Theoretis he und algorithmis he Methoden zurBere hnung von Vertizes irreduzibler Modulnsymmetris her GruppenDISSERTATIONzur Erlangung des akademis hen Gradesdo tor rerum naturalium (Dr. rer. nat.)

vorgelegt dem Rat der Fakultät für Mathematik und Informatikder Friedri h-S hiller-Universität Jenaeingerei ht von Dipl.-Math. Susanne Danzgeboren am 17.04.1982 in S hmalkalden

Guta hter1. Prof. Dr. Burkhard Külshammer, Jena2. Prof. Dr. Christine Bessenrodt, HannoverTag der letzten Prüfung des Rigorosums: 22.03. 2007Tag der ö�entli hen Verteidigung: 27.03. 2007

Inhaltsverzei hnisSymbole 3Einleitung 6I Grundlagen 101 Algebren 111.1 Moduln über Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Darstellungen von Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Gruppenalgebren 162.1 Gruppenalgebren und Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Relative Projektivität, Vertizes und Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Die Greenkorrespondenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Eins hränkungen unzerlegbarer FG-Moduln auf Normalteiler . . . . . . . . . . . 212.5 Vertizes irreduzibler FG-Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.6 Rangvarietäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Die symmetris hen Gruppen 273.1 Die Sylowgruppen der symmetris hen Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Kombinatoris he Hilfsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Darstellungstheorie symmetris her Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Die Blö ke von FSn und ihre Defektgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5 Relative Projektivität irreduzibler FSn-Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39II Vertizes von FSn-Moduln 404 Irreduzible Moduln symmetris her Gruppen 414.1 Restriktion und Induktion irreduzibler FSn-Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Die S opes-Äquivalenz und Blö ke von bestimmtem Gewi ht . . . . . . . . . . . . 444.3 Die Feit-Vermutung für symmetris he Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4 Vollständig zerfallende Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 Verallgemeinerte Young-Moduln 555.1 De�nitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2 Young-Vertizes und Young-Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.3 Vertizes und Quellen verallgemeinerter Young-Moduln . . . . . . . . . . . . . . . 575.4 Irreduzible Spe htmoduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

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26 Irreduzible Moduln zu Hakenpartitionen 606.1 Notationen und Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.2 Vertizes der Moduln Dr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.3 Regularisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667 Moduln kleiner Dimensionen 707.1 Irreduzible Moduln in Charakteristik 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.2 Irreduzible Moduln in Charakteristik 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.3 Irreduzible Moduln in Charakteristik p > 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80III Computerbere hnungen 818 Methoden zur Vertexbere hnung 828.1 Abspalten unzerlegbarer direkter Summanden mit zyklis hen Vertizes . . . . . . . 828.2 Kondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848.3 Benson-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859 Vertexbere hnungen 889.1 Vertizes irreduzibler Moduln in Charakteristik 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.2 Vertizes irreduzibler Moduln in Charakteristik 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9510 Fragen und Vermutungen 106A Dimensionen 109B Quell odes der Programme 111B.1 Koe�zientenkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112B.2 Spe htmoduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112B.3 Abspalten projektiver Summanden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112B.4 Abspalten unzerlegbarer direkter Summanden mit zyklis hen Vertizes . . . . . . . 113B.5 Äuÿere Potenzen eines FG-Moduls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115B.6 Spinmoduln in Charakteristik 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Literatur 121Sti hwortverzei hnis 124

Symboleallgemeine Bezei hnungenN die Menge der natürli hen ZahlenN∗ N \ {0}P die Menge der PrimzahlenZ der Ring der ganzen ZahlenQ der Körper der rationalen ZahlenFq der endli he Körper mit q ElementenF algebrais her Abs hluÿ eines Körpers Fchar(F ) die Charakteristik des Körpers FMat(n,F ) die F -Algebra der (n× n)-Matrizen über dem Körper F|n|p für p ∈ P die hö hste p-Potenz, wel he n ∈ N∗ teiltGruppenSn die symmetris he Gruppe des Grades nAn die alternierende Gruppe des Grades nH ≤ G UntergruppeH < G e hte UntergruppeH EG NormalteilerH ⊳G e hter NormalteilerH ≤G K Untergruppen H und K von G mit

gHg−1 ≤ K für ein g ∈ GH ∼G K Untergruppen H und K von G mit

gHg−1 = K für ein g ∈ Gg1 ∼G g2 Elemente g1, g2 ∈ G mit g1 = hg2h

−1für ein h ∈ G|G| Ordnung der Gruppe G|G : H| Index von H ≤ G in GG/H die Menge der Linksnebenklassen von G na h HH\G die Menge der Re htsnebenklassen von G na h HK\G/H die Menge der Doppelnebenklassen von G na h H und KZ(G) Zentrum der Gruppe GCl(G) die Menge der Konjugationsklassen der Gruppe GSylp(G) für p ∈ P die Menge der p-Sylowgruppen der Gruppe GCG(H) Zentralisator von H ≤ G in GCG(g) Zentralisator von g ∈ G in GNG(H) Normalisator von H ≤ G in G〈g1, . . . , gm〉 die von den Elementen g1, . . . , gm ∈ Gerzeugte Untergruppe von GG ≀H Kranzprodukt von G mit Hexpp(G) für p ∈ P der p-Exponent von G

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Symbole 4Algebren und ModulnJ(A) das Ja obson-Radikal einer F -Algebra AS(A) der So kel einer F -Algebra AU(A) die Einheitengruppe einer F -Algebra AZ(A) das Zentrum einer F -Algebra AA-mod die Kategorie der endli h erzeugten A-LinksmodulnHomA(M,N) der F -Vektorraum der A-Homomorphismen des A-Moduls

M in den A-Modul NEndA(M) die F -Algebra der A-Endomorphismen des A-Moduls MRad(M) das Ja obson-Radikal des A-Moduls MSoc(M) der So kel des A-Moduls MHd(M) der Kopf des A-Moduls M[M : D] Anzahl der zum irreduziblen A-Modul D isomorphenKompositionsfaktoren des A-Moduls MM |N der A-Modul M ist isomorph zu einem direktenSummanden des A-Moduls NResAB(M) Eins hränkung des A-Moduls M auf die Unteralgebra B von AIndAB(N) Induktion des B-Moduls N na h A für eine Unteralgebra B von AFG die Gruppenalgebra der Gruppe G über dem Körper FResGH(M) ResFGFH(M) für H ≤ GIndGH(N) IndFGFH(N) für H ≤ GFG der triviale FG-Modul FM∗ der zum FG-Modul M duale FG-Modul HomF (M,F )gN für g ∈ G, H ≤ G und einen FH-Modul N der zu

N konjugierte F [gHg−1]-Modul g ⊗FH NV rE(M) Rangvarietät eines FG-Moduls M bezügli h einerelementarabels hen Untergruppe E von GcG(M) Komplexität eines FG-Moduls M

Symbole 5Kombinatorik symmetris her GruppenCn die Menge der Kompositionen von n ∈ NPn die Menge der Partitionen von n ∈ Nλ ⊢ n λ ist Partition von nPn,q die Menge der q-regulären Partitionen von n ∈ NP die Menge aller Partitionen natürli her ZahlenC(k, n) die Menge der Kompositionen von n, bei denengenau die ersten k Teile von 0 vers hieden sindP(k, n) die Menge der Partitionen von n, bei denengenau die ersten k Teile von 0 vers hieden sindP(k|l, n) die Menge der Elemente aus Cn der Form

(λ|pµ) mit λ ∈ P(k, s) und µ ∈ P(l, t) für s, t ∈ N mit n = s+ ptλD µ λ, µ ∈ Cn, und λ dominiert µλ⊲ µ λ, µ ∈ Cn mit λD µ und λ 6= µλ ≥ µ λ, µ ∈ Cn, und λ ist lexikographis hgröÿer als µ oder λ = µλ > µ λ, µ ∈ Cn mit λ ≥ µ und λ 6= µλ′ die zu λ ∈ P konjugierte Partitionm(λ) für p ∈ P die zu λ ∈ Pn,p Mullineux-konjugiertePartition von n[λ] das Young-Diagramm von λ ∈ P[λ]q das q-Restediagramm von λ ∈ P für q ∈ N∗

Sλ für λ ∈ Pn die Young-Untergruppe von Snzur Partition λModuln der symmetris hen GruppenMλ der FSn-Permutationsmodul zur Partition λ von nSλ der FSn-Spe htmodul zur Partition λ von nY λ der FSn-Young-Modul zur Partition λ von nDλ für char(F ) = p > 0 der irreduzible FSn-Modul zurPartition λ ∈ Pn,pM(λ|µ) der verallgemeinerte FSn-Permutationsmodul zumPartitionspaar (λ, µ)Y (λ|pµ) der verallgemeinerte FSn-Young-Modul mit (λ|pµ) ∈ P(k|l, n)

EinleitungEin aus der Ringtheorie stammender Begri� ist der eines projektiven Moduls. Dabei heiÿt einendli h erzeugter ModulM über einem Ring R projektiv, wenn er zu einem direkten Summandeneines freien R-Moduls, d.h. eines Moduls der Form nR := R ⊕ · · · ⊕ R für ein n ∈ N isomorphist. Für den Fall, dass F ein Körper, G eine endli he Gruppe undR := FG :=

∑

g∈G

αgg|αg ∈ F für alle g ∈ Gdie Gruppenalgebra von G über F sind, lässt si h dieser Projektivitätsbegri� verallgemeinern.Sofern wir ni ht ausdrü kli h etwas anderes voraussetzen, werden wir ab jetzt unter einem FG-Modul stets einen FG-Linksmodul verstehen, wel her als F -Vektorraum endli hdimensional ist.In diesem Zusammenhang ist insbesondere der Körper F selber ein FG-Modul mit gα = α füralle g ∈ G und α ∈ F und wird als der triviale FG-Modul bezei hnet.Sind nun H eine Untergruppe von G, M ein FG-Modul und N ein FH-Modul, so kann maneinerseitsM au h als FH-Modul au�assen. Wir bezei hnen diese Eins hränkung vonM auf Hmit ResGH(M). Andererseits wird au h der F -Vektorraum IndGH(N) := FG⊗FHN zu einem FG-Modul, wel hen wir als induzierten Modul bezei hnen. Mit diesen Notationen nennen wir denFG-ModulM relativ H-projektiv, fallsM zu einem direkten Summanden von IndGH(ResGH(M))isomorph ist. Im Fall H = {1} sind die relativ H-projektiven FG-Moduln genau die projektivenFG-Moduln.Falls der FG-Modul M zusätzli h unzerlegbar ist, so ist ein Vertex von M eine bezügli h In-klusion minimale Untergruppe P von G mit der Eigens haft, dass M relativ P -projektiv ist. DesWeiteren existiert dann stets ein unzerlegbarer direkter Summand L von ResGP (M) mit VertexP , wel her als eine Quelle von M bezei hnet wird. Ist L′ eine weitere Quelle von M , so existiertein g ∈ NG(P ) mit L′ ∼= g ⊗ L ⊆ IndGP (L).Gilt char(F ) = 0, so ist die Gruppenalgebra FG halbeinfa h, und jeder FG-Modul ist projektiv.Im Zusammenhang mit der Bestimmung von Vertizes unzerlegbarer FG-Moduln ist dieser Falldaher uninteressant, und wir setzen ab jetzt char(F ) = p > 0 voraus.Dann bilden die Vertizes eines unzerlegbaren FG-Moduls stets eine Konjugationsklasse von p-Untergruppen von G. Auÿerdem stehen die Vertizes in engem Zusammenhang mit den Blö kenvon FG und deren Defektgruppen.Die Blö ke von FG sind dabei die bis auf Reihenfolge eindeutig bestimmten unzerlegbaren Idea-le B1 . . . , Br von FG mit FG = B1 ⊕ · · · ⊕Br. Ist M ein unzerlegbarer FG-Modul, so existiertgenau ein i ∈ {1, . . . , r}, so dass M = FG ·M = Bi ·M und 0 = Bj ·M für alle j 6= i gilt. Wirsagen, Bi enthält den ModulM , oderM liegt im Blo k Bi. Der Blo k von FG, wel her den trivia-len FG-Modul enthält, wird als der Hauptblo k von FG bezei hnet. Die Defektgruppen einesBlo ks Bi von FG sind die bezügli h Inklusion maximalen Vertizes unzerlegbarer FG-Moduln,die im Blo k Bi liegen. Ferner existieren zu einem unzerlegbaren FG-ModulM , wel her im Blo kBi liegt und Vertex P hat, stets eine Defektgruppe ∆ von Bi und eine p-Sylowgruppe S von G,so dass P ≤ ∆ ≤ S und |S : P |

dim(M) gilt. Auf diese Weise erhält man sowohl eine untere alsau h eine obere S hranke für die Ordnung der Vertizes von M .Für den Fall, dass M sogar irreduzibel ist, besagt ein Satz von R. Knörr aus [50℄, dass man au-ÿerdem C∆(P ) ≤ P ≤ ∆ annehmen kann. Hierbei bezei hnen wir mit C∆(P ) den Zentralisator6

Einleitung 7von P in ∆. Dies hat also insbesondere zur Folge, dass irreduzible FG-Moduln, die in Blö kenmit abels hen Defektgruppen liegen, genau diese Defektgruppen als Vertizes haben.Wir werden uns in dieser Arbeit auf den Fall G = Sn für n ∈ N∗ konzentrieren, wobei wirmit Sn die symmetris he Gruppe des Grades n bezei hnen. Es ist bekannt, dass in der Darstel-lungstheorie der symmetris hen Gruppen kombinatoris he Methoden eine zentrale Rolle spielen.So sind zum Beispiel die irreduziblen FSn-Moduln dur h die p-regulären Partitionen von nparametrisiert. Unter einer p-regulären Partition von n versteht man eine Folge λ = (λ1, . . . , λm)natürli her Zahlen, so dass λ1 ≥ . . . ≥ λm > 0, ∑mi=1 λi = n und |{j ∈ {1, . . . ,m}|λi = λj}| < pfür alle i ∈ {1, . . . ,m} gilt. Den bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten irreduziblen FSn-Modul zur p-regulären Partition λ bezei hnen wir dann mit Dλ.Ferner besitzen sowohl die Blö ke von FSn als au h deren Defektgruppen rein kombinatoris heCharakterisierungen. So lassen si h einem Blo k B von FSn stets eine eindeutig bestimmte na-türli he Zahl w, das (p)-Gewi ht von B, und eine eindeutig bestimmte p-reguläre Partition λBvon n− pw, der (p)-Kern von B, zuordnen. Die Defektgruppen von B sind dann in Sn zu den

p-Sylowgruppen von Spw konjugiert.Eine naheliegende Frage ist daher die, ob si h au h die Vertizes irreduzibler FSn-Moduln aufkombinatoris he Weise bes hreiben lassen. In [72℄ befasste si h bereits R. Zimmermann mit dieserFrage und fand unter anderem zahlrei he Beispiele, die zeigen, dass im Gegensatz zu den Blö kenund Defektgruppen, die Vertizes eines irreduziblen FSn-Moduls keineswegs nur vom Gewi ht derzugehörigen p-regulären Partition abhängen. Des Weiteren stellte R. Zimmermann im Rahmenseiner Dissertation die Vermutung auf, dass die Vertizes irreduzibler FSn-Moduln stets in Snzu den p-Sylowgruppen eines direkten ProduktsSn1 × · · · ×Snk

× Ank+1× · · · × Anlmit gewissen k, l, n1, . . . , nl ∈ N und ∑l

i=1 ni = n konjugiert sind. Hierbei bezei hne Am fürjedes m ∈ N∗ die alternierende Gruppe des Grades m. Dies ist jedo h im Allgemeinen ni htri htig. Betra htet man zum Beispiel den Fall p = 2 und den irreduziblen FS14-Modul D(5,4,3,2)zur Partition (5, 4, 3, 2), so liegt dieser in einem Blo k vom Gewi ht 4, hat Dimension 35840,und Computerbere hnungen zeigen, dass dessen Vertizes zu einer elementarabels hen Gruppeder Ordnung 8, wel he regulär auf {1, . . . , 8} operiert, konjugiert sind.Im Verlauf dieser Arbeit werden wir weitere der in [72℄ o�en gebliebenen Fragen und Vermutun-gen erneut aufgreifen.Inhaltli h besteht die vorliegende Arbeit aus drei Teilen. Im ersten werden wir die für uns wi h-tigen Grundlagen der modularen Darstellungstheorie endli hdimensionaler Algebren über Kör-pern zusammenfassen und insbesondere auf den Fall der Gruppenalgebren eingehen. Ans hlie-ÿend werden wir uns speziell den symmetris hen Gruppen, deren Moduln und kombinatoris henCharakterisierungen widmen. Auÿerdem werden wir au h auf die für die Vertexbere hnungenwi htigen Eigens haften der p-Sylowgruppen der symmetris hen Gruppen sowie der Blö ke vonFSn und der entspre henden Defektgruppen eingehen. Dabei werden wir unter anderem zeigen,dass ein irreduzibler FSn-Modul, wel her in einem Blo k vom Gewi ht w liegt, ni ht relativSpw−1-projektiv sein kann.Im zweiten Teil befassen wir uns hauptsä hli h mit der theoretis hen Bestimmung von Ver-tizes irreduzibler FSn-Moduln. Eines der wi htigsten Werkzeuge hierbei bilden die modularenBran hing-Regeln von A. Klesh hev. Diese tre�en für einen irreduziblen FSn-ModulD Aussagendarüber, ob und, wenn ja, wel he irreduziblen FSn−1-Moduln (beziehungsweise FSn+1-Moduln)zu direkten Summanden von ResSn

Sn−1(D) (beziehungsweise Ind

Sn+1

Sn(D)) isomorph sind. Auf dieseWeise lassen si h aus den Eigens haften von Vertizes irreduzibler FSn−1-Moduln Rü ks hlüsseauf die Eigens haften von Vertizes irreduzibler FSn-Moduln ziehen und umgekehrt. Au h dieseMethoden sind rein kombinatoris her Natur.

Einleitung 8Von ents heidender Bedeutung sind au h die Ergebnisse von J. S opes aus [67℄. Diese besagen,dass es bis auf Morita-Äquivalenz nur endli h viele Blö ke symmetris her Gruppen von einemfesten p-Gewi ht w > 0 gibt. Zwei sol he Morita-äquivalente Blö ke B und B nennen wir au hS opes-äquivalent. Weiter induziert die S opes-Äquivalenz eine Bijektion zwis hen den Isomor-phieklassen irreduzibler Moduln in B und denen in B. Wir werden in Kapitel 4 sehen, dass dabeidie einander entspre henden irreduziblen Moduln stets einen gemeinsamen Vertex besitzen.Die Anwendung der S opes-Äquivalenz auf die Resultate unserer Computerbere hnungen er-mögli ht es au h, im Fall p = 2 die Vertizes aller irreduziblen Moduln symmetris her Gruppen,wel he in 2-Blö ken vom Gewi ht w ≤ 4 liegen, zu bestimmen. Dabei wurde der Fall w < 4 be-reits in [72℄ behandelt. Ferner kann man mit Hilfe der Sätze von S opes und Knörr zeigen, dassdie Feit-Vermutung für symmetris he Gruppen gilt. Diese besagt Folgendes: Ist F algebrais habges hlossen, und ist P eine p-Gruppe, so existieren nur endli h viele Isomorphieklassen unzer-legbarer FP -Moduln, wel he als Quellen irreduzibler FSn-Moduln für alle n ∈ N∗ mit Sn ⊇ Pvorkommen.In diesem Zusammenhang werden wir ferner analysieren, wel he Gruppen der Ordnung ≤ p3überhaupt als Vertizes irreduzibler Moduln symmetris her Gruppen in Frage kommen, und einenFehler aus [65℄ korrigieren. Dort behauptet L. Puig, dass für einen irreduziblen FSn Modul mitVertex Q und Defektgruppe P stets |P | ≤ |Z(Q)|! gilt. Dies ist jedo h ni ht ri htig. Ist zumBeispiel P = Q eine p-Sylowgruppe von Sp2 , so ist P eine Defektgruppe des Hauptblo ks vonFSp2 , wel her den trivialen FSp2-Modul enthält. Dieser wiederum hat Vertex P , aber es giltpp+1 = |P | 6≤ |Z(P )|! = p!. Denno h lässt si h |P | stets in Abhängigkeit von |Q| na h obenbes hränken. Ist nämli h |Q| = pl für ein l ∈ N, so werden wir in Abs hnitt 4.3 zeigen, dass dann|P | ≤ (lpl)! gilt.Des Weiteren werden wir im zweiten Teil der Arbeit au h die Vertizes einiger spezieller Klassenirreduzibler beziehungsweise unzerlegbarer Moduln symmetris her Gruppen bestimmen. Dazugehören die sogenannten vollständig zerfallenden Moduln und die unzerlegbaren verallge-meinerten Young-Moduln. Bei letzteren handelt es si h um unzerlegbare FSn-Moduln inungerader Charakteristik, wel he man als Verallgemeinerung der gewöhnli hen Young-Modulnaus [28℄ ansehen kann.Ebenfalls eine Verallgemeinerung bereits in [72℄ untersu hter irreduzibler FSn-Moduln stellendie äuÿeren Potenzen des irreduziblen Moduls D := D(n−1,1) zur Partition (n − 1, 1) dar, mitdenen wir uns in Kapitel 6 befassen. Dabei ist D der einzige ni httriviale Kompositionsfaktordes natürli hen FSn-Permutationsmoduls IndSn

Sn−1(F ). Ist nun p ungerade, dann weiÿ man, dass

dim(D) = n − 1 im Fall p ∤ n und dim(D) = n − 2 im Fall p|n gilt. Ferner ist Dr :=∧rD füralle 0 ≤ r ≤ dim(D) stets wieder ein irreduzibler FSn-Modul. Im Fall p ∤ n sind die Vertizes von

Dr na h [71℄ bekannt. Sie sind in Sn zu den p-Sylowgruppen von Sn−r−1 ×Sr konjugiert. Wirbes häftigen uns daher mit dem Fall n = xp für x ≥ 1. Dann liegt Dr für 0 ≤ r ≤ n− 2 stets imHauptblo k von FSn. Ist r ≤ p− 1, so gilt insbesondere Dr∼= D(n−r,1r), und für r ≤ p− 2 sinddie Vertizes von Dr na h [72℄ genau die p-Sylowgruppen von Sn. Der Fall r = p−1, x ≥ p konntedort ni ht behandelt werden. Mit Hilfe eines Satzes aus [6℄ werden wir zeigen, dass Folgendes gilt:Satz. Es seien x > 2, k ∈ {1, . . . , x− 1} und r = kp − 1. Falls die Dimension von Dr dur h p,aber ni ht dur h p2 teilbar ist, so sind die Vertizes von Dr genau die p-Sylowgruppen von Sn.Dieser Satz s hlieÿt insbesondere den Fall x 6≡ 1 (mod p), k = 1 ein. Folgli h hat dann au h

Dp−1∼= D(n−p+1,1p−1) die p-Sylowgruppen von Sn als Vertizes.In Kapitel 7 werden wir die Vertizes aller irreduziblen Moduln symmetris her Gruppen derDimensionen ≤ 1000 bestimmen. Hierzu werden wir die in [40℄ verwendeten Methoden verallge-meinern, um für jedes n ∈ N∗ und jede Primzahl p die p-regulären Partitionen λ von n mit derEigens haft dim(Dλ) ≤ 1000 zu bestimmen. Die Vertizes der entspre henden Moduln werden wir

Einleitung 9ans hlieÿend sowohl theoretis h als au h mit Hilfe des Computers bere hnen.Im dritten Teil dieser Arbeit widmen wir uns der Vertexbere hnung mittels des Computers. DieGrundlage bildet dabei ein von R. Zimmermann entwi kelter und unter MAGMA implementier-ter Algorithmus zur Bere hnung von Vertizes unzerlegbarer FG-Moduln, wobei G e ine beliebigeendli he Gruppe sein kann. Jedo h lässt si h dieser Algorithmus für �groÿe� Moduln - etwa sol- he der Dimension ≥ 1000 - aus Spei herplatzgründen meist ni ht mehr direkt anwenden. DieHauptprobleme stellen dabei das Eins hränken von FG-Moduln auf Untergruppen von G unddas ans hlieÿende Zerlegen dieser Eins hränkungen in unzerlegbare direkte Summanden dar.Wir werden daher Methoden erläutern, wel he si h e�zient implementieren lassen und es ermögli- hen, diese Probleme teilweise zu umgehen. Dazu gehören die sogenannte Fixpunktkondensation,das Abspalten unzerlegbarer direkter Summanden mit zyklis hen Vertizes sowie ein Verfahren,das im Zusammenhang mit der Kohomologie elementarabels her p-Gruppen steht. Letzteres dientdazu, festzustellen, ob eine bestimmte elementarabels he p-Gruppe E von G im Vertex eines un-zerlegbaren FG-Moduls M enthalten sein muss. Mit Hilfe dieser Methoden ist es uns mögli h,au h irreduzible Moduln groÿer Dimensionen mit dem Computer zu behandeln und bis auf zweiAusnahmen die Vertizes aller irreduziblen FSn in den Fällen p = 2, n ≤ 14 und p = 3, n ≤ 15zu bere hnen.Die Resultate aller Computerbere hnungen werden abs hlieÿend in Kapitel 9 zusammengefasst.An dieser Stelle mö hte i h mi h bei allen bedanken, die zum Entstehen dieser Arbeit beigetragenhaben. Dabei gilt mein Dank allen voran meinem Betreuer Prof. Dr. Burkhard Külshammer fürseine Geduld und seine Unterstützung dur h zahlrei he wertvolle Diskussionen und Anregungen.Ein ganz herzli her Dank gilt auÿerdem PD. Dr. Jürgen Müller aus Aa hen, der mi h mit denMethoden der Computeralgebra vertraut gema ht hat.Des Weiteren danke i h der Deuts hen Fors hungsgemeins haft (DFG) für die �nanzielle Unter-stützung während meiner Promotionszeit.

