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Kreuztabellenanalyse -Zusammenhangsmaße

14. Dezember 2007

Anja Hall,Bundesinstitut für Berufsbildung,

AB 2.2: „Qualifikation, berufliche Integration und Erwerbstätigkeit“

Lehrveranstaltung „Empirische Forschung und Politik beratung“der Universität Bonn, WS 2007/2008

®Anja Hall, AB 2.2

Empirische Forschung und PolitikberatungEinleitung

Bisher:

• Statistische Kennwerte und Mittelwertvergleiche

• Grundlegendes zu Kreuztabellen

Heute:

• Zusammenhangsmaße (Wiederholung Statistik)

• Zusammenhangsmaße (Beispiele mit SPSS)

Nächste Woche

• Kausalität, Scheinkorrelation

• Drittvariablenkontrolle

®Anja Hall, AB 2.2

Variablentypen und Skalenniveau

Variablentypen

Dichotome Variable: Merkmal, bei dem nur zwei Ausprägungen möglich sind z.B. Geschlecht. Wird eine Variable, die aus mehreren Ausprägungen besteht, zu zwei Kategorien zusammengefasst (z.B.: Einkommen unter 2000 Euro – Einkommen von 2000 oder mehr Euro), so spricht man von einer dichotomisierten Variablen.

Polytome Variable: Eine Variable mit mehr als zwei Ausprägungen.

Dummy-Variable: Eine D. ist eine binäre Variable mit den Ausprägungen 0 und 1

Skalenniveau

Bei einer Nominalskala bedeuten unterschiedliche Zahlen nichts anderes als unterschiedliche Merkmalsausprägungen.

Bei einer Ordinalskala drücken die Zahlen eine Rangfolge aus, aber sie sagen nichts über die Relationen der der Rangfolge zugrundeliegenden Eigenschaften.

Bei einer Intervallskala geben die Zahlen Informationen über die Abstände zwischen den gemessenen Ausprägungen, aber es gibt keinen »echten« Nullpunkt.

Bei einer Ratioskala ist außerdem ein sinnvoll interpretierbarer Nullpunkt vorhanden

®Anja Hall, AB 2.2

Assoziationsmaße in Abhängigkeit vom Messniveau der Variablen

Messniveau Zusammenhangsmaße· Prozentsatzdifferenz (d%)Maßzahlen auf der Basis von Chi-Quadrat:· Phi-Koeffizient· Cramer's V· Kontingenzkoeffizient CMaßzahl auf Basis der proportionalen Fehlerreduktion (PRE):· LambdaKreuzproduktverhältnis - Odds Ratio

metrisch/ nominal Maßzahl auf Basis der proportionalen Fehlerreduktion (PRE):

· Eta-QuadratMaße des statistischen Paarvergleichs· Tau A, B, C; Sommer's D, Gamma· Spearmans Korrelationskoeffizient, Spearmans Rho

Korrelationsanalyse· Pearson's Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient r

nominal/nominal

ordinal/ ordinal

metrisch/metrisch

1.

2.

3.

4.

®Anja Hall, AB 2.2

1. Nominal/ Nominal

1a. Maßzahlen auf der Basis von Chi-Quadrat

1b. Maßzahl der proportionalen Fehlerreduktion (PRE )

1c. Kreuzproduktverhältnis - Odds Ratio

®Anja Hall, AB 2.2

1a. Chi-Quadrat-basierte Zusammenhangsmaße

Da von der Dimension der Tabelle abhängig ist, müssen die Werte für ein Zusammenhangsmaß normiert werden. Phi, Cramers-V und der Kontingenzkoeffizient K sind derartige Normierungen.

[ )χ 2 0∈ ∞,

Phi : Maßzahl für die Stärke des Zusammenhangs zwischen zwei nominalskalierten Variablen bei einer 2x2-Tabelle

Phi und Cramers V nehmen Werte zwischen 0 (kein Zusammenhang) und 1 (perfekter Zusammenhang) an. Die Richtung des Zusammenhangs wird aus der Tabelle ersichtlich.

