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Horst Steibl 1
Grundformen
Quadratanordnungen, L T Z –Plättchen, Tetraminos und Pentaminos als unvollständige Würfelnetze, 12 Pentaminos Rechteckanordnungen (Flächeninhalt).
Das gleichseitige Dreieck, ...im Quadrat, das Rechteck über dem..., Dreiecksanordnungen, Tetraeder-, Oktaedernetze, das Wurzel-3-Rechteck, die Laschen Taschen-Masche, die 12 Hexamanten
Horst Steibl 2
Zwillinge
Dieser Zwilling ist ein Diabolo.
Wir betrachten später die entsprechenden Drillinge und Vierlinge, die 4 Triabolos und die 14 Tetrabolos.
Dieser Zwilling ist ein Diamant.
Wir untersuchen die Sechslinge, die 12 Hexamanten.
Dieser Zwilling ist ein Domino. Wir betrachten die Tetraminos (L, T, Z - Plättchen) und die 12 Pentaminos
Horst Steibl 3
Der Clan der Haquas
Halbiert man ein Quadrat diagonal, so erhält man zwei gleichschenklig rechtwinklige Dreiecke,
zwei Halbe Quadrate
Zwei Haquas kann man passend aneinanderlegen
und erhält so drei Diabolos: ein Quadrat, ein Dreieck und ein Parallelogramm
Horst Steibl 4
Die Namengebung „Diabolo“ stammt von einem Kreiselspiel mit Schnur und Stock.
Sehen Sie in diese Figur ein Rechteck hinein: Was fehlt?
Ein Drachen fehlt!
Es ist ein Rechteck aus Quadratseite mal Diagonale: ein Ostwaldrechteck (DIN-Format)
Das waren die drei Diabolos
Die drei Diabolos waren die möglichen „passenden“ Legungen zweier Haquas.
Es gibt aber eine andere nicht passende Legung der Haquas, die zu einer interessanten Fragestellung führt:
Horst Steibl 5
Das DIN- Format und die Haquas
Das DIN-Blatt ist ein Rechteck aus Quadratseite mal Diagonale,
ein Ostwaldrechteck
Faltet man in einem DIN-Blatt die Diagonalen des Quadrates, so passt die lange Seite genau auf diese Diagonale.
a
a*2
Horst Steibl 6
Die Diagonale des Quadrates und die2
Wie groß ist das Loch, wie groß das neue Quadrat?
Berechne die 200! Interpolation!
Lege um zum Quadrat mit Loch. 10 cm
Aus Eins mach Zwei! Was ist dabei?
Horst Steibl 7
4,667 cm
4,667 cm
10 cm
2 * 100 cm²
Aus zwei mach eins, wer hat dann keins?
4,667 cm
3,3 cm
200 cm²
200 = ?
14 ² = 196
15² = 225
200 144/29
Quadratzahlen Interpolation Bruchrechnung
Horst Steibl 8
Fortgesetztes Halbieren der Haquas
Zwei farbige Blättchen fortlaufend halbieren. Hälften zur Quadratfolge kleben. Die Ausgangsquadrate haben die Seitenlänge 1.
N18 Z
(1
1 ½ * 2A
Folgen und Reihen; GrenzwerteWie lang ist die Linie AZ?
Horst Steibl 9
Potenzen
kein mal halbiert
20 = 1
ein mal halbiert
21 = 2
zwei mal halbiert
22 = 4
drei mal halbiert
23 = 8
vier mal halbiert
24 = 16
fünf mal halbiert
25 = 32
Beachten Sie die Entsprechung beim DIN - A- 4 Format: 2 4 = 16
16 DIN-A-4 Blätter ergeben ein DIN-A-0 Blatt von 1m²
DIN A 0 = 1 m²
DIN A 1 = ½ m²
DIN A 2 = ¼ m²
DIN A 3 = 1/8 m²
DIN A 4 = 1/16m²
DIN A 5= 1/32 m²
1 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32
Horst Steibl 10
Zwei Diagonalen falten. Du erhältst vier Haquas.
Zwei Diagonalen falten, Blatt wenden, zwei Mittellinien falten, Achterkreuz im Raum betrachten: Zwei Gebilde
Das Achterkreuz
Aus der Ebene in den Raum
Oktaeder? vierseitige Pyramide?
Oktaeder stecken!
