Axiomensysteme für dieTheorie der Nebenläu�gkeitDiplomarbeitUniversität HamburgFachbereich InformatikArbeitsbereich Theoretische Grundlagen der Informatik19. Februar 1996

Olaf KummerRotdornstieg 2425469 Halstenbekkummer@informatik.uni-hamburg.deBetreuer: Prof. Dr. Rüdiger ValkZweitbetreuer: Dr. Dirk Hauschildt

Inhaltsverzeichnis1 Einleitung 72 Grundlagen der Theorie der Nebenläu�gkeit 112.1 Vereinbarungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.1 Typographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2 Formale Gliederung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.3 Abhängigkeiten von Sätzen und Axiomen . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.4 Mathematische Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Grundideen der Theorie der Nebenläu�gkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.1 Die Hauptrelationen co und li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2 Nebenläu�gkeit und Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.1 Basisaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.2 Triviale Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.3 Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.4 Irreduzibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.5 Änderungs- und Nachbarschaftsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.6 Stellen und Transitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.7 Lokale Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.8 Konsistente Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.9 Linien und Schnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Beispiele und Gegenbeispiele 353.1 Konstruktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Unendliche Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.1 Die unendliche Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.2 Standardgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.3 Konstruktion von Beispielen aus Halbordnungen . . . . . . . . . . . . 403.2.4 Konstruierte Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3 Endliche Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3.1 N-Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.2 4-Jahreszeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.3 6-Jahreszeiten und zwei Stellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3.4 Zykloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3.5 Zykloid 4422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3.6 Fünfeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3.7 Kleinsche Flasche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 INHALTSVERZEICHNIS3.3.8 Anti-LKO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3.9 Anti-EKO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604 Spezielle Axiome 634.1 Varianten der Basisaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.1.1 Irreduzibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.1.2 Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.1.3 Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2 Konvention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.3 Nachbarschaftskohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.3.1 Linienkohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.3.2 Episodenkohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.3.3 Weitere Abhängigkeiten zwischen den Kohärenzaxiomen . . . . . . . . 694.4 Endpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4.1 . . . gibt es nicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4.2 Transitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.4.3 Kleinste Modelle der Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.4.4 Keine Änderung einer Änderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.5 Endlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.6 Orientierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.6.1 Globale und lokale Orientierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.6.2 Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.6.3 Eindeutigkeit der Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.6.4 Einfache Zyklen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.6.5 Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.6.6 Ketten, Zyklen und Linien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.6.7 Orientierbarkeit azyklischer Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.7 Länge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.7.1 Axiome der Länge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.7.2 Orientierbarkeit langer Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.7.3 Eindeutigkeit der Fallklasse langer Strukturen . . . . . . . . . . . . . . 995 Axiomensysteme 1035.1 Nicht ordnungsbasierte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.1.1 Minimalsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.1.2 Episodenkohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.1.3 Orientierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.1.4 Länge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.1.5 System von Stehr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.1.6 System von Stehr mit zusätzlichen Annahmen . . . . . . . . . . . . . . 1055.1.7 Nebenläu�gkeit und Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.2 Ordnungsbasierte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.2.1 System von Best und Merceron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.2.2 Natürliche Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.2.3 Linienkohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.2.4 Zeitkegel schneiden sich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.2.5 Induzierte Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.2.6 Kausalordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

INHALTSVERZEICHNIS 55.2.7 D-Stetigkeit und Episodenendlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246 Schluÿ 129A Axiomenverzeichnis 133B Bibliographie 135C Computeranalyse der Beispiele 137C.1 N-Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137C.2 4-Jahreszeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138C.3 6-Jahreszeiten und 2 Stellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138C.4 Zykloid 2222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139C.5 Zykloid 3223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139C.6 Zykloid 2233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141C.7 Zykloid 3333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142C.8 Zykloid 4422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144C.9 Fünfeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145C.10 Kleinsche Flasche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145C.11 Anti-LKO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146C.12 Anti-EKO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147D Darstellungsverzeichnis 151E Elementare Objekte und Axiome 153F Formalia 155

Kapitel 1EinleitungDrei Brüder wohnen in einem Haus,die sehen wahrhaftig verschieden aus,doch willst du sie unterscheiden,gleicht jeder den anderen beiden.Der erste ist nicht da, er kommt erst nach Haus.Der zweite ist nicht da, er ging schon hinaus.Nur der dritte ist da, der Kleinste der drei,denn ohne ihn gäb's nicht die anderen zwei.Und doch gibt's den dritten, um den es sich handelt,nur weil sich der erst' in den zweiten verwandelt. Michael Ende, in �Momo�VergangenheitUm zu erklären, was Raum und Zeit sei, wurden mehrere verschiedene Wege eingeschlagen.Einer davon, und nur er soll uns jetzt interessieren, besteht darin, in einem axiomatischenSystem die zahllosen Begri�e, die es zum Thema �Zeit� gibt, genauer zu de�nieren undmathematisch zu beschreiben.Prof. Carl Adam Petri beschäftigte sich mit dem Thema, eine physikalisch begründbareTheorie über Systeme, Signale, Prozesse, Raum und Zeit zu entwerfen, weil er ho�te, dadurchein Fundament für die Netztheorie zu legen. Der Bezug zur Physik � insbesondere zurRelativitätstheorie � sollte dabei helfen, einen Bezug von der Netztheorie zur realen Weltund damit letztlich zur Anwendung in der Praxis zu �nden.Den Grundstein zu seiner Theorie der Nebenläu�gkeit, auf Englisch als concurrencytheory bezeichnet, legte Petri in seiner Arbeit [Pet76], wo er für B/E-Systeme die Relationco als Relation der Nebenläu�gkeit einführte. Während der Fortentwicklung der Theorietrat diese neue Relation zusammen mit ihrem Komplement, der Relation li, immer mehr inden Vordergrund und wurde zum eigentlichen Kern der Theorie.Es wurden nach und nach von Petri selbst und auch von seinen Mitarbeitern mehrereAxiomensysteme zur Theorie der Nebenläu�gkeit analysiert und verö�entlicht. Auch wennsich die einzelnen Systeme zum Teil deutlich voneinander unterschieden, so enthielten siedoch einen gemeinsamen Kern, der schlieÿlich in [Mül93] herausgearbeitet wurde.In der letzten Zeit wurden neue Ergebnisse zur Theorie der Relationen co und li rar,

8 KAPITEL 1. EINLEITUNGes gab jedoch mit [Ste93] eine umfassende Darstellung, in der ein enger Bezug zwischender Theorie der Nebenläu�gkeit und der Theorie der Petrinetze gescha�en wurde. Der Wegdorthin führte jedoch über fünf zusätzliche Annahmen, die zunächst nicht bewiesen werdenkonnten und bis zu ihrem erho�ten Beweis den Status zusätzlicher Axiome erhalten muÿten.GegenwartIn Anbetracht der historischen Entwicklung und des aktuellen Standes der Theorie der Ne-benläu�gkeit bieten sich zwei Bereiche besonders für weitere Forschungen an.Da wären zum einen der philosophisch-physikalische Ansatz, für den man sich fragenmüÿte, welche der bisher aufgestellten Axiome wirklich durch die Physik gerechtfertigt wer-den und welche der physikalischen Prinzipien sich noch durch Axiome in der Theorie derNebenläu�gkeit wiedergeben lassen. Des weiteren sollten Vorgänge der realen Welt mit denBegri�en der Theorie beschrieben werden, um so die Übereinstimmung mit der Realität zutesten.Zum anderen könnte man versuchen, die formal-theoretische Seite der Axiome der Ne-benläu�gkeit genauer zu beleuchten, indem in der Theorie neue Sätze bewiesen, neue Zu-sammenhänge aufgedeckt und alte Vermutungen überprüft werden. Auch hier würden Bei-spielstrukturen entwickelt werden, allerdings aus einem anderen Grund, nämlich um Ver-mutungen zu widerlegen, die Mächtigkeit der verschiedenen Axiomensysteme gegeneinanderabzuwägen und Unabhängigkeiten zwischen den Axiome zu beweisen.Wir werden in der vorliegenden Arbeit den zweiten Weg wählen, und dies hat mehrereGründe. Zunächst sind die naturwissenschaftlichen Grundlagen der Theorie der Neben-läu�gkeit nach wie vor unklar, es besteht bei den wenigsten Axiomen Einigkeit über ihreBedeutung für die Praxis. Der Versuch, eine Sammlung guter Axiome herzustellen würdeunweigerlich wieder in ein neues und zu allen vorigen inkompatibles Axiomensystem führen,denn ein Argument, das das neue System gegenüber allen anderen herausheben würde, istweder bekannt noch in Sicht.Die rein formale Analyse von Abhängigkeiten und Unabhängigkeiten von Axiomen kannuns jedoch helfen, zwischen den vielen Systemen zu vermitteln und sie technisch in eineneinheitlichen Rahmen zu stellen. Es wird ermöglicht, die Systeme zu minimieren und viel-leicht hier und da eine Äquivalenz zu beweisen und so die Zahl der möglichen Systeme zubeschränken.Indem neue Sätze bewiesen werden und alte Vermutungen bestätigt oder umgestoÿenwerden, wird es um so einfacher, die physikalische Bedeutung der Theorie zu verstehen, dawir versuchen können, die Sätze und nicht mehr nur die Axiome zu interpretieren.Letztlich ist die Theorie auch ein guter Ansatz, um Schwachstellen in den Axiomenzu �nden. Wenn sich zeigt, daÿ einige Axiome zu streng oder gar inkonsistent sind, dannmüssen wir sie fallenlassen. Es ist auch zu erwarten, daÿ formal konstruierte Gegenbeispiele,die die Grenzen der Theorie ausloten sollen, viel eher die Probleme in der Theorie aufdeckenals Beispiele aus der Praxis, die vielleicht gezielt auf gute Eigenschaften hin konstruiert sind.ZukunftDamit ist der Inhalt der folgenden Kapitel schon fast klar. Im nächsten Kapitel �nden sichdie grundlegenden Axiome und De�nitionen, wie Petri sie eingeführt hat. Es wird, wie obenschon angedeutet, nicht versucht, die Motivation der Axiome eingehend zu kritisieren. Es

9werden jedoch soviel Anregungen zum physikalischen Hintergrund gegeben, wie es nötig ist,um eine gewisse Intuition für die Theorie zu entwickeln.Nachdem die Theorie auf praktische Anwendung hin ausgelegt ist, muÿ es verwundern,daÿ bis jetzt nur wenige verschiedene Modelle der Theorie untersucht wurden. Daher wurdenneue Strukturen entwickelt und auf ihre Tauglichkeit als Modelle überprüft. In Kapitel 3sind sie zusammen mit den bereits bekannten Modellen dargestellt. Die bei der Entwicklungverwendeten Konstruktionen werden angegeben und erlauben es so, leicht weitere Modellezu entwickeln.Die Strukturen sind jedoch nicht immer so gestaltet, wie man dies auf Grund der bishe-rigen Modelle erwartet hätte. In einigen Fällen ergeben sich sogar sehr ungünstige Eigen-schaften, so daÿ sich jetzt die Frage stellt, ob die neuen Strukturen als Modelle der Theorieweiter zugelassen werden sollen oder ob sie durch Axiome ausgeschlossen werden müssen.Kapitel 4 enthält Ansätze, wie solche Axiome aussehen könnten. Mit den neuen Axiomenwerden dann Aussagen bewiesen, die bisher nur vermutet werden konnten. Der Schwerpunktder Analyse liegt dabei auf den formalen Bezügen zwischen den Axiomen und nicht auch denphilosophischen Grundlagen. Diese werden nur für den in dieser Arbeit erstmals eingeführtenBegri� einer Episode genannt, der mit Hilfe der Relativitätstheorie motiviert wird. Oftwerden die neuen Axiome auch nur als technische Hilfsmittel angesehen, die helfen, einenBeweis zu führen. Ob sich hinter diesen Axiomen eine physikalische Bedeutung verbirgt, istweitgehend unklar.In Kapitel 5 werden schlieÿlich einige alte und neue Axiomensysteme auf ihre Mächtigkeithin analysiert. Dabei werden diverse, bereits in Kapitel 4 eingeführte Sätze benutzt, um fürjedes System herauszu�nden, welche Axiome zusätzlich zu den explizit angenommenen nocherfüllt sind, weil sie durch die Kombination mehrerer anderer Axiome erzwungen werden.Durch Anwendung dieser Technik sollte es möglich sein, fast alle Beziehungen zwischen denbisherigen Systemen zu klären, auch für Systeme, die hier nicht explizit untersucht werden.Im letzten Kapitel erfolgt eine Auswertung der Ergebnisse, und es werden Ansätze fürzukünftige Untersuchungen genannt.Der Leser, dem die Theorie der Nebenläu�gkeit bereits bekannt ist, kann nach der Erläu-terung der Notation in Abschnitt 2.1 den Rest dieses Kapitels überspringen und stattdessenden Anhang E konsultieren, um sich über die exakte Formulierung der einzelnen Axiome zuinformieren.Die Beispiele und Gegenbeispiele in Kapitel 3 sind auch für das weitere Verständnis desTextes nicht unbedingt erforderlich, ich möchte sie aber dennoch jedem ans Herz legen, da siehelfen, die Probleme zu nachzuvollziehen, die zu der Einführung neuer Axiome in Kapitel 4geführt haben.Die letzten Kapitel 4 und 5 sollten auf jeden Fall gelesen werden, obwohl die Beweisenicht obligatorisch sind und zumindest beim ersten Lesen übersprungen werden können.

Kapitel 2Grundlagen der Theorie derNebenläu�gkeit�Ich werd dir alles erklären, aber wir brauchen dazu etwas Zeit.��Zeit�, sagte Arthur schwach, �gehört im Augenblick nicht zu meinen Problemen.�Douglas Adams, in �Per Anhalter durch die Galaxis�Für eine Einführung in die Theorie der Nebenläu�gkeit gibt es viele mögliche Quellen, allenvoran die Originalartikel von Petri, als da sind [Pet76], [Pet82] etc. In [Mül93] werden dieseArtikel gegenübergestellt, und es wird ein essentieller Kern von Axiomen herausgearbeitet,die in allen Arbeiten Petris vorkommen, des weiteren wird ein Vergleich mit früheren Ar-beiten Carnaps und Reichenbachs vorgenommen. Eine ausführliche theoretische Grundlagescha�t [Ste93], wobei explizit auf die Verwendung von Halbordnungen zu Fundierung derTheorie verzichtet wird.Warum dann noch eine Einführung? Zunächst sind die meisten der Artikel Petris nichtohne weiteres verfügbar, insbesondere die neuesten Ideen wurden nur in Seminaren vorge-stellt, zu denen keine Verö�entlichungen existieren. Durch die kontinuierliche Entwicklungder Theorie entsprechen dagegen die verfügbaren älteren Artikel nicht mehr dem aktuellenStand, auch im Formalismus. Der zweite Grund für eine Einführung ist, dem Leser das Ver-folgen der Argumentationsketten zu vereinfachen, indem er nicht ständig auf andere Bücherverwiesen werden muÿ.Bei der Darstellung des älteren Materials werden nur kurze Beweise direkt angegeben,bei längeren Argumentationsketten wird auf die Literatur verwiesen. Es zeigt sich jedoch,daÿ viele Sätze dieses Kapitels in der Tat einen kurzen Beweis haben.2.1 VereinbarungenZunächst werden wir die mathematische Notation und die grobe Strukturierung der Axiomeund Sätze festlegen.2.1.1 TypographieEs wird versucht, einige Regeln im mathematischen Schriftsatz einzuhalten, jedoch verblei-ben in der Notation auf Grund der historischen Gewohnheiten einige Inkonsistenzen. Diese

12 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER THEORIE DER NEBENLÄUFIGKEITmüssen jedoch akzeptiert werden, um eine Vergleichbarkeit mit anderen Arbeiten zu er-möglichen. Aus dem gleichen Grund verwende ich für die mathematischen Bezeichnungengelegentlich englische Worte: Sie wurden von Petri so vorgeschlagen, und eine Änderung istnicht praktikabel.� Elemente einer Menge werden mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet, zumBeispiel a oder x.� Ganze Zahlen werden ebenfalls durch kleine Buchstaben angegeben, jedoch werdenbevorzugt die Buchstaben i, j bis n genommen.� Mengen von Elementen kennzeichnen wir durch groÿe lateinische Buchstaben, also Abis Z.� Mengen von Mengen verstecken sich hinter groÿgeschriebenen mehrbuchstabigen Wor-ten, die nicht kursiv gesetzt sind. x 2 C 2 Cuts.� Relationen werden bevorzugt als kleingeschriebene mehrbuchstabige Worte gekenn-zeichnet, also co, li oder im. Ausnahmen bilden beispielsweise die Relationen P undF .� Prädikaten werden groÿgeschriebene mehrbuchstabige Worte zugeordnet, wie zum Bei-spiel Forward(x).� Ketten erhalten griechische Kleinbuchstaben als Identi�kationsmerkmal. Elementevon Ketten werden als Kleinbuchstaben mit Index geschrieben, etwa � = (a0; : : : ; an).Objekte, die unter keine diese Kategorien fallen, werden sinnvoll � aber ohne spezielleRegeln � eingeordnet.2.1.2 Formale GliederungDie Numerierung von De�nitionen und Sätzen erfolgt gemeinsam, nach Kapiteln gegliedert.De�nition 2.1 bezeichnet also die erste De�nition im zweiten Kapitel.Da Axiome wesentlich häu�ger referenziert werden und eine Nummer als Identi�kati-onsmerkmal wenig aussagekräftig ist, habe ich ein dreibuchstabiges Kürzel für jedes Axiomgewählt, so daÿ das Axiom der Disjunktheit beispielsweise mit Axiom DIS bezeichnet wird.Die Kürzel sind leider auch nicht einfacher als eine Nummer, wenn man gerade erstbeginnt, sich mit der Theorie der Nebenläu�gkeit zu beschäftigen. Nach einer gewissenEingewöhnungszeit helfen sie jedoch, schnell Bezüge herzustellen.Um die Arbeit mit den Axiomen zu vereinfachen, sind alle Kürzel mit der dazugehörigenLangbezeichnung für jedes Axiom in Anhang A ab Seite 133 in alphabetischer Reihenfolgezusammengestellt.2.1.3 Abhängigkeiten von Sätzen und AxiomenEines der Ziele dieser Arbeit ist es, die Abhängigkeiten zwischen den Axiomen klar heraustre-ten zu lassen. Dazu ist es notwendig, bei jedem Beweis Buch zu führen, welche Axiome zurAbleitung des Satzes notwendig waren. Geschieht dies nicht, dann können später bei derZusammenstellung der Axiomensysteme solche Sätze nicht verwendet werden, da nicht ge-währleistet ist, daÿ alle nötigen Axiome im aktuellen System auch wirklich gelten.In den Sätzen benutze ich daher eine spezielle Notation, die die direkt oder indirektverwendeten Axiome auflistet. Dazu ein Beispiel, bei dem mehr auf die Form als auf denInhalt geachtet werden sollte.

2.1. VEREINBARUNGEN 13Satz 2.0 DIS co�1 \ idX = ?.Beweis : : : �Intuitiv sollte man sich dabei den Kasten DIS als einen Baustein vorstellen, der alsFundament für den Satz dient: Ohne das Axiom DIS als Baustein würde der Beweis zu-sammenbrechen. Wenn mehrere Bausteine, sprich Axiome, angegeben sind, dann müssenalle erfüllt sein, um den Beweis nutzen zu können. Formal kann man den Ausdruck als eineImplikation lesen. Wir ersetzen dazu grundsätzlichDIS Aussagedurch(co\ li = li\ idX = co \ idX = ?)) (Aussage)wobei die Prämisse der Implikation der Text des entsprechenden Axioms ist. Mehrere Bau-steine für einen Satz werden genauso gehandhabt, so wird zum BeispielDIS SYM Aussagezu (co\ idX = ?)) ((co�1 = co)) (Aussage))Obwohl ich versucht habe, jeden Beweis mit einer möglichst geringen Anzahl an Axiomenzu führen, darf diese Schreibweise nicht zu der Vermutung verleiten, daÿ immer alle angege-benen Axiome für einen Satz notwendig sind. Stets wird nur eine hinreichende Kombinationangegeben, die in manchen Fällen durchaus noch verkleinert werden kann.2.1.4 Mathematische NotationWährend der gesamten Arbeit werden logische Ausdrücke und Quantoren im Sinne derkonventionellen zweiwertigen Logik benutzt. Die Theorie der Mengen wird ebenfalls oh-ne weitere Kritik angenommen, insbesondere kommt das Auswahlaxiom zur Anwendung,obwohl konstruktive Beweise bevorzugt werden.Die meisten Mengenoperatoren und -ausdrücke werden vorausgesetzt, es sollen jedochdie Symbole de�niert werden, deren Bedeutung uneinheitlich ist.De�nition 2.1 [Teilmenge]M1 �M2 :, 8x 2M1 : x 2M2. �De�nition 2.2 [Echte Teilmenge]M1 M2 :, M1 �M2 ^M1 6= M2. �De�nition 2.3 [Kartesisches Produkt]M1�M2 := f(x; y) j x 2M1 ^ y 2M2g �De�nition 2.4 [Mengendi�erenz]M1 �M2 := fx 2M1 j x =2M2g. �Weiterhin werden die natürlichen und ganzen Zahlen verwendet. Die üblichen Operatio-nen wie + und � werden hier vorausgesetzt, ebenso die Ordnung <. Nur die Modulodivisionwird wegen ihrer seltenen Verwendung neu de�niert.De�nition 2.5 [Natürliche Zahlen]N := f0; 1; 2; 3; : : :g. �De�nition 2.6 [Ganze Zahlen]Z := f: : : ;�2;�1; 0; 1; 2; : : :g. �De�nition 2.7 [Modulodivision]a modm := minfi 2 N j 9j 2 Z : a = i+ jmg. �

14 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER THEORIE DER NEBENLÄUFIGKEITDe�nition 2.8 [Endlichkeit]Fin(M) :, jM j 2 N. �Intensiv greift diese Arbeit auf die binären Relationen zurück, die als Menge von Paarendargestellt werden.De�nition 2.9 [In�xnotation]x rel y :, (x; y) 2 rel. �De�nition 2.10 [Vor- und Nachbereich]dom(rel) := fx j 9y : x rel yg.ran (rel) := fy j 9x : x rel yg. �De�nition 2.11 [Inverse Relation]rel�1 := f(y; x) j x rel yg. �De�nition 2.12 [Re�exive Ergänzung]relM := rel [ idM . �De�nition 2.13 [Symmetrische Ergänzung]rel$ := rel [ rel�1. �De�nition 2.14 [Relationenprodukt]rel1 � rel2 := f(x; z) j 9y : x rel1 y ^ y rel2 zg. �De�nition 2.15 [Transitive Hülle]rel1 = rel.reli = reli�1 � rel für i > 1.rel+ = Si�1 reli.rel�M = rel+ [ idM . �De�nition 2.16 [Restriktion]reljM := rel \M�M . �De�nition 2.17 [Abbildung]rel[x] := fy j x rel yg.rel[M ] := fy j 9x 2M : x rel yg. �De�nition 2.18 [Kongruenz]frel := f(x; y) j rel[x] = rel[y]g. �Wir tre�en nun noch Vereinbarungen für eine spezielle Klasse von Relationen: die Ord-nungen.De�nition 2.19 [Notation zu Ordnungen]Sei < eine Halbordnung, dann legen wir > := (<)�1, l := (<)�(<�<), m := (>)�(>�>),x� = fy j xl yg und �x = fy j y l xg als Kurznotation fest.Derselbe Zusammenhang gilt für die Symbole �, �, ��, �� und � entsprechend. �Kliquen sind Mengen, deren sämtliche Elemente paarweise in einer gegebenen Relationstehen.De�nition 2.20 [Kliquen]Sei rel � X�X , dann ist Kliquen(rel) := fM � X j 8x; y 2M : x rel yg. �De�nition 2.21 [Kens]Sei rel � X�X , dann ist Kens(rel) := fM 2 Kliquen(rel) j :9M 0 2 Kliquen(rel) : M M 0g. �Für die Zwecke dieser Arbeit ist der Begri� einer Kette sinnvoll. Wir verstehen untereiner rel-Kette eine Folge von Elemente, wobei jedes Element in der Relation rel zu seinem

2.2. GRUNDIDEEN DER THEORIE DER NEBENLÄUFIGKEIT 15Nachfolger steht. Dieser Begri� wird während der gesamten Arbeit informal verwendet, daeine exaktere Darstellung nicht zu einem besseren Verständnis geführt hätte.De�nition 2.22 [Ketten]Sei rel � X�X , dann ist Ketten(rel) := f(a0; a1; : : : ; an) j 8i 2 f0; : : : ; n � 1g : ai relai+1g. �De�nition 2.23 [Unendliche Ketten]Sei rel � X�X , dann ist !-Ketten(rel) := f(a0; a1; : : :) j 8i 2 N : ai rel ai+1g. �De�nition 2.24 [Beidseitig unendliche Ketten]Sei rel � X�X , dann ist !!-Ketten(rel) := f(: : : ; a�1; a0; a1; : : :) j 8i 2 Z : ai rel ai+1g. �De�nition 2.25 [Zyklen]Sei rel � X�X , dann ist Zyklen(rel) := f(a0; a1; : : : ; an) j a0 = an ^ 8i 2 f0; : : : ; n� 1g :ai rel ai+1g. �De�nition 2.26 [Menge der Kettenelemente]Sei � = (a0; a1; : : : ; an), dann ist Set(�) := fa0; a1; : : : ; ang. �Für unendliche Ketten ist die Funktion Set entsprechend anzuwenden. Besonders inter-essieren wir uns für einfache Ketten, das sind solche, die keine Wiederholungen enthalten.De�nition 2.27 [Einfachheit]Sei � = (a0; a1; : : : ; an) eine Kette, dann ist Einf (�) :, 8i; j 2 f0; : : : ; ng : i 6= j ) ai 6=aj . �Der Fall unendlicher Ketten ist klar. Bei Zyklen ist zwangsweise das erste und das letzteElement gleich, also ist obige De�nition nicht sinnvoll.De�nition 2.28 [Einfachheit von Zyklen]Sei � = (a0; a1; : : : ; an) ein Zyklus, dann ist ZykEinf (�) :, 8i; j 2 f0; : : : ; n� 1g : i 6= j )ai 6= aj . �2.2 Grundideen der Theorie der Nebenläu�gkeitEs gibt mindestens zwei Wege, sich der Theorie der Nebenläu�gkeit zu nähern. Man kannversuchen, ihr eine Interpretation in der Wirklichkeit zu geben und so verschiedene Axiomezu motivieren. Andererseits kann man die � von Petri beabsichtigte � Verwandtschaft derTheorie der Nebenläu�gkeit zur Theorie der Netze ausnutzen und so manche Beziehungenerläutern.2.2.1 Die Hauptrelationen co und liWorum geht es in Petris Theorie der Nebenläu�gkeit? Petri will das Verhalten von Systemenbeschreiben und dazu die zeitlichen und räumlichen Aspekte der Signalausbreitung und derVerknüpfung von Signalen modellieren.Hier bietet sich zunächst die Temporallogik als Ausdrucksmittel an. Es zeigt sich je-doch, daÿ einige der zu fordernden Bedingungen � besonders die später vorzustellendenKohärenzaxiome � nur äuÿerst schwer in die Sprache der Logik zu übersetzen sind.Ein anderer gängiger Ansatz zu diesem Problem ist es, die Zustände und Ereignisse desSystems in eine Halbordnung einzubetten, die über ihre zeitliche Reihenfolge Auskunft gibt.Diese Möglichkeit wird zum Beispiel von Best und Fernández in [BF88] genauer aus-geführt. Es stellt sich jedoch die Frage, ob eine Ordnung wirklich notwendig ist oder ob

16 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER THEORIE DER NEBENLÄUFIGKEITnicht schon eine schwächere Beschreibung des Systems alle notwendigen Zusammenhängewiedergeben kann.An dieser Stelle war Petris Grundgedanke, Zustände und Ereignisse eines Systems da-durch zu kennzeichnen, daÿ sie entweder� kausal unabhängig oder� kausal abhängigsind, dies entspricht den Fällen� (zeitlich) ungeordnet beziehungsweise� (zeitlich) geordnetin der Halbordnung. Wir ignorieren also die tatsächliche Ordnung zweier Elemente, sondernmerken uns nur noch, ob die beiden Elemente geordnet waren.Da ein Ereignis meist an einem bestimmten Ort zu einer bestimmten Zeit statt�ndet,können wir ihm in Anlehnung an die Relativitätstheorie einen Punkt in der Raumzeit zu-ordnen. Aus der Relativitätstheorie wissen wir, daÿ sich die Wirkung eines Ereignisses nichtschneller als mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten kann. Ereignisse, die im Raum weit genugvon einander entfernt geschehen, können sich nicht gegenseitig beein�ussen. Man sprichtauch davon, daÿ zwei Ereignisse� in raumartiger Beziehung oder� in zeitartiger Beziehungzueinander stehen. Wir könnten auch sagen, sie sind� gleichzeitig beziehungsweise� ungleichzeitig, also zeitlich geordnet.Ist es sinnvoll, auch Zustände in diese Kategorien einzuteilen? Es wäre zumindest umder Einfachheit des Formalismus willen sinnvoll, nicht allzu unterschiedliche Beschreibungs-methoden zu wählen. Um diese Ähnlichkeit festzuschreiben, vereinigen wir zunächst alleZustände und Ereignisse in einer Menge, wir nennen diese Menge X . Welche der Elementevon X Ereignisse und welche Zustände sind, müssen wir später wieder festlegen, es soll unsjedoch zunächst nicht beein�ussen.Nun müssen wir angeben, welche der Elemente aus X kausal unabhängig sind. Dies läÿtsich formal durch eine zweistellige Relation in X bewerkstelligen, die Petri in Anlehnungan das englische Wort concurrent, zu deutsch nebenläu�g, mit co bezeichnet hat. Um dieSymmetrie herauszustellen, führen wir auÿerdem eine weitere Relation li ein, deren Namevom Englischen in line abgeleitet ist, was wörtlich heiÿt �auf einer Linie�, speziell �auf einerWeltlinie�, also kausal abhängig.Um die Relation co zu veranschaulichen, betrachten wir folgendes Beispiel: In Hamburgschalten sich die Straÿenlaternen an, und in Kapstadt schalten sich ebenfalls die Straÿenla-ternen an. Die beiden Ereignisse beein�ussen einander nicht und können sich insbesonderenicht gegenseitig hervorrufen, also sind sie kausal unabhängig und sollten in der Relationco stehen. Dies heiÿt nicht, daÿ beide Ereignisse nicht eine gemeinsame Ursache habenkönnen, etwa das Untergehen der Sonne kurz zuvor. Dennoch geschehen beide Ereignissegleichzeitig, eine Wirkung ist durch den räumlichen Abstand ausgeschlossen.Eindeutig kausal abhängig von Anschalten der Laternen ist ihr Erlöschen. Bevor dieLampen nicht leuchten, können sie nicht abgeschaltet werden. In diesem Sinne liegt hieralso eine strenge zeitliche Ordnung von, diese beiden Ereignisse sind also in li. Die Theorie

2.2. GRUNDIDEEN DER THEORIE DER NEBENLÄUFIGKEIT 17der Nebenläu�gkeit erlaubt an dieser Stelle jedoch eine Verallgemeinerung: Wir müssen vonden beiden Ereignissen nicht unbedingt die zeitliche Ordnung kennen, solch eine Ordnungmuÿ noch nicht einmal existieren.Dies kommt insbesondere dann vor, wenn wir einen zyklischen, sich immer wiederho-lenden Vorgang beschreiben. Plausiblerweise schalten sich Laternen nicht nur einmal anund aus, sondern jeden Tag wieder. Auch in diesem Fall könnten die Schaltvorgänge nichtgleichzeitig erfolgen, sondern immer nur nacheinander. Es wäre dann nicht nur das Ein-schalten Voraussetzung für das Ausschalten, sondern auch das Ausschalten Voraussetzungfür das Einschalten. Folglich wären die Ereignisse auch in einem zyklischen Ablauf durchdie Relation li verbunden.Wenn wir versuchen, für ein reales System darzulegen, welche seiner Zustände und Er-eignisse kausal abhängig beziehungsweise unabhängig sind, werden wir Eigenschaften derresultierenden Relationen �nden, die wegen der zugrundeliegenden physikalischen Gesetzenotwendigerweise erfüllt sind. Möglicherweise lassen sich auch Eigenschaften �nden, die aufGrund unserer Vorstellung über Zustände und Ereignisse gelten müssen und folglich immergelten, wenn wir Systeme in dieser Terminologie beschreiben.Das Ziel ist es jetzt, solche Eigenschaften zu �nden, als Axiome zu formulieren und mitihrer Hilfe Aussagen zu machen, die für alle Systeme gelten müssen.2.2.2 Nebenläu�gkeit und NetzeEinige der folgenden Axiome lassen sich leichter begründen, wenn wir von Anfang an eineBeziehung zu Petrinetzen annehmen. Diese Beziehung liegt nahe, denn schon im letztenUnterabschnitt haben wir von Zuständen und Ereignissen gesprochen, die o�ensichtlich mitden Stellen und Transitionen eines Netzes korrespondieren.Eine gute Einführung über Petrinetze ist der Text [Rei86], hiervon benötigen wir ins-besondere Kapitel 2 und 3. In Anlehnung an die dort verwendete Terminologie seien hiereinige Begri�e zu Netzen de�niert.De�nition 2.29 [Netze und Netzsysteme]N = (B;E;F ) heiÿt Netz, wenn B \ E = ? und F � (B�E) [ (E�B). B ist die Mengeder Bedingungen, E ist die Menge der Ereignisse, und F ist die Fluÿrelation.Eine Teilmenge M � B heiÿt Markierung. Eine Teilmenge G � E heiÿt Schritt.� = (B;E;F;M0) heiÿt Netzsystem, wenn N = (B;E;F ) ein Netz undM0 eine Markierungvon N ist. �Wir verwenden auÿerdem folgende Notationen, die in [Rei86] genauer erläutert werden.Wir haben es in dieser Arbeit stets mit B/E-Netzen zu tun und verwenden daher immer diezu diesem Netztyp gehörigen Begri�e.De�nition 2.30 [Aktivierung und Schaltregel]M e! :, (F [e] \M = ?) ^ (F�1[e] �M) bedeutet, daÿ ein Ereignis e in einer MarkierungM aktiviert ist.Wenn M1 e! gilt, dann kann das Ereignis e eintreten, wir sagen auch schalten. Dabei über-führt das Ereignis die Markierung M1 in die Markierung M2 = (M1 � F�1[e]) [ F [e]. Wirschreiben M1 e!M2.M G! :, (8e 2 G : M e!)^ (8e1; e2 2 G : e1 6= e2 ) F [e1]\F [e2] = ?)^ (8e1; e2 2 G : e1 6=e2 ) F�1[e1] \ F�1[e2] = ?) bedeutet, daÿ ein Schritt G in einer Markierung M aktiviertist.

18 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER THEORIE DER NEBENLÄUFIGKEITÜberführt ein aktivierter Schritt G eine Markierung M1 in eine Markierung M2 = (M1 �F�1[E])[ F [E], dann schreiben wir M1 G!M2. �De�nition 2.31 [Erreichbarkeitsrelation]r ist die einschrittige Erreichbarkeitsrelation, also M1 r M2 :, 9G � T :M1 G!M2.R := (r [ r�1)� ist die volle Erreichbarkeitsrelation. �Im vorigen Unterabschnitt haben wir die Relation co unter anderem als Relation derGleichzeitigkeit interpretiert. Diese Interpretation läÿt sich leicht auf Netze übertragen.Wir können von zwei Bedingungen b1 und b2 sagen, daÿ sie gleichzeitig auftreten, wennes eine Markierung gibt, in der beide markiert sind. Analog dazu können wir e1 co e2behaupten, wenn die beiden Ereignisse in einem Schritt simultan statt�nden können. Wannist nun ein Ereignis e gleichzeitig mit einer Bedingung b? Nun, genau dann, wenn dasEreignis eintreten kann, während die Bedingung gilt.Mit dieser Vereinbarung benötigen wir unbedingt ein Netzsystem, um die co-Relationeindeutig festlegen zu können. Ein anderen Ansatz wäre es, den Begri� �kausal abhängig�auf Netze zu übertragen. Dazu überlegen wir uns, daÿ ein Netzelement sicher auf die Net-zelemente wirkt, die in F -Relation mit ihm stehen. In der Folge wirkt es dann auch übermehrere F -Schritte auf weitere Elemente, so daÿ alle Elemente, die durch eine F -Kettemiteinander verbunden sind, kausal abhängig genannt werden können.In zyklischen Systemen bringt diese Sichtweise aber einige Probleme, insbesondere, wennletztlich jedes Element von jedem anderen kausal abhängig ist und die li- und co-Relationendamit bedeutungslos werden. Wir werden daher bevorzugt den zuerst vorgestellten Zusam-menhang zwischen den Relationen co und li und den Netzen verwenden.2.3 AxiomeJetzt werden die Axiome eingeführt, die die von co und li geforderten oder wenigstenserwünschten Eigenschaften beschreiben.2.3.1 BasisaxiomeDa sich die Menge X und die Relationen co und li kaum unabhängig voneinander betrachtenlassen, fassen wir sie inCS = (X; li; co)zu einem Tripel zusammen. Dieses wird dann als Nebenläu�gkeitsstruktur, englisch concur-rency structure, bezeichnet.Wir werden nun durch Axiome für die Relationen co und li die gewünschten Eigenschaf-ten garantieren, wobei wir die Überlegungen aus Abschnitt 2.2 berücksichtigen wollen, umdie zugrundeliegende Begri�swelt �kausal unabhängig� und �kausal abhängig� so genau wiemöglich zu formalisieren.Wir müssen dazu eine Entscheidung tre�en: Ist ein Element zu sich selbst nebenläu�g?Ist es von sich selbst kausal abhängig? Weder noch? Wir entscheiden uns für die letzteMöglichkeit und verlangen, daÿ ein Element von X weder in co noch in li mit sich selbststeht. Diese Entscheidung ist jedoch willkürlich und nur für die formale Betrachtung wichtig.Eine weitere entscheidende Eigenschaft ist, daÿ zwei Elemente nie gleichzeitig in co undin li stehen. Fassen wir alles in einem ersten Axiom zusammen.

2.3. AXIOME 19Axiom DIS [Disjunktheit]co \ li = li\ idX = co \ idX = ?. �Die folgenden Lemmata ergeben sich schnell aus Axiom DIS, werden jedoch sehr oft inBeweisen verwendet.Lemma 2.32 DIS co \ liX = ?.Beweis co\ liX = co\ (li[ idX) = (co\ li)[ (co\ idX) = ?[? = ? unter Verwendungvon Axiom DIS. �Lemma 2.33 DIS coX \ li = ?.Beweis Analog zu Lemma 2.32. �Lemma 2.34 DIS coX \ liX = idX .Beweis coX \ liX = (co\ li)[ (co\ idX)[ (idX \ li)[ (idX \ idX) = ?[?[?[ idX = idXwegen Axiom DIS. �Zur leichteren Lesbarkeit wollen wir in Zukunft eine abkürzende Schreibweise vereinba-ren. Wir verzichten, wenn die Bedeutung klar ist, auf den Index X , so daÿ beispielsweiseder letzte Satz als co \ li = idX erscheint.De�nition 2.35 [Notation zu li und co]Wir legen li := liX und co := coX als Kurznotation fest. Weiterhin wird, wo es keineMiÿverständnisse geben kann, li� := li�X und co� := co�X vereinbart. �Petri hat, dies ist in [Pet89] beschrieben, die Möglichkeit angedacht, daÿ es mehr als diezwei Relationen co und li geben kann, und zwar kommt als dritte Möglichkeit die Alterna-tive in Form der Relation al hinzu. Zwei Elemente stehen in al, wenn sie sich gegenseitigausschlieÿen, ohne zeitlich aufeinander zu folgen. Beispielsweise wäre beim Würfelspiel dasEreignis �Der Würfel fällt auf die 1� alternativ zum Ereignis �Der Würfel fällt auf die 2�.Wir wollen uns hier mit der Relation al aber aus gutem Grund nicht beschäftigen, denndie entstehende Theorie wäre um ein Vielfaches komplizierter als die vorliegende Theorie.Da selbst die Theorie der Nebenläu�gkeit ohne die Relation al noch etliche ungelöste Fragenaufwirft, sollte man zunächst diese klären, bevor man die erweiterte Theorie untersucht.Mit dieser Einschränkung müssen zwei verschiedene Elemente also notwendigerweise kau-sal abhängig oder kausal unabhängig sein, eine weitere Möglichkeit wollen wir für den Mo-ment ausschlieÿen.Axiom VST [Vollständigkeit]co [ li[ idX = X�X . �Neben der Vollständigkeit der Relationen co und li bestätigt dieses Axiom, daÿ die beidenRelationen auf die Menge X beschränkt sind und nicht zusätzlich für andere Objekte geltenkönnen.Bemerkung 2.36 VST co � X�X . �Bemerkung 2.37 VST li � X�X . �Wenn zwei Elemente immer in co oder li stehen müssen, aber nicht gleichzeitig beideRelationen gelten können, ist klar, daÿ co und li dual zueinander sind. Man kann leicht dieeine Relation aus der anderen gewinnen.Satz 2.38 DIS VST li = X�X � co.Beweis li = (li� co)[ (li\ co) = ((li[ co)� co)[? = (co[ li[ idX)� co = X�X � cowegen Lemma 2.33 und Axiom VST. �Satz 2.39 DIS VST co = X�X � li.Beweis Analog zu Satz 2.38. �

20 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER THEORIE DER NEBENLÄUFIGKEITcolia bdcAbbildung 2.1: Darstellung der Relationen co und liWenn ein Element x 2 X kausal unabhängig von einem Element y 2 X ist, also x co y,dann gilt dies sicher auch umgekehrt, nämlich y co x.Axiom SYM [Symmetrie]co�1 = co. �Warum fordern wir dasselbe nicht auch für li? Auch die kausale Abhängigkeit ist einesymmetrische Relation, aber dies läÿt sich jetzt bereits ableiten, ohne es in einem Axiomfordern zu müssen.Satz 2.40 DIS VST SYM li�1 = li.Beweis Mit Axiom SYM und Satz 2.38 erhalten wir li�1 = (X�X � co � idX)�1 =(X�X)�1� co�1 � id�1X = X�X � co� idX = li. �In der Tat war der Übergang von einer Halbordnung, die ein System beschreibt, zu einerBeschreibung durch eine symmetrische Beschreibung eine der Hauptmotivationen Petris beider Entwicklung der Theorie. Es ist leicht erkennbar, daÿ es auch genauso möglich gewesenwäre, Axiom SYM mit Hilfe von li zu formulieren und die Symmetrie von co als abgeleitetesPrinzip zu betrachten. Formal gibt es dabei keinen Unterschied, jedoch ist die Symmetrieder Gleichzeitigkeit etwas leichter einzusehen, da man in diesem Fall nicht die Vorstellungeiner zeitlichen Ordnung überwinden muÿ.Wir sehen jetzt, daÿ es nicht unbedingt notwendig gewesen wäre, sowohl co als auch li alsprimäre Objekte in die Theorie der Nebenläu�gkeit aufzunehmen. Genausogut hätten wiruns auf co beschränken können und analog zu Satz 2.38 li := X�X � co de�nieren können.Dagegen spricht nur die o�ensichtliche Symmetrie zwischen co und li, die es unnatürlicherscheinen läÿt, li auf diese Weise zu einer abgeleiteten Relation zu degradieren.Jetzt, wo wir co und li als symmetrische und irre�exive Relationen etabliert haben,können wir anfangen, Nebenläu�gkeitsstrukturen zu visualisieren. Dies geschieht am ein-fachsten mit Hilfe eines Graphen, wie er in Abbildung 2.1 dargestellt ist. In dem Graphenerscheinen die Elemente aus X zunächst als Dreiecke, diese werden mit zwei verschiedenenArten von Kanten verbunden.Gepunktete Kanten zeigen, daÿ zwischen den verbundenen Elementen die Relation cogilt. Durchgezogene Kanten stehen für eine li-Beziehung. Da beide Relationen symmetrischsind, können wir ungerichtete Kanten verwenden.Da es Strukturen mit einer sehr groÿen Menge X geben kann, können auch die ent-stehenden Bilder sehr umfangreich werden. In diesem Fall besteht eine Möglichkeit derVereinfachung darin, nur die co-Relation oder, seltener, nur die li-Relation aufzuzeichnen,da sich die andere Relation einfach als das irre�exive Komplement ergibt.

2.3. AXIOME 21Es ist aber auch manchmal sinnvoll, eine Kante dort wegzulassen, wo über die Beziehungzweier Elemente nichts bekannt ist. Dies wird insbesondere dann notwendig, wenn währendeines Beweises nur ein kleiner Teil einer gröÿeren Struktur betrachtet wird.2.3.2 Triviale StrukturenBisher wurde ohne weitere Erläuterung von den Elementen gesprochen, obwohl wir nichtsicher sein konnten, daÿ X nicht einelementig oder gar leer ist. Wenn jX j � 1, dann muÿco = ? und li = ? gelten, weil in diesem Fall nur die leere Relation die Forderung nachIrre�exivität von co und li erfüllt.Nun wollen wir mit einer Nebenläu�gkeitsstruktur reale Systeme beschreiben. Die Tat-sache jX j = 0 müÿten wir in diesem Fall als �Es gibt kein System� interpretieren, ganz imWiderspruch dazu, daÿ wir gerade eben etwas beschreiben wollten.jX j = 1 ist denkbar, wenn die Nebenläu�gkeitsstruktur als äuÿerste Vergröberung einesanderen Systems gesehen wird, wenn wir statt der Zustände dieses Systems nur noch denZustand �Das System existiert� betrachten. Auf dieser Beschreibungsebene ist das Systemjedoch absolut statisch, es gibt keine Wechselwirkungen innerhalb des Systems.Beide betrachteten Fälle erscheinen nicht wünschenswert, deshalb sollen sie durch einweiteres Axiom ausgeschlossen werden. Ein weiterer Grund ist, daÿ triviale Strukturen sonstin Beweisen ständig als Spezialfälle getrennt behandelt werden müÿten; eventuell würdensogar einige Sätze nicht mehr gelten, wenn triviale Strukturen erlaubt würden.Axiom NTR [Nichttrivialität]jX j � 2. �Zu jedem Element aus X gibt es also noch eins, das sich von ihm unterscheidet, diesmuÿ dann zwangsläu�g in co oder li mit dem ersten stehen.Bemerkung 2.41 VST NTR 8x 2 X : 9y 2 X : x co y _ x li y. �Wichtige Folgerungen ergeben sich jetzt aus dem neu eingeführten Axiom noch nicht, eswird erst in den folgenden Abschnitten nach und nach ein�ieÿen.2.3.3 KohärenzWenn zwei Elemente von X nicht durch eine endliche Anzahl von li-Schritte miteinanderverbunden sind, dann kann bedeutet dies, das die Elemente in zwei völlig unabhängigenSystemen liegen, weil sie nicht aufeinander wirken können. Es ist in diesem Fall nichtsinnvoll, beide Systeme mit einer einzigen Nebenläu�gkeitsstruktur erfassen wollen. Wirkönnen also getrost diesen Fall ausschlieÿen.Axiom LIK [li-Kohärenz]li� = X�X . �Was ist, wenn zwei Elemente sich nicht durch eine co-Kette verbinden lassen? Diesist nicht genauso leicht auszuschlieÿen, wir wollen ein entsprechendes Axiom jedoch ausSymmetriegründen fordern.Axiom COK [co-Kohärenz]co� = X�X . �Wir können jetzt Bemerkung 2.41 verschärfen und erhalten, daÿ es zu jedem Elementzumindest je ein anderes in co und in li steht.Satz 2.42 NTR LIK 8x 2 X : 9y 2 X : x li y.

22 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER THEORIE DER NEBENLÄUFIGKEITBeweis Sei x 2 X beliebig, aber fest. Nach Axiom NTR gibt es ein z 2 X mit x 6= z.Axiom LIK führt zu x li� z, daraus wird x li+ z. Also gibt es ein y mit x li y li� z. �Satz 2.43 NTR COK 8x 2 X : 9y 2 X : x co y.Beweis Analog zum vorigen Satz. �Wir können die re�exive und transitive Hülle, die wir in Axiom LIK und Axiom COKverwendet haben, durch die transitive Hülle ersetzen, wie die folgenden beiden Sätze zeigen.Korollar 2.44 NTR LIK li+ = X�X .Beweis Sei x 2 X . Satz 2.42 zeigt, das es ein y 2 X mit x li y gibt. Axiom LIK ergibty li� z für alle z 2 X . Also 8x; z 2 X : x li+ z. �Korollar 2.45 NTR COK co+ = X�X .Beweis Analog zum vorigen Korollar. �Satz 2.42 zeigt, daÿ es zu jedem Element ein anderes Element gibt, mit dem es in li steht.Die beiden Elemente sind aber nach Axiom COK auch mit einer co-Kette verbunden. Dasheiÿt aber, daÿ co nicht transitiv sein kann, wir müssen uns also von der Alltagsvorstellungentfernen, daÿ, wenn A und B gleichzeitig sind und B und C gleichzeitig sind, dann auchA und C gleichzeitig sein müssen.Zwei Elemente, die in der Relation co stehen, geschehen in diesem Sinne eben nichtgleichzeitig, sondern nur nebeneinander, sich nicht beein�ussend, ohne feste Ordnung. Indiesem Punkt ist die Theorie der Nebenläu�gkeit stark von der Relativitätstheorie beein�uÿt,in der auch eine exakte Gleichzeitigkeit nicht de�niert ist. Da die Nichttransitivität von coerst mit der Kombination von li- und co-Kohärenz herzuleiten ist, stellt sie eine weitereMotivation dafür dar, sich nicht auf Axiom LIK allein zu beschränken.Weiterhin ist zu bemerken, daÿ es, weil es keine Elemente gibt, die mit allen anderen inli-Beziehung stehen, auch keine globalen Synchronisationspunkte gibt. Damit muÿ auch dasFortschreiten der Zeit stets lokal geschehen, denn die stets vorhandenen co-Nachbarn einesEreignisses sind am Fortgang der Zeit durch das Ereignis unbeteiligt.Das Beispiel aus Abbildung 2.1 ist die kleinste Struktur, die alle bisher aufgestelltenAxiome erfüllt. Es ist hilfreich, sich diese Tatsache selbst mit einem Blatt Papier und einemBleistift klarzumachen, um eine gewisse Geläu�gkeit mit den Relationen co und li und mitder graphischen Darstellung zu erhalten.2.3.4 IrreduzibilitätAngenommen, zwei Elemente x; y 2 X stehen mit exakt derselben Menge von Zuständenund Ereignissen in kausaler Abhängigkeit, dann ist es plausibel anzunehmen, daÿ die beidenElemente gleich sind, denn innerhalb der Struktur verhalten sie sich schlieÿlich gleich. Wirfassen diesen Zusammenhang in zwei Axiome.Axiom LII [li-Irreduzibilität]eli = idX . �Axiom COI [co-Irreduzibilität]eco = idX . �Es klingt unnötig, für beide Relationen die Irreduzibilität zu fordern, da scheinbar dieAxiome auseinander herleitbar sind. Dies ist aber nicht der Fall. Wenn zwei Elemente xund y in co zueinander stehen, dann sind sie zwangsläu�g co-irreduzibel, weil sie zwar mitdem jeweils anderen Element in co stehen, mit sich selbst jedoch nicht. Entsprechend sindzwei Elemente in li stets li-irreduzibel.

2.3. AXIOME 23Damit sich zwei Elemente wirklich immer durch ein drittes, vom beiden verschiedenesElement unterscheiden, müssen wir beide Axiome zusammen verwenden.Bemerkung 2.46 LII 8x; y 2 X : x 6= y ) li[x] 6= li[y]. �Bemerkung 2.47 COI 8x; y 2 X : x 6= y ) co[x] 6= co[y]. �Bemerkung 2.48 DIS VST LII 8x; y 2 X : x 6= y ) co[x] 6= co[y].Beweis Mit Satz 2.38 und Bemerkung 2.46. �Bemerkung 2.49 DIS VST COI 8x; y 2 X : x 6= y ) li[x] 6= li[y].Beweis Mit Satz 2.39 und Bemerkung 2.47. �Satz 2.50 DIS VST LII COI 8x; y 2 X : x 6= y ) 9z 2 X : (x co z ^ y li z) _ (x liz ^ y co z).Beweis Seien x; y 2 X beliebig mit x 6= y.Fall 1: x co y. y =2 li[x], also li[x]\ idX [y] = ?. Nach Axiom LII ist li[x] 6= li[y] und daherli[x]� li[y] 6= ? _ li[y]� li[x] 6= ?.Wenn li[x]� li[y] 6= ?, dann ist li[x] \ co[y] 6= ? wegen Satz 2.38, also li[x]\ co[y] =(li[x] \ co[y])[ (li[x]\ idX [y]) = li[x]\ co[y] 6= ?.Wenn andererseits li[y]� li[x] 6= ?, dann ergibt sich li[y]\ co[x] 6= ?.Fall 2: :x co y. Es folgt x li y wegen x 6= y. y =2 co[x], also co[x] \ idX [y] = ?. Jetztwenden wir Axiom COI an, um co[x] 6= co[y] abzuleiten.Der Rest des Beweises verläuft analog zu Fall 1.Also gilt der Satz für alle x; y 2 X . �Die Axiome der Irreduzibilität verkörpern in der Theorie das Prinzip der Extensionalität:Zwei Objekte sind genau dann gleich, wenn sie sich gleich verhalten, das heiÿt, wenn siedieselben Beziehungen zu anderen Elementen haben.2.3.5 Änderungs- und NachbarschaftsrelationBislang existieren die Elemente von X weitgehend unabhängig voneinander. Es gibt kei-ne Möglichkeit festzustellen, welche der Elemente nahe beieinander liegen und welche weitentfernt voneinander sind. In einem Netz ist die Umgebung eines Elements natürlicher-weise als die Vereinigung von Vor- und Nachbereich zu de�nieren. Wir wollen von diesemZusammenhang ausgehend eine De�nition für Nachbarschaft in Nebenläu�gkeitsstrukturenentwickeln.Betrachten wir dazu ein Ereignis e und eine Bedingung b F e im Vorbereich des Ereig-nisses. Sei nun x ein beliebiges Element, für das x co e gilt. Nach der Interpretation von coin Netzen heiÿt dies, daÿ das Element x während des Schalten von e aktiv sein kann.Wenn x ein Ereignis ist, dann können x und e in einem gemeinsamen Schritt schalten.Damit könnte aber auch x alleine schalten und wäre damit aktiv, während b, die Vorbedin-gung von e, weiterhin gelten würde. Dies ist aber gerade die Bedingung für b co x.Wenn andererseits x eine Bedingung ist, dann müssen vor dem Schalten von e die Be-dingungen b und x gleichzeitig gegolten haben. Wieder erhalten wir b co x. Da wir dieseArgumentation für alle x durchführen können, erwarten wir die Beziehung co[e] � co[b].Äquivalent dazu kann dies als li[b] � li[e] formuliert werden, was wir aus historischen Grün-den bevorzugen.Wegen Axiom COI ergibt sich li[b] 6= li[e]. Also haben wir li[b] li[e] als notwendigeBedingung für b F e. Bei der obigen Argumentation hätten wir ebenso von e F b ausgehenkönnen, womit wir gezeigt hätten, daÿ li[b] li[e] allgemein für b F$ e notwendig ist.

24 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER THEORIE DER NEBENLÄUFIGKEITDies bedeutet, daÿ zwei benachbarte Elemente stets ein vergleichbares li-Bild besitzen.Damit bilden wir folgende Analogie: Zwei identische Elemente haben auch das gleiche li-Bild. Zwei verschiedene, aber benachbarte Elemente haben nicht das gleiche, aber immernoch ein vergleichbares li-Bild.Nun ist es plausibel, zu fordern, daÿ zwei nicht benachbarte Elemente ein unvergleich-bares li-Bild haben. Damit gelangen wir zu einer De�nition für eine gerichtete Nachbar-schaftsrelation, die immer von einer Bedingung zur einem benachbarten Ereignis weist.De�nition 2.51 [Änderungsrelation]P := f(x; y) j li[x] li[y]g. �Wir sagen, wenn x P y gilt, daÿ x von y geändert wird, weil x eine Bedingung in derUmgebung von y ist und damit durch das Schalten von y entweder gültig oder ungültig wird,abhängig davon, ob x aus dem Vor- oder dem Nachbereich von y stammt.Man bemerkt, daÿ wir nicht gezeigt haben, daÿ die Bedingung li[b] li[e] hinreichenddafür ist, daÿ b und e benachbart sind. Dennoch erscheint die gewählte De�nition von Pplausibel und auf jeden Fall mathematisch interessant.Es sollen nun einige Eigenschaften von P gesammelt werden. P erbt von der Relation die Antisymmetrie und die Irre�exivität.Satz 2.52 P \ P�1 = ?.Beweis P \ P�1 = f(x; y) j li[x] li[y]^ li[y] li[x]g � f(x; y) j li[x] li[x]g = ?. �Korollar 2.53 P \ idX = ?. �Wenn ein Element ein anderes ändert, sind die beiden Elemente kausal abhängig.Lemma 2.54 P � li�1.Beweis Seien x; y 2 X mit x P y, dann x 2 li[x] li[y] und y li x. Wegen x 6= y, folgtx li�1 y. �Satz 2.55 DIS VST SYM P � li.Beweis Unter Verwendung von Satz 2.40 und Lemma 2.54. �Die beiden nächsten Sätze werden auch als co- und li-Fortp�anzungsregel bezeichnet,weil man mit ihrer Hilfe eine bekannte co- oder li-Beziehung auf die andere Seite eine P -Paares hinüberschieben kann.Satz 2.56 DIS VST P � co � co.Beweis Sei x P y co z, dann :z 2 li[y] wegen Satz 2.39 und nach De�nition von P auch:z 2 li[x]. Also x co z. �Satz 2.57 DIS VST SYM li � P � li.Beweis Sei x li y P z, dann x 2 li[y] wegen Satz 2.40 und nach De�nition von P auchx 2 li[z]. �Die folgenden Sätze bereiten Satz 2.62 vor, der eine Beschreibung der P -Relation durcheinen einfachen Relationenausdruck liefert.Satz 2.58 DIS VST SYM P � co � li.Beweis Sei x; y 2 X mit x P y, dann li[x] li[y]. Also gibt es ein z 2 X mit y li z und:x li z, entsprechend x co z wegen Satz 2.39. Wegen x li y und Axiom DIS ergibt sichdamit y 6= z, also y li z. Mit Axiom SYM folgt x co � li y. �Satz 2.59 DIS VST SYM P \ li � co = ?.Beweis Wir nehmen das Gegenteil an, dann gibt es x; y; z 2 X mit x P y und x li z co y,also x li z. Aber li[x] � li[y] erfordert y li z. Dies ergibt mit Satz 2.39 :y co z imWiderspruch zu z co y und Axiom SYM. �

2.3. AXIOME 25Lemma 2.60 DIS VST SYM P � li� li � co.Beweis P = (P � li� co)[ (P \ li� co) = P � li� co � li� li� co, denn es gilt Satz 2.59.�Lemma 2.61 DIS VST SYM COI li� li � co � P .Beweis Seien x; y 2 X beliebig mit x li y und :x li � co y. Also 8z 2 X : (:x li z)_z li ywegen Satz 2.38 und Satz 2.39. Äquivalent dazu ist 8z 2 X : x li z ) y li z wegen Satz2.40. Weil x li y gilt, läÿt sich die Aussage verschärfen zu 8z 2 X : x li z ) y li z. Daherli[x] � li[y].Nun ist x 6= y wegen x li y und daher li[x] 6= li[y] gemäÿ Axiom COI, also li[x] li[y] undx P y. �Satz 2.62 DIS VST SYM COI P = li� li � co.Beweis Nach Lemma 2.60 und Lemma 2.61. �Der Ausgangspunkt für die De�nition von P war der Wunsch nach einer De�nitionfür Nähe in einer Nebenläu�gkeitsstruktur. Da Nähe eine symmetrische Eigenschaft ist,entspricht P als asymmetrische Relation noch nicht voll unseren Wünschen. Wir de�nierendaher die symmetrische Ergänzung von P als Nachbarschaftsrelation und geben ihr wegenihrer besonderen Bedeutung eine eigene Bezeichnung.De�nition 2.63 [Nachbarschaft]im := P [ P�1. �Der Name im hat seine Wurzel in der englischen Bezeichnung immediate neighborhood,hier übersetzt als unmittelbare Nachbarschaft. Wir betrachten einige elementare Eigen-schaften der Relation.Bemerkung 2.64 im = im�1. �Satz 2.65 im \ idX = ?.Beweis P \ idX = ? gemäÿ Korollar 2.53, also auch P�1 \ idX = ?. �Satz 2.66 DIS VST SYM im � li.Beweis im = P [ P�1 � li[ li = li wegen Satz 2.55 und Lemma 2.54 �Nach der De�nition von im ist klar, daÿ mit Nachbarschaft die zeitliche Nachbarschaftgemeint ist. Es ist auch möglich, für Elemente, die zueinander in co liegen die räumli-chen Nachbarschaftsrelationen D und dn zu de�nieren, dies soll uns jedoch in dieser Arbeitnicht beschäftigen, da sich bis jetzt auÿer der mathematischen Symmetrie kein stichhaltigesArgument für diese De�nitionen ergeben hat.2.3.6 Stellen und TransitionenDa die P -Relation stets von Bedingungen zu Ereignissen gerichtet ist, ergibt sich damit eineeinfache Möglichkeit, aus den Relationen co und li zu rekonstruieren, welche der Elementevon X zu welcher der beiden Klassen gehören.De�nition 2.67 [Stellen]S := dom(P ). �De�nition 2.68 [Transitionen]T := ran (P ). �Mit dieser De�nition entsprechen die Stellen den Bedingungen und die Transitionenden Ereignissen. Es wurden explizit nicht die Bezeichnungen B und E verwendet, um dieursprüngliche Aufteilung der Elemente in B und E von der aus li abgeleiteten Aufteilungin S und T zu trennen.