Teil IGrundlagen

10

Kapitel 1AlgebrenWir werden zu Beginn die für diese Arbeit wesentli hen darstellungstheoretis hen Aussagen zu-sammenfassen. Dabei setzen wir die grundlegenden Begri�e der Ring- und Gruppentheorie alsbekannt voraus. Detaillierte Bes hreibungen und Beweise zu allen zitierten Sätzen �ndet manunter anderem in [1℄, [14℄, [25℄ und [61℄. In diesem Kapitel sei F stets ein Körper.1.1 Moduln über AlgebrenIm Folgenden sei jede F -Algebra A assoziativ, endli hdimensional und besitze ein Einselement1A. Ferner setzen wir Z(A) := {a ∈ A|ab = ba für alle b ∈ A}. Dies ist eine F -Unteralgebra vonA und heiÿt das Zentrum von A.Des Weiteren seien für jede F -Algebra A alle A-Linksmoduln und au h alle A-Re htsmodulnendli hdimensionale F -Vektorräume. Sofern wir ni ht explizit etwas anderes voraussetzen, werdenwir stets mit Linksmoduln arbeiten und daher au h einfa h von Moduln spre hen. Alle Aussagenübertragen si h jedo h ganz analog auf Re htsmoduln.Wir �xieren jetzt für diesen Abs hnitt eine F -Algebra A und einen A-Modul M .Bemerkung/De�nition 1.1.1. Für einen weiteren A-Modul N nennen wir eine Abbildungϕ : M −→ N mit ϕ(am1 + bm2) = aϕ(m1) + bϕ(bm2) für alle a, b ∈ A, m1,m2 ∈ M einenA-Homomorphismus von M na h N . Entspre hend de�niert man A-Monomorphismen, A-Epimorphismen, A-Isomorphismen, A-Endomorphismen und A-Automorphismen. DieMenge aller A-Homomorphismen von M na h N wird mit HomA(M,N) bezei hnet und bildeteinen F -Vektorraum. Die Menge aller A-Endomorphismen vonM wird mit EndA(M) bezei hnetund bildet eine F -Algebra, die Endomorphismenalgebra von M .Ferner wird M dann au h zu einem E-Modul mit fm := f(m) für alle f ∈ EndA(M) und allem ∈M .Sind M1, . . . ,Mn Untermoduln von M , so bildet die Menge {∑n

i=1mi|mi ∈Mi für i = 1, . . . , n}einen Untermodul von M , wel hen wir die Summe von M1, . . . ,Mn nennen und mit ∑ni=1Mibezei hnen. Falls si h zusätzli h jedes Element m ∈∑n

i=1Mi als Summe m =∑n

i=1mi mit ein-deutig bestimmten mi ∈ Mi für i = 1, . . . , n s hreiben lässt, so sagen wir, die Summe ∑ni=1Miist direkt und s hreiben ⊕n

i=1Mi.Im Fall M 6= 0 heiÿt M zerlegbar , falls es e hte Untermoduln M1 6= 0 6= M2 von M mitM = M1 ⊕M2 gibt. Gegebenenfalls heiÿen M1 und M2 direkte Summanden von M . An-dernfalls nennt man M unzerlegbar . Ist ein A-Modul N zu einem direkten Summanden von Misomorph, so verwenden wir die S hreibweise N |M . Ist N zu M selber isomorph, s hreiben wirM ∼= N .IstM = M1⊕· · ·⊕Mr eine Zerlegung des A-ModulsM in unzerlegbare UntermodulnM1, . . . ,Mrfür ein r ∈ N, so sind na h dem Satz von Azumaya-Krull-S hmidt sowohl die Anzahl r der direk-ten Summanden als au h die Summanden selber bis auf Isomorphie und Reihenfolge eindeutig11

Kapitel 1. Algebren 12bestimmt.Im Fall M 6= 0 heiÿt der A-Modul M irreduzibel oder einfa h , falls er nur die beiden Unter-moduln 0 und M besitzt. Andernfalls heiÿt M reduzibel .Na h S hurs Lemma gilt für zwei ni htisomorphe irreduzible A-Moduln M1 und M2 stetsHomA(M1,M2) = 0, und EndA(M1) ist ein S hiefkörper mit dimF (EndA(M1)) < ∞. Ist F einendli her Körper, so ist EndA(M1) also insbesondere ein Körper.Eine Reihe M =: M0 ⊃M1 ⊃ . . . ⊃Ml := 0 von A-Moduln heiÿt Kompositionsreihe von M ,fallsDi+1 := Mi/Mi+1 für alle i = 0, . . . , l−1 ein irreduzibler A-Modul ist. Gegebenenfalls nennenwir die Mi/Mi+1 Kompositionsfaktoren und l die Kompositionslänge von M . Na h demSatz von Jordan-Hölder sind sowohl die Kompositionslänge als au h die Kompositionsfaktorenvon M bis auf Isomorphie und Reihenfolge eindeutig bestimmt. Ist D ein irreduzibler A-Modul,so ist also die Anzahl der zu D isomorphen Kompositionsfaktoren von M wohlde�niert und wirdau h mit [M : D] bezei hnet. Ferner verwenden wir die S hreibweise M ∼ D1 + · · · +Dl.Der Modul M heiÿt einreihig oder uniseriell , falls er genau eine Kompositionsreihe besitzt.Falls M si h als direkte Summe von irreduziblen A-Moduln s hreiben lässt, so nennen wir Mvollständig reduzibel oder halbeinfa h .Ist B eine F -Unteralgebra von A, dann können wir M au h als B-Modul au�assen. Wir bezei h-nen diesen mit ResAB(M) und nennen ihn die Eins hränkung von M auf B. Ist ResAB(M) einunzerlegbarer (irreduzibler) B-Modul, so ist au h M ein unzerlegbarer (irreduzibler) A-Modul.Die Umkehrung gilt im Allgemeinen ni ht.Ist N ein B-Modul, so de�nieren wir den induzierten Modul IndAB(N) := A⊗B N , auf dem Awie folgt operiert:

a(b⊗ n) := ab⊗ nfür alle a, b ∈ A, n ∈ N .Ein e hter Untermodul N des A-Moduls M heiÿt maximal , falls es keinen Untermodul L vonM mit N ⊂ L ⊂M gibt. Analog de�niert man minimale Untermoduln.Für den A-ModulM heiÿt der Dur hs hnitt aller maximalen Untermoduln vonM das Ja obson-Radikal von M und wird mit Rad(M) oder au h RadA(M) bezei hnet, und der FaktormodulHd(M) := M/Rad(M) heiÿt Kopf von M . Die Summe aller minimalen Untermoduln des A-ModulsM heiÿt So kel vonM und wird mit Soc(M) oder au h SocA(M) bezei hnet. Auÿerdemist M genau dann halbeinfa h, wenn Rad(M) = 0 ist.Die Algebra A selber wird dur h die Ringmultiplikation ebenfalls zu einem A-Modul, wel herals der reguläre A-Modul bezei hnet wird. In dem Fall verwenden wir für das Ja obson-RadikalRad(A) au h die S hreibweise J(A) sowie S(A) für den So kel des regulären A-Moduls. Dabeiist J(A) stets die Summe aller nilpotenten Ideale in A, also insbesondere selber ein nilpotentesIdeal in A.Es sei E ein Körper mit E ⊇ F . Dann ist AE := E ⊗F A eine E-Algebra, und wir können A inAE vermöge der Zuordnung a 7→ 1⊗ a für alle a ∈ A einbetten. Weiter wird ME := E ⊗F M zueinem AE-Modul, wenn wir

(α⊗ a)(β ⊗m) := (αβ)⊗ (am)für alle α, β ∈ E, a ∈ A, m ∈ M setzen. Ein AE-Modul L heiÿt realisierbar über F , falls eseinen A-Modul N mit L ∼= NE gibt. Gegebenenfalls nennen wir N eine F -Form von L.IstM ein unzerlegbarer A-Modul mit der Eigens haft, dassME ein unzerlegbarer AE-Modul für

Kapitel 1. Algebren 13jeden Erweiterungskörper E von F ist, so heiÿt M absolut unzerlegbar . Ist M ein irreduziblerA-Modul mit der Eigens haft, dass ME für jeden Erweiterungskörper E von F ein irreduziblerAE-Modul ist, so heiÿt M absolut irreduzibel .Satz 1.1.2. Im Fall A 6= 0 sind folgende Aussagen äquivalent:(i) Die ni htinvertierbaren Elemente in A bilden ein Ideal in A.(ii) Das Ja obson-Radikal J(A) ist das einzige maximale Linksideal (und au h das einzige ma-ximale Re htsideal) in A.(iii) A/J(A) ist ein S hiefkörper.De�nition 1.1.3. Sind die Bedingungen aus obigem Satz erfüllt, so heiÿt A eine lokale F -Algebra.Satz 1.1.4. (i) Der A-Modul M ist genau dann unzerlegbar, wenn EndA(M) eine lokale F -Algebra ist.(ii) Ist M ein unzerlegbarer A-Modul mit EndA(M)/J(EndA(M)) ∼= F, so ist M absolut un-zerlegbar.Bemerkung/De�nition 1.1.5. Ein Element e ∈ A heiÿt Idempotent , falls e2 = e gilt. ZweiIdempotente e und f in A heiÿen orthogonal , falls ef = 0 = fe gilt. Ein Idempotent e ∈ A\{0}heiÿt primitiv , falls es keine orthogonalen Idempotente f1 6= 0 6= f2 in A mit e = f1 + f2 gibt.Die in Z(A) primitiven Idempotente heiÿen Blo kidempotente von A.Wir können stets 1A = 1Z(A) = e1 + e2 + · · ·+ er mit paarweise orthogonalen Blo kidempotentene1, . . . , er für ein r ∈ N∗ s hreiben. Dies liefert dann eine Zerlegung

A = A · Z(A) = Ae1 ⊕ · · · ⊕Aermit unzerlegbaren Idealen Bi := Aei = eiA in A für i = 1, . . . , r. Dabei heiÿt ein Ideal I 6= 0 inA unzerlegbar, falls es keine Ideale I1 6= 0 6= I2 in A mit I = I1 ⊕ I2 gibt.Wir nennen die Ideale B1, . . . , Br in obiger Zerlegung die Blö ke von A. Jeder Blo k Bi vonA ist selber wieder eine F -Algebra mit Einselement ei, wel hes wir au h als Blo kidempotentvon Bi bezei hnen.Mit diesen Bezei hnungen sagen wir, der A-Modul M gehört zum Blo k Bi, oder Bi enthältden Modul M , für ein i ∈ {1, . . . , r}, falls eiM = M und ejM = 0 für alle j 6= i gilt. O�enbargehört jeder unzerlegbare A-Modul und insbesondere jeder irreduzible A-Modul jeweils zu genaueinem Blo k von A. Ferner sind für einen A-Modul, wel her im Blo k Bi von A liegt, stets au halle seine Kompositionsfaktoren in Bi enthalten.De�nition 1.1.6. (i) Eine Folge von A-Homomorphismen 0 −→ M

f−→ N

g−→ L −→ 0 mitder Eigens haft, dass f injektiv, g surjektiv und ker(g) = im(f) ist, heiÿt kurze exakteSequenz von A-Homomorphismen. Falls es auÿerdem einen Untermodul U von N mit

N = im(f)⊕ U = ker(g) ⊕ U gibt, so sagen wir, die Sequenz zerfällt .(ii) Der A-ModulM heiÿt projektiv , falls jede kurze exakte Sequenz von A-Homomorphismender Form 0 −→ Lf−→ N

g−→M −→ 0 zerfällt.(iii) Der A-Modul M heiÿt injektiv , falls jede kurze exakte Sequenz von A-Homomorphismender Form 0 −→M

f−→ N

g−→ L −→ 0 zerfällt.

Kapitel 1. Algebren 14Bemerkung 1.1.7. Ist U ein injektiver Untermodul von M , so zerfällt dann na h De�nitiondie kurze exakte Sequenz0 −→ U

f−→M

g−→M/U −→ 0,wobei f die Inklusionsabbildung und g : M −→M/U, m 7−→ m+U der kanonis he Epimorphis-mus seien. Na h Teil (i) der obigen De�nition bedeutet dies nun wiederum, dass U ein direkterSummand von M ist.Satz 1.1.8. Folgende Aussagen sind äquivalent:(i) Der A-Modul M ist projektiv.(ii) Zu jedem A-Epimorphismus f : N −→ L und jedem A-Homomorphismus g : M −→ Lexistiert ein A-Homomorphismus h : M −→ N mit g = f ◦ h.(iii) M ist zu einem direkten Summanden eines freien A-Moduls, d.h. eines Moduls der Form

nA = A⊕ · · · ⊕A︸ ︷︷ ︸n Summanden für ein n ∈ N, isomorph.Satz 1.1.9. Ist A eine lokale F -Algebra, so ist jeder projektive A-Modul frei.Bemerkung 1.1.10. Sind m,a1, . . . , am ∈ N und A = a1A1 ⊕ · · · ⊕ amAm eine Zerlegungdes regulären A-Moduls mit paarweise ni htisomorphen unzerlegbaren A-Moduln A1, . . . , Am, sosind na h dem Satz von Azumaya-Krull-S hmidt sowohl die Anzahl der Summanden als au hdie direkten Summanden selbst bis auf Isomorphie und Reihenfolge eindeutig bestimmt. Somitbilden A1, . . . , Am ein Repräsentantensystem für die Isomorphieklassen unzerlegbarer projektiver

A-Moduln. Auÿerdem existieren primitive Idempotente f1, . . . , fm in A, so dass Ai = Afi füralle i = 1, . . . ,m gilt. Ferner gilt mit diesen Bezei hnungen:Satz 1.1.11. (i) Die Menge {Af1/J(A)f1, . . . , Afm/J(A)fm} bildet ein Repräsentantensystemfür die Isomorphieklassen irreduzibler A-Moduln. Insbesondere stimmen also die Anzahl derIsomorphieklassen irreduzibler A-Moduln und die der projektiven unzerlegbaren A-Modulnüberein. Ferner tritt jeder Isomorphietyp irreduzibler A-Moduln als Kompositionsfaktor desregulären A-Moduls auf.(ii) Ist i ∈ {1, . . . ,m}, so besitzt der A-Modul M genau dann einen zum irreduziblen ModulAfi/J(A)fi isomorphen Kompositionsfaktor, wenn fiM 6= 0 ist.Lemma 1.1.12. Wir setzen E := EndA(M). Der E-Modul M besitze bis auf Isomorphie ge-nau einen Kompositionsfaktor D, und es gelte dimF (D) = 1. Dann ist M als A-Modul absolutunzerlegbar.Beweis. Na h Satz 1.1.4 genügt es, zu zeigen, dass E/J(E) ∼= F gilt.Es sei dazu {Ee1/J(E)e1, . . . , Een/J(E)en} ein Repräsentantensystem für die Isomorphieklassenirreduzibler E-Moduln mit primitiven Idempotenten e1, . . . , en in E. Insbesondere ist ei 6= 0 undsomit au h eiM = ei(M) 6= 0 für alle i = 1, . . . , n. Na h obigem Satz besitzt also M für jedes

i ∈ {1, . . . , n} einen zu Eei/J(E)ei isomorphen Kompositionsfaktor. Da na h Voraussetzung Maber bis auf Isomorphie genau einen Kompositionsfaktor besitzt, folgt n = 1. Demzufolge istEe1/J(E)e1 der bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte irreduzible E-Modul und au h der bisauf Isomorphie eindeutig bestimmte irreduzible E/J(E)-Modul, und dieser hat Dimension 1.Na h dem Satz von Wedderburn ist daher

E/J(E) ∼=als F -Algebren Mat(1,Θ) ∼= Θ ∼= e1Ee1/e1J(E)e1für einen S hiefkörper Θ endli her F -Dimension. Demzufolge ist E eine lokale F -Algebra und Mals A-Modul unzerlegbar. Wegen dimF (e1Ee1/e1J(E)e1) = 1 folgt s hlieÿli h Θ ∼= F , und dieBehauptung des Lemmas ist bewiesen.

Kapitel 1. Algebren 151.2 Darstellungen von AlgebrenDe�nition 1.2.1. Es sei A eine F -Algebra.(i) Einen unitären Homomorphismus ∆ : A −→ Mat(n,F ) mit n ∈ N von F -Algebren nennenwir eine Matrixdarstellung des Grades n von A.(ii) Matrixdarstellungen ∆1 : A −→ Mat(n,F ) und ∆2 : A −→ Mat(n,F ) von A heiÿenähnli h , falls es ein T ∈ GL(n,F ) gibt, so dass ∆2(a)T = T∆1(a) für alle a ∈ A gilt.Bemerkung 1.2.2. Es seien A eine F -Algebra und M ein A-Modul mit F -Basis b1, . . . , bn. Füra ∈ A und i = 1, . . . , n ist dann also abi =

∑nj=1 αji(a)bj mit eindeutig bestimmten Koe�zien-ten αji(a) ∈ F für j = 1, . . . , n. Auÿerdem erhalten wir eine Matrixdarstellung von A vermöge:

∆ : A −→ Mat(n,F ), a 7−→ ∆(a) mit ∆(a)ji := αji(a) für alle a ∈ A, i, j ∈ {1, . . . , n}.Ist umgekehrt Γ : A −→ Mat(n,F ) eine Matrixdarstellung von A, so wird der F -VektorraumV := Fn mit Standardbasis ε1, . . . , εn zu einem A-Modul, indem wir aεi :=

∑nj=1 Γ(a)jiεj füralle i = 1, . . . , n setzen. Dies zeigt, dass A-Moduln und Matrixdarstellungen von A einander ent-spre hen. Dabei sind zwei A-ModulnM1 undM2 genau dann isomorph, wenn die entspre hendenMatrixdarstellungen ähnli h sind. Ferner ist dimF (M) für jeden A-Modul M glei h dem Gradjeder von ihm induzierten Matrixdarstellung von A. Auÿerdem übertragen si h auf diese WeiseBegri�e wie Irreduzibilität, Unzerlegbarkeit usw. von Moduln auf Matrixdarstellungen.Wir werden weiterhin alle theoretis hen Aussagen für Moduln formulieren. Bei allen Computer-bere hnungen werden wir jedo h mit Matrixdarstellungen arbeiten.

Kapitel 2GruppenalgebrenIm Folgenden werden wir uns mit Gruppenalgebren und deren Moduln bes häftigen. Dabei wer-den wir ab jetzt unter einer Gruppe stets eine endli he Gruppe verstehen. Auÿerdem sei wie imvorigen Kapitel F wieder ein Körper. Ist nun G eine Gruppe, so ist die Gruppenalgebra vonG über F de�niert als

FG := F [G] :=

∑

g∈G

αgg|αg ∈ F für alle g ∈ G .Dies ist mit den Operationen∑

g∈G

αgg

+

∑

g∈G

βgg

:=

∑

g∈G

(αg + βg)g,

∑

g∈G

αgg

·

(∑

h∈G

βhh

):=

∑

g,h∈G

αgβhgh,

β ·∑

g∈G

αgg :=∑

g∈G

(βαg)gfür β ∈ F tatsä hli h eine F -Algebra, und die Elemente von G bilden eine F -Basis von FG.Weiter legen wir in diesem Zusammenhang no h einige Notationen fest. Es seien ab jetzt:• Sylp(G) für eine Primzahl p die Menge aller p-Sylowgruppen von G,• Cl(G) die Menge aller Konjugationsklassen von G,• X+ :=

∑x∈X x für jede Teilmenge X von G,

• Z(FG) das Zentrum von FG, für wel hes die Menge {C+|C ∈ Cl(G)} eine F -Basis bildet,• J(FG) das Ja obson-Radikal und S(FG) der So kel von FG,• U(FG) die Einheitengruppe von FG.2.1 Gruppenalgebren und ModulnIn diesem Abs hnitt sei G eine Gruppe.Bemerkung/De�nition 2.1.1. Sind M1 und M2 zwei FG-Moduln, so werden au h die F -Vektorräume M1 ⊗F M2 und HomF (M1,M2) zu FG-Moduln mit g(m1 ⊗ m2) = gm1 ⊗ gm2sowie (gf)(m1) = gf(g−1m1) für alle g ∈ G, m1 ∈M1, m2 ∈M2 und f ∈ HomF (M1,M2).16

Kapitel 2. Gruppenalgebren 17Der Körper F wird zu einem FG-Modul mit gα := α für alle g ∈ G, α ∈ F . Wir nennen ihn dentrivialen FG-Modul und verwenden meist die S hreibweise FG oder einfa h wieder F . Fernerbezei hnen wir den Blo k von FG, wel her den trivialen Modul FG enthält, als den Hauptblo kvon FG.Sind M ein FG-Modul und r ≥ 2, so wird au h der F -Vektorraum ∧rM zu einem FG-Modulmit g(m1 ∧ . . . ∧ mr) := (gm1 ∧ . . . ∧ gmr) für alle m1, . . . ,mr ∈ M, g ∈ G. Insbesondere ist∧rM = 0, falls r > dimF (M) ist. Auÿerdem setzen wir ∧0M := FG und ∧1M := M .Ist H eine weitere Gruppe, und sind M ein FG-Modul und N ein FH-Modul, so wird das (äu-ÿere) Tensorprodukt M ⊗F N zu einem F [G×H]-Modul mit (g, h)(m ⊗ n) = gm⊗ hn für allem ∈M, n ∈ N, g ∈ G, h ∈ H. Wir verwenden in diesem Fall au h die Notation M ⊠N .Für jeden FG-Modul M ist au h M∗ := HomF (M,F ) ein FG-Modul mit (gf)(m) = f(g−1m)für alle g ∈ G, m ∈ M, f ∈ M∗. Wir nennen diesen den zu M dualen Modul . Im FallM ∼= M∗ heiÿt M selbstdual . Mit diesen Bezei hnungen gilt auÿerdem (M∗)∗ ∼= M undHomF (M1,M2) ∼= M2 ⊗F M

∗1 für FG-Moduln M,M1,M2.Für jedes g ∈ G, jede Untergruppe H von G und jeden FH-Modul N wird g ⊗ N zu einem

F [gHg−1]-Modul mit (ghg−1)(g ⊗ n) = g ⊗ hn für alle h ∈ H, n ∈ N . Wir setzen gN := g ⊗Nund nennen ihn einen zu N konjugierten Modul.Es seien M ein FG-Modul, H eine Untergruppe von G und N ein FH-Modul. Dann verwendenwir meist die S hreibweise ResGH(M) für die Eins hränkung von M auf FH sowie IndGH(N) fürdie Induktion von N na h FG.Mit diesen Bezei hnungen erhalten wirSatz 2.1.2. Gegeben seien Untergruppen H1 und H2 von G mit H2 ≤ H1, FG-ModulnM,M1,M2,FH1-Moduln N,N1, N2 und ein FH2-Modul L. Dann gilt:(i)

ResH1H2

(ResGH1(M)) = ResGH2

(M)

ResGH1(M1 ⊕M2) = ResGH1

(M1)⊕ ResGH1(M2)

ResGH1(M1 ⊗F M2) = ResGH1

(M1)⊗F ResGH1(M2)

ResGH1(M∗) = (ResGH1

(M))∗.(ii)IndGH1

(IndH1H2

(L)) ∼= IndGH2(L)

IndGH1(N1 ⊕N2) ∼= IndGH1

(N1)⊕ IndGH1(N2)

IndGH1(N∗) ∼= (IndGH1

(N))∗

dimF (IndGH1(N)) = |G : H1| · dimF (N).Satz 2.1.3 (Ma key). Es seien H1 und H2 Untergruppen von G und N ein FH1-Modul. Danngilt:

ResGH2(IndGH1

(N)) ∼=⊕

H2gH1∈H2\G/H1

IndH2

H2∩gH1g−1(ResgH1g−1

H2∩gH1g−1(gN)).Satz 2.1.4 (Frobenius-Formel). Es seien H eine Untergruppe von G, M ein FG-Modul und Nein FH-Modul. Dann ist

M ⊗F IndGH(N) ∼= IndGH(ResGH(M)⊗F N).

Kapitel 2. Gruppenalgebren 18Satz 2.1.5. Es seien F algebrais h abges hlossen, M ein irreduzibler projektiver FG-Modul undZ(G) das Zentrum von G. Dann gilt stets dimF (M)

|G : Z(G)|.Beweis. Im Fall char(F ) = 0 gilt die Behauptung na h [68℄, Prop. 17. Wir können daherchar(F ) = p > 0 annehmen. Dann existiert stets ein vollständiger diskreter BewertungsringR mit maximalem Ideal (π) und Quotientenkörper K der Charakteristik 0, so dass F = R/(π)gilt und K ein Zerfällungskörper für G ist. D.h., jeder irreduzible KG-Modul ist absolut ir-reduzibel. Ferner existiert ein primitives Idempotent e in FG mit M = FG · e, und dieseslässt si h na h Charakteristik 0 heben. Das bedeutet, es existiert ein primitives Idempotentε in RG mit e = ε := ε + (π)RG. Es ist also M := RG · ε ein projektiver RG-Modul mitM/πM ∼= M als FG-Moduln. Da M irreduzibel ist, ist au h der KG-Modul K ⊗R M irreduzi-bel. Ferner gilt dimK(K ⊗R M) = rkR(M ) = dimF (M). Zusammen mit [68℄, Prop. 17 erhaltenwir dimF (M)

|G : Z(G)|.2.2 Relative Projektivität, Vertizes und QuellenIn Kapitel 1 hatten wir bereits den Begri� eines projektiven Moduls für beliebige F -Algebreneingeführt. Im Fall der Gruppenalgebren lässt si h dieser no h verallgemeinern. Dazu sei weiterhinG eine Gruppe.Satz 2.2.1. Sind H eine Untergruppe von G und M ein FG-Modul, so sind folgende Aussagenäquivalent:(i) Ist E : 0 −→ L −→ N −→ M −→ 0 eine kurze exakte Sequenz von FG-Moduln mit derEigens haft, dass die kurze exakte Sequenz 0 −→ ResGH(L) −→ ResGH(N) −→ ResGH(M) −→

0 von FH-Moduln zerfällt, so zerfällt au h E.(ii) Ist E ′ : 0 −→ M −→ N −→ L −→ 0 eine kurze exakte Sequenz von FG-Moduln mit derEigens haft, dass die kurze exakte Sequenz 0 −→ ResGH(M) −→ ResGH(N) −→ ResGH(L) −→0 von FH-Moduln zerfällt, so zerfällt au h E ′.(iii) Es ist M | IndGH(ResGH(M)).(iv) Für jedes Repräsentantensystem {g1, . . . , gn} für die Linksnebenklassen von G na h H exis-tiert ein f ∈ EndFH(M) mit

TrGH(f) :=

n∑

i=1

gif = idM .Dabei ist TrGH : EndFH(M) −→ EndFG(M) eine von der Wahl des Repräsentantensys-tems für G/H unabhängige F -lineare Abbildung. Man bezei hnet diese au h als relativeSpurabbildung.De�nition 2.2.2. Gegebenenfalls heiÿt der FG-Modul M relativ H-projektiv .Bemerkung 2.2.3. (a) Für H := {1} sind die relativ H-projektiven FG-Moduln genau dieprojektiven FG-Moduln.(b) Die Äquivalenz der Aussagen (i) und (ii) in obigem Satz zeigt au h, dass die projektivenFG-Moduln genau die injektiven FG-Moduln sind. Zusammen mit Bemerkung 1.1.7 folgtdaraus, dass jeder projektive Untermodul eines FG-Moduls M sogar stets ein direkterSummand von M sein muss. Diese Tatsa he wird vor allem für unsere Computerbere h-nungen eine ents heidende Rolle spielen.Für den Rest dieses Abs hnitts gelte char(F ) = p > 0.

