Buchbesprechungcn 21 1

D~ffcrcnt~algleichungen, beschranken, aber das gereicht dem ISnch kcineswegs ziim Nachteil. Die Darstellung 1st uberall klar und verstandlich ; vom Leser wird an Vorkenntnissen nicht mchr vcrlangt, alq man e tua in den ersten zwei Jahren rmes Illathcmatilr-Studiams zu lernen pflegt. Der Referent i S t uberzcugt, daB vicle Lescr das Bueh mit ebensolchem Ver- gnugen zur Hand nehmcn TI crden w e er selbst.

Radebcul H. LA\G P,R

I. S.Rcresin,Pi. P. Shidkom,NunierischeMetlioden 1. (Hochschulbficher fur Mathematik, Band 70). 384 S. ni. 14 Xbb. Berlin 1970. VEB Deutscher Verlag der Wissen- scliaften. l'reis geb. 28,- &I.

N u in e r i s c h e M e t h o d e n 2. (Hochschulbucher fiir Mathematik, Band 71). 284 S. m. 11 Abb. Berlin 1971. VEB Dentscher Vcrlag der Wissenschaften. Preis geb. 2 5 , - AI.

Mit dcr vorliegenden Ubersetzung wird ein Standardwerk der numerisclicn JIathcmatik in deutscher Sprache zugang- lich. Es ist die ausdriickliche Absicht der Autoren, die in der modcrnen reinen hlathematik entwickelten Hilfsmittel in den Dienst der numerischen 3Iatliema.tilr zu stellen. Sie ge- hen jedoch dabei nicht axiomatisch vor, sondern bemiihen sich jeweils zunachst um die Herausarbeitung des Problems iind eine klare Motivierung des Losungsweges. Die funkt'io- nalanalytischen Bcgriffc werden dort entnickelt, wo sie ge- hraucht wcrdcn. Zahlreiche Aufgaben dienen der Vert'iefung des Stoffes, einige weitcrfiihrende Spezialwerke und grund- legende Originalarbeiten werden zitiert. Dieses Bnch eignet' sich wegen seiiws gnt.en didaktischen Aufbaues vorziiglich als Lehrbuch fur den hlathematiker wie den Ingenieur und zwar als Beglcittext einer Vorlesung ebenso wie zum Selbst- stndium. Ini wesentlichen werden nur die Kenntnisse der Vorlesungen iiher lincarc Algebra und Differential- und Inte- gralrechnung voransgesetzt. Nach dem Studium dieser Ban- de kann sich der I m e r sicherlich ohne Schwierigkeiten der modernen Spezialliteratur und den Fachzeitschriften der Numerik znwmden. Die Stoffauswahl ist sehr umfangreich und gibt auch Ausblicke auf Fragen, die iiber die Numerik im engeren Sinne hinausgehen. Bei der Auswahl der Verfahren sind die heiite zur Verfiigung stehenden technischen Hilfs- mittel beriicksichtigt worden, einige Methoden eignen sich mehr fur die Handrechnnng, die Mehrzahl fur die Verwen- dung auf einer elektronischen Rechenanlage.

Band 1 (Kap. 1-5) behandelt die Darstellung und Appro- ximation von Funktionen. Zunachst werden Fehlerquellen und Fehlerfortpflanzung analysiert, der Begriff der nume- rischen Stabilitat eincs Verfahrens klingt an. Die Aussagen rler Interpolationstheoric werden oft allgemein fur TSCHEBY- SCHEFFSySteme ausgesprochen, doch wird anch den klassi- schen Formeln geniigend Rauni gegeben.

Die theoretischen Ergebnisse der Konvergenz von Inter- polationsprozessen werden nngefiihrt. Ausfiihrlich wird auf mehrdimensionale Interpolation eingegangen, Interpolation im Komplexen wird gestreift. Die numerische Differentia- tion schlierjt sich als leichte Aiiwendung der Interpolation an. Darauf folgt wieder nach einer breit angelegten Exposi- tion iiber die ordnenden Gcsichtspunkte die Behandlung der Integrationsmethoden (NEWTOF-COTES, GAUSS, HERMITE, XARKOV, TSCREBYSCHEFF). Theoretische Betrachtungen uber I<onvcrgenzuntersuchungen leit,en von Interpolations- quadraturen zu optimalen Bormeln iiber, diese werden fur cinen lronkreten Fall ermit'telt. Hierdurch wird, wie a n mhlreichcn anderen Stellen des Buches, der Weg zur An- wcndung der Spline-Funktionen vorbereitet. Ausfiihrlich werden mehrdimensionale Integrationsformeln behandelt.

Die TSCH ERYSCBEFF-Approximation wird durch die Be- diirfnisse dcr elektroiiischen Rechenanlagen motiviert. Dem Gegenstand nngemessen werden zunachst eiiiige Grnndtat- sachen der Approximationstheorie (Normierte Raume, Fxistenz- iind Eindeutigkeitssatzc, KOL3fOGOROFF-BCdin- gung) ermit,t'elt, auf die sich die numerischen Verfahren (Diskretisierung und RmrEsalgorithmus) stiitzen. Die Appro- ximation im Quadratmittel wird im HILBERTraum entwickelt mid fiihrt iiber die Theorie der orthogonalen Polynome zii Anwendungen auf die Analyse empirischer Datcnsatze.

Band 2 (Kap. 6-8) en thdt Methoden fiir die numerische Behandlung slgebraischer Aufgaben. Bap. 6 beschreibt ilk- thoden zur Losung h e a r e r Glcichungssystemc, geordnet nach direkten Verfahren (Gaussscher-, JoRu-mscher Algorithmus, Qnadratwnrzelmethode, Orthogonalisierungsvcrfahren, Me- thode der konjugierten Gradienten und Blockmethoden) nnd iterativen Verfahren (Gesamtschrittverfahren, Einzelschritt- rerfahrm, Gradientenverfahren, RelaxionsverfahreIi). Die iterat.ivcn Verfahren bilden den AnlaB zur Definition der Operatornorm und fiir Koiivergcnzuntersiichnngen bei $1 a- trizenfolgen. Eingehend wird der Rechenaufwand der ein- zrlnen Verfahren ermittelt.

Nebcn den geschilderten Verfahren, die wie z. B. die ver- schiedenen Gradientenvcrfahren bereits zur Optimierung hinfiihren, ist als direkte Snwendung des Eliminationsalgo- rithmus ein Ausblick auf die lineare Optimierung aufgenom- men worden.

AnschlieBend werden niehtlinea,re Gleichungen und Glei- chnngssysteme behandelt,. Auf EinschlieBungssiitze nnd den Satz iiber kontrahierende Rbbildungen folgen die Regula falsi und das Xu'EwTomche Verfahren sowie die Konstruk- tionsprinzipien fiir Verfahren hoherer Ordnungen. Fur alge- hraisclie Gleichungen xverden zusatzlich spezielle Methoden ( G 1 ~ . 4 ~ ~ ~ ~ - V e r f a h r e n , ein Abstiegsverfahren und das Ver- fahrcn von MULLER) mgegeben. Den AbschluB bilden mit dem HoRNER-Verfahren i n Zusamlnerihang stehcnde Tech- niken.

Xhnlich mie bei den linearen Gleiehungen ist eine Eintei- lung bei den Eigenwertberechnnngen in direkte und iterative Verfahren vorgenommen. So beginnt dieses Kapitel mit der Darstellung der heute bereits klassischen Methoden von ICRYLOW, LASCZOS, DANILEWSKI, LEVERIER und SanfnELsON sowie der Randerungs-, Eskalator- und Interpolationsmetho- de und fiihrt daiin mit der iterativen Behandlung n a ~ h 17. MISES, JACOBI, sowie den Zerlegungsmethoden ( B A ~ E R , RUTISHAUSER) fort. Des asymptotische Verhalten der Nahe- rungswerte ist AnlaB, die Moglichkeit der Konvergenzbe- schleunigung zu behandeln und auf die Verfahren von GAWV- RIN, I,JUSTERNIK iind den ilrTKENschen 8-Prozerj cinzu- gehen.

Den SchlitB bilden, leider sehr knapp gehalten, Abschnittc zur numerischen Stabilitat (Kondition) einiger Prozesse der - linearen Algebra.

Der Referent ist sicher, daI3 diese BLnde eine sehr gnte Aufnahme im Lescrkrcis finden werden.

H. WERNER Miinster

S. Mac Lane, K a t e g o r i e n . Ubers. a. d. Kiigl. VII + 295 S. Berlin/Hoidelberg/New York 1972. Springer-Ver- leg. Prcis brosch. DM 34, - .

Ziel des Verf. ist es, den Studenten in moglichst abge- schlossener Form mit den Begriffsbildungen und einigen grundlegenden Aussagen nnd hletlioden aus der Theorie der Kategorien vertraut zu machen und ihm die Bedeutung clieser Theorie im R,ahmen der Mathematik a.n Hand von Anwendnngsmoglichkeiten in Algebra und Geometrie vor Augen zu fuhren. Der Verf. begrundet den Begriff der Kate- gorie in Verallgemeinerung iind Abstraktion der Qedanken- gange von DEDEKIND (die Abbildung als primaren Begriff in die Mathemat'ik einznfiihren) auf dem - als primitivem Be- griff angegebenen - Graphen, wohei er zwischen der Meta- kategorie und der in einer Rlengenlehre dcfinierten Kategorie nnterscheidet. Der Stoff ist im wesentlichen in drei Stufeii anfgebaut. Auf der ersten Stufe (Kap. I, 11) werden die Qrnndbegriffe dcr Kategorientheorie als einer - der Ziel- setzung entsprechend ausgebauten - Begriffssprache einge- fiihrt : Kategorie, Fuiiktor, natiirliche Transformation, Kon- travarianz und Funktorlrategorie. Auf der zweiten Stufe (Kap. 111, IV, V) erfolgt die Einfuhrnng dcs Begriffs des Paares adjungierter Funktoren und die Erlauterung der ver- schiedenen dazu im wesentlichen gleichwertigen Varianten universelle Konstruktion, Limes und Colimes, Paare von Funktoren, zusammen mit eineni naturlichen Isomorphismus zwischen entsprechendcn Pfeilmengen. In diesem Zusam- mcnhang geht Verf. auf Katcgorieii niit zusatzlicher Struktur ein (kartcsisch abgeschlossene Kategorien als Spezialfall der abgeschlossenen Kategorien) und anf die Beziehungen zwi-