L5.6 Symmetrische, hermitesche, orthogonale und unitäre Matrizen (Abbildungen, die reelles bzw. komplexes Skalarprodukt invariant lassen)

Reelles inneres Produkt in -Vektorraum [siehe L3.1b]:

(i) Symmetrie:

(iii) Linearität bzgl. Skalarmultiplikation:

(iv) Positiv definit: 'wenn, und nur wenn'

'reeller Vektorraum'

Reelles Skalarprodukt in Standardraum:

(ii) Linearität bzgl. Vektoraddition:

[Skalarprodukt: alle Indizes unten!]

In diesem Kapitel kommen Matrizen in Zusammenhang mit Skalarprodukt vor. In solchen Situationen ist es nützlich, alle Indizes unten zu schreiben.

Sei

Skalarprodukt (reell) von transformierten Vektoren

'transponierte Matrix'

Def: "Transponierte v. A": (tausche von A die Zeilen und Spalten)

Beispiel:

Def: ist 'symmetrisch', falls Beispiel:

Für symmetrische Matrizen gilt:

Def:

[sprich: A-transponiert]

mit

mit

Komplexes Skalarprodukt, in Standardraum:

Beispiel in :

komplexe Konjugation, garantiert Positivität, siehe (5)Definition:

Positivität:wird üblicherweise weggelassen

Wie erreicht man Positivität? gilt nicht!

Z.B:

Komplexes inneres Produkt in -Vektorraum:

(i) Symmetrie (bis auf kompl. Konj.):

(iii) Linearität bzgl. Skalarmultiplikation:

(iv) Positiv definit: 'wenn, und nur wenn'

'komplexer Vektorraum'

komplexe Konjugation,

(ii) Linearität bzgl. Vektoraddition:

Verallgemeinerung für komplexe Vektorräume: komplexes inneres Produkt

keine Konjugation

[Anwendung: QM!]

Anmerkung:

Sei

Skalarprodukt (komplex) von transformierten Vektoren

Def: "Hermitesch konjugierte v. A": (transponierte und komplex konjugierte version von A)

Beispiel:

Def: ist 'hermitesch', falls Beispiel:

Für hermitesche Matrizen gilt:

[sprich: A-Kreuz, Englisch: A-dagger]

'hermitesch konjugierte Matrix' Def:

[analog zu Seite 6b]

und ist reell, denn

mit

mit

Eigenschaft:[vergleiche (L5.6d)]

Beweis:

"Transponierte v. A":(tausche Zeilen mit Spalten)

Verallgemeinerung für nicht-quadratische Matrizen:

Allgemeine komplexe Matrix:Beispiel:

"hermitesch konjugierte v. A":(transponiere und komplex konjugiere)

Falls A

Spezialisierung auf reelle Matrizen:

Sei explizit:

(für diese sind auch Längen und Relativwinkel invariant)

Forderung: Skalarprodukt sei invariant:

Skalarprodukt ist invariant falls (7) ist erfüllt falls:

Welche Abbildungen lassen das Skalarprodukt invariant?

Unitäre und orthogonale Matrizen

Sei

oder [(2) ist Spezialfall von (1); wir betrachten somit zunächst (1), spezialisieren bei Bedarf später auf (2)]

Transposition:

mit

Kompaktversion des Arguments von Seite L5.6i:

Spaltenvektor: Reihenvektor:

1xn Matrix nx1 Matrix

Forderung (i.5):

Analog:

[wie (g.6)]

Für reelle Matrizen liefert (6):

Matrixmultiplikation

Verallgemeinerung: nicht-triviale Metrik [zur Kenntnisnahme]

Forderung: Skalarprodukt sei invariant:

Skalarprodukt ist invariant falls:

Transposition:vertausche Reihen/Spalten

linker/rechter Index

Sei explizit:

[also: unterscheide Indizes oben, unten!]

Für triviale Metrik, , reduziert dies zu (g.8)

Sei

"Verstecke" Metrik durch runter/hochsetzen der Indizes [zur Kenntnisnahme]

wobei wir die Metrik mittels runter/hochsetzen der Indizes von a " versteckt" haben:

"g zieht Index von oben nach unten" "g zieht Index von unten nach oben"

mit"g zieht Index von oben nach unten"

Skalarprodukt ist invariant falls:

Für triviale Metrik:

Inverse der Metrik:

"g zieht Index von unten nach oben"

Definition: Unitäre bzw. orthogonale Matrizen:

ist 'unitär' falls

In Komponenten ausgeschrieben, für unitäre Matrix, Gl. (1):

Spalte i v. D, Spalte j v. D

Fazit: die Spaltenvektoren einer unitären oder orthogonalen Matrix bilden eine orthonormierte Basis. (Analog für Zeilenvektoren.)

(äquivalent)

ist 'orthogonal' falls

(äquivalent)

Orthogonale Matrix (analog):

Matrixmultiplikation

Beispiele:

ist unitär:

ist orthogonal:

Unitäre bzw. orthogonale Matrizen bilden Gruppen unter Matrixmultiplikation

'Orthogonale Gruppe':

Gruppeneigenschaften (L1c) sind erfüllt: z.B. für unitäre Matrizen: (orthog. analog)

(i) Abgeschlossenheit:und unitär. Dann gilt dasselbe für , denn:Seien

(i) Assoziativität: gilt für Matrixmultiplikation [siehe (L5o.1)]

(ii) Neutrales Element: ist unitär, d(iii) Inverse: Sei und unitär. Dann gilt dasselbe für denn:

somit erfüllt (i.1).

'Unitäre Gruppe':

Für unitäre Matrizen:

Beweis:

Determinanten von unitären und orthogonalen Matrizen(L6i.2)

Für orthogonale Matrizen:

Beweis: analog zu (3), aber mit

Beispiel:

Beispiel:

Allgemein:

Orthogonale Matrizen mit bilden eine Untergruppe von O(n):

'spezielle orthogonale Gruppe':

SO(n) ist 'Untergruppe' von O(n), also geschlossen:

SO(3)-Matrizen beschreiben 'Drehungen' im Euklidischen Raum Matrizen in O(3), d.h. alle mit

Beispiel: Spiegelung in

'spezielle unitäre Gruppe':

Unitäre Matrizen mit bilden eine Untergruppe von U(n):

denn falls gilt auch:

Anwendung SU(2): QM-Theorie des Drehimpuls

, beinhalten auch Spiegelungen.

. Alle anderen

L7.3 Diagonalisierung v. symmetrischen und hermiteschen Matrizen

Def: ist 'symmetrisch', falls oder

Beispiel:

Eigenschaften von hermiteschen (also auch von symmetrischen reellen) Matrizen:- immer diagonalisierbar; - alle Eigenwerte sind reell;- Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal- diagonalisierende Ähnlichkeitstransformation ist unitär (bzw. orthogonal)

Def: ist 'hermitesch', falls

Beispiel:

Satz 1: Für hermitesche Matrizen sind alle EW reell.

EW-Gleichung: [hier keine ES !]

reell reell

auch reell !!

Satz 2: Für hermitesche Matrizen sind die EV zu verschiedenen EW orthogonal.

Sei mit

(L5.6d.4)

(L5.6d.7)

Beweis:

Beweis:

(L5.6d.4')

Sätze 1 & 2 gelten insbesondere auch für symmetrische, reelle Matrizen;für die folgt aus (1) & (3) auch, dass EV rein reell sind,

(L5.6d.4')(L5.6e.9)

(L5.6e.8)

Satz 3: Alle hermiteschen Matrizen sind diagonalisierbar(gilt insbesondere auch für alle reelle, symmetrischen Matrizen)

Sei eine Lösung des EW-Problems für A

Sei der Unterraum orthogonal zu

Sei dann ist auch

denn:

in diesem Unterraum,

Wähle als Basis für V:

sei Basis für V1

mit

In dieser Basis hat A die Form

denn wegen (4) werden die Unterräume

und

von A 'nicht verbunden'.mit Matrix-Elementen

(L5.6e.8)

wegen (c.4), mit

Warum? Allgemein gilt: falls eine Basis ist, und

dann hat A in dieser Basis die Darstellung

= Bild von

Aktuell:

also erste Spalte v. A

also haben alle anderen Spalten die Form

(4) & (6) (c.6)

Iteriere: sei

eine Lösung des EW-Problems für A

analoge

Argumentation

usw. usf. Auf diese Weise findet man eineBasis von n orthogonale EW, in der A diagonal ist:

Normiere EW liefert Orthonormalbasis v. EW !

Fazit: für hermitesche Matrizen können die n EV, so gewählt werden, dass sie eine Orthonormalbasis für bilden:

Eigenvektor j

Sei nun S die Matrix mit EV als Spaltenvektoren:

Dann ist S unitär, denn:

Folglich wird A durchunitäre Transf. diagonalisiert:

Analog: für reelle symmetrische Matrix sind EV rein reell, somit:

mit wird also durch orthogonale Transf. (Drehungen) diagonalisiert, :

Aber, es gilt auch:

Eigenvektor i

Eigenvektor j

(e.4) explizit:

Fazit: Diagonalisierung einer hermiteschen Matrix: sei ein Satzvon orthonormierten EV der Matrix mit zugehörigen EW .

wird durch folgende "Ähnlichkeitstransformation" "diagonalisiert":

EV als Spalten-vektoren

Analog für symmetrische, reelle Matrizen, mit

herm. konjugierte EV als Zeilenvektoren

Anmerkung: reelle symmetrische Matrizen und hermitesche Matrizen finden in der Physik sehr viele Anwendungen:

- Quantenmechanik: Observablen werden durch "hermitesche Operatoren", salopp gesagt, "hermitesche Matrizen", beschrieben. Eigenwerte des Hamilton-Operators (Energie-Operators) liefern die "Eigenenergien" eines Quantensystems.

- kleine Schwingungen um Gleichgewichtslage: EV liefern "Normalmoden", EW deren charakteristische Frequenzen.

EV als Spalten-vektoren

Transponierte EV als Zeilenvektoren

Beispiel:

EV 1: Check:

Eigenwerte:

Ch. Polynom:

EV 2: Check:

Ähnlichkeitstranformation:

Check:

Zusammenfassung: L5.6 Symmetrische und hermitesche Matrizen

Komplexes Skalarprodukt:

Reelles Skalarprodukt:

Komplexe Matrix: hermitesch Konjugierte:Transponierte

ist 'symmetrisch', falls

ist 'hermitesch', falls

Für symmetrische Matrizen gilt:

Für hermitesche Matrizen gilt: und

Zusammenfassung: L5.6 Orthogonale und unitäre Matrizen

ist 'orthogonal' falls (äquivalent)

Spalten (oder Zeilen-)vektoren einer unitären oder orthogonalen Matrix bilden eine orthonormierte Basis.

ist 'unitär' falls (äquivalent)

Reelles Skalarprodukt invariant:

Komplexes Skalarprodukt invariant:

'Orthogonale Gruppe':

'Unitäre Gruppe':

'spezielle orthogonale Gruppe':

'spezielle unitäre Gruppe':

Zusammenfassung: L7.2 Diagonalisierung v. symm. und hermiteschen Matrizen

ist 'symmetrisch', falls (oder )

ist 'hermitesch', falls

Für alle hermiteschen (insb. auch für alle reelle symmetrischen) Matrizen gilt:

- sie sind immer diagonalisierbar

- Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal:

- es lässt sich immer eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren finden

- alle Eigenwerte sind reell:

Für Matrizen ist hermitesche

reell symmetrische

unitär:

orthogonal: