ZEITSCHRIFT FOR ANGEWANDTE MATHEMATIK UND MECHANIK

Ssite H n u p t a u f s a t z e . R. v. Mises und J . R a t z e r s -

d o r f e r : Die li%cksicherheit von Rahmen- ' tragwerken. a . . . . . . . . . . . 181

P. S c h l e i c h e r : Der Spannnngszustand & her FlieBgrenze (Plastizithtsbedingung) . . . . 199

R Mayer: Yersuche tiber die ebene Biegtulg gekriimmter Stgbe . . . . . . , . . . . 216

H. Le i t z : Zur Anisotropie krenzweise beweiirten Betons. . , . . . . . . . . . . 225

M. T. Hn b er : hnige Anwenhungen der Bie- gungstheorie orthotroper Platten. . . . . . 228

F. N o e t h er: der stationaren Losun en im Turbnlenzprobleni 232

W. Fen d e r : Ueber die 8estimmnng des Oenauig keitsmaes im GauBschen Fehlergesetz . . . 244

Zur asymptotischen Behandlung

INGENIEURWISSENSCHAFTLICHE FORSCHUNGSARBEI"

Seite veld: Ileber ein news Verfahren zur harmo- nischen Analyse und Synthese. . . . . 252

B u c h b e s p r e c h u n g e n . B e r g e r : Das Gesetz des Kraftverlaufes beim StoB. - S c h r e i b e r : WBrmemechanik wasserhaltigor Gasgemische mit den Hilfsmitteln der Flbhennomographie bearbeitet. - 111. Tagung des Allgemeinen Ver- bandes der Deutschen Dampfkessel - Ueber- wachun s Vereine. - F r a e n k e l : Einleitung iu die hengenlehre. - S c h o e n f l i e s : Ein- fuhrung iu die analytische Geometrie der Ebene

Ans b i l d u n g nn d U n t e i r i cb t: R e h b o ck: Vor- lesungen iiber an ewandte Mathematllr im Sommersemester I&. - Re h b o c k : Aus dem

und des Ranmes . . . . 1 . 2 5 7

Band 6 Juai 1926 Hefi 3

HAUPTAUFS ATZE

Die Knicksicherheit von Rahmenfragwerken. Von R. v. MIIES in Berlin und J. RATZERSDORFER in Breslau.

ie vorliegende Abhandlung gibt die ausfiihrlichere Darstellung des zweiten Teils der im Marburger Vortrag von v. Mi6 8 6 entwickelten Stabilitatstheorie '). In unserer voraufgegangenenhbeit a) wurde die Enicksicherheit idealer Fachwerke (mit reibungs-

losen Gelenken) eingehend behandelt, bei denen nur LLngenLndernngen der StLbe in Betracht gezogen werden. Der reinen Fachwerkknickung wird jetzt zunachst (1 bis 6) die reine Rahmenknickung gegenubergestellt, bei der die einzelnen Stlbe biegungssteif, aber keiner Dehnung fahig sind. Die Znsammenfassung beider Ansatze, die Beriicksichtignng der LLngeniinderungen bei biegungssteifen StLben, ergibl dann (7 bis 9) eine vollsttindige Stabwerktheorie. Diese ist fur jedes Stabwerk rnit steifen odor gelenkigen Knoten immer anwendbar; will man jedoch der Einfachheit halber eineo speziellen Ansatz benutzen, so mu8 man in jedem Fall besonders uberlegen, was zutreBend bleibt. Der Rahmenbalken kann natiirlioh nicht als Fachwerk bereohnet werden, da er dann keine Tragkraft hLtte. Wird andererseits der Gittertrlger als reines Rahmentragwerk aufgefaBt, so konnten dieKnoten keine gegenseitigen Verschiebungen erlahren und die Enickgrenze w Lre erst erreicht, wenn der einzelne Gurtstab auskniokt. Beim Gittertrsger mit DiagonalstZiben kann man aber beispielsweise dies0 in den Gurtst%ben als gelenkig eingehgngt ansehen. h der voll- standigen Theorie gemessen wird im allgemeinen die Tragkraft untersohiitzt, sobald man ein bestimmtes Stabsystem als Faohwerk, iiberschtitzt, sobald man es als reinen Rahmen rechnet.

Im folgendin besohrllnken wir uns auf die Untersuchung e b e n e r Ra hmen t r a g - we r k e. Eine Erweiterong dieses zweiten Teils der Stabilitlltstheorie auf das riiumliohe Problem bietet keine grnndslitzliohen Schwierigkeiten, ist aber rnit Ruoksioht darauf, dab die praktisohen Aufgaben fast nur ebene Traghrke betreffen, von ms vorllnfig z d & - gestellt worden.

Text und Abbildungen des folgenden Aufsatzes sind naoh einem Burzen Entwurf von R. v. Mi s es von J. R a t 5 er 8 d o rf e r avsgeFbrt WOTden. Die Durohrechnnng der Bei-

D

I ) Diese Zeitschr. Bd. S (19281, 8. 106. - Rd. 5 (19251, S. 218. 12

Ztschr. f. an e~ .v. M i s e s u. R a t a e r s d o r fer , Itnicksicherheit von Rtihmentragwerken Math.nnd&ch: 182

,P P-s 3 / T

P ~ 3- I -

der duroh die axiale endliche Druckkraft P und die axiale unendlich kleine Zusatzkraft S

P-3' beansprncht ist und an dessen Enden die unendlich kleinen Biegungsmomente Ma bzw.

$ &fb und die unendlich kleine Qnerkraft Q 51 wirken. Den Stab beziehen wir auf ein recht-'

(1). M

E J . . . . . . . . . . . . v" =-

M ist das Biegungsmoment im Querschnitt u, v, J das Trlgheitsmoment des Stabqoer- schnitts fur die Schwerpnnktshauptachse, E der Young sche Modul (Elastiritlltsmodul) des Stabmaterials. Da die Ausbiegnng ale klein von erster Ordnung angesehen wird, sind es auoh die Ma, Mbl Q undX.

woraus durch zweimaliges Differentiereu M" = - Pu" folgt. M" = - - M und man erhtilt mit dem Parameter

Das Biegungsmoment M ist gegeben dnrch M = M a - Q u - P ( ( v - v ~ ) . . . . . . . . . (2),

Bus GI. (1) wird daher P

E J

. . . . . . . (3)

unter Berucksichtigung der Qrenzbedingungen: M = Ma fur u = o und M = Mb fur u = 1

(4). M = Ma cos - + sin - . . . . . . . E U M a - M a C O S P Z u

1 sin z 1

Setzt man in Q1. (2) fur u = 1, so gewinnt man als die erste unserer Beziehungen eine Mo m en t en gl e i chun g, die 01 e i o h g e w i o h t s b edin g u n g

die immer erfiillt sein muf3. und daraus mit Einfuhren der Grenzwerte

Berechnet man aue Q1. (4) die linken Seiten dieser Qleichungen, so gelangt man zn den beiden Hauptg le iohnngen des Problems, die mit den Abkurzungen

M b - M a = Q Z - t - P ( ~ b - v.) . . . . . . . . . (I) Differentiert man die Q1. (2), so entsteht M' = - Q - Pv'

M.' - Ma' = P(Vb - Va) , M: + M i = 2 - P(t(4-k v:).

1 - COB z 14- C O B P 2 t (a) = - , s(z)=----- - . . . . . . . (5) a sin a sin z zy

nnter Beaohtnng von Q1. (I) sich in der Form

ansohreiben lassen. Die erste Ql. (11) sagt am, da6 der Winkel zwisohen den Endtangenten der Biegungslinie proportional der Samme der Endmomente ist, die zweite Qleiohung eeigt, dal der Winkel ewisahen der Stabsehne und der amittlerena Taogentenriohtung propor- tional ist der Differens der Endmomente'). I n den drei Qleiohuogen (I) und (11), die linear und homogen in den unendlioh Heinen Gr6flen Q, Ma, f i ! b , Va, t'b, VO), Wb) sind, ist a l l e s en tha l ten , wa8 wir P U ~ der Biegungs theor ie branohen. Die Werte von

l) Bei F. Bleiah, Die 3nickfestigkeit elastischer Stabverbindungen. Der Eisenbau Bd. 10 (1919), U b - Yw

8. 272 Und 13, (1922) 8. 34f bedeutet- den Bog. Stabdrehwinlcel . . I

Band 6, Heft 3 Juni 1926 V. Mises u. R a t z e r s d o r f e r , Kn'icksicherheit von Ralimentragwerken 183

t(z) nnd 6 (z) sind fur jedes a explizite angebbar. Fiir z = 0, d. h. f i i r eine verschwindende Axialkraf t sind t (a) = Ih, s (a) = - 'Is und daher die Hauptgleichungen

wie man auch nnmittelbar leicht finden kann. nnd mit a' = a d=i werden

1st P eine Zugkraft , so ist z imagintir

Es ist wichtig folgende Trtsache festzuhalten: Wird P urn einen kleinen Betrag S veriindert, der von gleicher Ordnung wie Q, M, o, o' ist, so tritt in z nnd weiter in den Abgiirzungen (5) bzw. (5') ein Znsatte von dieser GrBSenordnung anf. In den Gleichungen (11) liefert dies nur Znsatzglieder von zweiter Ordnung. Unsere Hanptgleichungen sind also anch exakt riohtig, wenn bei der Axialkraft P die nnendlich kleine Zusatzkraft S ver- naohllissigt wird.

2. Reine Rahmenknickung ebener Tragwerke, allgemeiner Ansafz. Unter s r e h e r Rahmenknickungcc verstehen wir einen Knickvorgang, bei d0m die Llngen- lindernngen der Sttibe infalge der Axialkrlifte nioht berucksiohtigt werden, die Entfernung j e zweier Knoten also nnverlindert ist. Die VerbindungsstLbe bleiben dabei im allgemeinen nicht geradlinig, eondern gehen in Kurven uber, die sioh in den Knoten mit unver- &nderten Winkeln aneinandersofilieben. Wlbhrend bei der nreinen Fachwerkkniokung a nnr die Lflngen&hderungen der Stlibe majjgebend eind, kommt hier nnr deren Biegsam- keit z m Qeltung. Man sieht leioht ein und auoh der splitere Ansatz 7 eeigt 86, dab eine Vernaahllissigung der Lhgenltnderungen immer dam zulflssig ist, wenn die Qner- schnitte der Stlibe sehr klein gegeniiber den Llingen sind.

