Ihlenburg Wirtschaftsmathematik Speth mit Algebra … · 2018-05-28 · Satz: 1 Arbeiter benötigt 2 · 6 Stunden je weniger, desto mehr 3. Satz: 8 Arbeiter benötigen 2 · 6 _____

IhlenburgSpeth

WaltermannOtt

Bohner

Wirtschaftsmathematikmit Algebra

IhlenburgSpeth

WaltermannOtt

Bohner

Wirtschaftsmathematikmit Algebra

Merkur Verlag Rinteln

Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und PraxisBegründet von Handelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkap †

Verfasser:

Dr. Peter Ihlenburg, Dipl.-Phys.

Dr. Hermann Speth, Dipl.-Hdl.

Aloys Waltermann, Dipl.-Kfm., Dipl.-Hdl.

Roland Ott, Oberstudienrat

Kurt Bohner, Oberstudienrat

Fast alle in diesem Buch erwähnten Hard- und Softwarebezeichnungen sind eingetragene Warenzeichen.

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4. Auflage 2011

© 2004 by MERKUR VERLAG RINTELN

Gesamtherstellung:Merkur Verlag Rinteln Hutkap GmbH & Co. KG, 31735 Rinteln

E-Mail: [email protected]@merkur-verlag.de

Internet: www.merkur-verlag.de

ISBN 978-3-8120-0527-2

Vorwort

Das vorliegende Lehr-und Arbeitsbuch richtet sich am Niveau der Berufsfachschule (Han-delsschule) aus und umfasst die in dieser Schulart zu unterrichtenden Stoffgebiete.

In die verschiedenen Themengebiete der Wirtschaftsmathematik wird jeweils mit einem grundlegenden Beispiel eingeführt. Die Einführung erfolgt in dem Dreischritt: Beispiel, Aufgabenstellung und Lösung und bildet die Möglichkeit für einen interaktiven Lern-prozess.

Das Spektrum der Übungsaufgaben ist so ausgewählt, dass die Schüler ihre erworbe-nen mathematischen Kenntnisse und Fähigkeiten an einer Vielzahl von wirtschaftlichen Tat beständen anwenden können. Die wirtschaftsmathematischen Kenntnisse werden dadurch zur Basis für die Arbeit in den anderen kaufmännischen Fächern.

Das Lehr-und Arbeitsbuch ist so angelegt, dass zum einen dem Lehrer ein großer metho-discher Spielraum bleibt und dass zum anderen die Schüler die Möglichkeit haben, die Aufgaben selbstständig zu lösen.

Wir wünschen uns eine gute Zusammenarbeit mit allen Benutzern dieses Buches und sind dankbar für jede Art von Anregungen und Verbesserungsvorschlägen.

Die Verfasser

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Inhaltsverzeichnis

Teil A: Kaufmännisches Rechnen

1 Grundlegende kaufmännische Rechenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1 Einfacher Dreisatz mit direktem und indirektem Verhältnis . . . . . . . . . . . 111.1.1 Einfacher Dreisatz mit direktem Verhältnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2 Einfacher Dreisatz mit indirektem Verhältnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.3 Dreisatzaufgabe mit direktem und indirektem Verhältnis . . . . . . . . . . . . . 141.2 Währungsrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.2 Grundbegriffe zum Währungsrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.3 Sortenhandel und Sortenkurse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.4 Devisenhandel und Devisenkurse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3 Durchschnittsrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3.1 Einfacher Durchschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3.2 Gewogener Durchschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4 Verteilungsrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.4.1 Verteilung nach ganzen Anteilen und nach Bruchteilen . . . . . . . . . . . . . . 311.4.2 Verteilung mit Vorleistungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Prozentrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.1 Einführung in das Prozentrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2 Prozentrechnen vom Hundert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.1 Berechnung des Prozentwertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.2 Berechnung des Prozentsatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.3 Berechnung des Grundwertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3 Prozentrechnen mit dem verminderten und dem vermehrten

Grundwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3.1 Prozentrechnen im Hundert (verminderter Grundwert) . . . . . . . . . . . . . . 432.3.2 Prozentrechnen auf Hundert (vermehrter Grundwert) . . . . . . . . . . . . . . . 452.4 Verschiedene Aufgaben zum Prozentrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Handelskalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Aufbau der Handelskalkulation (Vorwärtskalkulation) . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2.1 Einkaufs- und Bezugskalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2.1.1 Hinführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2.1.2 Bezugskalkulation ohne Berücksichtigung des Verpackungsgewichts . . . 503.2.1.3 Bezugskalkulation unter Berücksichtigung des Verpackungsgewichts . . 523.2.1.4 Bezugskostenverteilung nach Mengen und Werten . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2.2 Kalkulation der Selbstkosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2.3 Verkaufskalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2.3.1 Berechnung des Barverkaufspreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2.3.2 Berechnung des Listenverkaufspreises (Nettoverkaufspreis)

unter Berücksichtigung von Kundenskonto, Kundenrabatt,Vertreterprovision und Umsatzsteuer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

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3.2.4 Zusammenhängende Darstellung des Kalkulationsschemas . . . . . . . . . . 653.3 Kalkulatorische Rückrechnung (retrograde Kalkulation) . . . . . . . . . . . . . . 663.4 Differenzkalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.5 Verschiedene Aufgaben zur Handelskalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4 Industriekalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2 Anwendung der Zuschlagskalkulation als Angebotskalkulation

(Vorkalkulation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2.1 Vorwärtskalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2.2 Rückwärtskalkulation (retrograde Kalkulation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.2.3 Differenzkalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.3 Anwendung der Zuschlagskalkulation als Nachkalkulation . . . . . . . . . . . 80

5 Zinsrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.1 Einführung in das Zinsrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.2 Berechnung der Jahres-, Monats- und Tageszinsen nach

der allgemeinen Zinsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.2.1 Berechnung der Jahreszinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.2.2 Berechnung der Monatszinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.2.3 Berechnung der Tageszinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.3 Berechnung der Größen Kapital, Zinssatz und Zeit nach

der allgemeinen Zinsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.3.1 Berechnung des Kapitals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.3.2 Berechnung der Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.3.3 Berechnung des Zinssatzes (Nominalzinssatzes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.4 Verschiedene Aufgaben zum Zinsrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.5 Berechnung des Effektivzinssatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.5.1 Berechnung des Effektivzinssatzes am Beispiel von Kreditkosten . . . . . 995.5.2 Berechnung des Effektivzinssatzes am Beispiel des Skontosatzes . . . . . 1005.5.3 Verschiedene Aufgaben zur Berechnung des Effektivzinssatzes . . . . . . . 102

Teil B: Algebra und Funktionen

1 Aussagen und Aussageformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031.1 Aussageformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1041.2 Grundmenge und Lösungsmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.1 Begriff der Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.2 Darstellungen von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.3 Eigenschaften von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.4 Verknüpfungen von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092.5 Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.5.1 Die natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.5.2 Die ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122.5.3 Die rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

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3 Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.1 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.2 Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.3 Lineare Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.4 Verhältnisgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.5 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303.5.1 Gleichsetzungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.5.2 Einsetzungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.5.3 Additionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333.5.4 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen . . . . . . . . . . 136

4 Potenzrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.1 Definition der Potenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.2 Addition und Subtraktion von Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.3 Multiplikation von Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.4 Division von Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.5 Potenzieren von Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.6 Potenzen mit negativen ganzen Hochzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5 Die Binomischen Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.1 Multiplikation von Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.2 Binomische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.3 Zerlegung von Summen in Faktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6 Relationen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.1 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.2 Ursprungsgeraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1647.3 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1667.4 Geraden mit der Gleichung y = mx + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1717.5 Schnittpunkte von Gerade und Koordinatenachsen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737.6 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1747.7 Schnittpunkt von zwei Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1797.8 Graphisches Verfahren zur Lösung eines LGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827.9 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

8 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1908.1 Quadratwurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1908.2 Irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1928.3 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1948.3.1 Reinquadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1948.3.2 Gemischtquadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

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9 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2039.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2039.2 Normalparabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2049.3 Parabeln mit der Gleichung y = ax2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2059.4 Verschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2079.4.1 Verschiebung nach oben bzw. unten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2079.4.2 Verschiebung nach rechts bzw. links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2089.5 Scheitelform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2099.6 Graphische Lösung quadratischer Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

10 Bearbeitung mathematischer Probleme miteinem Tabellenkalkulationsprogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

10.1 Graphische Darstellung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21310.2 Graphische Schnittpunktbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

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Teil A: Kaufmännisches Rechnen

1 Grundlegende kaufmännische Rechenverfahren

1.1 Einfacher Dreisatz mit direktem und indirektem Verhältnis

1.1.1 Einfacher Dreisatz mit direktem Verhältnis

Beispiel:

In einem Schreibwarengeschäft beträgt der Preis für 10 Farbstifte 4,00 EUR.

Aufgabe:

Über welchen Betrag wird die Rechnung ausgeschrieben, wenn an eine Schule 50 Farbstifte geliefert werden?

Lösung:

Gegeben: 10 Farbstifte kosten 4,00 EUR Bedingungssatz

Gesucht: 50 Farbstifte kosten x EUR Fragesatz

x = 4 · 50 ______ 10

Bruchsatz

x = 20,00 EUR

Ergebnis: Die Rechnung ist über 20,00 EUR auszustellen.

Allgemeiner Lösungsweg

1. Schreiben Sie den Bedingungssatz so auf, dass die gefragte Größe am Ende des Satzes steht.

2. Schreiben Sie den Fragesatz darunter. Achten Sie darauf, dass gleiche Bezeichnungen (z. B. kg, EUR, m usw.) immer untereinander stehen.

3. Bei der Erstellung des Bruchsatzes ist von dem gegebenen Wert (Preis für 10 Farb-stifte) auszugehen. Er ist dann immer auf den Wert einer Einheit zurückzuführen (Preis für 1 Farbstift) und anschließend ist der Wert für die gesuchte Mehrheit zu berechnen (Preis für 50 Farbstifte).

Die Erstellung des Bruchsatzes erfolgt über die folgenden drei Sätze:

1. Satz: 10 Farbstifte kosten 4,00 EUR

2. Satz: 1 Farbstift kostet 4 ___ 10

EUR

je weniger, desto weniger

3. Satz: 50 Farbstifte kosten 4 · 50 ______ 10

EUR je mehr, desto mehr

Beachten Sie:

■ Beim 2. Satz gilt im Verhältnis zum 1. Satz: Je weniger, desto weniger. (Je weniger verkauft wird, desto niedriger ist der Erlös.) Es handelt sich um ein direktes Verhältnis.

■ Beim 3. Satz gilt im Verhältnis zum 2. Satz: Je mehr, desto mehr. (Je mehr verkauft wird, desto höher ist der Erlös.) Es handelt sich um ein direktes Verhältnis.

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Übungsaufgabe

1 1. Die Kosten für die Reinigung der Büroräume belaufen sich im Monat Januar bei 25 Ar-beitstagen auf insgesamt 1 420,00 EUR.

Wie viel EUR betragen jeweils die Reinigungs kosten

1.1 im Monat Februar (20 Arbeitstage) und

1.2 im März (24 Arbeitstage)?

2. Ein Kaufhaus bezieht eine Wagenladung Orangen mit einem Gesamtnettogewicht von 1 570 kg zu 879,20 EUR.

Wie viel EUR kostet ein Netz Orangen mit 2,5 kg Nettoinhalt?

3. Bei der Herstellung von 117 m2 Tapeten beträgt der Abfall 6,75 m2.

Wie viel m2 beträgt der Abfall bei einer Herstellung von 490,50 m2 Tapeten?

4. Ein Schüler erhält für seine Ferienarbeit von 24 Arbeitsstunden einen Bruttolohn von 283,20 EUR.

Berechnen Sie den Bruttolohn, wenn der Schüler in der 2. Woche 34 Arbeitsstunden be-schäftigt ist!

5. Der Heizölvorrat von 33 640 Litern reicht bei normalem Verbrauch 145 Tage.

Wie viel Tage reicht ein Vorrat von 12 200 Litern?

6. Nr. Menge der eingekauften Waren gesamte Kosten Wie viel kosten . . .

6.16.26.36.46.5

42 m2

184 Stück 62 kg310 Liter48 Säcke

1 470,20 EUR470,60 EUR155,20 EUR

2 720,00 EUR245,00 EUR

18 m2

265 Stück 78 kg158 Liter112 Säcke

7. Ein Unternehmen hat 1 920 Fertigteile am Lager.

Wie viel Tage reicht der Vorrat, wenn wöchentlich (6 Tage) im Durchschnitt 480 Fertigteile in der Produktion Verwendung finden?

8. Ein Großhändler beliefert in regelmäßigen Abständen seine 5 Filialen. Er legt hierbei eine Strecke von 200 km zurück. Seine Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt 50 km. Aufgrund einer Umleitung muss er einen Umweg von 30 km fahren.

Wie viel Minuten muss er früher abfahren, wenn er seine ursprüngliche Durchschnittsge-schwindigkeit beibehalten möchte?

9. Für eine Sendung verschiedener Waren im Gegenwert von 22 000,00 EUR wurden Fracht-kosten in Höhe von 1 430,00 EUR gezahlt.

Wie viel EUR beträgt der Frachtanteil für eine Lieferung im Werte von 9 000,00 EUR?

10. Ein Lebensmittelgeschäft hat 192 Gläser Senf auf Lager.

Wie viel Tage reicht der Vorrat, wenn wöchentlich (6 Tage) im Durchschnitt 48 Gläser ver-kauft werden?

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1.1.2 Einfacher Dreisatz mit indirektem Verhältnis

Beispiel:

Zum Beladen eines Lkws werden 6 Mitarbeiter für 2 Stunden abgestellt.

Aufgabe:

Nach wie viel Stunden ist der Lkw beladen, wenn der Fahrer und der Beifahrer mithelfen?

Lösung:

Gegeben: 6 Arbeiter benötigen 2 Stunden BedingungssatzGesucht: 8 Arbeiter benötigen x Stunden Fragesatz

x = 2 · 6 _____ 8 Bruchsatz

x = 1 1/2 Stunden = 90 Minuten

Ergebnis: Der Lkw ist in 90 Minuten beladen.

Erläuterungen zum Bruchsatz:

1. Satz: 6 Arbeiter benötigen 2 Stunden

2. Satz: 1 Arbeiter benötigt 2 · 6 Stunden je weniger, desto mehr

3. Satz: 8 Arbeiter benötigen 2 · 6 _____ 8 Stunden

je mehr, desto weniger


Für die Aufstellung der 3 Sätze gilt die gleiche Vorgehensweise wie beim Dreisatz mit geradem Verhältnis.

Beachten Sie:

■ Beim 2. Satz gilt im Verhältnis zum 1. Satz: Je weniger, desto mehr. (Je weniger Per-sonen beim Beladen helfen, um so längere Zeit wird zum Beladen benötigt. Es handelt sich um ein indirektes Verhältnis.)

■ Beim 3. Satz gilt im Verhältnis zum 2. Satz: Je mehr, desto weniger. (Je mehr Personen beim Bela den helfen, um so kürzer ist die benötigte Beladezeit. Es handelt sich um ein indirektes Verhältnis.)

Übungsaufgabe

2 1. Um bei einem Straßenbau den Teerbelag aufzubringen, benötigen 20 Arbeiter 15 Tage zu je 8 Stunden.

Wie viel Arbeiter müssten noch hinzugezogen werden, wenn die Straßenbauarbeiten in 10 Tagen fertig sein sollen, die tägliche Arbeitszeit jedoch nicht erhöht werden kann?

2. Einem Handelsvertreter reicht die monatliche Spesenpauschale für 26 Tage, wenn er täg-lich 36,00 EUR ausgibt.

Wie viel Tage reichen die Spesen, wenn er täglich nur 30,00 EUR ausgibt?

3. In einem SB-Laden reicht der Vorrat an Gemüsedosen bei einem täglichen Verkauf von 72 Stück 36 Tage.

Wie viel Tage reicht der gleiche Vorrat, wenn aufgrund einer Werbeaktion der tägliche Ver-kauf auf 108 Stück ansteigt?

⎫⎪⎬⎪⎭

⎫⎪⎬⎪⎭

14

4. Zum Belegen der Geschäftsräume mit Teppichboden benötigen wir 32 Rollen mit einer Breite von 1,20 m.

Wie viel Rollen braucht man, wenn die Breite 1,80 m beträgt?

5. Bei einem täglichen Bedarf von 140 Blatt reicht das Fotokopierpapier noch 66 Tage.

Wie viel Tage reicht der Vorrat, wenn der Tagesbedarf auf 180 Blatt ansteigt?

6. Zum Auffüllen eines Ladenregals benötigen 4 Angestellte 6 Stunden.

Wie viel Zeit wird benötigt, wenn nur 3 Angestellte für die Arbeit zur Verfügung stehen?

7. 16 Einzelhändler eines Einkaufszentrums starten eine gemeinsame Werbeaktion, wobei je-der anteilige Kosten in Höhe von 362,40 EUR zu tragen hat.

Wie viel EUR beträgt der Kostenanteil, wenn alle 24 Einzelhandelsgeschäfte des Einkaufs-zentrums die Aktion mittragen würden?

8. Der Heizölvorrat von 11 340 Litern reicht bei gewöhnlichem Verbrauch 210 Tage.

Wie viel Tage reicht der Vorrat, wenn durch den Einbau eines neuen Kessels täglich 10 Liter gespart werden könnten?

Den Unterschied zwischen dem Dreisatz mit direktem Verhältnis und dem Dreisatz mit indirektem Verhältnis zeigt die folgende Gegenüberstellung auf:

Direktes Verhältnis Indirektes Verhältnis

Beispiel:20 kg Zucker kosten 24,00 EUR 5 kg Zucker kosten 6,00 EUR

Beispiel:10 Arbeiter benötigen 8 Tage 4 Arbeiter benötigen 20 Tage

Allgemein:Weniger Zucker weniger GeldMehr Zucker mehr Geld

Allgemein:Weniger Arbeiter mehr TageMehr Arbeiter weniger Tage

Die Größen (Zucker und Geld) verändern sich gleichgerichtet.

Die Größen (Arbeiter und Tage) verändern sich entgegengerichtet.

Das Zurückführen auf eine Einheit(1 kg Zucker) erfordert eine Division.

Das Zurückführen auf eine Einheit(1 Arbeiter) erfordert eine Multiplikation.

Das Schließen von der Einheit auf die ge-suchte Mehrheit erfordert eine Multiplikation.

Das Schließen von der Einheit auf die ge-suchte Mehrheit erfordert eine Division.

1.1.3 Dreisatzaufgabe mit direktem und indirektem Verhältnis

3 1. Die Lederwaren Kuhn OHG bezahlte für ihre Geschäftsräume bei einem Mietpreis von 13,50 EUR je m2 bisher monatlich 2 767,50 EUR.

Wie viel EUR beträgt die künftige Monatsmiete, wenn der Hauseigentümer die Miete um 0,80 EUR je m2 erhöht?

2. Die Glasversicherung für die Schaufensterscheiben der Fritz Weber OHG wird nach m2 berechnet. Bei einer Glasfläche von 18 m2 beträgt sie 225,00 EUR jährlich. Durch den Ladenausbau erweitert sich die Glasfläche um 4 1/2 m

2.

Wie viel EUR beträgt die jährliche Versicherungsprämie?

15

3. Die Farbengroßhandlung Franz Bunt e. Kfm. füllt 400 Liter Farbe in 2-Liter-Dosen ab und erhält somit 200 Dosen.

Wie viel Dosen können abgefüllt werden, wenn der Doseninhalt 1/2 Liter beträgt?

4. Der Weinvorrat einer Weingroßhandlung reicht bei einem täglichen Verkauf von 45 Litern 60 Tage.

In wie viel Tagen ist der Vorrat erschöpft, wenn der Tagesverkauf auf 50 Liter ansteigt?

5. Die Kosten für eine gemeinsame Anzeigenwerbung in der Tageszeitung betragen 640,30 EUR je Einzelhandelsgeschäft. An der Aktion wollten sich 12 Geschäfte beteiligen.

Wie viel EUR muss ein Einzelhändler aufbringen, wenn sich schließlich nur 8 Geschäfte an der Aktion beteiligen?

6. Eine Großhandlung röstet den Kaffee selbst. Aus 88 kg Rohkaffee gewinnt man 72 kg Röstkaffee.

6.1 Wie viel kg Rohkaffee sind erforderlich, um 58 kg Röstkaffee zu erhalten?

6.2 Wie viel kg Röstkaffee erhält man aus 46 kg Rohkaffee?

7. Ein Mitarbeiter im Außendienst erhält für den Verkauf von 180 Stück eine Provision von 992,00 EUR.

Wie viel EUR beträgt seine Provision bei einem Verkauf von 315 Stück?

8. Zur Fertigstellung eines Auftrages beschäftigt ein Unternehmen 4 Aushilfskräfte 9 Tage lang.

Wie viel Tage würde es dauern, wenn der Geschäftsinhaber zusätzlich noch 2 Aushilfs-kräfte für diesen Auftrag zur Aushilfe einstellen würde?

9. Ein Großmarkt bezieht eine Wagenladung Äpfel mit einem Gesamtnettogewicht von 620 kg zu 508,40 EUR.

Wie viel EUR kostet ein Beutel Äpfel mit 2,5 kg Nettogewicht?

10. Das Lederwarenhaus Heinz Schöne e. Kfm. hat bei einem Lieferer 25 Lederjacken zu je 270,80 EUR bestellt. Wegen schlechter Verarbeitung schickt er sie an den Lieferer zurück. Der Lieferer hat lediglich noch höherwertigere Lederjacken am Lager, und zwar zum Stückpreis von 310,60 EUR.

Wie viel Stück kann das Lederwarenhaus beziehen, wenn Heinz Schöne nicht mehr Geld als den ursprünglichen Rechnungsbetrag ausgeben will?

11. Ein Unternehmen bestellt 2 430 Werbezettel und erhält hierfür eine Rechnung über 109,35 EUR. Zum gleichen Einzelpreis werden 1 070 Werbezettel nachbestellt.

Über wie viel EUR lautet die Rechnung für die Nachbestellung?

12. Zur Dekoration des Ausstellungsraumes benötigen wir 36 m Gardinenstoff, falls dieser 150 cm breit ist.

Wie viel m brauchen wir, wenn der Stoff nur 120 cm breit ist?

13. Einer unserer Lkw verbraucht auf 100 km durchschnittlich 12,8 Liter Dieselkraftstoff.

Wie viel Liter verbraucht er für eine Strecke von 420 km?

16

14. Eine Großhandlung bezieht eine Wagenladung Kartoffeln mit einem Gesamtnettogewicht von 785 kg zu 439,60 EUR.

Wie viel EUR kostet ein Beutel mit 2,5 kg Nettogewicht?

15. Ein Mitarbeiter im Außendienst erhält für den Verkauf von 180 Stück eine Provision von 992,00 EUR.

Wie viel EUR beträgt seine Provision bei einem Verkauf von 315 Stück?

16. Der Vorrat an Gemüsedosen reicht bei einem täglichen Verkauf von 48 Stück 24 Tage.

Wie viel Tage reicht der gleiche Vorrat, wenn aufgrund einer Werbeaktion der tägliche Verkauf auf 72 Stück ansteigt?

17. 20 Arbeiter brauchen für einen bestimmten Auftrag 15 Tage zu je 8 Stunden.

Wie viel Arbeiter müssten noch hinzugezogen werden, wenn der Auftrag in 10 Tagen fertig sein soll, die tägliche Arbeitszeit jedoch nicht erhöht werden kann?

18. Eine Aushilfskraft erhält für 26 Arbeitsstunden einen Bruttolohn von 364,00 EUR.

Wie viel EUR beträgt der Bruttolohn, wenn die Arbeitszeit 34 Stunden beträgt?

19. Bei der Herstellung von 78 m2 Teppichfliesen beträgt der Abfall 4,5 m2.

Wie viel m2 Abfall fallen an, wenn 273 m2 Teppichfliesen hergestellt werden?

20. Die monatliche Spesenpauschale für einen Mitarbeiter reicht für 26 Tage, wenn er täglich 24,00 EUR ausgibt.

Wie viel Tage reichen die Spesen, wenn er täglich nur 20,00 EUR ausgibt?

21. Zum Belegen der Lagerräume mit Folie benötigen wir 48 Rollen mit einer Breite von 1,80 m.

Wie viel Rollen braucht man, wenn die Breite 2,70 m beträgt?

22. Ein Übersetzungsbüro berechnet einem Unternehmen für die Übersetzung eines Textes von 96 Seiten 840,00 EUR.

Wie viel EUR kostet die Übersetzung einer Arbeit, die 120 Seiten umfasst?

23. Die Kosten für die Reinigung der Geschäftsräume belaufen sich im Monat März bei 24 Ar-beitstagen auf insgesamt 620,00 EUR.

Wie viel EUR betragen die Reinigungskosten

23.1 im Mai (22 Arbeitstage) und

23.2 im Juli (18 Arbeitstage wegen Betriebsferien)?

24. Bei einem täglichen Verkauf von 70 Stück eines Artikels reicht der Vorrat noch 33 Tage.

Wie viel Tage reicht der Vorrat, wenn der Tagesverkauf auf 90 Stück ansteigt?

25. Zum Auffüllen eines Lagerregals benötigen 3 Angestellte 5 Stunden.

In welcher Zeit könnte die Arbeit von 2 Angestellten erledigt werden?

17

1.2 Währungsrechnen

1.2.1 EinführungAm 1. Januar 1999 wurde in elf europäischen Ländern der Euro als gemeinsame Währung eingeführt. Dadurch bilden diese elf Länder in währungspolitischer Hinsicht ein einheit-liches Gebiet, die sogenannte Europäische Währungsunion (EWU) oder auch als Euro-päische Wirtschafts- und Währungsunion (EWWU) bezeichnet. Auch die Bezeichnung Euroland ist üblich. Sofern die Konvergenzkritierien (Aufnahmebedingungen) erfüllt wer-den, können auch weitere europäische Länder dieser Währungsunion beitreten. Diesen Schritt haben inzwischen Griechenland, Slowenien, Malta, Zypern (griechischer Landes-teil), die Slowakei und Estland vollzogen, sodass sich die ursprüngliche Zahl von elf auf siebzehn Mitgliedstaaten erhöht hat.1 Mit der Schaffung einer einheitlichen gemeinsamen Währung in diesen Staaten ist ein großer Schritt in Richtung einer europäischen Vereini-gung getan. Dieser Schritt bedeutet für die Mitgliedstaaten die Übertragung der geld- und währungspolitischen Maßnahmen an eine unabhängige supranationale Institution, die Europäische Zentralbank (EZB).

Damit stellt das Gebiet dieser siebzehn Länder in währungspolitischer Hinsicht „Inland“ dar. Dem Euro als Inlandswährung (Binnenwährung) dieser siebzehn Länder stehen die Währungen der übrigen Länder, die nicht diesem Währungsverbund angehören, als Fremdwährungen gegenüber.

EWU andere Länder (Nicht-EWU-Länder)

Binnenwährung (Euro) Fremdwährung (z. B. US-Dollar, Schweizer Franken)

1.2.2 Grundbegriffe zum Währungsrechnen

(1) Währung

Unter der Währung versteht man das gesetzliche Zahlungsmittel eines Staates bzw. einer Staatengemeinschaft.

Beispiele:

Staat/Staatengemeinschaft Währung

DänemarkGroßbritannienUSAEuropäische Wirtschafts- und Währungsunion

Kronen PfundDollarEuro

(2) Wechselkurs

Unter dem Wechselkurs versteht man das Austauschverhältnis zwischen verschiede-nen Währungen.

Die Mengennotierung ist die heute übliche Notierungsform in der Praxis der Kursnotie-rungen. Bei der Mengennotierung geht man jeweils von einem Euro aus. Die Frage lautet daher, welchem Wert ein Euro in der Fremdwährung entspricht.

1 Die siebzehn Länder der Europäischen Währungsunion sind: Belgien, Deutschland, Estland, Finnland, Frankreich, Griechenland, Irland, Italien, Luxemburg, Malta, Niederlande, Österreich, Portugal, Slowakei, Slowenien, Spanien und Zypern (griechischer Landesteil).

18

Beispiele:

Einheit EWU-Länder Währung Nicht-EWU-Länder Währung Kurs

11

Euro Euro

USADänemark

USDDKK

1,31457,7754

Die Beispiele sagen aus, dass z. B. am Devisenmarkt ein Euro dem Wert von 1,3145 USD entspricht.

Oder kurz: Kurs für 1 Euro 1,3145 Dollar, Kurs für 1 Euro 7,7754 DKK

(3) Ankaufskurs (Geldkurs), Verkaufskurs (Briefkurs)1

Die Bezeichnungen verstehen sich aus der Sicht einer im eigenen Währungsgebiet ansäs-sigen Bank. Da die Bank genauso wie ein Warenhändler an dem Handel mit Fremdwährun-gen verdienen möchte, ist der Verkaufskurs höher als der Ankaufskurs. Der Betrag, der sich aus der Differenz beider Kurse ergibt (Kursspanne), ist der Ertrag (Rohgewinn) der Bank aus dem Handel mit Fremdwährungen.

Will z. B. ein Deutscher bei seiner Bank eine bestimmteMenge einer Fremdwährung gegen Euro kaufen, so berechnet ihm die Bank den niedrigeren Ankaufskurs (Geldkurs), denn die Bank kauft Euro an. Will der Deutsche einen bestimmten Betrag einer Fremdwährung gegen Inlandswährung eintauschen, dann legt die Bank den höheren Verkaufskurs (Brief-kurs) zugrunde, denn die Bank verkauft Euro.Beispiel:

Einheit EWU-Länder Währung Nicht-EWU-Länder Währung Ankauf Verkauf

1 Euro USA USD 1,3245 1,3372

Das Beispiel besagt, dass der Ankauf von einem Euro 1,3245 USD kostet und der Verkauf von einem Euro 1,3372 USD kostet. Wenn die Bank USD verkauft, kauft sie Euro an. Daher gilt der Ankaufskurs.

B a n k

Ankauf von Fremdwährung

Verkauf von Euro daher

Briefkurs

Verkauf von Fremdwährung

Ankauf von Euro daher

Geldkurs

(4) Sorten und Devisen

■ Sorten

Als Sorten bezeichnet man Banknoten und Münzen einer Fremdwährung.

Sorten werden von den Banken für den privaten und geschäftlichen Reiseverkehr in Fremdwährungsgebiete bereitgestellt.

1 Im Sortenhandel werden in der Regel die Begriffe Ankauf und Verkauf verwendet, im Devisenhandel die Begriffe Geld und Brief.

19

■ Devisen

Unter Devisen versteht man fremde Zahlungsmittel in Form von Buchgeld (z. B. Schecks, Wechsel, Zahlungsanweisungen).

Devisen spielen insbesondere im Import- und Exportgeschäft mit Fremdwährungslän-dern eine Rolle. Die Kursbildung auf den Devisenmärkten vollzieht sich nach den gleichen Grundsätzen, wie die Preisbildung auf den Gütermärkten. Die täglich in den Wirtschafts-teilen der Zeitungen veröffentlichten Wechselkurse sind Referenzkurse, d. h., vom EZB empfohlene Kurse. Die von den privaten Banken aufgrund des Devisenangebots und der Devisennachfrage ermittelten „Orientierungspreise“ weichen nicht wesentlich von den Referenzkursen ab.

1.2.3 Sortenhandel und Sortenkurse

Die Mengennotierung führt zu der folgenden Sortenkursnotierung, wie sie auszugsweise aus einer Sortenkurstabelle einer Bank dargestellt wird.

Ausschnitt aus einer Sortenkurstabelle

Land Währung

1 Euro

Ankauf Verkauf

USAKanadaGroßbritannienSchweizDänemarkNorwegenAustralienJapan

USDCADGBPCHFDKKNOKAUDJPY

1,2220 1,2860 0,7810 1,3610 7,1200 7,3100 1,3720109,3000

1,3450 1,3360 0,8310 1,4210 7,7700 8,2100 1,5320119,1700

Beispiel:

Herr Reiter, Geschäftsführer der Josef Reiter GmbH, tauscht bei seiner deutschen Bank für eine Geschäftsreise in die Schweiz zu einer Verkaufsmesse 1 250,00 EUR um.

Aufgabe:

Wie viel Schweizer Franken bekommt Herr Reiter lt. obiger Sortenkurstabelle ausbezahlt?

Lösung:

1,00 EUR § 1,3610 CHF1 250,00 EUR § x CHF

x = 1,3610 · 1 250,00x = 1 701,25 CHF

Ergebnis: Für seine 1 250,00 EUR erhält Herr Reiter 1 701,25 CHF.

Wir merken uns:

■ Die Kursangabe in der heute üblichen Mengennotierung bezieht sich auf einen Euro.

■ Die Frage nach dem Kurs (Ankaufskurs oder Verkaufskurs) kann nur aus der Sicht des Euro entschieden werden.

20

■ Kauft die Bank eine Fremdwährung an, (zahlt sie) verkauft sie Euro. Daher ist der Verkaufskurs zugrunde gelegt.

■ Verkauft die Bank eine Fremdwährung (erhält sie) kauft sie Euro. Daher ist der Ankaufskurs zugrunde zu legen.

Übungsaufgaben

4 1. Ein kanadischer Geschäftsmann befindet sich auf seiner Europareise in Deutschland. Sein nächstes Reiseziel ist die Schweiz. Vor Antritt seiner Reise in die Schweiz tauscht er bei einer deutschen Bank 1 000,00 kanadische Dollar in Schweizer Franken um. Die Notierun-gen lauten wie folgt:

1 Euro

Land Währung Ankauf Verkauf

KanadaSchweiz

CADCHF

1,39801,5810

1,40101,5940

Wie viel CHF erhält der kanadische Geschäftsmann ausbezahlt?

2. Herr Krause tauscht vor seiner Geschäftsreise nach Norwegen bei seiner Bank 3 250,00 EUR in norwegische Kronen um.

Es gilt folgender Kurs: NOK, Ankauf: 7,9562, Verkauf: 8,0721

2.1 Wie viel NOK erhält Herr Krause?

2.2 Bei seiner Rückkehr nach Deutschland hat Herr Krause noch 875,00 NOK, die er bei seiner Bank bei folgenden Kursen zurücktauscht:

NOK, Ankauf: 7,9134, Verkauf: 8,0140

Wie viel EUR erhält er?

5 1. Berechnen Sie aufgrund der auf Seite 19 angegebenen Kurstabelle die Eurowerte, die ein deutscher Tourist beim Ankauf folgender Fremdwährungen bei seiner Bank bezahlen muss!

Nr. Land Währung Betrag

1.11.21.31.4

USAJapanEnglandSchweiz

USDJPYGBPCHF

1 500,0010 500,00 2 000,00 1 750,00

2. Berechnen Sie aufgrund der auf Seite 19 angegebenen Kurstabelle die Eurowerte, die ein deutscher Tourist nach seiner Rückreise beim Umtausch folgender Restposten an nicht verbrauchten Fremdwährungen von seiner Bank erhält!

Nr. Land Währung Betrag

2.12.22.32.4

KanadaAustralienNorwegenDänemark

CADAUDNOKDKK

750,00 520,001 250,001 800,00

21

6 1. 1.1 Vor seiner Abreise nach Australien tauscht ein Mitarbeiter der Ummenhofer GmbH 3500,00 EUR in AUD um.

Kurs: AUD Ankauf 1,2790 Verkauf 1,6580

Wie viel AUD erhält Herr Krause?

1.2 Nach seiner Rückkehr nach Deutschland hat der Mitarbeiter noch 1 540,00 AUD, die er bei seiner Bank in EUR zurücktauscht.

Kurs: AUD Ankauf 1,2630 Verkauf 1,6260

Wie viel EUR erhält er?

2. Herr Fröhlich, Geschäftsführer der Fröhlich GmbH beabsichtigt eine Geschäftsreise nach Skandinavien zu unternehmen. Vor seiner Abreise deckt er sich über seine Bank mit den entsprechenden Währungen dieser Länder ein.

Es liegen die folgenden Kursnotierungen vor:

1 Euro

Land Kurs Ankauf Verkauf

NorwegenSchweden

NOKSEK

7,81658,4907

8,74659,3907

Erstellen Sie für Herrn Fröhlich die Abrechnung der Bank!

3. Nach ihrer Rückkehr aus den USA tauscht Frau Becker bei ihrer Bank 2150,00 USD in EUR um. Es gilt folgender Kurs: USD, Ankauf 1,2360 Verkauf 1,3260.

Wie viel EUR erhält sie?

1.2.4 Devisenhandel und Devisenkurse

(1) Allgemeines

Im geschäftlichen Verkehr mit dem Ausland werden keine Sorten, sondern Devisen ge-handelt. Dementsprechend werden auch bei der Zahlungsabwicklung von Export- und Importgeschäften die entsprechenden Devisenkurse zugrunde gelegt.

Bei den Devisenkursen gibt es für die eingeführte Mengennotierung nur eine Sichtweise. Der Euro ist die gehandelte Währung. Daher wird jedes Devisengeschäft aus der Sicht des An- und Verkaufs von Euro betrachtet.Wie jeder Kaufmann verkauft auch die Bank die gehandelte Ware (EUR) zu einem höheren Wert (Kurs) als sie diese einkauft. Daher ist der Verkaufskurs (Briefkurs) für den Euro höher als der Ankaufskurs (Geldkurs). Man muss sich daher immer klarmachen, dass die Bank beim Verkauf der Fremdwährung Euro ankauft und beim Ankauf einer Fremdwährung Euro verkauft.

Ausschnitt aus einer Devisenkursnotierung

1 Euro

Währung Geld Brief

USD 1,2472 1,2488

Erläuterung:

Die Kursnotierung bedeutet, dass beim Ankauf von einem Euro der niedrige Geldkurs von 1,2472 USD und beim Verkauf von einem Euro der höhere Briefkurs von 1,2488 USD zugrunde gelegt wird.

22

(2) Umrechnung von ausländischen Währungen in Euro auf der Grundlageder Devisenkurse

Ausschnitt aus einer Notierung von Devisenkursen

Land Währung1 Euro

Geld Brief

USAJapanEnglandSchweizKanadaSchwedenNorwegenDänemark

USDJPYGBPCHFCADSEKNOKDKK

1,2367112,7600 0,8308 1,3889 1,2621 9,5928 7,9890 7,4232

1,2392112,8100 0,8312 1,3893 1,2634 9,5978 8,0050 47,4632

Beispiel 1: Export nach USA

Ein deutscher Maschinengroßhändler liefert eine Maschine in die USA. Vereinbarungsgemäß erfolgt die Fakturierung in USD. Der Preis für die Maschine beträgt 45 000,00 USD.

Aufgabe:

Welchen Eurobetrag schreibt die Bank (ohne Berücksichtigung von Bankgebühren) ihrem Kun-den für den Ankauf der 45 000,00 Dollar gut?

Lösung:

In diesem Beispiel verkauft die Bank EUR. Daher legt sie den höheren Briefkurs zugrunde.

1,2392 USD § 1,00 EUR 45 000,00 USD § x EUR x = 45 000 : 1,2392 = 36 313,75 EUR

Ergebnis: Die Bank schreibt dem Kunden 36 313,75 EUR gut.

Beispiel 2: Import aus USA

Ein deutscher Importeur bezieht aus USA einen Spezialbagger. Der vereinbarte Preis beträgt 45 000,00 USD.

Aufgabe:

Mit welchem Eurobetrag belastet die Bank ihren Kunden. Von Nebenkosten wird abgesehen.

Lösung:

In diesem Fall kauft die Bank EUR an. Daher legt sie den niedrigeren Geldkurs zugrunde.

1,2367 USD ≙ 1,00 EUR45 000,00 USD ≙ x EUR x = 45 000 : 1,2367 = 36 387,16 EUR

Ergebnis: Die Bank belastet den Kunden mit 36 387,16 EUR.

Zusammenfassende Erkenntnis aus beiden Beispielen:

Beim Ankauf von 45 000,00 USD (Verkauf von Euro) schreibt die Bank dem Kunden aufgrund des geltenden Briefkurses 36 313,75 EUR gut.

Beim Verkauf des gleichen Betrages belastet die Bank den Kunden aufgrund des notierten Geldkurses mit 36 387,16 EUR. Da die Bank dem Kunden einen höheren Betrag belastet als sie ihm gutschreibt, hat die Bank aus dem An- und Verkauf von Euro einen Ertrag (Rohgewinn) in Höhe der Differenz bei-der Beträge erzielt (73,41 EUR).

23

Wir merken uns:

■ Beim Ankauf von Fremdwährung in Form von Devisen durch die Bank verkauft die Bank EUR. Daher erfolgt die Gutschrift auf dem Kundenkonto zum Briefkurs.

■ Beim Verkauf von Fremdwährung in Form von Devisen kauft die Bank EUR. Daher erfolgt die Lastschrift auf dem Kundenkonto zum Geldkurs.

■ Die Lastschrift aufgrund des Geldkurses ist immer höher als die Gutschrift auf-grund des Briefkurses.

Übungsaufgaben

7 1. Berechnen Sie aufgrund der vorliegenden Kurse von Seite 22 für einen deutschen Expor-teur die Bankgutschriften für die folgenden in der jeweiligen Auslandswährung ausgestell-ten Rechnungsbeträge:

1.1 1 875,00 USD

1.2 74 980,00 CHF

2. Berechnen Sie aufgrund der Devisenkurse von Seite 22 für einen deutschen Importeur die einzelnen Banklastschriften für die folgenden in der jeweiligen Auslandswährung vorliegen-den Rechnungsbeträge:

2.1 34 000,00 CAD

2.2 7 850,00 GBP

2.3 46 850,00 DKK

3. Eine deutsche Möbelgroßhandlung bezieht aus der Schweiz 150 Bürostühle zu je 420,00 CHF. Vereinbarungsgemäß wird die Rechnung in CHF ausgestellt.

Mit welchem Betrag wird die Möbelgroßhandlung aufgrund der vorliegenden Devisenkurs-notierungen von Seite 22 auf ihrem Bankkonto belastet?

4. Wir haben an einen kanadischen Kunden eine Spezialmaschine verkauft und erhalten ver-einbarungsgemäß einen Scheck über 16 580,00 CAD.

Welchen EUR-Betrag schreibt uns die Bank aufgrund der vorliegenden Devisenkurse von Seite 22 gut?

5. Auf der Messe wurden Waren an einen Messebesucher aus der Schweiz und an einen aus England verkauft. Die Preise wurden jeweils in der ausländischen Währung vereinbart. Der Schweizer hat 9 800,00 CHF und der Engländer 26 500,00 GBP zu zahlen.

Welcher EUR-Betrag wird unserem Bankkonto aufgrund der vorliegenden Kursnotierungen von Seite 22 gutgeschrieben?

6. Ein deutscher Textilgroßhändler bezieht Seide aus Japan. Als Rechnungspreis wurde ein Betrag von 1 350 000,00 JPY vereinbart.

Mit welchem Betrag wird unter Zugrundelegung der Devisenkurse von Seite 22 der Groß-händler von seiner Bank belastet?

7. Für einen gleichwertigen Artikel liegen einem Großhandelskaufmann zwei Angebote vor. Der Artikel kann bezogen werden aus Großbritannien für 392,00 GBP je Stück und aus Nor-wegen für 3 957,75 NOK je Stück.

Welches Angebot ist unter Berücksichtigung der vorliegenden Devisenkurse von Seite 22 günstiger?

24

8.

Mit wie viel EUR wird die Kern GmbH von der Bank belastet, wenn sie den Rechnungs-betrag unter Abzug von 2% Skonto begleicht und die Bank 4,80 EUR Gebühren berechnet?

Legen Sie der Berechnung den Devisenkurs von Seite 22 zugrunde!

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25

8 1. Ein international tätiges deutsches Handelsunternehmen kauft in Norwegen Spezialbohrer zum Preis von 16 275,00 NOK je Stück.

Währung: NOK, Geld: 8,1683, Brief: 8,1763

Anschließend werden 10 Bohrer mit einem Preisaufschlag von 15 % nach Singapur ver-kauft. Die Rechnung wird vereinbarungsgemäß in Singapur-Dollar ausgestellt.

Währung: SGD, Geld: 1,7179, Brief: 1,7199

1.1 Über welchen Betrag lautet die Rechnung an den Abnehmer in Singapur?

1.2 Wie viel verdient das Handelsunternehmen, wenn die Bank für die Abwicklung der Zahlung 12,68 EUR berechnet?

2. Eine Maschinengroßhandlung in Dresden hat an einem Tag folgende Zahlungseingänge:

aus Kanada 22 850,00 CAD, aus Japan 820 000,00 JPY,

aus der Schweiz 16 480,00 CHF.

Berechnen Sie aufgrund der Devisenkurse von Seite 22 die Bankgutschriften in EUR!

3. Welche Bankbelastung ergibt sich für eine Überweisung in die USA in Höhe von 36 000,00 USD bei folgender Devisenkursnotierung:

Währung: USD, Geld: 1,2711, Brief: 1,2729

9 Ein englisches Unternehmen hat am 8. Januar des Jahres bei der Bamberger Maschinen AG eine Webmaschine bestellt. Als Rechnungspreis wurden 120 500,00 GBP vereinbart, zahlbar bei Lieferung. Die Lieferung erfolgte am 28. Januar des Jahres. Am 28. Januar ergab sich folgende Devisenkursnotierung:

Währung: GBP, Geld: 0,8882, Brief: 0,8993

1. Welcher Eurobetrag wird der Bamberger Maschinen AG von ihrer Bank gutgeschrieben?

2. Welcher Gutschriftsbetrag würde sich ergeben, wenn vereinbart worden wäre, die Zahlung am Tag der Bestellung zu leisten, an dem sich folgende Notierung ergab:

Währung: GBP, Geld: 0,9142, Brief: 0,9184

26

1.3 Durchschnittsrechnen

1.3.1 Einfacher Durchschnitt

Beispiel:

Ein Kaufmann möchte am 30. Juni den durchschnittlichen Lagerbestand einer Warenart zu Ein-standspreisen für die vergangenen 6 Monate ermitteln. Für die einzelnen Monate waren folgende Werte festgehalten worden:

30. Jan. 142 500,00 EUR 30. April 142 090,00 EUR28. Febr. 198 610,00 EUR 31. Mai 84 610,00 EUR31. März 124 080,00 EUR 30. Juni 76 350,00 EUR

Aufgabe:

Wie viel EUR beträgt der durchschnittliche Lagerbestand?

Lösung:

ø Lagerbestand = 142 500 + 198 610 + 124 080 + 142 090 + 84 610 + 76 350 ______________________________________________________ 6 = 128 040,00 EUR

Ergebnis: Der durchschnittliche Lagerbestand beträgt 128 040,00 EUR.


1. In einem ersten Schritt werden die einzelnen Werte addiert.

2. In einem zweiten Schritt wird die Summe der Werte durch die Anzahl derWerte geteilt.

Einfacher Durchschnitt = Summe der Werte _________________ Anzahl der Werte

Übungsaufgabe

10 1. Der Lagerbestand einer Ware beträgt im zweiten Halbjahr:

Monat Anzahl Wert

JuliAugustSeptemberOktoberNovemberDezember

1 200940820

1 7401 020

742

3 640,00 EUR2 020,00 EUR1 590,00 EUR4 010,00 EUR2 110,00 EUR1 620,00 EUR

1.1 Welche durchschnittliche Anzahl an Waren war am Lager?

1.2 Wie viel EUR betrug der durchschnittliche Lagerbestand?

27

2. Ein Einzelhandelsgeschäft ermittelte in der vergangenen Woche die Kundenzahlen, um den durchschnittlichen Umsatz je Kunde zu errechnen.

Tag Kundenzahl Tageslosung

MontagDienstagMittwochDonnerstagFreitagSamstag

120 98105 72111142

2 980,40 EUR1 770,80 EUR5 160,00 EUR 940,20 EUR4 320,00 EUR8 220,60 EUR

2.1 Wie viel EUR betrug der Durchschnittsumsatz je Tag?

2.2 Berechnen Sie die durchschnittliche Kundenzahl je Tag!

2.3 Wie viel EUR betrug der Durchschnittsumsatz je Kunde in der vergangenen Woche?

3. Eine Winzergenossenschaft stellt fest, dass für ihren Hauswein „Das Weinreberl” in den letzten 5 Jahren folgende Preise erzielt wurden: 1. Jahr: 7,10 EUR; 2. Jahr: 6,60 EUR; 3. Jahr: 7,90 EUR; 4. Jahr: 8,20 EUR; 5. Jahr: 6,30 EUR.

Welchen Durchschnittspreis erzielte die Winzergenossenschaft für den Wein in den vergan-genen 5 Jahren?

4. Ein Unternehmen hatte im vergangenen Geschäftsjahr folgende Monatsumsätze:

Monat Umsatz Monat Umsatz Monat Umsatz

JanuarFebruarMärzApril

32 400,00 EUR25 200,00 EUR34 150,00 EUR28 700,00 EUR

MaiJuniJuliAugust

45 380,00 EUR51 420,00 EUR28 410,00 EUR27 700,00 EUR

SeptemberOktoberNovemberDezember

29 420,00 EUR34 370,00 EUR38 910,00 EUR66 720,00 EUR

4.1 Wie viel EUR betrug der Jahresumsatz?

4.2 Wie viel EUR betrug der durchschnittliche Monatsumsatz?

4.3 Wie viel EUR betrug der durchschnittliche Tagesumsatz bei 295 Verkaufstagen?

4.4 Wie viel EUR betrug der Jahresumsatz je Mitarbeiter, wenn das Geschäft 3 Mitarbeiter beschäftigt?

5. Ein Mitarbeiter im Außendienst legte in der Woche vom 2. April – 6. April mit dem Pkw fol-gende Tagesstrecken für Kundenbesuche zurück:

2. April3. April

280 km125 km

4. April5. April

364 km212 km

6. April 304 km

Wie viele km ist er am Tag durchschnittlich gefahren?

6. Um sich ein Urteil über die Preisentwicklung auf dem Markt für Südfrüchte bilden zu kön-nen, notiert sich der Inhaber einer Früchtehandlung eine Woche lang die Preise für ein 5-kg-Netz Orangen auf dem Großmarkt. Die Preise an den verschiedenen Wochentagen betrugen:

Montag 10,50 EUR Donnerstag 9,70 EUR Dienstag 11,20 EUR Freitag 10,80 EUR Mittwoch 9,80 EUR Samstag 12,40 EUR

Wie viel EUR betrug der durchschnittliche Großmarktpreis für 5 kg Orangen?

28

1.3.2 Gewogener Durchschnitt

Beispiel:

Ein Einzelhandelsgeschäft möchte am Eingang des Ladens einen großen Korb mit Sonderange-boten aufstellen. Die im Korb angebotenen Waren sollen zu einem Einheitspreis verkauft werden. Vorhanden sind:

Anzahl bisheriger Verkaufspreis je Einheit

612 820

12,60 EUR27,80 EUR26,10 EUR16,40 EUR

Aufgabe:

Mit welchem Durchschnittspreis muss der Einzelhändler die Waren auszeichnen, wenn der ge-samte Verkaufserlös unverändert bleiben soll?

Lösung:

Einzel- Preis je Gesamtwert je menge Einheit Einzelmenge

↓ ↓ ↓

6 · 12,60 EUR = 75,60 EUR 12 · 27,80 EUR = 333,60 EUR 8 · 26,10 EUR = 208,80 EUR 20 · 16,40 EUR = 328,00 EUR

Gesamtmenge → 46 Gesamtwert → 946,00 EUR 1 x EUR

x = 946 · 1 _______ 46

= 20,57 EUR (genau: 20,565217)

Ergebnis: Die Ware muss mit einem Preis von 20,57 EUR ausgezeichnet werden.

Erläuterungen zur Aufgabe

Die Preise für die einzelnen Waren dürfen nicht wie beim einfachen Durchschnitt nur zusammen-gezählt und dann durch die Anzahl der Sorten (in unserem Beispiel 4) geteilt werden. Begründung: Da von der Ware zu 27,80 EUR noch 12 Stück vorhanden sind, fallen diese stärker ins Gewicht als etwa die 6 Stück zu 12,60 EUR, d. h., unterschiedliche Einzelmengen müssen bei der Berechnung eines Durchschnittspreises berücksichtigt (gewichtet) werden.

Es ist der Gesamtwert der jeweiligen Warenart zu ermitteln (Einzelmenge x Preis je Einheit, z. B. 6 x 12,60 EUR = 75,60 EUR). Die Summe der Gesamtwerte ist dann durch die Gesamtmenge zu dividieren.


1. Die Einzelmengen und der jeweilige Preis je Einheit sind im Lösungsschema festzuhal-ten.

2. Die Multiplikation von Einzelmenge x Preis je Einheit ergibt den Gesamtwert je Einzel-menge.

Probe:

46 · 20,565217 EUR ergibt einen Gesamterlös von 946,00 EUR.

29

3. Durch Addition der Einzelmengen und der Gesamtwerte je Einzelmenge sind die Gesamtmenge und der Gesamtwert zu errechnen.

4. Der gewogene Durchschnittspreis je Einheit wird ermittelt durch Division des Gesamt-wertes durch die Gesamtmenge.

5. Die Proberechnung: Gesamtmenge x Durchschnittspreis ergibt wiederum den Gesamt-wert.

Übungsaufgaben

11 1. Ein Einzelhändler stellt einen Wühlkorb aus drei Warenarten zusammen, die zu einem Durchschnittspreis als Sonderangebot verkauft werden sollen.

12 Stück zum bisherigen Preis von 3,18 EUR je Stück 8 Stück zum bisherigen Preis von 3,40 EUR je Stück20 Stück zum bisherigen Preis von 2,71 EUR je Stück

Zu welchem EUR-Betrag je Stück wird der Wühlkorb ausgezeichnet?

2. Eine Großhandlung mischt ihre beliebte Mischung „Hustenbonbons”. Dazu verwendet die Großhandlung fünf Sorten von Bonbons:

Salbeigeschmack: 5 kg Preis je kg 13,10 EURMalzgeschmack: 8 kg Preis je kg 12,40 EURHuflattichgeschmack: 2 kg Preis je kg 14,10 EURKamillengeschmack: 10 kg Preis je kg 11,90 EURHoniggeschmack: 12 kg Preis je kg 11,85 EUR

Wie viel EUR beträgt der Verkaufspreis für einen 125-g-Beutel?

3. Eine Textilfabrik hat einen Sonderposten Mäntel wie folgt verkauft: 120 Stück zum regulä-ren Preis von 99,80 EUR, 65 Stück zu einem Sonderpreis von 79,90 EUR und den Rest von 30 Stück im Winterschlussverkauf zu 59,90 EUR.

Welchen Durchschnittspreis je Mantel erzielte die Textilfabrik?

4. Eine Kaffeerösterei mischt drei Sorten Kaffee:

Sorte I: 16 kg zu je 18,40 EURSorte II: 24 kg zu je 16,20 EURSorte III: 12 kg zu je 13,80 EUR

Beim Rösten entsteht ein Gewichtsverlust von 8,32 kg.

Wie viel EUR kostet 1/4 kg der Mischung, wenn für Arbeitslohn 26,80 EUR einkalkuliert wer-den?

5. Drei Getreidesorten sollen zu einer Müsli-Mischung gemischt werden. Dafür vorgese-hen sind 6 kg Roggen zu 1,90 EUR/kg, 10 kg Weizen zu 2,60 EUR/kg und 4 kg Hafer zu1,60 EUR/kg.

Wie viel EUR kosten 500 g dieser Mischung?

30

6. Ein Kaufhaus will am Ladeneingang Schüttkörbe mit Pralinenmischungen von Packungen zu jeweils 125 g aufstellen. Folgende Mengen an Pralinen werden hierzu verwendet:

30 kg je 5,60 EUR für 1/2 kg; 16 kg je 13,20 EUR für 1 kg; 14 kg je 7,80 EUR für 1/2 kg

Für wie viel EUR kann die 125-g-Packung angeboten werden, wenn an Verpackungsmaterial insgesamt 14,40 EUR anfallen?

7. Ein Teppichhaus hat 6 Rollen Teppichboden mit je 45 m Länge verkauft. Zum regulären Preis von 24,80 EUR je m wurden 148 m verkauft. 65 m wurden mit einem Nachlass von 5 % und 49 m wegen eines kleinen Webfehlers zu 16,10 EUR je m abgesetzt. Der Rest wurde als Resteverkauf zum Sonderpreis von 20,00 EUR verkauft.

Wie viel EUR hat der durchschnittliche Verkaufspreis betragen?

12 1. Das Textilhaus Fritz Wolle e. Kfm. stellt am Ladeneingang einen Wühltisch mit Hemden, Blusen, Schürzen und Röcken auf. Alles soll zu einem Einheitspreis verkauft werden. Vor-handen sind:

15 Hemden zu 21,90 EUR 18 Schürzen zu 12,80 EUR11 Blusen zu 15,40 EUR 24 Röcke zu 28,50 EUR

Welchen Durchschnittspreis muss Fritz Wolle verlangen, damit der gesamte Verkaufserlös unverändert bleibt?

2. Ein Süßwarenhaus will für das Weihnachtsgeschäft am Ladeneingang Schüttkörbe mit Pra-linenmischungen von Packungen zu jeweils 125 g aufstellen. Folgende Mengen an Pralinen werden hierzu verwendet:

15 kg je 2,80 EUR für 1/2 kg; 8 kg je 6,60 EUR für 1 kg; 7 kg je 3,90 EUR für 1/2 kg

Für wie viel EUR kann die 125-g-Packung angeboten werden, wenn an Verpackungsmaterial insgesamt 14,40 EUR anfallen?

3. Ein Sportgeschäft hat 1000 Packungen Tennisbälle zu je 6 Stück am Lager. 4806 Bälle wer-den zu 1,40 EUR je Ball und 1 140 Bälle werden zu 0,90 EUR je Ball verkauft. Der Rest ist wegen zu langer Lagerung nicht verkäuflich.

Welchen Durchschnittserlös erzielte das Sportgeschäft pro Packung?

4. Der Inhaber eines Reformgeschäftes will eine spezielle Hausteemischung herstellen. Dazu verwendet er 14 kg Pfefferminze zu 22,00 EUR je kg, 12 kg Hagebutte zu 25,00 EUR je kg und 16 kg Melisse zu 27,00 EUR je kg. Die Hausteemischung wird in 50-g-Beuteln verkauft.

Wie viel EUR kostet ein Beutel der Hausteemischung?

5. Eine Saline hatte folgende Kosten für eine Monatsproduktion verkaufsfertigen Speise-salzes:

Verbrauch von Betriebsstoffen 192 372,00 EURLöhne und Gehälter 162 960,00 EURSonstige Kosten 101 778,00 EUR

Lagerbestand am Monatsanfang 27,8 tVerkaufte Menge 492,1 tLagerbestand am Monatsende 43,6 t

5.1 Wie viel t betrug die Monatsproduktion?

5.2 Wie viel EUR betragen die Kosten je t?

5.3 Der Nettoverkaufspreis (ohne Umsatzsteuer) für 1/2 kg abgepacktes Salz beträgt 0,51 EUR. 5.3.1 Welcher Gewinn in EUR wurde je kg erzielt?

5.3.2 Wie viel EUR betrug der Gesamtgewinn der verkauften Menge?

31

1.4 Verteilungsrechnen

Im kaufmännischen Bereich spielt das Verteilungsrechnen eine wichtige Rolle, gilt es doch beispielsweise, Kosten auf die verschiedenen Produkte, Gewinne auf die einzelnen Gesell-schafter oder Lohnprämien auf die Anzahl der Mitarbeiter aufzuteilen. Das Grundanliegen des Verteilungsrechnens ist immer das gleiche: Eine Gesamtmenge wird mithilfe eines Verteilungsschlüssels in einzelne Anteile aufgeteilt.

1.4.1 Verteilung nach ganzen Anteilen und nach Bruchteilen

Beispiel 1:

In einem Geschäftszentrum sind 4 kleinere Unternehmen untergebracht. An Heizkosten fallen monatlich 2 016,00 EUR an. Sie werden nach den beanspruchten m2 umgelegt. Es wurde fol-gender Schlüssel vereinbart: Unternehmen I: 240 m2, Unternehmen II: 168m2, Unternehmen III: 144 m2 und Unternehmen IV: 216 m2.

Aufgabe:

Welcher Heizkostenanteil entfällt auf die einzelnen Unternehmen?

Lösung:

AufteilungsgrundVerteilungs-

schlüsselTeile Anteile

UnternehmenGrößein m2

gekürzteAnteile

Kostenanteile

IIIIIIIV

240 10168 7144 6216 9

630,00 EUR441,00 EUR378,00 EUR567,00 EUR

Summe der Teile: 32 Teile § 2 016,00 EUR Heizkosten (Gesamtwert) 1 Teile § 2 016,00 EUR : 32 = 63,00 EUR

Ergebnis: Die verschiedenen Unternehmen werden durch die Heizkosten wie folgt belastet: Unternehmen I: mit 630,00 EUR, Unternehmen II: mit 441,00 EUR, Unternehmen III: mit 378,00 EUR, Unternehmen IV: mit 567,00 EUR.

Probe: Die Addition der Kostenanteile ergibt wiederum die gesamten Heizkosten:630,00 EUR + 441,00 EUR + 378,00 EUR + 567,00 EUR = 2016,00 EUR.


1. Es ist zu überprüfen, ob sich der Verteilungsschlüssel durch Kürzen vereinfachen lässt.

2. Addition der Teile.

3. Über die Division des Gesamtwertes durch die Summe der Teile erhält man den Wert eines Teils.

4. Durch die Multiplikation der einzelnen Teile mit dem Wert eines Teiles erhält man den Wert für die Anteile. Probe: Die Addition der einzelnen Anteile muss wiederum den Gesamtwert ergeben.

10 · 63 7 · 63 6 · 63 9 · 63

32

Beispiel 2:

Aufgrund der guten Geschäftslage und der verstärkten Mitarbeit der 3 Angestellten verteilt der Geschäftsinhaber eine Prämie an seine Mitarbeiter. Adelheid erhält 1/5, Berta 1/4 und Cäcilie den Rest. Dieser entspricht 880,00 EUR.

Aufgabe:

Wie viel EUR Prämie erhalten die einzelnen Angestellten und welchen Gesamtbetrag schüttet der Inhaber aus?

Lösung:

AngestellteVerteilungs-

schlüsselTeile Anteile

AdelheidBertaCäcilie

1/5 1/4 Rest

4/20 = 4 5/20 = 511/20 = 11

320,00 EUR400,00 EUR880,00 EUR

Summe der Teile : 20 § 11 Teile § 1 Teile §

1 600,00 EUR

880,00 EUR880,00 EUR : 11 = 80,00 EUR

Ergebnis: Die Angestellten erhalten folgende Prämien: Adelheid 320,00 EUR, Berta 400,00 EUR und Cäcilie 880,00 EUR. Die gesamte Ausschüttungssumme beträgt 1 600,00 EUR.

Probe: Die Summe der Anteile ergibt wiederum die Gesamtprämie:320,00 EUR + 400,00 EUR + 880,00 EUR = 1 600,00 EUR.

Erläuterungen zur Aufgabe:

1. Da der Verteilungsschlüssel in ungleichnamigen Brüchen angegeben ist, muss zunächst der Hauptnenner gesucht werden. Er beträgt 20. Die Brüche werden auf den Hauptnenner 20 erwei-tert. Der Bruchanteil für Cäcilie (Restanteil) ergibt sich durch Subtraktion der einzelnen Teile von dem Ganzen (20/20). Da es hier nur um das Verhältnis der einzelnen Teile geht, kann der gemein-same Nenner weggelassen werden.

2. Der Anteil für Cäcilie beträgt 880,00 EUR, was 11 Teilen entspricht. Durch Division erhält man den Wert eines Teils (880,00 : 11 Teile = 80,00 EUR). Durch Multiplikation mit den jeweiligen Teilen kön-nen nun die einzelnen Anteile errechnet werden. Die Summe der Anteile ergibt den Gesamtbetrag.

Übungsaufgabe

13 1. Verteilen Sie die folgenden Kapitalien im angegebenen Verhältnis!

