Teilchen-Welle Dualismus, Wellenpakete und das

Unschärfeprinzip

E h

kp

Zuordnung einer Wellenfunktion ( 1dimensional, nicht relativistisch)

)(),( tkxiAetx

Einführung von Operatoren

tiEop / xipop

),(),( txEtxt

i ),(),( txptx

xi

xxtpExpi dppetx xx )()2(),( /))((2/1

)( xp ist die Amplitude der ebenen Wellen mit Impuls px

Wir basteln uns ein Wellenpaket!

Fouriertransformation

Für t=0

xxxpi dppex x )()2()( /)(2/1

dxxep xpi x )()2()( /)(2/1

Wellenfunktion im Ortsraum

Wellenfunktion im Impulsraum

Gauß‘sches Wellenpaket

22 /)()( ox ppx ep

Fouriertransformation

Breite des Wellenpakets ,px /2

2220 2//2/1)2()( xxip eex

8

2

/4

px

p

x

Heisenberg‘sche Unschärfe :

Je breiter die Impulsverteilung,desto schmaler die Ortsverteilungund umgekehrt

px

Ebenso: tE

xxtpExpi dppetx xx )()2(),( /))((2/1

)( xp ist die Amplitude der ebenen Wellen mit Impuls px

Zeitabhängigkeit der Wellenpakete!

0/ ox ppxp

tpExpp xxx )()( Phasenfaktor:

gppxx vppEox /)(

Gruppengeschwindigkeit vg

Werte des Integrals groß für

0

0

0

0 )()(

k

k

p

pEvph

Phasengeschwindigkeit

Dispersion, Zerlaufen des Wellenpakets

Taylorentwicklung

000)()(2/1))(()()( 2

22

000 kkkkkk kkk

kkkkk

Wellenpakete

x

Wellenpaket bewegt sich mit v0 = po/m und zerfliesst

V(R)

im zweiatomigen Molekül

Idealisiert: Harmonischer Oszillator

Überlagerung von äquidistantenEigenzuständen

Breite des Wellenpakets oszilliert

Wellenpakete

R

E

V( R)

R

Elektronenbeugung am Doppelspalt

Welcher Weg ExperimentInterferenzen im Streulicht zweier Ionen

FalleD1 D2Laser beam

z

NIST,Boulder D. Wineland, 1993

Laserkühlung von zwei Hg Ionen

Analog zum Young‘schen Doppelspalt Experiment

Spalte ersetzt durch zwei Ionen

Interferenz im Streulicht zweier Ionen Ionenabstand:

5.4m

4.3m

3.7m

Welcher Weg Experiment

Itano et al, Phys.Rev. A 1998

Ion1 Ion2 m

½

-½

½

-½

6p

6s

Ion1 Ion2

6p

6s

m

½

-½

½

½

=

Welcher Weg ExperimentInterferenzen im Streulicht zweier Ionen

FalleD1 D2Laser beam

z

Polarisationssensitive

Detektion

Eichmann et al, Phys.Rev.Lett. 1993

NIST,Boulder D. Wineland

Polarisationssensitive Fluoreszenzlichtmessung

Welcher-Weg Information kodiert in inneren Zuständen des Ions:keine Interferenz

Keine Welcher-Weg Information :Interferenz

Linearer Chirp

Lichtpulskein “Chirp”

dispersives Medium

Lichtpulsmit negativem “Chirp”

Zeitliche Ordnung der Frequenzkomponenten im Laserpuls

Chirp

Crab nebula6000 Lichtjahre entferntRadiopulse

Staelin und Reifenstein 1968

Chirp

Chirp: Veränderung der Frequenz mit der Zeit

Brehm’s TierlebenDer Kanarienvogel

Zuordnung einer Wellenfunktion ( 1dimensional, nicht relativistisch)

)(),( tkxiAetx

Einführung von Operatoren

tiEop / xipop

),(),( txEtxt

i ),(),( txptx

xi

Zugehörige Wellengleichung

(Schrödingergleichung für ein freies Teilchen)

),(2

),( 2

22

txxm

txt

i

),(2

),( 22

trm

trt

i

1 dim

3dim

),()),(2

(),( 2

22

txtxVxm

txt

i

(1 dim.Schrödingergleichung für ein Teilchen in einem Potential V(x,t)

Hamiltonoperator:

Kinetische und potentielle Energie

),(2 2

22

txVxm

VTH

),()),(2

(),( 22

trtrVm

trt

i

),(),( trHtrt

i

(3 dim.Schrödingergleichung für ein Teilchen in einem Potential V(r,t)

Das ist fast schon alles!

Statistische Interpretation der WellenfunktionM. Born 1926

"for his fundamental research in quantum mechanics, especially for his statistical interpretation of the wavefunction Nobel prize 1954

Zeitliche Entwicklung von Erwartungswerten <A>

rdAdtd

Adtd

*=

rdt

AtA

At

Adtd

)(*

***

rdHAAHit

Adtd

)(

1 *

Hermetizität

Für einen reellen Erwartungswert gilt:

rdFrdF

** )(

Falls A nicht explizit von der Zeit abhängt gilt

HAi

Adtd

,1

mit HAAHHA ,

Alle Operatoren, die mit H vertauschen (kommutieren),d.h. wenn der Kommutator null ist, sind Erhaltungsgrößen

Definition: Kommutator

Schrödingergleichung ist linear, erlaubt Superposition

Zeitunabhängige Schrödingergleichung

Falls das Potential nicht explizit zeitabhängig ist, gibt es stationäreLösungen der Form:

EtiE ertr )/()(),(

)()( rErH EE

Energieeigenzustände

Es kann mehrere Energieeigenwerte mit den dazu gehörigen Eigenfunktionen zu einem Hamiltonoperator geben.Falls zu einem Eigenwert mehrere Eigenfunktionen existieren, so spricht man von Entartung.

nnn aH

'* )()( nnnn rr

Kronecker Symbol

Eigenfunktionen sind orthogonal

)()(),( rtctr nn

n

Entwicklung nach vollständigem Orthonormalsystem

2|)(|)( tctP nn Cn Wahrscheinlichkeitsamplituden

Messung des Eigenwertes an

Dirac Schreibweise

rdrgrfgf

)()(| *

Damit schreibt sich die Projektion

rdrAgrfgAf

)()(|| *

Matrixelement

)(),()( ' tctrr nn

als |'n

Kommutierende Observablen

Kommutieren zwei Observable A und B, dann existiert ein kompletter Satz von Eigenfunktionen zu A und B.Falls [A,B] ungleich null, dann können beide Observablen nicht gleichzeitig scharf gemessen werden.

Beispiel: Ort und Impuls

Kompletter Satz von kommutierenden Observablen ist die größteAnzahl kommutierender Observablen für ein Problem.

ipx x ],[

Eindimensionale Beispiele

)()(2 2

22

xExxm

KastenpotentialV(x)=0 für |x|<aV(x)=unendlich für x<-a und x>a

für |x|<a

xa

naxn 2

cos/1)(

xa

naxn 2

sin/1)(

Lösungenn=1,3,5...

n=2,4,6...

Mit Randbedingungen folgt:

Eigenwerte

2

22222

22/

Ln

mmkE nn

n=1,2,3..

Bemerkungen

Nullpunktsenergie von null verschieden

Gerade und ungerade FunktionenParitätsoperator 1P

Eindimensionaler harmonischer Oszillator

22

21

21

)( xmkxxV

Bedeutung in der Physik

Quantisierung des elektromagnetischen Feldes, Molekülzustände,Gittervibrationen, Näherung in der Umgebung eines Minimums

...|)(21

|)()()( 2

22

aaax xW

axx

WaxaWxW

im Minimum0|)( axW

ax

)()(21

)(2

22

22

xExkxxxm

m

x undmkE

2

0)()()( 2

2

2

Ansatz:

)()( 2/2

nHe Hn Hermite-Polynome

folgen aus einem PotenzreihenansatzLösungen´nur für= 2n+1

m

mmah

0

)(

)21

( nEn Eigenwerte

Eigenfunktionen )()( 2/2

xHeNx nx

nn

Ist die Grundzustandsenergie verträglich mit dem Unschärfeprinzip?

Antwort folgt

Drehimpuls

Operatoren

iLz

2

2

222

sin1

)(sinsin

1

L

Simultane Eigenfunktionen zu L2 und Lz :L2 und Lz vertauschen mit H: ErhaltungsgrößenEigenwerte l(l+1) und m (magnetische Hauptquantenzahl, Werte von m: -l,l+1,...l-1,l)

Kugelflächenfunktionen ),( mY

prL

klassisch umsetzen in q.m. Ausdruck, kartesische ->sphärische Koordinaten

präzediert , daher keine ErhaltungsgrößeL

Zentralpotentiale

Potential V( r ) || rr

)(2

22

rVm

H

)(sin1

)(sinsin1

)(1

2 2

2

2222

2

2

rVrrr

rrrm

H

)()(1

2 22

22

2

2

rVr

Lr

rrrm

H

0,, 2 zLHLH

Simultane Eigenfunktionen zu H, L2,Lz

Separation

),()(),,( mEmE YrRr

)()()())1(

)(1

2 ,,22

2

2

rERrRrVrr

rrrm EE

mit )()( ,, rrRru EE

)()()(2

)1(2 ,,2

2

2

22

rEururVmrrm EE

Veff(r)

Radialgleichung