Grundlagen Mathematik - 1. Vektorrechnung und Geometriematthies/Material/WiSe15/Kapitel1.pdf · Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische

Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik

GRUNDLAGEN MATHEMATIK

1. Vektorrechnung und Geometrie

Prof. Dr. Gunar Matthies

Wintersemester 2015/16

Mengenbegriff

Definition (Naiver Mengenbegriff nach Georg Cantor)

Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten, wohl-unterscheidbaren Objekten unserer Anschauung oder unseres Den-kens zu einem Ganzen. Die Objekte der Menge werden Elementeder Menge genannt.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 2/53

Häufig auftretende Mengen

N = Menge der natürlichen ZahlenN0 = N ∪ {0} = Menge der natürlichen Zahlen und 0Q = Menge der rationalen Zahlen (=Brüche)R = Menge der reellen Zahlen

R+ = Menge der positiven reellen ZahlenR+

0 = Menge der nichtnegativen reellen ZahlenR− = Menge der negativen ZahlenR−

0 = Menge der nichtpositiven ZahlenZ = Menge der ganzen Zahlen

ZusammenhangN ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R


Intervalle und Halbgeraden

Seien a, b ∈ R mit a ≤ b. Dann setzen wir• Intervalle

[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (abgeschlossen)(a, b) := {x ∈ R : a < x < b} (offen)[a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b} (rechts halboffen)(a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b} (links halboffen)

• Halbgeraden oder Strahlen

[a,∞) := {x ∈ R : a ≤ x} (abgeschlossene Halbgerade)(−∞, b] := {x ∈ R : x ≤ b} (abgeschlossene Halbgerade)(a,∞) := {x ∈ R : a < x} (offene Halbgerade)

(−∞, b) := {x ∈ R : x < b} (offene Halbgerade)

andere Schreibweise:(a, b) =]a, b[


Kartesisches Koordinatensystem

P

x

y

z

pz

py

px


Punkte und Vektoren I

Zu je zwei verschiedenen Punkten P und Q des Raumes gibt esgenau eine Parallelverschiebung des Raumes, die P auf Q abbildet.Diese Parallelverschiebung wird mit dem Pfeil

# »

PQ bezeichnet. DerPfeil

# »

PQ mit

P = (px , py , pz), Q = (qx , qy , qz)

legt mittels

#»v =

vxvyvz

:=

qx − pxqy − pyqz − pz

einen Vektor #»v fest. Der Vektorpfeil wird später auch weggelassen.

Der Pfeil stellt eine Realisierung des Vektors dar. Zwei gleich langeund gleich gerichtetete Pfeile stellen den gleichen Vektor dar.


Punkte und Vektoren II

Ein spezieller Vektor ist der Nullvektor#»0 . Er enstpricht der Nicht-

verschiebung des Raumes.

Der zu #»v gleich lange, aber entgegengesetzte Vektor wird mit − #»vbezeichnet. Es macht die durch #»v bewirkte Verschiebung wiederrückgängig.

Definition

Die Menge aller Vektoren des dreidimensionalen Raumes bezeich-nen wir mit R3. Die Menge aller Vektoren der Ebene bezeichnenwir mit R2.

Die Vektoren der Ebene R2 können als Vektoren des Raum R3

aufgefasst werden, indem die dritte Komponente auf 0 gesetztwird.


Ortsvektoren und geometrische Grundbegriffe

Definition

Die Pfeile# »

OP mit dem Koordinatenursprung O heißen Ortspfeileoder Ortsvektoren. Der durch

# »

OP dargestellte Vektor #»r hat alsKomponenten die Koordinaten von P .

P = (px , py , pz) ←→ #»r =# »

OP =

pxpypz

Definition

• Zwei Vektoren #»u und #»v heißen kollinear, wenn sie, jeweils imKoordinatenursprung O angetragen, auf einer Gerade liegen.

• Drei Vektoren #»u , #»v , #»w heißen komplanar, wenn sie, jeweils imKoordinatenursprung O angetragen, in einer Ebene liegen.


Summe, Differenz und Skalarmultiplikation

Definition

Seien #»u =

uxuyuz

, #»v =

vxvyvz

zwei Vektoren des R3 und λ ∈ R.

