Ausgangssignal y(t) (bounded input bounded output – BIBO)

Für jedes zulässige Eingangssignal x(t)

mit |x(t)| ≤ A < ∞ für alle t gilt

auch |y(t)| ≤ B < ∞ für alle t. (3.3)



N T SUNIVERSITÄT



Gedächtnislose und gedächtnisbehaftete (dynamische) Systeme

Gedächtnislose Systeme: Das Ausgangssignal y(t0) zum Zeitpunkt t0 hängt nur vom Eingangssignal x(t0) zum gleichen Zeitpunkt t0ab.

Gedächtnislose Systeme werden durch eine Kennlinie y = f (x) beschrieben.

Gedächtnisbehaftete Systeme: Das Ausgangssignal y(t0) zum Zeitpunkt t0 hängt vom Eingangssignal x(t0) zum gleichen Zeitpunkt t0 und der Vorgeschichte x(t < t0) ab.

19



N T SUNIVERSITÄT



FaltungsintegralNäherung eines Eingangssignals x(t) durch schmale rechteckförmige Impulse

(3.4)x(t)

t

∆T

∑∞

−∞=

∆∆−⋅∆≈

n TTntTnxtx rect)()(



N T SUNIVERSITÄT



Grenzübergang: ∆T → 0

⇒ n∆T → τ ∆T → dτ

Antwort des Systems auf einen einzelnen Recheck-Impuls:(3.5)

)(rect1 tTt

Tδ→

∆∆

Lineares zeitinvariantes

Systemδ(t) h(t)

δ(t−τ) h(t−τ)

∆∆ Tt

Trect1 h∆T(t)

20



N T SUNIVERSITÄT



Allgemeines Eingangssignals x(t):

Ausgangssignal y(t):

Grenzübergang: ∆T → 0

Faltungsintegral, h(t) = Impulsantwort

(3.6)∑∞

−∞=

∆∆−⋅∆≈

n TTntTnxtx rect)()(

∑∞

−∞=∆ ∆−⋅∆⋅∆≈

nT TnthTTnxty )()()(

)()(d)()()( thtxthxty ∗=−⋅= ∫∞

∞−τττ

(3.7)

(3.8)



N T SUNIVERSITÄT



Eigenschaften des Faltungsprodukts:

Kommutativgesetz

Beweis durch Substitution: τ = t − u ⇒ dτ = −du

(3.9)

)()()()()( txththtxty ∗=∗=

ττττττ d)()(d)()()( ∫∫∞

∞−

∞

∞−−⋅=−⋅= txhthxty

(3.10)

(3.11)uutxuhuuhutxty d)()()d()()()( ∫∫∞

∞−

∞−

∞−⋅=−⋅−=

21



N T SUNIVERSITÄT



Kommutativgesetz als Blockschaltbild

Assoziativgesetz

≡

(3.12)

h(t)x(t) y(t)

x(t)h(t) y(t)

)()()()]()([)()()]()([)( 212121 ththtxththtxththtxty ∗∗=∗∗=∗∗=

≡h1(t)x(t) y(t)

h1(t) ∗ h2(t)x(t) y(t)

h2(t)



N T SUNIVERSITÄT



Reihenfolge von linearen Teilsystemen kann vertauscht werden:

Linearität

(3.13))()]()([)()]()([)( 1221 ththtxththtxty ∗∗=∗∗=

≡h1(t)x(t) y(t)

h2(t) h2(t)x(t) y(t)

h1(t)

≡h1(t)x(t) y(t)

h1(t) + h2(t)x(t) y(t)

h2(t)

(3.14))]()([)()]()([)]()([)( 2121 ththtxthtxthtxty +∗=∗+∗=

22



N T SUNIVERSITÄT



Faltung mit δ-Funktion:

)(d)()()()()( txtxttxty =−⋅=∗= ∫∞

∞−ττδτδ (3.15)

)(d)()()()()( 000 ttxttxtttxty −=−−⋅=−∗= ∫∞

∞−ττδτδ (3.16)



N T SUNIVERSITÄT



Impulsantwort

Ein lineares zeitinvariantes System wird vollständig durch seineImpulsantwort beschrieben.