1.1 7 200,00 EUR Kapital im Verhältnis 3 : 4 : 2

1.2 975,00 EUR Kapital im Verhältnis 2 : 5 : 7 : 1

1.3 38 000,00 EUR Kapital im Verhältnis 3 : 2 : 9 : 5

1.4 2 400,00 EUR Kapital im Verhältnis 3 : 4 : 5

80 · 480 · 5

80 · 20

33

2. Ein Lebensmittelgroßmarkt hat neben seinem Hauptgeschäft noch 2 Filialen. Im laufenden Geschäftsjahr wurden 37 120,00 EUR für Werbeaktionen ausgegeben. Aus kostenrechneri-schen Gründen sind diese Ausgaben auf die 3 Geschäfte zu verteilen. Verteilungsgrundlage sind die Jahresumsätze.

Hauptgeschäft: 720 000,00 EUR Filiale I: 480 000,00 EUR Filiale II: 540 000,00 EUR

Wie viel EUR Werbekosten entfallen auf jedes Geschäft?

3. Vier Unternehmen bauten gemeinsam ein Parkhaus. Das Kaufhaus Abel war mit 430 700,00 EUR beteiligt. Die übrigen 3 Betriebe trugen folgende Anteile an den Kosten: Textilhaus Bauer 1/6, Sporthaus Canz 1/8, Uhren-Diehm 1/10.

3.1 Wie viel EUR mussten Bauer, Canz und Diehm jeweils an Baukosten aufbringen?

3.2 Wie viel EUR betrugen die gesamten Baukosten des Parkhauses?

4. Drei Kaufleute gründen eine Großhandlung. A bringt 4 100 000,00 EUR, B 1/4 und C 1/3 des Gesamtkapitals auf.

4.1 Wie viel EUR betragen die Einlagen von B und C?

4.2 Wie viel EUR erhält jeder Kaufmann, wenn der Reingewinn in Höhe von 984 000,00 EUR im Verhältnis der Kapitalanteile verteilt wird?

5. Drei Spielwarengeschäfte stellen gemeinsam auf der Frühjahrsmesse aus. Dabei wird ein Umsatz von 14 200,00 EUR erzielt. Der Einstandspreis der Spielwaren betrug 8 100,00 EUR. An Kosten fielen 3 100,00 EUR an. Der Reingewinn wird folgendermaßen verteilt: 300,00 EUR sollen dem „Roten Kreuz” gespendet werden, der Rest wird entsprechend der Arbeitsleistung am Messestand verteilt (A: 80 Stunden, B: 96 Stunden, C: 64 Stunden).

5.1 Wie viel EUR beträgt der Reingewinn und wie viel EUR der gespendete Betrag?

5.2 Berechnen Sie die Gewinnanteile von A, B, und C!

6. Nach Abschluss des Weihnachtsgeschäftes verteilt der Geschäftsinhaber an die fest an-gestellten Verkäuferinnen und 2 Aushilfskräfte eine Prämie in Höhe von 1 585,50 EUR. Die Aufteilung erfolgt nach den geleisteten Überstunden. Die Mitarbeiter haben folgende Über-stunden geleistet:

Maria: 42 Paula: 32 Olga: 28 Nora: 35 Agnes: 14

Welchen EUR-Betrag erhält jede Mitarbeiterin ausbezahlt?

7. Die Brüder Franz, Fritz und Fabian Schlau sind die Gesellschafter der Schlau GmbH. Franz ist mit 1/5, Fritz mit 1/7 und Fabian mit 120 000,00 EUR beteiligt.

Wie viel EUR betragen die Anteile der Gesellschafter Franz und Fritz?

8. Ein Großhandelshaus wird von drei Personen gegründet. A bringt eine Kapitaleinlage von 107 100,00 EUR auf. B übernimmt 1/3 und C 1/5 des Gesamtkapitals.

8.1 Wie viel EUR beträgt jeweils die Kapitaleinlage von B und C?

8.2 Im ersten Geschäftsjahr erzielen sie zusammen einen Gewinn von 147 000,00 EUR. Wie viel Gewinn erhält jeder, wenn die Gewinnverteilung nach der Einlage erfolgen soll?

9. Aus Anlass des 25-jährigen Geschäftsjubiläums zahlt der Geschäftsinhaber an seine Mit-arbeiter 8400,00 EUR. Der Betrag wird nach der Betriebszugehörigkeit der Mitarbeiter gezahlt.

Mitarbeiter A arbeitet seit 25 Jahren, B seit 20 Jahren, C seit 9 Jahren und D seit 2 Jahren im Geschäft.

Wie viel EUR erhalten die einzelnen Mitarbeiter?

34

1.4.2 Verteilung mit Vorleistungen

Beispiel:

Bei der Liquidation (Auflösung) eines Unternehmens wird das Vermögen im Wert von 350 000,00 EUR aufgeteilt. Jeder der drei Gesellschafter A, B und C soll gleich viel erhalten. Der Gesellschaf-ter B hat jedoch für eine private Investition schon 31 000,00 EUR entnommen. Gleiches gilt für C, der für den Kauf eines Grundstücks 90 000,00 EUR entnommen hatte.

Aufgabe:

Wie viel EUR erhält jeder Gesellschafter ausbezahlt?

Lösung:

Gesellschafter Teile Vorleistungen Auszahlungsbetrag

ABC

111

–31 000,00 EUR–90 000,00 EUR

157 000,00 EUR126 000,00 EUR 67 000,00 EUR

3 –121 000,00 EUR §

3 Teile §1 Teile §

350 000,00 EUR

471 000,00 EUR157 000,00 EUR


Bei dieser Aufgabe haben 2 Gesellschafter schon vor der Liquidation Gelder (Anteile ihres Ver mögens) erhalten. Diese Vorauszahlungen sind selbstverständlich zu dem zu verteilenden Vermögen zunächst hinzuzurechnen. Wären nämlich die Zahlungen nicht erfolgt, wäre das Vermögen größer, d. h., ohne Hinzurechnung der schon gezahlten Beträge würden diese gar nicht zur Verteilung kommen. Bei der Berechnung der einzelnen Auszahlungsbeträge sind die bisherigen Zahlungen dann abzuziehen, da der Gesellschafter diesen Teil des ihm zustehenden Betrages ja schon erhalten hat.

Übungsaufgaben

14 1. Eine Handelsvertretung hat vier Mitarbeiter beschäftigt. Ihr Jahresumsatz beträgt gerundet 1 500 000,00 EUR. Der Inhaber will 1 % Umsatzprämie an seine Mitarbeiter austeilen. Vertei-lungsschlüssel ist der Verkaufserfolg der Mitarbeiter.

A: Umsatz 500 000,00 EURB: Umsatz 400 000,00 EURC: Umsatz 50 000,00 EURD: Rest

C erhält für besondere Leistungen vorweg 1 500,00 EUR gutgeschrieben.

Wie viel EUR Umsatzprämie erhält jeder Mitarbeiter?

1 · 157 000 EUR1 · 157 000 EUR – 31 000 EUR1 · 157 000 EUR – 90 000 EUR

35

2. Bei einer Erbauseinandersetzung wird das Vermögen im Wert von 525 000,00 EUR ver-teilt. Die drei Kinder sollen gleichgestellt werden. Die Tochter hat für ein Studium schon 46 500,00 EUR erhalten, der jüngere Sohn wurde beim Bau seines Hauses mit 135 000,00 EUR bedacht.

Wie viel EUR erhält jedes der Kinder aus der Erbschaft?

3. Agnes, Birgit und Manuela betreiben gemeinsam eine Boutique für junge Mode. Den er-wirtschafteten Gewinn in Höhe von 37 230,00 EUR wollen sie wie folgt aufteilen:

Agnes erhält 2/7, Birgit 1/3 und Manuela den Rest, wobei Agnes vorweg vom Reingewinn für die Erledigung der Verwaltungsaufgaben monatlich 250,00 EUR erhält.

Welchen EUR-Betrag erhalten die 3 Damen jeweils ausbezahlt?

4. Aus den Betriebsunterlagen eines Lebensmittel-Supermarktes gehen folgende Beteiligun-gen hervor: Franz Abt ist mit 36 400,00 EUR, Holger Bär mit 44 800,00 EUR und Fritz Ceh mit 67 200,00 EUR beteiligt. Ceh ist Geschäftsführer und erhält von dem auszuschüttenden Gewinn eine Zusatzleistung von 4 200,00 EUR. Da Bär einen Großverkauf vermittelt hat, erhält er eine Zusatzprämie von 2 500,00 EUR. Der Bilanzgewinn beläuft sich auf 88 320,00 EUR. Verteilungsgrundlage sind die Kapitalanteile.

Welchen Gewinnanteil erhält jeder Gesellschafter gutgeschrieben?

15 1. Die leitenden Mitarbeiter Manfred, Heinz, Markus und Fritz übernehmen gemeinsam vom bisherigen Eigentümer das Unternehmen zum Preis von 1 612 800,00 EUR. Manfred betei-ligt sich mit 1/6 von Fritz, Heinz mit doppelt so viel wie Fritz zuzüglich 32 800,00 EUR, wäh-rend Markus so viel wie Manfred abzüglich 20 000,00 EUR übernimmt.

Mit welchem EUR-Betrag sind die Mitarbeiter an dem Unternehmen beteiligt?

2. Die Fritz Wolter OHG weist einen Jahresgewinn von 399 800,00 EUR aus. Arnegger ist mit 480 000,00 EUR, Eberhardter mit 400 000,00 EUR und Dietmer mit 160 000,00 EUR am Eigenkapital beteiligt.

Arnegger und Eberhardter arbeiten in der Geschäftsleitung mit und erhalten dafür je 40 000,00 EUR vorweg. Aufgrund des Gesellschaftsvertrags wird der Restgewinn im Ver-hältnis 6 : 5 : 2 verteilt.

Welchen Gewinnanteil erhält jeder Gesellschafter?

3. Frener, Gemeinder und Bührer haben ein Softwareunternehmen gegründet. Frener bringt 3/8, Gemeinder 4/9 und Bührer den Rest des Kapitals in Höhe von 93 756,00 EUR auf.

3.1 Ermitteln Sie die Kapitaleinlage von Frener und Gemeinder!

3.2 Der Gesellschaftsvertrag sieht folgende Gewinnverteilung vor: Frener erhält als Geschäftsführer 19 220,00 EUR vorweg. Der Restgewinn wird nach der Höhe der Kapitalanteile aufgeteilt.

Berechnen Sie den Gewinnanteil je Gesellschafter, wenn der Gesamtgewinn 96 100,00 EUR beträgt!

36

2 Prozentrechnen

2.1 Einführung in das Prozentrechnen

Das Prozentrechnen ist dazu geeignet, Zahlenverhältnisse besser zu durchschauen und vergleichen zu können. Zum Vergleich benötigt man einen einheitlichen Vergleichsmaß-stab. Beim Prozentrechnen ist es die Zahl 100.

Prozent bedeutet stets: bezogen auf 100

pro → fürcentum → 100

Beispiel:

Einem Kaufmann liegen 2 Rechnungen zur Zahlung vor:

Rechnung 1: Rechnungspreis 480,00 EUR Rechnung 2: Rechnungspreis 1 440,00 EUR

Auf jede Rechnung wird ein Rabatt von 144,00 EUR gewährt. Obwohl der Rabatt betragsmäßig in beiden Fällen gleich hoch ist, ist der Rabatt auf der ersten Rechnung im Verhältnis zur zweiten Rechnung wesentlich höher.

Aufgabe:

Weisen Sie die Richtigkeit dieser Aussage nach!

Lösung:

Das Verhältnis Rechnungsbetrag zu Rabatt bei den beiden Rechnungen ist direkt nicht vergleichbar, da die Rechnungsbeträge unterschiedlich hoch sind. Ein Vergleich ist erst möglich, wenn der Rabatt auf einen gleich großen Betrag (Vergleichszahl) bezogen wird. Als Vergleichszahl wird zweckmäßi-gerweise die Zahl 100 genommen. Daher ergibt sich folgende Fragestellung:

Wie viel EUR beträgt der Rabatt bezogen auf 100,00 EUR?

Die Lösung der Fragestellung erfolgt mithilfe des Dreisatzes:

Rechnung 1: Rechnung 2:

Bei 480,00 EUR R.-Betrag 144,00 EUR Rabatt Bei 1 440,00 EUR R.-Betrag 144,00 EUR RabattBei 100,00 EUR R.-Betrag x EUR Rabatt Bei 100,00 EUR R.-Betrag x EUR Rabatt

x = 144 · 100 _________ 480

= 30,00 EUR Rabatt x = 144 · 100 _________ 1 440

= 10,00 EUR Rabatt

Der Rabatt beträgt Der Rabatt beträgt

30,00 EUR je 100,00 EUR Rech.-Betrag 10,00 EUR je 100,00 EUR Rech.-Betrag entspricht: 30 vom Hundert (pro centum) 10 vom Hundert (pro centum)

kürzer: 30 v. H. → 30 Prozent → 30 % 10 v. H. → 10 Prozent → 10 %

Ergebnis: Verglichen mit einem Rechnungsbetrag von 100,00 EUR sind die beiden Rechnungsnach-lässe verschieden hoch. Der Rabatt bei Rechnung 1 beträgt 30%, bei Rechnung 2 nur 10 %.

37

■ Der Prozentsatz gibt an, wie hoch ein Wert ist, wenn man die Zahl 100 als Bezugs-grundlage wählt.

■ Die Prozentrechnung ist damit eine Vergleichsrechnung. Verschiedene Werte (EUR-Beträge, kg, Liter, cm usw.) werden vergleichbar gemacht, indem man sie auf die Vergleichszahl 100 bezieht.

Die Prozentrechnung ist eine angewandte Dreisatzrechnung. Wir unterscheiden drei Begriffe:

Rechnungsbetrag 480,00 EUR 30 % Rabatt 144,00 EUR

Grundwert Prozentsatz Prozentwert

ist der Ausgangswert, der gibt an, wie viel Teile ist der wertmäßige (abso-das Ganze betrifft. In Prozenten vergleichsweise auf 100 lute) Betrag (EUR, kg,ausgedrückt, muss entfallen (Anzahl der Liter usw.), der demer immer 100% betragen. Hundertstel). Prozentsatz entspricht.

Von den drei Größen Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz müssen stets zwei Größen in der Aufgabe gegeben sein, um die dritte Größe mithilfe des Dreisatzes errechnen zu können.

2.2 Prozentrechnen vom Hundert

2.2.1 Berechnung des Prozentwertes

Beispiel:

Auf eine Lieferantenrechnung über 1 450,00 EUR erhält ein Großhandelsbetrieb 3 % Skonto.

Aufgabe:

Wie viel EUR beträgt der Skontobetrag?

Lösung:

Gegeben: Grundwert: 1 450,00 EUR Prozentsatz: 3 %

Gesucht: Prozentwert: ?

Bedingungssatz → 100 % § 1 450,00 EUR Berechnung des Prozentwertes mithilfeFragesatz → 3 % § x EUR der Formel:

Bruchsatz → x = 1 450 · 3 ________ 100

Prozentwert = Grundwert · Prozentsatz _________________________ 100

x = 43,50 EUR Grundwert ___________ 100

= 1 % des Grundwertes

Ergebnis: Der Skonto beträgt 43,50 EUR. Prozentwert = 1 % des Grundwertes · Prozentsatz

38

Rechenvorteil

■ Bequeme Teiler

Die Wahl der Zahl 100 als Vergleichsmaßstab hat unter anderem den Vorteil, dass es eine Reihe von Zahlen gibt, die in 100 glatt aufgehen, die also ganze Teile von 100 sind.

Beispiele:

(1) 20 % von 160,00 EUR

20 %; 100 ____ 20

= 5 (bequemer Teiler)

Daher: 160 : 5 = 32,00 EUR

(2) 81/3 % von 240,00 EUR

81/3 % = 25 ___ 3 ; 100 : 25 ___

3 = 100 · 3 _______

25 = 12

Daher: 240 : 12 = 20,00 EUR

Wichtige bequeme Prozentsätze sind der folgenden Tabelle zu entnehmen:

Prozentsatz Teiler 11/4 % → 80 11/3 % → 75 12/3 % → 60 22/3 % → 50 21/2 % → 40

31/3 % → 30 42/3 % → 25 41/6 % → 24 52/3 % → 20 61/4 % → 16 62/3 % → 15

81/3 % → 12 102/3 % → 10 111/9 % → 9 121/2 % → 8 162/3 % → 6 202/3 % → 5

252/3 % → 4 331/3 % → 3 502/3 % → 2

Übungsaufgabe

16 1. Lösen Sie die folgenden Aufgaben durch Kopfrechnen!

1.1 25 % von 31,80 EUR 27,00 EUR 106,60 EUR

1.2 31/3 % von 41,10 EUR 39,30 EUR 122,40 EUR

1.3 121/2 % von 8 400,00 EUR 1 240,00 EUR 24,80 EUR

1.4 62/3 % von 249,00 EUR 22,20 EUR 2 775,00 EUR

1.5 11/4 % von 840,00 EUR 126,80 EUR 1 640,00 EUR

2. Lösen Sie die folgenden Aufgaben durch Kopfrechnen!

2.1 61/4 % von 20,80 EUR 897,60 EUR 72,32 EUR

2.2 81/3 % von 54,00 EUR 18,72 EUR 147,60 EUR

2.3 162/3% von 95,40 EUR 2 910,00 EUR 151,80 EUR

2.4 331/3 % von 435,00 EUR 46,95 EUR 76,50 EUR

2.5 12/3 % von 3 480,00 EUR 3 180,00 EUR 2 730,00 EUR

3. Ein Fernsehgerät ist mit 999,00 EUR ausgezeichnet. Bei Barzahlung werden 2 % Skonto gewährt.

Um wie viel EUR ist der Ratenkauf teurer, wenn der Händler 225,00 EUR Anzahlung und 8 Monatsraten zu 100,00 EUR verlangt?

Der Prozentsatz ist ein glatter Teil von 100

– Wir stellen fest, wie oft der Prozentsatz in 100 enthalten ist (z. B.: 20 ist 5-mal in 100 enthalten).

– Diese Zahl benutzen wir als Teiler.

– Rechenvorgang:Grundwert : Teiler = Prozentwert

39

4. Das Bruttogehalt eines Angestellten betrug 1 680,00 EUR. Durch Tarifänderungen hat sich das Gehalt innerhalb eines Jahres zunächst um 31/2 % und dann nochmals um 13/4 % erhöht. Am Ende des Geschäftsjahres erhielt der Angestellte noch eine hausinterne Leistungs-zulage von 11/2 %.

Auf welchen Betrag lautet der Bruttolohn nach diesen Erhöhungen?

5. Wir schulden einem österreichischen Lieferanten einen Rechnungsbetrag von 4 198,70 EUR. Vom Rechnungsbetrag dürfen 3 % Skonto abgezogen werden.

Auf welchen Betrag lautet die Belastung der Bank?

6. Ein Mitarbeiter im Außendienst erhält ein monatliches Fixum (Festgehalt) von 1 065,00 EUR. Außerdem erhält er eine Umsatzprovision in Höhe von 3,2 %. Im Monat Dezember betrug sein Umsatz 125 600,00 EUR. Als Anerkennung für besondere Leistungen erhält er zudem eine Sonderprämie von 31/2 % auf seinen Jahresumsatz in Höhe von 125 050,00 EUR.

Wie viel EUR verdiente der Reisende insgesamt im Monat Dezember?

7. Ein Zulieferer hat den Einstandspreis für Motoren ab 1. Juli um 42/3 % angehoben. Am 15. Juni haben wir noch 75 Stück zum alten Preis in Höhe von 356,20 EUR je Stück bezogen.

Wie viel EUR haben wir durch die Bestellung gespart?

2.2.2 Berechnung des Prozentsatzes

Beispiel:

Auf den Listenverkaufspreis einer Maschine im Werte von 1 950,00 EUR erhält der Käufer 234,00 EUR Rabatt.

Aufgabe:

Welchem Rabattsatz entspricht dies?

Lösung:

Gegeben: Grundwert: 1 950,00 EUR Prozentwert: 234,00 EUR

Gesucht: Prozentsatz: ?

Bedingungssatz → 1 950,00 EUR § 100 % Berechnung des ProzentsatzesFragesatz → 234,00 EUR § x % mithilfe der Formel:

Bruchsatz → x = 100 · 234 _________ 1 950

= 12 % Prozentsatz = 100 · Prozentwert _________________ Grundwert

oder verkürzt:

Ergebnis: Der Rabattsatz beträgt 12 %. Prozentsatz = Prozentwert : 1 % des Grundwertes

40

Übungsaufgabe

17 1. Welchen Rabattsatz hat der Lieferer bei den nachfolgenden Wareneinkäufen gewährt?

Nr. Einkaufsbetrag Rabatt Nr. Einkaufsbetrag Rabatt

1.1

1.2

1.3

2 720,00 EUR

631,00 EUR

800,00 EUR

429,76 EUR

44,17 EUR

113,60 EUR

1.4

1.5

1.6

210,00 EUR

4 186,00 EUR

742,00 EUR

58,80 EUR

376,74 EUR

185,50 EUR

2. Ein Handelsvertreter erhält die nachfolgenden Provisionen ausbezahlt.

Nr. Umsatz Provision Nr. Umsatz Provision

2.1

2.2

2.3

54 680,00 EUR

28 460,00 EUR

15 316,00 EUR

2 734,00 EUR

2 134,50 EUR

1 914,50 EUR

2.4

2.5

2.6

31 720,00 EUR

42 160,00 EUR

27 680,00 EUR

7 930,00 EUR

2 635,00 EUR

8 304,00 EUR

Wie viel Prozent vom Umsatz waren vereinbart?

3. Ein Lebensmittelgroßhändler schreibt seine Kühlanlagen mit einem Wert von 92 400,00 EUR jährlich mit 11 550,00 EUR ab.

Wie viel Prozent beträgt der Abschreibungssatz?

4. Beim Abfüllen von 310 Liter Wein in Literflaschen beträgt der Abfüllverlust (Leckage) 7,75 Liter.

Wie viel Prozent beträgt der Abfüllverlust?

5. Ein Lebensmittelgeschäft bietet als Kundendienst die kostenlose Zustellung der gekauften Waren ab einem Warenwert von 100,00 EUR zum Kunden an. Der hierzu benötigte Lie-ferwagen verursacht folgende Kosten: Abschreibungen 3 750,00 EUR im Jahr, ferner je-weils monatlich laufende Kfz-Unterhaltskosten 650,00 EUR, Kosten für den Fahrer 1 950,50 EUR und 120,00 EUR Verwaltungskosten. Die Kosten für die Warenzustellung sind selbst-verständlich in der Kalkulation zu berücksichtigen.

Welcher Zuschlagssatz ist für die Warenzustellung kostendeckend, wenn monatlich im Durchschnitt Waren im Werte von 121 320,00 EUR zugestellt werden?

6. Die Stromkosten eines Geschäftes für die Schaufensterbeleuchtung betragen monatlich 246,20 EUR. Durch Kürzung der Beleuchtungszeit um täglich eine halbe Stunde konnten die Kosten auf 230,60 EUR gesenkt werden.

6.1 Wie viel Prozent beträgt die Ersparnis?

6.2 Wie viel EUR der verminderten Stromkosten entfallen auf die einzelnen Schaufenster?

Schaufenster I: 76 m2 AusstellungsflächeSchaufenster II: 42 m2 AusstellungsflächeSchaufenster III: 108 m2 Ausstellungsfläche

7. Das Monatseinkommen eines Reisenden setzt sich aus einem Festgehalt (Fixum) von 880,00 EUR und einer Umsatzprovision zusammen.

Wie viel Prozent vom Umsatz erhält er, wenn er bei einem durchschnittlichen Umsatz von 90 000,00 EUR ein durchschnittliches Monatseinkommen von insgesamt 6 000,00 EUR erzielt?

41

8. Bei einer Warenzustellung wird unser Lieferwagen in einen Unfall verwickelt. Die mit-geführte Ware ist verdorben. Die Versicherung kommt teilweise für den Schaden auf. Der Schaden beläuft sich auf 388,00 EUR. Als Entschädigung erhalten wir 318,16 EUR.

Wie viel Prozent hat die Versicherung ersetzt?

9. Von verschiedenen Unternehmen erhalten wir folgende Nachlässe:

Nr. Rechnungsbetrag Rabatt

9.1

9.2

9.3

15 460,00 USD

648,50 GBP

9 470,00 DKK

2 860,10 USD

51,88 GBP

1 894,00 DKK

Welchem Rabattsatz entspricht dies jeweils?

2.2.3 Berechnung des Grundwertes

Beispiel:

Ein Unternehmen hat für die Versicherung des Warenlagers 1 692,60 EUR Prämie zu zahlen. Das sind 21/3 % der Versicherungssumme.

Aufgabe:

Wie viel EUR beträgt die Versicherungssumme?

Lösung:

Gegeben: Prozentsatz: 21/3 % Prozentwert: 1 692,60 EUR

Gesucht: Grundwert: ?

Bedingungssatz → 21/3 % § 1 692,60 EUR Berechnung des Grundwertes mit-Fragesatz → 100 % § x EUR hilfe der Formel:

Bruchsatz → x = 1 692,60 · 100

_____________ 21/3

Grundwert = Prozentwert · 100 _________________ Prozentsatz

x = 1 692,60 · 100 · 3

________________ 7

x = 72 540,00 EUR

Ergebnis: Die Versicherungssumme des Lagers beträgt 72 540,00 EUR.

42

Übungsaufgabe

18 1. Bei einem Sonderverkauf wurden die nachfolgenden Nachlässe festgesetzt.

Nr. Nachlass in % Nachlass in EUR Nr. Nachlass in % Nachlass in EUR

1.11.21.3

15, %11,5 % 8, %

209,25 EUR402,50 EUR

1 081,60 EUR

1.41.51.6

2,5 %3, %18, %

105,00 EUR81,00 EUR

2 214,00 EUR

Berechnen Sie den ursprünglichen Verkaufspreis!

2. Wie viel EUR beträgt der ursprüngliche Preis, wenn die folgenden Teuerungszuschläge berechnet werden? 1

Nr. Teuerungszuschlag in % Teuerung in EUR Nr. Teuerungszuschlag in % Teuerung in EUR

2.12.22.3

21/2 %31/4 %11/3 %

134,20 EUR100,75 EUR301,70 EUR

2.42.52.6

23/4 %31/2 %31/2 %

178,75 EUR93,00 EUR

248,50 EUR

3. Eine Unternehmung hat in der GuV-Rechnung folgende Abschreibungsbeträge ausgewiesen:

GegenstandAbschreibungssatz

(bei linearer1 Abschreibung)Abschreibung in EUR

GebäudeBüroeinrichtungLagereinrichtungLadeneinrichtung

2,5 %7,69 %7,14 %12,5 %

6 250,00 EUR 2 829,92 EUR 3 916,29 EUR 11 952,50 EUR

Wie viel EUR betragen die Anschaffungskosten2 der einzelnen Anlagegüter?

4 Die veranschlagten Kosten für Renovierungsarbeiten der Büroräume wurden um 1 092,25 EUR überschritten. Das sind 81/2 % über dem Kostenvoranschlag.

4.1 Berechnen Sie den ursprünglichen Kostenvoranschlag!

4.2 Wie viel EUR kosteten die Renovierungsarbeiten tatsächlich?

5. Ein Kaufmann hat den Preis für eine Ware um 533,60 EUR oder 2,32 % abgesenkt. Wie viel EUR betrug der ursprüngliche Preis?

6. Ein Kaufmann konnte im Monat August den Umsatz um 41/2 % oder 6 221,25 EUR steigern. Wie viel EUR betrug sein Umsatz im Juli?

7. Auf der Eingangsrechnung E 61 ist ein Umsatzsteueranteil von 19 % ausgewiesen. Das sind 419,52 EUR.

Wie viel EUR beträgt der Nettoeinkaufspreis?

8. Ein Vertreter erhält für den Abschluss eines Auftrages eine Provision von 51/2 %. Das sind 194,70 EUR.

Über welche Summe lautet der von ihm vermittelte Auftrag?

9. Unser französischer Lieferer hat uns eine Gutschrift wegen Falschlieferung von 1 680,00 EUR gewährt. Das sind 12 % der Rechnungssumme.

Berechnen Sie den Rechnungsbetrag!

1 Linear (lat.): geradlinig. Bei der linearen Abschreibung wird ein gleichbleibender Betrag von den Anschaffungskosten des Anlage-gutes abgeschrieben.

2 Durch die Abschreibung werden die Anschaffungskosten (aufgrund der geschätzten jährlichen Wertminderung) auf die Jahre der Nutzung als Aufwand verteilt.

43

2.3 Prozentrechnen mit dem verminderten unddem vermehrten Grundwert

2.3.1 Prozentrechnen im Hundert (verminderter Grundwert)

Beispiel:

Wegen kleiner Fehler wird eine Ware mit einem Nachlass von 15 % zum Sonderpreis von 104,55 EUR verkauft.

Aufgaben:

1. Wie viel EUR betrug der reguläre Preis?2. Wie viel EUR beträgt die Preissenkung?

Problemstellung

Die Preissenkung von 15 % bezieht sich auf den ursprünglichen (regulären) Preis (wir sprechen hier vom reinen Grundwert). Der reine Grundwert entspricht 100 %. Der herab-gesetzte Preis entspricht daher in Prozenten ausgedrückt 85 % (verminderter Grundwert). Da der gegebene Betrag unter (und damit innerhalb) 100 % liegt, spricht man auch von Prozentrechnung im Hundert.

Sonderpreis85 % Preissenkung 15 %

regulärer Preis100 %

verminderter Grundwert + Prozentsatz = reiner Grundwert

Lösung:

Die Lösung erfolgt mithilfe des Dreisatzes.

Gegeben: Prozentsatz: 15 % Verminderter Grundwert in Prozent: 85 % Verminderter Grundwert in EUR: 104,55 EUR


verminderterGrundwert → 85 % Sonderpreis 104,55 EURProzentsatz → 15 % Preissenkung 18,45 EUR

Grundwert → 100 % regulärer Preis 123,00 EUR

Nebenrechnung: 85 % § 104,55 EUR 100 % § x EUR

x = 104,55 · 100

____________ 85

= 123,00 EUR

Ergebnisse: 1. Der reguläre Preis betrug 123,00 EUR. 2. Die Preissenkung beträgt 18,45 EUR.


1. Beginnen Sie den Rechenansatz mit dem verminderten Grundwert, für den ja der Prozentsatz (unter 100 %) und der absolute Betrag bekannt sind.

2. Berechnen Sie den Grundwert (bzw. den Prozentwert) mithilfe des Dreisatzes.

Anmerkung: Es ist auch mög-lich, zuerst die Preissenkung von 15 % in EUR zu errechnen. Aller-dings wäre es ein Umweg. Man steuert vielmehr im Ansatz direkt auf die gefragte Größe zu. Das ist der reguläre Preis, anders ausge-drückt: der reine Grundwert. Die-ser entspricht 100 % (Fragesatz).

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44

Übungsaufgabe

19 1. Nach einem Brand werden verschiedene Waren mit kleinen Rauchschäden zu folgenden Auszeichnungspreisen angeboten:

Nr. Sonderpreis Preisnachlass

1.11.21.3

118,90 EUR158,76 EUR152,75 EUR

18 %16 %35 %

Wie viel EUR betragen die ursprünglichen Verkaufspreise, wenn die angegebenen Preisnachlässe gewährt wurden?

2. Bei verschiedenen Zahlungen an den Lieferer wurden uns Skontoabzüge eingeräumt:

Nr. Skonto Zahlung

2.12.22.3

21/2 %3 %

11/2 %

22 941,75 EUR402,55 EUR187,15 EUR

Wie viel EUR betrugen die Rechnungs-beträge?

3. Eine Mitarbeiterin bekommt vom Geschäft einen Personalrabatt von 121/2 %.

Mit wie viel EUR war ein Artikel ausgezeichnet, wenn sie ihn für 112,00 EUR kaufte?

4. Wir beziehen von einem Importeur 170,55 kg Heringe netto. Die Tara1 beträgt 51/4 %.

Wie viel kg beträgt das Bruttogewicht2 der Warensendung?

5. Ein Paar Damenschuhe ist am vorletzten Tag des Winterschlussverkaufs mit 57,00 EUR ausgezeichnet. Der ursprüngliche Verkaufspreis wurde um 162/3 % und dieser dann um 5 % ermäßigt.

Wie viel EUR kosteten die Schuhe zu Beginn des Schlussverkaufs?

6. Die Textilgroßhandlung Franz Nadi e. Kfm. verkauft von 200 Anzügen zunächst 60 Stück. Nachdem der Preis um 162/3 % herabgesetzt wurde, konnten weitere 40 Anzüge verkauft werden. Um den Restbestand veräußern zu können, musste dieser Preis nochmals um 20 % gesenkt werden, sodass der Verkaufspreis noch 180,00 EUR betrug.

6.1 Berechnen Sie den ursprünglichen Auszeichnungspreis!

6.2 Berechnen Sie den Gesamterlös!

6.3 Wie viel EUR Umsatzeinbuße musste die Textilgroßhandlung hinnehmen?

7. Wie viel kg Rohkaffee sind geröstet worden, wenn bei 162/3 % Röstverlust 1 403,5 kg Röst-kaffee übrig bleiben?

8. Ein Sportfachgeschäft soll umgebaut werden. Der Inhaber führt deshalb einen Räumungs-verkauf durch und senkt die Preise für alle Waren um 121/2 %. Drei Wochen später werden die Preise in einer Sonderaktion nochmals um 15 % gesenkt.

Zu welchem Preis wurde ein Trimmgerät ursprünglich verkauft, wenn der jetzige Auszeich-nungspreis 431,37 EUR beträgt?

9. Der Preis eines Liegestuhls war um 20 % ermäßigt worden. Da der Liegestuhl immer noch nicht verkauft werden konnte, wurde dieser Preis nochmals um 30 % gesenkt. Er kostet jetzt 24,50 EUR.

9.1 Wie viel EUR betrug der ursprüngliche Preis?

9.2 Um wie viel Prozent wurde der Liegestuhl insgesamt billiger?

1 Tara (arab.-ital.): das Gewicht der Verpackung einer Ware.

2 Bruttogewicht = Nettogewicht + Verpackungsgewicht.

45

2.3.2 Prozentrechnen auf Hundert (vermehrter Grundwert)

Beispiel:

Der Umsatz eines Unternehmens stieg gegenüber dem Vorjahr um 81/3 % auf 410 150,00 EUR an.

Aufgaben:

1. Berechnen Sie den Umsatz des vergangenen Jahres!

2. Wie viel EUR beträgt die Umsatzsteigerung?

Problemstellung

Die Umsatzsteigerung von 81/3 % bezieht sich auf den Umsatz des vergangenen Jahres (reiner Grundwert und damit 100 %). Der diesjährige Umsatz ist daher um 81/3 % höher (vermehrter Grundwert). In Prozenten ausgedrückt beträgt er 1081/3 %. Da der gegebene Betrag über 100 % liegt, spricht man auch von der Prozentrechnung auf Hundert.

Umsatz indiesem Jahr

1081/3 %

Umsatz imvergangenen Jahr

100 %

vermehrter Grundwert – Prozentsatz = reiner Grundwert

Lösung:

Die Lösung erfolgt mithilfe des Dreisatzes.

Gegeben: Prozentsatz: 81/3 % vermehrter Grundwert in Prozent: 1081/3 % vermehrter Grundwert in EUR: 410 150,00 EUR


vermehrter Grundwert → 1081/3 % Umsatz dieses Jahres 410 150,00 EURProzentsatz → 81/3 % Steigerung 31 550,00 EUR

Grundwert → 100 % Umsatz vergangenes Jahr 378 600,00 EUR

Nebenrechnung: 1081/3 % § 410 150,00 EUR 100 % § x EUR

x = 410 150 · 100 _____________ 1081/3

= 378 600,00 EUR

Ergebnisse: 1. Der Umsatz des vergangenen Jahres belief sich auf 378 600,00 EUR. 2. Die Umsatzsteigerung beträgt 31 550,00 EUR.

Umsatzsteigerung81/3 %

Beachten Sie: Die rech-nerische Vorgehensweise entspricht dem allgemei-nen Lösungsweg, der beim Rechnen mit dem vermin-derten Grundwert aufgezeigt wurde. Ausgangspunkt ist hier der vermehrte Grund-wert, für den der Prozentsatz (über 100 %) und der abso-lute Wert bekannt sind.

Rec

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46

Übungsaufgabe

20 1. Verschiedene Waren wurden neu ausgezeichnet.

Nr. Auszeichnungspreis Preiserhöhung

1.11.21.31.4

192,28 EUR 33,15 EUR297,00 EUR419,75 EUR

41/2 % 2 %121/2 %15 %

Berechnen Sie den bisherigen Verkaufspreis vor den angegebenen Preiserhöhungen!

2. Ein Importeur bezieht Waren aus Schweden. Einschließlich der Zölle werden die nachfol-genden Beträge gezahlt.

Nr. Einstandspreise einschl. Zoll Zollsatz

2.12.22.32.4

5 507,04 EUR14 704,56 EUR1 432,20 EUR

969,42 EUR

12 %17 % 5 % 7 %

Berechnen Sie den Listenpreis des schwedischen Exporteurs!

3. Die Monatsmiete für unsere Geschäftsräume hat sich um 61/4 % erhöht. Sie beträgt nun 2316,25 EUR.

Um wie viel EUR ist die Miete angestiegen?

4. Der Rechnungsbetrag für einen Wareneinkauf beträgt einschließlich 19 % Umsatzsteuer 4 630,29 EUR.

Berechnen Sie den Nettowarenwert und die Umsatzsteuer!

5. Nach einer Werbeaktion für französischen Käse konnte ein Supermarkt in der Käseabtei-lung gegenüber dem Vormonat eine Umsatzsteigerung für den Monat Juli um 81/4 % auf 6 087,98 EUR erzielen.

Wie viel EUR beträgt die Umsatzsteigerung?

6. Eine Großhandlung hat den Listenverkaufspreis eines Artikels mit netto 22,08 EUR neu ausgezeichnet, nachdem der bisherige Listenverkaufspreis1 um einen Teuerungszuschlag von 5 % angehoben wurde.

Wie viel EUR betrug der Listenverkaufspreis vor der Preiserhöhung?

7. Der Mitarbeiter Franz Helm erhält in diesem Jahr eine Gehaltserhöhung von 21/2 %. Das sind 65,00 EUR. Letztes Jahr betrug die Gehaltserhöhung 3,2 %.

7.1 Wie viel EUR verdient er jetzt?

7.2 Wie viel EUR betrug die Gehaltserhöhung letztes Jahr und wie hoch war sein ursprüng-liches Gehalt?

8. Nach 2 Unfällen wurde unser Geschäftswagen in der Haftpflichtversicherung aus der Schadensfreiheitsklasse SF4 (45 % des Beitragssatzes) in SF3 zurückgestuft (90 % des Beitragssatzes). Die neue Prämie für die Kfz-Haftpflichtversicherung beläuft sich jetzt auf 741,30 EUR.

Wie viel EUR betrug die Prämie in der Schadensfreiheitsklasse SF4?

1 Der Listenverkaufspreis ist der Preis, zu dem die Ware einem Käufer (lt. Preisliste) angeboten wird. Vgl. Kapitel 3.2.3.2.

47

2.4 Verschiedene Aufgaben zum Prozentrechnen

21 1. Ein Handelsvertreter hat aufgrund eines Teuerungszuschlags des Herstellers den Preis für ein PC-Gerät um 121/2 % angehoben. Aus Konkurrenzgründen muss er jedoch einen Monat später den Preis um 4% und diesen nochmals um 162/3 % herabsetzen. Das PC-Gerät wird jetzt für 1 080,00 EUR verkauft.

Berechnen Sie den ursprünglichen Preis!

2. Nach einer Gehaltserhöhung von 3,8 % verdient eine kaufmännische Angestellte monatlich 2 242,08 EUR. Für Lohnsteuer, Solidaritätszuschlag und Kirchensteuer werden 418,61 EUR, für Sozialversicherung 462,97 EUR einbehalten.

2.1 Wie viel Prozent des Bruttolohnes betragen die Abzüge insgesamt?

2.2 Wie viel EUR betrug der Jahresbruttoverdienst der Angestellten vor der Gehaltserhö-hung?

3. Die für das 1. Quartal ermittelte Umsatzsteuer (Steuersatz 19 %) beträgt 60 747,75 EUR.

Wie viel EUR betrugen die Umsatzerlöse einschließlich Umsatzsteuer?

4. Die Zahl der Mitarbeiter in einer Filialkette verringerte sich von 851 Mitarbeitern im vergan-genen Jahr auf 796 in diesem Jahr. Im gleichen Zeitraum stiegen die gesamten Personal-kosten von 33 614 500,00 EUR auf 33 957 360,00 EUR an.

Um wie viel Prozent stiegen die Personalkosten je Arbeitnehmer an?

5. Das Umlaufvermögen stellt mit 789 760,00 EUR 64 % des Gesamtvermögens dar.

Wie viel EUR beträgt das Fremdkapital, wenn es 28 % des Gesamtkapitals ausmacht?

6. Ein Unternehmen weist im 1. Halbjahr folgende Umsätze auf:

Januar: 80 500,00 EUR April: 95 600,00 EURFebruar: 91 700,00 EUR Mai: 92 300,00 EURMärz: 78 900,00 EUR Juni: 89 750,00 EUR

Im Juli beträgt der Umsatz 93 412,50 EUR.

Um wie viel Prozent übersteigt der Juliumsatz den Durchschnittsumsatz des 1. Halbjahres?

7. Eine Großhandlung hat einen durchschnittlichen Lagerbestand von 520 000,00 EUR. Um Versicherungskosten zu sparen wird das Warenlager nur mit 62,5 % versichert.

7.1 Mit wie viel EUR ist das Warenlager versichert?

7.2 Nach einem Rohrbruch wird ein Wasserschaden von 112 320,00 EUR festgestellt.

Wie viel EUR ersetzt die Versicherung?

8. Eine Maschinenfabrik hatte im Geschäftsjahr insgesamt 9,6 Mio. EUR umgesetzt. Das waren 121/2 % mehr als im Geschäftsjahr zuvor. Darin waren 2,6 Mio. EUR Umsätze mit dem Ausland enthalten.

8.1 Wie viel Mio. EUR betrug der Gesamtumsatz des Vorjahres?

8.2 Wie viel Prozent betrug der Anteil der Auslandsgeschäfte im Geschäftsjahr?

9. Durch die Anstellung eines neuen Mitarbeiters im Außendienst stieg der Umsatz von 670 800,00 EUR auf 727 818,00 EUR an. Gleichzeitig stiegen die Personalkosten von 135 960,00 EUR auf 146 836,80 EUR an.

Vergleichen Sie die Steigerung des Umsatzes mit dem Anstieg der Personalkosten!

48

10. Das Gehalt eines Mitarbeiters wird um 4,5 % erhöht. Das sind 85,50 EUR.

Wie viel EUR beträgt das Gehalt nach der Erhöhung?

11. Berechnen Sie für die Textilgroßhandlung Weber Markt OHG den Nachlassbetrag, den Skontobetrag und den Rechnungsbetrag!

Commerzbank Erlangen 763 400 61

Lener-Service Handelsgesellschaft Pfungstadt

3 459 876 508 501 50

Städtische Sparkasse Pfungstadt

453,35–––––––––––––––

Rechnung vom . .–01–27 Abzüge: 18 % Nachlass wegen

Mängelrüge, 3 % Skonto

Weber Markt OHG, Huberweg 8, 91058 Erlangen

523 798

22 1. Der Vermieter verlangt für die gemieteten Geschäftsräume auch in diesem, dem dritten Jahr, eine Mieterhöhung. Der Geschäftsinhaber stellt fest, dass er für das zweite Geschäfts-jahr eine um 8% höhere Miete als im ersten Geschäftsjahr bezahlen musste und dass die Miete für das dritte Geschäftsjahr nun um 62/3 % höher ist als für das zweite Geschäftsjahr. Im dritten Geschäftsjahr beträgt die Miete 748,80 EUR monatlich.

Wie viel EUR Miete musste der Geschäftsinhaber im ersten Geschäftsjahr für die Geschäfts-räume monatlich bezahlen?

2. Wie viel EUR betrug der Sonderra-batt, der beim Räumungsverkauf eingeräumt wurde?

Nessensohn e. K. WerkverkaufLindauer Straße 5188239

Frau Marlene BucherMartinstr. 4488239 Wangen

15. 02. 20 . .

Jacke 150,–

Pulli 79,–

Rock 49,–

278,–

Eingeräumter

Sonderrabatt

wegen Räumungs-

verkauf 25 %

49

3 Handelskalkulation

3.1 Problemstellung

Jeder Handelsbetrieb ist bestrebt, Gewinn zu erzielen. Der Verkaufspreis muss daher alle Kosten und einen angemessenen Gewinnaufschlag enthalten. Die Berechnung des Ver-kaufspreises nennen wir Kalkulation. Kalkulieren heißt also: Berechnen von Kosten und Preisen.

Grundlage der Kalkulation ist die geordnete Erfassung aller Kosten, die die Waren vom Einkauf über die Lagerung einschließlich der Verwaltung bis hin zum Vertrieb verursachen. Das Sammeln der Kosten erfolgt in der Kosten- und Leistungsrechnung. In der Handelskal-kulation hat die Kosten- und Leistungsrechnung folgende Kosten zu erfassen:

Lieferer(Hersteller)

Kunde(Einzelhandel)

z. B. ■ Einkaufspreis (evtl. abzüg-lich Rabatt u. Skonto)

■ Fracht ■ Versicherung ■ Verpackung

Einkaufs- und

Bezugskalkulation

z. B. ■ Wareneinsatz (Einstandspreis) ■ Zustellkosten ■ Löhne, Gehälter ■ Aufwend. für bezogene Leistungen ■ Aufwend. für Kommunikation ■ Vertriebsprovisionen ■ Abschreibungen

Kalkulation der Selbstkosten

Selbstkosten+ Gewinn

Kalkulation desVerkaufspreises

Die Kalkulation rechnet schrittweise alle Kosten ein, die die Ware vom Einkauf (Ausgangs-punkt: Einkaufspreis) bis zur Endstation Kunde verursacht. Auf die Selbstkosten wird unter Berücksichtigung der Konkurrenzangebote ein angemessener Gewinn aufgeschla-gen. Zur Berechnung des Verkaufspreises hat der Kaufmann ein Kalkulationsschema ent-wickelt, das wichtige Kostengruppen zusammenfasst. Es wird in den folgenden Kapiteln vorgestellt.

3.2 Aufbau der Handelskalkulation (Vorwärtskalkulation)

3.2.1 Einkaufs- und Bezugskalkulation

3.2.1.1 Hinführung

Ziel der Einkaufs- und Bezugskalkulation ist es, den Einstandspreis der eingekauften Ware zu ermitteln. Er enthält sämtliche Kosten, die dem Kaufmann entstanden sind, bis die Ware im Lager eintrifft. Im Einzelnen unterscheiden wir:

(1) Warenkosten

Hierunter verstehen wir die reinen Warenkosten (Listeneinkaufspreis).

HandelsbetriebBezug der Ware Vertrieb der Ware

50

(2) Preisabzüge

Vom Einkaufspreis gewährt der Anbieter oft noch Preisabzüge.

■ Rabatt

Der Rabatt ist ein Preisnachlass, der unabhängig von der Zahlungsfrist gewährt wird. Zweck: z. B. Anreiz für den Kunden, mehr (größere Mengen) zu kaufen. Es handelt sich dabei um Mengenrabatt.

Listeneinkaufspreis – Liefererrabatt = Zieleinkaufspreis

■ Skonto

Hierunter versteht man einen Preisnachlass, der dann gewährt wird, wenn der Schuldner innerhalb einer bestimmten Frist bezahlt. Die Klausel lautet z. B.: „3 % Skonto innerhalb von 10 Tagen, 30 Tage netto ab Rechnungsdatum”. Zweck: Anreiz für den Kunden, früher zu zahlen, d. h. in diesem Fall innerhalb der Skontofrist von 10 Tagen.

Zieleinkaufspreis – Liefererskonto = Bareinkaufspreis

Wurden im Kaufvertrag sowohl Rabatt als auch Skonto vereinbart, wird zuerst der Rabatt und dann der Skonto abgesetzt, denn der Skonto als Abzug für vorzeitige Zahlung kann nur von dem tatsächlich geschuldeten Betrag vorgenommen werden.

(3) Bezugskosten

Sie umfassen alle Nebenkosten, die mit der Beschaffung der eingekauften Ware zu-sammenhängen, wie z. B. Fracht, Versicherung, Zölle, Einkaufsverpackung, Anfuhr- und Abfuhrkosten usw.

Bareinkaufspreis + Bezugskosten = Bezugspreis (Einstandspreis)

Zum Bezugspreis (Einstandspreis) der Ware gelangt man also, wenn man vom Listen-einkaufspreis ausgehend die Preisnachlässe (Rabatt und Skonto) abzieht und die Bezugs-kosten auf die Zwischensumme aufschlägt.

3.2.1.2 Bezugskalkulation ohne Berücksichtigung des Verpackungsgewichts

Beispiel:

Das Handelshaus Clemens Alten OHG bestellt Waren zu folgenden Bedingungen: Listenein-kaufspreis 1 800,00 EUR zuzüglich 19 % USt, 20 % Wiederverkäuferrabatt, 2 % Skonto, Kosten für Verpackung, Fracht, Anfuhr und Transportversicherung pauschal 58,00 EUR zuzüglich 19 % Umsatzsteuer.

Aufgabe:

Wie viel EUR beträgt der Einstandspreis?

51

Lösung:

100 % 20 %

Listeneinkaufspreis netto 1 1 800,00 EUR– Liefererrabatt 2 360,00 EUR

100 % 2 %

Zieleinkaufspreis 1 440,00 EUR– Liefererskonto 3 28,80 EUR

Bareinkaufspreis 1 411,20 EUR+ Bezugskosten 4 58,00 EUR

Einstandspreis (Bezugspreis) 1 469,20 EUR


1 Die Umsatzsteuer ist nicht einzukalkulieren, da das Handelshaus diese als Vorsteuer wieder erstattet erhält. Die Umsatzsteuer hat damit keinen Kostencharakter.

2 Vom gegebenen Einkaufspreis ist zunächst der Rabatt zu berechnen.

3 Der Skonto wird von dem Betrag gerechnet, der tatsächlich zu zahlen ist, also von dem um den Rabatt verminderten Betrag. Der Zieleinkaufspreis ist daher der Ausgangspunkt (Grundwert) und somit 100 % für die Skontoberechnung.

Wichtig: Rabatt und Skonto dürfen nicht zu einem gemeinsamen Abzug zusammen-gefasst werden!

4 Alle Nebenkosten, die mit der Beschaffung der Waren zusammenhängen, fassen wir unter dem Begriff Bezugskosten zusammen. Als Kosten sind sie zum Bareinkaufspreis hinzuzurechnen.

Übungsaufgaben

23 1. Eine Waschmaschine wird uns mit 960,00 EUR abzüglich 22 % Wiederverkäuferrabatt ange-boten. Bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen dürfen 3% Skonto abgezogen werden.

Wie viel EUR beträgt der Bareinkaufspreis?

2. Bei der Kalkulation einer Ware fallen folgende Werte an: Liefererrabatt 15 %, Liefererskonto 21/2 %, Fracht 12,20 EUR, Frachtversicherung 4,30 EUR, Hausfracht 3,50 EUR.

Wie viel EUR beträgt der Bezugspreis, wenn der Listeneinkaufspreis 245,80 EUR beträgt?

3. Einem Großhändler liegen zwei Angebote eines Artikels vor:

Angebot Lieferer A Lieferer B

Listeneinkaufspreis je StückRabattSkontoBezugskosten je Stück

5,20 EUR25 % 3 %

0,09 EUR

126,75 EUR je 25 Stück24 % 2 %3,50 EUR je 50 Stück

Bei welchem Lieferer ist der Bezugspreis je Stück am niedrigsten?

52

4. Ein Lieferer bietet uns eine Ware zu 78,40 EUR je Stück an. Er gewährt uns 15 % Rabatt und 2 % Skonto bei Zahlung innerhalb von 10 Tagen. An Transportkosten fallen für jeweils angefangene 20 Stück 52,80 EUR an, die der Lieferer und wir je zur Hälfte tragen.

Wie viel EUR beträgt der Bezugspreis der Warensendung, wenn 75 Stück bestellt werden?

5. Der Listeneinkaufspreis einer Ware beträgt 99,88 EUR je Stück.

Wie viel EUR beträgt der Bezugspreis je Stück, wenn beim Bezug eines Pakets mit 35 Stück 63,00 EUR an Frachtkosten anfallen und der Lieferer uns 15 % Rabatt und 2 % Skonto gewährt?

24 1. Einem Einzelhändler liegen 2 Angebote vor: 1. Angebot: Stückpreis 217,30 EUR, 20 % Liefererrabatt, frachtfrei, 3 % Skonto bei Zah-

lung innerhalb 14 Tagen. 2. Angebot: Stückpreis 198,40 EUR, 15 % Rabatt, Frachtkosten 8,70 EUR je Stück, Zah-

lung innerhalb 30 Tagen ohne Abzug.

Wie viel EUR spart der Einzelhändler, wenn er das günstigere Angebot annimmt und 30 Stück bestellt?

2. Ein Verbrauchermarkt erhält für 100 Badehosen derselben Qualität zwei verschiedene Angebote.

1. Angebot: Gesamtpreis 1 570,00 EUR, 10 % Wiederverkäuferrabatt, Zahlung innerhalb 8 Tagen 2 % Skonto, Lieferung frei Haus.

2. Angebot: Gesamtpreis 1 660,00 EUR, 20 % Treuerabatt, Zahlung innerhalb 30 Tagen netto, Versandkosten 9,80 EUR.

Wie viel EUR betragen die Einstandspreise dieser Angebote je Badehose und welches ist das preisgünstigere Angebot?

3. Wir kaufen 20 Damenkostüme zu folgenden Bedingungen: Rechnungspreis (Listenein-kaufspreis) 102,00 EUR je Kostüm, 5 % Mengenrabatt, 3 % Liefererskonto, Bezugskosten je Kostüm 4,00 EUR.

Wie viel EUR beträgt der Einstandspreis der Sendung?

4. Einem Kaufhaus liegen zwei Angebote über ein Kaffeeservice derselben Qualität vor: 1. Angebot: Listeneinkaufspreis je Service 128,00 EUR, Wiederverkäuferrabatt: 25 %,

Zahlung innerhalb 8 Tagen 3 % Skonto, Fracht: 27,30 EUR je Service. 2. Angebot: Listeneinkaufspreis je Service 118,00 EUR, Treuerabatt: 10 %, Zahlung inner-

halb 30 Tagen netto, Lieferung frei Haus.

Wie viel EUR betragen die Einstandspreise dieser Angebote je Kaffeeservice und welches ist das preisgünstigere Angebot?

3.2.1.3 Bezugskalkulation unter Berücksichtigung des Verpackungsgewichts

Bei Waren, deren Preise nach Gewicht berechnet werden, taucht das Problem der Preis-berechnung für die Versandverpackung auf. Wir unterscheiden folgende handelsübliche Vereinbarungen:

53

(1) Die Verpackung wird wie die Ware berechnet (brutto für netto, abgekürzt bfn).

Beispiel:

Listeneinkaufspreis netto 6,00 EUR je kg (bfn).

Lieferung: Nettogewicht 95,00 kg + Verpackungsgewicht (Tara) 5,00 kg

Bruttogewicht 100,00 kg

Listeneinkaufspreis insgesamt: 100 kg · 6,00 EUR = 600,00 EUR

(2) Der Preis bezieht sich auf das Nettogewicht, wobei die Verpackung gesondert berechnet wird (Nettopreis ausschließlich Verpackung).

Beispiel:

Listeneinkaufspreis 6,00 EUR netto ausschließlich Verpackung.Verpackungskosten pauschal 20,00 EUR.

Lieferung: Ware 95,00 kg Nettogewicht

Listeneinkaufspreis insgesamt: 95,00 kg · 6,00 EUR = 570,00 EUR + Verpackung 20,00 EUR

Bezugspreis1 590,00 EUR

(3) Der Preis bezieht sich auf das Nettogewicht. Für Verpackung wird nichtsberechnet.

Beispiel:

Bruttogewicht 100 kg; Tara 5 %; Listeneinkaufspreis 6,00 EUR.

Lieferung: Bruttogewicht 100,00 kg – 5 % Tara 5,00 kg

Nettogewicht 95,00 kg

Listeneinkaufspreis insgesamt: 95,00 kg · 6,00 EUR = 570,00 EUR

Beispiel:

Ein Kaufmann bezieht Waren mit einem Bruttogewicht von 588,00 kg zum Listeneinkaufspreis von 8,60 EUR je kg ausschließlich Verpackung. Die Tara beträgt 11/2 %. Der Lieferer gewährt 15 % Mengenrabatt und 3 % Skonto. An Bezugskosten fallen an: Verpackungskosten 160,86 EUR, 6 % Zoll vom Bareinkaufspreis, Transportversicherung 104,00 EUR, Frachtkosten 231,00 EUR, Aus laden und Ans-Lager-Bringen 45,00 EUR.

Aufgabe:

Wie viel EUR beträgt der Bezugspreis für ein kg dieser Ware?

Lösung:

Bruttogewicht 588,00 kg– 11/2 % Tara 1 8,82 kg

= Nettogewicht 579,18 kg

1 In diesem Fall ist davon auszugehen, dass der Lieferer weder Rabatt noch Skonto gewährt hat.

54

100 % 15 %

Listeneinkaufspreis (579,18 kg · 8,60 EUR) 4 980,95 EUR– Mengenrabatt 747,14 EUR

100 % 3 %

Zieleinkaufspreis 4 233,81 EUR– Liefererskonto 127,01 EUR

Bareinkaufspreis 4 106,80 EUR+ Bezugskosten: Verpackungskosten 160,86 EUR Zoll 6 % von 4 106,80 EUR = 246,41 EUR Transportversicherung 104,00 EUR Frachtkosten 231,00 EUR Ausladen 45,00 EUR 787,27 EUR

Bezugspreis (Einstandspreis) 4 894,07 EUR

2 Preis je kg: 4 894,07 EUR : 579,18 kg = 8,45 EUR

Ergebnis: Der Bezugspreis für ein kg der Ware beträgt 8,45 EUR.


1 Die Tara wird vom Bruttogewicht berechnet. Das ermittelte Nettogewicht ist die Grund-lage für die Berechnung des Einkaufspreises.

2 Der gesamte Bezugspreis wird durch das Nettogewicht dividiert und damit der Kilo-grammpreis berechnet.

Übungsaufgabe

25 1. Berechnen Sie den Bezugspreis verschiedener Wareneingänge im Lager!

Warenart Bruttomenge Tara Preis je Einheit/netto

ABC

2 150 kg 60 Kisten zu je 25 kg300 Dosen zu je 350 g

2 %500 g je Kistebfn 7,20 EUR je kg

14,30 EUR je 100 kg 6,40 EUR je kg

2. Ein Einzelhändler kauft 5 Pakete einer Ware mit einem Bruttogewicht von 480 kg. Der Listen-einkaufspreis für 30 kg beträgt 270,00 EUR. Die Tara beträgt 4,5 %. Bei Barzahlung gewährt uns der Lieferer 3 % Skonto.

Wie viel EUR beträgt der Bareinkaufspreis für die Sendung?

3. Ein Großhändler bezieht Waren mit einem Nettogewicht von 68 kg, je 5 kg zu 42,00 EUR bfn. Die Tara beträgt 3,06 kg. Vom Lieferer erhalten wir 3 % Skonto.

Wie viel EUR beträgt der Bareinkaufspreis für die Lieferung?

4. Ein Kaufmann bezieht Waren mit einem Nettogewicht von 205 kg zum Listeneinkaufspreis netto ausschließlich Verpackung von 13,40 EUR je kg. An Verpackungskosten fallen 71,75 EUR an. Es werden 54,80 EUR Bahnfracht, 38,70 EUR Zoll und 10,50 EUR Anfuhrkosten berechnet. Der Lieferer gewährt 25 % Rabatt auf den Listeneinkaufspreis und 21/2 % Skonto auf den Zieleinkaufspreis.

Wie viel EUR beträgt der Bezugspreis?

55

5. Ein Lebensmittelgeschäft kauft Speisekartoffeln ein mit einem Nettogewicht von 450 kg zum Listeneinkaufspreis von 0,35 EUR je kg bfn. Die Tara beträgt 11,25 kg. Der Lieferer gewährt 3 % Skonto. An Bezugskosten fallen an: Fracht je 100 kg 14,20 EUR, Anfuhrkosten je 50 kg 8,60 EUR.

Wie viel EUR beträgt der Bezugspreis für einen Beutel von 5 kg Speisekartoffeln?

6. Während des Transports verdarben 46 kg einer Ware. Das waren 8 % der gesamten Sen-dung. Die Bezugskosten betrugen 5 % des Bareinkaufspreises. Der Bareinkaufspreis beläuft sich auf 8 165,00 EUR.

6.1 Wie viel kg wog die Warensendung?

6.2 Wie viel EUR betrug der Verlust einschließlich Bezugskosten?

7. Wir kaufen Waren mit einem Bruttogewicht von 140 kg. Die Tara beträgt 33/4 %. Der Listen einkaufspreis je kg Nettogewicht beträgt 4,20 EUR ausschließlich Verpackung. Die Ver packungskosten betragen 64,05 EUR. Der Lieferer gewährt uns 331/3 % Rabatt und 2 % Skonto. An Bezugskosten fallen 65,70 EUR an.

Wie viel EUR kostet der Bezug von einem kg der Ware?

8. Ein Weingroßhändler importiert aus der Schweiz 12 Fass Weißwein mit je 150 Liter zu 1 125,00 CHF je Fass. Bei Zahlung innerhalb 10 Tagen erhält der Weingroßhändler 3 % Skonto.

Es fallen an: Fracht zur deutschen Grenze 214,00 CHF; Fracht in Deutschland 185,00 EUR; Kosten für die Rücksendung des Leergutes 95,21 EUR.

Der Weingroßhändler zahlt innerhalb der Skontofrist. Am Zahlungstermin liegen für den Schweizer Franken folgende Kurse vor: Geld 1,5503, Brief 1,5812.

Berechnen Sie den Bezugspreis für einen Liter Wein!

3.2.1.4 Bezugskostenverteilung nach Mengen und Werten

Werden mehrere Warenarten in einer Lieferung bezogen und fallen hierbei gemeinsame Bezugskosten an, müssen diese, um eine genaue Kalkulation der einzelnen Waren zu ermöglichen, aufgeteilt werden. Dies geschieht entweder nach dem Wert der einzelnen Waren oder nach dem Gewicht der einzelnen Waren. Daher unterscheidet man:

Gewichtsspesen Wertspesen

Sie werden nach dem Bruttogewicht der ein-zelnen Waren aufgeteilt.

Beispiele: Fracht, Anfuhrkosten, Gewichtszoll, Auslade- und Wiegekosten, Hausfracht.

Sie werden nach dem Einkaufspreis der einzel-nen Waren aufgeteilt.

Beispiele: Verpackungskosten, Wertzoll, Trans-portversicherung, Provisionen.

Vom rechnerischen Ablauf her ist die Kostenverteilung nach Mengen und Werten eine Verteilungsrechnung.

56

Beispiel:

Ein Unternehmen bezieht zwei Warensorten in einer Lieferung. Ware I: 610 kg zu 5,10 EUR je kg zuzüglich 19 % USt und Ware II: 450 kg zu 1,40 EUR je kg zuzüglich 19 % USt. An Fracht und Kosten der Zufuhr (Gewichtsspesen) fallen 196,10 EUR zuzüglich 19 % USt und an Verpackungs- und Versicherungskosten (Wertspesen) 187,05 EUR zuzüglich 19 % USt an.

Aufgabe:

Verteilen Sie die Gewichts- und Wertspesen anteilig auf die Warenarten!