Horst Steibl 11
Die Würfelecke aus dem Achterkreuz
Drei Quadrate, in halber Würfel;
Drei Dreiecke; eine Pyramide? eine Würfelecke?
8 Haquas, zwei verbergen wir, 6 bleiben übrig
6 Haquas sind 6 Haquas, wo ist hier der Unterschied
Horst Steibl 12
Zwei räumliche Gebilde aus 6 Haquaszwei Achterkreuze
eines als Unterlage glätten
mit einem Dreieck (s.rote Punkte ) aufkleben, zur dreiseitigen Würfelhälfte umfalten
beim zweiten aus drei Flächen eine machen (zwei Flächen einstreichen)
zur Ecke aus drei mal zwei Dreiecken (dreiseitige Pyramide) knicken
Horst Steibl 13
Der Würfel aus vier Ecken
Wie sieht die Schnittfläche aus, wenn Sie eine Ecke abschneiden?
Was bleibt übrig wenn Sie alle vier Ecken abschneiden?
Welcher Bruchteil des Würfels nimmt der Restköper ein?
5 cm
5 cm
Einpassen eines Oktaeders in einen Würfel !!!
Horst Steibl 14
Drei sich durchdringende QuadrateWie viele Quadrate müssten Sie ineinander stecken?
Wie viele Achterkreuze müssten Sie falten?
Wie müssen Sie die drei Quadrate einschneiden?
Wie heißt der das Oktanten- modell umhüllende Körper?
Wie sehen dessen Mittelpunktspyramiden aus?
Horst Steibl 15
Von 1 bis 161
59
132
610
14
37
1115
48
1216
161 2
3
456
7
8 159 14
131211
10
1
16
2
15314
1.Schuljahr
Immer 17!Summe von 1 bis 16?
Immer 34!
21 3
4
65 7
810
9 1112
1413 15
16
Zauberquadrate?
2. Schuljahr
Horst Steibl 16
Vom 8-er zum 32-er-Feld
Falte beim Achterkreuz die Ecken zur Mitte und du erhältst den Brief: ein 16-er-Feld: 1. Schuljahr: 4 * 4 =16(Zahlen hineinschreiben!!)
Drehe den Brief und falte die Ecke noch einmal zur Mitte (Doppelbrief). Hieraus lassen sich schöne Figuren falten (Windmühle, Krone, Flunder, Katamaran)
2. Schuljahr: 4*8 = 32
Horst Steibl 17
Vom 16-er-Feld zum Tangram
Die Tangram-Teile können als Monobolos, Diabolos und Tetrabolos gedeutet werden.
Das Falten der Tangramteile aus dem Quadrat habe ich in meinem Buch „Der Zettelkasten“ ausführlich beschrieben.
Das 16-er-Feld sollte auf jeden Fall vorher erarbeitet werden.
2,432 cm
Horst Steibl 18
Wechsel der Richtungen
Vertauscht man die Richtungen, so kommt man zu diesem Rechteck, das dem glsch. Dreieck als halbiertem Quadrat „gerechter“ wird
2,432 cm
Im Tangram-Quadrat sind die Hypotenusen der Dreiecke parallel zu den Seiten. Die Katheten bestimmen die Diagonalrichtung
Im Bezug auf das halbierte Quadrat sollte dies eigentlich umgekehrt sein.
2,432 cm
Horst Steibl 19
Das Tangramfeld als 3 x 3 Quadrat
Man kann dieses 3 x 3 Quadrat auch zum Dreieck umlegen und so zwei Dreiecke fehlen lassen
2,432 cm
Tri
2,432 cm
7 Tangramteile, 16 Haquas8 Quadrate : 1 großes Quadrat in dem die 8 Quadrate Platz haben wäre ein 3 x 3 Feld.
Legt man nun die 7 Tangramteile in ein 3 x 3-Feld, so müssen zwei Dreiecke fehlen. Sie können nicht überall fehlen
Horst Steibl 20
6 der 13 konvexen TangramfigurenQuadrat, Dreieck, Rechteck, Trapez, Parallelogramm,
Haus (Fünfeck), Haus mit Walmdach (Sechseck)
Horst Steibl 21
Start ZielStart ZielStart Ziel
Mitte
Start ZielNimm ein 14 cm langen Streifen und halbiere ihn einmal (S M Z)
2) *10 cm; ein mal geknickt
(2)²*10 cm zwei mal geknickt
(2)3*10 cm drei mal geknickt
(2)15*10cm fünfzehn mal geknickt
Darstellung durch Dualzahlen: (1 für Rechtsknick, 0 für Linksknick)
18,...m lang , 3,27...m dick
Die DrachenkurveExoten
(2)4*10 cm vier mal geknickt
Horst Steibl 22
Das SierpinskidreieckZeichne ein Haqua
Schneide das Mittendreieck aus
Schneide von den restlichen Dreiecken jeweils das Mittendreieck aus
Schneide von den restlichen Dreiecken jeweils das Mittendreieck aus.......