Wir nehmen jetzt an, es sei ein e b e n e s Rahmen- t ragwerk von k Knoten und s Stliben gegeben (Abb. 2), das nnter dam Einflu0 bestimmter liuB6rer Krtifte in einen b ieg nn g 8 f r ei e n Gtl e i o h ge w i c h t s z n s t a n d gelangt ist. Fur jeden Stab ist sine Stabkraft bekannt, Qnerkrlifte und Biegungemomente sind nicht vorhanden. Vbllig willkiirlich darf man natiirlich die llderen Krlfte nicht annehmen; da5 es aber bei jeder Stabverbindung Znstltnde biegungsfreien Gleichgewiohts gibt, erkennt man beispielsweise an dem Rechtwinkelrahmen der Abb. 3 und 4. Im ersten Fall sind beide Stlinder axial mit PI2 belastet, im eweiten nur der DDEiZZ rechte Stlinder mit P, der Qnerstab ist beidemale spannnngsloe. Die allgemeine Bedingnng fiir die MBglichkeit eines bie-

rechten Komponenten der in den beiden oberen Knotenpnnkten angreifenden Lasten einander anfheben. Auf den kriiftefreien oder nnatiirlichenc Zustand greifen wir gar nicht zurlick, 80 dat3 es anoh gleichgiiltig ist, ob wir Llingenlinderungen, die wlihrend des Knickvorganges (beim Uebergang aus dern biegungskeien in den schwaoh gebogenen ~leiohgewichtszustand) ausgesohlossen sein souen, fiir den Uebergang ans dem natiirliohen in den zn untersuohenden biegungsfreien Znstand znlassen oder nicht. Nur mussen wir im ersteren Fall annehmen, da% die Fixierung der Rahmenwinkel nach Aufbringen der Belastung nnd Eintritt der Ltingenlindernng erfolgt ; nnter der Stablhge 1 ist also die durch die Last P bereits verlinderte Lflnge zu verstehen.

Wir untereuohen nun die Stabfl i t l i t e i n e s gegebenen, b iegungsf re ien Gleiohgewichtsz~standes. Zn diesem Zweck betrachten wir einen nnendlioh benach- barten Zustand und fragen, ob etets ein positiver Arbeitsanfwand erforderlioh ist, um vom ersten znm zweiten Znstand en kommen. An der Grenze ewischen stabilen und nicht stabilen Zustlinden miissen solche liegen, bei denen der Uebergang en einer Naohbarlage ohne Arbeitsanfwand mgglioh ist, wo sioh also in nnendlicher Nachbarschaft dee biegungs- freien znstands wieder ein Qleiohgewichtszustand befindet. Dieser mu0 nicht mehr biegnngsfrei sein, kann aber nur unendlich kleine Ansbiegnngen aufweisen. Wir konnen also die Frage nach der StabUtlitsgrenze so stellen, daD wh die Bedingnngen snchen, bei denen in unendl icher Nachbarschaf t des dnrch die ErLfte P g e g e b e n e n geradl in igen Znstandee ein ~ l e i c h g e w i c h t s z n s t a n d mit scbwaohen ,4116-

gungsfrden Gleichgewichts ist hier offenbar die, daD die wag- Abb. 2.

12*

ttschr. f. an e l . v. Mis e s u. R a t e or 8 d o rf e r , Ihickkicherheit von Rahmentragwerken ~ a t h . und haech. 184

b i e g n n g e n besteht. Oder anders ausgedruckt : wir bestimmen ans den Qleichungen zwischen den BiegungsgrliOen Q, &fa, MI,, va, v b , @:, v; die von Null verschiedene L6sung.

Wir denken uns nun jedem Knoten, soweit 8s die Bewegnngsbeschrlnkungen zu- lassen, nnendliah kleine Versohiebungen 6 x, 6 y erteilt. Die Zahl der nnabhlngigen Ver- riickungen Ist ennilohst 2 k - ml, wenn ml die Zahl der Verschiebnngsbeschrfinknngen ist. Es sind aber die Stablltngen als nnveriinderlich angenommen nod es gilt fur jeden Stab I H (vom Knoten L zum Knoten x ) mit dem Winkel atI, zur x-Acbse, eine Qleichung

(62, - a n ) COB alw + (6yx--6yl) sin alx = 0. somit sind bei sStPben nur 2 k-ml - s u n a b h l n g i g e VerscbiebungsgrBBen vor- handen. Die Zahl der u n a b h l n g i g e n D r e h n n g s w i n k e l 8 4 ist k--2, wenn ma Dre-

hungsbeschrlnkungen bestehen. Darch die 2 k - ml - s Verschiebungsgriifien 8x, 6y kann man die in den Qleichungen (I) und (11) auftretenden va, 2)b ausdrucken, z. B. fur den Stab L X

vl. = 6yl 00s alx - 6xl sin arw, VI,=~yxoosal.-6xxsinal, .

Die vi, vb) der (31. (E) sind unmiltelbar gleich den be- Q 3 treffenden 60. In der verlnderten Lage erfahren die

Stlbe Zusatzkrlfte und -momentel die wieder als Or6ben erster Ordnnng angesehen werden mussen. Fur jeden Stab gibt es eine axiale ZnsatakraEt 8 (die sich zu der Stabkraft P algebraisch addiert), eine

An jedem freien Knotenpunkt mussen nun Zu- Zwischen den 2 s Zusatzkrlften S und

h) h3

4 d

Abb. 9 und 4.

jyd Querkraft Q, zwei Endmomente Ma, M,,. satzkrlifte und -Momente im Oleiohgewicht sein. Q sind also 2 k - ml Qleichnngen der Form

zSlX cos u l X + 2 Q,x sin u l x = 0, z S l w sin ulX - 1: Qlx cos alx r= 0 I 1 1 I

vorhanden. (Hier ist die Annahme enthalten, daB die lufleren Lasten, nicht aber die Anflagerkriifte bei der Formlnderung nach (;triiBe und Richtung unveraodert bleiben). Die Zahl der n n a b h l n g i g e n Znsa tzk ra f tg r6Ben ist sonach 2 s - (2 k - ml). Ebenso wird dnrch die Bedingnng, dail an den k - ?n3 an der Drehung niaht behinderten Knoten die Momentensumme Nnll sein muB, die Zahl 2 s der Momentgriiilen Ma, MI, anf 2 s - (k - ma) u n a b h l n g i g e B i e g u n g s m o m e n t e herabgesetzt. Eine Zusammen- fassung ergibt:

2 k - s - ml . . . . Verschiebnngen, 2 s - 2 k + m l . . . Zusatzkrlfte,

k-ma . . . . . Drehungen, 2 s - k + nza . . . Biegungsmomente

und daher als Snmme 3 s Veranderliche. Schreibt man also f u r j e d e n der s - S t a b e d i e Momentengle ichung ' (1) u n d

d i e be iden R a u p t g l e i c h u n g e n (11) an, driickt dabei die va, V b durch 2 k - s - ml nnabhiingige Verschiebungsgroben, die v ' ~ , v16 durch k - ma DrehungsgrBben, die Q durch 2 s - 2 k + ml Kraftgriiflen, endlich die Ma, Ma durch 2 s - k + ma nnabhlngige Bie- gungsmomente aus, so hat man ein System von 3 s linearen homogenen Qleichungen mit ebensovielen Unbekannten, dessen g l e i c h Nul l g e s e t z t e D e t e r m i n a n t 0 d i e S t a b i l i - t l t s g r e n z e o d e r K n i c k b e d i n g u n g liefert. 1'1; Es gilt hierbei die Einsohrlnkung, dail 5war der Uebergang von stabilen zu in- stabilen Gleichgewiohtslagen stets dnrch eine Nubtelle der Eniokdeterminante hindnrch-

fuhrt, daO aber das Ueberscbreiten einer Null- stelle nicht notwendjg Instabflitlt zur Folge hat.

3. Eh wichuer SonderfaI1: der , , V f ~ S v + r ebene Polygonrahmen. Die Qleichungen

und die Knickbedingung werden besonders ubersichtlich, wenn das Rahmentragwerk aufi einem einzigen Polygonzug besteht (Abb. 5). Wir nehmen in , dieser ist an beiden Enden

<Q@im eingespannt, d. h. wir betrachten einen sog. ~ e i n g e s p a n n t e n Stabzug.cc Die Knoten bezeichnen wir von 0 bis n, die Stlbe in der-

4

Z - J > y 3, Abb. 5.

Band 6, Heft 3 Juni 1926’ v. Mises u. Ratzersd o r f e r , Knicksicherheit von Rahmentragwerken 1 8 5

selben Folge mit 1 bis n, die Indizes bei I , , Ev, Jv, ev beeiehen sich auf den v-ten Stab. Jetzt sind s = n, k = n + 1, m = 4, r n 2 = 2

Das Anfangsmoment des ( v + 1)-ten ist gleich dem Endmoment des v-ten Stabes und sei M,; die 2 s Momente sind hiermtt dnrch 2 s - k+ma = n + 1 Momentgrtilen ansgedruckt. Die D r e h u n g s w i n k e l der freien Knoten selen 191, 8 3 , . . en, wobei 9, gleich ist dem v,’ fur den ( v + 1)-ten nnd dem vb) fur den v-ten Stab; die v’ sind so durch k - ma = n - 1 Drehungsgr8len dargestellt. Nun die Zusatzkrt i f te . Damit ein biegungs- freies Glelchgewicht beeteht, also ein Knickproblem in unserem Sinn uberhaupt vorliegt, mussen die Belastnngen so beschaffen sein, daB der Rahmen ein zu ihnen passendes Seileck bildet. Die Krtifte Q und X haben daher in jedem Knoten die gleiche Resultierende. EH ist also Qv die zum z4en Stab senkrechte Komponente efner von Y unabhbgigen Kraft Qv = - X sin av + Y cos ctv, wenn av der Winkel des vten %bee mit der e-Achse ist. Die

N o r m a l v e r s c h i e b u n g e n v kommen in den al. (11) nur in der Verbindung - vor

und hieriiir schreiben wir

Die s GrBlen Q sind so dnrch 2 s - 2 k +m1 = 2 Werte X, Y zu ersetzen. V b - V a

1

V b - V a -- -6, . . . . . . . . . . . (6). I ,

Damit sind die OrtiBen v dnrch n Werte d aesgedruckt, wahrend jedoch nnr 2 k - s - ml = n - 2 nnabbtingige 6 vorhanden sind. Nan bestehen aber zwischen den 6, wenn man die Unvertinderlichkeit der StablLngen voranssetzt, die beiden Beziehungen

n n

9=1 v = l Z: 1, 6, cos av = 0 , B Zv 6, sin a, = o . . . . . . (7)

die aussagen, daS die Vektorsumme der Relativverschiebnngen zwischen Anfang und Ende des Slabzugs, d. i. die Versohiebung des wten Enotens gegenuber dem ersten, null sein mui3 I).

und die Hauptgleirhungen 01)

Die noch verfugbaren Qleichungen sind also: die Momentengleichnngen (I) M, - Mv-1 -I- Pv lv 8, = 1, (X sin av - P cos a,) , . . . ( 8 )

wobei v die Werte 1 bis n dnrohlauft. Man hat somit 3 72 + 2 lineare homogene Gleichnngen mit 3 n + 2 Unbekannten (n + 1 Momente, n - 1 Drehwinkel, n Stabdrehwinkel, 2 Werte S, P). Die gleich Null gesetzte Determinante dieses Systems ist die Knickbedingung. Die Anfgabe ist somit grunds5,telich gel8st.

Eine Vereinfachung ltiDt sich erzielen, wenn man die Zahl der Knickgleichungen vermindert. Hierzu be- rechnet man aus (8) die Stabdrehwinkel b und setzt in die zweite Qrnppe der Haupt- gleichungen (9) ein. Mit der Abkiirzung

Man kann z. B. aus (7), (8) und (9) die Winkel 6 eliminieren.

1 1 E J s sin z

I = - -

erhtilt man fur Y = 1 bis v = n dia 2 n Beziehongen sin au

aV-1= I, (Mv-l cos zv - M v ) + X ~ - 3’ cY22 7

Pv Pv . . . (10). sin aq cos av

Pv P V

4, = I , (My -1 - M v 006 2,) + x - - y -

Die Verbindung der GI. ( 7 ) und (8) ergibt die zwei Qleichungen n sin av cos av

l v + Y L 1, = 0 sin nv 5 sin’ av

. . I 1 1). 1 P v 1 Pv z: (Mv - Mv-11 pv -

v = l \ - -,, . .

cos a cos2nv 5 (My - Mv-l) v y sin fly cos ’ 7 l v + Y Z - 1, = 0 v = l Pv 1 Pv 1 pv

so daS jetzt 2 n + 2 Oleicbungen den 2 n + 2 Unbekannten (n + 1 Momenle, n - 1 Dreh winkel, 2 Werte X, P) gegenubersteheu.

*) Bei F. B l e i c h sind dies die 80g. D W i n k e l g l e i c h u n g e n . .

Ztschr. f. angew. v. Mises u. R a t z e r s d o r f e r , Knicksicherheit von Rahmentragwerken M&.undMecb.

Wir kSnnen noch einen Schritt weiter .gehen and aus den Knickgleichungen auch die Winkel 9- entfernen. 1st v < n, so ersetzt man in der ersten Ql. (10) v dnrch v + 1 und erhtilt damit einen Ausdruck fur 6,, den man der rechten Seite der zweiten G1. (10) gleichstenen kann.

186

Daraus tolgen fur Y = 1 bis v = n - 1 die n - 1 Qleichungen M v - 1 . 1 , - Mv (I, cos Zv + IV+l COB Z v + l ) + MV+l* lV+l

sin a v + i sin -&-)+P(---)=O a v cos av +I COB av . . I *

,Pv + 1 Pv . . (12).

Wenn man sicb, der Einspannung entsprechend, am Anfang bzw. am Ende des Stabzugs einen Stab von nnendlich kleiner LLnge angeschlossen denkt, so gewinnt man die erste bzw. die letzte Qleichung

sin a1 COB a1 p1 4

sin an COB an

Pn Pn

- Mo 1, cos 21 + M I 1, - x- +P-=o

M,-, L-, - M, a, cos zli + x - - Y - = O . . . . (12l).

Zu diesem Gleichnngssystem treten noch die zwei Beziehungen (11); 8s besteht somit Uebereinstimmung zwischen Qleiohungezahl nnd Zahl der Unbekannten (n f X Momente, 2 QrBBen X, Y) .

Bei der Transformation der Knickgleichungen Bann man schliei3lich anch aus j e drei Qleichungen (12) die Werte X, Y berechnen nnd’eliminieren nnd so eine Kette von n - 1 Gleichungen aufstellen, von denen jede nur Mv-2, Mv-i, Mv, Mv+i, Mv+2 RIS Variable enthPlt. I n den G1. (11) kann X und Y z. B. mit Q1. (12’) eliminiert werden. Man erhLlt so n + 1 Fiinfmomentengleichungen fiir die n + 1 Momente. Die Koeffizienten der Unbekannten sind hierbei im Allgemeinen kompliziert; an einem Beispiel (4) 6011 aber auch dieses Verfahren ge~eigt werden.

1st die Ltlngskraft eine Zugkraft, so ist fur P jetzt - P und in den Ql. (10) nnd (12) fur il der Wert - ~ zu setzen (2’ = 2: J-1.

1st in einem Stab die Lfingskraft gleich Null, so belaesen wir Iiir diesen Stab den Stabdrehwinkel als Unbekannte, Fur diese znsiltzliche Variable tritt die Qleichgewichts- bedingung (8) des Stabes ein.

E6 ist wichtig zu beachten, da6 bei jeder Elimination von Unbekannten, die im Qrunde eine Vereinfachung der Kniokdeterminmte bedeutet, anch Lidsungen verloren gehen kBnnen. Bilden wir mit den zuletzt erhdtenen Gleichnngen die Knickbedingung, ‘so heifit dies, dafi wir die von Null verschiedenen Werte der Unbekannten 21f dieses ~leichnng6systems suchen. Urn zu erfahren, ob nicht ouch von Null versohiedene LSsungen der eliminierten Variabeln X, 9- bzw. 6 bestehen, brauchen wir nur auf die vorhergehenden Qleichungen zuruckzugehen. In diesen Qleichnngen setzen wir die bereits ermittelten Unbekannten gleioh Null nnd bestimmen so sohrittweise Lijsungen fir die ubrigen Variabeln. An dem Beispiel (4) wird dieser Weg zu erkennen sein.

Fur einen geraden Stab, der von verschiedenen Lhgskrfiften ergriffen ist (oder der, was anf das gleiche hinanskommt, einen stufenweise verfinderlichen Querschnitt besitzt) gelten zufolge ct = 0 die Qleichungen I)

1

E J P.’ Bin CI

n B ( M v - M v - l ) p v + 1 PZ-= IE tv 0.

1 1 pv

Im Fall des gelenkig gelagerten Slabes von der Lfinge L mit konstantem Querschnitt, der dnrch die Kraft P belastet ist, sind Mv-l = Mv+l = 0, somit Y = 0, COB z = 0 und

a13 kritischer Wert efgibt sich d ie Eulersche Last P- m 2 z . Wir be-

trachten ein regelmLBiges Polygon von n gleiohen St$ben, die gleiche Winkel miteinander einschliefien und dieselbe Ltlngskraft P erhalten. Die60 LLngskraft kann beispielsweise von einer radialen Belastung der Knoten mit gleichen Krtiften herriihren (Abb. 6).

E J

4. Erstes Beispiel: RegelmtC@ger Ring mif radialer Belasfung.

I ) Die vielfachen Probleme des in Felder nnterteilten Stabes, siehe bei H. Zimmermann, Sitzungs- berichte der Akad. d. Wissensohaften Berlin 1907, und J. Ratzersdorfer , Der Flug (Oesterr. Flugzeitechr.), 1920, H. 1 bis 4 .

Band 6 H d t 3 ~uni ’ 1926 v. M i s e 8 u. Ratze r 6 d o rf er , Knicksicherheit von Rahmentragwerken 187.

Urn die kritischen Werte der Last P zu finden, gehen wir nach dein in 3 be- Die Diff erenzengleichung (I 2) wird, schriebenen Verfahren von den G1. (1 1) und (1 2) ans.

E J 2 n wenn man fur P den Wert za - einfuhrt nnd p = -, aV = v P n setzt

sin a My+l- 2 0 0 s ~ ~ M ~ i - ~ ~ + ~ =2~-s in- [ [Xcos( r - t ’ /Z)p+ Y s i n ( v + l / l ) B ] (a). 2

n n n

1 1 1 Die zwei Bealehungen (1 1) lanten jetzt, da alle Snmmen wie 2 sin a”, 2 cos av, Z sin 2 a

usw. als Projektionen von Vektoren, die ein geschlossenes Polygon bilden, gleich Null sind I n

X ( M , - ~ , - ~ ) s i n a , = F ~ x , E ( M ” - M”-]) COB av = -ZZ Y . . ( p ) 1 2 1 2

Multipliziert man nun die Q1. (a) mit - 2 cos 8, addiert zu ihr die vorhergehende (fur v - 1) uod die folgende (fur v + I), so wird die rechte Seite gleich Null und man erhtilt eine Dlfferenzengleiohung mit funf Momenten

Schreibt man, mit Rucksicht auf die Periodizitft, die LSsung in der Form M, = A c o s m v ( ? + B s i n m v p

an, wobei m eine beliebige ganze Zahl ist, 60 ist (aus der Fiinfmomentengleichnng) fur Werte m> 1

Mv-3 - 2 (00s z + 006 6 ) M”-1+ 2 (1 + 2 OOSZ. C O S ~ ~ ) Mv - 2 (COB z-I-COS 8) Mv+i + Mvt:, = 0 .

2 n n

z = m p = m - , oder n z = 4 n, 6n, 8n . . . . . . (a)

Fur m = 1 erhtilt man am den Gl. (a) nnd (p) Sill 5 p

2 (00s /3 - 00s z) M, = 2 1 __ sin - [X 00s (v + ’ 1 2 ) +Ysin ( 1 1 + ‘h) PJ Z 2

- A a i n B + B ( l - c o s @ ) = Z X , A ( l - c o s ~ ) = + B s i n = - l Y und wenn man in der ersten Oleichung mit Hilfe der beiden anderen die Werte X, 1’ eliminiert, 60 entsteht rnit

2 7z B COB a - sin B

11 z - sin 2: cos - = , . . . . . . . . (b)

eine weitere Beziehnng swischen z und der Seitenzahl ‘IZ.

SchlieBlich miissen wir noch priiten, ob bei der Elimination der 4 nnd 6 beim Uebergang von den allgemeinen Gleichungen zu den G1. (11) uod (12) nioht LSsungen verloren wnrden. An6 den Q1. (10) erkennen wir, da6 8s bei ver- schwindenden M , X , P nnr dann Liisnngen fur 9 gibt, wean 1 = - , d. h. sin z = 0 wird, also fur

2 = n , 2 n, 3 R . Ohne jede genauere Untersuchung ist ersiohtlioh, da 88 sich nur urn Deformationen ohne Wendepunkt (z = n) oder mit Wendepunkt ( z = 2 n ) hasdeln kann, daD bei a gerader Seiteneahl alle Werte von (0) mSglioh sind, dad hingegen bei ungerader Seitenzahl nur die ge- raden Werte 2 n, 4 n . . . bestehen bleiben. Bei unsern friiheren An- sftgen haben wir aber zuerst die 6 eliminiert nnd deshalb greifen wlr anf die Gleichungen (9) znruck. Bei versohwindenden M und 4 siad nnr Liisungen fur die 6 vorhanden, die mit der Bedingang (c) fiber- eiastimmen.

. ( 0 )

Abb. 6,

Ztschr$. angew. V. Mises u. Ratzersdorf e r , Knicksicherheit von Rahrnentragwerken Math.undMech.

Man hat sonach das Ergebnis : Fiir das' gleichseitige Dreieck (78 = 3) ist der Kleinstwert von z an6 (31, (b) gleioh 1,23 n, fur das Qaadrat (n == 4) ist [&us Ql. (a) oder (31. (c)] e = n, fur Polygone mit einer Seitenzahl n ; 4 ist der kleinste Wert z aus GI. (a)

4 n gleich -. Bezeichnen wir mit L die Gesamtltinge des Polygons, L = 72 I, so ist also die

kritische Last P bei der Seitenzahl n = 3

188

~ E J La

E J La

P= 13,G - und fur regelmldige Polygone mit n > 3

P = 16 n2-.

5. Zweifes Beispiel: Der ebene Rechtwinkelrahmen. Von dem in der Abb. 4 geeeichneten Rechtwinkelrahmen mit eingespannten Sttlnderfiifien ist der recbts- seitige Stiel dnrch das Gewicht P belastet. Elastizitiitszahl, LLinge nnd Querschnitts- trtigheitsmoment mind fur den linken Hilfssttlnder E l , 1 und J,, fur den rechten Stander E, 1 und J, fiir den Qaerstab E', h und J'.

Wir wollen jetzt bei Anfstellung der Knickgleichungen unmittelbar von den allgemeinen AnslitZen (7), (8) und (9) ausgehen. Die Gleichnngen (7) ergeben, da

al =- 2, aa=O, ag=- , die Beziehnngen

die auch sofort zu erkennen sind, denn die Knoten 1 und 2 konnen sich nnr horizontal verschieben.

n 3 % 2

82 = 0, 6, = 6, (= 8)

Die Momentengleichungen (8) liefern fur die beiden Stiele E J

1 M l - M o = Z . X , M ~ - M ~ + z ~ - & = - 1 . X

woraus man dnrch Addition B J

1 - 6 = Mo - Mi + Ma -NB

erhglt. mehr auftretende P bestimmt wird). Stabe mit den Abkiirzungen

(Fur den Qnerstab geben wir die Gl. (8) nicht an, da hieraus nur das sonst nicht Die secbs Hauptgleiohungen (9) nehmen fur die drei

Ei JI I = - E'J' 1 E J h' E J

H=- -

die Form an E J 1 E J 1 E J - 81 = - (Mo + Mi), 7 (9a - 91) = - (Ma + Mi), - Ba = - (Ma t Ma) * i. (2,)

1 2 1 2 % 1 E J 1 E J 1 - 1 (2 8 - 9.1) = (Mo - Ml), - 1 (9-1 + 4,) = - G X (Ma - Ml)

E J - 1 (2 6 - 4 2 ) = (Ma - Mz). s (2).

Aus den beiden mittleren Gleiohungen berecbnen wir nnd 9.9 zu E J 1 -el = - - (2 Ml + Mg),

1 6% E J - 8 2 e - ( M I 1 f 2 MY)

1 6 % . und setzen diem Werte, sowie den fur 8 gefundenen in die vier andern ein. So gewinnt man die tolgenden vier Gleiohnngen fur die vier Momente M, wobei wir jetzt fur die Ausdrucke t (2) und s (2) der Kurse halber I und s schreiben.

1 - Ma %

= o

(f - $) MO - (+ + ; 2 - ea 12 ) MI - ( $ + $ ) ~ a + ' 2 M 8 ea 5: 0

Band 6, Heft 3 Juni 1926 189

Die gleich Null gesetzte Determinante dieses Systems - eine Beziehung zwischen x , I und z - ist die Knickbedingung, die zu jedem Wertepaar x , 1 ein bestimmtes kleinstes z

V. M i s e s u. Rat z e r s d or f e r , Knicksicherheit von Hahmentragwerken

- - ergibt.. Die Knioklast ist dann

E J p = z = - 12

Wir wollen nunmehr die vier Grenzfiille x = 0 , x 5 co , 1 = 0, b = Q) diskntieren.

x = 0 ist ein sehr biegungs- schwacber Querstab, eine groSe Arm- 'Ilnge oder ein fast drehbares Qelenk. Die Knickbedingung laatet aufgelost, wenn wir in den Qleichungen die Glieder, die additiv zu - treten, fort-

laesen

1 x

und nach Einsetzen von t und s 28 -

3 (e - tg #T 1 ='

I

x=*

1 1 Die Abb. 7 zeigt den Verlauf der z als Funktion von T. Fiir - = 0 i6t z = tg z, die a 1 1 Enicklast hat jenen Wert, der dem einseitig eingespannten Stab entspriobt; fur -= @,

bei einer schwaohen Einspannung des unbelasteten Hilfssttinders i m Querstab, ist e - x = = 00 stellt einen sebr starken kuraen Querslab vor, dessen belastetes Ende ver-

tikal erhalten . bleibt.

97

Die Knickbedingung wird

0 bedentet. einen sehr starken, In Abb. 7 ist - als Funktion von z aufgetragen. - =

1 1 _ - einen sehr schwachen Hilfssttinder. Wenn - die Werfe 0 bis durcblauft, bewegt a - n sich z von 2 m bis n.

Die Enickbedingung wird, wenn wir

1 1 a 1

1 = 0 ist ein .sehr schwaoher Hilfsstgnder. 1 1,

die zu - additiven Glieder weglassen

1 Die Kurve der e als Funktion voo - ist in Abb. 8 dargestellt. Die Grenzwerte sind be-

reits au6 den vorhergehenden FLllen zu ersehen; fur - = 0 ist z = n, fiir - = Q, i6t

X

1 1 X X

n * - - Y -

2 '

2.1 m bedeutet einen sebr starken Hilfsstfinder, das belastete Ende des rechten Standers wird unverschieblioh erhalten. Die Knickbedingung ist

ea oder % = -

Abb. 8 gibt den Verlanf der z als Funktion von -. bei den zwei zuerst untersuohten Fallen vorhanden, fur - = 0 ist z = 2 n, fur - =

z 008 e - sine 1 - 8 % = -

8 8 t 4 2 (I - cosc) - a sin a'

1 Die Grenzwerte sind wieder schon

ist x

1 1 % X

z = tg 2.

Ztsohr. f. an ew. v. M i a e s u. Ratxersdorfer, Knicksicherheit von Rahmentragwerken ~ath .md&~h. 190

6. Drliies Beispiel: Der Rahmenstab (VierendeeUriCger, Stockwerk- rahmen). Wir betraohten einen an8 gleiohen Bechteoken znsammengeseteten TrQer, bei dem jeder Gurt mit der &a€% f belastet ist (Abb. 9).

t ”

Abb. 8.

Die Qurtsttlbe haben die LLngen,

Elastizitlitszahlen, Qoersohnittstrflg- heitsmomente I , E, J, die Qnerstfibe h, E’, J’ and es sei (vgl. 5)

E’J’ 1 % = - -

E J h ‘

Die Zahl der Felder ist n, die Knoten haben die Bezeiohnung 0 bis n, die QnrtstLbe 1 bis n. Die vorgesohriebenen Auflagerbedin- gungen sind: Knoten 0 nnten feat (swei Bedtngungen), Knoten 0 oben vertikal gefiihrt (eine Bedingung), Knoten n unten horizontal gefuhrt (eine Bedingung). Somit hat das Tragwerk k = 2 (n + 1) Knoten, s = 3 n 4- 1 Stftbe, rn] =4 Anflager-

beschrlinknnpen: m = 0 Dre- I -

@’’ hnngsbeeohrinkungen. rq$Jxx;L Bei der FormLnderung er- leiden die Knoten nur eine ver- tikale Verschiebnng und zwar

P/Z die oberen nnd die unteren nm IRA604ZSI das gleiohe Ma% y , wobei 21 von

1 bis n - 1 llinft. Nach 2 ist Abb 9 die Zahl der unbekannten Ver-

sohiebungen gleioh 2 k - s- ml, also bier gleioh 12 - 1, was auoh sofort zu ersehen ist. Die Anzahl der weiteren Varia- beln (Drehungen, ZnsatzkrPfte, Momente) lli6t sioh sehr vermindern, wenn man Ober- und Untergurt gemeinsam behandelt,.

