faBt und ist ,,gedacht fur Studenten, die schon exakte Be- weise fiihren und mit den mengentheoretischen Operationen umgehen konnen, die also etwa ein bis zwei Semester Mathe- mat.ik studiert hitben". In ubersichtlicher Darstellung und pragnanter Sprache werden neben dem Standardmaterial der mengent,heoretischen Topologie auch weiterreichende Themen - wie z. B. das Zusammenkleben topologischer Raume und die fur die Integrationstheorie wichtigeri polni- schen Raume - behandelt.

Die geschickt ausgewahlten Beispiele und Gegenbeispiele tragen gut zur Vertiefung des Verstandnisses von Begriffen und Aussagen bei. Leichtere Beweise bzw. Beweisschrittc werden dem Leser als Ubungsaufgaben empfohlen, wodurch die lilarheit der Gedankenfiihrung noch erhoht und zugleich der Studierende angehalten wird, standig aktiv mitzuarbei- ten. Jedem Kapitel ist aufierdem eine Reihe von Aufgaben angefiigt, die dem Leser Gelegenheit geben, den zuvor be- handelten Stoff anzuwendcn und weitere Sachverhalte ken- nenzulernen.

Das Buch enthalt die folgenden Kapitel : Bezeichnungen und mengentheoretische Grundlagen; Mctrische Riiumc; Topologische Raume und stetige Abbildungen; Erzeugung topologischer Raiume ; Zusammenhangende RLume ; Filter und Konvergenz ; Trennungseigenschaften; Normale Raume; Kompakte Rtiume; Satz von STONE-WEIERSTRASS; Parakom- pakte Riiume und Metrisationssltze ; Uniforme RLume ; Ver- vollstandigung und Kompaktifizierung ; Vollstandige, POL- nische und BaIREsche Riiume ; Funktionenriiume; Ringe reellwertiger Funktionen.

ErwLhnung verdienen auch mehrere nutzliche Studien- hilfen. So findet man z. B. eine Zusammenstellung derje- nigen Abschnitte, die zum Verstandnis bestimmter Themen- kreise (z. B. Metrisationssatz von BING-NAGATA-SMIRNOV, STONE-CECH-Kompaktifizierung) benotigt werden, eine gra- phische Darstellung der logischen Beziehungen zwischen wichtigen topologischen Eigenschaften und ein Verzeichnis der verwendeten Symbole.

Zusammcnfassend kann man einschgtzen, daB gewid nieht nur der ,,topologische Baum" (eine amusante Illustration topologischer Sachverhalte) den Leser erfreuen wird.

Dresden - W. SCHIROTZEK

J. Adam, J.-H. Soharf 11. H. Enke, Methoden d e r s t a t i s t i s che r i Rna lyse i n Medizin u n d Biologie. V I I + 240 S. ni. 27 Abb. Berlin 1971. Verlag Volk ttnd Gesundheit. Preis brosch. 39,- M.

Das vorliegende Buch setzt sich aus einzelnen, von ver- schiedencr Feder stammenden Abschnitten zusammen: 1. (H. ENKE): Liisung linearer Gleichungssysteme; 2. (J. ADAM) : Varianzanalyse; 3. (H. ENICE) : mehrfache lineare Regression; 4. (J. ADAM und H. ENKE): Faktorenanalyse; 5. (J. H. SCHARF) : ,,nichtlineare Regressionsrechnung". Es beabsichtigt, den mit den einfacheren klassischen Verfahren bereits vertrauten Nichtstatistiker mit weiterfuhrenden, rechnerisch anspruchsvollen statistischen Methoden bekannt zu machen, die fur die biologische und medizinische For- schung heute unentbehrlich sind. Unter radikalem Verzicht auf mathematische Eleganz (keine Matrizen!), Transparenz und Ubersichtlichkeit sowie ausfiihrliche wahrscheinlich- keitstheoretische Begrundung (besonders in Kapitel 5 ) wer- den Rechenschemata aufgestellt und Zahlenbeispiele ohne Beschonigung ausfiihrlich vorgerechnet unter Angabe aller erforderlichen Zwischenergebnisse (auch bei Benutzung von Computern), so daB der Leser Arbeitsaulauf und Rechen- technik der betreffenden Verfahren durch praktischen Ein- iibung erlernen und nachvollziehen kann.