Cramers V : Maßzahl für die Stärke des Zusammenhangs zwischen zwei nominalskalierten Variablen wenn (mindestens) eine der beiden Variablen mehr als zwei Ausprägungen hat

min[r,c] heißt: der kleinere der beiden Werte "Zahl der Zeilen" und "Zahl der Spalten"

Für 2x2-Tabellen sind Phi und Cramer´s V identisch, da immer min(r-1,c-1)=1

®Anja Hall, AB 2.2

1a. Chi-Quadrat-basierte Zusammenhangsmaße

Kontingenzkoeffizient: Maßzahl für die Stärke des Zusammenhangs zwischen zwei nominalskalierten Variablen wenn (mindestens) eine der beiden Variablen mehr als zwei Ausprägungen hat.

mit dem Wertebereich wobei M= min {k,m}KM

M∈ −

0

1,

Besteht keinerlei Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen, hat C den Betrag von 0. Problematisch ist, dass das Maximum von C von der Zahl der Ausprägungen der Variablen (also der Spalten und Zeilen der Tabelle) abhängt; C (max) ist i.d.R. kleiner als 1.

Der korrigierte Kontingenzkoeffizient ergibt sich durch: K KM

M* = −1 mit K*∈[0,1]

K=

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1b. Das Prinzip der proportionalen Fehlerreduktion: PRE - Maße

PREE E

E= −1 2

1PRE drückt aus, in welchem Ausmaß die (zusätzliche) Information über die X-Variable hilft, die Vorhersage der Variablen Y zu verbessern

1.Regel: Berechnung des Vorhersagefehlers E1:Wie gut" ist die Vorhersage der AV (=Y) ohne Berücksichtigung der Information über die UV (=X).

2.Regel: Berechnung des Vorhersagefehlers E2:Wie "gut" ist die Vorhersage der AV (=Y) mit Berücksichtigung der Information über die UV (=X).

Die Vorhersageregel hängt vom Messniveau der Variablen ab:Lambda (nominal/ nominal): Modalwert

Eta2 (nominal/ metrisch): Mittelwert

PRE-Maße sind Zusammenhangsmaße, die ausdrücken, wie gut durch die Kenntnis einer Variablen die Ausprägungen einer weiteren Variablen vorhergesagt werden kann. Die relative Verbesserung der Vorhersage (bzw. die Verringerung der Fehlerquote = Proportional Reduction of Error) wird im PRE-Maß ausgedrückt.

Für ein PRE-Maß benötigt man 2 Vorhersageregeln: Eine für den Fall, dass man keine Kenntnis über den Zusammenhang zwischen X (=UV) und Y (=AV) hat, und eine für den Fall, dass man über entsprechende Kenntnisse verfügt.

®Anja Hall, AB 2.2

Lambda (1)

( )λr

i j ijj

m

i

E E

E

n h h h

n h= − =

− − −

−

+ +=

+

∑1 2

1

1

max( ) [ max( )]

max( )

wobei, n = Gesamtzahl der Untersuchungseinheiten

max hi+ = Anzahl der Untersuchungseinheiten in der Modalkategorie der Zeilen-Randsummeh+j = Anzahl der Untersuchungseinheiten in der Randsumme der Spalten

max hij = Anzahl der Untersuchungseinheiten in der j-ten Spalte - Modalhäufigkeit

1. Regel für die Zuordnung ohne Benutzung der Information über die UVOrdne die Fälle jener Zeile der Tabelle zu, die insgesamt die höchste Besetzung aufweist.

2. Regel für die Zuordnung mit Benutzung der Information über die UVOrdne innerhalb jeder Spalte die Fälle jener Zelle zu, die die höchste Besetzung aufweist.

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Lambda (2)

Schuhgröße in Abhängigkeit vom Geschlecht

Frauen Männer ALLE Unter 39 60 30 90

39 und größer 40 70 110

N 100 100 200

Lambda wird jetzt folgendermaßen berechnet: Ohne Kenntnis des Geschlechts macht man die wenigsten Fehler, wenn man alle Fälle in die Kategorie "39 und größer" einstuft. Weiß man aber, welche Person männlich und welche weiblich ist, kann man die Vorhersage verbessern: Man stuft alle Frauen in der Größe "Unter 39" ein, alle Männer in der Größe "39 und größer". Damit macht man 60 + 70 = 130 richtige Vorhersagen, also nur noch 70 falsche Vorhersagen.

Der Wert von Lambda beträgt im Beispiel = (90-70)/90 = 20/90 = 0,22 oder 22%.

Wann nimmt Lambda den Wert 0 an und wann den Wert 1?

Lambda ist ein Maß für den Zusammenhang zwischen einer nominalen (unabhängigen) und einer nominalen (abhängigen) Variablen.

®Anja Hall, AB 2.2

Übung

1a: Chi-Quadrat-basierte Zusammenhangsmaße

1b: PRE-Maß Lambda

Übung:Erstellen Sie eine Kreuztabelle mit den Variablen Geschlecht undErwerbsbeteiligung (Ef504) . Bilden Sie hierzu eine Dummy-Variable „Erwerbstätig“ (Ja vs. Nein).

Beschränken Sie die Analyse auf Personen im Alter von 15-65 Jahren.

Berechnen Sie die Prozentsatzdifferenz zwischen Män ner und Frauen sowie ein geeignetes Zusammenhangs- und PRE-Maß. Interpretieren Sie die Ergebnisse.

®Anja Hall, AB 2.2

Richtungsmaße

,068 ,005 13,790 ,000

,000 ,000 .c .c

,117 ,008 13,790 ,000

,017 ,002 ,000d

,017 ,002 ,000d

Symmetrisch

et abhängig

ef32 abhängig

et abhängig

ef32 abhängig

Lambda

Goodman-und-Kruskal-Tau

Nominal- bzgl.Nominalmaß

Wert

Asymptotischer

Standardfehlera

Näherungsweises Tb

Näherungsweise

Signifikanz

Die Null-Hyphothese wird nicht angenommen.a.

Unter Annahme der Null-Hyphothese wird der asymptotische Standardfehler verwendet.b.

Kann nicht berechnet werden, weil der asymptotische Standardfehler gleich Null ist.c.

Basierend auf Chi-Quadrat-Näherungd.

Übung - Lösung

comp et=0.if ef504=1 et=1.

temp.sel if ef30 ge 15 and ef30 le 65.cro et by ef32 /cells=col /sta=phi lambda.

d%=70,5 - 58,1=12,4Der Anteil erwerbstätiger Männer ist um 12%-Punkte höher als der Anteil erwerbstätiger F.

Symmetrische Maße

-,130 ,000

,130 ,000

20015

Phi

Cramer-V

Nominal- bzgl.Nominalmaß

Anzahl der gültigen Fälle

Wert

Näherungsweise

Signifikanz

Die Null-Hyphothese wird nicht angenommen.a.

Unter Annahme der Null-Hyphothese wird der asymptotischeStandardfehler verwendet.

b.

Phi=0,13

Es besteht ein schwacher Zusammenhang zwischen Geschlecht und Erwerbstätigkeit

Lambda=0

Keine Vorhersageverbesserung mit Geschlecht

et Erwerbstätigkeit * ef32 Kreuztabelle

% von ef32

29,5% 41,9% 35,6%

70,5% 58,1% 64,4%

100,0% 100,0% 100,0%

,00 Nein

1,00 Ja

et Erwerbstätigkeit

Gesamt

1 Männer 2 Frauen

ef32

Gesamt

®Anja Hall, AB 2.2

1c. Kreuzproduktverhältnis - Odds, Odds Ratio

Die Odds und Odds Ratio sind eine Möglichkeit, Anteilswerte in Kreuztabellen auszudrücken und zu vergleichen. Man kann "Odds" mit "Chancen" und "Odds Ratio" mit "relative Chancen" übersetzen

Frauen Männer Kein Übergewicht 60 30

Übergewicht 40 70

Die "Chance", dass eine Frau kein Übergewicht hat, beträgt 60:40 oder 1,5. Die "Chance" von Männern, kein Übergewicht aufzuweisen, beträgt dagegen nur 30:70 oder 0,43.