Lösung:

(1) Verteilung der Gewichtsspesen

Gewicht je Warenart Gewichtsspesen je Warenart

Ware I 610 kg 112,85 EURWare II 450 kg 83,25 EUR

Gesamtgewicht 1060 kg § 196,10 EUR 196,10 EUR : 1060 = 0,185 EUR Gewichtsspesen- anteil je kg

(2) Verteilung der Wertspesen

Gewicht Einzel- Gesamtpreis Wertspesen je Warenart preis je Warenart je Einheit

Ware I 610 kg · 5,10 EUR = 3 111,00 EUR 155,55 EURWare II 450 kg · 1,40 EUR = 630,00 EUR 31,50 EUR

Gesamtwert der Waren = 3741,00 EUR § 187,05 EUR 187,05 EUR : 3 741,00 = 0,05 EUR

Wertspesenanteil je 1 EUR


1. Die angegebenen Warenpreise und Werte für die Bezugskosten sind als Nettowerte (Wert ohne Umsatzsteuer) zu verstehen, da die Umsatzsteuer wegen ihrer Kosten-neutralität nicht in die Kalkulation einbezogen werden darf.

2. Gewichtsspesen werden errechnet, indem man die Gewichte der einzelnen Waren addiert (Gesamtgewicht). Die Gesamtgewichtsspesen werden durch das Gesamt-gewicht dividiert und damit der Gewichtsspesenanteil je Einheit ermittelt. Durch Multi-plikation des Gewichts der einzelnen Wareneinheiten mit dem Gewichtsspesenanteil je Einheit erhält man die Gewichtsspesen der einzelnen Warenart.

3. Bei den Wertspesen muss vor der Verteilung zunächst der Wert der einzelnen Warenart errechnet werden (Menge x Preis). Die Wertspesenanteile werden sodann auf die glei-che Art und Weise wie die Gewichtsspesen ermittelt.

610 · 0,185450 · 0,185

3 111 · 0,05 630 · 0,05

57

Übungsaufgabe 1

26 1. Für eineWarensendung betragen die Frachtkosten 748,80 EUR und die Kosten für die Trans-portversicherung 457,60 EUR. Die Sendung besteht aus 3 Warensorten:

Sorte I: 1 440 kg zu 7,50 EUR je kgSorte II: 1 280 kg zu 3,00 EUR je 0,5 kgSorte III: 400 kg zu 2,75 EUR je 0,25 kg

1.1 Welcher Anteil an den Frachtkosten entfällt auf jede Sorte, wenn die Frachtkosten nach dem Gewicht zu verteilen sind?

1.2 Welcher Anteil an den Versicherungskosten entfällt auf jede Sorte, wenn die Kosten für die Transportversicherung nach dem Wert zu verteilen sind?

2. Ein Kaufmann bezieht mit der gleichen Sendung drei Warengruppen:

Warengruppe I: 168 kg zum Listeneinkaufspreis von 1 750,00 EURWarengruppe II: 210 kg zum Listeneinkaufspreis von 2 250,00 EURWarengruppe III: 315 kg zum Listeneinkaufspreis von 3 250,00 EUR

Für die gesamte Sendung müssen dem Spediteur 118,80 EUR Fracht und Kosten der Anfuhr gezahlt werden. Die Transportversicherung kostet 53,65 EUR.

Wie viel EUR betragen jeweils die Gewichtsspesen und die Wertspesen für die einzelnen Warengruppen?

3. Ein Großhändler bezieht:

Ware I: 25 Sack, 1345 kg brutto 32,00 EUR je kgWare II: 40 Sack, 2670 kg brutto 40,00 EUR je kg

Die Tara beträgt je Sack 1 kg. Verteilen Sie die Frachtkosten von 3 011,25 EUR nach dem Gewicht, die Versicherungskosten von 1 947,10 EUR nach dem Wert der Ware.

Wie viel EUR betragen die Gewichtsspesen und die Wertspesen für die einzelnen Waren-gruppen?

4. Ein Unternehmen bezieht in einer gemeinsamen Sendung drei Sorten einer Ware. Fracht und Kosten der Anfuhr betragen 163,80 EUR, die Versicherungskosten belaufen sich auf 237,50 EUR.

Ware I: 144 kg zu insgesamt 720,00 EURWare II: 36 kg zu insgesamt 320,00 EURWare III: 72 kg zu insgesamt 480,00 EUR

4.1 Die Gewichts- und Wertspesen für den Bezug sind auf die drei Warensorten zu vertei-len!

4.2 Wie viel EUR beträgt der Einstandspreis (Wareneinkaufspreis + Bezugskosten) jeder Warensorte?

1 Bei allen Übungsaufgaben wird aus Gründen der Übersichtlichkeit auf den Ausweis der Umsatzsteuer verzichtet.

58

3.2.2 Kalkulation der Selbstkosten

Die Einkaufs- und Bezugskalkulation erfasst sämtliche Kosten, die einem Kaufmann ent-standen sind, bis die Ware im Lager eintrifft. Von der Lagerung bis zum Verkauf entstehen dem Kaufmann jedoch noch weitere Kosten. Wir nennen sie Handlungskosten.

(1) Handlungskosten

Handlungskosten sind die Kosten, die aufgrund der Betriebstätigkeit anfallen. Hierzu rechnen beispielsweise:

■ Lagerkosten (Gehälter und Löhne des Lagerpersonals, Lagerzinsen, Reparaturen und Abschreibungen für die Lagergebäude, Kostenanteil für Licht und Heizung);

■ Verkaufskosten (Ausgangsfrachten, Verpackungskosten, Werbekosten, Gehälter und Löhne des Verkaufspersonals, Kosten für Beförderungsmittel einschließlich Reparaturen und Abschreibungen);

■ Allgemeine Verwaltungskosten (Rechts- und Beratungskosten, Steuern, Büro-kosten, Gehälter und Löhne für Angestellte und Arbeiter, Abschreibungen).

Handlungskosten sind somit – zusätzlich zu den Warenkosten – ein Werteverzehr für die produktive Leistung eines Handelsbetriebs (betriebliche Aufwendungen).

Wir merken uns:

Die Handlungskosten werden mit einem Prozentsatz auf den Einstandspreis (Bezugs-preis) aufgeschlagen.1 Der Einstandspreis ist dabei 100 %.

Einstandspreis + Handlungskosten = Selbstkosten

(2) Handlungskostenzuschlagssatz

Zur Ermittlung eines angemessenen Aufschlags für die Handlungskosten beziehen wir die gesamten Handlungskosten der vergangenen Geschäftgsperiode auf den Wareneinsatz1 dieser Periode. Der dabei ermittelte Prozentsatz der Handlungskosten stellt den Hand-lungskostenzuschlagssatz für die Erfassung der Handlungskosten bei der Kalkulation in der laufenden Geschäftsperiode dar.

1 Da wir für das laufende Geschäftsjahr die Handlungskosten und den Wareneinsatz zunächst noch nicht kennen (und damit den Handlungskostenzuschlagssatz auch nicht errechnen können), wird für die Kalkulation der Waren der Handlungskostenzuschlags-satz der vorangegangenen Geschäftsperiode herangezogen.

59

Beispiel:

Das Handelshaus Stark GmbH weist für das vergangene Geschäftsjahr folgende Kosten aus:

Wareneinsatz 1 125 000,00 EURHandlungskosten 213 750,00 EUR

Aufgabe:

Berechnen Sie den Handlungskostenzuschlagssatz!

Lösung:

1 125 000,00 EUR Wareneinsatz1 § 100 % 213 750,00 EUR Handlungskosten § x %

Handlungskostenzuschlagssatz = 213 750 · 100 _____________ 1 125 000

= 19 %

Unter dem Handlungskostenzuschlagssatz versteht man den prozentualen Anteil der Handlungs-kosten am Wareneinsatz.

Handlungskostenzuschlagssatz = Handlungskosten · 100

______________________

Wareneinsatz

Aus Gründen der Übersichtlichkeit wiederholen wir an dieser Stelle nochmals die bisher bekannte Warenkalkulation und ergänzen diese jetzt um die Handlungskosten.

Beispiel:

Das Handelshaus Stark GmbH bestellt bei einem Hersteller ein Fitnessgerät zu folgenden Bedingungen: Listeneinkaufspreis 2 100,00 EUR zuzüglich 19 % Umsatzsteuer, 331/3 % Wieder-verkäuferrabatt, 2 % Skonto, Kosten für Verpackung, Fracht, Anfuhr und Transportversicherung pauschal 140,00 EUR zuzüglich 19 % Umsatzsteuer. Das Handelshaus rechnet mit einem Hand-lungskostenzuschlagssatz von 19 %.

Aufgabe:

Wie viel EUR betragen die Selbstkosten?

Lösung:

1001/3 %331/3 %

Listeneinkaufspreis netto 2 100,00 EUR– Liefererrabatt (vom Hundert) 700,00 EUR

100 % 2 %

Zieleinkaufspreis 1 400,00 EUR– Liefererskonto (vom Hundert) 28,00 EUR

Bareinkaufspreis 1 372,00 EUR+ Bezugskosten 140,00 EUR

100 % 19 %

Einstandspreis (Bezugskosten) 1 512,00 EUR+ Handlungskosten (vom Hundert) 287,28 EUR

Selbstkosten 1 799,28 EUR

Die Selbstkosten decken alle Kosten ab, die mit dem Ein- und Verkauf des Fitness-gerätes zusammenhängen. In der Regel stellen die Selbstkosten die unterste Grenze des Verkaufspreises einer Ware im Konkurrenzkampf dar, denn nur bei diesem Preis lässt sich ein Verlust vermeiden.

1 Unter Wareneinsatz verstehen wir den Einstandspreis (Bezugspreis) der Ware (vgl. Seite 51).

60

Übungsaufgaben

27 1. Die Kostenrechnung eines Großhandelsgeschäftes weist für die vergangene Geschäfts-periode folgende Zahlen aus:

Wareneinsatz 250 000,00 EURSumme der Handlungskosten 75 000,00 EUR

1.1 Berechnen Sie den Handlungskostenzuschlagssatz!

1.2 Dem Großhändler wird eine Bohrmaschine zum Listeneinkaufspreis von 250,00 EUR angeboten. Bei einer Abnahme von 10 Stück erhält er einen Mengenrabatt von 15 % und bei Zahlung innerhalb von 14 Tagen 2 % Skonto. Die Bezugskosten betragen 137,50 EUR für 10 Stück.

Ermitteln Sie mit dem unter 1.1 berechneten Handlungskostenzuschlagssatz die Selbstkosten pro Stück!

2. Die Kostenrechnung eines Sportgeschäfts weist folgende Zahlen aus:

Wareneinsatz (Einstandspreis) 320 600,00 EURSumme der Handlungskosten 86 562,00 EUR

2.1 Berechnen Sie den Handlungskostenzuschlagssatz!

2.2 Das Sportgeschäft bezieht 80 Tennisanzüge zum Listeneinkaufspreis von 125,00 EUR je Stück. Einkaufsbedingungen: 12 % Rabatt, bei Zahlung innerhalb 20 Tagen 3 % Skonto. Die Frachtkosten für die Sendung betragen insgesamt 48,00 EUR.

Berechnen Sie die Selbstkosten für einen Tennisanzug, indem Sie den in 2.1 errechne-ten Handlungskostenzuschlagssatz heranziehen!

3. Der Einstandspreis (Bezugspreis) eines Artikels beträgt 35,20 EUR, die Handlungskosten 15,84 EUR.

Wie viel Prozent beträgt der Handlungskostenzuschlagssatz?

28 1. Kalkuliere die Selbstkosten für ein Notebook aufgrund des folgenden Angebots: Listen-einkaufspreis je Notebook 574,37 EUR, 15 % Rabatt, 3 % Skonto, Frachtkosten 77,70 EUR. Der Handlungskostenzuschlagssatz beträgt 42 %.

Wie viel EUR betragen die Selbstkosten des Notebooks?

2. Das Handelshaus Lauf GmbH bezieht 15 Rollen Teppichboden zu 465,00 EUR je Rolle ab Werk. Die Teppichweberei gewährt 20 % Liefererrabatt und 21/2 % Liefererskonto. An Bezugskosten fallen an: Verpackungs- und Verladekosten 12,00 EUR, Transportkosten 6,00 EUR und Ausladekosten 5,20 EUR je Rolle. Das Handelshaus Lauf rechnet mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 52 %.

Wie viel EUR betragen die Selbstkosten je Rolle?

3. Der Einstandspreis (Bezugspreis) eines Artikels beträgt 198,00 EUR. Die Selbstkosten betra-gen 308,09 EUR.


4. Aus der Kostenrechnung eines Importeurs entnehmen wir folgende Zahlen: Wareneinsatz 410 500,00 EUR, Personalkosten 68 420,00 EUR, Raumkosten 35 200,00 EUR, Werbekosten 8 520,00 EUR, Abschreibungen 12 700,00 EUR, Kfz-Kosten 9 400,00 EUR und Kosten für die Warenabgabe 9 435,00 EUR.

Berechnen Sie den Handlungskostenzuschlagssatz!

61

5. Die Kalkulation eines Artikels weist folgende Werte auf:

Listeneinkaufspreis 19,10 EUR Bezugspreis 16,25 EURZieleinkaufspreis 15,28 EUR Selbstkosten 22,43 EURBareinkaufspreis 14,82 EUR


3.2.3 Verkaufskalkulation

3.2.3.1 Berechnung des Barverkaufspreises

Der Unternehmer kann sich nicht mit dem Erlös der Selbstkosten zufrieden geben, viel-mehr ist er tätig, um einen Gewinn zu erzielen. Durch den Gewinn möchte der Unterneh-mer drei Leistungen erstattet haben:

■ die Kapitalverzinsung für das von ihm investierte Kapital (Eigenkapital); ■ die Risikoprämie als Vergütung für die Gefahr, dass das Unternehmen Verluste erleidet und dadurch das Kapital aufgezehrt wird;

■ den Unternehmerlohn für seine Mitarbeit im Geschäft.

Einen absoluten EUR-Betrag für eine angemessene Gewinnhöhe kann man nicht fest-legen, da die Einkaufspreise der verschiedenen Artikel unterschiedlich hoch sind. Man kann den Gewinnaufschlag nur als relative Größe, d. h. als prozentualen Aufschlag auf die Selbstkosten bestimmen. Hierbei kann der Unternehmer nicht nach Belieben entscheiden. Der Wettbewerb auf dem freien Markt führt häufig zu einem Druck auf die Preise und setzt so dem Gewinnstreben des Unternehmers Grenzen.

Wir merken uns:

Der Gewinn wird über einen prozentualen Aufschlag (Gewinnsatz) auf die Selbst-kosten einkalkuliert (Gewinnsatz). Die Selbstkosten sind dabei 100 %.

Gewinn = Selbstkosten · Gewinnsatz _________________________ 100

Selbstkosten + Gewinn = Barverkaufspreis

Beispiel:

Wir führen die Kalkulation des Fitnessgerätes fort. Die Selbstkosten betragen 1 799,28 EUR. Das Handelshaus Stark GmbH rechnet mit 20 % Gewinn.

Aufgabe:

Wie viel EUR beträgt der Barverkaufspreis?

Lösung:

100 % 20 %

Selbstkosten 1 799,28 EUR+ Gewinn 359,86 EUR

Barverkaufspreis 2 159,14 EUR

62

Übungsaufgabe

29 1. Der Bezugspreis einerWare beträgt 36,40 EUR. Wir kalkulieren mit einem Handlungskosten-zuschlagssatz von 55 % und mit 8,5 % Gewinn.


2. Wareneinsatz 480 000,00 EUR Umsatzerlöse zuHandlungskosten 125 500,00 EUR Barverkaufspreisen 678 160,00 EUR Gewinn 72 660,00 EUR

Wie viel Prozent beträgt der Gewinn?

3. Wir kalkulieren einen Artikel aus unserem Sortiment mit einem Handlungskostenzuschlags-satz von 35 % und mit 12 % Gewinn. Der Einstandspreis des Artikels beträgt 159,60 EUR.


4. Der Gewinn an einer Ware beträgt 59,50 EUR, das sind 8,5 % des Selbstkostenpreises.


5. Für die Berechnung des Barverkaufspreises einer Ware liefert uns die Kalkulation die folgenden Daten: Einstandspreis 12,15 EUR, Selbstkosten 16,20 EUR, Barverkaufspreis 18,80 EUR.


6. Aus der Kostenrechnung entnehmen wir folgende Zahlenwerte:

Wareneinsatz 560 000,00 EURUmsatzerlöse zu Barverkaufspreisen 870 400,00 EURHandlungskostenzuschlagssatz 30 %

Wie viel EUR betragen die Selbstkosten?

7. Aufgrund einer Anfrage erhalten wir von unserem Lieferer folgendes Angebot für Tischlam-pen, die in ähnlicher Ausführung bei unserer Konkurrenz als Verkaufsschlager gelten und dort zum Barverkaufspreis von 249,90 EUR verkauft werden.

Listeneinkaufspreis Modell „Star” 133,00 EUR ohne USt. Lieferungs- und Zahlungsbedin-gungen: Lieferung ab Fabrik, zahlbar ohne jeden Abzug sofort nach Erhalt der Ware. An Frachtkosten fallen an 6,00 EUR; an Verpackungskosten für einen Spezialbehälter 15,00 EUR, wobei uns bei Rücksendung des Behälters 2/3 dieses Betrages wieder gutgeschrieben werden.

Kalkulieren Sie, ob wir diese Lampe in unser Sortiment aufnehmen können, wenn wir mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 45 % und 162/3 % Gewinn rechnen!

8. Die Kaffeerösterei Heinrich Albert KG bietet uns zum Listeneinkaufspreis von 15,50 EUR je kg brasilianischen Hochlandkaffee an. Die Zahlungsbedingungen lauten: Zahlbar innerhalb 30 Tagen netto oder binnen 10 Tagen mit 3% Skonto. Wenn 500 Pakete zu je 1/2 kg Kaffee abgenommen werden, betragen die Frachtkosten 630,00 EUR.

Die Kaffeegroßrösterei Konrad Berger AG bietet uns die gleiche Qualität Kaffee an. 500 Pa-kete Kaffee zu je 1/2 kg sollen frei Haus 4 750,00 EUR kosten. Wir erhalten einen Sonder rabatt von 6 % und bei Zahlung innerhalb einer Woche 2 % Skonto. Das Zahlungsziel beträgt vier Wochen.

8.1 In beiden Fällen wird nach sechs Tagen bezahlt.

Welches Angebot ist günstiger? Wie hoch ist die Differenz in EUR?

8.2 Zu welchem Barverkaufspreis können wir eine 500-Gramm-Dose anbieten, wenn bei dem günstigeren Angebot ein Handlungskostenzuschlagssatz von 121/2 % und 81/3 % Gewinnaufschlag einkalkuliert werden?

63

3.2.3.2 Berechnung des Listenverkaufspreises (Nettoverkaufspreis)unter Berücksichtigung von Kundenskonto, Kundenrabatt,Vertreterprovision und Umsatzsteuer

Wird dem Kunden Rabatt und Skonto gewährt und ist noch ein Vertreter zu bezahlen, hat der Kaufmann diese Kosten zuvor in den Preis einzurechnen, ansonsten gehen die Preis-nachlässe bzw. die Kosten für den Vertreter zulasten seines Gewinns.

Für die Einrechnung der Preisnachlässe an den Kunden müssen wir uns in die Lage des Kunden versetzen. Der Kunde erhält zunächst den Rabatt eingeräumt und kann dann erst (sofern er innerhalb der Skontofrist bezahlt) von dem gekürzten Betrag den angebotenen Skonto abziehen. Weil der Kunde die Nachlässe in dieser Reihenfolge abzieht, muss der Kaufmann sie in umgekehrter Reihenfolge aufschlagen.

■ Skonto und Rabatt sind in der gleichen Höhe einzurechnen, in der sie der Kunde ab-zieht. Da der Kunde den Listenverkaufspreis (Nettoverkaufspreis) bzw. den Zielverkaufs-preis zum Ausgangspunkt seiner Rechnung nimmt, sind diese Größen jeweils 100 %, d. h., der Kaufmann hat daher Rabatt und Skonto im Hundert einzurechnen.

■ Die Vertreterprovision wird in aller Regel vom Zielverkaufspreis gewährt. Da der Kun-denskonto ebenfalls vom Zielverkaufspreis gerechnet wird, können beide Prozentsätze zusammengefasst werden.

■ Die Umsatzsteuer ist bei der Berechnung des Verkaufspreises kein Kostenfaktor, sondern lediglich ein durchlaufender Posten. Sie wird daher dem Kunden getrennt in Rechnung gestellt (Bezugsgrundlage ist der Nettoverkaufspreis). Die Umsatzsteuer wird deshalb bei den nachfolgenden Beispielen nicht ausgewiesen.

Beispiel:

Wir führen die Kalkulation des Fitnessgerätes fort. Der Barverkaufspreis beträgt 2 159,14 EUR. Das Handelshaus Stark GmbH hat dem Kunden bei der Bestellung 20 % Rabatt und 2 % Skonto zugesagt. Die Vertreterprovision beträgt 5 % vom Zielverkaufspreis.

Aufgabe: Berechnen Sie den Listenverkaufspreis (Nettoverkaufspreis) des Fitnessgerätes!

Lösung:

93 % 2 % 5 %

Barverkaufspreis 2 159,14 EUR+ Kundenskonto (im Hundert) 46,43 EUR+ Vertreterprovision (im Hundert) 116,08 EUR

80 % 20 %

100 % Zielverkaufspreis 2 321,65 EUR+ Kundenrabatt (im Hundert) 580,41 EUR

100 % Listenverkaufspreis (Nettoverkaufspreis) 2 902,06 EUR

Rechenvorgang:

Für die Berechnung von Kundenskonto und Für die Berechnung des Kundenrabatts:Vertreterprovision:

a) Barverkaufspreis 93 % § 2 159,14 EUR Zielverkaufspreis 80 % § 2 321,65 EUR Kundenskonto 2 % § x EUR Kundenrabatt 20 % § x EUR

x = 2 159,14 · 2

___________ 93

= 46,43 EUR x = 2 321,65 · 20

____________ 80

= 580,41 EUR

b) Barverkaufspreis 93 % § 2 159,14 EUR Vertreterprovision 5% § x EUR

x = 2 159,14 · 5

___________ 93

= 116,08 EUR

64

Übungsaufgabe

30 1. Die Farbenhandlung Grün & Gelb GmbH hat einen hohen Vorrat an Autolacken am Lager. Für die 2-kg-Dose wurden dabei Selbstkosten von 8,40 EUR errechnet. In einer Sonder-aktion möchte die Farbenhandlung den Bestand abbauen. Für eine Werbeaktion rechnet die Großhandlung mit folgenden Kalkulationsdaten: 8 % Gewinn, 10 % Aktionsrabatt, 2 % Skonto und 6 % Vertreterprovision.

Zu welchem Listenverkaufspreis kann die 2-kg-Dose bei der Sonderaktion verkauft wer-den?

2. Ein Getränkegroßmarkt verkauft Getränke auch in Kästen zu je 10 Flaschen und möchte hierauf den Kunden jeweils einen Sonderrabatt einräumen. Die bisherige Kalkulation für einen Kasten Zitronenlimonade ergab einen Barverkaufspreis von 4,20 EUR je Kasten.

Zu welchem Listenverkaufspreis kann ein Kasten angeboten werden, wenn der Getränke-großmarkt noch 5 % Sonderrabatt und 3 % Kundenskonto einrechnet?

3. Wir entschließen uns, den Kunden in Zukunft 20 % Rabatt und 3 % Skonto einzuräumen. Die Vertreterprovision beträgt 6,5 % vom Zielverkaufspreis.

Berechnen Sie den Nettoverkaufspreis für einen Tisch! Bisheriger Barverkaufspreis: 460,00 EUR.

4. Die Kalkulation eines Artikels ergibt folgende Werte:

Einkaufspreis 38,20 EUR Bezugspreis 32,50 EURZieleinkaufspreis 30,56 EUR Selbstkosten 44,85 EURBareinkaufspreis 29,64 EUR


5. Die Kalkulation liefert uns für einen Artikel folgende Daten:

Bezugspreis 85,90 EUR Zielverkaufspreis 135,00 EURSelbstkosten 115,40 EUR Listenverkaufspreis 153,90 EURBarverkaufspreis 130,95 EUR

Wie viel Prozent beträgt der Kundenskonto?

6. Die Kalkulation ergibt einen Barverkaufspreis von 564,20 EUR. Den Kunden räumen wir 3 % Skonto ein.

Wie viel EUR beträgt der Zielverkaufspreis?

7. Die Kalkulation liefert uns für eine Ware folgende Daten:

Einstandspreis 150,40 EUR Zielverkaufspreis 224,00 EURSelbstkosten 175,70 EUR Listenverkaufspreis 239,68 EURBarverkaufspreis 190,40 EUR

Wie viel EUR gewähren wir unseren Kunden an Rabatt?

8. Ein Baumarkt erstellt ein Angebot für Bauhandwerker. Hierbei soll auf eine Schleifmaschine ein Sonderrabatt von 8 % und ein Skonto von 2 % gewährt werden. Der errechnete Bar-verkaufspreis beträgt für die Maschine 284,00 EUR.

Berechnen Sie den Angebotspreis für die Schleifmaschine!

9. Das Elektrohaus Hell & Dunkel GmbH muss seinen Kunden aus Wettbewerbsgründen bei Haushaltsmaschinen Rabatt und Skonto einräumen.

Wie viel EUR beträgt der Nettoverkaufspreis, wenn in den Barverkaufspreis von 580,00 EUR 12 % Rabatt und 2 % Skonto einzurechnen sind?

65

3.2.4 Zusammenhängende Darstellung des Kalkulationsschemas

Aus Gründen der Übersicht haben wir das Kalkulationsschema in einzelne Teilschritte zer-legt. Im Folgenden wird nun die Gesamtkalkulation des Fitnessgerätes im Überblick dar-gestellt.

Beispiel:

Das Handelshaus Stark GmbH bestellt bei einem Hersteller ein Fitnessgerät zu folgenden Bedingungen: Listeneinkaufspreis 2 100,00 EUR zuzüglich 19 % Umsatzsteuer, 331/3 % Wieder-verkäuferrabatt, 2 % Skonto, Kosten für Verpackung, Fracht, Anfuhr und Transportversicherung pauschal 140,00 EUR zuzüglich 19 % Umsatzsteuer. Handlungskostenzuschlagssatz 19 %, Ge-winnzuschlagssatz 20 %. Dem Kunden werden 20 % Rabatt und 2 % Skonto gewährt. Die Vertre-terprovision beträgt 5 % vom Zielverkaufspreis.

Aufgabe:

Wie viel EUR beträgt der Listenverkaufspreis (Nettoverkaufspreis)?

Lösung:

100 % 331/3 %

Listeneinkaufspreis netto 2 100,00 EUR– Liefererrabatt (vom Hundert) 700,00 EUR

100 % 2 %

Zieleinkaufspreis 1 400,00 EUR– Liefererskonto (vom Hundert) 28,00 EUR

Bareinkaufspreis 1 372,00 EUR+ Bezugskosten 140,00 EUR

100 % 19 %

Einstandspreis (Bezugspreis) 1 512,00 EUR+ Handlungskosten (vom Hundert) 287,28 EUR

100 % 20 %

Selbstkosten 1 799,28 EUR+ Gewinn (vom Hundert) 359,86 EUR

93 % 2 % 5 %

Barverkaufspreis 2 159,14 EUR+ Kundenskonto (im Hundert) 46,43 EUR+ Vertreterprovision (im Hundert) 116,08 EUR

80 % 20 %

Zielverkaufspreis 2 321,65 EUR+ Kundenrabatt (im Hundert) 580,41 EUR

Listenverkaufspreis (Nettoverkaufspreis) 2 902,06 EUR

Übungsaufgabe

31 1. Ein Handelshaus bezieht 500 Damenjacken zu je 180,00 EUR. Der Lieferer gewährt 10 % Rabatt und 2 % Skonto. Es fallen für die gesamte Sendung 480,00 EUR Frachtkosten an. Das Großhandelshaus rechnet mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 25 % und will 111/2 % Gewinn erzielen. Dem Einzelhändler werden 15 % Rabatt und 3 % Skonto gewährt.

Berechnen Sie den Listenverkaufspreis für eine Jacke!

66

2. Ein Lebensmittelgroßhändler bezieht 165 Gläser Erdbeerkonfitüre zum Listeneinkaufspreis von 1,32 EUR je Glas. Der Lieferer gewährt 15 % Rabatt und 3 % Skonto. An Bezugskosten fallen an: 3 % Bruchversicherung (vom Einkaufspreis), für Fracht und Rollgeld 22,70 EUR. Der Lebensmittelgroßhändler rechnet mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 35 % und will 15 % Gewinn erzielen. Dem Käufer werden 10 % Rabatt und 2 % Skonto angebo-ten. Die Vertreterprovision beläuft sich auf 8 % vom Zielverkaufspreis.

Berechnen Sie den Listenverkaufspreis für ein Glas!

3. Ein Elektrogeschäft bezieht 10 Kühlschränke zu 398,00 EUR je Stück. Der Hersteller gewährt einen Mengenrabatt von 15 % und bei Zahlung innerhalb von 10 Tagen 2 % Skonto. Die Lieferung erfolgt frachtfrei.

Berechnen Sie den Nettoverkaufspreis für einen Kühlschrank, wenn das Elektrogeschäft mit folgenden Kalkulationsvorgaben rechnet: 18 % Handlungskostenzuschlagssatz, 20 % Ge-winn, 5 % Kundenrabatt, 2 % Kundenskonto und 5 % Vertreterprovision!

4. Eine Farbenhandlung erhält ein Angebot einer Lackfabrik über 35 Kanister Farbe, Inhalt 20 kg. Auf den Stückpreis von 86,50 EUR erhält die Farbenhandlung 22 % Rabatt und 3 % Skonto. An Frachtkosten werden 4,50 EUR je Kanister berechnet, die bei frachtfreier Rücksendung zu einem Drittel gutgeschrieben werden. Die Farbenhandlung rechnet mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 35 % und einem Gewinnzuschlag von 15 %. Die Handwerker als Abnehmer der Farbe erhalten einen Handwerkerrabatt von 10 % und 2 % Skonto.

Zu welchem Listenverkaufspreis kann ein Kanister Farbe angeboten werden?

5. Wir beziehen von der Möbelfabrik Fritz Holz GmbH 40 Beistelltische zu einem Listenein-kaufspreis von 74,80 EUR je Stück. Die Möbelfabrik gewährt einen Rabatt von 121/2 % und bei Barzahlung innerhalb von 10 Tagen 2 % Skonto. Insgesamt fallen an Bezugskosten 232,00 EUR an. Wir rechnen mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 28,5 % und einem Gewinnzuschlagssatz von 8 %. Die Beistelltische werden im Rahmen einer Sonder-aktion abgesetzt, wobei den Kunden 10 % Sonderrabatt sowie 2 % Skonto gewährt werden sollen. Die Vertreterprovision beträgt 6 % vom Zielverkaufspreis.

Zu welchem Listenverkaufspreis wird ein Beistelltisch ausgezeichnet?

6. Einem Elektrohändler wird ein Staubsauger zu 273,50 EUR angeboten. Der Lieferer gewährt 20 % Rabatt und 3 % Skonto. Die Bezugskosten betragen 5,00 EUR.

Kann der Händler das Angebot annehmen, wenn er den Staubsauger zu 368,00 EUR ver-kaufen will? Er kalkuliert mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 162/3 %, 12 % Ge-winnzuschlag, 15 % Kundenrabatt und 2 % Kundenskonto.

3.3 Kalkulatorische Rückrechnung (retrograde Kalkulation)

Liegt der Listenverkaufspreis aufgrund der gegebenen Markt- bzw. Konkurrenzsituation fest, so eignet sich das Kalkulationsschema in umgekehrter Richtung von unten nach oben zur Errechnung des aufwendbaren Einkaufspreises (retrograde Kalkulation; Rückwärts-kalkulation). Dabei wird der Listeneinkaufspreis errechnet, der höchstens gezahlt werden darf, um den angestrebten Gewinn zu erreichen.

67

Beispiel:

Aufgrund der Marktsituation muss die Eisenhandlung Fritz Zeh KG eine Schleifmaschine zum Listenverkaufspreis in Höhe von 290,00 EUR anbieten. Den Handwerkern muss branchenüblich 10 % Rabatt und 2 % Skonto gewährt werden. Die einzurechnende Vertreterprovision vom Ziel-verkaufspreis beläuft sich auf 8%. Vom Lieferer erhält die Fritz Zeh KG lt. Angebot 20 % Rabatt und 3 % Skonto. Die Fracht- und Verpackungskosten werden von ihm pauschal mit 18,00 EUR berechnet. Der Handlungskostenzuschlagssatz beläuft sich auf 32 %. Als Gewinn sollen 12 % eingerechnet werden.

Aufgabe:

Welcher Listeneinkaufspreis kann höchstens bezahlt werden?

Lösung:

100 % 20 %

Listeneinkaufspreis netto 181,56 EUR+ Liefererrabatt 36,31 EUR

80 % 100 % 3 %

Zieleinkaufspreis 145,25 EUR+ Liefererskonto 4,36 EUR

97 % Bareinkaufspreis 140,89 EUR– Bezugskosten 18,00 EUR

100% 32%

Einstandspreis (Bezugspreis) 158,89 EUR– Handlungskosten 50,84 EUR

132 % 100 % 12 %

Selbstkosten 209,73 EUR– Gewinn 25,17 EUR

90 % 2 % 8 %

112 % Barverkaufspreis 234,90 EUR– Kundenskonto 5,22 EUR– Vertreterprovision 20,88 EUR

100 % 90 % 10 %

Zielverkaufspreis 261,00 EUR– Kundenrabatt 29,00 EUR

100 % Listenverkaufspreis 290,00 EUR

Ergebnis: Die Eisenhandlung Fritz Zeh KG kann für die Schleifmaschine höchstens einen Listen-einkaufspreis von netto 181,56 EUR bezahlen.


1. Stellen Sie zuerst das Kalkulationsschema von oben nach unten auf und tragen Sie die in der Aufgabe vorgegebenen Prozentsätze ein!

2. Setzen Sie den gegebenen Listenverkaufspreis ein!

3. Überlegen Sie bei jedem Rechenschritt, ob es sich um eine Rechnung vom Hundert (Kundenrabatt, Vertreterprovision, Kundenskonto), auf Hundert (Gewinn, Handlungs-kosten) oder im Hundert (Liefererskonto, Liefererrabatt) handelt!

4. Überprüfen Sie das Ergebnis durch eine Vorwärtskalkulation!

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68

Übungsaufgabe

32 1. Wir können eine neue Waschmaschine, Marke „LAVOLUX”, aus Konkurrenzgründen höchs-tens für 976,75 EUR auf den Markt bringen. Unsere Kalkulationssätze sind: 12,5 % Hand-lungskostenzuschlagssatz, 162/3 % Gewinn, 2,5 % Kundenskonto und 14 % Kundenrabatt. An Bezugskosten würden uns 8,80 EUR entstehen, wovon 1/4 bei Rücksendung der Ver-packung wieder gutgeschrieben werden.

Welchen Listeneinkaufspreis können wir höchstens beim Einkauf zugrunde legen, wenn der Lieferer noch bereit wäre, uns 2 % Skonto und 10 % Einführungsrabatt einzuräumen?

2. Der Vertreter eines Modeherstellers bietet uns Damenmäntel zum Listeneinkaufspreis von 300,00 EUR an. Er sagt einen Liefererskonto von 3 % zu. Über den Rabatt des Lieferers müsse verhandelt werden.

Wie viel Rabatt in EUR und Prozent muss der Hersteller einräumen, wenn wir aus Konkur-renzgründen diesen Mantel mit 352,94 EUR anbieten wollen und wir mit folgenden Sätzen kalkulieren: Handlungskostenzuschlagssatz 16 %, Gewinnzuschlag 12,5 %, 2 % Kunden-skonto und 15 % Kundenrabatt?

3. Um den Marktanteil zu erhöhen, startet ein Medienunternehmen eine Werbeaktion und empfiehlt allen Händlern, den Nettoverkaufspreis pro Musikkassette auf 15,00 EUR fest-zusetzen.

Welchen Einkaufspreis kann ein Händler höchstens anlegen, wenn er vom Lieferer 331/3 % Händlerrabatt erhält. Er kalkuliert mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 8 % und einem Gewinnzuschlag von 5 %. Den Kunden gewährt der Händler 2 % Skonto und 12 % Rabatt.

4. Vom Werk wurde für den Fernseher „Supra” der empfohlene Listenverkaufspreis auf 1 482,00 EUR festgesetzt. Das Werk stellt den Fernseher zu diesem Preis in Rechnung und gewährt einen angemessenen Liefererrabatt.

Berechnen Sie den Rabatt in EUR und Prozent, wenn ein Händler mit 24,50 EUR Bezugs-kosten, 18 % Handlungskostenzuschlagssatz, 162/3 % Gewinn, einem Kundenskonto von 3 % und einem Kundenrabatt von 15 % kalkuliert!

3.4 Differenzkalkulation

Unverbindliche Preisempfehlungen, aber häufig auch die „Marktlage”, verhindern, dass der Kaufmann seinen Lis-tenverkaufspreis selbst bestimmen kann. Auch kann der Preis deshalb feststehen, weil z. B. der Hersteller diesen vorgibt. In diesem Fall muss es das Ziel der Kalkulation sein, festzustellen, ob der so erwirtschaftete Gewinn aus-reichend ist.

Wird die Höhe des anfallenden Gewinns errechnet, sprechen wir von Differenzkalkulation.1 Da sowohl der Listen einkaufspreis als auch der Listenverkaufs-preis festliegen, muss von beiden Werten aus mit dem Rechenweg begonnen werden, und zwar einmal als Vor-wärtskalkulation (vom Listeneinkaufspreis bis zu den Selbstkosten) und zum anderen als Rückwärtskalkula-tion (vom Listenverkaufspreis bis zum Barverkaufspreis).

1 Die Differenz zwischen Barverkaufspreis und Selbstkosten stellt den Gewinn/Verlust dar. Wir sprechen daher auch von Gewinn-kalkulation.

Gegebener Listeneinkaufspreis

Rechenweg

Selbstkosten

Barverkaufspreis

Rechenweg

Gegebener Listenverkaufspreis

DifferenzGewinn/Verlust

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Beispiel:

Das Elektrohaus Xaver Finke e. Kfm. prüft folgendes Angebot eines Markenartikelherstellers: Der Hersteller empfiehlt für eine Geschirrspülmaschine einen Listenverkaufspreis von 600,00 EUR. Seine Lieferungs- und Zahlungsbedingungen lauten: 40 % Wiederverkäuferrabatt, 2 % Skonto, Frachtanteil pauschal 30,00 EUR. Das Elektrohaus rechnet mit einem Handlungskostenzuschlags-satz von 9 % und hat aufgrund der Konkurrenzsituation dem Kunden 2 % Skonto und 10 % Rabatt einzuräumen. Die Vertreterprovision vom Zielverkaufspreis ist mit 6 % einzurechnen.

Aufgabe:

Wie hoch ist der Gewinn in EUR und Prozent, der dem Elektrohaus Xaver Finke e. Kfm. verbleibt?

Lösung:

100 % 40 %

Listeneinkaufspreis netto 600,00 EUR– Liefererrabatt 240,00 EUR

60 % 100 % 2 %

Zieleinkaufspreis 360,00 EUR– Liefererskonto 7,20 EUR

98 % Bareinkaufspreis 352,80 EUR+ Bezugskosten 30,00 EUR

100 % 9 %

Einstandspreis (Bezugspreis) 382,80 EUR+ 9 % Handlungskosten 34,45 EUR

109 % 100 % x %

Selbstkosten 417,25 EUR– Gewinn 79,55 EUR

92 % 2 % 6 %

Barverkaufspreis 496,80 EUR– Kundenskonto 10,80 EUR– Vertreterprovision 32,40 EUR

100 % 90 % 10 %

Zielverkaufspreis 540,00 EUR– Kundenrabatt 60,00 EUR

100 % Listenverkaufspreis 600,00 EUR

Ergebnis: Dem Elektrohaus Xaver Finke e. Kfm. bleibt ein Gewinn in Höhe von 79,55 EUR. Das ent-spricht einem Gewinnsatz von 19,07 %.


1. Stellen Sie zuerst das Kalkulationsschema von oben nach unten auf und tragen Sie die in der Aufgabe vorgegebenen Prozentsätze ein!

2. Setzen Sie den gegebenen Listenverkaufspreis bzw. Listeneinkaufspreis (netto) ein! (Beim empfohlenen Richtpreis entspricht der Listeneinkaufspreis dem Listenverkaufs-preis.)

3. Kennzeichnen Sie den Rechenweg durch Pfeile und errechnen Sie stufenweise durch Vorwärtskalkulation die Selbstkosten bzw. durch Rückwärtskalkulation den Barver-kaufspreis!

4. Ermitteln Sie den Gewinn als Differenz von Barverkaufspreis und den Selbstkosten!

5. Berechnen Sie anschließend den Gewinn in Prozent zu den Selbstkosten (Gewinn-zuschlagssatz)!

Vorwärts-kalkulation

Berechnung des Gewinn-zuschlagssatzes:

417,25 EUR § 100 % 79,55 EUR § x %

x = 79,55 · 100

___________ 417,25

= 19,07 %

Rückwärts-kalkulation

70

Übungsaufgabe

33 1. Ein Kaufhaus erhält von einem Hersteller ein Angebot über einen Schnellkochtopf. Der Her-steller empfiehlt einen Listenverkaufspreis von 110,00 EUR. Der Hersteller gewährt auf den Listenverkaufspreis einen Wiederverkäuferrabatt von 45 % und bei Barzahlung zusätzlich 2 % Skonto. Die Bezugskosten betragen 3,71 EUR je Topf. Das Kaufhaus rechnet mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 331/3 %. Den Kunden werden 3 % Skonto eingeräumt.

1.1 Mit welchem Gewinn in EUR und in Prozent kann das Kaufhaus rechnen, wenn es den Schnellkochtopf zum empfohlenen Listenverkaufspreis von 110,00 EUR anbietet?

1.2 Zu welchem Preis könnte das Kaufhaus den Schnellkochtopf als Sonderangebot anbie-ten, wenn er auf einen Gewinn verzichtet und keinen Preisnachlass gewährt?

2. Eine Küchenmaschine wird zum empfohlenen Richtpreis von 250,00 EUR angeboten. Der Lieferer setzte diesen Preis fest. Ein Kaufmann kalkuliert mit einem Handlungskosten-zuschlagssatz von 20 %, 5 % Sonderrabatt, 2 % Kundenskonto und 4 % Vertreterprovision vom Zielverkaufspreis.

2.1 Berechnen Sie den Gewinn in EUR und in Prozent, wenn der Lieferer auf den empfoh-lenen Richtpreis 331/3 % Rabatt und 2 % Skonto gewährt! Die Bezugskosten betragen 5,70 EUR.

2.2 Wie verändert sich der Gewinn, wenn der Lieferer seinen Rabatt auf 25 % verkürzt?

3. Ein Großhändler verkauft Röstkaffee als Sonderangebot zum Listenverkaufspreis von 7,49 EUR pro kg. Eine Kaffeerösterei bietet ihm 500 kg Kaffee zum Gesamtpreis von 3 125,00 EUR, abzüglich 12 % Sonderrabatt und 2 % Skonto, frei Haus an.

Berechnen Sie den Gewinn für 1 kg Kaffee in EUR und in Prozent, wenn der Großhändler auf das Angebot eingeht! Der Handlungskostenzuschlagssatz beträgt 25 %, der einzurech-nende Kundenskonto 3 %.

4. Wir erhalten auf einen Staubsauger zum Listeneinkaufspreis von 82,00 EUR einen Wie-derverkäuferrabatt von 25 %. Wir kalkulieren mit 3 % Bezugskosten, 15 % Handlungs-kostenzuschlagssatz, 2 % Kundenskonto, 12 % Kundenrabatt und 3 % Vertreterprovision vom Zielverkaufspreis.

Wie viel EUR bzw. Prozent verdienen wir, wenn der Staubsauger zum Listenverkaufspreis von 93,48 EUR verkauft wird?

3.5 Verschiedene Aufgaben zur Handelskalkulation

34 1. Ein Verkaufsmarkt möchte seinen Kunden anlässlich des 50-jährigen Firmenjubiläums ein Speiseservice in verschiedenen Formen und Dekoren zum Preis von 295,00 EUR anbieten.

Die Porzellanfabrik liefert frei Haus, gewährt dem Verkaufsmarkt einen Treuerabatt von 10 % und bei Zahlung innerhalb von 10 Tagen 2 % Skonto. Der Verkaufsmarkt kalkuliert mit einem Handlungskostenzuschlagssatz von 22 %, 10 % Gewinn, 3 % Jubiläumsrabatt, 15 % regulärem Rabatt und 2 % Kundenskonto.

1.1 Welchen Listeneinkaufspreis kann der Verkaufsmarkt höchstens bezahlen, wenn er den Skonto ausnutzt?

71

1.2 Sonderangebote von Mitbewerbern zwingen den Großhändler, den geplanten Listen-verkaufspreis von 295,00 EUR auf 279,50 EUR zu senken.

Welchen Gewinn in EUR und in Prozent erzielt er jetzt, wenn sich der Einkaufspreis und die übrigen Konditionen nicht verändern?

2. Eine Fahrradhandlung verkauft ein Markenfahrrad zum empfohlenen Richtpreis von 420,00 EUR. Der Hersteller bietet auf den empfohlenen Richtpreis 25 % Liefererrabatt und 3 % Skonto.

2.1 Wie viel Gewinn in EUR und in Prozent bleibt ihm, wenn er mit 15,20 EUR Bezugskos-ten, 18 % Handlungskostenzuschlagssatz und 5 % Kundenrabatt kalkuliert?

2.2 Wie viel Prozent muss der Liefererrabatt betragen, wenn die Fahrradhandlung einen Gewinn von 10 % erzielen möchte?

3. Ein Kaufhaus bezieht eine Ware zu 126,00 EUR netto. Es kalkuliert mit einem Handlungskos-tenzuschlagssatz von 331/3 % und mit einem Gewinn von 121/2 %. Bei einer Nachbestellung musste das Kaufhaus als Einstandspreis 135,00 EUR bezahlen. Den Barverkaufspreis ändert es aus Konkurrenzgründen nicht.

3.1 Wie viel Prozent beträgt jetzt der Gewinn?

3.2 Um wie viel Prozent hat sich der Gewinn vermindert?

4. Wir beziehen 6 Kisten Stangenspargel zu je 9 kg netto. Ein kg kostet im Einkauf 9,00 EUR. An Skonto wird 3 % gewährt. Die Bezugskosten betragen 16,00 EUR und der Handlungs-kostenzuschlagssatz beläuft sich auf 24%.

Wir wollen 1 kg zu 14,00 EUR anbieten. Durch Wasserverlust entsteht ein Schwund von 3 kg.

4.1 Berechnen Sie den Gewinn aus dieser Spargelsendung in EUR und in Prozent!

4.2 Wie viel EUR darf der Einkaufspreis je kg betragen, wenn wir den Spargel zu 11,50 EUR je kg verkaufen können und wir einen Gewinn von 10 % beanspruchen?

5. Wir kalkulieren einen Artikel aus unserem Sortiment mit einem Handlungskostenzuschlags-satz von 331/3 % und mit 8,5 % Gewinn. Der Artikel wird mit einem Barverkaufspreis von 303,80 EUR ausgezeichnet.

Wie viel EUR beträgt der Einstandspreis?

6. Der Gewinn an einer Ware beträgt 119,00 EUR, das sind 17 % des Selbstkostenpreises.


7. Für die Berechnung des Barverkaufspreises einer Ware liefert uns die Kalkulation die fol-genden Daten:

Einstandspreis 48,60 EURSelbstkosten 64,80 EURBarverkaufspreis 75,20 EUR


8. Ein Großhändler entnimmt seiner Kostenrechnung folgende Zahlen:

Wareneinsatz 295 000,00 EURSelbstkosten 380 000,00 EURWarenumsatz zu Barverkaufspreisen 419 900,00 EUR

Wie viel Prozent beträgt der Gewinn?

72

4 Industriekalkulation

4.1 Grundlagen1

Sollen die Kosten für ein Produkt (Produktgruppe) ermittelt werden, spricht man von Kalkulation. Die Zuschlagskalkulation,1 und nur auf sie wird im Folgenden eingegangen, kommt dann zur Anwendung, wenn unterschiedliche Produkte hergestellt werden. In die-sem Fall ist eine individuelle Kostenermittlung für jede Produktart erforderlich. Das setzt eine kostenträgerbezogene Erfassung der Einzelkosten und eine kostenstellenbezogene Erfassung der Gemeinkosten voraus.

Alle Kostenarten, die den Erzeugnissen bzw. Waren direkt zugerechnet werden kön-nen, bezeichnet man als Einzelkosten (direkte Kosten).

Beispiele:

Aufwendungen für Rohstoffe, Fertigungslöhne, Verpackungs-, Transport-, Versicherungskosten und Zölle soweit sie einzelnen Kostenträgern unmittelbar zugeordnet werden können.

Daneben sind zu unterscheiden:

■ Sondereinzelkosten der Fertigung: Das sind Kosten für Sonderfertigungen oder zusätzli-che Sonderwünsche der Besteller. Ferner zählen hierzu sonstige auftrags- oder serienweise erfassbare Kosten z. B. für Spezialwerkzeuge, Modelle, Stücklizenzgebühren usw.

■ Sondereinzelkosten des Vertriebs: Das sind insbesondere Vertreterprovisionen, Spezialver-packungen, besondere Transportkosten.

Kosten, die für alle Kostenträger gemeinsam angefallen sind und daher auch nicht unmittelbar einem einzelnen Kostenträger zugerechnet werden können, bezeichnet man als Gemeinkosten (indirekte Kosten).

Typische Beispiele dafür sind: Gehälter, soziale Abgaben des Arbeitgebers, Mieten, betriebliche Steuern, Energiekosten, Werbe- und Reisekosten, Abschreibungen, Verbrauch von Betriebsstof-fen, Verbrauchswerkzeuge, Instandhaltung.

Der Verfahrensablauf der Zuschlagskalkulation ist Folgender:

■ Die Einzelkosten werden direkt den Kostenträgern zugerechnet. Das betrifft im Wesentlichen das Fertigungsmaterial und die Fertigungslöhne.

■ Die erfassten Gemeinkosten werden den Kostenträgern indirekt über Verrechnungs-sätze oder Zuschlagssätze zugeordnet. Indem die in jeder Kostenstelle ermittelten Gemeinkosten in Prozenten zu einer passenden Bezugsgröße (Verbrauch von Ferti-gungsmaterial, Fertigungslöhne, Herstellkosten) ausgedrückt werden, erhält man die für die Kalkulation eines bestimmten Produktes benötigten Zuschlagssätze für die Erfassung der Gemeinkosten.

1 Auf die Zuschlagskalkulation mit Maschinenstundensätzen wird im Folgenden nicht eingegangen.

73

4.2 Anwendung der Zuschlagskalkulation als Angebotskalkulation (Vorkalkulation)

Je nach Bedarf wird die Angebotskalkulation als Vorwärtskalkulation, als Rückwärtskalku-lation oder als Differenzkalkulation eingesetzt.

4.2.1 Vorwärtskalkulation

Um einen Verkauf tätigen zu können, ist es in der Praxis oft notwendig, ein Angebot mit einem verbindlichen Angebotspreis abzugeben. Das Unternehmen ist dann gezwungen, vor Beginn der Produktion den Preis zu kalkulieren.

Es liegt im Wesen der Vorkalkulation, dass mit voraussichtlichen Kosten gerechnet werden muss. Ausgehend von den Istkosten der Vergangenheit müssen daher alle bis zum Leis-tungsabschluss zu erwartenden Veränderungen einschließlich eines Risikozuschlags für nicht vorhersehbare Veränderungen einkalkuliert werden.

■ Zu den Einzelkosten

■ Bei einer Vorkalkulation kann der Verbrauch von Fertigungsmaterial aufgrund von Stücklisten ermittelt werden. Die benötigten Preise ergeben sich aus vorliegenden Prei-sen der Vergangenheit bzw. derzeitigen Angebotspreisen, wobei die zu erwartenden Preisänderungen zu berücksichtigen sind.

■ Die Lohnkosten ergeben sich aufgrund der Fertigungszeiten, bei denen auf Erfahrun-gen der Vergangenheit bzw. auf vorhandene Zeitvorgaben zurückgegriffen werden kann. Zu erwartende Lohnänderungen sind auch hier zu berücksichtigen.

■ Zu den Gemeinkosten

Die Gemeinkosten werden über Zuschlagssätze einkalkuliert. Diese werden bekanntlich innerhalb des Betriebsabrechnungsbogens ermittelt. Da man bei einer Vorkalkulation nicht bis zum Abschluss der laufenden Geschäftsperiode warten kann, wird auf Zuschlags-sätze vergangener Rechnungsperioden zurückgegriffen und daraus ein Durchschnittswert gebildet. Im Gegensatz zu den nach Ablauf der Geschäftsperiode ermittelten tatsächlichen Zuschlagssätzen (Istzuschlagssätzen)1 spricht man bei der Vorkalkulation von Normal-zuschlagssätzen.2

Beispiel:

Eine Maschinenfabrik errechnet zur Abgabe eines Angebots für eine Abfüllmaschine den Netto-verkaufspreis. Es wird mit folgenden Kosten kalkuliert:

Fertigungsmaterialverbrauch 17 200,00 EUR SEKF 1 400,00 EURFertigungslöhne 21 400,00 EUR SEKV 890,00 EUR

Normalzuschlagssätze lt. BAB: MGK: 9 %; FGK: 110 %; VerwGK: 18 %; VertrGK: 6 %.

Aufgabe:

Ermitteln Sie die Selbstkosten!

1 Istkosten sind die tatsächlich angefallenen Kosten einer Rechnungsperiode. Istkosten beziehen sich auf die gesamten Kosten einer abgelaufenen Rechnungsperiode.

2 Normalkosten sind durchschnittliche Kosten, die aus Vergangenheitswerten (Istkosten) gebildet werden. Sie betreffen nur den Bereich der Gemeinkosten einer laufenden Rechnungsperiode.

74

Lösung:

100 % 9 %

Materialeinzelkosten 17 200,00 EUR + Materialgemeinkosten 1 548,00 EUR

100 %110 %

Materialkosten 18 748,00 EUR Fertigungslöhne 21 400,00 EUR + Fertigungsgemeinkosten 23 540,00 EUR

Zwischensumme 44 940,00 EUR+ Sondereinzelkost. d. Fertigung (SEKF) 1 400,00 EUR

Fertigungskosten 46 340,00 EUR

100 % 18 % 6 %

Herstellkosten 65 088,00 EUR+ Verwaltungsgemeinkosten 11 715,84 EUR+ Vertriebsgemeinkosten 3 905,28 EUR 15 621,12 EUR

Zwischensumme 80 709,12 EUR+ Sondereinzelkosten des Vertriebs (SEKV) 890,00 EUR

Selbstkosten 81 599,12 EUR

Bis zur Kalkulation der Selbstkosten ist uns das Kalkulationsschema noch nicht bekannt. Bei einer Angebotskalkulation erwartet der Kunde jedoch die Angabe des Preises, den er zu zahlen hat. Das bedingt, dass noch der Gewinn, eine evtl. angefallene Vertreterprovi-sion und die vom Kunden erwarteten Preisnachlässe (Kundenskonto und Kundenrabatt) einkalkuliert werden müssen. Dieser Teil des Kalkulationsschemas entspricht dem der Handelskalkulation (siehe Seite 61 und Seite 63).

Beispiel:

Erweiterung des Beispiels von Seite 73.

Bei der Angebotskalkulation der Maschine sollen 15 % Gewinn, 7 % Vertreterprovision (vom Ziel-verkaufspreis), 10 % Einführungsrabatt und 2 % Skonto einkalkuliert werden.

Aufgabe:

Berechnen Sie den Listenverkaufspreis (Nettoverkaufspreis)!

Lösung:

100 % 15 %

Selbstkosten 81 599,12 EUR+ Gewinn 12 239,87 EUR

91 % 2 % 7 %

Barverkaufspreis 93 838,99 EUR+ Kundenskonto 2 062,40 EUR+ Vertreterprovision 7 218,38 EUR 9 280,78 EUR

90 % 10 %

100 % Zielverkaufspreis 103 119,77 EUR+ Kundenrabatt 11 457,75 EUR


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kalk

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Vorw

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75

Erläuterungen zum erweiterten Kalkulationsschema:

■ Gewinnaufschlag

Nach der Berechnung der Selbstkosten geht es bei der Angebotskalkulation um den Gewinnaufschlag, der in Prozenten zu den Selbstkosten erfolgt. Da in den Zuschlagssätzen für die Fertigungsgemeinkosten die Eigenkapitalverzinsung, der Unternehmerlohn und die speziellen Risiken des Unternehmers bereits einkalkuliert sind, muss über den Gewinn das allgemeine Unternehmerrisiko abgedeckt werden. Eine allgemeine Regel für die Festset-zung der Höhe des Gewinns kann man nicht geben. Sofern es sich um Produkte handelt, für die Marktpreise vorliegen, sind dem Unternehmer durch die Konkurrenzsituation enge Grenzen gesetzt. Bei nicht marktgängigen Produkten muss sich der Unternehmer mit Fin-gerspitzengefühl an das herantasten, was der Markt hergibt.

■ Kundenskonto und Vertreterprovision

Die Kunden erwarten im Allgemeinen bei Zahlung innerhalb der Skontofrist einen Preis-nachlass. Soll dieser Preisnachlass nicht zulasten des Gewinnes gehen, muss er im Ange-botspreis vorher einkalkuliert werden.

Da der Kunde den Skonto vom Zielverkaufspreis berechnet, dieser also aus der Sicht des Kunden 100 % entspricht, entspricht der Barverkaufspreis aus der Sicht des Anbieters dem verminderten Grundwert (100 % – Prozentsatz des Skontos). Der Skonto muss also durch eine „im Hundertrechnung“ auf den Barverkaufspreis aufgeschlagen werden. Nur dadurch ergibt sich für beide Seiten das gleiche Ergebnis.

Da auch eine evtl. noch anfallende Vertreterprovision vom Zielverkaufspreis berechnet wird, können beide Prozentsätze zusammengefasst werden. Beträgt z. B. die Vertreter-provision 7 % und der Kundenskonto 2 %, entspricht der Barverkaufspreis 91 % (siehe Beispiel auf Seite 74!).

■ Kundenrabatt

Soll der Gewinn nicht geschmälert werden, muss der vom Kunden erwartete Rabatt in den Angebotspreis einkalkuliert werden. Da der Kunde den Rabatt durch eine „vom Hun-dertrechnung“ vom Listenverkaufspreis abzieht, muss der Anbieter ihn durch eine „im Hundertrechnung“ aufschlagen. Soll z. B. der Kundenrabatt 10 % betragen, entspricht der Zielverkaufspreis bei der Angebotskalkulation 90 %.

Übungsaufgaben

35 Eine Fensterfabrik soll ein Angebot für die Lieferung eines Fensters bestimmter Größe abge-ben. Bei günstigem Angebot wird die Bestellung einer größeren Menge in Aussicht gestellt.

Aufgrund der betrieblichen Unterlagen liegen folgende Kalkulationsdaten vor: Verbrauch von Fertigungsmaterial 44,30 EUR, Fertigungslöhne 122,50 EUR. Die Normalzuschlagssätze für die Gemeinkosten betragen: Materialgemeinkosten 6,7 %, Fertigungsgemeinkosten 157,4 %, Ver-waltungsgemeinkosten 16,4 %, Vertriebsgemeinkosten 9,8 %.

Außerdem sollen einkalkuliert werden: 12,5 % Gewinn, 5 % Kundenrabatt, 3 % Kundenskonto und 8 % Vertreterprovision vom Zielverkaufspreis.

Erstellen Sie das Angebot!

76

36 Für die Ermittlung des Angebotspreises für einen Kühlschrank liegen bei der Frost GmbH fol-gende Kalkulationsunterlagen vor:

Verbrauch von Fertigungsmaterial 275,80 EUR, Fertigungslöhne 330,40 EUR, Normalzuschlags-sätze für MGK 35 %, FGK 85 %, VerwGK 20 %, VertrGK 18 %. Der Gewinnaufschlag wird mit 25 % angesetzt. Außerdem sollen noch 10 % Rabatt und 2 % Skonto einkalkuliert werden.

Ermitteln Sie den Angebotspreis!

37 Zur Herstellung einer Spezialmaschine rechnet ein Industriebetrieb mit folgenden Kosten: Ver-brauch von Fertigungsmaterial 8 420,00 EUR; Fertigungslöhne 3 720,00 EUR. Aus der Kosten-stellenrechnung werden die folgenden Zuschlagssätze (Normalzuschlagssätze) entnommen: Materialzuschlag 10,5 %, Lohnzuschlag (FGK) 145 %, Verwaltungs- und Vertriebsgemeinkosten-zuschlag 13,7 %. Die Sondereinzelkosten der Fertigung betragen 890,00 EUR.

1. Wie viel EUR betragen die Selbstkosten?

2. Die Maschine wird unter Einrechnung von 15 % Kundenrabatt und 2 % Kundenskonto zum Preis von 29 517,06 EUR angeboten.

Wie viel EUR beträgt der erzielbare Gewinn in EUR und in Prozent?

4.2.2 Rückwärtskalkulation (retrograde Kalkulation)

Liegt der Listenverkaufspreis aufgrund der gegebenen Markt- bzw. Konkurrenzsituation fest, so eignet sich das Kalkulationsschema in umgekehrter Richtung von unten nach oben zur Errechnung der aufwendbaren Materialeinzelkosten (retrograde Kalkulation; Rückwärtskalkulation). Dabei werden die Materialeinzelkosten errechnet, die höchstens gezahlt werden dürfen, um den angestrebten Gewinn zu erreichen.

Beispiel:

Aufgrund der Marktsituation muss die Maschinenfabrik Ottmar Zeh e. Kfm. eine Schleifmaschine zum Listenverkaufspreis in Höhe von 127 480,00 EUR anbieten. Die Maschinenfabrik muss bran-chenüblich 10 % Kundenrabatt und 2 % Kundenskonto gewähren. Die einzurechnende Vertreter-provision vom Zielverkaufspreis beläuft sich auf 7 %. Es soll ein Gewinn von 15 % erzielt werden.

Es wird mit folgenden Kosten kalkuliert:

Fertigungslöhne 19 800,00 EUR, SEKF 900,00 EUR, SEKV 940,00 EUR

Zuschlagssätze lt. BAB dieser Abrechnungsperiode:

MGK 8,5 % VerwGK 19 %FGK 108 % VertrGK 6,8 %

Aufgabe:

Wie viel EUR dürfen die Materialeinzelkosten höchstens betragen?

77

Lösung: 1

100, % 8,5 %

Materialeinzelkosten 27 038,94 EUR – Materialgemeinkosten 2 298,31 EUR

108,5 %100 %108 %

Materialkosten 29 337,25 EUR Fertigungslöhne 19 800,00 EUR + Fertigungsgemeinkosten 21 384,00 EUR

208 % Zwischensumme 41 184,00 EUR + Sondereinzelkosten d. Fertigung 900,00 EUR

Fertigungskosten – 42 084,00 EUR

100, % 19, % 6,8 %

Herstellkosten 71 421,25 EUR– Verwaltungsgemeinkosten 13 570,04 EUR– Vertriebsgemeinkosten 4 856,64 EUR 18 426,68 EUR

125,8 % Zwischensumme 89 847,93 EUR– Sondereinzelkosten des Vertriebs 940,00 EUR

100 % 15 %

Selbstkosten 90 787,93 EUR– Gewinn 13 618,19 EUR

91 % 2 % 7 %

115 % Barverkaufspreis 104 406,12 EUR– Kundenskonto 2 294,64 EUR– Vertreterprovision 8 031,24 EUR 10 325,88 EUR

100 % 90 % 10 %

Zielverkaufspreis 114 732,00 EUR– Kundenrabatt 12 748,00 EUR


Ergebnis: Die Materialeinzelkosten dürfen höchstens 27 038,94 EUR betragen.

Allgemeiner Rechenweg

1. Stellen Sie zuerst das Kalkulationsschema von oben nach unten auf und tragen Sie die in der Aufgabe vorgegebenen Prozentsätze und EUR-Beträge ein.

2. Überlegen Sie bei jedem Rechenschritt, ob es sich bei der Rückwärtsrechnung um eine Rechnung vom Hundert (Kundenrabatt, Vertreterprovision, Kundenskonto) oder auf Hundert (Gewinn, VerwGK, VertrGK, MGK) handelt.

3. Sonderfall: Berechnung der Fertigungskosten. Sofern Sondereinzelkosten der Fer-tigung vorliegen, müssen die Fertigungskosten zunächst in einer Zwischenrechnung im Rahmen einer Vorwärtskalkulation ermittelt (Fertigungslöhne + Fertigungsgemein-kosten = Zwischensumme – Sondereinzelkosten der Fertigung) und dann in einer Summe von den Herstellkosten subtrahiert werden.

4. Überprüfen Sie das Ergebnis durch eine Vorwärtskalkulation.

1 Die Rechenzeichen verstehen sich aus der Sicht der Rückwärtsrechnung.

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78

Übungsaufgabe

38 1. Aufgrund der starken Konkurrenz können wir eine Maschine für höchstens 55 000,00 EUR verkaufen. Es liegen folgende Kalkulationsgrundlagen vor:

Fertigungslöhne 4 800,00 EURSondereinzelkosten des Vertriebs 300,00 EURSondereinzelkosten der Fertigung 500,00 EUR

Kundenskonto 2 %Vertriebsgemeinkosten 15 %Gewinnzuschlag 12,5 %Materialgemeinkosten 25 %Verwaltungsgemeinkosten 10 %Fertigungsgemeinkosten 450 %Kundenrabatt 10 %Vertreterprovision (vom Zielverkaufspreis) 3 %

Berechnen Sie die Kosten für das Fertigungsmaterial!

2. Eine Druckerei erhält eine Anfrage, ob ein Posten Prospekte zu einem Nettopreis von 15 500,00 EUR gedruckt werden kann.

Somit entsteht die Frage, wie viel EUR dürfen die Papierkosten höchstens betragen, wenn folgende Kosten anfallen: Fertigungslöhne 2 800,00 EUR, FGK 94 %, MGK 8 %, SEKF 560,00 EUR, VerwGK 18 %, VertrGK 7 %. Der Kunde erwartet einen Nachlass von 2 % Skonto.

Berechnen Sie die höchstmöglichen Papierkosten, wenn ein Gewinn von 10 % erwirtschaf-tet werden soll!

4.2.3 Differenzkalkulation

Häufig verhindert es die „Marktlage”, dass der Unternehmer seinen Listenverkaufspreis selbst bestimmen kann. In diesem Fall muss es das Ziel der Kalkulation sein, festzustellen, ob der so erwirtschaftete Gewinn ausreichend ist.

Wird die Höhe des anfallenden Gewinns errechnet, sprechen wir von Differenzkalkula-tion.1 Da sowohl die Kosten als auch der Listenverkaufspreis festliegen, muss von beiden Werten aus mit dem Rechenweg begonnen werden, und zwar einmal als Vorwärtskalku-lation (von den Materialeinzelkosten bis zu den Selbstkosten) und zum anderen als Rück-wärtskalkulation (vom Listenverkaufspreis bis zum Barverkaufspreis).

Beispiel:

Bei der Herstellung eines Wäschetrockners fielen 280,00 EUR Materialeinzelkosten und 160,00 EUR Fertigungslöhne an. Es wird mit folgenden Zuschlagssätzen gerechnet: MGK 11 %, FGK 120 %, VerwGK 10,5 %, VertrGK 6 %, SEKV 40,00 EUR.

1 Die Differenz zwischen Barverkaufspreis und Selbstkosten stellt den Gewinn/Verlust dar. Wir sprechen daher auch von Gewinn-kalkulation.

79

Aufgabe:

Mit welchem Gewinn in EUR und in Prozent kann der Hersteller rechnen, wenn er 12 % Vertre-terprovision (vom Zielverkaufspreis), 3 % Kundenskonto und 15 % Kundenrabatt einrechnet und einen Listenverkaufspreis von 1 259,00 EUR ansetzt?

Lösung:

100 % 11 %

Materialeinzelkosten 280,00 EUR + Materialgemeinkosten 30,80 EUR

100 %120 %

Materialkosten 310,80 EUR Fertigungslöhne 160,00 EUR + Fertigungsgemeinkosten 192,00 EUR

Fertigungskosten 352,00 EUR

100, % 10,5 % 6, %

Herstellkosten 662,80 EUR+ Verwaltungsgemeinkosten 69,59 EUR+ Vertriebsgemeinkosten 39,77 EUR 109,36 EUR

Zwischensumme 772,16 EUR+ Sondereinzelkost. d. Vertriebs (SEKV) 40,00 EUR

100 % x %

Selbstkosten 812,16 EURGewinn 97,47 EUR

85 % 3 % 12 %

Barverkaufspreis 909,63 EUR– Kundenskonto 32,10 EUR– Vertreterprovision 128,42 EUR 160,52 EUR

100 % 85 % 15 %

Zielverkaufspreis 1 070,15 EUR– Kundenrabatt 188,85 EUR

100 % Listenverkaufspreis(Nettoverkaufspreis) 1 259,00 EUR

Ergebnis: Der Hersteller kann mit einem Gewinn von 12 %, das sind 97,47 EUR, rechnen.

Allgemeiner Rechenweg

1. Stellen Sie zuerst das Kalkulationsschema von oben nach unten auf und tragen Sie die in der Aufgabe vorgegebenen Prozentsätze und EUR-Beträge ein!

2. Kennzeichnen Sie den Rechenweg durch Pfeile und errechnen Sie stufenweise durch Vorwärtskalkulation die Selbstkosten bzw. durch Rückwärtskalkulation den Bar-verkaufspreis!

3. Ermitteln Sie den Gewinn als Differenz zwischen dem Barverkaufspreis und den Selbstkosten!

4. Berechnen Sie anschließend den Gewinn in Prozent zu den Selbstkosten (Gewinn-zuschlagssatz)!

Vorwärts-kalkulation

+

Berechnungdes Gewinn-zuschlagssatzes:

812,16 EUR § 100 % 97,47 EUR § x %

x = 100 · 97,47

___________ 812,16

= 12 %

Rückwärts-kalkulation

–

80

Übungsaufgabe

39 1. Eine Maschinenfabrik kalkuliert eine Fräsmaschine nach folgenden Angaben:

– Verbrauch von Fertigungsmaterial 7350,00 EUR – MGK 12 %– Fertigungslohn 58 Std. zu je 52,00 EUR – FGK 15 %– Fremdarbeiten 48 Std. zu je 95,00 EUR – VerwGK + VertrGK 25 %– Konstruktionszeichnung 400,00 EUR – Kundenskonti 3 % – Vertreterprovision 5 %

Die Maschinenfabrik verkauft die Fräsmaschine für 24 500,00 EUR netto.

Ermitteln Sie den Gewinn in EUR und in Prozent!

2. Eine Möbelfabrik stellt für den Ausbau von zwei Büroräumen folgende Kalkulationsgrund-lagen fest:

Verbrauch von Fertigungsmaterial: 9 400,00 EURFertigunglöhne: 16 200,00 EUR

Gemeinkostenzuschläge: MGK 12,4 % VerwGK 6 % FGK 104 % VertrGK 8 %

Es wird mit 18 % Gewinn, 5 % Vertreterprovision vom Zielverkaufspreis und 2 % Kunden-skonto gerechnet.

2.1 Berechnen Sie den Angebotspreis netto!

2.2 Ein Konkurrenzunternehmen hat ein Angebot von 63 084,97 EUR unterbreitet. Wie viel Gewinn in EUR und in Prozent verbleiben, wenn der Angebotspreis der Kon-

kurrenz um 1 800,00 EUR unterboten werden soll?

4.3 Anwendung der Zuschlagskalkulation als Nachkalkulation1

In der Vorkalkulation konnte nur mit voraussichtlichen Kosten (Normalkosten) gerech-net werden. Nach Fertigstellung des Auftrags können die tatsächlich angefallenen Kosten (Istkosten) ermittelt und den vorkalkulierten Kosten gegenübergestellt werden (Nach-kalkulation). Die dabei auftretenden Abweichungen müssen im Einzelnen analysiert werden.

Voraussetzung für eine solche Analyse ist, dass jeweils vom gleichen Kalkulationsaufbau (Kalkulationsschema) ausgegangen wird und dass eine getrennte Analyse von Mengen und Preisen erfolgt. Das betrifft das Fertigungsmaterial ebenso wie die Fertigungslöhne. Haben sich die Preise für die Rohstoffe geändert oder hat sich der Stundenlohn verändert, müssen sich zwangsläufig Abweichungen zwischen der Vor- und Nachkalkulation erge-ben. Erst die durch den Ansatz gleicher Preise in der Vor- und Nachkalkulation verblei-benden Verbrauchsabweichungen geben Anlass zur Kritik und zur Einleitung gebotener Maßnahmen.

Die Abweichungen bei den Kosten in der Vor- und in der Nachkalkulation beruhen einerseits auf unterschiedlichen Einzelkosten und andererseits auf den unterschiedlichen Zuschlagssätzen in der Vor- und Nachkalkulation. Gründe hierfür sind:

1 Prinzipiell ist es möglich, im Rahmen der Nachkalkulation die Vorwärtskalkulation, die Rückwärtskalkulation und die Differenz-kalkulation einzusetzen. Allerdings kommt in der Praxis in aller Regel nur die Differenzkalkulation zum Einsatz, da der Unternehmer insbesondere daran interessiert ist, den tatsächlich erzielten Gewinn zu erfahren.

81

■ Preisabweichungen. So führen Preiserhöhungen (Preissenkungen) bei Hilfs- und Betriebsstoffen, Gehaltserhöhungen (Rückgang der Gehälter durch Entlassungen) oder Erhöhungen der Versicherungsbeiträge (Rückgang der Versicherungsbeiträge durch Absenken der Versicherungssummen) u. Ä. zu einer höheren (niedrigeren) Belastung der Kostenstellen mit Gemeinkosten und damit zu höheren (niedrigeren) Zuschlags-sätzen.

■ Beschäftigungsabweichungen. Die Ausweitung der Produktion kann z. B. durch erhöh-ten Reparaturaufwand, Lohnzuschläge, vermehrte Ausschussprodukte zu überhöhten Stellengemeinkosten und damit zu höheren Zuschlagssätzen führen. Andererseits führt ein Rückgang der Beschäftigung in der Regel nicht zu einem proportionalen Absinken der Zuschlagssätze, da es nur in den seltensten Fällen gelingt, die fixen Gemeinkosten im gleichen Umfang abzubauen.

■ Verbrauchsabweichungen. Es ist nicht immer möglich, geplante Fertigungszeiten bzw. Materialvorgaben (Stücklisten) einzuhalten. Ein Über- oder Unterschreiten der Planvor-gaben führt zu steigenden oder fallenden Gemeinkosten und damit zu schwankenden Zuschlagssätzen.

Stellt sich heraus, dass die Mengen in der Vorkalkulation zu niedrig angesetzt waren, kann die Nachkalkulation auch dazu dienen, die Grundlagen für die Vorkalkulation zu ändern.

Wir merken uns:

Die Nachkalkulation dient folgenden Zwecken:

■ genaue Erfassung der tatsächlich entstandenen Kosten,

■ Kontrolle der Kosten durch Analyse der Abweichungen zwischen Vor- und Nach-kalkulation,

■ Korrektur der Grundlagen für die Vorkalkulation.

■ Bei der Kostenunterdeckung liegen die Normalkosten unter den Istkosten, d. h., die tatsächlich angefallenen Selbstkosten werden durch die einkalkulierten Kosten nicht mehr gedeckt.

■ Bei der Kostenüberdeckung werden mehr Kosten eingerechnet als tatsächlich ent-standen sind, d. h., die kalkulierten Selbstkosten sind höher als die wirklich ange-fallenen Selbstkosten.

Beispiel:

Die Nachkalkulation für die erstellte Abfüllmaschine (vgl. Seite 74) ergibt folgende endgültige Kosten:

Fertigungsmaterialverbrauch 17 500,00 EUR SEKF 900,00 EURFertigungslöhne 19 800,00 EUR SEKV 940,00 EURIstzuschlagssätze lt. BAB MGK 8,5 % VerwGK 19 %dieser Abrechnungsperiode: FGK 108 % VertrGK 6,8 %

Der Listenverkaufspreis in Höhe von 114 577,52 EUR ist der verbindliche Angebotspreis.

Aufgabe:

Welcher Erfolg (in EUR und Prozent) wurde an dem abgewickelten Auftrag erwirtschaftet?

82

Lösung:

Vorkalkulation Nachkalkulation

Verbr. v. FertigungsmaterialMaterialgemeinkosten

17 200,00 EUR 9 % 1 548,00 EUR

17 500,00 EUR8,5 % 1 487,50 EUR

MaterialkostenFertigungslöhneFertigungsgemeinkostenSondereinzelkosten derFertigung (SEKF)

18 748,00 EUR 21 400,00 EUR110 % 23 540,00 EUR

1 400,00 EUR

18 987,50 EUR 19 800,00 EUR108 % 21 384,00 EUR

900,00 EUR

Fertigungskosten 46 340,00 EUR 42 084,00 EUR

HerstellkostenVerwaltungsgemeinkostenVertriebsgemeinkostenSondereinzelkosten desVertriebs (SEKV)

65 088,00 EUR 18 % 11 715,84 EUR 6 % 3 905,28 EUR

890,00 EUR 16 511,12 EUR

61 071,50 EUR19 % 11 603,59 EUR6,8 % 4 152,86 EUR

940,00 EUR 16 696,45 EUR

SelbstkostenGewinn

81 599,12 EUR 15 % 12 239,87 EUR

77 767,95 EUR20,66 % 16 071,04 EUR

Barverkaufspreis 93 838,99 EUR 93 838,99 EURVertreterprovisionKundenskonto

7 % 7 218,38 EUR 2 % 2 062,40 EUR Berechnung des

Gewinnsatzes:

77 767,95 § 100 %16 071,04 § x %

x = 20,66 %

ZielverkaufspreisKundenrabatt

103 119,77 EUR 10 % 11 457,75 EUR

Listenverkaufspreis(Nettoverkaufspreis) 114 577,52 EUR

Erläuterungen:

In unserem Beispiel sind die Kosten der Vorkalkulation teils höher, teils niedriger als die tatsächlich an-gefallenen Kosten. Per Saldo aber sind die Kosten in der Vorkalkulation um (81 599,12 EUR – 77 767,95 EUR) 3 831,17 EUR höher als die tatsächlich angefallenen Kosten. Entsprechend sind die tatsächlich angefallenen Selbstkosten um diesen Betrag niedriger. Bei einem fest vereinbarten Barverkaufspreis kommt das dem Gewinn zugute, der in unserem Beispiel um diesen Betrag höher ist als aufgrund der Vorkalkulation erwartet wurde. Bezüglich des Preises wäre damit notfalls noch ein gewisser Verhandlungsspielraum gegeben. Aufgrund eingehender Analyse müsste überlegt werden, ob die Grundlagen für die Vorkalkulation geändert werden sollen. Auf jeden Fall ist eine solche Situation angenehmer und bietet weniger Diskussionsstoff als wenn sich bei dem Vergleich herausstellt, dass die tatsächlich angefallenen Kosten über den kalkulierten Kosten liegen.

Übungsaufgaben

40 Erstellen Sie zur Aufgabe 35 eine Nachkalkulation!

Nach Fertigstellung des Auftrages und der Ermittlung der Istzuschlagssätze aufgrund des erstellten BABs ergaben sich folgende Werte: Verbrauch von Fertigungsmaterial 56,30 EUR, Fertigungslöhne 130,40 EUR. Die Istzuschlagssätze für die Gemeinkosten betrugen: MGK 6,9 %, FGK 149,5 %, VerwGK 17,4 %, VertrGK 9,5 %.

Stellen Sie bei einem unveränderten Angebotspreis den tatsächlichen Gewinn in EUR und in Prozent fest!

83

41 Erstellen Sie zur Aufgabe 36 eine Nachkalkulation!

An Istkosten fielen an: Verbrauch von Fertigungsmaterial 260,75 EUR, Fertigungslöhne 310,80 EUR. Die Istzuschlagssätze für die Gemeinkosten betrugen: MGK 32,5 %, FGK 79,5 %, VerwGK 21,5 %, VertrGK 17,2 %.

1. Ermitteln Sie den Gewinn in EUR und in Prozent, wenn sich der Angebotspreis nicht ver-ändert!

2. Auf welchen Betrag könnte der Listenverkaufspreis (Nettoverkaufspreis) bei sonst gleich-bleibenden Kalkulationsgrundlagen im Falle einer starken Preiskonkurrenz notfalls herab-gesetzt werden?

42 Erstellen Sie zur Aufgabe 37 eine Nachkalkulation! Die Istkostenrechnung ergab folgende Kal-kulationsdaten:

Verbrauch von Fertigungsmaterial 8 720,00 EUR; Fertigungslöhne 3 165,00 EUR; Istzuschlags-sätze: MGK 10,4 %, FGK 151 %; VerwGK/VertrGK 14,9 %. Die Sondereinzelkosten der Fertigung betrugen 795,00 EUR. Kundenrabatt und Kundenskonto wurden mit den angegebenen Prozent-sätzen gewährt. Der Verkaufspreis betrug 29 517,06 EUR.

Wie viel Gewinn in EUR und in Prozent wurde tatsächlich erzielt?

84

5 Zinsrechnen

5.1 Einführung in das Zinsrechnen

Beispiel:

Ein Kaufmann nimmt bei seiner Hausbank ein Darlehen in Höhe von 45 000,00 EUR auf. Die Laufzeit beträgt ein Jahr. Die Bank berechnet eine Bearbeitungsgebühr von 1,5 % (das entspricht 675,00 EUR) und einen Zinssatz von 8 %. Die Zinsen betragen 3 600,00 EUR.

Prozentrechnung Grundwert Prozentsatz Prozentwert

Bearbeitungsgebühr 45 000,00 EUR 1,5 % 675,00 EUR

Zinsen 45 000,00 EUR 8 % 1 Jahr 3 600,00 EUR

Zinsrechnung Kapital Zinssatz Zeit Zinsen (Zinsfuß)

Wir merken uns:

■ Bei der Berechnung von Zinsen muss der Faktor Zeit (Jahr, Monat, Tag) berücksich-tigt werden. (Der Faktor Zeit fehlt in der Prozentrechnung.)

■ Zinsen sind der Preis für die Nutzung eines Kapitals für eine bestimmte Zeit (ent-spricht dem Prozentwert in der Prozentrechnung).

■ Das Kapital ist die zur Nutzung überlassene Geldsumme. Sie ist immer 100 % (ent-spricht dem Grundwert in der Prozentrechnung).

■ Der Zinssatz (Zinsfuß) sagt aus, wie viel Zinsen ein Kapital in einem Jahr erbringt (z. B. für den Sparer) bzw. kostet (z. B. für den Kreditnehmer). Der Zinsfuß bezieht sich immer auf ein Jahr (entspricht dem Prozentsatz in der Prozentrechnung).Der Zinssatz von z. B. 8 % bedeutet, dass ein Kapital von 100,00 EUR in einem Jahr Zinsen in Höhe von 8,00 EUR erbringt bzw. kostet.

Die Zinsrechnung ist somit eine Anwendung der Prozentrechnung unter Berücksichtigung der Zeit. Von den Größen Kapital, Zinsfuß, Zinsen und Zeit müssen stets drei Größen in der Aufgabe gegeben sein, um die vierte Größe mithilfe des Dreisatzes errechnen zu können.

5.2 Berechnung der Jahres-, Monats- und Tageszinsen nachder allgemeinen Zinsformel

5.2.1 Berechnung der Jahreszinsen

Beispiel:

Ein Unternehmen plant die Erstellung einer neuen Lagerhalle. Hierzu benötigt das Unternehmen einen Bankkredit in Höhe von 270 000,00 EUR. Die Laufzeit des Kredits beträgt 5 Jahre. Die Haus-bank bietet den Kredit zu einem festen Zinssatz über die gesamte Laufzeit in Höhe von 7,5% an. Die Rückzahlung erfolgt am Ende der Laufzeit in einer Summe.

Aufgabe:Wie viel EUR beträgt der Zinsaufwand insgesamt in den 5 Jahren?

85

Lösung:

Gegeben: Kapital: 270 000,00 EUR Zinssatz: 7,5 % Zeit: 5 Jahre

Gesucht: Zinsen: ?

Für 100,00 EUR sind in 1 Jahr 7,50 EUR Zinsen fällig Berechnung der JahreszinsenFür 270 000,00 EUR sind in 5 Jahren x EUR Zinsen fällig mithilfe der Formel:

x = 7,5 · 270 000 · 5

_______________ 100 · 1

= durch Umstellung

_________________ erhält man

Jahreszinsen = Kapital · Zinssatz · Jahre

_______________________ 100

x = 101 250,00 EUR

Ergebnis: Der Kredit kostet in 5 Jahren insgesamt 101 250,00 EUR an Zinsen.

Übungsaufgabe

43 1. Berechnen Sie die Zinsen für die folgenden Kapitalien!

Nr. Kapital Zinssatz Zeit Nr. Kapital Zinssatz Zeit

1.11.21.3

4 347,00 EUR6 165,00 EUR

10 185,00 EUR

81/2 %4 %31/3 %

3 Jahre21/2 Jahre6 Jahre

1.41.51.6

3 480,00 EUR2 790,00 EUR9 071,00 EUR

43/4 %92/3 %51/4 %

21/4 Jahre13/4 Jahre31/3 Jahre

2. Ein Unternehmen hat seinen Kunden die nachfolgenden Kredite eingeräumt:

2.1 5 180,00 EUR für 33/4 Jahre zum Zinssatz von 61/2 %



2.4 4 180,00 EUR für 11/2 Jahre zum Zinssatz von 3 %Wie viel EUR betragen die zu erwartenden Zinserträge (ohne Zinseszinsen)?

3. Ein Kaufmann hat für seine Kinder folgende Sparguthaben angelegt:


3.2 8 400,00 EUR für 5 Jahre zum Zinssatz von 62/3 %

3.3 9 560,00 EUR für 33/4 Jahre zum Zinssatz von 41/2 %Wie viel EUR betragen die zu erwartenden Zinserträge (ohne Zinseszinsen)?

4. Ein Industrieunternehmen hat zur Finanzierung eines Anbaus einen Kredit in Höhe von 260 000,00 EUR aufgenommen. Die Laufzeit beträgt 51/2 Jahre.

Wie viel EUR an Zinsen müssen insgesamt aufgewendet werden, wenn das Darlehen mit 91/2 % verzinst werden muss?

5. Ein Kunde ist bei uns seit 13/4 Jahren mit 2 160,00 EUR in Verzug. Wie viel EUR an Zinsen sind bisher angefallen, wenn wir 53/4 % Zinsen berechnen?

6. Auf dem Geschäftsgebäude der Druckerei Franz Schlecht OHG lasten zwei Grundschulden über 24 000,00 EUR (zu 81/2 %) und 32 400,00 EUR (zu 75/8 %).

Wie viel EUR beträgt die jährliche Zinsbelastung?

7. Ein Kaufmann hat einen Bankkredit von 8 500,00 EUR zu einem Zinssatz von 9,5 % auf-genommen. Die Bankabrechnung erfolgt vierteljährlich.

Wie viel EUR an Zinsen muss er vierteljährlich zahlen?

86

5.2.2 Berechnung der Monatszinsen

Beispiel:

Ein Großhändler legt 48 000,00 EUR für die Zeit vom 31. Juli bis 31. Dezember als Termingeld an.Die Hausbank verzinst das Termingeld mit 61/4 %.

Aufgabe:

Wie viel EUR beträgt die Zinsgutschrift am Ende der Laufzeit?

Lösung:

Gegeben: Kapital: 48 000,00 EUR Zinssatz: 61/4 % Zeit: 31. Juli – 31. Dez. = 5 Monate

Gesucht: Zinsen: ?

Für 100,00 EUR erhalten wir in 12 Monaten 6,25 EUR Zinsen Berechnung der MonatszinsenFür 48 000,00 EUR erhalten wir in 5 Monaten x EUR Zinsen mithilfe der Formel:

x = 6,25 · 48 000 · 5

_______________ 100 · 12

durch Umstellung

_________________ erhält man

Monatszinsen = Kapital · Zinssatz · Monate

_________________________ 100 · 12

x = 1 250,00 EUR

Ergebnis: Die Zinsgutschrift beträgt 1 250,00 EUR.

Übungsaufgabe



1.11.21.3

287,00 EUR1 460,00 EUR3 100,00 EUR

61/2 %55/8 %32/3 %

10 Monate 8 Monate11 Monate

1.41.51.6

685,00 EUR820,00 EUR

1 260,00 EUR

71/2 %5 %23/8 %

5 Monate4 Monate3 Monate

2. Ein Kaufmann hat zur Finanzierung eines Großeinkaufs einen Kredit in Höhe von 12 500,00 EUR zu 83/4 % bei seiner Hausbank aufgenommen. Die Laufzeit beträgt 41/2 Monate.

Welchen EUR-Betrag hat der Kaufmann nach Ablauf dieser Zeit an die Bank zurückzuzah-len?

3. Ein Kunde hat seit 81/2 Monaten seinen Rechnungsbetrag in Höhe von 1 280,00 EUR nicht beglichen. Der Kaufmann treibt den Betrag per Mahnbescheid ein.

Auf welchen EUR-Betrag lautet der Mahnbescheid, wenn der Kaufmann 8 % Zinsen und 14,60 EUR für Auslagen und Gebühren einrechnet?

4. Die Leder-Straub GmbH hat 45 800,00 EUR für drei Monate als Termingeld zu 23/8 % ange-legt.

Wie viel EUR beträgt die Gutschrift der Bank nach Ablauf der Anlagezeit?

87

5. Für eine Investition benötigt ein Industriebetrieb einen Kredit in Höhe von 19 200,00 EUR für 10 Monate. Der Inhaber erhält von drei Banken folgende Angebote:

Angebot der Bank A: 81/4 % Zinsen.Angebot der Bank B: 61/2 % Zinsen + 11/2 % Bearbeitungsgebühr von der KreditsummeAngebot der Bank C: Auszahlung: 19 200,00 EUR. Rückzahlung nach 10 Monaten 20 500,00 EUR

Welches Angebot ist das günstigste?

6. Vom Lieferer haben wir die Stundung einer Rechnung über 8 140,00 EUR zu folgenden Bedingungen erhalten: Verzugszinsen 71/2 %, Laufzeit 11 Monate. Nach drei Monaten neh-men wir eine Sonderzahlung über 3 500,00 EUR vor.

Welcher EUR-Betrag ist nach Ablauf der Stundungsdauer noch zu überweisen?

7. Das Autohaus „Schnell GmbH” vereinbart mit einem Kunden beim Kauf eines Gebraucht-wagens folgende Zahlungsbedingungen: Kaufpreis 8 400,00 EUR; sofortige Anzahlung 2 000,00 EUR; Restzahlung in zwei Raten: 1. Rate in Höhe von 3 000,00 EUR nach zwei Monaten, 2. Rate in Höhe des Restes nach 5 Monaten. Als Zinssatz wurde 4 % vereinbart.

Über welchen EUR-Betrag lautet die letzte Ratenzahlung?

8. Wie viel EUR beträgt die Auszahlung der Bank, wenn bei den folgenden Darlehen die Zinsen im Voraus abgezogen und einbehalten werden?

8.1 3 285,00 EUR, vom 15. Februar – 15. September, Zinssatz 93/4 %

8.2 1 460,00 EUR, vom 29. Oktober – 29. Dezember, Zinssatz 71/2 %

8.3 835,00 EUR, vom 1. März – 1. September, Zinssatz 53/4 %

9. Ein Großhändler benötigt zur Erweiterung seiner Lagerräume für 9 Monate ein Darlehen in Höhe von 105 000,00 EUR. Der Inhaber fragt bei drei Banken an und erhält folgende Kreditangebote:

Bank A: Zins 8,5 %Bank B: Zins 7,5 % + 1,5 % Bearbeitungsgebühr von der KreditsummeBank C: Zins 6 % + 2 % Bearbeitungsgebühr von der Kreditsumme

9.1 Wie viel EUR betragen jeweils die Kreditkosten?

9.2 Welches Angebot ist das günstigste?

10. Einem Kunden wurde zur Aufstockung seiner Lagerkapazität ein Darlehen von 8 600,00 EUR zunächst für 8 Monate zum Zinssatz von 51/2 % gewährt. Am Fälligkeitstag bittet der Kunde um einen Zahlungsaufschub von 3 Monaten. Der Zahlungsaufschub wird gewährt. Für die Verlängerungszeit verlangt der Kreditgeber 6 % Verzugszinsen vom Gesamt betrag einschließlich der aufgelaufenen Zinsen für die ursprünglich vereinbarte Laufzeit von 8 Monaten.

Welchen EUR-Betrag hat der Kunde nach Ablauf der Verlängerungszeit zu bezahlen?

11. Wir verkaufen Waren für 4 160,00 EUR an einen Kunden zu folgenden Bedingungen: Anzahlung 840,00 EUR, Restzahlung nach 5 Monaten einschließlich 5,5 % Zinsen.

Wie viel EUR hat der Kunde nach 5 Monaten insgesamt zu bezahlen?

88

5.2.3 Berechnung der Tageszinsen

(1) Tageberechnung

Für die Berechnung der Zinstage haben sich verschiedene Verfahren herausgebildet:

■ Bei der Kaufmännischen Zinsrechnung wird das Jahr mit 360 Tagen und jeder Monat mit 30 Tagen angesetzt.1 Sie ist die Zinsrechnung unter Kaufleuten.

■ Bei der „Englischen Zinsrechnung“ wird das Jahr mit 365 (366) Tagen und die Monate werden mit der genauen Tageszahl (28, 29, 30, 31) angesetzt. Sie ist die Zinsrechnung unter Privatpersonen (Nicht-Kaufleute) und von Behörden.

■ Bei der „Eurozinsmethode“ (Französische Zinsrechnung) wird das Jahr mit 360 Tagen und die Monate werden mit der genauen Tageszahl (28, 29, 30, 31) angesetzt. Sie wird insbesondere zur Abrechnung von Wechseln (Diskontrechnen) und von Bundesanlei-hen mit variablem Zins verwendet.2

Beispiele für die Berechnung der Tage im kaufmännischen Bereich:

Vorgehensweise:

(1) 14. Febr. – 29. Mai = 105 Tage 14. Febr. – 14. Mai sind 3 x 30 = 90 Tage 14.Mai – 29. Mai = 15 Tage 105 Tage

(2) 24. Juni – 8.Nov. = 134 Tage 24.Juni – 24.Okt. sind 4 x 30 = 120 Tage 24. Okt. – 30. Okt. = 6 Tage 30. Okt. – 8.Nov. = 8 Tage 134 Tage

(3) 17. Jan. – 28. Febr. = 41 Tage 17. Jan. – 17. Febr. sind 1 x 30 = 30 Tage 17. Febr. – 28. Febr. = 11 Tage 41 Tage

(4) 28. Febr. – 15. März. = 17 Tage

(5) 1. Jan. – 28. Febr. = 57 Tage

Beim Überschreiten des Monats Februar wird mit 30 Tagen gerechnet. Geht die Verzinsung bis zum 28. Februar, werden nur 28 Tage angesetzt (dementsprechend im Schaltjahr 29 Tage).

(2) Tageszinsberechnung

Beispiel:

Ein Unternehmen kauft Waren im Wert von 2 460,00 EUR. Es erhält ein Zahlungsziel bis zum 27. Jan. Die Zahlung erfolgt erst am 2. Mai. Der Lieferer berechnet Verzugszinsen in Höhe von 6 %.

Aufgabe:

Welchen EUR-Betrag hat der Kaufmann am 2. Mai zu überweisen?

1 Bei allen nachfolgenden Aufgaben gehen wir von der Zinsberechnung für Kaufleute aus.

2 Inwieweit die Banken die Berechnung der Zinsen nach der Eurozinsmethode auch auf die übrigen Bankgeschäfte ausdehnen, bleibt abzuwarten. Derzeit ist ein einheitliches Vorgehen bei den Banken nicht zu erkennen.

89

Lösung:

Gegeben: Kapital: 2 460,00 EUR Zinssatz: 6 % Tage: 27. Jan. – 2.Mai = 95 Tage

Gesucht: Zinsen: ?

Für 100,00 EUR in 360 Tagen 6,00 EUR Zinsen Berechnung der TageszinsenFür 2 460,00 EUR in 95 Tagen x EUR Zinsen mithilfe der Formel:

x = 6 · 2 460 · 95 ____________ 100 · 360

durch Umstellung

_________________ erhält man

Tageszinsen = Kapital · Zinssatz · Tage

______________________ 100 · 360

x = 38,95 EUR abgekürzt:

Ergebnis: Der Überweisungsbetrag lautet über Z = K · p · t

_________ 100 · 360

2 498,95 EUR (2 460,00 EUR + 38,95 EUR).

Übungsaufgabe



1.11.21.3

860,00 EUR2 185,00 EUR1 319,00 EUR

3 %21/2 %51/4 %

58 Tage143 Tage135 Tage

1.41.51.6

1 720,00 EUR152,00 EUR426,00 EUR

63/4 %41/2 %81/2 %

210 Tage165 Tage218 Tage

2. Eine Papiergroßhandlung nimmt bei ihrer Bank einen Kredit in Höhe von 14 500,00 EUR für 70 Tage in Anspruch. Der Zinssatz beträgt 71/2 %.

Wie viel EUR betragen die Kreditzinsen?

3. Berechnen Sie die Laufzeit eines Kredits:

3.1 vom 6. Febr. – 28. Febr. 3.5 vom 13. Juli – 1. Mai

3.2 vom 17. April – 1. Aug. 3.6 vom 30. Jan. – 29. Febr.

3.3 vom 28. Sept. – 31. Dez. 3.7 vom 23. Nov. – 5. Juni

3.4 vom 19. Nov. – 20. Dez. 3.8 vom 10. Dez. – 1. April

4. Wie viel EUR betragen die Rückzahlungsbeträge einschließlich Zinsen bei den nachfolgen-den Krediten?

4.1 5 800,00 EUR vom 31. Mai – 2. Aug., Zinssatz 43/4 %

4.2 14 760,00 EUR vom 19. Sept. – 5. März, Zinssatz 8 %

4.3 945,00 EUR vom 30. Jan. – 3. April, Zinssatz 21/4 %

5. Ein Kaufmann schuldet seinem Lieferer 2 480,00 EUR seit dem 12. April.

Wie viel EUR Verzugszinsen muss er dem Lieferer am 1. Juni bei einem Zinssatz von 61/2 % überweisen?

6. Die Franz Ott KG bittet einen Lieferer um Stundung des Rechnungsbetrages vom 15. Januar bis 8. April. Der Rechnungsbetrag beläuft sich auf 10 580,00 EUR. Der Lieferer stimmt zu und berechnet für die Stundungszeit 51/4 % Zinsen.

Wie viel EUR beträgt der zu zahlende Rechnungsbetrag einschließlich Zinsen?

90

7. Eine Liefererrechnung über 2 150,00 EUR, fällig am 20. Juli, wurde durch ein Versehen der Buchhaltung nicht rechtzeitig gezahlt. Am 10. September erfolgt eine Mahnung des Lieferers. Der Lieferer fordert 5 % Verzugszinsen und Ersatz seiner Auslagen in Höhe von 10,80 EUR.

Über welchen EUR-Betrag lautet die Mahnung?

8. Der Möbelgroßhändler August Braun e. K., Klosterplatz 7, 91522 Ansbach, geht am 25. September die Kundenkonten durch und stellt fest, dass das Möbelhaus Emil Mayr KG, Industriestraße 8, 76646 Bruchsal, eine am 13. Mai fällige Rechnung über die Liefe-rung eines Büroschrankes, Rechnungsnummer 14 31 70, über 630,00 EUR immer noch nicht beglichen hat. Eine erste Mahnung, ohne Berechnung von Verzugszinsen, erfolgte am 30. Juni.

Über welchen EUR-Betrag ist die Mahnung auszuschreiben, wenn der Möbelgroßhändler 6 % Verzugszinsen berechnet?

9.

Berechnen Sie die Verzugszinsen!

10. Die Großhandlung Karl Grünschläger KG erhält für ein aufgenommenes Bankdarlehen in Höhe von 60 000,00 EUR folgende Zinsabrechnung:

9,5 % Sollzinsen für die Zeit vom 20. Juli bis 20. November. Außerdem werden ihm für Auslagen und Bearbeitungsgebühr 0,5 % von der Darlehenssumme auf dem Konto belas-tet.

Ermitteln Sie den Zinsbetrag und den Eurobetrag der Bearbeitungsgebühr!

Postanschrift: Clemensstr. 60 80803 München

BüromöbelgroßhandlungKarl Möller KGRegensburger Str. 11090478 Nürnberg

Datum20. Juni 20 . .

Verzugszinsen für Rechnung Nr. 3860

Sehr geehrter Herr Möller,der Rechnungsbetrag in Höhe von 3 780,00 EUR (R.Nr. 3860), fällig am 20. Februar, ging trotz mehrfacher Mahnungen erst am 15. Juni auf unserem Bankkonto ein.Wir erlauben uns, für die Zeit vom 20. Februar bis 15. Juni des Jahres Verzugszinsen in Höhe von 8,5 % zuzüglich 30,00 EUR Mahngebühren zu berechnen.

Mit freundlichen Grüßen

ppa. Karle Buschmanne

Büromöbelfabrik Karl Buschmann OHG

91

11. Die Großhandlung Karl Braun OHG erhält von ihrem Kunden Josef Ohnesorg KG den Rechnungsbetrag in Höhe von 12 750,00 EUR, der am 7. März fällig war, erst am 25. Juli überwiesen.

Die Karl Braun OHG stellt am 31. Juli für die Zeit vom 7. März bis 25. Juli Verzugszinsen in Höhe von 8 % in Rechnung. Die entsprechende Summe geht am 10. August auf dem Bankkonto der Karl Braun OHG ein.

Berechnen Sie die Verzugszinsen!

12.

Berechnen Sie den Betrag, der als Verzugszinsen in Rechnung gestellt wird!

13. Ein Kunde einer Maschinenfabrik hat eine Rechnung über 1 224,00 EUR, fällig am 15. April, nicht beglichen.

Welchen EUR-Betrag kann die Maschinenfabrik am 20. Juni fordern, wenn 6,6 % Verzugs-zinsen und 6,50 EUR Mahnkosten in Rechnung gestellt werden sollen?

14. Ein Großhandelsbetrieb erweitert zum 15. Oktober eine Lagerhalle. Dazu nahm er am 1. Oktober bei seiner Hausbank einen Kredit in Höhe von 30 000,00 EUR auf, der mit 8,25 % zu verzinsen ist.

Wie viel EUR beträgt seine Schuld einschließlich Zinsen zum 21. September des folgen-den Jahres, wenn der Zinssatz am 10. Februar auf 8,75 % angehoben worden ist und der Großhandelsbetrieb am 10. Februar 18 000,00 EUR zurückgezahlt hat?

15. Ein Kaufmann erhält am 5. November von seiner Bank ein Darlehen über 20 000,00 EUR. Am 26. Februar des folgenden Jahres zahlt er 7 500,00 EUR, am 15.März 5 000,00 EUR und am 1. April weitere 2 000,00 EUR zurück. Am 23. April tilgt er den Rest. Der Zinssatz betrug bis zum 15. März 62/3 %, danach 71/2 %.

Wie teuer kommt dem Kaufmann der gesamte Kredit, wenn die Bank noch eine einmalige Bereitstellungsgebühr von 1 % der Darlehenssumme verlangt?

Papier Union GmbH & Co KG · PF 100361 · 30941 Ronnenberg

PapiergroßhandlungRudolf Walterbeck e. Kfm.Brückenstr. 10190419 Nürnberg

Datum5. Mai 20 . .

Rechnung Nr. 1347, Überschreiten des Fälligkeitstermins

Sehr geehrter Herr Walterbeck,

Für die Rechnungsnummer 1347, fällig am 25. Januar, ging der Betrag in Höhe von 5 780,75 EUR erst am 3. Mai des Jahres bei uns ein. Leider sehen wir uns gezwungen, Ihnen für die Zeit der Überschreitung des Zahlungstermins Verzugszinsen in Höhe von 9,25 % in Rechnung zu stellen. Mit freundlichen Grüßen

i. A. Busch

92

5.3 Berechnung der Größen Kapital, Zinssatz und Zeit nachder allgemeinen Zinsformel

5.3.1 Berechnung des Kapitals

Beispiel:

Ein Kaufmann erhält am 28. Februar von einem Lieferer für eine nicht rechtzeitig bezahlte Liefe-rung eine Rechnung über 278,10 EUR Verzugszinsen. Der Lieferer rechnete mit einem Zinssatz von 6 %. Die Liefererrechnung ist am 15. November des Vorjahres fällig gewesen.

Aufgabe:

Über welchen EUR-Betrag lautete die Rechnung?

Lösung:

Gegeben: Zinsen: 278,10 EUR Zinssatz: 6 % Zeit: 15. Nov. – 28. Febr. = 103 Tage

Gesucht: Kapital: ?

6,00 EUR in 360 Tagen bei 100,00 EUR Berechnung des Kapitals278,10 EUR in 103 Tagen bei x EUR mithilfe der Formel:

x = 100 · 278,10 · 360

_________________ 6 · 103

durch Umstellung

_________________ erhält man

Kapital = Zinsen · 100 · 360 _________________ Tage · Zinssatz

x = 16 200,00 EUR

Ergebnis: Die Rechnung lautete über 16 200,00 EUR.

Anmerkung: Herleitung der Formel aus der allgemeinen Zinsformel:

Z = K · p · t

_________ 100 · 360

oder: Z · 100 · 360 = K · p · t

oder: Z · 100 · 360 ____________ t · p = K

oder: K = Z · 100 · 360 ____________ t · p

Übungsaufgabe

46 1. Berechnen Sie das Kapital aufgrund der nachfolgenden Angaben!

Nr. Zinsen vom – bis Zinsfuß

1.11.21.31.41.5

16,20 EUR184,40 EUR144,20 EUR290,50 EUR 52,70 EUR

15. April – 1. Juli 1. Juni – 31. Oktober22. Juni – 10. Dezember17. Januar – 31. März 2. Februar – 29. Februar

41/2 %8 %53/4 %31/3 %62/3 %

93

2. Welchen Betrag muss ein Unternehmer bei 61/2 %iger Verzinsung anlegen, damit er nach vier Monaten eine Zinsgutschrift von 220,35 EUR erhält?

3. Ein Unternehmer zahlt als Pacht für eine Lagerhalle für die Zeit vom 2. April – 18. Juli 10 800,00 EUR. Der Pacht ist der Gedanke zugrunde gelegt, dass sich das Objekt zu 53/4 % verzinsen soll.

Mit welchem Wert wurde die Lagerhalle angesetzt?

4. Ein Lieferer stellt einem säumigen Kunden nachträglich insgesamt 431,00 EUR in Rech-nung. Dieser Betrag enthält 8 % Verzugszinsen für 56 Tage sowie 5,40 EUR für Auslagen.

Wie viel EUR betrug der Rechnungsbetrag?

5. Ein Kaufmann nahm am 16. Dezember für Steuer- und Gehaltszahlungen einen Kredit auf. Am 1. März musste er bei einem Zinssatz von 71/2 % 1 687,50 EUR Zinsen zahlen.

Wie viel EUR betrug der Kredit?

6. Welches Kapital brachte vom 1. Juli – 28. November bei 42/7 % Verzinsung 210,00 EUR Zinsen?

7. Zum Kauf eines Lieferwagens nimmt die Großhandlung Franz Klug KG am 15. Januar ein Darlehen zu 81/2 % bei ihrer Hausbank auf. Sie zahlt das Darlehen am 21. Juli durch Bank-überweisung zurück. Für das Darlehen belastet sie die Bank mit 604,50 EUR Zinsen.

Wie viel EUR betrug das Darlehen?

8. Ein Lieferer zieht von einem Kunden durch Banklastschrift die Tilgungsrate in Höhe von 4 000,80 EUR für ein eingeräumtes Darlehen und die fälligen Zinsen in Höhe von 1 209,00 EUR für die Zeit vom 15. März – 21. September ein. Der vereinbarte Zinssatz beträgt 9 %.

Wie viel EUR beträgt das eingeräumte Darlehen?

9. Ein Kaufmann hat am 17. Juli einen Kredit zu 71/5 % in Anspruch genommen. Der Kredit wurde am 2. Dezember zuzüglich 145,80 EUR Zinsen zurückgezahlt.


10. Eine Fahrradreparaturwerkstatt wird zum Verkauf angeboten. Der durchschnittliche monatliche Reingewinn beläuft sich auf 4 500,00 EUR. Für langfristig angelegtes Kapital beträgt der Zinssatz derzeit 6 %.

Wie viel EUR würde ein Käufer bei diesen Voraussetzungen höchstens bezahlen?

11. Der Kaufmann Fritz Alt möchte sich zur Ruhe setzen. Er möchte sein Geschäft verkaufen und den Erlös so anlegen, dass er monatlich 3 250,00 EUR Zinserträge erhält.

Welchen Erlös muss er beim Verkauf seines Geschäftes erzielen, wenn er mit einer durch-schnittlichen Verzinsung der Anlage von 4,8 % rechnet?

94

5.3.2 Berechnung der Zeit

Beispiel:

Ein Kaufmann hat einem Kunden am 15. Januar eine Rechnung in Höhe von 4 500,00 EUR zu einem Zinssatz von 6,5 % gestundet. Der Rückzahlungsbetrag einschließlich Zinsen beträgt 4 682,00 EUR.

Aufgaben:

1. Wie viel Tage wurde die Stundung gewährt?

2. Zu welchem Zeitpunkt ist der Rechnungsbetrag zurückgezahlt worden?

Lösung:

Gegeben: Kapital: 4 500,00 EUR Zinssatz: 6,5 % Zinsen: 182,00 EUR

Gesucht: Tage: ?

Für 100,00 EUR erhält man 6,50 EUR in 360 Tagen Berechnung der TageFür 4 500,00 EUR erhält man 182,00 EUR in x Tagen mithilfe der Formel:

x = 360 · 100 · 182 ______________ 4 500 · 6,5

durch Umstellung

_________________ erhält man

Tage = Zinsen · 100 · 360 _________________ Kapital · Zinssatz

x = 224 Tage

Ergebnis: 1. Der Rechnungsbetrag wurde 224 Tage gestundet. 2. Rückzahlungstermin: 15. Januar + 224 Tage = 29. August


Z = K · p · t

_________ 100 · 360

oder: Z · 100 · 360 = K · p · t

oder: Z · 100 · 360 ____________ K · p

= t

oder: t = Z · 100 · 360 ____________ K · p

Übungsaufgabe

47 1. Wie viel Tage war das Kapital ausgeliehen?

Nr. Kapital Zinssatz Zinsen

1.11.21.31.41.51.6

7 800,00 EUR287,40 EUR

2 610,00 EUR2 920,50 EUR

510,90 EUR50 400,00 EUR

23/8 %31/2 %61/4 %63/4 %8 %6 %

63,90EUR 5,60 EUR 68,40 EUR 54,50 EUR 9,40 EUR784,00 EUR

95

2. Zu welchem Zeitpunkt ist ein Sparkapital von 2 500,00 EUR, das am 2. April bei einer Bank zu 51/4 % angelegt wird, auf 2 620,00 EUR angewachsen?

3. Am 20. August wurde von der Karl Säumig OHG eine Rechnung über 1 680,00 EUR ein-schließlich 6 % Verzugszinsen mit 1 695,96 EUR durch Banküberweisung beglichen.

Zu welchem Zeitpunkt war die Rechnung fällig?

4. An welchem Tag wurde ein Kapital in Höhe von 8 400,00 EUR ausgeliehen, das am 20. No-vember einschließlich 5 % Zinsen mit 8 522,50 EUR zurückbezahlt wurde?

5. Ein Kunde zahlt durch Banküberweisung an die Bauer GmbH am 20. April eine Rechnung über 216,00 EUR zuzüglich 7 % Verzugszinsen mit 220,62 EUR.

An welchem Tag war die Rechnung zur Zahlung fällig?

6. Die Kreissparkasse gewährte einem Unternehmen zur Finanzierung einer Maschine ein Darlehen über 54 000,00 EUR. Der Zinssatz betrug 7,5 %. Das Unternehmen zahlte das Darlehen am 5. September zurück und entrichtete zusätzlich 630,00 EUR Zinsen.

An welchem Tag hatte das Unternehmen das Darlehen aufgenommen?

7. An welchem Tag war eine Rechnung über 15 800,00 EUR fällig, wenn am 17. August dafür einschließlich 6% Verzugszinsen 15 971,16 EUR berechnet werden?

8. Eine Möbelgroßhandlung zahlt am 15. Mai ein Darlehen über 13 200,00 EUR mit 13 450,80 EUR (einschließlich 9,5 % Zinsen) mittels Zahlschein an die Bank zurück.

An welchem Tag wurde das Darlehen aufgenommen?

9. Ein Kapital von 27 000,00 EUR wurde einschließlich 52/3 % Zinsen am 30. November mit 27 850,00 EUR zurückbezahlt.

An welchem Tag wurde das Kapital ausgeliehen?

10. Zur Erweiterung der Lagerräume nimmt ein Großhändler am 12. Juni bei seiner Bank einen Kredit in Höhe von 9 000,00 EUR zu einem Zinssatz von 7 % auf.

An welchem Tage wurde der Kredit einschließlich Zinsen in Höhe von zusammen 9 472,50 EUR zurückgezahlt?

11. Wir haben bei unserer Hausbank ein Darlehen in Höhe von 18 000,00 EUR in Anspruch ge-nommen. Die Bank berechnet 101/2 % Zinsen. An Zinsen wurden uns 341,25 EUR belastet.

Für wie viel Tage haben wir das Darlehen aufgenommen?

12. Ein Unternehmer hat am 18. Januar einen Kredit einschließlich 9 % Zinsen in Höhe von 9 576,25 EUR zurückgezahlt.

An welchem Tag wurde der Kredit über 9 400,00 EUR aufgenommen?

13. Ein Kaufmann nimmt einen Kredit in Höhe von 10 000,00 EUR auf. Am 30. August zahlt er für diesen Kredit nachträglich 325,56 EUR Zinsen. Am 22. Juni erhöhte sich der Zinssatz von 8 % auf 9 %.

13.1 Berechnen Sie den Zinsanteil für die Zeit vor und nach der Erhöhung!

13.2 An welchem Tag hat der Kaufmann den Kredit aufgenommen?

96

5.3.3 Berechnung des Zinssatzes (Nominalzinssatzes)

Beispiel:

Für die verspätete Zahlung einer Liefererrechnung in Höhe von 6 150,00 EUR wird ein Kaufmann vom Lieferer mit Verzugszinsen in Höhe von 51,25 EUR belastet. Der Zahlungstermin wurde um 60 Tage überschritten.

Aufgabe:

Welchen Zinssatz legte der Lieferer zugrunde?

Lösung:

Gegeben: Zinsen: 51,25 EUR Kapital: 6 150,00 EUR Tage: 60 Tage

Gesucht: Zinssatz: ?

Für 6 150,00 EUR in 60 Tagen 51,25 EUR Zinsen Berechnung des ZinssatzesFür 100,00 EUR in 360 Tagen x EUR Zinsen mithilfe der Formel:

x = 51,25 · 100 · 360

________________ 6 150 · 60

Zinssatz = Zinsen · 100 · 360 _________________ Kapital · Tage

x = 5,00 EUR für 100,00 EUR Kapital im Jahr; d. h., der Zinssatz beträgt 5 %.

Ergebnis: Der zugrunde gelegte Zinssatz des Lieferers beträgt 5 %.


Z = K · p · t

_________ 100 · 360

oder: Z · 100 · 360 = K · p · t

oder: Z · 100 · 360 ____________ K · t

= p

oder: p = Z · 100 · 360 ____________ K · t

Übungsaufgabe

48 1. Berechnen Sie den Zinssatz aufgrund der nachfolgenden Angaben!

Nr. Kapital vom – bis Zinsen

1.11.21.31.41.5

3 440,80 EUR790,50 EUR

12 970,00 EUR2 150,80 EUR

48 500,00 EUR

23. März – 29. Juli 2. Jan. – 15. Mai15. Nov. – 1.März31. März – 29. Mai13. März – 30. Juli

59,70 EUR 22,70 EUR294,20 EUR 24,10 EUR681,50 EUR

97

2. Ein Kaufmann hat ein Kapital von 45 000,00 EUR als Termingeld vom 15. Februar bis 30. Juni bei der Bank angelegt und erhält eine Zinsgutschrift von 911,25 EUR.

Welcher Zinssatz war vereinbart?

3. Zu welchem Zinssatz war ein Kapital von 43 200,00 EUR ausgeliehen, das vom 15. Januar bis 5. September 2 070,00 EUR Zinsen brachte?

4. Zu welchem Zinssatz war ein Kapital von 18 500,00 EUR ausgeliehen, das vom 12. Mai bis 18. Dezember 777,00 EUR Zinsen brachte?

5. Ein Großhandelsunternehmen zahlt am 20. Juni ein Darlehen, das es am 11. März in Höhe von 6 240,00 EUR aufgenommen hatte, einschließlich der Zinsen mit 6 394,44 EUR durch Banküberweisung zurück.

Welcher Zinssatz war bei der Darlehensaufnahme vereinbart worden?

6. Eine Bank räumte einem Unternehmen einen kurzfristigen Kredit in Höhe von 10 000,00 EUR ein, den dieses vom 15. Juni bis 30. August beanspruchte. Am 20. August zahlte das Unternehmen einschließlich der Zinsen 10 250,00 EUR zurück.

Wie viel Prozent betrug der Zinssatz?

7. Eine Rechnung über 6 400,00 EUR, fällig am 26. Februar, wird am 8. April einschließlich Verzugszinsen mit 6 444,80 EUR bezahlt.

Wie viel Prozent Verzugszinsen wurden berechnet?

8. Ein Großhändler gewährt einem Kunden 30 Tage Ziel für die Bezahlung der gelieferten Waren im Wert von 11 250,00 EUR mit Rechnungsdatum vom 14. September. Der Kunde zahlt die Rechnung am 29. Dezember einschließlich 187,50 EUR Verzugszinsen.


9. Der Unternehmer Friedrich Gut hat auf dem Verwaltungsgebäude eine Grundschuld über 85 400,00 EUR eingetragen. An Zinsen werden vierteljährlich 1 708,00 EUR fällig.

Zu welchem Zinssatz muss die Grundschuld verzinst werden?

10. Ein Großhandelsunternehmen erhält vom Warenlieferer eine Rechnung über 10 720,00 EUR, zahlbar innerhalb 30 Tagen netto, Rechnungsdatum 2. November 01. Das Großhan-delsunternehmen überweist den Betrag einschließlich 187,60 EUR Verzugszinsen erst am 17. März 02 auf eine Mahnung des Lieferers.

Welchen Zinssatz hat der Lieferer bei der Berechnung der Verzugszinsen zugrunde ge-legt?

5.4 Verschiedene Aufgaben zum Zinsrechnen

49 1. Eine Rechnung über 9 600,00 EUR, fällig am 28. März, wird am 15. Mai einschließlich Ver-zugszinsen mit 9 667,20 EUR bezahlt.


2. Einem Kunden wurde eine am 1. Aug. fällige Rechnung bis zum 30. Sept. gestundet. Ein-schließlich 8% Zinsen beträgt der Rückzahlungsbetrag 15 318,24 EUR.

Berechnen Sie den Rechnungsbetrag und die eingerechneten Zinsen!

98

3. Wir haben am 15. April bei unserer Hausbank einen Kredit in Höhe von 12 240,00 EUR in Anspruch genommen. Die Bank berechnet 8 % Zinsen. Der Rückzahlungsbetrag einschließ-lich der Zinsen betrug 12 389,60 EUR.

An welchem Tag haben wir den Kredit zurückgezahlt?

4. Zum Kauf eines neuen Lkws nimmt ein Kaufmann am15. März ein Darlehen zu 9 % bei sei-ner Bank auf. Er zahlt es am 21. September zurück. Für das Darlehen muss er 1 209,00 EUR an Zinsen bezahlen.


5. Ein Großhändler hat zur Modernisierung seiner Geschäftsräume vor 8 Monaten ein Dar-lehen in Höhe von 36 000,00 EUR zu 8 % Zinsen aufgenommen. 3 Monate nach der Kredit-aufnahme hat er einen Teil des Darlehens in Höhe von 12 000,00 EUR zurückgezahlt.

Wie viel EUR sind heute, am Ende der Kreditlaufzeit, an die Bank einschließlich der Zinsen zu zahlen?

6. 6.1 Für ein am 8. Februar aufgenommenes Darlehen in Höhe von 54 500,00 EUR werden am 30. Juni 1 090,00 EUR Zinsen fällig.

Berechnen Sie den Zinssatz!

6.2 Ein Darlehen wurde vom 12. März bis 30. Juni zu 6,25% ausgeliehen. An Zinsen fallen 216,00 EUR an.

Berechnen Sie die ausgeliehene Darlehenssumme!

6.3 In welcher Zeit bringen 3 600,00 EUR, die zu 9 % angelegt sind, 76,50 EUR Zinsen?

7. Ein Kaufmann nimmt bei seiner Bank ein Darlehen in Höhe von 30 000,00 EUR zu 81/2 % auf, ein zweites Darlehen zu 9 %. Die Zinsen entrichtet er halbjährlich für beide Darlehen zusammen. Für das erste Halbjahr hat er 2 895,00 EUR Zinsen zu zahlen.

Über welchen EUR-Betrag lautet das zweite Darlehen?

8. Fritz Berger hat ein Mietshaus geerbt. Die monatlichen Mieteinnahmen betragen 3 100,00 EUR. An Kosten fallen an:

Zinsen für eine 1. Grundschuld von 65 000,00 EUR zu 7 %; Zinsen für eine 2. Grundschuld von 45 000,00 EUR zu 8 %; Heizkosten und Warmwasser 8 000,00 EUR jährlich; Abschrei-bung 12 500,00 EUR jährlich; Reparaturen 1 200,00 EUR jährlich; Steuern und Abgaben 750,00 EUR vierteljährlich.

Welchen Wert hat das Haus, wenn man in ähnlichen Wohnlagen mit einer Nettorendite von 0,5 % rechnet? (Verzinsung des eingesetzten Kapitals.)

9. Für die Modernisierung seiner Büroräume benötigt ein Steuerberater einen Kredit von 48 000,00 EUR. Er vereinbart mit seiner Bank einen variablen Zinssatz. Bis zum 15. Septem-ber hatte der Steuerberater 9 % zu zahlen. Das sind 2 220,00 EUR Zinsen. Danach wird der Zinssatz gesenkt. Am Jahresende zahlt er für die gesamte Kreditdauer des vergangenen Jahres 3 364,00 EUR Zinsen.

9.1 Wie viel Prozent beträgt der Zinssatz nach der Senkung?

9.2 An welchem Tag wurde der Kredit aufgenommen?

99

5.5 Berechnung des Effektivzinssatzes

5.5.1 Berechnung des Effektivzinssatzes am Beispiel von Kreditkosten

Bei der Aufnahme von Krediten werden den Kreditnehmern in der Regel nicht nur Zinsen, sondern auch eine Bearbeitungsgebühr sowie sonstige Kosten wie Auslagen für Porto u. a. berechnet.

Um alternative Kreditangebote vergleichen zu können, ist es sinnvoll, die gesamten Kre-ditkosten als Zinssatz auszudrücken, um so den tatsächlichen Zinssatz, d. h. den Effektiv-zinssatz, zu erhalten.

Wir merken uns:

Der Effektivzinssatz drückt die gesamten Kosten für den Kredit in Prozenten der Kre-ditsumme aus.

Beispiel:

Für einen Kredit in Höhe von 90 000,00 EUR, der für 180 Tage in Anspruch genommen wird, berechnet die Stadtsparkasse Stuttgart 8 % Zinsen und ein Disagio von 2 %.

Aufgabe:

Wie viel Prozent beträgt der tatsächliche Zinssatz (Effektivzinssatz)?

Lösung:

Berechnung der tatsächlichen Kreditkosten

8 % Zinsen von 90 000,00 EUR für 180 Tage 3 600,00 EUR+ 2 % Disagio 1 800,00 EUR

Kreditkosten insgesamt 5 400,00 EUR

Berechnung des Effektivzinssatzes nach der Zinsformel

Effektiver Zinssatz = 5 400 · 100 · 360 ________________ 88 200 · 180

= 12,24 %

Ergebnis: Der effektive Zinssatz beträgt 12,24 %.

Übungsaufgabe

50 1. Ein Kredit über 10 000,00 EUR wird nach 5 Jahren getilgt. Der Zinssatz beträgt 8 %, das Damnum1 5 %. Außerdem wird eine einmalige Kreditprovision von 2 % vereinbart.

Wie viel Prozent beträgt der effektive Jahreszinssatz?

1 Damnum (lat.): Schaden, Verlust. Hier bedeutet das Damnum eine Vergütung, die für die Gewährung von Darlehen bezahlt wird. Im Ergebnis bedeutet dies eine Kürzung des auszuzahlenden Darlehensbetrags.

100

2. Für die Erweiterung des Lagers benötigt ein Kaufmann für die Zeit vom 15. März – 24. Ok-tober einen Kredit in Höhe von 32 000,00 EUR. Auf seine Anfrage erhält der Kaufmann folgende Angebote:

1. Angebot: 9,75 % Zinsen + 0,3 % Bearbeitungsgebühr von der Kreditsumme+ 24,67 EUR Auslagenersatz.

2. Angebot: 7,75 % Zinsen + 0,8 % Bearbeitungsgebühr von der Kreditsumme.

Bei beiden Angeboten wird die Bearbeitungsgebühr jeweils von der Kreditsumme einbe-halten.

Berechnen Sie für beide Angebote den Effektivzinssatz!

5.5.2 Berechnung des Effektivzinssatzes am Beispieldes Skontosatzes

Der Skonto ist der Preis für die Ausnutzung eines Lieferantenkredits. Da der Skonto in einem Prozentsatz, die Kosten für andere Kreditarten aber in einem Zinssatz angegeben werden, ist ein Kostenvergleich nur möglich, wenn man den Prozentsatz für den Skonto in einen effektiven Zinssatz umwandelt.

Beispiel 1:

Ein Großhändler erhält aufgrund einer Lieferung eine Rechnung über 2 000,00 EUR. Die Zah-lungsbedingungen lauten: zahlbar innerhalb von 10 Tagen mit 2 % Skonto oder Zahlungsziel 30 Tage rein netto.

Aufgabe:

Welchem Zinsfuß entspricht der gewährte Skonto von 2%?

Dauer des Lieferantenkredits20 Tage

0 10 30 Tage

Zahlung mit Zahlung Skontoabzug rein netto

Um den Skonto in Anspruch nehmen zu können, genügt es, wenn die Rechnung am 10. Tag nach der Ausstellung beglichen wird. Der Skonto wird also dafür gewährt, dass 20 Tage vor Ablauf des Zahlungsziels gezahlt wird. Unter Berücksichtigung, dass sich der Zinssatz immer auf ein Jahr (360 Tage) bezieht, erhalten wir für die Umrechnung des Skontosatzes in einen effektiven Zinssatz folgenden Ansatz.

Lösung:

In 20 Tagen erhalten wir 2 %In 360 Tagen erhalten wir x % x = 2 · 360 _______

20 = 36 %

Ergebnis: Dem Skontosatz von 2 % für 20 Tage entspricht nach einer allgemein angewandten gro-ben Faustformel ein Zinssatz von 36 %.

Faustformel: Zinssatz = Skontosatz · 360 _________________________ (Zahlungsziel – Skontofrist)

101

Bei einer genauen Umrechnung des Skontosatzes in einen Zinssatz ist im Zähler statt des Skontosatzes der Skontobetrag und im Nenner die effektiv beanspruchte Kredithöhe in die Berechnungsformel einzubeziehen.

Zinssatz = Skontobetrag · 100 · 360

___________________________________________________________ (Rechnungsbetrag – Skontobetrag) · (Zahlungsziel – Skontofrist)

Zinssatz = 40 · 100 · 360 _____________ 1 960 · 20

= 36,73 %

Fehlt ein absoluter Betrag, dann kann folgende Formel angewandt werden:

Zinssatz = Skontosatz · 360 ___________________________________________ 100 – Skontosatz ________________

100 · (Zahlungsziel – Skontofrist)

Wegen der hohen Kosten, die der Verzicht auf eine Zahlung mit Skontoabzug für einen Kaufmann bedeutet, sollte er immer bestrebt sein, seine Rechnungen unter Abzug von Skonto zu begleichen. Da dem Prozentsatz für den Skonto ein sehr hoher Zinssatz ent-spricht, ist eine Zahlung mit Skontoabzug im Allgemeinen auch dann vorteilhaft, wenn man sich die für die vorzeitige Zahlung erforderlichen Mittel durch einen Bankkredit be-schaffen muss.

Beispiel 2:

Angenommen, dem Großhändler fehlen die nötigen Finanzmittel, um die Rechnung aus Bei-spiel 1 (vgl. Seite 100) innerhalb der Skontofrist begleichen zu können.

Aufgabe:

Lohnt es sich für den Großhändler zur Ausnutzung des Skontos einen entsprechenden Bank-kredit in Anspruch zu nehmen, wenn die Bank (einschließlich aller Kosten) 12 % Zinsen verlangt?

Lösung:

Rechnungsbetrag 2 000,00 EUR– 2 % Skonto 40,00 EUR

Zahlung (benötigter Kredit) 1 960,00 EUR

Gegeben: benötigter Kredit (Kapital) 1 960,00 EUR Kreditzeit 20 Tage Zinssatz 12 %

Gesucht: Zinsen: ? Zinsen = 1 960 · 12 · 20 _____________ 100 · 360

= 13,07 EUR

Die Kosten für den beanspruchten Bankkredit betragen 13,07 EUR.

Skontoertrag bei vorzeitiger Zahlung 40,00 EUR– Kosten des Bankkredits für 20 Tage 13,07 EUR

Nettoersparnis 26,93 EUR

Ergebnis: Trotz des benötigten Bankkredits für die vorzeitige Zahlung hat der Großhändler noch eine Nettoersparnis in Höhe von 26,93 EUR.

102

Übungsaufgabe

51 1. Welchem Jahreszinsfuß entspricht der jeweils gewährte Skontoabzug in den folgenden Zahlungsbedingungen?

1.1 Zahlbar innerhalb von 8 Tagen mit 2 % Skonto oder innerhalb von 30 Tagen rein netto.

1.2 Zahlbar innerhalb von 10 Tagen mit 3 % Skonto oder innerhalb von 60 Tagen rein netto.

2. Neben Zinsen verlangt ein Kreditinstitut noch eine Bearbeitungsgebühr von 11/4 %.

Welchem Zinssatz entspricht die Bearbeitungsgebühr, wenn wir den Kredit für 6 Monate beanspruchen?

3. Der Eisenhandlung Klier OHG werden von einem Lieferer folgende Zahlungsbedingungen eingeräumt: „Zahlbar innerhalb 30 Tagen netto oder innerhalb 10 Tagen mit 3 % Skonto.”

3.1 Welchem Jahreszinsfuß entspricht der Skontosatz von 3 %?

3.2 Der Rechnungsbetrag für einen Wareneinkauf beträgt 8 125,00 EUR. Wie viel EUR spart die Klier OHG bei Ausnutzung des Skontos, wenn sie für die Zah-

lung einen Bankkredit mit einer Verzinsung von 9,5 % in Anspruch nimmt?

5.5.3 Verschiedene Aufgaben zur Berechnung des Effektivzinssatzes

52 1. 1.1 Ein Unternehmer hat bei seiner Bank am 8. August einen Kredit über 45 000,00 EUR zu 9,5 % aufgenommen.

An welchem Tag muss er ihn zurückzahlen, wenn er nicht mehr als 2 137,50 EUR Zin-sen bezahlen möchte?

1.2 Ein Darlehen in Höhe von 150 000,00 EUR, Laufzeit 8 Monate, ist mit 7,5 % zu verzin-sen.

Wie viel Prozent beträgt der effektive Jahreszinssatz, wenn dieses Darlehen zu 96 % ausbezahlt wurde und die Bank noch 150,00 EUR Bearbeitungsgebühr in Rechnung stellte? Die Bearbeitungsgebühr wird gesondert vom Girokonto abgebucht.

2. Eine Großhandlung erhält von einem Lieferer folgende Rechnung: Rechnungsdatum 4. Oktober 01, Rechnungsbetrag einschließlich 19 % Umsatzsteuer

10 720,00 EUR, zahlbar innerhalb 30 Tagen netto oder innerhalb 8 Tagen mit 3 % Skonto.

2.1 Welchem Jahreszinssatz entspricht der Skontosatz von 3 % bei den gegebenen Zah-lungsbedingungen?

2.2 Die Großhandlung zahlt erst am 19. Februar 02 mit Bankscheck nach einer Mahnung. Der Lieferer berechnet 275,20 EUR Verzugszinsen.

Welchen Zinssatz hat der Lieferer bei der Berechnung der Verzugszinsen zugrunde gelegt?

2.3 Wie viel EUR hätte die Großhandlung bei rechtzeitiger Zahlung unter Ausnutzung des Skontos bei der Inanspruchnahme eines Bankkredites zu 9,5 % sparen können?

3. Von unserem Lieferer erhalten wir folgende Zahlungsbedingungen: Zahlbar innerhalb 20 Tagen netto oder innerhalb 8 Tagen mit 2% Skonto.

3.1 Welchem Jahreszinsfuß entspricht der Skonto?

3.2 Der Rechnungsbetrag für einen Wareneinkauf beträgt 1 580,00 EUR. Wie viel EUR sparen wir bei Ausnutzung des Skontos, wenn wir für die Zahlung einen Bankkredit in Höhe von 83/4 % in Anspruch nehmen müssen?

103

Teil B: Algebra und Funktionen

1 Aussagen und Aussageformen

Aussagen

Die Stadt Berlin wirbt mit dem Slogan „Berlin ist eine Reise wert”. Dieser Behauptung kann man zu-stimmen oder auch nicht.

In der Mathematik dagegen muss man eindeutig sagen können, ob „etwas” stimmt oder nicht bzw. ob es wahr oder falsch ist.

„Ausdrücke”, die wahr oder falsch sind, nennt man Aussagen.

Nichtmathematische Aussagen

■ Rom ist die Hauptstadt von Italien.

Dies ist eine wahre Aussage (w. A.).

■ Ein Handy gab es schon im 18. Jahrhundert.

Diese Aussage ist falsch (f. A.)

Mathematische Aussagen

■ 4 + 3 = 7 Es handelt sich hierbei um eine wahre Aussage (w. A.).

■ 5 · 4 + 3 = 18 ist eine falsche Aussage.

Keine Aussagen

■ Gehen Sie die Treppe hinauf!

Hier kann man nicht nach wahr oder falsch fragen. Es handelt sich um keine Aussage.

■ „5 · 4 + 3” ist keine Aussage, da man nicht sagen kann, ob dies wahr oder falsch ist.

Beachten Sie:

Eine Aussage ist entweder wahr (w) oder falsch (f).

Übungsaufgabe

53 1. Welche Ausdrücke sind Aussagen? Begründen Sie Ihre Behauptung.

1.1 Für alle Zahlen gilt: a · b = b · a 1.2 Galilei hat im 17. Jh. gelebt

1.3 3 · (2 + 5) – 4 = 17 1.4 Der Bodensee ist groß.

1.5 4 4 1.6 Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°.

2. Lesen Sie einen Zeitungsartikel. Bei welchen Sätzen des Artikels handelt es sich um

Aussagen? Begründen Sie Ihre Behauptung.

104

1.1 Aussageformen

In vielen Formularen, Kreuzworträtseln und Rechenaufgaben findet man „unvollständige” Sätze wie z. B.: . . . ist Schüler. Zwei mal . . . ist 4,5? . . . liegt am Bodensee.

In diesem Fall enthalten die (unvollständigen) Sätze Leerstellen (Platzhalter oder Variab-len). Da man nicht sagen kann, ob der Satz wahr oder falsch ist, handelt es sich nicht um eine Aussage. In diesem Fall spricht man von Aussageformen.

Erst nachdem man für die Leerstellen „etwas” eingesetzt hat, kann man entscheiden, ob diese Sätze (Aussageformen) wahr oder falsch sind.

Z. B.: Aussageform . . . liegt am Bodensee.

Einsetzen von z. B. Hamburg für die Leerstelle ergibt die (falsche) Aussage:

Hamburg liegt am Bodensee.

Die Aussageform wird durch das Einsetzen zu einer Aussage.

Nichtmathematische Aussageformen

Beispiele: . . . ist ein Gewürz.

. . . ist schneller als der Transrapid.

Mathematische Aussageformen

Beispiel: 4 · . . . = 15

Statt . . . schreibt man auch oft kleine Buchstaben z. B. x, y, z, a, b usw.

Die Aussageform lautet dann: 4 · x = 15. x ist die Variable (der Platzhalter, die Leerstelle).

Setzt man für x die Zahl 3,75 ein, so erhält man 4 · 3,75 = 15 (wahre Aussage)

Setzt man für x die Zahl 3 ein, so erhält man 4 · 3 = 15 (falsche Aussage)

Beispiel: y + 3,15 = 12,5 Aussageform mit der Variablen y

Beachten Sie:

■ Leerstellen nennt man auch Platzhalter oder Variable.

■ Mathematische Aussageformen gehen durch Einsetzen einer Zahl für die Variable in wahre oder falsche Aussagen über.

Übungsaufgabe

54 1. Setzen Sie in die Aussageform 4 + 3x = 7,9 nacheinander die Zahlen 4; 5; 1,3; – 4 und 0 ein. Ermitteln Sie, ob eine wahre oder falsche Aussage vorliegt.

2. Setzen Sie in die Aussageform 2a + b – c = – 4 die Zahl 5 für a, – 4 für b und 6 für c ein und entscheiden Sie, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

Wählen Sie eine „Belegung” für a, b und c so, dass eine wahre Aussage entsteht.

3. Handelt es sich bei dem Ausdruck „18 – 4x“ um eine Aussageform?

Begründen Sie Ihre Behauptung.

Für . . . ein Wort einsetzen.

fbhij

105

1.2 Grundmenge und Lösungsmenge

Gegeben ist die Aussageform:

„. . . ist eine deutsche Stadt”.

In diesem Fall erhält man nur eine Aussage, wenn man Städtenamen einsetzt. Man kann sich eine „Menge” von Städtenamen vorgeben und anschließend überprüfen, ob eine wahre oder fasche Aussage entsteht.

Die „Menge” der Städtenamen, von der man ausgeht, nennt man Grundmenge G oder Grundbereich der Aus-sageform.

Beispiele:

1. Grundmenge G = {München; Mailand; Ulm; Hamburg; Wien}

Aussageform: „. . . ist eine deutsche Stadt”

Setzt man „Mailand” oder „Wien” ein, so erhält man jeweils eine falsche Aussage.

Setzt man „München”; „Ulm” oder „Hamburg” ein, so erhält man jeweils eine wahre Aussage.

Alle Elemente (Namen) aus der Grundmenge, die zu einer wahren Aussage führen, gehören zur Lösungmenge L. L = {München; Ulm; Hamburg}

2. Grundmenge G = {– 5; 4; 5} Aussageform 3 + 2x = 13

– 5 für x einsetzen 3 + 2 · (– 5) = 13

Aussage – 7 = 13 falsche Aussage

Für x setzen wir 4 ein 3 + 2 · 4 = 13 falsche Aussage

Für x setzen wir 5 ein, d. h. x = 5 3 + 2 · 5 = 13 wahre Aussage

Setzt man das Element 5 für x ein, so erhält man eine wahre Aussage.

Die Zahl 5 ist eine Lösung dieser Gleichung. Sie gehört zur Lösungsmenge L.

Lösungsmenge L = {5}

3. Grundmenge G = {0; 1; 2: 3: 4} Aussageform 2x < 7

Einsetzen der Zahlen von G ergibt eine wahre Aussage für 0; 1; 2; 3

Lösungsmenge L = {0; 1; 2; 3}

Beachten Sie:

■ Die Grundmenge G enthält alle Elemente, die für die Variable eingesetzt werden dürfen.

■ Die Lösungsmenge L enthält alle Elemente aus G, die beim Einsetzen in die Aussage-

form eine wahre Aussage ergeben.

Mailand

München

Ulm Wien

Hamburg

106

Beispiel:

Gegeben ist die Grundmenge G = {– 5; 0,5; 3} und die Aussageform 4 – 2x = 3.

Bestimmen Sie die Lösungsmenge L.

Lösung:

Man setzt alle Zahlen aus G in die Aussageform ein.

x – 5 0,5 3 4

4 – 2x = 34 – 2( – 5)= 3

14 = 3

4 – 2(0,5)= 3

3 = 3

4 – 2 · 3 = 3

– 2 = 3

4 – 2 · 4 = 3

– 4 = 3

Wahrheitsgehalt falsch wahr falsch falsch

Lösungsmenge L = {0,5}

Sprechweise: Die Lösungsmenge enthält das Element 0,5.

0,5 ist die Lösung dieser Aussageform.

In der Mathematik treten Aussagen und Aussageformen oft als Gleichungen oder Unglei-chungen auf.

Z. B.: 3 + 6 = 9 ist eine wahre Aussage. 3 > 7 ist eine falsche Aussage. 15 6 + x Diese Aussageform heißt Ungleichung. – 5 + 4(x– 2) = 17 Diese Aussageform heißt Gleichung. 1222222322222225 12325 Term Term

Festlegung: Ausdrücke, die in einer Gleichung links bzw. rechts vom Gleichheitszei-chen stehen, nennt man Terme.

Beispiele für Terme:

a) 3 + 6 b) 9 c) 6 + x d) – 5 + 4(x– 2) e) x 2 + 4x + 5

Bemerkung: „32 +” ist kein Term, da in diesem Fall kein sinnvoller mathematischer Ausdruck vorliegt.

Übungsaufgabe

55 1. Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung mit G = {– 2, – 1; 0; 1; 2}.

1.1 7 + x = 9 1.2 3x = 0 1.3 5x – 2 = 2x + 1 1.4 x(x – 1) = – 17

2. Lösen Sie folgende Ungleichung in der Grundmenge G = { – 5; – 4; – 3; – 2; – 1; 0}

2.1 x < 2 2.2 2x > 1 2.3 5 + x 3 2.4 3x – x + 1

3. Bestimmen Sie eine Grundmenge und eine Gleichung mit folgender Lösungsmenge.

3.1 L = {20} 3.2 L = {– 17 ___

4 } 3.3 L = {1; 2} 3.4 L = G

4. Geben Sie jeweils zwei Aussagen, Aussageformen und Terme an.

107

2 Mengen

2.1 Begriff der Menge

Die speziellen Mengen – Grundmenge und Lösungsmenge – haben wir bei Aussage-formen schon kennengelernt.

Allgemein versteht man unter einer Menge eine Zusammenfassung von „Elementen” zu einem Ganzen.

Beachten Sie:

Der Begründer der Mengenlehre, Georg Cantor (1845–1918), versteht unter einer Menge jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer An-schauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.

2.2 Darstellungen von MengenEine Menge kann in verschiedenen Formen (Schreibweisen) angegeben werden.

Schreibweisen für Mengen

Mengen werden mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet: A; B; C; M usw.

Betrachten wir die Menge M mit den natürlichen Zahlen 4; 5; 6; 7; 8.

a) Aufzählende Form M = {4; 5; 6; 7; 8}

gelesen: Zur Menge M gehören die Elemente 4; 5; 6; 7; 8.

In der aufzählenden Form schreibt man die zur Menge M zusammengefassten Ele-mente zwischen zwei geschweiften Klammern. Die Reihenfolge spielt keine Rolle.

b) Venn-Diagramm

Bemerkung: Mit den Zeichen ∈ und ∉ drückt man aus, ob ein Element zu einer Menge gehört oder nicht.

Beispiel:

4 ∈ M gelesen: 4 ist ein Element der Menge M. 4 gehört zur Menge M.

10 ∉ M gelesen: 10 ist kein Element der Menge M. 10 gehört nicht zur Menge M.

c) Beschreibende Form

M = {x | x ist eine natürliche Zahl und x ist größer als 3 und kleiner als 9}

gelesen: M ist die Menge aller x, für die gilt:

x ist eine natürliche Zahl und x ist größer als 3 und kleiner als 9.

Kurzschreibweise: M = {x | x ∈ N ⋀ x > 3 ⋀ x < 9} = {x | x ∈ N ⋀ 3 < x < 9}

Bemerkung: Die Menge der natürlichen Zahlen bezeichnet man mit N.

(Siehe nächste Seite ). „⋀” ist das Zeichen für „und”.

4 5

6

7 8

M

108

2.3 Eigenschaften von Mengen

a) Endliche Menge

Die Menge M = {4; 5; 6; 7; 8} hat 5 Elemente, also endlich viele Elemente. In diesem Fall spricht man von einer endlichen Menge.

b) Unendliche Menge

Hat eine Menge unendlich viele Elemente, so heißt sie unendliche Menge.

Beispiele:

A = {1; 4; 9; 16; . . .}= {x |x ist Quadratzahl}

B = {x | x ist Primzahl} = {2; 3; 5; 7; 11; 13; . . .}

N = {0; 1; 2; 3; . . .} Menge der natürlichen Zahlen

c) Leere Menge

Hat eine Menge kein Element, so sagt man, sie ist leer (leere Menge).

Symbol für die leere Menge: Ø

Beispiel:

D = {x | x ist eine natürliche Zahl und kleiner als null}= Ø

Übungsaufgabe

56 1. Geben Sie folgende Mengen in beschreibender Form an.

1.1 A = {0; 1; 2} 1.2 B = {5} 1.3 C = {0; 1; 2; 3; . . .}

1.4 D = {2; 4; 6; 8} 1.5 E = {2; 4; 6; 8; . . .} 1.6 F = {0; 1; 4; 16; 25}

2. Schreiben Sie folgende Mengen in aufzählender Form.

Welche Mengen sind endlich, welche unendlich?

x sei eine natürliche Zahl, d. h. x ∈ {0; 1; 2; 3; 4; . . . }.

2.1 A = {x | x < 6} 2.2 B = {x | x 6} 2.3 C = {x | x = 7}

2.4 D = {x | 4 < x < 7} 2.5 E = {x | 5 < x 9} 2.6 F = {x | x 7}

3. Geben Sie folgende Mengen in aufzählender Form an.

3.1 Menge A der Fünferzahlen von 10 bis 30.

3.2 Menge B der Quadratzahlen zwischen 20 und 50.

3.3 Menge C der geraden natürlichen Zahlen größer als 3.

3.4 Menge D der Schüler/-innen Ihrer Klasse, deren Vornamen mit dem Buchstaben A anfängt.

4. Die Grundmenge sind die Buchstaben des Alphabets. Geben Sie in aufzählender Form an.

4.1 A = {x | x ist ein Vokal}

4.2 B = {x | x kommt im Wort Menge vor}

4.3 C = {x | x ist ein Konsonant}

4.4 D = {x | x ist kein Konsonant und kein Vokal}

5. Geben Sie die leere Menge in einer beschreibenden Form an.

109

2.4 Verknüpfungen von Mengen

a) Schnittmenge

Festlegung: Unter der Schnittmenge zweier Mengen A und B versteht man die Menge aller Elemente, die zu A und zu B gehören, d. h., die sowohl zu A als auch zu B gehören. Für die Schnittmenge (A geschnitten mit B) schreibt man: A ∩ B.

Beispiel:

Gegeben sind die Mengen A = {3; 4; 5; 6} und B = {5; 6; 7}.

1. Bestimmen Sie die Schnittmenge A ∩ B.

2. Stellen Sie A ∩ B in einem Venn-Diagramm dar.

Lösung:

Zu 1.: A ∩ B = {5; 6}

Zu 2.: Darstellung im Venn-Diagramm

b) Vereinigungsmenge

Festlegung: Unter der Vereinigungsmenge zweier Mengen A und B versteht man die Menge aller Elemente, die zu A oder zu B gehören, d. h., die entweder in A oder in B oder in beiden Mengen liegen.

Für die Vereinigungsmenge (A vereinigt mit B) schreibt man: A ∪ B.

Beispiel:

Gegeben sind die Mengen A = {1; 2; 3; 4} und B = {2; 3; 4; 5; 6}

1. Bestimmen Sie die Vereinigungsmenge A ∪ B.

2. Stellen Sie A ∪ B im Venn-Diagramm dar.

Lösung:

Zu 1.: A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Bemerkung: Da die Elemente einer Menge unterscheidbar sein müssen, darf z. B. das Element 3 nur

einmal in der Vereinigungsmenge enthalten sein.


Bemerkung: A ∩ B = {2; 3; 4}

A A ∩ B

B

3

4

5 6

7

A A ∪ B B

1 2 4

3

5

6

110

c) Teilmengen

Beispiel:

Gegeben sind die Mengen A = {5; 6; 7} und B = {1; 2; 5; 6; 7; 8}.

1. Bestimmen Sie die Schnittmenge A ∩ B. Welche Besonderheit können Sie feststellen?

2. Stellen Sie A ∩ B im Venn-Diagramm dar.

Lösung:

Zu 1.: A ∩ B = {5; 6; 7} = A

Besonderheit: A ∩ B = A

Jedes Element von A gehört auch zu B.

Man sagt, A ist eine Teilmenge von B.

Schreibweise: A ⊆ B


Festlegung: Die Menge A ist Teilmenge der Menge B, wenn jedes Element von A auch

zu B gehört. Schreibweise: A ⊆ B.

Bemerkung: Die Menge A ist Teilmenge von A. Es gilt: A ⊆ A.

Für die leere Menge Ø setzt man fest, dass sie eine Teilmenge jeder anderen Menge ist, d. h. Ø ⊆ A.

Übungsaufgabe

57 1. Geben Sie A ∩ B an. Zeichnen Sie ein Venn-Diagramm.

1.1 A = {2; 4; 5; 11; 12} B = {1; 3; 4; 5; 12; 13}

1.2 A = {1; 4; 8} B = {2; 5; 7}

1.3 A = {2; 5; 7; 8} B = {2; 7; 8}

2. Geben Sie A ∪ B und A ∩ B an. Zeichnen Sie jeweils ein Mengenbild (Venn-Diagramm).

2.1 A = {0; 2; 4; 5} B = {2; 3; 6}

2.2 A = {1; 4; 8} B = {1; 4; 8}

2.3 A = {7; 8} B = {5; 7; 8}

3. Gegeben ist die Menge A = {4; 5; 7}. Geben Sie alle Teilmengen von A an.

4. Die Menge A der Schüler und die Menge B der Schülerinnen einer beruflichen Schule sind Teilmengen der Menge C aller Schüler dieser Schule.

Zeichnen Sie das zugehörige Venn-Diagramm.

5 7

6

1 2

8

A ⊆ B

A

B

111

2.5 Zahlenmengen

Im Alltag hat man es mit Zahlen zu tun.

Zum Beispiel: Am Thermometer oder auf dem Konto-auszug erscheinen positive und negative Zahlen. Auf dem Display eines Handys erscheint das Guthaben als Dezimalzahl.

Man betrachtet nun diesen „Zahlen-Cocktail” näher.

2.5.1 Die natürlichen Zahlen

Ein Grundbedürfnis der Menschen ist es, Dinge (Tiere, Bäume, Gegenstände usw.) zu zäh-len. Die Zahlen, die man dazu benötigt, sind die natürlichen Zahlen: 1; 2; 3; . . .

Bemerkung: Die Zahl 0 zählt man i. Allg. auch zu den natürlichen Zahlen.

Die Zusammenfassung der natürlichen Zahlen zu einem Ganzen ergibt die Menge der natürlichen Zahlen N.

Festlegung: Menge der natürlichen Zahlen N = {0; 1; 2; 3; . . .}.

Menge der natürlichen Zahlen ohne Null N*= {1; 2; 3; . . .}.

Veranschaulichung der natürlichen Zahlen am Zahlenstrahl

Die Elemente von N lassen sich auf einem Zahlenstrahl darstellen.

Man beginnt am Anfangspunkt 0 und trägt nacheinander dieselbe Strecke (z. B. mit der Länge 1 cm) beliebig oft nach rechts ab und schreibt an die Teilstriche die zu-gehörigen Zahlen 1, 2, 3 usw.

Eine Zahl kann durch einen Bildpfeil dargestellt werden.

Der Bildpfeil der Zahl 4 hat die Länge 4 LE (Längeneinheiten).

Beachten Sie:

Die Summe bzw. das Produkt von zwei natürlichen Zahlen ist wieder eine natürliche Zahl.

Übungsaufgabe

58 1. Eine Zahl a sei größer als eine Zahl b. Welche Aussage können Sie über die zugehörigen Bildpfeile machen? Beschreiben Sie die Lage der zugehörigen Bildpunkte.

2. Welche Ergebnisse sind aus N?

2.1 3 + 11 2.2 4 – 6 2.3 11 · 2 2.4 11 : 2

3 4210 5 6

Bildpfeil der Zahl 4 Bildpunkt der Zahl 4

•

Einheitsstrecke (Längeneinheit)

112

2.5.2 Die ganzen Zahlen

Im Alltag kommen nicht nur natürliche Zahlen vor. Man denke z. B. an „Minusgrade” bei der Temperatur oder an ein „Minusgeschäft” eines Kaufmannes.

Die Minuszahlen (die negativen ganzen Zahlen) ...; – 4; – 3; – 2; – 1 bilden zusammen mit den natürlichen Zahlen die ganzen Zahlen.

Festlegung: Menge der ganzen Zahlen Z = {...; – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3; ...}

Menge der negativen ganzen Zahlen Z_= {...; – 3; – 2; – 1}

Beachten Sie:

■ Die Menge der natürlichen Zahlen N wird zu der Menge der ganzen Zahlen Z erweitert: Z = N ∪ Z_

■ Die Menge N ist in der Menge der ganzen Zahlen enthalten: N ⊆ Z.

Darstellung der ganzen Zahlen an der Zahlengeraden

Durch Spiegelung des Zahlenstrahls am Nullpunkt entsteht die Zahlengerade.

0 1– 1– 2– 3 2 3

Bildpfeil der Zahl – 4

•– 4– 5 54

• •

Bildpfeil der Zahl 4BildpunktBildpunkt

< < < < < <<<<<

Die Zahlen, deren Bildpunkte links von der Null liegen, heißen negative Zahlen.

Die Bildpunkte der positiven Zahlen liegen rechts von der Null.

Die ganzen Zahlen können (der Größe nach) angeordnet werden.

Steht der Bildpunkt einer Zahl a rechts vom Bildpunkt einer Zahl b, so ist a größer als b.

Beispiele: 3 > – 1; 0 > – 3; – 2 > – 5; – 3 < 4; – 4 < – 3

Bemerkung: Die Differenz von zwei natürlichen Zahlen muss keine natürliche Zahl

sein, z. B.: 4 – 6 = – 2. Das Ergebnis der Differenz ist jedoch eine ganze Zahl. Es gilt: Die

Differenz von zwei ganzen Zahlen ist wieder eine ganze Zahl.

Übungsaufgabe

59 1. Ordnen Sie mithilfe des Zeichens < folgende Zahlen aus Z der Größe nach.

1.1 4; – 3; 0; – 7; 6; – 2; – 9; 8 1.2 – 23; – 33; 5; 0; 33; – 45; – 78

2. Schreiben Sie folgende Mengen in aufzählender Form (x ∈ Z).

2.1 A = {x | x < – 5} 2.2 B = {x | – 4 < x < 3}

113

2.5.3 Die rationalen Zahlen

Beim Messen von Längen ( 1 ___ 10

m) oder beim Volumen von Gläsern ( 1 __ 2 l) treten oft keine

ganzen Zahlen auf, sondern Bruchzahlen. Einen Bruch nennt man Quotient.

Die Menge der Bruchzahlen bezeichnet man mit Q (Menge der rationalen Zahlen). Die Menge der ganzen Zahlen Z wird zur Menge der Bruchzahlen Q erweitert.

Darstellung der Bruchzahlen an der Zahlengeraden

0 0,5– 0,5– 1– 1,5 1 1,5– 2– 2,5 2,52

– 7 __ 3

– 14 ___

6

– 1 __ 1

– 2 __ 2

– 0 __ 1

– 0 __ 2

2 __ 1

4 __ 2

1 __ 1

2 __ 2 oder

– 5 __ 3

– 10 ___

6

oder– 1 __

2

– 2 __ 4

1 __ 2

2 __ 4

3 __ 2

6 __ 4

Bemerkung: Den Brüchen 2 __ 1 und 4 __

2 entspricht der gleiche Bildpunkt.

Diese Brüche haben den gleichen Wert.

Beachten Sie:

■ Die Menge der natürlichen Zahlen N und die Menge der ganzen Zahlen Z sind in der Menge der rationalen Zahlen Q enthalten: N ⊆ Z ⊆ Q

■ Die Menge Q kann beschrieben werden durch: Q = { a __ b |a ∈ Z ⋀ b ∈ N*}

Bemerkung: Werden zwei Brüche addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert Nenner ungleich null), so erhält man wieder einen Bruch.

Übungsaufgabe

60 1. Setzen Sie zwischen den nachstehenden Zahlen aus Q das Zeichen < oder >.

1.1 3 __ 4 ; 4 __

3 1.2 – 1 __

5 ; 0 1.3 – 3 __

4 ; – 4 __

3

2. Ordnen Sie mithilfe des Zeichens < folgende Zahlen aus Q der Größe nach.

2.1 2; 5 __ 7 ; – 4 __

3 ; – 3; – 7 __

8 ; 7 __

8 2.2 – 3 __

4 ; 3 __

5 ; – 7 ___

11 ; – 13

___ 11

; 1 __ 3 ; 0

3. Fassen Sie folgenden Term zu einem Bruch zusammen.

3.1 3 __ 5 · 4 __

7 + 1 __

2 3.2 3 __

5 – 1 __

3 : 3 __

2 3.3 ( 12

___ 7 + 1) · 7 __

3

3.4 x __ 3 + x __

2 – x __

4 3.5 1 + 2x – 6x

___ 7 3.6 x + 1

_____ 2 – 5x – 3

_____ 6

114

3 Gleichungen und Ungleichungen

3.1 Gleichungen

Beispiel:

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 6x – 2 = 8 + x; G = Q.

Lösung:

Lösung durch Einsetzen

Setzt man Zahlen aus der Grundmenge G = Q in die Gleichung ein, so erhält man eine Aussage, z. B.

x = 3: 6 · 3 – 2 = 8 + 3 falsche Aussage (f. A.)

x = 0,5: 6 · 0,5 – 2 = 8 + 0,5 falsche Aussage (f. A.)

x = 2: 6 · 2 – 2 = 8 + 2 wahre Aussage (w. A.)

Alle Elemente, die zu einer wahren Aussage führen, gehören zur Lösungsmenge L, in diesem Fall ist x = 2 Lösung.

Lösung durch Umformungen

Waagemodell:

Auf beiden Seiten 2 addieren 6x – 2 = 8 + x | + 2

6x – 2 + 2 = 8 + x + 2

Auf beiden Seiten x subtrahieren 6x = 10 + x | – x

6x – x = 10 + x – x

Beide Seiten durch 5 teilen 5x = 10 | : 5

5

__

5 x =

10

___

5

Einfachste Form x = 2

Die Gleichung hat die Lösung 2 und die Lösungsmenge L = {2}.

Probe: 6 · (2) – 2 = 8 + 2

10 = 10 wahre Aussage

Ziel der Umformungen ist es, eine gegebene Gleichung in die einfachste Form zu bringen. Umformungen, die die Lösungsmenge nicht ändern, nennt man

Äquivalenzumformungen.

Bemerkungen: Eine Gleichung in einer Unbekannten (Lösungsvariablen) ist eine Be-hauptung der Form: Linke Seite = Rechte Seite.

Die Grundmenge G gibt an, welche Zahlen als Lösung infrage kommen. Die Lösung einer Gleichung ist ein Element der Grundmenge, das die Gleichung zu einer wahren Aussage macht. Die Menge aller Lösungen heißt Lösungsmenge.

6x – 2 8 + x =

115

Beispiel:

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 4(x – 2) + 7 = 1 – 3(1 – 3x); G = Q.

Lösung:

Durch Äquivalenzumformungen

Klammer ausmultiplizieren 4(x – 2) + 7 = 1 – 3(1 – 3x)

4x – 8 + 7 = 1 – 3 + 9x

Beachte: –3 · (– 3x) = 9x

Zusammenfassen 4x – 1 = – 2 + 9x

Ziel: x sollte alleine auf einer Seite stehen.

Auf beiden Seiten 2 addieren 4x – 1 + 2 = – 2 + 9x + 2 | +2

Auf beiden Seiten (4x) subtrahieren 4x +1 = 9x | – 4x

4x – 4x +1 = 9x – 4x

1 = 5x | : (5)

Beide Seiten durch (5) teilen 1

__

5 =

5x

___

5

Die Gleichung hat eine Lösung 1

__

5 = x

Lösungsmenge L = { 1

__

5 }

Probe: 4( 1

__

5 – 2) + 7 = 1 – 3(1 – 3 ·

1

__

5 ) ⇔ –

1

__

5 = –

1

__

5 (wahre Aussage)

Umformung in Kurzform 4(x – 2) + 7 = 1 – 3(1 – 3x)

⇔ 4x – 8 + 7 = 1 – 3 + 9x

⇔ 4x – 1 = – 2 + 9x | +2

⇔ 4x +1 = 9x | – 4x

⇔ 1= 5x | : (5)

⇔ 1

__

5 = x L = {

1

__

5 }

Äquivalenzpfeil Lösung Lösungsmenge

Äquivalenzumformungen

Eine Gleichung äquivalent umformen heißt,

auf beiden Seiten einer Gleichung die gleiche Zahl addieren oder subtrahie-ren.

beide Seiten einer Gleichung mit der gleichen Zahl ( 0) multiplizieren oder durch die gleiche Zahl ( 0) dividieren.

Eine Gleichung darf nicht mit Null multipliziert oder durch Null dividiert werden.

Bemerkung: 2x – 13 = 5 hat die Lösung x = 9.

Multiplikation mit Null ergibt: 2x – 13 = 5 |· 0 eine wahre Aussage für alle x: 0 = 0 ⇒ L = Q Multiplikation mit Null ist keine Äquivalenzumformung.

116

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung 3 __ 2 x + 14 = 1 __

2 x – 2(– 4 + x); G = Q.

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung.

Lösung:

Durch Äquivalenzumformungen

Klammer auflösen 3

__

2 x + 14 =

1

__

2 x – 2x + 8

Nach x sortieren ⇔ 3

__

2 x –

1

__

2 x + 2x = 8 – 14

Beide Seiten durch (3) teilen ⇔ 3x = – 6 ⇔ x = – 2

Bemerkung: Mit G = Q ⇒ L = { – 2}

Mit G = N ⇒ L = Ø, da – 2 ∉ N

Folgepfeil

Die Lösungsmenge hängt von der gegebenen Grundmenge ab: L ⊆ G.

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung 1 __ 4 (3 – 2x) = 1 __

2 (– 4 – x); G = Q.


Lösung:

Äquivalenzumformungen: 1

__

4 (3 – 2x) =

1

__

2 (– 4 – x) |·(4)

⇔ 3 – 2x = 2(– 4 – x)

⇔ 3 – 2x = – 8 – 2x

⇔ 3 = – 8

Für alle x ∈ Q ergibt die Umformung eine falsche Aussage, d. h. die Gleichung hat keine Lösung:

L = Ø

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung 2x2 +1 – 2(2x2 – 2) + 4(0,5x2– 4) = – 11; G = Q.


Lösung:

Äquivalenzumformungen: 2x2 +1 – 2(2x2 – 2) + 4(0,5x2 – 4) = – 11

Klammer auflösen ⇔ 2x2 +1 – 4x2 + 4 + 2x2 – 16 = – 11

Zusammenfassung ergibt ⇔ – 11 = – 11

Wahre Aussage für alle x ∈ Q.

Linke Seite und rechte Seite sind identisch. Jedes x ∈ Q ist Lösung.

Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen: L= Q

117

Übungsaufgabe

61 1. Bestimmen Sie die Lösungsmenge (G = Q).

1.1 2( 7 __ 3 + 4x) – 4(– 4 __

3 + x __

2 ) – 6x = 10 1.2 2(1 + x) – (1 + 2x) + 1 = 0

2. Gleichungscocktail

12 +

3x =

18x

– 1

1

2x = – 9

1 – x = 1

1 __ x = 1 __

5 7(4 – x) = 0 2 – 2x = 5(x– 4)

Bei welchen Gleichungen lässt sich die Lösung durch Erraten bestimmen?

3. Gegeben ist die Gleichung 5x = x; G = Q.

Klaus löst 5x = x |: x und erhält mit 5 = 1 eine falsche Aussage.

Klaus stellt fest: Die Gleichung hat keine Lösung.

Wo steckt der Fehler? Nehmen Sie dazu Stellung.

4. Stellen Sie eine Gleichung für x = „Meine Schuhgröße” auf und lassen Sie diese Ihren Nachbarn lösen.

3.2 Lineare Gleichungen

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung 3x – 9 – (– 4x +5) – (3x + 2) = –10; G = Q.


Lösung:

Die Lösungsmenge bestimmt man durch Äquivalenzumformungen.

3x – 9 – (– 4x + 5) – (3x + 2) = –10

Klammer auflösen 3x – 9 + 4x – 5 – 3x – 2= –10 | + 15

Auf beiden Seiten (15) addieren

Die Terme mit x zusammenfassen 4x = – 10 + 15

Beide Seiten durch (4) teilen 4x = 5 | : (4)

Lösung x = 5

__

4


__

4 }

Bemerkung: Vorzeichen beachten beim Ausmultiplizieren: –(– 4x + 5) = 4x – 5

118

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung 1 __ 2 x – 3 __

2 (x + 1) = 2x – 5; G = Q.


Lösung:

Die Lösungsmenge bestimmt man durch Äquivalenzumformungen.

Beide Seiten mit 2 multiplizieren 1

__

2 x –

3

__

2 (x + 1) = 2x – 5 | · 2

Klammer ausmultiplizieren x – 3(x + 1) = 4x – 10

Auf beiden Seiten (4x) subtrahieren x – 3x – 3 = 4x – 10 |– 4x

Auf beiden Seiten 3 addieren – 6x – 3 = – 10 |+3

Beide Seiten durch (– 6) teilen – 6x = – 7 | : (– 6)

Lösung x = 7

__

6


__

6 }

Bemerkung: Gleichungen mit Brüchen löst man am schnellsten, wenn man zu Beginn der Umformungen beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner multipliziert.

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung x – 6 ____

2 – 2x – 1

_____ 3 + 3 = 5 – 2x

_____ 3 ; G = Q.


Lösung:

Äquivalenzumformungen:

Mit dem Hauptnenner multiplizieren x – 6

____

2 –

2x – 1

_____

3 + 3 =

5 – 2x

_____

3 | · 6

3(x – 6) – 2(2x – 1) +18 = 2(5 – 2x)

Klammern auflösen 3x – 18 – 4x + 2 +18 = 10 – 4x | + 4x

Alle Terme mit x auf eine Seite bringen 3x – 4x + 4x + 2 =10 | – 2

Auf beiden Seiten 2 subtrahieren 3x =10 – 2

Zusammenfassen 3x = 8 | : 3

Beide Seiten durch 3 teilen x = 8

__

3


__

3 }

Beachten Sie:

■ Eine lineare Gleichung in x kann stets auf die Form ax + b = 0; a 0 gebracht werden.

■ Für die Grundmenge linearer Gleichungen gilt i. Allg. G = Q.

119

Übungsaufgabe

62 1. Lösen Sie die Gleichungen nach x auf (G = Q).

1.1 20x – 3(5x + 7) = – 2(3 – x) 1.2 5x – (8 + 9x) = 12

1.3 x __

7 +7x = 5 1.4 6x + 5 = 4x + 9(1 – x)

1.5 25x = – x + 25 1.6 x ___ 18

– 5 __ 2 = 3x + 5

______ 8 – 6

1.7 2x ___

3 – 5 = – 5 __

6 x – 2 1.8 x __

3 – 5 = x __

5 – 3

1.9 4 – x – 5 ____

4 = x + 1

_____ 2 – x – 3

____ 3 1.10 (2x – 3)(x – 3) = (x – 1)(2x– 8) + 6

2. Erfinden Sie eine Gleichung für x = „Anzahl der Schüler in meiner Klasse”.

Geben Sie die Gleichung Ihrem Nachbarn zur Lösung.

3. Untersuchen Sie, ob die Gleichung 4x – 9 – (– 5x +2) – (2x + 1) = 11x lösbar ist.

4. Gegeben ist die Gleichung 5x = a – 2.

Bestimmen Sie a für x = 2.

Bestimmen Sie x für a = 3,5.

5. Konstruieren Sie aus der Gleichung 2x – 1 __ 3 = 0 andere verschiedenartige Gleichungen, die

dieselbe Lösung haben.

Textaufgaben

Beispiel:

Addiert man 123 zum Doppelten einer Zahl, so erhält man das 5-fache dieser um 3 verminderten Zahl. Wie lautet die gesuchte Zahl?

Lösung:

Wir setzen: Die gesuchte Zahl ist x

Das Doppelte dieser Zahl entspricht: 2x

123 addiert ergibt 2x +123

Das 5-fache dieser um 3 verminderten Zahl entspricht: 5(x – 3)

Ansatz durch Gleichsetzen 2x +123 = 5(x – 3)

Lösung durch Äquivalenzumformungen

Klammer auflösen 2x +123 = 5x – 15

Nach x sortieren 138 = 3x

Beide Seiten dividieren x = 46

Ergebnis: Die gesuchte Zahl lautet 46.

Probe anhand des Textes: 2 · 46 + 123 = 215 wahr 5 · (46 – 3) = 215 wahr

120

Beispiel:

Der Preis x für 1 l Superbenzin hat sich in den letzten 5 Jahren verdreifacht. Am 1. Januar dieses Jahres erhöhte sich der Preis erneut um 8 Cent und beträgt nun 146,3 Cent.

Wie viel kostete ein Liter Benzin vor 5 Jahren?

Lösung:

Man setzt: x ist der Preis vor 5 Jahren in Cent.

Preis vor dem 1. Januar: 3x bzw. Preis am 1. Januar: 3x + 8

Ansatz: 3x + 8 = 146,3

Auflösen nach x: 3x = 138,3

x = 46,1

Ergebnis (Antwortsatz): Ein Liter Super kostete vor 5 Jahren 46,1 Cent.

Beachten Sie zur Lösung von Textaufgaben:

■ Zu Beginn wird die Bedeutung der Variablen x festgelegt.

■ Das Ergebnis wird in einem Antwortsatz formuliert.

Übungsaufgabe

63 1. Denken Sie sich eine Zahl, addieren Sie 7, multiplizieren Sie das Ergebnis mit 8 und Sie erhalten die Zahl 536. Wie lautet die gedachte Zahl?

2. Das Dreifache einer um 2 verminderten Zahl ist halb so groß wie das Fünffache der um 8 vermehrten Zahl. Wie heißt die Zahl?

3. Die Summe von 5 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen ergibt 460.

Berechnen Sie die größte Zahl.

4. Die Differenz von zwei natürlichen Zahlen ist 55. Addiert man die beiden Zahlen, so erhält man 111. Bestimmen Sie die beiden Zahlen.

5. Eine Mauer lässt sich aus 54 Reihen Ziegelsteinen der Höhe x herstellen. Nimmt der Maurer um 1,6 cm höhere Steine, so braucht er nur 45 Reihen.

Berechnen Sie die Höhe x.

6. Bei einem Rechteck ist eine Seite um 10 m länger als die andere.

Die längere Seite wird um 25 m, die kürzere um 15 m verkürzt. Dadurch verkleinert sich der Flächeninhalt um 1000 m2. Wie groß war das ursprüngliche Rechteck?

7. Antiquitätenhändler Mock erzielt an den drei Markttagen 1 __ 8 , 1 __

4 bzw. 1 __

3 seines möglichen Um-

satzes. Bei Marktende hat er noch Waren im Wert von 875 €.

Welchen Umsatz hätte er erzielt, wenn er seine ganze Ware verkauft hätte?

8. Finden Sie Sachaufgaben, die sich mithilfe einer linearen Gleichung lösen lassen.

121

3.3 Lineare Ungleichungen

Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen

a) Addition und Subtraktion

Beispiel:

Ungleichung – 2 < 5 wahre Aussage

Addition von 4 auf beiden Seiten: – 2 + 4 < 5 + 4 2 < 9 wahre Aussage

Bemerkung: Eine wahre Aussage bleibt bei einer Äquivalenzumformung eine wahre Ausage.

Beachten Sie:

Man darf auf beiden Seiten einer Ungleichung die gleiche Zahl addieren bzw. subtra-hieren.

b) Multiplikation und Division

Beispiel:

Ungleichung – 2 < 5 wahre Aussage

Multiplikation mit 4 (> 0) – 2 · (4) < 5 · (4) – 8 < 20 wahre Aussage

Multiplikation mit (– 4) (< 0) – 2 · (– 4) > 5 · (– 4) 8 > – 20 wahre Aussage

Bemerkung: Um bei Multiplikation mit einer negativen Zahl eine wahre Aussage zu erhalten, muss man das Ungleichheitszeichen umdrehen.

Beachten Sie:

Man darf beide Seiten einer Ungleichung

■ mit derselben positiven Zahl multiplizieren bzw. durch dieselbe Zahl dividieren

■ mit derselben negativen Zahl multiplizieren bzw. durch dieselbe Zahl dividieren, wenn man das Ungleichheitszeichen umkehrt.

Beispiel:

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung x – 2 < 1; x ∈ Z.

Lösung:

Äquivalenzumformung x – 2 < 1 ⇔ x < 3

Lösungsmenge in aufzählender Form: L = {. . .; – 2; – 1; 0; 1; 2}

Lösungsmenge in beschreibender Form: L = {x | x ∈ Z ⋀ x < 3}

Alle ganzen Zahlen kleiner als 3, machen die Ungleichung zu einer wahren Aussage.

122

Beispiel:

Gegeben ist die Ungleichung 2x + 5 > 8; x ∈ Q.

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung und geben Sie eine Lösung an.

Lösung:

Äquivalenzumformungen: 2x + 5 > 8 | – 5

2x > 3 | : 2

x > 1,5

Lösungsmenge L = {x | x ∈ Q ⋀ x >1,5}

Veranschaulichung der

Lösungsmenge an der Zahlengeraden:

Einsetzen einer Zahl aus der

Lösungsmenge, z. B. x = 3 (3 ∈ L) 2 · 3 + 5 > 8 (wahre Aussage)

Beispiel:

Gegeben ist die Ungleichung – 4x + 7 < – 2(x – 3); x ∈ Q.

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung.

Lösung:

Äquivalenzumformungen: – 4x + 7 < – 2(x – 3)

– 4x + 7 < – 2x + 6

– 2x + 7 < –1 ⇔ – 2x < – 1

Ungleichheitszeichen < umkehren zu >: x > 1

__

2

Lösungsmenge L = { x | x ∈ Q ⋀ x > 1

__

2 }

Beachten Sie:

Beim Multiplizieren mit einer negativen Zahl oder beim Dividieren durch eine negative Zahl dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

Beispiel:

Gegeben ist die Ungleichung 2 __ 3 x – 5 __

2 3x; x ∈ Q.

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung.

Lösung:

Beide Seiten mit dem Hauptnenner 6

multiplizieren 2

__

3 x –

5

__

2 3x ⇔ 4x – 15 18x

⇔ – 14x 15

Ungleichheitszeichen umdrehen x – 15

___

14

Lösungsmenge L = { x | x ∈ Q ⋀ x – 15

___

14

}

]1,5 L0

123

Beispiel:

Gegeben ist die Ungleichung x +3 _____

3 3x– 5

_____ 2 ; x ∈ Q.

Bestimmen Sie die Lösungsmenge L der Ungleichung. Stellen Sie L an der Zahlengeraden dar.

Lösung:

Mit Hauptnenner multiplizieren x +3

_____

3

3x– 5

_____

2 |·6

2(x+3) 3(3x – 5)

Terme mit x auf eine Seite 21 7x bzw. 7x 21

Lösung 3 x bzw. x 3

Lösungsmenge L = {x | x∈ Q ⋀ x 3}

Darstellung an der Zahlengeraden

Beachten Sie:

■ „ “ bedeutet größer oder gleich (> oder =)

■ „ “ bedeutet kleiner oder gleich (< oder =)

Übungsaufgabe

64 1. Entscheiden Sie, ob eine wahre (w) oder falsche (f) Aussage vorliegt.

1.1 – 3 < 1 1.2 – 4 > – 7 1.3 –2 ·(– 4) < – 3 · 2

1.4 –2 – (– 1) – (3 – 8) 1.5 3(–2 – 2) > 5(1 – 3) 1.6 (– 2) 2 < 0

2. Bringen Sie folgende Ungleichungen auf ihre einfachste Form.

Bestimmen Sie die Lösungsmenge.

2.1 x – 5 > 9 2.2 8 > x + 1 2.3 – 2 < x – 2

2.4 4x 18 2.5 5 – 3x 13 2.6 6x – 12

2.7 2x – 15 1 2.8 – 8x 36 + x 2.9 11 – 3x – 1

3. Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Ungleichungen (G = Q).

3.1 1 – x < 5 3.2 – 1 __ 2 x + 1 < – x 3.3 3x 1 – x __

2

3.4 x – 3 1 __ 4 (x– 3) 3.5 1 __

2 (8 – 7x) > 0 3.6 2(x – 4) < –3(4 – x)

4. Bringen Sie folgende Ungleichungen auf ihre einfachste Form.

Geben Sie jeweils zwei Lösungen an.

4.1 3(x – 5) > 2(x – 4) 4.2 4(x – 5) > 2(x – 4)

4.3 (x –1)(x +1) > (x + 1)(x +2) 4.4 (2x –1)(x – 2) > (x – 5)·2x

5. Gegeben ist die Ungleichung 5(2x +7) < 12.

Welche der Zahlen 0; – 3,2; 4; 2,3 gehören zur Lösungsmenge der Ungleichung?

6. Lösen Sie die Ungleichung 2(3x +8) < 4x + 25.

Geben Sie diejenigen natürlichen Zahlen an, die Elemente der Lösungsmenge sind.

]3L0

124

7. Lösen Sie die folgenden Ungleichungen.

Veranschaulichen Sie die Lösungsmenge an der Zahlengeraden

7.1 2 – x ____

3 x __

2 7.2 – 1 __

2 (x – 6) < 6 7.3 3(x –3) 5(1 – x __

2 )

7.4 1 __ 3 x – 5 1 __

4 x + 3 7.5 3 __

7 (x – 5) > 0 7.6 2x + 5 __

2 < – (3 + 4x) – 3

7.7 x __ 5 + 3 x __

2 7.8 – 3 < 2(x–2) < 5 7.9 x · 4,5 > 100 + x

7.10 3(1 – 2x) – 2 > 2(x – 3) – (3x + 5) 7.11 2x – 3 _____

2 – 1 __

4 (3x – 5) –1

7.12 3 __ 4 (2x – 4) + 3 __

2 x – 4 < 5(1– x) – 2x – 6 7.13 4 – 2 __

3 x x __

4

8. Ein Schüler löst die Ungleichung 1 + x

_____ –2

> 1 folgendermaßen:

1+ x > – 2

x > – 3

Probe mit x = – 1 ergibt eine falsche Aussage. Wo liegt der Fehler?

9. Von welchen ganzen Zahlen ist der dritte Teil, vermindert um 3 höchstens 2?

10. Bestimmen Sie die natürlichen Zahlen, deren Vierfaches vermindert um 3, höchstens so

groß ist wie die um 7 vermehrte Zahl.

11. Von welchen natürlichen Zahlen ist das Dreifache kleiner als die um 15 vermehrte Zahl?

12. Die monatlichen Kosten in Euro für x kWh beim Stromanbieter A lassen sich berechnen durch y A = 0,195x + 21,35, beim Anbieter B durch y B = 0,265x + 18,45.

Für welchen Verbrauch ist Stromanbieter B günstiger?

13. Die Kaffesorte A kostet 3,50 EUR pro kg, die Kaffesorte B kostet 4,50 EUR pro kg.

Wie viel Kaffee kann man von jeder Sorte kaufen, wenn höchstens 100,00 EUR aus-gegeben werden können und von der billigeren Sorte mindestens doppelt so viel gekauft werden soll wie von der teuren.

Geben Sie eine mögliche Lösung an.

14. Für welche positiven x-Werte gilt: 2x + 1 ______ x < 2,001?

15. Von welchen rationalen Zahlen ist der dritte Teil, vermehrt um 1 __ 6 , höchstens 3?

16. Der Term K = 0,85x + 24 liefert die Kosten bei der Produktion von x Stück einer Ware.

Der Erlös berechnet sich mit der Gleichung E = 1,45x.

16.1 Berechnen Sie Kosten, Erlös und Gewinn, wenn 60 Stück produziert und verkauft werden.

16.2 Ab welcher Stückzahl erzielt die Firma einen Gewinn?

125

3.4 Verhältnisgleichungen

Beispiel:

Judith gibt 3 __ 4 ihres Taschengeldes für ihr Handy aus. Man sagt: Die Handy-Ausgaben und die

Höhe des Taschengeldes verhalten sich wie 3 : 4. Judith hat 50,00 EUR Taschengeld.

Wie hoch sind dann ihre Handy-Ausgaben x?

Gesucht ist also die Zahl x sodass gilt: x : 50 = 3 : 4 oder x ___ 50

= 3 __ 4

Eine Gleichung der Form x ___ 50

= 3 __ 4 heißt Verhältnisgleichung.

Äquivalente Darstellung ohne Brüche x · 4 = 3 · 50 (Produktgleichung)

Lösung:

x = 37,50

Antwortsatz: Ihre Handy-Ausgaben betragen 37,50 EUR.

Beachten Sie:

Eine Gleichung der Form a : b = c : d (gleichbedeutend mit a __ b = c __

d ) heißt Verhältnisglei-

chung oder Proportion.

Beispiel:

Gegeben ist die Verhältnisgleichung 4 : 6 = x : 8. Bilden Sie die Produktgleichung und lösen Sie.

Lösung:

Multiplikation mit dem Hauptnenner 4 : 6 = x : 8

4 __ 6 =

x

__

8 | · 48

ergibt eine Produktgleichung 4 · 8 = x · 6

32 = x · 6 | : 6

16

___

3 = x

Jede Verhältnisgleichung lässt sich in eine Produktgleichung umformen.

Beispiel:

Gegeben ist die Verhältnisgleichung 5 : x = 3 : 36.

Bilden Sie die Produktgleichung und bestimmen Sie die Lösungsmenge.

Lösung:

Multiplikation mit dem Hauptnenner 5 : x = 3 : 36

5 __ x =

3

___

36 | · 36x

ergibt eine Produktgleichung 5 · 36 = x · 3 | : 3

60 = x


Probe: 5

___

60 =

3

___

36 ⇔ 1 ___

12 =

1

___

12 wahre Aussage

126

Übungsaufgabe

65 1. Geben Sie Beispiele für Zahlenverhältnisse an.

2. Bilden Sie zu folgenden Verhältnisgleichungen die Produktgleichungen. Geben Sie die Lösung an.

2.1 x : 14 = 5 : 4 2.2 3x : 12 = (– 9) : 15 2.3 – 15 ___ x = 35

___ 21

2.4 x : 11 = 17 : 3 2.5 x –16 _____

6 = x __

2 2.6 x+1

____ x = 7 __ 5

Textaufgaben

Bei vielen Textaufgaben spielen Verhältnisse (Proportionen) eine wichtige Rolle.

Dabei gibt es zwei Möglichkeiten, derartige Aufgaben zu lösen.

1. mithilfe des Dreisatzes

2. mithilfe einer Verhältnisgleichung.

Beispiel:

Ein Lkw verbraucht auf einer Strecke von 60 km 10 Liter Diesel.

Wie hoch ist der durchschnittliche Verbrauch je 100 km?

Lösung:

Verbrauch in Liter Streckenlänge in km Verhältnis

10 60 15

___ 10

= 90 ___

60

15 90

20 120 x ___ 20

= 100 ____

120

x 100

Man stellt fest: Das Verhältnis der Dieselmengen ist gleich dem Verhältnis der

gefahrenen Strecken: Verbrauch 1 __________

Verbrauch 2 =

gefahrene Strecke 1 ________________

gefahrene Strecke 2

Man legt fest: Die gefahrenen Strecken verhalten sich proportional zur verbrauchten Diesel-menge.

Für die doppelte Strecke verbraucht er doppelt so viel Diesel. Beide Größen verändern sich in glei-chem Maße. Man spricht von direkter Proportionalität.

Man setzt x: Dieselmenge für 100 km

Dann gilt die Verhältnisgleichung x

___

10 =

100

____

60 ⇔ x = 100

___ 6 16,6

Ergebnis: Der durchschnittliche Verbrauch je 100 km beträgt ca. 16,6 Liter Diesel.

127

Beispiel:

12 laufende Meter Teppich kosten 180,00 EUR. Was kosten dann 1,25 Meter?

Lösung:

Wir legen fest: x = Preis für 1,25 m Läufer.

Gegeben: 180,00 EUR für 12 m

Gesucht: x EUR für 1,25 m

Preise und Mengen verhalten sich proportional (direkte Proportionalität).

Ansatz mithilfe einer Verhältnisgleichung x

____

180 =

1,25

____

12 ⇔ x = 22,50

Ansatz mithilfe einer Produktgleichung x · 12 = 180 · 1,25 ⇔ x = 22,5

Ergebnis: 1,25 Meter Teppich kosten 18,75 EUR.

Beispiel:

Sechs Arbeiter heben eine Grube in 18 Tagen aus.

Wie lange brauchen fünf Arbeiter für die gleiche Arbeit?

Lösung:

Dauer in Tagen Anzahl der Arbeiter Verhältnis

18 6 18

___ 36

= 3 __ 6

36 3

12 9 x ___ 12

= 9 __ 5

x 5

Man stellt fest: Das Verhältnis der Anzahl der Tage ist gleich dem umgekehrten Verhältnis der zugehörigen Anzahl der Arbeiter:

Anzahl der Tage 1

_______________ Anzahl der Tage 2

= Anzahl der Arbeiter 2 __________________

Anzahl der Arbeiter 1

Man legt fest: Die Anzahl der Arbeitstage verhält sich umgekehrt proportional zur Zahl der Arbeiter. Für die gleiche Arbeit brauchen weniger Arbeiter eine entsprechend längere Zeit. Beide Größen verändern sich entgegengesetzt. Man spricht von indirekter (um gekehrter) Proportionalität.

Wir legen fest: x: Anzahl der Tage, die 5 Arbeiter benötigen.

Gegeben: 18 Tage für 6 Arbeiter

Gesucht: x Tage für 5 Arbeiter


___

18 =

6

__

5 ⇔ x = 21,6

Ansatz mithilfe einer Produktgleichung x · 5 = 6 · 18 ⇔ x = 21,6

Ergebnis: Fünf Arbeiter brauchen für die gleiche Arbeit 21,6 Tage.

128

Beispiel:

Für die Polsterung eines Sessels sind 3,30 m Stoff bei einer Breite von 1,40 m nötig.

Wie viel Meter Stoff sind erforderlich bei einer Breite von 1,50 m?

Lösung:

Wir legen fest: x = Meterzahl bei einer Breite von 1,50 m.

Gegeben: 3,30 m bei einer Breite von 1,40 m.

Gesucht: x m bei einer Breite von 1,50 m.

Meterzahl und Breite verhalten sich umgekehrt proportional (indirekte Proportionalität).


____

3,30 =

1,40

____

1,50

x = 3,08

Ergebnis: Bei einer Breite von 1,50 m braucht man 3,08 m Stoff.

Beachten Sie zur Lösung von Textaufgaben mit Proportionalitäten:

■ Was ist gegeben?

■ Was ist gesucht ? ⇒ Festlegung der Variablen

■ Frage klären, ob eine direkte (z. B.: Doppelte Strecke bedeutet doppelten Verbrauch.) oder indirekte (Doppelte Anzahl von Arbeitern bedeutet halbe Arbeitszeit.) Proportio-nalität vorliegt

■ Aufstellen einer Verhältnisgleichung

z. B.: Verbrauch 1 __________

Verbrauch 2 =

gefahrene Strecke 1 ________________

gefahrene Strecke 2 ; Preis 1

______ Preis 2

= Menge 1

________ Menge 2

; Anzahl 1 _______

Anzahl 2 = Dauer 2

_______ Dauer 1

■ Auflösen nach der Unbekannten x.

Übungsaufgabe

66 1. Sechs Meter (m) eines Vorhangstoffes kosten 25,00 EUR. Wie viel kosten dann 11 m?

2. 3 kg Zucker kosten 1,35 EUR. Wie teuer sind dann 5 kg Zucker?

3. Ein Großmarkt bezieht eine Wagenladung Blumenerde mit einem Gesamtgewicht von 1 570 kg zu 376,80 EUR. Wie viel kostet ein Sack mit 8 kg Gewicht?

4. Ein Pkw-Fahrer tankt für 60,48 EUR Benzin. Wenn er 25 l mehr tanken würde, müsste er 91,68 EUR bezahlen. Wie viel Benzin hat er ursprünglich getankt?

Was kostet ein Liter Benzin? Wie viel Liter kann er für 100,00 EUR tanken?

5. Frau Hansen erhält als Bürokraft für 26 Arbeitsstunden einen Nettolohn von 270,40 EUR ausbezahlt. In der folgenden Woche arbeitet sie 34 Stunden.

Mit welchem Nettolohn kann sie rechnen?

6. Vom einem 90 cm breiten Stoff braucht der Raumausstatter 4,35 m für einen Sessel.

Wie viel Meter sind nötig, wenn der Stoff 1,30 m breit ist?

129

7. Der Lebensmittelvorrat einer Berghütte reicht 23 Tage, wenn der Wirt mit 8 Gästen pro Tag rechnet.

Wie viel Tage würde er mit seinen Vorräten auskommen, wenn er täglich mit 30 Gästen rechnet?

8. Ein Kunde tauscht Schrauben um. Er hatte 120 Stück zu je 7,5 Cent gekauft.

Dafür nimmt er jetzt solche zu je 4,5 Cent. Wie viele Schrauben erhält er?

9. Ein 28-Zoll-Rad macht auf einer bestimm-ten Strecke 480 Umdrehungen.

Füllen Sie die Tabelle aus.

Durchmesser in Zoll

28 24 16

Anzahl derUmdrehungen 480 672

10. Bei einem Sonderangebot werden am ersten Verkaufstag 126 Paar Schuhe für insgesamt 1 247,40 EUR verkauft. Welcher Betrag kann am zweiten Tag höchstens eingenommen werden, wenn noch 86 Paar Schuhe vorrätig sind?

11. Um eine Straße zu planieren, brauchen 6 Planierraupen 15 Tage.

In welcher Zeit können 10 Raupen diesen Auftrag ausführen?

12. Ein Bauunternehmer rechnet damit, dass der Rohbau eines Hauses von 12 Maurern in 18 Tagen erstellt wird. Für die Einsatzplanung seiner Maurer hat er sich eine Tabelle erstellt, die aber Lücken aufweist. Füllen Sie die Tabelle aus.

Fertigstellung in x Tagen

18 14 24

Anzahl der Maurer 12 8

13. Ein Büro wird tapeziert. Dazu benötigt man 40 m einer Tapete, die 60 cm breit ist.

Wie viel Meter einer Tapete benötigt man, wenn die Tapete nur in 75 cm Breite geliefert wird.

14. Studentin Claudia rechnet aus, dass ihre Reisekasse bei täglichen Ausgaben von 29,00 EUR für 365 Tage ausreicht. Um wie viel Tage kann sie ihre Reise verlängern, wenn sie täglich nur 25,00 EUR ausgibt?

15. Herr Merk kauft 12 Flaschen Wein. Kauft er 52 Flaschen ein, so muss er 200,00 EUR mehr bezahlen.

Wie viel hat Herr Merk ursprünglich bezahlt? Was kostet eine Flasche Wein?

130

3.5 Lineare Gleichungssysteme

Schon vor 4 000 Jahren entstand in Persien folgende Aufgabe zur Berechnung eines Rechtecks.

Ein Viertel der Breite zur Länge addiert, ergibt sieben Handbreiten, Länge und Breite addiert macht zehn Handbreiten.

Das Problem besteht darin, dass weder Breite noch Länge, z. B. eines rechteckigen Tuches, bekannt sind. Länge und Breite wurde damals in Handbreiten gemessen.

Für die Länge setzen wir die Variable x, für die Breite die Variable y.

Man drückt die beiden Aussagen in zwei Gleichungen aus.

■ Ein Viertel der Breite x zur Länge y addiert ergibt 7 Handbreiten: 1 __ 4 x + y = 7

■ Länge und Breite addiert ergibt 10 Handbreiten: x + y = 10

Die beiden Gleichungen bilden ein Lineares Gleichungssystem (LGS).

1 __ 4 x + y = 7

x + y = 10

Gesucht sind nun zwei Zahlen für x bzw. für y, die beide Gleichungen erfüllen.

Wählt man 8 für x und 5 für y, so wird die erste Gleichung erfüllt, die zweite aber nicht.

1 __ 4 · 8 + 5 = 7 w. A. aber 8 + 5 = 10 f. A.

Wählt man 2 für x und 8 für y, so wird die zweite Gleichung erfüllt, die erste aber nicht. Prüfen Sie durch Einsetzen nach.

Wählen wir jedoch 4 für x und 6 für y, so sind beide Gleichungen erfüllt:

1 __ 4 · 4 + 6 = 7 w. A. und 4 + 6 = 10 w. A.

Man sagt: Das Zahlenpaar (4; 6) ist eine Lösung des linearen Gleichungssystems.

Bemerkung: Das Zahlenpaar (6; 4) ist keine Lösung, denn hier steht die Zahl 6 für x und die Zahl 4 für y.

Lösung als Zahlenpaar: (4; 6) oder als Lösungsmenge: L = {(4; 6)}

Antwortsatz: Das Rechteck hat eine Breite von 4- und eine Länge von 6 Handbreiten.

Übungsaufgabe

67 1. Welche der Zahlenpaare (1; –1), (1; 12), (0; 6); (–1; 0); (–1,4; –2,4); (0,3; – 0,25) sind Lösun-gen der Gleichung 3x – 0,5y = – 3.

2. Welche der Zahlenpaare (– 1; 0), (1; 12), (– 7; 4); (4; –7); (0; – 0,3); (9,5; – 7) sind Lösungen des LGS: x + 1,5y = – 1 und 2 – x – 0,5y = – 4.

3. Bestimmen Sie ein LGS mit den Variablen x und y, sodass das LGS das Zahlenpaar (2; – 3) als Lösung hat.

LGS

fbhbj

131

3.5.1 Gleichsetzungsverfahren

Beispiel:

Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem (LGS): y = – 2x – 4 ⋀ y = – 1 __ 2 x + 1 __

2 .

Lösung:

Erklärung: „⋀” ist das Zeichen für „und ”.

Gleichsetzen – 2x – 4 = – 1

__

2 x +

1

__

2

Dadurch erhält man eine Gleichung mit der Unbekannten x, die man lösen kann.

Mit 2 multiplizieren – 2x – 4 = – 1

__

2 x +

1

__

2 ⇔ – 4x – 8 = – x + 1

x auf eine Seite – 3x = 9 ⇔ x = – 3

Berechnung von y durch Einsetzen von x = – 3

in eine der beiden Gleichungen y = – 2 · (– 3) – 4 = 2

Ergebnis: x = – 3 ⋀ y = 2

Lösung als Zahlenpaar (– 3; 2) oder als Lösungsmenge: L = {(– 3; 2)}

Das LGS hat genau eine Lösung.

Bemerkung: Da man bei diesem Lösungsverfahren die y-Werte gleichsetzt, spricht man vom Gleich-setzungsverfahren.

Beispiel:

Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem (LGS): b = 0,5a + 2 ⋀ a – 0,5b = – 0,5.

Lösung:

Auflösen der 2. Gleichung nach b: a – 0,5b = – 0,5 ⇔ b = 2a + 1

Gleichsetzen: b = b 0,5a + 2 = 2a + 1

Sortieren 1 = 1,5a ⇔ a = 2

__

3

Berechnung von b durch Einsetzen von a = 2

__

3

in eine der beiden Gleichungen b = 0,5 · 2

__

3 + 2 =

7

__

3

Lösung: a = 2

__

3 ⋀ b =

7

__

3

Übungsaufgabe

68 Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme:

1. y = – x + 3 ⋀ y = – 2x – 7 2. y = 1 __ 2 x + 3 ⋀ y = – 1 __

2 x + 4

3. b = – 2a ⋀ a – 5b = – 1 4. a + b + 1 = 0 ⋀ a – 4b – 3 = 0

132

3.5.2 Einsetzungsverfahren

Beispiel:

Lösen Sie folgendes Gleichungssystem: y = – 2x – 4 ⋀ x + 2y = 1

Lösung:

Den y-Wert von Gleichung y = – 2x – 4

setzt man in die Gleichung x + 2y = 1 ein: x + 2(– 2x – 4) = 1

Dadurch erhält man eine Gleichung mit der Unbekannten x, die man lösen kann.

Klammer auflösen x – 4x – 8 = 1

–3x – 8 = 1 | + 8

– 3x = 9 | : (– 3)

x = – 3

Einsetzen von x = – 3 in eine der beiden Gleichungen, z. B. in

y = – 2x – 4, ergibt y = – 2 · (– 3) – 4 = 2

Lösungsmenge L = {(– 3; 2)}

Bemerkung: Dieses Gleichungssystem kann man mit dem Gleichsetzungsverfahren lösen.

y = – 2x – 4 (I) ⋀ y = – 1

__

2 x +

1

__

2 (II) Gleichung (II) wurde nach y aufgelöst.

Beispiel:

Lösen Sie folgendes Gleichungssystem: 3y – 4x = 17 ⋀ x = 4y – 1

Lösung:

Den x-Wert von Gleichung x = 4y – 1

setzt man in die Gleichung 3y – 4x = 17 ein: 3y – 4(4y – 1) = 17

Man erhält eine Gleichung mit einer Unbekannten y, die man lösen kann.

Klammer auflösen 3y – 16y + 4 = 17 | – 4

– 13y = 13 ⇔ y = – 1

Einsetzen von y = – 1 in eine der beiden Gleichungen, am einfachsten in

Gleichung x = 4y – 1, ergibt den x-Wert: x = 4 · (– 1) – 1 = – 5

Lösung des LGS: x = – 5 ⋀ y = – 1

Übungsaufgabe

69 Lösen Sie folgende Gleichungssysteme.

1. y = – 8x – 6 2. y = 1 __ 4 x – 3 3. 3x + 4y = – 10

⋀ 3x + 5y = 7 ⋀ x = 2y + 5 ⋀ 3y = 6x – 24

133

3.5.3 Additionsverfahren

Beispiel:

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem: 3x – 2y = 14

⋀ x + y = – 2

Lösung:

Beachten Sie: Jedes Verfahren zur Lösung eines Gleichungssystems hat das Ziel, eine Gleichung mit einer Unbekannten zu erhalten.

Um dies zu erreichen, multipliziert man eine Gleichung mit einem Faktor, sodass bei der „Addition der beiden Gleichungen” eine Unbekannte wegfällt.

Additionsverfahren: 3x – 2y = 14

Gleichung x + y = – 2 mit 2 multiplizieren 2x + 2y = – 4

Addition der linken Seiten 3x – 2y = 14

bzw. der rechten Seiten ergibt 2x + 2y = – 4

eine Gleichung mit der Unbekannten x: 5x = 10 ⇔ x = 2

Einsetzen von x = 2 in eine der beiden Gleichungen,

z. B. in x + y = – 2, ergibt 2 + y = – 2 ⇔ y = – 4

Lösung des LGS: x = 2 ⋀ y = – 4

Beispiel:

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem: 3x – 6y = 12 (I)

⋀ 4x + 5y = 3 (II)

Lösung:

Gleichung (I) mit 4 multiplizieren, 3x – 6y = 12 | · (4)

Gleichung (II) mit (– 3) multiplizieren 4x + 5y = 3 | · (– 3)

Addition: 12x – 24y = 48

– 12x – 15y = – 9

Eine Gleichung mit der Unbekannten – 39y = 39 | : (– 39)

Nach y auflösen y = – 1

Einsetzen von y = – 1 in die Gleichung (I) oder (II),

z. B. in 4x + 5y = 3, ergibt 4x + 5 · (– 1) = 3

⇔ 4x = 8 ⇔ x = 2

Lösung des LGS: x = 2 ⋀ y = – 1

+

+

134

Beispiel:

Zwei Freunde kaufen CD- und DVD-Rohlinge. Karl kauft 10 CDs und 15 DVDs und zahlt 19,25 EUR.

Hans kauft 12 CDs und 12 DVDs und zahlt 17,40 EUR.

Berechnen Sie die Einzelpreise.

Lösung:

Man setzt x: Preis für eine CD in Euro. Dann kosten z. B. 10 CDs 10 x .

Man setzt y: Preis für eine DVD in Euro. Dann kosten z. B. 15 DVDs 15 y .

Aufstellen von 2 Gleichungen 10x + 15y = 19,25 (I)

12x + 12y = 17,40 (II)

Dies ist ein LGS für x und y.

Lösung mit dem Additionsverfahren

Gleichung (I) durch 5 2x + 3y = 3,85

Gleichung (II) durch (– 4) –3x – 3y = – 4,35

Addition ergibteine Gleichung mit der Unbekannten x: – x = – 0,50 ⇔ x = 0,5

Einsetzen von x = 0,5 in die Gleichung (I) oder in die Gleichung (II)

z. B. in 10x + 15y = 19,25 ergibt 10 · (0,5) + 15y = 19,25

Nach y auflösen 15y = 14,25 ⇔ y = 0,95

Das LGS hat die Lösung x = 0,5 und y = 0,95

Ergebnis: Ein CD-Rohling kostet 0,50 EUR, ein DVD-Rohling 0,95 EUR.

Die Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen im Überblick:

y = – 2x – 4 y = – 2x – 4 3x – 2y = 14y = – 0,5x + 0,5 x + 2y = 1 x + y = – 2

Lösung durch Lösung durch Lösung durch

Gleichsetzungsverfahren Einsetzungsverfahren Additionsverfahren

Die Wahl des Lösungsverfahrens hängt davon ab, in welcher Form die Gleichungen gegeben sind.

Übungsaufgabe

70 1. Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem.

1.1 3x + 3y = 0 1.2 2x – 3y = 0 1.3 – a + 3b = 3

⋀ – 4x + 2y = 1 ⋀ – 5x – 4y = 0 ⋀ – 7a – 3b = 1

2. Bestimmen Sie die Lösungsmenge. Machen Sie die Probe.

2.1 a + 3b = –7 2.2 x __ 3 –

y __

4 = 0 2.3 – 2 __

9 a + b = 1 __

9

⋀ – 4a – b = 1 ⋀ 3 – 5x – 4y = 0 ⋀ 2a = 9b

+

135

3. Peter kauft 10 Stück vom Artikel A und 12 Stück von Artikel B und bezahlt 38,00 EUR. Kurt kauft 15 Stück vom Artikel A und 2 Stück von Artikel B und bezahlt 19,40 EUR.

Bestimmen Sie die Einzelpreise.

4. Das Hotel Atos hat 26 Zimmer. Ein Einzelzimmer kostet 110,00 EUR, der Zimmerpreis für ein Doppelzimmer beträgt 130,00 EUR.

Wie viele Einzelzimmer werden vermietet, wenn bei ausgebuchtem Haus die Einnahmen 3 100,00 EUR betragen?

5. Die Kosten der Abschlussfeier für die Schüler der beiden Wirtschaftsschulklassen be-tragen 210,00 EUR. Aufgrund des unterschiedlichen Einsatzes bei der Vorbereitung werden die Kosten verschieden verteilt. Zahlt jeder Schüler der a-Klasse einen Betrag von 3,25 EUR, jeder Schüler der b-Klasse einen Betrag von 3,50 EUR, so ergibt sich ein Fehl betrag von 25,00 EUR. Erhöht man die zu bezahlenden Beträge auf 4,00 EUR bzw. 4,50 EUR, so entsteht ein Überschuss von 22,50 EUR.

Berechnen Sie die Anzahl der Schüler der a- und der b-Klasse.

6. Die Summe von zwei natürlichen Zahlen beträgt 227. Die zweite Zahl ist doppelt so groß wie die um 1 verminderte erste Zahl.

Ermitteln Sie die zwei Zahlen.

7. In einem Behälter werden 10 kg Farbmischung aus blauer und weißer Farbe hergestellt. Die Mischung enthält 7 kg weniger blaue als weiße Farbe.

7.1 Wie viel kg weiße und blaue Farbe sind in der Mischung?

7.2 Ein kg weiße Farbe kostet 8,50 EUR, ein kg blaue Farbe kostet 9,50 EUR.

Berechnen Sie den Preis für die Farbmischung.

8. Die Kaffeesorte A kostet 3,50 EUR pro kg, die Kaffeesorte B kostet 5,00 EUR pro kg.

Wie viel Kaffee kann man von jeder Sorte kaufen, wenn insgesamt 100,00 EUR ausgege-ben werden können und von der billigeren Sorte doppelt so viel gekauft werden soll wie von der teuren?

9. Karin sagt zu Petra: „Gib mir 3 __ 4 deines Geldes, so habe ich 100,00 EUR.“ Darauf sagt Petra

zu Karin: „Gib mir nur die Hälfte deines Geldes, so habe ich 100,00 EUR.“ Wie viel Geld

haben beide?

10. Die Summe des Alters von Vater und Sohn ist doppelt so groß wie ihr Altersunterschied. In zehn Jahren wird der Vater doppelt so alt sein wie sein Sohn.

10.1 Legen Sie die Lösungsvariablen fest(x ist . .. , y ist . . .).

10.2 Schreiben Sie beide Aussagen über das Alter mithilfe von mathematischen Gleichungen.

Berechnen Sie die Lösung.

11. Die Gasrechnung setzt sich zusammen aus der monatlichen Grundgebühr und den Kos-ten für die verbrauchte Menge in m3. Für den Monat Januar ergibt sich bei einem Ver-brauch von 420 m3 ein Rechnungsbetrag von 159,00 EUR.

Die Gasrechnung für den Monat Mai über 285 m3 belief sich dagegen nur auf 111,75 EUR.

Berechnen Sie die monatliche Grundgebühr und den m3-Preis.

136

3.5.4 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung 2x – 3y + 1 = 0.

1. Welche Zahlenpaare aus der Menge {(1; 1), (0; 1 __ 3 ), ( 1 __

3 ; 0), (2; – 3)} sind Lösungen?

2. Bestimmen Sie eine Lösung mit x = – 5.

3. Bestimmen Sie eine Lösung mit y = 12.

Lösung:

Zu 1.: Mit der Wahl 1 für x und 1 für y wird die Gleichung erfüllt: 2 · 1 – 3 · 1 + 1 = 0 eine wahre Aussage. (1; 1) ist Lösung bzw. x = 1 und y = 1 ist eine Lösung.

Mit der Wahl 0 für x und 1

__

3 für y wird die Gleichung erfüllt: (0;

1

__

3 ) ist Lösung.

Einsetzen vom 1

__

3 für x und 0 für y ergibt 2 · 1

__

3 – 3 · 0 + 1 = 0 falsche Aussage, d. h. (

1

__

3 ; 0) ist

keine Lösung.

Bemerkung: ( 1

__

3 ; 0) (0;

1

__

3 ) geordnete Paare

Einsetzen vom 2 für x und – 3 für y ergibt 2 · 2 – 3 · (–3) + 1 = 0 falsche Aussage, d. h. (2; – 3) ist keine Lösung.

Zu 2.: Einsetzen vom – 5 für x ergibt 2 · (– 5) – 3y + 1 = 0

Auflösen nach y: 3y = – 9 ⇔ y = – 3

x = – 5 und y = – 3 ist eine Lösung.

Zu 3.: Einsetzen vom 12 für y ergibt 2x – 3 · (12) + 1 = 0

Auflösen nach x: 2x = 35 ⇔ x = 17,5

x = 17,5 und y = 12 ist eine Lösung.

Für jede Wahl einer Variablen (z. B. von x) erhält man durch Einsetzen genau einen Wert für die zweite Variable (für y). Die Gleichung 2x – 3y + 1 = 0 hat unendlich viele Lösungen. Um alle Lösungen zu erhalten, wählt man eine Hilfsvariable t für x: x = t

Einsetzen ergibt 2t – 3y + 1 = 0

3y = 2t + 1 ⇔ y = 2 __ 3 t + 1 __

3

Lösungen der Gleichung x = t; y = 2 __ 3 t + 1 __

3 für t ∈ Q

Lösungsmenge L = {(t; 2 __ 3 t + 1 __

3 ); t ∈ Q}

Bemerkung: Für t darf jede beliebige Zahl aus Q eingesetzt werden.

Wählt man für t eine Zahl, so erhält man eine Lösung.

Z. B.: t =1 ergibt durch Einsetzen y =1 und damit die Lösung (1; 1).

137

Beispiel:

Gegeben ist das folgende Gleichungssystem (LGS): 3x – 2y = 14 (I) ⋀ 6x – 4y = 28 (II).

Bestimmen Sie die Lösungsmenge. Bestimmen Sie eine Lösung mit x = 5.

Lösung:

Addition der beiden Gleichungen 3x – 2y = 14 (I) 6x – 4y = 28 (II)

ergibt 0x + 0y = 0

Diese Gleichung ist eine wahre Aussage für alle x; y ∈ Q.

Die Gleichung 3x – 2y = 14 mit 2 Unbekannten ist mehrdeutig lösbar:

Wir wählen z. B. x = 1 und erhalten durch Einsetzen: y = – 5,5

oder: x = 0 und erhalten durch Einsetzen: y = – 7

Um alle Lösungen zu erhalten, setzt man: x = t , t ∈ Q (x ist frei wählbar).

Durch Einsetzen berechnet man y in Abhängigkeit von t : 3t – 2y = 14 2y = 3t – 14 ⇔ y = 1,5t – 7

Lösung des LGS: x = t ⋀ y = 1,5t – 7 oder Lösungsmenge L = {(t; 1,5t – 7), t ∈ Q}

Das LGS hat unendlich viele Lösungen, es ist mehrdeutig lösbar.

Lösung mit x = 5

Man wählt für x = t = 5 und man erhält für y: y = 1,5 · 5 – 7 = 0,5

Gesuchte Lösung: (5; 0,5)

Übungsaufgabe

71 1. Bestimmen Sie drei verschiedene Lösungen der Gleichung 4x – y = 1.

2. Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem.

2.1 x – 4y = 0 2.2 2x – y = – 4 2.3 – a + 3b = 3

⋀ – 4x + 16y = 0 ⋀ – 5x + 2,5y = 10 ⋀ 1 __ 3 a – b = – 1

3. Bestimmen Sie einen Wert für a, sodass das lineare Gleichungssystem mehrdeutig lösbar ist.

3.1 2x – 4y = 4 3.2 8x – 2y = –24 3.3 ax – 3y = 4

⋀ – x + 2y = a ⋀ – x + ay = 3 ⋀ 3x – 9y = 12

4. Ergänzen Sie die unvollständig angegebene Gleichung so, dass das LGS mehrdeutig lösbar ist.

4.1 2x – 4y = 8 4.2 0,5x – 2y = 4 4.3 5x – 7y = – 6

⋀ .......... = – 4 ⋀ ... +10y = ... ⋀ .......... = 2

+

138

4 Potenzrechnung

Die Fläche A eines Quadrates mit Seitenlänge a = 6 cm beträgt A = 6 · 6 = 36 (cm2).

Kurzschreibweise 6 · 6 = 62

Das Volumen V eines Würfels mit Seitenlänge a = 6 cm beträgt V = 6 · 6 · 6 = 216 (cm3).

Kurzschreibweise 6 · 6 · 6 = 63

Beispiel:

Die Formel für die Berechnung des Flächeninhaltes eines Quadrats mit der Seitenlänge a lautet A = a2. Ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 4 hat somit den Inhalt A = 42 = 4 · 4.

Wie berechnet man 43; 44; 45?

Lösung:

43 = 4 · 4 · 4 = 64 45 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 1 024

45 nennt man eine Potenz zur Grundzahl (Basis) 4 mit der Hochzahl (Exponent) 5.

Der Potenzwert 1 024 ist das Ergebnis der Rechnung.

4.1 Definition der PotenzPotenz

Potenz 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 5 Hochzahl oder Exponent 1222222223222222225 5 gleiche Faktoren Basis oder Grundzahl

Bemerkungen: 45 bedeutet, die Basis 4 wird mit der Hochzahl 5 potenziert, daher nennt man 45 eine Potenz.

Die Potenz 45 ist die Kurzschreibweise für 4 · 4 · 4 · 4 · 4.

Für die Basis darf man alle Zahlen wählen.

Ist die Hochzahl n eine natürliche Zahl (n ∈ N#), und setzt man für die Basis den Buch-staben a, so gilt: an = a · a · a · . . . · a. Dabei ist n die Anzahl der Faktoren a. 122222222232222222225 n

Beispiele:

54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625 p · p · p = p 3

(– 7) 2 = (– 7)(– 7) = 49 = 7 2

(– 7)(– 7)(– 7) = (– 7) 3 = – 343 = – 7 3

3 · 5 2 = 3 · 5 · 5 = 75; Zuerst Potenzieren! vgl. (3 · 5) 2 = (3 · 5)(3 · 5) = 225

139

Übungsaufgabe

72 1. Schreiben Sie kürzer.

1.1 4 + 4 + 4 1.2 4 · 4 · 4 · 4 1.3 x · x · x1.4 (a + b)(a + b) 1.5 (a + b) + 2(a + b) 1.6 a · b · b

2. Schreiben Sie ausführlich.

2.1 2 4 2.2 4x 2.3 3 x 3

3. Berechnen Sie. Wo liegt der Unterschied?

3.1 2 3 ; 3 2 3.2 3 · 3; 3 3 3.3 6 · 3; 6 3

3.4 5 · 2; 2 · 5; 5 2 ; 2 5 3.5 3 · 2 3 ; 2 · 3 2 ; (2 · 3) 2 ; (– 2 · 3) 2 ; – 2 · 3 2

4. Berechnen Sie. Finden Sie eine Regel.

4.1 – 4 3 ; (– 4) 3 4.2 (– 3) 2 ; (–1) 2 4.3 (–3x) 4 ; (–2a) 6

4.2 Addition und Subtraktion von PotenzenPotenzen mit gleicher Basis und gleicher Hochzahl (gleiche Potenzen)

Beispiele:

5· + 6 · = 11 · 5 · x 2 + 6 · x 2 = 11 · x 2

1 __ 2 x 3 – 4 x 3 = – 7 __

2 x 3 Eine Zusammenfassung ist möglich.

Verschiedene Potenzen

Beispiele:

5 x 2 + 6 x 3 Eine Zusammenfassung ist nicht möglich.

5 (2x) 2 + 6 – 8 x 2 – 4x = 5(4 x 2 ) – 8 x 2 + 6 – 4x = 12 x 2 – 4x + 6

Beachten Sie:

■ Man kann nur Potenzen mit gleicher Grundzahl und gleicher Hochzahl zusammen-fassen.

■ Dabei gilt die Rechenregel: Potenzrechnung vor Punktrechnung vor Strichrechnung.

Beispiele:

– 6 a 2 – a 4 + 4 a 2 – 3 a 4 = –10 a 2 – 4 a 4

– 4 x 2 – 2( x 4 + x 2 ) + 2 = – 6 x 2 – 2 x 4 + 2

Übungsaufgabe

73 Vereinfachen Sie, soweit möglich.

1.1 8 a 2 –12 a 2 1.2 1 __ 2 b 4 – b 4

__ 4 + b 4 1.3 9 x 7 – 8 x 7 – x 7

1.4 4 a 5 – 2( a __ 2 ) 3 – a 5 – 9 a 3 1.5 s 2 + (2s) 2 + (3s) 2 1.6 7 x 4 + x 3 – ( x 4 + 7 x 3 )

1.7 x n + x n 1.8 ( –2b) 3 – b 3 – 6 b 3 1.9 a x 3 + b x 3

140

4.3 Multiplikation von Potenzen

Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

Beispiele:

2 3 · 2 4 = (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2 · 2) = 2 7 122222322225 122222223222225

= 2 3 · 2 4 = 2 3 + 4 = 2 7

a 2 · a 3 = (a · a)(a · a · a) = a 2 + 3 = a 5

1. Potenzgesetz: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die gemeinsame Basis mit der Summe der Hochzahlen potenziert.

a n · a m = a n + m ; n, m ∈ N

Beispiele:

3 4 · 3 7 = 3 4 + 7 = 3 11 (–7) 4 · (–7) 5 = (–7) 4 + 5 = (–7) 9 = – 7 9

5 4 · 5 = 5 4 · 5 1 = 5 4 + 1 = 5 5 a 1 = a

– a 2 · a = – a 2 · a 1 = – a 3

x 3 · x 2 = x 3 +2 = x 5 x n · x = x n · x 1 = x n + 1

e x · e 5 = e x +5 10 x+1 = 10 x · 10 1 = 10 x · 10

( a 2 + a 3 ) · a 4 = a 5 + a 7 a 8 + a 6 – a 4 = a 4 ( a 4 + a 2 –1)

Beachten Sie:

(– 5) 4 = 5 4 , aber (– 5) 3 = – 5 3

(– 5) n = 5 n für n gerade; (– 5) n = – 5 n für n ungerade; n ∈ N*

1 n = 1; 0 n = 1; n ∈ N*

Übungsaufgabe

74 1. Vergleichen Sie: ( –3) 2 ; (–3) 3 ; (–3) 4 ; ( 1 __ 3 ) 3 ; (– 1 __

3 )2; – 3 3 ; – 3 2

2. Vereinfachen Sie.

2.1 a 5 (a – 4)+ a 5 2.2 –12 a 2 + 3a(a + 1) 2.3 a x n + 4 x n

2.4 3 x 4 – x 4 – x 3 (x+2) 2.5 – 2( ab) 2 – 3 a 2 b 2 2.6 a p 3 + b p 3


3.1 t 3 · t 4 – t 5 ( t 2 +1) 3.2 x 2 · x 3 · x 4 · 4 3.3 3 a k · a 4 · a

3.4 b n · b 3 · 6 3.5 (x +1) 4 (x + 1) 5 (x + 1) 3.6 ( x __ 3 ) 4 ( x __

3 ) 2 · 12


4.1 a 3 ( a 2 – a) 4.2 x 2 ( x 6 – x 2 – 1) 4.3 3a ( a 2 – 3 a 3 + 6 a 4 )

5. Klammern Sie die höchste Potenz aus.

5.1 a 7 – a 4 5.2 2 x 6 – 4 x 4 – 12 x 3 5.3 a 2 __

2 – a 3 + a 4

___ 4

141

Multiplikation von Potenzen mit gleicher Hochzahl, aber verschiedener Basis

Beispiele:

2 3 · 5 3 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 = (2 · 5)(2 · 5)(2 · 5) = (2 · 5) 3 = 10 3

a 2 · b 2 = a · a · b · b = (a · b)(a · b) = (a · b) 2

2. Potenzgesetz: Potenzen mit gleicher Hochzahl und verschiedener Basis werden multipliziert, indem man das Produkt der Grundzahlen mit der ge-meinsamen Hochzahl potenziert: a n · b n = (a · b) n ; n ∈ N*

Beispiele:

3 4 · 5 4 = (3 · 5) 4 = 15 4 = 50 625 10 5 · ( 1 __ 5 ) 5 = (10 · 1 __

5 ) 5 = 2 5 = 32

2 2 · 3 2 · 5 2 = (2 · 5) 2 · 3 2 = 10 2 · 3 2 = 30 2 = 900

(–4) 2 · (–5) 2 = [(– 4) · (–5)] 2 = 20 2 = 400

(–2) 2 · 3 2 = [ (–2) · 3] 2 = (– 6) 2 = 6 2 = 36

x 4 · y 4 = (x · y) 4

Übungsaufgabe

75 1. Vereinfachen Sie.

1.1 5 3 · 4 3 1.2 8 4 · 0,25 4 1.3 6 7 · ( 1 __ 6 ) 7

1.4 0,3 6 · ( 10 ___

3 )

6 1.5 4 3 · ( 3 __

4 )

3 1.6 2 5 · ( 1 __

2 ) 4

1.7 ( x __ 4 ) 4 · 4 4 1.8 2 x · ( 5 __

2 )

x · 5 1.9 2 n · ( x __

2 ) n · x

1.10 (– 5) n · (– 0,5) n 1.11 x 3 · ( –y) 3 1.12 – a 4 · (–b) 4

2. Schreiben Sie ausführlich.

2.1 (2ab) 3 2.2 (– 1 __ 2 a)

4 2.3 81 · ( 2 __

3 x)

5

3. Schreiben Sie als Produkt.

3.1 a m+ 1 3.2 a k + 3 3.3 16 x n + 4

4. Schreiben Sie 2 10 + 2 10 als eine Potenz.

5. Schreiben Sie als eine Potenz.

5.1 a · a 2 · b 3 5.2 a m · 4 m 5.3 2 k +1 · 3 k + 1

6. Vereinfachen Sie

6.1 a 2 · a 3 6 a · a 4 6.2 (ab) 4 + 4 a 4 b 4 + ( a 2 b 2 ) 2 6.3 5 a 2 b 3 7b( ab) 2 + a 2 ( 2b) 3

7. Multiplizieren Sie aus und fassen Sie gegebenenfalls zusammen.

7.1 ab(5ab 6a) 7.2 (ab) 2 (4ab 5 a 2 b 2 )

7.3 x 2 y 2 (6xy 7x) + x 2 (6 (xy) 2 + 8x y 2 )

142

4.4 Division von Potenzen

Division von Potenzen mit gleicher Basis

Beispiele:

2 5 __

2 2 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2

___________ 2 · 2

= 2 · 2 · 2 ______

1 = 2 3 = 2 5 – 2

a 7 ___

a 5 = a · a · a · a · a · a · a

________________ a · a · a ·a · a = a · a ____

1 = a 2 = a 7 – 5

3. Potenzgesetz: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die ge-meinsame Basis mit der Differenz der Hochzahlen potenziert:

a n ___

a m = a n – m ; a 0; n > m; n, m ∈ N*

Beispiele:

7 5 __

7 4 = 7 5 – 4 = 7 1 = 7 7 3

__ 7 3

= 1 = 7 3 – 3 = 7 0

a 8 __

a 5 = a 8 – 5 = a 3 a 7

__ a 7

= a 7 – 7 = a 0 = 1 a 0 = 1

Sinnvolle Festlegung: a 0 = 1

e x __ e = e x –1 e x – 2 = e x

__ e 2

e n –1 _____

e 2 = e (n –1) – 2 = e n – 3

10 x + 5 ______

10 000 = 10 x+5

_____ 10 4

= 10 x+1 = 10 · 10 x

Übungsaufgabe

76 1. Vereinfachen Sie (Der Nenner ist ungleich null.).

1.1 5 5 __

5 2 + 1 1.2 10 9

____ 10 4

1.3 4 6 __

4 6 1.4 a 12

___ a 4

+ 5 a 8

1.5 4x 6 ___

x 3 1.6 x 2n

___ 5 x n

1.7 a n+1 _____

a n 1.8 15 e x+ 1

______ 5 e x

1.9 2 a n+2 _____

4 a n+1 1.10 a 4 b n+3

______ a n b 2n–1

1.11 4 x+2 ____

16 1.12

(t – 3) 4 ______

(3 – t) 3


2.1 ( b 4 – b 6 + b 8 ) : b 4 2.2 (6 x 2 – 8 x 3 + 12 x 5 ) : (2 x 2 )

3. Schreiben Sie als Quotient.

3.1 a 5– 3 3.2 a m – 2 3.3 x m – n + 1 3.4 a 2m – 1


4.1 x 4 + x 6 ______

x 3 4.2

2 (x 1) 3 ________

4x 4

143

Division von Potenzen mit gleicher Hochzahl, aber verschiedener Basis

Beispiele:

4 3 __

2 3 = 2 3 denn: 4 3

__ 2 3

= ( 4 __ 2 ) 3 = 2 3

(– 3) 2

_____ (– 5) 2

= ( 3 __ 5 ) 2 denn:

(– 3) 2 _____

(– 5) 2 =

(– 3) · (– 3) _________

(– 5) · (– 5) = ( – 3

___ – 5

) 2 = ( 3 __

5 ) 2

4. Potenzgesetz: Potenzen mit gleicher Hochzahl und verschiedener Basis werden

dividiert, indem man den Quotienten der Grundzahlen mit der ge-

meinsamen Hochzahl potenziert: a n ___

b n = ( a __

b ) n ; b 0; n ∈ N*

Beispiele:

10 2 ___

5 2 = ( 10

___ 5 )

2 = 2 2 = 4 16 3

___ 4 3

= ( 16 ___

4 )

3 = 4 3 = 64

(– 2) 3

_____ 5 3

= ( – 2 __ 5 ) 3 = – ( 2 __

5 ) 3 = – 8

____ 125

x 2 __

9 = x 2

__ 3 2

= ( x __ 3 ) 2

Übungsaufgabe

77 1. Vereinfachen Sie (Der Nenner ist ungleich null.).

1.1 10 3 ___

2 3 1.2

2,5 4 ____

0,5 4 1.3 24 3 : 12 3

1.4 5 3 ______

(–0,2) 3 1.5 c 6

____ (– c) 6

+ 1 1.6 ( a __ b ) n · a __

b

1.7 ( –1 ____

a – b ) 3 1.8 ( x __

2 ) 3 : ( x __

3 ) 1.9

(10ab) k ______

(4b) k

1.10 (2x) n

____ x n

+ 5 1.11 x 3 : (–y) 3 1.12 (–3a) 4

_____ (–b) 4

2. Schreiben Sie als eine Potenz.

2.1 27 ___

x 3 2.2 16 x 4

____ y 4

2.3 81 a 4 : 10 000

3. Vereinfachen Sie soweit wie möglich.

3.1 (4x + 4) 3 ______

(x + 1) 3 3.2 ( a 2 + 2 a)

_______ (a + 2) 2

3.3 ( x 2 – 9 ) 4 ______

( x – 3) 4

4. Vereinfachen Sie soweit wie möglich.

4.1 5 a 2 ___ b 2

+ 6 ( a __ b ) 2 – ( 5a

___ b )

2 4.2 ( 2a

___ 3b

) 3 – a 3

__ b 3

+ 2 __ 3 ( a __

b ) 3 4.3 (– x __ y ) 2 – ( 5x

___ 2y

) 2 + ( x __ y ) 2 –

(3 x) 2 ____

4 y 2

144

4.5 Potenzieren von Potenzen

Beispiele:

( 5 3 ) 4 = 5 3 · 5 3 · 5 3 · 5 3 = 5 3+3 + 3 + 3 = 5 3 · 4 = 5 12

( a 6 ) 3 = a 6 · a 6 · a 6 = a 6 + 6 + 6 = a 3 · 6 = a 18

5. Potenzgesetz: Potenzen werden potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Hochzahlen potenziert: ( a n ) m = a n · m ; n, m ∈ N*

Beispiele:

( 2 4 ) 3 = 2 4 · 3 = 2 12 = ( 2 3 ) 4 ( a 0 ) 5 = 1 5 = 1 = ( a 5 ) 0

[ (– 2) 3 ] 4 = (–2) 3 · 4 = (–2) 12 = 2 12 (– 3x ) 5 = – 3 5 x 5 = – 243 x 5

( xy ___ z )

n =

x n y n ____

z n ( x n – 3 ) 4 = x 4 · (n – 3) = x 4n –12

( a x ) 2 = a 2x

Übungsaufgabe

78 1. Berechnen Sie.

1.1 ( 2 4 ) 5 1.2 (– 5 2 ) 3 1.3 – ( 0,5 2 ) 2 – 0,5 (– 3 3 ) 2


2.1 ( b 1 ) 3 2.2 3 · (2 a 2 ) 5 2.3 3 ( c 4 ) 3 – 6 c 12

2.4 2 · ( c n – 1 ) 4 2.5 ( x 2 y 3 z 2 ) 5 2.6 (0,5 e x+2 ) 2

2.7 (7 a 2 b 3 ) 2 2.8 ( –1 ___

c 3 ) 2n

2.9 (3 b n+1 · c n –1 ) 2

2.10 ( 12 x 5 y 3 ______

4 x 3 y 2 ) 3 2.11 ( 3 x 2 y

____ a b 2

) 4 2.12 (4ab) 4

_____ (6 a 2 ) 4

· 5 __ b 4

3. Schreiben Sie als Potenz mit der kleinstmöglichen Basis.

3.1 4 3 3.2 25 4 3.3 16 2

4. Schreiben Sie in der Form a · b n .

4.1 5 2n 4.2 3 n+2 4.3 4 2n – 1

5. Fassen Sie zusammen.

5.1 3(4 x 3 ) 3 – 5 x 9 5.2 (4 · 3 x ) 2 + 5 · 3 2x 5.3 3 ( e 2x ) 2 + (2 e x ) 4 6 e 4x

6. Welche der Terme sind gleichwertig?

( a 2 ) 3 ; ( (– a) 2 ) 3 ; – a 2 3 ; (– a 3 ) 2

145

4.6 Potenzen mit negativen ganzen Hochzahlen

In der Technik schreibt man für die Ein-heit km

___ h auch km h –1 oder für 100 Umdre-

hungen pro min auch 100 min –1 .

Bei der Division von Potenzen mit natür-lichen Hochzahlen war die Einschränkung n > m für die Hochzahlen n und m wichtig.

Was passiert, wenn man aber nun 7 3 __

7 4 be-

rechnet?

Lösung:

Anwendung des 3. Potenzgesetzes a n ___

a m = a n – m

für n > m: 7 3 __

7 2 = 7 3 – 2 = 7

für n = m: 7 3 __

7 3 = 7 3 – 3 = 7 0 = 1

für n < m: 7 3 __

7 4 = 7 · 7 · 7

_________ 7 · 7 · 7 · 7 = 1 __

7 Anwendung des 3. Potenzgesetzes: 7 3

__ 7 4

= 7 3 – 4 = 7 –1

Man setzt 1 __ 7 = 7 –1 , so gilt das 3. Potenzgesetz auch für negative Hochzahlen.

Beispiele:

7 3 __

7 5 = 7 · 7 · 7

____________ 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = 1

_____ 7 · 7 = 1 __

7 2 Man setzt 1 __

7 2 = 7 –2 , 7 3

__ 7 5

= 7 3 – 5 = 7 –2

10 2 ___

10 4 = 10 · 10

_____________ 10 · 10 · 10 · 10

= 1 ______

10 · 10 = 1

___ 10 2

= 10 –2 10 –3 = 1 ___

10 3 ; 1

____ 10 –3

= 10 3

a 4 __

a 5 = a 4 – 5 = a –1

t 3 __

t 7 = t 3 – 7 = t –4

Sinnvolle Festlegungen: a 0 = 1; a – 1 = 1 __ a ; a – 2 = 1 __ a 2

(a 0)

Beachten Sie:

■ Den Quotienten 1 __ a n

kann man auch als Potenz mit negativer Hochzahl schreiben:

1 __ a n

= a –n (a 0, n ∈ N*).

■ a –n ist der Kehrwert von a n .

146

Übungsaufgabe

79 1. Schreiben Sie mit positiver Hochzahl und bestimmen Sie.

1.1 2 –3 1.2 –5 –1 1.3 10 –2

1.4 ( 2 __ 3 ) –1

1.5 1 ___

3 – 2 1.6 ( 4 __

3 ) –3

2. Schreiben Sie mit positiver Hochzahl.

2.1 b –3 2.2 – x –1 2.3 2 a –2

2.4 1 ___

x – 1 2.5 ( 2 __ y )

–2 2.6 (a + b) –3

3. Schreiben Sie mit negativer Hochzahl und kleinstmöglicher Grundzahl.

3.1 1 ___ 27

3.2 – 1 ______

10 000 3.3 1

____ 625

Rechnen mit Potenzen mit negativen ganzen Hochzahlen

Beispiele:

a – 2 · a 3 = 1 __ a 2

· a 3 = a 1 = a oder: a –2 a 3 = a – 2+3 = a

2 4 ___

2 –3 = 2 4 · 1

___ 2 –3

= 2 4 · 2 3 = 2 4+3 = 2 7 oder: 2 4 ___

2 –3 = 2 4 – (–3) = 2 7

( a –2 ) 3 = a –2 · a –2 · a –2 = a – 6 oder: ( a –2 ) 3 = a –2 · 3 = a – 6

Man erkennt: Alle fünf Potenzgesetze gelten auch für negative Hochzahlen.

x __ x 3

= x 1 __

x 3 = x 1– 3 = x –2 10 2

____ 2 2

= 5 2 = 1 ___ 25

1 ___

3 –2 = 1 __

1 __ 3 2

= 3 2 1

____ t 1 – n

= t – (1– n) = t n 1

( x n + 2 + 4 x n + x n – 2 ) : x –2 = ( x n + 2 + 4 x n + x n – 2 ) · x 2 = x n + 4 + 4 x n + 2 + x n

Übungsaufgabe

80 1. Vereinfachen Sie (Nenner und Basis sind ungleich null.).

1.1 x –3 x 5 1.2 – a –2 a n + 1 1.3 a 5 ___

a –2


2.1 5 –2 3 –2 2.2 x –1 y –1 2.3 10 –2 ____

5 –2


3.1 ( 5 –2 ) –3 3.2 ( 3 x 2 ) –2 3.3 ( x –4 y –3 ) 2

_______ x y –2

147

Potenzgesetze

Potenzen mit gleicher Basis a n · a m = a n+ m 1

a n ___

a m = a n – m ; a 0 3

Potenzen mit gleicher Hochzahl a n · b n = (a · b) n 2

a n ___

b n = ( a __

b ) n ; b 0 4

Potenzieren ( a n ) m = a n · m 5

Die Hochzahlen m und n sind ganze Zahlen: n, m ∈ Z.

Festlegung: a 0 = 1 für alle a, also auch 0 0 =1

( 4 3 ) 5 = 4 3 · 5 = 4 15

Hochzahlen

multiplizieren

4 3 · 5 3 = (4 · 5) 3

Grundzahlen multiplizieren Hochzahl beibehalten

4 3 ___

8 3 = ( 4 __

8 ) 3 = ( 1 __

2 ) 3

Grundzahlen dividieren Hochzahl beibehalten

4 3 · 4 5 = 4 3+5 = 4 8

Hochzahlen addierenGrundzahl beibehalten

4 5 __

4 3 = 4 5 – 3 = 4 2

Hochzahlen subtrahierenGrundzahl beibehalten

Potenzrechnen

1

2 3

4

5

148

Übungsaufgabe zu Potenzen

81 1. Vereinfachen Sie (Nenner und Basis sind ungleich null.).

1.1 c n c –1 1.2 b –2 ___

b 3 + 3 __

b 5 1.3

y 1– n ____

y 2 · y n

1.4 2 a –4 b –4 · (a b 2 ) 4 1.5 x 0 ___

y –5 · y 2 1.6 ( 2 a –2 ) – 3 + (3 a 3 ) 2

2. Unterscheiden Sie.

2.1 2 x –3 ; ( 2x) –3 2.2 4 ( x 2 ) 3 ; (4 x 2 ) –3 ; ( 4 x –2 ) –3 2.3 a 3 a 2 ; a 3 + a 2 und ( a 3 ) 2

3. Multiplizieren Sie aus.

3.1 1 __ 4 · 2 –4 ( 2 2 ) 3 3.2 3 x –2 ( 1 __ x )

3 ( x 2 ) 0 3.3 (3 x 2 ) 3

3.4 (4x + 3 y –3 ) 2 3.5 ( x –2 + 3 x 4 ) x 3 3.6 ( 3 n +1 ) 2


4.1 a 2 ( a 2 ) –2 + 3a ( 1 __ a ) 3 4.2 1 ___

18 ( 3 2 ) 2 + 1 __

2 · 3 3 ( 1 __

3 ) 2 4.3 ( x 2 x –3 ) –2 + ( 3 __

x 2 )

–1

4.4 a 5 a –2 + 4 a 2 · a 4.5 a 4 a –6 – 3 a 3 a –5 + a 2 4.6 x( x 2 – 1)

_______ x 2

4.7 – 2 3 –2 · 4 ________

2 · 2 3 4.8 x 2 – x

______ 4x – 4

4.9 e 2 ____

e x–1

4.10 e 3x +1 _____

e –x+2 4.11 1

_____ e 2x– 3

4.12 e –x · e –x+ 2 · e 2x – 3

5. Rechnen Sie die in der Klammer angegebene Einheit um.

5.1 0,5 m 3 ( cm 3 ) 5.2 25,2 m 2 ( cm 2 ) 5.3 10 mg (kg)

6. Berechnen Sie.

6.1 ( u –3 ) –2 – ( u –2 ) –3 6.2 (– u –2 ) –3 – ( u –2 ) –3 6.3 (– a 3 ) 4 + 3 a 2 a 6

7. Setzt man – 3 für x, so ergibt der Term x –x den Wert 27 oder – 27.

Entscheiden Sie.

8. Stellen Sie den Term auf zwei verschiedene Arten dar.

8.1 a 2 ( a 3 + a 2 + a) 8.2 (ab ) n – 3 8.3 a 3 + 2 a 2 b + a b 2 __________ a + b

9. Die mittlere Masse einer menschlichen Zelle beträgt 2 · 1 0 – 12 kg. Wie viele Zellen besitzt ein 50 kg schwerer Mensch?

10. Die Bevölkerung eines Staates wächst um 1,5 % pro Jahr. Um wie viel nimmt die Einwoh-nerzahl bis 2025 zu, wenn die heutige Zahl (2011) 45,6 Millionen beträgt?

11. Ein Ball fällt aus 3,5 m Höhe auf den Boden. Nach jeder Bodenberührung erreicht er noch 80 % seiner jeweiligen Ausgangshöhe.

Wie hoch springt der Ball noch nach 5 Bodenkontakten?

149

5 Die Binomischen Formeln

5.1 Multiplikation von Summen

Beispiel:

Gegeben ist ein Rechteck mit der Länge a und der Breite c + d.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des angegebenen Rechtecks auf zwei verschiedene Arten.

Lösung:

Rechnerische Lösung

Flächeninhalt A = a(c + d) = a · c + a · dGeometrische Deutung

Beispiel:

Gegeben ist ein Rechteck mit der Länge a + b und der Breite c + d.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des angegebenen Rechtecks auf zwei verschiedene Arten.

Lösung:


Flächeninhalt A = (a + b)(c + d)

A = ac + ad + bc + bd

Geometrische Deutung

Beachten Sie:

Man multipliziert zwei Summen, indem man jedes Glied der einen

Summe mit jedem Glied der anderen Summe

multipliziert und die Gesamtsumme (a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd bildet.

Beispiele:

(4a + 7)(2 – b) = 4a · 2 + 4a(– b) + 7 · 2 + 7(– b) = 8a – 4ab + 14 – 7b

(3x – 2)(2x + 3) = 3x · 2x + 3x · 3 – 2 · 2x – 2 · 3 = 6 x 2 + 9x – 4x – 6 = 6 x 2 + 5x – 6

Übungsaufgabe

82 1. Multiplizieren Sie aus und fassen Sie zusammen.

1.1 (a +1) (a – 2) 1.2 (a – 3) (a + 5) 1.3 (2a – 5) (a + 4)

1.4 (2x + 1) 2 1.5 (3x – 2)(2x + 3) 1.6 (2 a 2 – a) (a – 1)

1.7 (7 – 3y) (1 – 2y) 1.8 (x – 3y) (2x – y) 1.9 5(1 – 6c)(a + 4b)

a

c +

d

a

c +

d

a · c

a · d

c

d

a + b

c +

d

a

c +

d

c

d

b

a · c

a · d

b·c

b·d

150

5.2 Binomische Formeln

Bei der Multiplikation von Summen gibt es drei Sonderfälle.

1. Fall: (a + b)(a + b)

Ein Quadrat hat die Seitenlänge (a + b). Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche.

Lösung:


A = (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2

A = a 2 + 2ab + b 2

Geometrische Deutung

1. Binomische Formel (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (Eine Summe wird quadriert.)

Beispiele:

(3x + 2y ) 2 = (3x) 2 + 2 · 3x · 2y + (2y) 2 = 9 x 2 + 12xy + 4 y 2

Man stellt fest:

(Summe) 2 = (1.Summand) 2 +doppeltes Produkt aus beiden Summanden+ (2.Summand) 2

(2z + 5 ) 2 = 4 z 2 + 2 · 2z · 5 + 25 = 4 z 2 + 20z + 25

2. Fall: (a – b)(a – b)

Beispiele:

(a – 5) 2 = (a – 5)(a – 5) = a 2 – 5a – 5a + 25 = a 2 – 10a + 25

(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2

2. Binomische Formel (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 (Eine Differenz wird quadriert.)

( x – 7) 2 = x 2 – 14x + 49

(3z – 5) 2 = 9 z 2 – 30z + 25

3. Fall: (a – b)(a + b)

Beispiele:

(z – 3) (z + 3) = z 2 – 3z + 3z – 9 = z 2 – 9

(a – b)(a + b) = a 2 – ab + ab – b 2 = a 2 – b 2

3. Binomische Formel (a – b)(a + b) = a 2 – b 2

(x – 8)(x + 8) = x 2 – 64

(2a – 3b)(2a + 3b) = 4 a 2 – 9 b 2

(7p – 6q)(7p + 6q) = 49 p 2 – 36 q 2

a

a

b

b

a 2 ab

ab b 2

151

Die drei Binomischen Formeln (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2

(a – b)(a + b) = a 2 – b 2

Beispiele:

(4x + 5) 2 = 16 x 2 + 40x + 25

(4x – 5) 2 = 16 x 2 – 40x + 25

(4x – 5)(4x + 5) = 16 x 2 – 25

(2x – 3 y) 2 = 4 x 2 – 12xy + 9 y 2

(2x + 3 y) 2 = 4 x 2 + 12xy + 9 y 2

(2x – 3y)(2x + 3y) = 4 x 2 – 9 y 2

Bemerkung: Die Binomischen Formeln sind ein Hilfsmittel zum Ausmultiplizieren und Ausklammern. Beim Ausmultiplizieren lassen sich Zwischenschritte einsparen und da-mit Zeit sparen. Bei der Zerlegung einer Summe in ein Produkt sind sie oft ein unent-behrliches Hilfsmittel.

Übungsaufgabe

83 1. Wenden Sie eine Binomische Formel an.

1.1 (a + 5 ) 2 1.2 (a – 3) 2 1.3 (u + 12 ) 2

1.4 (x – 1 ) 2 1.5 (2 – x ) 2 1.6 (7 – a ) 2

1.7 (7 + y)(7 + y) 1.8 (– x + 5) 2 1.9 (b – 11)(b + 11)

1.10 (x – 7)(x + 7) 1.11 (– x + 6)(x + 6) 1.12 (b – 4c)(4c – b)

2. Lösen Sie die Klammer auf.

2.1 (7 + 3 y) 2 2.2 (–x + 3y ) 2 2.3 (b + 6 c) 2

2.4 1 __ 4 (4x – 1 ) 2 2.5 (3x + 5 y) 2 2.6 3(8b – 4c) 2


3.1 ( a – 1) 2 + 3( a +1) 2 + (a – 1)(a +1)

3.2 (2a – 3) 2 + (4a + 1) 2 – 4(4 – a)(a + 4)

3.3 (5p – q ) 2 – (p – 5q) 2 – (2p – 3q)(2p + 3q)

4. Gegeben sind die Terme 4 a 2 – 12ab + 9 b 2 ; 4 a 2 + 12ab – 9 b 2 ; 4 a 2 – 6ab + 9 b 2 .

Welcher Term ist äquivalent zu (2a – 3 b) 2 . Begründen Sie.

5. Wählen Sie für die Längen a und b geeignete Zahlen.

5.1 Schneiden Sie sich vier Kärtchen entsprechend der nebenstehenden Abbildung aus und setzen Sie diese zu einem Quadrat zusammen.

5.2 Berechnen Sie den Flächeninhalt des Quadrats auf zwei verschiedene Arten.

aa a

a

b

bb b

152

5.3 Zerlegung von Summen in Faktoren

Beipiele:

1. 18a + 9 = 9 · 2a + 9 · 1 = 9(2a + 1) durch Ausklammern

4 x 2 – 12x = 4x · x – 4x · 3 = 4x(x – 3) durch Ausklammern

Beachten Sie:

Ausklammern eines gemeinsamen Faktors macht aus einer Summe ein Produkt.

2. x 2 + 2x + 1 = (x + 1)(x + 1) = (x + 1) 2 Anwendung der 1. Binomischen Formel 1222222232222225 12222222232222225 Summe Produkt

a 2 + 12ab + 36 b 2 = (a + 6b) 2 Anwendung der 1. Binomischen Formel

Hinweis: a 2 = (a) 2 ; 36 b 2 = (6b ) 2

9 x 2 – 12xy + 4 y 2 = (3x – 2y ) 2 Anwendung der 2. Binomischen Formel

Hinweis: 9 x 2 = (3x ) 2 ; 4 y 2 = (2y ) 2

25 u 2 – 16 v 2 = (5u – 4v)(5u + 4v) Anwendung der 3. Binomischen Formel

Hinweis: 25 u 2 = (5u ) 2 ; 16 v 2 = (4 v) 2

3. 2 x 2 + 12xy + 18 y 2 = 2( x 2 + 6xy + 9 y 2 ) = 2(x + 3y ) 2

durch Ausklammern und Anwendung der 1. Binomischen Formel

4. x 2 + 6x + 9 __________

2x + 6 =

(x + 3) 2 _______

2(x + 3) = x + 3

_____ 2 = 1 __

2 (x + 3)

Kürzen nach Faktorzerlegung

Beachten Sie:

Anwendung einer binomischen Formel macht aus einer Summe ein Produkt.

Übungsaufgabe

84 1. Zerlegen Sie in Faktoren.

1.1 a 2 – 4ab 1.2 4 a 2 + 8a 1.3 9 x 2 + 24xy

1.4 12 z 2 – 12z 1.5 x 2 – 14x + 49 1.6 1 – 2z + z 2

1.7 x 2 + 4x + 4 1.8 9 – 6p + p 2 1.9 25 + 10q + q 2

2. Zerlegen Sie in Faktoren.

2.1 2 a 2 – 20a + 50 2.2 4 a 2 + 8a + 4 2.3 9 a 2 + 24ab + 16 b 2

2.4 9 a 2 –16 b 2 2.5 – x 2 + 1 2.6 a 2 – 4ab + 4 b 2

3. Vereinfachen Sie durch Ausklammern.

3.1 (2x + 6) 2 3.2 (–2a – 4) 3 3.3 (3 t 2 – 3 t 3 ) 2

3.4 x(5a +15)

________ a + 3

3.5 (2x – 6 ) 2

_______ 4 3.6 5a – 20

______ 4a – 16

153

Übungsaufgabe

85 1. Ergänzen Sie so, dass eine allgemeingültige Gleichung entsteht.

1.1 (. . . + . . . ) 2 = 9 a 2 + . . . + 25 b 2

1.2 (5x – . . . ) 2 = . . . – 20x + . . .

1.3 (. . . – 4y ) 2 = . . . – 4y + . . .

1.4 (. . . – . . . ) 2 = . . . – 4s + 4 s 2

2. Bestimmen Sie den Klammerinhalt

2.1 3 a 2 + 6 a 3 = 3 a 2 ( . . . ) 2.2 a 2 – 6 a 3 + 4 a 4 – 8 a 5 = 2 a 2 ( . . . )

2.3 2 e x – 3 e x +1 = e x ( . . . ) 2.4 3 __ 2 x 4 – 1 __

4 x 2 – 3 __

8 x = 1 __

8 x( . . . )

3. Multiplizieren Sie aus.

3.1 (4x + 3 y –3 ) 2 3.2 – ( x 4 – 2) 2

3.3 ( e x + e –x )( e x – e –x ) 3.4 ( x 2 – x 3 )( x –2 + x 3 )

3.5 (3 x 2 – 5x)(1 – x 3 ) 3.6 ( p 2 – 5 p 3 ) 2

4. Welches Binom lässt sich mit nebenstehender Abbildung veranschaulichen?

Erläutern Sie die Abbildung.

5. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seitenlängen a – x und a + x als Summe seiner Teilflächen. Verdeutlichen Sie den Sachverhalt anhand einer Zeichnung.

6. Erläutern Sie die Binomische Formel (a – b)(a + b) = a 2 – b 2 indem Sie die Abbildungen beschriften.

7. Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche in Abhängigkeit von der Unbekannten a.

5a

2

a

ba

a

b

ab

b

154

6 Relationen und Funktionen

6.1 Relationen

Beispiel:

Für ein Geschenk bringen Klaus, Oli, Anna und Lena Zitronen, Trauben, Äpfel, Orangen und eine Mango mit. Damit man weiß, wer was mitge-bracht hat, erstellt man eineTabelle: „. . . wurden gespendet von . . .“.

Erstellen Sie eine Tabelle, die zeigt, welcher Spen-der welches Obst mitgebracht hat.

Veranschaulichen Sie die Tabelle durch eine Grafik.

Lösung:

„... wurden gespendet von ...“Klaus Oli Lena Anna

Zitrone (Z) x

Apfel (A) x

Trauben (T) x x

Orangen (O) x

Mango (M) x

M 1 M 2

Erläuterung der Grafik:

Der Zuordnungspfeil bedeutet, Trauben (T) wurden gespendet von Klaus.

Kurzschreibweise: (T; Klaus)

Dies nennt man ein geordnetes Paar.

Weitere geordnete Paare:

(A; Anna), (Z; Klaus), (O; Lena), (T; Lena), (M; Oli).

Bezeichnet man die Menge der Obstsorten mit M 1 und die Menge der Namen mit M 2 , so beschreibt die Aussageform „Trauben wurden gespendet von Klaus“ eine Beziehung (Relation) zwischen einem Element aus der Menge M 1 und einem Element aus der Menge M 2 . Diese Relation „. . . wurden gespendet von . . .“ bildet aus den Elementen der Menge M 1 und den Elementen aus M 2 geordnete Paare. Im vorliegenden Beispiel: (Zitrone; Klaus), (Orangen; Lena), (Apfel; Anna), u.s.w.

Beachten Sie:

Eine Relation ordnet einem Element aus einer Menge M 1 ein oder mehrere Elemente aus einer Menge M 2 zu.

Oli M

Klaus

Anna

Lena

Z

T

O

A

155

Beispiel:

Gegeben sind die zwei Zahlenmengen A = {2, 3, 5, 8} und B = {4, 5, 6, 7, 12}

Geben Sie Paare (x; y) mit x ∈ A und y ∈ B an, für die gilt: „ x ist Teiler von y “.

Stellen Sie die Relation „ ...ist Teiler von... “ als Paarmenge und graphisch dar.

Lösung:

Paarmenge R = {(2; 4), (2; 6), (2; 12), (3; 6), (3; 12), (5; 5)}

Darstellung der Relation durch ein Pfeildiagramm:

Die Relation (Zuordnung) lässt sich durch die-se sechs geordneten Paare (x; y) mit x ∈ A und y ∈ B beschreiben.

Zum Vergleich:

Insgesamt gibt es 4 · 5 = 20 geordnete Paare (x; y).

Bemerkung: Die Menge aller geordneten Paare (x; y) mit x ∈ A und y ∈ B nennt man die Produktmenge (kartesisches Produkt) A x B.

Beispiel:

Gegeben sind die zwei Mengen A = {Hering, Kuh, Delphin, Garnele, Zander} und B = {Krebs, Fisch, Säugetier}

Stellen Sie die Relation „. . . ist ein . . .“ durch ein Pfeildiagramm dar.

Lösung:

Hering

Kuh

Delphin

Garnele

Zander

Krebs

Fisch

Säugetier

Beachten Sie:

Eine Relation R zwischen den Elementen zweier Mengen A und B ist eine Teilmenge des kartesischen Produktes A x B: R ⊆ A x B.

Übungsaufgabe

86 1. Familie Moser hat vier Kinder: Hans, Maria, Kurt und Isa. Stellen Sie die Relation

„. . . ist Schwester von. . .“ in einem Pfeildiagramm dar.

2. Gegeben ist die Relation R = {(a; 1), (a; 2), (b; 3), (b; 1), (c; 5)}.

Erstellen Sie das zugehörige Pfeildiagramm.

2 4

3

5

8

6

512

7

„... ist Teiler von...“

156

6.2 Funktionen

Beispiel:

Nachfolgende Tabelle zeigt die Fahrer WM-Wertung für die Formel-1-Rennwagen 2010 (Endstand November 2010 nach 19 Rennen).

1. S. Vettel RedBull 256

2. F. Alonso Ferrari 252

3. M. Webber RedBull 242

4. L. Hamilton McLaren 240

5. J. Button McLaren 214

6. F. Massa Ferrari 143

Erstellen Sie ein Pfeildiagramm für folgende Zuordnung:

1.: Flagge → Fahrer 2.: Fahrer → Team

Lösung:

1.: Flagge → Fahrer 2.: Fahrer → Team

A

F. Alonso

M. Webber

S. Vettel

L. Hamilton

J. Button

P. Massa

B

F. Alonso

M. Webber

S. Vettel

L. Hamilton

J. Button

P. Massa

A

Ferrari

RedBull

McLaren

B

Von einem Element der Menge A Von jedem Element der Menge Agehen mehrere Pfeile aus. geht genau ein Pfeil aus.

Relation Funktion

Beachten Sie:

Eine Relation, die jedem Element der Menge A genau ein Element der Menge B zuordnet, heißt Funktion.

Die Menge A nennt man Definitionsmenge D, die Menge B ist die Wertemenge W.

www.GEPA-pictures.com

157

Beispiel:

In der deutschen Botschaft wird die Flagge gehisst. Die drei Diagramme beschreiben die Höhe der Flag-ge in Abhängigkeit von der Zeit. Interpretieren Sie die drei Diagramme.

Wie ist die Flagge jeweils gehisst worden?

Höhe der Flagge

Zeit

A

Höhe der Flagge

Zeit

B

x

y

Zeit

Höhe der FlaggeC

Lösung:

Bei allen drei Diagrammen nimmt die Höhe mit der Zeit zu.

Diagramm A: In der doppelten Zeit verdoppelt sich die Höhe.

Höhe und Zeit sind proportional.

Die Flagge wird mit konstanter Geschwindigkeit hochgezogen.

Höhe

_____

Zeit ist konstant.

Wird die Flagge mit einem Motor bei konstanter Drehzahl gehisst, kann das Hissen mit diesem Diagramm beschrieben werden.

Diagramm B: Der Höhenzuwachs pro Zeiteinheit (die Geschwindigkeit) nimmt ab und ist am Ende null.

Diagramm C: Die Flagge wird mit konstanter Geschwindigkeit hochgezogen.

Dann macht man eine Pause. Anschließend zieht man die Flagge wieder mit kon-stanter, aber verminderter Geschwindigkeit weiter hoch.

Die eindeutige Zuordnung (Funktion) Zeit → Höhe der Flagge ist in einem Koordinaten-system veranschaulicht.

158

Der Begriff „eindeutige Zuordnung” wird an einem Beispiel näher erläutert.

Beispiel:

Ein Betrieb verkauft Spargel. Ein Pfund kos-tet 2,00 EUR. Der Erlös beträgt y EUR.

Der Zusammenhang von verkaufter Ware und Erlös ist der Tabelle zu entnehmen:

Menge in Pfund x 1 2 3 . . .

Erlös in EUR y 2 4 6 . . .

Jedem x-Wert wird also genau ein y-Wert zugeordnet: x → y

Der y-Wert ist immer der 2-fache x-Wert: y = 2x

Diese Gleichung y = 2x legt eine Funktion fest: f: x → 2x

Funktionsvorschrift: f(x) = 2x

Die Menge, die alle zugelassenen x-Werte enthält, nennt man Definitionsmenge D.

Aus der Tabelle liest man ab:

Für x = 1 erhält man den y-Wert (Funktionswert) 2.

Schreibweise: y = f(1) = 2

ebenso für x = 2: y = f(2) = 4

und für x = 3: y = f(3) = 6

Für jedes x aus D erhält man: y = f(x) = 2x

Beachten Sie:

y ist der Funktionswert an der Stelle x: y = f(x).

Überträgt man die Zahlenpaare (x; y) aus der Tabelle in ein Koordinatensystem, so erhält man die drei Punkte A(1 | 2), B(2 | 4) und C(3 | 6).

Lässt man alle reellen Zahlen für x zu (D = R) und überträgt die Werte in ein Koordinatensys-tem, so erhält man eine Gerade als Schaubild der Funktion f.

Diese Funktion f ist eine lineare Funktion.

Bemerkung: R ist die Menge der reellen Zahlen (vergleiche Seite 193).

Beachten Sie:

Jedem Zahlenpaar (x; y) entspricht ein Punkt P(x | y) auf dem Schaubild der Funktion.

−1 1 2 3−2

2

4

6

x

y

f(1) = 2

f(2) = 4

f(3) = 6 y

1 2 3

A

B

C

159

Erläuterungen zum rechtwinkligen Koordinatensystem

Koordinatensysteme sind Gebilde, die uns helfen, Positionen zu bestimmen und wieder zufinden. Koordinatensysteme werden in unterschiedlichen Zusammenhängen benutzt: Erstellung von Landkarten, geometrischen Konstruktionen, globalen Positionierungssys-temen (GPS), u.s.w.. Daher ist es zweckmäßig, sich mit dem Koordinatensystem näher vertraut zu machen.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

x-Achse

A(2,5 | 1)

B(–2 | 3)

C(–3 | –1,5)D(2 | –2)

I. Quadrant

P(x | y)

mit x > 0 und y > 0

II. Quadrant

P(x | y)

mit x < 0 und y > 0

III. Quadrant

P(x | y)

mit x < 0 und y < 0

IV. Quadrant

P(x | y)

mit x > 0 und y < 0

y-Achse

1

2

3

x1 2 3

y

– 1–2–3–1

–2

–3

Zur Festlegung eines Punktes in der Ebene braucht man die x-Koordinate (Abszisse) und die y-Koordinate (Ordinate).

Der Punkt A (2,5 | 1) hat die x-Koordinate x = 2,5 und die y-Koordinate y = 1.

Das Koordinatensystem (Achsenkreuz) unterteilt die Ebene in 4 Felder (Quadranten).

Ein Punkt P(x | y ) liegt der x-Achse, wenn

Übungsaufgaben

87 1. Gegeben sind die vier Punkte P(– 3| 1), Q(3| 3), A(–1| 3) und B(3| – 1).

Wo liegt der Schnittpunkt der beiden Strecken PQ und AB?

2. Ergänzen Sie die Tabelle.

Quadrant Nummer x-Koordinate y-KoordinateI positiv ?

II ? positivIII ? ?

IV positiv ?

oberhalb

unterhalb� � y > 0

y < 0.�

160

88 1. Welche der folgenden Paarmengen sind Relationen, welche Funktionen?

Zeichnen Sie ein Pfeildiagramm.

1.1 R 1 = {(3; 1), (4; 1), (4; 2), (5; 1), (5; 2), ( 5; 3)}

1.2 R 2 = {(–3; – 4), (– 2; 1), (– 1; – 2), (4; 1), (5; 2), ( 5; 3)}

1.3 R 3 = {(–3; – 1), (– 2; 1), (– 1; – 2), (4; 2), (5; 3)}

2. Gegeben sind die Zuordnungen x → y.

2.1 y = 5x 2.2 y = 2x + 3 2.3 y = 5 x 2

2.4 y = 15x – 10 2.5 y = 5 __ x

Welche der nachfolgenden Zahlenpaare (x | y) gehören zu welcher Zuordnung?

A(30| 63); B(12| 27); C(6| 30); D(0,5| 10); E(3| 45); F(2| 20)

3. Kennzeichnen Sie im Koordinatensystem alle Punkte, deren Koordinaten die folgende Be-dingung erfüllen und geben Sie drei Punkte an.

3.1 x = 2 3.2 y 0 und y = – 1 __ 2 x + 1

4. Gegeben ist die Zuordnung x → y. Berechnen Sie die y-Werte für x ∈ {– 2; 0; 0,5; 1,5 }.

Zeichnen Sie die zugehörigen Punkte in ein Koordinatensystem ein.

4.1 y = 1,5x 4.2 y = 0,5x + 1 4.3 y = x + 2,5

4.4 y = 1 __ 4 x + 3 4.5 y = 2 x 4.6 y = x 2

5. Zeichnen Sie in ein geeignetes Koordinatensystem folgende Punkte ein:

A(0 | 20), B(4 | 24); C(5 | 25); D(8 |28); E(10 | 30).

Stellen Sie für den Zusammenhang von x- und y-Koordinate einen Term auf und geben Sie drei weitere Punkte an.

6. Gegeben sind die Punkte A, B, C, D, E im ab-gebildeten Koordinatensystem.

6.1 Geben Sie die Koordinaten aller Punkte an.

6.2 Wie groß ist das Dreieck ABE im Ver-gleich zu dem Dreieck ACD?

7. In den USA misst man die Temperatur in °F (Fahrenheit), in Europa in °C (Celsius).

7.1 Geben Sie entsprechend der Zuordnung T F = 1,8 T C + 32 zu jeder Temperatur in °C in der Tabelle den °F Wert an.

Temperatur in °C 22 24 26 32 33

Temperatur in °F

7.2 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion T C → T F .

0 1 2 3 4 5 6 7 8

12345678

x

y

A B C

E

D

161

7 Lineare Funktionen

7.1 Einführung

Beispiel:

Eine Brezel kostet 0,60 EUR.

1. Berechnen Sie die Kosten für 2, 3 und 4 Brezeln.

2. Wie kann man die Kosten y für x Brezeln berechnen?

Lösung:

Zu 1.: Eine Brezel kostet (in EUR) 0,60

Zwei Brezeln kosten 0,60 · 2 = 1,2

Drei Brezeln kosten 0,60 · 3 = 1,8

Vier Brezeln kosten 0,60 · 4 = 2,4

x Brezeln kosten 0,60 · x = y

Zu 2.: Die Kosten y für x Brezeln kann man mit folgender Gleichung berechnen: y = 0,6 · x

Beispiel:

Eine Tankstelle verlangt 1,45 EUR für einen Liter Benzin.

1. Erstellen Sie eine Wertetabelle: x ist die Anzahl der Liter; y der Preis in Euro. Geben Sie eine Gleichung zur Berechnung des Preises y in Abhängigkeit von x an.

2. Wie viel Liter Benzin kann man für 29,00 EUR kaufen?

Lösung:

Zu 1.: Wertetabelle x (Anzahl der Liter) 0 1 2 3 4 5 . . . x

y (Preis in EUR) 0 1,45 2,90 4,35 5,80 7,25 . . . 1,45x

Zusammenhang: Preis y in EUR in Abhängigkeit von der Anzahl x (in Liter): y = 1,45x

Zu 2.: Gegeben ist y = 29, gesucht ist der x-Wert.

Aus y = 1,45x folgt: x = y

____

1,45 = 29

____

1,45

= 20

Ergebnis: Für 29,00 EUR kann man 20 l Benzin kaufen.

Bemerkungen: Die Größen x und y verhalten sich proportional zueinander,

d. h.: y __ x = 1,45

____ 1 = 2,90 ____ 2 = 29 ___ 20 = 1,45 (konstant)

Der Faktor 1,45 heißt Proportionalitätsfaktor.

Die Größen x und y stehen in einem linearen Zusammenhang.

Man nennt die Funktion f mit f(x) = 1,45x eine lineare Funktion.

162

Beispiel:

Das Farbengeschäft Schlicht verkauft 10-Liter-Eimer weiße Farbe.

Die Anzahl x der Eimer und den entsprechenden Preis y in Euro entnimmt man der nachfolgen-den Tabelle.

x (Anzahl der Eimer) 2 5 9

y (Preis in EUR) 28,50 71,25 ?

1. Geben Sie die Gleichung für y in Abhängigkeit von x an!

2. Berechnen Sie den Preis für 9 Eimer Farbe!

Lösung:

Zu 1.: Aus der Tabelle: Zwei Eimer Farbe kosten 28,50 EUR

Ein Eimer Farbe kostet 28,50

_____

2 EUR = 14,25 EUR

x Eimer kosten y = 14,25x (Dreisatz)

Gesuchte Gleichung: y = 14,25x

Kontrolle: Preis für 5 Eimer: y = 14,25 · 5 = 71,25 (EUR)

Zu 2.: Preis für 9 Eimer: y = 14,25 · 9 = 128,25 (EUR)

Beispiel:

Die Sportturbine kauft verschiedene Artikel ein.

Die entsprechenden Daten entnimmt man der nachfolgenden Tabelle.

Artikel Menge der eingekauften Ware Gesamte Kosten

Stoff 15 m 2 165,00 EUR

Sand 32 kg 8,00 EUR

Bälle 66 Stück 99,00 EUR

1. Geben Sie jeweils eine Gleichung für die Kosten y in Abhängigkeit von der Menge x (in m2, kg, Stück) an.

2. Berechnen Sie die Kosten für 22 m2 Stoff.

3. Wie viele Bälle können für 18,00 EUR gekauft werden?

Lösung:

Zu 1.: Man berechnet die Kosten für 1 m2 Stoff: 165

____

15 EUR= 11,00 EUR

1 m2 Stoff kostet 11,00 EUR; x m2 Stoff kosten y = 11x

Kosten für 1 kg Sand: 8

___

32 EUR= 0,25 EUR; x kg Sand kosten y = 0,25x

Kosten für 1 Ball: 99

___

66 EUR = 1,50 EUR; x Bälle kosten y = 1,5x

Zu 2.: 22 m2 Stoff kosten: y = 11 · 22 = 242 (EUR)

Zu 3.: Gesucht ist die Anzahl x der Bälle: 18 = 1,5x; daraus folgt: x = 18

___

1,5

= 12

Es können 12 Bälle gekauft werden.

163

Übungsaufgabe

89 1. Ein Liter Farbe kostet 3,00 EUR.

1.1 Erstellen Sie eine Wertetabelle für 1,5 Liter, 2,5 Liter, 4 Liter und 6,5 Liter.

1.2 Stellen Sie eine Gleichung für den Zusammenhang von y (Kosten in EUR) und x (Farb-menge in Liter) auf.

1.3 Wie viel Liter Farbe erhält man für 10,50 EUR, für 20,00 EUR?

2. Zu Beginn des Jahres 2010 kostete ein Liter Eurosuper durchschnittlich 1,20 EUR. Die Ben-zinmenge in Liter wird mit x, der zu zahlende Betrag in EUR wird mit y bezeichnet.

2.1 Bestimmen Sie die zugehörige Gleichung (y EUR für x Liter).

2.2 Stellen Sie eine Wertetabelle in 5-Liter-Schritten bis 50 Liter auf.

2.3 Berechnen Sie den Preis für 42,80 Liter.

2.4 Wie viel Liter Eurosuper kann man für 25,00 EUR tanken?

3. Untersuchen Sie durch Berechnung des Quotienten y __ x , ob sich die Größen x und y propor-

tional verhalten. Stellen Sie gegebenenfalls die zugehörige Gleichung auf.

3.1 x (in kg) 2 5 10 15 25

y (in EUR) 4,60 11,50 23,00 34,50 57,50

3.2 x (in km) 10 30 55 105 165

y (in h) 1 __ 6 0,50 0,95 1,75 2,75

3.3 x – 4 – 2,5 3 8 11,5 22

y – 6 – 3,75 4,5 12 17,25 33

4. Die Größen x und y stehen in einem linearen Zusammenhang.

Vervollständigen Sie die Wertetabelle

x 1 5 12

y – 7,2 12 18 30

5. Im Wäschefachgeschäft Zollinger werden die Preise für verschiedene Artikel gesenkt.

alter Preis (in EUR) 144,00 984,00 48,00

neuer Preis (in EUR) 126,00 1 736,00 42,00

5.1 Handelt es sich um einen linearen Zusammenhang von neuem zu altem Preis?Wenn ja, geben Sie die zugehörige Gleichung an (y neuer Preis, x alter Preis).

5.2 Wie viel Prozent beträgt die Preissenkung?

5.3 Der alte Preis für einen Artikel betrug 120,00 EUR. Berechnen Sie den neuen Preis.

5.4 Ein Hemd kostet nach der Preissenkung nur noch 56,00 EUR.

Wie viel EUR beträgt der alte Preis?

5.5 Eine Hose wurde um 16,00 EUR billiger. Wie viel EUR hat die Hose vor der Preis-senkung gekostet?

164

7.2 Ursprungsgeraden

In den vorangegangenen Beispielen kommen z. B. folgende Gleichungen vor:

y = 0,6x; y = 1,45x; y = 14,25x.

Wir stellen nun die Frage, was diese Gleichungen bedeuten.

Hierbei soll x auch negative Werte annehmen können.

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung y = 0,4x.

1. Erstellen Sie eine Wertetabelle.

2. Übertragen Sie die entsprechenden Punkte in ein Koordinatensystem und verbinden

Sie diese Punkte.

Lösung:

Zu 1.: Wertetabelle

x – 3 – 2 – 1 0 1 3 5

y = 0,4x – 1,2 – 0,8 – 0,4 0 0,4 1,2 2,0

Zu 2.: Schaubild

−3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

x

y

Ursprungsgerade

B(3 | 1,2)

A(5 | 2)

Verbindet man die Punkte miteinander, so erhält man eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft.

Bemerkung: Eine Gerade durch den Ursprung O(0|0) heißt Ursprungsgerade.

Beachten Sie:

y __ x = 0,4 (konstant), d. h., x und y verhalten sich proportional zueinander.

Dieser Proportionalitätsfaktor 0,4 heißt Steigung der Geraden.

Bezeichnung: m = 0,4

Mit der Gleichung y = 0,4x wird eine Ursprungsgerade beschrieben.

165

Beispiel:

Eine Gerade hat die Gleichung y = 3 __ 2 x.

1. Erstellen Sie eine Wertetabelle für x ∈ {– 3; – 2; – 1; 0; 1; 3} und zeichnen Sie die Gerade in ein Koordinatensystem ein.

2. Wie groß ist der x-Wert für y = 6?

Lösung:

Zu 1.: Wertetabelle

x – 3 – 2 – 1 0 1 3

y = 1,5x – 4,5 – 3 – 1,5 0 1,5 4,5

Die Gerade hat die Steigung m = 3 __ 2 .

Zu 2.: Aus 6 = 1,5x folgt: x = 6 ___

1,5 = 4

Beachten Sie:

Die Gleichung einer Ursprungsgeraden lautet y = mx.

Beispiel:

Die Gerade g hat die Gleichung y = x.

1. Erstellen Sie eine Wertetabelle!

2. Zeichnen Sie die Gerade g in ein Koordinatensystem ein!

Lösung:

Zu 1.: Wertetabelle

x – 3 – 2 – 1 0 1 3

y = x – 3 – 2 – 1 0 1 3

Die Gerade g hat die Steigung m = 1.

Zu 2.: Schaubild

Wachsende Gerade

Beachten Sie:

x-Wert und zugehöriger y-Wert sind gleich.

Bemerkungen: Die Gerade mit der Gleichung y = x heißt 1. Winkelhalbierende.

Für alle Punkte auf der 1. Winkelhalbierenden gilt: x-Koordinate = y-Koordinate

Die Gerade mit der Gleichung y = – x heißt 2. Winkelhalbierende.

−2 −1 1 2 3 4

−4

−2

2

4

6

x

y

y = 3 __ 2 x

−2 −1 1 2 3 4

−2

−1

1

2

3

4

x

y

g: y = x

166

Beispiel:

Die Gerade g hat die Gleichung y = – 2x.

Zeichnen Sie die Gerade g in ein Koordinatensystem ein.

Bemerkung: Eine Gerade ist durch zwei verschiedene Punkte eindeutig festgelegt. Für eine Ursprungsgerade genügt also neben dem Ursprung O(0 | 0) ein weiterer Geradenpunkt.

Lösung:

Wertetabelle

x 0 1

y = – 2x 0 – 2

Weiterer Geradenpunkt: P(1 | – 2)

Gerade g mit Steigung m = y __ x = – 2

Beachten Sie:

Der Zusammenhang y = mx bedeutet:

■ Die Größen x und y verhalten sich proportional zueinander.

■ Sie stehen damit in einem linearen Zusammenhang (lineare Funktion).

■ Die Gleichung y = mx wird als Funktionsgleichung, die zugehörige Gerade als Funk-tionsgraph bezeichnet.

7.3 Anwendungsbeispiele

Beispiel:

Eine Ursprungsgerade g hat die Gleichung y = 4 __ 5 x.

1. Zeichnen Sie die Gerade g in ein Koordinatensystem.

2. Geben Sie zwei weitere Punkte auf g an.

3. Prüfen Sie, ob die Punkte A(2,5 | 2) und B(–2 | –1) auf der Geraden g liegen!

Lösung:

Zu 1.: Die Gerade verläuft durch den Ursprung.

Weiterer Geradenpunkt: P(5 | 4)

Gerade g mit Steigung m = y __ x = 4 __ 5

Zu 2.: Um weitere Geradenpunkte zu erhalten,

wählt man den x-Wert (x-Koordinate) und

bestimmt durch Einsetzen in die Gera-

dengleichung den y-Wert (y-Koordinate)

(siehe Wertetabelle).

−3 −2 −1 1 2

−3−2−1

12345

x

yy =– 2x

Fallende Gerade

m < 0

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2−1

1234

x

yP

A

B

167

Z. B.: x = 1 einsetzen ergibt: y = 4

__

5 Geradenpunkt C(1 |

4

__

5 )

Z. B.: x = – 5 einsetzen ergibt: y = 4

__

5 · ( – 5) = – 4 Geradenpunkt D(– 5 | – 4)

Zu 3.: Liegt ein Punkt auf einer Geraden, so ergibt das Einsetzen der Koordinaten des

Punktes in die Geradengleichung eine wahre Aussage (Punktprobe).

Punktprobe mit A(2,5 | 2):

Einsetzen von x = 2,5 und y = 2 in die Geradengleichung y = 4

__

5 x

2 = 4

__

5 · (2,5) ⇒ 2 = 2 wahre Aussage (w. A.)

d. h. A(2,5 | 2) liegt auf der Geraden g (A ∈ g).

Punktprobe mit B(– 2 | – 1):

B(– 2|– 1): Einsetzen von x = – 2 und y = – 1 in die Geradengleichung y = 4

__

5 · x

– 1 = 4

__

5 · (– 2) ⇒ – 1 = –

8

__

5 falsche Aussage (f. A.)

d. h. B(– 2 | – 1) liegt nicht auf der Geraden g (B ∉ g).

Bemerkungen: Für „ A liegt auf g“ schreibt man kurz: A ∈ g.

Für „ A liegt nicht auf g“ schreibt man kurz: A ∉ g.

Beispiel:

Ein Flugzeug verbraucht von Europa nach Amerika 14 000 Liter Kerosin pro Stunde. Das Flug-zeug ist 5,5 Stunden unterwegs. Die Flugdauer in Stunden (h) wird mit x, der Verbrauch in Litern wird mit y bezeichnet.

1. Bestimmen Sie die zugehörige Funktionsgleichung (y Liter in x Stunden).

2. Zeichnen Sie den Funktionsgraphen (1h §1 cm; 14 000 Liter §1 cm).

3. Bestimmen Sie aus dem Schaubild den Verbrauch für diesen Flug.

Lösung:

Zu 1.: In einer Stunde benötigt das Flugzeug 14 000 (Liter).

In zwei Stunden: 14 000 · 2 = 28 000

In x Stunden: 14 000 · x Funktionsgleichung: y = 14 000x

Zu 2.: Funktionsgraph

Zu 3.: Aus dem Schaubild:

Nach 5,5 h beträgt der Verbrauch 77 000 Liter.

Beachten Sie die Pfeile im Schaubild.

0 1 2 3 4 5 60

140002800042000560007000084000

x

y

168

Beispiel:

Beim Raumausstatter Franz König kostet 1 m Stoff 5,00 EUR.

1. Erstellen Sie eine Wertetabelle und geben Sie die Funktionsgleichung (y EUR für x m) an.

Zeichnen Sie den Funktionsgraphen (1 m §1 cm; 10,00 EUR § 1 cm).

2. Lesen Sie aus dem Funktionsgraphen den Preis für 6,5 m ab!

Überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch Rechnung.

3. Wie viel m Stoff erhält man für 42,50 EUR?

Bestimmen Sie die Länge des Stoffes durch Ablesen und durch Rechnung.

4. Überprüfen Sie durch Rechnung, ob der Punkt A(5,5 | 27,5) auf dem Funktionsgraphen liegt.

Deuten Sie Ihr Ergebnis.

Lösung:

Zu 1.: Wertetabelle

x in m 0 1 2 3 4 5 6

y in EUR 0 5 10 15 205 25 30

Funktionsgleichung y = 5x

Schaubild

(Funktionsgraph)

Zu 2.: Aus dem Schaubild: Länge des Stoffes in m: x = 6,5; Preis in EUR: y = 32,50

Beachten Sie die Pfeile im Schaubild, um den Preis abzulesen.

Rechnung: y = 5 · 6,5 = 32,50 (EUR)

Zu 3.: Aus dem Schaubild: Preis in EUR: y = 42,50; Länge des Stoffes in m: x = 8,5

Beachten Sie die Pfeile im Schaubild, um die Länge des Stoffes abzulesen.

Rechnung: 42,5 = 5 · x; daraus folgt: x = 42,5

____ 5 = 8,5

Zu 4.: Punktprobe

Einsetzen der Koordinaten von A(5,5 | 27,5) in die Geradengleichung.

27,5 = 5 · 5,5; daraus folgt: 27,5 = 27,5 wahre Aussage.

Der Punkt A liegt auf der Geraden.

Deutung: 5,5 m Stoff kosten 27,50 EUR.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100102030405060

x

y

169

Was man wissen sollte . . . über Ursprungsgeraden

(1) Die Gleichung einer Ursprungsgeraden mit Steigung m lautet y = mx.

Für die Steigung gilt: m = y __ x

−3 −2 −1 1 2 3

−2

−1

1

2

3

x

y 1. Winkelhalbierende: y = xy = 2x

y = 0,5x

y = – 3x2. Winkelhalbierende:

y = – x

Für m > 0 ist eine Gerade steigend, für m < 0 ist eine Gerade fallend.

(2) Bestimmung eines Geradenpunktes:

Einsetzen eines beliebigen x-Wertes in die Geradengleichung ergibt den y-Wert.

(3) Punktprobe:

Liefert das Einsetzen der x- und y-Koordinate eines Punktes in die Geradengleichung eine wahre Aussage, so liegt der Punkt auf der Geraden.

Ergibt sich eine falsche Aussage, so liegt der Punkt nicht auf der Geraden.

(4) Zeichnen einer Ursprungsgeraden

mit der Gleichung y = mx

Vorgehensweise:

Bestimmung eines weiteren Geradenpunktes P (zusätzlich zum Ursprung O)

−3 −2 −1 1 2

−3−2−1

12345

x

y

P

170

Übungsaufgabe

90 1. Zeichnen Sie die Geraden mithilfe einer Wertetabelle.

Wählen Sie einen geeigneten Maßstab.

1.1 g: y = – x h: y = 4x k: y = 1 __ 4 x n: y = 12,5x

1.2 g: y = 2 __ 3 x h: y = – 0,3x k: y = 6 __

5 x n: y = 120x

2. Ein Radprofi legt in 5 Stunden 200 km zurück.

2.1 Stellen Sie eine Gleichung für den Zusammenhang von y (km) und x (h) auf.Zeichnen Sie den Graphen der linearen Funktion (1 h § 1 cm; 20 km § 1cm).

2.2 Bestimmen Sie aus dem Schaubild den Weg für 3,5 h.

2.3 Berechnen Sie, wie lange der Profi für 110 km braucht.

2.4 Liegen die Punkte A(2,5 |100) bzw. B(4,5 | 170) auf der Geraden?Prüfen Sie durch Rechnung nach und deuten Sie Ihre Antwort für die Aufgabe.

3. In einem Copyshop hängt der zu zahlende Betrag von der Anzahl der Kopien ab.Die Anzahl der Kopien wird mit x, der zu zah-lende Betrag in EUR wird mit y bezeichnet.

3.1 Wie viel EUR kosten 100 Kopien?

3.2 Sie kopieren Ihren Kurztest einmal.Wie viel EUR kostet diese Kopie?

3.3 Bestimmen Sie die zugehörige Funk-tionsgleichung (y EUR für x Kopien).

3.4 Berechnen Sie den Preis für 35 Kopien.

3.5 Wie oft kann man für 25,00 EUR kopieren?

4. Ordnen Sie jeder Geraden eine Funktionsgleichung zu.

4.1 y = – 3 __ 4 x

4.2 y = 1,3x

4.3 y = 8 __ 5 x

5. Der Unternehmer Keesmann nimmt bei seiner Bank einen Kredit in Höhe von 24 600,00 EUR auf. Als Zinssatz werden 5 % vereinbart.

5.1 Stellen Sie eine Funktionsgleichung (y EUR Zinsen in x Monaten) auf und zeichnen Sie das zugehörige Schaubild (1 Monat §1 cm; 100,00 EUR § 1 cm).

5.2 Lesen Sie aus dem Graphen die Zinsen für 3 und 8 Monate ab!

Berechnen Sie die genauen Zinswerte.

5.3 Wie lange läuft der Kredit, wenn der Unternehmer 256,25 EUR bzw. 1 230,00 EUR Zin-sen zahlen muss?

0 10 20 30 40 50 60 70 80 901001101201300246802468024680246 €

5010 x

10

20

−2 −1 1 2−1

1

2

3

x

y

g

h

k

171

7.4 Geraden mit der Gleichung y = mx + b

Beispiele:

Herr Peters kauft auf dem Markt Himbeeren zum Preis von 1,20 EUR je Pfund. Für den Spankorb muss er 1,00 EUR Pfand bezahlen.

1. Wie viel EUR kosten 2; 3,5; 5; x Pfund ohne Spankorb und mit Spankorb?

2. Stellen Sie den Preis y in Abhängigkeit von dem Gewicht x zeichnerisch dar!

Lösung:

Zu 1.: Wertetabelle

x 2 3,5 5 x

yo 2,4 4,2 6 1,2x ohne Korb

ym 3,4 5,2 7 1,2x + 1 mit Korb

Die Gleichung y = 1,20x +1 stellt den Zusammenhang von Preis und Gewicht dar.

Zu 2.: Schaubilder

Da das Gewicht nur positive Werte annimmt, erhält man im Koordinatensystem nur Halb-geraden.

Beachten Sie:

Die Geraden sind parallel, sie haben die gleiche Steigung: m=1,2.

Lässt man auch negative Werte für x zu, so erhält man eine Gerade mit der Gleichung y = 1,20x +1.

Wertetabelle

x – 3 – 2 – 1 0 2

y – 2,6 – 1,4 – 0,2 1 3,4

1 2 3 4 5 60123456789

x

y

y = 1,20x

y = 1,20x + 1

−3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2−1

123456

x

y y = 1,20x +1

P(– 2 | – 1,4)

172

Beispiel:

Zeichnen Sie die Gerade g mit der Gleichung y = 4 __ 3 x – 2.

Lösung:

Wertetabelle

x – 3 – 2 – 1 0 2

y (gerundet) – 6 – 4,6 – 3,3 – 2 0,6

Bemerkung:

g ist eine wachsende Gerade (m > 0).

Bemerkung: Die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt S(0 | – 2). Man nennt den Wert – 2 den y-Achsenabschnitt.

Beispiel:

Zeichnen Sie die Gerade h mit der Gleichung y = – 3 __ 2 x + 2.

Lösung:

Eine Gerade ist durch zwei verschiedene Punkte festgelegt.

Für x = 0: y = 2

Für x = 2: y = – 1

Geradenpunkte: S(0 | 2); A(2 | – 1)

Bemerkung: h ist eine fallende Gerade (m < 0).

Die allgemeine Geradengleichung in Hauptform lautet y = mx + b

Steigung y-Achsenabschnitt

Übungsaufgabe

91 Zeichnen Sie die Gerade in ein Koordinatensystem. Wählen Sie einen geeigneten Maßstab.

1. y = 3x + 1 2. y = 500x + 1 500 3. y = – 4x + 2

4. y = 5 5. y = – 1 __ 4 x – 1 __

2 6. y – 5x = 15

7. y = 7,5x – 10 8. 2y – 3x – 6 = 0 9. y __ 2 – x __ 2 – 1 = 0

−2 −1 1 2 3

−5−4−3−2−1

12

x

y g

S(0 | –2)

−1 1 2

−2−1

1234

x

y

S(0 | 2)

h

A

173

7.5 Schnittpunkte von Gerade und Koordinatenachsen

Beispiel:

Gegeben ist die Gerade g mit y = 3 __ 2 x + 3.

1. Bestimmen Sie aus der Zeichnung die Schnittpunkte von g mit den Koordinatenachsen.

2. Berechnen Sie die Schnittpunkte von g mit den Koordinatenachsen.

Lösung:

a) Schnittpunkt mit der x-Achse

Man liest ab: Schnittpunkt von g mit der x-Ach-se: N(– 2 | 0)

Schnittpunkt mit der y-Achse

Wir lesen ab: Schnittpunkt von g mit der y-Ach-se: S y (0 | 3)

b) Schnittpunkt mit der x-Achse

Der Schnittpunkt mit der x-Achse hat immer die y-Koordinate Null, d. h., wir suchen den x-Wert unter der Bedingung: y = 0 ⇔ 3 __ 2 x + 3 = 0

Auflösen der Gleichung nach x ergibt 3 __ 2 x = – 3 ⇔ x = – 2

Die x-Koordinate des Schnittpunktes ist x = – 2 (Nullstelle).

Schnittpunkt mit der x-Achse: N(– 2 | 0)

Schnittpunkt mit der y-Achse

Der Schnittpunkt mit der y-Achse hat immer die x-Koordinate Null, d. h., um den y-Wert zu erhal-

ten, setzen wir x = 0 in die Geradengleichung ein: y = 3 __ 2 · 0 + 3 ⇒ y = 3

Schnittpunkt mit der y-Achse: S y (0 | 3)

Beachten Sie:

Bedingung für die x-Koordinate des Schnittpunktes mit

■ der x-Achse: y = 0

■ mit der y-Achse: x = 0

Übungsaufgabe

92 Gegeben ist die Gerade g durch ihre Gleichung.

Berechnen Sie die Schnittpunkte von g mit den Koordinatenachsen.

1. y = 2x – 4 2. y = 0,5x + 10 3. y = 1,5x + 9

4. – 3y – 60x + 180 = 0 5. y = 2 __ 7 x + 1 6. y = – 8 __ 3 x – 2

−2 −1 1

−2−1

1234

x

y

S y (0 | 3)

N(– 2 | 0)

174


Beispiel:

Die Stadtwerke Waiblingen berechnen für den elektrischen Strom einen monatlichen Grundpreis von 12,50 EUR und für jede verbrauchte Kilowattstunde (kWh) 0,15 EUR.

1. Stellen Sie die Funktionsgleichung (y in EUR für x kWh) auf und zeichnen Sie den Funktions-graphen (50 kWh § 1cm; 10,00 EUR § 1 cm).

2. Lesen Sie aus dem Schaubild den Preis bei einem monatlichen Verbrauch von 250 kWh ab.

Berechnen Sie diesen Preis.

3. Berechnen Sie den Verbrauch bei einer Stromrechnung von 72,50 EUR.

4. Die Abrechnung der Stadtwerke ist undeutlich geschrieben. Der Rechnungsbetrag könnte 98,50 EUR oder 96,50 EUR, der Stromverbrauch 540 kWh oder 560 kWh lauten.

Entscheiden Sie, welches der richtige Rechnungsbetrag und der zugehörige Verbrauch ist.

Lösung:

Zu 1.: Betrachtung ohne Grundgebühr:

1 kWh kostet 0,15 EUR,

x kWh kosten 0,15 · x EUR

Betrachtung mit Grundgebühr:

Zu den Kosten von 0,15x kommt die mo-natliche Grundgebühr von 12,50 EUR dazu.

Gesamtkosten: 0,15x + 12,50

Funktionsgleichung: y = 0,15x + 12,5

Zu 2.: Aus dem Schaubild: Preis bei einem Verbrauch von 250 kWh: 50,00 EUR.

Berechnung: y = 0,15 · 250 + 12,5 = 50,00

Zu 3.: Einsetzen von y = 72,5 in die

Gleichung: y = 0,15x + 12,5: 72,5 = 0,15x + 12,5

Umformung: 60 = 0,15x

Verbrauch in kWh: x = 60

____

0,15 = 400

Zu 4.: Berechnung des Rechnungsbetrags für den entsprechenden Verbrauch.

Für x = 540 (kWh): y = 0,15 · 540 + 12,5 = 93,5 (EUR)

Für x = 560 (kWh): y = 0,15 · 560 + 12,5 = 96,5 (EUR)

Ergebnis: Der Rechnungsbetrag lautet 96,50 EUR bei einem Verbrauch von 560 kWh.

100 200 300 400010203040506070

x

y

175

Beispiel:

Herr Seeberger kauft eine Telefonkarte für sein Handy im Wert von 25,00 EUR. Eine Einheit kos-tet 0,60 EUR. Die Anzahl der verbrauchten Telefoneinheiten wird mit x, das Restguthaben mit y (in EUR) bezeichnet.

1. Stellen Sie die zugehörige Funktionsgleichung auf!

Zeichnen Sie den Funktionsgraphen (5 Einheiten § 1cm; 5,00 EUR § 1 cm).

2. Bestimmen Sie aus dem Schaubild das Restguthaben, wenn Herr Seeberger 15 Einheiten benötigt hat! Berechnen Sie dieses Restguthaben.

3. Entnehmen Sie aus dem Funktionsgraphen die Anzahl der Einheiten x, wenn das Handy ein Restguthaben von 7,00 EUR anzeigt.

4. Wie viele Einheiten kann Herr Seeberger telefonieren?

Geben Sie das Ergebnis mithilfe des Schaubildes und durch Rechnung an.

Lösung:

Zu 1.: Einheiten Kosten Restguthaben

0 0 25

1 0,6 25 – 0,6 = 24,4

5 0,6 · 5 25 – 0,6 · 5 = 22

10 0,6 · 10 25 – 0,6 · 10 =19

x 0,6 · 5 25 – 0,6 · x = y

Funktionsgleichung: y = 25 – 0,6x

Bemerkung: Der Funktionsgraph ist eine fallende Gerade.

Zu 2.: Aus der Zeichnung: Restguthaben 16,00 EUR

Berechnung: Einsetzen von x = 15: y = 25 – 0,6 · 15 = 16

Das Restguthaben beträgt 16,00 EUR.

Zu 3.: Einsetzen von y = 7 in die Gleichung y = 25 – 0,6x: 7 = 25 – 0,6x

Umformung: – 18 = – 0,6x ⇔ x = –18

____

– 0,6

= 30

Ergebnis: Herr Seeberger hat 30 Einheiten telefoniert.

Zu 4.: Herr Seeberger kann so lange telefonieren, bis sein Guthaben „aufgebraucht” ist, d. h. bis sein Guthaben null ist (y = 0).

Dies ist der Fall für den Schnittpunkt von der Geraden mit der x-Achse.

Aus der Zeichnung: x 42

Berechnung: Einsetzen von y = 0 in die

Gleichung y = 25 – 0,6x 0 = 25 – 0,6x ⇒ 0,6x = 25

Anzahl der Einheiten: x = 25

___

0,6

41,66

Ergebnis: Der Wert seiner Handy-Karte entspricht 41 Einheiten.

10 20 30 400

5

10

15

20

25

x

y

176

Übungsaufgabe

93 1. Zeichnen Sie die folgenden Geraden.

1.1 g: y = – 1 __ 2 x – 3 1.2 h: y = 1,5x – 2 1.3 n: y = – 3x + 4

1.4 m: y = 1,25x + 2,5 1.5 i: y = 3,5x – 0,5 1.6 k: y = – 5 __ 7 (x – 2)

2. Zeichnen Sie die Geraden, die durch folgende Gleichungen bestimmt sind:

2.1 3x + 2y = 6 2.2 5x – 4y + 2 = 0 2.3 6x – 3y – 3 = 0

2.4 x __ 3 +

y __

2 = 1 2.5 3x – 7y = 0 2.6 x – 2 ____ 5 =

y __ 3

3. Gegeben ist die Gerade g mit der Gleichung y = – 2x + 4.

3.1 Prüfen Sie, ob der Punkt A(– 5 | 14) auf der Geraden g liegt.

3.2 Der Punkt B(x | 3) liegt auf g. Bestimmen Sie die x-Koordinate von B.

3.3 Der Punkt C(– 4 | y) liegt auf g. Bestimmen Sie die y-Koordinate von C.

4. Gegeben ist die Gerade h mit der Gleichung y = 2 __ 3 x + b.

Bestimmen Sie b so, dass der Punkt P( 4 | 2 __ 3 ) auf der Geraden h liegt.

5. Gegeben ist die Gerade k mit der Gleichung y = mx + 2,5.

Bestimmen Sie die Steigung von k so, dass die Gerade k durch den Punkt R(– 3 __ 2 | 1 __

2 ) verläuft.

6. Ordnen Sie jeder Geraden eine Gleichung zu. Bestimmen Sie die Gleichung der verbleiben-den Geraden.

6.1 y = 1 __ 2 x – 2 6.2 y = – 1,75x 6.3 y = – 1 __

4 x +1

−1 1 2 3 4

−3

−2

−1

1

x

y

−1 1

−2

−1

1

2

x

y

−1 1 2 3 4

1

2

x

y

1 2 3

−3

−2

−1

1

x

y

gn

k

h

177

7. Lesen Sie die Gleichungen der Geraden ab.

8. 15 Liter Saft kosten 21,00 EUR. Die Anlieferung frei Haus schlägt mit 5,00 EUR zu Buche.

8.1 Stellen Sie eine Gleichung auf, die den Zusammenhang von x Liter Saft und dem zu zahlenden Betrag y in EUR beschreibt.

8.2 Zeichnen Sie die Gerade mit der Gleichung y = 1,4x + 5 in ein geeignetes Koordina-tensystem.

8.3 Prüfen Sie anhand der Zeichnung und durch Rechnung, ob man für 12,50 EUR 5 Liter Saft frei Haus erhält.

9. Das Busunternehmen Sohler stellt für einen eintägigen Ausflug eine Pauschale von 50,00 EUR und für jeden gefahrenen km 1,25 EUR in Rechnung.

9.1 Beschreiben Sie den Zusammenhang von Rechnungsbetrag und Anzahl der gefah-renen km mithilfe einer Gleichung (y EUR für x km). Zeichnen Sie den zugehörigen Graphen (20 km § 1cm; 25,00 EUR § 1 cm).

9.2 Lesen Sie aus der Zeichnung den Preis für 50 km bzw. 80 km ab.

9.3 In der Klassenkasse sind 220,00 EUR. Wie viel km kann das Ausflugsziel höchstens entfernt sein?

10. Franz kauft sich eine Telefonkarte mit 50,00 EUR Guthaben für sein Handy. Der durch-schnittliche Minutenpreis beträgt 0,80 EUR.

10.1 Es besteht ein linearer Zusammenhang zwischen dem verbliebenen Guthaben und der Anzahl der Minuten, die Franz telefoniert hat. Bestimmen Sie die Funktionsglei-chung (y EUR für x min). Zeichnen Sie die zugehörige Gerade in ein Achsenkreuz (10 min § 1 cm; 5,00 EUR § 1 cm).

10.2 Lesen Sie aus der Zeichnung ab, wann Franz sein Guthaben zur Hälfte auf gebraucht hat. Berechnen Sie den genauen Zeitpunkt.

10.3 Wie viel Minuten kann Franz insgesamt mit seiner Guthabenkarte telefonieren?

10.4 Franz möchte sich eine neue Karte kaufen, wenn er noch ein Guthaben von 5,00 EUR auf seiner alten Karte hat. Wie viel Minuten hat er dann telefoniert?

11. Die Spedition Müller berechnet für einen Umzug einen Stundensatz von 150,00 EUR und eine einmalige Pauschale von 300,00 EUR.

11.1 Stellen Sie die Funktionsgleichung für den Zusammenhang von Arbeitszeit und Kosten auf. Zeichnen Sie den Graphen(1 h § 1 cm; 200,00 EUR § 1 cm).

11.2 Bestimmen Sie mithilfe der Zeichnung, wie viel ein Umzug von 5 h (8 h) Dauer kostet.

11.3 Berechnen Sie die Anzahl der benötigten Stunden, wenn der Umzug 2 175,00 EUR kostet.

11.4 Ab wie viel Stunden ist das Pauschalangebot der Spedition „Umzug für 1 200,00 EUR” günstiger?

1 2 3 4 5

−2

−1

1

x

y

g

hk

178

12. Die Solbank berechnet für ein einjähriges Darlehen eine Bearbeitungspauschale von 100,00 EUR. Der Zinssatz beträgt 5 %.

12.1 Die Darlehenskosten pro Jahr und die Darlehenshöhe stehen in einem Zusammen-hang. Stellen Sie eine Funktionsgleichung für den Zusammenhang von Darlehens-kosten und Darlehenshöhe (y EUR Kosten für x EUR Darlehen) auf und zeichnen Sie das zugehörige Schaubild (5 000,00 EUR §1 cm; 200,00 EUR § 1 cm).

12.2 Lesen Sie aus dem Graphen die Darlehenskosten für ein Darlehen über 25 000,00 EUR bzw. 40 000,00 EUR ab und berechnen Sie die genauen Darlehenskosten.

12.3 Wie viel EUR beträgt der Kredit, wenn der Kreditnehmer 2 400,00 EUR Darlehens-kosten zahlen muss?

13. Katja erhält zu ihrem Geburtstag ein Sparbuch mit einem Guthaben von 150,00 EUR. Sie möchte monat-lich 15,00 EUR auf das Sparkonto einzahlen.

13.1 Beschreiben Sie den Zusammenhang von Gut-haben und Zeit mithilfe einer Funktionsglei-chung (y EUR in x Monaten).

Zeichnen Sie die zugehörige Gerade (1 Mo-nat § 1 cm; 50,00 EUR § 1cm).

13.2 Bestimmen Sie aus der Zeichnung ihr Gutha-ben nach 5 bzw. 8 Monaten.

13.3 Nach wie viel Monaten übersteigt das Gutha-ben erstmals 250,00 EUR?

13.4 Nach einem Jahr möchte Katja genau 350,00 EUR auf ihrem Sparbuch haben. Wie viel EUR muss sie am Ende des Jahres noch zusätzlich einzahlen?

14. Der Energieversorger EABW berechnet seinem Stromkunden einen monatlichen Grund-preis von 10,00 EUR und einen Verbrauchspreis von 0,15 EUR pro kWh.

14.1 Beschreiben Sie den Zusammenhang von Rechnungsbetrag und Verbrauch mithilfe einer Funktionsgleichung (y EUR für x kWh). Zeichnen Sie die zugehörige Gerade (50 kWh § 1cm; 10,00 EUR § 1 cm).

14.2 Wie viel EUR kostet ein monatlicher Verbrauch von 150 kWh, 250 kWh?

14.3 Berechnen Sie den Verbrauch bei einer Monatsrechnung über 43,75 EUR.

14.4 Wie viel EUR kann der Kunde sparen, wenn er in einem Monat 120 kWh weniger Strom verbraucht?

15. Ein Bausparvertrag über 25 000,00 EUR ist zur Rückzahlung fällig. Die monatliche Tilgung beträgt 150,00 EUR.

15.1 Der Zusammenhang zwischen der Darlehensschuld in EUR und der Zeit in Mona-ten soll durch eine Funktionsgleichung (y EUR in x Monaten) beschrieben werden. Zeichnen Sie die zugehörige Gerade in ein Koordinatensystem (10 Monate § 1 cm; 2 000,00 EUR § 1 cm).

15.2 Wie viel € beträgt das Restdarlehen nach 5 Jahren? Lesen Sie aus der Zeichnung ab und berechnen Sie den genauen Wert.

15.3 Nach welcher Zeit hat er 60 % des Darlehens zurückgezahlt?

15.4 Wie viel Tage dauert die gesamte Tilgungsphase?

179

7.7 Schnittpunkt von zwei Geraden

Beispiel:

Auf dem Wochenmarkt bietet der Händler Nadig Himbeeren zum Preis von 1,10 EUR je Pfund an. Der Kunde muss bei ihm einen Korb von 1,00 EUR dazukaufen. Der Händler Straub verkauft Himbeeren zum Preis von 1,30 EUR je Pfund, verlangt aber nichts für den Korb. Den Preis für x Pfund bezeichnet man mit y.

1. Erstellen Sie eine Wertetabelle für den Preis der Himbeeren in Abhängigkeit von der gekauf-ten Menge x in Pfund sowohl für den Händler Nadig als auch für den Händler Straub. Geben Sie für beide Händler die Funktionsgleichung an.

Zeichnen Sie die beiden Funktionsgraphen (1 Pfund § 1cm; 1,00 EUR § 1 cm).

2. Bestimmen Sie mithilfe der Wertetabelle von Teilaufgabe 1., bei welcher Menge der Preis bei beiden Händlern gleich ist.

Was bedeutet das Ergebnis von Teilaufgabe 2. für die beiden Geraden?

3. Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden.

Lösung:

Zu 1.: Wertetabelle

x 0 1 2 3 4 5 6

yNadig

1 2,10 3,20 4,30 5,40 6,50 7,60

yStraub

0 1,30 2,60 3,90 5,20 6,50 7,80

Funktionsgleichung

für den Händler Nadig: y = 1,10x + 1

für den Händler Straub: y = 1,30x

Zu 2.: Aus der Tabelle:

Bei x = 2 sind die Preise unterschiedlich: yNadig

= 3,20 und yStraub

= 2,60

Bei x = 5 sind die Preise gleich groß: yNadig

= 6,50 und yStraub

= 6,50

Deutung anhand der beiden Geraden

Die Geraden schneiden sich im Punkt S(5 | 6,50).

Zu 3.: Berechnung des Schnittpunktes

Die Preise yNadig

bzw. yStraub

sollen gleich groß sein: d. h. man kann die Preise

(y-Werte) gleichsetzen. yNadig

= yStraub

1,10x + 1 = 1,30x ⇔ 1 = 0,2x

x-Wert (Schnittstelle) x = 1

___

0,2 = 5

Berechnung des Preises durch Einsetzen von x = 5 in eine der beiden Geradengleichungen ergibt den y-Wert (Preis): y = 130 · 5 = 6,50

Beachten Sie:

Gleichsetzen der y-Werte liefert den x-Wert des Schnittpunktes.

1 2 3 4 5 601234567

x

y

g Nadig

g Straub

S

180

Beispiel:

Gegeben sind die Geraden g mit y = 1 __ 2 x und h mit y = – x – 4.

1. Zeichnen Sie die Geraden g und h in ein Koordinatensystem.

2. Die Geraden schneiden sich im Punkt S.

Lesen Sie aus der Zeichnung die Koordinaten von S ab und berechnen Sie diese.

Lösung:

Zu 1.: Wertetabelle mit zwei x-Werten

x 0 2

yg

0 1

yh

– 4 – 6

Zu 2.: Schnittpunkt S von g und h

aus der Zeichnung: S( – 2,7 | – 1,2)

Bemerkung: Die genauen Werte der Koordinaten kann man nicht aus der Zeichnung ablesen.

Berechnung des Schnittpunktes

Gleichsetzen der y-Werte 1

__

2 x = – x – 4 | + x

x auf eine Seite 3

__

2 x = – 4

3x = – 8

Schnittstelle von g und h: x = – 8

__

3

Berechnung des y-Wertes

Einsetzen von x = – 8

__

3 in eine der beiden Geradengleichungen

ergibt den y-Wert des Schnittpunktes y = 1

__

2 · (–

8

__

3 ) = –

4

__

3

oder y = – (– 8

__

3 ) – 4 = –

4

__

3

Schnittpunkt S(– 8

__

3 | –

4

__

3 )

Bemerkung: Die x-Koordinate des Schnittpunktes von zwei Geraden g und h heißt Schnittstelle von g und h.

Beachten Sie:

■ Der Schnittpunkt S liegt auf beiden Geraden. Setzt man die Koordinaten von S in die Gleichung von g und h ein, so erhält man zwei wahre Aussagen.

■ Die zwei Gleichungen y = 0,5x und y = – x – 4 stellen ein lineares Gleichungssystem

(LGS) dar. Die Lösung wird als Zahlenpaar angegeben: (– 8 __ 3 ; – 4 __

3 )

Lösungsmenge: L = {(– 8 __ 3 ; – 4 __

3 )}

−5 −4 −3 −2 −1 1

−4

−3

−2

−1

1

x

y

S

g

h

181

Beispiel:

Gegeben sind die Geraden g mit y = 3 __ 5 x + 1 und h mit y = – 3 ___

10 x + 13

___ 10

.

Berechnen Sie den Schnittpunkt von g und h.

Lösung:

Berechnung des Schnittpunktes

Gleichsetzen der y-Werte 3 __ 5 x + 1 = – 3 ___

10 x + 13

___ 10

Mit dem Hauptnenner multiplizieren 6x + 10 = – 3x + 13

x auf eine Seite 9x = 3

Schnittstelle von g und h: x = 1 __ 3

Berechnung des y-Wertes

Einsetzen von x = 1 __ 3 in z. B. die Gleichung von g ergibt den y-Wert des Schnittpunktes

y = 3 __ 5 · 1 __

3 + 1 = 6 __

5

Schnittpunkt S( 1 __ 3 | 6 __

5 )

Bemerkung: Das lineare Gleichungssystem (LGS)

y = 3 __ 5 x + 1

und y = – 3 ___ 10

x + 13 ___

10

hat als Lösung das Zahlenpaar ( 1 __ 3 ; 6 __

5 ).

Übungsaufgabe

94 1. Die Geraden g und h schneiden sich im Punkt S.

Berechnen Sie die Koordinaten von S.

1.1 g: y = 2x – 1 1.2 g: y = – 3x + 5 __ 4 1.3 g: y = – 4x + 6

h: y = x – 2 h: y = – x – 1 h: y = – 3x + 4

1.4 g: y = 1 __ 2 x + 3 __

2 1.5 g: y = 2x + 5 1.6 g: y = – 2 __

3 x – 1

h: y = – 1 __ 2 x + 4 h: y = – 6x + 5 h: y = 1 __

6 x – 4

2. Prüfen Sie, ob die Geraden g, h und k durch einen Punkt verlaufen.

2.1 g: y = x – 5 h: y = – 2x + 4 k: y = 3x – 11

2.2 g: y = x + 1 h: y = – 1 __ 2 x – 2 k: y = 1 __

3 x – 7

3. Geben Sie die Gleichungen von zwei Geraden an, die den Punkt S(– 4 | 3) gemeinsam haben.

4. Die Gerade g mit der Gleichung y = 2x 5 und die Gerade h mit der Gleichung y = 3 __ 4 x + c

schneiden sich auf der x-Achse. Bestimmen Sie c.

182

7.8 Graphisches Verfahren zur Lösung eines LGS

Ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten (x und y) kann man als ein LGS mit zwei Geradengleichungen auffassen. Die zugehörigen Geraden zeichnet man in ein Koordinatensystem und bestimmt zeichnerisch (graphisch) die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

Beispiel:

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des LGS zeichnerisch.

– x + y = – 1 (I)

x + y = 5 (II)

Beachten Sie:

Um die Geraden zu zeichnen (Wertetabelle), ist es zweckmäßig, die Gleichungen auf die Form y = mx + b zu bringen.

Lösung:

(I) umformen: – x + y = – 1 | + x

y = x – 1

(II) umformen: x + y = 5 | – x

y = – x + 5

Zeichnen der Geraden g und h:

g mit y = x – 1 und h mit y = – x + 5.

Aus der Zeichnung ablesen:

Die Geraden schneiden sich in einem Punkt. Schnittpunkt: S(3 | 2)

Lösungsmenge L = {(3; 2)}

Beispiel:

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des LGS graphisch.

– x + y = – 1 (I)

– y = – x – 2 (II)

Lösung:

(I) umformen: – x + y = – 1 | + x

y = x – 1

(II) umformen: – y = – x – 2 | · (– 1)

y = x + 2

Zeichnen der Geraden:

g mit y = x – 1 und h mit y = x + 2.

Aus der Zeichnung ablesen:

Die Geraden sind parallel (und verschieden). Sie schneiden sich nicht.

Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Lösungsmenge L =Ø

1 2 3 4−1012345

x

y

S

g

h

1 2 3 4−1012345

x

y

g

h

183

Beispiel:

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des LGS zeichnerisch.

– x + y = – 1 (I)

3x = 3y + 3 (II)

Lösung:

(I) umformen: – x + y = – 1 | + x

y = x – 1

(II) umformen: 3x = 3y + 3 | – 3

3x – 3 = 3y | : 3

y = x – 1

Zeichnen der Geraden:

g mit y = x – 1 und h mit y = x – 1.

Die Geraden fallen zusammen, sie sind gleich (identisch), sie haben unendlich viele gemeinsa-me Punkte.

Die Geraden haben die gleiche Steigung und den gleichen y-Achsenabschnitt.

Lösungsmenge L = {(x; y) | y = x – 1}

Beachten Sie:

Lage von zwei Geraden

1 2 3 4−1

1

2

3

x

y

1 2 3 4−1

1

2

3

x

y

1 2 3 4−1

0

1

2

3

x

y

Sgh

gh g = h

Die Geraden Die Geraden sind Die Geradenschneiden sich in parallel und verschieden. fallen zusammen.genau einem Sie haben keinen Sie haben unendlichPunkt. gemeinsamen Punkt. viele gemeinsame(Schnittpunkt) Punkte.

Übungsaufgabe

95 Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme graphisch:

1. 2x – y = – 1 2. 2y = 5x – 2 3. y = – 3x + 2

⋀ – 3x + 2y = – 1 ⋀ – 2,5x + y = 3 ⋀ x = – 1 __ 3 y + 2 __

3

1 2 3 4−1012345

x

y

g = h

184


Beispiel:

Ein Stadtwerk bietet seinen Kunden Gas nach zwei Tarifen an:

Tarif I: 30,00 EUR monatliche Grundgebühr und 0,35 EUR pro kWh.

Tarif II: 40,00 EUR monatliche Grundgebühr und 0,25 EUR pro kWh.

1. Stellen Sie für beide Tarife die Funktionsgleichung auf (y EUR für x kWh) und zeichnen Sie die Graphen beider Funktionen in ein rechtwinkliges Koordinatensystem.

2. Bei wie viel kWh sind die Kosten in beiden Tarifen gleich?

3. Wie viel EUR beträgt die Preisdifferenz zwischen den Tarifen bei 40 bzw. 140 kWh?

Lösung:

Zu 1.: Tarif I: Die Funktionsgleichung lautet y = 0,35x + 30

Tarif II: Die Funktionsgleichung lautet y = 0,25x + 40

Wertetabelle

x 0 20 40 60 80 100 120 140

y = 0,35x + 30 30 37 44 51 58 65 72 79

y = 0,25x + 40 40 45 50 55 60 65 70 75

0 20 40 60 80 100 120 1400

20

40

60

x

y

Tarif I

Tarif II

in EUR

in kWh

Zu 2.: Gleiche Gaskosten in beiden Tarifen 0,35x + 30 = 0,25x + 40

Gleichung nach x auflösen: 0,35x – 0,25x = 40 – 30

0,10x = 10 ⇔ x =100

Einsetzen in eine der Funktionsgleichungen y = 0,25 · 100 + 40 ⇔ y = 65

Ergebnis: Bei 100 kWh betragen die Kosten in beiden Tarifen 65,00 EUR.

Zu 3.: Aus der Wertetabelle:

Bei 40 kWh betragen die Kosten im Tarif I 44,00 EUR und im Tarif II 50,00 EUR. Der Tarif II ist bei 40 kWh um 6,00 EUR teurer.

Bei 140 kWh betragen die Kosten im Tarif I 79,00 EUR und im Tarif II 75,00 EUR. Der Tarif II ist bei 140 kWh um 4,00 EUR billiger.

185

Beispiel:

Die Franz Obisch KG verkauft Wasserkocher. Die Fixkosten je Woche betragen 2 400,00 EUR. Die variablen Kosten belaufen sich auf 12,00 EUR pro Stück. Der Verkaufspreis beträgt 32,00 EUR.

1. Wie lauten die Funktionsgleichungen für den Gesamterlös pro Woche (y EUR für x Stück) und für die Gesamtkosten (y EUR für x Stück)?

Zeichnen Sie die Graphen beider Funktionen in ein rechtwinkliges Koordinatensystem.

2. Bei welcher Stückzahl von verkauften Wasserkochern sind die Gesamtkosten gleich dem Gesamterlös? Bestimmen Sie den zugehörigen Gesamterlös.

Lösung:

Zu 1.: Der Gesamterlös in EUR für x Stück beträgt y = 32x

Die Gesamtkosten betragen y = 12x + 2 400

Wertetabelle:

x 0 20 40 60 80 100 120 140

y = 32x 0 640 1 280 1 920 2 560 3 200 3 840 4 480

y = 12x + 2 400 2 400 2 640 2 880 3 120 3 360 3 600 3 840 4 080

0 20 40 60 80 100 120 1400

1000

2000

3000

4000

x

yKostengerade

EUR

(Stück)

Erlösgerade

Zu 2.: Bedingung: Gesamterlös = Gesamtkosten 32x = 12x + 2 400

Gleichung nach x auflösen 32x – 12x = 2 400

20x = 2 400 ⇔ x = 120

Stückzahl mit Kostendeckung: x = 120

Berechnung von y y = 32 · 120

y = 3 840

Ergebnis: Bei 120 verkauften Wasserkochern sind die Gesamtkosten gleich dem Gesamterlös (120 ist die Gewinnschwelle).

Der zugehörige Gesamterlös beträgt 3 840,00 EUR.

186

Beispiel:

Ein Bauherr benötigt ein Darlehen von 450 000,00 EUR, das er sich von zwei Banken beschaffen möchte. Er holt von der Bank A ein Angebot über 300 000,00 EUR und von der Bank B ein An-gebot über 150 000,00 EUR ein. Aus beiden Darlehen hätte er eine jährliche Zinsbelastung von 25 500,00 EUR. Wenn er aber 150 000,00 EUR bei Bank A und 300 000,00 EUR bei Bank B leiht, muss er nur 24 000,00 EUR Zinsen zahlen.

1. Berechnen Sie die Zinssätze von beiden Banken!

2. Welchen Zinsbetrag könnte der Kunde einsparen, wenn er das gesamte Darlehen bei der Bank mit dem niedrigeren Zinssatz nimmt, im Vergleich zu der Bank mit dem höheren Zinssatz?

Lösung:

Zu 1.: Bank A vergibt den Kredit zu x %.

Bank B vergibt den Kredit zu y%.

Die jährlichen Zinsen im ersten Fall 300 000x _______

100 +

150 000y _______

100 = 25 500

Die jährlichen Zinsen im zweiten Fall 150 000x _______

100 +

300 000y _______

100 = 24 000

Vereinfachung der beiden Gleichungen 30x + 15y = 255

15x + 30y = 240 | · (– 2)

Additionsverfahren anwenden 30x + 15y = 255

– 30x – 60y = – 480

Eine Gleichung mit der Unbekannten y: – 45y = – 225 | : (– 45)

Nach y auflösen y = 5

in eine der obigen Gleichungen einsetzen 15x + 30 · 5 = 240

und nach x auflösen 15x = 240 – 150

x = 6

Ergebnis: Die Bank A verlangt 5 %, die Bank B 6 % Zinsen.

Zu 2.: Zinsen bei der Bank A 450 000 · 5 _________

100 = 22 500

Zinsen bei der Bank B 450 000 · 6 _________

100 = 27 000

Eingesparter Zinsbetrag: 27 000 – 22 500 = 4 500

Andere Möglichkeit

Der Kunde spart 1 % von 450 000, d. h.: 450 000 · 1 _________

100 = 4 500

Ergebnis: Der Kunde spart 4500,00 EUR.

+

187

Übungsaufgabe

96 1. Zeichnen Sie die folgenden Geraden mithilfe einer Wertetabelle. Bestimmen Sie mithilfe der Wertetabellen das Wertepaar, das beide Gleichungen erfüllt. Bezeichnen Sie den zuge-hörigen Punkt im Koordinatensystem.

1.1 g: y = 1 __ 2 x + 2; h: y = 1,5x – 4 1.2 g: y = – 2,5x + 1,5; h: y = x + 1,5

2. Die beiden Geraden g und h schneiden sich in S. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S.

2.1 g: 3x – 2y = 6; h: y = x – 2 2.2 g: 5x – 4y = 0; h: – 5 __ 4 x + 2 = y

3. Gegeben ist die Gerade g durch die Gleichung y = 3x – 2.

Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden h mit Steigung m = –1,5 , die die Gerade g in x = – 1 schneidet!

4. Bestimmen Sie den Schnittpunkt von g und h.

5. Ein Hotel hat 26 Zimmer. Ein Einzelzimmer kostet 110,00 EUR, der Zimmerpreis für ein Doppelzimmer beträgt 130,00 EUR. Wie viele Einzelzimmer werden vermietet, wenn bei ausgebuchtem Haus die Einnahmen 3 100,00 EUR betragen?

6. Der Netzbetreiber A-Plus bietet die folgenden Handy-Tarife an. Bei einem durchschnitt lichen Minutenpreis von 0,20 EUR beträgt im Tarif 1 die monatliche Grundgebühr 40,00 EUR. Der Tarif 2 beinhaltet eine monatliche Grundgebühr von 25,00 EUR und einen Minutenpreis von 0,30 EUR.

6.1 Welcher Tarif ist günstiger, wenn im Monat durchschnittlich 400 Minuten telefoniert werden? Begründen Sie die Entscheidung rechnerisch.

6.2 Stellen Sie in einem Schaubild die monatlichen Kosten in Abhängigkeit von der Minu-tenzahl x dar (20 min § 1 cm; 10,00 EUR § 1 cm).

6.3 Erstellen Sie für beide Tarife jeweils eine Funktionsgleichung für die Kosten in Abhän-gigkeit von der Anzahl x der Telefonminuten.

6.4 Bestimmen Sie die Minutenzahl, bei der die monatlichen Kosten in beiden Tarifen gleich sind.

7. Zwei Wirtschaftsschulklassen mit der gleichen Schülerzahl machen eine gemeinsame Abschlussfahrt. Klasse a nimmt 100,00 EUR aus der Klassenkasse und jeder Schüler zahlt 18,00 EUR zusätzlich. Klasse b nimmt 116,00 EUR aus ihrer Klassenkasse und jeder Schüler zahlt 16,00 EUR zusätzlich. Jede Klasse zahlt die Hälfte der Gesamtkosten der Abschluss-fahrt.

7.1 Wie viele Schüler nehmen an der Abschlussfahrt teil?

7.2 Wie hoch sind die Gesamtkosten der Abschlussfahrt?

Lösen Sie die Aufgabe zeichnerisch und rechnerisch.

1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

x

y

g

h

188

8. Das Bekleidungshaus Nessensohn kauft 120 Hosen und 80 Pullover im Gesamtwert von 5 640,00 EUR ein. Im Verkauf werden die Hosen mit 40 % Aufschlag, die Pullover mit 25 % Aufschlag auf den Einkaufspreis angeboten. Die Einnahmen betragen dann 7 680,00 EUR. Wie viel EUR betrugen jeweils die Einkaufspreise?

9. Die Gasrechnung setzt sich zusammen aus der monatlichen Grundgebühr und den Kosten für die verbrauchte Menge in m3. Für den Monat Januar ergibt sich bei einem Verbrauch von 420 m3 ein Rechnungsbetrag von 159,00 EUR. Die Gasrechnung für den Monat Mai über 285 m3 belief sich dagegen nur auf 111,75 EUR. Berechnen Sie die monatliche Grundgebühr und den m3-Preis.

10. Das Recyclingunternehmen Kappler unterbreitet einer Wohn-baugesellschaft für den Abbruch von Häusern folgende Ange-bote:

Angebot 1: Grundpauschale 400,00 EUR, je m3 Abraum 12,00 EUR.

Angebot 2: Grundpauschale 600,00 EUR, je m3 Abraum 9,00 EUR.

10.1 Stellen Sie für jedes Angebot eine Funktionsgleichung auf (y EUR für x m3). Zeich-nen Sie die zugehörigen Geraden in ein geeignetes Koordinatensystem ein.

10.2 Für welche Abraummenge sind die Kosten bei beiden Angeboten gleich?

10.3 In welchem Bereich ist Angebot 1 günstiger?

11. Ein Energieversorger bietet seinen Privatkunden zwei Tarife an:

Tarif 1: Grundpreis 80,00 EUR; Verbrauchspreis 0,15 EUR pro kWh.

Tarif 2: Grundpreis 60,00 EUR; Verbrauchspreis 0,20 EUR pro kWh.

11.1 Stellen Sie für jeden Tarif eine Funktionsgleichung auf (y EUR für x kWh). Stellen Sie diese Zusammenhänge in einem Koordinatensystem dar (100 kWh § 1 cm; 20,00 EUR § 1cm).

11.2 Bei welchem Stromverbrauch ergeben sich die gleichen Stromkosten?

11.3 Für welchen Stromverbrauch sollte der Kunde Tarif 2 wählen?

12. Die Schule veranstaltet einen Weihnachtsmarkt. Jede Klasse soll einen Teil ihrer Einnah-men für die Dritte Welt spenden. Dazu stehen zwei Modelle zur Wahl:

Modell I: Gespendet werden 70 % von den Gesamteinnahmen.Modell II: Gespendet werden die Gesamteinnahmen bis 100,00 EUR und von den weite-

ren Einnahmen 50 %.

12.1 Stellen Sie für das Modell I eine Funktionsgleichung auf (y EUR Spende für x EUR Einnahmen). Zeigen Sie, dass die Gleichung y = 0,5x + 50 für x 100 das Modell II beschreibt. Welche Gleichung beschreibt die Abgabe für x < 100 im Modell II?

Stellen Sie diese Zusammenhänge in einem Koordinatensystem dar (auf beiden Achsen: 50,00 EUR § 1 cm).

12.2 Bei welcher Gesamteinnahme wird der gleiche Betrag gespendet?

12.3 Für welches Modell entscheidet sich die Klasse, wenn sie möglichst viel spenden will und mit 300,00 EUR Einnahmen rechnet?

189

13. Herr Bohner rechnet für seine zwei Darlehen über 30 000,00 EUR und 20 000,00 EUR mit 2 400,00 EUR Zinsen für das kommende Jahr. Am 1. Januar des Jahres leistet Herr Bohner eine Sonderzahlung über jeweils 5 000,00 EUR. Dadurch verringern sich die Jahreszinsen auf 1 925,00 EUR.

Wie viel Prozent betragen die Zinssätze für die zwei Darlehen?

14. Für den Kauf eines Autos nimmt ein junger Mann ein Darlehen über 12 000,00 EUR und ein Darlehen über 18 000,00 EUR auf. Für beide Darlehen zahlt er in einem halben Jahr 930,00 EUR Zinsen. Wären die Zinssätze vertauscht, müsste er 15,00 EUR mehr Zinsen bezahlen.

Wie viel Prozent betragen die Zinssätze für die zwei Darlehen?

15. Zwei Geldanlagen in Höhe von 4 000,00 EUR (A) und 9 000,00 EUR (B) bringen vierteljähr-lich 140,00 EUR Zinsen. Wäre die Geldanlage von A doppelt so hoch und die von B halb so hoch, so erhielte man vierteljährlich 5,00 EUR mehr Zinsen.

Wie viel Prozent beträgt die Verzinsung der beiden Geldanlagen?

16. Die Weinkennerin Frau Ruf kauft in einem Weingut 100 Flaschen Rotwein und 200 Fla-schen Weißwein. Nachdem sie auf den Rotwein 10 % Rabatt, auf den Weißwein 15 % Ra-batt erhält, bezahlt sie 3 450,00 EUR. Hätte sie auf beide Weinsorten 12 % Rabatt erhalten, so wäre ihre Rechnung um 70,00 EUR höher ausgefallen.

Wie viel EUR kostet eine Flasche Rotwein bzw. Weißwein ohne Rabatt?

17. Der Versicherungsvertreter Herr Troll wird von zwei Versicherungen umworben. Sie unterbreiten ihm folgende Gehaltsangebote A und B:

A: Grundgehalt 1 200,00 EUR und 1 % Provision auf die abgeschlossene Versicherungs-summe.

B: Grundgehalt 900,00 EUR und 1,5 % Provision auf die abgeschlossene Versicherungs-summe.

17.1 Stellen Sie für jedes Angebot eine Funktionsgleichung auf (y EUR Gehalt für x EUR Versicherungssumme). Zeichnen Sie die zugehörigen Geraden in ein geeignetes Koordinatensystem ein.

17.2 Bei welcher Höhe der Versicherungssummen ergeben beide Angebote dasselbe Einkommen?

17.3 Welches Angebot muss der Versicherungsvertreter annehmen, wenn er überzeugt ist, Lebensversicherungen über eine Höhe von 70 000,00 EUR abzuschließen?

18. Immobilienhändler Schneider erhält für die Vermittlung eines unbebauten Grundstücks 2 %, für den Verkauf eines bebauten Grundstücks 4,5 % Provision. Der Durchschnittswert eines unbebauten Grundstücks beträgt 100 000,00 EUR, für ein bebautes Grundstück rechnet er mit 250 000,00 EUR. Die letzte Quartalsabrechnung belief sich auf 87 500,00 EUR. Im folgenden Quartal rechnet er mit doppelt so vielen unbebauten Grundstücken und mit 3 bebauten Grundstücken weniger als im letzten Quartal. Dabei erwartet er eine Einbuße von 13 750,00 EUR.

Wie viele unbebaute und bebaute Grundstücke hat er im letzten Quartal vermittelt?

190

8 Quadratische Gleichungen

8.1 Quadratwurzel

Beispiel:

Eine bestimmte Tafel Schokolade hat die Form eines Quad-rats mit dem Flächeninhalt von ca. 144 cm2. Wie lang sind die Seiten dieser Tafel?

Lösung:

Den Flächeninhalt A eines Quadrats mit der Kantenlänge k be-rechnet man mit der Formel: A = k 2 . k 2 = 144

Es wird eine positive Zahl k gesucht, die mit sich selbst multipli-ziert 144 ergibt.

Dies ist die Zahl 12, denn 12 · 12 = 144

Ergebnis: Die Länge einer Kante beträgt 12 cm.

Man sagt, die Zahl 12 ist die Quadratwurzel aus 144.

Schreibweise: ____

144 = 12 gelesen: Die Quadratwurzel aus 144 ist 12.

Bemerkung: Zur „Quadratwurzel” sagt man nur „Wurzel”.

Beispiele:

1.

___ 25 = 5, denn 5 · 5 = 25 2.

____ 121 = 11, denn 11 · 11 = 121

3.

__ 9 = 3, denn 3 · 3 = 9 4.

__ 4 = 2, denn 2 · 2 = 4

5.

__ 1 = 1, denn 1 · 1 = 1 6.

__ 0 = 0, denn 0 · 0 = 0

Bemerkung: Die Probe beim Wurzelziehen (Radizieren) macht man durch Quadrieren.

Beispiel: 9 Wurzelziehen

Quadrieren

__ 9 = 3

Das Ziehen einer Quadratwurzel ist somit die Umkehrung des Quadrierens.

Beim Wurzelziehen verwendet man folgende Bezeichnungen.

Wurzelexponent

2

__ 9 = 3 Wurzelwert

Radikand

Bemerkung: Den Wurzelexponent 2 lässt man meistens weg.

191

Bemerkungen:

1. __

9 ist eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert 9 ergibt.

Diese Eigenschaft trifft zu sowohl für die Zahl 3 zu (3 · 3 = 9) als auch für die Zahl – 3, wegen (– 3) · (– 3) = 9. Um eine eindeutige Zuordnung (vgl. Funktionen) zu erreichen, nimmt man die positive Zahl, d. h.

__ 9 = + 3.

2. ___

– 9 bedeutet, eine Zahl zu suchen, die mit sich selbst multipliziert – 9 ergibt.

Dies ist im Zahlenbereich der reellen Zahlen nicht möglich, da das Quadrat einer rationalen Zahl nie negativ ist. Z. B.: (– 3) · (– 3) = + 9 und 3 · 3 = + 9.

___

– 9 ist (in R) nicht definiert.

Festlegung: Die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl a ist diejenige positive Zahl, die mit sich selbst multipliziert a ergibt: (

__ a )2 = a; a 0

Beispiele:

1. ___

25 · ___

25 = ( ___

25 ) 2 = 25 Bemerkung: Dies ist gerade die Eigenschaft der Zahl ___

25 .

2. ( ____

117 ) 2 = 117 3. ___

7 2 = ___

49 = 7

4. _____

(–7) 2 = ___

49 = 7 aber: ____

– 7 2 = ____

– 49 ist nicht definiert.

5. _____

0,25 = 0,5 denn 0,5 · 0,5 = 0,25 6. __

4 __ 9 = 2 __

3 denn 2 __

3 · 2 __

3 = 4 __

9

Übungsaufgabe

97 1. Berechnen Sie den Wurzelwert und machen Sie die Probe.

1.1 ____

100 1.2 _____

1,21 1.3 ________

(– 0,01) 2

1.4

___

25 ___

49 1.5

___

1 ___ 81

1.6 _____

0,04

2. Vervollständigen Sie die Tabelle.

2.1 x 3 5 11 13 2.2 x 100 121 625

x 2 81 144 __

x 20 26 30

3. Vergleichen Sie.

3.1 ______

16+9 mit ___

16 + __

9 3.2 ______

16 · 9 mit ___

16 · __

9

4. Vereinfachen Sie (a > 0 und b > 0).

4.1 ___

a 2 4.2 ___________

a 2 +2ab+ b 2 4.3 _____

(ab) 2

4.4

_____

9 a 2 ____

25 b 2 4.5

______

100 a 2 4.6 _______

50 a 2 b 3

5. Bestätigen Sie:

_______

b 2 – 4ac _______

4a 2 =

________

b 2 – 4ac ________ 2a

192

8.2 Irrationale Zahlen

Der Zahlencocktail enthält Zahlen, mit denen wir uns schon beschäftigt haben. Hierbei handelt es sich um Bruchzahlen bzw. rationale Zahlen.

Bemerkung: Die Zahl 5 kann als Bruch 5 __ 1 dargestellt

werden. Auch die Wurzelwerte

___

64 = 8 = 8 __ 1 oder

__

4 __ 9 = 2 __

3 sind Bruchzahlen.

Es stellt sich nun die Frage, ob alle Wurzelwerte Bruch-zahlen, d. h. rationale Zahlen sind. Um diese Frage zu beantworten, wählen wir als Radikand keine Quadrat-zahl, z. B. 2 und untersuchen die Zahl

__ 2 .

Was ist __

2 für eine Zahl?

Da wir den Wert __

2 nicht exakt bestimmen können, versuchen wir ihn annähernd zu be-stimmen. Hierzu benötigt man ein Näherungsverfahren.

Wir suchen durch Probieren Dezimalzahlen, deren Quadrate nahe bei 2 liegen. Erste grobe Näherung: Der Wert

__ 2 liegt in der Nähe von 1,5, da 1,5 2 = 2,25.

__

2 liegt zwischen Begründung Bereich für __

2

1,4 und 1,5 1,4 2 = 1,96 < 2 < 1,5 2 = 2,25 1,4 < __

2 < 1,5

1,41 und 1,42 1,41 2 1,9881 < 2 < 1,42 2 2,0164 1,41 < __

2 < 1,42

1,414 und 1,415 1, 414 2 1,9994 < 2 < 1,415 2 2,0022 1,414 < __

2 < 1,415

Setzt man dieses Verfahren fort, so kann man den Wert __

2 immer besser annähern. Für __

2 erhält man eine nicht abbrechende, nichtperiodische Dezimalzahl:

__ 2 =1,1442 . . .

Beachten Sie:

Jede Zahl, die eine nicht abbrechende, nichtperiodische Dezimalzahl ist, heißt irrationale Zahl.

__ 2 ist eine irrationale Zahl.

Bemerkungen:

1. 57 ___

10 = 0,57 ist eine abbrechende Dezimalzahl. Sie kann als Bruch dargestellt werden.

2. 1 __ 3 = 0,3333... ist eine nicht abbrechende, aber eine periodische Dezimalzahl. Sie

kann als Bruch dargestellt werden, obwohl die Dezimalzahl nicht abbricht.

1 __ 7 = 0,142857142857 . . .

3. __

2 = 1,41421356 . . . ist eine nichtperiodische, nicht abbrechende Dezimalzahl.

__

2 kann nicht als Bruch dargestellt werden; sie ist eine irrationale Zahl.

___

64

5

– 2,3

– 5 __ 8

– 0,12 – 20 ___

7

193

Bemerkungen:

Darstellung des Näherungsverfahrens am Zahlenstrahl

In der Tabelle stehen Ungleichungen. Die Zahlenmenge 1,4 < x < 1,5 bezeichnet man als (offenes) Intervall. Auf einem Zahlenstrahl werden diese Intervalle dargestellt.

R1,51,4 1,41 1,42

1,414 1,415

__

2

1. Intervall ]1,4; 1,5[

2. Intervall ]1,41; 1,42[

3. Intervall ]1,414; 1,415[

Die Zahl __

2 liegt in dem „engen” Intervall 1,414 < x < 1,415.

Da jedes folgende Intervall im vorhergehenden Intervall enthalten ist, spricht man von einer Intervallschachtelung.

Mithilfe dieses Verfahrens kann man die Zahl __

2 näherungsweise bestimmen.

Bestimmung von __

2 mit dem Taschenrechner (TR)

Tastenfolge (abhängig vom TR): __

2 EXE 1,414213562

Rationale- und irrationale Zahlen

Vereinigt man die Menge der rationalen Zahlen Q (alle Zahlen, die als Bruch darstellbar sind) mit der Menge der irrationalen Zahlen (alle Zahlen, die nicht als Bruch darstellbar sind), so erhält man die Menge R der reellen Zahlen.

Beachten Sie:

Die Menge R der reellen Zahlen ist die Vereinung der Menge der rationalen Zahlen und der Menge der irrationalen Zahlen.

R = {rationale Zahlen} ∪ {irrationale Zahlen}

Bemerkung: Es gibt unendlich viele irrationale Zahlen. Irrationale Zahlen können durch rationale Zahlen angenähert werden. Die Zahl = 3,14 . . . ist auch eine irratio-nale Zahl.

Übungsaufgabe

98 1. Berechnen Sie mit dem Taschenrechner auf 3 Dezimalen gerundet.

1.1 _____

0,06 ; __

6 ; ___

60 ;

____ 600 _____

5 1.2

___ 1,3 ;

___ 13 ;

____ 130 ; 4

_____ 0,13

2. Geben Sie die ersten vier Intervalle einer Intervallschachtelung für ___

17 an.

3. Welche Zahlen sind rationale Zahlen?

3.1 ( __

7 ) 2 3.2 5 ___

__ 9 3.3

__ 3 +

__ 4

3.4 ( __

5 + __

6 )( __

5 – __

6 ) 3.5 2 + 1 3.6 _______

5 2 2 2

194

8.3 Quadratische Gleichungen

8.3.1 Reinquadratische Gleichungen

Beispiel:

Ein Luftakrobat springt in einer Höhe von 1 600 m aus dem Flugzeug ab. Wie lange dauert sein „freier Fall”, wenn sich in 1 195 m Höhe sein Fallschirm öffnet?

Lösung:

Der Luftakrobat fällt 405 m frei. Für die Berechnung des zurückgelegten Weges y in Abhängigkeit von der Zeit x gibt es die Formel: y = 5 x 2

Für x setzt man die Zeit in Sekunden (s) ein und erhält dann den Weg y in Metern (m).

Z. B.: Zeit x = 3; zurückgelegter Weg y = 5 · 3 2 = 45

Nach 3 s ist der Akrobat 45 m frei gefallen (Schirm ist nicht geöffnet.).

Zeit x = 6; zurückgelegter Weg y = 5 · 6 2 = 180

Nach 6 s ist der Akrobat 180 m frei gefallen.

Aufgabenstellung: Nach welcher Zeit ist er 405 m gefallen?

Einsetzen von y = 405 in die Formel 405 = 5 x 2

ergibt eine quadratische Gleichung.

Lösung: 5 x 2 = 405

Nach x 2 auflösen x 2 = 81

Man sucht eine Zahl, deren Quadrat 81 ergibt.

Diese Zahl (x > 0) erhält man durch Wurzelziehen x = ___

81 = 9

Ergebnis: Sein freier Fall dauert 9 s. Er ist dann 405 m gefallen.

Begriff: Eine Gleichung der Form x2 = d mit d ∈ R heißt reinquadratische Gleichung.

Die Lösungsvariable x kommt in der 2. Potenz vor.

Bemerkung: Im Beispiel mit dem Luftakrobaten sind nur x-Werte mit x > 0 sinnvoll.

Die Grundmenge G für die quadratische Gleichung ist dann G = R + * .

195

Beispiel:

Gegeben ist die quadratische Gleichung mit der Grundmenge G = R.


1. 2 x 2 – 32 = 0 2. – 5 x 2 = 15 3. 7 x 2 = 0 4. 12 x 2 + 8 = 0

Lösung:

Zu 1.: Gleichung nach x 2 auflösen 2 x 2 – 32 = 0 | + 32 |: 2

x 2 = 16

Gesucht sind Zahlen, deren Quadrat 16 ist.

Eine Zahl x 1 erhält man durch Wurzelziehen x 1 = ___

16 = 4

Wegen (– 4)(– 4) = 16 hat diese Gleichung

noch eine zweite Lösung: x 2 = – 4

Die Gleichung x 2 = 16 hat die zwei Lösungen x 1 = 4 und x 2 = – 4.

Lösungsmenge L = {4; – 4}

Kurzschreibweise für die zwei Lösungen: x 1|2

= ± 4

Probe: 2 · 4 2 – 32 = 0 ⇔ 0 = 0 w. A.; 2 · (– 4 ) 2 – 32 = 0 ⇔ 0 = 0 w. A.

Zu 2.: Quadratische Gleichung – 5 x 2 = – 15 | : (– 5)

Umformung nach x 2 x 2 = 3

Lösung durch Wurzelziehen x 1 = 3; x 2 = – 3

Die Gleichung x 2 = 3 hat zwei Lösungen x 1|2

= ± 3

Bemerkung: (– __

3 )(– __

3 ) = 3

Lösungsmenge L = { __

3 ; – __

3 }

Zu 3.: Quadratische Gleichung 7 x 2 = 0 | : 7

Gleichung der Form x 2 = d x 2 = 0

Lösung durch Wurzelziehen x 1 = 0; ( x 2 = 0)

Die Gleichung x 2 = 0 hat eine (doppelte) Lösung


Zu 4.: Quadratische Gleichung 1

__

2 x 2 + 8 = 0 | – 8

1

__

2 x 2 = – 8 | · 2

Gleichung der Form x 2 = d: x 2 = – 16

Die Gleichung x 2 = – 16 hat keine Lösung, da man aus einer negativen Zahl

keine Wurzel ziehen kann (in R).

Es gibt keine Zahl, die mit sich selbst multipliziert – 16 ergibt.

Lösungsmenge L = Ø

196

Anzahl der Lösungen anhand von drei Beispielen:

x 2 = 3 x 2 = 0 x 2 = – 16

zwei Lösungen eine Lösung keine Lösung

x 1|2 =± __

3 x 1|2 = 0

Beachten Sie:

Hat eine quadratische Gleichung die Form x2 = d, so hängt die Anzahl der Lösungen von der Zahl d ab.

d > 0 d = 0 d < 0

zwei Lösungen eine Lösung keine Lösung

Übungsaufgabe

99 Für die folgenden Aufgaben ist die Grundmenge G = R.

1. Bestimmen Sie die Lösungsmenge und machen Sie die Probe.

1.1 x 2 = 64 1.2 x 2 = 1 1.3 x 2 = 0,09

1.4 x 2 = 81 ___

16 1.5 x 2 + 3 = 3 1.6 x 2 = – 4

2. Lösen Sie die quadratischen Gleichungen.

2.1 x 2 = 7 2.2 x 2 = 21 2.3 x 2 = 75

2.4 x 2 = 3 __ 5 2.5 x 2 = 0,08 2.6 x 2 = 1 000


3.1 2 x 2 – 50 = 0 3.2 9 x 2 = 81 3.3 5 x 2 + 5 = 0

3.4 15 x 2 = – 60 3.5 1 __ 3 x 2 = 4 __

3 3.6 2 __

5 x 2 – 3 ___

10 = 0

4. Lösen Sie die quadratischen Gleichungen.

4.1 4 – 4 x 2 = 0 4.2 4 __ 5 x 2 = x 2 4.3 5 __

4 – 1 __

4 x 2 = 0

4.4 3 x 2 + 5 = – x 2 + 1 4.5 – 8 __ 3 + 2 x 2 = 0 4.6 1 __

2 x 2 – 5 __

3 = 0

5. Bestimmen Sie die Lösungsmenge.

5.1 x(2x – 1) = x 2 – x + 1 5.2 (x – 3 ) 2 = – x 2 – 6x + 5

5.3 (x – 3) 2 = (2x – 1) 2 – 2x 5.4 (5x – 2) 2 = (3x – 2) 2 – 2(4x – 3)

6. Bestimmen Sie c (c ∈ R) so, dass die Gleichung x 2 + c = 0 zwei Lösungen hat.

7. Geben Sie eine quadratische Gleichung mit den Lösungen 2 und – 2 an.

8. Franz möchte sein Kapital in zwei Jahren verdoppeln. Wie hoch muss der Zinssatz sein, wenn die Zinsen mitverzinst werden?

9. 200 Bakterien vermehren sich in 2 Stunden auf 450 Bakterien.

Um wie viel % vermehren sie sich pro Stunde?

197

8.3.2 Gemischtquadratische Gleichungen

Eine reinquadratische Gleichung enthält Ausdrücke mit x2 und Zahlen, z. B. x2+ 9 = 4. Nun betrachten wir Gleichungen, in denen neben x2 und Zahlen auch Ausdrücke mit x vorkommen, z. B. x2– 6x + 9 = 4. Solche Gleichungen nennt man gemischtquadratische Gleichungen.

Beispiel:

Gegeben ist die gemischtquadratische Gleichung x2 – 6x + 9 = 4.

Bestimmen Sie die Lösungsmenge und machen Sie die Probe.

Lösung:

Bestimmung der Lösungsmenge durch Faktorisieren.

Gleichung x 2 – 6x + 9 = 4 122222232222225Term x 2 – 6x + 9 faktorisieren (x – 3) 2 = 4

Bemerkung: Binom x 2 – 6x + 9 = (x – 3) 2

Lösung durch Wurzelziehen x – 3 = 2 oder x – 3 = – 2

Zwei Lösungen x 1 = 5 oder x 2 =1

Lösungsmenge L = {5; 1}

Probe: Mit x 1 = 5 5 2 – 6 · 5 + 9 = 4 ⇔ 4 = 4 w. A.

Mit x 2 = 1 1 2 – 6 · 1 + 9 = 4 ⇔ 4 = 4 w. A.

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung x2 + 10x =11.


Lösung:

Bestimmung der Lösungsmenge mit der quadratischen Ergänzung.

Da auf der linken Seite keine binomische Formel angewendet werden kann, ist das Faktorisieren nicht direkt möglich. Man formt die Gleichung so um, dass auf der linken Seite ein Binom steht.

Gleichung x 2 + 2 · 5x =11

Man addiert auf beiden Seiten die

quadratische Ergänzung ( 10 ___

2 )

2 = 5 2 = 25 x 2 + 2 · 5x + 5 2 = 11 + 5 2

(x + 5) 2 = 36

Bemerkung: Binom x 2 + 10x + 25 = (x + 5) 2

Lösung durch Wurzelziehen x + 5 = 6 oder x + 5 = – 6

Zwei Lösungen x 1 = 1 oder x 2 = – 11


198

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung 2x2 – 4x – 30 = 0.

Bestimmen Sie die Lösungsmenge und machen Sie die Probe.

Lösung:

Umformung 2 x 2 – 4x – 30 = 0 | – 30

Division durch den Faktor 2 vor x 2 2 x 2 – 4x = 30 | : 2

x 2 – 2x = 15

Quadratische Ergänzung ( 2 __

2 ) 2 = 1 2 = 1 x 2 – 2x + 1 = 15 + 1

(x – 1) 2 = 16

Bemerkung: Binom x 2 – 2x + 1= (x – 1) 2

Lösung durch Wurzelziehen x – 1 = 4 oder x – 1 = – 4

Zwei Lösungen x 1 = 5 oder x 2 = – 3


Probe: x 1 = 5 in die Ausgangsgleichung einsetzen: 2 · 5 2 – 4 · 5 – 30 = 0 ⇔ 0 = 0 w. A.

x 2 = – 3 in die Ausgangsgleichung einsetzen: 2 (–3) 2 – 4(–3) – 30 = 0 ⇔ 0 = 0 w.A.

Beachten Sie:

Für die quadratische Gleichung x 2 + bx + c = 0 ist die quadratische Ergänzung ( b __ 2 ) 2 .

Übungsaufgabe

100 Für die folgenden Aufgaben ist die Grundmenge G = R.


1.1 (x – 5) 2 = 36 1.2 (x + 7 ) 2 = 49

1.3 (2x + 9) 2 = 16 1.4 (6 – x) 2 = 64

2. Lösen Sie die gemischtquadratischen Gleichungen durch Faktorisieren.

2.1 x 2 + 12x + 36 = 49 2.2 x 2 – 14x + 49 = 25

2.3 – x 2 + 2x – 1 = – 16 2.4 2 x 2 – 12x + 18 = 2

3. Lösen Sie folgende Gleichungen und machen Sie die Probe.

3.1 x 2 – 10x = – 24 3.2 x 2 – 4x = – 3

3.3 x 2 – 7x = 30 3.4 – x 2 + x + 6 = 0

3.5 2 x 2 – x = 3 3.6 1 __ 2 x 2 + 1 __

2 x = 1

3.7 5 x 2 + 1 = – 6x 3.8 1 __ 3 x 2 + 1 __

6 x = 13

4. Vermehrt man eine Zahl um ihre Quadratzahl, so erhält man 56. Wie heißt die Zahl?

5. Zwei Zahlen unterscheiden sich um 12. Das Produkt der beiden Zahlen beträgt 8 613.

Bestimmen Sie die beiden Zahlen.

199

■ Lösen mit Formel

Das Lösen einer quadratischen Gleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung und des Wurzelziehens ist aufwendig. Deshalb versucht man quadratische Gleichungen mit einer Formel zu lösen. Wir übertragen die einzelnen Lösungsschritte auf eine quadratische Glei-chung, die in allgemeiner Form gegeben ist.

Bestimmen Sie die Lösung der quadratischen Gleichung a x 2 + bx + c = 0;a 0, b, c ∈ R.

Beachten Sie:

Jede quadratische Gleichung lässt sich in der (allgemeinen) Form

a x 2 + bx + c = 0; a 0, b, c ∈ R darstellen.

Lösung:

Umformung a x 2 + bx + c = 0

Division durch den Faktor a vor x 2 : a x 2 + bx = – c ⇔ x 2 + b __

a x = – c __ a

Quadratische Ergänzung ( b ___

2a

) 2 x 2 + b

__ a x + ( b

___

2a ) 2 = – c

__ a + ( b

___

2a ) 2

Faktorisieren (x + b ___

2a

) 2 = b 2

___

4 a 2

– c __ a

Brüche zusammenfassen (x + b ___

2a

) 2 = b 2 – 4ac

_______

4 a 2

Wurzelziehen x + b ___

2a

=

_______

b 2 – 4ac

_______

4 a 2

oder x + b ___

2a

=–

_______

b 2 – 4ac

_______

4 a 2

Lösungen x 1 =– b ___

2a

+ ________

b 2 – 4ac

________

2a = – b +

_________

b 2 – 4ac

_____________

2a

x 2 = – b – _________

b 2 – 4ac

____________

2a

Kurzschreibweise x 1|2

= – b ± _________

b 2 – 4ac

_____________

2a

Formel zum Lösen einer quadratischen Gleichung

Hat eine quadratische Gleichung der Form a x 2 + bx + c = 0; a 0, b, c ∈ R, die

Lösungen x 1 und x 2 , so gilt: x 1|2 = – b ± _________

b 2 – 4ac _____________ 2a (a,b,c-Formel)

Der Term unter der Wurzel (der Radikand) heißt Diskriminante D: D = b 2 – 4ac.

Bemerkung: Eine weitere Lösungsformel ist die p,q-Formel.

Eine quadratische Gleichung der Form x 2 + px + q = 0; p, q ∈ R, hat die Lösungen:

x 1|2 = 1 __ 2 (– p ± _______

p 2 – 4q ) (p,q-Formel).

200

Beispiel:

Gegeben ist eine quadratische Gleichung.

Berechnen Sie die Diskriminante D und lösen Sie die Gleichung.

Geben Sie die Lösungsmenge an.

1. 3 x 2 + 14x – 5 = 0 2. – 1 __ 2 x 2 + 5x – 25 ___ 2 = 0 3. 3 x 2 – 6x = – 15

Lösung:

Zu 1.: a, b, c bestimmen a = 3; b = 14; c = – 5

a,b,c-Formel aufschreiben x 1|2

= – b ± _________

b 2 – 4ac

_____________

2a

Werte für a, b und c einsetzen. x 1|2

= – 14 ±

________________

14 2 – 4 · 3 · (– 5)

____________________

2 · 3

Diskriminante D ausrechnen D = 196 + 60 = 256 > 0

Lösungen: x 1|2

= – 14 ±

____ 256

__________

6

Mit ____

256 = 16 x 1|2

= – 14 ± 16

________

6

x 1 berechnen x 1 = – 14 +16

________

6 = 2

__

6 = 1

__

3

x 2 berechnen x 2 = – 14 – 16

________

6 = – 30

___

6 = – 5

D > 0; Gleichung hat zwei Lösungen x 1 = 1 __

3 ; x 2 = – 5

Lösungsmenge L = { 1 __

3 ; – 5}

Zu 2.: Gleichung vereinfachen – 1 __ 2 x 2 + 5x – 25 __ 2 = 0 |· ( 2)

x 2 – 10x + 25 = 0

a, b, c bestimmen a = 1; b = – 10; c = 25

Werte für a, b und c einsetzen. x 1|2

= 10 ±

________________

(–10) 2 – 4 · 1 · 25

___________________

2

Diskriminante D ausrechnen D = 100 – 100 = 0

Lösungen: x 1|2

= 10 ± __

0

_______

2

Wurzel ziehen x 1|2

= 10 ± 0

______

2

x 1 berechnen x 1 = 10

___

2 = 5

x 2 berechnen x 2 = 10

___

2 = 5

D = 0; Die Gleichung hat eine (doppelte) Lösung x 1|2

= 5.

Lösungsmenge L = { 5 }

201

Zu 3.: Auf Nullform bringen 3 x 2 – 6x = – 15

Nullform 3 x 2 – 6x + 15 = 0

a, b, c bestimmen a = 3; b = – 6; c = 15

Werte für a, b und c einsetzen x 1|2

= 6 ±

________________

(– 6) 2 – 4 · 3 · 15

__________________

2 · 3

Diskriminante D ausrechnen D = 36 – 180 = – 144 < 0

Die Gleichung hat keine Lösung, da man die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht ziehen kann.

D < 0; Die Gleichung hat keine Lösung.

Lösungsmenge L = Ø

Die Anzahl der Lösungen hängt von der Diskriminante (D) ab.

D = b 2 – 4ac

D > 0 D = 0 D < 0 Zwei Lösungen eine Lösung keine Lösung

Übungsaufgabe

101 1. Lösen Sie die quadratischen Gleichungen und machen Sie die Probe.

1.1 x 2 + x – 12 = 0 1.2 x 2 + 6x – 16 = 0

1.3 2 x 2 – 12x + 18 = 0 1.4 – x 2 + 4x – 4 = 0

1.5 4 x 2 + 4x – 48 = 0 1.6 – 3 x 2 – 5x + 8 = 0

2. Lösen Sie die Gleichungen der Übungsaufgabe 100 Nr. 3 mit der a,b,c-Formel.

3. Berechnen Sie die Diskriminante D und bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen.

3.1 x 2 + 10x + 24 = 0 3.2 2 x 2 – 16x + 32 = 0

3.3 x 2 – 4x + 5 = 0 3.4 3 x 2 + x – 2 = 0

3.5 0,5 x 2 + 2x + 2 = 0 3.6 1 __ 4 x 2 – 3x + 10 = 0

4. Bestimmen Sie die Lösungsmenge.

4.1 2 x 2 – 9x = – 7 4.2 3 – 2x + 1 __ 3 x 2 = 0

4.3 x 2 – 11 ___ 2 x + 7 = – 1 __ 2 x + 1 4.4 – x 2 – 5 __ 4 x = – 7 __ 8

4.5 x(5x – 25 ___ 2 ) = x 2 – 1 __ 2 x – 12 4.6 9 = (2 x + 5) 2

5. Eine quadratische Gleichung hat die Lösungen x 1|2 = 5 ±

______________

(– 5) 2 – 4 · 1 · 6 _________________ 2

Geben Sie eine mögliche Gleichung an.

202

■ Lösen durch Ausklammern und Anwendung des Satzes vom Nullprodukt

Bei manchen quadratischen Gleichungen sollte man die Lösung ohne Lösungsformel bestimmen.

Beispiel:

Gegeben ist eine quadratische Gleichung. Berechnen Sie die Lösung ohne Lösungsformel.

1. x 2 + 3x = 0 2. 4 x 2 = 5x

Lösung:

Zu 1.: Die Gleichung x 2 + 3x = 0 ist ein Sonderfall einer gemischtquadratischen

Gleichung mit c = 0.

Da jeder Summand ( x 2 ; 3x) x enthält, kann man x ausklammern.

Gleichung in Nullform x 2 + 3x = 0

x ausklammern x(x + 3) = 0 12222322225 Wann ist ein Produkt null? Produkt = 0

Beispiel: 4 · 0 = 0 oder 0 · 8 = 0 oder 0 · 0 = 0

Ein Produkt ist null, wenn der 1. Faktor null oder der 2. Faktor null ist oder beide Faktoren null sind, d. h., wenn mindestens ein Faktor null ist.

Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist.

Die Gleichung hat die Form „Produkt = 0” x(x + 3) = 0

Satz vom Nullprodukt anwenden x = 0 oder x + 3 = 0

Die Gleichung hat zwei Lösungen x 1 = 0; x 2 = – 3

Zu 2.: Gleichung auf Nullform bringen 4 x 2 = 5x

Nullform 4 x 2 – 5x = 0

x ausklammern x(4x – 5) = 0

Satz vom Nullprodukt anwenden x = 0 oder 4x – 5 = 0

Die Gleichung hat zwei Lösungen x 1 = 0; x 2 = 5 __ 4

Übungsaufgabe

102 1. Lösen Sie die quadratischen Gleichungen.

1.1 8 x 2 + 3x = 0 1.2 x 2 – x = 0 1.3 3 __ 2 x = 1 __ 2 x 2

2. Lösen Sie ohne Formel.

2.1 x(5 – 3x) = 0 2.2 1 __ 7 (3x – 2) 2 = 0 2.3 (x – 3)(x + 4) = 0

3. Geben Sie eine quadratische Gleichung mit den Lösungen x 1 = 5 und x 2 = – 2 an.

203

9 Quadratische Funktionen

9.1 Einführung

Beispiel:

Beim freien Fall hängt der Fallweg s von der Fallzeit t ab. Die Formel für den freien Fall lautet: s = 5 t2.

S ist der Fallweg in Meter; t die Fallzeit in Sekunden.


2. Übertragen Sie die entsprechenden Punkte in ein Koordinatensystem.

Lösung:

Zu 1.: Wertetabelle

Z. B.: Für t = 2: s = 5 · 2 2 = 20

Zu 2.: Verbindet man die Punkte, so kann man erken-nen, dass das Schaubild keine Gerade ist. In die-sem Fall spricht man von einer Parabel.

Anhand der Formel s = 5 t 2 sieht man, dass der Weg s quadratisch von der Zeit t abhängt.

Wir untersuchen nun solche quadratischen Ab-hängigkeiten.

Umbennung: In der Mathematik schreibt man für die Variable s den Buchstaben y und für die Variable t den Buchstaben x.

Die Gleichung dieser Parabel lautet dann: y = 5 x 2 .

Übungsaufgabe

103 Gegeben ist die Gleichung der Parabel p mit y = 5 x 2 .

1. Vervollständigen Sie folgende Tabelle.

x – 2,5 – 0,5 2,5

y 0,2 11,25

2. Überprüfen Sie, ob die Punkte A(0,5 | 1,25) und B(– 1,15 | 6,6) auf p liegen.

0 1 2 3 40

20

40

60

80

y

t

in s

sin m

••

••

••

••s = 5 t 2

t in Sekunden 0 1 2 3 4

s in Meter 0 5 20 45 80

204

9.2 Normalparabel

Beginnen wir mit der „einfachsten” Parabelgleichung y = x2.

Beispiel:

Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung y = x2; x ∈ R.


2. Zeichnen Sie die Parabel in ein Koordinatensystem ein.

Lösung:

Zu 1.: Wertetabelle

Zu 2.: Diese Parabel (Kurve) mit y = x 2

heißt Normalparabel.

Eigenschaften:

■ Die Normalparabel ist symmetrisch zur y-Achse.

■ Sie berührt die x-Achse im Ursprung.

■ Der Schnittpunkt von der Normalparabel und der Symmetrieachse (y-Achse) heißt Scheitelpunkt.

Beachten Sie:

■ Die Parabel mit y = x2 heißt Normalparabel.

■ Der Ursprung S(0 | 0) ist ihr Scheitelpunkt.

■ Die Funktion f: x → x2 ist eine quadratische Funktion.

Übungsaufgabe

104 1. Welche Punkte liegen auf der Normalparabel?

1.1 A(0 | 1) 1.2 B(– 1 __ 2 | 1 __ 4 ) 1.3 C(0,5 | 0,25) 1.4 D(– 3 __ 2 | – 9 __ 4 )

2. Zeichnen Sie die Normalparabel (evtl. mit einer Schablone).

Lesen Sie aus dem Schaubild folgende Quadratzahlen näherungsweise ab.

Vergleichen Sie diese Näherungswerte mit den Werten des Taschenrechners.

2.1 1,6 2 2.2 2,3 2 2.3 ( – 2,6) 2 2.4 (– 0,4) 2

3. Begründen Sie anhand von Beispielen, warum die Normalparabel symmetrisch zur y-Achse sein muss.

x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4

y 9 4 1 0 1 4 9 16

−3 −2 −1 1 2 3

2

4

6

8

x

y

••

••

••

••

••

•• ••

y = x 2

Normalparabel

205

9.3 Parabeln mit der Gleichung y = ax2

Beispiel:

Gegeben sind die Parabeln p 1 und p 2 durch die Gleichungen p 1 : y = 2 x 2 und p 2 : y = 0,5 x 2 .

1. Erstellen Sie eine Wertetabelle für die Normalparabel und die Parabeln p 1 und p 2 . Zeichnen Sie diese drei Parabeln in ein Koordinatensystem ein.

2. Beschreiben Sie den Verlauf der Parabeln p 1 und p 2 im Vergleich zur Normalparabel.

Lösung:

Zu 1.: Wertetabelle und Schaubilder

x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3

y = x 2 9 4 1 0 1 4 9

y = 2x 2 18 8 2 0 2 8 18

y = 0,5 x 2 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5

Zu 2.: Die Parabel mit y = 2 x 2 verläuft steiler als die Normalparabel.

Die Parabel mit y = 0,5 x 2 verläuft flacher als die Normalparabel.

Beachten Sie:

Die Parabel mit y = a x 2 ist für �a > 1 enger

0 < a < 1 weiter

�

als die Normalparabel.

Beispiel:

Die Parabeln p 1 , p 2 und p 3 sind gegeben durch

p 1 : y = – x 2 , p 2 : y = – 2 x 2 und p 3 : y = – 0,5 x 2 .

Erstellen Sie eine Wertetabelle und zeichnen Sie p 1 , p 2 und p 3 in ein Koordinatensystem ein.

Lösung:

Wertetabelle und Schaubilder

x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3

y =– x 2 – 9 – 4 – 1 0 – 1 – 4 – 9

y =– 2x 2 – 18 – 8 – 2 0 – 2 – 8 – 18

y =– 0,5 x 2 – 4,5 – 2 – 0,5 0 – 0,5 – 2 – 4,5

Bemerkung: Alle drei Parabeln sind nach unten geöffnet.

Beachten Sie:

Die Parabel mit y = a x 2 ist für �a >0 nach oben

a < 0 nach unten

�

geöffnet.

Bemerkung: Der Faktor a einer Parabel mit y = a x 2 beschreibt die Form und die Öffnung der Parabel.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

2

4

6

y y = x 2

y = 0,5 x 2

y = 2 x 2

x

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−6

−4

−2x

y

y = – x 2

y = –0,5 x 2

y = –2 x 2

206

Übungsaufgabe

105 1. Ordnen Sie der Parabelgleichung die zugehörige Parabel zu.

1.1 y = 3 __ 2 x 2

1.2 y = 2 __ 3 x 2

1.3 y = – 3 x 2

1.4 y = – 1 __ 2 x 2

Begründen Sie Ihre Wahl.

2. Die Gleichung der Parabel lautet: y = a x 2 .

Bestimmen Sie den Faktor a der Parabeln p 1 bis p 4 (s. Abbildung).

3. Welche Parabeln sind nach unten bzw. nach oben geöffnet?

Begründen Sie Ihre Antwort.

3.1 y = 1 __ 8 x 2 3.2 y = – 6 x 2 3.3 y = 0,4 x 2 3.4 y = – x 2 __

4

4. Zeichnen Sie die Parabel mithilfe einer Wertetabelle.

4.1 y = 3 __ 2 x 2 4.2 y = 1 __ 4 x 2 4.3 y = – 1 __ 5 x 2 4.4 y = – 0,5 x 2

5. Welche der folgenden Punkte liegen auf der Parabel mit y = – 3 __ 4 x 2 ?

5.1 A(4 |– 12) 5.2 B(0 | – 3 __ 4 ) 5.3 C(– 1 |– 3 __ 4 ) 5.4 D( 2 __ 3 | 1 __ 3 )

6. Geben Sie eine Gleichung für eine Parabel an, die enger ist als die Parabel mit der Glei-chung y = 1,2 x 2 .

7. Bestimmen Sie den Faktor a so, dass der Punkt P(3 | 5 __ 2 ) auf der Parabel mit y = a x 2 liegt.

8. In der Fahrschule lernt man folgende Faustregel zur Berechnung des Bremsweges (in m):

Dividiere die Geschwindigkeit (in km ___ h ) durch 10 und multipliziere das Ergebnis mit sich

selbst. Vervollständigen Sie die Tabelle nach dieser Faustregel.

Geschwindigkeit (in km h –1 ) 30 50 80 100 120 150 x

Bremsweg (in m)

Übertragen Sie diese Werte in ein Koordinatensystem.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−6−4−2

246

x

y

AB

CD

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−6−4−2

246

x

y

p 1 p 2

p 3 p 4

207

9.4 Verschiebungen

9.4.1 Verschiebung nach oben bzw. unten

Beispiel:

Gegeben sind die Parabeln p 1 , p 2 und p 3 durch p 1 : y = x 2 , p 2 : y = x 2 + 2 und p 3 : y = x 2 – 3.

1. Erstellen Sie eine Wertetabelle für diese drei Parabeln.

Zeichnen Sie p 1 , p 2 und p 3 in ein Koordinatensystem ein.

2. Wie entstehen die Parabeln p 2 und p 3 aus der Normalparabel p 1 ?

Lösung:

Zu 1.: Wertetabelle

x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3

y = x 2 9 4 1 0 1 4 9

y = x 2 + 2 11 6 3 2 3 6 11

y = x 2 – 3 6 – 1 – 2 – 3 – 2 1 6

Zu 2.: Die Parabel p 2 mit y = x 2 + 2 entsteht durch Verschiebung der Normalparabel um 2 LE (Län-geneinheiten) nach oben.

p 2 hat den Scheitelpunkt S(0 | 2).

Die Parabel p 3 mit y = x 2 – 3 entsteht durch Verschiebung der Normalparabel um 3 LE nach unten.

p 3 hat den Scheitelpunkt S(0 | – 3)

Beachten Sie:

Die Parabel mit y = x 2 + c ist eine nach oben bzw. unten verschobene Normalparabel. Sie hat den Scheitelpunkt S(0 | c).

c > 0: Verschiebung nach oben; c < 0: Verschiebung nach unten

Übungsaufgabe

106 1. Wie entstehen die Parabeln p 1 , p 2 und p 3 aus der Normalparabel?

Zeichnen Sie die Parabeln in ein Koordinatensystem ein.

p 1 : y = x 2 + 4; p 2 : y = x 2 – 2,5; p 3 : y = x 2 – 0,5.

2. Zeichnen Sie die Parabeln p 1 , p 2 und p 3 mithilfe einer Wertetabelle.

p 1 : y = 1 __ 2 x 2 ; p 2 : y = 1 __ 2 x 2 + 3; p 3 : y = 1 __ 2 x 2 – 1.

Wie entstehen die Parabeln p 2 und p 3 aus p 1 ?

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4−2

246

x

y p 1

p 3

p 2

208

9.4.2 Verschiebung nach rechts bzw. links

Beispiel:

Gegeben sind die Parabeln p 1 durch y = (x + 2) 2 und p 2 durch y = (x – 3) 2 .

1. Zeichnen Sie die Normalparabel, p 1 und p 2 in ein gemeinsames Koordinatensystem.

Zeichnen Sie p 1 für – 4 x 0 und p 2 für 1 x 5.

2. Wie entstehen die Parabeln p 1 und p 2 aus der Normalparabel?

Lösung:

Zu 1.: Wertetabelle und Graphen

x – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5

y = x 2 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25

y = ( x + 2) 2 4 1 0 1 4 9

y = (x – 3) 2 9 4 1 0 1 4

Zu 2.: Die Parabel p 1 mit y = (x + 2) 2 ist eine um 2 LE nach links verschobene Normalparabel. Der Scheitelpunkt ist S(– 2 | 0).

Die Parabel p 2 mit y = (x – 3) 2 ist eine um 3 LE nach rechts verschobene Normalparabel. Der Scheitelpunkt ist S(3 | 0).

Beachten Sie:

Die Parabel mit y = (x – d) 2 ist eine nach rechts bzw. links verschobene Normalparabel. Sie hat den Scheitelpunkt S(d | 0).

d > 0: Verschiebung nach rechts; d < 0 Verschiebung nach links

Bemerkung: Ist d < 0 z. B. d = – 2, so gilt: y = (x – (– 2)) 2 = (x + 2) 2

Dies ist die Gleichung einer um 2 LE nach links verschobenen Normalparabel.

Übungsaufgabe

107 1. Zeichnen Sie die Parabeln, die durch folgende Gleichungen gegeben sind.

1.1 y = (x – 1) 2 1.2 y = (x + 2 ,5) 2 1.3 y = (x – 1,5) 2

2. Die Normalparabel wird verschoben.

Geben Sie die Gleichung der verschobenen Parabel an.

2.1 3,5 LE nach rechts 2.2 1,5 LE nach links 2.3 6 LE nach rechts

−4 −2 2 4 6

2

4

x

yy = x 2 y = (x – 3) 2 y = (x + 2) 2

209

9.5 Scheitelform

Beispiel:

Die Parabeln p 1 und p 2 sind durch folgende Gleichungen gegeben:

p 1 : y = ( x – 3) 2 und p 2 : y = (x – 3) 2 + 2.

1. Zeichnen Sie die Normalparabel p 1 und p 2 in ein gemeinsames Koordinatensystem.

2. Wie entstehen die Parabeln p 1 und p 2 aus der Normalparabel?

Lösung:

Zu 1.: Schaubilder

Zu 2.: Verschiebt man die Normalparabel um 3 LE nach rechts, so erhält man p 1 : y = ( x – 3) 2

p 1 hat den Scheitelpunkt S(3 | 0).

Verschiebt man p 1 um 2 LE nach oben, so erhält man die Parabel p 2 mit y = (x – 3) 2 + 2.

p 2 hat den Scheitelpunkt S(3 | 2). Den Scheitelpunkt S(3 | 2) kann man aus der Gleichung y = (x – 3) 2 + 2 ablesen.

Beachten Sie:

Die Parabel p mit der Gleichung y = (x – d) 2 + c ist eine verschobene Normalparabel. p hat den Scheitelpunkt S(d | c).

Beispiel:

Gegeben ist die Parabel p durch die Gleichung p: y = (x + 2,5) 2 – 4.

1. Bestimmen Sie den Scheitel der Parabel p.

2. Wie entsteht die Parabel p aus der Normalparabel?

Lösung:

Zu 1.: y = (x + 2, 5) 2 – 4

y = (x – (– 2,5) ) 2 – 4

Scheitelpunkt S(– 2,5 | – 4)

Zu 2.: p erhält man, indem man die Normalpara-bel um 2,5 LE nach links und um 4 LE nach unten verschiebt.

−2 2 4 6

2

4

x

y

S(3|2)

S(3|0)

y = (x – 3) 2 + 2

y = (x – 3) 2

−4 −2 2

−4

−2

2

4

x

y

S(–2,5|0)

S(–2,5|– 4) y = (x + 2,5) 2 – 4

y = (x + 2,5) 2

210

Beispiel:

Gegeben ist die Parabel p 1 durch folgende Gleichung p 1 : y = 1 __ 2 x 2 .

Die Parabel p 1 wird um 3 LE nach rechts und um 2,5 LE nach oben verschoben.

Bestimmen Sie die Gleichung der verschobenen Parabel p.

Lösung:

Bemerkung: p 1 ist keine Normalparabel.

Der Faktor 1 __ 2 vor x 2 beschreibt die Form der Pa-rabel. Verschiebt man p um 3 LE nach rechts, so ändert sich die Form nicht, d. h., der Faktor vor x 2 ändert sich nicht.

Die Gleichung der verschobenen Parabel p 2 lautet: p 2 : y = 1 __ 2 (x – 3 ) 2 .

Verschiebt man p 2 um 2,5 LE nach oben, so lautet die Gleichung der Parabel p: y = 1 __ 2 (x – 3 ) 2 + 2,5. p hat den Scheitelpunkt S(3 | 2,5).

Da man den Scheitelpunkt S(3 | 2,5) aus der Gleichung y = 1 __ 2 (x – 3 ) 2 + 2,5 ablesen kann, heißt diese Form der Parabelgleichung Scheitelform.

Beachten Sie:

■ Die Parabelgleichung der Form y = a(x – d ) 2 + c, a 0 heißt Scheitelform. Die zuge-hörige Parabel hat den Scheitel S(d | c).

■ Der Faktor a beschreibt die Form der Parabel.

■ Für a = 1 handelt es sich um eine verschobene Normalparabel.

Übungsaufgabe

108 1. Bestimmen Sie den Scheitelpunkt der Parabel. Zeichnen Sie die Parabel.

1.1 y = (x + 2, 5) 2 + 2 1.2 y = (x + 1 ) 2 – 3 1.3 y = (x – 1, 5) 2 – 2

2. Die Normalparabel wird verschoben. Bestimmen Sie den Scheitelpunkt und zeichnen Sie die verschobene Parabel (evtl. mit der Schablone).

2.1 um 5 LE nach rechts und um 4 LE nach unten.

2.2 um 4 LE nach links und um 3 LE nach unten.

2.3 um 3,5 LE nach links und um 1,5 LE nach oben.

3. Die Parabel p: y = 1 __ 5 x 2 wurde verschoben. Der neue Scheitelpunkt ist S.

Geben Sie die Gleichung der verschobenen Parabel an.

3.1 S(– 4 | 0) 3.2 S(– 5 | 2) 3.3 S(3 | 6)

3.4 S(7 | – 8) 3.5 S(0 | – 1) 3.6 S(1 | – 1)

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

123456

x

y

p 1 p 2

p

S(3|2,5)

211

■ Rechnerische Bestimmung der Scheitelform

Ist die Gleichung einer Parabel in der Scheitelform gegeben, so kann man die Koordinaten des Scheitels ablesen. Wie bestimmt man jedoch den Scheitelpunkt, wenn die Parabel-gleichung in der allgemeinen Form y = a x 2 + bx + c gegeben ist?

Beispiel:

Gegeben sind die Parabeln p 1 und p 2 durch p 1 : y = x 2 – 6x + 8 und p 2 : y = 1 __ 2 x 2 + 6x + 20.

1. Bestimmen Sie den Scheitelpunkt von p 1 .

2. Bestimmen Sie den tiefsten Punkt der Parabel p 2 .

Lösung:

Zu 1.: Parabelgleichung in allgemeiner Form y = x 2 – 6x + 8

Um die Scheitelform y = (x – d) 2 + c

zu bestimmen, benötigt man die quadratische Ergänzung (– 6 __

2 ) 2 = 3 2 = 9

Quadratische Ergänzung y = x 2 – 6x + 9 – 9 + 8 1222222322222225 122232225 Scheitelform y = ( x – 3) 2 – 1

Scheitelpunkt S(3 | – 1)

Zu 2.: Bemerkung: Eine nach oben geöffnete Parabel hat ihren tiefsten Punkt im Scheitel.

Parabelgleichung in allgemeiner Form y = 1 __

2 x 2 + 6x + 20 | 2

Umformung 2y = x 2 + 12x + 40

Quadratische Ergänzung ( 12

___

2 ) 2 = 6 2 = 36

Quadratische Ergänzung 2y = x 2 + 12x + 36 – 36 + 40 1222222322222225 122232225 Scheitelform 2y = (x + 6) 2 + 4 | : 2

Nach y auflösen y = 1 __

2 (x + 6) 2 + 2

Koordinaten des Scheitelpunktes x = – 6; y = 2

Scheitelpunkt S(– 6 | 2)

Übungsaufgabe

109 1. Bestimmen Sie den Scheitelpunkt.

1.1 y = x 2 + 6x + 6 1.2 y = x 2 – 2x – 3 1.3 y = x 2 + 8x + 10

1.4 y = 1 __ 2 x 2 – 5x + 32 1.5 y = 3 x 2 – 12x – 3 1.6 y = – x 2 – 10x + 7

1.7 y = – x 2 + 14x + 12 1.8 y = x 2 – x 1.9 y = 0,5 x 2 – x + 3

2. Bestimmen Sie den Scheitelpunkt.

2.1 y = x 2 + 6 2.2 y = (x + 2) 2 2.3 y = – (x 2)(x + 2)

212

9.6 Graphische Lösung quadratischer Gleichungen

Eine quadratische Gleichung wurde bisher rechnerisch gelöst. Nun bestimmt man die Lö-sungen graphisch bzw. zeichnerisch. Zeichnet man die Parabel, so lässt sich aus der Lage der Parabel die Anzahl der Lösungen ablesen (Lösbarkeit).

Beispiel:

Gegeben ist die gemischtquadratische Gleichung x2 – 2x – 3 = 0.

Untersuchen Sie diese Gleichung graphisch auf Lösbarkeit und geben Sie die Lösungen an.

Lösung:

Quadratische Gleichung x 2 – 2x – 3 = 0

Gleichung der Parabel p y = x 2 – 2x – 3

Die Gleichung x 2 – 2x – 3 = 0 ist lösbar, wenn es x-Werte gibt, die beim Einsetzen den y-Wert null ergeben. Um dies zu klären, zeichnet man die Parabel p.

Dazu bestimmt man den Scheitelpunkt mithilfe der quadratische Ergänzung (– 2 __ 2 ) 2 =1.

Quadratische Ergänzung addieren und ausgleichen y = x2 – 2x + 1 – 1 – 3 1222222322222225 122232225Scheitelform y = (x – 1)2 – 4

Scheitelpunkt S(1 | – 4)

Skizze

Erläuterung: Die Parabel p ist eine verschobene Nor-malparabel (nach oben geöffnet).

Es gibt zwei Parabelpunkte mit y = 0. Diese zwei Punkte sind die Schnittpunkte von p mit der x-Achse.

Ergebnis: Die quadratische Gleichung x2 – 2x – 3 = 0 hat somit zwei Lösungen.

Die Lösungen kann man ablesen: x 1 = – 1; x 2 = 3.

Übungsaufgabe

110 1. Lösen Sie die Gleichung graphisch.

1.1 x 2 – 4x – 5 = 0 1.2 x 2 + 2x + 3 __ 4 = 0 1.3 x 2 – 6x + 9 = 0

2. Untersuchen Sie die Gleichung graphisch auf Lösbarkeit.

Lesen Sie gegebenenfalls die Lösungen ab.

Hinweis: Bringen Sie die Gleichung auf die Form x 2 + px + q = 0.

2.1 2 x 2 – x = 3 2.2 1 __ 2 x 2 = 4x – 8 2.3 – x 2 – 2x = 2

−2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

x

y y = x 2 – 2x – 3

y < 0

y = 0y > 0

y = 0y > 0

213

10 Bearbeitung mathematischer Probleme miteinem Tabellenkalkulationsprogramm

10.1 Graphische Darstellung von Funktionen

Beispiel:

Ein Unternehmen verkauft Antennenkabel für 0,45 EUR pro Meter. Am häufigsten werden Kabel zwischen 1 Meter und 10 Meter verkauft.

Erstellen Sie eine Preistabelle für die Kabel unterschiedlicher Länge und stellen Sie den Sachver-halt graphisch dar!

Lösung:

Die Funktionsgleichung lautet y = 0,45x

Wertetabelle erstellen und im Diagramm-Assistent zeichnen.

Geradengleichung y = 0,45x + 0

Wertetabelle

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y 0,00 0,45 0,90 1,35 1,80 2,25 2,70 3,15 3,60 4,05 4,50

Graf zeichnen:

0,000,501,001,502,002,503,003,504,004,505,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Prei

se in

€

Kabellänge in m

Graph zeichnen:

214

Beispiel:

Gegeben ist die Gerade g durch die Gleichung y = mx + b.

Wählen Sie einen Wert für m und b und die x-Werte für die Wertetabelle und erstellen Sie mithilfe des Computers die Wertetabelle und eine Zeichnung dieser Geraden!

Lösung:

Vorschlag a: m = 5 __ 2 und b = 4 __ 5

Zeichnung im Bereich – 5 x 5

Geradengleichung

Wertetabelle

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -11,7 -9,2 -6,7 -4,2 -1,7 0,8 3,3 5,8 8,3 10,8 13,3

Graf zeichnen:

-15

-10

-5

0

5

10

15

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

54x

25y

Graph zeichnen:

Vorschlag b: m = – 4 und b = 3,5

Zeichnung im Bereich – 30 x 50

Geradengleichung y = -4x + 3,5

Wertetabelle

x -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50y 123,5 83,5 43,5 3,5 -36,5 -76,8 -116,5 -156,5 -196,5

Graf zeichnen:

-200,0

-150,0

-100,0

-50,0

0,0

50,0

100,0

150,0

-30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

Graph zeichnen:

215

Beispiel:

Für ein Baudarlehen soll ein Bankkunde 5,5 % Zinsen zahlen. Der jährliche Zinsbetrag verläuft proportional zur Höhe des Darlehens.

1. Geben Sie die Funktionsgleichung an und erstellen Sie eine Wertetabelle!

Hinweis: Die x-Achse zeigt die jeweilige Höhe des Darlehens und die y-Achse den zugehörigen Zinsbetrag.

2. Stellen Sie den Zusammenhang graphisch dar!

3. Lesen Sie den Zinsbetrag für ein Darlehen von 8 000,00 EUR bzw. 14 000,00 EUR aus der Grafik ab!

Lösung:

Geradengleichung y = 0,055x

Wertetabelle

x 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000y 0 275 550 825 1100 1375 1650

Graf zeichnen:

0200400600800

10001200140016001800

0

2000

4000

6000

8000

1000

0

1200

0

1400

0

1600

0

1800

0

2000

0

2200

0

2400

0

2600

0

2800

0

3000

0

Zins

betr

ag in

€

Darlehenshöhe in €0200400600800

10001200140016001800

0

2000

4000

6000

8000

1000

0

1200

0

1400

0

1600

0

1800

0

2000

0

2200

0

2400

0

2600

0

2800

0

3000

0

Zins

betr

ag in

€

Darlehenshöhe in €

Graph zeichnen:

216

Beispiel:

Zusatzaufgabe: Die Zinsen werden auf 3,5 % gesenkt. Ändern Sie die Funktionsgleichung ent-sprechend ab und zeichnen Sie die Gerade im Bereich 0 x 99 000!

Lösung:

Geradengleichung: y = 0,035x

Graf zeichnen:

0500

100015002000250030003500

0

1000

0

2000

0

3000

0

4000

0

5000

0

6000

0

7000

0

8000

0

9000

0

Zins

betr

ag in

€

Darlehenhöhe in €

Graph zeichnen:

217

10.2 Graphische Schnittpunktbestimmung

Beispiel:

Gegeben sind die Geraden g 1 mit y = – 0,5x + 2,5 und g 2 mit y = 0,8x + 1,2.

Zeichnen Sie die Geraden in ein geeignetes Koordinatensystem und lesen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes aus der Zeichnung ab!

Lösung:

Geradengleichungen

Wertetabelle

x -4 -2 0 2 4 6

4,5 3,5 2,5 1,5 0,5 -0,5

-2,0 -0,4 1,2 2,8 4,4 6,0

Graf zeichnen:

-2,0

-1,0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

1y

2y

5,2x5,0y:g1 2,1x8,0y:g2

-2,0

-1,0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

1y

2y

5,2x5,0y:g1 2,1x8,0y:g2

Graph zeichnen:

Übungsaufgabe

111 Bestimmen Sie graphisch den Schnittpunkt der Geraden.

1. g: y = x + 1 und h: y = 2,4x – 6

2. g: y = 0,5x + 65 und h: y = 1,5x + 35

3. k: y = – 5 __ 4 x + 1,5 und f: y = – x + 2

4. k: y = 10x + 150 und f: y = 18x + 30

218

Beispiel:

Ein Hersteller für Staubsauger bietet seinen Handelsvertretern zwei Tarife an.

Tarif I: Grundgehalt 3 000,00 EUR pro Monat plus 10,00 EUR für jedes verkaufte Gerät.

Tarif II: Grundgehalt 1 200,00 EUR pro Monat plus 40,00 EUR für jedes verkaufte Gerät.

Bei welcher Anzahl verkaufter Staubsauger würden beide Tarife dasselbe Einkommen ergeben?

Lösung:

Funktionsgleichung für Tarif I: y = 10x + 3 000

Funktionsgleichung für Tarif II: y = 40x + 1 200

Geradengleichungen I: y = 10x + 3000 II: y = 40x + 1200

Wertetabelle

x 0 20 40 60 80 100I: y 3000 3200 3400 3600 3800 4000II: y 1200 2000 2800 3600 4400 5200

Graf zeichnen:

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 20 40 60 80 100

Eink

omm

en in

€

Verkaufte Staubsauger in Stück

Graph zeichnen:

219

Beispiel:

Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung y = x2 – 2x – 3.

1. Zeichnen Sie die Parabel und bestimmen Sie die Schnittpunkte mit der x-Achse.

2. Die Parabel wird 2 LE nach rechts und 1 LE nach oben verschoben. Bestimmen Sie die Glei-chung der verschobenen Parabel. Zeichnen Sie die verschobene Parabel.

Lösung:

Parabelgleichung

Wertetabelle

x -2 -1 0 1 2 3 4 5y 5 0 -3 -4 -3 0 5 12

Graf zeichnen:

Parabelgleichung

Wertetabelle

-5

0

5

10

15

-2 -1 0 1 2 3 4 5

Wertetabelle

x -2 -1 0 1 2 3 4 5y 22 13 6 1 -2 -3 -2 1

-5

0

5

10

15

-2 -1 0 1 2 3 4 5

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-2 -1 0 1 2 3 4 5

y = (x – 2) 2 – 2(x – 2) – 3 + 1

y = x 2 – 6x + 6

y = x 2 – 2x – 3

Graph zeichnen:

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