In Riicksicht auf die Schatzmethoden der mehrvariablen Statistik ist Abschnitt 1 dem grundlegenden Problem der Lo- sung linearer Gleichungssysteme gewidmet : direkte Losung mit der nach BANACIIIEWICZ modifizierten Gaussschen Eli- minationsmethode und Losung mittels GAussscher Multipli- katoren. Kapitel 2 behandelt die unbalancierte zweifache Varianzanalyse : bei kreuzweiser bzw. hierarchischer Struktur und Zugrundelegung von Mode11 I (Fixwert-) bzw. I1 (Zu- fallskomponenten). In Kapitel 3 sind fur den Praktiker wohl die ,,Bemerkungen zur Elimination von Variablen mit nicht signifikanten Regressionskoeffizienten" besondrrs wich- tig. Kapitel 4 erklart Faktorenextraktion, Schitzung dcr

Ladungen rnittels Schwerpunktniathode und Rotation; durchgerechnet wird ein Beispiel mit 11 an 243 Sportlern gemessenen Kbrpermassen, aus welchen 2 Faktoren cxtra- hiert werden (2 Iterationssehritte). Das letzte Kapitel ent- halt hingegen vorwiegend analytische Oberlegungen zur Aus- gleichung cnipirischer Kurven mittels geeigneter transzcn- denter Funktionen: Siimnien von Winkel-, Arcus-, Hypcrbel- oder Exponentialfunktionen. Zur Linearisierung des nach dem Prinzip der kleinsten Quadrate sich ergebenden Normal- gleichungssysteius werden stvrende Konstanten vorweg gc- schatzt (speziell bei Exponentialansiitzen aufgrund aus dem Ansatz folgender Differentialgleichungcn) bzw. TAYLOR- ISntwicklungen benutzt (Gauss-NEmToN-Iteration).

Abgesehen von melireren (unvermeidlichen und daher ver- zeihlichen) Druckfehlern, enthalt die Darstellung einige sachlich falsche Formulierungen, die den aufmerksamen Le- ser irrefiihren konnten (u. a. Seite 75, Zeile 12; Seite 97, Zeile 18). Im ganzen diirfte das Buch seinen Zweck erfiillen und den angesprochenen Lesern von grol3em Nutzen sein.

Tiibingen-Lustnau M. P. GEPPERT

S. N. Tsohernikow, Linea ro Ungluichungon. 263 S. Berlin 197 1 . VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften. Preis gnb. 39,SO M.

Systeme von linearen Ungleichungen wurden schon vor iiber hundert Jahren studiert, irn Zusammenhang mit Problemen der analytischen Mechanik. Ein entscheidender Beitrag kam durch eine Arbeit von H. WEYL (1936), in wel- cher eine elementare Theorie der endlichen Systeme linearer Ungleichungen skizziert und insbesondere ein Hauptsatz iiber die konvcxe Hulle endlicher Punktmengen bewiesen wird.

Der erste Teil des vorliegenden Buches enthalt eine aus- fiihrliche Darstellung dieser klassischen Theorie. Dazu ge- hohrt das sogenannte ,,Grenzlosungsprinzip", nach welchem ein Ungleichungssystein vom Rang rein aus r Ungleichungen bestehendes Teilsystem vom selben Rang besitzt, sodaB jede Losung, welche das Teilsystem als Gleichungssystem befrie- digt, auch Losung des ursprunglichen Systems ist. Ferner der ganze Fragenkreis der Dualitit, welche auch schon bei WEYL vorkommt.