Zeichne die drei Punkte eines Dreiecks,
Steuere von einem Punkt einen anderen Dreieckspunkt an. Fahre aber nur die halbe Strecke. Zeichne nur die Endpunkte.
Trauer um den Igel!
1, 3, 9, 27, 81,...
Horst Steibl 23
Der Bigalke-Knoten12 gleichlange, lotrecht aufeinander stehende Streckenzüge der Länge k auf (in) einem Würfel sollen sich zum Knoten schließen.
Welchen Gruppentyp repräsentiert das Modell?
Herr Spieß sieht darin die Kleinsche Vierergruppe. Was sehen Sie?
Zurück zum Fußvolk!!
Horst Steibl 24
Es gibt nur vier Triabolos
Achten Sie bei der Erzeugung und dem Legen von Figuren auf eine einheitliche Richtung
der Diagonale (Halbierungslinie, Hypotenuse h) bzw der Quadratseite (Kathete s)
s
h
Dank! Jürgen Köller
Namengebung? Nach s oder nach h?
tetras
Horst Steibl 25
Figuren aus vier Triabolos
Haus?
Horst Steibl 26
Horst Steibl 27
Die Tetrabolos
1,667 cm
2,357 cm
Zur Erzeugung der Tetrabolos kann man von den Tribolos ausgehen und diese durch ein weiteres Haquas ergänzen. Dann ist man sicher alle Tetrabolos zu erhalten. Hier vom Quadrat mit Dach:
Man kann auch von den Diabolos Quadrat und Dreieck ausgehen und je zwei Haquas anfügen.
Hier fehlen aber noch welche
Horst Steibl 28
Die Namengebung der TetrabolosIdentifiziert man wie beim Tangram, den Quadratanordnungen
und den Hexamanten die spiegelbildlichen Formen, so erhält man 14 Figuren. 6 davon haben eine Spiegelachse, 8 nicht.
RechteckQuadrat
Dreieck Trapez
dicker Pfeildünner Pfeil
breites und schmales Parallelogram
dicker Stiefeldünner Stiefel
dicker Helmdünner Helm
WindradSocke
Horst Steibl 29
Figuren
1,65 cm
2,333 cm
1,65 cm
2,333 cm
1,65 cm
2,333 cm
1,65 cm
2,333 cm
1,65 cm
2,333 cm
1,65 cm
2,333 cm
1,65 cm
2,333 cm
1,65 cm
2,333 cm
1,65 cm
2,333 cm
1,65 cm
2,333 cm
1,65 cm
2,333 cm
1,65 cm
2,333 cm
Umhüllendes Rechteck? A R = ...? UR = ...? Magnus Kleine-Tebbe
Horst Steibl 30
Ein 4s x 4s - QuadratWie viele Quadrate zählen Sie?
Wie viele Dreieck sind es also?
Wie viele Tetrabolos liegen hier?
Mögliche Rechtecke über den Quadratseiten s
2 x 3; 2 x 4; 2 x 5; 2 x 6; 3 x 3; 3 x 4 ; 4 x 4; 4 x 5
Übungen zur Viererreihe!
Zweier-Quadrat oder Vierer-Quadrat
Horst Steibl 31
Ein Rechteck 2 h x 5 h über den Hypotenusen
Wie viele Dreiecke ergeben sich bei 2h x 5h?
Wie viele Tetrabolos sind also beteiligt?
Welche Quadrate h² können Sie hier zählen?
Wie kommen Sie von d² zu der Anzahl der Dreiecke?
Rechtecke über den Hypotenusen1 x 4; 2 x 2; 2 x 3; 2 x 4; 2 x 5; 2 x 6; 3.x 3; 3 x 4,
Horst Steibl 32
Gibt es ein Dreieck für alle 14 Steine?