Kapitel 2. Gruppenalgebren 19Satz 2.2.4. Es sei M ein unzerlegbarer FG-Modul. Dann existiert eine bis auf Konjugation inG eindeutig bestimmte p-Untergruppe P von G, so dass folgende Aussagen gelten:(1) M ist relativ P -projektiv.(2) Ist M au h relativ H-projektiv für eine Untergruppe H von G, so ist P ≤G H.De�nition 2.2.5. Es gelten die Voraussetzungen aus vorigem Satz. Eine p-Untergruppe vonG, wel he die Bedingungen (1) und (2) erfüllt, nennen wir einen Vertex von M . Wir werdenman hmal au h die Bezei hnung vx(M) für einen ausgezei hneten Vertex von M verwenden.In diesem Zusammenhang gelten folgende Aussagen:Lemma 2.2.6. Es seien H eine Untergruppe von G sowie M,M1 unzerlegbare FG-Moduln mitVertizes P,P1 und N ein unzerlegbarer FH-Modul mit Vertex Q. Dann gilt:(i) Im Fall M | IndGH(N) ist P ≤G Q.(ii) Im Fall N |ResGH(M) ist Q ≤G P .(iii) Ist M2 ein weiterer FG-Modul, und ist M |(M1 ⊗F M2), so ist P ≤G P1.(iv) Der zu M duale Modul M∗ hat P ebenfalls als Vertex.Satz 2.2.7. Es seien M ein unzerlegbarer FG-Modul und P ein Vertex von M .(i) Dann existiert ein unzerlegbarer FP -Modul S mit folgenden Eigens haften:

• M | IndGP (S)

• S|ResGP (M)

• P ist ein Vertex von S.(ii) Es sei T ein unzerlegbarer FP -Modul mit M | IndGP (T ). Dann existiert ein t ∈ NG(P ) mittT ∼= S. Dabei sei NG(P ) der Normalisator von P in G. Ferner ist T |ResGP (M) und P einVertex von T .De�nition 2.2.8. Es gelten die Voraussetzungen aus vorigem Satz. Einen FP -Modul, wel herdie drei Bedingungen aus (i) erfüllt, nennen wir eine Quelle von M .Abs hlieÿend werden wir in diesem Abs hnitt no h einige Sätze erwähnen, wel he im weiterenVerlauf bei konkreten Vertex- und Quellenbere hnungen häu�g Anwendung �nden werden. Dafürbenötigen wir no h folgende Bezei hnungen:Bemerkung/De�nition 2.2.9. (i) Die bezügli h Inklusion maximalen Untergruppen von G,wel he als Vertizes irreduzibler Moduln eines Blo ks B := FGe von FG auftreten, heiÿen(p)-Defektgruppen des Idempotents e beziehungsweise des Blo ks B. Diese bilden stetseine Konjugationsklasse von p-Untergruppen von G. Ist pd für ein d ∈ N die Ordnung derDefektgruppen von B, so heiÿt d der (p-)-Defekt von B beziehungsweise e.(ii) Die Defektgruppen des Hauptblo ks von FG sind genau die p-Sylowgruppen von G.(iii) Ist H eine weitere Gruppe, und sind B ein Blo k von FG sowie B ein Blo k von FH, soist B ⊗F B ein Blo k von FG ⊗F FH ∼= F [G ×H]. Auÿerdem haben die Defektgruppenvon B ⊗F B die Form D × D, wobei D eine Defektgruppe von B und D eine von B sind.Satz 2.2.10 ([30℄). Es seien M ein unzerlegbarer FG-Modul, wel her zum Blo k B von FGgehört. Ferner seien D eine Defektgruppe von B und P eine p-Sylowgruppe von G, die einenVertex Q von M enthält. Dann gilt:(i) Der Modul M ist relativ D-projektiv, d.h. insbesondere Q ≤G D.

Kapitel 2. Gruppenalgebren 20(ii) Es ist stets |P : Q| ein Teiler von dimF (M). Insbesondere hat M im Fall p ∤ dimF (M)genau die p-Sylowgruppen von G als Vertizes.(iii) Ist H eine Untergruppe von G, so dass M relativ H-projektiv ist, und ist ResGH(M) =N1 ⊕ · · · ⊕Nl mit unzerlegbaren FH-Moduln N1, . . . ,Nl, so ist Qi ≤G Q für jeden VertexQi von Ni und i = 1, . . . , l. Ferner existiert ein j ∈ {1, . . . , l} mit Qj ∼G Q.(iv) Sind H eine Untergruppe von G und N ein unzerlegbarer FH-Modul, so existiert ein un-zerlegbarer direkter Summand von IndGH(N), der mit N einen Vertex sowie eine Quellegemeinsam hat.Satz 2.2.11 (Greens Unzerlegbarkeitssatz, [30℄, Thm.8). Es sei H ein Normalteiler von G, sodass G/H eine p-Gruppe ist. Ferner sei N ein absolut unzerlegbarer FH-Modul. Dann ist au h

IndGH(N) ein absolut unzerlegbarer FG-Modul.Korollar 2.2.12. Es seien P ∈ Sylp(G), Q < P und M ein absolut unzerlegbarer FG-Modul.Ist ResGQ(M) ebenfalls absolut unzerlegbar, so ist Q kein Vertex von M .Beweis. Wir nehmen an, dass unter obigen Voraussetzungen Q ein Vertex von M ist. Dann istau h ResGP (M) absolut unzerlegbar und hat na h Satz 2.2.10 (iii) ebenfalls Vertex Q. Folgli hgiltResGP (M)| IndPQ(ResGQ(M)).Na h Greens Unzerlegbarkeitssatz ist jedo h IndPQ(ResGQ(M)) absolut unzerlegbar, so dassResGP (M) ∼= IndPQ(ResGQ(M))folgt, im Widerspru h zu dimF (IndPQ(ResGQ(M))) = |P : Q|dimF (M) > dimF (M). Damit folgtdie Behauptung.Satz 2.2.13 ([25℄, L. III.4.14). Es seien M ein unzerlegbarer FG-Modul und E eine endli heKörpererweiterung von F . Ferner sei P ein Vertex von M . Dann ist P ein Vertex jedes unzer-legbaren direkten Summanden des EG-Moduls ME.2.3 Die GreenkorrespondenzEs seien in diesem Abs hnitt G eine Gruppe und F ein Körper der Charakteristik p > 0. Fernerseien P eine p-Untergruppe von G sowie H eine Untergruppe von G mit NG(P ) ≤ H, und wirsetzen

• X := {Q|Q ≤ xPx−1 ∩ P für ein x ∈ G \H},• Y := {Q|Q ≤ xPx−1 ∩H für ein x ∈ G \H}.De�nition 2.3.1. Sind H eine Menge von Untergruppen von G undM ein FG-Modul, so sagenwir, M ist relativ H-projektiv, falls M = M1 ⊕ · · · ⊕Mk gilt für FG-Moduln M1, . . . ,Mk mitder Eigens haft, dass Mi relativ Hi-projektiv ist für ein Hi ∈ H und i = 1, . . . , k.Satz 2.3.2 (Green). Mit obigen Bezei hnungen gelten folgende Aussagen:(i) Ist M ein unzerlegbarer FG-Modul mit Vertex P , so gilt ResGH(M) = M ′⊕Y , wobei M ′ einunzerlegbarer FH-Modul mit Vertex P und Y ein relativ Y-projektiver FH-Modul sind.(ii) Ist N ein unzerlegbarer FH-Modul mit Vertex P , so gilt IndGH(N) = N ′⊕X, wobei N ′ einunzerlegbarer FG-Modul mit Vertex P und X ein relativ X -projektiver FG-Modul sind.

Kapitel 2. Gruppenalgebren 21Bemerkung/De�nition 2.3.3. Die beiden Aussagen des vorigen Satzes liefern eine Bijektionzwis hen den Isomorphieklassen unzerlegbarer FG-Moduln mit Vertex P und den Isomorphie-klassen unzerlegbarer FH-Moduln mit Vertex P . Diese heiÿtGreen-Korrespondenz bezügli h(G,P,H).Ferner werden der FH-Modul M ′ aus (i) als Green-Korrespondent von M in H und derFG-Modul N ′ aus (ii) als Green-Korrespondent von N in G bezei hnet.2.4 Eins hränkungen unzerlegbarer FG-Moduln auf NormalteilerWeiterhin seien G eine Gruppe und F ein Körper der Charakteristik p > 0. Ferner werden wir indiesem Abs hnitt mit FG-Re htsmoduln arbeiten. Auÿerdem bezei hnen wir die multiplikativeGruppe des Körpers F mit F×, die abels he Gruppe aller Abbildungen von G na h F× mitC1(G,F×) und die abels he Gruppe aller Abbildungen von G×G na h F× mit C2(G,F×).Bemerkung 2.4.1. Ein Element α ∈ C2(G,F×) mit der Eigens haft

α(g, h)α(gh, k) = α(h, k)α(g, hk)für alle g, h, k ∈ G heiÿt Faktorensystem von G mit Werten in F×. Die Menge all dieserFaktorensysteme bildet eine Untergruppe von C2(G,F×) und wird mit Z2(G,F×) bezei hnet.Ferner erhalten wir einen Gruppenhomomorphismus∂ : C1(G,F×) −→ C2(G,F×), ϕ 7−→ ((g, h) 7→ ϕ(g)ϕ(h)ϕ(gh)−1).Das Bild von ∂ ist eine Untergruppe von Z2(G,F×), wel he mit B2(G,F×) bezei hnet wird.S hlieÿli h setzen wir H2(G,F×) := Z2(G,F×)/B2(G,F×).Ist der Körper F algebrais h abges hlossen, so ist H2(G,F×) na h [61℄, Thm. 3.5.3 eine endli heGruppe, deren Ordnung ni ht dur h p teilbar ist. Ferner existiert zu jedem α ∈ H2(G,F×) derOrdnung n stets ein Faktorensystem β ∈ Z2(G,F×), so dass β ebenfalls Ordnung n hat und

α = β := βB2(G,F×) gilt.Des Weiteren existiert in dieser Situation eine zentrale Gruppenerweiterung1 −→ Z

ε−→ G

ν−→ G −→ 1,so dass Z eine zyklis he Gruppe der Ordnung n ist. D.h., ε ist ein Gruppenmonomorphismus, νist ein Gruppenepimorphismus, und es gilt ker(ν) = im(ε) sowie im(ε) ⊆ Z(G). Insbesondere istdann also G/ε(Z) ∼= G.Bemerkung 2.4.2. Ist M ein FG-Re htsmodul, und setzen wir E := EndFG(M), so wird Mzu einem E-FG-Bimodul vermöge fmg := f(mg) = f(m)g für alle f ∈ E, m ∈ M, g ∈

G. Ferner liefert jedes Idempotent e in E stets eine Zerlegung M = eM ⊕ (1 − e)M in FG-Re htsmoduln. Dabei ist eM genau dann unzerlegbar, wenn das Idempotent e primitiv ist. Fürzwei Idempotente e1 und e2 in E sind die FG-Re htsmoduln e1M und e2M genau dann isomorph,wenn die projektiven E-Re htsmoduln e1E und e2E isomorph sind. Ist nun {e1E, . . . , elE} einRepräsentantensystem für die Isomorphieklassen unzerlegbarer projektiver E-Re htsmoduln mitprimitiven Idempotenten e1, . . . , el in E, so erhalten wir eine Bijektion zwis hen dieser Mengeund der Menge der Isomorphieklassen unzerlegbarer direkter Summanden des FG-Re htsmodulsM . Diese kommt dur h die Zuordnung

eiE 7−→ eiEM = eiM = ei(M)für alle i = 1, . . . , l zustande und wird au h als Fittingkorrespondenz bezei hnet.Für die na hfolgenden Lemmata und Sätze werden wir einige Eigens haften graduierter Alge-bren und vers hränkter Produkte benötigen. Wir fassen an dieser Stelle die für uns in diesem

Kapitel 2. Gruppenalgebren 22Zusammenhang wesentli hen Aussagen kurz zusammen. Für weitere Details sei auf [61℄, Kapitel4.6 verwiesen. Wir nehmen dazu in diesem Abs hnitt ab jetzt auÿerdem an, dass F algebra-is h abges hlossen ist. Ferner seien N eine Untergruppe von G und W ein unzerlegbarer FN -Re htsmodul mit Trägheitsgruppe I := {g ∈ NG(N)|W ⊗ g ∼= W} in G. Insbesondere ist dannN ein Normalteiler von I. Setzen wir weiter E := EndFI(IndIN (W )) und I := I/N , so ist E eineI-graduierte F -Algebra , d.h. es ist

E =⊕

x∈I

Exmit F -Untervektorräumen Ex von E, so dass ExEy ⊆ Exy für alle x, y ∈ I gilt. Diese Unterräumewerden au h als Komponenten von E bezei hnet. Genauer gilt in dieser Situation:Ex = {f ∈ E|f(W ⊗ 1) ⊆W ⊗ x}für x ∈ I und x = xN ∈ I. Ferner ist Ex ∼= HomFN(W,W x) ∼= HomFN (W ⊗ 1,W ⊗ x) na h[61℄, L. 4.6.4 und insbesondere E1∼= EndFN (W ) mit 1E ∈ E1.Da na h De�nition von I stets W ⊗ x ∼= W für alle x ∈ I gilt, existiert zu jedem x ∈ I ein

FN -Isomorphismus ux : W ⊗1 −→W ⊗x. Dieser lässt si h dann na h [61℄, L. 4.6.4 und L. 4.6.5wiederum kanonis h zu einem FI-Automorphismus von IndIN (W ) fortsetzen, wel hen wir mit uxbezei hnen. Es ist also stets ux ∈ U(E) ∩ Ex, so dass die F -Algebra E sogar ein sogenanntesvers hränktes Produkt von I mit E1 ist. Man bea hte ferner, dass stets u−1x ∈ Ex−1 für alle

x ∈ I gilt. Daraus folgt dann:Ex = Exu

−1x ux ⊆ E1ux ⊆ Ex = uxu

−1x Ex ⊆ uxE1 ⊆ Ex,d.h. Ex = uxE1 = E1ux für alle x ∈ I. Insbesondere haben alle Komponenten Ex dieselbe F -Dimension wie E1, und E ist ein freier E1-Re htsmodul vom Rang |I|.S hlieÿli h betra hten wir das Ja obson-Radikal J(E1) von E1. Für jedes x ∈ I und die entspre- hende Einheit ux erhalten wir dann einen Automorphismus von E1 vermöge:

E1 −→ E1, a 7−→ uxau−1x .Folgli h ist uxJ(E1)u

−1x = J(E1) und daher uxJ(E1) = J(E1)ux. Wegen E1ux = uxE1 = Ex istsomit J := J(E1)E = EJ(E1) ein nilpotentes Ideal in E. Ferner erhalten wir:

J =⊕

x∈I

J(E1)ux ⊆⊕

x∈I

(J ∩ Ex) ⊆ J,und somit ist au hE := E/J =

⊕

x∈I

Exmit Ex = (Ex + J)/J ∼= Ex/ExJ(E1) für x ∈ I eine dur h I graduierte F -Algebra. Auÿerdemist mit E au h E wieder ein vers hränktes Produkt.Na h Voraussetzung ist W unzerlegbar, so dass E1 na h Satz 1.1.4 eine lokale F -Algebra ist.Da F auÿerdem algebrais h abges hlossen ist, gilt damit sogar E1∼= E1/J(E1) ∼= F . Also ist

dimF (E1) = dimF (Ex) = 1 für alle x ∈ I . Man bezei hnet E dann au h als vers hränkteGruppenalgebra .Mit diesen Bezei hnungen gelten die folgenden Aussagen:Lemma 2.4.3. Die vers hränkte Gruppenalgebra E bestimmt genau ein Element α ∈ H2(I, F×).Beweis. Für jedes x ∈ I ist zunä hst ux := (ux + J) ∈ U(E) ∩ Ex und E =⊕

x∈I Fux.Somit existiert zu allen x, y ∈ I ein α(x, y) ∈ F× mit uxuy = α(x, y)uxy. Ist z ein weiteresElement aus I, so erhalten wirα(x, y)α(xy, z)uxyz = α(x, y)uxyuz = uxuyuz = uxα(y, z)uyz = α(y, z)α(x, yz)uxyz.

Kapitel 2. Gruppenalgebren 23Dies zeigt, dass die Abbildung α : I × I −→ F×, (x, y) 7−→ α(x, y) ein Faktorensystem ist.Andererseits besteht U(E)∩Ex genau aus den Elementen der Form vx = ϕ(x)ux für ein ϕ(x) ∈F×. Folgli h ist

vxvy = ϕ(x)uxϕ(y)uy = ϕ(x)ϕ(y)α(x, y)uxy = ϕ(x)ϕ(y)α(x, y)ϕ(xy)−1vxyfür alle x, y ∈ I. Auf diese Weise erhalten wir also ein Faktorensystem, wel hes si h von αnur um ein Element aus B2(I, F×) unters heidet. Demzufolge bestimmt E genau ein Elementα = αB2(I, F×) ∈ H2(I, F×).Lemma 2.4.4. Es sei L ein irreduzibler projektiver E-Re htsmodul. Dann gilt |I|p dimF (L)

|I |,wobei |I |p die hö hste p-Potenz sei, die |I | teilt.Beweis. Na h dem vorigen Lemma bestimmt E genau ein α ∈ H2(I, F×). Na h Bemerkung2.4.1 ist die Ordnung n von α ni ht dur h p teilbar, und wir können au h annehmen, dassα = αB2(I, F×) mit α ∈ Z2(I, F×) und |〈α〉| = |〈α〉| = n gilt. Na h Bemerkung 2.4.1 existiertsomit eine zentrale Gruppenerweiterung

1 −→ Zε−→ I

ν−→ I −→ 1,wobei Z eine zyklis he Gruppe der Ordnung n ist. Ferner existiert ein primitives Idempotent ein der Gruppenalgebra Fε(Z) mit eF I ∼= E. Deswegen können wir nun den E-Re htsmodul Lvermöge des Epimorphismus F I −→ eF I ∼= E au h als irreduziblen projektiven Re htsmodulfür die Gruppenalgebra F I au�assen. Daher gilt na h Satz 2.2.10 (ii) einerseits

|I |p = |I|p|Z|p = |I|p dimF (L).Andererseits ist na h Satz 2.1.5 au h

dimF (L)|I : Z(I)|

|I : ε(Z)| = |I |,woraus s hlieÿli h die Behauptung des Lemmas folgt.Satz 2.4.5. Es seien D ein irreduzibler FG-Re htsmodul mit Vertex Q und Quelle W . Fernersei V der Green-Korrespondent von D in H := NG(Q). Dann gilt:|H : Q|p

dimF (V )

dimF (W )

|H : Q|.Für jedes n ∈ N∗ sei np dabei die hö hste p-Potenz, die n teilt.Beweis. Na h [38℄, Thm. VII.9.3 gilt zunä hstResHQ (V ) ∼= k(W1 ⊕ · · · ⊕Wm).Dabei sind k ∈ N∗ undW = W1, . . . ,Wm paarweise ni htisomorphe, unzerlegbare FQ-Re htsmo-duln mit Wi

∼= W hi für i = 1, . . . ,m und passende h1, . . . , hm ∈ H. Weiter bezei hnen wir analogzu obiger Bemerkung mit I die Trägheitsgruppe von W in H. Dann ist m = |H : I|.DaW na h Voraussetzung eine Quelle von V ist, gilt weiter V | IndHQ (W ). Na h [38℄, Thm. VII.9.6existiert genauer ein unzerlegbarer direkter Summand U von IndIQ(W ) mit V ∼= IndHI (U). Ins-besondere ist also dimF (U) = k dimF (W ). Setzen wir nun E := EndFI(IndIQ(W )), so entspri htU via Fittingkorrespondenz einem bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten unzerlegbaren pro-jektiven E-Re htsmodul eE. Dabei ist e ein primitives Idempotent in E, und U ist als FI-Re htsmodul zu e IndIQ(W ) isomorph.Wir verwenden wieder die Bezei hnungen aus obiger Bemerkung. Dann ist E also eine dur hI := I/Q graduierte F -Algebra der F -Dimension |I |dimF (E1), und E := E/J(E1)E ist ei-ne vers hränkte Gruppenalgebra der F -Dimension |I|. Ferner ist der E-Re htsmodul eE :=

Kapitel 2. Gruppenalgebren 24eE/eEJ(E1) au h unzerlegbar projektiv und na h [50℄, Rem. 3.2 sogar irreduzibel. Folgli h muss|I|p dimF (eE)

|I| na h Lemma 2.4.4 gelten.Wir betra hten nun den E-Linksmodul E ⊗E1 W = IndEE1(W ). Dieser wird vermöge folgenderKonstruktion sogar ein E-FI-Bimodul:Es seien x ∈ I und ux : W ⊗ 1 −→ W ⊗ x ein FQ-Isomorphismus wie in obiger Bemer-kung. Weiter sei ux der entspre hende FI-Automorphismus von IndIQ(W ). Setzen wir dann

(f ⊗ w)x := fux ⊗ u−1x (w ⊗ x) für alle w ∈ W, x ∈ I und f ∈ E, so wird E ⊗E1 W zu einem

FI-Re htsmodul. Ist zusätzli h f ′ ∈ E, so gilt fernerf ′[(f ⊗ w)x] = f ′[fux ⊗ u

−1x (w ⊗ x)] = f ′fux ⊗ u

−1x (w ⊗ x) = (f ′f ⊗ w)x = [f ′(f ⊗ w)]x,so dass also E ⊗E1 W auf diese Weise tatsä hli h ein E-FI-Bimodul wird. In obiger Bemerkunghaben wir au h gesehen, dass IndIQ(W ) = W ⊗FQ FI ein E-FI-Bimodul und W ein E1-FQ-Bimodul sind. Vermöge der Abbildung

E ⊗E1 W −→W ⊗FQ FI, f ⊗ w 7−→ f(w ⊗ 1)erhalten wir na h [50℄, Prop. 1.1 einen Isomorphismus von E-FI-Bimoduln, und wegen U ∼=e IndIQ(W ) ist dann au h die Abbildung

eE ⊗E1 W −→ U, ef ⊗ w 7−→ ef(w ⊗ 1)ein Isomorphismus von FI-Re htsmoduln.Da eE ein projektiver E-Re htsmodul ist, ist er au h ein projektiver E1-Re htsmodul und ins-besondere ein freier E1-Re htsmodul, denn E1 ist na h obiger Bemerkung eine lokale F -Algebra.Somit ist eE ∼= rE1 für ein r ∈ N∗. Demzufolge erhalten wirk dimF (W ) = dimF (U) = dimF (eE ⊗E1 W ) = dimF (rE1 ⊗E1 W )

= r dimF (E1 ⊗E1 W ) = r dimF (W ).Dies zeigt, dass k = r = rkE1(eE) = rkE1(eE) = dimF (eE) gilt. Somit ist k die Dimensiondes irreduziblen E-Re htsmoduls eE, und na h obigen Überlegungen ist |I : Q|p

k|I : Q|.Multiplikation dieser Glei hung mit |H : I| liefert s hlieÿli h

|H : Q|p

k|H : I| =dimF (V )

dimF (W )

|H : Q|.Korollar 2.4.6. Es gelten die Voraussetzungen des vorigen Satzes. Ferner sei Q ≤ K ≤ H mit|K : Q| 6≡ 0 (mod p), und es sei ResHK(V ) ein unzerlegbarer FK-Re htsmodul. Dann ist Q einep-Sylowgruppe von G.Beweis. Da ResHK(V ) relativ Q-projektiv ist, ist wieder

ResHQ (V ) = ResKQ (ResHK(V )) ∼= s(W1 ⊕ · · · ⊕Wn)mit s ∈ N∗ und paarweise ni htisomorphen unzerlegbaren und in K konjugierten FQ-Re htsmo-duln W = W1, . . . ,Wn. Dabei ist hier n = |K : L|, wobei L die Trägheitsgruppe von W inK bezei hne. Wie im Beweis des vorigen Satzes erhalten wir, dass s glei h der F -Dimensioneines unzerlegbaren projektiven Moduls für die vers hränkte Gruppenalgebra E ist. Dabei seienE := EndFL(IndLQ(W )), wel he eine L/Q-graduierte F -Algebra ist, und E = E/J(E1)E, wobeiE1 die 1-Komponente von E im Sinne von Bemerkung 2.4.2 bezei hne. Wegen p ∤ |K : Q| istau h p ∤ |L : Q| und E daher halbeinfa h. Folgli h ist s sogar die F -Dimension eines irreduziblenprojektiven E-Moduls, und es folgt

s|L : Q|na h Lemma 2.4.4. Somit sind |L : Q| und |K : L|s = dimF (V )/dimF (W ) ni ht dur h p teilbar.Na h Satz 2.4.5 folgt nun p ∤ |H : Q|. Demna h ist Q eine p-Sylowgruppe von H = NG(Q) unddaher au h eine von G.

