HOMOSKEDASTIZITÄT & SPHÄRIZITÄT Varianzgleichheit

HOMOSKEDASTIZITÄTVoraussetzung für

lineare Modelle: ANOVA,

ANCOVA, lineare Regression, t-

Test, F-Test

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HOMOSKEDASTIZITÄT- DEFINITION- RESIDUUM

Der Vorhersagefehler:

E = Beobachteter Wert – Vorhergesagter Wert

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HOMOSKEDASTIZITÄT- DEFINITION

Homoskedastizität = Varianzgleichheit der Residuen

„Bei vorliegender Homoskedastizität sind die Residuen gleich über alle Stufen der unabhängigen Variablen verteilt“ (statistikguru.de 2019)

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Homoskedastisch

Heteroskedastisch

URSACHEN

Messfehler

Nicht-linearer Zusammenhang

Fehlender Prädiktor

Scale-Variable

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FOLGEN VON HETEROSKEDASTIZITÄT

- Fälle mit größerer Abweichung > größerer Einfluss auf das Modell als andere Fälle

- Berechnung des Standardfehlers: Bei Heteroskedastizität hat dieser einen Bias > inkorrekte Schlussfolgerungen über Regressionskoeffizienten oder p-Werte.

–> schneller Fehler 1. oder 2. Art

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ERKENNEN UND BERECHNEN- RESIDUALPLOT

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ERKENNEN UND BERECHNEN- TESTS AUF HOMOSKEDASTIZITÄT

Levene-Test

Brown-Forsythe-Test

(White-Test, … )

> 25% Signifikanz-Niveau: Test soll früher signifikant werden!

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VORBEUGEN & KORRIGIEREN

- robusteres Verfahren: gewichtete Regression (Weighted-Least-Squares-Verfahren)

- Transformation der Variablen

- für Heteroskedastizität adjustierte Standardfehler (Bsp. White estimator)

Die Methode der kleinsten Quadrate gilt als robust gegenüber Verletzungen der Homoskedastizität > große Abweichung davon nötig

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HOMOSKEDASTIZITÄT IN SPSS

Grafisch:

Residualplot

Analytische Tests:

Levene-Test

Brown-Forsythe-Test

White-Test

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HOMOSKEDASTIZITÄT IN SPSS

Grafisch: Residualplot

Analysieren > Regression > linear > … > Diagramme: Y = z-std. Residuen (ZRESID)X-Achse = standardisierte Prädiktoren (ZPRED)

Analytisch:

Zweifaktoriell (2 UV):

Analysieren > Allgemeines Lineares Modell > univariat >… >Optionen > Homogenitätstests

Einfaktoriell (1 UV)

Analysieren > Mittelwerte vergleichen > Einfaktorielle Varianzanalyse>.. >Optionen: Homogenitätstest der Varianzen & Brown-Forsythe-Test

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ÜBEN ÜBEN ÜBEN

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SPHÄRIZITÄT Voraussetzung für rmANOVA

(3 oder mehr Stufen)

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SPHÄRIZITÄT – WAS IST DAS?

Ist Sphärizität gegeben, so sind die Varianzen der Differenzen aller Messpaare (daher aller Stufen der unabhängigen Variablen) der Messungen gleich

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VP-Nr. t1 t2 t3 …

1

…

Var(∆1) Var(∆2) Var(∆3)

→ Nur bei 3 oder mehr Stufen der unabhängigen Variablen notwendig

EIN DATENBEISPIEL

VP-Nr. t1 t2 t3 t1-t2 t1-t3 t2-t3

1 12 14 11 -2 1 3

2 7 10 5 -3 2 5

3 9 11 8 -2 1 3

4 14 15 10 -1 4 5

5 10 12 7 -2 3 5

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0,40 1,36 0,96Varianzen:

→ Sphärizitätsannahme womöglich verletzt

EPSILON - EIN MAß FÜR DIE SPHÄRIZITÄT

Epsilon = 1 : Varianzen sind zwischen allen Gruppen gleich und die Sphärizität wird ohne Abweichungen eingehalten

→ es liegt Sphärizität vor

Epsilon < 1 : Die Varianz der Differenzen zwischen allen möglichen Paaren ist ungleich

→ es liegt keine Sphärizität vor

Je weiter Epsilon von 1 entfernt ist, desto stärker ist die Verletzung der Sphärizitätsannahme

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MAUCHLY – EIN TEST ZUR ÜBERPRÜFUNG DER SPHÄRIZITÄT

p-Wert des Mauchly-Test größer oder gleich des festgelegten alpha-Niveaus (in der

Regel .05) → Sphärizität der Daten ist gegeben

Mauchly-Test signifikant (bspw. p < .05) → die Freiheitsgrade müssen nach unten korrigiert werden, da sonst erhöhtes Risiko für Fehler 1. Art

Kritik am Mauchly: stark abhängig von der Stichprobengröße

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FOLGEN

Bei vorhandener Sphärizität kann der p-Wert der rmANOVA interpretiert werden

Sollte die Annahme der Sphärizität allerdings verletzt worden sein, so müssen die Freiheitsgrade nach unten korrigiert werden → Risiko für Fehler erster Art

Alternative: Berechnung der MANOVA (Sphärizität keine Voraussetzung dafür)

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KORREKTUREN

- Greenhouse-Geisser-Korrektur (konservativer)

- Huynh-Feldt-Korrektur (liberaler)

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SPHÄRIZITÄT IN SPSS

Mauchly – Test:

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→ Mauchly-Test wird in SPSS beim Rechnen der rmANOVA automatisch ausgegeben

SPHÄRIZITÄT IN SPSS

Korrekturen:

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VORGEHEN IN SPSS

rmANova berechnen:

1. „Analysieren“ → „Allgemeines Lineares Modell“ → „Messwiederholung…“

2. im Dialogfeld unter „Anzahl der Stufen“ Anzahl der Messzeitpunkte definieren

3. die Variablen, die die Messungen zu den unterschiedlichen Messzeitpunkten enthalten in das Feld „Innersubjektvariablen“ ziehen

(4. unter „Diagramm“ ein Diagramm der Mittelwerte ausgeben lassen)

(5. unter „Optionen“ Haken bei: Deskriptive Statistiken, Schätzungen der Effektgrößen, Haupteffekte vergleichen, „Anpassung des Konfidenzintervalls“ in Bonferroni ändern)

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ÜBEN ÜBEN ÜBEN

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QUELLEN

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Beratung-Statistik (2019): Mauchly-Test und Sphärizität. https://www.beratung-statistik.de/statistik-beratung-infos/spss-tips/mauchly-test-sphaerizitaet-spss/

Dipl. Psych. Both, (2016) B. Methodenlehre Uni Mainz.Vonhttp://methodenlehre.sowi.uni-mainz.de/download/Lehre/SS2010/SPSSKurs/bboth/final/SPSS_Skript_Version_01_04.pdf

Karteikarten (2019). https://www.cobocards.com/pool/de/card/2q6v80513/online-karteikarten-was-versteht-man-unter-sphaerizitaet-und-wie-kann-diese-ueberprueft-werden-/

Laerd Statstics (2019): Sphericity.

https://statistics.laerd.com/statistical-guides/sphericity-statistical-guide.php

Matheguru (2019): Sphärizität. https://matheguru.com/stochastik/spharizitat.html

Persike, D. M. (2013) Von https://iversity.org/de/my/courses/primer-regressionsrechnung/lesson_units/7488 abgerufen

Regorz-Statistik (2019). Homoskedastizität. http://www.regorz-statistik.de/inhalte/tutorial_regression_homoskedastizitaet.html

Wikipedia. (2006). Homoskedastizität. https://de.wikipedia.org/wiki/Homoskedastizit%C3%A4t_und_Heteroskedastizit%C3%A4t