Dann definieren wir durch

#»u + #»v :=

ux + vxuy + vyuz + vz

, #»u − #»v :=

ux − vxuy − vyuz − vz

die Summe und die Differenz. Das skalare Vielfache ist durch

λ #»u :=

λuxλuyλuz

erklärt. Insbesondere gilt: (−1) #»u = − #»u .


Geometrische Interpretation

#»u

#»v

#»u

#»v#»u + #»v

#»u

#»v

#»u − #»v−1

2#»u

2 #»u


Rechenregeln für die Vektoraddition

Für alle #»u , #»v , #»w ∈ R3 und alle λ, µ ∈ R gelten1. ( #»u + #»v ) + #»w = #»u + ( #»v + #»w ) (Assoziativgesetz)

2. #»u + #»v = #»v + #»u (Kommutativgesetz)

3. Zu jedem Paar #»u , #»v ∈ R3 gibt es genau einen Vektor #»z ∈ R3

mit #»u + #»z = #»v . Dies ist #»z = #»v − #»u .

4. (λµ) #»u = λ(µ #»u ) (skalares Assoziativgesetz)

5. λ( #»u + #»v ) = λ #»u + λ #»v (Distributivgesetz)

6. (λ+ µ) #»u = λ #»u + µ #»u (Distributivgesetz)


Länge oder Betrag eines Vektors

x

y

z

vx

vy

vz

#»v

| #»v | :=√v2x + v2

y + v2z


Rechenregeln für Beträge von Vektoren

Für alle #»u , #»v ∈ R3 und alle λ ∈ R gelten:1. |λ #»u | = |λ| | #»u |

2. | #»u | = 0⇔ #»u =

000

3. | #»u + #»v | ≤ | #»u |+ | #»v | (Dreiecksungleichung)

#»u

#»v#»u + #»v


Koordinateneinheitsvektoren

Koordinateneinheitsvektoren im dreidimensionalen Raum R3

#»ex = #»e1=#»i =

100

, #»ey = #»e2=#»j =

010

, #»ez = #»e3=#»

k =

001

Darstellung von Vektoren

#»u =

uxuyuz

⇔ #»u = ux#»ex + uy

#»ey + uz#»ez

⇔ #»u = ux#»e1 + uy

#»e2 + uz#»e3

⇔ #»u = ux#»i + uy

#»j + uz

#»

k


Winkel zwischen Vektoren

Definition

Trägt man in einem Punkt P zwei vom Nullvektor verschiedeneVektoren #»u und #»v an, so nennt man den kleineren der beiden po-sitiv gemessenen Winkel, die die Pfeile #»u und #»v im Scheitel P bil-den, den Winkel zwischen #»u und #»v . Kurz schreiben wir ^( #»u , #»v ).

^( #»u , #»v ) ∈ [0, π]#»u

#»v

Definition

Zwei Vektoren #»u und #»v heißen orthogonal oder senkrecht, wenn^( #»u , #»v ) = π/2 gilt. Aus praktischen Überlegungen legen wir zu-sätzlich fest, dass der Nullvektor orthogonal zu jedem beliebigenVektor #»u ∈ R3 ist.G. Matthies Grundlagen Mathematik 15/53

Skalarprodukt

Definition

Seien #»u , #»v ∈ R3 Vektoren. Dann nennen wir

#»u · #»v := | #»u | | #»v | cos(^( #»u , #»v )

)Skalarprodukt (oder inneres Produkt) der Vektoren #»u und #»v .

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl (ein Skalar).

Folgerung

Für #»u , #»v ∈ R3 \ { #»0 } gelten

• #»u · #»v > 0, falls ϕ ∈ [0, π/2),• #»u · #»v = 0, falls ϕ = π/2,• #»u · #»v < 0, falls ϕ ∈ (π/2, π],

wobei ϕ = ^( #»u , #»v ) ist.


Rechenregeln für Skalarprodukte I

Folgerung

Die Vektoren #»u und #»v stehen genau dann senkrecht aufeinander,wenn #»u · #»v = 0 gilt.