Kapitel 2. Gruppenalgebren 252.5 Vertizes irreduzibler FG-ModulnEs seien wieder G eine Gruppe und F ein algebrais h abges hlossener Körper der Charakteristikp > 0.Bemerkung 2.5.1. (a) Wir können die Gruppenalgebra FG stets als Modul für die Grup-penalgebra F [G×G] au�assen, indem wir

(g1, g2)a := g1ag−12für alle g1, g2 ∈ G, a ∈ FG setzen. Auf diese Weise entspre hen die Ideale von FG geradeden Untermoduln des F [G×G]-Moduls FG. Insbesondere sind die unzerlegbaren direktenSummanden des F [G×G]-Moduls FG genau die Blö ke von FG.(b) Sind H eine Untergruppe von G, b ein Blo k von FH und B ein Blo k von FG, so sagen wir,

B korrespondiert mit b, und s hreiben B = bG, falls b|ResG×GH×H(B) gilt (als F [H ×H]-Moduln) und B der einzige Blo k von FG mit dieser Eigens haft ist. Falls es überhaupteinen Blo k von FG gibt, mit dem b korrespondiert, sagen wir, bG ist de�niert.Lemma 2.5.2 ([1℄, L. 14.1). Es seien H eine Untergruppe von G, b ein Blo k von FH und Deine Defektgruppe von b. Falls CG(D) in H enthalten ist, so ist bG de�niert.De�nition 2.5.3. Es seien P eine p-Untergruppe von G, b ein Blo k von F [PCG(P )] und B einBlo k von FG mit B = bG.(i) Das Paar (P, b) heiÿt dann ein B-Paar .(ii) Ist P zusätzli h eine Defektgruppe von b, so heiÿt (P, b) ein B-Brauerpaar .Satz 2.5.4 ([50℄, Cor. 3.6, Cor. 3.7). Es sei M ein irreduzibler FG-Modul, wel her zum Blo k

B von FG gehört. Ferner sei P ein Vertex von M . Dann existieren• ein B-Brauerpaar (P, b) und• eine Defektgruppe D von B mit CD(P ) ≤ P ≤ D.Falls D abels h ist, gilt also insbesondere P = D.2.6 RangvarietätenDer Begri� der Rangvarietät eines Moduls stammt aus der homologis hen Algebra. Es zeigt si h,dass diese Rangvarietäten in einigen Situationen ein nützli hes Hilfsmittel für die Bere hnungvon Vertizes bilden. Dazu seien in diesem Abs hnitt F ein algebrais h abges hlossener Körper derCharakteristik p > 0 und G eine Gruppe. Ferner bezei hnen wir für n ∈ N∗ mit F [X1, . . . ,Xn] denPolynomring in n Variablen über F . Zu Beginn fassen wir einige Aussagen über a�ne Varietätenzusammen.Bemerkung 2.6.1. Für jede Teilmenge S von F [X1, . . . ,Xn] nennt man

V (S) := {(α1, . . . , αn) ∈ Fn|f(α1, . . . , αn) = 0 für alle f ∈ S}eine a�ne F -Varietät (in Fn). Ist I ⊆ F [X1, . . . ,Xn] das von S erzeugte Ideal, so gilt stets

V (I) = V (S).Ist umgekehrt Y eine Teilmenge von Fn, so de�niert manJ(Y ) := {f ∈ F [X1, . . . ,Xn]|f(α1, . . . , αn) = 0 für alle (α1, . . . , αn) ∈ Y }.Dies ist ein Ideal in F [X1, . . . ,Xn]. Auf diese Weise erhält man also Abbildungen

{Teilmengen von F [X1, . . . ,Xn]}V⇄J{Teilmengen von Fn}.

Kapitel 2. Gruppenalgebren 26Na h Hilberts Nullstellensatz induzieren diese beiden Abbildungen zueinander inverse Bijek-tionen zwis hen der Menge der a�nen F -Varietäten in Fn und der Menge der Radikalideale inF [X1, . . . ,Xn]. Dabei heiÿt ein Ideal I in F [X1, . . . ,Xn] Radikalideal , falls I glei h dem Dur h-s hnitt aller Primideale in F [X1, . . . ,Xn] ist, wel he I enthalten.Eine a�ne F -Varietät V heiÿt irreduzibel , falls für zwei a�ne F -Varietäten V1 und V2 mitV = V1 ∪ V2 stets V = V1 oder V = V2 folgt. Auÿerdem ist V genau dann irreduzibel, wenn dasIdeal J(V ) ein Primideal in F [X1, . . . ,Xn] ist.DieKrull-Dimension einer irreduziblen F -Varietät V ist de�niert als die maximale Länge eineraufsteigenden Kette J(V ) ⊂ J1 ⊂ . . . ⊂ Jm von Primidealen in F [X1, . . . ,Xn]. Wir verwendenfür diese Krull-Dimension au h die Bezei hnung dim(V ).Ist V eine beliebige ni htleere a�ne F -Varietät, so lässt si h V in eindeutiger Weise als Verei-nigung irreduzibler a�ner F -Varietäten V1, . . . , Vk mit Vj * Vi für j 6= i s hreiben. Die Krull-Dimension von V ist dann de�niert als dim(V ) := max{dim(Vi)|i = 1, . . . , k}.De�nition 2.6.2. Es sei (Z/pZ)n ∼= E := 〈g1, . . . , gn〉 ≤ G eine elementarabels he Gruppe derOrdnung pn für ein n ∈ N∗.(i) Für α := (α1, . . . , αn) ∈ F

n \ {0} setzen wiruα := 1 +

n∑

i=1

αi(gi − 1) ∈ U(FE).Die von uα erzeugte zyklis he Gruppe der Ordnung p nennen wir eine zyklis he vers ho-bene Untergruppe von FE.(ii) Ist M ein FG-Modul, so de�nieren wir die Rangvarietät von M bezügli h g1, . . . , gnvermöge:V rE(M) := {α ∈ Fn \ {0}|ResFGF 〈uα〉

(M) ist ni ht frei } ∪ {0}.Bemerkung 2.6.3. (a) Die so de�nierte Rangvarietät V rE(M) ist na h [12℄, Thm. 9.3.1 einea�ne F -Varietät im Sinne obiger Bemerkung. Ferner ist V r

E(M) eine homogene F -Varietät,d.h. aus (α1, . . . , αn) ∈ VrE(M) folgt au h β(α1, . . . , αn) ∈ V

rE(M) für alle β ∈ F .(b) Die Rangvarietät V r

E(M) hängt dabei ni ht nur von der elementarabels hen Gruppe E,sondern au h von den Erzeugern g1, . . . , gn ab. Die Krulldimension dim(V rE(M)) ist jedo hstets unabhängig von der Wahl der Erzeuger von E.( ) S hlieÿli h de�nieren wir die Komplexität von M vermöge

cG(M) := max{dim(V rA(M))|A ≤ G elementarabels he p-Gruppe},wobei dim(V r

A(M)) jeweils wieder die Krull-Dimension von V rA(M) sei. Falls G selber ele-mentarabels h ist, gilt insbesondere cG(M) = dim(V r

G(M)).Mit diesen Bezei hnungen erhalten wir dann:Satz 2.6.4 ([12℄, Prop. 9.7.2, Thm. 9.6.4). Für FE-Moduln N,N1 und N2 gilt:(i) V rE(N1 ⊕N2) = V r

E(N1) ∪ VrE(N2).(ii) V r

E(N1 ⊗F N2) = V rE(N1) ∩ V

rE(N2).(iii) V r

E(N∗) = V rE(N).Satz 2.6.5 ([4℄, Kap. 5.1-5.3). Ein FG-Modul M ist genau dann projektiv, wenn cG(M) = 0gilt.

Kapitel 3Die symmetris hen GruppenIm Folgenden bezei hnen wir für n ∈ N∗ die symmetris he Gruppe des Grades n stets mit Sn unddie alternierende Gruppe des Grades n mit An. IstM eine beliebige endli he Menge, so bezei hneS(M) die volle Permutationsgruppe von M . In diesem Kapitel werden wir zu Beginn die fürden weiteren Verlauf dieser Arbeit wi htigen Aussagen über symmetris he Gruppen und derenSylowgruppen zusammenfassen. Ans hlieÿend werden wir uns mit den Moduln der symmetris henGruppen und deren kombinatoris her Charakterisierung bes häftigen. Beweise zu den zitiertenSätzen �ndet man zum Beispiel in [39℄ und [42℄.3.1 Die Sylowgruppen der symmetris hen GruppenBemerkung 3.1.1. Es seien n,m ∈ N∗. Sind G eine Gruppe und H eine Untergruppe von Sn,so ist das Kranzprodukt von G mit H de�niert als:

W := G ≀H := {(x1, . . . , xn;σ)|x1, . . . , xn ∈ G, σ ∈ H}.Dies wird mit der Operation (x1, . . . , xn;σ) · (y1, . . . , yn;π) := (x1yσ−1(1), . . . , xnyσ−1(n);σπ) füralle (x1, . . . , xn;σ), (y1, . . . , yn;π) ∈ W eine Gruppe der Ordnung |G|n|H|. Ferner besitzt Weine zu H isomorphe Untergruppe H := {(1, . . . , 1;σ)|σ ∈ H} und einen zu Gn isomorphenNormalteiler G := {(x1, . . . , xn; 1)|x1, . . . , xn ∈ G}, wel hen wir als die Basisgruppe von Wbezei hnen. Auÿerdem ist mit diesen Bezei hnungen W = GH und H ∩ G = {1}.Falls G eine Untergruppe der symmetris hen Gruppe Sm ist, kann man W au h als Untergruppevon Smn vermöge des folgenden Gruppenmonomorphismus au�assen:ψ : W −→ Smn, (x1, . . . , xn;σ) 7−→

((j − 1)m+ i

(σ(j) − 1)m+ xσ(j)(i)

)

i=1,...,m, j=1,...,n

.Setzen wir Gi := {(1, . . . , 1, xi, 1, . . . , 1; 1)|xi ∈ G} für i = 1, . . . , n, so ist Gi eine zu G isomorpheUntergruppe von W . Ferner operiert ψ(Gi) genauso auf der Menge {(i− 1)m+ 1, . . . , im)} wieG auf {1, . . . ,m}, und ψ(H) permutiert die Mengen {1, . . . ,m}, . . . , {(n − 1)m + 1, . . . , nm}so, wie H auf {1, . . . , n} operiert. Wir werden dann ψ(G) au h als die Basisgruppe von ψ(W )bezei hnen.Ist ferner K eine Untergruppe der symmetris hen Gruppe Sl für ein l ∈ N∗, so gilt na h [42℄,4.1.23:

ψ[ψ(G ≀H) ≀K] ∼= ψ[G ≀ ψ(H ≀K)].Wir können somit au h einfa h die S hreibweise ψ(G ≀H ≀K) verwenden.Kranzprodukte kommen insbesondere als Sylowgruppen der symmetris hen Gruppen vor. Es seidazu ab jetzt p eine Primzahl, und wir betra hten die zyklis he Gruppe Cp := 〈(1, . . . , p)〉. Na h[42℄, 4.1.20 ist dann Ppi := ψ(≀iCp) := ψ(Cp ≀ · · · ≀Cp) eine p-Sylowgruppe von Spi für alle i ∈ N.27

Kapitel 3. Die symmetris hen Gruppen 28Ist weiter n =∑r

j=0 αjpj die p-adis he Entwi klung von n, so sind die p-Sylowgruppen von Snna h [42℄, 4.1.22 isomorph zu ∏r

j=0(Ppj )αj . Im Folgenden werden wir in diesem Zusammenhangmit Pn stets diejenige p-Sylowgruppe von Sn der folgenden Form bezei hnen: Pn = Ppr ,1× · · · ×Ppr ,αr × Ppr−1,1 × · · · × Ppr−1,αr−1

× · · · × Pp,1 × · · · × Pp,α1 . Dabei seien• Ppr ,1 := ψ(≀rCp),

• Ppj ,ij := (1, 1 + k(ij)) · · · (pj, pj + k(ij)) · Ppj · (1, 1 + k(ij)) · · · (p

j , pj + k(ij))für alle j = 1, . . . , r, ij = 1, . . . , αj und k(ij) :=∑r

a=j+1 αapa + (ij − 1)pj . Wir werden dannau h meist einfa h wieder die S hreibweise Pn =

∏rj=0(Ppj )αj verwenden.Ist P eine p-Sylowgruppe von Sn, so ist o�enbar Q := P ∩ An eine p-Sylowgruppe der alternie-renden Gruppe An. Insbesondere setzen wir Qn := Pn∩An. Im Fall p > 2 ist dann also Pn = Qn,und im Fall p = 2 gilt |Pn : Qn| = 2.Lemma 3.1.2. Für jedes l ∈ N∗ ist Z(Ppl) = 〈zl〉 mit zl := (1, . . . , p)(p+ 1, . . . , 2p) · · · (pl − p+

1, . . . , pl).Beweis. Wir zeigen die Behauptung dur h Induktion na h l. Für l = 1 gilt diese o�ensi htli h.Wir können also l ≥ 2 annehmen und setzen W := Ppl−1 ≀ Cp. Ein Element (x1, . . . , xp;σ) ∈ Wliegt o�enbar genau dann in Z(W ), wenn xiyσ−1(i) = yixπ−1(i) für alle i = 1, . . . , p sowie alley1, . . . , yp ∈ Ppl−1 und alle π ∈ Cp gilt. Mit y1 = . . . = yp := 1 und π := (1, . . . , p) folgtdaraus zunä hst x1 = . . . = xp. Setzen wir nun π := 1, so folgt weiter xiyσ−1(i) = yixi füralle i = 1, . . . , p. Wir nehmen nun no h σ 6= 1 an. Dann ist σ also ein p-Zyklus, und wirsetzen y1 = . . . = yp−1 := 1 6= yp. Damit erhalten wir wegen xσ(p)yp = xσ(p) jedo h sofort denWiderspru h yp = 1. Demzufolge ist σ = 1 und x1 = . . . = xp ∈ Z(Ppl−1). Na h Induktionist Z(Ppl−1) = 〈zl−1〉 und somit Z(Ppl) = ψ(Z(W )) = 〈ψ((zl−1, . . . , zl−1; 1))〉 = 〈(1, . . . , p)(p +

1, . . . , 2p) · · · (pl − p+ 1, . . . , pl)〉.Lemma 3.1.3. Es seien N := NSp2 (Pp2) und y ∈ Pp2 mit y ∼N x := ψ((1, . . . , 1; (1, . . . , p))).Dann ist stets |CPp2 (y)| = p2.Beweis. Wir setzen dazu σ := (1, . . . , p) und C := CCp≀Cp((1, . . . , 1;σ)). Mit denselben Ar-gumenten wie im Beweis des vorigen Lemmas erhalten wir dann au h hier, dass ein Element(x1, . . . , xp; τ) aus Cp ≀Cp genau dann in C liegt, wenn τ ∈ CCp(σ) = 〈σ〉 und x1 = . . . = xp gilt.Folgli h ist |C| = p2 und damit au h |CPp2 (x)| = p2. Genauer gilt

CPp2 (x) = 〈ψ((σ, . . . , σ; 1)), ψ((1, . . . , 1;σ))〉.Da auÿerdem x = gyg−1 für ein g ∈ N ist, erhalten wir au h CPp2 (x) = gCPp2 (y)g−1, so dasss hlieÿli h die Behauptung folgt.Lemma 3.1.4 ([62℄, L. 4.1, L. 4.2). Es sei wie in obiger Bemerkung n =

∑rj=0 αjp

j die p-adis heEntwi klung von n ∈ N∗. Ferner sei P eine p-Sylowgruppe von Sn. Dann gilt:• NSn(P ) ∼=

∏rj=0 ψ(NS

pj(Ppj) ≀Sαj

),• NS

pj(Ppj ) ∼= Nψ(S

pj−1 ≀Sp)(ψ(Ppj−1 ≀ Cp)) für alle j = 1, . . . , r.Lemma 3.1.5. Es seien k, l ∈ N∗, pk ≤ pl ≤ n und Ppk ≤ Ppl ≤ Pn ≤ Sn =: G. Dann besitztPpl genau pl−k in G zu Ppk konjugierte Untergruppen. Ist ferner P := xPpkx−1 ≤ Ppl für einx ∈ G, dann existiert stets ein y ∈ Ppl mit P = yPpky−1.

Kapitel 3. Die symmetris hen Gruppen 29Beweis. Wir zeigen die Behauptung mittels Induktion na h l − k. Im Fall l − k = 0 ist Ppk =Ppl , und wir können y := 1 setzen. Es sei nun also l > l − k > 0. Na h Bemerkung 3.1.1ist Ppl = ψ(Ppl−1 ≀ 〈(1, . . . , p)〉), und für g := ψ(1, . . . , 1; (1, . . . , p)) gilt B =

∏p−1i=0 g

iPpl−1g−i.Dabei bezei hne B die Basisgruppe von Ppl . Wegen k < l besitzt jedes Element in P einenFixpunkt auf {1, . . . , pl}, so dass P ≤ B na h [62℄, L. 4.2. folgt. Auÿerdem besitzt P genaueine ni htriviale Bahn Λ auf {1, . . . , pl}, und diese hat Länge pk. Folgli h muss Λ in einer derp Bahnen von B und P in einem der Basisgruppenfaktoren giPpl−1g−i enthalten sein. Somit istg−ixPpkx−1gi ≤ Ppl−1 für ein i ∈ {0, . . . , p − 1}. Na h Induktion besitzt Ppl−1 genau pl−1−kzu Ppk konjugierte Untergruppen, und es existiert ein h ∈ Ppl−1 mit g−ixPpkx−1gi = hPpkh−1.Setzen wir nun y := gih, so erhalten wir s hlieÿli h y ∈ Ppl und P = yPpky−1. Ferner besitzt Pplgenau p · pl−1−k = pl−k zu Ppk konjugierte Untergruppen.Bemerkung/Korollar 3.1.6. Wir betra hten wieder n ∈ N∗ und die feste p-Sylowgruppe Pnvon Sn =: G aus Bemerkung 3.1.1. Falls dann P eine in G zu Ppk konjugierte Untergruppe vonPn ist für ein k = 0, . . . , r, so muss o�enbar P ≤ Ppl,il

für ein l ≥ k und 1 ≤ il ≤ αl gelten. Ausdem vorigen Lemma und Bemerkung 3.1.1 folgt weiter, dass Ppl,ilgenau pl−k zu Ppk konjugierteUntergruppen besitzt und dass diese in Ppl,il

zu (1, 1 + k(il)) · · · (pl, pl + k(il)) · Ppk · (1, 1 +

k(il)) · · · (pl, pl + k(il)) konjugiert sind. Insbesondere erhalten wir, dass die in Pn enthaltenen

p-Zyklen von Sn genau die Elemente (1, . . . , p), (p + 1, . . . , 2p), . . . , (n− α0 − p+ 1, . . . , n− α0)und deren von 1 vers hiedene Potenzen sind.3.2 Kombinatoris he HilfsmittelIn der Darstellungstheorie der symmetris hen Gruppen spielen kombinatoris he Hilfsmittel wiePartitionen, Young-Diagramme und Abaki eine ents heidende Rolle. Wir werden diese im Fol-genden genauer betra hten und einige ihrer wi htigsten Eigens haften zusammenfassen.Kompositionen und PartitionenDe�nition 3.2.1. (i) Eine Komposition von n ist eine Folge λ = (λ1, λ2, . . .) natürli herZahlen mit |λ| := ∑∞i=1 λi = n. Wir bezei hnen die λi als Teile von λ. Die Menge allerKompositionen von n bezei hnen wir mit Cn. Ferner setzen wir C0 := {∅}.(ii) Eine Partition von n ist eine Komposition λ = (λ1, λ2, . . .) von n mit der Eigens haft

λi ≥ λi+1 für alle i ≥ 1. In diesem Fall verwenden wir die Notation λ ⊢ n. Ist λj > 0 undλi = 0 für ein j ≥ 1 und alle i > j, so s hreiben wir au h λ = (λ1, . . . , λj) und bezei hnenλ1, . . . , λj als die Teile von λ. Ferner bezei hnen wir die Menge aller Partitionen von nmit Pn und setzen P0 := {∅}.(iii) Ist λ = (λ1, . . . , λj) ⊢ n mit λ1 = . . . = λa1 = l1 > λa1+1 = . . . = λa1+a2 = l2 > . . . >λa1+···+ak−1+1 = . . . = λa1+···+ak

= λj = lk > 0 für gewisse a1, . . . , ak ∈ N, so s hreiben wirau h λ = (la11 , la22 , . . . , l

ak

k ).(iv) Es seien q ∈ N∗ und λ = (la11 , la22 , . . . , l

ak

k ) ⊢ n. Wir nennen λ eine q-reguläre Partitionvon n, falls ai < q für alle i = 1, . . . , k gilt. Andernfalls bezei hnen wir λ als q-singulärePartition von n. Gilt li− li+1 < q für i = 1, . . . , k, so heiÿt λ eine q-bes hränkte Partitionvon n. Die Menge aller q-regulären Partitionen von n bezei hnen wir mit Pn,q.(v) Für jede Partition λ = (la11 , la22 , . . . , l

ak

k ) von n de�nieren wir die dazu konjugierte Par-titionλ′ := ((a1 + · · ·+ ak)

lk , (a1 + · · ·+ ak−1)lk−1−lk , . . . , (a1 + a2)

l2−l3, al1−l21 ).

Kapitel 3. Die symmetris hen Gruppen 30(vi) Ist λ = (λ1, . . . , λj) eine Partition von n mit λj > 0, so de�nieren wir die Young-Untergruppe Sλ von Sn vermöge:Sλ := S({1, . . . , λ1})×S({λ1 + 1, . . . , λ1 + λ2})× · · · ×S({

j−1∑

i=1

λi + 1, . . . , n}).Bemerkung 3.2.2. (a) Auf der Menge aller Kompositionen von n werden sowohl eine partielleals au h eine totale Ordnung wie folgt de�niert:• Für λ, µ ∈ Cn gelte genau dann λ D µ, wenn ∑j

i=1 λi ≥∑j

i=1 µi für alle j ≥ 1 ist.Gegebenenfalls sagen wir, λ dominiert µ. Dies liefert eine partielle Ordnung D aufCn. Im Fall λ 6= µ und λ D µ s hreiben wir au h λ⊲ µ.

• Für λ, µ ∈ Cn gelte ferner genau dann λ ≥ µ, falls λ = µ ist oder λj > µj fürj := min{i ∈ N∗ | λi 6= µi} gilt. Dies liefert dann eine totale Ordnung ≥ auf Cn, wel hewir als die lexikographis he Ordnung bezei hnen. Insbesondere enthält diese dieDominanzordnung D. Die Umkehrung gilt dagegen ni ht.(b) Mit den Bezei hnungen aus obiger De�nition gilt:

• Eine Partition λ von n ist genau dann q-regulär, wenn ihre konjugierte Partitionq-bes hränkt ist.

• Es ist stets (λ′)′ = λ, und für alle λ, µ ∈ Pn gilt:λ D µ⇔ µ′ D λ′.( ) Sind q ∈ N∗, λ = (λ1, . . . , λk) eine Partition von n und µ = (µ1, . . . , µl) eine Partition von

m ∈ N∗ mit λk, µl > 0 und k ≤ l, so sind au h q ·λ := (qλ1, . . . , qλk) eine Partition von qnund λ+ µ := (λ1 + µ1, . . . , λk + µk, µk+1, . . . , µl) eine Partition von n+m.(d) Sind λ = (λ1, . . . , λk) ∈ Pn mit λk > 0 und q ≥ 2, so setzen wir lj := λj − λj+1 füralle 1 ≤ j ≤ k − 1 und lk := λk. Ist weiter lj =∑sj

i=0 νijqi die q-adis he Entwi klungvon lj, so setzen wir s := max{sj |1 ≤ j ≤ k} und de�nieren für jedes i ∈ {0, . . . , s}eine q-bes hränkte Partition λ(i) := (

∑kj=1 ν

ij ,∑k

j=2 νij , . . . , ν

ik). Dann ist λ =

∑si=0 λ(i)qi.Auÿerdem ist diese Zerlegung eindeutig, d.h. für jede Zerlegung λ =

∑ti=0 µ(i)qi mit q-bes hränkten Partitionen µ(1), . . . , µ(t) folgt s = t und µ(i) = λ(i) für alle i = 0, . . . , s.Wir bezei hnen diese Zerlegung au h als die q-adis he Entwi klung der Partition λ.Young-DiagrammeBemerkung/De�nition 3.2.3. (i) Zu jeder Partition λ = (λ1, . . . , λk) von n mit λk > 0gehört ein eindeutig bestimmtes Young-Diagramm

[λ] := {(i, j) ∈ N∗ ×N∗|1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ λi}.Im Fall (i, j) ∈ [λ] nennen wir (i, j) einenKnoten von [λ]. So hat etwa für λ := (52, 3, 2, 13) ⊢18 das entspre hende Young-Diagramm die Form

[λ] = .