Zählen Sie die Dreiecke in einer Reihe:
Folge der ungeraden Zahlen
Addieren Sie diese:
Folge der Quadratzaheln
49 < 14*4 < 64
14 Steine = 56 Dreiecke
Es gibt kein Dreieck
Horst Steibl 33
Gibt es ein Rechteck mit allen 14 Steinen?
erste Ziffer: Anzahl der “fallenden”, zweite Ziffer: Anzahl der “steigenden” Hypotenusen
2,357 cm
2,357 cm
1 3
2 2
Die Tetrabolos zerfallen in zwei Klassen; einmal in die mit geraden Ziffern, zum anderen in die mit ungeraden Ziffern.
14 Tetrabolos (28 Quadrate) ergibt ein 4s * 7s Feld oder ein 2h *
7h Feld.Anzahlen der beteiligten Hypotenusen bzgl. einer Richtung .
Horst Steibl 34
2,357 cm
Tetrabolos mit ungeraden Kennziffern
3 1 1 1
1 1 1 1 3 1
zwei Klassen: 9 Steine Kennzahl gerade Ziffern
5 Steine ungeraden Ziffern.Beim Legen innen : immer zwei einer Richtung zusammen.
Die Anzahl einer Richtung im Inneren ist also gerade.
Die Anzahl der außenliegenden Seiten h einer Richtung müsste also ungerade sein, wenn Legung mit allen Steinen möglich sein sollte.
Rechtecke 4 s * 7s oder 2h * 7h nicht möglich
Aber: Nicht jede Figur mit ungerader Anzahl einer Richtung ist legbar
Summe einer Richtung ungerade
Horst Steibl 35
Ähnlichkeitzentrische Streckung
Streckungsfaktor?
Horst Steibl 36
Ringe aus Tetrabolos
Hier sind 74 Dreiecke eingeschlossen. Wie viele schließen Sie ein?
Es gibt 30 Pentabolos
107 Hexabolos
318 Septabolos
1106 Oktobolos
Quellen
Horst Steibl 37
http://www.piciotto.org/math-ed/puzzles/http://www.mathematische-basteleien.de/polyabolos
Martin Gardner: Mathematische Hexereien Ullstein 1988bild der wissenschaft 8/1979 (Halbquadrat Mehrlinge)
Quellen
http://www.madin.tu-bs.de/homepage/steibl/sicher1/
Horst Steibl 38
Die Familie der Formen
Der Clan der Haquas
Der Clan der Quadis
Der Clan der Diarcs
Der Clan der Trixis
Der Clan der Ostwaldis
Horst Steibl 39
Ende der Vorstellung
Horst Steibl 40
Der Kreis als Grundform:Polyarcs
Welche Fläche nehmen die roten Figuren ein?
Was für ein Rechteck könnte man damit legen?
Horst Steibl 41
Passende Legungen
Horst Steibl 42
Aufgaben zum „Super-Tangram“
Lege ein Feld mit möglichst viel leerem Innenraum (Zaun)!
Lege ein Feld mit möglichst geradem Außenrand
Lege eine Figur und fertige eine Umrissfigur dazu. Schreibe auf, wie viele (welche) Steine du benötigt hast. Fertige Arbeitskarten für deine Mitschüler.
Lege 4 Steine zu einem Tetrabolo doppelter Größe.
Lege eine Tetraboloform mit dreifacher Länge. Wie viele Steine brauchst du?
Worauf soll sich dann das „doppelt“ beziehen?
Lege kleine Rechtecke. Wie zählst du die Quadrate?
Horst Steibl 43
Die Asymmetrischen und ihre Spiegelbilder
Nehmen Sie die 8 Tetrabolos, die keine Spiegelachse haben und ihre Spiegelbilder. Damit haben Sie 16 Figuren, die sich zu einem 4h x 4h Quadrat legen lassen. Eine Lösung wurde erst 1962 von Setterington und Spinks gefunden. Schwierig! Mehrere Lösungen!
Diese Figur kann gedreht werden
Wo ist zweite kongruente Figur zum Tauschen?
Horst Steibl 44
Von 1 bis 161
59
132
610
14
37
1115
48
1216
1 23
456
7
89
16 151413
121110
1
16
2
15314
1.Schuljahr
Immer 17!Summe von 1 bis 16?
Immer 34!
21 3
4
65 7
810
9 1112
1413 15
16
Zauberquadrate?
2. Schuljahr