Für #»u , #»v , #»w ∈ R3 und λ ∈ R gelten:1. #»u · #»v = #»v · #»u

2. ( #»u + #»v ) · #»w = #»u · #»w + #»v · #»w

3. λ( #»u · #»v ) = (λ #»u ) · #»v = #»u · (λ #»v )

4. #»u · #»u = | #»u |2


Rechenregeln für Skalarprodukte II

Bemerkung

• Im Allgemeinen gilt für Vektoren #»u , #»v , #»w ∈ R3

( #»u · #»v ) #»w 6= #»u ( #»v · #»w ).

• Es gilt

( #»a +#»

b ) · ( #»c +#»

d ) = #»a · #»c + #»a · #»

d +#»

b · #»c +#»

b · #»

d

für alle #»a ,#»

b , #»c ,#»

d ∈ R3

Bemerkung

In einigen Büchern wird statt #»u · #»v nur #»u #»v geschrieben, was aberungenau ist und zu Missverständnissen führen kann.


Geometrische Interpretation I

#»p

#»v#»u

ϕ#»u · #»v = | #»u | | #»v | cos(ϕ)

= | #»u | | #»p |

#»p

#»v#»u

π − ϕ#»u · #»v = | #»u | | #»v | cos(ϕ)

= −| #»u | | #»v | cos(π − ϕ)= −| #»u | | #»p |

Der Vektor #»p ist die orthogonale Projektion des Vektors #»v aufden Vektor #»u . Unter Beachtung der Orientierung (Vorzeichen!)lässt sich das Skalarprodukt #»u · #»v aus dem Produkt der Beträgevon #»u und #»p berechnen.


Geometrische Interpretation II

Bemerkung

Es gibt keine Umkehrung des Skalarprodukts, d. h., es ist nichtmöglich, aus der Kenntnis des Vektors #»u und des Skalarproduktes#»u · #»v auf einen eindeutigen Vektor #»v zu schließen.

#»p

#»v

#»w

#»u

#»u · #»v = | #»u | | #»p | = #»u · #»w


Berechung des Skalarprodukts

Geometrische Überlegungen liefern für die Koordinateneinheitsvektoren

#»ex · #»ex = #»ey · #»ey = #»ez · #»ez = 1

und#»ex · #»ey = #»ey · #»ez = #»ez · #»ex = 0.

Damit ergibt sich für

#»u =

uxuyuz

=ux#»ex +uy

#»ey +uz#»ez ,

#»v =

vxvyvz

=vx#»ex +vy

#»ey +vz#»ez

das Skalarprodukt

#»u · #»v = uxvx + uyvy + uzvz ,

was der Summe der Produkte der Komponenten entspricht.


Winkelberechnung

Durch Umstellen der Definitionsformel für das Skalarprodukt er-halten wir

cos^( #»u , #»v ) =#»u · #»v

| #»u | | #»v |,

falls #»u 6= #»0 und #»v 6= #»

0 gilt.

Bemerkung

Ist mindestens einer der beiden Vektoren #»u und #»v gleich demNullvektor

#»0 , dann kann kein Winkel definiert werden.


Richtungskosinus

Einen Vektor #»e ∈ R3 mit | #»e | = 1 nennen wir Einheitsvektor.

x

y

z

vx

vy

vz

α β

γ

#»v

cos(α) =#»ex · #»v

| #»v |=

vx| #»v |

cos(β) =#»ey · #»v

| #»v |=

vy| #»v |

cos(γ) =#»ez · #»v

| #»v |=

vz| #»v |

Ist #»v ein Einheitsvektor, dann giltcos(α) = vx , cos(β) = vy , cos(γ) = vz .


Einheitsvektoren

Definition

Einen Vektor #»e ∈ R3 mit | #»e | = 1 nennen wir Einheitsvektor.

Sei #»a ∈ R3 \ { #»0 } ein beliebiger vom Nullvektor verschiedener

Vektor. Dann ist#»e #»a :=

1| #»a |

#»a

der in Richtung #»a weisende Einheitsvektor.

Jeder Vektor #»a ∈ R3 \ { #»0 } lässt sich durch seine Länge | #»a | und

seine Richtung #»e #»a gemäß#»a = | #»a | #»e #»a

darstellen.