Bedingung an die Impulsantwort für Stabilität:

Mit |x(t)| ≤ A < ∞ muss auch gelten: |y(t)| ≤ B < ∞

(3.17)

h(t)x(t) y(t)

∞<≤⋅≤−⋅≤−⋅= ∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−BAhtxhtxhty ττττττττ d)(d)()(d)()()(

∞<≤⇒ ∫∞

∞−Ch ττ d)(

23



N T SUNIVERSITÄT



Bedingung an die Impulsantwort für Kausalität:

Ausgangssignal y(t0) hängt nur von Werten x(t) ab mit t ∈ {−∞ ... t0}

⇒ h(t) = 0 für t < 0 (3.18)

δ(t)

t

h(t)

ττττττ d)()(d)()()(0∫∫∞

∞−−⋅=−⋅= txhthxty

t(3.19)



N T SUNIVERSITÄT



Faltung zweier „kausaler“ Funktionen:

h1(t) = 0 für t < 0 und h2(t) = 0 für t < 0

Dimension der Impulsantwort:

(3.20)ττττττ d)()(d)()()()(0

120

2121 ∫∫ −⋅=−⋅=∗tt

thhthhthth

s11)]([Dim :häufig

][Dim1

)]([Dim)]([Dim)]([Dim

⋅=

⋅=

th

ttxtyth

24



N T SUNIVERSITÄT



Beispiel 1: RC-Glied

Lineare Differentialgleichung:

Impulsantwort: U1(t) = δ(t)

Kausalität: h(t) = 0 für t < 0

(3.23)

U1 U2CR IC

tUCId

d 2C ⋅=

RUUI 21

C−=

tURCUUd

d 221 ⋅=−

(3.22)

(3.21)



N T SUNIVERSITÄT



Zeitnullpunkt: U1 >> U2

Impulsantwort für t > 0 (Ein-Speicher-Netzwerk):

(3.26)

U1 U2CR IC

tURCUd

d 21 ⋅=

(3.25)

(3.24)

RCtt

RCttU

RCU 1d)(1d)(1)0(

00

12 ===+⇒ ∫∫+

∞−

+

∞−δ

RCt

RCtU

−⋅= e1)(2

25



N T SUNIVERSITÄT



Impulsantwort eines RC-Tiefpass-Filters

h(t)

t

RC1



N T SUNIVERSITÄT



Berechnung des Ausgangssignals für eine Sprungfunktion als Eingangssignal:

U1(t) = U0 ⋅ s(t)

Praktische Berechnung am besten mit Skizze, die die beiden Faktoren im Integranden zeigt

τττ d)()()()()( 112 ∫∞

∞−−⋅=∗= tUhthtUtU

(3.27)

(3.28)

26



N T SUNIVERSITÄT



Berechnung des Faltungsintegrals

t < 0 :

t ≥ 0 :

h(τ)

τ

RC1

τt > 0t < 0

U1(t−τ)U0

t

RC

tRC

RCRCU

URC

tU

0

0

002

e

de1)(

⋅−⋅=

⋅=

−

−∫

τ

ττ

0)(2 =tU (3.29)

(3.30)



N T SUNIVERSITÄT



t ≥ 0 :

]e1[e)( 00

2 RCt

RCt

URCRCRCUtU

−−−⋅=

+⋅−⋅=

t

U2(t)

U0

(3.31)

27



N T SUNIVERSITÄT


t/∆T−1,5 −0,5

U1(t)U0

−U0

0,5 1,5


Beispiel 2: Berechnung des Ausgangssignals auf zwei Recheckimpulse:

τττ d)()()()()( 112 ∫∞

∞−−⋅=∗= tUhthtUtU

∆∆−⋅−

∆

⋅=T

TtUTtUtU rectrect)( 001 (3.32)

(3.33)



N T SUNIVERSITÄT


τt t + 1,5∆T

U1(t-τ)


Berechnung des Faltungsintegrals

t < −1,5 ∆T :

−1,5 ∆T ≤ t < −0,5 ∆T :

h(τ)

τ

RC1

Tt

RC

TtRC

RCRCU

URC

tU

∆+−

∆+ −

⋅−⋅=

⋅= ∫5,1

0

0

5,1

002

e

de1)(

τ

ττ

0)(2 =tU (3.34)

(3.35)

28



N T SUNIVERSITÄT


τt t + 1,5∆T

U1(t-τ)


−1,5 ∆T ≤ t < −0,5 ∆T :

−0,5 ∆T ≤ t < 0,5 ∆T :

]e1[)(5,1

02 RCTt

UtU∆+−

−⋅=

]ee[e

de1)(

5,15,0

0

5,1

5.0

0

5,1

5,002

RCT

RCTTt

Tt

RC

Tt

Tt

RC

URCRCU

URC

tU

∆+−∆+−∆+

∆+

−

∆+

∆+

−

−⋅=

⋅−⋅=

⋅= ∫

τττ

ττ

(3.36)

(3.37)



N T SUNIVERSITÄT


τt t + 1,5∆T

U1(t-τ)


0,5 ∆T ≤ t < 1,5 ∆T :

]1eee[

ee

d)(e1de1)(

5,05,15,0

0

5,0

0

0

5,1

5.0

0

5,0

00

5,1

5,002

−+−⋅=

⋅−⋅−

⋅−⋅=

−⋅+⋅=

∆−−∆+−∆+−

∆−−

∆+

∆+

−

∆− −∆+

∆+

−∫∫

RCT

RCT

RCT

Tt

RC

Tt

Tt

RC

TtRC

Tt

Tt

RC

U

RCRCURC

RCU

URC

URC

tU

τττ

ττ

ττττ

(3.38)

29



N T SUNIVERSITÄT


τt

U1(t-τ)


t ≥ 1,5 ∆T :

]eeee[

ee

d)(e1de1)(

5,15,05,15,0

0

5,0

5,1

0

5,1

5.0

0

5,0

5,10

5,1

5,002

RCT

RCT

RCT

RCT

Tt

Tt

RC

Tt

Tt

RC

Tt

Tt

RCTt

Tt

RC

U

RCRCURC

RCU

URC

URC

tU

∆−−∆−−∆+−∆+−

∆−

∆−

−∆+

∆+

−

∆−

∆−

−∆+

∆+

−

−+−⋅=

⋅−⋅−

⋅−⋅=

−⋅+⋅= ∫∫

ττττ

ττ

ττττ

(3.39)



N T SUNIVERSITÄT



t/∆T−1,5 −0,5

U1(t)U0

−U0

0,5 1,5

t/∆T−1,5 −0,5

U2(t)U0

−U0

0,5 1,5

t/∆T−1,5 −0,5

U2(t)U0

−U0

0,5 1,5

t/∆T−1,5 −0,5

10 U2(t)U0

−U0

0,5 1,5

RC = 0,1 ∆T

RC = 10 ∆TRC = ∆T

30



N T SUNIVERSITÄT



Integrator

Keine BIBO-Stabilität: x(t) = k ⇒ y(t) → ∞

Differenzierer

Keine BIBO-Stabilität: x(t) = s(t) ⇒ y(t) → δ(t)

)(s)(d)()( ttxxtyt

∗== ∫∞−

ττ

)(s)(I tth =

)()(d

)(d)( ttxttxty δ′∗==

)()(D tth δ′=

(3.40)

(3.41)

(3.42)

(3.43)



N T SUNIVERSITÄT



Sprungantwort

(3.44)

h(t)s(t) a(t)

s(t)δ(t) s(t)

h(t)a(t)

h(t)δ(t) h(t)

s(t)a(t)

)(s)(d)()( tthhtat

∗==⇒ ∫∞−

ττ

31



N T SUNIVERSITÄT



Beschreibung des Übertragungsverhaltens durch die Sprungantwort

Annahme: x(t) besitzt einen verschwindenden Anfangswert x(−∞) = 0

Zusammenhang ohne Einschränkung an x(t):

(3.45)

h(t)x(t) y(t)

δ′ (t)x(t) x′ (t)

s(t)

)()()()(d)()()()()( txtaaxtxaaxtyt

′∗+∞⋅−∞=−′⋅+∞⋅−∞= ∫∞−

τττ

x(t)h(t)

y(t)

a(t)



N T SUNIVERSITÄT


Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation

Ableitung: ÜbertragungsfunktionExponentialfunktionen sind Eigenfunktionen linearer zeitinvarianter Systeme (LTI − linear time-invariant systems)

Eingangssignal:

Ausgangssignal:

(4.1)

)(ede)(e

de)(d)()()(

jjj

)(j

ωττ

τττττ

ωωτω

τω

Hh

htxhty

tt

t

⋅=⋅⋅=

⋅=−⋅=

−∞

∞−

−∞

∞−

∞

∞−

∫

∫∫

)()()()( EigenEigen txHthtxty ⋅=∗=

ttx ωje)( =

(4.3)

(4.2)

32



N T SUNIVERSITÄT



Übertragungsfunktion:

Eingangssignal:

Ausgangssignal:

(4.5)

ττω ωτ de)()( j−∞

∞−⋅= ∫hH

(4.6)

(4.4)

( )ttttx ωωω jj21 eecos)( −+==

( )( )

{ } )))((cos()(e)(Re

e)(e)(

e)(e)()(

j

jj21

jj21

ωϕωωω

ωω

ωω

ω

ωω

ωω

HtHH

HH

HHty

t

tt

tt

+⋅=⋅=

⋅+⋅=

⋅−+⋅=∗

−



N T SUNIVERSITÄT



Anwendung von (4.4) auf beliebige Signale/Funktionen ⇒ Fourier-Transformation

FF(ω) = Fourier-Transformierte = Fourier-Spektrum

FF(ω) ist eine komplexwertige Funktion

Fourier-Rücktransformation:

)(de)()( jF tfttfF tωω −

∞

∞−⋅= ∫ (4.7)

)(de)(21)( F

jF ωωω

πω FFtf t+

∞

∞−⋅= ∫ (4.8)

33



N T SUNIVERSITÄT



Beispiel: Transformation der Rechteck-Funktion:

(4.10)

( ) ( ))2/(si)2/sin(21

eej1ee

j1

ej1de1)(

2/j2/j2/j2/j

2/

2/

j2/

2/

jF

TTT

tF

TTTT

T

T

tT

T

t

∆⋅∆=∆=

−=−−=

⋅−=⋅=

∆−∆∆∆−

∆

∆−

−∆

∆−

−∫

ωωω

ωω

ωω

ωωωω

ωω

(4.9)

∆

=Tttf rect)(

xxx )(sin)(simit = (4.11)



N T SUNIVERSITÄT



Beispiel: Transformation der Rechteck-Funktion:

KonvergenzDie Fourier-Transformation konvergiert nicht für konstante Funktionen oder für x → −∞ oder x → ∞ ansteigende Funktionen

1rect(t/∆T) ∆T si(ω∆T/2)

−∆T/2 ∆T/2 tω

2π /∆T

∆T

34



N T SUNIVERSITÄT



Beispiel: Transformation einer konstanten Funktion:

x1(t) = 1

⇒ Integral konvergiert nicht!

Hilfsfunktion: mit α > 0

Grenzwert:

(4.13)

(4.12)∞

∞−

−−∞

∞−

−=⋅= ∫ tt tX ωωω

ω jj1 e

j1de1)(

)(lim1)(0

1 txtx αα →

==

(4.14)ttx αα

−= e)(

(4.15)



N T SUNIVERSITÄT



Transformation der Hilfsfunktion:

⇒ Glockenkurve mit Maximum bei ω = 0!