26 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER THEORIE DER NEBENLÄUFIGKEITim2 541 3 P6Abbildung 2.2: Darstellung der Relationen P und imVon Netzen ist gefordert, daÿ B \ E = ?. Wir führen nun ein Axiom ein, daÿ eineentsprechende Eigenschaft für Stellen und Transitionen garantiert.Axiom KAA [Keine Änderung einer Änderung]P 2 = ?. �Die folgenden drei Sätze folgen nicht nur aus Axiom KAA, sondern sind ihm sogaräquivalent, wie man leicht zeigen könnte. Insbesondere S \ T = ? würde sich als einealternative Formulierung des Axioms anbieten.Satz 2.69 KAA 8t 2 T : P [t] = ?.Beweis 8t 2 T : 9x 2 X : x P t, also 8t 2 T : 9x 2 X : ftg � P [x] und 8t 2 T : 9x 2 X :P [t] � P [P [x]] = ? nach Axiom KAA. �Satz 2.70 KAA 8s 2 S : P�1[s] = ?.Beweis 8s 2 S : 9x 2 X : x P�1 s, also 8s 2 S : 9x 2 X : fsg � P�1[x] und8s 2 S : 9x 2 X : P�1[s] � P�1[P�1[x]] = ? nach Axiom KAA. �Satz 2.71 KAA S \ T = ?.Beweis Sei t 2 T , dann P [t] = ? wegen Satz 2.69, also :t 2 dom(P ) und :t 2 S. �Die Technik zur Visualisierung von Nebenläu�gkeitsstrukturen kann jetzt verfeinert wer-den, indem wir P , im, S und T sichtbar machen. Elemente von S, also Stellen, werden genauwie in Petrinetzen als Kreise dargestellt, Transitionen aus T werden dagegen als Quadrategezeichnet. Nur wenn wir nicht wissen, ob ein Element eine Stelle oder eine Transition ist,werden wir im folgenden weiter Dreiecke für die Elemente von X verwenden.Da P eine gerichtete Relation ist, notieren wir eine P -Beziehung als einen Pfeil von derStelle zur Transition. im ist wiederum ungerichtet und �ndet sich als gestrichelte Linie imDiagramm wieder. In Abbildung 2.2 sind alle neuen Möglichkeiten verwendet, li-Kantensind weggelassen. Wir sehen hier eine Transition 3, vier Stellen 1, 2, 5 und 6, sowie einElement 4, von dem wir zunächst nur wissen, daÿ es mit Element 3 in im-Beziehung steht.Jetzt werden einige Lemmata bewiesen, die es uns erlauben, vom Vorhandensein einerim-Relation auf die zugrundeliegende P -Relation zurückzuschlieÿen.Lemma 2.72 KAA 8x; y; z 2 X : x P y ^ z im y ) z P y.Beweis Für x; y; z 2 X mit x P y ^ y im z ergibt y P z einen Widerspruch mit AxiomKAA. Wegen im = P [ P�1 muÿ daher z P y gelten. �Lemma 2.73 KAA 8x; y; z 2 X : y P x ^ y im z ) y P z. �Lemma 2.74 KAA 8x 2 S : 8y 2 X : x im y ) x P y. �Lemma 2.75 KAA 8x 2 T : 8y 2 X : x im y ) y P x. �Damit ist klar, daÿ in Abbildung 2.2 das Element 4 eine Stelle sein muÿ und daÿ dieP -Relation von Element 4 nach Element 3 gerichtet ist.

2.3. AXIOME 27Welche Bedeutung hat es, wenn zwei Elemente von einer im-Kette verbunden sind?In diesem Fall kann eine Wirkung über eine endliche Reihe von lokalen Wechselwirkungenerfolgen. Wenn wir davon ausgehen, daÿ eine Wirkung überhaupt nur durch lokale E�ektevermittelt werden kann, dann sollte dies immer der Fall sein. Wir formulieren daher einneues Axiom.Axiom IMK [im-Kohärenz]im�X = X�X . �Der folgende Satz ergibt sich analog zu Satz 2.42.Satz 2.76 NTR IMK 8x 2 X : 9y 2 X : x im y. �Damit können wir uns in der Formulierung der im-Kohärenz auf die transitive Hüllebeschränken, der Beweis verläuft analog zu Korollar 2.44.Korollar 2.77 NTR IMK im+ = X�X . �Eine der wichtigsten Folgerungen aus Axiom IMK ist, daÿ jedes Element ausX entwederStelle oder Transition ist.Satz 2.78 NTR IMK S [ T = X .Beweis Sei x 2 X beliebig. Nach Satz 2.76 gibt es ein y 2 X mit x im y. Per De�nitionvon im gilt x 2 dom(im) = dom(P ) [ ran (P ) = S [ T . �O�ensichtlich wäre es für den letzten Beweis ausreichend gewesen, eine zu Satz 2.76äquivalente Formulierung als Axiom anzunehmen, doch wir werden später noch die volleMächtigkeit von Axiom IMK ausnutzen.2.3.7 Lokale AxiomeDa wir für jedes Element x seine Umgebung durch im[x] kennzeichnen können, soll unter-sucht werden, ob die Relationen co und li innerhalb dieser Umgebung besondere Eigenschaf-ten aufweisen.Betrachten wir zunächst ein Ereignis, dann liegen in dessen Umgebung Bedingungen,die durch das Ereignis geändert werden. Es gibt in diesem Fall zwei mögliche Arten vonBedingungen: Vorbedingungen und Nachbedingungen.Wir ignorieren an dieser Stelle absichtlich die Möglichkeit, daÿ es Bedingungen gebenkönnte, die während des Ereignisses kurzfristig geändert werden, aber bis zum Ende der Er-eignisses wieder ihren ursprünglichen Zustand annehmen. In diesem Fall müÿte das Ereignisin mehrere Teilereignisse aufgespalten werden, um es mit einer Nebenläu�gkeitsstrukturbeschreiben zu können.Gehen wir nun davon aus, daÿ das Ereignis auch irgendwann einmal eintritt. Würde esnie eintreten, müÿte es nicht in die Nebenläu�gkeitsstruktur aufgenommen werden. Damitdas Ereignis aber eintreten kann, müssen vorher alle Vorbedingungen gleichzeitig erfüllt sein.Gegeben zwei Vorbedingungen eines Ereignisses, müssen beide also kausal unabhängig sein,da sie sonst nicht gleichzeitig beobachtbar sein könnten. Je zwei Vorbedingungen stehennach dieser Überlegung in co-Relation.Unmittelbar nachdem ein Ereignis eingetreten ist, sind alle Nachbedingungen erfüllt,und wir können mit derselben Argumentation wie im letzten Absatz folgern, daÿ zwischenje zwei verschiedenen Nachbedingungen eine co-Beziehung besteht.Wir betrachten nun eine sogenannte Kontaktsituation, in der alle Vorbedingungen undeine Nachbedingung eines Ereignisses erfüllt sind. Damit würde das Ereignis nur nochdeshalb vom Schalten abgehalten werden, weil sein Nachbereich nicht frei ist. Ein Ereignis

28 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER THEORIE DER NEBENLÄUFIGKEIT)1 4 652 3 4 6521Abbildung 2.3: Motivation der Axiome LCT, LOR und LFOsollte in seinem Eintreten nur von der Gültigkeit seiner Vorbedingungen abhängen. Folglichist eine Kontaktsituation nicht wünschenswert.Wir verbieten daher eine Kontaktsituation und gehen sogar noch einen Schritt weiter.Wir verbieten, daÿ gleichzeitig Bedingungen im Vorbereich und Bedingungen im Nachbereicheines Ereignisses gelten können. Damit besteht zwischen einer Vor- und einer Nachbedingungstets eine li-Beziehung.Um die neuen Axiome zu motivieren, wird in Abbildung 2.3 eine Struktur vorgestellt,die an Abbildung 2.2 erinnert. Die unmittelbare Nachbarschaft der Transition 3 ist jedochwillkürlich in zwei Bereiche aufgeteilt; wir legen dazu fest, daÿ die Stellen 1 und 2 dieVorbedingungen der Transition sein sollen und entsprechen die Stellen 4, 5 und 6 den Nach-bedingungen zuzuordnen sind. Mit dem Überlegungen, die wir angestellt haben, könnendann beide Relationen, co und li, hergeleitet werden.Es fällt auf, daÿ durch die Symmetrie der li-Relation Vor- und Nachbedingungen ohneweitere Informationen nicht mehr aus co und li rekonstruiert werden können. Wir werdenuns später mit diesem Problem beschäftigen müssen, zunächst reicht es uns, daÿ wir diePartition der Umgebung in zwei Teile leicht erkennen können.Könnte es sein, daÿ es zu einem Ereignis keine Vorbedingungen oder keine Nachbedin-gungen gibt? Im Prinzip schon, allerdings sind in vielen technischen Systemen alle Ereignisseso gestaltet, daÿ sie in irgendeiner Form ein Ergebnis produzieren, also eine Nachbedingungbesitzen. Andererseits werden in solchen Systemen Ereignisse stets durch einen Befehl, einSignal oder das Eintreten einer spezi�schen Bedingung ausgelöst, so daÿ auch eine Vorbe-dingung vorhanden sein sollte.Ein Ereignis ohne Vorbedingungen würde bei der Betrachtung als Netz auch unweigerlichwieder eine Kontaktsituation hervorrufen. Ebenso ergäbe ein Ereignis ohne Nachbedingun-gen eine Situation, die man als inversen Kontakt bezeichnen könnte. Beide Fälle sollen, wieschon gesagt, vermieden werden.Auch in physikalisch beschreibbaren Systemen gibt es zu jedem Ereignis andere Ereig-nisse, die früher stattfanden, und solche, die später statt�nden werden. In diesem Sinnebedeutet die Existenz von Vor- und Nachbedingungen, daÿ der Ablauf der Zeit keinen An-fang und kein Ende hat. Gäbe es Anfang oder Ende, dann wäre dies ein Sonderfall, dergrundsätzlich anders zu behandeln ist. Wenn wir eine Sonderbehandlung nicht wünschen,sollten wir ein diesbezügliches Axiom zumindest benennen, auch wenn wir es nicht in jedemAxiomensystem verwenden wollen.Auch die im-Umgebung einer Bedingung, also einer Stelle, kann ähnlich strukturiertwerden. Hier haben wir eine Aufteilung der benachbarten Ereignisse in solche, nach derenEintreten die Bedingung gilt, und solche, durch die die Bedingung ungültig wird.

2.3. AXIOME 29Würden wir zulassen, daÿ mehr als ein Ereignis eine Bedingung ungültig macht, dannwürden diese Ereignisse miteinander in Kon�ikt stehen, da nur eines von ihnen eintretenkann. Dies ist der typische Fall einer Alternative, wie er in der Motivation von AxiomVST angedeutet wurde. Da wir aber Alternativen ignorieren wollen, müssen wir festlegen,daÿ eine Bedingung nur durch genau ein Ereignis ungültig gemacht werden kann. AusSymmetriegründen wollen wir auch fordern, daÿ nur genau ein Ereignis eine Bedingungwahr machen kann.Damit sieht die im-Umgebung einer Bedingung sehr einfach aus. Sie enthält genau zweiEreignisse, von denen eines vor der Gültigkeit der Bedingung eintritt und eines hinterher.Die beiden Ereignisse sind also kausal abhängig, es besteht eine li-Beziehung.Es folgen drei Axiome, die die aufgestellten Forderungen garantieren.Axiom LCT [Lokale co-Transitivität]8x 2 X : (cojim[x])2 � cojim[x]. �Axiom LOR [Lokale Orientierbarkeit]8x 2 X : (lijim[x])2 � cojim[x]. �Axiom LFO [Lokale Fortsetzbarkeit]8x 2 X : idim[x] � (lijim[x])2. �Es wäre möglich, die drei Axiome zusammenzufassen, aber dies dient nicht der Klar-heit der Formulierung und wird deshalb hier nicht ausgeführt. Wir beweisen zunächst eineVariante von Axiom LCT.Satz 2.79 LCT 8x 2 X : (cojim[x])2 = cojim[x].Beweis (cojim[x])2 = (cojim[x][idim[x])2 = (cojim[x])2[(cojim[x]�idim[x])[(idim[x]�cojim[x])[(idim[x] � idim[x]) � cojim[x] [ cojim[x] [ cojim[x] [ idim[x] = cojim[x] wegen Axiom LCT. Ande-rerseits ist (cojim[x])2 � cojim[x] � idX jim[x] = cojim[x] o�ensichtlich. �Dieser Satz besagt, daÿ co innerhalb der im-Umgebung eines Elements transitiv ist.Da co auch symmetrisch und re�exiv ist, stellt co lokal eine Äquivalenzrelation dar. EineÄquivalenzrelation teilt ihre Basismenge, in diesem Fall die unmittelbare Umgebung einesElements, in eine oder mehrere Äquivalenzklassen ein.Wir erwarten bereits, daÿ diese Äquivalenzklassen dem Vor- und dem Nachbereich desElements entsprechen, und müssen jetzt überprüfen, ob diese Erwartung durch die aufge-stellten Axiome erfüllt wird. Doch bevor wir dies tun können, brauchen wir einige Hilfssätze.Lemma 2.80 LFO 8x 2 X : 8y 2 im[x] : im[x] \ li[y] 6= ?.Beweis Seien x; y 2 X mit x im y. Da y idim[x] y, gilt nach Axiom LFO y (lijim[x])2 y.Also gibt es ein z 2 im[x] mit y li z li y und daher z 2 li[y]. �Lemma 2.81 DIS NTR IMK LFO 8x 2 X : 9y 2 im[x] : 9z 2 im[x] : :y co z.Beweis Sei x 2 X beliebig. Nach Satz 2.76 gibt es ein y mit x im y. Wegen Lemma 2.80haben wir ein z 2 im[x] mit y li z. Das heiÿt wegen Axiom DIS :y co z. �Satz 2.82 DIS NTR IMK LFO 8x 2 X : jim[x]j � 2.Beweis Mit Lemma 2.81. �Lemma 2.81 zeigt, daÿ es mindestens zwei co-Äquivalenzklassen in der im-Umgebungeines Elements geben muÿ. Jetzt zeigen wir, daÿ es höchstens zwei geben kann.Satz 2.83 DIS VST LOR 8x 2 X : 8u; v; w 2 im[x] : :u co v ) (v co w _ u co w).Beweis Sei x 2 X beliebig. Sei u; v; w 2 im[x] mit :u co v, also u li v wegen Satz 2.38.Fall 1: v co w. Der Satz gilt o�ensichtlich.Fall 2: :v co w. v li w und daher u co w wegen u li v und Axiom LOR.

30 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER THEORIE DER NEBENLÄUFIGKEITAlso v co w _ u co w. �Wenn es mehr als zwei co-Äquivalenzklassen in der Umgebung eines Elements x gibt,dann gäbe es drei Elemente, die paarweise nicht in co stehen, im Widerspruch zum letztenSatz. Welche der beiden Äquivalenzklassen allerdings dem Vorbereich und welche demNachbereich entspricht, können wir, wie schon angedeutet, nicht feststellen.Gibt es wirklich nur zwei Transitionen in der im-Umgebung einer Stelle?Lemma 2.84 DIS VST SYM KAA 8s 2 S : cojim[s] = ?.Beweis Angenommen, dies wäre nicht der Fall, dann gäbe es y; z 2 im[s] mit y co z. Abers P y nach Lemma 2.74 und wir haben s P y co z. Mit Satz 2.56 führt dies zu s co z. Satz2.66 und s im z erfordern aber s li z, Widerspruch mit Axiom DIS. �Lemma 2.85 DIS VST SYM KAA LOR 8s 2 S : jim[s]j � 2.Beweis Sei s 2 S und nehmen wir an, fx; y; zg � im[s] und x 6= y 6= z 6= x. Wegen Lemma2.84 gilt auÿerdem :x co y, :y co z und :z co x. Daher läÿt Satz 2.39 nur x li y li z li x alsMöglichkeit. Aber dann x (lijim[s])2 z, und nach Axiom LOR gilt x co z im Widerspruch zux li z. �Satz 2.86 DIS VST SYM NTR KAA IMK LOR LFO 8s 2 S : jim[x]j = 2.Beweis Mit Satz 2.82 und Lemma 2.85. �2.3.8 Konsistente OrientierungDie im-Relation gibt uns zwar die unmittelbare Umgebung eines jeden Elements an, es wärejedoch von Vorteil, auch in Nebenläu�gkeitsstrukturen wieder über Vor- und Nachbereicheines Elements sprechen zu können, so wie es bei Netzen der Fall ist. Wir müÿten dazu dieim-Relation orientieren, indem wir zwischen je zwei Elementen in im-Beziehung eine derbeiden möglichen Richtungen auswählen.Basierend auf der Analogie zwischen Nebenläu�gkeitsstrukturen und Netzen bezeichnenwir die enstehende Relation dann als Fluÿrelation. Mit ihrer Hilfe können wir von einerNebenläu�gkeitsstruktur zu einem Netz (S; T ;F ) gelangen. Statt der Bezeichnung Fluÿre-lation kommt auch der Begri� konsistente Orientierung zur Anwendung. Die Relation sollin dem Sinne �konsistent� sein, daÿ sie nicht frei gewählt werden darf, sondern sich in dieRelationen li und co einfügen muÿ.Diese Forderung an die konsistente Orientierung ergibt sich daraus, daÿ zwischen demVorbereich und dem Nachbereich eines Elements immer eine li-Beziehung herrschen soll, wiein der Motivation für Axiom LOR angegeben. Andererseits sollte innerhalb des Vor- undNachbereichs jeweils die co-Relation gelten, wie wir bei den Erklärungen zu Axiom LCTgesehen haben. Um diese Eigenschaften zu gewährleisten, wird folgende formale De�nitiongewählt.De�nition 2.87 [Konsistente Orientierung]Eine Relation F � X�X ist eine konsistente Orientierung genau dann, wennF [ F�1 = im; (Konsistenz der Änderungen, 2.1)F � F � li; (li zwischen Vor- und Nachbereich, 2.2)F � F�1 � co; (co im Vorbereich, 2.3)F�1 � F � co (co im Nachbereich, 2.4)sämtlich erfüllt sind. �De�nition 2.88 [Orientierungen]Orient := fF � X�X j F ist eine konsistente Orientierungg. �

2.3. AXIOME 31Zunächst fällt auf, daÿ diese De�nition weder konstruktiv noch eindeutig ist. Es könntefür eine Nebenläu�gkeitsstruktur mehrere konsistente Orientierungen geben. Der folgendeBeweis wurde aus [Ste93] entnommen.Satz 2.89 DIS VST SYM 8F 2 Orient : F�1 2 Orient.Beweis Sei F 0 = F�1. Wir zeigen nun, daÿ F 0 eine konsistente Orientierung ist.F 0 [ F 0�1 = F�1 [ F = F [ F�1 = im;F 0 � F 0 = (F � F )�1 � li�1 = li wegen Satz 2.40;F 0 � F 0�1 = F�1 � F � co;F 0�1 � F 0 = F � F�1 � co:Also gelten alle geforderten Eigenschaften. �Also existieren, wenn es eine konsistente Orientierung gibt, mindestens zwei verschiedenekonsistente Orientierungen. Die Frage, ob es überhaupt eine konsistente Orientierung gibt,müssen wir für den Moment leider noch aufschieben.Konsistente Orientierungen sind antisymmetrisch.Satz 2.90 DIS 8F 2 Orient : F \ F�1 = ?.Beweis Nehmen wir das Gegenteil an, dann gibt es x; y 2 X mit x F y und y F x. Alsox F � F x und nach De�nition x li x. Dies widerspricht Axiom DIS. �Aus der De�nition einer konsistenten Orientierung können wir die sogenannten F -Fort-p�anzungsregeln angeben.Bemerkung 2.91 DIS VST SYM 8F 2 Orient : 8x; y; z 2 X : (x F y ^ y im z ^ x liz)) y F z. �Bemerkung 2.92 DIS VST SYM 8F 2 Orient : 8x; y; z 2 X : (x F y ^ y im z ^ x coz)) z F y. �Bemerkung 2.93 DIS VST SYM 8F 2 Orient : 8x; y; z 2 X : (y F x ^ y im z ^ x coz)) y F z. �Wir können mit diesen drei Sätzen bestimmen, wie die F -Relation zwischen zwei be-nachbarten Elementen gerichtet werden muÿ, wenn eine andere F -Beziehung bekannt ist.Satz 2.94 DIS VST SYM NTR KAA IMK LOR LFO 8F 2 Orient : 8x 2 S : jF [x]j =1 = jF�1[x]j.Beweis Sei F eine konsistente Orientierung. Sei x 2 S. Nach Satz 2.86 ist im[x] = fy; zgmit y 6= z. Axiom LFO ergibt y li z.Wegen x im y gilt entweder x F y oder y F x. Wenn x F y, dann erzwingt x im z und y li z,daÿ x F�1 z. Satz 2.90 ergibt :x F�1 y und :x F z, also F [x] = fyg und F�1[x] = fzg.Wenn andererseits y F x, dann F [x] = fzg und F�1[x] = fyg. In jedem Fall jF [x]j = 1 =jF�1[x]j. �Da Stellen genau zwei Transitionen in ihrer im-Umgebung haben, die durch li verbundensind, sieht man, daÿ jede Stelle genau eine Transition im Vorbereich und eine Transition imNachbereich hat. Damit korrespondieren Nebenläu�gkeitsstrukturen mit den Synchronisa-tionsgraphen, die beispielsweise in [GL73] untersucht werden. Diese Beziehung erlaubt esgelegentlich, Ergebnisse zwischen den beiden Theorien zu übernehmen.2.3.9 Linien und SchnitteEin weiteres entscheidendes Konzept in Petris Theorie der Nebenläu�gkeit stellen die Li-nien und die Schnitte dar. Linien, englisch lines, korrespondieren mit den Weltlinien von

32 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER THEORIE DER NEBENLÄUFIGKEITTeilchen in der Physik und beschreiben den Weg der Ausbreitung eines Signals durch dieRaumzeit. Schnitte, englisch cuts, entsprechen Momentaufnahmen des Universums, in denender Zustand aller aktuell vorhandenen Signale festgehalten wird.Formal sind Schnitte und Linien Teilmengen von X . Zwei Elemente, die wir in einemSchnitt versammeln, müssen notwendigerweise gleichzeitig beobachtbar sein, also in co ste-hen. Gleichermaÿen sind zwei Punkte in einer Linie notwendigerweise kausal abhängig, dasheiÿt in li.Andererseits sollte es zu einer Momentaufnahme, einem Schnitt, keine weiteren Elementegeben, die zu allen Elementen des Schnitts in co stehen, denn das würde darauf hindeuten,daÿ man sie in der Momentaufnahme vergessen hat.Wir de�nieren daher Linien und Schnitte daher als maximale Mengen von Elementen,die paarweise in li beziehungsweise co stehen.De�nition 2.95 [Linien]Lines := Kens(li). �De�nition 2.96 [Schnitte]Cuts := Kens(co). �Nachdem wir durch die Einführung einer konsistenten Orientierung eine Verbindungzwischen der Theorie von li und co zur Theorie der Netze aufgestellt haben, wollen wirdiese Beziehung jetzt vertiefen. Wir betrachten einen Schnitt als Momentaufnahme desUniversum, und dem entspricht gut der Begri� einer Markierung in der Netztheorie: JedeStelle, die im Schnitt enthalten ist, ist markiert, jede andere Stelle ist unmarkiert.Nun können in einer Markierung nur Stellen vorkommen, in einem Schnitt dürfen jedochauch Transitionen enthalten sein. Wir interpretieren dies, indem wir sagen, daÿ in demSchnitt die Transition während des Schaltens beobachtet wurde, zu einem Zeitpunkt, wo dieMarken von den Eingangsstellen bereits abgezogen wurden und noch keine Marken auf dieAusgangsstellen gelegt wurden.Einen Schnitt, der nur Stellen enthält, bezeichnen wir als S-Schnitt. In [Ste93] wirdbewiesen, daÿ sich damit eine enge Korrespondenz zwischen Netzen und Nebenläu�gkeits-strukturen ergibt und daÿ insbesondere die gewöhnliche Schaltregel von S-Schnitten nur zuanderen S-Schnitten führen kann.Damit wollen wir es zunächst mit der Interpretation von Schnitten bewenden lassen,und einige Sätze über Linien und Schnitte ableiten. Die nächsten Bemerkungen folgenunmittelbar aus der De�nition, werden in Beweisen jedoch so häu�g eingesetzt, daÿ sie hiernoch einmal genannt werden sollen.Bemerkung 2.97 Lines 6= ?. �Bemerkung 2.98 Cuts 6= ?. �Bemerkung 2.99 NTR 8L 2 Lines : L 6= ?. �Bemerkung 2.100 NTR 8C 2 Cuts : C 6= ?. �Bemerkung 2.101 8L 2 Lines : 8x; y 2 L : x li y. �Bemerkung 2.102 8C 2 Cuts : 8x; y 2 C : x co y. �Eine co-Klique kann zu einem Schnitt und eine li-Klique zu einer Linie erweitert werden.Durch ein einzelnes Element von X geht notwendigerweise ein Schnitt und auch eine Linie.Satz 2.103 8M 2 Kliquen(li) : 9L 2 Lines :M � L.Beweis Siehe [Ste93]. An entscheidender Stelle ist das Auswahlaxiom für diesen Beweiserforderlich. �

2.3. AXIOME 33Satz 2.104 8M 2 Kliquen(co) : 9C 2 Cuts :M � C. �Korollar 2.105 8x 2 X : 8y 2 X : x li y ) 9L 2 Lines : x; y 2 L. �Korollar 2.106 8x 2 X : 8y 2 X : x co y ) 9C 2 Cuts : x; y 2 C. �Korollar 2.107 8x 2 X : 9L 2 Lines : x 2 L. �Korollar 2.108 8x 2 X : 9C 2 Cuts : x 2 C. �Die folgenden Sätze erlauben es uns, auf einfache Weise zu entscheiden, ob ein Elementin einer Linie enthalten ist oder nicht.Satz 2.109 8L 2 Lines : 8x 2 X : L � li[x]) x 2 L.Beweis Sei L � li[x] und :x 2 L, dann ist L [ fxg eine li-Klique im Widerspruch zurMaximalität von L. �Für Widerspruchsbeweise ist eine andere Formulierung notwendig.Satz 2.110 :9L 2 Lines : 9x 2 X : L � li[x].Beweis Wir nehmen an, es gäbe L 2 Lines und x 2 X mit L � li[x]. Dann habenwir L � li[x], und nach Satz 2.109 ist x 2 L. Damit gilt nach Voraussetzung x 2 li[x],Widerspruch. �Der folgende Satz stellt nur eine Umformulierung des vorigen Satzes dar, aber er isttrotzdem recht hilfreich.Satz 2.111 8L 2 Lines : 8x 2 X : L \ co[x] 6= ?. �Alle diese Sätze lassen sich für Schnitte genauso formulieren, es müssen lediglich co undli vertauscht werden.Wenn wir Linien als Signale im System und Schnitte als Momentaufnahmen des Systemsbetrachten, dann sollten in einer Momentaufnahme alle Signale sichtbar sein. Es darf nichtpassieren, daÿ wir die Momentaufnahme zu einem Zeitpunkt machen, zu dem das Signalnirgends existent ist.In diesem Sinne muÿ die Struktur dicht genug sein, um für jeden Schnitt und jede Linieein Element zu enthalten, das das Abbild der Linie in dem Schnitt ist. Petri bezeichnetediese Eigenschaft einer Struktur als K-Dichte, wobei das �K� als �Ken-Dichte�, aber auchals �kombinatorische Dichte� sinnvoll interpretiert werden kann.Axiom KDI [K-Dichte]8C 2 Cuts : 8L 2 Lines : C \ L 6= ?. �Korollar 2.112 DIS KDI 8C 2 Cuts : 8L 2 Lines : jC \ Lj = 1.Beweis Sei C 2 Cuts und L 2 Lines. Wegen Axiom KDI ist jC\Lj � 1. Wenn jC\Lj > 1,dann gibt es x; y 2 C \L mit x 6= y. Per De�nition von Cuts und Lines ist jetzt x co y undx li y. Wegen x 6= y heiÿt dies x co y und x li y im Widerspruch zu Axiom DIS. �Die K-Dichte hat einige schwer zu überblickende Folgen, denen wir uns in späterenKapiteln zuwenden werden. Im Gegensatz zu den anderen Axiomen dieses Kapitels ist sienicht unumstritten. Dies gilt insbesondere, da es Strukturen gibt, die die K-Dichte nichterfüllen, jedoch ansonsten durchaus sinnvoll erscheinen.

Kapitel 3Beispiele und GegenbeispieleMit Beispielen kann man es immer scha�en. Bertolt Brecht, in �Leben des Galilei�Eine Theorie einzuführen, die sich um eine enge Beziehung zur realen Welt bemüht, ohneBeispiele für durch sie beschriebene Strukturen anzugeben, wäre kaum denkbar. Doch nichtnur die Illustration der Theorie gelingt durch Beispiele, sondern auch die Beschreibung ihrerSchwächen. Denn wenn sich ein Beispiel für eine Nebenläu�gkeitsstruktur �ndet, dessenInterpretation in der realen Welt nicht intuitiv oder sogar unmöglich ist, deutet dies aufeine Lücke in der Theorie hin, in der zusätzliche Axiome die unerwünschten Struktureneliminieren müssen.3.1 KonstruktionenDie Beispiele der nächsten Abschnitte lassen sich leichter verstehen, wenn man weiÿ, wiesie erzeugt wurden. Es gibt nämlich Standardverfahren, um Nebenläu�gkeitsstrukturen ausNetzen oder Ordnungen zu erzeugen. Die konstruierten Relationen co und li erfüllen durchdie Art der Konstruktion schon einige Axiome, zudem läÿt sich ein Netz oder eine Ordnungoft einfacher und kürzer beschreiben als die davon abgeleiteten Relationen.Um aus einer Ordnung < eine co und li zu erzeugen, ordnen wir ihr die Interpretation�ist zeitlich früher als� zu und erhalten nun li aus < durch Symmetrisierung.Konstruktion 3.1 Sei < eine Halbordnung in X , dann setzen wirli = (< [<�1);co = X�X � li;um die Nebenläu�gkeitsstruktur CS = (X; li; co) zu erhalten. �Für ein azyklisches Netz ist die Konstruktion auch einfach: Die transitive Hülle derFluÿrelation ergibt eine Ordnung, die nach dem obigen Verfahren behandelt wird.Konstruktion 3.2 Sei N = (B;E;F ) ein Netz, dann setzen wirX = B [E;li = F+ [ (F+)�1co = X�X � li;sowie CS = (X; li; co). �

36 KAPITEL 3. BEISPIELE UND GEGENBEISPIELEWenn das Netz einen Zyklus enthält, dann ist die Konstruktion nicht mehr so einfach. Dawir jedoch im vorigen Kapitel ein Beziehung zwischen Schnitten und Markierungen aufge-zeigt hatten, können wir daraus auch eine Konstruktion ableiten, die zwar häu�g verwendet,aber nie formal niedergelegt wurde.Aus einem Netz und einer Anfangsmarkierung kann jetzt die co-Relation gewonnen wer-den, indem wir zwischen zwei Bedingungen genau dann co setzen, wenn die Bedingungengleichzeitig markiert werden können, zwischen einer Bedingung und einem Ereignis, wenndas Ereignis schalten kann, während die Bedingung gilt ist, und zwischen zwei Ereignissen,wenn diese simultan schalten können.Konstruktion 3.3 Sei � = (B;E;F;M0) ein Netzsystem. Wir setzenX = B [E;co = f(b1; b2) j b1; b2 2 B ^ 9M 2 Fall : b1; b2 2M ^ b1 6= b2g [f(b; e) j b 2 B ^ e 2 E ^ 9M 2 Fall : b 2M ^M e!^ :b F eg [f(e; b) j b 2 B ^ e 2 E ^ 9M 2 Fall : b 2M ^M e!^ :b F eg [f(e1; e2) j e1; e2 2 E ^ 9M 2 Fall :M fe1;e2g���! ^ e1 6= e2g;li = X�X � co;wobei mit Fall = fM � B jM0 R Mg die volle Fallklasse bezeichnet ist. �Damit allerdings diese Konstruktion eine sinnvolle Nebenläu�gkeitsstruktur erzeugt,müssen einige weitere Bedingungen erfüllt sein. Zunächst soll das Netz vorwärts und rück-wärts stellenunverzweigt sein, damit kein Kon�ikt auftreten kann, der die Einführung derRelation al erforderlich machen würde. Des weiteren soll die Markierung lebendig sein,damit es keine Netzelemente gibt, die nie in das Tokenspiel einbezogen werden und daherprinzipiell nicht in co-Beziehung zu anderen Elementen stehen können. Zuletzt ist es empfeh-lenswert, daÿ die Markierung sicher oder besser sogar hochsicher ist, damit die co-Relationin der Umgebung von Ereignissen wohlgestaltet ist.Das Problem bei der vorigen Konstruktion ist, daÿ die gesamte Fallklasse berechnetwerden muÿ, und diese kann sehr groÿ werden. Sie kann bis zu 2jBj Elemente enthalten,weshalb die Konstruktion für groÿe Netze praktisch undurchführbar ist.Daher stelle ich hier einen weiteren Algorithmus zur Berechnung von co und li aus einemNetzsystem (B;E;F;M0) vor, der schneller ausführbar ist. Ich vermute, daÿ beide Verfahrenfür stellenunverzweigte, stark zusammenhängende Netze mit einer hochsicheren und leben-digen Markierung dieselben Relationen liefern, aber ein Beweis für diese Vermutung stehtnoch aus. Dies ist jedoch für unsere Zwecke nicht entscheidend, da wir nur an der einfachenGenerierung von Beispielstrukturen interessiert sind.Konstruktion 3.4 Sei � = (B;E;F;M0) ein Netzsystem, dann de�nieren wirX = B [E;U = X �M0;move = F \ (U�U);into = F \ (U�M0);outof = F \ (M0�U);liasym = �(move+) \ (move�U � into � outof �move�U )�1�[�(outof � move�U) \ (move�U � into)�1� ;li = liasym[ liasym�1;co = X�X � li:

3.2. UNENDLICHE MODELLE 37M0 sollte eine lebendige und hochsichere Markierung sein. �Diese Formeln können folgendermaÿen interpretiert werden: Zwei verschiedene Elementevon X stehen genau dann in li, wenn es einen F -Zyklus gibt, der durch beide Elemente gehtund nur genau eine markierte Bedingung enthält. U enthält die unmarkierten Netzelemente.move enthält die F -Schritte durch unmarkiertes Gebiet. into enthält die F -Schritte in einemarkierte Bedingung hinein, outof die Schritte aus einer markierten Bedingung heraus.liasym setzt sich aus zwei Teilen zusammen, der erste für den Fall, daÿ keines der beidenElemente eine markierte Bedingung ist, der zweite für den Fall, daÿ ein Element markiert ist.li entsteht daraus durch Symmetrisierung, co wiederum aus li durch Komplementbildung.3.2 Unendliche ModelleWir beginnen mit der Beschreibung von unendlichen Modellen, weil diese durch ihre engeBeziehung zu Halbordnungen und Prozessen einen einfachen Zugang ermöglichen.3.2.1 Die unendliche KetteEs soll nun das einfachste unendliche Modell vorgestellt werden, das alle bisher aufgestelltenAxiome erfüllt. Es ist dies die unendliche Kette, die in den Abbildungen 3.1 und 3.2 zu�nden ist. Dies Modell wird schon sehr früh von Petri erwähnt. Seine charakteristischeStruktur �ndet sich in vielen anderen Modellen wieder und ist schon deshalb eine genauereBetrachtung wert.Die Stellen, die eine Transition überspringen, haben eine doppelte Funktion. Zum erstensorgen sie für die co-Kohärenz, indem sie es erlauben, mit co-Schritten auf die jeweils andereSeite einer Transition zu gelangen. Zum zweiten sorgen sie für die korrekte De�nition derP -Relation, die nur möglich ist, wenn eine Transition jeweils mehr als ein Element in Vor-und im Nachbereich hat.Beide Eigenschaften wären nicht gegeben, wenn wir die Struktur auf die in den Abbil-dungen oben liegende Hauptlinie aus Stellen und Transitionen beschränken würden. Ja, wirwürden feststellen, daÿ die co-Relation leer ist, daÿ also die Nebenläu�gkeitsstruktur alleInformation verloren hat. Dies können wir uns so vorstellen, daÿ wir zu viele Kettengliederaus der Kette entfernt haben, so daÿ die übrigen Kettenglieder auseinandergefallen sind....... Abbildung 3.1: Unendliche Kette, co-Relation...... Abbildung 3.2: Unendliche Kette, F -Relation

38 KAPITEL 3. BEISPIELE UND GEGENBEISPIELE(0,0)

(1,0)(0,1)

(1,1)

(-1,1)

(-1,0)

(-1,-1)

(0,-1)

(1,-1)

(3.5,0)

(0,-3.5)(-3.5,0)

(0,3.5) Abbildung 3.3: StandardgitterDie unendliche Kette ist ein Kausalnetz, was das Verständnis der co-Relation erleichtert.In diesem Fall ist li = F+ [ (F�1)+, weil die Elemente der Struktur in einer strengenzeitlichen Ordnung stehen. Dies bedeutet auch, daÿ wir die li-Relation mit der einfachenKonstruktion 3.2 aus der F -Relation gewinnen können.Wir werden später die Struktur der unendliche Kette einsetzen, um komplizierte Beispie-le zu erzeugen, indem wir zunächst ein einfaches Netz erzeugen und dann Stellen hinzufügen,die jeweils eine Transition überspringen. Gewissermaÿen ver�echten wir dabei mehrere un-endliche Ketten zu einem einheitlichen Ganzen.3.2.2 StandardgitterDas Standardgitter, das jetzt vorgestellt wird, bildet die Grundlage für eine ganze Klassevon Modellen, und zwar für die Zykloide. Es ist aber auch in anderer Hinsicht interessant.Erstens ist es ein Modell, das in Zeitrichtung (li) und in Raumrichtung (co) unendlichweit ausgedehnt ist. Zweitens sehen wir hier ein Modell, das eine wichtige Eigenschaft, dieK-Dichte, nicht besitzt. Drittens stellt es einen Bezug zur Physik in Form der Relativitäts-theorie her.Das Standardgitter erschlieÿt sich am einfachsten in der Netzdarstellung, die in Abbil-dung 3.3 wiedergegeben ist. Leicht erkennt man die zwei Dimensionen der Ausdehnung: DieF -Pfeile sind alle abwärts gerichtet, die Zeitachse verläuft also vertikal, und senkrecht dazu,in der Horizontalen, können wir uns eine Raumdimension vorstellen.Somit entspricht das Standardgitter in etwa einem Minkowski-Diagramm, wie es zurVisualisierung der Relativitätstheorie verwendet wird. Wir werden gleich sehen, daÿ dieÄhnlichkeit noch weitergeht und daÿ sich insbesondere Raum- und Zeitkegel ganz natürlichergeben. Dazu müssen wir allerdings eine formale De�nition des Standardgitters erstellen.

3.2. UNENDLICHE MODELLE 39�� ��

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s1t s2Abbildung 3.4: Zeitkegel im StandardgitterDe�nition 3.5 [Standardgitter]Die StrukturNSG := (SSG; TSG; FSG)SSG := f(x; y + 12) j x 2 Z ^ y 2 Zg [f(x+ 12 ; y) j x 2 Z ^ y 2 ZgTSG := f(x; y) j x 2 Z ^ y 2 ZgFSG := f((x; y); (x; y+ 12)) j x 2 Z ^ y 2 Zg [f((x; y); (x+ 12 ; y)) j x 2 Z ^ y 2 Zg [f((x; y � 12); (x; y)) j x 2 Z ^ y 2 Zg [f((x� 12 ; y); (x; y)) j x 2 Z ^ y 2 ZgXSG := SSG [ TSGliSG := FSG+ [ (F�1SG)+coSG := XSG�XSG � liSG � idXSGheiÿt Standardgitter. �Die Koordinatenachse x verläuft im Diagramm von links oben nach rechts unten, dieKoordinatenachse y entsprechend von rechts oben nach links unten. Für ein Element x istsein Zeitkegel nun genau die Menge li[x] und der raumartige Bereich entspricht co[x]. InAbbildung 3.4 sieht man die Zeitkegel von drei verschiedenen Elementen. Die Transition tbesitzt einen symmetrischen Zeitkegel, dieser sieht für alle Transitionen bis auf Verschiebunggleich aus.Für die Stellen gibt es dagegen zwei zueinander spiegelsymmetrische Varianten, die alss1 und s2 dargestellt sind. Hier ist der Zeitkegel etwas schräg versetzt, und zwar bei denbeiden Varianten unterschiedlich. Dies liegt daran, daÿ die Stellen zwar immer eine zeitlicheDistanz überbrücken müssen, daÿ jedoch die eine Hälfte der Stellen dabei eine räumlicheDistanz nach links und die andere Hälfte nach rechts überbrückt.Damit sind auch schon die wichtigsten Unterschiede zum gewöhnlichen Minkowski-Raumklar: Das Standardgitter ist nicht dicht, es besitzt zwei Sorten von Elementen, also Stellenund Transitionen, und es treten gewisse Asymmetrien auf.Warum wird die K-Dichte verletzt? Wir betrachten die Linie L = f: : : ; (�1; 0); (�12; 0);(0; 0); (12; 0); (1; 0); : : :)g und den Schnitt C = f: : : ; (�1; 12); (0; 12); (1; 12); : : :)g und stellenfest, daÿ sich die beiden nicht schneiden. Gewissermaÿen weicht die Linie dem Schnitt inRaumrichtung aus, wie in Abbildung 3.5 zu sehen ist.Der Schnitt C hat auÿerdem die Eigenschaft, daÿ er, wenn man ihn als Markierung

40 KAPITEL 3. BEISPIELE UND GEGENBEISPIELE��

��

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�� ��

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��������L LC0CAbbildung 3.5: Verletzung der K-Dichte im Standardgitterdes Netzes auffaÿt, keine Transition aktiviert, die Markierung wäre tot. Allerdings hatnicht jeder Schnitt, der eine Linie nicht schneidet, diese Eigenschaft. Sie entsteht hier nur,weil der Schnitt maximal schräg durch die Struktur gelegt wurde. Ein anderes Beispiel istder Schnitt C 0 = f: : : ; (�112; 2); (�1; 112); (�12; 1); (0; 12); (1; 12); (2; 12); : : :g, der ebenfalls dieK-Dichte verletzt, aber aktivierte Transitionen besitzt.3.2.3 Konstruktion von Beispielen aus HalbordnungenEs ist oft nicht leicht, Nebenläu�gkeitsstrukturen zu erzeugen, die alle wesentlichen Axio-me erfüllen. Sofern die Strukturen nicht zyklisch sein sollen, gibt es eine einfache Mög-lichkeit, Strukturen aus Halbordnungen zu konstruieren. Dabei werden die Elemente derHalbordnung zu Transitionen, und es werden automatisch Stellen erzeugt, die die Strukturzusammenhalten.Die Halbordnung, von der wir ausgehen, muÿ kombinatorisch sein. Des weiteren dürfenkeine Maxima oder Minima in der vorgegebenen Ordnung vorhanden sein.Konstruktion 3.6 Sei (M;<) eine Halbordnung, genannt Anfangsordnung, für dieM 6= ?; (Nichttrivialität, 3.1)< = l+; (Kombinatorische Ordnung, 3.2)8a 2M : 9b 2M : b > a; (Kein Maximum, 3.3)8a 2M : 9b 2M : b < a (Kein Minimum, 3.4)gilt. Nun de�nieren wirX = f(a; b) 2M�M j a = b _ al b_ al2 bg; (3.5)� = f((a; b); (c; d)) 2 X�X j b � c ^ a < dg; (3.6)li = � [ ��1; (3.7)co = (X�X)� li: (3.8)(X;�) heiÿt Zielordnung. Die anderen Objekte der Theorie der Nebenläu�gkeit wie im, P ,Lines und Cuts seien wie üblich de�niert. �Den Rest dieses Abschnitts werden wir damit zubringen, einige der wichtigsten Eigen-schaften der so konstruierten Strukturen zu beweisen. Es ist zu vermuten, daÿ Petri dieseoder eine ähnliche Konstruktion vorschwebte, als er die Theorie der Nebenläu�gkeit entwor-fen hat, da sich eine charakteristische Form der Linien ergibt, die stets dem von Petri oftangeführten 4-Jahreszeiten-Modell ähnelt.Zunächst nehmen wir einige triviale Aussagen zur Kenntnis, die später benötigen werden,die aber zunächst noch gar nicht viel mit der Nebenläu�gkeitstheorie zu tun haben.

3.2. UNENDLICHE MODELLE 41Bemerkung 3.7 Die Aussagen:Fin(M)8a 2M : 9b 2M : al b8a 2M : 9b 2M : bl agelten für alle Anfangsordnungen (M;<), die für Konstruktion 3.6 zulässig sind. �Bemerkung 3.8 Für die Struktur (X;�) gilt:Fin(X)8 (a; b) 2 X : a � b8 (a; b) 2 X : (a; a) 4 (a; b) 4 (b; b)8 (a; b) 2 X : a 6= b) ((a; a) � (a; b) � (b; b))8 (a; a); (b; b)2 X : (a; a) � (b; b)) a < bper Konstruktion. �Nun können wir zeigen, daÿ (X;�) eine Ordnung ist.Lemma 3.9 8(a; b); (c; d); (e; f) 2 X : (a; b)� (c; d) � (e; f)) (a; b) � (e; f).Beweis Sei (a; b) � (c; d) � (e; f), dann gilt b � c^ a < d sowie d � e ^ c < f . Mit c � dund e � f ergibt sich b � c � d � e und a < d � e � f , also (a; b)� (e; f). �Lemma 3.10 8(a; b) 2 X : :(a; b) � (a; b).Beweis Wir nehmen das Gegenteil an, dann gibt es (a; b) 2 X mit (a; b) � (a; b), alsoa < b^ b � a. Dies führt zu a < a, Widerspruch. �Satz 3.11 (X;�) ist eine Halbordnung.Beweis Lemma 3.9 zeigt die Transitivität und Lemma 3.10 die Irre�exivität. �Durch die Konstruktion von li und co ist stets gewährleistet, daÿ die Axiome DIS , VST ,SYM und NTR erfüllt sind.Wir stellen jetzt eine Beziehung zu den Kausalordnungen her, die wir in De�nition 5.28kennenlernen werden. Für den Moment brauchen wir uns um diese Bezeichnungen abernicht zu kümmern, es ist nur wichtig, daÿ die zu beweisenden Eigenschaften bisweilen dieweitere Argumentation vereinfachen. Sei dazuB = f(a; b) 2 X j a 6= bg; (3.9)E = f(a; b) 2 X j a = bg; (3.10)dann gilt B \ E = ? und B [E = X trivialerweise.Lemma 3.12 8 (a; b) 2 X : a 6= b) ((a; a) �� (a; b) �� (b; b)).Beweis Sei (a; b) 2 X und a 6= b. Wir zeigen (a; a) �� (a; b), (a; b) �� (b; b) ergibt sichanalog.(a; a) � (a; b) ist klar. Nehmen wir für einen Widerspruchsbeweis an, daÿ es ein (c; d) 2 Xgibt mit (a; a) � (c; d) � (a; b). Nun gilt a < d wegen (a; a) � (c; d), aber d � a wegen(c; d) � (a; b). Widerspruch. �Satz 3.13 8a; b 2M : (al b _ al2 b)) ((a; a) �� (a; b) �� (b; b)). �Lemma 3.14 8 (a; b); (c; d)2 X : (a; b) �� (c; d)) b = c.Beweis Angenommen, (a; b) �� (c; d), aber b 6= c. Es folgt b < c, somit gibt es ein e 2 Mmit bl e � c. Nun gilt (a; b) 4 (b; b) � (b; e) � (e; e) 4 (c; c) 4 (c; d) im Widerspruch zu(a; b) �� (c; d). �Lemma 3.15 8 (a; b); (c; d)2 X : (a; b) �� (c; d)) (a = b_ c = d).

42 KAPITEL 3. BEISPIELE UND GEGENBEISPIELEBeweis Seien (a; b); (c; d) 2 X und (a; b) �� (c; d), dann b = c wegen Lemma 3.14. Wärea 6= b^ c 6= d, dann (a; b) � (b; b) = (c; c) � (c; d), Widerspruch. �Lemma 3.16 8 (a; b); (c; d)2 X : (a; b) �� (c; d)) (a 6= b_ c 6= d).Beweis Seien (a; b); (c; d) 2 X und (a; b) �� (c; d), dann b = c wegen Lemma 3.14. Wärea = b^ c = d, dann (a; b) = (c; d), Widerspruch. �Satz 3.17 (��) � B�E [E�B.Beweis Seien (a; b); (c; d)2 X und (a; b) �� (c; d). Wenn a = b, dann c 6= d wegen Lemma3.16, also (a; b) 2 B und (c; d) 2 E. Wenn andererseits a 6= b, dann c = d wegen Lemma3.15, und wir haben (a; b) 2 E und (c; d) 2 B. �Satz 3.18 8x 2 B : jx�j = 1 = j�xj.Beweis Sei x 2 B, wir zeigen nur j�xj = 1. Es sei x = (a; b), dann gilt a 6= b.Wegen Lemma 3.12 ist (a; a) �� (a; b), also �x 6= ?.Sei (c; d) 2 X mit (c; d)�� (a; b) = x, dann d = a wegen Lemma 3.14. (c; d) 2 E wegen Satz3.17, also c = d und damit c = a. Damit ist �x = f(a; a)g. �Satz 3.19 8x 2 E : jx�j > 1 < j�xj.Beweis Sei x 2 E und x = (a; a), wir zeigen nur j�xj > 1.Es gibt ein b 2M mit bla, sowie ein c 2M mit clb. Nach Satz 3.13 gilt nun (b; a) �� (a; a),sowie (c; a)�� (a; a). Da b 6= c ist (b; a) 6= (c; a). �Korollar 3.20 8L 2 Lines : :Fin(L). �Damit ergibt sich die Aufteilung von X in B und E auch aus der Ordnung � selbst:B-Elemente haben genau einen Vorgänger und Nachfolger, E-Elemente dagegen stets mehrals einen.Lemma 3.21 8a; b 2M : al b) (a; a) ��2 (b; b).Beweis Seien a; b 2M und a l b, dann ist (a; b) 2 X und (a; a) �� (a; b)�� (b; b). �Lemma 3.22 8x; y 2 E : x � y ) x ��+ y.Beweis Seien x; y 2 E und x � y, dann können wir schreiben x = (a; a) und y = (b; b),wobei a < b. Formel 3.2 aus Konstruktion 3.6 zeigt a l+ b, also können wir Lemma 3.21anwenden und erhalten (a; a) ��+ (b; b). �Satz 3.23 8x; y 2 X : x � y ) x ��+ y.Beweis Sei x = (a; b) 2 X und y = (c; d) 2 X , wobei x � y. Es ist (a; b) 4 (b; b)4 (c; c) 4(c; d), und nach dem vorigen Lemma (b; b) ��� (c; c). Wenn a 6= b, dann (a; b) �� (b; b),ansonsten (a; b) = (b; b). Wenn c 6= d, dann (c; c) �� (c; d), ansonsten (c; c) = (c; d).Insgesamt x = (a; b) ��� (c; d) = y, und weil x 6= y ist, haben wir auch x ��+ y. �Der letzte Satz bedeutet, daÿ (X;�) eine kombinatorische Ordnung ist. Zusammen mitSatz 3.17 und Satz 3.18 erfüllt die Ordnung damit die Voraussetzungen für eine Kausalord-nung.Lemma 3.24 8x; y; z 2 X : (x �� y ^ z �� y)) x co z. �Lemma 3.25 8x; y; z 2 X : (y �� x ^ y �� z)) x co z. �Lemma 3.26 8x 2 B : 8y 2 E : (x �� y _ y �� x)) li[x] li[y].Beweis Seien x 2 B und y 2 E, wir beschränken uns auf den Fall x �� y. Sei z 2 X undx li z, wir zeigen dann y li z.Wenn z 4 x, dann z 4 y wegen der Transitivität der Ordnung, also y li z. Wenn hingegenx � z, dann auch x ��+ z. Daher gibt es eine ��-Kette � = (a0; a1; : : : ; an) mit x = a0und z = an und n � 1. Nun muÿ a1 = y gelten, weil nach Satz 3.18 jx�j = 1 gilt. Alsoy = a1 4 an = z oder y li z.

3.2. UNENDLICHE MODELLE 43Damit gilt li[x] � li[y]. Satz 3.19 zeigt, daÿ ein w 2 X mit w �� y und w 6= x existiert.x co w wegen Lemma 3.24, also x co w und li[x] 6= li[y]. �Lemma 3.27 8x 2 X : 8y 2 X : (li[x] � li[y]^ x 6= y)) y 2 E.Beweis Sei x; y 2 X , li[x] � li[y] und x 6= y. O�ensichtlich gilt x li y, also x li y, dasheiÿt x � y _ y � x. Wir nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, daÿ x � yerfüllt ist.Angenommen y 2 B. Es gibt ein z 2 E mit x 4 z und z �� y wegen Satz 3.23. Es gibt einw 2 B mit z �� w und w 6= y nach Satz 3.19. y co w gemäÿ Lemma 3.25. x 4 z �� w führtzu x li w im Widerspruch zu li[x] � li[y].Also y 2 E. �Lemma 3.28 8x 2 X : 8y 2 X : (li[x] � li[y]^ x 6= y)) (x �� y _ y �� x).Beweis Sei x; y 2 X , li[x] � li[y] und x 6= y. O�ensichtlich x li y, also x li y. Wir nehmenohne Beschränkung der Allgemeinheit an, daÿ x � y.y 2 E wurde im vorigen Lemma gezeigt, wir können also schreiben x = (a; b) und y = (c; c).Angenommen b 6= c, dann b < c und ferner b l+ c. Es gibt d 2M mit dl c und b � d. Esgibt e 2M mit cl e.Nun ist (a; b) 4 (b; b) 4 (d; d) �� (d; e), also x = (a; b) li (d; e). (d; e) 4 (c; c) ist nununmöglich, da c < e, und (c; c) 4 (d; e) entfällt wegen d < c. Es bleibt y = (c; c) co (d; e)im Widerspruch zu li[x] � li[y].Also b = c und a 6= b wegen (a; b) 6= (c; c). Wir erhalten x = (a; b) �� (c; c) = y mit Lemma3.12.Hätten wir y � x angenommen, dann wären wir zu y �� x gelangt. �Satz 3.29 im = (�� [ ���1).Beweis Mit Lemma 3.26 und Lemma 3.28. �Satz 3.30 8x 2 X : 9y 2 X : x im y.Beweis Sei x 2 X . Wegen Satz 3.18 beziehungsweise Satz 3.19 gibt es ein y 2 X mitxl y. Wegen Satz 3.29 gilt x im y. �Lemma 3.31 P � B�E.Beweis Seien x; y 2 X , wobei x P y. Lemma 3.27 zeigt y 2 E. Lemma 3.28 ergibtx �� y _ y �� x. Satz 3.17 führt zu x 2 B. �Satz 3.32 B = S ^ E = T .Beweis Lemma 3.31 ergibt S � B und T � E. Satz 3.30 ergibt S [ T = X = B [ E. �Satz 3.33 P 2 = ?.Beweis Unmittelbar aus Lemma 3.31 und B \E = ?. �Satz 3.34 (��) 2 Orient.Beweis Wir zeigen im einzelnen die geforderten Eigenschaften.� (�� [ ���1) = im wegen Satz 3.29.� (�� ���) � (�) � li.� (�� ����1) � co wegen Lemma 3.24.� (���1 ���) � co wegen Lemma 3.25.Also ist �� eine konsistente Orientierung. �Daÿ aus dem letzten Satz die nächsten beiden Korollare folgen, wird später noch gezeigt,sollte aber auch so einsichtig sein.Korollar 3.35 8x 2 X : (cojim[x])2 � cojim[x]. �

44 KAPITEL 3. BEISPIELE UND GEGENBEISPIELEKorollar 3.36 8x 2 X : (lijim[x])2 � cojim[x]. �Wir zeigen nun auch noch die lokale Fortsetzbarkeit.Satz 3.37 8x 2 X : idim[x] � (lijim[x])2.Beweis Sei x 2 X und y 2 im[x]. Wir nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit an,daÿ y �� x. Nun gibt es ein z 2 X mit x �� z. Weil z 2 im[x] und y li z, gilt der Satz. �Die Irreduzibilität ergibt sich aus denselben Gründen, die auch schon dazu geführt haben,daÿ die P -Relation die gewünschte Form hat.Satz 3.38 eco = idX .Beweis eco � idX ist klar. Wir zeigen eco � idX .Seien x; y 2 X mit co[x] = co[y]. Es gilt dann auch li[x] = li[y]. Angenommen x 6= y,dann x �� y _ y �� x wegen Lemma 3.28. Satz 3.29 verlangt nun x im y und damitli[x] li[y]_ li[x] ! li[y]. Widerspruch. �Satz 3.39 eli = idX .Beweis eli � idX ist klar. Wir zeigen eli � idX .Seien x; y 2 X mit li[x] = li[y]. Es gilt :x li y, also x co y.Wir beobachten 8z 2 X : z � x, z � y, denn gäbe es beispielsweise ein z 2 X mit z � x,aber :z � y, dann wäre z li y wegen z li x und daher y � z mit einem Widerspruch durchy � z � x co y.Auf dieselbe Art zeigt man 8z 2 X : z � x , z � y. Somit auch �x = �y und x� = y�. Seiu 2 �x = �y und sei v 2 x� = y�.Wir schreiben x = (a; b), y = (c; d), u = (e; f) und v = (g; h), dann ist f = a wegen u �� xund Lemma 3.14. Aus demselben Grund erhalten wir f = c, b = g und d = g. Zusammena = c und b = d, also x = y. �Lemma 3.40 im � co2.Beweis Sei x; y 2 X beliebig mit x im y, dann ist x 2 E _ y 2 E. Wir nehmen ohneBeschränkung der Allgemeinheit an, daÿ x 2 E, das heiÿt x = (a; a).Nun gibt es b; c 2 M mit b l a l c, und damit ist (b; c) 2 X . :(a; a) � (b; c), weil b < a.Weiterhin :(b; c) � (a; a), weil a < c, also x = (a; a) co (b; c). Weil x 2 E haben wir y P xund daher y co (b; c), also x co2 y. �Lemma 3.41 li � im+.Beweis li = (�) [ (��1) = (��+)[ (��+)�1 � im+ [ im+ = im+. �Korollar 3.42 im�X = li�.Beweis Mit im � li erhalten wir im�X � li� � im+�X � im�X . �Satz 3.43 co� = X�X .Beweis X�X = co [ li � co [ im+ � co [ (co2)+ � co� � X�X . �Damit sind die wichtigsten Eigenschaften der konstruierten Struktur bewiesen, und wirkönnen die Ergebnisse noch einmal zusammenfassen. CS = (X; li; co) erfüllt die AxiomeVST , DIS , SYM , NTR , COI , LII , COK , KAA , LOR , LCT und LFO , wie durchdie verschiedenen Sätze in diesem Abschnitt gezeigt wurde. Es existiert auÿerdem mit ��eine konsistente Orientierung. Weitere Axiome können nun nur noch durch zusätzlicheBedingungen an die Anfangsordnung hergeleitet werden.Satz 3.44 ((< [<�1)�M = M�M)) (li� = X�X).Beweis Sei (< [<�1)�M = M�M .Sei x = (a; b) 2 X und y = (c; d) 2 X . Sicher ist x li (a; a) und (c; c) li y. Sei nun � = (a =a0; a1; : : : ; an = c) eine (< [ <�1)-Kette, dann ist ebenso � = ((a; a) = (a0; a0); (a1; a1);: : : ; (an; an) = (c; c)) eine li-Kette. Also x li (a; a) li� (c; c) li y. �

3.2. UNENDLICHE MODELLE 45-1-2012 ) )2,21,21,10,10,0-1,0-1,-1-2,-1-2,-2

1,30,2-1,1-2,0-3,-12,21,21,10,10,0-1,0-1,-1-2,-1-2,-2

1,30,2-1,1-2,0-3,-1Abbildung 3.6: Konstruktion von l zu �� zu coKorollar 3.45 ((< [<�1)�M = M�M)) (im�X = X�X).Beweis Mit Korollar 3.42 und Satz 3.44. �Wenn (< [ <�1)�M = M�M gilt, dann erfüllen die Strukturen auch die Axiome LIK undIMK . Somit sind sämtliche bisher bekannten Axiome bis auf Axiom KDI per Konstruktionerfüllt. Die K-Dichte stellt ein gewisses Problem dar, es kommt uns jedoch zugute, daÿ in[BF88] eine Charakterisierung der K-Dichte gegeben wird, die für Kausalordnungen leichtzu prüfen ist und die sich in dieser Arbeit als Theorem 5.29 wieder�ndet.Später werden noch die Axiome LUE , KOR und OBS eingeführt, die die erzeugtenStrukturen auch immer erfüllen. Des weiteren werden diverse Endlichkeitsbedingungen ein-geführt, die für generierte Strukturen leicht zu veri�zieren oder zu widerlegen sind.Wenden wir zum Eingewöhnen unser neues Verfahren zunächst einmal auf ein bekanntesBeispiel an, indem wir die unendliche Kette damit generieren. Wir beginnen mit den ganzenZahlen in ihrer natürlichen Ordnung. Die Konstruktion liefert uns jetztX = f: : : ; (�1;�1); (0; 0); (1; 1); : : :g [f: : : ; (�2;�1); (�1; 0); (0; 1); (1; 2); : : :g [f: : : ; (�2; 0); (�1; 1); (0; 2); : : :g:Hierbei sind die Paare, die aus zwei gleichen Elementen bestehen, transitionsartig, die ande-ren Paare sind stellenartig. In Abbildung 3.6 sieht man die beiden Schritte der Konstruktion,in der zunächst die verfeinerte Ordnungsrelation �� und dann die Relation co erzeugt wird.Da sich die Bedingungen, die an die zugrundeliegende Halbordnung gestellt werden, leichtbeweisen lassen, wissen wir, daÿ die resultierende Struktur eine groÿe Menge von Axiomenerfüllt, ohne daÿ diese Axiome getrennt geprüft werden müÿten. Dies ist insbesondere

46 KAPITEL 3. BEISPIELE UND GEGENBEISPIELEfür unendliche Strukturen wie die unendliche Kette erforderlich, da eine Überprüfung derAxiome mittels eines Computers ausscheidet.3.2.4 Konstruierte StrukturenWir geben nun noch einige weitere Nebenläu�gkeitsstrukturen an, die aus Halbordnungenkonstruiert werden können. In Abbildung 3.7 sind fünf graphische Darstellungen zu sehen,denen wir nun die mathematische De�nition der Anfangsordnungen beistellen.a) X = f(a; b) j a; b 2 Z ^ (a = 0 _ b � 0)g,(a; b)< (c; d), ((b < d) ^ (a = c_ b < 0)).b) X = f(a; b) j a 2 f0; 1g ^ b 2 Z ^ (a = 0 _ b 6= 0)g,(a; b)< (c; d), ((b < d) ^ (a = c_ (b � 0^ d � 0))).c) X = f(a; b) j a 2 N ^ b 2 Z ^ (a = 0 _ �a � b � a)g,(a; b)< (c; d), ((b < d) ^ (a = c_ (a = 0 ^ b < �c) _ (c = 0^ a < d))).d) X = f(a; b) j a; b 2 Z ^ (a = 0 _ b = 0)g,(a; b)< (c; d), (b < d).e) X = f(a; b) j a; b 2 Zg,(a; b)< (c; d), ((b < d) ^ (a = c_ (a = c+ 1 ^ b < 0^ d � 0))).Es soll jetzt nicht genauer auf die einzelnen Beispiele eingegangen werden, denn die zu-grundeliegenden Ideen sollten aus der Graphik klar werden. In den Abbildungen bedeutensenkrechte, durchgezogene Linien die Linien der Anfangsordnung, gepunktete Linien sol-len co-Beziehungen anzeigen. Nach der Durchführung der Konstruktion sind zwar mehrElemente und auch mehr Linien vorhanden, die grobe Struktur bleibt jedoch erhalten.Es wäre noch zu beweisen, daÿ alle erzeugten Strukturen K-dicht sind, daÿ sie alsoalle bisher vorgestellten Axiome erfüllen. Auf der Ebene von Halbordnungen sollten dieseBeweise aber problemlos möglich sein.Nur das Beispiel c soll einmal getrennt in einer graphischen Darstellung gezeigt werden,um auch die Struktur von Verzweigungen besser verstehen zu können. In Abbildung 3.8 istdas Ergebnis der Konstruktion zu sehen. Man kann links die Hauptlinie sehen, an die sicha) b) c)d) e)Abbildung 3.7: Anfangsordnungen für Konstruktion 3.6

3.3. ENDLICHE MODELLE 47. . .

Abbildung 3.8: Ergebnis der Konstruktion für Struktur c, F -Relationnach rechts die einzelnen Schleifen anschlieÿen, die immer mehr Elemente beinhalten, erst3, dann 5, 7 und so weiter. Je gröÿer die Schleifen werden, desto gröÿer wird auch der vonihnen übersprungene Bereich auf der Hauptlinie.Nicht nur die insgesamt sechs vorgestellten Ordnungen, sondern beliebige andere könnenmit der vorgestellten Methode in eine Nebenläu�gkeitsstruktur eingebettet werden. Für eineallgemeine Ordnung geht man dabei so vor, daÿ man sie zuerst erweitert, um alle Minimaund Maxima zu beseitigen. Danach sorgt man dafür, daÿ die Ordnung kombinatorisch wird,auch dies stellt kein Problem dar. Dann kann man die Konstruktion anwenden und erhälteine Nebenläu�gkeitsstruktur. Bei der Entwicklung von Modellen ist man damit nicht mehrnur auf die Intuition angewiesen, sondern kann systematisch vorgehen.3.3 Endliche ModelleIn diesen Abschnitt sollen die Strukturen im wesentlichen informal beschrieben werden.Obwohl die Methoden, die zur Entwicklung der Modelle verwendet wurden, ausführlichbeschrieben werden, �nden sich die einzelnen Beispiele nur in graphischer Form wieder. Dieshat zwei Gründe: Zum einen würde eine exakte mathematische Beschreibung der Strukturen,etwa durch die Angabe vonX , li und co, die zugrundeliegenden Ideen nicht vermitteln. Zumanderen wäre die Darstellung sehr umfangreich, so daÿ sie den Text unangemessen belastenwürde.Die formalen Modelle und die Ergebnisse einer Computerauswertung der Axiome, die jagerade bei endlichen Modellen einfach möglich ist, �nden sich daher in Anhang C, wo siegegebenenfalls nachgeschlagen werden können.Dabei steht bei der Bestimmung der Eigenschaften immer die Relation co und ihr Kom-plement, die Relation li, im Vordergrund. Alle anderen Objekte � P , im, F , Lines und so

48 KAPITEL 3. BEISPIELE UND GEGENBEISPIELE4

5

1

2

3Abbildung 3.9: N-Struktur, co-Relation 4

5

1

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3Abbildung 3.10: N-Struktur, F -Relationweiter � werden später von diesen Relationen abgeleitet. Dem widerspricht nicht, daÿ fürdie Konstruktion der co-Relation gelegentlich zuerst die F -Relation festgelegt wird oder daÿzuerst die wichtigsten Linien skizziert werden. Nach der Konstruktion sind die abgeleitetenObjekte stets wieder neu zu konstruieren, um zu überprüfen, ob sie die beabsichtigte Formhaben.3.3.1 N-StrukturIn Abbildung 2.1 wurde bereits eine sehr einfache Beispielstruktur angegeben, diese istjedoch insbesondere nicht K-dicht, da fa; bg 2 Cuts und fc; dg 2 Lines gilt. Wir schlieÿendiese Lücke, indem wir ein Element hinzufügen, das dem Schnitt und der Linie gemeinsamist, und erhalten die Struktur aus Abbildung 3.9, die N-Struktur heiÿen soll.Die Elemente vonX wurden dabei umbenannt, um alle Beispiele einheitlich zu gestalten.Es werden grundsätzlich Zahlen von 1 aufwärts zur Numerierung verwendet, da die Anzahlder Buchstaben in gröÿeren Beispielen nicht ausreicht. Des weiteren wird so die automatischeÜberprüfung der Axiome durch den Computer erleichtert.Die N-Struktur erfüllt alle bisher vorgestellten Axiome auÿer Axiom LFO und besitzteine konsistente Orientierung, die in Abbildung 3.10 dargestellt ist.Der Grund, sich die N-Struktur anzusehen, obwohl sie ein Axiom nicht erfüllt, ist dieKleinheit der Struktur. Es ist bei der N-Struktur noch möglich, von Hand die Axiomedurchzuprüfen. Bei gröÿeren Strukturen wird dies immer schwieriger, ja bereits bei dernächsten vorzustellenden Struktur ist dies kaum noch möglich, obwohl sie immer noch sehrklein ist.3.3.2 4-JahreszeitenEs wird jetzt die kleinste mögliche Struktur vorgestellt, die alle bisher vorgestellten Axiomegleichzeitig erfüllt. Das Modell ist unter dem Namen 4-Jahreszeiten-Netz bekannt und inden Abbildungen 3.11 und 3.12 dargestellt.Um die Bezeichnung besser verstehen zu können, geben wir den Stellen und Transitioneneine Interpretation, die insbesondere in der Netzdarstellung aus Abbildung 3.12 deutlichwerden wird. Wir interpretieren dazu die Elemente aus X folgendermaÿen:1 � Übergang Winter zu Frühling.2 � Es ist Frühling.3 � Es ist Frühling oder Sommer.4 � Übergang Frühling zu Sommer.5 � Es ist Sommer.6 � Es ist Sommer oder Herbst.