Dem Nullvektor#»0 kann keine Richtung zugeordnet werden.


Rechtssystem

Definition

Das Tripel ( #»a ,#»

b , #»p ) von Vektoren #»a ,#»

b , #»p ∈ R3 wird Rechts-system genannt, wenn sich die Vektoren #»a ,

#»

b und #»p in dieserReihenfolge dem Daumen, dem Zeigefinger und dem Mittelfingerder rechten Hand zu ordnen lassen, also der Rechte-Hand-Regelgenügen.

Bemerkung

Die Vektoren ( #»ex ,#»ey ,

#»ez) bilden ein Rechtssystem.

Die Vektoren ( #»ex ,#»ez ,

#»ey ) bilden kein Rechtssystem.


Vektorprodukt

Definition

Seien #»a ,#»

b ∈ R3 zwei vom Nullvektor#»0 verschiedene, nicht kol-

lineare Vektoren. Dann ist das Vektorprodukt (oder Kreuzproduktoder äußeres Produkt) #»a × #»

b der Vektor des R3, der1. zu #»a und

#»

b orthogonal ist,2. einen Betrag besitzt, der dem Flächeninhalt des von #»a und

#»

b aufgespanntem Parallelogramms enspricht,3. das Tripel ( #»a ,

#»

b , #»a × #»

b ) zum Rechtssystem macht.Ist #»a =

#»0 oder

#»

b =#»0 oder sind #»a und

#»

b Vielfache voneinander,dann wird #»a × #»

b =#»0 gesetzt.


Geometrische Interpretation

ϕ

h#»

b

#»a

F

Es gilt:F =

∣∣ #»a × #»

b∣∣ = ∣∣ #»a

∣∣ ∣∣ #»

b∣∣ sin(ϕ)


Rechenregeln für Vektorprodukte I

Für alle #»u , #»v , #»w ∈ R3 und alle λ ∈ R gelten:1. #»u × #»v = − #»v × #»u (Antikommutativität)

2. #»u × ( #»v + #»w ) = #»u × #»v + #»u × #»w (Distributivität)

3. λ( #»u × #»v ) = (λ #»u )× #»v = #»u × (λ #»v )

4. #»u × #»u =#»0 , #»u × #»

0 =#»0 ,

#»0 × #»u =

#»0

5. | #»u × #»v |2 = | #»u |2 | #»v |2 − ( #»u · #»v )2


Rechenregeln für Vektorprodukte II

Folgerung

Für Vektoren #»a ,#»

b , #»c ,#»

d ∈ R3 gelten• ( #»a +

#»

b )× #»c = #»a × #»c +#»

b × #»c

• ( #»a +#»

b )× ( #»c +#»

d ) = #»a × #»c + #»a × #»

d +#»

b × #»c +#»

b × #»

d

Bemerkung

Im Allgemeinen gilt

#»u × ( #»v × #»w ) 6= ( #»u × #»v )× #»w .


Berechnung des Vektorprodukts

Geometrische Überlegungen liefern für die Koordinateneinheitsvektoren

#»ex × #»ey = #»ez ,#»ey × #»ez = #»ex ,

#»ez × #»ex = #»ey ,#»ey × #»ex = − #»ez ,

#»ez × #»ey = − #»ex ,#»ex × #»ez = − #»ey

Unter Ausnutzung der Rechenregeln erhalten wir für

#»u =

uxuyuz

, #»v =

vxvyvz

die Darstellung

#»u × #»v =

uyvz − uzvyuzvx − uxvzuxvy − uyvx

.


Regel von Sarrus

#»u × #»v =

uyvz − uzvyuzvx − uxvzuxvy − uyvx

= (uyvz−uzvy ) #»ex + (uzvx−uxvz) #»ey + (uxvy−uyvx) #»ez

#»ex#»ey

#»ez#»ex

#»ey

ux uy uz ux uy

vx vy vz vx vy

Produkte entlang der roten Linien mit positvem Vorzeichen undProdukte entlang der blauen Linien mit negativem Vorzeichen ver-sehen und aufaddieren.