(4.16)22

0

)j(0

)j(

0

j0

jj

2j

1j

1

ej

1ej

1

deedeede)()(

ωαα

ωαωα

ωαωα

ω

ωαωα

ωαωαωαα

+=

++

−=

−−

+

−

=

⋅+⋅=⋅=

∞−−

∞−

−

∞−−

∞−

−−∞

∞−∫∫∫

tt

ttttt ttttxX

35



N T SUNIVERSITÄT


-3 -2 -1 0 1 2 3


Hilfsfunktion in Zeit- und Frequenzbereich:

0.5

1.0

1.5

-3 -2 -1 0 1 2 3 ω/α

2/α

)(ωαX

1/α

α⋅t

)(txα



N T SUNIVERSITÄT



Grenzübergang der Hilfsfunktion für α → 0:

⇒ Eigenschaften einer δ -Funktion!

⇒ 1 2π δ(ω)

(4.17)

(4.18)

=∞→=+

≠=+=

→→

→→ 0für2lim2lim

0für02lim)(lim

0220

2200 ω

αωαα

ωωα

α

ω

αα

αα

αX

πππαω

ααω

ωααωωα 2

222arctg12d2d)( 22 =

+=

=

+=

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−∫∫ X

(4.19)

36



N T SUNIVERSITÄT



Beispiel: Transformation der Sprungfunktion:

x2(t) = s(t)

⇒ Integral konvergiert nicht!

Hilfsfunktion: mit α > 0

Grenzwert: (4.23)

(4.20)∞

−−∞

−=⋅= ∫0

jj

02 e

j1de1)( tt tX ωωω

ω

)(lim)(s)(0

2 txttx αα →

==

(4.21)

tttx αα

−⋅= e)(s)( (4.22)



N T SUNIVERSITÄT



Transformation der Hilfsfunktion:

Unsymmetrie der Zeitfunktion

⇒ zwei Beiträge: Real- und Imaginärteil

(4.24)222222

0

)j(

0

jj

jjj

1

ej

1

deede)()(

ωαω

ωαα

ωαωα

ωα

ωα

ω

ωα

ωαωαα

+−

+=

+−=

+=

−−

=

⋅=⋅=

∞−−

∞−−−

∞

∞−∫∫

t

ttt tttxX

37



N T SUNIVERSITÄT


-3 -2 -1 1 2 3 ω/α

1/α{ })(Im ωαX

1/2α

−1/2α

−1/α


0.5

1.0

1.5

-3 -2 -1 0 1 2 3 α⋅t

)(txα

-3 -2 -1 0 1 2 3ω/α

1/α

{ })(Re ωαX

1/2α



N T SUNIVERSITÄT



Grenzübergang der Hilfsfunktion für α → 0:

(4.25)

(4.26)

ωωδπωα

α j1)()(lim

0+=

→X

ωωδπ

j1)()(s +t

38



N T SUNIVERSITÄT



Eigenschaften

Gegeben: f(t) F(ω) , f1/2(t) F1/2(ω)

Linearität:

c1 ⋅ f1(t) + c2 ⋅ f2(t) c1 ⋅ F1(ω) + c2 ⋅ F2(ω)

Beweis:

)()(de)(de)(

de)(de)(de)]()([

2211j

22j

11

j22

j11

j2211

ωωωω

ωωω

FcFcttfcttfc

ttfcttfcttfctfc

tt

ttt

+=⋅+⋅=

⋅+⋅=⋅+

−∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−

∫∫

∫∫∫

(4.27)

(4.28)

(4.29)



N T SUNIVERSITÄT



Negative Zeitachse:

f(−t) F(−ω)

Beweis:

Konjugiert komplexe Werte:

f*(t) F*(−ω)

Beweis:

(4.30)

(4.31)

(4.32)

)(de)()d(e)(de)( )(jjj ωωωω −=⋅=−⋅=⋅− −−∞

∞−

+∞−

∞

−∞

∞−∫∫∫ Fuufuufttf uut

ttfF t de)()( )(j ωω −+∞

∞−

∗∗ ⋅=− ∫ (4.33)

39



N T SUNIVERSITÄT



Gerade und ungerade Anteile des Real- und Imaginärteils

f(t) = fRg(t) + fRu(t) + j fIg(t) + j fiu(t)

F(ω) = FRg(ω) + FRu(ω) + j FIg(ω) + j Fiu(ω)