3.3. ENDLICHE MODELLE 497 � Übergang Sommer zu Herbst.8 � Es ist Herbst.9 � Es ist Herbst oder Winter.10 � Übergang Herbst zu Winter.11 � Es ist Winter.12 � Es ist Winter oder Frühling.Jetzt wird im Netz klar, warum welche F -Kanten eingezeichnet worden sind. Beispielsweisegilt 11 F 1, weil der Übergang von Winter zum Frühling die Bedingung �Es ist Winter� un-gültig macht. Andererseits gilt nach dem Eintreten des Ereignisses bestimmt die Bedingung2, denn dann ist es Frühling.Interessant ist, daÿ das 4-Jahreszeiten-Netz eine zyklische Struktur ist und daher die co-Relation nicht mehr so einfach zu verstehen ist, wie noch bei der N-Struktur. Beispielsweisesind die Elemente 1 und 12 durch eine F -Kette miteinander verbunden, Element 1 wirktalso, zumindest indirekt, auf Element 12. Trotzdem sind die beiden Elemente nach derInterpretation von co kausal unabhängig, eine Tatsache, an die man sich erst gewöhnenmuÿ.Dennoch läÿt sich die Wahl der co-Relation verteidigen, es ist gerade der groÿe Vorzug derTheorie der Nebenläu�gkeit, daÿ auch zyklische Situationen sinnvoll behandelt werden. Wirbetrachten zur Verdeutlichung einen Schnitt, also eine maximale co-Klique, beispielsweisef9; 11; 12g. Dieser Schnitt hat die besondere Eigenschaft, nur aus Stellen zu bestehen, was esermöglicht, ihn als Markierung des Petrinetzes aus Abbildung 3.12 aufzufassen. Wir könnenjetzt in dem markierten Netz die gewöhnliche Schaltregel anwenden und so zu anderenMarkierungen fortschreiten. Dabei stellen wir fest, daÿ jede erreichbare Markierung wiedereinem Schnitt entspricht, beispielsweise die Markierung f2; 3; 12g. Damit wird die vorhinvorgeschlagene Konstruktion von co aus einem Netzsystem gerechtfertigt, da mit ihrer Hilfeeine sinnvolle Struktur erzeugt wurde.Eine interessante Querbeziehung ergibt sich, wenn wir den Prozeÿ des 4-Jahreszeiten-Netzes betrachten. Es handelt sich dabei nämlich um die unendliche Kette, die in Unter-abschnitt 3.2.1 vorgestellt wurde. Damit entspricht das kleinste endliche Beispiel in seineminneren Aufbau genau den einfachsten unendlichen Modell.Diese Beziehung kann nicht nur als Abwicklung eines Netzes zu einem Prozess verstan-7

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3Abbildung 3.11: 4-Jahreszeiten, co-Relation 7

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3Abbildung 3.12: 4-Jahreszeiten, F -Relation

50 KAPITEL 3. BEISPIELE UND GEGENBEISPIELE13161

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Abbildung 3.13: 6-Jahreszeiten und 2 Stellen, co-Relationden wrden, sondern auch umgekehrt als Faltung eines Prozesses in ein Netz. Indem wirnun �weniger eng� falten, gelangen wir zu weiteren Modellen, deren Aufbau unmittelbareinleuchtend sein sollte: das 5-Jahreszeiten-Netz, das 6-Jahreszeiten-Netz und beliebig vieleweitere Modelle.Jene Modelle haben allerdings nicht die Bedeutung wie das Standardbeispiel für dieTheorie der Nebenläu�gkeit, das 4-Jahreszeiten-Netz. Dies gilt besonders deshalb, weil esdie kleinste Nebenläu�gkeitsstruktur ist, die alle Standardaxiome erfüllt, und weil es eineeingängige Interpretation besitzt. Weil in dieser Struktur alle Axiome, die Petri aufgestellthat, erfüllt sind, gibt es für die Axiome ein Modell, und damit ist bewiesen, daÿ die Theoriekonsistent ist. Insbesondere läÿt sich auch die K-Dichte prüfen, was bei den unendlichenModellen problematisch war.An dieser Stelle ist es sinnvoll, einen grundsätzlichen Unterschied zwischen Petris Theorieder Nebenläu�gkeit und einigen anderen axiomatischen Systemen aufzuzeigen. Axiomati-sche Systeme haben oft bis auf Isomorphie genau ein erwünschtes Modell, beispielsweisesollen die Peano-Axiome genau die gewöhnlichen natürlichen Zahlen beschreiben. Nicht-standardmodelle stellen sich zwar manchmal ein, sind aber selten erwünscht.Bei der hier vorgestellten Theorie sind voneinander verschiedene Modelle jedoch von An-fang an eingeplant. Wir werden in den nächsten Abschnitten ein Fülle von gültigen Modellenfür die Theorie der Nebenläu�gkeit sehen. Es ist daher nicht möglich zu fragen: �Wie siehtdie co-Relation denn nun aus?�, obwohl man fragen kann �Wie sieht die Nachfolgerrelationbei den natürlichen Zahlen aus?� Die co-Relation ist eben kein festes Objekt, sondern hängtvom gerade gewählten Modell ab.Aus demselben Grund versucht die Theorie der Nebenläu�gkeit nicht, vollständig zusein. Nicht jede Aussage hat einen Wahrheitswert, der von der Interpretation, also demModell, unabhängig ist. Manche Aussage, zum Beispiel jX j = 12, gilt in dem einem Modell,aber nicht im nächsten. Dies ist eine der Hauptschwierigkeiten, wenn man versucht, eineIntuition für die Theorie zu entwickeln: Bei der Unzahl der Modelle abschätzen zu können,welche Aussagen in allen Modellen gültig sind.

3.3. ENDLICHE MODELLE 5113161

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Abbildung 3.14: 6-Jahreszeiten und 2 Stellen, F -Relation3.3.3 6-Jahreszeiten und zwei StellenDer Name dieses Beispiels muÿ merkwürdig erscheinen, er deutet jedoch eine Verwandtschaftzum 4-Jahreszeiten-Netz an. Wenn wir in der Struktur aus Abbildung 3.14 und 3.13 dieStellen 19 und 20 entfernen, dann bleibt eine Struktur übrig, die der des 4-Jahreszeiten-Netzes entspricht, nur daÿ sich eine sechsfache statt einer vierfachen Rotationssymmetrieergibt.Die Stellen 19 und 20 sind Komplementärstellen zu den Stellen 6 und 15. Wie beim 4-Jahreszeiten-Netz entspricht auch hier ein Schnitt aus S-Elementen jeweils einer Markierung,auch das Tokenspiel kann durchgeführt werden.Das Modell erfüllt alle bisher benannten Axiome, doch genau hier liegt das Problem. Eserfüllt nämlich zwei Annahmen nicht, die in [Ste93] aufgestellt und als Con 4a und Con 4bbezeichnet wurden. Wir können damit nicht mehr ho�en, daÿ sich diese Annahmen einesTages aus den Standardaxiomen beweisen lassen.Wollen wir also die Beweise, die auf den Annahmen 4a und 4b basieren, weiterhin an-wenden können, dann müssen wir entweder die Vermutungen als Axiome zur Theorie hin-zunehmen oder ihre Gültigkeit anderweitig herstellen.Mit einer so gearteten Verschärfung des Axiomensystems würden wir aber das vorliegen-de Modell ausschlieÿen, obwohl es keine ungünstigen Eigenschaften besitzt. Es erfüllt sogarden Hauptsatz, der aus den Annahmen 4a und 4b abgeleitet wurde.Dieser Hauptsatz besagt, daÿ jeder S-Schnitt von jedem anderen S-Schnitt mit demTokenspiel erreichbar ist. Dies führt letztendlich dazu, daÿ die Menge aller S-Schnitte mitder Fallklasse des zugehörigen Netzsystems übereinstimmt. Dies ist eine wünschenswerteEigenschaft, die nicht selbstverständlich ist. Wir werden bald eine Struktur kennenlernen,für die die Menge der S-Schnitte aus mehreren Fallklassen zusammengesetzt ist.Worin bestehen die beiden besagten Annahmen genau? Wir betrachten dazu eine co-Klique K. Es kann nun verschiedene Möglichkeiten geben, um K zu einem Schnitt zuvervollständigen. Alle Elemente, die wir in einen solchen Schnitt zusätzlich zu K aufnehmen

52 KAPITEL 3. BEISPIELE UND GEGENBEISPIELEkönnen, haben die Eigenschaft, mit allen Elementen aus K in co zu stehen. Wir werdenspäter in De�nition 4.104 die Menge dieser Elemente mit CO(K) bezeichnen.Wir betrachten nun zwei Elemente x; y 2 CO(K). Die Annahme 4a, die wir späterals Axiom LIG formalisieren werden, besagt nun, daÿ, wenn x li y gilt, es eine F -Kettezwischen x und y beziehungsweise y und x gibt, die vollständig in CO(K) enthalten ist.Unser Beispiel ergibt eine Verletzung dieser Annahme gerade fürK = f19; 20g. Wir erhaltenCO(f19; 20g) = f2; 3; 9; 11; 12; 18g. x = 2 und y = 11 erfüllen zwar x li y, aber es gibt keinepassende F -Kette.Annahme 4b, die später Axiom COG heiÿen wird, fordert, daÿ es für x co y geradekeine solche Kette geben darf. Betrachten wir aber K = f20g, dann ist CO(f20g) = f2; 3;: : : ; 11; 12; 18; 19g. Die F -Kette (19; 4; 6; 10; 11) mit x = 19 und y = 11 erfüllt nun aberx co y und f19; 4; 6; 10; 11g � CO(f20g) im Widerspruch zur Annahme 4b.3.3.4 ZykloideZykloide sind eine Klasse von regelmäÿigen Nebenläu�gkeitsstrukturen, die trotz ihrer Ein-fachheit interessante Untersuchungen zulassen und die hier kurz vorgestellt werden sollen.Zykloide wurden von Carl Adam Petri in [Pet] beschrieben. Es handelt sich hierbei aberum eine Vorversion einer Arbeit, und der Teil, der sich mit Zykloiden beschäftigt, wirdvermutlich nicht verö�entlicht werden. Auch andere leicht zugängliche Quellen sind nichtexistent.Ein Zykloid entsteht durch die Faltung des Standardgitters in ein zyklisches Netz, wobeidie Faltung sehr einfach ist und durch nur vier natürliche Zahlen als Parameter gesteuertwird.De�nition 3.46 [Zykloid]Für �; �; ; � � 1 heiÿt die StrukturN�� � := (S�� �; T�� �; F�� �;M�� �)(x; y) � (u; v) :, 9m 2 Z : 9n 2 Z : x = u+m�+ n ^ y = v �m� + n�S�� � := SSG=�T�� � := TSG=�F�� � := FSG=�M�� � := f(x; y + 12) j x; y 2 Z ^ x� + y� < 0 ^ x� + (y + 1)� � 0g=� [f(x+ 12 ; y) j x; y 2 Z ^ x� + y� < 0 ^ (x+ 1)� + y� � 0g=�der Zykloid �� �. Dabei ist die Faltung als Faltung der Elemente des Standardgitters aufdie Äquivalenzklassen von � zu verstehen. Wir bilden dann (X�� �; li�� �; co�� �) durchAnwendung von Konstruktion 3.4. �Die De�nition der Anfangsmarkierung ist bei Petri nicht zu �nden, es ist aber wahr-scheinlich, daÿ die hier gewählte De�nition sinnvoll ist und Petris Ideen entspricht. Zwargibt es zu manchen Zykloiden mehrere Markierungen, die lebendig und sicher sind, aber dasentstehende Netzsystem ist dann isomorph zu einem der Zykloide mit der hier vorgestelltenStandardmarkierung.Es wurden über 1000 Parameterwerte mit dem Computer durchgerechnet und die Ei-genschaften der entstehenden Strukturen bestimmt. Insbesondere wurde die K-Dichte un-tersucht. Die dabei entstandene Liste mit Eigenschaften von Zykloiden weist klare Regel-mäÿigkeiten auf, die zu der folgenden Vermutung führen.

3.3. ENDLICHE MODELLE 53Vermutung 3.47 Ein Zykloid (�; �; ; �) mit �; �; ; � � 1 und � 6= 1 _ � 6= 1 und 6= 1_ � 6= 1 erfüllt genau dann Axiom KDI, wenn(� > ^ � > �) _ ((� � 3 < � _ 2�� 0 < )^ (�� 3 < _ 2� � 0 < �) ^(� � 2 < � _ 2�� 1 < )^ (�� 2 < _ 2� � 1 < �) ^(� � 1 < � _ 2�� 2 < )^ (�� 1 < _ 2� � 2 < �) ^(� � 0 < � _ 2�� 3 < )^ (�� 0 < _ 2� � 3 < �))gilt. Der Zykloid erfüllt die Axiome KAA, LCT und LOR genau dann, wenn( 6= 1 _ � � �) ^ (� 6= 1 _ � �)gilt. Der Zykloid erfüllt stets die Axiome DIS, VST, SYM, NTR, IRR, KOH, NDI, IMKund LFO.Das hier benutzte Verfahren ist durchaus nicht die einzige Möglichkeit, eine sinnvolle co-Relation für einen Zykloid zu de�nieren. [Ste94] führt die De�nition durch, indem direkt co-und li-Relation des Standardgitters Faltungen unterworfen werden. Dieser Ansatz gestattetes, unmittelbar einige Eigenschaften der resultierenden Struktur zu beweisen. Er wurdejedoch hier nicht gewählt, da er nur schwerer zu motivieren ist.Diese alternative Konstruktion erlaubt es, einige Teile der Vermutung zu beweisen. Ins-besondere in Hinsicht auf die K-Dichte sind jedoch auch bei diesem Ansatz noch nicht alleProbleme geklärt. Stefan Haar gibt in [Haa96] einige Ideen, die zu notwendigen Bedingun-gen für eine Verletzung der K-Dichte führen, aber diese sind nicht hinreichend und erkläreninsbesondere den Term � > ^ � > � in Vermutung 3.47 nicht befriedigend.Für den Augenblick müssen wir daher auf einen Beweis verzichten und können nur jedeStruktur einzeln mit dem Computer überprüfen. In Anhang C �nden sich Analysen derZykloide 2222, 2233, 3333, 3223 und 4422. Davon werden wir hier nur den Zykloid 4422besprechen, da er die Basis für ein weiteres Gegenbeispiel bietet. Es ist zu beachten, daÿdie Elemente der Zykloide in den Computerbeweisen als Zahlen von 1 aufwärts dargestelltwerden, die intern vom Computer zu den Äquivalenzklassen der Faltungsrelation zugeordnetwerden.1

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48 47Abbildung 3.15: Zykloid 4422, F -Relation

54 KAPITEL 3. BEISPIELE UND GEGENBEISPIELE��

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������a) b)Abbildung 3.16: Ungewöhnliche Schnitte im Zykloid 44223.3.5 Zykloid 4422Als Beispiel für einen Zykloid sei nun der Zykloid 4422 angegeben, das ist der Zykloid mit� = 4, � = 4, = 2 und � = 2. In Abbildung 3.15 sieht man die Fluÿrelation nachder Faltung, dabei bezeichnet 1 die zu (0; 0) äquivalenten Elemente, 2 sind die zu (1;�1)äquivalenten Elemente, und 32 steht beispielsweise für die zu (212 ; 1) äquivalenten Elemente.Es sind einige Elemente am unteren und am rechten Rand grau unterlegt, die in derAbbildung doppelt dargestellt sind. Wenn man in Gedanken die drei Elemente auf derrechten Seite mit den entsprechenden Elementen auf der linken Seiten identi�ziert, dannerhält man eine Röhre. Identi�ziert man dann noch Elemente an der Unterkante der Röhremit den Elementen an der Oberkante, dann entsteht ein Torus.Dieser Torus stellt jetzt den fertigen Zykloid dar, auf dem man jetzt die Anfangsmarkie-rung f31; 32; 39; 40; 45; 46; 48; 47g de�niert und daraus co und li berechnet. Die vollständigeco-Relation ist im Anhang nachzulesen, es stellt sich heraus, daÿ von dieser Struktur alleBasisaxiome erfüllt werden, die K-Dichte eingeschlossen.Es ist praktisch nur mit Computerhilfe möglich festzustellen, daÿ die Menge f21; 29; 39;25; 35; 43; 48; 18g ein S-Schnitt ist. Wenn wir diesen S-Schnitt als Markierung betrachten,stellen wir fest, daÿ es eine tote Markierung ist. Keine Transition ist aktiviert, ebenso istkeine Transition rückwärts aktiviert. Dies liegt daran, daÿ es durch jede Transition einenF -Zyklus gibt, der den Schnitt nicht schneidet.Die Zyklen sind leicht zu �nden, indem man bei einer Transition beginnt und immereinen F -Schritt nach rechts unten macht, bis man am Ausgangspunkt ankommt. Die Mar-kenzahl auf einem F -Zyklus muÿ konstant sein, weil die Stellen unverzweigt sind, und da derZyklus unmarkiert ist, heiÿt dies, daÿ auf einer Stelle im Vorbereich der Transition nie eineMarke zu liegen kommt. In Abbildung 3.16a ist der genannte S-Schnitt und ein F -Zykluseingezeichnet, die sich nicht schneiden.Obwohl im Zykloid 4422 also jeder Schnitt jede Linie schneidet, ist, wie gezeigt, die in[Ste93] aufgestellte Annahme 3 nicht erfüllt, die besagt, daÿ jeder F -Zyklus jeden Schnittschneidet. Auch diese Annahme ist also unabhängig von den Basisaxiomen.Eine Voraussetzung für diese Situation ist, daÿ der Zykloid 4422 recht �breit� ist, daÿheiÿt, er ist in co-Richtung (rechts/links) weiter ausgedehnt als in li-Richtung (oben/unten).Nicht bei allen breiten Zykloiden entsteht ein toter Schnitt, es zerfällt für � > ^ � > �jedoch die Menge der S-Schnitte stets in mehrere Fallklassen.Auch der vorliegenden Zykloid hat auÿer der lebendigen und sicheren Fallklasse, diesich aus dem normalen Anfangsfall entwickelt, noch zwei weitere nichttriviale Fallklassen,die durch die Schnitte f17; 19; 27; 37; 45; 33; 34; 18g � dieser ist in Abbildung 3.16b einge-zeichnet � sowie f31; 32; 30; 28; 26; 46; 48; 47g erzeugt werden. Diese beiden Fallklassen sindlebendig, aber sie wickeln sich im Gegensatz zur normalen Fallklasse einmal in li-Richtungum den Zykloid. Ob solche zusätzlichen Fallklassen ein Problem darstellen, kann wohl nicht

3.3. ENDLICHE MODELLE 55allgemein beantwortet werden, und so ist es auch nicht klar, ob sie durch Axiome verbotenwerden sollten.3.3.6 FünfeckDie Nebenläu�gkeitsstruktur, die jetzt vorgestellt wird, hat eine besonders unangenehmeEigenschaft, nämlich, daÿ sie keine konsistente Orientierung F besitzt. Es wurde angenom-men, daÿ sich mit Hilfe der Basisaxiome die Orientierbarkeit beweisen läÿt, dies ist jedochnicht haltbar, wie wir gleich sehen werden.Die Struktur, die wir als Fünfeck bezeichnen wollen, ist in den Abbildungen 3.17 und3.18 dargestellt, wobei die F -Relation natürlich nicht dargestellt werden kann, da sie nichtexistiert.Die Fünfeck-Struktur erfüllt alle Basisaxiome mit Ausnahme von Axiom LFO. Wirwerden gleich eine, allerdings ungleich kompliziertere, Struktur sehen, die auch dies Axiomerfüllt, aber dennoch nicht orientierbar ist. Die Fünfeck-Struktur dient uns zunächst alseinfacher Einstieg in die Welt der nichtorientierbaren Strukturen.Bei Betrachtung der co-Relation fällt auf, daÿ sie sehr viel umfangreicher als die li-Relation ist, im Gegensatz etwa zum 4-Jahreszeiten-Netz, wo die li-Relation dominierte.Wir können das Fünfeck also als �breite� Struktur bezeichnen, in demselben vagen Sinn,wie wir dies beim Zykloid 4422 getan haben. Anscheinend ist es so, daÿ es die breitenStrukturen sind, die zu unerwünschten Eigenschaften der Modelle führen können, wenngleichnicht unbedingt führen müssen.Die Annahmen, die bisher widerlegt wurden, waren interessant, aber nicht wirklich ent-scheidend. Die Eigenschaft, eine konsistente Orientierung zu besitzen, ist dagegen so un-entbehrlich, daÿ sich im folgenden einige Abschnitte nur damit beschäftigen werden, dieseLücke wieder zu schlieÿen.Interessanterweise läÿt sich das Fünfeck als eine einfache Lösung für das 5-Philosophen-Problem interpretieren. Die Stellen symbolisieren dabei die Gabeln, und die Transitionenstehen für die Philosophen. Ein Schnitt gibt eine erlaubte Situation an, z. B. bedeutetf2; 4; 6; 9g, daÿ drei Gabeln auf dem Tisch liegen und ein Philosoph iÿt.7

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4Abbildung 3.17: Fünfeck, co-Relation7

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4Abbildung 3.18: Fünfeck, P -Relation

56 KAPITEL 3. BEISPIELE UND GEGENBEISPIELE1

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48 47Abbildung 3.20: Kleinsche Flasche beim Zusammenkleben3.3.7 Kleinsche FlascheDer Nachteil des vorigen Beispiels ist, daÿ es das Axiom LFO nicht erfüllt und daÿ wir daherimmer noch die Vermutung hegen könnten, daÿ alle Basisaxiome zusammen die Orientier-barkeit erzwingen.Daÿ dies nicht so ist, zeigt das Beispiel der Kleinschen Flasche, das jetzt hergeleitet wer-den soll. Es wäre möglich, ein Gegenbeispiel zu �nden, das dem Fünfeck-Beispiel ähnlicherist, doch die Kleinsche Flasche gibt uns auch gleich eine neue Konstruktionsmethode an dieHand, mit der beliebig viele verschiedene nicht orientierbare Strukturen generiert werdenkönnen.Was ist also die Idee hinter diesem Beispiel? Zunächst beobachten wir, daÿ ein Zykloid,nehmen wir einfach den bereits vorgestellten Zykloid 4422, viel Ähnlichkeit mit einem Torushat. Wenn wir den Torus jetzt an einer Stelle ö�nen, indem wir ihn in Gedanken entlang

3.3. ENDLICHE MODELLE 579

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Abbildung 3.21: Nicht orientierbare Unterstruktur der Kleinschen Flascheeiner Linie durchschneiden, dann entsteht eine o�ene Röhre. Die Fluÿrelation ist dabei sogerichtet, daÿ die beiden �Schnittkanten� gleich gerichtet sind.Dies wird durch die Abbildung 3.19 illustriert, in der die zu löschenden P -Kanten ge-strichelt markiert sind. Der Schnitt wurde hier bewuÿt nicht in die Nähe der Transitionen1 oder 4 gelegt, sondern in der Mitte, um leichter die sich ändernden co-Beziehungen dar-stellen zu können. In der Zeichnung sieht man auf diese Weise, daÿ die Transitionen 3 und6 sowie 8 und 12 nebeneinander in co-artiger Beziehung liegen.Wenn wir jetzt bei einem der beiden Enden die vordere Seite nach hinten drücken � inder Zeichnung entspricht dies einem Vertauschen von oben und unten � bis sie die hintereFläche durchdringt, dann hat sich der Drehsinn der Schnittkante umgedreht, er läuft jetztanders als bei dem gegenüberliegenden Ende. Nun brauchen wir die beiden Enden nur nochwieder �zusammenzukleben� und stellen fest, daÿ dabei an der Klebekante die von einerFluÿrelation geforderten Eigenschaften nicht mehr erfüllt sind.Betrachten wir dazu Abbildung 3.20. Man erkennt hier, daÿ die Transition 6 und 12als Folge des Umstülpens ihre Plätze getauscht haben, ebenso wie die Stellen 27 und 30,sowie 20 und 39. Damit müssen jetzt andere co-Beziehungen gelten als vorher, die neuhinzugekommenen co-Kanten sind in der Abbildung eingezeichnet. Hingegen entfallen dieco-Beziehungen, die noch auf Abbildung 3.19 zu sehen waren.Bei genauer Betrachtung �ndet sich in der fertigen Kleinschen Flasche die Unterstrukturvon Abbildung 3.21. Jede mögliche Orientierung wird bereits durch die dargestellte Mengevon Elemente mit den eingezeichneten Relationen verhindert. Dies liegt daran, daÿ sichbei einmaligem Durchlaufen des Zyklus nach der De�nition von F die Fluÿrelation genausiebenmal umgekehrt haben müÿte, was nicht möglich ist, denn die Orientierung muÿ bei derRückkehr zum Ausgangspunkt ja wieder gleich sein. Die Struktur ist also nicht orientierbar.Nun ist die Sorge gewiÿ nicht unbegründet, bei der Manipulation an der Struktur könn-ten auch andere Eigenschaften verloren gegangen sein, beispielsweise die K-Dichte. EineÜberprüfung der Struktur mit dem Computer ergibt jedoch, daÿ alle Basisaxiome erfülltsind. Die Annahme, es gäbe immer eine konsistente Orientierung, ist daher wirklich nichtaus den Basisaxiomen herleitbar.

58 KAPITEL 3. BEISPIELE UND GEGENBEISPIELE: : : : : :Abbildung 3.22: Erwartete Formen für Linien3.3.8 Anti-LKOBisher wurde der Begri� Linie sehr suggestiv gebraucht. Der Name deutet an, daÿ dieElemente der Linie sauber eines nach dem anderen aufgereiht sind. Die bisherigen Beispielenährten diese Anschauung zusätzlich, es gab grundsätzlich drei Arten von Linien.� Unendliche Linien. Die Stellen und Transitionen der Linie sind abwechselnd zu einerbeidseitig unendlichen im-Kette angeordnet. Dieses Phänomen tritt bei der unendli-chen Kette und beim Standardgitter auf.� Endliche, azyklische Linien. Wieder ergibt sich eine Kette, die jedoch zwei Endele-mente hat, die nur ein Nachbarelement in der Linie haben, wie beispielsweise bei derN-Struktur.� Zyklische Linien. Hier haben wir einen im-Zyklus, der die Linie verbindet. Die meistender hier behandelten Beispiele fallen in diese Kategorie.In Abbildung 3.22 sind die drei erwarteten Formen für Linien dargestellt. Für die beidenendlichen Fälle könnten natürlich noch beliebige verschiedene Längen auftauchen, so daÿdie Endpunkte der Linie � dick gezeichnet � weiter voneinander entfernt stehen.Dies sind jedoch leider nicht die einzigen Möglichkeiten, denn schon in [BM85] wurdeeine Nebenläu�gkeitsstruktur vorgestellt, in der eine unerwartete Linie auftrat. Diese Li-nie bestand aus zwei beidseitig unendlichen im-Ketten, die untereinander nicht durch imverbunden waren, und das, obwohl Axiom IMK und auch alle anderen bisher bekanntenAxiome gültig waren. Lediglich eine zusätziche Bedingung war nicht erfüllt, die wir späterals Axiom LKO kennenlernen werden, und die gerade dafür sorgt, daÿ eine Linie nicht inmehrere voneinander getrennte Komponenten zerfällt.Dieses Gegenbeispiel war jedoch unendlich, und lange Zeit hielt man ein endliches Gegen-beispiel für unwahrscheinlich, da die unendliche Struktur darauf basierte, daÿ zwischen zweiEreignissen unendlich viele andere Ereignisse stattfanden, was in einer endlichen Strukturnatürlich nicht möglich ist.Das endliche Gegenbeispiel ist dennoch möglich und �ndet sich in den Abbildungen 3.24und 3.23 wieder. Eine der unerwarteten Linien ist die Menge f5; 22; 23; 25; 26; 28; 29; 30;7; 8; 10; 11; 13; 14; 15; 21g, sie besteht aus zwei voneinander getrennten im-Zyklen, die sichim Diagramm in der linken und in der rechten Hälfte spiegelbildlich wieder�nden.Die Struktur erfüllt sämtliche Axiome, insbesondere auch die besonders problematischenAxiome KDI und KAA. Damit ist auch für endliche Modelle die Unabhängigkeit von AxiomLKO von den anderen Axiomen gezeigt. Wir nennen die Struktur daher auch Anti-LKO.Zur Erzeugung einer so ungewöhnlichen co-Relation genügen die anfangs aufgelistetenKonstruktionen nicht mehr. Die co-Relation muÿte von Hand erzeugt werden, wobei diegewünschte F -Relation schnell feststand und eine erste Version der co-Relation damit undmit einem passenden Anfangsfall erzeugt werden konnte. Diese konnte dann modi�ziertwerden, um der Struktur die gewünschten Eigenschaften zu geben.

3.3. ENDLICHE MODELLE 5922 15

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Abbildung 3.23: Anti-LKO, co-Relation22 15

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Abbildung 3.24: Anti-LKO, F -Relation

60 KAPITEL 3. BEISPIELE UND GEGENBEISPIELE22 15

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1618 17Abbildung 3.25: Anti-EKO, co-Relation3.3.9 Anti-EKODieses Gegenbeispiel ist nicht so o�ensichtlich falsch wie das vorige, aber gerade deshalbum so tückischer. Die F -Relation des Modells ist in der Abbildung 3.26 zu sehen. Umdie co-Relation dieses Beispiels übersichtlich darstellen zu können, wurden einige Elementeder Menge X mehrfach in die Abbildung 3.25 aufgenommen. Diese Elemente, die grauhinterlegt sind, müssen miteinander identi�xert werden. Dabei entstehen dann co-Kanten,die die Stellen in der obersten Reihe mit denen in der untersten Reihe verbinden.Wir untersuchen eine typische Linie der Struktur, beispielsweise f3; 7; 8; 10; 11; 13; 14;

3.3. ENDLICHE MODELLE 6122 15

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Abbildung 3.26: Anti-EKO, F -Relation15; 20; 22; 23; 25; 26; 28; 29; 30g, und stellen fest, daÿ es sich um einen ganz gewöhnlichengeschlossenen im-Zyklus handelt.Für diese Linie weist jedoch beispielsweise das Element 6 eine Besonderheit auf: DieLinie enthält zwei Elemente, die mit Element 6 in co stehen, und zwar die Elemente 3 und20. Die beiden Elemente liegen auf dem Zyklus jedoch vollkommen voneinander getrenntan völlig verschiedenen Stellen. Wenn wir jetzt die Frage stellen, an welchem Zeitpunkt inder zyklischen Entwicklung des Systems das Element 6 einzuordnen ist, dann läÿt sich dasnicht ohne weiteres beantworten. Später, bei der Behandlung von Axiom EKO, wird diesesProblem genauer behandelt, dort wird auch eine weitere Motivation mittels azyklischerSysteme gegeben.Auch die Schnitte verhalten sich anders als gewohnt. Der Schnitt f4; 5; 6; 19; 20; 21gkann als Markierung des Netzes aufgefaÿt werden, aber es ist keine Transition aktiviert,die Markierung ist tot. Dieser tote Schnitt ist jedoch von einer ganz anderen Art als der,den wir im Zykloid 4422 beobachtet haben. Letzterer entstand durch die besondere Breiteder Struktur, doch hier können wir nicht davon sprechen, daÿ die Struktur sonderlich breitist. Bei der Behandlung ungewöhnlicher Schnitte werden wir also in Zukunft beide Fälleberücksichtigen müssen.

Kapitel 4Spezielle AxiomeZeit die; -, -en; zu meiner, seiner, uns[e]rer -; zu aller Zeit (a b e r: all[e]zeit); zur Zeit (Abk.:z. Z., z. Zt.); vgl. zurzeit; auf Zeit (Abk.: a. Z.); eine Zeitlang, a b e r: einige, eine kurzeZeit lang; es ist an der Zeit; von Zeit zu Zeit; Zeit haben; beizeiten, vorzeiten, zuzeiten(bisweilen), a b e r: zu der Zeit : : : Duden, Band 1, �Die Rechtschreibung�Unter den Beispielen, die im Verlauf des vorigen Kapitels vorgestellt wurden, �nden sichetliche, die unerwartete Eigenschaften aufweisen, insbesondere sind für die Annahmen 2, 3,4a und 4b aus [Ste93] Gegenbeispiele gefunden worden.Wir können daraus folgern, daÿ strengere Axiome notwendig sind, um ein akzeptablesAxiomensystem zu �nden, doch gleichzeitig stellt sich die Frage, welche Axiome zusätzlichaufgenommen werden sollen, um die Annahmen beweisen zu können.Trivialerweise wäre es dazu ausreichend, die Annahmen selbst als neue Axiome hinzu-zufügen, doch sollte bei dieser Gelegenheit genau bedacht werden, ob sich die Bedingungennicht abschwächen lassen und ob sich nicht mathematisch oder physikalisch schönere Axio-matisierungen �nden lassen.Die Axiome sollen nach Themenbereichen gegliedert werden, es werden stets Axiome fürein Gebiet gegenübergestellt, eventuell in unterschiedlicher Stärke oder in anderer Formulie-rung. So umfangreich die Aufstellung von Axiomen auch sein mag, sind die hier vorgestelltenVariationen doch nur ein winziger Teil der möglichen Formulierungen.4.1 Varianten der BasisaxiomeUm die Anzahl der Axiome zu reduzieren und um elegante Formulierungen zu erreichen, hatPetri einige der Basisaxiome auf andere Weise formuliert, als sie hier vorgestellt wurden.4.1.1 IrreduzibilitätZunächst betrachten wir eine spezielle Form der Irreduzibilität.Axiom IRR [Irreduzibilität]eco = eli. �Dies Axiom besagt, daÿ zwei Elemente einer genau dann bezüglich ihrer li-Partner über-einstimmen sollen, wenn sie auch bezüglich ihrer co-Partner ununterscheidbar sind.

64 KAPITEL 4. SPEZIELLE AXIOMESatz 4.1 DIS VST IRR eco = idX .Beweis Sei x eco y für x; y 2 X beliebig, dann ist wegen Axiom IRR x eli y. Daherco[x] = co[y]^ li[x] = li[y], also unter anderem X � (co[x][ li[x]) = X � (co[y][ li[y]). MitAxiom DIS und Axiom VST folgt daraus idX [x] = idX [y], also x = y. �Satz 4.2 DIS VST IRR eli = idX .Beweis eli = eco = idX bei Anwendung von Axiom IRR und anschlieÿend Satz 4.1. �Satz 4.3 LII COI eco = eli.Beweis eco = idX = eli wegen Axiom COI und Axiom LII. �4.1.2 KohärenzSehr ähnlich zur neuen Axiomatisierung der Irreduzibilität hat Petri auch die Kohärenzanders formuliert.Axiom KOH [Kohärenz]co� = li�. �Anschaulich besagt dieses Axiom, daÿ zwei Elemente, die mit einer co-Kette verbundensind, auch mit einer li-Kette verbunden sind.Satz 4.4 VST KOH li� = X�X .Beweis Seien x; y 2 X beliebig. Wenn x li y, dann gilt o�ensichtlich x li� y. Wenn:x li y, dann erfordert Axiom VST x co y, also x co� y und nach Axiom KOH ergibt sichx li� y. �Satz 4.5 VST KOH co� = X�X .Beweis co� = li� = X�X , da Axiom KOH gilt und wir Satz 4.4 anwenden können. �Satz 4.6 LIK COK co� = li�.Beweis co� = X�X = li� vermittels Axiom COK und Axiom LIK. �Wir stellen fest, daÿ sowohl bei der Irreduzibilität als auch bei der Kohärenz die neu-en Axiome exakt genauso stark wie die beiden Teilaxiome für die co- und die li-Relationzusammen sind. Es ist daher eher eine Geschmacksfrage, welche der Formulierungen manbevorzugt.4.1.3 DichteWir haben bereits die K-Dichte kennengelernt, und hier gibt es nun in der Tat eine Mög-lichkeit, die Formulierung etwas abzuschwächen und trotzdem ein interessantes Axiom zuerhalten, das von Petri bereits in den ersten Arbeiten über die Theorie der Nebenläu�gkeiteingeführt und motiviert wurde.Axiom NDI [N-Dichte]8a; b; c; d 2 X : (c co b ^ b co a ^ a co d ^ a li c ^ c li d ^ d li b ) 9e 2 X : e co a ^ e cob ^ e li c^ e li d). �Die Formel, die wir im Axiom der N-Dichte sehen, wirkt zunächst recht undurchschaubar.Wir wollen sie daher durch eine Analogie zur gewöhnlichen Dichte in Ordnungen motivieren.Eine Ordnung < heiÿt dicht, wenn es zu je zwei Elementen c und d mit c < d einweiteres Element e gibt, das zwischen c und d liegt, das also c < e < d erfüllt. Diesetypische Situation ist in Abbildung 4.1a dargestellt.

4.1. VARIANTEN DER BASISAXIOME 65a) ) )b) bcd cde b c ad ecd aAbbildung 4.1: Dichte und N-Dichte in OrdnungenDiese De�nition von Dichte sorgt aber dafür, daÿ zwischen zwei Elementen der Ordnungimmer unendlich viele andere Elemente liegen. Wenn wir versuchen, eine diskrete Beschrei-bung von Systemen zu erhalten, dann müssen wir darauf achten, nur dann ein Elementzwischen zwei andere einzufügen, wenn es unbedingt notwendig ist.Eine Situation, in der das Einfügen eines Elements nötig sein kann, ist in Abbildung 4.1bdargestellt. Hier gibt es noch zwei weitere Elemente a und b, die die Bedingungen c < aund b < d erfüllen, weiterhin sind a und d, a und b, sowie b und c nicht durch < geordnet.In Anlehnung an [BF88] können wir diese Situation folgendermaÿen interpretieren: EinEreignis c sendet Signale aus, und ein Ereignis d empfängt Signale. Wenn das Signal a nochunterwegs ist, während das Ereignis d eintritt, und wenn b schon abgeschickt wurde, alsc aktiv war, dann muÿ es ein weiteres Signal e zwischen c und d geben, um die zeitlicheReihenfolge der beiden Ereignisse zu garantieren, denn die Signale a und b kommen für dieseSynchronisation nicht in Frage.Wir müssen jetzt nur noch von der Ordnung abstrahieren und uns auf die Relation derGeordnetheit, also li, beschränken, um zur Formulierung von Axiom NDI zu kommen. DerName N-Dichte ergibt sich damit einerseits aus der Verwandtschaft zur gewöhnlichen Dichte,andererseits aber aus dem N-förmigen Bild, das man in den co- und den li- Beziehungensehen kann und das in der N-Struktur aus Abschnitt 3.3.1 besonders deutlich wird � mansetze dazu a = 2, b = 4, c = 1, d = 5 und schlieÿlich e = 3.Es gibt noch eine andere Argumention, die direkt über unsere Interpretation von co undli führt. Und zwar sorgt in Abbildung 4.1b das Element a dafür, daÿ c P d nicht geltenkann, und das Element b verhindert d P c. Kombiniert haben wir :c im d, also sind cund d nach unserer Interpretation nicht benachbart. Sie sollten daher auch nicht direktaufeinander folgen, sondern durch ein weiteres Element e getrennt sein.Es ist lange bekannt, daÿ die N-Dichte tatsächlich eine Abschwächung der K-Dichte ist.Satz 4.7 DIS VST SYM KDI 8a; b; c; d2 X : (c co b^b co a^a co d^a li c^c li d^d lib) 9e 2 X : e co a ^ e co b ^ e li c^ e li d).Beweis Seien a; b; c; d beliebig gemäÿ den Voraussetzungen des Satzes gewählt. WegenAxiom SYM und Satz 2.40 gelten dann auch die symmetrischen Beziehungen, also b co c,a co b usw.Da a co b, läÿt sich ein Schnitt C mit a; b 2 C �nden. Und da c li d, läÿt sich eine Linie Lmit c; d 2 L �nden. Nach Axiom KDI ist nun C \ L 6= ?, also gibt es ein e 2 C \ L.O�ensichtlich a co e, b co e, c li e und d li e gemäÿ Konstruktion. Wegen a li c ist e 6= c.Wegen b li d ist e 6= d. Wegen c co b ist e 6= b. Wegen d co a ist e 6= a. Also a co e, b co e,c li e und d li e. �Wie das Beispiel des Zykloids 3333 zeigt, ist die N-Dichte aber nicht hinreichend für die

66 KAPITEL 4. SPEZIELLE AXIOMEK-Dichte. Die N-Dichte kann daher die K-Dichte nicht ersetzen, sie ist sogar für nur sehrwenige Beweise brauchbar.Andererseits scheint es so, als würde die K-Dichte � insbesondere für endliche Struk-turen � eine unnötig groÿe Klasse von Modellen ausschlieÿen. Was ist am Zykloid 3333�schlechter� als am Zykloid 2222? Warum sollte man den einen ausschlieÿen, aber denanderen nicht?Es könnte sein, daÿ wir die K-Dichte auf eine andere Weise abschwächen müssen, dienoch den Beweis der wichtigen Sätze erlaubt, aber weitere Modelle zuläÿt. Vielleicht stellendie nicht K-dichten Modelle der Theorie auch einfach eine Grenze dar, bei der die Interpre-tation der co-Kens als Momentaufnahmen des Systems und die Interpretation der li-Kensals Weltlinien nicht mehr erlaubt ist.4.2 KonventionIm folgenden werden wir die Axiome DIS, VST und SYM nicht mehr in den Abhängig-keitslisten erwähnen, da sie sonst bei fast jedem Satz genannt werden müÿten, was keinenbesonderen Erkenntnisgewinn bringt. Wir werden stattdessen Basis als Abkürzung für diesedrei Axiome verwenden.4.3 NachbarschaftskohärenzDie einfachste Form der Nachbarschaftskohärenz in Form von Axiom IMK besagt, daÿ jedesElement der Struktur von jedem anderen Element in endlich vielen im-Schritten erreichbarist. Die im-Kohärenz reicht aber noch nicht, um alle gewünschten Eigenschaften der im-Relation zu gewährleisten, deshalb werden wir jetzt zwei Verschärfungen dieses Axiomskennenlernen.4.3.1 LinienkohärenzAbschnitt 3.3.8 zeigte ein Beispiel für eine ungünstige im-Relation. Dort war zwar die im-Kohärenz erfüllt, aber innerhalb einer Linie waren die im-Beziehungen anders gestaltet, alsdies zu erwarten gewesen wäre.Das folgende Axiom wurde in [Ste93] eingeführt und besagt, daÿ nicht nur die Gesamt-struktur im-kohärent sein soll, sondern auch jede einzelne Linie. Damit wird verhindert,daÿ eine Linie in mehrere unzusammenhängende Teile zerfällt.Axiom LKO [Linienkohärenz]8L 2 Lines : (imjL)�L = L�L. �Wir zeigen nun, daÿ die Linienkohärenz die im-Kohärenz impliziert, wenn wir AxiomLIK annehmen.Lemma 4.8 Basis LKO li � im�X .Beweis Seien x; y 2 X mit x li y, dann gibt es eine Linie L mit x; y 2 L. Auf Grund vonAxiom LKO ist dann x (imjL)�L y und insbesondere x im�X y. �Satz 4.9 Basis LIK LKO im�X = X�X .Beweis im�X � X�X ist o�ensichtlich. Nach Axiom LIK ist X�X = li� und mit Lemma4.8 ergibt sich li� � (im�X)�X = im�X und damit X�X � im�X . �

4.3. NACHBARSCHAFTSKOHÄRENZ 67x L

li[x]co[x]Abbildung 4.2: Visualisierung von Axiom EKOKombinieren wir dieses Ergebnis mit den Erkenntnissen aus dem Beispiel Anti-LKO inAbschnitt 3.3.8, dann sehen wir, daÿ Axiom LKO echt stärker ist als Axiom IMK, wenn wirAxiom LIK annehmen.In Unterabschnitt 4.6.6 werden wir uns genauer mit den Folgerungen aus Axiom LKO be-schäftigen, zu denen insbesondere gehört, daÿ es nur Linien mit einer erwünschten Strukturgibt.4.3.2 EpisodenkohärenzEs gibt eine noch stärkere Formulierung des Kohärenzprinzips, die in der Abbildung 4.2veranschaulicht wird und die dazu dient, jetzt auch noch das Gegenbeispiel aus Abschnitt3.3.9 auszuschlieÿen.In Abbildung 4.2 ist ein Element x mit seiner Umgebung in einem Minkowski-Diagrammdargestellt, wie es aus der Relativitätstheorie bekannt ist. Der Raumkegel von x ist in derAbbildung grau gezeichnet und stellt den co-Bereich von x dar. Der Zeitkegel hingegen, alsoder li-Bereich, ist weiÿ abgebildet.Man erkennt eine Linie L, die den Raumkegel des Elements x schneidet. Dabei bildensich zwei in der Abbildung stark gezeichnete Bereiche, die zwar in sich im-zusammenhän-gend sind, aber untereinander nicht mit einer im-Kette verbunden werden können, ohne dieLinie oder den co-Bereich zu verlassen.Eine solche Situation ist nicht wünschenswert, da sich die Linie dazu � zumindest für ei-nige Beobachter � zeitweilig rückwärts in der Zeit bewegen muÿ, wenn sie mehrfach zwischenRaumkegel und Zeitkegel hin- und herwechselt. Dies widerspricht aber unserer Auffassung,was eine Linie sein soll, also liegt es nahe, diese Möglichkeit auszuschlieÿen.Axiom EKO [Episodenkohärenz]8L 2 Lines : 8x 2 X : E = L \ co[x]) (imjE)�E = E�E. �Es soll noch der Begri� Episode erläutert werden. Eine Linie können wir uns als dievollständige Aufzeichnung aller Phasen der Ausbreitung eines Signals vorstellen; sie verkör-

68 KAPITEL 4. SPEZIELLE AXIOMELa1 b1 a2b2 a3x = a0 = b0 y = an = bn�1an�1: : :Abbildung 4.3: Konstruktion aus Satz 4.10pert die gesamte Geschichte eines Signals. Wenn wir nun den Schnitt der Linie mit einemco-Bereich eines Elements bilden, dann beschränken wir uns auf einen Teil der Geschichte,auf eine Episode im Leben des Signals.Diese Art, mit der ein Abschnitt aus einer Linie herausgegri�en wird, steht im Kontrastzur gängigen Methode bei Halbordnungen: Dort wählen wir ein unteres und ein oberesElement und bezeichnen das davon begrenzte Gebiet als Intervall. In Abschnitt 5.2.7 werdenwir jedoch sehen, warum auch für Halbordnungen der Begri� einer Episode sinnvoll ist undneben den Begri� eines Intervalls gestellt werden sollte.Zunächst werden die Abhängigkeiten von Axiom EKO zu den bereits bekannten Axiomenuntersucht. Um aus Axiom EKO die beiden vorangehenden Axiome herzuleiten, muÿ eineDichtebedingung erfüllt sein, hier beispielsweise Axiom KDI.Satz 4.10 Basis COK KDI EKO 8L 2 Lines : (imjL)�L = L�L.Beweis Sei L eine beliebige Linie und seien x; y 2 L. Dann gibt es nach Axiom COKeine co-Kette � = (x = a0; a1; : : : ; an = y). Da 8i 2 f0; : : : ; n � 1g : ai co ai+1 gilt,können wir die Menge fai; ai+1g zu einem Schnitt erweitern. Also 8i 2 f0; : : : ; n � 1g :9Ci 2 Cuts : ai 2 Ci ^ ai+1 2 Ci. Nun wenden wir Axiom KDI an und stellen fest, daÿL \ Ci nicht leer ist, mit anderen Worten 8i 2 f0; : : : ; n� 1g : 9Ci 2 Cuts : 9bi 2 L : ai 2Ci ^ ai+1 2 Ci ^ bi 2 Ci. Zwei Elemente, die in einem Schnitt liegen sind notwendigerweisein co, demnach 8i 2 f0; : : : ; n� 1g : 9bi 2 L : ai co bi ^ ai+1 co bi.Fixieren wir ein bi mit den obigen Eigenschaften für jedes i, wie dies in Abbildung 4.3 zusehen ist. Da a0 2 L und b0 2 L gilt a0 li b0. Da aber auch a0 co b0, folgt b0 = a0 = x. Ausdemselben Grund erhalten wir bn�1 = an = y. Per Konstruktion gilt 8i 2 f0; : : : ; n� 2g :fbi; bi+1g � L \ co[ai+1]. Daraus folgt, daÿ Axiom EKO anwendbar ist, und es ergibt sich8i 2 f0; : : : ; n � 2g : E = L \ co[ai+1] ) bi (imjE)�E bi+1. Dies läÿt sich abschwächen zu8i 2 f0; : : : ; n� 2g : bi (imjL)�L bi+1.Zwischen b0 und bn�1 läÿt sich so über die Zwischenstationen bi eine im-Kette konstruieren,daher b0 ((imjL)�L)n�1 bn�1. Vereinfacht geschrieben x = b0 (imjL)�L bn�1 = y. Da dies füralle x; y gilt, ist der Satz bewiesen. �Es läÿt sich jetzt natürlich leicht ein Äquivalent von Axiom IMK zeigen, doch wir wollenuns etwas mehr Arbeit machen und diesen Satz unter Verwendung von Axiom NDI stattAxiom KDI herleiten.Lemma 4.11 Basis EKO x li y ^ x co z ^ y co z ) x im�X y.Beweis Es läÿt sich eine Linie L �nden mit fx; yg � L. Sei E = L \ co[z], dann ergibtAxiom EKO, daÿ x (imjE)�E y und speziell x im�X y. �Lemma 4.12 Basis COK NDI EKO li � im�X .Beweis Sei x; y 2 X mit x li y. Dann gibt es nach Axiom COK eine co-Kette � = (x =a0; a1; : : : ; an = y), wir wählen eine Kette mit minimaler Länge. Dann gelten die Formeln

4.3. NACHBARSCHAFTSKOHÄRENZ 698i 2 f0; : : : ; n � 1g : ai co ai+1 und 8i 2 f0; : : : ; n � 2g : ai li ai+2. Nach Lemma 4.11 istnun auch 8i 2 f0; : : : ; n� 2g : ai im�X ai+2 erfüllt.Wegen x li y gilt n 6= 0. Wegen x = a0 co a1 gilt n 6= 1, also n � 2. Wir führen jetzt eineFallunterscheidung durch, je nachdem, ob n gerade oder ungerade ist.Fall 1: n = 2m. Es ist a0 im�X a2 im�X a4 : : : a2(m�1) im�X a2m und deshalb a0 im�X a2m =an.Fall 2: n = 2m+1. Also n 6= 2 und somit n � 3. Analog zum vorigen Fall folgt a3 im�X an,weil n � 3 gerade ist. Nach Konstruktion ist jetzt a0 co a1, a1 co a2, a2 co a3 unda0 li a2, a0 li a3, a1 li a3.Damit ist die Prämisse von Axiom NDI erfüllt, und es gibt ein z mit a0 li z, a3 li z,a1 co z und a2 co z. Wir wenden Lemma 4.11 an und erhalten a0 im�X z und z im�X a3.Alles in allem also a0 im�X an.Somit x im�X y, und der Satz gilt für alle x; y. �Satz 4.13 Basis LIK COK NDI EKO im�X = X�X .Beweis Der Beweis erfolgt analog zu Satz 4.9, aber unter Verwendung von Axiom LIKund Lemma 4.12. �Auf die N-Dichte kann in dieser Beweiskette nicht verzichtet werden, wie das Beispiel des4-elementigen N-Netzes aus Abbildung 2.1 zeigt, denn dieses erfüllt Axiom LIK und AxiomEKO, nicht aber Axiom IMK.Erst in späteren Abschnitten werden wir die Mächtigkeit von Axiom LKO und AxiomEKO voll ausnutzen. Dies haben wir jetzt nicht getan, denn es sollten zunächst nur dieBeziehungen der Axiome untereinander geklärt werden.4.3.3 Weitere Abhängigkeiten zwischen den KohärenzaxiomenJetzt decken wir noch einen Zusammenhang zwischen der im-Kohärenz und der normalenKohärenz auf, der es ermöglicht, in vielen Fällen auf Axiom COK und Axiom LIK zugunstenvon Axiom IMK zu verzichten.Satz 4.14 Basis IMK li�X = X�X .Beweis Mit Satz 2.66 und Axiom IMK. �Lemma 4.15 Basis COI KAA LFO P � co2.Beweis Wir wählen x; y 2 X beliebig mit x P y. Axiom LFO garantiert die Existenzeines w mit w im x und w li y. Axiom KAA erzwingt x P w. Wegen Bemerkung 2.49 istli[w] 6= li[y].Angenommen, co[y] = ?. Es gilt nun li[y] = X , also li[w] 6= X und li[w] X = li[y]. NachDe�nition von P ist w P y, was zusammen mit x P w einen Widerspruch zu Axiom KAAdarstellt. Folglich haben wir co[y] 6= ?.Damit gibt es ein z 2 X mit y co z. Wegen x P y gilt auch x co z, also x co2 y. �Satz 4.16 Basis COI KAA IMK LFO co�X = X�X .Beweis Wegen Lemma 4.15 ist P � co2, also auch im � co2. Nun gilt X�X = im�X �(co2)�X � co�X � X�X unter Verwendung von Axiom IMK. �Satz 4.17 Basis COI KAA IMK LFO co�X = li�X .Beweis Mit Satz 4.16 und Satz 4.14. �

70 KAPITEL 4. SPEZIELLE AXIOME4.4 EndpunkteDieser Abschnitt handelt von einer Vermutung zur Theorie der Nebenläu�gkeit, die in [Ste93]formuliert wurde und sich seitdem hartnäckig einem Beweis widersetzte: die Nichtexistenzvon Endpunkten. Diese Vermutung konnte jetzt bestätigt werden, womit ein wichtigerSchritt zum Verständnis der Theorie der Nebenläu�gkeit getan ist.4.4.1 . . . gibt es nichtEin Element x 2 L heiÿt ein Endpunkt der Linie L 2 Lines, wenn es genau ein y 2 Lgibt, für das y im x gilt. Anders ausgedrückt, wenn jL \ im[x]j = 1. Dies kann durchausvorkommen, wie die N-Struktur aus Abschnitt 3.3.1 beweist. Dort ist aber auch das AxiomLFO nicht erfüllt, so daÿ es Elemente gibt, deren gesamte im-Umgebung eine co-Kliquedarstellt. Wenn es jedoch zwei co-Kliquen in der im-Umgebung gibt, dann sollte eine Linieauch durch beide hindurchgehen. Dies wird jetzt bewiesen werden.Lemma 4.18 Basis KDI 8L 2 Lines : 8x 2 L : 8y 2 X : (y P x ) 9z 2 im[x] \ co[y] :z 2 L).Beweis Wir betrachten beliebige L 2 Lines, x 2 L und y 2 X mit y P x.Sei C 2 Cuts ein Schnitt mit x 2 C. Sei K = C � fxg, dann gilt 8k 2 K : x co k. Wegeny P x gilt nach Satz 2.56 auch 8k 2 K : y co k, also ist K [fyg eine co-Klique, die zu einemSchnitt C 0 mit K [ fyg � C 0 erweitert werden kann.Wegen Axiom KDI ist L \ C 0 6= ?, wir wählen also ein z 2 L \ C 0. Weil fy; zg � C 0, isty co z.Angenommen, :z im x. Wegen y im x ist o�ensichtlich y 6= z, also y co z. Weil y im x gilt,folgt ferner x li y und daraus z 6= x. Mit fz; xg � L führt dies zu z li x.Es gilt :li[z] li[x] wegen :z P x. Da x li y und z co y, ist li[z] 6= li[x], also :li[z] � li[x].Es gibt also ein u 2 X mit z li u und :x li u. Wir erhalten x co u, und dies ergibt mitz li x, daÿ z 6= u und folglich z li u.Sei L0 2 Lines eine Linie mit fz; ug � L0. Axiom KDI impliziert L0 \ C 6= ?, deshalb gibtes ein v 2 L0 \ C.Wäre v = x, dann v = x co u im Widerspruch zu fu; vg � L0, also v 6= x. Weil v 2 C folgtdamit aber v 2 K, also v 2 C 0. fv; zg � C 0 bedeutet nun v co z.Wegen fv; zg � L0 haben wir aber v li z, also v = z. Nun steht v = z li x im Widerspruchzu fv; xg � C.Also z im x, damit ist der Satz bewiesen. �Mit diesem Lemma haben wir bereits den schwierigsten Fall erledigt, im weiteren ist derBeweis recht geradlinig.Lemma 4.19 Basis KDI 8L 2 Lines : 8x 2 L : 8y 2 im[x] : 9z 2 im[x]\ co[y] : z 2 L.Beweis Sei L 2 Lines, x 2 L, y 2 X und x im y. Wenn y P x, dann ergibt sich derBeweis aus Lemma 4.18. Wir betrachten also den Fall x P y. Es ist L � li[x] wegen x 2 L.Wir erhalten L � li[y] durch x P y, also y 2 L, der Satz ergibt sich für z = y. �Theorem 4.20 Basis LFO KDI 8L 2 Lines : 8x 2 L : jim[x]\ Lj 6= 1.Beweis Für einen Widerspruchsbeweis wählen wir L 2 Lines und x 2 Lmit jim[x]\Lj = 1.Sei w 2 im[x] \ L. Wegen Axiom LFO gibt es ein y 2 im[x] mit y li w, und nach Lemma4.19 gibt es ein z 2 im[x] \ co[y] mit z 2 L. Weil fz; wg � im[x] \ L, muÿ z = w gelten.Nun ergibt sich ein Widerspruch durch y li w = z co y. �

4.4. ENDPUNKTE 71x zu v y LL0Abbildung 4.4: Konstruktion aus Lemma 4.18Auch der Fall, daÿ ein Element einer Linie überhaupt keine Nachbarn auf der Linie hat,kann mit dem Lemma leicht behandelt werden.Satz 4.21 Basis NTR IMK KDI 8L 2 Lines : 8x 2 L : jim[x]\ Lj 6= 0.Beweis Sei L 2 Lines und x 2 L. Satz 2.76 beweist, daÿ es ein y 2 X gibt mit x im y.Mit Lemma 4.19 folgern wir nun die Existenz eines z 2 im[x] mit z 2 L. �Es ist nun nicht mehr schwer, diese Aussage soweit zu verschärfen, daÿ jedes Elementeiner Linie genau zwei im-Nachbarn auf der Linie hat. Die folgenden Beweise sind zuerstbei [Ste93] ausgeführt.Lemma 4.22 Basis LOR 8L 2 Lines : 8x 2 L : jim[x]\ Lj � 2.Beweis Sei L 2 Lines und x 2 L und für einen Widerspruchsbeweis jim[x]\Lj > 2, danngibt es a; b; c 2 im[x], für die a li b li c li a gilt. Dies widerspricht jedoch Axiom LOR. �Satz 4.23 Basis NTR IMK LOR LFO KDI 8L 2 Lines : 8x 2 L : jim[x]\ Lj = 2.Beweis Sei L 2 Lines und x 2 L, dann ist jim[x] \ Lj = 0 wegen Satz 4.21 unmöglich,und jim[x] \ Lj = 1 entfällt wegen Theorem 4.20. jim[x] \ Lj � 2 wegen Lemma 4.22 läÿtjetzt nur noch jim[x]\ Lj = 2 zu. �Da die K-Dichte eine entscheidende Rolle in der vorangegangenen Beweiskette spiel-te, können wir das vorhergehende Ergebnis auch als wichtige Motivation von Axiom KDIauffassen. Erst die K-Dichte erlaubt es uns, die Interpretation von li-Kliquen als Weltlinienaufrechtzuerhalten, denn nur sie garantiert die sinnvolle Struktur der Linien.Die Alternative, statt der K-Dichte ein zu Theorem 4.20 äquivalentes Axiom in das Axio-mensystem aufzunehmen, wirkt dagegen künstlich und nicht überzeugend. Sie wäre jedocherneut in Betracht zu ziehen, wenn Axiom KDI als zu stark erkannt und durch ein schwä-cheres Axiom ersetzt wird, sich der Beweis Theorem 4.20 jedoch nicht unter schwächerenBedingungen herleiten läÿt.4.4.2 TransitionenAus der Nichtexistenz von Endpunkten folgen noch einige weitere Eigenschaften von Neben-läu�gkeitsstrukturen, die für uns hilfreich sein werden.Wir haben bereits gesehen, daÿ Stellen genau ein Element im Vorbereich und ein Ele-ment im Nachbereich haben. Mit den Ergebnissen des vorigen Abschnitts können wir einenanalogen Satz für Transitionen herleiten: Transitionen haben mindestens je zwei Elementeim Vor- und Nachbereich. Wir �nden den folgenden Beweis schon in der Arbeit [Ste93].