Wir bezeiohwn die Snmme der Drehungen im oberen und unteren Knoten v rnit 2y.,’, die Summe der Biegnngsmomente im Ober- nnd Untergnrt nnmittelbar links vom Knoten rnit 2 Lv, nnmittelbar rechts rnit 2 Rv. Wenn wir die Hauptgleiohungen .@I) fur den v-ten Ober- nnd U n t e r g n r t s t a b ansohreiben und addieren, so treten links die Summen der Versohiebungen und Drehungen, reohts die Summen der Momente vom Ober- und Untergurtstab auf. Dabei ist fiir das vte Feld (vom Knotep v - 1 bis Knoten 2)) die Summe der M, gleioh 2 Rv-l, die Summe der Mt, gleioh 2 Lv. Man gewinnt SO die Q1 eiohnngen

1 yyI - y’v-1 = - ( (Rv-1 E J + L , ) t (2) . . . . .

(b) 1

E J 2 yv ; ?lV--I - (yy‘ + 2/’”-,)= - (L , - B w ) s(2) . . . . 7

P 2

da die Kraft gleioh - gesetzt ist, Die Momentengleiohung (1) fur den v-ten P P mit za = -

Obergurtatab enthLilt die Querkraft Q, ftir den v-ten Untergurtstab demnaoh - &, voraus- gesetzt, da% keine vertdkale Anflagerkraft vorhanden ist. (In diesem Fall m u t e man sie als Unbekannte mitfuhren, was uneymmetrisohe Knickformen ergPbe). Wenn man nun diem beiden Qleiohgewiohtsbedingungen addiert, so entsteht

2 E J ’

1 1 1 E J aa

- - - --(Ly-. Rv-1) . . . . . . arv - t/v-1

eine Gleiohung, die aus einem duroh beide Qnrte gefiihrten Schnitt anoh nnmittelbar herge- leitet werden kann. Jetzt sind nooh die Qleiohnngen fiir den Q n e r s t a b aufmstellen. Fur diesen ist y. = Y b = 0, d a die Knoten nur vertikale Versohiebungen erfahren. Da P = 0 gelten die Gleiohungen (11’). Das Moment Mw am oberen Ende ist Lo - Byo, das Moment Mb

Band 6, Heft 3 Juni 1926 v. M i s e 6 u. Rat z e r s d or f e r , Knicksicherheit von Rahrnentragwerken 191

am unteren Ende ist - Lvu -I- R,” (Abb. lo), darans folgt k f b - M, = - 2 (Lv - Rv) und die zweite QIeichnng (U’) Iautet

yv =-- (&-hLv) . . . . . . . . . . (d). 6 w E J

Die Qleiohungen (a) bis (d) genugen bereits aur Beherrsohnng des Problems.

Die Qleiobungen (a), (b) nnd (0) gelten fur jedes der v FBlder, also f i i r v I= 1 bis n. Daher sind insgesamt 4 n 4- 1 Qleiohungen vorhanden; Lo und R, mu% man dabei null seteen. An Unbekannten hat man: n - 1 Durch- biegungen yl bis ?/n-t, n+ 1 Drehwinkel yo’ bis y,,’, ?I. Momenten- summen LI bis L,, und n Momentensnmmen Ro bis &,-I, somit im aanzen 4n. Wie man sieht ist eine Unbekannte eu wenig, dies erklart sioh aber damit, daO die vertikale Auflagerkomponente schon gleich Null angenommen wnrde. Wir haben uns so ant symmetri-

die Summe aller n Gleichungen (b) and aller n Gleichungen (0) identisob, nlGmlioh 0 = 22 (Lv - von den 4 n + 1 Gleiobungen sind also’ nur 4 n von einander nnabhingig,

Eliminiert man an8 den Gleichungen (a), (b) und (c) die yv (es ist dies das allge- meine Verfabren und bei allen StlGben, fur die P von null verschieden ist, anwendbar, vgl. 3), so erbLlt man

“I )” Wir wollen dies duroh AbzfihIen nachweisen.

”( I )h’: 1-1

Abb. 10.

Die Qleichung (d) gilt fiir v = 0 bis n.

sohe Deformationen beschrllnkt, wobei 2 y{ = 0. In diesem Fall ist

1 E J

yv’ - y’y-, = - ( B v - 1 I- L v ) ‘ t (2) - ~ ~ - I J ’ ~ - - I = - ( ( L , - R R V - ~ ) . ( s ( z ) + ~ ) I

E J

fur v = 1 bis n. Duroh Auflosen nach L, und Rv-l findet man, unier Beachlung der Ql. (5) fur t ( z ) und s(z) die Beziehungen

- 1 L, = -2% (COB z y.) - y’v--1) 1

E J sin a: (yy’ - cos z * IJ’v-1). 1 - R, --I =

E J sin e 1

Wenn v < n kann man aus der zweiten Qleiuhiing schlie5en, da5 - R, = 2L (Y’~+I

- cos a * y4) E J sin z

Damit wird - 1 (R, - Lv) = 2- (y’,+1 - 2 00s 0: * y: + y’v-1)

E J sin z.

und &us Q1. (d) entsteht

fur v = 1 bis n - 1, eine Kettengleiohung 2. Ordnung fur die y;. Urn die Randbedin- gungen zu bekommen, muB man beruoksichtigen, daO La = 0, R,i = 0 und 80 ergibt sich

Mit den Hilfsgr65en y‘-, und y’,,+, kann man die Differenzengleichung auch fiir v = 0 und v = n anschreiben und hat drnn n f 3 Gleichungen fur n+3 Variable yI-1, yo’. .. IJ‘%+I.

Diese Qleichung ist nun anfeulBsen (eu integrieren). Der Ansatz y4 = eViS liihrt zu

yln+, = 00s 2 * y; , ?/’-I = 008 2 * yo’.

2 o o s z f 3 H - sins) = 0 ( &O + e-i% - Z

woraus sin a cos 8 = 00s a -1- 3 x - . . . . . . . . . (a).

Das allgemeine Integral y4 t A 00s v 8 + B sin v 4 sohreiben wir in Hinblick ant die Symmetrie in der Form sin v - - c) an. Die Randbedingungen ergeben

a:

( 3 cos z = COB 8 + cotg 2 4 . sin 8 . . . . . . . . (6).

2 Eliminiert man 4 &us den Bestimmungsgleiohungen (a) und (@), 80 entsteht eine Qleichung fur z alS Funktion von x nnd n. Fur H = 0, d. h. bei sehr sohwaohen QoersMben wird

Ztschr. f. nngew. v. Mises u. R a t z e r s d o r f e r , Iinicksicherheit von Rahmentragaerken Msth.nndniech. 192

n

92 z = -, d. h. der Rahmenstab trlgt nur soviel wie die beiden Qnrte in unverbundenem

Zustand; fur n = Q, , d. i: bei sehr starken Quersttlben ist z = n, entsprechend einer Form- Inderung, wie sie in Abb. 11 angedeuiet ist; jeder Gurt hat in der Mitte eines jeden Feldes einen Wendepunkt, an den Enden des Feldes eine wagrechte Tan- gente nnd zeigt dabei - im ganzen gesehen - eine sinus- Form. Bei der AuflSsung der

Abb. 11. Q1. (e) und (a) geht man am einfachsten derart vor, dab man

bei vorgegebenem n den Parameter 6 die

<& :rnQA, P

7c 2 m a,.- ---- Werte zwischen - nnd - durchlaufen n - 4 n n + l n=&?

I I I

z,o 40 4 0 40 ?t

Abb. 12.

Ififit, a116 GI. (a) den Wert z berechnet und biernach aus (31. (0) das x bestimmt. Die 60 gefundenen Wertepaare x , z . kann man in ein rechtwinkeliges Koordinatensystem eintragen und gewinnt damit bei gegebe- nem n das gesuchte z als Funktion von N (Abb. 12).

Fur eine grobe Feldereahl n und kleine x wird 9. klein, n 4 nahg R und aus Q1. (a) in erster NIherung .z2 = 6 w .

Fubren wir die Qesamtlitnge des Balkens L = n - I und das fiktive Tragheitsmoment r= 2 J ein, so lautet daher der aspptot ische Ausdruck fiir die Knicklast -

E J E’ J ’ P=n2-++2-- . . . . ,

La h l . . (13).

Der erste Summand ist entsprechend der E ulerformel fur die unverbundenen Qurte gebildet, der zweite stellt den von der Qnerverbindung herruhrenden Zusatz dar, der durch Verkleinern von 1 beliebig vergrijdert werden kann. Es ist aber zu uberlegen, ob bei engen Feldern der Ansatz der reinen Rahmenknickung, d. h. die Vernachllssigung der Dehnungen wlhrend des Knickvorganges, noch eine branchbare Annlhernng liefert .

Es ist nlmlich sicher, daf3 die Q1. (13) nicht die volhd&tdige Liisung des Problems bietet. Das Hanptglied enthtilt nur das - Trlgheitsmoment der Qurtstabquerschnittsflfichen F bezuglich ihrer eigenen Schwerachse J = 2 J, wlhrend man eigentlich noch ein Qlied von der Grbbe 2 P- erwarten sollte, das das Trtigheitsmoment bezuglich der gemeinsamen

Schwerachse zum Ausdrnck bringt. SchlieBlich mu8 ja bei grober Felderzahl der Rahmen- balken die Tragfahigkeit eines vollwandigen TrSigers annehmen. Nun ergibt die Tbeorie der reinen Fachwerkhickung, die eine Berucksichtignng der LLngenlnderungen unter Vernachllssigung der Biegungen darstellt, beim Oittertrager das fiktive Tragheitsmomen t 2 F -, wIhrend wir jetzt bei Beachten der Biegungssteifigkeit und Aui3erachtlassen der

Dehnungen nnr den andern Bestandteil 2 J auffinden. Demgemtib mub man verrnuten, dab eine Theorie, die sowohl die LtingenLndernngen, wie die Biegnngssteifigkeit in Rechnung stellt, das vollsttindige Resultat liefern wird.

2. Allgemeine Sfabwerkknickung ebener Sysfeme. Die Theorie der reinen Rahmenknickung bedarf nur einer kleinen Erggnznng, urn zu einer allgemejnen Theorie der Stabwerkkniokung zu gelangen. Wir betrachten wie vorher wieder das ebene System von kKnoten und s Stlben. Die in 2 getroffene Annahme, wonach wtihrend des Knick- vorganges keine LtingenLnderung der Sttlbe stattfindet, lassen wir fallen und setzen vielmehr voraus, da4 sich der (unendlich kleinen) Biegnng eine (unendlich kleine) Deh- nung Iiberlagert. Sind ub und ua die Verschiebungskomponenten der Endpunkte eines

l2 . 4

h4 4

Band C, deft 3 Junl 1936 193

Stabes in der Stabrichtung (vgl. Abb. I) , S die in die Stabrichtung fallende Komponente der Zusatzkraft, so sol1 die D e h n u n g s g l e i c h u n g

v. M i 6e 6 u. It a t z e r s - d o r f e r , Knicksicherheit von Rahmentragwerken

s E F

u b - u u , = - - - * . . . . 4 . , (111)

als weitere x H a u p t g l e i c h n n g c gelten. Untersncht wird wieder die Stabilitlit eines biegungsfreien Qleichgewichtszustandes, wobei wir die Stabkrlfte P fur jeden Stab als gegeben ansehen. In den friiheren Qleicbnngen werden die LLngen unverlndert, ohne Beriicksichtigung der durch die S bewirkten Aendernngen eiogesetzt. Es ist zn beachten, dad die LLngentinderongen infolge der urspriinglichen endlichen Krltfte auch bisher nicht vernachllssigt waren; fiir die L&ngen 1 und die Winkel OL werden j a bei der Stabilitlts- bereohnung die Werte des verformten Zustandes eingesetzt.

Die Bilanz zwischen Qleichnngen und Unbekannten gndert sich nnr in einem Pnnkt gegen 2. Es treten s unbekannte VerschiebungPgroBen nen hinzu, denen stehen aber s Hauptgleichungen (111) gegencber. Wir haben somit 4 s lineare homogene Glei- chnngen mit 4 s Variabeln, deren gleich Null gesetzte Koeffidenten Determinante die Knickbedingung liefert.

Znm Fall der reinen Rahmenknickung kommt man zuriick, wenn man in (111) die Querschnittsfltichen P gleich unendlich annimmt. Es sind aber noch verschiedene Er- weiterungen der Theorie moglich. 1st ein Stab in einem Knoten gelenkig angeschlossen, so ist das betreffende Endmoment null, dafiir aber die Neigung ?f unbekannt, d. h. nicht gleich der der iibrigen Stabe in diesem Knoten. Man braucht aber nicht nnr die Grenzfalle vollig nacbgiebiger oder vSllig steifer Eckverbindungen in Betracht zu ziehen, sondern kann auch )) e l a s t i s c h e a Anschliisse zulassen. Eine solche Nachgiebigkeit kann durch eine lineare Beziehung zwischen den Drehungen und den Endmomenten festgelegt werden ; y’ und M sind dann nnbekannt, daftir tritt eine neue Gleichung ein. Auch elastische Auflagerbedinguugen k h n e n in gleicher Weise behandelt werden.

8. Der Rahmensfab, allgemeiner Ansafz. Wir nehmen das Beispiel des Rahmentrltgers von 6 wieder auE und wollen jetzt die LLngenLnderungen der Stlbe be- riicksichtigon. Wir beschrlnken uns auf symmetrische Deformationen, da diese die kleinsten Knickwerte liefern.

Ein Vertikalschnitt durch den Rahmenstab (Abb. 9) lehrt, daS die Zusatzkriifte im Ober- und Untergort desselben Faches entgegengesetzt gleich sein mussen. Somit sind es auch die Dehnnngen und das bedeutet bei der angenommenen Festlegnng, daB die horizontalen Versohiebungen von zwei untereinander liegenden Knoten gleich von ent- gegengesetztem Vorzeichen sind. Bezeichnen wir mit u., die Verschiebung des Obergurt- knotens Y nach reohts, mit Sv die Zugkraft im Obergurtstab 31-1, $1 so ist nach G1. (111)

. . . . . fur ~ = l bis n. Die Qleichungen (a), (b) und (c) in 6 bleiben unverlndert bestehen, nur ist jetzt yv die halbe Summe der oberen and nnteren Verschiebung, ohne da13 jedoch die Gleiohheit beider behauptet werden kiinnte. In (31. (d) kommt ein von den Verschiebnngen u herrubrendes Qlied hinzu, denn diese Gleichung war die zweite der Haupt- gieichnngen (11’) fur den Querstab und entbtilt allgemein noch den Ausdruck 2 ’n . Statt

ya, y. und I sind jetzt-uv, u . ~ und h zu schreiben. 1

Daher wird

. . . . . SchlieSlich stellen wir noch die Momentengleiohung (I) fur den Querstab anf. Da 2 (L, - Rv) die Differenz der Endmomente nnd SVs1 - X., gleich der Querkraft Q ist, lautet sie

fiir Y = 1 bis n - 1. Mit dem System der sechs Gleichuogen (a) bis (f) ist die erforderliche Anzahl znr Berechnung der 6 Variabelnreihen y! $, L, R, X, u gegeben.

Wir wollen wieder wie in 6 die y elimimeren. Die dort bestimmte BezIehung fur 22, - Lv war an6 den Qlejchungen (a), (b) und (c) abgeleitet, gilt also nnverlndert weiter und 8 8 entsteht mit der 01. (d’)

2(Lv- R, )+h(Xv+1- Sv)=O . . . . * . * (f)

Zhchr. 1. angew. 194 v. u ises U. h t x e r s d o r f e r , hicksicherheit von#ahmentragwerken Math.undMeeh.

Wenn v < n kann man Y in Ql. (e) duroh v + 1 ersetzen, also Sv+l und weiter Sv+l - 8, berechnen. Bus Ql. (I) erhllt man damit

2 ( Lv - Rv) i- E F P (wv+~ - 2 uv + UV-i ) = 0

fur v = 1 bis n - 1. Bier iibernehrnen wir den friiheren Ausdruck fiir Lv - Rv, dann die Werte’u aus der eben entwickelten GI. (d”), indem wir sie anch ant Y + 1 und v - 1 an- wenden. Der Geltnngsbereich wird dadurch anf v = 2 bis n - 2 eingeschrlinkt. Man gewinnt eine Kettengleichnog 4. Ordnung fiir y’

fiir v E 2 bis n - 2 wobei die Abkiirzungen eingefiihrt wurden ~ ’ v + a + ~ y ’ v + i + 2 b y ’ v + ~ y ’ v - 1 + y ’ v - p = O . . . . . . (K)

sin E sin s a = - 2 1 + 008 2 + 3 X - + 3 il ), 6 = 1 + 2 00s 2 + 6 x - + 6 LCOS 2,

J 8 ’ 4 J’1 F h g E Fh3

il-

( -

4

Als Randbedingnngen haben wir wie vorher aus Lo = 0, h?,, = 0

Dies ermBglicht die Kettengleichung auch fur v = 1 und Y = n - 1 anzusohreiben. Man benBtigt aber noch die Gleiohungen fur v = 0 und v = n Fur v = 0 ergibt sich &us

y’-1= 008 z 9’0, ~ ’ ~ + l = CON z $n . . . . . . . (Ri)

G1. (f): - fur RO den

Bildet man

h

1 2 RO + h XI = 0 und daraus mit GI. (e) : 2 Ho = E F- (u, - uo). Wenn man

in 6 gefundenen Ausdruck- & = 2- (yrl - cos z * yJ0) einfiihrt, so entsteht 2

E J sin c

2 e F h (yJ1 - cos z.y’,) = 7 (u1 - 240) an8 Q1. (d”) die Dif€erenz u1 - ~0 und setzt sie dem jetzt bestimmten Wert

gleich, so erhE1t man mit

und dann analog . . . . . . . (Rd

die beiden, Qleichungen fiir Y = 0 nnd v = n. Es ist bemerkenswert, dal das Problem nur von 2 Parametern abhlngt, von dem

bereits friiher benntzten x , dem Verhlltnis der Steifigkeiten von Qner- und Qurtstab und

von 1, d. i . dem x-facben Verhliltnis J: -. Auf die Dehnbarkeit der Qnerstiibe kommt

6s uberhaupt hicht an. Die re ine Rahmenknioknng ist der Fall I = 0, man sieht, dal sie bei g r o f l e m g n n r eine Ntlherung sein kann.

ZUrdZ. Man kann auoh die Frage stellen, wie sich statt der berechneten yv’ die Durohbiegungen yv verhalten. An8 der G1. (c) folgt in Verbindung mit den Gl:(b) und (c) von 6

1/54 + (a + 1) y’1 + (b - COB z) y’o = 0

yln-2 + (a+ I ) d n - l + ( b - 0 0 ~ 2 ) y’m =O

Fh2 4

4

Es lassen sioh also die 6 (oder die Differenzen der y) linear homogen in y’ ausdriioken, d. h. es geniigen auoh die 6 der Kettengleichung (K) . Damit wird

yv+2 i- a yv:+ + 2 b y~ + a yV-1 + yv-g - konst. Die Konstante vdrsohwindet nur bei einer bestirnmten Wahl des Nullpunktes der y. Legt man dnrch das v-te Feld beim Knoten v einen Sohnilt, so liefert das Momenten- gleiohgewicht Lv + (y, - yo) - h Xv = 0. Da man Sv naoh G1. (e) durch uv, uv-l, diem

naoh Ql. (d’) darch y’,, ~ ’ ~ - 1 , Rv, Lv, RV+, Lv-l, endlich die R und L naoh 6 dnroh die y’ ausdrucken Bann, so sieht man, da% yv - yo ebenfalls der Differenzengleichung ( K ) ge- niigt, also yv dann nnd nur dam, wenn yo=@ gesetzt wird. Unter dieser Voraus- setzung gilt also

Die Rmdbedingungen sind

P

yv+:, +ayv+1+ 2 b y v + a?/r-1+ yv-t = 0 * . . . . (K’j

90 e ys = O . . . . . . . . . . . (R’J

band 6, Heft 3 Juni 1986 v. M i s e e u. #ateersdorfer, Xnicksicherheit von hhmentragwerken 196

Faf3t man weiter die zweite Q1. (&) in die Form

und beaohtet, daS nach (Rl): y’. =”” + so wird

(y’,,-a + ?/’n-1) + a (9’n-i + y’n) + (6 - a - 008 2 ) y’n = 0

1 + COB a ’

Nun ist, wie gerade gereigt wnrde, jede Snmme aufeinanderfolgender y’ bis auf einen konstanten Faktor gleich der Differenz der betrdenden y und man bekommt, da y,, = 0

a + o o s # - b yn-9 + (a - 1) yn-1+ + cos a yn+1 = o

und dann in gleioher Weise . . . . . . (R’s)

Der Rahmenbalken wnrde eingehend von L. Mann l) behandelt. Der Ansatz(X’,R’1 ,B’g) stimmt mit dem von Mann gegebenen iiberein, Venn man dort die Glieder weglgflt, die der Beriioksichtigung der Sohnbspannnngen bei der Biegung dienen. H. M u 11 e r - B r e 8 1 a n ’) geht von ghnliohen Voraussetzungen aus, macht aber im Laufe der Reohnung verschiedene willkiirliohe Annahmen, so da6 setn Ansatz sohlieSlioh von dem hier gegebenen ver- sohieden ist.

9. Ergebnisse f ir den Rahmensfab. Diskussion der Kettengleiohnng ( R ) von 8. Beispiel.

A. S e h r s t a r k e Q u e r v e r b i n d n n g e n . Wir nntersnohen zungohst den anoh von Miil ler-Breslan vorangestellten Fall, dai3 das Trligheitsmoment J’ der Querstiibe unendlioh groB sei. Dann sind

und aua der Differenzengleiohnng (K) entsteht jetzt

(y’&-ty’”-,)(~$+Q) - 2 !I., ~ + + e c o s a ) = o

(yvfi + yv-l) r: + Q ) - 2 yv rT + @ cos z) = 0

cine Keltengleichnng 2. Ordnung. Wenn wir sie in den Dnrohbiegungen anschreiben (K’ )

.branohen wir narmehr die Randbedingungen yo = y,, = 0 hineuzunehmen. Die Be- dinguugen Ra’ haben weiter keine Bedeutnng, ’da sie bloD y-] nnd bestimmen, diem aber in den rfleiohnngen nioht auftreten, wenn wir, was v6llig geniigt, v von 1 bis n - 1 laufen lassen.

Wir haben nun diese Qleiobung aufzul6sen. Der (ans Symmetriegriinden gewEhlte) Ansatz yv = 00s v - - 6 fiihrt en ( 3

c o s 8 ~ ~ + , ) - ( ~ + e o o s z ) = o . , . . . . (a)

n wlihrend die Randbedingnng verlangt, daB 4 = - . Damit wird n

7z 1 - cos -

4 5

Fha m e C O B - - C O S #

n sin a - e = - . . . . . . . . * (A). n

mit der Kniaklast E J P= 223- la

’1 L. Matnn, Die Berechnung steifer Vierecknetze. Zeitschr. fur Banwesen Bd. 5 9 (1909), S . 5 5 9

’) H. Mt i l l er -Bree lau , Die neusren Methoden der Festigkeitslehre nnd der Btatik der Ban- bie 567 .

konatruktionen. 5 . Anfl., Leipzlg 1924, s. 380 u. f.

Ztschr. f. angew.. v. M i 8 e 6 U. -ft a t 2; e I’ 8 d o r f e r , Itnicksicherheit von Rahmentragwerken Math. and Me&. 196

76 Bei gro%er Felderzahl sind 0 =: ; und kleine Werte. In erster Ntiherang ist aus

und mit dem fiktiven Tragheitsmoment J= 2 7 C ’ l + Q der Gl. (a): z a = s ~

der Gesamtlinge L = ?a 1 des Stabes die kritisohe Last e

Der Rahmenstab wirkt also wie ein eingliedriger Stab mit dem resultierenden TrLgheits- moment beider Qnrtungen. Urn eine z w e i t e NZiherung zn erhalten, entwickeln wir die (31. (a) bis zum zweiten Qlied und seteen fur z den ersten Ntlhernngswert ein. S o gewinnt man die Qleichnngen -2-2 l + e ?c=

122 (1 - I -

und . . . . . (A’).

Der zweite Summand in der Rlammer, der mit wachsendem n gegen Null geht, zeigt die Abmindernng dar Tragkraft gegenuber dem Vollwandtrager in erster Nlherung. Man kann fur kleinere n weitere Niiherungen ableiten, indem man hohere Potenzen von 2

nnd 4 beriicksichtigt oder lieber auf die vollstiindige (31. (A) zuruckgreifen, die obne Muhe zeichnerisch answertbar ist. In Abb. 1 3 ist fur beliebige Werte n das Bild der 2 als

I n-cx, Fnnktion von Q dargestellt. Fur Q = O ist r j 70 40 immer z = n , entsprechend der reinen Rah-

. menknicknng bei H = O D . In der bisherigen

die nur bei grodem ?a einigermaBen rnit unserm Ergebnis ubereinstimmen. Sowobl Mann wie Mi i l le r -Qres lau geben Formeln an, die unserer (A’) ahnlich sind I ) .

B. Groi3e F e l d e r z a h l b e i s c h w a c h e r e n Q u e r s t a b e n . Fuhrt man in die Eettengleichnng (A’’) die Differenzenqnotienten

\ n= 70 ,7d/ro

Abb. 1 3 . Literatnr sind Formeln verijffentlicht worden, .

l a . LI, y = yv+l - 2 yv + , 1 4 . ;14 = y.+2 - 4 Y v t l + G yV - 4 + yv-? ein, so entsteht 1 4 * A4 ?J+22(4 +a) * A2 y + 2 ( a + b + 1)y = 0. Fur grofie Werte n und eine feete Ltinge L = nl wird 1 klein und man darf, wenn 1 von Null verschieden ist (da eonst a + 5 + 1 = O), das erste Qlied weglassen und erhalt damit nach Einsetzen von d~ y

(4 + a) (&+I + yy-1) + 2 (I, - 3) y v = 0

) sin a sin a (1 - C O S Z - - 3 % - - 3 1) -+ yv-l) - 2 ( I - - 3 - - 3 a cos 2/v = 0.

Diese Gleichung ist mit den Randbedingungen yo = y,, = 0 ZU integrieren. Der

Ansatz yv = cos v - - 8 erfordert wegen der Randbedingung 8 = - und zufolge

(4 + a) COB 8 = 3 - I, die Gleichung

n ( 3 It

sin a 1 - COB a - 3 x __ - 3rzcps c

l - e o s a - 3 % - - 3 2

z 3 - - b COB - = - - -

n 4 + n sin a

*) L. M a n n , a. a. 0. S. BG6. - Boi H. Mtiller - B r e s l a u , a. a. 0. S. 398 ist, die Knicklast

rnit u = (2)2 tg’ G. Bei RroBer Felderzahl n wird u unhezu

- E J u 7c

La 1 i 2 e (Formel 74), P = ma -

1 + 0,8 - u n2 B

gleich Eins und es hei5t dann lm wesentlichen

Band 6, Heft 3 Juni 1926 v. Mises u. R a t x e r s d o r f e r , Knicksicherheit von Bahmentragwerken 197

n 1 - cos - und daraus findet man

1 - COB 2 ") . 3 x s i n s e = .n

COB - - COB a 71

Die Qleichung nnterscheidet sich nur durch den zweiten Summanden in der Klammer yon Gl. (A). D i e m Ausdruok ist aber bei endlichem x , grof3em n (nnd daher kleinem 2 )

bis auf &%%en von hBherer als 2. Ordnung gleich 5. In erster Nfiherung, d. h. wenn auch za gegen Eins vernachliissigt wird, bleibt also das erste Resdtat von (A') be- stehen, z2 = - - + '. In zweiter Niiherung kann man fiir den Klammerwert I - - nun

schreiben. Es ist also jetet' in Gl. (A') durch 762 I-- -

a2 n9

nz B 6 % +

6n'n p e

zu erselzen. Damit werden n2 1 - t ~ 2 2 = - - nr Q 12 na p 6 n 2 i

nn d

Der neue Zusatz gibt die Abminderung infolge der Endlichkeit der Trllgheitsmomente J der Qaersttibe. Das Ergebnis stimmt aber mit dem von M u l l e r - B r e s l a u dnrchaus nich t uberein I).

C. Der a l l g e m e i n e Fa l l . Im allgemeinen Fall handelt es sich darum, 5u gegebenen Werten n, x und I das z zu finden. Dies ist wohl nicht direkt mtiglich, da die Qleichung in z transzendent ist, aber man kann bei vorgegebenem n die drei Variabeln 2, x , I als Fnnktionen zweier Parameter 81, 8,, explizite darstellen, womit zusammen- geharige Wertetripel z, x , 71 bestimmt sind.

Fuhren wir in die Kettengleichung (R') von 8 ZJ~ = e v i e ein, so ergibt sich

Die beiden LSsungen dieser qoadratischen Gleichung, die nicht reel1 sein miissen, seien a1 nnd 82; dann sind

4 c o s ~ 9 + 2 a c o s 9 + 2 ( b - 1)=0.

6-1 COB 41 + cos 8 2 = - a, bos 81 * cos 8% = - . . . . (a).

2 2 Die Randbedingungen gewinnt man in folgender Weise. Die allgemeine Lijsung de r Differenzengleicbuog ( K ' ) ist mit Riicksicht auf die Symmetrie

Daher wird mit yo = y. = 0 , coa It_ 3 2 A 2 -- _--. R

COB 9.1 2

Die Bedingung (Ba') von 8 verlangt, dail a - b + c o s z

4 1 +(a- 1) 00s

89 +(a- 1) cos a - - b + cos a 1 + cos 2 cos (5 + 1) 021 = 0.

'1 H. M i l l l e r - B r e s l a n , a. a. 0. S . 400, Formel (82). Zu faat der gleichen Formel gelangt jedoch M. Qrt in lng in seinem BUrelich erscbienenen Bacb, Die Statik des ebenen Tragwerkes, Berlin 1925 Q r l i n i n g gehi von ungePllhr gleichen Erwllgungen aos w i e M U l l e r - B r e s l a u , flthrt aber dle Rechnung welt ilbersichtlicher dureh. Es heiBt dort S 695, Ql. (155): -

E J (1) P = x l - -

LS n ' 2 n2

wobel f i i ~ gro0e n der Wert r u = - ( 1 - COE g) gleich Eins zu setzen iat.

