Vol. X, 1959 51

Homomorphismen topologischer projektiver Ebenen

Von HELMUT SALZ.MAI~N in ~-~rankfurt]]YI.

1. Einleitung. Die kompakten, topologiseh zweidimensionalen projektiven Ebenen spielen unter den topologisehen projektiven Ebenen eine ~hnliehe Rolle, wie die yon vier Punkten erzeugten projektiven Ebenen unter den gewShnlichen diskreten (vgl. MOVFA~G [4], PIC~:ERT [5] S. 274--286). Sie sind au/3erdem bemerkenswert dureh eine weitreichende Analogie zu endlichen projektiven Ebenen (vg]. SALZ~ANN [7]). l~ach DE~BowsEI [1 ] gibt es auBer Isomorphismen keine Homomorphismen zwischen endlichen projektiven Ebenen. In der vorliegenden Arbeit wird fiir die betraehtete Klasse topologischer projektiver Ebenen eine entspreehende Eigensehaft bewiesen: Jede homomorphe Abbildung einer kompakten zweidimensionalen Ebene in eine ebensolche ist ein Isomorphismus und fiberdies ein HomSomorphismus. Insbesondere ist jeder Isomorphismus zwisehen solchen Ebenen stetig; hierauf und auf der Tat- saehe, dab alle Vierecke fiberall dicht liegende Teilebenen erzeugen, beruht in der Hauptsaehe die ausgezeiehnete Stellung dieser Ebenen. Die Voraussetzung, dab das homomorphe Bfld in einer kompakten, zweidimensionalen Ebene liegen soll, ist fiir die Umkehrbarkeit des Homomorphismus wesentlieh. In der Tat gestattet die ge- wShnliche reelle projektive Ebene eehte Homomorphismenl).

2. Topologische Eigenschaiten der Ebene. Eine projektive Ebene mit Topologie der Punkt- und Geradenmenge, bei der Verbinden und Schneiden stetige Operationen sind, wird eine topologische Ebene genannt (vgl. PICKERT [5] S. 261--274). Sind Punkt- und damit auch Geradenmenge kompakte R~ume der topologischen Dimen- sion 2, so hat die Ebene, wie an anderer Stelle gezeigt wird ( S ~ z ~ [8]), die topo- logische Struktur der gewShnlichen reellen projektiven Ebene, und ihre Geraden sind homSomorph zur topologischen Kreislinie (vgl. SALZ~AN~q [6] w 10). Durch diese Eigenschaft der Geraden sind umgekehrt die topologischen Ebenen der betrachteten Klasse gekennzeichnet; denn dann ist eine affine Ebene als topologisches Produkt zweier affiner Geraden zweidimensional und lokal kompakt und daraus folgt nach SALZMA~N [6] w 5 die Kompaktheit der projektiven Ebene. Auf den Geraden einer solehen Ebene ist durch die HomSomorphie zur Kreislinie in natfirlieher Weise eine Trennbeziehung definiert und diese ist invariant gegeniiber Projektionen, wie man unmittelbar aus der Darstellung einer affinen Ebene als Produkt zweier affiner Ge- raden ersehen kann. Daher l~13t sich die Ebene als angeordnete projektive Ebene auf- fassen, und zwar ist die Anordnung archimedisch (SALz~A~ [6] w 6). Es gilt nun:

1) Diese Bemerkung verdanke ich einer Unterhaltung mit Herrn KLI~OE~BV.RG in Oberwolfach.

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5 2 H . SALZMANN ARCH. MATH.

Jede nicht ausgeartete Teilebene E einer ~omTalcten zweidimensionalen pro]e~tiven Ebene lP liegt i~berall dicht in der Ebene P.

Zum Bewe i s hat man zu zeigen, dab die abgeschlossene ttfille T ~ - ~ der Punkt- menge E in der Punktmenge P mit P fibereinstimmt. Zun~ehst ist T nur als Punkt- menge defmiert. Erkl~rt man nun alle Durchschnitte yon T m i t Geraden yon P, soweit sie mehr als einen Punkt enthalten, zu Geraden yon T, so erh~lt man in T eine Inzidenzstruktur, yon der gezeigt werden soll, dab sie eine projektive Ebene ist. Die Einzigkeit yon Verbindungsgerade und Schnittpunkt so~4e die Existenz yon Verbindungsgeraden ist nach Konstruktion klar. Sind nun a, b, c, d vier Punkte von T, yon denen keine drei auf einer Geraden liegen, so bleibt noch nachzuweisen, dab der Schnittpunkt s der Verbindungsgeraden a w b und c w d auch zu T gehSrt. Als Beriihrpunkt yon E ist a = lim an mit an aus E und Entsprechendes gilt ffir b, c, d.