Spatprodukt

Definition

Für je drei Vektoren #»a ,#»

b , #»c ∈ R3 ist durch

[ #»a ,#»

b , #»c ] := ( #»a × #»

b ) · #»c

das Spatprodukt definiert.

F

#»a × #»

b

#»a

#»

b

#»ch


Eigenschaften des Spatprodukts

• Für die Koordinateneinheitsvektoren #»ex , #»ey und #»ez stellt derSpat einen Würfel mit Kantenlänge 1 dar. Es gilt

[ #»ex ,#»ey ,

#»ez ] = ( #»ex × #»ey ) · #»ez = #»ez · #»ez = 1.

• Da ( #»u × #»v ) zu #»u und #»v orthogonal ist, gilt

[ #»u , #»v , #»u ] = ( #»u× #»v )· #»u = 0, [ #»u , #»v , #»v ] = ( #»u× #»v )· #»v = 0.

• Für beliebige Vektoren #»u , #»v , #»w ∈ R3 gelten

[ #»u , #»v , #»w ]=[ #»v , #»w , #»u ]=[ #»w , #»u , #»v ] (zyklisches Vertauschen)

und[ #»u , #»v , #»w ] = −[ #»u , #»w , #»v ].

• VSpat =∣∣[ #»u , #»v , #»w ]

∣∣, VTetraeder =16

∣∣[ #»u , #»v , #»w ]∣∣


Geraden im Raum I

Gegeben seien ein Punkt P0 = (ax , ay , az) mit zugehörigem Orts-vektor #»r 0 =

# »

OP0 und ein Vektor

#»s =

sxsysz

.

Wir betrachten die Gerade durch P0 in Richtung #»s . Wenn P einbeliebiger Punkt auf der Gerade ist, dann gilt für den zugehörigenOrtsvektor #»r =

# »

OP , dass es einen reellen Parameter λ derart gibt,dass

#»r = #»r0 + λ #»s

gilt. Wir nennen #»r0 den Aufpunkt und #»s die Richtung der Geraden.Diese Geradendarstellung wird als Punkt-Richtungsform bezeich-net.


Geraden im Raum II

Gegeben seien zwei verschieden Punkte P0 und P1 einer Gera-den. Dann lässt sich die Richtung durch

# »

P0P1 festlegen. Für einenbeliebigen Punkt P mit zugehörigem Ortsvektor #»r gilt dann

#»r = #»r0 + λ# »

P0P1

mit dem reellen Parameter λ. Dies ist die Zwei-Punkte-Form derGeradengleichung.


Geradengleichung

#»r

P

#»s

O

#»r0

P0

g

g : #»r = #»r0 + λ #»s =# »

OP0 + λ# »

P0P1, λ ∈ R

Eine Veränderung des Aufpunktes bewirkt eine Parallelverschie-bung der Geraden. Ändert sich die Richtung, so wird die Geradegedreht, wobei P0 bzw. #»r0 fest bleibt.


Lot auf eine Gerade I

g

#»r0

P0#»s

O

P∗

#»r ∗

P1

#»r1


Lot auf eine Gerade II

Gegeben: Punkt P1, Gerade gGesucht: Fußpunkt P∗ des Lots von P1 auf gLösung:• P1 hat Ortsvektor #»r1 =

# »

OP1, P∗ den Ortsvektor #»r ∗

• #»r = #»r0 + λ #»s , λ ∈ R mit Richtungsvektor #»s und #»r0 =# »

OP0

• für kürzesten Abstand:# »

P∗P1 senkrecht zu #»s

=⇒ 0 = (# »

P∗P1) · #»s = ( #»r1 − #»r ∗) · #»s

• da P∗ in g : es gibt Parameter λ∗ mit

#»r ∗ =# »

OP∗ = #»r0 + λ∗ #»s

• Einsetzen: 0 = ( #»r 1−( #»r 0+λ∗ #»s ))· #»s = ( #»r1− #»r0)· #»s −λ∗ #»s · #»s