Das Odds Ratio ist nun ein Maß für die Stärke des Unterschieds zwischen zwei Gruppen, hier Frauen und Männern. Das Odds Ratio setzt einfach die Odds der beiden Gruppen zueinander ins Verhältnis. Im Beispiel beträgt das Odds Ratio 1,5 : 0,43 = 3,5. D.h., die Chance von Frauen, nicht übergewichtig zu sein, ist 3,5 mal so groß wie bei Männern

Das Odds Ratio kann auch als Zusammenhangsmaß aufgefasst werden. Ein O.R. von 1 bedeutet, dass es keinen Unterschied in den Odds gibt, ist das O.R. >1, sind die Odds der ersten Gruppe größer, ist sie <1, sind sie kleiner als die der zweiten Gruppe.

Odds und Odds Ratios lassen sich immer nur in Bezug auf zwei Ausprägungen ausdrücken. In größeren als 2x2-Tabellen können dementsprechend mehrere Odds und Odds Ratiosberechnet werden.

®Anja Hall, AB 2.2

1c. Kreuzproduktverhältnis - Odds, Odds Ratio

Übung

Übung:

Berechnen Sie für die Kreuztabelle mit den Variable n Geschlecht und Erwerbsbeteiligung die Odds „ Erwerbstätig“ sowie das entsprechende Odds Ratio für Männer. Interpretieren Sie dies und vergleichen Sie es mit dem Zusammenhangs-und PRE-Maß.

®Anja Hall, AB 2.2

Übung - Lösung

et Erwerbstätigkeit * ef32 Kreuztabelle

Anzahl

2986 4145 7131

7148 5736 12884

10134 9881 20015

,00 Nein

1,00 Ja

et Erwerbstätigkeit

Gesamt

1 Männer 2 Frauen

ef32

Gesamt

Die "Chance", dass ein Mann erwerbstätig ist, beträgt 7148:2986 oder 2,4. Die "Chance" von Frauen erwerbstätig zu sein, beträgt dagegen 5736:4145 oder 1,4.

Das Odds Ratio beträgt 2,4 : 1,4 = 1,7.

D.h., die Chance von Männern erwerbstätig zu sein, ist 1,7 mal (also fast doppelt) so groß wie bei Frauen.

Vorsicht: Odds-Ratios sind keine Wahrscheinlichkeiten!

Odds-Ratios sind unabhängig von der Randverteilung und Grundlage binärer, multinomialer und ordinaler Regressionsmodelle sowie loglinearer Modelle

®Anja Hall, AB 2.2

2. Metrisch/ Nominal

Maßzahl der proportionalen Fehlerreduktion (PRE)

®Anja Hall, AB 2.2

Eta2

Eta² ist ein Maß für den Zusammenhang zwischen einer nominalen (unabhängigen) und einer metrischen (abhängigen) Variablen.

Eta² basiert auf der Zerlegung der Quadratsummen (QS). Die gesamte QS einer Variablen (QSges) kann in zwei Bestandteile zerlegt werden:

1. in die QS innerhalb der Gruppen, die durch die unabhängige Variable repräsentiert werden, also die Summe der quadrierten Abweichungen der Werte in den einzelnen Gruppen vom Gruppenmittelwert (QSin)

2. die QS zwischen diesen Gruppen, also die Summe der quadrierten Abweichungen der Gruppenmittelwerte vom Gesamtmittelwert (QSzw).

Es gilt: oder

Je größer QSzw relativ zu QSin, d.h., je mehr der Varianz der AV in den Gruppenunterschieden steckt bei kleiner Unterschiedlichkeit innerhalb der Gruppen, desto besser wird die Vorhersage auf der Grundlage der Gruppenmittelwerte im Vergleich zur Vorhersage des Gesamtmittelwerts.

Wann nimmt Eta² den Wert 0 an und wann den Wert 1?

η²

( . ..)²

( ..)²=

−

−

− −

==

−

==

∑∑

∑∑

yi y

yij y

j

ni

i

I

j

ni

i

I

11

11

®Anja Hall, AB 2.2

Eta2 – Beispiel aus der BIBB/BAuA-Erwerbstätigenbefragung 2 006

CROSSTABS/TABLES=f518 BY s1/FORMAT=NOTABLES/STATISTIC=ETA.