n--:~OO

Da es in P Umgebungen yon a, b, c, d gibt, so dab keine Gerade yon P mehr als 2 der Umgebungen trifft, ist sn = (an w bn) (~ (cn w dn) fiir hinreichend groi~e n definiert und gehSrt zu E. Wegen der Stetigkeit yon Verbinden und Schneiden ist dann s ----

lim sn in T. Als Teilebene yon P tr~gt T die yon P induzierte Anordnung und ~b--r

topologische Struktur. Gi~be es nun eine Gerade G yon P, die mehr als einen Punkt yon T tr~gt, aber nicht nur aus Punkten yon T besteht, so w~re wegen tier Abge- schlossenheit yon T auf Grund der topologischen Voraussetzung fiber P die Punkt- raenge G - T eine offene Teilmenge einer topologischen Kreislinie und als solche Summe paarweise fremder oftener Intervalle. Die Endpunkte eines jeden dieser Inter- valle gehSrten zu der angeordneten projektiven Ebene T. Da jedes Punktepaar einer angeordneten projektiven Ebene durch ein geeignetes anderes Punktepaar der Ebene getrennt wird (vgl. PICX~T [5] S. 234), enthielten die offenen Intervalle doch Punkte yon T i m Widerspruch zur Konstruktion. Die Geraden yon T bestehen also aus vollen Geraden yon P und daher stimmt T als nicht ausgeartete Teilebene yon P, die min- destens alle Punkte einer Geraden yon P enth~lt, wirklich mit P iiberein.

3. Homomorphismen. Unter einem Homomorphismus einer projektiven Ebene in eine andere wird eine eindeutige Abbildung verstanden, die die Kollinearit~t yon Punkten erh~lt, und bei der die Bildebene nicht ausgeartet ist, d. h. ein Viereck in allgemeiner Lage enth~lt.

Sind P und P' komTa~te zweidimensionale pro]elctive Ebenen, so ist ~ede homomorphe Abbildung ~ yon P in P' ein stetiger Isomorphismus von P a u / P'.

Zum B e w e i s ist es bequem, wie bei PICKetT [5] S. 34--38 oder SAnZMA~N [6] w 2 Koordinaten einzuffihren. Es seien 0, 1, oo ~- v drei Punkte einer Ger~den yon P, deren Bilder unter ~7 paarweise verschieden sind. Da nach Definition eines I-Iomomor- phismus P ' eine nicht ausgeartete Teilebene yon P ' ist, gibt es zwei weitere Punkte u, e in P mit (0uv) n (ewu) ~- 1, so daI~ keine drei der vier Punkte 0 ' , e ~, v ~, u ' auf einer Geraden yon P ' ]iegen. W~hlt man 0, e, v, u als Bezugspunkte ffir die Koordi- nateneinfiihrung in P, so lassen sich die Punkte der affinen Ebene P -- (u ~)v) in umkehrbar eindeUtiger Weise den Paaren (x, y) yon Punkten ~- v der Geraden 0 u)v zuordnen, und zwar so, dal~ die ,,eigentlichen" Punkte t yon 0wv die Koordinaten (0, t), die Geraden durch u die Gleichung y ----- const, die Geraden durch v die Glei-

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ehung x ~- const und die Gerade 0 w e die Gleichung y = x erhMten. Dutch die Fest- setzung, dal~ die ,,Parallele" zu 0 w e durch t die Gleichung y = x �9 t und die ,,Gerade der Riehtung s " durch 0 und (1, s) die Gleichung y -~ s o x bekommen soll, ist zwi- sehen den Koord ina ten eine Addi t ion G und eine Multiplikation o definiert. I n analoger Weise dienen die ~?-Bilder yon 0, e, v, u als Bezugspunkte ffir die Koordina- teneinffihrung in P ' . Die weiteren Schlfisse beruhen nun darauf, dal~ ~ so etwas wie einen Homomorph i smus der Addi t ion und der Multiplikation induziert . Erg~nzt man die Definition der Multiplikation durch oo o oo =- oo, so gilt