• Umstellen und #»s · #»s = | #»s |2 nutzen: λ∗ =( #»r1 − #»r0) · #»s

| #»s |2• #»r ∗ durch Einsetzen von λ∗ bestimmen


Abstand zu einer Geraden I

g

O

P0

#»r0#»r1

#»s

d

P1

#»r1 − #»r0


Abstand zu einer Geraden II

Darstellung der Fläche F des Parallelogramms• Betrag des Vektorprodukts

F =∣∣∣ # »

P0P1 × #»s∣∣∣

• Produkt aus der Höhe d und der Länge der Grundseite #»s

F = d | #»s |

Gleichsetzen liefert

d | #»s | =∣∣∣ # »

P0P1 × #»s∣∣∣ ,

was zu

d =

∣∣∣ # »

P0P1 × #»s∣∣∣

| #»s |=|( #»r1 − #»r0)× #»s |

| #»s |führtG. Matthies Grundlagen Mathematik 40/53

Lage von Geraden zueinander

Gegeben: Gerade g1 : #»r = #»r1 + λ #»s1, λ ∈ R,Gerade g2 : #»r = #»r2 + µ #»s2, µ ∈ R

Gesucht: gegenseitige Lage der beiden GeradenLösung:• #»s1 und #»s2 sind kollinear

* #»r1 ∈ g2 =⇒ g1 und g2 sind identisch* #»r1 6∈ g2 =⇒ g1 und g2 sind parallel, aber nicht identisch

• #»s1 und #»s2 sind nicht kollinear* Die Geraden g1 und g2 schneiden sich=⇒ Es gibt Parameter λ, µ ∈ R mit

#»r1 + λ #»s1 = #»r2 + µ #»s2

* Die Geraden g1 und g2 sind zueinander windschief


Abstand zweier Geraden


Gesucht: Abstand der beiden GeradenLösung:• #»s1 und #»s2 sind kollinear

* #»r1 ∈ g2=⇒ Abstand ist 0

* #»r1 6∈ g2=⇒ Abstand gleich Abstand eines beliebigen Punktesvon g2 zu g1


Abstand zweier Geraden


Gesucht: Abstand der beiden GeradenLösung:• #»s1 und #»s2 sind nicht kollinear

* Der kürzeste Abstand liegt dann vor, wenn wir #»u ∈ g1und #»v ∈ g2 derart gefunden haben, dass die Verbin-dungsstrecke #»u− #»v senkrecht auf den beiden Richtungs-vektoren #»s1 und #»s2 steht.

* Da #»c := #»s1 × #»s2 6=#»0 nach der Definition des Vektor-

produkts senkrecht auf #»s1 und #»s2 steht, muss #»u − #»v einVielfaches von c sein.

* Es muss also#»u − #»v = ( #»r1 + λ #»s1)− ( #»r2 + µ #»s2) = ν #»c

gelten (LGS für λ, µ und ν).


Abstand zweier windschiefer Geraden I

g1

g2#»s2

#»s1

#»s1

#»r1

#»r1 − #»r2

#»r2

O

d


Abstand zweier windschiefer Geraden II

Darstellung des Spatvolumenns V• Spatprodukt

V =∣∣[ #»s1,

#»s2,#»r1 − #»r2]

∣∣• Produkt aus der Höhe d und dem Inhalt F der Grundfläche

V = F d = | #»s1 × #»s2| d

Gleichsetzen und Umstellen liefert

d =

∣∣[ #»s1,#»s2,

#»r1 − #»r2]∣∣

| #»s1 × #»s2|

Mit dieser Methode kann der Abstand direkt bestimmt werden.Allerdings erfordert das Bestimmen der Punkte, die den kürzestenAbstand vermitteln, weitere Rechnungen.


Ebenen im Raum

Gegeben: Punkt P0 mit Ortsvektor #»r0 =# »

OP0,zwei nicht kollineare Vektoren #»a ,

#»

b ∈ R3

Gesucht: Ortsvektor #»r eines beliebigen Punktes P der Ebenedurch P0, die von #»a und

#»

b aufgespannt wirdLösung: E : #»r = #»r0 + λ #»a + µ

#»

b , λ, µ ∈ R

Gegeben: Punkte P1,P2,P3, die nicht auf einer Geraden liegenGesucht: Ebene E durch diese drei PunkteLösung: E : #»r = #»r1 + λ #»a + µ

#»

b , λ, µ ∈ Rmit #»a =

# »

P1P2,#»

b =# »

P1P3,#»r1 =

# »

OP1


Normalenvektor

Definition

Jeder Vektor #»n 6= #»0 , der senkrecht auf den beiden Richtungs-

vektoren #»a und#»

b der Ebene E steht, heißt Normalenvektor derEbene E . Ein Normalenvektor #»n mit | #»n | = 1 heißt Einheitsnor-malenvektor oder Normaleneinheitsvektor.