Richtungsmaße

,301

,477

f518 Höhe desmonatlichenBruttoverdienstesabhängig

s1 Geschlecht derZielperson abhängig

EtaNominal- bzgl.Intervallmaß

Wert

SUMMARIZE/TABLES=f518 BY s1/FORMAT=NOLIST TOTAL/MISSING=VARIABLE/CELLS=COUNT MEDIAN MEAN .

Zusammenfassung von Fällen

f518 Höhe des monatlichen Bruttoverdienstes

9560 2600,00 3035,09

7453 1500,00 1788,48

17013 2200,00 2488,95

s1 Geschlechtder Zielperson1 Männlich

2 Weiblich

Insgesamt

N Median Mittelwert

Zur Deskription

Höhe des monatlichen Bruttoeinkommens in Abhängigkeit vom Geschlecht.

-> Mir Kenntnis des Geschlechts kann 30% der Varianz des Einkommens erklärt werden

®Anja Hall, AB 2.2

3. Ordinal/ Ordinal

Tau-a

Tau-b

Tau-c

Sommers D

Gamma

Spearmans Rho

®Anja Hall, AB 2.2

Tau-a, Tau-b, Tau-c, Sommers D, Gamma (1)

Tau-a: nur sinnvoll, wenn es keine "Ties" oder "gebundenen Paare" gibt

Tau-b: wenn die Zahl der Ausprägungen der beiden Variablen gleich ist (sonst Tau-b < 1)

Tau-c : für nicht symmetrische Tabellen geeignet

Sommer’s D: liegt in der Größe zwischen den Tau-Koeffizienten und Gamma

Gamma : überschätzt den Zusammenhang (wird daher gern verwendet)

Die Logik der Koeffizienten beruht darauf, sämtliche Untersuchungseinheiten miteinander zu vergleichen:

Konkordantes Paar: Diejenige Person, die in der einen Variablen den kleineren Wert als die andere hat, hat auch in der anderen Variablen den kleineren Wert Nc= Zahl der konkordanten Paare

Diskordantes Paar: Diejenige Person, die in der einen Variablen den kleineren Wert als die andere hat, hat in der anderen Variablen den größeren Wert.Nd: Zahl der diskordanten Paare

„Ties“ (gebundene Paare): Solche Paare, die in einer Variablen den gleichen, aber in der anderen verschiedene Werte haben.Tx: Zahl der Ties in der Spaltenvariablen; Ty: Zahl der Ties in der Zeilenvariablen

®Anja Hall, AB 2.2

Tau-a, Tau-b, Tau-c, Sommers D, Gamma (2)

Übergewicht in Abhängigkeit vom Alter

Jung Alt ALLE

Kein Übergewicht 60 30 90

Übergewicht 40 70 110

N 100 100 200

Nc= 60 * 70 = 4.200 konkordante Paare

Nd= 30 * 40 = 1.200 diskordante Paare

Tx= 60 * 40 = 2.400 und 30 * 70 = 2.100 -> 4.500 Ties

Ty=60 * 30 = 1.800 und 40 * 70 = 2.800 -> 4.600 Ties

m = min (Zeilen, Spalten)

mit y als abhängiger Variablen

= ( 4200 - 1200 ) / ( 4200 + 1200 + 4600 ) = 0,30

= ( 4200 - 1200 ) / ( 4200 + 1200) = 0,36

= ( 4200 - 1200 )

( 4200 + 1200 + 4500 ) * ( 4200 + 1200 + 4600 )

= ( 4200 - 1200 ) / (0,5 *2002 *1/2) = 0,30

=0,30

®Anja Hall, AB 2.2

Spearmans Korrelationskoeffizient, Spearmans Rho

Von den ursprünglichen Werten der Variablen X und Y wird zu Rängen übergegangen, d.h. jedem x-Wert und jedem y-Wert wird als Rang die Platzzahl zugeordnet (werte werden nach der Größe sortiert). Aus den ursprünglichen Messpaaren (xi, yi) mit i = 1,...,n ergeben sich die neuen Rangdaten (rg (xi), rg (yi)) mit i = 1,...n.