72 KAPITEL 4. SPEZIELLE AXIOMELemma 4.24 Basis KDI P � co � P .Beweis Seien x; y 2 X und y P x. Satz 2.58 zeigt die Existenz eines u 2 X mit y co uund u li x. Sei L 2 Lines eine Linie, die x; u 2 L erfüllt. Wegen Lemma 4.18 gibt es einz 2 im[x] \ co[y] mit z 2 L. Es ergibt sich z li u, also z 6= y wegen y co u. Daher z co y.Es gilt x P z _ z P x. Wäre x P z, dann z li y wegen x li y, im Widerspruch zu z co y.Also z P x, und insgesamt haben wir y co z P x. �In der Nachbarschaft einer Transition liegen mindestens vier Elemente.Lemma 4.25 Basis NTR KAA IMK LCT LFO KDI 8x 2 T : jP�1[x]j � 4.Beweis Sei x 2 T , dann gibt es ein y 2 X mit y im x wegen Satz 2.76. Axiom KAAergibt y P x. Wegen Axiom LFO gibt es ein z 2 X mit y li z und x im z, also z P x wegenAxiom KAA. Da Lemma 4.24 gilt, gibt es u; v 2 X mit y co u P x und z co v P x.Angenommen, u = v, dann führt Axiom LCT mit y co u = v co z zu y co z im Widerspruchzu y li z. Also sind u; v; y; z 2 P�1[x] paarweise verschieden. �Die Argumentation des vorigen Lemmas können wir für eine Verschärfung einsetzen, diebesagt, daÿ Vor- und Nachbereich einer Transition mindestens zwei Elemente umfassen.Lemma 4.26 Basis NTR KAA IMK LCT LFO KDI 8F 2 Orient : 8x 2 T : jF [x]j >1 < jF�1[x]j.Beweis Sei F eine konsistente Orientierung. Sei x 2 T . Analog zu Lemma 4.25 leiten wirdie Existenz von u; v; y; z 2 P�1[x] ab, mit den dort genannten Eigenschaften.Wegen x im y gilt entweder x F y oder y F x. Wenn x F y, dann erzwingen die F -Fortp�anzungsregeln, daÿ x F u, x F�1 z und x F�1 v. Also fu; yg � F [x] und fv; zg �F�1[x].Wenn andererseits y F x, dann fv; zg � F [x] und fu; yg � F�1[x]. In jedem Fall jF [x]j >1 < jF�1[x]j. �4.4.3 Kleinste Modelle der TheorieWir können nun zeigen, daÿ das 4-Jahreszeiten-Modell wirklich ein kleinstes mögliches Mo-dell der Theorie der Nebenläu�gkeit ist, wie schon lange vermutet wurde. Daÿ wirklich allekleinsten Modelle diesem Modell isomorph sind, ist nach wie vor nur eine Vermutung, diesich ho�entlich einmal mit ähnlichen Techniken wie den hier vorgestellten beweisen lassenwird.Lemma 4.27 Basis NTR IMK jT j � 1.Beweis Wegen Axiom NTR ist X 6= ?. Sei x 2 X . Es gibt ein y 2 X mit x im y aufGrund von Satz 2.76. Nun ist x P y oder yP x, also x 2 T oder y 2 T . �Lemma 4.28 Basis NTR COK IMK 8x 2 X : 9y 2 S : x co y.Beweis Sei x 2 X . Wegen Satz 2.43 gibt es ein u 2 X mit u co x, also u 6= x. Wennu 2 S, dann sind wir fertig, betrachten wir also den Fall, daÿ u =2 S.Wegen Satz 2.76 gibt es ein y 2 X mit y im u. Da u =2 S ergibt sich y P u, also y 2 S. MitSatz 2.56 ergibt sich y co x. �Lemma 4.29 Basis NTR COK KAA IMK LFO jT j � 3.Beweis Wegen Lemma 4.27 ist T 6= ?. Sei x 2 T . Lemma 4.28 gilt, und es gibt ein u 2 Smit u co x, also u 6= x.Wegen Axiom KAA ist im[u] � T . Satz 2.82 zeigt jim[u]j � 2. Da :x im u, können wirabschätzen jT j � jim[u]j+ 1 = 3. �Satz 4.30 Basis NTR COK KAA IMK LCT LFO KDI jT j � 4.

4.4. ENDPUNKTE 73s3s2s1x t3 t1t2 yAbbildung 4.5: Konstruktion aus Satz 4.30Beweis Da Lemma 4.29 gilt, ist jT j � 3. Angenommen, jT j = 3, dann T = ft1; t2; t3g.Mit Lemma 4.28 zeigen wir die Existenz von s1; s2; s3 2 S mit t1 co s1, t2 co s2 und t3 co s3.Wegen Axiom KAA ist im[s1] � T . Satz 2.82 zeigt jim[s1]j � 2. Da :s1 im t1, istim[s1] = ft2; t3g, also s1 P t2, sowie s1 P t3. Auf ähnliche Weise gelangen wir zu s2 P t1,s2 P t3, s3 P t1 und s3 P t2.t2 li s3 und s3 P t1 führt zu t2 li t1. Also t1 li t2, analog dazu t1 li t3 und t2 li t3. s2 co t2und s1 P t2 ergibt s1 co s2. Analog dazu s1 co s3 und s2 co s3. Es gibt daher eine LinieL 2 Lines und einen Schnitt C 2 Cuts mit ft1; t2; t3g � L und fs1; s2; s3g � C.Axiom KDI zeigt, daÿ es x 2 L\C gibt. Wäre x = t1, dann steht s2 li t1 im Widerspruch zufs2; t1g � C. Also x 6= t1, aber ebenso x 6= t2 und x 6= t3, also x 2 S. Nun ist jim[x]j = 2,wir nehmen daher ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, daÿ im[x] = ft2; t3g, alsox im t2 und x im t3.Wegen Lemma 4.18 gibt es ein y 2 im[t1]\ co[s2]\L. Mit Axiom LCT, y co s2 und s2 co s3erhalten wir y co s3.Weil jim[y]j = 2 ist y im t2 oder y im t3. Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit y im t2.Mit Axiom LCT, y co s3 und s3 co s1 ergibt sich y co s1. Da x co s1 und y co s1 undfy; s1; s3g � im[t2], führt eine nochmalige Anwendung von Axiom LCT zu x co y. Aberfx; yg � L, daher x = y.Jetzt gilt aber x = y im t1 im Widerspruch zu im[x] = ft2; t3g und t2 6= t1 6= t3. AlsojT j 6= 3, es bleibt jT j � 4. �Satz 4.31 Basis NTR COK KAA IMK LCT LFO KDI jX j � 12.Beweis Es istXt2T jP�1[t]j = jP j =Xs2S jP [s]j;dies ergibt mit Satz 2.82Xt2T jP�1[t]j = 2jSj:Unter Verwendung von Lemma 4.25 läÿt sich dies abschätzen zu 4jT j � 2jSj, also 16 � 2jSjwegen Satz 4.30, sowie letztlich jSj � 8. Axiom KAA zeigt S\T = ?, also jX j � jSj+ jT j �8 + 4 = 12. �4.4.4 Keine Änderung einer ÄnderungUnerwarteterweise hat sich herausgestellt, daÿ sich Axiom KAA aus anderen Axiomen her-leiten läÿt, also nicht notwendigerweise als eigenes Axiom aufgenommen werden müÿte.

74 KAPITEL 4. SPEZIELLE AXIOMELemma 4.32 Basis LOR LKO 8L 2 Lines : 8A � L : (A 6= ? ^ 8x 2 A : jim[x] \ Aj �2)) A = L.Beweis Sei L 2 Lines, A � L und 8x 2 A : jim[x] \Aj � 2. Sei x 2 A beliebig.Angenommen, es gibt ein z 2 L mit z =2 A, dann gibt es nach Axiom LKO eine imjL-Kette� = (x = d0; d1; : : : ; dm = z) und es muÿ ein i existieren, so daÿ di 2 A und di+1 =2 A.Nun gibt es u; v 2 im[di]\A mit u 6= v, weil jim[di]\Aj � 2. Wegen di+1 =2 A ist auÿerdemu 6= di+1 6= v, also u li v li di+1 li u wegen fu; v; di+1g � L. Dies steht im Widerspruch zuAxiom LOR wegen u; v; di+1 2 im[di].Also Set(�) = L. �Satz 4.33 Basis LII LOR KDI LKO P 2 = ?.Beweis Wir nehmen das Gegenteil an, dann gibt es x; y; z 2 X mit x P y P z. NachDe�nition von P ergibt sich jetzt x P z, also nach Satz 2.55 x li z. Wegen Lemma 4.24 gibtes ein w 2 X , für das w co x und w P y gilt.Axiom LII zeigt, daÿ es ein v 2 X gibt, für das (v li x)^ (:v li w) oder (v li w)^ (:v li x).Wir nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, daÿ (v li x) ^ (:v li w), ansonstenerreichen wir diesen Fall durch Vertauschen von x und w.Wegen v li x und w co x ist v 6= w, also v co w. Nun ergibt sich v li y mit x P y. Da v co wund y li w, folgt v 6= y, also v li y. Auf ähnliche Weise ergibt sich v li z. Also ist fx; y; z; vgeine li-Klique und kann zu einer Linie L 2 Lines erweitert werden.Sei A = fx; y; zg, dann ist 8u 2 A : jim[u] \ Aj � 2. Lemma 4.32 verlangt A = L, dies istjedoch unmöglich, weil v =2 fx; y; zg. �Wir behalten dennoch Axiom KAA als ein zentrales Axiom der Theorie, da es eineGrundidee der Theorie ausdrückt, wogegen es als bewiesene Eigenschaft nur eine untervielen wäre und relativ zufällig aussehen könnte.4.5 EndlichkeitWenn wir die Komplexität einer Nebenläu�gkeitsstruktur einschränken wollen, gelingt diesam einfachsten, indem wir für sie gewisse Endlichkeitseigenschaften fordern. Es gibt er-staunlich viele mögliche Möglichkeiten dafür.Axiom TEN [Totale Endlichkeit]Fin(X). �Axiom REN [Raumkegelendlichkeit]8x 2 X : Fin(co[x]). �Axiom SEN [Schnittendlichkeit]8C 2 Cuts : Fin(C). �Axiom NEN [Nachbarschaftsendlichkeit]8x 2 X : Fin(im[x]). �Hier wollen wir zunächst anhalten und die Abhängigkeiten zwischen den vier bishervorgestellten Endlichkeitsaxiomen darstellen.Satz 4.34 Basis TEN 8x 2 X : Fin(co[x]).Beweis 8x 2 X : co[x] � X , wobei Fin(X) wegen Axiom TEN. �Lemma 4.35 Basis REN 8x 2 X : Fin(co[x]).Beweis Es ist jco[x]j = jco[x]j+ 1 und damit Fin(co[x])) Fin(co[x]). Der Satz folgt nunaus Axiom REN. �

4.5. ENDLICHKEIT 75Satz 4.36 Basis REN 8C 2 Cuts : Fin(C).Beweis 8C 2 Cuts : 8x 2 C : C � co[x], und 8x 2 X : Fin(co[x]) gemäÿ Lemma 4.35. �Satz 4.37 Basis LOR SEN 8x 2 X : Fin(im[x]).Beweis Wir nehmen das Gegenteil an, dann gibt es ein Element x, für das im[x] unendlichist. Sei C � im[x] eine maximale cojim[x]-Klique. C kann zu einem Schnitt C 0 � C erweitertwerden, also ist C wegen Axiom SEN endlich.Wegen der Maximalität von C gilt 8y 2 im[x] � C : 9z 2 C : y li z. Weil im[x] � Cunendlich ist, gibt es ein z 2 C, für das lijim[x][z] unendlich ist. Aber nach Axiom LOR istlijim[x][z] eine co-Klique, die zu einem Schnitt C 00 erweitert werden kann. Aber dann habenwir einen unendlichen Schnitt in Widerspruch zu Axiom SEN. �Es lassen sich auch in Hinblick auf die Objekte li und Lines Endlichkeitseigenschaftenangeben.Axiom ZEN [Zeitkegelendlichkeit]8x 2 X : Fin(li[x]). �Axiom LEN [Linienendlichkeit]8L 2 Lines : Fin(L). �Axiom EEN [Episodenendlichkeit]8L 2 Lines : 8x 2 X : Fin(L \ co[x]). �Die beiden nächsten Sätze werden analog zu den beiden Sätzen über Raum- und Schnitt-endlichkeit bewiesen.Satz 4.38 Basis TEN 8x 2 X : Fin(li[x]). �Satz 4.39 Basis ZEN 8L 2 Lines : Fin(L). �Satz 4.40 Basis ZEN 8x 2 X : Fin(im[x]).Beweis Wegen im � li und Axiom ZEN. �Satz 4.41 Basis LEN 8L 2 Lines : 8x 2 X : Fin(L\ co[x]).Beweis 8L 2 Lines : 8x 2 X : L\ co[x] � L, und 8L 2 Lines : Fin(L) wegen Axiom LEN.�Satz 4.42 Basis REN 8L 2 Lines : 8x 2 X : Fin(L \ co[x]).Beweis 8L 2 Lines : 8x 2 X : L \ co[x] � co[x], und 8x 2 X : Fin(co[x]) wegen Lemma4.35. �Ob Schnittendlichkeit und Linienendlichkeit zusammen die totale Endlichkeit erzwingen,ist eine interessante Frage, die von Best in [Bes80] untersucht wird. Sie stellt einen Spezialfallder sogenannten Theorie von Ramsey dar; eine Einführung dieser Theorie �ndet sich in[GRS80].Da jedoch der Beweis für den vorliegenden Spezialfall recht einfach ist, soll er hier ex-plizit hergeleitet werden. Wir zeigen zunächst eine Verallgemeinerung des oben genanntenResultats: Episodenendlichkeit und Schnittendlichkeit implizieren Raumkegelendlichkeit.Satz 4.43 Basis SEN EEN 8x 2 X : Fin(co[x]).Beweis Wir führen den Beweis durch Widerspruch und nehmen an, daÿ es ein x gibt, fürdas co[x] und daher auch co[x] unendlich ist. Wir konstruieren nun in einer Induktion immergröÿere Kliquen von co, die wir Ai nennen wollen, wobei A0 = fxg. Dabei werden wir dieAi so wählen, daÿ es immer unendlich viele Elemente aus X gibt, die mit allen Elementenaus Ai in co stehen, wir fassen diese Elemente in Bi zusammen.Anfang: A0 = fxg ist eine co-Klique. B0 = co[x] ist auf Grund unserer Widerspruchsan-nahme unendlich.

76 KAPITEL 4. SPEZIELLE AXIOMEHypothese: x 2 Ai, und Ai ist eine co-Klique, und Bi = Ty2Ai co[y] ist unendlich.Von i nach i+ 1: Da Bi unendlich ist, ist es nicht leer und wir können jetzt eine beliebigemaximale lijBi-Klique auswählen und sie mit Li bezeichnen. Es gibt auch eine LinieL0i mit Li � L0i.Wegen Axiom EEN ist co[x] \ L0i endlich. Da per Konstruktion Bi � co[x] wegenx 2 Ai, ist auch Bi \ L0i endlich. Da Li � Bi \ L0i, ist auch Li endlich.Weil aber Li eine maximale Klique ist und innerhalb von Bi nicht erweitert werdenkann, gilt 8w 2 (Bi � Li) : 9v 2 Li : w co v. Anders formuliert ist Bi � Li =Sv2Li cojBi[v].Aber Bi � Li ist eine unendliche Menge und Li ist eine endliche Menge. Daher gibtes ein vi 2 Li, für das cojBi[vi] unendlich ist.Sei Ai+1 = Ai [ fvig. Wegen vi 2 Bi gilt nach Induktionshypothese Ai � co[vi], alsoist Ai+1 genauso wie Ai eine co-Klique. O�ensichtlich Ai Ai+1 und somit x 2 Ai+1.Es ist Bi+1 = Ty2Ai+1 co[y] = Bi \ co[vi] = cojBi [vi]. Damit ist aber Bi+1 unendlich.Somit ist die Induktion abgeschlossen. Wir beobachten, daÿ Ai Ai+1 für alle i erfülltist, also ist Si�0Ai eine unendliche Menge. Aber Si�0Ai ist auch eine co-Klique und kanndaher zu einem unendlichen Schnitt C � Si�0Ai erweitert werden. Ein unendlicher Schnittsteht jedoch im Widerspruch zu Axiom SEN. �Zur Lösung unseres Problems ist es jetzt nur noch ein kleiner Schritt, denn der folgendeSatz ist schon lange bekannt.Satz 4.44 Basis REN LEN Fin(X).Beweis Sei L eine Linie, also eine maximale li-Klique, dann 8x 2 X : 9y 2 L : x co y. List endlich wegen Axiom LEN. X = Sy2L co[y], also ist X nach Lemma 4.35 die Vereinigungvon endlich vielen endlichen Mengen und damit selbst endlich. �Korollar 4.45 Basis SEN LEN Fin(X).Beweis Mit Satz 4.41, Satz 4.43 und Satz 4.44 �Eine ähnliche Beweistechnik hilft uns, den folgenden Satz zu beweisen, der in gewisserHinsicht eine Variation des Satzes von König ist.Satz 4.46 Basis LKO NEN LEN 8x 2 X : Fin(li[x]).Beweis Wir führen den Beweis durch Widerspruch und nehmen an, daÿ es ein x gibt, fürdas li[x] und daher auch li[x] unendlich ist. Wir konstruieren nun in einer Induktion immergröÿere Kliquen von li, die wir Ai nennen wollen, wobei A0 = fxg. Dabei werden wir dieAi so wählen, daÿ es immer unendlich viele Elemente aus X gibt, die mit allen Elementenaus Ai in li stehen, wir fassen diese Elemente in Bi zusammen.Anfang: A0 = fxg ist eine endliche li-Klique. B0 = li[x] ist gemäÿ Widerspruchsannahmeunendlich.Hypothese: x 2 Ai, und Ai ist eine endliche li-Klique, und Bi = Ty2Ai li[y] ist unendlich.Von i nach i+ 1: Sei Ci = im[Ai] \Bi, dann ist Ci endlich wegen Axiom NEN.Sei b 2 Bi, dann ist Ai [ fbg eine li-Klique und somit enthalten in einer Linie L.Wegen Axiom LKO ist aber b (imjL)�L x. Da b =2 Ai, aber x 2 Ai, muÿ es c; d 2 Xgeben, für die c imjL d und c =2 Ai und d 2 Ai gilt.Aber c imjL d erfordert c 2 L. Auÿerdem ist d 2 Ai, also c 2 im[Ai]. Da c 2 L undAi � L, ist Ai � li[c]. Mit c =2 Ai erhalten wir Ai � li[c], also c 2 Bi. Insgesamtc 2 im[Ai] \Bi = Ci.fb; cg � L führt zu b li c. Wir können zusammenfassen: 8b 2 Bi : 9c 2 Ci : b li c.

4.6. ORIENTIERBARKEIT 77Dies läÿt sich schreiben als Bi = Sc2Ci li[c] \Bi. Aber Bi ist eine unendliche Mengeund Ci ist eine endliche Menge. Daher gibt es ein ci 2 Ci, für das li[ci]\Bi unendlichist.Sei Ai+1 = Ai [ fcig. Wegen ci 2 Bi gilt Ai � li[ci], also ist Ai+1 genauso wie Ai eineli-Klique. O�ensichtlich Ai � Ai+1 und daher x 2 Ai+1. Es ist Bi+1 = Ty2Ai+1 li[y] =Bi \ li[ci]. Damit ist aber Bi+1 unendlich.Somit ist die Induktion abgeschlossen. Wir beobachten, daÿ Ai Ai+1 für alle i 2 N erfülltist, also ist Si2NAi eine unendliche Menge. Aber Si2NAi ist auch eine li-Klique und kanndaher zu einer unendlichen Linie L � Si2NAi erweitert werden. Eine unendliche Linie stehtjedoch im Widerspruch zu Axiom LEN. �Es ist in manchen Fällen auch sinnvoll, statt Endlichkeit Unendlichkeit zu fordern, jedochnicht in so vielen Variationen. Es gibt nur eine Unendlichkeitsforderung, die praktischVerwendung �ndet, und zwar die Unendlichkeit von Linien.Axiom LUE [Linienunendlichkeit]8L 2 Lines : :Fin(L). �Es sollte klar sein, daÿ Linienunendlichkeit die Linienendlichkeit und damit auch Zeit-endlichkeit und totale Endlichkeit ausschlieÿt. Alle anderen Endlichkeitsforderungen sindjedoch mit der Linienunendlichkeit verträglich. Wenn alle Linien unendlich sind, dann kanndie Struktur natürlich auch nicht trivial sein.Bemerkung 4.47 Basis LUE :Fin(X). �Bemerkung 4.48 Basis LUE jX j � 2. �Wenn es eine endliche Linie gibt, dann sind nicht notwendigerweise alle Linien endlich.Axiom EEN erlaubt es jedoch, diesen Schluÿ zu ziehen.Satz 4.49 Basis EEN 9L 2 Lines : Fin(L)) 8L 2 Lines : Fin(L).Beweis Sei Le eine endliche Linie. Nach Axiom EEN gilt, 8L 2 Lines : 8x 2 Le :Fin(L \ co[x]). Weil Le eine maximale li-Klique ist, gilt 8y 2 X � Le : 9x 2 Le : y co x.Weiterhin 8y 2 X : 9x 2 Le : y co x und 8L 2 Lines : 8y 2 L : 9x 2 Le : y co x.8L 2 Lines : L = [x2Le(co[x]\ L)Also ist jede Linie die endliche Vereinigung endlicher Mengen und somit endlich. �In Abbildung 4.6 ist ein Venn-Diagramm gezeichnet, das die verschiedenen Endlichkeits-bedingungen in Beziehung setzt. Es werden Axiom LOR und Axiom LKO angenommen,jedoch sind sie nur notwendig, um Axiom NEN sinnvoll einordnen zu können, für die ande-ren Beziehungen sind sie ohne Belang. Die graphischen Darstellungen beziehen sich auf diein Unterabschnitt 3.2.4 generierten Beispiele, die gerade in den entsprechenden Teilmengenplaziert werden müssen.4.6 OrientierbarkeitIn diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit einigen Eigenschaften der Menge der konsi-stenten Orientierungen.4.6.1 Globale und lokale OrientierbarkeitDie einfachste Möglichkeit, die Existenz einer konsistenten Orientierung zu sichern, ist, diesin einem Axiom zu fordern.

78 KAPITEL 4. SPEZIELLE AXIOMEIEN LENZENLUEREN TEN4-JZSENNEN1-JZAbbildung 4.6: Abhängigkeiten der EndlichkeitsaxiomeAxiom KOR [Konsistente Orientierbarkeit]Orient 6= ?. �Zunächst einmal erfüllt solch ein Axiom natürlich seinen Zweck, aber es tut sich einProblem auf, denn die Menge der Fluÿrelationen wird, indem wir über sie direkte Aussagentre�en, zu einem Hauptobjekt der Theorie der Nebenläu�gkeit. Dies sollte jedoch nachMöglichkeit den Relationen co und li vorbehalten bleiben.Andererseits ist es notwendig, auf eine konsistente Orientierung zurückgreifen zu kön-nen, denn sie erleichtert die Beschreibung von Nebenläu�gkeitsstrukturen und macht einigewichtige Beweistechniken verfügbar. Nicht zuletzt gelangt man mit der F -Relation von derTheorie der Nebenläu�gkeit zur Theorie der Netze, und man kann sowohl Sätze über Netzeauf Nebenläu�gkeitsstrukturen übertragen, als auch umgekehrt.Weiterhin ist die Existenz einer zeitlichen Orientierung aus der Physik motivierbar. Aberist die Existenz einer globalen Zeitrichtung in der Physik wirklich ein unverzichtbares Prin-zip? Wenn ja, kann es aus anderen Prinzipien der Physik abgeleitet werden? Diese Fragensollen hier, da wir uns ja nicht so sehr über die Rechtfertigung von Axiomen Gedankenmachen, nicht beantwortet werden. Schon der erwünschte Bezug zu Netzen stellt eine aus-reichende Motivation dar, um Orientierbarkeit zu fordern.Axiom KOR stellt eine globale Bedingung dar, die nur durch Betrachtung der Gesamt-struktur entschieden werden kann. Wir stellen jetzt eine Beziehung zu den lokalen Orien-tierbarkeitsbedingungen her.Satz 4.50 Basis KOR 8x 2 X : (cojim[x])2 � cojim[x].Beweis Sei F eine konsistente Orientierung gemäÿ Axiom KOR und x 2 X beliebig. Seiena; b; c 2 im[x] mit a co b co c. Zu zeigen ist a co c.Fall 1: a F x. Nach der De�nition von F ergibt sich b F x und weiter c F x. Also a co c.Fall 2: a F�1 x. Nach der De�nition von F ergibt sich b F�1 x und weiter c F�1 x.Wiederum a co c.

4.6. ORIENTIERBARKEIT 79Also (cojim[x])2 � cojim[x]. �Satz 4.51 Basis KOR 8x 2 X : (lijim[x])2 � cojim[x].Beweis Sei F eine konsistente Orientierung gemäÿ Axiom KOR und x 2 X beliebig. Seiena; b; c 2 im[x] mit a li b li c. Zu zeigen ist a co c.Fall 1: a F x. Nach der De�nition von F ergibt sich b F�1 x und weiter c F x. Also a co c.Fall 2: a F�1 x. Nach der De�nition von F ergibt sich b F x und weiter c F�1 x. Wiederuma co c.Also (lijim[x])2 � cojim[x]. �Damit haben wir gezeigt, daÿ die Axiome zur lokalen Orientierbarkeit notwendig fürAxiom KOR sind, das damit eine eindeutig stärkere Bedingung ist.4.6.2 WendepunkteUm die Forderung nach einer konsistenten Orientierung einfacher auszudrücken, de�nie-ren wir zunächst eine Funktion, die angibt, bei welchen Indizes sich in einer im-Kette dieZeitrichtung umkehrt. Intuitiv sollte dies genau dort sein, wo der Vorgänger und der Nach-folger eines Elements in der zeitlichen Entwicklung nicht aufeinander folgen, also nicht in li,sondern in co stehen.De�nition 4.52 [Wendepunkte]Ist � = (a0; : : : ; an) 2 Ketten(im), dann sei WP(a0; : : : ; an) := fi j 0 < i < n ^ ai�1 coai+1g. �Wir müssen auch für im-Zyklen eine geeignete De�nition �nden, die insbesondere auchdie Rückkehr des Zyklus zum Ausgangspunkt richtig behandelt.De�nition 4.53 [Alle Wendepunkte]Ist � = (a0; : : : ; an) 2 Zyklen(im), dann sei AWP(a0; : : : ; an) := WP(a0; : : : ; an; a1). �Jetzt können wir nicht orientierbare Strukturen ausschlieÿen, indem wir in einem Axiomfordern, daÿ die Kardinalität von AWP stets gerade ist. Daÿ dies in der Tat unverzichtbarist, beweist das Beispiel der Kleinschen Flasche aus Abschnitt 3.3.7.Axiom GAW [Gerade Anzahl Wendepunkte]8� 2 Zyklen(im) : jAWP(�)j ist gerade. �Um dies neue Axiom für einen Beweis einsetzen zu können, brauchen wir eine weitereDe�nition, mit der wir feststellen können, ob zwei beliebige im-Paare in derselben Richtungorientiert werden müssen.De�nition 4.54 [Parallel orientiert]PO(a; b; c; d) :, a im b ^ c im d ^ 9� = (a; b; x1; : : : ; xn; c; d) 2 Ketten(im) : jWP(�)j istgerade. �Einige Eigenschaften des neu de�nierten Prädikats können einfach abgeleitet werden,auch wenn ihre Bedeutung erst in Satz 4.58 klar werden wird.Lemma 4.55 Basis a im b ^ c im d ^ e im f ^ PO(a; b; c; d)^ PO(a; b; e; f)) PO(c; d;e; f).Beweis Nach der Prämisse existieren � = (a; b; x1; : : : ; xn; c; d) mit jWP(�)j gerade und� = (a; b; y1; : : : ; yn; e; f) mit jWP(�)j gerade. Indem wir � umkehren, erhalten wir =(d; c; xn; : : : ; x1; b; a) mit jWP( )j gerade.

80 KAPITEL 4. SPEZIELLE AXIOMEWir fügen das Element c und die Ketten und � zusammen und erhalten � = (c; d; c; x1;: : : ; xn; b; a; b; yn; : : : ; y1; e; f). Man beobachtet, daÿ jWP(�)j = 1+ jWP( )j+ 1+ jWP(�)j.Damit ist aber jWP(�)j gerade, und wir haben PO(c; d; e; f). �Lemma 4.56 Basis GAW a im b ^ c im d ^ PO(a; b; c; d)) :PO(a; b; d; c).Beweis Wir nehmen das Gegenteil an, dann existieren � = (a; b; x1; : : : ; xn; c; d) mitjWP(�)j gerade und � = (a; b; y1; : : : ; yn; d; c) mit jWP(�)j gerade. Indem wir � umkeh-ren, erhalten wir = (c; d; yn; : : : ; y1; b; a) mit jWP( )j gerade.Wir fügen � und zusammen und erhalten � = (a; b; x1; : : : ; xn; c; d; yn; : : : ; y1; b; a). Wirwissen, daÿ jWP(�)j = jWP(�)j + jWP( )j gerade ist. Aber weil b co b, führt dies zujAWP(�)j ungerade und somit zu einem Widerspruch mit Axiom GAW. �Der Rest der Beweiskette könnte einfacher ablaufen, wenn wir Axiom IMK voraussetzen,was jedoch um der Aussagekraft des Satzes willen nicht geschehen soll.Lemma 4.57 Basis a im b^ c im d ^ b im+ c) (PO(a; b; c; d)_ PO(a; b; d; c)).Beweis Per Voraussetzung gibt es eine im-Kette von b nach c, die wir � = (b; x1; : : : ; xn; c)nennen wollen. Dann sind auch � = (a; b; x1; : : : ; xn; c; d) und = (a; b; x1; : : : ; xn; c; d; c)im-Ketten, wobei jWP(�)j + 1 = jWP( )j. Letztlich ist jWP(�)j oder jWP( )j gerade,womit das Lemma bewiesen ist. �Nun können wir den Beweis schlieÿen und die Existenz einer konsistenten Orientierungsichern, indem wir für jede im-Zusammenhangskomponente willkürlich eine Orientierungfestlegen und sie mit Hilfe des Prädikats PO durch die Struktur fortp�anzen.Satz 4.58 Basis GAW Orient 6= ?.Beweis Sei � eine beliebige Wohlordnung vonX und rep1(x) = min�(im�X [x]) für x 2 X .Sei rep2(x) = min�(im[rep1(x)]), wenn im[rep1(x)] 6= ?, rep2(x) = x sonst.Jetzt stellt rep1 einen Repräsentanten für jede im-Zusammenhangskomponente dar und rep2liefert eine Referenz für die Orientierung dieser Komponente, wenn sie nicht einelementigist.Sei F = f(a; b) 2 im j PO(rep2(a); rep1(a); a; b)g. Wir werden jetzt sehen, daÿ F einekonsistente Orientierung ist.� F [ F�1 = im. Daÿ F [ F�1 � im gilt, folgt unmittelbar aus der Konstruktion vonF . Für die Rückrichtung wählen wir jetzt a im b beliebig. Die im-Zusammenhangs-komponente ist damit nicht einelementig und somit im[rep1(a)] 6= ? und rep1(a) imrep2(a), sowie rep1(a) im+ a. Nach Lemma 4.57 gilt nun PO(rep2(a); rep1(a); a; b)_PO(rep2(a); rep1(a); b; a). Wegen rep1(a) = rep1(b) heiÿt dies jedoch PO(rep2(a);rep1(a); a; b)_PO(rep2(b); rep1(b); b; a) und somit a F b_a F�1 b, also F [F�1 � im.� F � F � li. Wir wählen a F b F c beliebig, dann gilt rep1(a) = rep1(b) = rep1(c) unda im b im c. Auÿerdem PO(rep2(a); rep1(a); a; b) und PO((rep2(a); rep1(a); b; c). MitLemma 4.55 führt dies zu PO(a; b; b; c). Wenn wir a co c annehmen und die im-Kette� = (a; b; c; b) de�nieren, dann gilt WP(�) = f1; 2g. Also PO(a; b; c; b), was einenWiderspruch zu Lemma 4.56 ergibt. Also a li c und allgemein F � F � li.� F �F�1 � co. Wir wählen a F b F�1 c beliebig, dann gilt rep1(a) = rep1(b) = rep1(c)und a im b im c. PO(rep2(a); rep1(a); a; b) und PO(rep2(a); rep1(a); c; b) ergeben sichdaraus unmittelbar. Mit Lemma 4.55 führt dies zu PO(a; b; c; b). Wenn wir a li cannehmen und die im-Kette � = (a; b; c; b; c) de�nieren, dann gilt WP(�) = f2; 3g.Also PO(a; b; b; c), was einen Widerspruch zu Lemma 4.56 ergibt. Also a co c undallgemein F � F�1 � co.

4.6. ORIENTIERBARKEIT 81� F�1 � F � co. Analog zum vorigen Punkt.Damit hat F alle von einer konsistenten Orientierung geforderten Eigenschaften. �4.6.3 Eindeutigkeit der OrientierungWarum wäre der Beweis von Satz 4.58 einfacher geworden, wenn wir Axiom IMK ange-nommen hätten? Dies liegt daran, daÿ es dann nur eine im-Zusammenhangskomponentegegeben hätte und damit höchstens zwei Orientierungen.Satz 4.59 Basis IMK 8F1; F2 2 Orient : F1 = F2 _ F1 = F�12 .Beweis Seien F1 und F2 zwei konsistente Orientierungen, und nehmen wir an, daÿ F1 6=F2 ^ F1 6= F�12 . Wir wählen uns x; y 2 X mit x F1 y. Wegen F1 [ F�11 = im = F2 [ F�12ist x F2 y _ x F�12 y. Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit x F2 y, ansonsten könntenwir F�12 statt F2 betrachten.Wegen F1 6= F2 gibt es v; w 2 X , so daÿ v F1 w ^ :v F2 w _ :v F1 w ^ v F2 w. Seiohne Beschränkung der Allgemeinheit v F1 w ^ :v F2 w, ansonsten könnten wir F1 und F2austauschen.Es ist nun v im w und daher v F�12 w. Sei � = (x = a0; y = a1; a2; : : : ; v = an�1; w = an)eine im-Kette, diese existiert wegen Axiom IMK. Sei m = maxf0 � i < n j ai F1 ai+1 ,ai F2 ai+1g, also die höchste Position in der im-Kette, an der die beiden Orientierungenübereinstimmen. Also (am F1 am+1 , am F2 am+1) ^ (:am+1 F1 am+2 , am+1 F2 am+2).Fall 1: am li am+2. Nach der De�nition einer konsistenten Orientierung ist am F1 am+1 ,am+1 F1 am+2 und am F2 am+1 , am+1 F2 am+2. Also (am+1 F1 am+2 , am+1 F2am+2) ^ (:am+1 F1 am+2 , am+1 F2 am+2). Widerspruch.Fall 2: am co am+2. Nach der De�nition einer konsistenten Orientierung ist am F1 am+1 ,:am+1 F1 am+2 und am F2 am+1 , :am+1 F2 am+2. Also (:am+1 F1 am+2 ,:am+1 F2 am+2) ^ (:am+1 F1 am+2 , am+1 F2 am+2). Widerspruch.Somit kann F1 6= F2 ^ F1 6= F�12 nicht gelten. �Damit ist die konsistente Orientierung für eine Nebenläu�gkeitsstruktur bis auf Rich-tungsumkehr eindeutig.4.6.4 Einfache ZyklenWir wollen uns aber mit dem bisher Erreichten nicht zufrieden geben, sondern versuchen,das benötigte Axiom GAW abzuschwächen. Insbesondere ist es möglich, sich auf die Be-trachtung von Zyklen ohne Wiederholungen zu beschränken, wenn die Axiome zur lokalenOrientierbarkeit gelten.Axiom LCT und Axiom LOR führen zu den folgenden beiden Sätzen, die oft einfacheranwendbar sind.Lemma 4.60 Basis LCT LOR 8x 2 X : 8a; b; c 2 im[x] : (a co b, a co c), b co c.Beweis Wir unterscheiden je nach der Beziehung zwischen a und b, sowie a und c.Fall 1: a co b^ a co c. Axiom LCT erfordert b co c.Fall 2: a li b ^ a li c. Axiom LOR erfordert b co c.Fall 3: a co b ^ a li c. Angenommen b co c, dann erzwingt Axiom LCT, daÿ a co c. Esergibt sich ein Widerspruch mit a li c, daher b li c.

82 KAPITEL 4. SPEZIELLE AXIOME)aj�1ai�1 ai+1 ai�1ai = ajai = ajaj+1 aj+1 ai+1ai = ajaj�1a0a0 Abbildung 4.7: Konstruktion aus Satz 4.62Fall 4: a li b ^ a co c. Angenommen b co c, dann erzwingt Axiom LCT, daÿ a co c. Esergibt sich ein Widerspruch mit a li c, daher b li c.Damit ist die Aussage in allen Fällen wahr. �Lemma 4.61 Basis LCT LOR 8x 2 X : 8a; b; c; d 2 im[x] : (a co b , a co d) , (c cod, c co b).Beweis 8x 2 X : 8a; b; c; d 2 im[x] : (b co d, d co b) ist o�ensichtlich. Durch Umbenen-nen von Variablen in Lemma 4.60 erhalten wir 8x 2 X : 8a; b; d 2 im[x] : (a co b , a cod) , b co d, sowie 8x 2 X : 8c; d; b 2 im[x] : (c co d , c co b) , d co b. Die Verknüpfungder drei 8-Terme beweist das Lemma. �Jetzt können wir das abgeschwächte Axiom einführen, das Axiom GAW auf einfacheZyklen einschränkt.Axiom GWE [Gerade Anzahl Wendepunkte in einfachen Zyklen]8� 2 Zyklen(im) : ZykEinf (�)) jAWP(�)j ist gerade. �Wir können daraus Axiom GAW ableiten. Der Beweis wir mit Hilfe von vollständigerInduktion geführt, wobei wir im Induktionsschritt gröÿere Zyklen, die eine Wiederholungenthalten, in zwei kleinere Zyklen aufteilen.Satz 4.62 Basis LCT LOR GWE 8� =2 Zyklen(im) : jAWP(�)j ist gerade.Beweis Der Beweis dieses Satzes erfolgt durch Induktion nach der Länge der im-Zyklen� = (a0; : : : ; an).Anfang: n = 0, � = (a0). jAWP(a0)j = j?j = 0.Hypothese: 8m � n � 1 : jAWP(a0; : : : ; am)j ist gerade.Von n� 1 nach n für n > 0: Es ist zu zeigen, daÿ jAWP(a0; : : : ; an)j gerade ist.Fall 1: 8i; j 2 f0; : : : ; n� 1g : i 6= j ) ai 6= aj .Axiom GWE liefert das gewünschte Ergebnis.Fall 2: 9i; j 2 f0; : : : ; n� 1g : i 6= j ^ ai = aj .Wir �xieren i und j, dabei sei i < j ohne Beschränkung der Allgemeinheit. O�en-sichtlich ist (ai; : : : ; aj) ein im-Zyklus, genauso wie (aj ; : : : ; an�1; a0; a1; : : : ; ai).Gemäÿ der Induktionshypothese ist jAWP(ai; : : : ; aj)j gerade, und ebenso istjAWP(aj ; : : : ; an�1; a0; a1; : : : ; ai)j gerade. Per De�nition heiÿt dies, daÿ jWP(ai;: : : ; aj ; ai+1)j und jWP(aj ; : : : ; an�1; a0; a1; : : : ; ai; aj+1)j gerade sind.Wir werden jetzt die Ende der im-Ketten modi�zieren. jWP(ai; : : : ; aj ; aj+1)j istgerade , (aj�1 co aj+1 , aj�1 co ai+1). jWP(aj ; : : : ; an�1; a0; a1; : : : ; ai; ai+1)jist gerade , (ai�1 co ai+1 , ai�1 co aj+1).Lemma 4.61 zeigt, daÿ (aj�1 co aj+1 , aj�1 co ai+1), (ai�1 co ai+1 , ai�1 coaj+1). Insgesamt erhalten wir aus diesen Äquivalenzen: jWP(ai; : : : ; aj ; aj+1)j istgerade , jWP(aj ; : : : ; an�1; a0; a1; : : : ; ai; ai+1)j ist gerade.

4.6. ORIENTIERBARKEIT 83Wenn wir nun die beiden letztgenannten im-Ketten aneinanderhängen, so ergibtsich, daÿ jWP(ai; : : : ; aj ; : : : ; an�1; a0; a1; : : : ; ai; ai+1)j = jWP(ai; : : : ; aj ; aj+1)j+jWP(aj ; : : : ; an�1; a0; a1; : : : ; ai; ai+1)j gerade ist. Also ist gemäÿ unserer De�ni-tion jAWP(a0; : : : ; an)j gerade.Damit ist die Induktion abgeschlossen. In Abbildung 4.7 sind die wichtigen Objekte desBeweises noch einmal dargestellt. �4.6.5 OrdnungenObwohl wir nicht betrachten wollen, welches von zwei Elementen früher oder später in derZeit auftritt, wäre es immerhin interessant, ob sich prinzipiell eine zeitliche Ordnung derElemente �nden lieÿe. Diese Ordnung sollte aber auf jeden Fall mit der Struktur von co undli verträglich sein.De�nition 4.63 [li-erzeugende Ordnung](<) � X�X ist eine li-erzeugende Ordnung genau dann, wenn(< �<) � (<) ^ (< \ idX) = ?; (Halbordnung, 4.1)(< [<�1) = li (li-Konsistenz, 4.2)beide erfüllt sind. �De�nition 4.64 [Ordnungen]Order := f(<) � X�X j (<) ist eine li-erzeugende Ordnungg. �Axiom OBS [Ordnungsbasierte Struktur]Order 6= ?. �Diese Formulierung kann jedoch nur für den azyklischen Fall herangezogen werden, fürzyklische Systeme kann die Transitivität der Ordnungen nicht erfüllt werden. Petri deutet inseinen De�nitionen eine Möglichkeit an, wie mit Hilfe der sogenannten Separationsquadrupelzyklische Ordnungen de�niert werden könnten. Am weitesten sind diese Überlegungen in[Pet91] ausgeführt. Auch dieses Papier ist aber primär als Denkanstoÿ für weitere Forschun-gen gedacht, so daÿ bis heute die Frage, wie zyklische Ordnungen de�niert werden sollten,als o�en gelten muÿ. Zur Zeit werden jedoch diesbezügliche Forschungen durchgeführt, diein [Ste96] zur Verö�entlichung geplant sind.In Petris ersten Arbeiten wurde die der Struktur zugrundeliegende Ordnung noch infolgender stärkerer Form eingeführt. Es wurde nämlich gefordert, daÿ die Ordnung nichtnur existiert, sondern sogar bis auf Richtungsumkehr eindeutig ist. Wir sprechen in diesemFall von einer natürlichen Ordnung.Axiom NOR [Natürliche Ordnung]jOrderj = 2. �Daÿ Axiom OBS echt schwächer als Axiom NOR ist, ist leicht zu sehen.Satz 4.65 Basis NOR Order 6= ?. �Können wir aus einer der beiden Bedingungen aber die Existenz einer konsistenten Ori-entierung ableiten? Ja, das können wir, wie die folgende Beweiskette zeigt.Lemma 4.66 Basis COI NDI 8(<) 2 Order : (l) � im.Beweis Sei (<) 2 Order. Angenommen, es gäbe a l b mit :a im b. Wegen :a P b undSatz 2.62 gibt es ein c mit a li c und b co c, es folgt a < c. Wegen :b P a gibt es ein d mita co d und b li d, es folgt d < b. Axiom NDI erfordert die Existenz eines e mit a li e li b

84 KAPITEL 4. SPEZIELLE AXIOMEFall 1Grundsituation yu z wx xu y z wFall 2 Fall 3y zu x w u vxy z wAbbildung 4.8: Konstruktion aus Lemma 4.68und c co e co d. Nun muÿ a < e wegen a < c und c co e gelten, analog folgt e < b. Damit:al b, Widerspruch. �Lemma 4.67 Basis COI 8(<) 2 Order : 8x; y; z 2 X : x < z < y ^ x P y ) z P y.Beweis Angenommen, x < z < y ^ x P y, aber :z P y. Weil z li y, folgt aus Satz 2.62,daÿ es ein u 2 X mit u li z und u co y gibt.Es ergibt sich z < u wegen z < y und y co u. Daraus wird x li u wegen x < z, aber nunhaben wir einen Widerspruch mit x P y und y co u. �Das folgende Lemma �ndet sich in etwas abgewandelter Formulierung in [BM85].Lemma 4.68 Basis COI KAA LOR NDI 8(<) 2 Order : (P \<) � (l).Beweis Sei x; y 2 X mit x P y und x < y. Nehmen wir an, daÿ :xl y, dann gibt es einz 2 X mit x < z < y. Nach Lemma 4.67 ergibt sich z P y.Axiom KAA erfordert nun :x P z. Da x li z, folgt aus Satz 2.62, daÿ es ein u 2 X mitu li x und u co z gibt. Wegen x < z verbietet sich u < x, also x < u. Aus u li x und x P yfolgt u li y. Mit u co z und y li z folgt u 6= y und auch u li y. y < u entfällt wegen z < yund z co u, also u < y. Erneute Anwendung von Lemma 4.67 ergibt u P y.Mit Axiom COI erhalten wir 9w 2 X : (u co w li z) _ (u li w co z). Sei ohne Beschränkungder Allgemeinheit w 2 X und u co w li z. Mit z P y ergibt sich w li y. Wegen w co u < yführt dies zu w < y. Wir tre�en eine Fallunterscheidung.Fall 1: z < w. Es folgt w P y aus Lemma 4.67. Nun ist aber fx; z; wg � im[y] undx li z li w li x.Fall 2: w < z ^ x li w. Mit x < u co w ergibt sich x < w. Aus x < w < y folgt mit Lemma4.67, daÿ w P y. Damit haben wir fx; w; zg � im[y] mit x li w li z li x.

4.6. ORIENTIERBARKEIT 85Fall 3: w < z ^ x co w. Die Elemente u; w; x; z erfüllen mit u li x li z li w und x co w cou co z die Vorbedingung von Axiom NDI, es gibt daher ein v 2 X mit w co v co uund x li v li z. Mit x < u co v ergibt sich x < v, ebenso ist v < z. Wieder können wirLemma 4.67 anwenden und erhalten v P y. fx; v; zg � im[y] nebst x li v li z li x sindo�ensichtlich.Die drei Fälle �nden wir in Abbildung 4.8 wieder. Stets ergibt sich ein Widerspruch mitAxiom LOR. �Wir fassen die Ergebnisse zusammen.Satz 4.69 Basis COI KAA LOR NDI 8(<) 2 Order : (im\ <) = (l).Beweis Mit Lemma 4.66 haben wir (im\ <) � (l).Lemma 4.68 zeigt (P \ <) � (l), ein ähnliches Argument führt zu (P�1 \ <) � (l).Zusammen (im\<) = (P \ <) [ (P�1 \<) � (l). �Satz 4.70 Basis COI KAA LOR NDI 8(<) 2 Order : (im\ <) 2 Orient.Beweis Sei < eine li-erzeugende Ordnung. Wir de�nieren nun F = (im \<) und zeigen,daÿ F die Eigenschaften einer konsistenten Orientierung hat. Nach Satz 4.69 ist F = l.� F [ F�1 = (im\ <) [ (im \<�1) = im \ (< [<�1) = im \ li = im.� F � F � (< �<) � (<) � li.� F � F�1 � co. Seien a; b; c 2 X beliebig gewählt mit a F b und c F b, dann al b undcl b. Nun ist a < c unmöglich wegen c < b und a l b. Entsprechend steht c < a imWiderspruch zu a < b und cl b. Also a co c.� F�1 � F � co. Analog zum vorigen Punkt.Also ist F eine konsistente Orientierung. �Korollar 4.71 Basis COI KAA LOR NDI 8(<) 2 Order : (l) 2 Orient.Beweis Unmittelbar aus Satz 4.69 und Satz 4.70. �Satz 4.72 Basis COI KAA LOR NDI OBS Orient 6= ?.Beweis Sei < eine li-erzeugende Ordnung gemäÿ Axiom OBS. Nach Satz 4.70 ist F =(im\ <) eine konsistente Orientierung. �Ein schaler Nachgeschmack bleibt bei diesem Beweis, denn wir benutzen sowohl einglobales Kriterium (Axiom OBS) als auch ein lokales Kriterium (Axiom LOR) für die Ori-entierbarkeit. Wäre es möglich, das lokale Kriterium fallenzulassen? Vermutlich nicht, aberein Gegenbeispiel, das diese Tatsache beweist, ist nur schwer zu erstellen und zu überprüfen,daher wird der Beweis in seiner jetzigen Form belassen.Bevor wir uns nun wieder der Formalisierung von Nebenläu�gkeitsstrukturen durch kon-sistente Orientierungen zuwenden, müssen wir jedoch einige Überlegungen anstellen, die aufden ersten Blick nichts mit der Orientierbarkeit zu tun haben.4.6.6 Ketten, Zyklen und LinienWir wollen nun etwas mehr über die Nachbarschaftsbeziehungen innerhalb von Linien er-fahren. Wenn man bedenkt, daÿ Axiom LKO den im-Zusammenhang fordert und Satz4.23 verlangt, daÿ jedes Element genau zwei Nachbarn hat, dann sollte intuitiv klar sein,daÿ endliche Linien immer im-Zyklen und unendliche Linien immer beidseitig unendlicheim-Ketten sind. Dennoch ist der Beweis etwas umständlich.

86 KAPITEL 4. SPEZIELLE AXIOMELemma 4.73 Basis NTR IMK LOR LFO KDI 8L 2 Lines : 8� = (b0; : : : ; bn) 2Ketten(im) : (n � 1 ^WP(�) = ? ^ Set(�) � L) ) (9� = (a0; a1; : : :) 2 !-Ketten(im) :Set(�) � L ^WP(�) = ? ^ 8i 2 f0; : : : ; ng : ai = bi).Beweis Sei L 2 Lines und � = (b0; : : : ; bn) 2 Ketten(im) mit den entsprechenden Voraus-setzungen. Wir verwenden � als Anfangsteil einer Kette und konstruieren den Rest in einerInduktion. Sei 8i 2 f0; : : : ; ng : ai = bi.Anfang: i � n � 1. Es ist ai = bi 2 L, ai+1 = bi+1 2 L und ai = bi im bi+1 = ai+1, weil� 2 Ketten(im).Hypothese: ai 2 L ^ ai+1 2 L ^ ai im ai+1.Von i nach i+ 1 für i � n� 1: Gemäÿ Satz 4.23 ist jim[ai+1]\Lj = 2. Da ai 2 im[ai+1]\L und :ai li ai, ist jim[ai+1] \ li[ai] \ Lj = 1. Sei ai+2 2 im[ai+1] \ li[ai] \ L. Wirbeobachten ai li ai+2. Per Konstruktion ai+2 2 L und ai+1 im ai+2.Sei � = (a0; a1; a2; : : :). 8i 2 f0; : : : ; ng : ai = bi ist per Konstruktion erfüllt. In derInduktion wurde gezeigt, daÿ 8i 2 N : ai 2 L, also Set(�) � L. Weiterhin 8i 2 N : ai imai+1, also � 2 !-Ketten(im).Weiterhin wurde bewiesen 8i � n�1 : ai li ai+2. Aus WP(�) = ? folgt 8i 2 f0; : : : ; n�2g :ai li ai+2. Zusammengesetzt 8i 2 N : ai li ai+2, also WP(�) = ?. �Lemma 4.74 Basis NTR IMK LOR LFO KDI LKO 8L 2 Lines : 8� = (b0; : : : ; bn) 2Ketten(im) : (n � 1 ^ WP(�) = ? ^ Set(�) � L) ) (9" = (: : : ; e�1; e0; e1; : : :) 2!!-Ketten(im) : Set(") = L ^WP(") = ? ^ 8i 2 f0; : : : ; ng : ei = bi).Beweis Sei L 2 Lines und � = (b0; : : : ; bn) 2 Ketten(im), wobei die Bedingungen an� erfüllt sind. Lemma 4.73 beweist, daÿ es eine im-Kette � = (a0; a1; : : :) gibt mit 8i 2f0; : : : ; ng : ai = bi, Set(�) = L und WP(�) = ?.Sei nun = (b1; b0), dann liefert eine erneute Anwendung von Lemma 4.73 eine Kette� = (d0; d1; : : :) mit d0 = b1, d1 = b0, Set(�) � L und WP(�) = ?. Wir vereinigen nun diebeiden Ketten zu" = (: : : ; e�2 = d3; e�1 = d2; e0 = a0; e1 = a1; e2 = a2; : : :)und stellen fest, daÿ � 2 !!-Ketten(im) gilt. Man veri�ziert leicht jWP(")j = jWP(�)j +jWP(�)j = 0. Es gilt 8x 2 Set(") : jim[x]\ Set(")j � 2, daher wissen wir nach Lemma 4.32,daÿ Set(") = L. �Satz 4.75 Basis NTR IMK LOR LFO KDI LKO 8L 2 Lines : 8� = (b0; : : : ; bn) 2Ketten(im) : (:Fin(L)^ n � 1 ^WP(�) = ? ^ Set(�) � L)) (9" = (: : : ; e�1; e0; e1; : : :) 2!!-Ketten(im) : Set(") = L ^WP(") = ? ^ Einf (") ^ 8i 2 f0; : : : ; ng : ei = bi).Beweis Seien L und � = (b0; : : : ; bn) nach Voraussetzung gegeben, dann erhalten wir mitLemma 4.74 eine Kette " = (: : : ; e�1; e0; e1; : : :) 2 !!-Ketten(im), für die Set(") = L,WP(") = ? und 8i 2 f0; : : : ; ng : ei = bi) gilt.Angenommen, :Einf ("), dann gibt es i; j 2 Z mit ai = aj und i 6= j. Wir wählen i undj so, daÿ i < j gilt und j � i minimal ist. Nun ist = (ai; : : : ; aj) ein im-Zyklus ohneWiederholungen. Man überprüft leicht 8x 2 Set( ) : jim[x] \ Set( )j � 2, und mit Lemma4.32 folgt Set( ) = L. Aber Set( ) ist endlich und L ist unendlich, Widerspruch.Also Einf ("), und " erfüllt alle Bedingungen des Satzes. �Die volle Mächtigkeit des vorigen Satzes wird selten benötigt, oft reicht die folgendeschwächere Version.Korollar 4.76 Basis NTR IMK LOR LFO KDI LKO 8L 2 Lines : :Fin(L) ) 9� 2!!-Ketten(im) : Einf (�) ^ Set(�) = L ^WP(�) = ?.

4.6. ORIENTIERBARKEIT 87akajai x LAbbildung 4.9: Verbotene Situation gemäÿ Lemma 4.80Beweis Sei L 2 Lines und :Fin(L). Sei x 2 L. Mit Satz 4.21 erhalten wir im[x]\L 6= ?,also können wir ein y 2 im[x]\ L wählen.Sei � = (x; y), dann erfüllt � die Voraussetzungen für Satz 4.75. Es gibt also eine Kette� = (: : : ; a�1; a0; a1; : : :) 2 !!-Ketten(im) ohne Wiederholungen, für die Set(�) = L undWP(�) = ? gilt. �Nun betrachten wir den Fall endlicher Linien.Satz 4.77 Basis NTR IMK LOR LFO KDI LKO 8L 2 Lines : 8� = (b0; : : : ; bn) 2Ketten(im) : (Fin(L)^n � 1^Einf (�)^ Set(�) � L)) (9� = (e0; : : : ; em) 2 Zyklen(im) :Set(�) = L ^AWP(�) = ? ^ ZykEinf (�) ^ 8i 2 f0; : : : ; ng : ei = bi).Beweis L und � seien mit den genannten Eigenschaften gegeben. Aus Set(�) � Lund Einf (�) erhalten wir WP(�) = ?. Wir erhalten mit Lemma 4.74 eine Kette " =(: : : ; e�1; e0; e1; : : :) 2 !!-Ketten(im), für die Set(") = L, WP(") = ? und 8i 2 f0; : : : ; ng :ei = bi gilt. Seim = jLj. Da fb0; : : : ; bng � L, gilt sicherlichm = jLj � jfb0; : : : ; bngj = n+1,also m > n.Angenommen, in der Kette � = (e0; : : : ; em�1) gäbe es eine Wiederholung. Dann könnenwir i; j 2 f0; : : : ; m � 1g wählen, so daÿ i < j, ei = ej und dabei j � i minimal ist. Nunist = (ei; : : : ; ej) ein im-Zyklus ohne Wiederholungen. Man überprüft leicht 8x 2 Set( ) :jim[x] \ Set( )j = 2, und mit Lemma 4.32 folgt Set( ) = L. Aber nun m > j � j � i =jSet( )j = jLj = m, Widerspruch.Also Einf (�). Mit jLj = m = jSet(�)j und Set(�) � L ergibt sich L = Set(�). Wegenem 2 Set(") = L = Set(�) gibt es ein k 2 f0; : : : ; m� 1g, so daÿ ek = em.Sei � = (ek; : : : ; em), dann ist � ein im-Zyklus. Man zeigt durch erneute Anwendung vonLemma 4.32, daÿ Set(�) = L. Aber m� k = jSet(�)j = jLj = jSet(�)j = m führt zu k = 0.Also � = (e0; : : : ; em). Schon früher wurde gezeigt, daÿ 8i 2 f0; : : : ; ng : ei = bi. AusEinf (�) folgt ZykEinf (�). Mit Set(�) = L ist also auch AWP(�) = ?. �Wir bilden wieder ein Korollar.Korollar 4.78 Basis NTR IMK LOR LFO KDI LKO 8L 2 Lines : Fin(L) ) 9� 2Zyklen(im) : ZykEinf (�) ^ Set(�) = L ^ jAWP(�)j = 0.Beweis Wir konstruieren wie in Korollar 4.76 eine im-Kette � = (x; y). Das Korollarergibt sich nun unter Verwendung von Satz 4.77. �Mit Hilfe von Axiom EKO können weitere Sätze zum Verhältnis der Elemente einer Liniezu anderen Elementen aufgestellt werden. Wir betrachten wieder zuerst den unendlichenFall.Lemma 4.79 Basis LOR 8� = (: : : ; a�1; a0; a1; : : :) 2 !!-Ketten(im) : (Set(�) 2 Lines^Einf (�))) (8i 2 Z : im[ai]\ Set(�) = fai�1; ai+1g).Beweis Sei � = (: : : ; a�1; a0; a1; : : :) eine im-Kette mit Einf (�), Set(�) = L und L 2Lines. Sei i 2 Z. Weil � keine Wiederholungen hat und weil i� 1 6= i+ 1, ist ai�1 6= ai+1.Weil im[ai] \ L � fai�1; ai+1g ist und Lemma 4.22 gilt, ist im[ai]\ L = fai�1; ai+1g. �

88 KAPITEL 4. SPEZIELLE AXIOMExal ak ajai LAbbildung 4.10: Verbotene Situation gemäÿ Lemma 4.82Lemma 4.80 Basis LOR EKO 8� = (: : : ; a�1; a0; a1; : : :) 2 !!-Ketten(im) : 8x 2 X :8i; j; k 2 Z : (Einf (�)^ Set(�) 2 Lines ^ i � j � k ^ ai co x ^ ak co x)) aj co x.Beweis Seien �, i, j, k und x nach den Voraussetzungen des Satzes gegeben. Für i = joder j = k ist der Satz trivial, wir nehmen also i < j < k an. Sei L = Set(�), dann istL 2 Lines. Sei E = L \ co[x], dann ist bestimmt ai 2 E und ak 2 E.Sei M = fam jm 2 Z ^m < jg. Mit Hilfe von Lemma 4.79 erhalten wirimjL[M ] = fam�1 jm 2 Z ^m < jg [ fam+1 jm 2 Z ^m < jgoder abgeschwächtimjL[M ] � fam+1 jm 2 Z ^m < jg:Weil E � L, ergibt sichimjE [M ] � fam jm 2 Z ^m < jg [ fajg = M [ fajg:Wäre aj =2 E, dann wäre imjE[M ] � M . Aber dies würde (imjE)�E [ai] � M bedeuten imWiderspruch zu ak =2M und zu ak 2 (imjE)�E[ai] wegen Axiom EKO.Also aj 2 E und daher aj co x. �Der vorige Satz wird als wichtiges Lemma den Einsatz von Axiom EKO erleichtern, dennwir können jetzt eine Situation, wie sie in Abbildung 4.9 dargestellt ist, ausschlieÿen. Auchfür den endlichen Fall gibt es Verwendung, wobei die Beweise fast exakt wie im unendlichenFall geführt werden. Wir müssen jedoch darauf achten, daÿ sich im zyklischen Fall der Kreiswieder schlieÿt und wir diesmal die Struktur ausschlieÿen müssen, die in Abbildung 4.10 zu�nden ist.Lemma 4.81 Basis LOR 8� = (a0; : : : ; an) 2 Zyklen(im) : (ZykEinf (�) ^ Set(�) 2Lines ^ n > 2)) (8i 2 f0; : : : ; ng : im[ai] \ Set(�) = fa(i�1) mod n; a(i+1) mod ng).Beweis Sei � = (a0; : : : ; an) ein im-Zyklus, wobei ZykEinf (�), Set(�) = L und L 2 Lines.Sei i 2 f0; : : : ; ng.Weil n > 2, ist (i� 1) mod n 6= (i+1) mod n. Weil � keine Wiederholungen hat, ist folglicha(i�1) mod n 6= a(i+1) mod n. Weil im[ai]\L � fa(i�1) mod n; a(i+1) mod ng ist und Lemma 4.22gilt, ist im[ai] \ L = fa(i�1) mod n; a(i+1) mod ng. �Lemma 4.82 Basis LOR EKO 8� = (a0; : : : ; an) 2 Zyklen(im) : 8x 2 X : 8i; j; k; l 2f0; : : : ; n� 1g : (ZykEinf (�)^ Set(�) 2 Lines ^ i � j � k � l ^ ai li x^ aj co x^ ak li x))al li x.