Der Rest des Buches behandelt die Konstruktion der allge- meinen Losung linearer Ungleichungssysteme, strenge Un- gleichungssysteme (d. h Ungleichungen mit ,,<" statt ,,s"), das Problem der Elimination von Variabeln. Schliedlich werden die Resultate der Theorie der linearen Optimierung auf beliebige lineare Raume iiber einem geordneten Kiirper ausgedehnt; und dns letzte Kapitel befaBt sich mit speziellen unendlichen Systemen, bei denen die Theorie der endlichen Ungleichungssysteme wenigstens teilweise noch giiltig ist.

Der recht theoretische Standpunkt des Verfassers vcrinag nicht zii verhindern, daB man sich in der vorliegenden Bear- beitung des Textes gut zurechtfindet. An Vorkenntnisscn geniigen die Elemente der linearen Algebra.

Zdrich PETER LAUWLI

H. Stumpf. Eingrenzungsvc r fah ren i n d e r .El&- s t o m e c h a n i k . (FB Nr. 2116). 105 S. m. zahlr. Abb. u. Tab. Koln/Opladen 1970. Wcstdeutscher Verlag. Preis brosch. DM 82, - .

Der Titel uberrascht den Leser: man denkt an die Ein- grenzungen der Losungen von Gleichungen mit monotonen Opcratoren in halhgeordneten Raumen (vgl. L. COLLATZ, Funktionalanalysis und nunierische Mathematik), weid aber, daB den Operatoren dor Elastomechanik diese Monotonie- eigenschaft im allgemeinen fehlt. Diese sind lediglich im Sinne von F. E. BROWDSR monoton, woraus sich die Moglich- keit der Eingrenzung von Skalarprodukten ergibt. Der Autor nutzt diese Eigenschaft und kommt dabei mit Hilfe Greenscher Funktionen sogar zu punktweisen Eingrenzun- gen.

Das Vorgehen des Autors ist von der Elastomechanik her gesehen sicher sinnvoll, die am Beispiel belasteter Platten ausfiihrlich vorgetragene Technik der Eingrenzung durch ,,Grccnsclin Vergleiehs~ustiindeCL <.in praktisch gnngharrr Weg fur den Ingenieur, neiugstens s m cit LGsullgen L 0 1 1

Buchbesprechungen 453

I~andwertproblenicn eingegrenzt werden. Bei Eigenwert- problemen sieht der Autor in der Kombination mit Projek- tionsverfahren eine Moglichkeit, zu genaueren Abschiitzun - gen zu kommen. (Warum nicht auch bei Randwertproble- men ?) Die funktionalanalytische Motivierung, die allen Verfahren vorangestellt wird, ist unzuliinglich, die diesbe- zuglichen Ausfuhrungen enthalten zahlreiche Ungenauig- keiten, sind im Abschnitt iiber lineare Operatoren im Hilbert- raum teilweise sogar falsch.

Da zur Eingrenzung neben den Feldgleichungen und Raiidbedingungen lediglich einige Orthogonalitatsbeziehun- gen und die CAUCHY-SCHWAxZ'SChe Ungleichung verwendet werden, bleiben diese Fehler ohne nachteilige Wirkung auf das eigentliche Anliegen der Broschure.

Berlin A. LANCENBACR

M'ilkinson, J. H. and C. Reinsch, L i n e a r Algebra. (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 186). X + 439 S. m. 4 Fig. Vol. 11. Berlin/Heidelberg/New York 1971. Springer-Verlag. Preis geb. DM 72,-.

Das als Band I1 im ,,Handbook for Automatic Computa- tion" erschienene Buch ist eine Sammlung von ALGOL-Pro- zeduren zur Behandlung von Aufgaben der linearen Algebra, die zum groBten Teil bereits in den Jahren von 1965 bis 1970 in der Zeitschrift ,,Nuwerische Mathematik" vorveroffent- licht worden sind.