Beweis: reelle Funktion

(4.34)

(4.35)

(4.36)tttfttttfttf t d)cos()(d)]sin(j)[cos()(de)( RgRg

jRg ωωωω ⋅=−⋅=⋅ ∫∫∫

∞

∞−

∞

∞−

−∞

∞−

(4.37)tttfttttfttf t d)sin()(jd)]sin(j)[cos()(de)( RuRu

jRu ωωωω ⋅−=−⋅=⋅ ∫∫∫

∞

∞−

∞

∞−

−∞

∞−



N T SUNIVERSITÄT



Folgerung für reelle Funktionen f(t)

F*(ω) = F(−ω)

positive Funktionen: f(t) ≥ 0

⇒ |F(ω)| ≤ F(0)

Beweis:

(4.38)

(4.39)ttfttfttfF ttt de)(de)(de)()( 0jjj ∫∫∫∞

∞−

−∞

∞−

−−∞

∞−⋅=≤⋅= ωωω

40



N T SUNIVERSITÄT



Symmetrieeigenschaft:

F(t) 2π f(−ω)

Beweis:

Substitution ω → t , t → −ω :

(4.40)

(4.41)

(4.42)

ttfF t de)()( jωω −∞

∞−⋅= ∫

ωωππ

ωω ωω de)(221)d(e)()( jj tt fftF ⋅−=−⋅−= ∫∫

∞

∞−

∞−

∞



N T SUNIVERSITÄT



41



N T SUNIVERSITÄT



Maßstabsänderung (Ähnlichkeitssatz) (a ist reell):

Beweis von (4.43) mit a > 0:

Substitution: aω = u

(4.43)

(4.44)

(4.45)ωωπ

ω de)(21)( j atFatf +

∞

∞−⋅= ∫

aF

aatf ω1)(

atf

aaF 1)( ω

uaa

uFatf ut d1e21)( j+

∞

∞−⋅

= ∫π

(4.46)



N T SUNIVERSITÄT



Beweis von (4.43) mit a = −b < 0:

Substitution: −bω = u

(4.47)

(4.48)

ωωπ

ω de)(21)()( j btFbtfatf −

∞

∞−⋅=−= ∫

uaa

uFubb

uF

ubb

uFbtfatf

utut

ut

d1e21d1e

21

d1e21)()(

jj

j

−⋅

=⋅

−

=

−⋅

−

=−=

+∞

∞−

+∞

∞−

+∞−

∞

∫∫

∫

ππ

π

42



N T SUNIVERSITÄT


)(e)( 0j0 tfF tωωω −


Zeitverschiebung:

Beweis:

Frequenzverschiebung:

Beweis:

(4.49)

(4.50)

(4.51)

ωωπ

ωωπ

ωωω dee)(21de)(

21)( jj)(j

0 00 tttt FFttf +−∞

∞−

−+∞

∞−⋅⋅=⋅=− ∫∫

)(e)( 0j0 ωω Fttf t−−

ttfttfF ttt dee)(de)()( jj)(j0 00 ωωωωωω −+

∞

∞−

−−∞

∞−⋅⋅=⋅=− ∫∫ (4.52)



N T SUNIVERSITÄT


Differentiation im Zeitbereich:

Beweis:

)()j()(dd ωω Ftft

nn

n⋅


(4.53)

(4.54)ωωωπ

ωωπ

ωωπ

ω

ωω

de)j()(21

dedd)(

21de)(

21

dd)(

dd

j

jj

tn

tn

nt

n

n

n

n

F

tFF

ttf

t

+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

⋅=

⋅=⋅=

∫

∫∫

43



N T SUNIVERSITÄT


Differentiation im Frequenzbereich:

Beweis:

)()j()(dd tftF n

n

n⋅−ω

ω


(4.55)

(4.56)tttf

ttfttfF

tn

tn

nt

n

n

n

n

de)j()(

dedd)(de)(

dd)(

dd

j

jj

ω

ωωωω

ωω

−∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−

−⋅=

⋅=⋅=

∫

∫∫



N T SUNIVERSITÄT


Faltung von Zeitfunktionen:

Beweis:

)()(d)()()()( 212121 ωω FFuutfuftftf ⋅−⋅=∗ ∫∞

∞−


(4.57)

(4.58)

)()(de)()(

ded)()()()(

21j

21

j2121

ωωω ω

ω

FFuFuf

tuutfuftftf

u

t

⋅=⋅=

⋅−⋅∗

∫

∫ ∫∞

∞−

−

∞

∞−

−∞

∞−

h(t)H(ω)

x(t) y(t) = x(t) * h(t)

X(ω) Y(ω) = X(ω) ⋅ H(ω)

44



N T SUNIVERSITÄT


Multiplikation von Zeitfunktionen:

Beweis:

∫∞

∞−−⋅=∗⋅ uuFuFFFtftf d)()()()()()( 21π2

121π2

121 ωωω


(4.59)

(4.60))()(de)()(

21

ded)()(21

21)()(

21

21j

21

j2121

tftfutfuF

uuFuFFF

ut

t

⋅=⋅=

⋅−⋅⋅∗

∫

∫ ∫∞

∞−

+

∞

∞−

+∞

∞−

π

ωωππ

ωωπ

ω

)()()()( 21π21

21 ωω FFtftf ∗⋅

)()( 11 ωFtf

)()( 22 ωFtf



N T SUNIVERSITÄT


Integration im Zeitbereich:

Beweis:


(4.61)

(4.62)

)(δ)0(πj

)(d)( ωωω FFuuf

t+∫

∞−

)(s)(d)(s)(d)( ttfuutufuuft

∗=−⋅= ∫∫∞

∞−∞−

)(δ)0(πj

)()(δπj1)( ω

ωωω

ωω FFF +=

+⋅ (4.63)

45



N T SUNIVERSITÄT


Parsevalsches Theorem für reelle Zeitsignale f(t) (Energiesatz)

Beweis: Multiplikation im Zeitbereich

ω = 0:


(4.64)

(4.65)

∫∫∞

∞−

∞

∞−= ωω

πd)(

21d)( 22 Fttf

(4.66)

∫∫∞

∞−

∞

∞−

− −⋅=∗=⋅⋅ uuFuFFFttftf t d)()()()(de)()( 21π21

21π21j

21 ωωωω

∫∫∫∞

∞−

∗∞

∞−

∞

∞−⋅=−⋅=⋅ uuFuFuuFuFttftf d)()(d)()(d)()( 21π2

121π2

121



N T SUNIVERSITÄT



Wichtige Korrespondenzen

1)(δ t (4.67)

(4.68))(δ2π1 ω

)(δ2πe 0j 0 ωωω −t

)(δjπ)(δjπ)(sin 000 ωωωωω −−+t

)(δπ)(δπ)(cos 000 ωωωωω −++t

(4.69)

(4.70)

(4.71)

)(δπj1)(s ωω

+t

ωj2)(s21)(sgn tt +−=

(4.72)

(4.73)

46



N T SUNIVERSITÄT



[ ]

=−−+

0000

00 2

rectπ)(s)(sπ)(siωω

ωωωωω

ωω t

220

000j)(δ

2π)(δ

2π)(cos)(s

ωωωωωωωω−

+−++⋅ tt

220

0000 )(δ

2πj)(δ

2πj)(sin)(s

ωωωωωωωω−

+−−+⋅ tt

)(si2)(s)(s2

rect TTTtTtTt ω−−+=

(4.74)

(4.75)

(4.76)(4.77)

)(δjπ1)(s 2 ωω

′+−⋅ tt

(4.78)

(4.79))])((si))((si[)cos()](s)(s[ 000 TTTtTtTt ωωωωω −++⋅−−+



N T SUNIVERSITÄT



aa

ta 4π

22

eeω−−

ωa

taa −

+eπ22

222je)(sgn

ωω+

−⋅ −

at ta

222e

ω+−

aata

(4.80)

(4.81)

(4.82)

(4.83)

(4.84)

(4.85)

ωj1e)(s

+⋅ −

at ta

)sgn(jπ1 ω−t

47



N T SUNIVERSITÄT



>−

−

<−⋅

aa

aatat

ωω

ωω

fürj

für1

)(J)(s

22

220

<−

sonst 0

für2

)(J22

0

aata

ωω

(4.86)

(4.87)



N T SUNIVERSITÄT



Beispiele:Transformation der Dreieckfunktion

∆∗

∆∆=

∆∆

Tt

Tt

TTt rectrect1

∆∆=

∆∆⋅

∆∆⋅

∆ 2si

2si

2si1 2 TTTTTT

Tωωω

(4.89)

(4.88)

48



N T SUNIVERSITÄT



Transformation der Dreieckfunktion

∆∆

∆∆

2si2 TT

Tt ω

(4.90)

0.5

1.0

-3 -2 -1 0 1 2 3

1

-3 -2 -1 0 1 2 3 t/∆T

∆(t/∆T)

ω∆T/2π

si2(ω∆T/2)



N T SUNIVERSITÄT



Beispiel zum Parsevalschen Theorem:

Berechnung im Zeitbereich:

Berechnung im Frequenzbereich:

ωω

j1)(e)(s)( 1 +

=⋅=−

T

Tt

Fttf (4.91)

(4.92)

(4.93)

2e

2ded)(

0

2

0

22 TTtttf T

tTt

=

−==

∞−∞ −∞

∞−∫∫

[ ]

2222

)(arctg21d1

21d)(

21

212

2

TT

TTF

T

=

+=

⋅=+

= ∞∞−

∞

∞−

∞

∞−∫∫

πππ

ωπ

ωωπ

ωωπ

49



N T SUNIVERSITÄT



Transformation einer periodischen Zeitfunktion: fP(t) = fP(t+T)

Darstellung als Fourier-Reihe:

mit den Koeffizienten:

und

Fourier-Transformierte:

∑∞

−∞=⋅=

n

tnnAtf 0j

P e)( ω (4.94)

∫+

−⋅=Tt

t

tnn ttf

TA

0

0

0 de)(1 jP

ω

Tπω 2

0 =

∑∞

−∞=−⋅⋅=

nn nAF )(2)( 0P ωωδπω

(4.95)

(4.96)

(4.97)



N T SUNIVERSITÄT


∑∑∞

−∞=

∞

−∞=−⋅=−⋅⋅=

nnn n

TnADtd )(2)(2)()( 00AA ωωδπωωδπω


Beispiel: Transformation einer periodischen δ-Impulsfolge:

∑∞

−∞=−=

nnTttd )()(A δ (4.98)

Ttt

Tttd

TA

T

T

tnT

T

tnn

1de)(1de)(1 2/

2/

j2/

2/

jA 00 =⋅=⋅= ∫∫

−

−

−

− ωω δ (4.99)

(4.100)

50



N T SUNIVERSITÄT



Periodische δ-Impulsfolge

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=−−

nnnnTt )()( 00 ωωδωδ

1

−3 −2 −1 1 2 3 t/T −3 −2 −1 1 2 3 ω/ω0

ω0

DΑ(ω)dΑ(t)

(4.101)



N T SUNIVERSITÄT



Ideales TiefpassfilterÜbertragungsfunktion:

Impulsantwort:

Anregung mit einer Sprungfunktion:

Mit der Integralsinusfunktion Si(x):

≤

=sonst0für 1

)( gTP

ωωωH

)(si2)(si)( gggg

TP tftth ωωπω

⋅=⋅=

)(Si121d)(si2d)()(s)()( gggTPTPTP ttfhtthta

t tω

πτωττ +=⋅==∗= ∫ ∫

∞− ∞−

∫=x

uux0

d)(si)(Si

(4.102)

(4.103)

(4.104)

(4.105)

Documents

Grundlagen der Nachrichtentechnik 1 Communications 1nts.uni-duisburg-essen.de/downloads/nts1/NT1_S1-100.pdf3 Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Grundlagen der Nachrichtentechnik 1 WS 2003/2004