(SOS) ~=s ~o~ ffirallesauf Ouoo;

denn ist s ~ ~ ~ , so wird die Gerade der Rich tung s durch ~ au f die Gerade der Rich tung s ~ abgebildet und insbesondere der P u n k t (s, s o s) auf den P u n k t (s~, S'o s~); ist aber s ~' -~ c ~ , so ha t der P u n k t ( s u u ) c~ ( e u v ) mit den Koordina ten (1, s) das Bild v ~ -~ oo% der P u n k t ( s • u ) (~ (Owe) mit den Koord ina ten (s ,s ) das Bild ( v ' w u ~) c~ (0~we~), also ha t die Gerade x = s zum Bild die , , u n e i g e n t l i c h e "

Gerade u ' w v ~ yon P ' . Daher wird (s, s o 8) in diesem Fall (lurch ~7 auf c ~ abgebfldet und man erh~lt wiederum die behaupte te Beziehung.

Ferner seien in P ffir alle ganzen Zahlen n (~ 0) die Punk te an indukt iv definiert dureh ao -~ O~ an+l ~-~ 1 G an. Bezeichnet man die in P ' entsprechend gebildeten Punk te

t mit a n, so folgt aus 17 �9 ~ und der Definition der Addit ion durch vollst~ndige p

Induk t ion allgemein (an) ~ ~ a n 4= oo.

So weit sind die Uberlegungen unabh~ngig yon der Topologie und Anordnung der beiden Ebenen. Je t z t k o m m t die topologische Voraussetzung fiber P rol l ins Spiel. Durch die drei Punk te 0, l , oo ist n~mlich auf der zur Kreislinie homSomorphen Geraden G yon P eine Orientierung festgelegt, durch die diel P u n k t e yon G in zykli- scher Weise angeordnet sind. I m Sinne dieser Anordnung seien im folgenden die abge- scblossenen Interval le [~, g] der Geraden G zu verstehen. Die Punk te t aus dem Inter- vaU [0, oo] lassen sich nun kennzeichnen Ms diejenigen Elemente, die sich in der F o r m t ---- s o s schreiben lassen; denn in einer angeordneten projekt iven Ebene gelten ffir die Addit ion und l~/Iultiplikation die yon den reellen Zahlen gewohnten Monotonie- gesetze (ffir einen Beweis dieser einfachen Tatsache siehe PICXERT [5] S. 233 und SALZMA~ [6] w 6), daher ist 0 ----- 0 o 0 < t < (1 O t) < (1 (~ t) o (1 G t) ffir jedes t zwisehen 0 und c~. Nun ist in einer topologischen Ebene die Abbfldung x -+ x o x stetig, sie l~Bt'sich also im vorliegenden Fall als eine stetige reelle Funk t ion auffassen und nach dem Zwischenwertsatz folgt die Existenz eines s mit s o s = t. Mit Hilfe der vorher abgeleiteten Beziehung (8 o s) ~ ---- s ~ o s ' ergibt sich hieraus, dab das Inter- vall [0, r162 durch ~ i n das Interval l [0 ~, ~ ] abgebildet wird. Von der topologischen Voraussetzung fiber P ' b raucht m a n daffir nur, dal~ P~ eine angeordnete Ebene ist. Macht man sich jetzt yon der speziellen Wahl der Punk te 0, 1, ~ frei, so kann man das letzte Ergebnis so aussprechen:

(*) Liegen auf einer Geraden yon P drei Punk te mit paarweise verschiedenen ~- Bildern, so werden die IntervMle, in welche die Gerade durch die drei Punk te eingeteilt wird, durch ~] in die entsprechenden Interval le der Bildgeraden abge- bildet.

5 4 H. SALZMANN ARCH. ~ATH.

Infolge der Anordnung yon P~ sind die vorher definierten Punkte a~ alle versehie- den. Man kann also die Aussage (*) auf die Punkte an anwenden und erh~lt so: Die homomorphe Abbildung ~7 bildet jedes Intervall [an, an+l] in das entspreehende Intervall [a~, a~+l] ab. Die in Abschnitt 2 erw~hnte archimedisehe Anordnung yon P besagt nun gerade, dab die l~enge der yon c~ verschiedenen Punkte der Geraden G gleieh der Vereinigung aller Intervalle [an, an+l] (-- oo ~ n ~ oo) ist. Daher gilt x~ ~= oo~ fiir alle Punkte x =~ co der Geraden G. Beaehtet man sehlieBliet~ noch, dab die Wahl yon oo keinerlei einsehr~nkenden Bedingungen unterworfen ist, da man jeden Punkt zu einem Tripel mit versehiedenen ~7-Bildern erg~nzen kann, so ist die Umkehrbarkeit yon ~ bewiesen. Nach PIC~ERT [5] S. 9 erh~lt dann aueh die Umkehr- abbildung yon ~ die Kollinearit~t, so dab ~ ein Isomorphismus yon P auf P~ ist.

Die Umkehrbarkeit yon ~7 zusammen mit der Aussage (*) bedeutet, dab ~7 die Geraden yon P ordnungstreu, also stetig in der Ordnungstopologie auf die Geraden yon P~ abbildet. Eine affme topologisehe Ebene l~Bt sieh aber als topologisehes Produkt zweier affiner Geraden auffassen (vgl. Pic~rv,~T [5] S. 264), daher ist ~ sogar eine stetige Abbildung yon P:

Eine homomorphe Abbildung ~7 einer kompalden zweid~mensionalen pro]elctiven Ebene Pau] eine angeordnete pro]ektive Ebene P~ ist ein Isomorphismus zwischen den beiden Ebenen und stetig in Bezug au] die Anordnungstoloologie yon P~.

Naeh dem in Absehnitt 2 bewiesenen Satz ist die nicht ausgeartete Teilebene P~ yon P ' iiberall dicht in P ' . Als stetiges Bfld der kompakten Ebene P ist P~ kompakt, also abgesehlossen in P ' . Es f o l g t / ~ = P ' und damit ist alles bewiesen.

4. Bemerkungen. Die Voraussetzung, dab P~ angeordnet sei, ist ffir die Gfiltigkeit des Satzes unentbehrlich, wie das Folgende zeigt. Die/~-adisehe Bewertung des ratio- nalen ZahlkSrpers Q l~Bt sieh (auf unendlieh viele versehiedene Weisen) zu einer Be- wertUng des reellen ZahlkSrpers R fortsetzen, indem man entweder /~ dureh eine wohlgeordnete Folge einfacher Erweiterungen aus Q erzeug~ (vgl. HAssE [2] S. 133) oder indem man nach dem Maximalprinzip der NIengenlehre einen Bewertungsring B yon /~ mit Bewertungsideal I konstruiert, so dab B ~ Q der zu der p-adischen Be- wertung gehSrende Bewertungsring von Q ist. Nach KLINGEtVBERG [3] Hauptsatz 2 gibt es dann einen natfir]ichen Homomorphismus der (kompakten zweidimensionalen) projektiven Ebene P fiber R auf die projektive Ebene fiber dem RestklassenkSrper B/I (vgl. auch SKOR~JAKOV [9]). Als RestklassenkSrper einer Fortsetzung der p-adischen Bewertung hat B / I die Charakteristik/~, so dab insbesondere die projektive Ebene fiber .B/I nicht anordnungsf~hig und der Homomorphismus nicht umkehrbar ist.

Literaturverzeichnis

[1] H. P. DEI~IBOWSKI, Homomorphismen yon 2-Ebenen. Arch. Math. 10, 46--50 (1959). [2] H. HAssE, Zahlentheorie. Berlin 1949. [3] W. KLI~GENBEI~, Projektive Geometrien mit Homomorphismus. Math. Ann. 132, 180--200

(1956). [4] R. I~OU~A~G, Zur Struktur der projektiven Geometrie der Ebene. Math. Ann. 105, 536--601

(1931).

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[5] G. PICKERT, Projektive Ebenen. Berlin-GSttingen-Heidelberg 1955. [6] H. SALZ~WN, Topolog~sche projektive Ebenen. Math. Z. 67, 436--466 (1957). [7] H. SALZY-A~U% Kompakte zweidimensionale projektive Ebenen. Arch. Math. 9' 447--454

(1958). [8] H. SALZ~IAI~, Topologische Struktur zweidimensionaler projektiver Ebenen. Math. Z. (hn

Druck). [9] L. A. SKO~JA~ov, Homomorphismen projektiver Ebenen und T-Homomorphismen yon

Ternark6rpern. [Russ.] Mat. Sbornik n. S. 48, 285--294 (1957).

Eingegangen am 26. 6. 1958