4.6. ORIENTIERBARKEIT 89Beweis Seien �, i, j, k, l und x nach den Voraussetzungen des Satzes gegeben. Ausai li x ^ aj co x folgt i 6= j, ähnlich ist auch j 6= k. Es ergibt sich i < j < k < n, also unteranderem auch n > 2.Sei L = Set(�), dann ist L 2 Lines. Sei E = L \ co[x], dann ist bestimmt aj 2 E.Sei M = fam jm 2 Z ^ i < m < kg. Mit Hilfe von Lemma 4.81 erhalten wirimjL[M ] = fa(m�1) mod n jm 2 Z ^ i < m < kg [fa(m+1) mod n jm 2 Z ^ i < m < kg:oder abgeschwächtimjL[M ] � fam mod n jm 2 Z ^ i � m � kg:imjL[M ] � fam mod n jm 2 Z ^ i < m < kg [ faimod n; ak mod ng:Weil E � L, ergibt sichimjE [M ] � fammod n jm 2 Z ^ i < m < kg [ fai mod n; ak mod ng:Dies ist geradeimjE [M ] �M [ fai; akg:Da jedoch ai; ak =2 E, verschärft sich dies zu imjE [M ] �M . Aus aj 2M erhalten wir daher(imjE)�E [aj ] �M .Angenommen, al 2 E, dann al 2 (imjE)�E [aj] wegen Axiom EKO. Dies heiÿt al 2 M , alsol < k nach Konstruktion von M im Widerspruch zu k � l.Also al =2 E und daher al li x. �Lemma 4.83 Basis LOR EKO 8� = (a0; : : : ; an) 2 Zyklen(im) : 8x 2 X : 8i; j; k; l 2f0; : : : ; n� 1g : (ZykEinf (�)^ Set(�) 2 Lines^ i � j � k � l^ ai co x^ aj li x^ ak co x))al co x.Beweis Analog zu Lemma 4.82. �4.6.7 Orientierbarkeit azyklischer StrukturenAls nächstes zeigen wir, daÿ Axiom GAW aus anderen Axiomen ableitbar ist, obwohl diebekannten Gegenbeispiele uns dabei einige Grenzen setzen. Wir betrachten in diesem Un-terabschnitt nur Strukturen, in denen Axiom LUE und Axiom EKO gelten.Lemma 4.84 Basis NTR IMK LOR LFO KDI LKO EKO LUE8� = (b0; : : : ; bn) 2 Ketten(im) : (WP(b0; : : : ; bn) = ? ^ n � 1)) b0 li bn.Beweis Wir beweisen das Lemma mittels Induktion.Anfang: n = 1 _ n = 2. Wenn n = 1, dann ergibt sich für � = (b0; b1), daÿ b0 im b1 unddaher b0 li b1 gemäÿ Satz 2.66.Wenn n = 2, dann ist � = (b0; b1; b2). Aus WP(b0; b1; b2) = ? folgt unmittelbarb0 li b2.Hypothese: 8i 2 f1; : : : ; n� 1g : 8� = (b0; : : : ; bi) : WP(b0; : : : ; bi) = ?) b0 li bi.Von n� 1 nach n für n � 3: Sei � = (b0; : : : ; bn) eine im-Kette und WP(b0; : : : ; bn) = ?.Wir können die Induktionshypothese für alle Teilketten anwenden, aus8i; j 2 f0; : : : ; n� 1g : i < j ) jWP(bi; : : : ; bj)j = 0erhalten wir damit8i; j 2 f0; : : : ; n� 1g : i < j ) bi li bj :Deshalb ist fb0; : : : ; bn�1g eine li-Klique, die zu einer Linie L erweitert werden kann.

90 KAPITEL 4. SPEZIELLE AXIOMEbn�1 Lbn�1b0 bnb1a�1 an�2 an an+1an�1a0 a1 : : :Abbildung 4.11: Konstruktion aus Lemma 4.84Auf Grund von Axiom LUE ist L unendlich und wir können daher mit Satz 4.75 eineim-Kette � = (: : : ; a�1; a0; a1; : : :) erzeugen, die Set(�) = L ^WP(�) = ? ^ Einf (�)erfüllt, wobei auÿerdem 80 � i < n : bi = ai gilt.Da WP(b0; : : : ; bn) = ?, ist bn li bn�2. Mit an li an�2 = bn�2 und Axiom LOR ergibtdies bn co an.Wäre bn co a0, dann erforderte Lemma 4.80 für i = 0, j = n � 1, k = n und x = bn,daÿ bn�1 = aj co x = bn. Dies widerspräche bn�1 im bn.Also bn li a0 = b0.Der Induktionsschritt ist in Abbildung 4.11 graphisch dargestellt. �Satz 4.85 Basis NTR IMK LOR LFO KDI LKO EKO LUE 8� 2 Zyklen(im) :jAWP(�)j 6= 1.Beweis Sei � = (a0; : : : ; an) ein im-Zyklus. Für n = 0 ist der Satz unmittelbar klar, seialso n � 1.Angenommen AWP(a0; : : : ; an) = fig für ein i 2 f1; : : : ; ng. Sei � = (ai; : : : ; an = a0;: : : ; ai), dann ist WP(�) = ?. Nach Lemma 4.84 ist jetzt ai li ai, Widerspruch.Also jAWP(�)j 6= 1. �Den letzten Satz können wir als eine abgeschwächte Variante von Axiom GAW auffassen.Die Abschwächung liegt aber nur in der Formulierung, nicht in der Aussage, denn wir könnenaus Satz 4.85 ableiten, daÿ Axiom GAW gilt.Satz 4.86 Basis NTR IMK LCT LOR LFO KDI LKO EKO EEN LUE8� 2 Zyklen(im) : jAWP(�)j ist gerade.Beweis Sei L eine Linie, dann gilt :Fin(L) wegen Axiom LUE. Es gibt eine beidseitigunendliche im-Kette � = (: : : ; b�1; b0; b1; : : :) ohne Wiederholungen, so daÿ Set(B) = L, wiein Korollar 4.76 nachgewiesen wurde.Angenommen, es gibt eine im-Kette � = (a0; : : : ; an) mit jAWP(a0; : : : ; an)j = m und mungerade. Sei ti ein Folge mit AWP(a0; : : : ; an) = ft1; : : : ; tmg und 8i; j 2 f1; : : : ; mg : i <j , ti < tj .Per De�nition von AWP gilt zum einen 8i 2 f1; : : : ; mg : 1 � ti � n, zum anderen 8i 2f1; : : : ; mg : ati�1 co a(ti+1) mod n. Die Modulodivision ist notwendig, falls ti = n.Auf Grund von Axiom EEN gibt es eine Zahl h, so daÿ 8i; k 2 N : (1 � i � m ^ k � h) )(ati li b�k ^ ati li bk). Also sind die Mengen Ki = f: : : ; b�h�1; b�hg [ fatig [ fbh; bh+1; : : :gstets li-Kliquen.Jede der Mengen Ki kann zu einer Linie erweitert werden, und wir werden jeweils eine dermöglichen Linien mit Li bezeichnen. Per Konstruktion gilt dann Ki � Li. Jede dieserLinien kann durch eine zweiseitig unendliche im-Kette i repräsentiert werden, auch dann,wenn wir fordern, daÿ beide Enden der Kette identisch zur Kette � sein sollen und es keineWiederholungen geben darf. Es muÿ für diese Konstruktion allerdings Theorem 4.20 gelten.

4.7. LÄNGE 91Die Ketten i sind so aufgebaut, daÿ i = (: : : ; b�h�1; b�h; ci;�mini ; : : : ; ci;�1; ati; ci;1; : : : ; ci;maxi; bh; bh+1; : : :)ist, wobei �mini und maxi Konstanten sind, die passend zu der angegebenen Numerierunggewählt werden. Per Konstruktion hat i keine Wiederholungen und es ist Set( i) = Li.Jetzt wird ein Prädikat eingeführt, das angibt, ob die Wendepunkte um ati in derselbenRichtung wie die Referenzkette � orientiert sind. Wir de�nieren Forward(i) = ati�1 li ci;�1.Da es eine ungerade Anzahl m an Wendepunkten gibt, muÿ mindestens ein g existieren,so daÿ Forward(g), Forward((g modm) + 1). Wir �xieren ein solches g und tre�en eineFallunterscheidung je nach dem Wahrheitswert von Forward(g).Fall 1: Forward(g).Es gilt auch Forward((g modm) + 1). Mit der De�nition von Forward erhalten wiratg�1 li cg;�1 und at(g modm)+1�1 li c(g modm)+1;�1. Mit atg�1 co a(tg+1) mod n liefertLemma 4.60 die Aussage a(tg+1) mod n li cg;�1.Wir de�nieren jetzt den im-Zyklus �.� = (b�h; b�h�1; b�h; cg;�ming ; : : : ; cg;�1; atg ; a(tg+1) mod n; : : : ; at(g modm)+1�1;at(g modm)+1 ; c(gmodm)+1;�1; : : : ; c(g modm)+1;�min(g modm)+1 ; b�h)Wegen b�h co b�h gilt 1 2 AWP(�). Wir werden jetzt zeigen, daÿ es keine anderenWendepunkte in � gibt.fb�h�1; b�h; cg;�ming ; : : : ; cg;�1; atgg � Lg, also kann es in diesem Teil des Zyklus kei-nen Wendepunkt geben.cg;�1 li a(tg+1) mod n wurde bereits gezeigt.(atg ; a(tg+1) mod n; : : : ; at(g modm)+1�1; at(g modm)+1) ist eine im-Kette ohne Wendepunk-te, da im im-Zyklus � die Elemente atg und at(g modm)+1 zwei unmittelbar aufeinan-derfolgende Wendepunkte bezeichnen.Es wurde bereits erwähnt, daÿ at(g modm)+1�1 li c(g modm)+1;�1.Per Konstruktion ist fat(g modm)+1 ; c(g modm)+1;�1; : : : ; c(gmodm)+1;�min(g modm)+1 ; b�h;b�h�1g � L(g modm)+1, und diese Kette ist somit frei von Wendepunkten.Somit jAWP(�) = 1j, Widerspruch zu Satz 4.85.Fall 2: :Forward(g).Der Beweis verläuft ähnlich zu Fall 1, jedoch läuft die Kette � diesmal statt über b�h�1über bh+1.Dies schlieÿt die Fallunterscheidung. �Korollar 4.87 Basis NTR IMK LCT LOR LFO KDI LKO EKO EEN LUEOrient 6= ?.Beweis Nach Satz 4.86 und Satz 4.58. �Dieser Satz gilt nur, wenn alle Linien unendlich sind, also in azyklischen Strukturen. Fürden zyklischen Fall werden wir einen völlig anderen Weg einschlagen, der nicht über AxiomGAW verläuft.4.7 LängeMit den Beispielen wurde gezeigt, daÿ bestimmte Nebenläu�gkeitsstrukturen ungewöhnlicheEigenschaften aufweisen. In der Regel sind dies Strukturen, die in einem gewissen Sinne inder Raumrichtung (co) weiter ausgedehnt sind als in der Zeitrichtung (li). Wir wollen solche

92 KAPITEL 4. SPEZIELLE AXIOMEStrukturen informal als breit bezeichnen, und der entgegengesetzte Fall, in dem die zeitlicheAusdehnung dominiert, soll als lang beschrieben werden.4.7.1 Axiome der LängeUm Länge und Breite etwas genauer fassen zu können, sollen nun einige mögliche Bedingun-gen für Länge aufgezählt werden. Es wird versucht, die Axiome physikalisch zu deuten, dochdabei gibt es ein groÿes Problem: Für keine Deutung ist bekannt, daÿ sie einem physikali-schen Prinzip entspricht. Wir wissen nicht, wie weit unser Universum im Raum und in derZeit ausgedehnt ist, ja, wir wissen nicht einmal, ob es in der einen oder anderen Richtungendlich ist.Trotzdem sind die Axiome der Länge ein wichtiges Werkzeug zum Verständnis der Theo-rie der Nebenläu�gkeit. Im Laufe der Zeit werden wir die Grenze zwischen zu breiten undgerade noch akzeptablen Modellen immer genauer ziehen können, wenn neue Beweise undGegenbeispiele hinzukommen. Dann wird es ho�entlich möglich, eine genauere Interpretati-on dieser Bedingung zu geben und zu entscheiden, ob sie physikalischer Natur ist oder durchden Formalismus der Theorie künstlich erzeugt wird.Die Benennung des ersten Axioms der Länge mag zunächst merkwürdig anmuten: Wasstellt an der geforderten Linie eine Referenz dar?Axiom ERL [Existenz einer Referenzlinie]9L 2 Lines : 8x 2 X : L \ li[x] 6= ?. �Nun, da jedes Element der Struktur einen li-Partner auf der Linie hat, wird jedes Elementwährend einer Periode im Ablauf des Systems mit der Linie synchronisiert. Die Linie stelltalso gewissermaÿen einen zentralen Taktgeber dar, eine Referenzuhr. Der Begri� �Periode�ist selbstverständlich nur für zyklische Systeme sinnvoll, aber es sind ja gerade die zyklischenSysteme, in denen wir Probleme mit zu breiten Strukturen hatten, so daÿ wir uns bei derInterpretation auf diese beschränken können.Wir können auch fordern, daÿ jede Linie eine Referenzlinie ist. Dies wäre physikalischsinnvoller, da in der Natur keine Weltlinie besonders hervorgehoben scheint. Leider ist keinBeweis bekannt, der von der verstärkten Aussage Gebrauch machen könnte, und insoferngibt es keinen Grund, das folgende Axiom in ein Axiomensystem aufzunehmen. Es ist jedocheine plausible Formulierung, die bei zukünftigen Forschungen berücksichtigt werden sollte.Axiom LSL [Linien schneiden li-Bereiche]8L 2 Lines : 8x 2 X : L \ li[x] 6= ?. �O�ensichtlich ist diese Bedingung stärker als Axiom ERL.Satz 4.88 Basis LSL 9L 2 Lines : 8x 2 X : L \ li[x] 6= ?. �Es ist auch möglich, Länge über Schnitte zu de�nieren.Axiom KSE [Komplementäre Schnitte existieren]8C 2 Cuts : 9C 0 2 Cuts : C�C 0 � li. �Anschaulich bedeutet dies, daÿ jedes Element des einen Schnittes alle Elemente desanderen Schnittes miteinander synchronisiert. Wir könnten dies Axiom dazu verwenden,eine zyklische Nebenläu�gkeitsstruktur in zwei azyklische Teile aufzutrennen, ein Teil, derC in C 0 überführt, und einen weiteren, der für den Rückweg verantwortlich ist. Damit lieÿesich dann eventuell ein Prozeÿ des zyklischen Systems ohne den Umweg über B/E-Systemeerzeugen.Mit diesem Axiom steht uns ein noch stärkeres Werkzeug als mit Axiom LSL bereit, wienun gezeigt wird. Dazu müssen wir jedoch Axiom KDI annehmen.

4.7. LÄNGE 93KSELSL CILZYK2222ERLZYK4422 ZYK22334-JZAnti-Con4 ZYK3223Abbildung 4.12: Abhängigkeiten der Axiome der LängeSatz 4.89 Basis KDI KSE 8L 2 Lines : 8x 2 X : L \ li[x] 6= ?.Beweis Sei L 2 Lines und x 2 X . Wir wählen einen Schnitt C mit x 2 C, dann liefertuns Axiom KSE einen Schnitt C 0, für den gilt C�C 0 � li. Weil nach Axiom KDI stetsC 0\L 6= ?, gibt es ein y 2 C 0\L. Nach Konstruktion von C 0 ist C � li[y] und insbesonderex li y. Also y 2 L \ li[x]. �Aber es gibt Gründe, auf eine Formulierung mit Hilfe von Linien oder Schnitten zuverzichten. Zunächst einmal ist eine solche Formulierung schwer zu überprüfen, da alleLinien beziehungsweise Schnitte berücksichtigt werden müssen und da dies in einer groÿenStruktur sehr viele sein können. Des weiteren sind Linien und Schnitte nur die abgeleitetenObjekte, viel besser wäre es, wenn Breite und Länge nur mit Hilfe von co und li formuliertwerden könnten.Axiom CIL [co in li]8x 2 X : 9y 2 X : co[x] � li[y]. �Auch dieses Axiom kann bis jetzt noch nicht in einem Beweis ausgenutzt werden, aberes bietet sich durch seine leichte Prüfbarkeit für Computeranalysen von Modellen an.Satz 4.90 Basis CIL 8L 2 Lines : 8x 2 X : L \ li[x] 6= ?.Beweis Wir nehmen das Gegenteil an, dann gibt es L 2 Lines und x 2 X mit L � co[x].Nach Axiom CIL gibt es ein y mit co[x] � li[y], also insbesondere L � li[y] im Widerspruchzu Satz 2.110. �Abbildung 4.12 illustriert die verschiedene Stärke der Axiome der Länge. Für das Dia-gramm wurde angenommen, daÿ Axiom KDI gilt. Die kursiven Bezeichnungen stehen fürBeispielstrukturen, beispielsweise sind für ZYK3223 � also den Zykloiden 3223 � gerade dieAxiome ERL und LSL erfüllt.4.7.2 Orientierbarkeit langer StrukturenIm Fall von unendlichen, aber episodenendlichen Strukturen gelang es uns bereits, die Exi-stenz einer konsistenten Orientierung herzuleiten. Wir wollen dies jetzt auch für endlicheStrukturen tun und werden zu diesem Zweck die soeben eingeführten Axiome der Längeverwenden.Der nun folgende Beweis ist lang und technisch, so daÿ es nicht einfach ist, ihn zuverfolgen. Die grundlegende Idee ist folgende: Mit Axiom ERL fordern wir die Existenz

94 KAPITEL 4. SPEZIELLE AXIOMEeiner Referenzlinie LR und können dann diese Linie orientieren, um damit wiederum einekonsistente Orientierung für die Gesamtstruktur zu generieren.Lemma 4.91 Basis NTR IMK LOR LFO KDI LKO EKO LEN8� = (a0; : : : ; an) 2 Ketten(im) : (fa1; : : : ; ang � li[a0]^WP(�) = ?)) 8i; j 2 f0; : : : ; ng :i 6= j ) ai li aj .Beweis Sei � = (a0; : : : ; an) eine im-Kette, wobei Set(�) � li[a0] und WP(�) = ?. Fürn � 1 ist der Satz o�ensichtlich, wir setzen also n � 2 voraus.Wir beweisen den Satz durch Induktion nach i.Anfang: i = 1. a0 im a1 bedeutet a0 li a1, also auch a1 li a0.Hypothese: 8j; k 2 f0; : : : ; i� 1g : j 6= k ) aj li ak.Von i� 1 nach i für 2 � i � n: Nach Induktionshypothese ist die Menge fa0; : : : ; ai�1geine li-Klique, also können wir eine Linie L 2 Lines wählen, die fa0; : : : ; ai�1g � Lerfüllt. Fin(L) wegen Axiom LEN. Wir können nun unter Verwendung von Korollar4.78 einen im-Zyklus � = (b0; b1; : : : ; bm) ohne Wiederholungen �nden, so daÿ 8j 2f0; : : : ; i� 1g : bj = aj und Set(�) = L.Wegen ai im ai�1 haben wir ai li ai�1. fa1; : : : ; ang � li[a0] führt zu ai li a0.Da WP(�) = ? gilt ai li ai�2. Da � ebenfalls keine Wendepunkte enthält, giltbi li bi�2 = ai�2. Mit Axiom LOR ergibt sich daraus ai co bi. Weil ai li a0 = b0, istbi 6= b0 = bm und somit i < m.Gäbe es nun ein j 2 f1; : : : ; i � 1g, so daÿ aj co ai, dann würde dies Lemma 4.82verletzen. Also 8j 2 f0; : : : ; i� 1g : aj li ai.Dies können wir mit der Hypothese verbinden zu 8j; k 2 f0; : : : ; ig : j 6= k) aj li ak.Für i = n ergibt sich gerade 8k 2 f0; : : : ; ng : 8j 2 f0; : : : ; ng : k 6= j ) aj li ak. �Als ein einfaches Korollar ergibt sich aus dem vorigen Lemma, daÿ im-Ketten ohneWendepunkte innerhalb eines li[x]-Gebietes stets wiederholungsfrei sind. Wir betrachtenals nächstes Zyklen innerhalb eines li[x]-Gebietes, hier sind Wiederholungen durchaus zuberücksichtigen.Lemma 4.92 Basis NTR IMK LCT LOR LFO KDI LKO EKO LEN8� = (a0; : : : ; an) 2 Zyklen(im) : (WP(�) = ? ^ Set(�) � li[a0]^ n � 1)) a1 li an�1.Beweis Sei � ein im-Zyklus mit Set(�) � li[a0], WP(�) = ? und n � 1, aber im Wi-derspruch zum Satz a1 co an�1. Wir wählen einen kürzesten solchen Zyklus. Wäre n = 1,dann a0 = a1 im a0, Widerspruch. Also n � 2. Wäre n = 2, dann a0 = a2 li a0 wegenWP(�) = ?. Auch dies ist ein Widerspruch, also n � 3.Sei m = minfi 2 f1; : : : ; ng j ai = a0g, dies existiert wegen an = a0. Sicher m � 3,denn a0 im a1 und a0 li a2 ergeben a0 6= a1 und a0 6= a2. Sei � = (a0; : : : ; am�1). Dafa1; : : : ; am�1g � li[a0] gilt und auÿerdem WP(�) = ?, ergibt sich nach Lemma 4.91, daÿa1 li am�1.Wir wissen aber a1 co an�1, also m 6= n, speziell m < n. Es ist am�1 li am+1, weilWP(�) = ?. Da fa1; am�1; am+1g � im[a0], �nden wir mit Axiom LOR, daÿ a1 co am+1.Nach Voraussetzung ist a1 co an�1. fa1; am+1; an�1g � im[a0] und Axiom LCT ergebennun am+1 co an�1.Sei = (am; : : : ; an), dann ist ein im-Zyklus, weil am = a0 = an. WP( ) = ? wegenWP(�) = ?. am+1 co an�1 und n�m < n stehen jedoch im Widerspruch zu der Tatsache,daÿ � einen kürzesten im-Zyklus mit diesem Eigenschaften darstellt. �Während wir eben noch einen einzigen Zyklus ohne Wendepunkte betrachtet haben, wer-den wir die Zyklen jetzt aus zwei oder drei wendepunktfreien Teilstücken zusammensetzen.

4.7. LÄNGE 95Lemma 4.93 Basis NTR IMK LCT LOR LFO KDI LKO EKO LEN8x; y 2 X : 8� = (x = a0; : : : ; an = y) 2 Ketten(im) : 8� = (x = b0; : : : ; bm = y) 2Ketten(im) : Set(�)[ Set(�) � li[x]\ li[y]^ n � 1^m � 1^WP(�) = ? ^WP(�) = ?)(a1 li b1 , an�1 li bm�1).Beweis Seien x, y, � und � nach den Voraussetzungen des Satzes gegeben, insbesonderealso WP(�) = ? ^WP(�) = ?.Angenommen, an�1 li bm�1. Sei = (x = a0; a1; : : : ; an�1; an = y = bm; bm�1; : : : ; b1; b0 = x): ist ein im-Zyklus mit WP( ) = ? und Set( ) � li[x]. Nach Lemma 4.92 erhalten wira1 li b1. Also an�1 li bm�1 ) a1 li b1.Angenommen, a1 li b1. Sei� = (y = bm; bm�1; : : : ; b1; b0 = x = a0; a1; : : : ; an�1; an = y):� ist ein im-Zyklus mit WP(�) = ? und Set(�) � li[y]. Nach Lemma 4.92 erhalten wiran�1 li bm�1. Also a1 li b1 ) an�1 li bm�1.Insgesamt a1 li b1 , an�1 li bm�1. �Lemma 4.94 Basis NTR IMK LOR LFO KDI LKO LEN 8x; y; z 2 X : (x li y li z lix) ) (9� = (d0; : : : ; dr) 2 Zyklen(im) : 9p; q 2 f1; : : : ; r � 1g : AWP(�) = ? ^ Set(�) �li[x]\ li[y]\ li[z]^ d0 = x ^ dp = y ^ dq = z ^ 0 < p < q < r).Beweis Seien x; y; z 2 X mit x li y li z li x gegeben, dann gibt es eine Linie L 2 Lines mitx; y; z 2 L. Fin(L) wegen Axiom LEN. Wir können nun unter Verwendung von Korollar4.78 einen im-Zyklus � = (a0; : : : ; an) �nden, der AWP(�) = ? und Set(�) = L erfüllt.Nun ist x; y; z 2 Set(�), daher �nden wir i; j; k 2 f0; : : : ; n� 1g mit x = ai, y = aj , z = ak.Betrachten wir den Zyklus� = (ai = x; : : :; an = a0; : : : ; aj = y; : : : ; an = a0; : : : ; ak = z; : : : ; an = a0; : : : ; ai = x)dann gilt für diesen sicherlich AWP(�) = ? und Set(�) = L � li[x]\ li[y]\ li[z]. Sei r = 3n,dann können wir schreiben� = (d0 = x; : : : ; dp = y; : : : ; dq = z; : : : ; dr = x)für geeignete p; q 2 f1; : : : ; r� 1g. �Lemma 4.95 Basis NTR IMK LCT LOR LFO KDI LKO EKO LEN8x; y; z 2 X : 8� = (x = a0; : : : ; an = y) 2 Ketten(im) : 8� = (y = b0; : : : ; bm = z) 2Ketten(im) : 8 = (z = c0; : : : ; ck = x) 2 Ketten(im) : (Set(�) [ Set( ) � li[x] ^ Set(�) [Set(�) � li[y] ^ Set(�) [ Set( ) � li[z] ^ n � 1 ^m � 1 ^ k � 1 ^WP(�) = ? ^WP(�) =? ^WP( ) = ?)) ((a1 li ck�1 , b1 li an�1), c1 li bm�1).Beweis Seien die Voraussetzungen des Satzes erfüllt. x li y li z li x ergibt sich unmittel-bar, also können wir Lemma 4.94 anwenden. Es gibt einen im-Zyklus �, so daÿ� = (d0 = x; d1; : : : ; dp�1; dp = y; dp+1; : : : ; dq�1; dq = z; dq+1; : : : ; dr�1; dr = x);AWP(�) = ? und Set(�) � li[x]\li[y]\li[z]. � enthält keine Wendepunkte, also dp�1 li dp+1,dq�1 li dq+1 und dr�1 li d1.Mit Lemma 4.61 ergibt sich aus fdp�1; dp+1; an�1; b1g � im[y](dp�1 co dp+1 , dp�1 co an�1), (b1 co an�1 , b1 co dp+1);(dp�1 li dp+1 , dp�1 li an�1), (b1 li an�1 , b1 li dp+1):Wegen dp�1 li dp+1 läÿt sich dies verkürzen zudp�1 li an�1 , (b1 li an�1 , b1 li dp+1): (4.3)

96 KAPITEL 4. SPEZIELLE AXIOMEAnalog dazu auch wegen fdq�1; dq+1; bm�1; c1g � im[z]dq�1 li bm�1 , (c1 li bm�1 , c1 li dq+1); (4.4)und wegen fdr�1; d1; ck�1; a1g � im[x]dr�1 li ck�1 , (a1 li ck�1 , a1 li d1): (4.5)Lemma 4.93 kann jetzt für die Paare von Ketten(x = a0; a1; : : : ; an�1; an = y) und (x = d0; d1; : : : ; dp�1; dp = y);(y = b0; b1; : : : ; bm�1; bm = z) und (x = dp; dp+1; : : : ; dq�1; dq = y);(z = c0; c1; : : : ; ck�1; ck = x) und (x = dq; dq+1; : : : ; dr�1; dr = y)dreimal angewendet werden, und wir erhalten a1 li d1 , an�1 li dp�1, sowie b1 li dp+1 ,bm�1 li dq�1 und c1 li dq+1 , ck�1 li dr�1. Durch Substitution äquivalenter Ausdrücke inden Gleichungen 4.3, 4.4 und 4.5 erhalten wira1 li d1 , (b1 li an�1 , b1 li dp+1) (4.6)b1 li dp+1 , (c1 li bm�1 , c1 li dq+1) (4.7)c1 li dq+1 , (a1 li ck�1 , a1 li d1) (4.8)Durch Modi�kation von Formel 4.8 erhält man(c1 li dq+1 , a1 li ck�1), a1 li d1Dies kombinieren wir mit Formel 4.6 zu(c1 li dq+1 , a1 li ck�1), (b1 li an�1 , b1 li dp+1)Aus der letzten Formel wird(a1 li ck�1 , b1 li an�1), (b1 li dp+1 , c1 li dq+1) (4.9)Aus Formel 4.7 erhalten wir(b1 li dp+1 , c1 li dq+1), c1 li bm�1Dies substituieren wir in Formel 4.9 und erhalten (a1 li ck�1 , b1 li an�1), c1 li bm�1. �Mit diesen Lemmata sind wir gerüstet, eine Relation FR zu konstruieren, von der wirspäter beweisen, daÿ sie eine konsistente Orientierung ist. Die Konstruktion ist aber nurmöglich, wenn Axiom ERL gültig ist.De�nition 4.96 FR � X�X heiÿt Referenzorientierung genau dann, wenn es LR 2 Linesund � = (r0; r1; : : : ; rm�1; rm) 2 Zyklen(im) gibt, für die8x 2 X : LR \ li[x] 6= ?; (4.10)ZykEinf (�); (4.11)Set(�) = LR; (4.12)AWP(�) = ?; (4.13)x FR y, x im y ^ 9i 2 f0; : : : ; m� 1g : 9� = (a0; a1; : : : ; an�1; an) 2 Ketten(im) :9L 2 Lines : Set(�) � L ^WP(�) = ? ^ n � 2 ^a0 = ri ^ a1 co ri+1 ^ an�1 = x ^ an = y (4.14)gilt. �Satz 4.97 Basis NTR IMK LOR LFO KDI LKO LEN ERL 9FR � X�X : FR ist eineReferenzorientierung.Beweis Wir können LR �nden, wenn Axiom ERL gilt. Axiom LEN zeigt dann, daÿFin(LR) erfüllt ist. Korollar 4.78 beweist daraus die Existenz von � mit den angegebenenEigenschaften. FR ist durch die Objekte LR und � exakt festgelegt, die Konstruktion gelingtstets. �

4.7. LÄNGE 97Wir werden jetzt einige Eigenschaften von Referenzorientierungen aufzeigen.Lemma 4.98 Basis NTR IMK LOR LFO KDI LKO LEN Sei FR eine Referenzorien-tierung, dann 8x; y 2 X : x im y ) (x FR y _ y FR x).Beweis Seien x; y 2 X mit x im y beliebig gewählt. Wir nehmen ohne Beschränkung derAllgemeinheit an, daÿ x P y, also li[x] � li[y].Wegen Formel 4.10 ist LR\ li[x] 6= ?. Sei i 2 f0; : : : ; m� 1g so gewählt, daÿ ri 2 LR\ li[x].Weil x P y erhalten wir auch ri 2 li[y], damit ist fx; y; rig eine li-Klique und kann zu einerLinie L 2 Lines erweitert werden, die fx; y; rig � L erfüllt. Fin(L) gilt gemäÿ Axiom LEN.(x; y) ist eine im-Kette mit fx; yg � L. Auf Grund von Satz 4.77 gibt es einen im-Zyklus� = (a0; a1; : : : ; an)mit Set(�) = L, a0 = x, a1 = y und AWP(�) = ?. Weil ri 2 L = Set(�)gibt es ein k 2 f0; : : : ; ng, für das ak = ri gilt. Da ri li x, folgt ak = ri 6= x = a0 = an, alsoist k 2 f1; : : : ; n� 1g.Fall 1: ak�1 co ri+1. Sei� = (ak; ak�1; : : : ; a1; a0 = an; an�1; : : : ; a1; a0):Weil AWP(�) = ?, gilt auch WP(�) = ?. i, L und � erfüllen genau die Bedingungen,die in der De�nition von FR gefordert sind, es gilt k + n � 2, also y FR x.Fall 2: ak�1 li ri+1. Wegen k < n und AWP(�) = ? ist ak�1 li ak+1, dies ergibt mittelsAxiom LOR ak+1 co ri+1. Sei = (ak; ak+1; : : : ; an�1; an = a0; a1);dann sind die Vorbedingungen für x FR y erfüllt, denn k � n�1 führt zu 1+(n�k) � 2.Also gilt x FR y _ y FR x. �Bei dem vorigen Beweis muÿte die im-Kette � scheinbar unsinnigerweise den im-Zyklus� einmal zusätzlich durchlaufen. Dies geschah, damit die resultierende Kette nicht zu kurzwird, was im folgenden zu unangenehmen Sonderfällen geführt hätte.Lemma 4.99 Basis NTR IMK LCT LOR LFO KDI LKO EKO LENSei FR eine Referenzorientierung, dann 8x; y; z 2 X : (x FR y ^ y FR z)) x li z.Beweis Seien x; y; z 2 X mit x FR y und y FR z gegeben. Es gibt dann i; j 2 f0; : : : ; m�1g und LA; LB 2 Lines und im-Ketten � = (ri = a0; : : : ; ap�1 = x; ap = y) und � = (rj =b0; : : : ; bq�1 = y; bq = z), für die gilt Set(�) � LA, Set(�) � LB, WP(�) = ?, WP(�) = ?,p � 2, q � 2, ri+1 co a1 und rj+1 co b1. Es gilt x im y im z.Wir betrachten die Ketten = (ri = a0; a1; : : : ; ap�1; ap = y);� = (y = bq�1; bq�2; : : : ; b1; b0 = rj);� = (rj ; rj+1; : : : ; rm = r0; r1; : : : ; ri�1; ri):Wegen WP( ) = ?, WP(�) = ?, WP(�) = ?,Set( )[ Set(�) � LA [ LB � li[ap] [ li[bq�1] = li[y];Set(�) [ Set(�) � LB [ LR � li[b0][ li[rj] = li[rj];Set( )[ Set(�) � LA [ LR � li[a0] [ li[ri] = li[ri];p � 1, q � 1 � 1 und m > j gelten die Vorbedingungen von Lemma 4.95, und wir erhalten((a1 li ri�1 , bq�2 li ap�1), rj+1 li b1):ri+1 li ri�1, also auch ri�1 li a1 wegen ri+1 co a1 und Axiom LCT. Es ist rj+1 co b1, alsobleibt bq�2 co ap�1 als einzige Möglichkeit.Es ist bq�2 li bq, also x = ap�1 li bq = z wegen Axiom LCT. �

98 KAPITEL 4. SPEZIELLE AXIOMEDer vorige Beweis kann mit minimalen Änderungen noch zweimal wiederverwendet wer-den. Leider ist es nicht möglich, die Beweise zu einem Beweis zusammenzufassen, da dieKetten und � jeweils leicht unterschiedlich de�niert werden.Lemma 4.100 Basis NTR IMK LCT LOR LFO KDI LKO EKO LENSei FR eine Referenzorientierung, dann 8x; y; z 2 X : (x FR y ^ z FR y)) x co z.Beweis Seien x; y; z 2 X mit x FR y und z FR y gegeben. Es gibt dann i; j 2 f0; : : : ; m�1g und LA; LB 2 Lines und im-Ketten � = (ri = a0; : : : ; ap�1 = x; ap = y) und � = (rj =b0; : : : ; bq�1 = z; bq = y), für die gilt Set(�) � LA, Set(�) � LB, WP(�) = ?, WP(�) = ?,p � 2, q � 2, ri+1 co a1 und rj+1 co b1. Es gilt x im y im z.Wir betrachten die Ketten = (ri = a0; a1; : : : ; ap�1; ap = y);� = (y = bq; bq�1; : : : ; b1; b0 = rj);� = (rj ; rj+1; : : : ; rm = r0; r1; : : : ; ri�1; ri):Wegen WP( ) = ?, WP(�) = ?, WP(�) = ?,Set( )[ Set(�) � LA [ LB � li[ap] [ li[bq] = li[y];Set(�) [ Set(�) � LB [ LR � li[b0][ li[rj] = li[rj ];Set( )[ Set(�) � LA [ LR � li[a0] [ li[ri] = li[ri];p � 1, q � 1 und m > j gelten die Vorbedingungen von Lemma 4.95, und wir erhalten((a1 li ri�1 , bq�1 li ap�1), rj+1 li b1):ri+1 li ri�1, also auch ri�1 li a1 wegen ri+1 co a1 und Axiom LCT. Es ist rj+1 co b1, alsobleibt bq�1 co ap�1 als einzige Möglichkeit. Dies ist gerade z co x. �Lemma 4.101 Basis NTR IMK LCT LOR LFO KDI LKO EKO LENSei FR eine Referenzorientierung, dann 8x; y; z 2 X : (y FR x ^ y FR z)) x co z.Beweis Seien x; y; z 2 X mit y FR x und y FR z gegeben. Es gibt dann i; j 2 f0; : : : ; m�1g und LA; LB 2 Lines und im-Ketten � = (ri = a0; : : : ; ap�1 = y; ap = x) und � = (rj =b0; : : : ; bq�1 = y; bq = z), für die gilt Set(�) � LA, Set(�) � LB, WP(�) = ?, WP(�) = ?,p � 2, q � 2, ri+1 co a1 und rj+1 co b1. Es gilt x im y im z.Wir betrachten die Ketten = (ri = a0; a1; : : : ; ap�2; ap�1 = y);� = (y = bq�1; bq�2; : : : ; b1; b0 = rj);� = (rj ; rj+1; : : : ; rm = r0; r1; : : : ; ri�1; ri):Wegen WP( ) = ?, WP(�) = ?, WP(�) = ?,Set( )[ Set(�) � LA [ LB � li[ap�1] [ li[bq�1] = li[y];Set(�) [ Set(�) � LB [ LR � li[b0][ li[rj] = li[rj ];Set( )[ Set(�) � LA [ LR � li[a0] [ li[ri] = li[ri];p � 1 � 1, q � 1 � 1 und m > j gelten die Vorbedingungen von Lemma 4.95, und wirerhalten die Formel((a1 li ri�1 , bq�2 li ap�2), rj+1 li b1):ri+1 li ri�1, also auch ri�1 li a1 wegen ri+1 co a1 und Axiom LCT. Es ist rj+1 co b1, alsobleibt bq�2 co ap�2 als einzige Möglichkeit.Es ist bq�2 li bq, also ap�2 li bq wegen Axiom LCT. Es ist ap�2 li ap, also ap co bq wegenAxiom LOR. Dies ist jedoch gerade x co z. �

4.7. LÄNGE 99Satz 4.102 Basis NTR IMK LCT LOR LFO KDI LKO EKO LENSei FR eine Referenzorientierung, dann ist FR 2 Orient.Beweis Wir überprüfen für FR einzeln die von einer konsistenten Orientierung gefordertenEigenschaften.� FR [ F�1R = im. FR [ F�1R � im ergibt sich unmittelbar aus der Konstruktion von F .Aus Lemma 4.98 folgt zusätzlich FR [ F�1R � im.� FR � FR � li. Mit Lemma 4.99.� FR � F�1R � co. Mit Lemma 4.100.� F�1R � FR � co. Mit Lemma 4.101.Also gilt der Satz. �Korollar 4.103 Basis NTR IMK LCT LOR LFO KDI LKO EKO LEN ERLOrient 6= ?.Beweis Mit Satz 4.97 und Satz 4.102. �4.7.3 Eindeutigkeit der Fallklasse langer StrukturenWenn eine co-Klique K gegeben ist, dann läÿt sich diese nur durch solche Elemente aus Xzu einem Ken erweitern, die mit ganz K in co stehen. Wir bezeichnen die Menge dieserElemente als gemeinsamen co-Bereich der Klique.De�nition 4.104 [Gemeinsamer co-Bereich]CO(K) := fx 2 X j K � co[x]g. �Die drei folgenden Axiome entsprechen den Annahmen 3, 4a und 4b aus [Ste93]. Umdiese Bedingungen formulieren zu können, wurde CO(K) in der genannten Arbeit eingeführt.Axiom FDI [F-Dichte]8F 2 Orient : 8� = (a0; : : : ; an) 2 Zyklen(F ) : 8C 2 Cuts : n � 1) Set(�) \ C 6= ?. �Axiom LIG [li im gemeinsamen co-Bereich]8F 2 Orient : 8K 2 Kliquen(co) : 8x; y 2 CO(K) : x li y ) 9� = (a0; : : : ; an) 2Ketten(F jCO(K)) : (x = a0 ^ y = an) _ (y = a0 ^ x = an). �Axiom COG [co im gemeinsamen co-Bereich]8F 2 Orient : 8K 2 Kliquen(co) : 8x; y 2 CO(K) : (K 6= ? ^ x co y) ) :9� =(a0; : : : ; an) 2 Ketten(F jCO(K)) : x = a0 ^ y = an ^ n � 1. �In der oben genannten Arbeit beweist Stehr den folgenden Satz, der eine enge Beziehungzur Theorie der Netzsysteme herstellt.Satz 4.105 Basis NTR KAA LCT LOR LFO KDI IRR KOH LKO REN GAW FDILIG COG 8C1; C2 2 Cuts : (C1 � S ^ C2 � S)) C1 (R$)+ C2. �Wir versuchen nun, Axiom LIG und Axiom COG aus den bereits bekannten Axiomenherzuleiten.Satz 4.106 Basis NTR IMK LOR LFO KDI LKO EKO LEN KSE8F 2 Orient : 8K 2 Kliquen(co) : 8x; y 2 CO(K) : x li y ) 9� = (d0; : : : ; dm) 2Ketten(F jCO(K)) : (x = d0 ^ y = dm) _ (y = d0 ^ x = dm).Beweis Sei F eine konsistente Orientierung. Seien K, x und y nach den Voraussetzungengegeben.Sei L 2 Lines eine Linie mit fx; yg � L, dann gilt Fin(L) wegen Axiom LEN. Sei � =(a0; : : : ; an) ein im-Zyklus ohne Wiederholungen mit Set(�) = L, dieser existiert wegen

100 KAPITEL 4. SPEZIELLE AXIOMEKorollar 4.78. � ist nun ein F -Zyklus oder ein F�1-Zyklus, wir nehmen ohne Beschränkungder Allgemeinheit an, daÿ � ein F -Zyklus ist.Wir können durch geeignetes Schieben von � sicherstellen, daÿ a0 = x. Es gibt nun eink 2 f0; : : : ; n� 1g mit ak = y.Sei C 2 Cuts ein Schnitt mit K � C. Sei C 0 2 Cuts ein Schnitt mit C�C 0 � li gemäÿ AxiomKSE. Nach Axiom KDI ist L \ C 0 6= ?, sei j 2 f0; : : : ; n� 1g so gewählt, daÿ aj 2 L \ C 0.Wegen aj 2 C 0 und K � C haben wir 8z 2 K : z li aj . Wir erhalten8z 2 K : z co a0 ^ z li aj ^ z co ak; (4.15)weil fa0; akg � CO(K).Wenn es ein u 2 K \ L gäbe, dann erzeugen u li x wegen u; x 2 L und u co x wegen u 2 Keinen Widerspruch. Also K \ L = ?.Wir tre�en eine Fallunterscheidung.Fall 1: j � k. Es ist 0 � j � k. Mit Lemma 4.83 und Formel 4.15 erhalten wir 8z 2 K :8l 2 fk; : : : ; n � 1g : z co al. Da K \ L = ? verschärft sich dies zu 8z 2 K : 8l 2fk; : : :; n� 1g : z co al.Also ist � = (y = ak ; : : : ; an�1; an = a0 = x) eine F jCO(K)-Kette.Fall 2: j > k. Sei = (c0 = an; : : : ; cn = a0), also das Inverse der Kette �. Sei j 0 = n � jund k0 = n � k. Es ergibt sich c0 = an = a0 = cn, cj0 = aj und ck0 = ak. Wir haben8z 2 K : z co c0 ^ z li cj0 ^ z co ck0 und können wieder Lemma 4.83 anwenden, um8z 2 K : 8l0 2 fk0; : : : ; n� 1g : z co cl0 zu erhalten.Letztlich ist �0 = (x = cn; cn�1; : : : ; ck0 = ak = y) eine F jCO(K)-Kette.Also gilt der Satz. �Satz 4.107 Basis NTR IMK LOR LFO KDI LKO EKO LEN KSE8F 2 Orient : 8x; y; z 2 X : z co x co y co z ) :9� = (a0; : : : ; an) 2 Ketten(F jco[z]) : x =a0 ^ y = an ^ n � 1.Beweis Sei F eine konsistente Orientierung.Wir führen einen Beweis durch Widerspruch. Angenommen, es gibt x; y; z 2 X mit z cox co y co z und � = (x = a0; : : : ; an = y) 2 Ketten(F ), so daÿ Set(�) � co[z]. Wir können� nun so wählen, daÿ n minimal wird, aber trotzdem n � 1 gilt.Wäre n = 1, dann ist a0 = x co y = an = a1 im Widerspruch zu a0 F a1. Wäre n = 2, dannsteht a0 = x co y = an = a2 im Widerspruch zu a0 F a1 F a2. Also n � 3.Wäre ai co aj für 0 � i < j < n, dann wäre = (ai; ai+1; : : : ; aj) eine kürzere, abernicht einelementige Kette mit den gegebenen Eigenschaften im Widerspruch zur Minima-lität von n. Also ist fa0; : : : ; an�1g eine li-Klique und kann zu einer Linie L 2 Lines mitfa0; : : : ; an�1g � L erweitert werden. Ferner ist (a0; : : : ; an�1) frei von Wiederholungen.Fin(L) erhalten wir mit Axiom LEN. Satz 4.77 zeigt, daÿ es einen im-Zyklus ohne Wieder-holungen � = (d0; : : : ; dm) gibt, so daÿ Set(�) = L und auÿerdem 8i 2 f0; : : : ; n�1g : di = aigilt.Da dn li dn�2 und an li an�2, gilt an co dn wegen Axiom LOR. Wegen an im an�1 giltan li dn�1. Es ist an = y co x = a0 = d0.fz; yg ist eine co-Klique und kann zu einem Schnitt C erweitert werden. Also gibt es gemäÿAxiom KSE einen Schnitt C 0 2 Cuts mit C�C 0 � li. Wegen Axiom KDI gilt C 0 \ L 6= ?,also gibt es ein l 2 f0; : : : ; m� 1g mit dl 2 C 0 \ L.Weil dl li z, aber 8i 2 f0; : : : ; n� 1g : di = ai co z, ergibt sich l =2 f0; : : : ; n� 1g. Also n � l.Wegen dl li an und dn co an verschärft sich diese Aussage zu n < l.

4.7. LÄNGE 101Nun ist 0 < n � 1 < n < l < m und d0 co an, dn�1 li an, dn co an und dl li an imWiderspruch zu Lemma 4.83. �Aus diesem Satz ergeben sich zwei Korollare, wobei das erste gerade dem Axiom COGentspricht. Das zweite Korollar wird später als Lemma benötigt.Korollar 4.108 Basis NTR IMK LOR LFO KDI LKO EKO LEN KSE8F 2 Orient : 8K 2 Kliquen(co) : 8x; y 2 CO(K) : (K 6= ? ^ x co y) ) :9� =(a0; : : : ; an) 2 Ketten(F jCO(K)) : x = a0 ^ y = an ^ n � 1.Beweis Sei K eine nichtleere co-Klique. Sei z 2 K. Der Satz folgt nun unmittelbar ausSatz 4.107, da CO(K) � co[z]. �Korollar 4.109 Basis NTR IMK LOR LFO KDI LKO EKO LEN KSE8F 2 Orient : 8z 2 X : 8 = (c0; : : : ; cn) 2 Ketten(F jco[z]) : 8i; j 2 f0; : : : ; ng : i < j )ci li cj .Beweis Seien F , z und � nach Voraussetzung gegeben. Angenommen, 9i; j 2 f0; : : : ; ng :i < j ^ ci co cj , dann ergibt sich für � = (ci; : : : ; cj) und x = ci und y = cj ein Widerspruchmit Satz 4.107.Also 8i; j 2 f0; : : : ; ng : i < j ) ci li cj . �Nun zeigen wir noch, daÿ aus Axiom KSE Axiom FDI folgt.Lemma 4.110 Basis NTR IMK LOR LFO KDI LKO EKO LEN8F 2 Orient : 8x 2 X : 8� = (a0; : : : ; an) 2 Zyklen(F ) : n � 1) (9y 2 Set(�) : y co x).Beweis Sei x 2 X und sei � = (a0; : : : ; an) ein F -Zyklus. Wir nehmen für einen Wider-spruchsbeweis an, daÿ Set(�) � li[x].Wegen x li a0 gibt es eine Linie L 2 Lines mit x; a0 2 L. Mit Axiom LKO erhalten wir eineF jL-Kette oder eine F�1jL-Kette ohne Wiederholungen von x nach a0. Wir nehmen ohneBeschränkung der Allgemeinheit an, es gäbe eine F jL-Kette � = (x = b0; b1; : : : ; bm = a0)ohne Wiederholungen. Weil Set(�) � L ist fb1; : : : ; bmg � li[b0] = li[x].Sei = (c0; : : : ; cm; : : : ; cm+n) = (x = b0; b1; : : : ; bm = a0; a1; : : : ; an), dann ist eine F -Kette und folglich eine im-Kette mit WP( ) = ?. Auÿerdem gilt Set( ) � li[x]. Damitkönnen wir Lemma 4.91 anwenden, es ergibt sich 8i; j 2 f0; : : : ; n+mg : i 6= j ) ci li cj .Dies heiÿt aber cm li cm+n wegen m 6= m + n. Es ergibt sich ein Widerspruch mit cm =a0 = an = cm+n.Also 9y 2 Set(�) : y co x. �Satz 4.111 Basis NTR IMK LOR LFO KDI LKO EKO LEN KSE8F 2 Orient : 8� = (a0; : : : ; an) 2 Zyklen(F ) : 8C 2 Cuts : n � 1) Set(�) \ C 6= ?.Beweis Sei C 2 Cuts und sei � = (a0; : : : ; an) ein im-Zyklus mit n � 1. Sei x 2 C. Wennx 2 Set(�), dann gilt der Satz o�ensichtlich. Wir betrachten also den Fall x =2 Set(�).Lemma 4.110 führt zu 9y 2 Set(�) : y co x. Wir nehmen ohne Beschränkung der Allge-meinheit an, daÿ a0 co x, wenn dies nicht gilt, könnte dieser Fall durch zyklisches Schiebenerreicht werden. Es ist nun auch an = a0 co x.Wäre Set(�) � co[x], dann ergäbe sich unmittelbar ein Widerspruch mit Korollar 4.108.Also gibt es ein p 2 f0; : : : ; n� 1g, für das ap li x gilt. Mit x =2 Set(�) verschärft sich dieszu ap li x. Jetzt führt uns a0 co x zu p 6= 0, also 1 � p � n � 1.Wir setzen q = minf0 � i � n � 1 j ai co x ^ ai+1 li xg und r = maxf1 � i � n j ai cox ^ ai�1 li xg. Wegen a0 co x, ap li x und an co x sind diese Werte de�niert und es gilt0 � q < p < r � n.Sei = (ar; : : : ; an = a0; : : : ; aq), dann 2 Ketten(F ). Weil zudem Set( ) � co[x] bekanntist, können wir mittels Korollar 4.109 leicht Einf ( ) und Set( ) 2 Kliquen(li) folgern.

102 KAPITEL 4. SPEZIELLE AXIOMEWegen aq im aq+1 und x co aq und x li aq+1, ist aq P aq+1. Gleichermaÿen ar P ar�1. Wirschlieÿen daraus, daÿ auch Set( ) [ faq+1; ar�1g eine li-Klique ist, die wir zu einer LinieL 2 Lines erweitern. Fin(L) wegen Axiom LEN. Sei� = (ar�1; ar; : : : ; an = a0; : : : ; aq) = (b0; b1; : : : ; bn+1�r; : : : ; bn+q+1�r):Mit Einf ( ), ar�1 li x und Set( ) � co[x] erhalten wir Einf (�). Satz 4.77 beweist, daÿ es� = (d0; : : : ; dm) gibt mit Set(�) = L, AWP(�) = ?, ZykEinf (�) und 8i 2 f0; : : : ; n+ q +1� rg : di = bi.Unter Verwendung von Satz 4.23 erhalten wir L \ im[dn+q+1�r ] = fdn+q�r; dn+q+2�rg undweiter L \ im[aq] = faq�1; dn+q+2�rg. Weil aq+1 2 L \ im[aq] und aq+1 6= aq�1, ergibt sichdn+q+2�r = aq+1. Es ist d0 = ar�1 li x, d1 = ar co x und dn+q+2�r = aq+1 li x. Lemma 4.82ergibt nun 8i 2 fn+q+2�r; : : : ; mg : di li x. Also co[x]\L � fd1; : : : ; dn+q+1�rg = Set( ).Axiom KDI zeigt, daÿ es ein z 2 C \ L gibt. Wegen x 2 C gilt z 2 co[x] \ L, alsoz 2 Set( ) � Set(�). �Damit zeigt sich, daÿ im wesentlichen Axiom EKO, Axiom KDI und Axiom KSE ausrei-chen, um die Menge der S-Schnitte als eine Fallklasse des Netzes zu charakterisieren. DieserSatz läÿt noch eine kleine Lücke, denn Axiom KSE ist möglicherweise ein zu einschränkendesAxiom. Vielleicht genügt Axiom LSL oder gar Axiom ERL, um die eindeutige Fallklasseherzustellen.

Kapitel 5AxiomensystemeDa hat er die Teile in seiner Hand,fehlt leider! nur das geistige Band. Johann Wolfgang von Goethe, in �Faust�Schon im vorherigen Kapitel konnten wir sehen, daÿ selten ein Axiom genügte, um interes-sante Sätze herleiten zu können, vielmehr ist es stets das Zusammenspiel mehrerer Axiome,das neue Erkenntnisse erbringt. Deswegen sollen jetzt verschiedene Systeme von Axiomenvorgestellt werden.Es werden einige Axiomensysteme darunter sein, die schon früher von Petri oder seinenSchülern untersucht wurden, aber auch neue, die auf ungewöhnlichen Wegen zum Ziel kom-men. Das Alter der Systeme soll aber nicht die Reihenfolge im folgenden Text bestimmen,denn viel besser gelingt eine Klassi�kation der Systeme an Hand der Frage, ob Axiom OBSgültig ist, das heiÿt, ob alle Modelle ordnungsbasiert sind oder nicht.5.1 Nicht ordnungsbasierte SystemeWenn wir nicht verlangen, daÿ li aus einer Ordnung entstehen muÿ, dann können wir gleich-zeitig zyklische und azyklische Modelle behandeln. Dies ist der entscheidende Punkt, derdie folgenden Systeme interessant macht.5.1.1 MinimalsystemDieses System wurde in [Mül93] als Quintessenz aller von Petri verö�entlichten Axiomen-systeme zur Theorie der Nebenläu�gkeit herausgearbeitet. Es stellt gewissermaÿen einenkleinsten gemeinsamen Nenner aller Systeme dar, weshalb die Anzahl der Axiome geringund die Klasse der möglichen Modelle groÿ ist.KAA IMK LOR LCT LORNTR VST DIS SYM IRR KOH KDIIn der Darstellung enthält die untere Ebene die Axiome, die sich direkt mit den Relationenco und li beschäftigen und die sozusagen das Fundament der Theorie bilden. In der oberenEbene haben wir dann die komplizierteren Axiome, die sich auf die im-Relation beziehen,also beispielsweise die lokalen Axiome.

104 KAPITEL 5. AXIOMENSYSTEMEEs ergibt sich in diesem System unmittelbar, daÿ NDI , LOR , LCT , COI , LII , COKund LIK gelten. Axiom NTR wurde nicht als gleichwertig in die Liste der Axiome aufge-nommen wurde, sondern es wurde implizit angenommen, daÿ die Struktur nicht trivial ist.Axiom LOR und Axiom LCT wurden zu einem Axiom zusammengefaÿt, was auf Grundder Formulierung leicht möglich ist. Ganz allgemein ist es möglich, die lokalen Axiomemiteinander zu kombinieren, was dann auch in manchen Systemen geschieht. Der Beweis derÄquivalenz ist stets so eindeutig, daÿ wir uns mit diesen Varianten nicht beschäftigen müssen.Durch die Einschränkung auf die Axiome, die bei Petri immer vorkommen, entstehtnotwendigerweise ein schwaches System, das insbesondere keine Bedingung enthält, um eineglobale Ordnung zu sichern. Petri hat in seinen verö�entlichten Arbeiten stets eines derAxiome OBS, NOR oder KOR verwendet, jedoch nicht stets dasselbe Axiom, weshalb keinesder drei Axiome als zum Kern des Systems gehörig erachtet wurde. Zudem bestand nochdie Ho�nung, daÿ sich Axiom KOR durch die lokale Orientierbarkeit garantieren läÿt. Wiewir jetzt wissen, hat sich diese Ho�nung nicht erfüllt.Auch alle anderen Probleme, die durch die Gegenbeispiele demonstriert wurden, tretenin diesem System auf. Namentlich Axiom EKO und Axiom LKO müssen nicht erfüllt sein,so daÿ wir die Klasse der möglichen Modelle eindeutig als zu groÿ bezeichnen müssen.5.1.2 EpisodenkohärenzWir ersetzen nun im Minimalsystem Axiom IMK durch Axiom EKO, um damit einige derProbleme aus der Welt zu scha�en.KAA EKO LOR LCT LFONTR VST DIS SYM IRR KOH KDIEs folgt LKO mit Satz 4.10 und IMK mit Satz 4.9. Es bleibt aber immer noch die Mög-lichkeit, daÿ sich keine Orientierung �nden läÿt.5.1.3 OrientierbarkeitWir ersetzen jetzt im Vergleich zum vorigen System Axiom LCT und Axiom LOR durchAxiom KOR.KAA EKO KOR LFONTR VST DIS SYM IRR KOH KDIWiederum folgt LKO mit Satz 4.10 und IMK mit Satz 4.9. Aus Axiom KOR ergeben sichmit Hilfe von Satz 4.50 und Satz 4.51 die Axiome LCT und LOR .Wir haben nun in Bezug auf Orientierbarkeit, Linien- und Episodenkohärenz ein System,das nur gutartige Modelle besitzt. Es lassen sich in diesem System auÿerdem zyklische undazyklische Modelle gleichermaÿen behandeln. Die Menge der S-Schnitte mancher Modellebesteht aus mehr als einer Fallklasse, was manchmal unerwünscht ist, aber auch interessanteStrukturen ermöglicht.5.1.4 LängeDieses Axiomensystem basiert nach wie vor auf dem Minimalsystem, mit dem wir diesesKapitel begonnen haben. Wir verwenden jedoch zusätzlich die Episodenkohärenz, die Li-nienendlichkeit und ein Axiom der Länge.