13

Ztsclir. f. anmew. V. .Mdjses u. R a t z e r s d o r f e r , Knicksicherheit von Rahmentragwerken Mtttll.und&ch. 198

Die Qleichsetzung beider Werte fiir A : B liefert eine Qleichnng, die nach cos z aufgeliist werden kann

--

A b l ~ . 14.

(a - b - 1) [COS 8’- tg !! 8’ * sin 9.12’

(P). .

2 c o s ~ - - l - [oos 2 4 + a cos a+ tg 12 4 (sin 2 3 + (a - 2) sin $1121

2 Hierbei bedeutet in abgekiirzter Schreibweise [5]1l die Differenz XI - Xa ScblieSlich hat man au9 den beiden Definitionsgleichnngen fur a und b noch x und 1 zu bestimmen und erhzlt so

1 a + b + l 6 sin a ’ 6 1 - 00s E

A = - - - - - (Y). b + a c o s a + c o s Z z a x = 1 - COS z

Zu angenommenen Werten von und rechnet man nun a nnd b aus Q1. (oL), hieranf z aus Ql. ( p ) und endlich x nnd 2 aus den 01. (7).

n 4 Benntzt man Formeln fur lg-, so kann man in Q1. (8) durch 00681 2

- cos 6, kiirzen nnd den iibrig bleibenden Brnch rational durch 00s 19~ + C O B 82 und cos 9, cos 82, also auch durch a und b ausdriicken. Es sind somit cosz, nach den 01. ( y ) daher auch I und x %!-! rational in

a nnd b. D. D i e S o n d e r f l l l e n = 2 u n d n-3. Beispiel . Bei so

kleiner Felderzahl lobnt es nicht, sich aof die Integrationsveifahren zu stutzen und es ist einfacher, unmittslbar von den allgemeinen AnsKtzen in 8 aaszugehen.

Piir n = 2 wird aus der (31. (E) mit 11 = 1 unter Beriicksichtigung von (RI)

eine Beziehung, die bei symmetrischem Ausknioken immer erfullt ist, da y,’= 0, yir’ - - - yo’. Es bleibt nur noch die Ql. (&)

ubrig, die mit y1’ = 0, y ~ ’ = - yo’ die Knickbedingung b - 1 - cos L“ = 0 ergibt.

(a + COB 2) (yo’ + ya’) + 2 b YI’ = 0

yz’ + (a + I) yi’ + (b - COB 2) yo’ = 0

Nach Eiofiihrung des Wertes fur E, wird daraus tg a 1 h E J 4 J

x Y 6 1 E ’ J ’ Fh‘*

Bei n = 3 entstebt aus den Ql. (9) und (R1) fur 1’ = 1, unter Beachtnng, daO infolge der Symrnetrie pa’ = - yl’, y3’ = - yo’ die Beziehung

Aus der Randbedingung (a) folgt

Somit ist die Enickbedingnng

eine aleichung zwischen H, 1 und z. Man erhtilt selbstverstlndlich dieselbe Beziehung a116 den Q1. (KJ) und (RaJ).

Beis piel. AnlM3lich des Einsturzes ‘der Rahmenstlbe vom Hamburger QroOen aasbehllter im Jahre 1909 wurden im Materialprufnngsamt Berlin.Lichterfelde drei diesen nacbgebildete &&be anf Knickfestjgkeit gepruft(Abb. 14) I). Hierbei waren: Lttoge L = 3 4 Ocm, Felderzahl n = 3 (1 = 113,3 cm), Querschnittsfll~he eines Qurtstabes F = 24 oma, TrLgheits- moment des Qurtstabes bezuglich der eigenen Schwerachse J = 85,3 om’, Bindeblech (Querstab) H6he h = 6,28 cm, Breite b = 14 om, Stlirke d = 0,8 om, Elastjzitfitszahlen der

(0 - 1 + cos 2 ) yo’ + (2 b - a) y1’ = 0.

(b - cos 2) yo’ + a yl’ = ( 1 .

u (U - 1 + cos Z) - ( 2 b - U) (b - cos 2 ) = 0

’) Tg1.E. M l l l l e r - B r e s l a u , a. a. 0. S. 409. Siehe auch.H. Mi i l l er -Bres lau: Zur Bereehnung der Knicklast des Rahmenstabes. Far den im Eisenbau Terwendeten Rahmenstab, der aus zwei Gurtstbben mit Bindeblechen bestcht, liefefn die Formeln von M l l l l e r - B r e s l a u ein fur praktische Zwecke dem hler berechneten als gleich anzusehendes Ergebnis. Die dort getroffenen Annahmen und Vernachllissigungen slnd gerade diesem besondern Fall angepa6t.

Diese Zeitschr. 1924, S. 487 bis 490.

Band 6, Heft 3 Juni 1926 Schle icher , Dor Spannungszustand an der FlieSgrenze 199

drei Versuchsstiibe E = 2010, 2027, 2045 t/cm2. bestimmt: 81 i, 83,5 t, 89,4 1.

Es sind

Als Knicklasten wurden experimentell

Wir wollen nun diesen Stab nach allen den vorstehenden Methoden untersuchen.

h3 1 2 12

- J i Z J + F - = 6 4 3 , 8 6 c m 4 , J '=2 . -db3=365 ,87 cm4

_ - _ - - - 2,7741, J' 1 J h 4 . 4 J B h2

Aus (31. (A) (starre Bindebleche) wird fur n = 3 der Parameter z= 1,81-48 und bei den oben angegebenen Werten von E sind die kritischen Werle P= 88,O t, 88,73 1, 89,51 t .

Ans Q1. (A') (starre Bindebleche bei grofier Felderzahl) folgen P = 82,48 t , 83,18 1,

83,92 f. Bus Q1. (B) (schwaohe Bindebleohe und grofle Felderzahl) werden P = 81,75 l ,

83,45 l1 83,19 t. Das genaue Verfahren liefert fur n = 3 an6 der Qleiohung a (a - 1 +- cosr)

- ( 2 b - a) (b - cos z ) = 0 mit

1 F h 2 4 J - 77,3831, 1 = x - = 27,8950. x = - - - -

sin e sin 5 - a = 169,37 + 2 COB Z + 464,3004 __, b = 1 + 169,37 COB z + 464,3004 - a 5

fUr z den Wert 1,813, daher fur die Knicklasten P= 87,81t, 88,57t, 89,33t. Alle dime Zahlen stimmen rnit dem Versuch gut uberein. Man sieht, dafi man bei

den iiblichen DruckstLben sohon bei kleiner Felderzahl nach den einfachen Formeln nnter A nnd B rechnen kann. 604

Der Spannungszusfand an der Fliebgrenze (Plasf izitaf s bedingung). Von F. SCHLEICHER in Karlsruhe I).

ie fur die Plastizitiitstheorie grundlegende Frage, wslche Urnsttiode die Fl ied - g e f a h r bzw. das E r r e i c h e n d e r E l a s t i z i t L t s g r e n z e bedingen, kann heute noch nicht in vBllig eindeutiger Weise beantwortet werden, trotz der gro5en Zahl

von Versuchen, die bereits zu ihrer RlLrung gemacht wurden. Nach einer alten Anschaunng ist ein hydrostatischer Druck, der einem bestimmten

SpannUng6ZU6taDde uberlagert wird, ohne EinfluD auf die B r u c h g e I a h r , so daB ein homogener Kiirper durcb einen allseitigen gleicbrn&Bigen Drnck nicht zerst'drt werden kann. Hinsicbtlich der E l a s t i z i t l t s - oder auch der F l i e B g r e n z e durfte fihnliches kanm gelten, da es als feststehend betrachtet werden mu5, daB ein entsprechend hoher, allseitig gleichmiif3iger Druck wohl einen homogenen Rijrper nicht zerst'dren kann, jedoch bleibende FormLndernngen erzeugt (Mater ia lverd ich tung) , die i. A. eine Aendernng der Festigkeitseigenschaften znr Folge haben werden. Welche Wirknngen ein allseitiger Druck auoh bei sproden Stoffen wie Marmor, Sandstein u. %. hervorbringen kann, zeigen die Versnche von v. K h r m h n und Biiker.

Eine kritische Untersuchnng der bisher bekannten Hypothesen iiber die Fliefl- gefahr zeigt, da8 diese zum gr'dfleren Teile in Widersprnch rnit den wirklichen Ver- bkltnissen stehen und z. T. noch nicht genugend mit diesen ubereinstimmen. Die vor- liegende Arbeit gibt eine neue Hypotheses), die mit den bis hente vorliegenden Versnchs- ergebnissen - vor allem mit denen von v. KRrmkn, B a k e r und Lode - besser iiber-

I ) Der gr6lBere Teil der Ergebnisse der vorliegenden Arbeit wurde rom VerfuRser bereits am 8. Ma1 1925 in seiner Probevorlesung (an der Technfschen Hocbschule Karlsruhe) Uber das Thema *Spannungszustand, FlieBgrcnze und Bruchgefabra mitgeteilt. Vergl. auch den Vortrngaauszug von der Danzlger Tagung, diese Zeitschr. Ba. 5 (1925), S. 178

a) A n m o r k n n g d e s H e r a u s g e b e r s : Eine rnit der hier entwlckelten wesentlich gleiehlantende PlnstizitPtsbedingung Ist ron mir In einem Vortrage irn AusschuE fllr teohnische Mechanik des Berliner Bezirksvereines deutscher Ingenieure am 17 Jull 1925 mitgetetlt worden. Ich habe dabeI namentllch gezeigt, wte die neue Hypothese, die eine konsequente Erwetterung der von mir im Jahre 1913 ein- getUhrten darstellt, durch die nenen Vermche von L o d e notwendig gemacht und durch sie voll be- stUtigt wird. Die Bezeichnung *Energiekriterlum- lehne ich ab, da der in Frage kommende Ausdruok fur den plastlschen K6rper kein Ma8 der Energie bildet.

D

R. v. Mises.

13'