Der erste Teil des Buches ist dem Problemkreis lineare Systeme, Quadratmittellosung iiberbestimmter hearer Sy- steme und lineare Optimierung gewidmet. Er enthiilt Proze- duren zur Dreieckszerlegung von allgemeinen und symme- trisch-definiten Matrizen und zur Losung der entsprechenden Gleichungen einschlieljlich Nachiteration sowohl fur voll- besetzte als iuch Bandmatrizen, spezielle Prozeduren zur Inversion von Matrizen, Prozeduren zur Behandlung uber- bestimmter Gleichungssysteme auf der Grundlage von ortho- gonalen Transformationen oder gewichteten Zeilenkombina- tionen einschlieBlich von solchen zur Bestimmung der ,,sin- gular value decomposition" einer beliebigen Matrix. Den AbschluB bildet eine Realisierung des Simplexalgorithmus auf der Grundlage von Dreieckszerlegungen, die als ein Schritt vorwarts im Sinne der Durchdringung der Optimie- rung mit Ideen der Numerischen Mathematik angesehen werden kann.

Der zweite Teil ist dem algebraischen Eigenwertproblem gewidmet. Zur Behandlung des Eigenwertproblems bei sym- metrischen Matrizen sind einerseits Prozeduren fur das Jacobi-Verfahren und eine simultane Iteration mehrerer Eigenwerte enthalten, zum anderen ein Satz von Prozeduren, welche die Matrix zunachst auf Tridiagonalform transformie- ren und dann darauf die Methode der Bisektion oder den QR-Algorithmus anwenden; die Eigenvektoren konnen dann durch inverse Iteration bestimmt werden. Zur Behandlung des nichtsymmetrischen Eigenwertproblems sind zwei Typen von Algorithmen vorgesehen, namlich solche auf der Grund- lage eines Jacobi-iihnlichen Verfahrens und ein Satz von Prozeduren, durch die die Matrix auf Hessenbergform trans- formiert wird und diese dann mittels des QR- oder LR-Ver- fahrens weiter bearbeitet wird.

AuBerdem sind Prozeduren aufgenommen worden, die das allgemeine symmetrische Eigenwertproblem Ax = ABx auf Standardform reduzieren und damit die Anwendung der oben erwahnten Algorithmen ermoglichen, und schlieBlich ist eine Vorbehandlung der Matrix im Sinne eines ,,Ausbalancieren" moglich, wodurch die Genauigkeit der Ergebnisse i. a. erhoht werden kann.

Jedem der beiden Teile ist eine kurze Einleitung vorange- stellt., in der die aufgenommenen Prozeduren kurz erliiutert und hinsichtlich ihrer Eigenschaften verglichen werden. Dadurch wird dem Nutzer, der kein Fachmann auf dem Ge- biet der numerischen linearen Algebra ist, die Auswahl eines fur sein Problem geeigneten Algorithmus erleichtert.

Das Besondere der vorliegenden Algorithmensammlung besteht darin, da13 die Auswahl und Implementierung der aufgenommenen Verfahren von fuhrenden Spezialisten der jeweiligen Gebiete vorgenommen worden ist und dabei die neuesten Erkenntnisse insbesondere der ,,error analysis" berucksichtigt worden sind. Sie kann in diesem Sinne als praktische Realisierung derjenigen Prinzipien angesehen

werden, die durch den Begrunder dieser Richtung, Mither- ausgeber und Go-Autor der meisten aufgenommenen Bei- triige, J. H. Wilkinson, in seinen beiden Biichern ,,Rounding Errors in Algebraic Processes" und ,,The Algebraic Eigen- value Problem" dargelegt worden sind. Durch die Einbe- ziehung des Computers mit seiner endlichen Zahlenlange in die Theorie wares moglich, zu neuen Einsichten zu kommen, die gegenuber den vorherigen Denkgewohnheiten durchaus als revolntionierend bezeichnet werden konnen. Dem Leser wird beim Studium des Buches die bekannte Tatsache wieder klar, dalj zur sachgemlBen Implementation eines Algorith- mus mehr gehort als die Kenntnis der Verfahrensvorschrift und eine Analyse der Eigenschaften im idealisierten Bereich der reellen Zahlen. Solche praktisch wichtigen Probleme wie z. B. Vermeidung von Ober- und Unterlauf, geeignete Reak- tion auf kritische Stellen im Algorithmus, vernunftige Ab- bruchkriterien, effektive Programmierung im Hinblick auf Rechenzeit und Speicherplatz erfordern tiefere Einsichten in die unterliegenden Algorithmen, die nur bei intensiver auch praktischer Beschaftigung mit dem Problemkreis und mittels solcher Theorien wie der ,,error analysis" gewonnen werden konnen und die leider heutzutage nur bei einem vie1 zu klei- nen Kreis von Mathematikern in der Praxis, aber auch an den Universitiiten und Hochschulen vorhanden sind. Das vorliegende Buch muB daher nicht nur Mitarbeitern von Rechenzentren empfohlen werden, die hier aus erster Hand ohne zusiitzliche und oft muhselige Arbeit vorbildliche Pro- gramme erhalten konnen, sondern sei insbesondere auch Studierenden und Lehrenden an den Lehranstalten zum Studium ans Herz gelegt als Musterbeispiel dafur, wie zuver- lassige und hohen Anspriichen genugende Software fur tech- nisch-wissenschaftliche Zwecke geschaffen wird.

Dresden H. SCHWETLICK

F. Chmelka, Einf i ihrung i n d ie Fes t igke i t s lehre . 5. verb. u. erg. Aufl. VIII + 369 S. m. 240 Abb. Wien/ New York 1972. Springer-Verlag. Preis geb. DM 54, -.

Das erstmalig 1946 erschienene Buch liegt nunmehr in der funften Auflage vor. Diese Einfuhrung in die Festigkeitslehre fur Studierende des Bauwesens vermittelt in leicht faRlicher und theoretisch sauberer Darstellung die Grundlagen der technischen Festigkeitslehre.

Ein besonderer Vorzug fur die praktische Anwendung des Stoffes liegt darin, daB die neuesten Normen und Vorschrif- ten beriicksichtigt werden. Hierbei bezieht sich das Buch sowohl auf die ()NORM als auch auf die DINORM. Da sich seit der vierten Auflage einige grundlegende Normen wesent- lich verandert haben, muBten mehrere Kapitel vollig uber- arbeitet werden. Besondere Erwahnung verdienen die Ab- schnitte iiber Bruch- und FlieBhypothesen, Zeit- und Dauer- festigkeit, SchweiBverbindungen und Wiirmespannungen sowie die 87 auf die Praxis zugeschnittenen, gut ausgewiihlten und vollstiindig durchgerechneten ubungsbeispiele unter- schiedlichen Schwierigkeitsgrades. Das hervorragend ausge- stattete Lehrbuch ist auch fur das Selbststudium bestens geeignet.

K. ESCHKE Dresden

Annual Review of Flu id Mechanics. Volume 6, VIII + 371 S. m. 31 Fig. Palo Alto, Calif. USA. Annual Review, Inc. Preis geb. $ 12.00.

Zum 6. Ma1 erscheint der Jahresbericht einer Buchserie iiber Fortschritte in der Stromungsmechanik, die sich durch die vorangegangenen Biinde so gut eingefuhrt hat, daB der Fachmann schon mit freudiger Erwartung zur neuen Aus- gabe greift. I n der unubersehbaren Flut von Zeitschriften und Buchveroffentlichungen ist diese Jahrbuchreihe einem sicheren Archipel vergleichbar geworden, wo Wesentlichw an neuen Gedanken. Erkenntnissen und Fortschritten zusam- mengetragen ist.

Den einfuhrenden Artikel im Sinne einer Verbindung zwischen physikalischer Erkenntnis und ,,Naturphdosophie" (so nannte 0. REYNOLDS das ausdeutende Reflektieren uber naturwissenschaftliche Erkenntnisse) hat in diesem Band G. I. TAYLOR verfaat. TAYJXR schreibt iiber Wechselwir- kungen zwischen Experiment und Theorie in der Fliissig-