5.1. NICHT ORDNUNGSBASIERTE SYSTEME 105KSE LENKAA EKO LOR LCT LFONTR VST DIS SYM IRR KOH KDIWir haben Axiom KSE und Axiom LEN in eine dritte Zeile gestellt, da sie wiederum auf einedeutlich komplexere Art und Weise als die anderen Axiome in die Theorie eingreifen. Siesind auch erst dann sinnvoll, wenn durch die anderen Axiome das Fundament der Theoriegelegt wurde.Unmittelbar klar sollte inzwischen die Gültigkeit von LKO und IMK sein. Die Orien-tierbarkeit in Form von KOR ergibt sich durch Korollar 4.103. Mit der Linienendlichkeitfolgt auch EEN . Aus Axiom KSE werden mit Satz 4.89 und Satz 4.88 die Axiome LSLund ERL .Dann geben uns Satz 4.106, Korollar 4.108 und Satz 4.111 Zugri� auf die Axiome LIG ,COG und FDI . Dies sind nach Satz 4.105 aber gerade die Voraussetzungen dafür, daÿdie Menge der S-Schnitte eine eindeutige Fallklasse darstellt. Man könnte noch diskutieren,ob nicht Axiom KSE zu stark gewählt ist. Immerhin würde Axiom ERL reichen, um dieOrientierbarkeit zu gewährleisten, und es ist nicht klar, ob die Eindeutigkeit der Fallklassenotwendig ist. Vielleicht läÿt sich auch der Beweis zu Satz 4.105 noch mit schwächerenVoraussetzungen führen.5.1.5 System von StehrDieses System wird in [Ste93] verwendet, wobei wir uns hier auf die explizit genanntenAxiome beschränken und diese erst im nächsten Abschnitt um die zusätzlichen Annahmenerweitern. RENKAA LKO LOR LCT LFONTR VST DIS SYM IRR KOH KDIDamit sind gegenüber dem Minimalsystem durch Axiom LKO die unzusammenhängendenLinien entfallen, IMK gilt weiterhin wegen Satz 4.9.Automatisch folgt mit Axiom REN auch EEN und SEN . Satz 4.49 ergibt mit AxiomEEN eine saubere Trennung in zyklische und azyklische Modelle, also Modelle mit nurendlichen oder nur unendlichen Linien. Wesentlich stärkere Beweise lassen sich aber nichtführen.5.1.6 System von Stehr mit zusätzlichen AnnahmenJetzt fügen wir zum vorigen System noch die Annahmen 2, 3, 4a und 4b aus [Ste93] hinzuund erhalten ein sehr starkes System. Dabei verzichten wir auf Annahme 1, da diese inForm von Theorem 4.20 mittlerweile bewiesen ist.COG LIGREN GAW FDIKAA LKO LOR LCT LFONTR VST DIS SYM IRR KOH KDI

106 KAPITEL 5. AXIOMENSYSTEMEDie Formulierung von Axiom GAW ist zwar im Ausdruck etwas anders, aber äquivalent. Mitdiesem Axiom können wir KOR ableiten, indem wir Satz 4.58 anwenden. Wie im vorigenSystem erhalten wir EEN , SEN und IMK .Satz 5.1 Basis KAA LOR LFO KDI KOH LKO REN FDI LIG(8L 2 Lines : :Fin(L))) (8F 2 Orient : li = F+ [ (F�1)+). �Der vorige Satz wird in der oben genannten Arbeit von Stehr bewiesen und dient unsjetzt dazu, die Episodenkohärenz herzuleiten.Satz 5.2 Basis NTR KAA IMK LOR LFO KDI KOH LKO REN EEN KOR FDILIG 8L 2 Lines : 8x 2 X : E = L \ co[x]) (imjE)�E = E�E.Beweis Sei L 2 Lines und x 2 X . Sei E = L \ co[x] und y; z 2 E. Wir nehmen für einenWiderspruchsbeweis an, daÿ :y (imjE)�E z.Sei F eine konsistente Orientierung gemäÿ Axiom KOR.Fall 1: :Fin(L). Wegen Satz 4.49 gilt 8L 2 Lines : :Fin(L) und li = F+ [ (F�1)+ ergibtsich damit aus Satz 5.1.Wegen Axiom LKO gibt es eine F jL-Kette von y nach z oder von z nach y. Wirnehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit den ersten Fall an und �xieren � = (y =a0; a1; : : : ; an = z). � ist auch eine imjL-Kette, kann aber nach Widerspruchsannahmekeine imjE-Kette sein.Also gibt es ein i 2 f0; : : : ; ng mit x li ai. Wäre nun x F+ ai, dann auch x F+ z imWiderspruch zu x co z. Also ai F+ x, aber dies führt nun zu y F+ x und somit zueinem Widerspruch mit y co x.Fall 2: Fin(L). Falls y = z, dann gilt der Satz trivial, also beschränken wir uns auf y 6= z.Wäre nun x 2 L, dann ergibt sich y li x li z. Mit y co x co z gilt auch y = x = z imWiderspruch zu y 6= z. Somit x =2 L. Zusammen mit y; z 2 L ergibt sich y 6= x 6= z,also y co x co z.Wenn L� co[x] = ?, dann E = L. Der Satz ergibt sich einfach aus Axiom LKO. Wirbeschränken uns also auf L� co[x] 6= ?.(L� co[x])[ fxg ist eine li-Klique, daher gibt es eine Linie L0 mit L� co[x] � L0 undx 2 L0. Wegen y co x co z gilt y; z =2 L0. Die Linie L0 ist wegen Satz 4.49 ebenfallsendlich. Man überzeugt sich leicht von L \ L0 = L � co[x] 6= ?.Sei w 2 L\L0. Mit Satz 4.23 folgern wir, daÿ es ein u 2 Lmit w F u gibt. Ebenso gibtes ein v 2 L0, so daÿ w F v. Es sind (w; u) und (w; v) im-Ketten ohne Wiederholungenaus denen wir mit Satz 4.77 zwei im-Zyklen � = (a0 = w; a1 = u; a2; : : : ; an) und � =(b0 = w; b1 = v; b2; : : : ; bm) gewinnen, so daÿ ZykEinf (�), ZykEinf (�), Set(�) = L,Set(�) = L0, AWP(�) = ? und AWP(�) = ? gilt. Wir erhalten � 2 Zyklen(F ) und� 2 Zyklen(F ), indem wir von w F u und w F v ausgehen.Es gibt r; s 2 f0; : : : ; ng, so daÿ ar = y und as = z. Sei ohne Beschränkung derAllgemeinheit r � s. Aus x 6= y 6= z 6= x ergibt sich 0 < r < s < n. Wäre8q 2 fr; : : : ; sg : aq co x, dann wäre (ar; ar+1; : : : ; as) 2 Ketten(imjE) im Widerspruchzur Annahme. Also 9q 2 fr; : : : ; sg : aq li x, und wir wählen ein solches q fest. x co ar,x li aq und x co as führen zu r 6= q 6= s und weiter r < q < s.x li aq führt zu aq 2 L0. In Anbetracht von Set(�) = L0 wählen wir j 2 f0; : : : ; mg, sodaÿ bj = aq. Wegen x 2 L0 können wir auch k 2 f0; : : : ; mg wählen mit bk = x. Mitx li aq erhalten wir bk = x 6= aq = bj , also k 6= j. Aus x li w folgt bk = x 6= w = b0 =bn, daher verbleibt nur 0 < k < m.Unterfall a: j < k. Sei = (w = b0; b1; : : : ; bj = aq; aq+1; : : : ; an = w). � ist ein

5.1. NICHT ORDNUNGSBASIERTE SYSTEME 107F -Zyklus. fx; yg 2 Kliquen(co), also gibt es C 2 Cuts mit fx; yg � C.fb0; b1; : : : ; bjg � L0, also fb0; b1; : : : ; bjg � li[x]. Wegen j < k < m undZykEinf (�) gilt bk =2 fb0; b1; : : : ; bjg. Aber x = bk, also fb0; b1; : : : ; bjg � li[x].faq; aq+1; : : : ; ang � L, also faq; aq+1; : : : ; ang � li[y]. Wegen r < q gilt ar =2 faq;aq+1; : : : ; ang. Aber y = ar, also faq; aq+1; : : : ; ang � li[y]. Zusammen ergibtsich Set( ) � li[x] [ li[y] oder abgeschwächt Set( ) � li[C] im Widerspruch zuSet( )\ C 6= ? gemäÿ Axiom FDI.Unterfall b: k < j. Sei diesmal � = (w = a0; a1; : : : ; aq = bj; bj+1; : : : ; bm = w). Wirwählen C 0 2 Cuts mit fx; zg � C 0. Der Rest des Beweises verläuft analog zumvorigen Unterfall.L ist entweder endlich oder unendlich, also ist die Fallunterscheidung vollständig. �Durch den letzten Beweis wurde gezeigt, daÿ auch Axiom EKO gilt. Deshalb gibt es keineModelle dieses Systems, die der Intuition widersprechende Eigenschaften aufweisen. Es giltauch Satz 4.105, das heiÿt, daÿ die Menge der S-Schnitte einer Fallklasse des zugeordnetenNetzes entspricht.Daÿ alle Modelle so gutmütig gestaltet sind, geht einher mit der Tatsache, daÿ diesSystem von allen, die gleichzeitig zyklische und azyklische Modelle erlauben, das strengsteist. Vielleicht ist sind die Axiome jedoch wiederum zu stark, beispielsweise lieÿe sich langeüber die Gültigkeit der Axiome REN, COG und LIG diskutieren.Das Axiomensystem lieÿe sich in seiner Formulierung noch geringfügig abschwächen,indem wir Axiom GWE anstelle von Axiom GAW für die Sicherung der konsistenten Ori-entierbarkeit wählen, ohne daÿ dies an den Überlegungen etwas ändern würde.5.1.7 Nebenläu�gkeit und PhysikDies ist das System aus dem Artikel [Pet82], wo Petri ein recht kleines Axiomensystemvorstellt, in der Ho�nung, daÿ sich die wenigen verwendeten Axiome dann um so leichtermit Hilfe von elementaren physikalischen Gesetzmäÿigkeiten begründen lassen.Wir können hier auf Bezüge zur Physik nicht eingehen, sondern wollen nur die Stärkedes Axiomensystems untersuchen. Im Gegensatz zum oben genannten Artikel betrachtenwir co als irre�exiv, was geringfügige Änderungen mit sich bringt, aber nicht entscheidendist. KAA IMK LOR LCT LFO KORNTR VST DIS SYM IRR KOH KDIPetri erwähntAxiom TEN, weist aber darauf hin, daÿ dies Axiom nicht universelle Gültigkeitbesitzen soll, sondern nur eine besonders interessante Klasse von Modellen kennzeichnet.Petri führt in diesem Artikel zwar co und li über den Umweg einer Ordnung ein, erwähntaber kein Äquivalent von Axiom OBS. Da er das 4-Jahreszeiten-Netz als Modell für dasAxiomensystem nennt, ist also anzunehmen, daÿ Petri dieses Axiomensystem explizit nichtordnungsbasiert gestalten wollte.Petri hat dafür zwar Axiom KOR verlangt, was übrigens die Axiome LOR und LCTimpliziert, aber dies kann Axiom OBS nicht vollständig ersetzen. Es entstehen nämlichProbleme durch Verletzungen der Axiome LKO und EKO. Diese beiden Probleme warenaber noch unbekannt, als der Artikel erschien, ansonsten hätte Petri sie bestimmt behandelt.

108 KAPITEL 5. AXIOMENSYSTEME5.2 Ordnungsbasierte SystemeAlle ab jetzt behandelten Systeme enthalten entweder Axiom OBS direkt, oder es kann alsSatz in den Systemen abgeleitet werden.5.2.1 System von Best und MerceronIn [BM85] wird co als von einer Halbordnung abgeleitet betrachtet, und li wird über code�niert. Dadurch erfüllen die Strukturen stets die Axiome DIS, VST, SYM und OBS,obwohl diese Axiome nicht explizit angegeben werden. Der Artikel nimmt co als re�exiv an,dem wollen wir uns aber nicht anschlieÿen.KAA LCT LOR LFO IMK OBS KORNTR VST DIS SYM COI LII KOH KDIHiermit lösen sich die meisten Probleme, da die Orientierbarkeit, sogar in zweifacher Ausfer-tigung, explizit angenommen wird. Satz 4.70 zeigt, daÿ Axiom KOR und damit auch AxiomLCT aus den anderen Axiomen hergeleitet werden können und daher über�üssig sind. DiesSystem war jedoch nie als Minimalsystem gedacht.Es kann keine endlichen Linien geben, da durch die Transitivität der Ordnungsrelationdie lokale Fortsetzbarkeit auch immer die Fortsetzbarkeit jeder einzelnen Linie impliziert.Satz 5.3 Basis NTR COI KAA IMK LOR LFO NDI OBS 8L 2 Lines : L ist unendlich.Beweis Sei < eine Halbordnung mit li = (< [ <�1), diese existiert wegen Axiom OBS.Angenommen, es gäbe eine endliche Linie L. Diese Linie ist durch die Relation < totalgeordnet. Sei x = min< L. Wegen Axiom IMK und Axiom NTR gibt es ein y 2 im[x].Wegen Axiom LFO gibt es ein z 2 im[x] mit z li y. F = l ist eine konsistente Orientierungwegen Satz 4.70. Nun ist entweder z F x ^ x F y oder y F z ^ z F x. In jedem Fall9w 2 X : w l x, dies ergibt jedoch 9w 2 X : L � li[w], Widerspruch.Also gibt es keine endliche Linie. �Jetzt haben wir also zusätzlich LUE . Lediglich Axiom LKO und Axiom EKO fehlennoch im System. Bereits im Originalartikel wurde aber durch ein Gegenbeispiel gezeigt, daÿdiese Sätze in der Tat nicht gelten.5.2.2 Natürliche OrdnungDies ist der klassische Ansatz von Petri, wie er beispielsweise in [Pet80] dargestellt ist.KAA LOR LCT LFO NORNTR VST DIS SYM IRR KOH KDIWir verwenden hier Axiom NTR statt der etwas stärkeren Formulierung jX j > 2, die Petribenutzt hat. Petris System beinhaltete auÿerdem noch die Axiome COI , LII , COK ,LIK und NDI , die sich aus den anderen Axiomen ableiten lassen. Die Idee war dabeiwohl, daÿ sich diese Axiome leichter verstehen und motivieren lassen, verglichen mit denstärkeren Axiomen IRR, KOH oder KDI. Daher besitzen auch die schwachen Axiome eineDaseinsberechtigung.Petri erwähnte auch einige Axiome zur sogenannten DetailrelationD := f(x; y) 2 X�X jco[x] co[y]g. Die Detailaxiome wurden in dieser Arbeit nicht behandelt, denn es sind keine

5.2. ORDNUNGSBASIERTE SYSTEME 109Beweise bekannt, in denen die Verwendung der Detailrelation eine neue Erkenntnis gebrachthätte.Es gilt sicher OBS wegen Satz 4.65 und KOR wegen Satz 4.72. Da die Relationen co undli über den Umweg von Netzen eingeführt wurden, ist klar, daÿ die Gültigkeit von AxiomKOR unbedingt erwünscht war.Das im vorigen Abschnitt erwähnte Gegenbeispiel aus [BM85] erfüllt alle Axiome diesesSystems, da insbesondere Axiom NOR gültig ist. Somit können wir die Axiome LKO undEKO auch in diesem System nicht ableiten.5.2.3 LinienkohärenzWir ersetzen gegenüber dem vorigen System Axiom NOR durch Axiom OBS, auÿerdemverdrängt Axiom LKO das vorher verwendete Axiom IMK. Wir entfernen Axiom LCT, dawir es aus anderen Axiomen herleiten können.KAA LOR LFO LKO OBSNTR VST DIS SYM IRR KOH KDIO�ensichtlich gelten COK , LIK , COI und LII . Unter Verwendung von Satz 4.9, Satz 4.7,Satz 4.72, Satz 4.50 und Satz 5.3 ergeben sich IMK , NDI , KOR , LCT und LUE .Lemma 5.4 Basis LKO 8F 2 Orient : 8L 2 Lines : 8x; y 2 L : x 6= y ) ((x; y) 2(F jL)+ _ (y; x) 2 (F jL)+).Beweis Sei F eine konsistente Orientierung. Sei L 2 Lines und x; y 2 L mit x < y.Wir wählen gemäÿ Axiom LKO eine kürzeste imjL-Kette von x nach y, also � = (x =a0; a1; : : : ; an = y). Wegen x 6= y folgt n � 1.� enthält per Konstruktion keine Wiederholungen, und es gilt Set(�) � L. Also WP(�) = ?,und � ist eine F -Kette oder eine F�1-Kette. �Lemma 5.5 Basis COI KAA LOR NDI LKO 8(<) 2 Order : 8L 2 Lines : 8x; y 2 L :x < y ) (x; y) 2 (ljL)+.Beweis Sei < eine Halbordnung mit li = (< [ <�1), dann ist F = l eine konsistenteOrientierung wegen Satz 4.70.Sei L 2 Lines und x; y 2 L mit x < y. Sicher x 6= y, also (x; y) 2 (F jL)+ _ (x; y) 2 (F jL)+wegen Lemma 5.4.(y; x) 2 (F jL)+ führt zu y l+ x im Widerspruch zu x < y. Daher (x; y) 2 (ljL)+. �Satz 5.6 Basis COI KAA LOR NDI LKO OBS 8L 2 Lines : 8x 2 X : E = L\ co[x])(imjE)�E = E�E.Beweis Sei L 2 Lines und x 2 X beliebig und E = L \ co[x]. Sei y; z 2 E, wobei y < xohne Beschränkung der Allgemeinheit. Mit Axiom OBS konstruieren wir eine Halbordnung<mit li = (<[<�1). Wegen Lemma 5.5 gibt es eine ljL-Kette � = (y = a0; a1; : : : ; an = z).Wäre ai < x für ein i 2 f0; : : : ; ng, dann auch a0 < x im Widerspruch zu y co x. Wäreai > x für ein i 2 f0; : : : ; ng, dann x < an im Widerspruch zu x co z. Also Set(�) � co[x],dies ergibt aber Set(�) � E und daher y (imjE)�E z. �Damit haben wir EKO erhalten. Wir werden jetzt zeigen, daÿ es nur zwei Halbordnungengibt, für die li = < [<�1 gilt.Lemma 5.7 Basis LKO 8F 2 Orient : li � F+ [ (F�1)+.Beweis Sei F eine konsistente Orientierung. Sei x; y 2 X und x li y, dann ist sicher x 6= y.Ferner gibt eine Linie L 2 Lines mit x; y 2 L. Nach Lemma 5.4 ist (x; y) 2 (F jL)+_ (y; x) 2(F jL)+, also abgeschwächt x F+ y _ x (F�1)+ y. �

110 KAPITEL 5. AXIOMENSYSTEMEDas vorige Lemma �ndet sich auch in [Ste93].Lemma 5.8 Basis COI KAA LOR NDI LKO 8(<) 2 Order : (im\<)+ = (<).Beweis Sei < eine Halbordnung, für die (< [<�1) = li gilt. Sei F = im\<, dann ist Feine konsistente Orientierung nach Satz 4.70.(im\ <)+ � (<) ist unmittelbar einsichtig.Betrachten wir nun a; b 2 X beliebig mit a < b. Es ist dann a li b nach der Voraussetzungfür <. Also a F+ b_ b F+ a wegen Lemma 5.7.Aber b F+ a bedeutet wegen F � (<), daÿ b <+ a und somit b < a im Widerspruch zua < b. Es bleibt also nur a F+ b als Möglichkeit, und somit (<) � F+ = (im\ <)+, wasdie Rückrichtung beweist. �Lemma 5.9 Basis COI KAA IMK LOR NDI LKO 8(<); (<0) 2 Order : (<0 = <) _(<0 = <�1).Beweis Seien < und <0 Halbordnungen mit (<[<�1) = li und (<0[<0)�1 = li, dann sindnach Satz 4.70 die Relationen F = im\ (<) und F 0 = im\ (<0) konsistente Orientierungen.Wegen Satz 4.59 gilt (F 0 = F ) _ (F 0 = F�1), dies läÿt sich abschwächen zu (F 0+ = F+) _(F 0+ = (F�1)+).Lemma 5.8 zeigt F+ = (im\<)+ = (<) und auch F 0+ = (im\<0)+ = (<0). Wir substi-tuieren in der letzten Formel des vorigen Absatzes und erhalten (<0 = <) _ (<0 = <�1). �Satz 5.10 Basis COI KAA IMK LOR NDI LKO OBS jOrderj = 2.Beweis Mit Axiom OBS und Lemma 5.9. �Der letzte Satz ist gerade NOR , also lassen sich alle Nebenläu�gkeitsstrukturen, die dasaktuelle Axiomensystem erfüllen, durch eine Ordnung charakterisieren, die bis auf Umkeh-rung eindeutig ist. Damit verfügen wir jetzt über alle Methoden aus der weitaus gründlicheruntersuchten Theorie der Halbordnungen.Petri hat in seinen Axiomensystemen teilweise Axiom NOR explizit vorausgesetzt. Wiewir jetzt sehen, läÿt sich Axiom NOR bereits mit Hilfe von Axiom OBS herleiten, wenn wirAxiom LKO voraussetzen. Es bleibt noch zu zeigen, ob sich der Beweis auch führen läÿt,wenn wir statt Axiom LKO nur Axiom IMK annehmen.Wir werden jetzt die Eigenschaften der entstehenden Ordnungen untersuchen.Satz 5.11 Basis COI KAA LOR NDI LKO 8(<) 2 Order : (l)+ = (<).Beweis Mit Lemma 5.8 und Satz 4.69. �Die zuletzt bewiesene Eigenschaft bedeutet, daÿ < eine kombinatorische Ordnung ist.Wir können sogar noch eine Verschärfung erreichen, die im Zusammenhang mit der weakdiscreteness aus [BF88] steht.Satz 5.12 Basis NTR COI KAA IMK LOR LFO KDI NDI LKO LUE8(<) 2 Order : 8L 2 Lines : 9� = (: : : ; a�1; a0; a1; : : :) 2 Ketten(l) : Set(�) = L.Beweis Wir betrachten eine beliebige Linie L 2 Lines, dann gilt :Fin(L) wegen AxiomLUE. Sei � = (: : : ; a�1; a0; a1; : : :) eine im-Kette nach Korollar 4.76, es gilt also Set(�) =L ^ jWP(�)j = 0.Da l auf Grund von Korollar 4.71 eine konsistente Orientierung ist und a0 im a1, ista0l a1 _ a1l a0. Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit a0 l a1, ansonsten könnten wirstatt � die Kette (: : : ; a1; a0; a�1; : : :) betrachten.Da jWP(�)j = 0, muÿ 8i 2 Z : ai l ai+1 gelten. Also ist � eine l-Kette. �Die Relation < erfüllt auch die Anforderungen an eine Kausalordnung, wie sie in Ab-schnitt 5.2.6 de�niert werden wird.Satz 5.13 Basis COI NDI 8(<) 2 Order : (l) � S�T [ T�S.

5.2. ORDNUNGSBASIERTE SYSTEME 111Beweis Lemma 4.66 gibt (l) � im, also (l) � P [ P�1 � S�T [ T�S. �Bemerkung 5.14 Basis NTR COI KAA IMK LOR LFO NDI 8(<) 2 Order : 8x 2S : j�xj = 1 = jx�j.Beweis Sei < eine Halbordnung mit li = (< [ <�1), dann ist F = l eine konsistenteOrientierung wegen Satz 4.70.Sei x 2 S. Satz 2.94 ergibt jF [x]j = 1 = jF�1[x]j, daraus folgt der Satz durch Übergang vonF zu l. �Bemerkung 5.15 Basis NTR COI KAA IMK LCT LOR LFO KDI NDI8(<) 2 Order : 8x 2 T : j�xj > 1 < jx�j.Beweis Sei < eine Halbordnung mit li = (< [ <�1), dann ist F = l eine konsistenteOrientierung wegen Satz 4.70.Sei x 2 T . Lemma 4.26 ergibt jF [x]j > 1 < jF�1[x]j, daraus folgt der Satz durch Übergangvon F zu l. �Wir haben in diesem Unterabschnitt ein System kennengelernt, daÿ eine groÿe Mengevon Modellen besitzt. Es ist ein natürliches Axiomensystem, da alle Axiome für azyklischeModelle plausibel sind. Wir können jedoch � dies geschieht im nächsten Unterabschnitt �die Klasse der Modelle noch weiter einschränken, ohne daÿ die Anforderungen künstlich oderzu streng wirken.5.2.4 Zeitkegel schneiden sichDie folgende Bedingung wurde von Petri in [Pet87] als Axiom gefordert. Die Bedingung wirdals Cone Intersection Property eingeführt, was wörtlich �Kegelschnitteigenschaft� bedeutet.Wir wählen aber eine etwas andere Bezeichnung.Axiom ZSS [Zeitkegel schneiden sich]8(<) 2 Order : 8x; y 2 X : x co y ) 9u; v 2 X : u < x < v ^ u < y < v. �Anschaulich bedeutet dies Axiom, daÿ zwei Elemente x und y in der Vergangenheit ihrenUrsprung in einem gemeinsamen Ereignis u haben und daÿ sie in der Zukunft wieder vereintauf ein Ereignis v wirken werden. Das nun vorzustellende System entspricht dem des vorigenAbschnitts, jedoch nehmen wir Axiom ZSS einschränkend hinzu.ZSSKAA LOR LFO LKO OBSNTR VST DIS SYM IRR KOH KDIAus dem vorigen Axiomensystem können wir unmittelbar IMK , NDI , KOR , LCT , EKO ,LUE und NOR übernehmen.Da neu hinzugekommene Axiom ZSS hat zur Folge, daÿ alle Modelle dieses Axiomensy-stems episodenendlich sind. Dies wird jetzt bewiesen, wobei intensiv auf die Halbordnungenzurückgegri�en wird.Lemma 5.16 Basis NTR COI KAA IMK LOR LFO KDI NDI LKO LUE8(<) 2 Order : 8L 2 Lines : 8y 2 L : 8x 2 X : (x co y ^ :Fin(L \ co[x]))) (8u 2 L : u �y ) u co x _ 8v 2 L : y � v ) v co x).Beweis Sei (<) 2 Order, also li = (< [<�1). Seien L, x und y mit x co y und :Fin(L \co[x]) gegeben.

112 KAPITEL 5. AXIOMENSYSTEMEAngenommen, es gibt u; v 2 L, so daÿ u � y � v und u li x li v. Aus u � y und x co yfolgt u 6= x. Aus y � v und y co x folgt v 6= x. Zusammen u li x li v. x < u und u < ywiderspricht x co y, also u < x, analog dazu x < v.Wegen Satz 5.12 gibt es eine l-Kette � = (: : : ; a�1; a0; a1; : : :) mit Set(�) = L. Es giltu; v 2 L, daher gibt es i; j 2 Z, so daÿ ai = u und aj = v. 8k 2 Z : k � i ) ak < xund 8k 2 Z : j � k ) x < ak wegen der Transitivität der Ordnung. Daraus ergibt sich8k 2 Z : ak co x) i < k < j und somit jL\co[x]j < j�i im Widerspruch zu :Fin(L\co[x]).Also :9u; v 2 L : u � y � v ^ u li x li v.Wir formen um zu 8u; v 2 L : :(u � y ^ y � v ^ u li x ^ x li v) beziehungsweise8u; v 2 L : (:u � y) _ (:y � v) _ u co x _ x co v. Wir trennen nach den Variablenund erhalten (8u 2 L : (:u � y) _ u co x) _ (8v 2 L : (:y � v) _ x co v). Die Aussage desLemmas folgt unmittelbar. �Satz 5.17 Basis NTR COI KAA IMK LOR LFO KDI NDI LKO LUE OBS ZSS8L 2 Lines : 8x 2 X : Fin(L \ co[x]).Beweis Sei gemäÿ Axiom OBS (<) 2 Order eine Halbordnung mit li = (< [<�1).Sei für einen Widerspruchsbeweis L 2 Lines, x 2 X und :Fin(L \ co[x]). O�ensichtlichx =2 L, also :Fin(L \ co[x]). Wir wählen ein y 2 L \ co[x]. Wegen Lemma 5.16 gilt(8a 2 L : a � y ) a co x)_ (8a 2 L : y � a) a co x).Das heiÿt, mindestens eine Seite der Linie steht mit x in co. Wir nehmen ohne Beschränkungder Allgemeinheit an, daÿ 8a 2 L : y � a ) a co x, andernfalls könnten wir zu <�1 über-gehen. Wir werden jetzt eine Induktion durchführen, in der wir einen Schnitt konstruieren,der L nicht schneidet.Anfang: i = 1. Wir setzen x1 = x und y1 = y, dann gilt81 � k � 1 : xk co x1;:9a 2 L : xi < a;y1 2 L;8a 2 L : y1 � a) a co x1;81 � k < 1 : yk < y1:Hypothese: Für alle 1 � j � i gilt81 � k � j : xk co xj ; (5.1):9a 2 L : xj < a; (5.2)yj 2 L; (5.3)8a 2 L : yj � a) a co xj ; (5.4)81 � k < j : yk < yj : (5.5)Von i nach i+ 1: yi 2 L wegen Formel 5.3, also folgt yi co xi aus Formel 5.4. WegenAxiom ZSS gibt es ein zi+1, so daÿ xi < zi+1 ^ yi < zi+1. Sei Li+1 eine Linie mitfyi; zi+1g � Li+1.Wegen Satz 5.12 gibt es eine l-Kette � = (: : : ; b�1; b0; b1; : : :) mit Set(�) = Li+1. Dayi 2 Li+1, gibt es ein m 2 Z, so daÿ bm = yi. Wir wissen 8n 2 Z : n < m) bn < bmund daher 8n 2 Z : n < m ) 9a 2 L : bn < a, weil bm 2 L. Umformung ergibt8n 2 Z : (:9a 2 L : bn < a)) n � m.Wenn es ein a 2 L gäbe mit zi+1 < a, dann auch yi < a. Aber Formel 5.4 impliziertnun a co xi im Widerspruch zu xi < a. Also :9a 2 L : zi+1 < a. Weil zi+1 2 Li+1,folgt daraus 9n 2 Z : :9a 2 L : bn < a.

5.2. ORDNUNGSBASIERTE SYSTEME 113Sei p = minfn 2 Z j :9a 2 L : bn < ag, dann gilt m < p. Sei xi+1 = bp undwi+1 = bp�1. bm < bp, also yi < xi+1. bm � bp�1, also yi � wi+1. Per Konstruktionvon p gilt :9a 2 L : xi+1 < a und 9a 2 L : wi+1 < a.:9a 2 L : xi+1 < a und Satz 5.12 implizieren sofort xi+1 =2 L.Mit 9a 2 L : wi+1 < a wählen wir ui+1 2 L, so daÿ wi+1 < ui+1. Aus :9a 2 L :xi+1 < a folgt :xi+1 < ui+1. Aus ui+1 2 L und xi+1 =2 L folgt xi+1 6= ui+1. Wäreui+1 < xi+1, dann wi+1 < ui+1 < xi+1 im Widerspruch zu wi+1 = bp�1 l bp = xi+1.Insgesamt :xi+1 li ui+1.Aber wi+1 < ui+1 und daher wi+1 li ui+1, also :li[wi+1] � li[xi+1]. Es folgt :wi+1 Pxi+1. Lemma 4.66 führt mit wi+1 l xi+1 zu wi+1 im xi+1. Es bleibt nur xi+1 P wi+1als Möglichkeit, also li[xi+1] li[wi+1].Angenommen xk < wi+1 für k � i, dann steht xk < wi+1 < ui+1 2 L im Widerspruchzu Formel 5.2.Angenommen wi+1 � xk für k � i. Formel 5.3 ergibt yk 2 L. Formel 5.4 führt zuyk co xk. Und Formel 5.5 besagt schlieÿlich yk � yi. yi � wi+1 wurde oben gezeigt.Insgesamt steht yk � yi � wi+1 � xk im Widerspruch zu yk co xk .Also ist 81 � k � i : xk co wi+1. Mit xi+1 P wi+1 folgt 81 � k � i : xk co xi+1. AlsInduktionsschritt für Formel 5.1 ergibt sich81 � k � i+ 1 : xk co xi+1:Formel 5.2 erhalten wir für j = i+ 1 aus der Konstruktion von xi+1::9a 2 L : xi+1 < a:L \ co[xi+1] 6= ? wegen Satz 2.110. Wir wählen yi+1 2 L \ co[xi+1]. Mit Sicherheitkönnen wir also wie in Formel 5.3 garantieren, daÿyi+1 2 L:Wir wissen :9a 2 L : xi+1 < a. Mit xi+1 =2 L ergibt sich sogar 8a 2 L : :xi+1 � a.Angenommen es gibt ein a 2 L mit yi+1 � a und a < xi+1. Dann yi+1 < xi+1 imWiderspruch zu yi+1 co xi+1. Also 8a 2 L : yi+1 � a ) (:a < xi+1). Kombiniertergibt sich die zu Formel 5.4 analoge Aussage8a 2 L : yi+1 � a) a co xi+1:81 � k < i+1 : yk li yi+1, weil 81 � k < i+1 : fyk; yi+1g � L. Angenommen yi+1 � ykfür ein k < i + 1, dann yi+1 � yk � yi < xi+1 im Widerspruch zu yi+1 co xi+1. Alsletzter Teil des Induktionsschlusses haben wir damit auch81 � k < i+ 1 : yk < yi+1:Dies beendet den Induktionsbeweis, die Konstruktion kann in Abbildung 5.1 noch einmalnachvollzogen werden. Wir setzen jetztC0 = [1�ifxig:Weil 8j � 1 : 81 � k � j : xk co xj gemäÿ Formel 5.1, ist C 0 eine co-Klique und kann zueinem Schnitt C � C 0 erweitert werden. Sei v 2 L \ C, was auf Grund von Axiom KDIde�niert ist.Wegen Satz 5.12 gibt es eine l-Kette � = (: : : ; a�1; a0; a1; : : :) mit Set(�) = L. Es istv; y 2 L, also gibt es q; r 2 Z, so daÿ y1 = aq und v = ar.Die Menge faq; aq+1; : : : ; arg endlich, aber die Menge fy1; y2; : : :g ist unendlich, weil nachFormel 5.5 keine zwei yj identisch sind. Es gibt also ein s � 1, so daÿ ys =2 faq; aq+1; : : : ; arg.

114 KAPITEL 5. AXIOMENSYSTEMEz2x2

Lx3x4 z3y3y2y1 w2w3x1Abbildung 5.1: Konstruktion von xi und yi aus Satz 5.17Aber somit gibt es auch ein t 2 Z, so daÿ at = ys. Zwangsläu�g t < q _ t > r. Wäre t < q,dann ist ys = at < aq = y1 im Widerspruch zu Formel 5.5. Also t > r. Per Konstruktionist ys < xs+1, folglich v = ar < at = ys < xs+1 oder v li xs+1. Dies steht im Widerspruchzu fv; xs+1g � C, also Fin(L \ co[x]). �Der letzte Satz entspricht EEN . Besonders interessant bei diesem Beweis ist das Zusam-menspiel der Axiome KDI und ZSS, die jedes für sich keine Endlichkeitsbedingung erzwingen.5.2.5 Induzierte DichteGeht es auch ohne K-Dichte? Wir betrachten dazu nur azyklische Strukturen, die episo-denendlich sind, da die dazu passenden Halbordnungen recht leicht K-dicht werden. Wirnehmen an: LUE EENKAA LOR LCT LFO LKO EKONTR VST DIS SYM IRR

5.2. ORDNUNGSBASIERTE SYSTEME 115Alle diese Axiome waren im vorhergegangenen System gültig, also ist dies System höchstensso stark wie jenes. Wir werden sogar sehen, daÿ beide Systeme gleichmächtig sind, undbeweisen dazu zunächst, daÿ sich IMK aus den Axiomen ergibt.Satz 5.18 Basis LKO EEN LUE im�X = X�X .Beweis Sei a; b 2 X beliebig gewählt. Es gibt eine Linie La mit a 2 La, diese Linie istunendlich gemäÿ Axiom LUE. Da La\co[b] wegen Axiom EEN endlich ist, ist La�co[b] 6= ?.Sei nun c 2 La � co[b], dann ist c li b, und es gibt eine Linie Lb mit b; c 2 Lb. Mit AxiomLKO erhalten wir a im�X c und b im�X c. Damit ist a im�X b, wie im Satz behauptet. �So ausgestattet erhalten wir KOH mit Satz 4.17. Wir werden jetzt zunächst zeigen, daÿjede Linie höchstens einen Endpunkt hat. Dies ist als Zwischenergebnis leider notwendig,bevor wir später die K-Dichte zeigen können, aus der ja folgt, daÿ es überhaupt keineEndpunkte gibt.Lemma 5.19 Basis LOR LKO LUE 8L 2 Lines : 8x; y 2 L : (jim[x]\Lj = jim[y]\Lj =1)) (x = y).Beweis Sei L 2 Lines und x; y 2 L, wobei jim[x] \ Lj = 1 und jim[y] \ Lj = 1. Nehmenwir für einen Widerspruchsbeweis an, daÿ x 6= y.Wegen Axiom LKO gibt es eine imjL-Kette � = (x = a0; a1; : : : ; an = y) ohne Wiederho-lungen, die x und y verbindet und für die Set(�) � L gilt. Wegen x 6= y ist n � 1. DaFin(Set(�)), aber :Fin(L) wegen Axiom LUE, gibt es ein z 2 L mit z =2 Set(�). WegenAxiom LKO gibt es nun eine imjL-Kette � = (x = b0; b1; : : : ; bm = z) und auÿerdem ein i,so daÿ bi 2 Set(�) und bi+1 =2 Set(�).Da bi 2 Set(�) ist bi = aj für ein j. Es gilt aj im bi+1 und bi+1 2 L.Fall 1: j = 0. Da a1; bi+1 2 im[a0]\L und a1 6= bi+1 wegen bi+1 =2 Set(�) ist jim[x]\Lj =jim[a0] \ Lj 6= 1.Fall 2: 0 < j < n. Es ist aj�1; aj+1; bi+1 2 im[aj ] \ L und aj�1 6= aj+1 6= bi+1 6= aj�1, weilbi+1 =2 Set(�) und weil � keine Wiederholungen enthält. Also aj�1 li aj+1 li bi+1 liaj�1 im Widerspruch zu Axiom LOR.Fall 3: j = n. Da an�1; bi+1 2 im[an] \ L und an�1 6= bi+1 wegen bi+1 =2 Set(�) istjim[y]\ Lj = jim[an] \ Lj 6= 1.Es ergibt sich stets ein Widerspruch, also x = y. �Der folgende Satz ist eine Art starker N-Dichte.Lemma 5.20 Basis KAA LOR LKO EKO LUE 8L 2 Lines : 8x; y 2 X : x co y )L \ co[x]\ co[y] 6= ?.Beweis Wir nehmen nun für einen Beweis durch Widerspruch an, daÿ L\co[x]\co[y] = ?und x co y für passende x; y 2 X und L 2 Lines.O�ensichtlich ist L \ co[x] 6= ?, weil sonst x der Linie hinzugefügt werden könnte, und Lkeine maximale li-Klique wäre. Aus demselben Grund ist L \ co[y] 6= ?.Für x = y folgt der Satz trivial, weil sich dann L\co[x]\co[y] = L\co[x] 6= ? ergibt. Daherkönnen wir annehmen, daÿ x co y. Falls x 2 L, gilt x 2 L \ co[x] \ co[y], und wieder folgtder Satz trivial. Also betrachten wir im folgenden x; y =2 L, weswegen L \ co[x] = L \ co[x]und L \ co[y] = L \ co[y].Auf Grund von Lemma 5.19 gibt es höchstens einen Endpunkt und somit ist entwederL \ co[x] oder L \ co[y] frei von Endpunkten. Sei ohne Beschränkung der AllgemeinheitL \ co[x] frei von Endpunkten.(L�co[y])[fyg ist eine li-Klique und kann zu einer Linie L0 2 Lines erweitert werden. WeilL \ co[x]\ co[y] = ?, gilt L \ co[x] � L� co[y] � L0. Sei z 2 L \ co[x], dann ist z 2 L0.

116 KAPITEL 5. AXIOMENSYSTEMESei E = L0 \ co[x] eine Episode. Wegen x co z gilt x =2 L0, also E = L0 \ co[x]. Sicherz 2 E. y 2 E gemäÿ y 2 L0 und y co x. Nach Axiom EKO ist (imjE)�E = E�E, also gibtes � = (z = a0; : : : ; an = y) 2 Ketten(imjE). Es gilt Set(�) � E � L0 \ co[x].Es ist a0 = z 2 L und an = y =2 L, also gibt es ein i 2 f0; : : : ; n � 1g, so daÿ ai 2 L undai+1 =2 L. Wäre ai P ai+1, dann L � li[ai] � li[ai+1]. ai+1 =2 L erlaubt ein Verschärfung zuL � li[ai+1] im Widerspruch mit Satz 2.110. Also ai+1 P ai.Wegen Axiom LKO gibt es ein u 2 L\ im[ai]. Aber ai 2 L\co[x], also ist ai kein Endpunktund es gibt auch v 2 L \ im[ai] mit u 6= v. Mit u; v 2 L ergibt sich u li v. Axiom KAAergibt u P ai und v P ai. Nun führt x co ai zu x co u. u 2 L\co[x] � L0 und ai+1 2 E � L0,also u li ai+1. u 2 L und ai+1 =2 L ergibt u 6= ai+1. Es bleibt u li ai+1 und analog dazuv li ai+1. Dies gibt einen Widerspruch mit Axiom LOR für ai+1 li u li v li ai+1 undfu; v; ai+1g � im[ai]. �Lemma 5.21 Basis LOR 8L 2 Lines : 8a; b; c 2 L : 8� = (a = d0; : : : ; dm = b) 2Ketten(imjL) : 8� = (a = e0; : : : ; an = c) 2 Ketten(imjL) : (c =2 Set(�) ^ b =2 Set(") ^Einf (�) ^ Einf (") ^m � 1 ^ n � 1)) d1 6= e1.Beweis Seien L; a; b; c; �; " nach den Voraussetzungen des Lemmas gegeben. Sei ohneBeschränkung der Allgemeinheit m � n, ansonsten könnten wir � und " vertauschen.Angenommen d1 = e1. Wegen b =2 Set(") gilt dm = b 6= em, also m 6= 1, und mit m � 1haben wir m > 1 und n > 1.Sei i = minfj 2 f1; : : : ; m � 1g j dj = ej ^ dj+1 6= ej+1g, dann di = ei und di+1 6= ei+1.Wegen Einf (�) ist di�1 6= di+1. Analog dazu ei�1 6= ei+1.Mit fdi�1; di+1; ei+1g � L ergibt sich jetzt di�1 li di+1 li ei+1 li ei�1 = di�1. Aber diessteht im Widerspruch zu Axiom LOR, da fdi�1; di+1; ei+1g � im[di] = im[ei]. �Lemma 5.22 Basis LOR LKO EKO LUE :9a; b; c; x; y; z 2 X : a li b li c li a ^ a lix ^ b li y ^ c li z ^ x co y co z co x ^ b co x co c ^ a co y co c ^ a co z co b.Beweis Für einen Widerspruchsbeweis nehmen wir an, daÿ a; b; c; x; y; z 2 X mit denangegebenen Eigenschaften existieren. Man beachte, daÿ die Voraussetzungen bezüglich derPaare (a; x), (b; y) und (c; z) vollkommen symmetrisch sind.a co y und b li y ergibt a 6= b. Analog dazu b 6= c und c 6= a. Also a li b li c li a. a li x unda co y ergibt x 6= y. Analog dazu y 6= z und z 6= x. Also x co y co z co x.fa; b; cg 2 Kliquen(li), also gibt es L 2 Lines mit fa; b; cg � L. Wegen x co b gilt x =2 L,analog dazu y =2 L und z =2 L. Sei E = L \ co[y], dann auch E = L \ co[y]. Analog dazuD = L\ co[z] = L \ co[z] und F = L \ co[x] = L\ co[x], dann sind D, E und F Episoden.Es gilt fa; bg � D, fa; cg � E und fb; cg � F .Unter Verwendung von Axiom EKO suchen wir uns drei Ketten � = (a = d0; : : : ; dm = b) 2Ketten(imjD), " = (a = e0; : : : ; en = c) 2 Ketten(imjE) und � = (b = f0; : : : ; fq = c) 2Ketten(imjF ), so daÿ Einf (�), Einf (") und Einf (�). Da Set(�) � D � co[z] und z li c, giltc =2 Set(�). Ähnlich ergibt sich b =2 Set(") und a =2 Set(�). Wegen a 6= b ist m � 1, wegena 6= c ist n � 1, und wegen b 6= c ist q � 1.Nach Lemma 5.21 ergibt sich nun d1 6= e1. Wir wenden Lemma 5.21 für die umgekehrtenKetten " und � erneut an und erhalten en�1 6= fq�1. Für die Kette � und die umgekehrteKette � ergibt sich dm�1 6= f1. Sei� = (d0; d1; : : : ; dm�1; dm = f0; f1; : : : ; fq�1; fq = en; en�1; : : : ; e1; e0 = d0)und A = Set(�), dann A � L. Set(�) � L und Einf (�) ergibt WP(�) = ?. Analog dazuWP(") = ? und WP(�) = ?. Aus d1 6= e1 ergibt sich d1 li e1. Es gilt auch en�1 li fq�1und dm�1 li f1, also insgesamt AWP(�) = ?.

5.2. ORDNUNGSBASIERTE SYSTEME 117Dies läÿt sich umformen zu 8u 2 A : jim[u] \ Aj � 2. Jetzt sind die Voraussetzungen fürLemma 4.32 erfüllt, also gilt A = L. Aber Fin(L) steht im Widerspruch zu Axiom LUE. �Jetzt können wir die K-Dichte herleiten.Satz 5.23 Basis NTR KAA LOR LKO EKO EEN LUE 8C 2 Cuts : 8L 2 Lines :C \ L 6= ?.Beweis Seien C und L für einen Widerspruchsbeweis so gewählt, daÿ C \ L = ?. WegenAxiom EEN ist 8x 2 X : Fin(L\ co[x]), also auch 8x; y 2 C : Fin(L\ co[x]\ co[y]). WegenAxiom NTR ist C 6= ?. Wir wählen nun x; y 2 C so, daÿ jL \ co[x] \ co[y]j minimal wird.Nach Lemma 5.20 ist L\ co[x]\ co[y] 6= ?. Wir wählen c 2 L \ co[x]\ co[y]. Wegen c =2 Cgibt es z 2 C mit c li z.Wäre L\ co[z]\ co[y] � co[x], dann L\ co[z]\ co[y] � L\ co[x]\ co[y]. c 2 L\ co[x]\ co[y]und c =2 L \ co[z]\ co[y] ergibt dann jL\ co[z]\ co[y]j < jL\ co[x]\ co[y]j im Widerspruchzur Minimalitätsbedingung für x und y. Also :L\ co[z]\ co[y] � co[x]. Analog dazu ergibtsich :L \ co[z]\ co[x] � co[y].Es gibt also a 2 L \ co[z] \ co[y] mit a =2 co[x] und b 2 L \ co[z] \ co[x] mit b =2 co[y]. Esmuÿ gelten a li x und b li y. c li z wurde schon früher gezeigt. Wegen x; y; z =2 L gilt a 6= z,b 6= z, a 6= y, c 6= y, b 6= x und c 6= x. Insgesamt bleibt nur a co z, b co z, a co y, c co y,b co x und c co x. fx; y; zg � C ergibt x co y co z co x. fa; b; cg � L ergibt a li b li c li a.Das heiÿt, die Elemente a; b; c; x; y; z 2 X erfüllen genau die Bedingung, die in Lemma 5.22ausgeschlossen wird. Widerspruch. �Also gilt KDI und somit auch NDI . Damit können wir Korollar 4.87 anwenden undgelangen zu KOR und können uns in unseren Betrachtungen auf orientierbare Strukturenbeschränken.Lemma 5.24 Basis NTR IMK LOR LFO KDI LKO EKO LUE8F 2 Orient : F+ � li.Beweis Sei x F+ y, dann gibt es eine F -Kette � = (x = a0; a1; : : : ; an = y) mit n � 1.Wegen F � im ist � ein im-Kette. Wegen F � F � li gilt jWP(�)j = 0, und mit Lemma4.84 folgt x = a0 li an = y. �Satz 5.25 Basis NTR IMK LOR LFO KDI LKO EKO LUE 8F 2 Orient : li =F+ [ (F�1)+.Beweis Mit Lemma 5.24 und Lemma 5.7. �Korollar 5.26 Basis NTR IMK LOR LFO KDI LKO EKO LUE KOR Order 6= ?.Beweis Mit Axiom KOR wählen wir eine konsistente Orientierung F und setzen < = F+.Per Konstruktion ist < transitiv.Wegen Satz 5.25 gilt li = F+ [ (F�1)+ = (< [ >). Wegen Axiom DIS ist < irre�exiv unddamit auch antisymmetrisch. Also (<) 2 Order. �Der letzte Satz entspricht OBS . Damit haben wir alle Axiome aus dem �Ordnungsba-sierten System� hergeleitet.Satz 5.27 Basis NTR COI KAA IMK LOR LFO KDI NDI LKO EEN LUE8(<) 2 Order : 8x; y 2 X : x co y ) 9u; v 2 X : u < x < v ^ u < y < v.Beweis Sei (<) 2 Order. Seien x; y 2 X beliebig gewählt, jedoch x co y.Wir wählen eine Linie L 2 Lines mit x 2 L. Wegen Satz 5.12 gibt es eine l-Kette � =(: : : ; a�1; a0; a1; : : :) mit Set(�) = L. Es gibt ein i 2 Z, das x = ai erfüllt.Wegen Axiom EEN gibt es ein j 2 Z mit j > i, so daÿ y li aj , weil sonst fai; ai+1; : : :g �L\ co[y] im Widerspruch zu Fin(L\ co[y]). Es ergibt sich x < aj und folglich auch y < aj .

118 KAPITEL 5. AXIOMENSYSTEMEb)...

...c) L x...a)

Abbildung 5.2: KammeinbettungAnalog �nden wir auch ein k 2 Z mit ak < x und ak < y. Der Satz ergibt sich für u = akund v = aj . �Also gilt ZSS , das heiÿt, daÿ alle Axiome des ZSS-Systems erfüllt sind. Die beidenSysteme sind also äquivalent.5.2.6 KausalordnungenDie Axiomensysteme aus den letzten beiden Abschnitten liefern dieselbe Theorie, die Klasseihrer Modelle scheint also in gewisser Weise natürlich zu sein. Diese Klasse wird jetztmit Hilfe von Halbordnungen charakterisiert, genauer gesagt mit einer speziellen Klassevon Halbordnungen, die in [BF88] als occurrence posets bezeichnet werden, was hier mitKausalordnungen übersetzt werden soll.De�nition 5.28 [Kausalordnung]Eine Halbordnung (X;<) heiÿt Kausalordnung genau dann, wenn es Mengen B � X undE � X gibt, so daÿX 6= ? (Nichttrivialität, 5.6)B \ E = ?; (Disjunktheit, 5.7)B [ E = X; (Vollständigkeit, 5.8)8b 2 B : j�bj � 1 � jb�j; (Unverzweigtheit, 5.9)l � (B�E)[ (E�B); (Alternation, 5.10)< = l+ (Kombinatorische Ordnung, 5.11)gilt. co, li und die anderen Objekte der Theorie der Nebenläu�gkeit seien wie gewohnt von(X;<) abgeleitet. �Es wird hier die Konvention übernommen, die beiden Menge, in die X zerfällt, mit Bund E zu bezeichnen. E wird daher ab jetzt nicht mehr für die Bezeichnung von Episodenreserviert. Es wird dadurch jedoch nicht zu Unklarheiten kommen, gegebenenfalls wird derBuchstabe M für die Menge L \ co[x] verwendet.In den vorigen Abschnitten �el auf, welche entscheidende Rolle die K-Dichte beim Beweisder Episodenendlichkeit spielte und wie wichtig andererseits die Episodenendlichkeit für dieGültigkeit der K-Dichte ist. Dieser Zusammenhang ist besser zu verstehen, wenn man dasfolgende Resultat aus [BF88] kennt.

5.2. ORDNUNGSBASIERTE SYSTEME 119Theorem 5.29 (Best/Fernández) Sei (X;<) eine Kausalordnung. (X;<) ist K-dichtgenau dann, wenn keine der Ordnungsstrukturen aus den Abbildungen 5.2a oder 5.2b in(X;<) einbettbar ist. �Damit ist klar, daÿ eine Verletzung der K-Dichte auch automatisch eine unendlicheEpisode impliziert.Satz 5.30 8L 2 Lines : 8x 2 X : Fin(L \ co[x])) (X;<) ist K-dicht.Beweis Angenommen, (X;<) ist nicht K-dicht, dann ist nach Theorem 5.29 ein Kamm in(X;<) einbettbar. Nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, die Struktur ausAbbildung 5.2a sei in (X;<) einbettbar, dann ist insbesondere auch die Unterstruktur ausAbbildung 5.2c in (X;<) einbettbar. Wir erkennen dort eine Kette, die sich zu einer LinieL 2 Lines erweitern läÿt, und ein Element x. Man sieht sofort :Fin(L \ co[x]). �Das Konzept einer Kammeinbettung ist aufwendig zu formalisieren. Da wir hier nur dasErgebnis aus Satz 5.30 benötigen, wollen wir uns dieser Mühe nicht unterziehen.Diesen Satz können wir jetzt bei der Gestaltung unserer Charakterisierung ausnutzen,bei der wir uns auf das absolut notwendige Minimum an Voraussetzungen beschränkenwollen. Sei für den Rest dieses Unterabschnitts (X;<) eine Kausalordnung mit der PartitionX = B [E, für die wir auÿerdem die folgenden Bedingungen fordern:8x; y 2 X : x 6= y ) (�x 6= �y _ x� 6= y�); (Irreduzibilität, 5.12)8x 2 X : 9y; z 2 X : y < x < z; (Fortsetzbarkeit, 5.13)8L 2 Lines : 8x 2 X : Fin(L\ co[x]); (Episodenendlichkeit, 5.14)8e 2 E : j�ej 6= 1 6= je�j: (Transitionsverzweigtheit, 5.15)Da li und co von < abgeleitet sind, erfüllt die zugehörige Nebenläu�gkeitsstruktur automa-tisch die Axiome DIS , SYM , VST und OBS . Aus Formel 5.14 entnimmt man unmittelbardie Gültigkeit von EEN . Wie wir zu Beginn des Kapitels in Satz 5.30 gesehen haben, giltKDI wegen Axiom EEN.Lemma 5.31 8x 2 X : �x 6= ? 6= x�. �Lemma 5.32 8e 2 E : j�ej � 2 � je�j. �Lemma 5.33 8L 2 Lines : :Fin(L).Beweis Sei L 2 Lines. Mit Formel 5.6 ergibt sich L 6= ?. L ist durch < total geordnet.Angenommen Fin(L), dann existiert x = min< L. Nach 5.13 gibt es ein y 2 X mit y < x.Aber damit 8z 2 L : y < x, also ist L keine maximale li-Klique. Widerspruch. �Die letzte Aussage ist gerade LUE und impliziert daher NTR .Wir beobachten, daÿ die hier angenommene De�nition von Irreduzibilität anders ist, alswir es von den Nebenläu�gkeitsstrukturen gewohnt sind. Die unmittelbare Nachbarschaftsoll sich unterscheiden, jedoch kann daraus nicht unmittelbar gefolgert werden, daÿ AxiomLII oder Axiom COI gelten muÿ.Satz 5.34 8x 2 X : 8y 2 X : x 6= y ) li[x] 6= li[y].Beweis Seien x; y 2 X gegeben, wobei x 6= y. Wenn x li y, dann ist wegen :y li yautomatisch li[x] 6= li[y].Betrachten wir daher nun den Fall x co y. Nach der Voraussetzung der Irreduzibilität ist�x 6= �y _ x� 6= y�.Fall 1: 9z 2 X : z l x^ :z l y. Es ist z li x. Wenn :z li y, dann gilt der Satz sicher. Wirbetrachten also nur z li y. Mit z < x und x co y gelangen wir zu z < y.

120 KAPITEL 5. AXIOMENSYSTEMEWeil nun :z l y, gibt es ein v 2 X mit z < v < y. v < x ist unmöglich wegen z < vim Widerspruch zu zlx. x < v ist unmöglich wegen v < y und x co y. Daher :x li v,was mit v li y bedeutet, daÿ li[x] 6= li[y].Fall 2: 9z 2 X : z l y ^ :z l x. Analog zum vorigen Fall.Fall 3: 9z 2 X : z m x ^ :z m y. Analog zum vorigen Fall.Fall 4: 9z 2 X : z m y ^ :z m x. Analog zum vorigen Fall.Die drei nicht behandelten Fälle entsprechen dem ersten bis auf Symmetrie. �Damit wissen wir immerhin, daÿ LII gilt. Um auch COI zu zeigen, muÿ jedoch mehrMühe aufgewendet werden.Lemma 5.35 8b 2 B : 8e 2 E : b < e) (9y 2 X : b co y ^ y < e).Beweis Seien b 2 B und e 2 E mit b < e nach der Voraussetzung gegeben. Es gibt ein zmit b l z, wir �xieren dieses. Es gilt z 2 E und z � e. Nun gibt es y 2 B mit y 6= b undy l z, folglich b co y. Da z � e, gilt y < e. �Lemma 5.36 8x 2 E : 8e 2 E : x < e ) (9v 2 E : 9n 2 N : (xln v) ^ (v � e) ^ (8m >n : :x lm v)).Beweis Seien x 2 E und e 2 E mit x < e nach der Voraussetzung gegeben. Wir nehmenfür einen Widerspruchsbeweis an, daÿ 8v 2 E : 8n 2 N : (:x ln v) _ (:v � e) _ (9m >n : x lm v). Wir konstruieren jetzt in einer Induktion eine unendliche Menge paarweisegeordneter Elemente zwischen e und x.Anfang: i = 0, a0 = e. Es gilt a0 � e ^ a0 > x ^ a0 2 E.Hypothese: ai � e ^ ai > x ^ ai 2 E.Von i nach i+ 1: Wegen x < ai gibt es eine l-Kette � = (x = b0; b1; : : : ; bn = ai) mitn � 1. Wegen x 2 E ^ ai 2 E ist n gerade, daher n � 2. Nun können wir dieFallvoraussetzung mit v = ai anwenden, und erhalten wegen x ln ai und ai � e, daÿ9m > n : xlm ai. Sei m passend gewählt, dann gilt m > 2.Wir können daher eine l-Kette = (x = c0; c1; : : : ; cm = ai) �nden. Wegen x 2E ^ ai 2 E ist m gerade, daher m � 4. Sei ai+1 = c2, dann ai+1 = c2 < cm = ai undauch ai+1 < e. Ferner ai+1 > x und ai 2 E.Sei A = fai j i > 0g, dann :Fin(A). Es gilt 8a 2 A : x < a < e. Wir wählen einebeliebige l-Kette � = (x = d0; d1; : : : ; dl = e). Sei L 2 Lines mit A � L. Wegen derEpisodenendlichkeit ist S0<j<l L \ co[dj ] endlich, also ist auch A \S0<j<l co[dj ] endlich.Weil A aber unendlich ist, ist A � S0<j<l co[dj ] 6= ?, also gibt es ein ai 2 A, so daÿai =2 S0<j<l co[dj] 6= ?. Es gilt nun 80 < j < l : ai li dj . Mit d0 < ai < dl ergibt sichdaraus die Existenz eines j mit dj < ai und :dj+1 < ai. Aus ai li dj+1 ergibt sich damitdj < ai < dj+1 im Widerspruch zu dj l dj+1. �Lemma 5.37 8x 2 E : 8e 2 E : x < e) (9y 2 X : x co y ^ y < e).Beweis Seien x 2 E und e 2 E mit x < e nach der Voraussetzung gegeben. Aus Lemma5.36 folgt direkt 9v 2 E : 9n 2 N : (xlnv)^(v � e)^(8m > n : :xlmv). Das bedeutet, daÿes eine längste l-Kette von x zu einem Element v � e gibt. Sei � = (x = a0; a1; : : : ; an = v)eine solche Kette. Wegen x 2 E folgt a2 2 E und daher gibt es ein y l a2 mit y 6= a1.Wäre x > y, dann y < x < a2 im Widerspruch zu y l a2. Also :x > y.Wäre x < y, dann gibt es eine l-Kette � = (x = b0; b1; : : : ; bl = y) mit l � 1. Aber fürl > 1 widerspricht dies der Maximalität von �, folglich l = 1. x l a1 und x l y ergibt�a1 = fxg = �y. Gleichzeitig gilt aber auch a1� = fa2g = y� im Widerspruch zu a1 6= y undFormel 5.12. Also :x < y.

5.2. ORDNUNGSBASIERTE SYSTEME 121x = y ist unmöglich wegen x 2 E ^ y 2 B, also insgesamt x co y.Mit y l a2 � an = v � e folgt zusätzlich y < e. y erfüllt die Bedingungen, die im Lemmagefordert werden. �Lemma 5.38 8x 2 X : 8e 2 E : x < e) (9y 2 X : x co y ^ y < e).Beweis Mit Lemma 5.35 und Lemma 5.37. �Lemma 5.39 8x 2 X : 8z 2 X : (x < z ^ :x l z)) (9y 2 X : x co y ^ y < z).Beweis Sei x 2 X und z 2 X mit x < z und :x l z. Für den Fall z 2 E ergibt sich derSatz als eine Abschwächung von Lemma 5.38, wir betrachten also nur noch den Fall z 2 B.Wegen x < z gibt es eine l-Kette � = (x = a0; a1; : : : ; an = z). :x l z führt zu n � 2und somit a0 < an�1. Da an 2 B, ist an�1 2 E. Damit können wir Lemma 5.38 anwenden,wobei wir ein y 2 X mit a0 co y und y < an�1 erhalten. Dies kann umgeformt werden zux co y und y < an = z. �Die folgenden Lemmata können analog zu den eben vorgestellten bewiesen werden, eswird lediglich < mit > vertauscht.Lemma 5.40 8b 2 B : 8e 2 E : b > e) (9y 2 X : y co b^ y > e). �Lemma 5.41 8x 2 X : 8z 2 X : (x > z ^ :x m z)) (9y 2 X : x co y ^ y > z). �Wir können jetzt wieder einen Satz beweisen, der einen Zusammenhang zur Theorie derNebenläu�gkeit herstellt.Satz 5.42 8x 2 X : 8z 2 X : x 6= z ) co[x] 6= co[z].Beweis Seien x; z 2 X gegeben, wobei x 6= z.Fall 1: x co z. Da x 2 co[z] und x =2 co[x], folgt der Satz trivial.Fall 2: x < z^:xlz. Mit Lemma 5.39 erhalten wir die Existenz eines y mit x co y^y < z.Insbesondere gilt :y co z, daher y 2 co[x] und y =2 co[z].Fall 3: x > z ^ :xm z. Analog zu Fall 2 unter Verwendung von Lemma 5.41.Fall 4: x l z ^ x 2 B. Es folgt z 2 E. Mit Lemma 5.35 bei b = x und e = z erhalten wirdie Existenz eines y mit y co x ^ y < z, also :y co z.Fall 5: x l z ^ x 2 E. Es folgt z 2 B. Mit Lemma 5.40 bei b = z und e = x erhalten wirdie Existenz eines y mit y co z ^ y > x, also :y co x.Fall 6: x m z ^ x 2 B. Es folgt z 2 E. Mit Lemma 5.40 bei b = x und e = z erhalten wirdie Existenz eines y mit y co x ^ y > z, also :y co z.Fall 7: x m z ^ x 2 E. Es folgt z 2 B. Mit Lemma 5.35 bei b = z und e = x erhalten wirdie Existenz eines y mit y co z ^ y < x, also :y co x.Wegen x 6= z sind dies alle Fälle. �Dieser Satz entspricht COI , und mit LII haben wir nun auch IRR . Jetzt können wirerste Aussagen über die Objekte P und im machen, die ja wie gewöhnlich mit Hilfe von lide�niert sind.Lemma 5.43 8x 2 X : 8z 2 X : (:x l z ^ :z l x)) :x im z.Beweis Wir betrachten beliebige x; z 2 X mit :xl z und :z l x.Fall 1: x co z. Per De�nition von im gilt :x im z.Fall 2: x < z. Lemma 5.39 beweist die Existenz eines y1 mit x co y1 und y1 < z. z li y1und daher :z P x.