Falls innerhalb der x-Werte oder innerhalb der y-Werte identische Werte auftreten ("Ties"), werden Durchschnittsränge berechnet, d.h. den identischen Messwerten wird als Rang dasarithmetische Mittel der Ränge zugewiesen

Differenzen di=rg (xi) - rg (yi)

rsp kann Werte von -1 bis +1 annehmen. Das bedeutet im Einzelnen:

rSP > 0: gleichsinniger monotoner Zusammenhang (Tendenz: wenn x groß wird, wird auch y groß bzw. wenn x klein wird, wird auch y klein);

rSP < 0: gegensinniger monotoner Zusammenhang (Tendenz: wenn x groß wird, wird y klein bzw. wenn x klein wird, wird y groß);

rSP ≈ 0: kein monotoner Zusammenhang

®Anja Hall, AB 2.2

Übung

Erstellen Sie eine Kreuztabelle mit den Variablen Alter und Einkommen. Kategorisieren Sie hierzu die Variable Alter (EF30) in die vier Altersgruppen 15-30 Jahre, 31-40 Jahre, 41-50 Jahre und 51 Jahre und mehr.

Kategorisieren Sie das Einkommen (EF372) in drei Kategorien: Kategorie 1-4 (bis unter 700), Kategorie 5-9 (700 bis unter 1700) und Kategorie 10-24 (1700 und mehr).Beschränken Sie die Analyse wieder auf Personen im Alter von 15-65 Jahren und berechnen Sie geeignete Zusammenhangsmaß e. Interpretieren Sie die Ergebnisse.

®Anja Hall, AB 2.2

4. Metrisch/ Metrisch

Produkt-Moment-Korrelations-Koeffizient r

®Anja Hall, AB 2.2

Produkt-Moment-Korrelations-Koeffizient r

Die P.-M.-K., auch als (Bravais-)Pearson'scher Korrelationskoeffizient r bezeichnet, ist ein Zusammenhangsmaß für metrische Variablen:

( )( )

( ) ( )r r

x x y y

x x y y

s

s sXY

i ii

n

ii

n

ii

n

XY

X Y

= =− −

− −==

= =

∑

∑ ∑

1

2

1

2

1

wobei sXY = die empirische Kovarianz zwischen X und Y sX = die Standardabweichung von X, sY = die Standardabweichung von Y und

r =1 perfekter positiver Zusammenhang

r=-1 perfekter negativer Zusammenhang)

r> positive Korrelation: Je höher X, desto höher Y

r<0 negative Korrelation: Je höher X, desto niedriger Y

r=0 keine Korrelation

Der Korrelationskoeffizient kann nur für metrische Daten angewandt werden. Ausnahme: Dichotome Variablen, die 0/1 kodiert sind. In diesem Fall entspricht der Korrelationskoeffizient der Chi²-basierten Maßzahl Phi.

®Anja Hall, AB 2.2

Korrelations-Koeffizient - Beispiel aus der Erwerbstätigenbefragung

70605040302010

ZP Alter

40000

20000

0

Höh

e de

s m

onat

liche

n B

rutto

verd

iens

tes

Fälle gewichtet nach gew3_05

Arbeitszeit: 40h/Woche +

Alter: 15-65 Jahre

/*Gewichtung aus./*Alter <=40.correlations f518 zpalter.

Korrelationen

1 ,237

,000

5176 5176

,237 1

,000

5176 5993

Korrelation nach Pearson

Signifikanz (2-seitig)

N

Korrelation nach Pearson

Signifikanz (2-seitig)

N

f518 Höhe desmonatlichenBruttoverdienstes

zpalter ZP Alter

f518 Höhedes

monatlichenBruttoverdien

steszpalter ZP Alter

Über das Menü: AnalysierenKorrelation

bivariat....

®Anja Hall, AB 2.2

Ausblick auf das nächste Mal:

Was bedeutet Kausalität?

Was ist eine Scheinkorrelation?

Unterscheiden sich Frauen und Männern im Berufserfo lg?

Wie ist Berufserfolg zu operationalisieren?

Nächste Woche