Infinitesimalrechnung

19. Folgen

Eine (reelle, unendliche) Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, so dass jeder natürlichen Zahl n genau eine reelle Zahl an zugeordnet wird.

Eine (reelle, unendliche) Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, so dass jeder natürlichen Zahl n genau eine reelle Zahl an zugeordnet wird.

(n) = 1, 2, 3, ... (an) = a1, a2, a3, ...

Eine (reelle, unendliche) Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, so dass jeder natürlichen Zahl n genau eine reelle Zahl an zugeordnet wird.

(n) = 1, 2, 3, ... (an) = a1, a2, a3, ...

n-tes Glied der Folge: an

Eine (reelle, unendliche) Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, so dass jeder natürlichen Zahl n genau eine reelle Zahl an zugeordnet wird.

(n) = 1, 2, 3, ... (an) = a1, a2, a3, ...

n-tes Glied der Folge: an die ganze Folge: (an)

Eine (reelle, unendliche) Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen, so dass jeder natürlichen Zahl n genau eine reelle Zahl an zugeordnet wird.

(n) = 1, 2, 3, ... (an) = a1, a2, a3, ...

n-tes Glied der Folge: an die ganze Folge: (an) beschränkte Folge: n : S- an S+

Aufzählung Bildungsgesetz Rekursionsformel Anfangsglied

(an) = 2, 4, 6, 8, 10, ... an = 2n an = 2 + an-1 a1 = 2

(bn) = 8, 10, 12, 14, ... bn = 2(n + 3) bn = 2 + bn-1 b1 = 8

(cn) = 2, 4, 8, 16, 32, ... cn = 2n cn = 2cn-1 c1 = 2

(dn) = 1, 4, 9, 16, 25, ... dn = n2 dn = (1 + dn-1)2 d1 = 1

(en) = 9, 16, 25, 36, ... en = (n + 2)2 en = (1 + en-1)2 e1 = 9

(fn) = 1,1/2 ,1/3 ,1/4 , ... fn = 1/n 1/fn = 1 + 1/fn-1 f1 = 1

(gn) = -1, 1, -1, 1, -1, ... gn = (-1)n gn = -gn-1 g1 = -1

Ein Häufungspunkt einer Folge ist eine Zahl h, in deren

Umgebung (h - , h + )

für jedes > 0 unendlich viele Glieder der Folge liegen.

Ein Häufungspunkt einer Folge ist eine Zahl h, in deren

Umgebung (h - , h + )

für jedes > 0 unendlich viele Glieder der Folge liegen.

Satz von Bolzano und Weierstraß: Jede beschränkte unendliche Folge besitzt mindestens einen Häufungspunkt.

Besitzt eine beschränkte Folge nur einen Häufungspunkt, so heißt dieser Häufungspunkt Grenzwert der Folge.

Karl Weierstraß(1815 - 1897)

Bernard Bolzano(1781 - 1848)

Eine Folge (an) konvergiert gegen den endlichen Grenzwert a, wenn zu jedem > 0 eine Zahl n existiert, so dass für alle n n gilt: |an - a| <

Satz von Bolzano und Weierstraß: Jede beschränkte unendliche Folge besitzt mindestens einen Häufungspunkt.

Besitzt eine beschränkte Folge nur einen Häufungspunkt, so heißt dieser Häufungspunkt Grenzwert der Folge.

Karl Weierstraß(1815 - 1897)

Bernard Bolzano(1781 - 1848)

lim an = a oder kurz (an) a n

Satz. Jede Folge enthält eine monotone Teilfolge.

an heißt Spitze der Folge, wenn an am für m > n.

Eine Folge besitzt endlich viele oder unendlich viele Spitzen.

Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge.

Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)

Die Folge (an) konvergiert genau dann, wenn es zu jedem > 0 eine natürliche Zahl n gibt, so dass für m, n ≥ n gilt

|an – am| < (19.3)

(an) sei konvergent. |an – a| < /2 und |a – am| < /2.

> |an – a| + |a – am| ≥ |an – a + a – am| = |an – am|

() Nun gelte (19.3). (an) ist beschränkt und enthält (ank)

a.|an – ank

| < /2 und | ank – a| < /2

> |an – ank| + | ank

– a| ≥ |an – ank + ank

– a| = |an – a|

Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)

Eine konvergente Folge nennt man deshalb auch Cauchy-Folge.

In den reellen Zahlen besitzt jede Cauchy-Folge einen Grenzwert, in den rationalen Zahlen nicht.

Die Folge (an) konvergiert genau dann, wenn es zu jedem > 0 eine natürliche Zahl n gibt, so dass für m, n ≥ n gilt

|an – am| < (19.3)

x = k x2 = k 2x2 = x2 + k

Irrationale Zahlen lassen sich als Grenzwerte von Folgenrationaler Zahlen definieren.

x

kxx

22

n

nn a

kaa

221

Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)

x = k x2 = k 2x2 = x2 + k

Irrationale Zahlen lassen sich als Grenzwerte von Folgenrationaler Zahlen definieren.

x

kxx

22

n

nn a

kaa

221

x = 3 k 2x3 = x3 + k an+1 = )(

2

12n

na

ka

Übung: Man setze a1 = 1 und berechne die dritte Wurzel aus 7 auf vier zählende Stellen genau.

Satz. Seien (an) und (bn) konvergente Folgen und c , dann gilt: (c . an) = c . an

(an + bn) = ( an) + ( bn)

(an . bn) = ( an)( bn)

anc = ( an)c, falls an

c und ( an)c existieren

Satz. Seien (an) und (bn) konvergente Folgen und c , dann gilt: (c . an) = c . an

(an + bn) = ( an) + ( bn)

(an . bn) = ( an)( bn)

anc = ( an)c, falls an

c und ( an)c existieren

Satz. Eine Folge (an) konvergiert gegen den Grenzwert a, wenn die

Folge (an - a) eine Nullfolge ist.

Satz. Ist an bn für fast alle n, dann gilt an bn. Minorante Majorante

Übung: Man bestimme die Grenzwerte der unten definierten Folgen oder stelle ihre Divergenz fest (große Buchstaben bezeichnen positive reelle Zahlen).

an = n-1/2

bn = 2

2

nUn

WnVnU

.

2

)(

Kn

IKnnJ

n .

2

5

45

E

nD

Cnn

cn = nA

Bn

dn = )7(

)(4

8/54/3

nLn

MnKnL

+

232

6

)35( nnn

Ln

+

432

22

111

)11

1(1

WnVnUn

nnn

+ Gn H

Leonardo von Pisa (1170 - 1240)

Fibonacci