122 KAPITEL 5. AXIOMENSYSTEMENatürlich ist z > x, also können wir � unter Vertauschung der Variablen x und z �Lemma 5.41 anwenden und erhalten ein y2 mit z co y2 und x < y2. x li y2 und daher:x P z. Also :x im z.Fall 3: z < x. Analog zum vorigen Fall.Damit gilt das Lemma in allen Fällen. �Lemma 5.44 8x 2 B : 8z 2 X : xl z ) x P z.Beweis Sei x 2 B und z 2 X , wobei xlz. Es folgt z 2 E. Wegen Satz 5.42 ist li[x] 6= li[z].Es bleibt zu zeigen li[x] � li[z]. Sei dazu y li x.Fall 1: y � x. Per Transitivität y < z, also y li z.Fall 2: x < y. Es gibt eine l-Kette � = (x = a0; a1; : : : ; an = y). Es ist x = a0 l a1 unda1 � an = y. Wegen jx�j = 1 und fa1; zg � x� gilt a1 = z. Folglich z � y und auchz li y.Also 8y 2 li[x] : y 2 li[z]. �Lemma 5.45 8x 2 B : 8z 2 X : xm z ) x P z.Beweis Analog zum vorigen Lemma. �Lemma 5.46 8x 2 X : 8z 2 X : (xl z _ z l x)) x im z.Beweis Wir betrachten beliebige x; z 2 X , wobei xl z _ z l xFall 1: x 2 B ^ xl z. Lemma 5.44 beweist x P z.Fall 2: x 2 B ^ xm z. Lemma 5.45 beweist x P z.Fall 3: x 2 E ^ x l z. Es ergibt sich z 2 B und mit Hilfe von Lemma 5.45 erhalten wirz P x.Fall 4: x 2 E ^ x m z. Es ergibt sich z 2 B und mit Hilfe von Lemma 5.44 erhalten wirz P x.Also x im z. �Satz 5.47 8x 2 X : 8z 2 X : (xl z _ xm z), x im z.Beweis Mit Lemma 5.43 und Lemma 5.46. �Damit haben wir gezeigt, daÿ im als Relation der unmittelbaren Nachbarschaft wirklichmit der symmetrischen Ergänzung der unmittelbaren Nachfolgerrelation übereinstimmt.Satz 5.48 P 2 = ?.Beweis Angenommen, es gibt x; y; z 2 X mit x P y und y P z, dann gilt per De�nitionvon P auch x P z. Es gilt also x im y im z im x.Da l � B�E [ E�B, gilt nach Satz 5.47, daÿ im � B�E [ E�B. Damit führt aberx 2 B zu y 2 E, z 2 B und x 2 E, Widerspruch. Ähnlich führt x 2 E zu y 2 B, z 2 E undx 2 B, auch hier entsteht ein Widerspruch mit B \E = ?. �Die betrachtete Klasse von Halbordnungen erzeugt also Nebenläu�gkeitsstrukturen, dieKAA erfüllen.Wir wollen nun die Axiome zur lokalen Orientierbarkeit herleiten, dies ist jedoch nichtmehr schwer, nachdem die Konsistenz von im mit l und m bewiesen wurde.Lemma 5.49 8x 2 X : 8a; b 2 im[x] : (al x, bl x), (a co b).Beweis Sei x 2 X beliebig und a; b 2 im[x].Fall 1: a l x ^ b l x. a < b widerspricht b < x und a l x, b < a widerspricht a < x undbl x, also a co b.

5.2. ORDNUNGSBASIERTE SYSTEME 123Fall 2: al x ^ :bl x. Es folgt bm x, also a < x < b und :a co b.Fall 3: :al x ^ bl x. Es folgt am x, also b < x < a und :a co b.Fall 4: :al x ^ :bl x. Es folgt a m x ^ bm x. a > b widerspricht b > x und am x, b > awiderspricht a > x und bm x, also a co b.Die Fälle decken alle Möglichkeiten ab. �Satz 5.50 8x 2 X : (cojim[x])2 � cojim[x].Beweis Sei x 2 X beliebig und a; b; c 2 im[x] mit a co b co c. Lemma 5.49 führt zua l x , b l x, b l x , c l x und (a l x , c l x) , (a co c). Die ersten beiden Termeergeben al x, cl x, also a co c gemäÿ dem letzten Term. �Satz 5.51 8x 2 X : (lijim[x])2 � cojim[x].Beweis Sei x 2 X beliebig und a; b; c 2 im[x] mit a li b li c. Lemma 5.49 führt zu:(a l x , b l x), :(b l x , c l x) und (a l x , c l x) , (a co c). Die ersten beidenTerme ergeben al x, cl x, also a co c gemäÿ dem letzten Term. �Satz 5.52 8x 2 X : idim[x] � (lijim[x])2.Beweis Sei x 2 X beliebig und a 2 im[x]. Es gibt b; c 2 im[x] mit bl x und c m x nichtnotwendigerweise verschieden von a. Wenn al x, dann a li c und c li a, also a (lijim[x])2 a.Wenn dagegen am x, dann a li b und b li a, und wiederum folgt a (lijim[x])2 a. �Damit erfüllen die Strukturen auch LCT , LOR und LFO .Satz 5.53 8x; y 2 X : 9a; b 2 X : a < x < b ^ a < y < b.Beweis Seien x; y 2 X gegeben. Es gilt 8z 2 X : �z 6= ? 6= z�.Fall 1: x < y. Wir wählen a 2 �x und b 2 y�.Fall 2: y < x. Wir wählen a 2 �y und b 2 x�.Fall 3: x co y. Wir können eine beidseitig unendliche l-Kette � = (: : : ; a�1; a0; a1; : : :) mita0 = x �nden.Set(�) ist eine li-Klique, also gibt es ein L 2 Lines mit Set(�) � L. Nun ist Fin(L \co[y]), also gibt es ein i 2 N mit :y co ai und ein j 2 N mit :a�j co y.Aus x = a0 < ai und x co y und y li ai ergibt sich y < ai. Aus a�j < a0 = x undx co y und a�j li y ergibt sich a�j < y. Wir setzen a = a�j und b = ai.In jedem Fall a < x < b ^ a < y < b. �Satz 5.54 im�X = X�X .Beweis Seien x; y 2 X . Wenn x < y, dann ist x l�X y, also auch x im�X y. Gleichermaÿenfolgt aus y < x, daÿ x im�X y.Wir betrachten also nur noch den Fall x co y. Gemäÿ dem vorigen Satz gibt es b 2 X mitx < b und y < b. Also x im�X b und y im�X b. Kombiniert ist x im�X y gültig. �Dies entspricht IMK . Wir können jetzt aus Satz 4.17 schlieÿen, daÿ KOH gilt.Satz 5.55 8L 2 Lines : 8x 2 X : M = L \ co[x]) (imjM)�M = M�M .Beweis Sei L 2 Lines und x 2 X beliebig. Wir setzen M = L\ co[x], dann ist M endlichwegen Formel 5.14. Da M � L, ist M durch < total geordnet und wir können eine <-Kette� = (a1; a2; : : : ; an) �nden mit Set(�) = M .Angenommen, es gibt ein i 2 N mit 1 � i < n und :ai l ai+1, dann gibt es ein b 2 X , sodaÿ ai < b < ai+1. b =2M , weil ai und ai+1 in � unmittelbar aufeinander folgen.Fall 1: b 2 L. Wegen b =2 M ergibt sich b li x. Aber es steht b < x mit ai < b imWiderspruch zu ai co x, und x < b widerspricht b < ai+1 samt ai+1 co x.

124 KAPITEL 5. AXIOMENSYSTEMEFall 2: b =2 L. Es gibt ein c 2 L mit b co c, ansonsten wäre die Linie nicht maximal. c � aiwiderspricht ai < b und c co b, ebenso entfällt ai+1 � c, also ai < c < ai+1. Nun istx < c unmöglich wegen c < ai+1 und x co ai+1, und c < x entfällt wegen ai < c undx co ai, also c co x und somit c 2 M . Dies ist aber unmöglich, weil ai und ai+1 in �unmittelbar aufeinander folgen.Also tritt in jedem Fall ein Widerspruch ein, und es ist ai l ai+1 für alle i und � ist einel-Kette. Weil aber (l) � im gemäÿ Lemma 5.46, ist � auch eine im-Kette, also istM = Set(�) im-kohärent. �Somit haben wir EKO , und Satz 4.10 führt zu LKO . Damit sind alle Axiome desSystems der induzierten Dichte erfüllt.Wir beachten insbesondere, welche wichtige Rolle die Irreduzibilität in den Beweisengespielt hat. Sie entspricht recht genau dem Prinzip der Extensionalität, das in der Men-genlehre gefordert wird: Wenn sich zwei Objekte in ihren Beziehungen zu anderen Elementengleich verhalten, dann sind sie gleich.5.2.7 D-Stetigkeit und EpisodenendlichkeitDie folgenden Beweise beschäftigen sich ausschlieÿlich mit Halbordnungen, trotzdem sind siefür die Theorie der Nebenläu�gkeit so wichtig, daÿ sie in diese Arbeit aufgenommen wurden.Zudem erlauben sie wichtige Einblicke in den neu eingeführten Begri� einer Episode.Im vorigen Abschnitt wurde eine Charakterisierung von azyklischen Nebenläu�gkeits-strukturen mit Hilfe von episodenendlichen Kausalordnungen gegeben. Es soll jetzt gezeigtwerden, daÿ diese Strukturen in Form der verallgemeinerten D-Stetigkeit noch eine gänzlichandere auszeichnende Eigenschaft besitzen,In [Pet80] de�niert Petri eine verallgemeinerte Form der Stetigkeit, die von Best undFernández in [BF88] aufgegri�en und untersucht wird. Es handelt sich hierbei formal um ei-ne Verallgemeinerung des Stetigkeitsbegri�s, wie ihn Dedekind zur Beschreibung der reellenZahlen eingeführt hat. Letztlich soll die Verallgemeinerung der D-Stetigkeit auf kombinato-rische Halbordnungen dazu dienen, auch mit diskreten Strukturen kontinuierliche Vorgängebeschreiben zu können.In [Pet82] schlägt Petri eine Brücke zwischen D-stetigen Ordnungen und Nebenläu�g-keitsstrukturen, die in [BM85] unter besonderer Berücksichtigung von Axiom ZSS genaueruntersucht wird. [PS87] und [Smi89] verfolgen dann einen anderen Ansatz, der jedoch hierzugunsten der früheren und besser zu handhabenden De�nition übergangen wird.Sei (X;<) eine Kausalordnung gemäÿ De�nition 5.28.De�nition 5.56 [Dedekind-Schnitte]Die Elemente der MengeDCuts := fA � X j ? 6= A 6= X ^ 8a 2 A : 8b 2 X : b < a) b 2 Agheiÿen Dedekind-Schnitte. Weiterhin sei für jeden D-Schnitt A 2 DCuts�A := X � A;Obmax(A) := fx 2 max(A) j 8B 2 DCuts : 8L 2 Lines :x 2 max(B \ L)) x 2 max(B)g;Obmin( �A) := fx 2 min( �A) j 8B 2 DCuts : 8L 2 Lines :x 2 min( �B \ L)) x 2 min( �B)g;c(A) := Obmax(A)[Obmin( �A)de�niert. �

5.2. ORDNUNGSBASIERTE SYSTEME 125De�nition 5.57 [D-Stetigkeit](X;<) heiÿt D-stetig genau dann, wenn 8A 2 DCuts : 8L 2 Lines : jL \ c(A)j = 1 gilt. �De�nition 5.58 [Cut-bounded](X;<) heiÿt cut-bounded genau dann, wenn 8A 2 DCuts : A � #(max(A) [min( �A))^ �A �"(max(A) [min( �A)). �In [BF88] �ndet sich das folgende Resultat:Theorem 5.59 (Best/Fernández) Sei (X;<) eine Kausalordnung mit der PartitionX = B [ E. (X;<) ist D-stetig, (X;<) ist K-dicht und cut-bounded und 8e 2 E : j�ej 6=1 6= je�j. �Dieser Satz stellt eine Charakterisierung der D-Stetigkeit dar, die im folgenden verbessertwerden soll.Lemma 5.60 Sei < eine totale Ordnung auf M und :Fin(M), dann gibt es eine einseitigunendliche Kette � = (a0; a1; : : :), so daÿ � eine <-Kette oder eine >-Kette ist und Set(�) �M .Beweis Wenn es eine unendliche >-Kette gibt, dann gilt der Satz o�ensichtlich. Wenn eskeine unendliche >-Kette gibt, dann ist < eine unendliche Wohlordnung und beginnt damitvom kleinsten Element aus mit einer unendlichen <-Kette. �Satz 5.61 (X;<) ist D-stetig) 8L 2 Lines : 8x 2 X : Fin(L \ co[x]).Beweis Sei für einen Widerspruchsbeweis L 2 Lines und x 2 X so gewählt, daÿ :Fin(L\co[x]). L \ co[x] ist durch < total geordnet, weil L 2 Lines. Nach Lemma 5.60 gibt es eineunendliche Kette � = (a0; a1; : : :) mit Set(�) � L \ co[x] und � ist entweder eine <-Ketteoder eine >-Kette. Wir nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, daÿ � eine <-Kette ist. Wir tre�en nun eine Fallunterscheidung, ob es oberhalb der Kette noch Elementein X gibt oder nicht.Fall 1: :9v 2 X : 8i 2 N : ai < v. Wir haben 8a 2 L : 9i 2 N : a < ai. Wenn9a 2 L : x � a, dann folgt daraus 9a 2 L : 9i 2 N : x � a < ai im Widerspruch zu8i 2 N : x co ai. Also :9a 2 L : x � a oder umgeformt 8a 2 L : :a � x.Sei A = fa 2 X j a < x_a co xg und �A = fa 2 X j a � xg. Es gilt x 2 �A und L � A,also A 6= ? 6= �A. Nun ergibt sich leicht A 2 DCuts.Es ist L \ �A = ? und daher auch L \Obmin( �A) = ?. De�nition 5.57 erfordert dannaber jL \ Obmax(A)j = 1. Sei z 2 L \ Obmax(A) � max(A). Wegen z 2 L gilt9i 2 N : z < ai, dies wird abgeschwächt zu 9w 2 A : z < w im Widerspruch zuz 2 max(A).Fall 2: 9v 2 X : 8i 2 N : ai < v. Sei A = fw 2 X j 9i 2 N : w � aig. A 2 DCuts, weilinsbesondere nach Fallvoraussetzung �A 6= ?. Weil (X;<) D-stetig ist, ist L\c(A) 6= ?.Sei u 2 L \ c(A).Angenommen, u 2 Obmax(A) � max(A) � A, dann 9i 2 N : u � ai wegen u 2 A.Aber nun 9i 2 N : u < ai+1 im Widerspruch zu u 2 max(A). Also u =2 Obmax(A)und folglich u 2 Obmin( �A) � min( �A) � �A.Wegen u 2 L gilt 8i 2 N : ai li u, 8i 2 N : ai < u und speziell a0 < u. Da < = l+gibt es ein z 2 X mit a0 � z l u. Wegen u 2 min �A ist z =2 �A, also z 2 A. NachKonstruktion von A haben wir 9i 2 N : z � ai und daher auch 9i 2 N : z < ai+1 < uim Widerspruch zu z l u.Der Widerspruch tritt in beiden Fällen auf. �Lemma 5.62 8� = (a0; a1; : : :) 2 !-Ketten(<) : 8y 2 X : ((8L 2 Lines : 8x 2 X :Fin(L\ co[x]))^ (:9i 2 N : ai � y))) (9i 2 N : ai co y).

126 KAPITEL 5. AXIOMENSYSTEMEBeweis Seien � 2 !-Ketten(<) und y 2 X gegeben, wobei die beiden Voraussetzungengelten. Angenommen :9i 2 N : ai co y, dann ist dies äquivalent zu 8i 2 N : ai li y. Mit derVoraussetzung :9i 2 N : ai � y folgt 8i 2 N : ai < y.Aus < = l+ können wir die Existenz einer l-Kette � = (a0 = b0; b1; : : : ; bn = y) ableiten.Sei m = minfj j 0 � j � n ^ 8i 2 N : ai < bjg, sicher ist m > 0.Jetzt gilt 9i 2 N : :ai < bm�1 und 8i 2 N : ai < bm. Wenn 9i 2 N : bm�1 � ai, dann9i 2 N : bm�1 � ai < ai+1 < bm im Widerspruch zu bm�1l bm. Damit verstärkt sich unsereAussage zu 9i 2 N : (:ai < bm�1) ^ (:bm�1 � ai) oder 9i 2 N : ai co bm�1.Wir �xieren i mit ai co bm�1, dann gilt wegen Fin(L \ co[bm�1]) für eine Linie L 2 Linesmit Set(�) � L, daÿ 9j 2 N : aj > ai ^ aj li bm�1. Sei ein j mit dieser Eigenschaftgewählt. bm�1 � aj wurde bereits ausgeschlossen, also ist aj < bm�1. Aber nun ergibt sichai < aj < bm�1, und dies steht im Widerspruch zu ai co bm�1.Also 9i 2 N : ai co y. �Satz 5.63 (8L 2 Lines : 8x 2 X : Fin(L \ co[x]))) 8A 2 DCuts : A � #max(A).Beweis Sei die Prämisse des Satzes erfüllt. Sei für einen Widerspruchsbeweis A 2 DCutsund x 2 A mit x =2 #max(A).Weil 8a 2 A : x � a ) a =2 #max(A) gilt 8ai 2 A : x � ai ) (9ai+1 2 A : ai < ai+1).Damit können wir eine unendliche <-Kette �nden, die mit x beginnt, nämlich � = (x = a0;a1; a2; : : :), wobei Set(�) � A. Weiterhin gibt es eine Linie L, so daÿ Set(�) � L.Wegen A 2 DCuts ist �A 6= ?, und es gibt ein y 2 �A. Es gilt y =2 A. Per De�nition vonDCuts haben wir :9a 2 A : a � y, also insbesondere :9i 2 N : ai � y. Damit können wirLemma 5.62 anwenden und erhalten 9i 2 N : ai co y.Wir �xieren ein i mit ai co y. Wegen Fin(L \ co[y]) gibt es ein j mit aj > ai und aj li y,was sich unter Anwendung von y 2 �A zu aj < y verschärfen läÿt. ai < aj < y ergibt einenWiderspruch mit ai co y. �Satz 5.64 (8L 2 Lines : 8x 2 X : Fin(L \ co[x]))) 8A 2 DCuts : �A � "min( �A).Beweis Analog zum vorigen Satz mit einem passenden Lemma. �Satz 5.65 (8L 2 Lines : 8x 2 X : Fin(L \ co[x]))) (X;<) ist cut-bounded.Beweis Mit Satz 5.63, Satz 5.64 und De�nition 5.58. �Jetzt können wir unsere Charakterisierung geben.Satz 5.66 Sei (X;<) eine Kausalordnung mit der Partition X = B [ E. (X;<) ist D-stetig, 8L 2 Lines : 8x 2 X : Fin(L \ co[x])^ 8e 2 E : j�ej 6= 1 6= je�j.Beweis Mit Theorem 5.59, Satz 5.61, Satz 5.30 und Satz 5.65. �Dieser Satz besagt, daÿ eine Kausalordnung genau dann D-stetig ist, wenn sie episoden-endlich ist und kein Element von E genau einen Vorgänger oder genau einen Nachfolgerhat.Die Verbesserung gegenüber dem Resultat aus [BF88] liegt darin, daÿ die Charakteri-sierung auf einer einfacheren formalen Grundlage arbeitet, weil der Begri� des D-Schnittesnicht mehr verwendet wird. Es ist damit besser möglich, die Bedeutung der D-Stetigkeitzu beurteilen. Insbesondere können wir jetzt eine Analogie zwischen den Halbordnungen,interpretiert als zeitliche Abläufe, und den reellen Funktionen bilden.Eine Funktion y = f(x) in den reellen Zahlen ist stetig, wenn für verschwindende, alsokleine, Änderungen �x der freien Variablen x auch die Änderung �y = f(x+ �x)� f(x)des Funktionswertes verschwindet.Der Wertebereich einer Variablen entspricht einer Linie der Halbordnung. Genau wieeine Variable stets irgendeinen Wert ihres Wertebereichs annimmt, gibt es auf der Linie stetseinen Punkt, der der Gegenwart entspricht.

5.2. ORDNUNGSBASIERTE SYSTEME 127Wenn eine Variable auf eine andere abgebildet wird, dann entspricht das dem Vorgang,auf einer Linie den Punkt der Gegenwart zu �nden, wenn für eine andere Linie der Punktder Gegenwart bekannt ist.In einer D-stetigen Ordnung gibt es, wenn die Gegenwart auf einer Linie bis auf einenendlichen, also kleinen, Bereich festgelegt ist, für eine andere Linie auch nur noch einenendlichen Bereich, der die Gegenwart darstellen kann.Diese Analogie mag vielleicht eine vage Rechtfertigung für die Bezeichnung �stetig� sein.Was jedoch D-Stetigkeit mit der von Petri angeführten Dedekindschen Stetigkeit der reellenZahlen zu tun hat, ist noch immer nicht völlig klar.Wir verfügen mit den Ergebnissen dieses Abschnitts über insgesamt vier Möglichkeiten,dieselbe Klasse von Strukturen zu charakterisieren, wobei wir leicht noch eine Charakteri-sierung mit Hilfe von Kausalnetzen �nden könnten.Theorem 5.67 SeiX eine Menge und li sowie co Relationen. Dann sind folgende Aussagenäquivalent:� (X; li; co) erfüllt die Axiome NTR, VST, DIS, SYM, IRR, KAA, LOR, LFO, LKO,KOH, OBS, KDI und ZSS.� (X; li; co) erfüllt die Axiome NTR, VST, DIS, SYM, IRR, KAA, LOR, LFO, LKO,EKO, LCT, EEN und LUE.� Es gibt eine episodenendliche, transitionsverzweigte, fortsetzbare und irreduzible Kau-salordnung < auf X mit li = < [<�1 und co = X�X � li.� Es gibt eine D-stetige, fortsetzbare und irreduzible Kausalordnung < auf X mit li =< [<�1 und co = X�X � li.Beweis Das Theorem ergibt sich aus der Kombination der bisher erzielten Ergebnisse. �

Kapitel 6Schluÿ�Sag mal�, fragte sie schlieÿlich, �was ist denn die Zeit eigentlich?��Das hast du doch gerade selbst herausgefunden�, antwortete Meister Hora.�Nein, ich meine�, erklärte Momo, �die Zeit selbst � sie muÿ doch irgend etwas sein. Esgibt sie doch. Was ist sie denn wirklich?��Es wäre schön�, sagte Meister Hora, �wenn du auch das selbst beantworten könntest.�Momo überlegte lange. Michael Ende, in �Momo�Was wir gerade herausgefunden habenWir wollen hier die Ergebnisse, die in dieser Arbeit vorgestellt wurden, noch einmal zusam-menfassen und bewerten. Danach werden Hinweise auf noch o�ene Probleme gegeben, dieeiner weiteren Untersuchung bedürfen.Die Konstruktionen, die in Kapitel 3 gegeben wurden, ermöglichen es uns in Zukunft,systematisch Beispiele zu erzeugen, was eine entscheidende Voraussetzung für eine prakti-sche Anwendung ist. Obwohl die Konstruktionen schon früher in der einen oder anderenForm verwendet wurden, ist dies die erste zusammenfassende Darstellung, so daÿ die Kon-struktionen nicht ständig wieder aus dünnen Hinweisen rekonstruiert werden müssen.Für zyklische Systeme stellt sich jedoch das Problem, daÿ für konstruierte Strukturenkeine Eigenschaften a priori garantiert werden können, sondern daÿ sie durch Computerana-lysen hergeleitet werden müssen. Dies ist jedoch extrem zeitaufwendig und für Strukturenjenseits von jX j � 200 nicht mehr in realistischen Zeiträumen durchzuführen.Für die azyklischen Systeme konnten die Konstruktionstechniken so weit verschärft wer-den, daÿ sich Nebenläu�gkeitsstrukturen mit garantierten Eigenschaften generieren lassen.Die erzeugten Systeme enthalten aber nicht mehr Informationen als die der Konstruktionzugrundeliegenden Ordnungen, ja sogar durch die Vernachlässigung der Orientierung strengweniger. Gleichzeitig wird die Struktur aufgebläht, so daÿ die Übersichtlichkeit sehr leidet.Eine praktische Anwendung wird dadurch zumindest nicht gefördert.Die Gegenbeispiele, die wir gefunden haben, sind für die Theorie der Nebenläu�gkeit aufjeden Fall von entscheidender Wichtigkeit. Wir wissen jetzt, wo noch Probleme auftretenkönnen, und können daher zusätzliche Axiome zu ihrer Vermeidung zu untersuchen. Au-ÿerdem ist jetzt klar, daÿ intensiver nach ungewöhnlichen Strukturen gesucht werden sollteund daÿ wir nicht mehr ohne weiteres ein gutmütiges Verhalten erwarten dürfen.

130 KAPITEL 6. SCHLUSSDa etliche Gegenbeispiele ein besonders Maÿ an Breite aufwiesen, klingt es plausibel,dieses Konzept zu formalisieren. Die dabei entstehenden Axiome sind keineswegs als physi-kalisch fundiert zu betrachten, im Gegenteil. Es ist trotzdem legitim, sie in ein Axiomensy-stem aufzunehmen, denn sie geben einen Hinweis, daÿ ab einer gewissen Grenze die Theorieeine andere Qualität gewinnt. Mit der Orientierbarkeit und der Eindeutigkeit der Fallklassekonnten aus den Axiomen der Länge interessante Sätze abgeleitet werden.Der Endpunktsatz hat die Theorie deutlich vereinfacht. Bisher muÿte ein dazu äquiva-lentes Axiom explizit mitgeführt werden, jetzt können wir uns auf die ohnehin angenommeneK-Dichte beschränken. Die Minimalität des 4-Jahreszeiten-Netzes konnte als weitere Folge-rung erstmals bewiesen werden.Der Begri� einer Episode wurde eingeführt und für verschiedene Beweise im Bereich derKohärenz-, Orientierbarkeits- und Endlichkeitseigenschaften eingesetzt. Die Beziehung zumBegri� der verallgemeinerten Dedekind-Stetigkeit wurde aufgedeckt und kann in ZukunftBeweise in diesem Bereich vereinfachen.Viele wesentliche Querbeziehungen zwischen den Axiomen wurden aufgedeckt und da-zu benutzt, die verschiedenen Axiomensysteme, die bisher aufgestellt wurden, in einemeinheitlichen Rahmen zu stellen. Mit den verwendeten Techniken lassen sich auch andereAxiomensysteme fast vollständig auf die Gültigkeit der vorgestellten Axiome hin analysieren.Die Charakterisierung von azyklischen Nebenläu�gkeitsstrukturen mit Hilfe partiellerOrdnungen liefert eine weitere Vereinheitlichung der Theorie. Damit ist die Theorie derNebenläu�gkeit für azyklische Strukturen wieder vollständig auf die Theorie der Ordnungenzurückgeführt, und dies ist durchaus kein Schaden, denn diesem Gebiet kam immer einegröÿere Aufmerksamkeit zu als der Theorie von li und co. Ordnungen sind im allgemeinenauch leichter zu handhaben als Nebenläu�gkeitsstrukturen und bieten daher einen besserenBezug zur Praxis.Dennoch ist die Theorie nicht wertlos: Was war schlieÿlich ihr der Grund für ihr Er-scheinen? Der Wunsch nach einer umfassenden, physikalisch begründeten Theorie der Infor-mationsverarbeitung. Und wenn eines Tages ein physikalisch begründetes Axiomensystemsallgemein akzeptiert ist, dann ist es sicher legitim, für die praktische Anwendung auf einanderes Beschreibungsmittel zu wechseln.Was wir uns noch überlegen müssenEs wurde in [Smi89] darauf hingewiesen, daÿ die Theorie der Nebenläu�gkeit auch in ande-ren Anwendungsbereichen zu sinnvollen Ergebnissen führt, beispielsweise in der Theorie desMessens. Wenn sich hier weitere Ergebnisse erzielen lassen � was allerdings zur Zeit nichtwahrscheinlich ist � dann wäre es eine deutliche Bereicherung für die Theorie der Neben-läu�gkeit, insbesondere, wenn dabei Erkenntnisse zu den schwierigen Fragen nach dem Sinnder K-Dichte oder der zyklischen Systeme gewonnen werden.Gerade zu zyklischen Systemen deutet sich jedoch aus anderer Richtung eine Neuerungan. In [Ste96] wird versucht, die von Petri lediglich angedeutete Idee zyklischer Ordnungenzu formalisieren. Möglicherweise ergibt sich dann eine Klasse von zyklischen Systemen, diegenauso natürlich zu charakterisieren ist, wie es für die azyklischen Systeme in dieser Arbeitgeschehen ist.Um wirklich Informationsverarbeitung modellieren zu können, müÿte aber irgendwannauch die Relation al berücksichtigt werden, die die Existenz alternativer Entwicklungen imSystem beschreibt. Diese erweiterte Theorie über (X; co; li; al) ist bisher praktisch unbeach-

KAPITEL 6. SCHLUSS 131tet geblieben, aus guten Grund auch in dieser Arbeit. Bevor die Theorie als abgeschlossengelten kann, müÿten hier noch deutliche Fortschritte gemacht werden.Ich will noch einmal zusammenfassen, was es an o�enen Problemen in der Theorie derNebenläu�gkeit gibt.� Welche der neuen Axiome sind physikalisch motivierbar? Sind alle alten Axiome undDe�nitionen unbedenklich?� Kann der Begri� einer Episode in weiteren Gebieten sinnvoll eingesetzt werden? Gibtes Bezüge zu Netzen, etwa Sicherheit oder Fairneÿ?� Welche wichtigen Eigenschaften von Nebenläu�gkeitsstrukturen lassen sich in Poly-nomialzeit � auf jeden Fall aber schnell � überprüfen? K-Dichte? Eindeutigkeit derFallklasse? Existenz einer lebendigen Fallklasse? Andere Axiome?� Genauere Untersuchung der Grenze zwischen langen und zu breiten Strukturen.� Beweis der Eigenschaften von Zykloiden.� Wie läÿt sich die Relation al in die Theorie einbinden? Sind hierfür die physikalischenGesetzmäÿigkeiten hinreichend geklärt?� Charakterisierung von azyklischen Nebenläu�gkeitsstrukturen durch eine Modal- oderTemporallogik.� Charakterisierung von zyklischen Nebenläu�gkeitsstrukturen durch zyklische Ordnun-gen.Die Probleme sind in Art und Umfang sehr unterschiedlich, ich ho�e jedoch, daÿ sicheinige � auch unter Verwendung der neu vorgestellten Techniken � lösen lassen werden.DanksagungIch möchte zuerst und besonders meinen Betreuern, Prof. Dr. Rüdiger Valk und Dr. DirkHauschildt, für die Zeit und die Mühe danken, die sie mir bei der Erstellung meiner Arbeithaben zukommen lassen, und für die Anregung, mich mit diesem wenig beachteten, aberhochinteressanten Thema zu beschäftigen.Dank geht auch an die Mitglieder der Arbeitsgruppe Allgemeine Netztheorie, die mirstets mit Erklärungen, Kritik, LATEX-Makros, ihrer Privatbibliothek und etlicher Geduldbeim Korrekturlesen zur Seite standen und von denen Uwe Fenske, Stefan Haar und Mark-Oliver Stehr genannt sein sollen.Dem Fachbereich Informatik verdanke ich ungezählte Tage an Rechenzeit, stapelweisePapier und 40 MByte, durch die, zusammen mit der LATEX-Installation von Reinhard Zierke,diese Arbeit überhaupt erst entstehen konnte.Ich bin der Studienstiftung des deutschen Volkes für die mir zuteil gewordene Förderungund insbesondere Prof. Dr. Wolf Walter und Jörgen Hopf für ihre persönliche Unterstützungsehr zu Dank verp�ichtet.Unzählige andere könnten genannt werden für das, was sie getan oder freundlicherweiseunterlassen haben, hier seien aber nur noch meine Eltern und mein Bruder herausgehoben,als Dank für Verständnis, Ruhe und fünf o�ene Ohren.

Anhang AAxiomenverzeichnisCIL co in li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93COG co im gemeinsamen co-Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99COI co-Irreduzibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22COK co-Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21DIS Disjunktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19EEN Episodenendlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75EKO Episodenkohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67ERL Existenz einer Referenzlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92FDI F-Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99GAW Gerade Anzahl Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79GWE Gerade Anzahl Wendepunkte in einfachen Zyklen . . . . . . . . . . . . . . . 82IMK im-Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27IRR Irreduzibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63KAA Keine Änderung einer Änderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26KDI K-Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33KOH Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64KOR Konsistente Orientierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78KSE Komplementäre Schnitte existieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92LCT Lokale co-Transitivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29LEN Linienendlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75LFO Lokale Fortsetzbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29LIG li im gemeinsamen co-Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99LII li-Irreduzibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22LIK li-Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21LKO Linienkohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66LOR Lokale Orientierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29LSL Linien schneiden li-Bereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92LUE Linienunendlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77NDI N-Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64NEN Nachbarschaftsendlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74NOR Natürliche Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83NTR Nichttrivialität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21OBS Ordnungsbasierte Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83REN Raumkegelendlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

134 ANHANG A. AXIOMENVERZEICHNISSEN Schnittendlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74SYM Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20TEN Totale Endlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74VST Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19ZEN Zeitkegelendlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75ZSS Zeitkegel schneiden sich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Anhang BBibliographie[Bes80] Eike Best. The Relative Strength of K-Density. In W. Brauer (Hrsg.), �NetTheory and Applications�, Bd. 84 aus �Lecture Notes in Computer Science�, S.261�275, Berlin (1980). Springer-Verlag.[BF88] Eike Best und Cesar Fernández. �Nonsequential Processes. A Petri NetView�, Bd. 13 aus �EATCS Monographs on Theoretical Computer Science�.Springer-Verlag, Berlin (1988).[BK73] Coen Bron und Joep Kerbosch. Finding All Cliques of an Undirected Graph.Communications of the ACM 16(9), 575�577 (1973).[BM85] Eike Best und Agathe Merceron. Concurrency Axioms and D-ContinuousPosets. In G. Rozenberg (Hrsg.), �Advances in Petri Nets 1984�, Bd. 188 aus�Lecture Notes in Computer Science�, S. 32�47. Springer-Verlag (1985).[GL73] Hartmann Jochen Genrich und Kurt Lautenbach. Synchronisationsgra-phen. Acta Informatica 2(2), 143�161 (1973).[GRS80] Ronald L. Graham, Bruce L. Rothschild und Joel H. Spencer. �RamseyTheory�. Wiley Interscience Series in Discrete Mathematics. John Wiley & Sons(1980).[Haa96] Stefan Haar. Bänder, Gewebe und Ge�echte. Dissertation, Universität Ham-burg, Fachbereich Informatik (1996). In Vorbereitung.[Mül93] Hartmut Müller. Geschichte und Entwicklung der Concurrency Theorie. Di-plomarbeit, Universität Hamburg, Fachbereich Informatik (1993).[Pet] Carl Adam Petri. Nets, Time and Space. Undatierte Vorabversion.[Pet76] Carl Adam Petri. Nicht-sequentielle Prozesse. Arbeitsberichte des IMMD 8,Universität Erlangen Nürnberg (1976).[Pet80] Carl Adam Petri. Concurrency. In W. Brauer (Hrsg.), �Net Theory and Ap-plications�, Bd. 84 aus �Lecture Notes in Computer Science�, S. 251�276. Springer-Verlag (1980).[Pet82] Carl Adam Petri. State-Transition Structures in Physics and Computation.International Journal of Theoretical Physics 21(12), 979�992 (1982).

136 ANHANG B. BIBLIOGRAPHIE[Pet87] Carl Adam Petri. Concurrency Theory. In W. Brauer und G. Rozenberg(Hrsg.), �Petri Nets: Central Models and Their Properties. Advances in Petri Nets1986, Part I�, Bd. 254 aus �Lecture Notes in Computer Science�, S. 4�24, Berlin(1987). Springer-Verlag.[Pet89] Carl Adam Petri. Vollständige Signalordnung (Die Mailand-Papiere). Unver-ö�entlichte Vorlesungsunterlagen, Universität Hamburg, Fachbereich Informatik(1989).[Pet91] Carl Adam Petri. Zyklische Ordnungen. Unverö�entlichtes Arbeitspapier(1991).[PS87] Carl Adam Petri und Einar Smith. Concurrency and Continuity. In G. Ro-zenberg (Hrsg.), �Advances in Petri Nets 1987�, Bd. 266 aus �Lecture Notes inComputer Science�, S. 273�292, Berlin (1987). Springer-Verlag.[Rei86] Wolfgang Reisig. �Petrinetze � Eine Einführung�. Springer-Verlag, Berlin(1986).[Smi89] Einar Smith. �Zur Bedeutung der Concurrency-Theorie für den Aufbau hoch-verteilter Systeme�. Nr. 180 in Berichte der GMD. Oldenbourg, München (1989).[Ste93] Mark-Oliver Stehr. Physically Motivated Axiomatic Concurrency Theory � APosetless Approach. Studienarbeit, Universität Hamburg, Fachbereich Informatik(1993).[Ste94] Mark-Oliver Stehr. Quotients of Concurrency and Causality. Unverö�entlich-tes Arbeitspapier (1994).[Ste96] Mark-Oliver Stehr. Zyklische Ordnungen � Axiome und einfache Eigenschaf-ten. Diplomarbeit, Universität Hamburg, Fachbereich Informatik (1996). In Vor-bereitung.

Anhang CComputeranalyse der BeispieleManche Eigenschaften einer Nebenläu�gkeitsstruktur lassen sich einfach überprüfen, zumBeispiel Axiom VST oder Axiom SYM. Bereits bei der Berechnung der P -Relation vonHand sind Fehler leicht möglich, und bei der Überprüfung der zugehörigen Axiome, etwaAxiom KAA, kann man schon kein Vertrauen mehr in die Ergebnisse haben. Wenn es umdie Überprüfung der K-Dichte geht, scheitert das Vorhaben schon allein an dem zeitlichenAufwand, der exponentiell mit der Gröÿe der Struktur wächst.Mit einem Computerprogramm, das von Mark-Oliver Stehr geschrieben und von mirfür die Zwecke dieser Arbeit erweitert wurde, lassen sich jedoch noch verhältnismäÿig groÿeStrukturen auf die Gültigkeit der Axiome überprüfen. Unter Verwendung eines Algorithmuszur Prüfung der K-Dichte, der von dem in [BK73] beschriebenen Verfahren abgeleitet ist,lassen sich trotz der exponentiellen Laufzeit noch Strukturen bis jX j � 200 behandeln.Alle endlichen Beispiele, die in dieser Arbeit genannt wurden, sind mit dem Computerüberprüft worden, die Ergebnisse werden hier zusammengestellt.Da sämtliche Modelle endlich sind, erfüllen sie selbstverständlich die Axiome TEN, REN,SEN, ZEN, LEN und IEN; desgleichen ist Axiom NTR stets o�ensichtlich. Axiome LUE istdagegen nie wahr.Wie sich herausstellt, erfüllen alle Modelle die Axiome KOH und IRR, daher brauchendie Axiome LII, COI, LIK und COK nicht getrennt überprüft werden.Die Orientierbarkeitsaxiome wie Axiom GAW sind alle im wesentlichen äquivalent zuAxiom KOR. Da letzteres überprüft wird, sind die anderen Axiome nicht getrennt aufgeführt.C.1 N-StrukturX = f1; 2; 3; 4; 5gco = f(3; 2); (4; 1); (4;2); (4;3); (5; 2)g$li = f(2; 1); (3; 1); (5; 1); (5;3); (5;4)g$S = f2; 3; 4gT = f1; 5gP = f(2; 1); (3; 1); (3; 5); (4;5)gF = f(1; 2); (1; 3); (3; 5); (4;5)gCuts = ff1; 4g; f2; 3;4g;f2;5ggLines = ff1; 2g; f1; 3; 5g; f4; 5gg

138 ANHANG C. COMPUTERANALYSE DER BEISPIELEEs gelten die Axiome VST, DIS, SYM, IRR, KAA, KOH, IMK, LKO, EKO, KDI, NDI, LCT, LOR,KOR und ERL.Die Axiome LFO, LSL, CIL und KSE gelten nicht.C.2 4-JahreszeitenX = f1; 2; 3; 4; 5;6;7; 8; 9;10;11; 12gco = f(3; 2); (4; 3); (5; 3); (6; 3); (6; 5); (7; 6); (8; 6); (9; 6); (9; 8); (10; 9); (11; 9); (12; 1); (12; 2); (12; 3);(12; 9); (12; 11)g$li = f(2; 1); (3; 1); (4; 1); (4; 2); (5; 1); (5; 2); (5; 4); (6; 1); (6; 2); (6; 4); (7; 1); (7; 2); (7; 3); (7; 4); (7; 5);(8; 1); (8; 2); (8; 3); (8; 4); (8; 5); (8; 7); (9; 1); (9; 2); (9; 3); (9; 4); (9; 5); (9; 7); (10; 1); (10; 2); (10;3); (10; 4); (10; 5); (10; 6); (10; 7); (10; 8); (11; 1); (11; 2); (11; 3); (11; 4); (11; 5); (11; 6); (11; 7);(11; 8); (11; 10); (12;4); (12; 5); (12;6); (12; 7); (12;8); (12; 10)g$S = f2; 3; 5; 6;8;9; 11; 12gT = f1; 4; 7; 10gP = f(2; 1); (2; 4); (3; 1); (3; 7); (5; 4); (5; 7); (6; 4); (6; 10); (8; 7); (8; 10); (9; 1); (9; 7); (11; 1); (11; 10);(12; 4); (12; 10)gF = f(1;2); (1;3); (2;4); (3;7); (4;5); (4;6); (5;7); (6;10); (7; 8); (7; 9); (8; 10); (9; 1); (10;11); (10;12);(11; 1); (12; 4)gCuts = ff1; 12g; f2; 3; 12g; f3; 4g; f3; 5; 6g; f6; 7g; f6; 8; 9g; f9; 10g;f9;11;12ggLines = ff1;2; 4;5;7; 8;10; 11g;f1; 2;4; 5;7; 9g;f1;2;4; 6;10;11g;f1; 3;7; 8;10;11g;f1;3; 7;9g; f4;5;7; 8; 10; 12g; f4; 6; 10; 12ggEs gelten die Axiome VST, DIS, SYM, IRR, KAA, KOH, IMK, LKO, EKO, KDI, NDI, LCT, LOR,LFO, KOR, ERL, LSL und CIL.Axiom KSE gilt nicht.C.3 6-Jahreszeiten und 2 StellenX = f1; 2; 3; 4; 5;6;7; 8; 9;10;11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20gco = f(3; 2); (4; 3); (5; 3); (6; 3); (6; 5); (7; 6); (8; 6); (9; 6); (9; 8); (10; 9); (11; 9); (12; 9); (12; 11); (13;12); (14; 12); (15; 12); (15; 14); (16; 15); (17; 15); (18; 1); (18; 2); (18; 3); (18; 15); (18; 17); (19; 1);(19;2); (19;3); (19; 9); (19; 11); (19;12); (19;13); (19; 14); (19;15); (19;16); (19; 17); (19;18); (20;2); (20; 3); (20; 4); (20; 5); (20; 6); (20; 7); (20; 8); (20; 9); (20; 10); (20; 11); (20; 12); (20; 18); (20;19)g$S = f2; 3; 5; 6;8;9; 11; 12; 14;15;17;18;19;20gT = f1; 4; 7; 10;13;16gP = f(2; 1); (2; 4); (3; 1); (3; 7); (5; 4); (5; 7); (6; 4); (6; 10); (8; 7); (8; 10); (9; 7); (9; 13); (11; 10); (11;13); (12; 10); (12; 16); (14; 13); (14; 16); (15; 1); (15; 13); (17; 1); (17; 16); (18; 4); (18; 16); (19; 4);(19; 10); (20; 1); (20;13)gF = f(1;2); (1;3); (1;20); (2;4); (3;7); (4;5); (4;6); (5;7); (6; 10); (7; 8); (7; 9); (8; 10); (9;13); (10;11);(10; 12); (10; 19); (11; 13); (12; 16); (13; 14); (13; 15); (14; 16); (15; 1); (16; 17); (16; 18); (17; 1);(18; 4); (19; 4); (20; 13)gCuts = ff1;18;19g;f2; 3;18;19;20g;f3; 4;20g;f3;5; 6;20g;f6;7; 20g;f6; 8;9; 20g;f9; 10;20g;f9;11;12; 19; 20g;f12;13;19g; f12;14;15;19g;f15; 16; 19g;f15;17;18;19gg

C.4. ZYKLOID 2222 139Lines = ff1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; 14;16; 17g; f1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; 15g;f1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 12; 16;17g;f1;2; 4;5;7; 9;13;14;16;17g;f1;2;4; 5;7;9;13; 15g;f1;2; 4;6;10;11;13;14; 16;17g;f1;2; 4;6; 10; 11; 13; 15g; f1; 2; 4; 6; 10; 12; 16; 17g; f1; 3; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 16; 17g; f1; 3; 7; 8; 10; 11; 13;15g; f1; 3; 7; 8; 10; 12; 16; 17g; f1; 3; 7; 9; 13; 14; 16; 17g; f1; 3; 7; 9; 13; 15g; f1; 13; 14; 16; 17; 20g;f1;13; 15;20g; f4;5; 7; 8; 10; 11;13; 14; 16;18g; f4;5; 7; 8; 10;12; 16; 18g;f4; 5;7; 8; 10; 19g;f4; 5;7; 9; 13; 14;16; 18g; f4; 6; 10; 11; 13; 14; 16; 18g;f4;6;10;12;16;18g;f4;6;10;19ggEs gelten die Axiome VST, DIS, SYM, IRR, KAA, KOH, IMK, LKO, EKO, KDI, NDI, LCT, LOR,LFO, KOR und ERL.Die Axiome LSL, CIL und KSE gelten nicht.C.4 Zykloid 2222X = f1; 2; 3; 4; 5;6;7; 8; 9;10;11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23;24gco = f(2; 1); (5; 3); (6; 4); (8; 7); (9; 2); (9; 5); (10; 2); (10; 3); (10; 9); (11; 1); (11; 5); (11; 9); (11; 10);(12;1); (12; 3); (12;9); (12; 10); (12; 11); (13;5); (13; 6); (13;10); (13; 12); (14; 4); (14;5); (14; 10);(14;12); (14; 13); (15; 6); (15;8); (15; 14); (16; 6); (16; 7); (16; 14); (16;15); (17; 3); (17; 6); (17; 9);(17;11); (17; 13); (17;14); (18;3); (18;4); (18;9); (18; 11); (18;13); (18;14); (18; 15); (18;16); (18;17); (19; 4); (19; 8); (19; 13); (19; 15); (19; 16); (19; 17); (20; 4); (20; 7); (20; 13); (20; 15); (20; 16);(20; 17); (20; 19); (21; 2); (21; 8); (21; 11); (21; 12); (21; 16); (21; 20); (22; 1); (22; 8); (22; 9); (22;10); (22; 16); (22; 20); (22; 21); (23; 2); (23; 7); (23; 11); (23; 12); (23; 15); (23; 19); (23; 21); (23;22); (24; 1); (24;7); (24; 9); (24;10); (24;15); (24; 19); (24; 21); (24;22); (24;23)g$S = f9; 10; 11;12;13;14;15;16;17;18;19;20;21;22;23;24gT = f1; 2; 3; 4;5; 6; 7;8gP = f(9; 1); (9; 3); (10; 1); (10; 5); (11;2); (11;3); (12; 2); (12;5); (13;3); (13; 4); (14; 3); (14;6); (15; 4);(15; 7); (16; 4); (16; 8); (17; 4); (17; 5); (18; 5); (18; 6); (19; 6); (19; 7); (20; 6); (20; 8); (21; 1); (21;7); (22; 2); (22; 7); (23;1); (23;8); (24; 2); (24;8)gF = f(1; 9); (1; 10); (2; 11); (2; 12); (3; 13); (3; 14); (4; 15); (4; 16); (5; 17); (5; 18); (6; 19); (6; 20); (7;21); (7; 22); (8; 23); (8; 24); (9; 3); (10; 5); (11; 3); (12; 5); (13; 4); (14; 6); (15; 7); (16; 8); (17; 4);(18; 6); (19; 7); (20; 8); (21;1); (22; 2); (23;1); (24;2)gCuts = ff1; 2g; f1; 11; 12g;f1; 22; 24g; f2;9; 10g;f2; 21; 23g; f3; 5g;f3; 10; 12g; f3; 17; 18g;f4; 6g; f4;14; 18g; f4; 19; 20g; f5; 9; 11g; f5; 13; 14g; f6; 13; 17g; f6; 15; 16g; f7; 8g; f7; 16; 20g; f7; 23; 24g;f8; 15; 19g; f8; 21; 22g; f9; 10; 11; 12g; f9; 10; 22; 24g; f9; 11; 17; 18g; f10; 12; 13; 14g; f11; 12; 21;23g;f13;14;17;18g;f13;17;19;20g;f14;15;16;18g;f15;16;19; 20g;f15;19;23;24g;f16;20;21;22g; f21; 22;23;24ggLines = ff1; 3; 4; 7; 9; 13; 15; 21g;f1; 3; 4; 8; 9; 13; 16; 23g; f1;3; 6; 7; 9; 14; 19;21g; f1; 3; 6; 8; 9; 14; 20;23g;f1;4; 5;7;10;15;17;21g;f1;4;5;8;10;16;17;23g;f1;5;6;7; 10;18;19;21g;f1;5; 6;8;10;18;20;23g;f2;3; 4;7;11;13;15;22g;f2;3;4;8;11;13;16;24g;f2;3;6;7; 11;14;19;22g;f2;3; 6;8;11;14;20;24g;f2;4; 5;7;12;15;17;22g;f2;4;5;8;12;16;17;24g;f2;5;6;7; 12;18;19;22g;f2;5;6; 8;12; 18; 20; 24ggEs gelten die Axiome VST, DIS, SYM, IRR, KAA, KOH, IMK, LKO, EKO, KDI, NDI, LCT, LOR,LFO, KOR, ERL, LSL und KSE.Axiom CIL gilt nicht.C.5 Zykloid 3223X = f1;2; 3;4;5;6; 7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19;20;21;22;23;24;25;26;27;28;29;30;31;32; 33; 34; 35;36;37;38;39g

140 ANHANG C. COMPUTERANALYSE DER BEISPIELEco = f(4; 1); (4; 2); (5; 3); (8; 2); (8; 5); (9; 3); (9; 6); (10; 7); (11; 1); (12; 6); (12; 10); (13; 7); (13; 11);(14; 4); (14; 8); (14; 11); (15; 2); (15; 4); (15; 5); (15; 11); (15; 14); (16; 4); (16; 5); (16; 8); (16; 9);(16;15); (17; 3); (17; 4); (17; 8); (17; 15); (17;16); (18; 5); (18; 9); (18; 12); (18; 17); (19; 5); (19; 6);(19; 9); (19; 10); (19; 17); (19; 18); (20; 1); (20; 2); (20; 3); (20; 8); (20; 14); (20; 15); (20; 16); (20;17); (20; 18); (20; 19); (21; 1); (21; 2); (21; 5); (21; 14); (21; 15); (21; 16); (21; 17); (21; 20); (22; 3);(22; 8); (22; 9); (22; 12); (22; 15); (22; 16); (22; 18); (22; 19); (22; 21); (23; 3); (23; 6); (23; 8); (23;15); (23; 16); (23; 18); (23; 19); (23; 21); (23; 22); (24; 9); (24; 10); (24; 12); (24; 13); (24; 19); (24;23); (25;7); (25;9); (25;12); (25; 19); (25; 23); (25;24); (26;4); (26; 10); (26;11); (26;13); (26; 20);(26;21); (26; 25); (27;1); (27;10); (27;13); (27; 14); (27;15); (27;25); (27; 26); (28;2); (28;5); (28;9); (28; 14); (28; 16); (28; 17); (28; 20); (28; 22); (28; 23); (29; 2); (29; 3); (29; 5); (29; 6); (29; 14);(29; 16); (29; 17); (29; 18); (29; 19); (29; 20); (29; 22); (29; 23); (29; 24); (29; 25); (29; 28); (30; 3);(30; 6); (30; 7); (30; 12); (30; 16); (30; 18); (30; 19); (30; 22); (30; 24); (30; 25); (30; 26); (30; 27);(30; 28); (31; 3); (31; 6); (31; 10); (31; 16); (31; 18); (31; 19); (31; 22); (31; 24); (31; 25); (31; 28);(31; 30); (32; 1); (32; 7); (32; 12); (32; 13); (32; 14); (32; 15); (32; 19); (32; 24); (32; 26); (32; 27);(32; 31); (33; 7); (33; 11); (33; 12); (33; 19); (33; 24); (33; 26); (33; 27); (33; 31); (33; 32); (34; 1);(34; 4); (34; 8); (34; 13); (34; 14); (34; 15); (34; 20); (34; 21); (34; 26); (34; 28); (34; 29); (34; 33);(35;1); (35;2); (35; 13); (35;14); (35;15); (35;16); (35; 17); (35;26); (35;33); (35; 34); (36;6); (36;10); (36; 13); (36; 18); (36; 22); (36; 24); (36; 25); (36; 30); (36; 32); (36; 33); (37; 6); (37; 7); (37;10); (37; 11); (37; 18); (37; 22); (37; 24); (37; 25); (37; 26); (37; 27); (37; 30); (37; 32); (37; 33); (37;34); (37; 35); (37; 36); (38; 4); (38; 7); (38; 11); (38; 20); (38; 21); (38; 24); (38; 26); (38; 27); (38;32); (38;34); (38;35); (38; 36); (39;1); (39;2); (39;7); (39;11); (39; 14); (39;15); (39;16); (39; 17);(39; 24); (39; 26); (39;27); (39;32); (39; 34); (39; 35); (39;36); (39;38)g$S = f14; 15; 16;17;18;19;20;21;22;23;24; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32; 33; 34; 35;36;37;38;39gT = f1; 2; 3; 4;5; 6; 7;8;9;10;11;12;13gP = f(14;1); (14;2); (15; 1); (15;8); (16;2); (16;3); (17; 2); (17; 5); (18;3); (18;6); (19;3); (19; 12); (20;4); (20; 5); (21; 4); (21; 8); (22; 5); (22; 6); (23; 5); (23; 9); (24; 6); (24; 7); (25; 6); (25; 10); (26; 1);(26; 7); (27; 7); (27; 11); (28; 3); (28; 8); (29; 8); (29; 9); (30; 9); (30; 10); (31; 9); (31; 12); (32; 10);(32;11); (33; 10); (33;13); (34;2); (34;11); (35; 4); (35; 11); (36;7); (36;12); (37; 12); (37;13); (38;1); (38; 13); (39;4); (39; 13)gF = f(1; 14); (1; 15); (2; 16); (2; 17); (3; 18); (3; 19); (4; 20); (4; 21); (5; 22); (5; 23); (6; 24); (6; 25); (7;26); (7; 27); (8; 28); (8; 29); (9; 30); (9; 31); (10; 32); (10; 33); (11; 34); (11; 35); (12; 36); (12; 37);(13; 38); (13; 39); (14; 2); (15; 8); (16; 3); (17; 5); (18; 6); (19; 12); (20; 5); (21; 8); (22; 6); (23; 9);(24; 7); (25; 10); (26; 1); (27; 11); (28; 3); (29; 9); (30; 10); (31; 12); (32; 11); (33; 13); (34; 2); (35;4); (36; 7); (37; 13); (38; 1); (39;4)gCuts = ff1; 4; 34g; f1; 11; 39g; f1; 20; 21; 34g; f1; 27; 32; 39g; f1; 34; 35; 39g; f2; 4; 15g; f2; 8; 20g; f2;15; 20; 21g; f2; 15; 35; 39g; f2; 20; 28; 29g; f3; 5; 29g;f3; 9; 22g; f3; 17; 20; 29g;f3; 22; 23; 29g; f3;22;30;31g;f4; 14;15; 34g;f4;15;16; 17g;f4;26;34; 38g;f5;8; 16g;f5;15; 16;21g;f5;16; 28;29g;f5;18;19; 29g;f6;9; 19g;f6;12; 30g;f6;19;23; 29g;f6;19; 30;31g;f6;30; 36;37g;f7;10; 37g;f7;13; 32g; f7; 25; 30; 37g; f7; 32; 33; 37g; f7; 32; 38; 39g; f8; 14; 20; 34g; f8; 16; 17; 20g; f8; 16; 22;23g; f9; 16; 22; 28g; f9; 18; 19; 22g; f9; 19; 24; 25g; f10; 12; 24g; f10; 19; 24; 31g; f10; 24; 36; 37g;f10; 26; 27; 37g; f11; 13; 26g; f11; 14; 15; 39g; f11; 26; 33; 37g; f11; 26; 38; 39g; f12; 18; 22; 30g;f12;24; 25; 30g;f12; 24; 32; 33g;f13; 24; 32; 36g; f13; 26; 27; 32g; f13; 26; 34; 35g; f14; 15; 20; 21;34g; f14; 15; 27; 32; 39g; f14; 15; 34; 35; 39g; f14; 20; 28; 29; 34g; f15; 16; 17; 20; 21g; f15; 16; 17;35; 39g; f15; 16; 21; 22; 23g; f16; 17; 20; 28; 29g; f16; 22; 23; 28; 29g; f16; 22; 28; 30; 31g; f17; 18;19; 20; 29g; f18; 19; 22; 23; 29g; f18; 19; 22; 30; 31g; f18; 22; 30; 36; 37g; f19; 23; 24; 25; 29g; f19;24; 25; 30; 31g; f19; 24; 31; 32; 33g; f20; 21; 26; 34; 38g; f24; 25; 30; 36; 37g; f24; 32; 33; 36; 37g;f24; 32; 36; 38; 39g; f25; 26; 27; 30; 37g; f26; 27; 32; 33; 37g; f26; 27; 32; 38; 39g; f26; 33; 34; 35;37g; f26; 34;35;38;39ggLines = ff1; 2; 3; 6; 7; 14; 16; 18; 24; 26g; f1; 2; 3; 6; 10; 13; 14; 16; 18; 25; 33; 38g; f1; 2; 3; 7; 12; 14; 16;19;26; 36g;f1; 2; 3; 12;13; 14;16; 19; 37;38g; f1;2; 5; 6; 7; 14;17; 22; 24;26g; f1;2; 5; 6; 10;13; 14;17; 22; 25; 33; 38g; f1; 2; 5; 7; 9; 12; 14; 17; 23; 26; 31; 36g; f1; 2; 5; 9; 10; 13; 14; 17; 23; 30; 33; 38g;

C.6. ZYKLOID 2233 141f1;2;5;9;12;13;14;17;23;31;37;38g;f1;3;6;7; 8;15;18;24;26;28g;f1;3; 6;8;10;13;15;18;25;28; 33; 38g; f1; 3; 7; 8; 12; 15; 19; 26; 28; 36g; f1; 3; 8; 12; 13; 15; 19; 28; 37; 38g; f1; 7; 8; 9; 12; 15;26; 29; 31; 36g; f1; 8; 9; 10; 13; 15; 29; 30; 33; 38g; f1; 8; 9; 12; 13; 15; 29; 31; 37; 38g; f2; 3; 6; 7; 11;16; 18; 24; 27; 34g; f2; 3; 6; 10; 11; 16; 18; 25; 32; 34g; f2; 3; 7; 11; 12; 16; 19; 27; 34; 36g; f2; 5; 6; 7;11; 17; 22; 24; 27; 34g; f2; 5; 6; 10; 11; 17; 22; 25; 32; 34g; f2; 5; 7; 9; 11; 12; 17; 23; 27; 31; 34; 36g;f2; 5; 9; 10; 11; 17; 23; 30; 32; 34g; f3; 4; 6; 7; 8; 11; 18; 21; 24; 27; 28; 35g; f3; 4; 6; 8; 10; 11; 18; 21;25;28; 32;35g; f3;4; 6; 8; 10;13; 18;21; 25;28; 33;39g; f3;4; 7; 8; 11;12; 19;21; 27; 28;35; 36g;f3;4; 8; 12; 13; 19; 21; 28; 37; 39g; f4; 5; 6; 7; 11; 20; 22; 24; 27; 35g; f4; 5; 6; 10; 11; 20; 22; 25; 32; 35g;f4; 5; 6; 10; 13; 20; 22; 25; 33; 39g; f4; 5; 7; 9; 11; 12; 20; 23; 27; 31; 35; 36g; f4; 5; 9; 10; 11; 20; 23;30; 32; 35g; f4; 5; 9; 10; 13; 20; 23; 30; 33; 39g; f4; 5; 9; 12; 13; 20; 23; 31; 37; 39g; f4; 7; 8; 9; 11; 12;21;27; 29;31; 35;36g; f4;8; 9; 10;11; 21; 29;30; 32;35g; f4;8; 9; 10;13; 21;29; 30;33; 39g;f4; 8; 9;12; 13; 21; 29;31;37;39ggEs gelten die Axiome VST, DIS, SYM, IRR, KAA, KOH, IMK, LKO, EKO, KDI, NDI, LCT, LOR,LFO, KOR, ERL und LSL.Die Axiome CIL und KSE gelten nicht.C.6 Zykloid 2233X = f1;2; 3;4;5;6; 7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19;20;21;22;23;24;25;26;27;28;29;30;31;32; 33; 34; 35;36gco = f(2;1); (5;3); (6;4); (9;7); (10;8); (12;11); (13; 2); (13; 5); (14;2); (14;3); (14;13); (15; 1); (15; 5);(15; 13); (15; 14); (16; 1); (16; 3); (16; 13); (16; 14); (16; 15); (17; 5); (17; 6); (17; 14); (17; 16); (18;4); (18; 5); (18; 14); (18; 16); (18; 17); (19; 6); (19; 9); (19; 18); (20; 6); (20; 7); (20; 18); (20; 19);(21; 3); (21; 6); (21; 13); (21; 15); (21; 17); (21; 18); (22; 3); (22; 4); (22; 13); (22; 15); (22; 17); (22;18); (22; 19); (22; 20); (22; 21); (23; 4); (23; 9); (23; 17); (23; 19); (23; 20); (23; 21); (24; 4); (24; 7);(24;17); (24; 19); (24;20); (24;21); (24; 23); (25;9); (25;10); (25;20); (25; 24); (26;8); (26;9); (26;20); (26; 24); (26; 25); (27; 10); (27; 12); (27; 26); (28; 10); (28; 11); (28; 26); (28; 27); (29; 7); (29;10); (29; 19); (29; 23); (29; 25); (29; 26); (30; 7); (30; 8); (30; 19); (30; 23); (30; 25); (30; 26); (30;27); (30; 28); (30; 29); (31; 8); (31; 12); (31; 25); (31; 27); (31; 28); (31; 29); (32; 8); (32; 11); (32;25); (32; 27); (32; 28); (32; 29); (32; 31); (33; 2); (33; 12); (33; 15); (33; 16); (33; 28); (33; 32); (34;1); (34; 12); (34; 13); (34; 14); (34; 28); (34; 32); (34; 33); (35; 2); (35; 11); (35; 15); (35; 16); (35;27); (35; 31); (35; 33); (35; 34); (36; 1); (36; 11); (36; 13); (36; 14); (36; 27); (36; 31); (36; 33); (36;34); (36; 35)g$S = f13; 14; 15;16;17;18;19;20;21;22;23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32; 33; 34;35;36gT = f1; 2; 3; 4;5; 6; 7;8;9;10;11;12gP = f(13; 1); (13; 3); (14; 1); (14; 5); (15; 2); (15; 3); (16; 2); (16; 5); (17; 3); (17; 4); (18; 3); (18; 6); (19;4); (19; 7); (20; 4); (20; 9); (21; 4); (21; 5); (22; 5); (22; 6); (23; 6); (23; 7); (24; 6); (24; 9); (25; 7);(25;8); (26; 7); (26;10); (27; 8); (27; 11); (28;8); (28; 12); (29; 8); (29; 9); (30; 9); (30; 10); (31; 10);(31; 11); (32; 10); (32;12); (33;1); (33; 11); (34;2); (34;11); (35; 1); (35;12); (36;2); (36; 12)gF = f(1; 13); (1; 14); (2; 15); (2; 16); (3; 17); (3; 18); (4; 19); (4; 20); (5; 21); (5; 22); (6; 23); (6; 24); (7;25); (7; 26); (8; 27); (8; 28); (9; 29); (9; 30); (10; 31); (10; 32); (11; 33); (11; 34); (12; 35); (12; 36);(13; 3); (14; 5); (15; 3); (16; 5); (17; 4); (18; 6); (19; 7); (20; 9); (21; 4); (22; 6); (23; 7); (24; 9); (25;8); (26; 10); (27;11); (28; 12); (29; 8); (30;10); (31;11); (32; 12); (33; 1); (34;2); (35; 1); (36;2)gCuts = ff1;2g;f1;15;16g;f1;34;36g;f2;13;14g;f2; 33;35g;f3;5g;f3;14;16g;f3;21;22g;f4;6g;f4;18; 22g; f4; 23; 24g; f5; 13; 15g; f5; 17; 18g; f6; 17; 21g; f6; 19; 20g;f7; 9g; f7; 20; 24g; f7; 29; 30g;f8;10g;f8;26;30g;f8;31;32g;f9; 19;23g;f9;25;26g;f10;25;29g;f10;27;28g;f11;12g;f11;28;32g;f11; 35; 36g; f12; 27; 31g; f12;33; 34g; f13; 14; 15; 16g; f13; 14; 34; 36g; f13;15; 21; 22g; f14;16;17;18g;f15;16;33;35g;f17;18;21; 22g;f17;21; 23;24g;f18;19;20;22g;f19;20;23;24g;f19;23;29;30g;f20;24;25;26g;f25;26;29; 30g;f25;29; 31;32g;f26;27;28;30g;f27;28;31;32g;f27;31; 35; 36g;f28;32;33; 34g; f33;34;35;36gg

142 ANHANG C. COMPUTERANALYSE DER BEISPIELELines = ff1;3;4; 7;8;11;13;17;19;25;27; 33g;f1;3; 4;7;8; 12;13;17;19;25;28;35g;f1;3;4; 7;10;11;13; 17; 19; 26; 31; 33g; f1; 3; 4; 7; 10; 12; 13; 17; 19; 26; 32; 35g; f1; 3; 4; 8; 9; 11; 13; 17; 20; 27; 29;33g; f1; 3; 4; 8; 9; 12; 13; 17; 20; 28; 29; 35g; f1; 3; 4; 9; 10; 11; 13; 17; 20; 30; 31; 33g; f1; 3; 4; 9; 10;12;13; 17;20; 30; 32;35g; f1;3; 6; 7; 8; 11;13; 18; 23;25; 27;33g; f1;3; 6; 7; 8; 12;13; 18; 23;25; 28;35g; f1; 3; 6; 7; 10; 11; 13; 18; 23; 26; 31; 33g; f1; 3; 6; 7; 10; 12; 13; 18; 23; 26; 32; 35g; f1; 3; 6; 8; 9;11; 13; 18; 24; 27; 29; 33g; f1; 3; 6; 8; 9; 12; 13; 18; 24; 28; 29; 35g; f1; 3; 6; 9; 10; 11; 13; 18; 24; 30;31; 33g; f1; 3; 6; 9; 10; 12; 13; 18; 24; 30; 32; 35g; f1; 4; 5; 7; 8; 11; 14; 19; 21; 25; 27; 33g; f1; 4; 5; 7;8; 12; 14; 19; 21; 25; 28; 35g; f1; 4; 5; 7; 10; 11; 14; 19; 21; 26; 31; 33g; f1; 4; 5; 7; 10; 12; 14; 19; 21;26; 32; 35g; f1; 4; 5; 8; 9; 11; 14; 20; 21; 27; 29; 33g; f1; 4; 5; 8; 9; 12; 14; 20; 21; 28; 29; 35g; f1; 4; 5;9;10; 11; 14;20; 21; 30;31; 33g;f1; 4; 5; 9;10; 12; 14;20; 21;30; 32; 35g;f1; 5; 6;7; 8; 11; 14;22; 23;25;27; 33g;f1; 5; 6; 7;8; 12; 14; 22;23; 25;28; 35g;f1; 5; 6; 7; 10;11; 14;22; 23; 26;31; 33g;f1; 5; 6;7; 10; 12; 14; 22; 23; 26; 32; 35g; f1; 5; 6; 8; 9; 11; 14; 22; 24; 27; 29; 33g; f1; 5; 6; 8; 9; 12; 14; 22; 24;28; 29; 35g; f1; 5; 6; 9; 10; 11; 14; 22; 24; 30; 31; 33g; f1; 5; 6; 9; 10; 12; 14; 22; 24; 30; 32; 35g; f2; 3;4;7;8;11;15;17;19;25;27;34g;f2;3;4;7; 8;12;15;17;19;25;28;36g;f2;3; 4;7;10;11;15;17;19;26;31; 34g;f2; 3; 4; 7;10; 12; 15;17; 19; 26;32; 36g;f2; 3; 4;8; 9; 11; 15;17; 20; 27;29; 34g;f2; 3; 4;8;9; 12; 15; 17;20; 28;29; 36g;f2; 3; 4; 9; 10;11; 15;17; 20; 30;31; 34g;f2; 3; 4; 9;10; 12; 15;17; 20;30; 32; 36g; f2; 3; 6; 7; 8; 11; 15; 18; 23; 25; 27; 34g; f2; 3; 6; 7; 8; 12; 15; 18; 23; 25; 28; 36g; f2; 3; 6;7;10; 11; 15;18; 23; 26;31; 34g;f2; 3; 6; 7;10; 12; 15;18; 23;26; 32; 36g;f2; 3; 6;8; 9; 11; 15;18; 24;27;29; 34g;f2; 3; 6; 8;9; 12; 15; 18;24; 28;29; 36g;f2; 3; 6; 9; 10;11; 15;18; 24; 30;31; 34g;f2; 3; 6;9; 10; 12; 15; 18; 24; 30; 32; 36g; f2; 4; 5; 7; 8; 11; 16; 19; 21; 25; 27; 34g; f2; 4; 5; 7; 8; 12; 16; 19; 21;25; 28; 36g; f2; 4; 5; 7; 10; 11; 16; 19; 21; 26; 31; 34g; f2; 4; 5; 7; 10; 12; 16; 19; 21; 26; 32; 36g; f2; 4;5;8;9;11;16;20;21;27;29;34g;f2;4;5;8; 9;12;16;20;21;28;29;36g;f2;4; 5;9;10;11;16;20;21;30;31; 34g;f2; 4; 5; 9;10; 12; 16;20; 21; 30;32; 36g;f2; 5; 6;7; 8; 11; 16;22; 23; 25;27; 34g;f2; 5; 6;7;8; 12; 16; 22;23; 25;28; 36g;f2; 5; 6; 7; 10;11; 16;22; 23; 26;31; 34g;f2; 5; 6; 7;10; 12; 16;22; 23;26;32;36g;f2;5; 6;8;9;11;16;22;24;27;29;34g;f2;5;6;8;9; 12;16;22;24;28;29;36g;f2;5;6; 9;10; 11; 16; 22;24;30;31;34g;f2;5;6;9; 10; 12; 16; 22;24;30;32;36ggEs gelten die Axiome VST, DIS, SYM, IRR, KAA, KOH, IMK, LKO, EKO, KDI, NDI, LCT, LOR,LFO, KOR, ERL, LSL, CIL und KSE.C.7 Zykloid 3333X = f1;2; 3;4;5;6; 7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19;20;21;22;23;24;25;26;27;28;29;30;31;32; 33; 34; 35;36;37;38;39;40;41;42;43;44;45;46;47;48;49; 50; 51; 52; 53; 54gco = f(2; 1); (5; 1); (5; 2); (5; 3); (6; 1); (6; 3); (6; 4); (7; 4); (10; 2); (10; 3); (10; 6); (10; 7); (11; 3); (11;4); (11; 7); (11; 8); (12; 4); (12; 8); (12; 9); (13; 9); (14; 5); (15; 7); (15; 8); (15; 12); (15; 13); (16; 8);(16; 9); (16; 13); (16; 14); (17; 1); (17; 9); (17; 14); (18; 2); (18; 13); (18; 14); (18; 17); (19; 2); (19;5); (19;6); (19; 10); (19; 11); (19;17); (20;2); (20; 3); (20;5); (20; 6); (20;7); (20; 17); (20;19); (21;1); (21;5); (21; 6); (21;10); (21;11); (21; 18); (21; 19); (21;20); (22;1); (22; 3); (22;4); (22; 5); (22;10); (22;18); (22;19); (22; 20); (22;21); (23;5); (23;6); (23;7); (23; 10); (23;11); (23;12); (23; 20);(23; 22); (24; 4); (24; 5); (24; 6); (24; 10); (24; 11); (24; 15); (24; 20); (24; 22); (24; 23); (25; 6); (25;7); (25; 11); (25; 12); (25; 15); (25; 16); (25; 22); (25; 24); (26; 6); (26; 7); (26; 8); (26; 11); (26; 12);(26; 13); (26; 22); (26; 24); (26; 25); (27; 1); (27; 2); (27; 3); (27; 4); (27; 10); (27; 14); (27; 19); (27;20); (27; 21); (27; 22); (27; 23); (27; 24); (27; 25); (27; 26); (28; 1); (28; 2); (28; 3); (28; 6); (28; 7);(28;14); (28; 19); (28;20); (28;21); (28; 22); (28;23); (28;24); (28; 27); (29;1); (29;3); (29;4); (29;10); (29; 11); (29; 15); (29; 19); (29; 20); (29; 21); (29; 23); (29; 24); (29; 25); (29; 26); (29; 28); (30;1); (30; 3); (30; 4); (30; 7); (30; 8); (30; 10); (30; 19); (30; 20); (30; 21); (30; 23); (30; 24); (30; 25);(30; 26); (30; 28); (30; 29); (31; 4); (31; 10); (31; 11); (31; 12); (31; 15); (31; 16); (31; 20); (31; 23);(31;25); (31; 26); (31;28); (31;30); (32; 4); (32; 8); (32; 9); (32;10); (32;11); (32; 15); (32;20); (32;23); (32; 25); (32; 26); (32; 28); (32; 30); (32; 31); (33; 11); (33; 12); (33; 13); (33; 15); (33; 16); (33;17); (33; 26); (33; 30); (33; 32); (34; 9); (34; 11); (34; 12); (34; 15); (34; 16); (34; 18); (34; 26); (34;30); (34; 32); (34; 33); (35; 5); (35; 12); (35; 13); (35; 16); (35; 17); (35; 18); (35; 27); (35; 28); (35;32); (35; 34); (36; 2); (36; 12); (36; 13); (36; 14); (36; 16); (36; 17); (36; 21); (36; 22); (36; 32); (36;

C.7. ZYKLOID 3333 14334); (36; 35); (37; 2); (37; 3); (37; 6); (37; 7); (37; 11); (37; 12); (37; 19); (37; 21); (37; 22); (37; 23);(37; 24); (37; 27); (37; 29); (37; 30); (37; 31); (37; 32); (38; 2); (38; 3); (38; 4); (38; 6); (38; 7); (38;8); (38; 19); (38; 21); (38; 22); (38; 23); (38; 24); (38; 25); (38; 26); (38; 27); (38; 29); (38; 30); (38;31); (38; 32); (38; 33); (38; 34); (38; 37); (39; 3); (39; 4); (39; 7); (39; 8); (39; 9); (39; 15); (39; 19);(39; 21); (39; 23); (39; 24); (39; 25); (39; 26); (39; 29); (39; 31); (39; 32); (39; 33); (39; 34); (39; 35);(39; 36); (39; 37); (40; 3); (40; 4); (40; 7); (40; 8); (40; 12); (40; 13); (40; 19); (40; 21); (40; 23); (40;24); (40; 25); (40; 26); (40; 29); (40; 31); (40; 32); (40; 33); (40; 34); (40; 37); (40; 39); (41; 4); (41;8); (41; 9); (41; 15); (41; 16); (41; 18); (41; 23); (41; 25); (41; 26); (41; 31); (41; 33); (41; 34); (41;35); (41;36); (41;37); (41; 40); (42;4); (42;8); (42;9); (42;13); (42; 14); (42;15); (42;23); (42; 25);(42; 26); (42; 31); (42; 33); (42; 34); (42; 35); (42; 36); (42; 37); (42; 40); (42; 41); (43; 5); (43; 9);(43; 15); (43; 16); (43; 17); (43; 18); (43; 26); (43; 27); (43; 28); (43; 33); (43; 35); (43; 36); (43; 40);(43; 42); (44; 1); (44; 9); (44; 14); (44; 15); (44; 16); (44; 18); (44; 19); (44; 20); (44; 26); (44; 33);(44;35); (44; 36); (44;40); (44;42); (44; 43); (45;2); (45;5); (45;6); (45;16); (45; 17); (45;18); (45;21); (45; 22); (45; 27); (45; 28); (45; 29); (45; 30); (45; 36); (45; 42); (45; 44); (46; 1); (46; 5); (46;10); (46; 16); (46; 17); (46; 18); (46; 19); (46; 20); (46; 27); (46; 28); (46; 36); (46; 37); (46; 38); (46;42); (46; 44); (46; 45); (47; 7); (47; 8); (47; 12); (47; 13); (47; 16); (47; 17); (47; 24); (47; 25); (47;29); (47; 31); (47; 32); (47; 33); (47; 34); (47; 39); (47; 41); (47; 42); (47; 43); (47; 44); (48; 7); (48;8); (48; 9); (48; 12); (48; 13); (48; 14); (48; 24); (48; 25); (48; 29); (48; 31); (48; 32); (48; 33); (48;34); (48; 35); (48; 36); (48; 39); (48; 41); (48; 42); (48; 43); (48; 44); (48; 45); (48; 46); (48; 47); (49;1); (49; 8); (49;9); (49;13); (49;14); (49; 18); (49;19); (49;20); (49; 25); (49;31); (49;33); (49; 34);(49;35); (49; 36); (49;41); (49;43); (49; 44); (49;45); (49;46); (49; 47); (50;2); (50;8); (50;9); (50;13); (50; 14); (50; 17); (50; 21); (50; 22); (50; 25); (50; 31); (50; 33); (50; 34); (50; 35); (50; 36); (50;41); (50;43); (50;44); (50; 45); (50;46); (50;47); (50; 49); (51;1); (51;5); (51;9); (51;10); (51; 14);(51; 18); (51; 19); (51; 20); (51; 27); (51; 28); (51; 33); (51; 35); (51; 36); (51; 37); (51; 38); (51; 43);(51; 45); (51; 46); (51; 47); (51; 50); (52; 1); (52; 2); (52; 3); (52; 9); (52; 14); (52; 18); (52; 19); (52;20); (52; 21); (52; 22); (52; 23); (52; 24); (52; 33); (52; 35); (52; 36); (52; 43); (52; 45); (52; 46); (52;47); (52;50); (52;51); (53; 2); (53; 5); (53; 6); (53;13); (53;14); (53; 17); (53;21); (53;22); (53; 27);(53; 28); (53; 29); (53; 30); (53; 34); (53; 35); (53; 41); (53; 43); (53; 44); (53; 45); (53; 46); (53; 49);(53;51); (53; 52); (54;1); (54;2); (54;3); (54;13); (54; 14); (54;17); (54;19); (54; 20); (54;21); (54;22); (54; 23); (54; 24); (54; 34); (54; 35); (54; 41); (54; 43); (54; 44); (54; 45); (54; 46); (54; 49); (54;51); (54; 52); (54;53)g$S = f19;20; 21;22;23;24;25;26;27;28;29;30; 31;32;33;34;35;36;37;38;39;40;41; 42;43;44;45;46;47; 48; 49; 50;51;52;53;54gT = f1; 2; 3; 4;5; 6; 7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18gP = f(19;1); (19;3); (20; 1); (20;10); (21;2); (21; 3); (22; 2); (22;6); (23;3); (23;4); (24; 3); (24;7); (25;4); (25; 8); (26; 4); (26; 15); (27; 5); (27; 6); (28; 5); (28; 10); (29; 6); (29; 7); (30; 6); (30; 11); (31;7); (31; 8); (32; 7); (32; 12); (33; 8); (33; 9); (34; 8); (34; 13); (35; 9); (35; 14); (36; 9); (36; 18); (37;4); (37; 10); (38; 10); (38; 11); (39; 11); (39; 12); (40; 11); (40; 15); (41; 12); (41; 13); (42; 12); (42;16); (43;13); (43;14); (44; 13); (44;17); (45;1); (45;14); (46; 2); (46; 14); (47;9); (47;15); (48; 15);(48;16); (49; 16); (49;17); (50;16); (50; 18); (51;2); (51;17); (52;5); (52;17); (53; 1); (53;18); (54;5); (54; 18)gF = f(1; 45); (1; 53); (2; 46); (2; 51); (3; 19); (3; 21); (4; 23); (4; 37); (5; 52); (5; 54); (6; 22); (6; 27); (7;24); (7; 29); (8; 25); (8; 31); (9; 33); (9; 47); (10; 20); (10; 28); (11; 30); (11; 38); (12; 32); (12; 39);(13; 34); (13; 41); (14; 35); (14; 43); (15; 26); (15; 40); (16; 42); (16; 48); (17; 44); (17; 49); (18; 36);(18; 50); (19; 1); (20; 1); (21; 2); (22;2); (23;3); (24;3); (25; 4); (26; 4); (27; 5); (28; 5); (29; 6); (30;6); (31;7); (32; 7); (33;8); (34; 8); (35;9); (36; 9); (37;10); (38;10); (39; 11); (40; 11); (41;12); (42;12); (43; 13); (44; 13); (45; 14); (46; 14); (47; 15); (48; 15); (49; 16); (50; 16); (51; 17); (52; 17); (53;18); (54; 18)gEs gelten die Axiome VST, DIS, SYM, IRR, KAA, KOH, IMK, LKO, EKO, NDI, LCT, LOR, LFO,KOR, ERL und LSL.Die Axiome KDI, CIL und KSE gelten nicht.

144 ANHANG C. COMPUTERANALYSE DER BEISPIELEC.8 Zykloid 4422X = f1;2; 3;4;5;6; 7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19;20;21;22;23;24;25;26;27;28;29;30;31;32; 33; 34; 35;36;37;38;39;40;41;42;43;44;45;46;47;48gli = f(3; 1); (3; 2); (4; 1); (4; 2); (4; 3); (6; 2); (6; 5); (7; 1); (7; 2); (7; 3); (7; 5); (7; 6); (8; 1); (8; 2); (8;3); (8; 4); (8; 6); (8; 7); (9; 4); (10; 5); (10; 9); (11; 2); (11; 5); (11; 6); (11; 9); (11; 10); (12; 2); (12;3); (12; 5); (12; 6); (12; 7); (12; 10); (12; 11); (13; 1); (13; 4); (13;8); (13;9); (14;1); (14; 5); (14; 9);(14; 10); (14; 13); (15; 5); (15; 6); (15; 9); (15; 10); (15; 11); (15; 13); (15; 14); (16; 1); (16; 3); (16;4); (16; 9); (16; 10); (16; 13); (16; 14); (17; 1); (17; 3); (17; 4); (17; 7); (17; 8); (17; 16); (18; 1); (18;4); (18; 8); (18; 13); (18; 14); (18; 16); (19; 2); (19; 3); (19; 4); (19; 7); (19; 8); (19; 12); (20; 2); (20;6); (20; 7); (20; 8); (20; 11); (20; 12); (21; 1); (21; 2); (21; 3); (21; 4); (21; 8); (21; 16); (21; 17); (21;19); (22; 1); (22; 2); (22; 3); (22; 7); (22; 8); (22; 12); (22; 17); (22; 19); (23; 1); (23; 2); (23; 3); (23;4); (23; 8); (23; 13); (23; 17); (23; 18); (23; 19); (23; 21); (24; 1); (24; 3); (24; 4); (24; 9); (24; 13);(24; 16); (24; 17); (24; 18); (24; 21); (25; 5); (25; 6); (25; 7); (25; 11); (25; 12); (25; 15); (26; 5); (26;10); (26; 11); (26; 12); (26; 14); (26; 15); (27; 2); (27; 5); (27; 6); (27; 7); (27; 8); (27; 12); (27; 20);(27; 25); (28; 2); (28; 5); (28; 6); (28; 11); (28; 12); (28; 15); (28; 20); (28; 25); (29; 1); (29; 2); (29;3); (29;6); (29; 7); (29;8); (29; 17); (29; 19); (29;20); (29;22); (29; 27); (30; 2); (30;3); (30; 5); (30;6); (30; 7); (30; 12); (30; 19); (30; 20); (30; 22); (30; 25); (30; 27); (31; 1); (31; 3); (31; 4); (31; 7);(31; 8); (31; 13); (31; 17); (31; 18); (31; 21); (31; 22); (31; 23); (31; 29); (32; 2); (32; 3); (32; 4); (32;6); (32; 7); (32; 8); (32; 19); (32; 20); (32; 21); (32; 22); (32; 23); (32; 27); (32; 29); (33; 9); (33; 10);(33; 11); (33; 14); (33; 15); (33; 16); (34; 4); (34; 9); (34; 13); (34; 14); (34; 15); (34; 16); (34; 24);(35; 5); (35; 9); (35; 10); (35; 11); (35; 12); (35; 15); (35; 26); (35; 33); (36; 5); (36; 9); (36; 10); (36;14); (36;15); (36;16); (36; 26); (36;33); (37;2); (37;5); (37;6); (37; 10); (37;11); (37;12); (37; 20);(37;25); (37; 26); (37;28); (37;35); (38; 5); (38; 6); (38; 9); (38;10); (38;11); (38; 15); (38;25); (38;26); (38; 28); (38; 33); (38; 35); (39; 2); (39; 3); (39; 6); (39; 7); (39; 11); (39; 12); (39; 19); (39; 20);(39;22); (39; 27); (39;28); (39;30); (39; 37); (40;5); (40;6); (40;7); (40;10); (40; 11); (40;12); (40;25); (40; 26); (40; 27); (40; 28); (40; 30); (40; 35); (40; 37); (41; 1); (41; 4); (41; 8); (41; 9); (41; 13);(41; 16); (41; 18); (41; 23); (41; 24); (41; 31); (41; 34); (42; 1); (42; 9); (42; 13); (42; 14); (42; 15);(42; 16); (42; 18); (42; 34); (43; 5); (43; 9); (43; 10); (43; 13); (43; 14); (43; 15); (43; 26); (43; 33);(43; 34); (43; 36); (43; 42); (44; 1); (44; 9); (44; 10); (44; 13); (44; 14); (44; 16); (44; 18); (44; 33);(44; 34); (44; 36); (44; 42); (45; 5); (45; 6); (45; 10); (45; 11); (45; 14); (45; 15); (45; 25); (45; 26);(45; 28); (45; 35); (45; 36); (45; 38); (45; 43); (46; 9); (46; 10); (46; 11); (46; 13); (46; 14); (46; 15);(46;33); (46; 34); (46;35); (46;36); (46; 38); (46;42); (46;43); (47; 1); (47; 3); (47; 4); (47;13); (47;14); (47; 16); (47; 17); (47; 18); (47; 21); (47; 24); (47; 41); (47; 42); (47; 44); (48; 4); (48; 9); (48;10); (48; 13); (48;14); (48;16); (48;24); (48; 33); (48; 34); (48;36); (48;41); (48; 42); (48; 44)g$S = f17;18; 19;20;21;22;23;24;25;26;27;28; 29;30;31;32;33;34;35;36;37;38;39; 40;41;42;43;44;45; 46; 47; 48gT = f1; 2; 3; 4;5; 6; 7;8;9;10;11;12;13;14;15;16gP = f(17;1); (17;3); (18; 1); (18;13); (19;2); (19; 3); (20; 2); (20;6); (21;3); (21;4); (22; 3); (22;7); (23;4); (23; 8); (24; 4); (24; 16); (25; 5); (25; 6); (26; 5); (26; 10); (27; 6); (27; 7); (28; 6); (28; 11); (29;7); (29; 8); (30; 7); (30; 12); (31; 1); (31; 8); (32; 2); (32; 8); (33; 9); (33; 10); (34; 9); (34; 13); (35;10); (35; 11); (36; 10); (36; 14); (37; 11); (37; 12); (38; 11); (38; 15); (39; 2); (39; 12); (40; 5); (40;12); (41;4); (41;13); (42;13); (42; 14); (43;14); (43;15); (44; 14); (44;16); (45;5); (45;15); (46; 9);(46; 15); (47; 1); (47;16); (48; 9); (48;16)gF = f(1; 17); (1; 18); (2; 19); (2; 20); (3; 21); (3; 22); (4; 23); (4; 24); (5; 25); (5; 26); (6; 27); (6; 28); (7;29); (7; 30); (8; 31); (8; 32); (9; 33); (9; 34); (10; 35); (10; 36); (11; 37); (11; 38); (12; 39); (12; 40);(13; 41); (13; 42); (14; 43); (14; 44); (15; 45); (15; 46); (16; 47); (16; 48); (17; 3); (18; 13); (19; 3);(20; 6); (21; 4); (22; 7); (23; 8); (24; 16); (25; 6); (26; 10); (27; 7); (28; 11); (29; 8); (30; 12); (31; 1);(32; 2); (33; 10); (34; 13); (35; 11); (36; 14); (37; 12); (38; 15); (39; 2); (40; 5); (41; 4); (42; 14); (43;15); (44; 16); (45;5); (46; 9); (47;1); (48;9)gEs gelten die Axiome VST, DIS, SYM, IRR, KAA, KOH, IMK, LKO, EKO, KDI, NDI, LCT, LOR,LFO und KOR.

C.9. FÜNFECK 145Die Axiome ERL, LSL, CIL und KSE gelten nicht.C.9 FünfeckX = f1; 2; 3; 4; 5;6;7; 8; 9;10gco = f(4;1); (4; 2); (5;1); (5; 2); (6;1); (6; 2); (6;3); (6; 4); (7;1); (7; 2); (7; 3); (7; 4); (8; 1); (8; 2); (8; 3);(8; 4); (8; 5); (8; 6); (9; 2); (9; 3); (9; 4); (9; 5); (9; 6); (10; 2); (10; 3); (10; 4); (10; 5); (10; 6); (10; 7);(10; 8)g$li = f(2; 1); (3; 1); (3; 2); (4; 3); (5; 3); (5; 4); (6; 5); (7; 5); (7; 6); (8; 7); (9; 1); (9; 7); (9; 8); (10; 1); (10;9)g$S = f2; 4; 6; 8;10gT = f1; 3; 5; 7;9gP = f(2; 1); (2; 3); (4; 3); (4;5); (6;5); (6; 7); (8;7); (8;9); (10; 1); (10;9)gCuts = ff1; 4; 6; 8g; f1; 4; 7g; f1; 5; 8g; f2; 4; 6; 8; 10g; f2; 4; 6; 9g; f2; 4; 7; 10g; f2; 5; 8; 10g; f2; 5; 9g;f3; 6; 8; 10g; f3; 6; 9g; f3; 7;10ggLines = ff1; 2; 3g; f1; 9;10g; f3; 4;5g;f5;6;7g;f7;8;9ggEs gelten die Axiome VST, DIS, SYM, IRR, KAA, KOH, IMK, LKO, EKO, KDI, NDI, LCT undLOR.Die Axiome LFO, KOR, ERL, LSL, CIL und KSE gelten nicht.C.10 Kleinsche FlascheX = f1;2; 3;4;5;6; 7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19;20;21;22;23;24;25;26;27;28;29;30;31;32; 33; 34; 35;36;37;38;39;40;41;42;43;44;45;46;47;48gli = f(3; 1); (3; 2); (4; 1); (4; 2); (4; 3); (6; 2); (6; 3); (6; 5); (7; 1); (7; 2); (7; 3); (7; 5); (7; 6); (8; 1); (8;2); (8; 3); (8; 4); (8; 7); (9; 4); (10; 5); (10; 9); (11; 2); (11; 5); (11; 6); (11; 9); (11; 10); (12; 2); (12;5); (12; 6); (12; 7); (12; 8); (12; 10); (12; 11); (13; 1); (13; 4); (13;8); (13;9); (14; 1); (14; 5); (14; 9);(14; 10); (14; 13); (15; 5); (15; 6); (15; 9); (15; 10); (15; 11); (15; 13); (15; 14); (16; 1); (16; 3); (16;4); (16; 9); (16; 10); (16; 13); (16; 14); (17; 1); (17; 3); (17; 4); (17; 7); (17; 8); (17; 16); (18; 1); (18;4); (18; 8); (18; 13); (18; 14); (18; 16); (19; 2); (19; 3); (19; 4); (19; 6); (19; 7); (19; 8); (20; 2); (20;3); (20; 6); (20; 7); (20; 11); (20; 12); (20; 19); (21; 1); (21; 2); (21; 3); (21; 4); (21; 8); (21; 16); (21;17); (21; 19); (22;1); (22; 2); (22;3); (22; 6); (22;7); (22; 8); (22;17); (22;19); (22; 20); (23; 1); (23;2); (23;3); (23; 4); (23;8); (23; 13); (23; 17); (23;18); (23;19); (23; 21); (24; 1); (24;3); (24; 4); (24;9); (24; 13); (24; 16); (24; 17); (24; 18); (24; 21); (25; 5); (25; 6); (25; 7); (25; 11); (25; 12); (25; 15);(26; 5); (26; 10); (26; 11); (26; 12); (26; 14); (26; 15); (27; 2); (27; 3); (27; 5); (27; 6); (27; 7); (27;12); (27;19); (27;20); (27; 22); (27;25); (28;2); (28;5); (28;6); (28; 11); (28;12); (28;15); (28; 20);(28;25); (29; 1); (29; 2); (29; 3); (29; 7); (29; 8); (29; 12); (29;17); (29; 19); (29; 22); (30; 2); (30; 5);(30;6); (30; 7); (30;8); (30; 12); (30; 20); (30;25); (30; 27); (30; 29); (31; 1); (31; 3); (31; 4); (31; 7);(31; 8); (31; 13); (31; 17); (31; 18); (31; 21); (31; 22); (31; 23); (31; 29); (32; 2); (32; 3); (32; 4); (32;7); (32; 8); (32;12); (32;19); (32; 21); (32; 22); (32;23); (32;29); (32; 30); (33;9); (33;10); (33; 11);(33;14); (33; 15); (33;16); (34;4); (34;9); (34;13); (34; 14); (34;15); (34;16); (34; 24); (35;5); (35;9); (35; 10); (35;11); (35;12); (35; 15); (35;26); (35;33); (36; 5); (36; 9); (36;10); (36;14); (36; 15);(36;16); (36; 26); (36;33); (37;2); (37;5); (37;6); (37; 10); (37;11); (37;12); (37; 20); (37;25); (37;26); (37;28); (37;35); (38; 5); (38; 6); (38; 9); (38;10); (38;11); (38; 15); (38;25); (38;26); (38; 28);(38; 33); (38; 35); (39; 2); (39; 6); (39; 7); (39; 8); (39; 11); (39; 12); (39; 20); (39; 27); (39; 28); (39;29); (39;30); (39;32); (39; 37); (40;5); (40;6); (40;7); (40;10); (40; 11); (40;12); (40;25); (40; 26);(40; 27); (40; 28); (40; 30); (40; 35); (40; 37); (41; 1); (41; 4); (41; 8); (41; 9); (41; 13); (41; 16); (41;18); (41; 23); (41; 24); (41; 31); (41; 34); (42; 1); (42; 9); (42; 13); (42; 14); (42; 15); (42; 16); (42;

146 ANHANG C. COMPUTERANALYSE DER BEISPIELE18); (42; 34); (43; 5); (43; 9); (43; 10); (43; 13); (43; 14); (43; 15); (43; 26); (43; 33); (43; 34); (43;36); (43; 42); (44; 1); (44; 9); (44; 10); (44; 13); (44; 14); (44; 16); (44; 18); (44; 33); (44; 34); (44;36); (44; 42); (45; 5); (45; 6); (45; 10); (45; 11); (45; 14); (45; 15); (45; 25); (45; 26); (45; 28); (45;35); (45; 36); (45; 38); (45; 43); (46; 9); (46; 10); (46; 11); (46; 13); (46; 14); (46; 15); (46; 33); (46;34); (46;35); (46;36); (46; 38); (46;42); (46;43); (47; 1); (47; 3); (47; 4); (47;13); (47;14); (47; 16);(47; 17); (47; 18); (47; 21); (47; 24); (47; 41); (47; 42); (47; 44); (48; 4); (48; 9); (48; 10); (48; 13);(48; 14); (48; 16); (48;24); (48;33); (48; 34); (48; 36); (48;41); (48;42); (48;44)g$S = f17;18; 19;20;21;22;23;24;25;26;27;28; 29;30;31;32;33;34;35;36;37;38;39; 40;41;42;43;44;45; 46; 47; 48gT = f1; 2; 3; 4;5; 6; 7;8;9;10;11;12;13;14;15;16gP = f(17;1); (17;3); (18; 1); (18;13); (19;2); (19; 3); (20; 2); (20;6); (21;3); (21;4); (22; 3); (22;7); (23;4); (23; 8); (24; 4); (24; 16); (25; 5); (25; 6); (26; 5); (26; 10); (27; 6); (27; 7); (28; 6); (28; 11); (29;7); (29; 8); (30; 7); (30; 12); (31; 1); (31; 8); (32; 2); (32; 8); (33; 9); (33; 10); (34; 9); (34; 13); (35;10); (35; 11); (36; 10); (36; 14); (37; 11); (37; 12); (38; 11); (38; 15); (39; 2); (39; 12); (40; 5); (40;12); (41;4); (41;13); (42;13); (42; 14); (43;14); (43;15); (44; 14); (44;16); (45;5); (45;15); (46; 9);(46; 15); (47; 1); (47;16); (48; 9); (48;16)gEs gelten die Axiome VST, DIS, SYM, IRR, KAA, KOH, IMK, LKO, EKO, KDI, NDI, LCT, LORund LFO.Die Axiome KOR, ERL, LSL, CIL und KSE gelten nicht.C.11 Anti-LKOX = f1; 2; 3; 4; 5;6;7; 8; 9;10;11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22;23;24;25;26;27;28;29;30gco = f(2;1); (3; 1); (3;2); (4; 1); (4;2); (4; 3); (5;1); (5; 2); (5;3); (5; 4); (6; 1); (6; 2); (6; 3); (7; 2); (7; 6);(8; 2); (8; 6); (9; 2); (9; 6); (9; 8); (10; 9); (11; 9); (12; 9); (12; 11); (13; 12); (14; 12); (16; 4); (16; 5);(16;6); (16; 12); (16; 14); (16;15); (17; 4); (17; 5); (17; 6); (17; 16); (18;4); (18; 5); (18;6); (18; 16);(18; 17); (19; 1); (19; 2); (19; 3); (19; 6); (19; 12); (19; 14); (19; 15); (19; 16); (19; 17); (19; 18); (20;1); (20; 2); (20; 3); (20; 4); (20; 5); (20; 16); (20; 17); (20; 18); (21; 1); (21; 2); (21; 3); (21; 6); (21;16); (21; 17); (21; 18); (21; 19); (22; 18); (22; 20); (23; 18); (23; 20); (24; 18); (24; 20); (24; 23); (25;24); (26; 24); (27;1); (27; 4); (27;24); (27;26); (28;27); (29; 1); (29;4); (29;27); (30; 1); (30;4)g$S = f1; 2; 3; 4;5;6; 8; 9;11;12; 14; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 23; 24; 26; 27;29gT = f7; 10; 13; 15; 22; 25; 28; 30gP = f(1; 7); (1; 28); (2; 10); (2; 30); (3; 7); (3; 30); (4; 22); (4; 28); (5; 22); (5; 30); (6; 10); (6; 15); (8; 7);(8; 10); (9; 7); (9; 13); (11; 10); (11; 13); (12; 10); (12; 15); (14; 13); (14; 15); (16; 13); (16; 22); (17;15); (17; 22); (18; 15); (18; 25); (19; 7); (19; 13); (20; 25); (20; 30); (21; 7); (21; 15); (23; 22); (23;25); (24; 22); (24;28); (26;25); (26;28); (27; 25); (27; 30); (29;28); (29;30)gF = f(1; 7); (2; 10); (3; 7); (4; 22); (5; 22); (6; 10); (7; 8); (7; 9); (8; 10); (9; 13); (10; 11); (10; 12); (11;13); (12; 15); (13; 14); (13; 16); (13; 19); (14; 15); (15; 6); (15; 17); (15; 18); (15; 21); (16; 22); (17;22); (18; 25); (19; 7); (20; 25); (21; 7); (22; 23); (22; 24); (23; 25); (24; 28); (25; 26); (25; 27); (26;28); (27; 30); (28;1); (28; 4); (28;29); (29;30); (30;2); (30; 3); (30;5); (30; 20)gCuts = ff1;2; 3; 4;5; 20g;f1; 2;3; 6; 19;21g;f1; 4;27; 29g;f1;4; 30g;f2;6; 7g;f2; 6;8; 9g; f4;5; 16;17;18; 20g; f6; 16; 17; 18; 19; 21g; f9; 10g; f9; 11; 12g; f12; 13g;f12; 14; 16; 19g; f15; 16; 19g; f18; 20;22g; f18; 20;23;24g; f24;25g;f24; 26; 27g; f27;28ggLines = ff1; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 15; 17; 22; 23; 25; 26; 28g; f1; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 15; 17; 22; 24; 28g; f1;7; 8; 10; 11; 13; 14; 15; 18; 25; 26; 28g; f1; 7; 8; 10; 11; 13; 16; 22; 23; 25; 26; 28g; f1; 7; 8; 10; 11; 13;16;22; 24;28g; f1;7; 8; 10;12; 15;17; 22; 23;25; 26;28g; f1;7; 8; 10;12; 15;17; 22;24; 28g;f1; 7; 8;10; 12; 15; 18; 25; 26; 28g; f1; 7; 9; 13; 14; 15; 17; 22; 23; 25; 26; 28g; f1; 7; 9; 13; 14; 15; 17; 22; 24;28g; f1; 7; 9; 13; 14; 15; 18; 25; 26; 28g; f1; 7; 9; 13; 16; 22; 23; 25; 26; 28g; f1; 7; 9; 13; 16; 22; 24;

C.12. ANTI-EKO 14728g;f2;10; 11;13; 14;15;17; 22;23; 25;26;28; 29;30g; f2;10;11; 13;14; 15;17; 22;23;25; 27;30g;f2; 10; 11; 13; 14; 15; 17; 22; 24; 28; 29; 30g; f2; 10; 11; 13; 14; 15; 18; 25; 26; 28; 29; 30g; f2; 10; 11;13; 14; 15; 18; 25; 27; 30g; f2; 10; 11; 13; 16; 22; 23; 25; 26; 28; 29; 30g; f2; 10; 11; 13; 16; 22; 23; 25;27; 30g; f2; 10; 11; 13; 16; 22; 24; 28; 29; 30g; f2; 10; 12; 15; 17; 22; 23; 25; 26; 28; 29; 30g; f2; 10;12; 15; 17; 22; 23; 25; 27; 30g; f2; 10; 12; 15; 17; 22; 24; 28; 29; 30g; f2; 10; 12; 15; 18; 25; 26; 28; 29;30g; f2; 10; 12; 15; 18; 25; 27; 30g; f3; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 15; 17; 22; 23; 25; 26; 28; 29; 30g; f3; 7; 8;10; 11; 13; 14; 15; 17; 22; 23; 25; 27; 30g; f3; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 15; 17; 22; 24; 28; 29; 30g; f3; 7; 8;10; 11; 13; 14; 15; 18; 25; 26; 28; 29; 30g; f3; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 15; 18; 25; 27; 30g; f3; 7; 8; 10; 11;13; 16; 22; 23; 25; 26; 28; 29; 30g; f3; 7; 8; 10; 11; 13; 16; 22; 23; 25; 27; 30g; f3; 7; 8; 10; 11; 13; 16;22; 24; 28; 29; 30g; f3; 7; 8; 10; 12; 15; 17; 22; 23; 25; 26; 28; 29; 30g; f3; 7; 8; 10; 12; 15; 17; 22; 23;25; 27; 30g; f3; 7; 8; 10; 12; 15; 17; 22; 24; 28; 29; 30g; f3; 7; 8; 10; 12; 15; 18; 25; 26; 28; 29; 30g; f3;7; 8; 10; 12; 15; 18; 25; 27; 30g; f3; 7; 9; 13; 14; 15; 17; 22; 23; 25; 26; 28; 29; 30g; f3; 7; 9; 13; 14; 15;17; 22; 23; 25; 27; 30g; f3; 7; 9; 13; 14; 15; 17; 22; 24; 28; 29; 30g; f3; 7; 9; 13; 14; 15; 18; 25; 26; 28;29;30g; f3;7; 9; 13;14; 15;18; 25;27; 30g;f3; 7; 9;13; 16; 22;23; 25;26; 28;29; 30g;f3; 7; 9;13; 16;22;23; 25;27; 30g;f3;7; 9; 13;16; 22;24; 28;29; 30g;f4; 6;10; 11;13; 14;15; 22;23; 25;26; 28g;f4;6;10; 11;13; 14;15; 22;24; 28g;f4; 6;10; 12;15; 22;23; 25;26; 28g;f4; 6;10; 12;15; 22;24; 28g;f4;7; 8; 10; 11; 13; 14; 15; 21; 22; 23; 25; 26; 28g; f4; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 15; 21; 22; 24; 28g; f4; 7; 8; 10;11; 13; 19; 22; 23; 25; 26; 28g; f4; 7; 8; 10; 11; 13; 19; 22; 24; 28g; f4; 7; 8; 10; 12; 15; 21; 22; 23; 25;26;28g; f4;7; 8; 10;12; 15;21; 22;24; 28g;f4; 7; 9;13; 14; 15;21; 22;23; 25;26; 28g;f4; 7; 9;13; 14;15; 21; 22; 24; 28g; f4; 7; 9; 13; 19; 22; 23; 25; 26; 28g; f4; 7; 9; 13; 19; 22; 24; 28g; f5; 6; 10; 11; 13;14;15; 22;23; 25;26; 28;29; 30g;f5;6; 10; 11;13; 14;15; 22;23; 25;27; 30g;f5;6; 10;11; 13;14; 15;22; 24; 28; 29; 30g; f5; 6; 10; 12; 15; 22; 23; 25; 26; 28; 29; 30g; f5; 6; 10; 12; 15; 22; 23; 25; 27; 30g;f5;6; 10; 12;15; 22;24; 28;29; 30g;f5; 7; 8;10; 11;13; 14; 15;21; 22;23; 25;26; 28;29; 30g;f5; 7; 8;10; 11; 13; 14; 15; 21; 22; 23; 25; 27; 30g; f5; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 15; 21; 22; 24; 28; 29; 30g; f5; 7; 8;10; 11; 13; 19; 22; 23; 25; 26; 28; 29; 30g; f5; 7; 8; 10; 11; 13; 19; 22; 23; 25; 27; 30g; f5; 7; 8; 10; 11;13; 19; 22; 24; 28; 29; 30g; f5; 7; 8; 10; 12; 15; 21; 22; 23; 25; 26; 28; 29; 30g; f5; 7; 8; 10; 12; 15; 21;22; 23; 25; 27; 30g; f5; 7; 8; 10; 12; 15; 21; 22; 24; 28; 29; 30g; f5; 7; 9; 13; 14; 15; 21; 22; 23; 25; 26;28; 29; 30g; f5; 7; 9; 13; 14; 15; 21; 22; 23; 25; 27; 30g; f5; 7; 9; 13; 14; 15; 21; 22; 24; 28; 29; 30g; f5;7; 9; 13; 19; 22; 23; 25; 26; 28; 29; 30g; f5; 7; 9; 13; 19; 22; 23; 25; 27; 30g; f5; 7; 9; 13; 19; 22; 24; 28;29;30g;f6; 10;11; 13;14;15; 20;25; 26;28;29; 30g;f6; 10;11;13; 14;15; 20;25; 27;30g;f6; 10;12;15; 20; 25; 26; 28; 29; 30g; f6; 10; 12; 15; 20; 25; 27; 30g; f7; 8; 10; 11; 13; 14; 15; 20; 21; 25; 26; 28;29;30g;f7; 8; 10;11; 13;14; 15;20; 21;25; 27;30g;f7; 8; 10;11; 13;19; 20;25;26; 28;29; 30g;f7; 8;10;11; 13;19; 20;25; 27;30g;f7; 8; 10;12; 15;20; 21;25; 26;28; 29;30g;f7; 8;10; 12;15; 20;21; 25;27;30g;f7; 9; 13;14; 15;20; 21;25; 26;28; 29;30g;f7; 9; 13;14; 15;20; 21;25;27; 30g;f7; 9;13; 19;20; 25; 26; 28;29;30g;f7;9;13;19;20;25;27;30ggEs gelten die Axiome VST, DIS, SYM, IRR, KAA, KOH, IMK, KDI, NDI, LCT, LOR, LFO, KOR,ERL, LSL, CIL und KSE.Die Axiome LKO und EKO gelten nicht.C.12 Anti-EKOX = f1; 2; 3; 4; 5;6;7; 8; 9;10;11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23;24;25;26;27;28;29;30gco = f(2; 1); (3; 1); (3; 2); (4; 1); (4; 2); (4; 3); (5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4); (6; 1); (6; 2); (6; 3); (6; 4); (6;5); (7; 2); (7; 5); (8; 2); (8; 5); (9; 2); (9;5); (9; 8); (10;9); (11; 9); (12;9); (12; 11); (13; 12); (14; 12);(16; 1); (16; 2); (16; 3); (16; 12); (16; 14); (16; 15); (17; 1); (17; 2); (17; 3); (17; 16); (18; 1); (18; 2);(18; 3); (18; 16); (18; 17); (19; 4); (19; 5); (19; 6); (19; 12); (19; 14); (19; 15); (19; 16); (19; 17); (19;18); (20; 4); (20; 5); (20; 6); (20; 16); (20; 17); (20; 18); (20; 19); (21; 4); (21; 5); (21; 6); (21; 16);(21; 17); (21; 18); (21; 19); (21; 20); (22; 18); (22; 21); (23; 18); (23; 21); (24; 18); (24; 21); (24; 23);(25; 24); (26; 24); (27; 1); (27; 4); (27; 24); (27; 26); (28; 27); (29; 1); (29; 4); (29; 27); (30; 1); (30;4)g$S = f1; 2; 3; 4;5;6; 8; 9;11;12; 14; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 23; 24; 26; 27;29gT = f7; 10; 13; 15; 22; 25; 28; 30g

148 ANHANG C. COMPUTERANALYSE DER BEISPIELEP = f(1; 7); (1; 28); (2; 10); (2; 30); (3; 7); (3; 30); (4; 7); (4; 28); (5; 10); (5; 30); (6; 7); (6; 30); (8; 7); (8;10); (9; 7); (9; 13); (11;10); (11;13); (12; 10); (12;15); (14;13); (14; 15); (16;13); (16;22); (17; 15);(17; 22); (18; 15); (18; 25); (19; 13); (19; 22); (20; 15); (20; 22); (21; 15); (21; 25); (23; 22); (23; 25);(24; 22); (24; 28); (26;25); (26;28); (27; 25); (27; 30); (29;28); (29;30)gF = f(1; 7); (2; 10); (3; 7); (4; 7); (5; 10); (6; 7); (7; 8); (7; 9); (8; 10); (9; 13); (10; 11); (10; 12); (11; 13);(12; 15); (13; 14); (13; 16); (13; 19); (14; 15); (15; 17); (15; 18); (15; 20); (15; 21); (16; 22); (17; 22);(18; 25); (19; 22); (20; 22); (21; 25); (22; 23); (22; 24); (23; 25); (24; 28); (25; 26); (25; 27); (26; 28);(27; 30); (28; 1); (28;4); (28; 29); (29;30); (30;2); (30; 3); (30;5); (30; 6)gCuts = ff1; 2; 3; 4; 5; 6g; f1; 2; 3; 16; 17; 18g; f1; 4; 27; 29g; f1; 4; 30g; f2; 5; 7g; f2; 5; 8; 9g; f4; 5; 6; 19;20;21g;f9;10g;f9;11;12g;f12;13g;f12;14;16;19g;f15;16;19g;f16;17; 18;19;20;21g;f18;21;22g; f18; 21;23;24g; f24;25g;f24; 26; 27g; f27;28ggLines = ff1; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 15; 20; 22; 23; 25; 26; 28g; f1; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 15; 20; 22; 24; 28g; f1;7; 8; 10; 11; 13; 14; 15; 21; 25; 26; 28g; f1; 7; 8; 10; 11; 13; 19; 22; 23; 25; 26; 28g; f1; 7; 8; 10; 11; 13;19; 22; 24; 28g; f1; 7; 8; 10; 12; 15; 20; 22; 23; 25; 26; 28g; f1; 7; 8; 10; 12; 15; 20; 22; 24; 28g; f1; 7;8; 10; 12; 15; 21; 25; 26; 28g; f1; 7; 9; 13; 14; 15; 20; 22; 23; 25; 26; 28g; f1; 7; 9; 13; 14; 15; 20; 22;24; 28g; f1; 7; 9; 13; 14; 15; 21; 25; 26; 28g; f1; 7; 9; 13; 19; 22; 23; 25; 26; 28g; f1; 7; 9; 13; 19; 22;24; 28g; f2; 10; 11; 13; 14; 15; 20; 22; 23; 25; 26; 28; 29; 30g; f2; 10; 11; 13; 14; 15; 20; 22; 23; 25; 27;30g;f2;10; 11;13; 14;15;20; 22;24; 28;29;30g; f2;10; 11;13;14; 15;21; 25;26; 28;29;30g; f2;10;11; 13; 14; 15; 21; 25; 27; 30g; f2; 10; 11; 13; 19; 22; 23; 25; 26; 28; 29; 30g; f2; 10; 11; 13; 19; 22; 23;25; 27; 30g; f2; 10; 11; 13; 19; 22; 24; 28; 29; 30g; f2; 10; 12; 15; 20; 22; 23; 25; 26; 28; 29; 30g; f2;10; 12; 15; 20; 22; 23; 25; 27; 30g; f2; 10; 12; 15; 20; 22; 24; 28; 29; 30g; f2; 10; 12; 15; 21; 25; 26; 28;29; 30g; f2; 10; 12; 15; 21; 25; 27; 30g; f3; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 15; 20; 22; 23; 25; 26; 28; 29; 30g; f3;7; 8; 10; 11; 13; 14; 15; 20; 22; 23; 25; 27; 30g; f3; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 15; 20; 22; 24; 28; 29; 30g; f3;7; 8; 10; 11; 13; 14; 15; 21; 25; 26; 28; 29; 30g; f3; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 15; 21; 25; 27; 30g; f3; 7; 8; 10;11; 13; 19; 22; 23; 25; 26; 28; 29; 30g; f3; 7; 8; 10; 11; 13; 19; 22; 23; 25; 27; 30g; f3; 7; 8; 10; 11; 13;19; 22; 24; 28; 29; 30g; f3; 7; 8; 10; 12; 15; 20; 22; 23; 25; 26; 28; 29; 30g; f3; 7; 8; 10; 12; 15; 20; 22;23; 25; 27; 30g; f3; 7; 8; 10; 12; 15; 20; 22; 24; 28; 29; 30g; f3; 7; 8; 10; 12; 15; 21; 25; 26; 28; 29; 30g;f3; 7; 8; 10; 12; 15; 21; 25; 27; 30g; f3; 7; 9; 13; 14; 15; 20; 22; 23; 25; 26; 28; 29; 30g; f3; 7; 9; 13; 14;15; 20; 22; 23; 25; 27; 30g; f3; 7; 9; 13; 14; 15; 20; 22; 24; 28; 29; 30g; f3; 7; 9; 13; 14; 15; 21; 25; 26;28; 29; 30g; f3; 7; 9; 13; 14; 15; 21; 25; 27; 30g; f3; 7; 9; 13; 19; 22; 23; 25; 26; 28; 29; 30g; f3; 7; 9;13; 19; 22; 23; 25; 27; 30g; f3; 7; 9; 13; 19; 22; 24; 28; 29; 30g; f4; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 15; 17; 22; 23;25; 26; 28g; f4; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 15; 17; 22; 24; 28g; f4; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 15; 18; 25; 26; 28g; f4;7; 8; 10; 11; 13; 16; 22; 23; 25; 26; 28g; f4; 7; 8; 10; 11; 13; 16; 22; 24; 28g; f4; 7; 8; 10; 12; 15; 17; 22;23;25; 26;28g; f4;7; 8; 10;12; 15;17; 22; 24;28g;f4; 7; 8; 10;12; 15;18; 25;26; 28g;f4; 7; 9;13; 14;15; 17; 22; 23; 25; 26; 28g; f4; 7; 9; 13; 14; 15; 17; 22; 24; 28g; f4; 7; 9; 13; 14; 15; 18; 25; 26; 28g; f4;7; 9; 13; 16; 22; 23; 25; 26; 28g; f4; 7; 9; 13; 16; 22; 24; 28g; f5; 10; 11; 13; 14; 15; 17; 22; 23; 25; 26;28;29;30g; f5;10; 11;13;14; 15;17; 22;23;25; 27;30g; f5;10;11; 13;14; 15;17; 22;24;28; 29;30g;f5; 10; 11; 13; 14; 15; 18; 25; 26; 28; 29; 30g; f5; 10; 11; 13; 14; 15; 18; 25; 27; 30g; f5; 10; 11; 13; 16;22;23;25; 26;28; 29;30g;f5; 10;11; 13;16;22; 23;25; 27;30g;f5; 10;11; 13;16; 22;24;28; 29;30g;f5; 10; 12; 15; 17; 22; 23; 25; 26; 28; 29; 30g; f5; 10; 12; 15; 17; 22; 23; 25; 27; 30g; f5; 10; 12; 15; 17;22; 24; 28; 29; 30g; f5; 10; 12; 15; 18; 25; 26; 28; 29; 30g; f5; 10; 12; 15; 18; 25; 27; 30g; f6; 7; 8; 10;11; 13; 14; 15; 17; 22; 23; 25; 26; 28; 29; 30g; f6; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 15; 17; 22; 23; 25; 27; 30g; f6; 7;8;10; 11; 13;14; 15;17; 22;24; 28;29; 30g;f6; 7; 8;10; 11; 13;14; 15;18; 25;26; 28;29; 30g;f6; 7; 8;10; 11; 13; 14; 15; 18; 25; 27; 30g; f6; 7; 8; 10; 11; 13; 16; 22; 23; 25; 26; 28; 29; 30g; f6; 7; 8; 10; 11;13; 16; 22; 23; 25; 27; 30g; f6; 7; 8; 10; 11; 13; 16; 22; 24; 28; 29; 30g; f6; 7; 8; 10; 12; 15; 17; 22; 23;25; 26; 28; 29; 30g; f6; 7; 8; 10; 12; 15; 17; 22; 23; 25; 27; 30g; f6; 7; 8; 10; 12; 15; 17; 22; 24; 28; 29;30g;f6; 7;8; 10; 12;15; 18;25; 26;28; 29; 30g;f6;7; 8; 10; 12;15; 18;25; 27;30g; f6;7; 9; 13;14; 15;17; 22; 23; 25; 26; 28; 29; 30g; f6; 7; 9; 13; 14; 15; 17; 22; 23; 25; 27; 30g; f6; 7; 9; 13; 14; 15; 17; 22;24;28; 29;30g; f6;7; 9; 13;14; 15;18; 25; 26;28; 29;30g; f6;7; 9; 13;14; 15;18; 25;27; 30g;f6; 7; 9;13; 16; 22; 23; 25; 26; 28; 29; 30g; f6; 7; 9; 13; 16; 22; 23; 25; 27; 30g; f6; 7; 9; 13; 16; 22; 24; 28; 29;30ggEs gelten die Axiome VST, DIS, SYM, IRR, KAA, KOH, IMK, LKO, KDI, NDI, LCT, LOR, LFO,

C.12. ANTI-EKO 149KOR, ERL, LSL und CIL.Die Axiome EKO und KSE gelten nicht.

Anhang DDarstellungsverzeichnis2.1 Darstellung der Relationen co und li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Darstellung der Relationen P und im . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Motivation der Axiome LCT, LOR und LFO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1 Unendliche Kette, co-Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Unendliche Kette, F -Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3 Standardgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4 Zeitkegel im Standardgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5 Verletzung der K-Dichte im Standardgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.6 Konstruktion von l zu �� zu co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.7 Anfangsordnungen für Konstruktion 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.8 Ergebnis der Konstruktion für Struktur c, F -Relation . . . . . . . . . . . . . . 473.9 N-Struktur, co-Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.10 N-Struktur, F -Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.11 4-Jahreszeiten, co-Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.12 4-Jahreszeiten, F -Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.13 6-Jahreszeiten und 2 Stellen, co-Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.14 6-Jahreszeiten und 2 Stellen, F -Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.15 Zykloid 4422, F -Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.16 Ungewöhnliche Schnitte im Zykloid 4422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.17 Fünfeck, co-Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.18 Fünfeck, P -Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.19 Kleinsche Flasche beim Auseinanderschneiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.20 Kleinsche Flasche beim Zusammenkleben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.21 Nicht orientierbare Unterstruktur der Kleinschen Flasche . . . . . . . . . . . . 573.22 Erwartete Formen für Linien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.23 Anti-LKO, co-Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.24 Anti-LKO, F -Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.25 Anti-EKO, co-Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.26 Anti-EKO, F -Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.1 Dichte und N-Dichte in Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2 Visualisierung von Axiom EKO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.3 Konstruktion aus Satz 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.4 Konstruktion aus Lemma 4.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

152 ANHANG D. DARSTELLUNGSVERZEICHNIS4.5 Konstruktion aus Satz 4.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.6 Abhängigkeiten der Endlichkeitsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.7 Konstruktion aus Satz 4.62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.8 Konstruktion aus Lemma 4.68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.9 Verbotene Situation gemäÿ Lemma 4.80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.10 Verbotene Situation gemäÿ Lemma 4.82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.11 Konstruktion aus Lemma 4.84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.12 Abhängigkeiten der Axiome der Länge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.1 Konstruktion von xi und yi aus Satz 5.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.2 Kammeinbettung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Anhang EElementare Objekte und AxiomeHier sind die wichtigsten De�nitionen und Axiome für die Theorie der Nebenläu�gkeit nocheinmal zusammengefaÿt, so daÿ die folgende Seite beim Lesen der Arbeit ausgeklappt alsReferenz verwendet werden kann.

154 ANHANG E. ELEMENTARE OBJEKTE UND AXIOMEObjekte CS := (X; li; co)P := f(x; y) 2 X�X j li[x] li[y]gim := P [ P�1S := dom(P )T := ran (P )Lines := Kens(li)Cuts := Kens(co)Orient := fF � X�X j F [ F�1 = im ^ F � F � li ^F � F�1 � co ^ F�1 � F � cogOrder := f(<) � X�X j < ist eine Halbordnung ^(< [<�1) = ligWP(a0; : : : ; an) := fi j 0 < i < n ^ ai�1 co ai+1gAWP(a0; : : : ; an) := WP(a0; : : : ; an; a1)AxiomeAxiom NTR jX j � 2Axiom DIS co \ li = li\ idX = co \ idX = ?Axiom VST co [ li[ idX = X�XAxiom SYM co�1 = coAxiom LII eli = idXAxiom COI eco = idXAxiom IRR eco = eliAxiom KAA P 2 = ?Axiom KDI 8C 2 Cuts : 8L 2 Lines : C \ L 6= ?Axiom NDI 8a; b; c; d2 X : (c co b ^ b co a ^ a co d ^ a li c ^c li d^d li b) 9e 2 X : e co a^ e co b^ e li c^ e li d)Axiom LCT 8x 2 X : (cojim[x])2 � cojim[x]Axiom LOR 8x 2 X : (lijim[x])2 � cojim[x]Axiom LFO 8x 2 X : idim[x] � (lijim[x])2Axiom KOR Orient 6= ?Axiom OBS Order 6= ?Axiom LIK li� = X�XAxiom COK co� = X�XAxiom KOH co� = li�Axiom IMK im�X = X�XAxiom LKO 8L 2 Lines : (imjL)�L = L�LAxiom EKO 8L 2 Lines : 8x 2 X : E = L \ co[x])(imjE)�E = E�E

Anhang FFormaliaIch erkläre hiermit, daÿ ich die vorliegende Arbeit selbständig erstellt und keine anderen alsdie angegebenen Hilfsmittel und Quellen verwendet habe.: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :Ort, Datum Olaf Kummer