Bemerkung

Nach den Eigenschaften des Vektorprodukts ist #»a × #»

b ein Nor-malenvektor jeder Ebene E , die durch #»a und

#»

b aufgespannt wird.Es lässt sich zeigen, dass jeder Normalenvektor von E ein Vielfa-ches von #»a × #»

b ist.


Hessesche Normalform I

%

E

#»r

ϕ

#»n


Hessesche Normalform II

Gegeben: Ebene E : #»r = #»r0 + λ #»s1 + µ #»s2, λ, µ ∈ R mit Nor-maleneinheitsvektor #»n

Nach der Definition des Normalenvektors gilt

#»r · #»n = ( #»r0 + λ #»s1 + µ #»s2) · #»n

= #»r0 · #»n + λ #»s1 · #»n︸︷︷︸= 0

+µ #»s2 · #»n︸︷︷︸= 0

= #»r0 · #»n

Der Normaleneinheitsvektor n sei so gewählt, dass es vom Ur-sprung zur Ebene zeigt. Dann gilt für #»r ∈ E :

% = #»r · #»n = | #»r | | #»n | cos(ϕ) = | #»r | cos(ϕ) ≥ 0


Hessesche Normalform III

Hessesche Normalform der Ebene E :

#»n · #»r = % bzw. nxx + nyy + nzz = %

mit

#»n =

nxnynz

, #»r =

xyz


Allgemeine Koordinatenform einer Ebene

Gegeben seien a, b, c , d ∈ R mitabc

6= #»0

Dann heißtax + by + cz = d ,

allgemeine Koordinatendarstellung einer Ebene. Der Vektorabc

ist Normalenvektor von E , hat aber nicht notwendig mit Länge 1.


Lot auf eine Ebene

Ebene E : #»r = #»r0 + λ #»a + µ#»

b , λ, µ ∈ R, #»c := #»a × #»

b

E

O

P1

#»r ∗

#»r1

#»r1 − #»r ∗

P∗

Löse LGS #»r1 − ( #»r0 + λ∗ #»a + µ∗#»

b ) = ν #»c für λ∗, µ∗, ν ∈ RAbstand: d = |ν #»c |G. Matthies Grundlagen Mathematik 51/53

Abstand zu einer Ebene

Ebene in Hessescher Normalform #»n · #»r = %, % = #»n · #»r0

#»r1

#»r0

d

#»n

E

O

#»r1 − #»r0

P1 = (px , py , pz)

d =∣∣ #»n · ( #»r1 − #»r0)

∣∣ = | #»n · #»r1 − %| = |nxpx + nypy + nzpz − %|


Schnittgerade zweier Ebenen

Gegeben: zwei Ebenen in Hessescher Normalform

E1 : #»n1 · #»r = %1, E2 : #»n2 · #»r = %2

Sind die Normaleneinheitsvektoren #»n1 und #»n2 nicht kollinear, dannschneiden sich die beiden Ebenen E1 und E2 in einer Geraden g .

Der Richtungsvektor #»s von g muss in E1 und E2 liegen. Damitmuss er senkrecht auf beiden Vektoren #»n1 und #»n2 stehen. Somitlässt sich #»s = #»n1 × #»n2 wählen.

Zur Bestimmung eines Aufpunktes wird eine beliebige Lösung (x , y , z)des linearen Gleichungssystems

n1xx + n1yy + n1zz = %1, n2xx + n2yy + n2zz = %2,

ermittelt.


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Grundlagen Mathematik - 1. Vektorrechnung und Geometriematthies/Material/WiSe15/Kapitel1.pdf · Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische