Inhalte - physik.uni-muenchen.de · Das Huygens'schePrinzip (C. Huygens 1690) 2 W.Zinth PhysikLMU 4.1 Qualtitative Behandlung der Beugung 4.1.1 Das Huygens'sche Prinzip (C. Huygens

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Beugung• Fresnel-Huygens‘sches Prinzip• Beugung an der Kante• Fresnelsche Zonen Platte• Poisson Fleck

E3-V13 – 13. Dez‘18

Prisma & Regenbogen

• Fresnel-Kirchhoff-Integral• Fraunhofer (Fernfeld) Näherung• Babinetsches Prinzip

Fresnel-Kirchhoff Theorie der Beugung

Grenzen der geometrischen Optik

„Präparation“ eines Strahls mittels Blende

Strahlenoptik -> geometrischer

Schattenwurf

Es gibt keinen idealen Lichtstrahl !!!

Experiment zeigt:

Das Huygens'sche Prinzip (C. Huygens 1690) .

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4.1 Qualtitative Behandlung der Beugung 4.1.1 Das Huygens'sche Prinzip (C. Huygens 1690) Huygens'sche Prinzip: • jeder Punkt einer primären Wellenfront ist Quelle von sekundären

Elementarwellen • Einhüllende dieser Elementarwellen bildet die neue Wellenfront Was geschieht in Randbereichen? • Huygens'sche Prinzip gibt keine Aussage Fresnel - Huygens'sche Prinzip: Einhüllende der Elementarwellen ersetzt: durch Rechenvorschrift Das Lichtfeld an einem Punkt P wird gebildet durch Summation nach Amplitude und Phase über alle von den Elementarwellen Exakter Term für Einfluß des "Ablenkwinkels" später von Kirchhoff eingeführt Da genaue Form dieses Winkelfaktors für viele praktische Probleme unwichtig, gibt die Fresnel'sche Beschreibung eine Vielzahl von Beugungsphänomenen korrekt wie-der Dies führte Anfang des 19. Jahrhunderts dazu, dass die Wellennatur des Lich-tes allgemein akzeptiert wurde.

Die Fresnel'sche Beugung .

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4.1.2 Die Fresnel'sche Beugung Beugungsergebnisse abhängig von Details der experimentellen Beobachtung: Am einfachsten Fraunhoferbeugung

• Unendlich große Abstände zwischen Lichtquelle (punktförmig), Beugungsobjekt und Beobachtungsebene

• mathematisch behandelt über Fouriertransformation

Fresnelsche Beugung:

• Endliche Abstände zwischen Beugungsobjekt und Beobachtungsebene

• Komplexe mathematische Behandlung, oft nicht geschlossen lösbar Wichtige Aspekte mit der qualitativen Darstellung mit Hilfe der Fresnel'schen Zonen beschreibbar:

Betrachtung der Anteile konstruktiver und destruktiver Interferenz.

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Beispiel: Beugung bei senkrechter Beleuchtung einer absorbierenden Halbebene Stark unterschiedliche Wege der ein-zelnen Elementarwellen bis zum Be-obachtungspunkt! Phasen müssen berücksichtigt werden! Vorgehen:

Beleuchtung mit ebenen Wellen: Lichtquelle liege im Unendlichen Eindimensionales Problem, nur die x-Koordinate berücksichtigt; Beobachtungspunkt P bei R = (0, 0, R) Auftrennen des Beugungsobjektes, der Beugungsebene in Zonen, die jeweils positiv bzw. negativ zu UP beitragen

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Zunächst: Beiträge ohne Kante

Phasenfaktor bestimmende Größe r wird r = x2 + R2 Für x = 0 ist der Abstand r zum Beobachtungspunkt am kleinsten, r = R r wächst langsam mit x Falls r kleiner ist als R + λ/2: konstruktiver (nicht gegenphasig) Beitrag zum Feld, das vom Ort x = 0 emittiert wurde (roter Bereich) Für R + λ/2 < r < R + λ ist der Betrag negativ, Bereich muss vom Signal abge-zogen werden (schwarzer Bereich). Für R + λ< x < R + 3λ/2 Beitrag wieder positiv (rot) usw. (Für korrekte Rechnung müsste nicht nur addiert bzw. subtrahiert werden, sondern die Beiträge amplitudenrichtig (Betrag und Phase) summiert werden! (siehe unten) Definition: Fresnelsche Zone Zi:

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Bereich der Blendenöffnung mit festem Vorzeichen Niedrige Fresnel-Zonenhaben haben relativ große Breiten - Für große | x | Werte werden die einzelnen Zonen jedoch immer schmäler und ähnlicher: benachbarte Zonen heben sich hier auf Gebeugtes Feld (Intensität I0 ∝ U2P0) am Beobachtungspunkt P praktisch vollständig durch Fresnelzonen mit niedriger Nummer i bestimmt

Mit Blende: Abschirmende Blende (Halbebene) beginnend von großen x0 Werten her über die Blendenebene geschoben: Für große x 0 Werte praktisch keine Änderungen der Intensität am Beobach-tungspunkt. Wenn zunehmend Fresnelzonen niedriger Ordnung abgedeckt werden Zu- bzw. Abnahmen der Intensität → Oszillation der Intensität x o = 0: genau die Hälfte aller Beiträge zum gebeugten Feld abgedeckt: Intensität I0/4 (WARUM??) Weiteres Verschieben der Blende: kontinuierliches Verschwinden der Intensität (bei korrekter Rechnung)

Beugungsbild einer Kante

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Inte

nsitä

t

1.5

1.0

0.5

0.100.050.00-0.05Kantenlage [mm]

PoissonscherFleck

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Fresnel Beugung an Kreisblenden (Geometrie: HeNe-Laser 632,8 nm, Blenden-durchmesser 4 - 1 mm, Beobachtung 1m hinter Blende) Poissonscher Fleck: Hinter einer Kreisscheibe findet man (unabhängig von Scheibendurchmesser und Abstand) einen hellen Fleck im Zentrum des Schattens Geschichte ist kurios: Poisson (1781-1840) wollte 1818 (Wettbewerbsbeitrag von Fresnel bei der Französischen Akademie der Wissenschaften) die Vorhersage dieses für ihn sinnlosen Phänomens zur Widerlegung der Wellentheorie des Lichtes (Fres-nel) verwenden. Fleck aber sofort demonstriert von Arago (ursprünglich bereits 1723 von Maraldi beobachtet)

Fresnelsche Zonenplatten.

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Wenn Sie Laser-Pointer und Kugellagerkugel (Durchmesser ca. 2 mm) und ca. 6 m Platz haben, können Sie diesen Fleck selber sehen! (Hinweis: kleben sie die Kugel auf Glasplatte und beleuchten Sie durch die Platte) Zonenlinsen: Bei einem kreissymmetrischen Problem sind die Zonen Kreisscheibe und Ringe mit unterschiedlichem Radius und abnehmender Breite. Frage:

Was beobachten Sie wenn Sie jeweils gerade oder ungera-de Fresnel-Zonen ausblenden (schwärzen) und dieses Ob-jekt (Fresnelsche Zonenplatte) mit parallelem Licht beleuch-ten? Das Licht wird fokussiert und defokussiert! Wie ändern Sie die Brennweite dieser Linse? (Anwendung: Röntgenlinsen)

Beachten Sie: Eine Zonenlinse ist keine Fresnellinse!

Die Fresnel-Kirchhoffsche Beugungstheorie .

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Vereinfachende Fresnel-Kirchhoff'sche Beugungstheorie: (mathematisch korrekte Behandlung in der theoretischen Elektrodynamik) • Anstelle des vektoriellen Feldes nur ein skalares "Licht"-Feld U • Ungestörte Ausbreitung von der Quelle zum beugenden Objekt • An der Blendenöffnung Feld durch

die ungestörten Werte von U be-schrieben

• Erst hinter der Blende wird Einfluß des Objektes (Blende) berücksichtigt.

• Rückwirkung des gebeugten Lichtes auf die Feldverteilung vor dem Objekt und in der Blendenöffnung Ω ver-nachlässigt

Motivation: Beugungserscheinungen sind in der Regel sehr lichtschwach; deshalb deren Rückwirkung auf die Quelle zu vernachlässigen

Vereinfachende Annahmen:



Kirchhoff'sche Theorie berechnet aus der vorgegebenen Feldverteilung in der Blen-denöffnung (Transmissionsfunktion Ω(ξ, η), die komplex sein kann, um Amplituden und Phasenänderungen zu berücksichtigen) das Feld auf der rechten Seite der Blen-de:

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Kugelwellen (Elementarwellen EK)) bei der Ausbreitung von jedem Punkt der Blen-

denebene zum Beobachtungspunkt, EK ∝ exp(ikr)/r führen zur Feldstärke U(R→ ) am

Beobachtungsort P (Koordinaten R→ = (x, y, z)):

(Huygenssche Elementarwellen verwendet) Proportionalitätskonstante ist i/λ. Bei Beleuchtung der Blendenöffnung mit Kugelwellen vom Quell-Punkt Q am Ort R0 = ( xo, yo, zo) erhält man: U0(ξ,η) = e0/r0 exp(ikr0)

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Weiteres Vorgehen und Bezeichnungen:

• Beleuchtende Punktlichtquelle Q am Ort R0 = ( xo, yo, zo) erzeugt Feldstärke U0

• Vektor von Q zum Punkt (ξ, η) in der Blendenöffnung bezeichnen wir dabei mit - r→ 0

• r→ : Vektor vom Punkt (ξ, η) zum Beobachtungspunkt P (Koordinaten R

→ = (x, y, z))

• Winkel χ bzw. χ0 vernachlässigt!

• Koordinatenursprung liegt willkürlich in die Blendenöffnung

• ξ und η sind die Koordinaten in der Blendenebene, definiert durch z = 0 Eigenschaften des Feld am Punkt P (Integration über offenen Teil der Blende) durch drei wesentliche Faktoren bestimmt:

1. das einfallende Feld U0(ξ,η) an der Blendenöffnung, 2. die Kugelwelle, die sich vom Ort (ξ, η) her ausbreitet, 3. die Blendenöffnung Ω(ξ, η) (Form, Transmission).

Fresnel-KirchhoffscheIntegral

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