Kapitel 3. Die symmetris hen Gruppen 31Das Young-Diagramm der zu λ konjugierten Partition λ′ erhält man, indem man [λ] trans-poniert. Für unser Beispiel bedeutet das also λ′ = (7, 4, 3, 22), und das entspre hendeYoung-Diagramm ist[λ′] = .(ii) Zu jeder Partition λ von n und jedem q ∈ N∗ erhält man aus [λ] das q-Reste-Diagramm

[λ]q , indem man jeden Knoten (i, j) ∈ [λ] dur h die Restklasse j − i von j − i modulo qersetzt. Wir verwenden im Folgenden au h die S hreibweise (i, j) und spre hen vom q-Restdes Knotens (i, j). Für obiges Beispiel und q = 3 ist [λ]q also von der Form0 1 2 0 12 0 1 2 01 2 00 1210

.Ferner de�nieren wir zu λ und q das q-Tupel γ := (γ0, . . . , γq−1), wobei γi die Anzahl derKnoten von [λ] mit q-Rest i sei, und bezei hnen γ als q-Inhalt von [λ] beziehungsweise λ.(iii) Zu jedem Knoten (i, j) von [λ] sei der (i, j)-Haken Hij von [λ] de�niert alsHij := {(i, j′) ∈ [λ]|j′ ≥ j} ∪ {(i′, j) ∈ [λ]|i′ ≥ i}.Die entspre hende Hakenlänge sei hij := |Hij| = λi + (λ′)j + 1− i− j.Wir erhalten aus dem Young-Diagramm [λ] das Hakendiagramm von λ, indem wir jedenKnoten (i, j) ∈ [λ] dur h die entspre hende Hakenlänge hij ersetzen.(iv) Der Rand des Young-Diagramms [λ] besteht aus allen Knoten (i, j) ∈ [λ] mit der Eigen-s haft (i+1, j+1) /∈ [λ]. Unter einem Randhaken der Länge l von [λ] verstehen wir danneinen zusammenhängenden Teil des Randes von [λ], bestehend aus l Knoten, den man von

[λ] entfernen kann und so das Young-Diagramm einer Partition von n−l erhält. Es existiertimmer eine natürli he Bijektion zwis hen den Haken und den Randhaken eines Diagramms[λ]. Dabei erhält man den (i, j)-Randhaken Rij dadur h, dass man alle Knoten des Ha-kens Hij von [λ] na h re hts unten auf den Rand projiziert. Wir verdeutli hen dies wiederam Beispiel λ = (52, 3, 2, 13), (i, j) := (1, 2):

× × × ××××

7→

×× × ×

× ××

O�enbar gilt au h stets |Hij| = |Rij |.(v) Für λ ⊢ n und q ∈ N∗ entfernen wir sukzessive alle mögli hen q-Randhaken , d.h. Randha-ken der Länge q, von [λ]. Dabei ist es unerhebli h, in wel her Reihenfolge diese gestri henwerden. Das resultierende Diagramm [λ] hat immer die glei he Form. Wir nennen λ denq-Kern von λ. Die Anzahl der q-Randhaken, die gestri hen werden müssen, um von [λ] zu[λ] zu gelangen, bezei hnen wir als das q-Gewi ht von λ. Für λ = (52, 3, 2, 13) bedeutetdas:

Kapitel 3. Die symmetris hen Gruppen 32• im Fall q := 3: 4 4 34 3 32 22111 7→

• im Fall q := 5: 3 3 3 33 2 2 22 21 1111 7→ .Folgli h hat λ den 3-Kern (22, 12) und 3-Gewi ht 4 sowie 5-Kern (13) und 5-Gewi ht 3.Man sieht au h, dass jeder q-Randhaken stets jeweils genau einen Knoten von jedem q-Restenthalten muss.Young-Tableaux und TabloideBemerkung/De�nition 3.2.4. (i) Ist λ eine Partition von n, so erhält man ein λ-(Young)-Tableau t, indem man jeden Knoten des Young-Diagramms [λ] dur h eine der Zahlen aus{1, . . . , n} ohne Wiederholung ersetzt. Ist zum Beispiel λ := (2, 1) ⊢ 3, so sehen die λ-Tableaux wie folgt aus:

2 22 2

2 23333

33

1 1 111 1 .(ii) Die symmetris he Gruppe Sn operiert für λ ⊢ n auf der Menge aller λ-Tableaux auffolgende Weise. Ist t = (tij) ein λ-Tableau, und ist σ ∈ Sn, dann setzen wir σt := (σ(tij)).So ist etwa 1 12 23 3(123) = .(iii) Für jedes λ ⊢ n und jedes λ-Tableau t de�nieren wir den Spaltenstabilisator Ct von t alsdiejenige Untergruppe von Sn mit der Eigens haft, dass genau dann σ ∈ Ct gilt, wenn iund σ(i) für alle i ∈ {1, . . . , n} in derselben Spalte von t liegen. Analog de�nieren wir denZeilenstabilisator Rt von t.Beispiel. Ist n = 7, λ = (4, 2, 1) und 1 25 746 3

t = ,so ist also Rt = S({1, 2, 3, 7}) ×S({4, 5}) und Ct = S({1, 4, 6}) ×S({2, 5}).Allgemein ist stets Rt ∼= Sλ und Ct ∼= Sλ′ für jedes λ-Tableau t.(iv) Zwei λ-Tableaux t1 und t2 heiÿen zeilenäquivalent, falls es ein σ ∈ Rt1 mit σt1 = t2 gibt.Gegebenenfalls s hreiben wir t1 ∼r t2. Dies liefert eine Äquivalenzrelation auf der Mengealler λ-Tableaux. Für jedes λ-Tableau t bezei hnen wir mit {t} die Äquivalenzklasse vont bezügli h ∼r und nennen diese ein λ-Tabloid . Hat das Tableau t Zeilen t1, . . . , ts, soverwenden wir für {t} au h die S hreibweise

Kapitel 3. Die symmetris hen Gruppen 33...{t} =:

t1

t2

ts .Ferner induziert die Operation von Sn auf den λ-Tableaux eine Operation auf den λ-Tabloiden.(v) Sind λ ⊢ n und t ein λ-Tableau, so de�nieren wir das zugehörige Polytabloid et := κt{t},wobei κt :=∑

π∈Ct(sgnπ)π sei. Dabei bea hte man, dass ein sol hes Polytabloid tatsä hli hvom Tableau t selber, ni ht nur vom Tabloid {t} abhängt. Dann operiert Sn au h auf derMenge der Polytabloide. Es ist nämli h

eσt = κσt{σt} = σκtσ−1{σt} = σκt{t} = σetfür alle λ-Tableaux t und alle σ ∈ Sn.(iv) Für λ ⊢ n heiÿt ein λ-Tableau t Standardtableau , falls die Einträge in den Zeilen vonlinks na h re hts und in den Spalten von oben na h unten wa hsen. Ein λ-Tabloid {t}heiÿt Standardtabloid , falls t zu einem Standardtableau zeilenäquivalent ist, und einPolytabloid et heiÿt Standardpolytabloid , falls t ein Standardtableau ist.Beispiel 3.2.5. • Ist λ := (n), so existiert genau ein λ-Tabloid, nämli h {1 . . . n}. Der Spal-tenstabilisator des Tableaus 1 . . . n ist die triviale Untergruppe von Sn, so dass e1...n =

{1 . . . n} ist.• Ist λ = (1n), so existiert eine Bijektion zwis hen Sn und der Menge aller λ-Tabloide. Setzenwir 12

t := ...n ,so ist o�enbar κt =

∑π∈Sn

(sgn π)π, et =∑

π∈Sn(sgnπ){πt} und daher eσt = (sgnσ)et füralle σ ∈ Sn.Der AbakusDe�nition 3.2.6. Es seien λ := (λ1, . . . , λs) eine Partition von n und t ∈ N mit t ≥ s. Die Folge

βt(λ) := (β1, . . . , βt) natürli her Zahlen mitβi :=

{λi − i+ t, falls i ≤ s−i+ t, falls i > sfür i = 1, . . . , t heiÿt t-elementige β-Folge für λ.Eine sol he β-Folge lässt si h für jedes q ∈ N∗ auf einem Abakus mit q Läufern darstellen. Dabeihat der Abakus an jeder der Stellen β1, . . . , βt eine Perle.

Kapitel 3. Die symmetris hen Gruppen 340 1 2 q − 1

· · ·

· · ·

2q − 1q q + 1 q + 2

Abakus mit q Läufern... ... ... ...

Beispiel 3.2.7. (i) Es seien t = 5, q = 3, λ = (7, 3, 1). Dann ist βt(λ) = (11, 6, 3, 1, 0), undder zugehörige Abakus hat die Form

(ii) Es seien t = 6, q = 3, λ = (4, 22, 12). Dann erhalten wir βt(λ) = (9, 6, 5, 3, 2, 0) und denAbakus

Bemerkung 3.2.8. (a) Wir betra hten eine Partition λ von n und eine β-Folge für λ, die aufeinem Abakus mit q Läufern dargestellt ist.• Vers hieben wir eine Perle auf einem der Läufer um eine Position na h oben, so ent-spri ht dies dem Strei hen eines q-Randhakens im Young-Diagramm [λ] von λ. Kannkeine Perle mehr na h oben vers hoben werden, so ist die dargestellte Partition alsoein q-Kern. Für die Partition aus Beispiel 3.2.7 (ii) ist dies der Fall.• Vers hieben wir für ein i ∈ {1, . . . , q−1} eine Perle des i-ten Läufers um eine Positionna h links auf den (i− 1)-ten Läufer, so entspri ht dies dem Entfernen eines Knotensvom Young-Diagramm von λ.(b) Ist also βt(λ) für λ = (λ1, . . . , λs) ⊢ n und t ≥ s auf einem Abakus mit q Läufern dargestellt,so erhält man für den q-Kern λ von λ die Abakusdarstellung von βt(λ), indem man allePerlen so weit wie mögli h na h oben vers hiebt.Auÿerdem gilt:

Kapitel 3. Die symmetris hen Gruppen 35Lemma 3.2.9. Es sei die β-Folge βt(λ) := (β1, . . . , βt) von λ := (λ1, . . . , λs) ⊢ n mit s ≤ t aufeinem Abakus mit q ∈ N∗ Läufern dargestellt. Dann haben die Knoten von [λ], wel he Perlen aufdem i-ten Läufer entspre hen, alle denselben q-Rest i− t.Beweis. Wir betra hten dazu eine Perle auf Läufer i, die zu einem Knoten von [λ] gehört. Dieseentspri ht also einer Stelle βa von βt(λ), und na h De�nition gilt:βa = λa − a+ t ≡ i (mod q).Wegen (a, λa) = λa − a = i− t folgt die Behauptung.Abs hlieÿend fassen wir no h einige wesentli he Aussagen über den Zusammenhang zwis henPartitionen und Young-Diagrammen zusammen.Satz 3.2.10. Es seien λ und µ Partitionen von n und q ∈ N∗. Dann gilt:(i) Das q-Gewi ht von λ ist glei h der Anzahl aller dur h q teilbaren Einträge im Hakendia-gramm von λ.(ii) Hat λ den q-Inhalt γ = (γ0, . . . , γq−1) und q-Gewi ht w, so hat der q-Kern λ von λ den

q-Inhalt γ = (γ0 − w, . . . , γq−1 − w).(iii) Die Partitionen λ und µ haben genau dann denselben q-Kern, wenn sie denselben q-Inhalthaben.3.3 Darstellungstheorie symmetris her GruppenEs seien F ein Körper und n ∈ N∗. Wir werden nun die wesentli hen Eigens haften der fürdiese Arbeit wi htigen FSn-Moduln zusammenfassen. Wie bereits im vorigen Abs hnitt erwähnt,stehen diese Moduln in engem Zusammenhang mit Young-Tableaux, Partitionen und anderenkombinatoris hen Hilfsmitteln.De�nition 3.3.1. Es sei λ = (λ1, . . . , λs) eine Partition von n. Dann de�nieren wir Mλ als denF -Vektorraum, dessen Basiselemente die vers hiedenen λ-Tabloide sind. Indem wir die Operationaus Bemerkung 3.2.4 von Sn auf den λ-Tabloiden linear fortsetzen, wird Mλ zu einem FSn-Modul. Ferner gilt:Satz 3.3.2 ([39℄, 4.2). Der so de�nierte FSn-Modul Mλ ist isomorph zum Permutationsmodulvon Sn auf der Young-Untergruppe Sλ, d.h. es giltMλ ∼= IndSn

Sλ(F ). Ferner istMλ ein zyklis her

FSn-Modul, wel her von jedem λ-Tabloid erzeugt wird, und es giltdimF (Mλ) =

n!

λ1! · · ·λs!.Bemerkung 3.3.3. Wir betra hten wieder eine Partition λ von n und den zugehörigen FSn-Permutationsmodul Mλ. Ferner seien d := dimF (Mλ) und {{t1}, . . . , {td}} die aus allen λ-Tabloiden bestehende F -Basis von Mλ. Dann erhalten wir eine F -Bilinearform 〈·|·〉 auf Mλvermöge

〈{ti}|{tj}〉 :=

{1 für i = j

0 für i 6= j,wel he auÿerdem Sn-invariant ist. D.h., es gilt stets 〈m1|m2〉 = 〈πm1|πm2〉 für alle m1,m2 ∈Mλund alle π ∈ Sn.Dies hat insbesondere zur Folge, dass für jeden Untermodul N vonMλ au h der Orthogonalraum

N⊥ von N bezügli h 〈·|·〉 wieder ein Untermodul von Mλ ist.De�nition 3.3.4. Für jede Partition λ von n sei Sλ der von der Menge {et : t ist λ-Tableau}aufgespannte Untermodul von Mλ. Dieser Modul heiÿt Spe htmodul zur Partition λ.

Kapitel 3. Die symmetris hen Gruppen 36Satz 3.3.5 ([39℄ 4.5, Thm. 4.6, Thm. 4.8, Thm. 4.12, Thm. 8.15, Thm. 9.2, Cor. 13.18, Thm.20.1). Es sei λ ⊢ n. Dann gelten folgende Aussagen:(i) Der Spe htmodul Sλ ist ein zyklis her FSn-Modul und wird für jedes λ-Tableau t vomzugehörigen Polytabloid et erzeugt.(ii) Hakenformel: Es ist stetsdimF (Sλ) =

n!∏(i,j)∈[λ] hij

.Dabei sei hij jeweils die in Bemerkung/De�nition 3.2.3 (iii) eingeführte Länge des (i, j)-Hakens von [λ]. Ferner bilden die λ-Standardpolytabloide stets eine F -Basis von Sλ.(iii) Untermodulsatz: Für jeden FSn-Untermodul U von Mλ ist entweder Sλ ⊆ U oder U ⊆(Sλ)⊥. Dabei sei (Sλ)⊥ der Orthogonalraum von Sλ bezügli h der Bilinearform 〈·|·〉 ausBemerkung 3.3.3.(iv) Bran hing-Rule: Falls char(F ) = 0 ist, so gilt:• ResSn

Sn−1(Sλ) ∼=

⊕µ S

µ. Dabei wird über alle Partitionen µ von n−1 summiert, derenYoung-Diagramme aus [λ] dur h Entfernen eines Knotens entstehen.• Ind

Sn+1

Sn(Sλ) ∼=

⊕ν S

ν . Dabei wird über alle Partitionen ν von n+ 1 summiert, derenYoung-Diagramme aus [λ] dur h Hinzufügen eines Knotens entstehen.(v) Es ist stets Sλ ⊗ S(1n) ∼=(Sλ

′

)∗. Dabei sei wie übli h λ′ die zu λ konjugierte Partition.(vi) Im Fall char(F ) = 0 ist jeder FSn-Spe htmodul selbstdual und absolut irreduzibel. Fer-ner bildet {Sλ|λ ∈ Pn} ein Repräsentantensystem für die Isomorphieklassen irreduziblerFSn-Moduln. Auÿerdem besitzt Mλ für jede Partition λ von n dann genau einen zu Sλisomorphen Kompositionsfaktor. Ist Sµ ein weiterer Kompositionsfaktor von Mλ, so giltµ⊲ λ.(vii) Falls char(F ) 6= 2 oder λ eine 2-reguläre Partition von n ist, so ist der Spe htmodul Sλunzerlegbar.Bemerkung 3.3.6. (a) Im Fall char(F ) = p > 0 ist ein Spe htmodul im Allgemeinen ni htmehr irreduzibel. Jedo h besitzt jeder Permutationsmodul Mλ eine Filtrierung der Form

Mλ = M0 ⊇M1 ⊇ . . . ⊇Mk ⊇Mk+1 = 0,so dass Mi/Mi+1 für i = 0, . . . , k zu einem Spe htmodul isomorph ist und die Vielfa hheit,mit der ein Spe htmodul Sµ dabei auftritt, mit der Vielfa hheit von Sµ als Kompositions-faktor von Mλ in Charakteristik 0 übereinstimmt.(b) Für jeden FSn-Spe htmodul Sλ besitzt ResSn

Sn−1(Sλ) unabhängig von der Charakteristikeine Filtrierung

Sλ = S0 ⊇ S1 ⊇ . . . ⊇ Sl ⊇ Sl+1 = 0,so dass Si/Si+1 für i = 0, . . . , l zu einem Spe htmodul isomorph ist und die dabei auftre-tenden Faktoren genau die aus Satz 3.3.5 (iv) sind. Analog besitzt au h IndSn+1

Sn(Sλ) eineSpe ht�ltrierung, deren Faktoren die aus Satz 3.3.5 (iv) sind. Auÿerdem existiert stets einBlo k B von FG, wel her den Spe htmodul Sλ enthält.( ) [[41℄,Thm. 3.1℄ Ist λ ⊢ n und Mλ = Y1 ⊕ · · · ⊕ Yr eine Zerlegung in unzerlegbare FSn-Moduln, so existiert genau ein i ∈ {1, . . . , r} mit Sλ ⊆ Yi. Wir setzten Y λ := Yi und nennendiesen Modul den Young-Modul zur Partition λ. Umgekehrt ist für jedes j ∈ {1, . . . , r}

Kapitel 3. Die symmetris hen Gruppen 37der Summand Yj zu einem Young-Modul Y µj für ein µj ⊢ n mit µj D λ isomorph. Sindµ, ν ∈ Pn mit µ 6= ν, so ist Y µ 6∼= Y ν . Die Vielfa hheit, mit der ein Young-Modul Y µals direkter Summand von Mλ auftritt, wird mit κλµ bezei hnet und heiÿt Kostka-Zahl .Insbesondere ist κλλ = 1.Bemerkung 3.3.7. Wie bereits erwähnt, bilden die Spe htmoduln ein Repräsentantensystemfür die Isomorphieklassen irreduzibler FSn-Moduln in Charakteristik 0, in Charakteristik p > 0jedo h im Allgemeinen ni ht. Ist char(F ) = p > 0, so setzen wir für jede p-reguläre Partition λvon n

Dλ := Sλ/Rad(Sλ).Dies ist dann ein selbstdualer, absolut irreduzibler FSn-Modul. Ferner bildet {Dµ|µ ∈ Pn,p}ein Repräsentantensystem für die Isomorphieklassen irreduzibler FSn-Moduln. Weiter gilt mitdiesen Bezei hnungen:Satz 3.3.8 ([39℄, 12.2). Ist char(F ) = p > 0 und λ ∈ Pn,p, so ist stets [Sλ : Dλ] = 1. Ist Dµ einweiterer Kompositionsfaktor von Sλ, so gilt µ⊲ λ. Sind λ eine p-singuläre Partition von n undD ein Kompositionsfaktor von Sλ, so ist D ∼= Dµ für ein µ ∈ Pn,p mit µ⊲ λ.Beispiel 3.3.9. (i) Im Fall λ = (n) existiert genau ein λ-Tabloid, nämli h {1 . . . n}. Es istalso stets M (n) = S(n) ∼= F der triviale FSn-Modul.(ii) Ist λ = (1n), so hatten wir in Beispiel 3.2.5 gesehen, dass jedes λ-Tabloid genau einemElement aus Sn entspri ht. Ist etwa {tσ} das λ-Tabloid zur Permutation σ ∈ Sn, und ist

π ∈ Sn, so gilt π{tσ} = {tπσ} na h Bemerkung/De�nition 3.2.4. Dies zeigt, dass M (1n) ∼=FSn ist. Ferner ist S(1n) eindimensional, und Beispiel 3.2.5 zeigt au h, dass jedes π ∈ Snauf S(1n) dur h Multiplikation mit sgn(π) operiert. Wir nennen S(1n) den alternierendenFSn-Modul und verwenden man hmal au h die S hreibweise S(1n) = sgnn oder einfa hsgn. Im Fall char(F ) = 2 ist insbesondere S(1n) ∼= S(n) ∼= F . Den Blo k von FSn, der denalternierenden Modul enthält, bezei hnen wir ferner als den alternierenden Blo k vonFSn.(iii) Im Fall λ = (n − 1, 1) ist die Anzahl der λ-Tabloide glei h n. Jedes sol he ist dur h denEintrag in der zweiten Zeile eindeutig bestimmt. Folgli h ist dim(M (n−1,1)) = n. Ist auÿer-dem ∆ eine Matrixdarstellung von M (n−1,1) bezügli h der aus allen (n − 1, 1)-Tabloidenbestehenden Basis, so gilt

∆(σ)ij =

{1, falls σ(j) = i

0 sonstfür alle σ ∈ Sn und i, j = 1, . . . , n. Wir nennen M (n−1,1) den natürli hen Permu-tationsmodul, S(n−1,1) den natürli hen Spe htmodul und D(n−1,1) den natürli henirreduziblen Modul für FSn, falls char(F ) = p > 0 und (n, p) 6= (2, 2) ist.Bemerkung 3.3.10. (a) Ist char(F ) = 0 und λ eine beliebige Partition von n, so ist Sλ ⊗sgnn = Sλ ⊗ S(1n) ∼= Sλ

′ na h Satz 3.3.5 (v), (vi).(b) Ist char(F ) = p > 0 und λ ∈ Pn,p, so ist mit Dλ au h Dλ ⊗ sgnn ein irreduzibler FSn-Modul. Es muss also ein µ ∈ Pn,p mitDλ⊗sgnn∼= Dµ geben. Die 1995 bewiesene Mullineux-Vermutung tri�t eine Aussage darüber, wie die Partition µ aussieht. Einen Beweis für dieMullineux-Vermutung sowie eine genaue Bes hreibung, wie man µ aus λ konstruieren kann,�ndet man zum Beispiel in [8℄. Wir verwenden in diesem Zusammenhang die Bezei hnungm(λ) := µ und nennen diese Partition die zu λ Mullineux-konjugierte Partition.

Kapitel 3. Die symmetris hen Gruppen 383.4 Die Blö ke von FSn und ihre DefektgruppenEs seien in diesem Abs hnitt wieder n ∈ N∗, Sn die symmetris he Gruppe des Grades n und Fein Körper der Charakteristik p > 0. Wir werden uns in den na hfolgenden Kapiteln hauptsä h-li h mit den irreduziblen FSn-Moduln und deren Vertizes bes häftigen. Im vorigen Abs hnitthatten wir gesehen, dass diese irreduziblen Moduln stets dur h die p-regulären Partitionen vonn parametrisiert sind. Die 1947 von Brauer und Robinson bewiesene Nakayama-Vermutung lie-fert eine ebenfalls rein kombinatoris he Bedingung dafür, dass zwei irreduzible FSn-Moduln imselben Blo k liegen.Satz 3.4.1 (Nakayama-Vermutung). Es seien λ, µ ∈ Pn,p. Die irreduziblen FSn-Moduln Dλund Dµ liegen genau dann im selben Blo k von FSn, wenn die Partitionen λ und µ denselbenp-Kern besitzen.Bemerkung 3.4.2. Der Satz zeigt also, dass ein Blo k B von FSn, wel her einen irreduziblenModul Dλ enthält, dur h den p-Kern λ von λ parametrisiert ist. Wir spre hen daher au h vom(p)-Kern des Blo ks B sowie vom (p)-Gewi ht w von B, falls λ das p-Gewi ht w hat. Na h Satz3.2.10 wissen wir ferner, dass zwei Partitionen genau dann denselben p-Kern besitzen, wenn siedenselben p-Inhalt haben. Daher kann jedem Blo k au h ein eindeutig bestimmter p-Inhalt zu-geordnet werden.Na h Bemerkung 3.3.6 ist für jede Partition ν von n der FSn-Spe htmodul Sν in einem Blo kvon FSn enthalten. Der entspre hende p-Kern dieses Blo ks ist au h der p-Kern von ν, und dasp-Gewi ht ist das p-Gewi ht von ν.Na h Satz 2.2.10 ist jeder Vertex eines irreduziblen FSn-Moduls stets in einer Defektgrup-pe seines Blo ks enthalten. Aus diesem Grund ist es für die Vertexbere hnungen wi htig, dieDefektgruppen der Blö ke von FSn zu kennen. Au h diese besitzen eine kombinatoris he Cha-rakterisierung.Satz 3.4.3 ([42℄, Thm. 6.2.25). Ist B ein Blo k von FSn vom p-Gewi ht w, so sind die Defekt-gruppen von B in Sn konjugiert zu Ppw.Korollar 3.4.4. Ist D ein irreduzibler FSn-Modul, wel her in einem Blo k B vom p-Gewi htw < p liegt, so sind die Vertizes von D genau die Defektgruppen von B.Beweis. Die Behauptung folgt direkt aus vorigem Satz und Satz 2.5.4.Bemerkung 3.4.5. Ist also λ ∈ Pn,p eine Partition vom p-Gewi ht w, so ist der irreduzibleFSn-Modul Dλ stets relativ projektiv bezügli h der p-Sylowgruppen von Spw. Im Fall p > 2stimmen diese mit den p-Sylowgruppen von Apw überein. Für p = 2 ist jedo h Qpw < Ppw. Hierlässt si h über die relative Projektivität von Dλ Genaueres sagen.Die Aussage des na hfolgenden Satzes ist eine direkte Folgerung aus Thm. 1.1 in [3℄.Satz 3.4.6. Es seien p = 2 und λ ∈ Pn,2. Der zugehörige irreduzible FSn-Modul Dλ ist genaudann relativ An-projektiv, wenn gilt

•λ2j−1 − λ2j ≤ 2 für alle j > 0,

•λ2j−1 + λ2j 6≡ 2 (mod 4) für alle j > 0.Gegebenenfalls heiÿt λ au h S-Partition.Korollar 3.4.7. Sind p = 2, λ ∈ Pn,p eine S-Partition vom Gewi ht w und Q ein Vertex desirreduziblen FSn-Moduls Dλ, so gilt Q ≤Sn Q2w.

Kapitel 3. Die symmetris hen Gruppen 393.5 Relative Projektivität irreduzibler FSn-ModulnWeiterhin gelten die Voraussetzungen aus vorigem Abs hnitt. Ferner setzen wir F als algebrais habges hlossen voraus.Lemma 3.5.1. Es seien D ein irreduzibler FSn-Modul, wel her zum Blo k B von FSn ge-hört. Ferner habe B das p-Gewi ht w, und es sei Q ein Vertex von D mit Q ≤ Spw. Dann istCSpw(Q) = Z(Q).Beweis. Na h Satz 2.5.4 existiert zunä hst ein Blo k b von F [QCSn(Q)] mit Defektgruppe Q.Na h [63℄, Prop. 1.4 ist daher CSpw(Q) ≤ Q und somit CSpw(Q) = Z(Q).Bemerkung 3.5.2. Das vorige Lemma zeigt, dass für jede Defektgruppe R von B mit Q ≤ R ≤Spw automatis h CSpw(Q) = CR(Q) = Z(Q) gilt.Korollar 3.5.3. Es sei D ein irreduzibler FSn-Modul, wel her zum Blo k B vom p-Gewi ht wvon FSn gehört. Dann ist D ni ht relativ Spw−1-projektiv.Beweis. Wir nehmen an, der Modul D ist relativ Spw−1-projektiv. Dann ist er aber sogar relativSpw−p-projektiv. Es existieren also ein R ∈ Sylp(Sp(w−1)) und ein Vertex Q von D mit Q ≤ R.Dann liegt jedo h der p-Zyklus (p(w−1)+1, . . . , pw) in CSpw(Q)\Q, im Widerspru h zu obigemLemma. Folgli h ist D ni ht relativ Spw−1-projektiv.

Teil IIVertizes von FSn-Moduln

40

Kapitel 4Irreduzible Moduln symmetris herGruppen4.1 Restriktion und Induktion irreduzibler FSn-ModulnIn diesem Abs hnitt seien• F ein Körper der Charakteristik p > 0

• n ∈ N∗

• I := Z/pZ = {0, . . . , p− 1}

• z die Restklasse von z ∈ Z modulo p.Im Folgenden werden wir einen Überbli k über die modularen Bran hing-Regeln von A.Klesh hev geben. Diese sind Analoga zu den gewöhnli hen Bran hing-Regeln aus Satz 3.3.5 undwerden eines der wi htigsten Werkzeuge für unsere Vertexbere hnungen sein.Bemerkung/De�nition 4.1.1. Es seien λ ∈ Pn und i ∈ I.(i) Ein Knoten (r, s) des Young-Diagramms [λ] heiÿt i-entfernbar , falls gilt• (r, s) = s− r = i

• [λ] \ {(r, s)} ist das Young-Diagramm einer Partition von n− 1.Ein Knoten (r, s) /∈ [λ] heiÿt i-hinzufügbar , falls gilt• (r, s) = s− r = i

• [λ] ∪ {(r, s)} ist das Young-Diagramm einer Partition von n+ 1.(ii) Wir versehen für jedes i ∈ I alle i-entfernbaren Knoten von [λ] mit einem �−� und allei-hinzufügbaren Knoten mit einem �+�.(iii) Die i-Signatur von λ ist die Folge von Plus- und Minuszei hen, die man erhält, wenn manvon links unten na h re hts oben die Vorzei hen entlang des Randes von [λ] liest. Sind λeine p-reguläre Partition und Dλ der entspre hende irreduzible FSn-Modul, so spre henwir au h von der i-Signatur des Moduls Dλ.Beispiel: λ = (6, 5, 3, 3, 1), p = 3, i = 0

7→

+

−

+

111 2 22 2 2[λ]p =

1 20

0 0

0

12 0

0Die i-Signatur von λ ist also +−+. 41

Kapitel 4. Irreduzible Moduln symmetris her Gruppen 42(iv) Aus der i-Signatur erhält man die reduzierte i-Signatur von λ dur h wiederholtesStrei hen aller Terme der Form −+. Die reduzierte i-Signatur hat somit stets die Form+ . . . + − . . .−. In obigem Beispiel ist die reduzierte 0-Signatur also +. Im Fall, dass λeine p-reguläre Partition ist, spre hen wir au h hier von der reduzierten i-Signatur desirreduziblen Moduls Dλ.(v) Ein Knoten von [λ], der zu einem �−� in der reduzierten i-Signatur von λ gehört, heiÿt i-normal . Ein Knoten von [λ], der zu einem �+� in der reduzierten i-Signatur von λ gehört,heiÿt i- onormal . Der Knoten, der zum am weitesten links stehenden �−� gehört, heiÿti-gut , und derjenige, der zum am weitesten re hts stehenden �+� gehört, heiÿt i- ogut .Beispiel: p = 2, n = 9, λ = (6, 2, 1)

11

0 0 0 01 1 11 10 0[λ]p =Daraus erhält man die reduzierte 0-Signatur − und die reduzierte 1-Signatur + + +−. DerKnoten (1, 6) ist 1-gut, (2, 3) ist 1- ogut, und (3, 1) ist 0-gut.(vi) Für i ∈ I sei εi(λ) die Anzahl der i-normalen Knoten von [λ], d.h. die Anzahl der Minus-zei hen in der reduzierten i-Signatur von λ. Ferner sei ϕi(λ) die Anzahl der i- onormalenKnoten von [λ], d.h. die Anzahl der Pluszei hen in der reduzierten i-Signatur von λ.Mit diesen Bezei hnungen gilt der folgende Satz.Satz 4.1.2 ([49℄ Thm.11.2.7, Thm. 11.2.8). Es sei λ eine p-reguläre Partition von n mit p-Inhaltγ = (γ0, . . . , γp−1). Dann gilt:(i) ResSn

Sn−1(Dλ) = M0(λ) ⊕M1(λ) ⊕ · · · ⊕Mp−1(λ). Es ist Mi(λ) 6= 0 genau dann, wenn λeinen i-guten Knoten A besitzt. In diesem Fall ist Mi(λ) ein unzerlegbarer, selbstdualer

FSn−1-Modul mit Hd(Mi(λ)) ∼= Soc(Mi(λ)) ∼= DλA, wel her im Blo k von FSn−1 mitp-Inhalt γ − i := (γ0, . . . , γi−1, γi − 1, γi+1, . . . , γp−1) liegt. Dabei bezei hne λA die zumYoung-Diagramm [λ] \ {A} gehörende p-reguläre Partition von n− 1.(ii) Für i ∈ {0, . . . , p− 1} ist der Modul Mi(λ) genau dann irreduzibel, wenn εi(λ) = 1 ist.(iii) Ind

Sn+1

Sn(Dλ) = N0(λ) ⊕ N1(λ) ⊕ · · · ⊕ Np−1(λ). Es ist Ni(λ) 6= 0 genau dann, wenn λeinen i- oguten Knoten B besitzt. In diesem Fall ist Ni(λ) ein unzerlegbarer, selbstdualer

FSn+1-Modul mit Hd(Ni(λ)) ∼= Soc(Ni(λ)) ∼= DλB , wel her im Blo k von FSn+1 mitp-Inhalt γ + i := (γ0, . . . , γi−1, γi + 1, γi+1, . . . , γp−1) liegt. Dabei ist λB die zum Young-Diagramm [λ] ∪ {B} gehörende p-reguläre Partition von n+ 1.(iv) Für i ∈ {0, . . . , p− 1} ist der Modul Ni(λ) genau dann irreduzibel, wenn ϕi(λ) = 1 ist.Satz 4.1.3 ([10℄, Thm. 2.11). Es seien λ eine p-reguläre Partition von n und i ∈ I. Dann gilt:(i) Es sei A ein i-entfernbarer Knoten von [λ], so dass die zu [µ] := [λ] \ {A} gehörendePartition µ von n−1 wieder p-regulär ist. Falls A au h i-normal ist, so ist dann [Mi(λ) : Dµ]glei h der Anzahl der i-normalen Knoten von λ re hts von A, wobei A selber mitgezähltwird. Ist A ni ht i-normal, so gilt [ResSn

Sn−1(Dλ) : Dµ] = [Mi(λ) : Dµ] = 0.(ii) Es sei B ein i-hinzufügbarer Knoten von [λ], so dass [ν] := [λ] ∪ {B} das Diagramm einer

p-regulären Partition ν von n+1 ist. Ist B au h i- onormal, so ist dann [Ni(λ) : Dν ] glei hder Anzahl der i- onormalen Knoten von λ links von B, wobei B selber mitgezählt wird.Ist B ni ht i- onormal, so gilt [IndSn+1

Sn(Dλ) : Dν ] = [Ni(λ) : Dν ] = 0.

Kapitel 4. Irreduzible Moduln symmetris her Gruppen 43Bemerkung 4.1.4. Im Folgenden werden wir einige Begri�e aus der Kategorien-Theorie benut-zen, jedo h ni ht näher erläutern. Für die Details verweisen wir auf [2℄. In [10℄ und [48℄ werdenfür i ∈ I, r ∈ {1, . . . , n− 1}, s ∈ N∗ Funktorenei : FSn-mod −→ FSn−1-modfi : FSn-mod −→ FSn+1-mod

e(r)i : FSn-mod −→ FSn−r-modf

(s)i : FSn-mod −→ FSn+s-modeingeführt. Dabei sei FSn-mod die Kategorie der endli h erzeugten FSn-Moduln. Diese Funk-toren kommen folgendermaÿen zustande. Es bezei hne zunä hst Γn die Menge aller p-Tupelnatürli her Zahlen, deren Summe glei h n ist. Die Menge aller p-Inhalte, die zu den p-Blö kenvon FSn gehören, ist also eine Teilmenge von Γn. Für jeden FSn-Modul M s hreiben wir

M =⊕

γ∈ΓnM [γ]. Dabei sei M [γ] die Summe aller unzerlegbaren direkten Summanden von Maus dem Blo k mit p-Inhalt γ, falls γ ein p-Inhalt ist, und 0 sonst. Für jeden p-Inhalt γ mit

M [γ] 6= 0 und alle i ∈ I setzen wir nun mit diesen Bezei hnungenei(M [γ]) := (ResSn

Sn−1(M [γ]))[γ − i]

fi(M [γ]) := (IndSn+1

Sn(M [γ]))[γ + i].Dabei seien wieder γ − i := (γ0, . . . , γi−1, γi − 1, γi+1, . . . , γp−1) und γ + i := (γ0, . . . , γi−1, γi +

1, γi+1, . . . , γp−1). Im Fall γi = 0 setzen wir ei(M [γ]) := 0.Ferner können wir den FSn-Modul M [γ] au h als F [Sn ×Ss]-Modul au�assen, auf dem Ss =S({n + 1, . . . , n+ s}) trivial operiert. Andererseits betra hten wir die Menge M [γ]Sr aller Fix-punkte der Operation der Gruppe S({n − r + 1, . . . , n}) ≤ Sn auf M [γ] und fassen diese alsFSn−r-Modul auf. Für alle i ∈ I gelte dann

e(r)i (M [γ]) := (M [γ]Sr )[γ − ir]

f(s)i (M [γ]) := (Ind

Sn+s

Sn×Ss(M [γ]))[γ + is].Dabei seien γ − ir := γ−i− · · · − i︸ ︷︷ ︸

r−mal und γ + is := γ+i+ · · · + i︸ ︷︷ ︸s−mal . Ferner setzen wir im Fall

γi < r au h hier e(r)i (M [γ]) := 0. Wir können nun ei, fi, e(r)i , f

(s)i jeweils additiv auf beliebige

FSn-Moduln fortsetzen und erhalten so die entspre henden Funktoren. A.Klesh hev zeigt in[10℄ 11.2, dass mit obigen Bezei hnungen Mi(λ) ∼= eiDλ und Ni(λ) ∼= fiD

λ für i ∈ I gilt. Dur hwiederholtes Anwenden der Funktoren ei beziehungsweise fi erhält man fernerSatz 4.1.5 ([49℄ Thm. 11.2.10,Thm. 11.2.11). Es seien λ eine p-reguläre Partition von n, i ∈I, r ∈ {1, . . . , n− 1} und s ∈ N∗. Dann gilt(i) eriDλ ∼= e

(r)i Dλ ⊕ · · · ⊕ e

(r)i Dλ

︸ ︷︷ ︸r! Summanden . Dabei ist e(r)i Dλ 6= 0 genau dann, wenn [λ] mindestens rKnoten besitzt, die i-normal sind. In diesem Fall ist e(r)i Dλ ein unzerlegbarer, selbstdua-ler Modul mit Hd(e

(r)i Dλ) ∼= Soc(e

(r)i Dλ) ∼= Dα, wobei [α] aus [λ] dur h Strei hen der runtersten i-normalen Knoten entsteht.(ii) Der Modul e(r)i Dλ ist genau dann irreduzibel, wenn r = εi(λ) ist.(iii) f siDλ ∼= f

(s)i Dλ ⊕ · · · ⊕ f

(s)i Dλ

︸ ︷︷ ︸s! Summanden . Dabei ist f (s)

i Dλ 6= 0 genau dann, wenn [λ] mindestens sKnoten besitzt, die i- onormal sind. In diesem Fall ist f (s)i Dλ ein unzerlegbarer, selbstdualerModul mit Hd(f

(s)i Dλ) ∼= Soc(f

(s)i Dλ) ∼= Dβ, wobei [β] aus [λ] dur h Hinzufügen der sobersten i- onormalen Knoten entsteht.

Kapitel 4. Irreduzible Moduln symmetris her Gruppen 44(iv) Der Modul f (s)i Dλ ist genau dann irreduzibel, wenn s = ϕi(λ) ist.Bemerkung/Korollar 4.1.6. Es sei Dλ ein irreduzibler FSn-Modul mit εi := εi(λ) und ϕi :=

ϕi(λ) für ein i ∈ I. Ferner seien α die p-reguläre Partition von n− εi, die dur h Strei hen der i-normalen Knoten von [λ] entsteht, und β die p-reguläre Partition von n+ϕi, die du h Hinzufügender i- onormalen Knoten zu [λ] entsteht. Na h obigem Satz besitzt ResSn

Sn−εi(Dλ) genau εi! zumirreduziblen Modul Dα isomorphe direkte Summanden, und Ind

Sn+ϕi

Sn(Dλ) besitzt genau ϕi!zum irreduziblen Modul Dβ isomorphe direkte Summanden. Für die Vertizes der entspre hendenModuln gilt daher: vx(Dα) ≤Sn vx(Dλ) und vx(Dβ) ≤Sn+ϕi

vx(Dλ). Ist auÿerdem ϕi(α) =

εi und f(εi)i (Dα) ∼= Dλ oder εi(β) = ϕi und e

(ϕi)i (Dβ) ∼= Dλ, so folgt vx(Dα) ∼Sn vx(Dλ)beziehungsweise vx(Dβ) ∼Sn+ϕi

vx(Dλ). Gegebenenfalls werden wir dann au h die Notationα←→ λ beziehungsweise λ←→ β verwenden.4.2 Die S opes-Äquivalenz und Blö ke von bestimmtem Gewi htEs sei F ein algebrais h abges hlossener Körper der Charakteristik p > 0. In [67℄ zeigt J.S opes,dass man die Blö ke symmetris her Gruppen von einem bestimmten p-Gewi ht w > 0 in Famili-en unterteilen kann, abhängig von den entspre henden p-Kernen. Jede sol he Familie besteht ausMorita-äquivalenten Blö ken, und man kennt eine obere S hranke für die Anzahl dieser Familien.Um zu erkennen, wann zwei Blö ke vom p-Gewi ht w Morita-äquivalent sind, benötigen wir diein Kapitel 3 eingeführten Abaki und deren Eigens haften.Wir betra hten dazu einen Blo k B von FSn mit p-Kern κ := (κ1, . . . , κr) und p-Gewi ht w.Dabei gelte κr > 0. Dann setzen wir t := pw + r und stellen βt(κ) auf einem Abakus mit pLäufern dar. Ferner nehmen wir an, dass ein k ≥ w und ein i ∈ {1, . . . , p − 1} existieren, sodass die Anzahl der Perlen auf dem i-ten Läufer des Abakus die Anzahl der Perlen auf dem(i− 1)-ten Läufer um genau k übersteigt. Wir vers hieben jede der k untersten Perlen des i-tenLäufers um eine Position na h links auf den (i− 1)-ten Läufer. Das entspri ht dem Vertaus hender beiden Läufer. Auf diese Weise erhalten wir die Abakus-Darstellung einer neuen Partitionκ, die wiederum ein p-Kern ist. Den Blo k mit p-Kern κ und p-Gewi ht w bezei hnen wir mitB und sagen, dass B und B ein [w : k]-Paar bilden. Ferner bezei hnen wir B und B au h alsS opes-äquivalente Blö ke .Die S opes-Äquivalenz ist eine Äquivalenzrelation, und es gilt der folgende Satz.Satz 4.2.1 ([67℄). Die beiden Blö ke B und B sind Morita-äquivalent. Diese Morita-Äquivalenzinduziert ferner eine Bijektion Φ zwis hen den Isomorphieklassen irreduzibler Moduln in B undden Isomorphieklassen irreduzibler Moduln B, wel he die lexikographis he Ordnung der entspre- henden Partitionen erhält.Bemerkung 4.2.2. (a) Die Bijektion Φ zwis hen den Isomorphieklassen irreduzibler Modulnin B und B lässt si h folgendermaÿen bes hreiben. Für Dλ aus B stellen wir βt(λ) mit

t := pw + r auf einem Abakus mit p Läufern dar. Dann hat au h dieser Abakus auf demi-ten Läufer k Perlen mehr als auf dem (i − 1)-ten. Insbesondere gilt dabei, dass in denZeilen des Abakus, in denen si h auf dem (i − 1)-ten Läufer eine Perle be�ndet, au h deri-te Läufer eine Perle besitzt. Wir vers hieben die untersten k Perlen des i-ten Läufers umeine Position na h links auf den (i − 1)-ten Läufer. Die p-reguläre Partition, die zu derso entstandenen Abakus-Darstellung gehört, sei λ. Dann liegt Dλ in B, und wir setzenΦ(Dλ) := Dλ. Auf diese Weise erhalten wir die Bijektion Φ. Einen ausführli hen Beweishierfür �ndet man in [67℄.(b) Beispiel: Wir betra hten den Fall p = 3, w = 2. Ferner sei B der Blo k von FS12mit 3-Kern κ := (4, 2) und 3-Gewi ht 2. Für t = 3w + 2 = 8 erhalten wir also die β-Folge βt(κ) = (11, 8, 5, 4, 3, 2, 1, 0). Der entspre hende Abakus hat auf Läufer 2 genau zweiPerlen mehr als auf Läufer 1. Vers hieben wir diese na h links auf Läufer 1, so erhalten

Kapitel 4. Irreduzible Moduln symmetris her Gruppen 45wir die Abakusdarstellung des 3-Kerns κ = (3, 1) für βt(κ) = (10, 7, 5, 4, 3, 2, 1, 0). Dieentspre henden Abaki sehen wie folgt aus:

Bezei hnen wir den Blo k von FS10 mit 3-Kern κ wieder mit B, so gilt für die jeweiligenirreduziblen Moduln in B und B:Φ(D(10,2)) = D(9,1), Φ(D(7,5)) = D(6,4), Φ(D(7,22,1)) = D(6,22),

Φ(D(42,3,1)) = D(42,2), Φ(D(4,32,12)) = D(32,2,12).Folgli h sind der Blo k B von FS12 mit 3-Kern (4, 2) und der Blo k B von FS10 mit3-Kern (3, 1) S opes-äquivalent.( ) Die Bijektion Φ lässt si h mit Hilfe der in Abs hnitt 4.1 eingeführten Funktoren no hpräziser bes hreiben. Dazu setzen wir ab jetzt wieder I := {0, . . . , p − 1} und bemerkenzunä hst, dass Folgendes gilt:Lemma 4.2.3. Es seien B und B zwei S opes-äquivalente Blö ke von FSn beziehungsweiseFSn−k mit p-Gewi ht w > 0, wel he ein [w : k]-Paar bilden für ein k ≥ w. Ferner sei γ derp-Inhalt von B. Dann existiert ein j ∈ I, so dass B den p-Inhalt γ − jk hat.Beweis. Es sei Dλ ein irreduzibler Modul aus dem Blo k B. Da λ na h Voraussetzung denp-Inhalt γ = (γ0, . . . , γp−1) hat, hat der p-Kern κ von λ na h Satz 3.2.10 den p-Inhalt γ =(γ0−w, . . . , γp−1−w). Na h Lemma 3.2.9 existiert ein j ∈ I, so dass [κ] aus [κ] dur h Entfernenvon k Knoten mit p-Rest j entsteht. Dabei sei κ der p-Kern von λ. Also hat κ den p-Inhalt (γ0−w, . . . , γj−1−w, γj−w−k, γj+1−w, . . . , γp−1−w). S hlieÿli h hat λ den p-Inhalt (γ0, . . . , γj−1, γj−k, γj+1, . . . , γp−1) = γ − jk, woraus die Behauptung folgt.Damit erhalten wir nunLemma 4.2.4. Es seien B und B S opes-äquivalente Blö ke von FSn beziehungsweise FSn−kmit p-Gewi ht w > 0, wel he ein [w : k]-Paar bilden für ein k ≥ w. Ferner bezei hne Φ dieentspre hende Bijektion zwis hen den Isomorphieklassen irreduzibler Moduln aus B und B. Dannexistiert ein eindeutig bestimmtes j ∈ I mit

Dλ := Φ(Dλ) ∼= e(k)j (Dλ)

Dλ ∼= f(k)j (Φ(Dλ))

k = εj(λ) = ϕj(λ)für alle p-regulären Partitionen λ von n mit der Eigens haft, dass Dλ zu B gehört.Beweis. Es sei λ eine p-reguläre Partition von n, so dass Dλ in B liegt. Es bezei hne λ wiederdie zu Φ(Dλ) gehörende Partition von n − k. Ferner habe B den p-Inhalt γ := (γ0, . . . , γp−1).Wir s hreiben nun ResSn

Sn−k(Dλ) = X1 ⊕ · · · ⊕ Xm mit unzerlegbaren Moduln X1, . . . ,Xm fürein m ∈ N∗. Dabei können wir na h [67℄, L. 2.4 annehmen, dass X1, . . . ,Xm1 aus dem Blo k Bkommen für ein m1 ∈ {1, . . . ,m}. Na h [67℄ (Beweis zu Cor. 3.3) ist dannm1 = k! und X1

∼= . . . ∼= Xm1∼= Dλ.

Kapitel 4. Irreduzible Moduln symmetris her Gruppen 46Na h Satz 4.1.5 und obigem Lemma ist andererseitsX1 ⊕ · · · ⊕Xm1

∼= ekj (Dλ)für genau ein j ∈ I. Demna h muss also

k = εj(λ) und X1∼= . . . ∼= Xm1

∼= e(k)j (Dλ)gelten.Umgekehrt betra hten wir IndSn

Sn−k(Dλ) = Y1⊕· · ·⊕Yl mit unzerlegbaren Moduln Y1, . . . , Yl fürein l ∈ N∗. Wir können na h [67℄, L. 2.4 annehmen, dass Y1, . . . , Yl1 im Blo k B liegen für ein

l1 ∈ {1, . . . , l}. Na h [67℄ (Beweis zu Cor. 3.3) istl1 = k! und Y1

∼= . . . ∼= Yl1∼= Dλ.Na h Satz 4.1.5 und dem obigem Lemma gilt aber au h

Y1 ⊕ · · · ⊕ Yl1∼= fkj (Dλ).Folgli h ist

k = ϕj(λ) und Dλ ∼= f(k)j (Dλ).Damit ist das Lemma bewiesen.Bemerkung 4.2.5. (a) Wiederholtes Anwenden des obigen Lemmas zeigt au h, dass die ein-ander entspre henden irreduziblen Moduln zweier S opes-äquivalenter Blö ke stets einengemeinsamen Vertex sowie eine gemeinsame Quelle besitzen.(b) Im Fall p = 2 sind die 2-Kerne genau die sogenannten Dreie kspartitionen, d.h. Partitionender Form κa := (a, a− 1, a− 2, . . . , 1, 0) für a ≥ 0. Ferner giltSatz 4.2.6 ([72℄, Satz 4.4.2). Im Fall p = 2 sind die p-Blö ke von einem festen p-Gewi ht w > 0,wel he den p-Kernen κa mit a ≥ w − 1 entspre hen, alle S opes-äquivalent.Bemerkung 4.2.7. (a) Wir betra hen wieder ein festes w > 0 und p = 2. Um die Vertizes derirreduziblen Moduln symmetris her Gruppen in p-Blö ken mit p-Gewi ht w zu bestimmen,genügt es also, dies für die irreduziblen Moduln in p-Blö ken mit p-Gewi ht w und p-Kern

κa mit a = 0, 1, . . . , w − 1 zu tun.(b) In [72℄ wurden bereits die Vertizes der irreduziblen Moduln in Blö ken vom 2-Gewi htw = 0, 1, 2, 3 bestimmt. Wir werden nun die Blö ke vom 2-Gewi ht 4 betra hten. Na h derobigen Überlegung beginnt hier der allgemeine Fall bei n = 14.Satz 4.2.8. Es seien p = 2, n ∈ N∗ und B ein Blo k von FSn vom Gewi ht 4. Dann enthält Bgenau fünf irreduzible Moduln. Diese sind:(i) im Fall n = 8(a) D(8) mit vx(D(8)) ∼S8 P8(b) D(7,1) mit vx(D(7,1)) ∼S8 P8( ) D(6,2) mit vx(D(6,2)) ∼S8 P8(d) D(5,3) mit vx(D(5,3)) ∼S8 Q8(e) D(4,3,1) mit vx(D(4,3,1)) ∼S8 Q8.(ii) im Fall n = 9(a) D(9) mit vx(D(9)) ∼S9 P8.

Kapitel 4. Irreduzible Moduln symmetris her Gruppen 47(b) D(7,2) mit vx(D(7,2)) ∼S9 P8.( ) D(6,2,1) mit vx(D(6,2,1)) ∼S9 P8.(d) D(5,4) mit vx(D(5,4)) ∼S9 Q8.(e) D(5,3,1) mit vx(D(5,3,1)) ∼S9 Q8.(iii) im Fall n = 11(a) D(10,1) mit vx(D(10,1)) ∼S11 P8.(b) D(8,3) mit vx(D(8,3)) ∼S11 P8.( ) D(6,5) mit vx(D(6,5)) ∼S11 Q8.(d) D(6,3,2) mit vx(D(6,3,2)) ∼S11 P4 ×Q4.(e) D(5,3,2,1) mit vx(D(5,3,2,1)) ∼S11 Q8.(iv) im Fall n ≥ 14 für passendes a ∈ N∗(a) D(a+8,a−1,a−2,...,0) mit vx(D(a+8,a−1,a−2,...,0)) ∼Sn P8.(b) D(a+6,a+1,a−2,a−3,...,0) mit vx(D(a+6,a+1,a−2,a−3,...,0)) ∼Sn P8.( ) D(a+4,a+3,a−2,a−3,...,0) mit vx(D(a+4,a+3,a−2,a−3,...,0)) ∼Sn Q8.(d) D(a+4,a+1,a,a−3,a−4,...,0) mit vx(D(a+4,a+1,a,a−3,a−4,...,0)) ∼Sn P4 ×Q4.(e) D(a+2,a+1,a,a−1,a−4,a−5...,0) mit vx(D(a+2,a+1,a,a−1,a−4,a−5...,0)) ∼Sn E8.Dabei ist E8 eine elementarabels he Gruppe der Ordnung 8, die regulär auf den Zahlen1, . . . , 8 operiert.Terme der Form a− i < 0 werden immer als 0 interpretiert.Beweis. Zunä hst zeigen wir, dass wir die Parameter der irreduziblen Moduln für n ≥ 14 induk-tiv erhalten. Im Fall n = 14 ist a = 3, und die Partitionen zu den irreduziblen Moduln im Blo kmit 2-Kern κ3 haben genau die oben angegebene Form.Wir nehmen nun für a ≥ 3 an, dass wir die Parameter der irreduziblen Moduln im 2-Blo k Bvon FSn mit 2-Gewi ht 4 und 2-Kern κa bereits kennen. Um die Parameter der irreduziblenModuln im Blo k B von FSn+a+1 mit 2-Gewi ht 4 und 2-Kern κa+1 zu bestimmen, müssenwir na h Bemerkung 4.2.2 folgendermaÿen vorgehen: Wir betra hten alle Partitionen λ von n,die zu den irreduziblen Moduln in B gehören, und stellen βt(λ) mit t := 8 + a + 1 jeweils aufeinem Abakus mit zwei Läufern dar. Dieser besitzt dann auf dem 0-ten Läufer a+1 Perlen mehrals auf dem ersten. Diese vers hieben wir um eine Position na h re hts auf den ersten Läufer.Das liefert dann die 2-reguläre Partition λ von n + a+ 1 mit Φ(Dλ) = Dλ. Dieses Vers hiebender a + 1 Perlen von Läufer 0 auf Läufer 1 entspri ht im Fall a ≡ 1 (mod 2) dem Hinzufügenaller 1- onormalen Knoten zu [λ] und im Fall a ≡ 0 (mod 2) dem Hinzufügen aller 0- onormalenKnoten zu [λ]. Wir erhalten somit für a = 3:

λ λ

(11, 2, 1) (12, 3, 2, 1) = (a+ 1 + 8, a+ 1− 1, a+ 1− 2, a+ 1− 3, 0)

(9, 4, 1) (10, 5, 2, 1) = (a+ 1 + 6, a+ 1 + 1, a+ 1− 2, a+ 1− 3, 0)

(7, 6, 1) (8, 7, 2, 1) = (a+ 1 + 4, a+ 1 + 3, a+ 1− 2, a+ 1− 3, 0)

(7, 4, 3) (8, 5, 4, 1) = (a+ 1 + 4, a+ 1 + 1, a+ 1, a+ 1− 3, 0)

(5, 4, 3, 2) (6, 5, 4, 3) = (a+ 1 + 2, a+ 1 + 1, a+ 1, a+ 1− 1, 0)Im Fall a > 3 ist stets λi ≡ λi+1 (mod 2) für alle i ∈ N∗ mit λi+1 > 0. Hat λ also k von 0vers hiedene Teile, so sind die onormalen Knoten genau die Knoten (i, λi +1) und (k+1, 1) füri ∈ {1, . . . , k}. Diese haben alle denselben p-Rest. Demzufolge erhalten wir für a > 3:

Kapitel 4. Irreduzible Moduln symmetris her Gruppen 48λ λ

(a+ 8, a− 1, a− 2, . . . , 0) (a+ 9, a, a − 1, a− 2, . . . , 0)

(a+ 6, a+ 1, a− 2, a− 3, . . . , 0) (a+ 7, a+ 2, a− 1, a− 2, . . . , 0)

(a+ 4, a+ 3, a− 2, a− 3, . . . , 0) (a+ 5, a+ 4, a− 1, a− 2, . . . , 0)

(a+ 4, a+ 1, a, a − 3, a− 4 . . . , 0) (a+ 5, a+ 2, a+ 1, a− 2, a− 3, . . . , 0)

(a+ 2, a+ 1, a, a − 1, a− 4, a− 5 . . . , 0) (a+ 3, a+ 2, a+ 1, a, a − 3, a− 4 . . . , 0)Für n = 8, 9, 11, 14 gehen die Aussagen über die Vertizes aus den Computerbere hnungen hervor.Dabei wurden die Fälle n = 8, 9, 11 bereits in [72℄ behandelt. Na h den Bemerkungen 4.2.6 und4.2.5 folgt daraus die Behauptung für n > 14.4.3 Die Feit-Vermutung für symmetris he GruppenDie Feit-Vermutung besagt Folgendes: Sind F ein algebrais h abges hlossener Körper der Cha-rakteristik p > 0 und Q eine p-Gruppe, so existieren bis auf Isomorphie nur endli h viele un-zerlegbare FQ-Moduln, wel he Quellen irreduzibler FG-Moduln mit Vertex Q für eine GruppeG ⊇ Q sind.Aus dem vorigen Abs hnitt wissen wir, dass es für ein festes w ∈ N∗ bis auf S opes-Äquivalenznur endli h viele Blö ke symmetris her Gruppen von positivem p-Gewi ht ≤ w gibt. Fernerenthält jeder Blo k bis auf Isomorphie nur endli h viele irreduzible Moduln, und die einanderentspre henden irreduziblen Moduln zweier S opes-äquivalenter Blö ke haben stets einen ge-meinsamen Vertex sowie eine gemeinsame Quelle. Irreduzible Moduln in Blö ken vom Gewi ht0 sind projektiv, haben also Vertex {1} und triviale Quelle.In [65℄ behauptet L. Puig, dass für n ∈ N∗ und jede Defektgruppe P eines Blo ks von FSn,wel her einen irreduziblen Modul mit Vertex Q enthält, stets |P | ≤ |Z(Q)|! gilt. Dies hättezur Folge, dass irreduzible Moduln symmetris her Gruppen mit Vertex Q nur in Blö ken vomGewi ht ≤ c(|Q|) liegen können, wobei c(|Q|) eine von |Q| abhängige Konstante ist. Diese Unglei- hung gilt jedo h im Allgemeinen ni ht. Sind zum Beispiel Q := P := Pp2 und B der Hauptblo kvon FSp2 , so ist einerseits P eine Defektgruppe von B. Andererseits enthält B aber au h dentrivialen FSp2-Modul, wel her Vertex Q = P hat, und es gilt |P | = pp+1 6≤ p! = |Z(Q)|!.Wir werden im Folgenden zeigen, dass sol h eine Konstante c(|Q|) denno h stets existiert. Zu-sammen mit obigen Überlegungen folgt daraus dann, dass die Feit-Vermutung für symmetris heGruppen gilt.Dazu seien ab jetzt wieder n ∈ N∗ und F ein algebrais h abges hlossener Körper der Charakte-ristik p > 0.Satz 4.3.1. Es seien D ein irreduzibler FSn-Modul mit Vertex Q und |Q| = pl für ein l ∈ N∗.Ferner besitze Q genau k ni httriviale Bahnen auf {1, . . . , n}. Dann gilt:(i) Es ist k ≤ l, und D liegt in einem Blo k vom Gewi ht w ≤ lpl−1.(ii) Im Fall k = l liegt D in einem Blo k vom Gewi ht l, und alle ni httrivialen Bahnen von Qhaben Länge p. Insbesondere ist dann Q ∼Sn (Pp)

l.(iii) Im Fall l ≥ 2 und k = l − 1 liegt D in einem Blo k vom Gewi ht p + l − 2. Ferner besitztQ dann genau eine Bahn der Länge p2 und l − 2 Bahnen der Länge p.(iv) Im Fall l ≥ 3 und k ≤ l − 2 liegt D in einem Blo k vom Gewi ht w ≤ (l − 2)pl−1.Beweis. Der Vertex Q von D hat na h Voraussetzung genau k ni httriviale Bahnen B1, . . . , Bkauf {1, . . . , n}. Dann ist also |⋃k

i=1Bi| = pw, wobei w das Gewi ht des Blo ks von D ist, undwir können somitQ ≤ S(B1)× · · · ×S(Bk) ≤ Spwannehmen. Demzufolge existieren eine p-Sylowgruppe R von S(B1) × · · · × S(Bk) sowie eine

p-Sylowgruppe S von Spw mit Q ≤ R ≤ S. Genauer ist R = R1×· · ·×Rk mit Ri ∈ Sylp(S(Bi))

Kapitel 4. Irreduzible Moduln symmetris her Gruppen 49für i = 1, . . . , k, und wir können S = Ppw annehmen. Na h Bemerkung 3.5.2 gilt mit diesenBezei hnungen CS(Q) = Z(Q) ≤ Q und damit au h Z(R) = Z(R1)×· · ·×Z(Rk) ≤ CS(Q) ≤ Q.Folgli h ist pk = |Z(R)| ≤ |Q| = pl und pw = |⋃ki=1Bi| ≤ |Q|k ≤ |Q|l = lpl. Damit erhaltenwir (i). Auÿerdem hat im Fall k = l jede der Bahnen B1, . . . , Bl Länge p. Andernfalls hätten wirdann nämli h den Widerspru h Q = Z(R) < CR(Q) ≤ CS(Q). Somit folgt (ii).Wir nehmen nun k = l − 1 ≥ 1 an. Dann ist also

Z(R1)× · · · × Z(Rl−1) ≤ CR1(Q)× · · · × CRl−1(Q) ≤ Z(Q) ≤ Q ≤ R1 × · · · ×Rl−1,woraus |Z(Q)| ≥ |Z(R1)| · · · |Z(Rl−1)| = pl−1 und somit |Q : Z(Q)| ∈ {1, p} folgt. Daher ist Qabels h. Für i = 1, . . . , l − 1 sei ferner zi ∈ Z(Ri) mit Z(Ri) = 〈zi〉. Dann existiert ein x ∈ Qmit Q = 〈z1, . . . , zl−1, x〉. Wir s hreiben nun x = x1 · · · xl−1 mit xi ∈ Ri für i = 1, . . . , l − 1.Insbesondere ist also xi ∈ CRi

(Q) für alle i = 1, . . . , l − 1.Wegen |Q| = pl existiert hö hstens ein i ∈ {1, . . . , l − 1} mit |CRi(Q)| ≥ p2. Wir können daher

|CRi(Q)| = p für i = 2, . . . , l − 1 annehmen. Somit ist dann CRi

(Q) = Z(Ri) und insbesonde-re xi ∈ Z(Ri) für i = 2, . . . , l − 1. Daher gilt Q = 〈z1, x1〉 × Z(R2) × · · · × Z(Rl−1), so dassRi = CRi

(Q) ≤ Q und Ri = Z(Ri) für i = 2, . . . , l − 1 folgt. Also ist Ri ∈ Sylp(S(Bi)) abels h,und wir erhalten |Bi| = p für i = 2, . . . , l − 1. Ferner ist 〈z1, x1〉 eine abels he Untergruppe derOrdnung p2 von S(B1). Folgli h ist |B1| = p2, und 〈z1, x1〉 operiert regulär auf B1. Damit istau h pw = |⋃ki=1Bi| = p2 + (l − 2)p und w = p+ l − 2 gezeigt.Ist s hlieÿli h 1 ≤ k ≤ l − 2, so erhalten wir pw = |

⋃ki=1Bi| ≤ (l − 2)pl und w ≤ (l − 2)pl−1.Damit ist der Satz bewiesen.Wir werden nun mit Hilfe der obigen Abs hätzungen die Gruppen der Ordnungen ≤ p3 bestim-men, wel he als Vertizes irreduzibler Moduln symmetris her Gruppen in Frage kommen.Lemma 4.3.2. Es seien l ∈ {0, 1, 2, 3}, Q eine Gruppe der Ordnung pl und D ein irreduzibler

FSn-Modul, wel her in einem Blo k mit Gewi ht w liegt und Vertex Q hat. Dann gilt:(i) Im Fall l = 0 ist Q = 1, und D ist ein projektiver FSn-Modul, liegt also in einem Blo kvom Gewi ht 0.(ii) Im Fall l = 1 ist Q ∼Sn Pp. Ferner ist w = 1.(iii) Im Fall l = 2 ist• Q ∼Sn Pp × Pp und w = 2 oder• Q ∼Sn Ep2 und w = p. Dabei bezei hne Ep2 eine elementarabels he Gruppe derOrdnung p2, wel he regulär auf {1, . . . , p2} operiert.(iv) Im Fall l = 3 liegt einer der folgenden Fälle vor:• Q ∼Sn (Pp)

3 und w = 3.• Q ∼Sn 〈(1, . . . , p

2)〉 × 〈(p2 + 1, . . . , p2 + p)〉 und w = p+ 1.• Q ∼Sn Ep2 × 〈(p

2 + 1, . . . , p2 + p)〉 und w = p+ 1.• Q = P4, p = 2 und w = 2.• Q ∼Sn 〈x, y, z〉, p > 2 und w = p. Dabei seien z = (1, . . . , p) · · · (p2 − p + 1, . . . , p2),y = (1, 1 + p, . . . , 1 + (p − 1)p) · · · (p, 2p, . . . , p2) sowie x ∈ Pp2 mit xp = 1 undzy = xyx−1.In dem Fall ist Q also extraspeziell mit expp(Q) = p.

• Q ∼Sn 〈x, y〉, p > 2 und w = p. Dabei seien x = (1, 1 + p, . . . , 1 + (p − 1)p, 2, 2 +p, . . . , 2 + (p − 1)p, . . . , p, 2p, . . . , p2) sowie y ∈ Pp2 mit der Eigens haft yp = 1 undyxy−1 = (1, . . . , p) · · · (p2 − p+ 1, . . . , p2)x.In dem Fall ist Q also extraspeziell mit expp(Q) = p2.

Kapitel 4. Irreduzible Moduln symmetris her Gruppen 50• Q ∼Sn Ep3 und w = p2, wobei Ep3 eine elementarabels he Gruppe der Ordnung p3ist, wel he regulär auf {1, . . . , p3} operiert.• Q ∼Sn 〈c, (1, p+1, . . . , 1+(p−1)p) · · · (p3−p2+1, p3−p2+p+1, . . . , p3)〉 und w = p2.Dabei sei c ∈ Pp3 ein Produkt von p Zyklen der Länge p2 mit cp = (1, . . . , p) · · · (p3 −p+1, . . . , p3) und c(1, p+1, . . . , 1+ (p− 1)p) · · · (p3− p2 +1, p3− p2 + p+1, . . . , p3) =(1, p + 1, . . . , 1 + (p − 1)p) · · · (p3 − p2 + 1, p3 − p2 + p+ 1, . . . , p3)c.In dem Fall ist Q abels h vom Typ (p2, p) und operiert regulär auf {1, . . . , p3}.Beweis. Die Aussage (i) ist klar. Wir können daher ab jetzt l ≥ 1 annehmen. Sind B1, . . . , Bkdie ni httrivialen Bahnen von Q auf {1, . . . , n}, können wir wie im Beweis von Satz 4.3.1 wieder

Q ≤ R1 × · · · × Rk ≤ S mit S = Ppw und Ri ∈ Sylp(S(Bi)) für i = 1, . . . , k annehmen. Na hobigen Überlegungen gilt dabei insbesondere 1 ≤ k ≤ l. Die Aussage (ii) gilt o�enbar. Wir zeigen(iii) und (iv).Falls l = 2 ist, besitzt Q entweder eine oder zwei ni httriviale Bahnen auf {1, . . . , n}. Besitzt Qzwei Bahnen B1 und B2, so muss |B1| = |B2| = p, w = 2 und Q = R1×R2 = Pp ×Pp na h Satz4.3.1 gelten. Im Fall p > 2 ist dann insbesondere Q = S.Ist k = 1, so ist also |B1| = p2, w = p und Q ≤ R1 = S = Pp2 . Da Q einerseits abels h,andererseits na h [19℄ aber ni ht zyklis h ist, kann Q in diesem Fall nur elementarabels h sein undmuss regulär auf {1, . . . , p2} operieren. Zusätzli h muss na h wie vor stets Z(S) in Q enthaltensein. Bis auf Konjugation in Sp2 ist dannEp2 := 〈(1, . . . , p) · · · (p2 − p+ 1, . . . , p2), (1, 1 + p, . . . , 1 + (p − 1)p) · · · (p, 2p, . . . , p2)〉die einzige Untergruppe von Pp2 , wel he diese Bedingungen erfüllt.Wir betra hten nun no h den Fall l = 3. Dann ist also 1 ≤ k ≤ 3. Falls k = 3 ist, so haben die dreiBahnen B1, B2, B3 von Q alle Länge p na h Satz 4.3.1, und es folgt sofort Q = R1 ×R2 ×R3 =

(Pp)3 sowie w = 3. Im Fall p > 3 ist insbesondere Q = S.Im Fall k = 2 können wir na h Satz 4.3.1 zunä hst |B1| = p2, |B2| = p, w = p + 1 und

Q ≤ R1 × R2 = Pp2 × Pp annehmen. Wegen Z(Pp2 × Pp) ≤ Q ist dann Pp ≤ Q. Es existiertdemna h also eine Untergruppe Q von Pp2 der Ordnung p2 mit Q = Q×Pp. Zusammen mit denÜberlegungen für den Fall l = 2, k = 1 folgt daraus, dass Q in Sp2 ×Sp und damit au h in Snentweder zu 〈(1, . . . , p2), (p2 + 1, . . . , p2 + p)〉 oder zu Ep2 × Pp konjugiert sein muss.S hlieÿli h sei k = 1. Dann besitzt Q also genau eine Bahn B1, und diese hat entweder Längep2 oder Länge p3. Wir nehmen zuerst |B1| = p2 an, so dass Q ≤ R1 = Pp2 und w = p folgt. ImFall p = 2 ist insbesondere |Pp2 | = 8 = p3, und wir erhalten Q = Pp2 = P4. Im Fall p > 2 ist Qni ht abels h. Sonst würde Q na h [37℄, S. I.5.13 nämli h regulär auf {1, . . . , p2} operieren, imWiderspru h zu |Q| = p3 > p2.Demzufolge kann Q im Fall p > 2 für k = 1 und |B1| = p2 nur extraspeziell sein. Ist expp(Q) = p,so ist bekanntli h

Q = 〈x, y, z|xp = yp = zp = 1, xz = zx, yz = zy, z = xyx−1y−1〉 ≤ R1 = Pp2 .Da Q transitiv auf {1, . . . , p2} operiert, muss mindestens einer der Erzeuger auÿerhalb der Ba-sisgruppe von Pp2 liegen und damit in NSp2 (Pp2) zu (1, 1 + p, . . . , 1 + (p− 1)p) · · · (p, 2p, . . . , p2)konjugiert sein. Wir können daher zunä hst annehmen, dass entweder x oder y oder z glei h (1, 1+p, . . . , 1+(p−1)p) · · · (p, 2p, . . . , p2) ist. Aus dem Beweis von Lemma 3.1.3 wissen wir weiter, dassCP

p2 ((1, 1+p, . . . , 1+(p−1)p) · · · (p, 2p, . . . , p2)) von (1, 1+p, . . . , 1+(p−1)p) · · · (p, 2p, . . . , p2)und (1, . . . , p) · · · (p2 − p + 1, . . . , p2) erzeugt wird. Somit folgt z 6= (1, 1 + p, . . . , 1 + (p −1)p) · · · (p, 2p, . . . , p2). Wir können also y = (1, 1 + p, . . . , 1 + (p − 1)p) · · · (p, 2p, . . . , p2) undz = (1, . . . , p) · · · (p2 − p+ 1, . . . , p2) annehmen. Man bea hte, dass dann au h in der Tat

CPp2 (Q) = CPp2 (x) ∩ CPp2 (y) = CPp2 (x) ∩ 〈y, z〉 = 〈z〉 = Z(Q)

Kapitel 4. Irreduzible Moduln symmetris her Gruppen 51gilt. Falls expp(Q) = p2 ist, so istQ = 〈x, y|xp

2= yp = 1, yxy−1 = xp+1〉.Es ist also x ein p2-Zyklus in Pp2 . Insbesondere ist 〈xp〉 = Z(Pp2) = 〈(1, . . . , p) · · · (p2 − p +

1, . . . , p2)〉. Wir können daher x = (1, 1+p, . . . , 1+(p−1)p, 2, 2+p, . . . , 2+(p−1)p, . . . , p, 2p, . . . , p2)annehmen. Dann gilt au hCP

p2 (Q) = CPp2 (x) ∩ CPp2 (y) = 〈x〉 ∩ CP

p2 (y) = 〈xp〉 = Z(Q).Abs hlieÿend untersu hen wir den Fall l = 3, k = 1 und |B1| = p3. Dann ist also Q ≤ R1 = Pp3 ,und Q operiert regulär auf {1, . . . , p3}. Na h [37℄, S.I.6.5 operiert dann au h CSp3 (Q) regulär auf{1, . . . , p3}. Insbesondere ist also |Q| = p3 = |CSp3 (Q)|. Na h Lemma 3.5.1 ist auÿerdem Z(Q) =

CSp3 (Q), so dass Q = Z(Q) folgt. Demzufolge ist Q abels h. Da Q wegen [19℄ ni ht zyklis h seinkann, folgt weiter, dass Cp×Cp×Cp ∼= Q ≤ Pp3 oder Cp2×Cp ∼= Q ≤ Pp3 ist. Damit ist Q in Sp3entweder zu Ep3 := 〈x, y, z〉 mit z = (1, . . . , p) · · · (p3 − p+ 1, . . . , p3), x = (1, p+ 1, . . . , 1 + (p−1)p) · · · (p3 − p2 + 1, p3 − p2 + p+ 1, . . . , p3), y = (1, 1 + p2, . . . , 1 + (p− 1)p2) · · · (p2, 2p2, . . . , p3)oder zu 〈x, u〉 konjugiert. Dabei ist u ein Produkt von p Zyklen der Länge p2 und up = z.Damit ist die Aussage des Lemmas s hlieÿli h bewiesen.Das obige Lemma zeigt unter anderem, dass Gruppen der Ordnungen ≤ p3 nur Vertizes irredu-zibler FSn-Moduln aus Blö ken vom Gewi ht ≤ p2 sein können. Im Fall p = 2 kennen wir na hBemerkung 4.2.7 und Satz 4.2.8 die Vertizes aller irreduziblen Moduln symmetris her Gruppen,wel he in Blö ken vom Gewi ht ≤ 4 = p2 liegen. Damit erhalten wir dann sofort:Lemma 4.3.3. Es seien p = 2 und Q eine Gruppe der Ordnung ≤ 8. Ferner sei Q ein Vertexeines irreduziblen FSn-Moduls, wel her in einem Blo k vom Gewi ht w liegt. Dann liegt einerder folgenden Fälle vor:(1) Q = 1 und w = 0,(2) Q ∼Sn P2 und w = 1,(3) Q ∼Sn (P2)

2 und w = 2,(4) Q ∼Sn Q4 = E4 und w = 2,(5) Q ∼Sn (P2)3 und w = 3,(6) Q ∼Sn Q4 × P2 und w = 3,(7) Q ∼Sn P4 und w = 2,(8) Q ∼Sn E8 und w = 4.Auÿerdem tritt jeder dieser a ht Fälle tatsä hli h ein.Bemerkung 4.3.4. In ungerader Charakteristik kennen wir die Vertizes der irreduziblen FSn-Moduln aus Blö ken vom Gewi ht ≥ p im Allgemeinen ni ht. Für w < p haben die irreduziblen

FSn-Moduln aus Blö ken vom Gewi ht w die Defektgruppen der jeweiligen Blö ke als Vertizes.Diese Defektgruppen sind wiederum in Sn zu (Pp)w konjugiert.Im Fall p = 3 = w ist (Pp)

3 unter anderem ein Vertex des irreduziblen FS10-Moduls D(7,2,1).Somit ist (Pp)w für w ≤ 3 stets Vertex irreduzibler Moduln symmetris her Gruppen. Das vorigeLemma für den Fall p = 2 legt ferner folgende Vermutung nahe:Vermutung 4.3.5. Es seien p > 2 und Q eine Gruppe der Ordnung ≤ p3. Ferner sei Q Vertexeines irreduziblen FSn-Moduls, wel her in einem Blo k vom p-Gewi ht w liegt. Dann liegt einerder folgenden Fälle vor:

Kapitel 4. Irreduzible Moduln symmetris her Gruppen 52(1) Q = 1 und w = 0,(2) Q ∼Sn Pp und w = 1,(3) Q ∼Sn (Pp)2 und w = 2,(4) Q ∼Sn Ep2 und w = p,(5) Q ∼Sn (Pp)3 und w = 3,(6) Q ∼Sn Ep2 × Pp und w = p+ 1,(7) Q ∼Sn Ep3 und w = p2.Auÿerdem tritt jeder dieser sieben Fälle tatsä hli h ein.4.4 Vollständig zerfallende ModulnIn [66℄ führt A.J.E.Ryba die sogenannten Fibona i-Moduln ein. Diese sind irreduzible FSn-Moduln in Charakteristik 5, deren Dimensionen gerade der n-ten beziehungsweise (n − 1)-tenFibona i-Zahl entspre hen und deren Eins hränkungen auf jede Young-Untergruppe von Snhalbeinfa h sind. Diese Moduln sind ein Spezialfall der von A. Klesh hev in [46℄ eingeführtenvollständig zerfallenden Moduln. Wir werden diese im Folgenden näher betra hten und zeigen,dass deren Vertizes stets die Defektgruppen ihrer Blö ke sind. Dazu sei F ein Körper der Cha-rakteristik p > 0.De�nition 4.4.1. (i) Es seien λ ⊢ n ∈ N∗ mit λ := (λ1, . . . , λs) und λs 6= 0. Dann setzen wir

h(λ) := s und χ(λ) := λ1 − λs + s.(ii) Ein irreduzibler FSn-Modul Dλ heiÿt vollständig zerfallend , falls ResSn

Sµ(Dλ) für jedeYoung-Untergruppe Sµ von Sn halbeinfa h ist.Satz 4.4.2 ([46℄, Thm. 2.1, L. 1.7). Es seien n ∈ N∗ und Dλ ein irreduzibler FSn-Modul. Dannsind folgende Aussagen äquivalent:(i) Dλ ist vollständig zerfallend.(ii) Für alle i < n ist ResSn

Si(Dλ) halbeinfa h.(iii) Es ist χ(λ) ≤ p.De�nition 4.4.3. Für jedes n ∈ N∗ sei Φn := {Dn

1 , . . . ,Dnz(n)} eine Menge irreduzibler FSn-Moduln, wel he die folgenden Bedingungen erfüllen.(1) Sind n ≥ 2 und j ∈ {1, . . . , z(n)}, so ist ResSn

Sn−1(Dn

j ) ∼= a1Dn−11 ⊕ · · · ⊕ az(n−1)D

n−1z(n−1) fürgewisse a1, . . . , az(n−1) ∈ N.(2) Sind n ≥ 2 und i ∈ {1, . . . , z(n−1)}, so existiert ein j ∈ {1, . . . , z(n)}mitDn−1

i |ResSn

Sn−1(Dn

j ).Wir setzen Φ :=⋃n∈N∗ Φn und nennen Φ ein halbeinfa hes induktives System (hiS).Bemerkung 4.4.4. Na h Satz 4.4.2 sind also alle Moduln eines sol hen halbeinfa hen induktivenSystems vollständig zerfallend. Wir betra hten nun eine spezielle Klasse halbeinfa her induktiverSysteme. Dazu seien n ∈ N∗ sowie

s ∈ {1, 2, . . . , p− 1}

ξsn := {Dµ|µ ∈ Pn,p, h(µ) = s, χ(µ) ≤ p}

ωsn := {Dµ|µ ∈ Pn,p, h(µ) < s, µ1 ≤ p− s}.

Kapitel 4. Irreduzible Moduln symmetris her Gruppen 53Dabei gilt:ξsn = ∅ ⇔ n < s,

ωsn = ∅ ⇔ n > (p− s)(s− 1).S hlieÿli h setzen wir Φn(s) := ξsn ∪ωsn und Φ(s) :=

⋃n∈N∗ Φn(s). Mit diesen Bezei hnungen giltdann:Satz 4.4.5 ([46℄, Thm. 2.8(i)). Für jedes s ∈ {1, . . . , p− 1} ist Φ(s) ein halbeinfa hes induktivesSystem.Bemerkung/Beispiel 4.4.6. (a) Ist s ∈ {1, . . . , p−1}, so beinhaltet das hiS Φ(s) also insbe-sondere alle vollständig zerfallenden Moduln symmetris her Gruppen in Charakteristik p,wel he zu Partitionen mit genau s Teilen gehören. Da na h Satz 4.4.2 (iii) jeder vollständigzerfallende FSn-Modul dur h eine p-reguläre Partition mit hö hstens p − 1 Teilen para-metrisiert ist, liegt somit jeder vollständig zerfallende Modul in einem sol hen hiS Φ(s) fürein s ∈ {1, . . . , p− 1}.(b) Für eine p-reguläre Partition λ := (n − m,m) von n ist der irreduzible Modul Dλ na hSatz 4.4.2 genau dann vollständig zerfallend, wenn n− 2m+ 2 = χ(λ) ≤ p ist, d.h. genaudann, wenn n− 2m ≤ p− 2 ist.In Charakteristik 2 existieren daher keine vollständig zerfallenden Moduln zu Partitionenmit genau zwei Teilen.In Charakteristik p > 2 existieren für jedes n > p−2 genau (p−1)/2 vollständig zerfallendeModuln zu Partitionen mit genau zwei Teilen. Die entspre henden Partitionen haben dabeidie Form (r + i, r − i) mit i = 0, . . . , (p − 1)/2 − 1, falls n = 2r ist, und (r + 1 + i, r − i)mit i = 0, . . . , (p− 1)/2 − 1, falls n = 2r + 1 ist.Insbesondere ist im Fall p = 3, n ≥ 2 der alternierende Modul der einzige vollständigzerfallende FSn-Modul zu einer Partition mit zwei Teilen.Im Fall p = 5, n ≥ 4 existieren genau zwei vollständig zerfallende FSn-Moduln Dλn und

Dµn zu Partitionen mit genau zwei Teilen. Genauer ist λn = (r, r) und µn = (r + 1, r − 1)für n = 2r beziehungsweise λn = (r+2, r−1) und µn = (r+1, r) für n = 2r+1. Na h [66℄ist auÿerdem dim(Dλn) = fn−1 und dim(Dµn) = fn, wobei wir mit fn−1 beziehungsweisefn die (n− 1)-te beziehungsweise n-te Fibona i-Zahl bezei hnen.Wir werden nun die Vertizes der vollständig zerfallenden Moduln bestimmen.Lemma 4.4.7. Es seien n ∈ N∗ und Dλ ein vollständig zerfallender FSn-Modul. Dann sind dieVertizes von Dλ genau die Defektgruppen seines Blo ks.Beweis. Wir zeigen, dass für jedes s ∈ {1, . . . , p−1} die Vertizes der Moduln aus Φn(s) genau dieDefektgruppen der entspre henden Blö ke sind. Im Fall n ≡ 0 (mod p) liegt na h [31℄ Thm. 3.3,L.3.5 genau einer der Moduln aus Φn(s) im Hauptblo k von FSn. Ferner ist dessen Dimensionna h [34℄, Thm. 5.7.1 ni ht dur h p teilbar. Folgli h sind die Vertizes dieses Moduls gerade die

p-Sylowgruppen von Sn, also die Defektgruppen des Hauptblo ks von FSn.Es sei nun D ∈ Φn(s) einer der übrigen Moduln. Dann liegt D na h [34℄, 5.2 in einem Blo kvom Gewi ht w < n/p. Da D vollständig zerfallend ist, ist ResSn

Spw(D) halbeinfa h, und dieirreduziblen Summanden stammen alle aus Φpw(s). Auÿerdem ist D relativ Spw-projektiv, sodass unter diesen Summanden einer sein muss, dessen Vertizes in Sn zu denen von D konjugiertsind. Da aber D ni ht relativ Spw−1-projektiv und der einzige Modul aus Φpw(s), wel her ni ht

Spw−1-projektiv ist, derjenige aus dem Hauptblo k von FSpw ist, sind die Vertizes von D also in

Kapitel 4. Irreduzible Moduln symmetris her Gruppen 54Sn zu den p-Sylowgruppen von Spw konjugiert und damit glei h den Defektgruppen des Blo ksvon D.Falls n 6≡ 0 (mod p) ist und D ∈ Φn(s) in einem Blo k vom Gewi ht w liegt, so ist D relativ Spw-projektiv, aber ni ht relativ Spw−1-projektiv, und es existiert au h hier ein irreduzibler direkterSummand von ResSn

Spw(D), dessen Vertizes in Sn zu denen von D konjugiert sind. Da aber dereinzige Modul aus Φpw(s), der ni ht relativ Spw−1-projektiv ist, der aus dem Hauptblo k von

FSpw ist, folgt au h in diesem Fall, dass die Vertizes von D in Sn zu den p-Sylowgruppen vonSpw konjugiert und damit glei h den Defektgruppen des Blo ks von D sind.

Kapitel 5Verallgemeinerte Young-ModulnIn [28℄ bestimmt J.Grabmeier die Vertizes und Quellen von Young-Moduln symmetris her Grup-pen. In ungerader Charakteristik kann man diese Young-Moduln als Spezialfall einer gröÿerenKlasse unzerlegbarer FSn-Moduln ansehen, wie S.Donkin in [17℄ zeigt. Wir werden uns imFolgenden einige Eigens haften dieser unzerlegbaren verallgemeinerten Young-Moduln genaueransehen und insbesondere ihre Vertizes und Quellen bestimmen.5.1 De�nitionenNotationen: In diesem Kapitel seien• F ein Körper mit har(F ) = p > 2,• P die Menge aller Partitionen natürli her Zahlen,• C(k, n) die Menge aller Kompositionen von n ∈ N, bei denen genau die ersten k Teile von0 vers hieden sind,• P(k, n) die Menge aller Partitionen von n ∈ N, bei denen genau die ersten k Teile von 0vers hieden sind,• P(k|l, n) die Menge aller Elemente aus Cn der Form (λ|pµ) mit λ ∈ P(k, s), µ ∈ P(l, t) fürgewisse s, t ∈ N mit n = s+ pt.De�nition 5.1.1. (i) Es seien a, b, n ∈ N∗, α := (α1, . . . , αk) eine Partition von a und β :=

(β1, . . . , βl) eine Partition von b mit a + b = n. Wir de�nieren den verallgemeinertenPermutationsmodulM(α|β) := IndSn

Sα×Sβ(F ⊠ sgn).(ii) Ein FSn-Modul heiÿt verallgemeinerter Young-Modul , wenn er isomorph zu einemdirekten Summanden einer direkten Summe verallgemeinerter Permutationsmoduln ist.Mit diesen Bezei hnungen giltSatz 5.1.2 ([17℄, 1.1.4). Die Anzahl der Isomorphieklassen unzerlegbarer verallgemeinerter Young-Moduln für FSn ist gerade |{(λ, µ) ∈ P × P||λ| + p|µ| = n}|. Ferner ist jeder unzerlegbareverallgemeinerte Young-Modul absolut unzerlegbar.Bemerkung 5.1.3. In [17℄, 2.3.8 zeigt S. Donkin, dass genau eine Parametrisierung (λ, µ) 7→

Y (λ|pµ) der Isomorphieklassen unzerlegbarer verallgemeinerter Young-Moduln für FSn dur hPartitionspaare (λ, µ) ∈ P × P mit |λ| + p|µ| = n mit folgender Eigens haft existiert: Für alle(λ, µ) ∈ P × P mit |λ|+ p|µ| = n ist

M(λ|pµ) = Y (λ|pµ)⊕N(λ|pµ),wobei jeder unzerlegbare direkte Summand von N(λ|pµ) zu einem Modul Y (ϕ|pψ) für passendes(ϕ,ψ) ∈ P × P mit |ϕ|+ p|ψ| = n und (ϕ|pψ) ⊲ (λ|pµ) isomorph ist.55

Kapitel 5. Verallgemeinerte Young-Moduln 56Lemma 5.1.4. Unzerlegbare verallgemeinerte Young-Moduln sind selbstdual.Beweis. Wir betra hten den unzerlegbaren verallgemeinerten Young-Modul Y := Y (λ|pµ) fürFSn und nehmen an, dass dieser ni ht selbstdual ist. Na h Konstruktion ist M := M(λ|pµ)selbstdual, d.h. mit Y ist au h der dazu duale Modul Y ∗ zu einem direkten Summanden von Misomorph. Folgli h ist Y ∗ = Y (ϕ|pψ) für passendes (ϕ|pψ) ⊲ (λ|pµ). Dann sind aber Y und Y ∗au h isomorph zu direkten Summanden von M(ϕ|pψ), woraus der Widerspru h (λ|pµ) ⊲ (ϕ|pψ)folgt. Damit ist die Behauptung bewiesen.Bemerkung 5.1.5. Für Partitionenpaare der Form (λ|∅) erhalten wir gerade die gewöhnli henYoung-Moduln.5.2 Young-Vertizes und Young-QuellenWir wiederholen zunä hst einige De�nitionen und Aussagen aus [17℄ und [28℄.De�nition 5.2.1. Es seien G eine Gruppe und q eine Primzahl. Eine Menge Y von Untergruppenvon G heiÿt Ma key-System von G, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:(1) Y ist abges hlossen bezügli h Dur hs hnittsbildung,(2) Y ist abges hlossen bezügli h Konjugation mit Elementen aus G,(3) {1G} ∈ Y,(4) Y enthält eine Untergruppe A von G, wel he wiederum eine q-Sylowgruppe von G enthält.Bemerkung 5.2.2. (a) Sind Y ein Ma key-System einer Gruppe G und H eine Untergruppevon G, so ist Y ↓ H := {H ∩A|A ∈ Y} ein Ma key-System von H.(b) Es gelten die Voraussetzungen aus De�nition 5.2.1. Weiter seien Y ein Ma key-Systemvon G, K ein Körper der Charakteristik q > 0 und M ein unzerlegbarer KG-Modul. EinElement A ∈ Y heiÿt genau dann Y-Vertex von M , wenn M relativ A-projektiv, aberni ht relativ B-projektiv für alle e hten Untergruppen B von A mit B ∈ Y ist.( ) Die Y-Vertizes eines unzerlegbaren KG-Moduls M bilden eine Konjugationsklasse vonUntergruppen von G.(d) Es sei M ein unzerlegbarer KG-Modul mit Y-Vertex A. Ein unzerlegbarer KA-Modul

N mit M | IndGA(N) heiÿt Y-Quelle von M . Sind N1 und N2 zwei Y-Quellen von M , soexistiert ein Element g ∈ NG(A) mit N1∼= gN2.(e) Hat ein unzerlegbarer KG-Modul M eine eindimensionale Y-Quelle, so sagt man, er habelineare Y-Quelle .Wir betra hten ab jetzt den Fall G = Sn für ein n ∈ N∗. Dann bildet die Menge aller Young-Untergruppen von G ein Ma key-System von G. In dem Fall bezei hnen wir die Y-Vertizes (be-ziehungsweise Y-Quellen) au h als Young-Vertizes (beziehungsweise Young-Quellen), undes gilt folgender Satz:Satz 5.2.3 ([17℄ 1.1, 5.1.3). (i) Ist A ein Young-Vertex eines unzerlegbaren FSn-Moduls, sogilt |A : B| ≡ 0 (mod p) für alle e hten Young-Untergruppen B von A.(ii) Die unzerlegbaren verallgemeinerten Young-Moduln sind genau die unzerlegbaren FSn-Moduln mit linearer Young-Quelle.(iii) Es seien Y (λ|pµ) ein unzerlegbarer verallgemeinerter Young-Modul sowie ∑r1

i=0 λ(i)pi und∑r2i=0 µ(i)pi die p-adis hen Entwi klungen von λ und µ sowie r := max{r1, r2}. Dann hat

Y (λ|pµ) einen Young-Vertex H = Sρ mitρ :=

((pr+1)|µ(r)|, (pr)|λ(r)|+|µ(r−1)|, . . . , (p2)|λ(2)|+|µ(1)|, p|λ(1)|+|µ(0)|, 1|λ(0)|

).

Kapitel 5. Verallgemeinerte Young-Moduln 575.3 Vertizes und Quellen verallgemeinerter Young-ModulnWeiterhin betra hten wir G := Sn für ein n ∈ N∗. Wir können nun mit Hilfe von Satz 5.2.3 diegewöhnli hen Vertizes und Quellen unzerlegbarer verallgemeinerter Young-Moduln bestimmen.Satz 5.3.1. (i) Unzerlegbare verallgemeinerte Young-Moduln für FG haben stets triviale Quel-le.(ii) Ein unzerlegbarer verallgemeinerter Young-Modul für FG mit Young-Vertex H hat einep-Sylowgruppe von H als Vertex.Beweis. (i) Es sei Y ein unzerlegbarer verallgemeinerter Young-Modul für FG mit Young-Vertex H und linearer Young-Quelle L. Ferner seien V ein Vertex und S eine Quelle vonY . Dann gilt Y | IndGH(L) und

S|ResGV (Y )|ResGV (IndGH(L)) ∼=⊕

V gH∈V \G/H

IndVV ∩gHg−1(ResgHg−1

V ∩gHg−1(gL)).Folgli h ist S| IndVV ∩gHg−1(ResgHg

−1

V ∩gHg−1(gL)) für ein g ∈ G. Auÿerdem ist ResgHg

−1

V ∩gHg−1(gL)ein eindimensionaler Modul für die p-Gruppe V ∩gHg−1 und somit trivial. Da V ein Vertexvon S ist, folgt weiter V = V ∩ gHg−1. Also ist S der triviale FV -Modul FV .(ii) Es sei wieder Y ein unzerlegbarer verallgemeinerter Young-Modul für FGmit Young-Vertex

H, Young-Quelle L und Vertex V . Wir können annehmen, dass V in einer p-Sylowgruppevon H enthalten ist. Weiter sei H ′ die Kommutatorgruppe von H. Dann giltY | IndGH(L), L|ResGH(IndGH(L)), FH′ = ResHH′(L).Wir zeigen, dass L|ResGH(Y ) gilt. Zunä hst ist

ResGH(Y )|ResGH(IndGH(L)) ∼=⊕

HgH∈H\G/H

IndHH∩gHg−1(ResgHg−1

H∩gHg−1(gL)).Ferner sei ResGH(Y ) = X1 ⊕ · · · ⊕ Xr mit unzerlegbaren FH-Moduln X1, . . . ,Xr. Da Yrelativ H-projektiv ist, ist Y | IndGH(ResGH(Y )) und damit Y | IndGH(Xi) für ein i ∈ {1, . . . , r}.Wir bezei hnen einen Young-Vertex von Xi mit Hi. Dann ist Xi| IndHHi

(ResHHi(Xi)), undwegen Y | IndGHi

(ResHHi(Xi)) folgt H ≤G Hi, also H = Hi. Somit hat au h Xi Young-Vertex H. Ferner existiert ein g ∈ G mit Xi| IndHH∩gHg−1(ResgHg

−1

H∩gHg−1(gL)). Folgli h ist

H ≤G H ∩ gHg−1 ≤ H, d.h. H ≤ gHg−1 und g ∈ NG(H). Also haben wir Xi|gL, woraus

L ∼= g−1Xi und s hlieÿli h L ∼= g−1

Xi|ResGH(Y ) na h [38℄, Thm. VII.9.3 folgt. Daher istFH′ |ResGH′(Y ). Daraus folgt nun, dass Q ≤G V für jeden Vertex Q von FH′ gilt. Da H eineYoung-Untergruppe von G = Sn ist, ist andererseits |H : H ′| = 2m für ein m ∈ N undsomit Q ∈ Sylp(H

′) ⊆ Sylp(H) wegen p > 2. Demzufolge enthält V eine p-Sylowgruppevon H, und die Behauptung des Satzes folgt.Korollar 5.3.2. Es seien Y (λ|pµ) ein unzerlegbarer verallgemeinerter Young-Modul für FSnsowie λ =∑r1

i=0 λ(i)pi und µ =∑r2

i=0 µ(i)pi die p-adis hen Entwi klungen von λ und µ sowier := max{r1, r2}. Dann sind die p-Sylowgruppen von Sρ ≤ Sn mit

ρ :=((pr+1)|µ(r)|, (pr)|λ(r)|+|µ(r−1)|, . . . , (p2)|λ(2)|+|µ(1)|, p|λ(1)|+|µ(0)|, 1|λ(0)|

)Vertizes von Y (λ|pµ). Auÿerdem hat Y (λ|pµ) triviale Quellen.

Kapitel 5. Verallgemeinerte Young-Moduln 58Bemerkung 5.3.3. Wir betra hten λ, µ ∈ P, und für alle j ∈ N∗ setzen wirlj := λj − λj+1 =

∞∑

i=0

νijpi, mj := (µj − µj+1)p = p

∞∑

i=0

ϑijpi, ϑ−1

j := 0mit νij, ϑij ∈ {0, . . . , p− 1} für alle i ∈ N, j ∈ N∗.Dann sind die p-Sylowgruppen von ∏∞i=0(Spi)ν

ij+ϑ

i−1j in Sn konjugiert zu den p-Sylowgruppenvon Slj × Smj

. Demzufolge sind au h die p-Sylowgruppen von Sρ in Sn konjugiert zu denp-Sylowgruppen von

S :=

∞∏

j=1

(Sjlj×Sj

mj

).Also sind die p-Sylowgruppen von S Vertizes des unzerlegbaren verallgemeinerten Young-Moduls

Y (λ|pµ).5.4 Irreduzible Spe htmodulnEs sei jetzt F algebrais h abges hlossen. Für ein n ∈ N∗ bezei hnen wir mit Sλ wie übli hden Spe htmodul für FSn zur Partition λ von n. In [33℄ zeigt D.J. Hemmer, dass irreduzibleSpe htmoduln symmetris her Gruppen stets verallgemeinerte Young-Moduln sind. Somit habenirreduzible Spe htmoduln stets triviale Quelle. Kennt man auÿerdem den Parameter des ent-spre henden verallgemeinerten Young-Moduls, so kann man au h die Vertizes bestimmen. DieserParameter ist allerdings nur in Spezialfällen bekannt.Satz 5.4.1 ([33℄, Prop. 1.1, Prop. 5.2). (i) Es gilt genau dann Sλ ∼= Y (λ|∅), wenn Sλ irredu-zibel und λ eine p-reguläre Partition ist.(ii) Es gilt genau dann Sλ ∼= Y (λ′|∅) ⊗ sgn, wenn Sλ irreduzibel und λ eine p-bes hränktePartition ist.(iii) Es sei α := τ + pµ mit einer p-bes hränkten Partition τ und einer beliebigen Partiti-on µ. Ferner sei m(τ ′) die zu τ ′ Mullineux-konjugierte Partition. Dann gilt: Y (α|∅) ∼=Y (m(τ ′)′|pµ)⊗ sgn.Somit sind die Vertizes irreduzibler Spe htmoduln zu p-regulären und p-bes hränkten Partitionenbestimmbar. Die Computerbere hnungen sowie die theoretis he Bestimmung der Parameter ineinigen konkreten Spezialfällen legen folgende allgemeine Vermutung nahe.Vermutung 5.4.2. Es sei Sλ ein irreduzibler Spe htmodul für FSn. Dann erhält man denParameter des zugehörigen verallgemeinerten Young-Moduls wie folgt. Im Young-Diagramm [λ]von λ strei he man sukzessive alle mögli hen vertikalen p-Haken. Die entstehende Partition sei

λ. Weiter habe [λ] genau m Spalten, und hi sei die Anzahl der in Spalte i gestri henen vertikalenp-Haken für i = 1, . . . ,m. Dann gilt Sλ ∼= Y (λ|p(h1, . . . , hm)).Bemerkung 5.4.3. Sind K ein Körper der Charakteristik 2, n ∈ N∗, µ eine 2-reguläre Partitionvon n und der KSn-Spe htmodul Sµ irreduzibel, so folgt Sµ ∼= Y µ, in Analogie zu obigem Satz,[siehe z.B. [33℄, Prop. 1.1℄.Ist Sλ irgendein irreduzibler KSn-Spe htmodul, so gilt:(i) λ ist 2-regulär, oder(ii) λ ist 2-bes hränkt, oder(iii) λ = (2, 2).

Kapitel 5. Verallgemeinerte Young-Moduln 59Einen Beweis hierfür �ndet man in [43℄. Im Fall (i) ist dann also Dλ ∼= Sλ ∼= Y λ. Im Fall (ii) istSλ ∼= Sλ

′ ∼= Y λ′ . Die Vertizes der gewöhnli hen Young-Moduln sind bekannt. Ist nämli h λ einePartition von n, so setzen wir lj := λj − λj+1 für alle j ∈ N∗. Mit ähnli hen Argumenten wiein Bemerkung 5.3.3 folgt dann, dass die Vertizes des Young-Moduls Y λ in Sn konjugiert zu den2-Sylowgruppen vonS :=

∞∏

j=1

(Slj

)jsind, [siehe [72℄, S. 3.7.3℄. Auÿerdem hat Y λ triviale Quelle. Ist s hlieÿli h λ = (2, 2), so istSλ ∼= D(3,1), hat Vertex Q4 und triviale Quelle. Dies zeigt, dass in Charakteristik 2 die Quellenund Vertizes aller irreduziblen Spe htmoduln bekannt sind.

Kapitel 6Irreduzible Moduln zuHakenpartitionen6.1 Notationen und VorbemerkungenBemerkung 6.1.1. (a) Im Folgenden seien• p ∈ P \ {2}, n ≥ 2, n− 1 ≥ r ∈ N,• F ein Körper der Charakteristik p,• M := M (n−1,1) der natürli he Permutationsmodul für FSn,• S := S(n−1,1) der natürli he Spe htmodul für FSn,• D := D(n−1,1) der natürli he irreduzible Modul für FSn.(b) Wir haben stets einen FSn-Epimorphismus

ϕ : S −→ D ∼= Hd(S).Dieser induziert wiederum einen FSn-EpimorphismusΦ :=

r∧ϕ :

r∧S −→

r∧D =: Drfür r = 0, . . . , n− 1. Na h [9℄, L. 1.7 ist stets ∧r S ∼= S(n−r,1r).( ) Im Fall n 6≡ 0 (mod p) ist S ∼= D undM ∼= D⊕D(n), insbesondere ist also dimF (D) = n−1.Folgli h ist dann au h ∧rD ∼= S(n−r,1r) und irreduzibel na h [39℄, Thm. 24.1. In dem Fallsind auÿerdem die Vertizes der Moduln Dr bekannt. Na h [71℄, Thm. 2 sind sie in Sn zu

Pn−r−1 × Pr konjugiert.(d) ([39℄, Ex.5.1) Wir betra hten daher in diesem Abs hnitt ab jetzt den Fall n = xp für einx ∈ N∗ und verwenden weiterhin die Notation Dr :=

∧rD für alle r ≤ n − 2. In diesemFall ist M einreihig mit Kompositionsreihe M ⊇ M1 ⊇ M2 ⊇ 0 und M/M1∼= D(n) ∼=

M2, M1 = S, M1/M2∼= D. Genauer gilt Folgendes:Es sei B := {b1, . . . , bn} die aus allen (n − 1, 1)-Tabloiden bestehende F -Basis von M , sodass i für i = 1, . . . , n der Eintrag der zweiten Zeile von bi ist. Für jedes j ∈ {1, . . . , n}sind dann Bj := {bi − bj |i ∈ {1, . . . , n} \ {j}} eine F -Basis von S und {∑n

i=1 bi} eine vonM2. Für jedes j ∈ {1, . . . , n} und jedes k ∈ {1, . . . , n} \ {j} ist ferner Bj,k := {bi − bj |i ∈{1, . . . , n} \ {j, k}} eine F -Basis von M1/M2. Dabei bezei hne stets bi − bj die Restklassevon bi − bj modulo M2. Insbesondere ist dimF (D) = n− 2.Ferner ist D(n) ∼= S(n), und für 0 < r ≤ n − 2 ist dann S(n−r,1r) na h [39℄, Thm. 24.1einreihig und hat genau zwei Kompositionsfaktoren. Wegen dimF (D) = n − 2 < n −1 = dimF (S) kann die Abbildung Φ in diesem Fall ni ht injektiv sein. Somit muss dann60

Kapitel 6. Moduln zu Hakenpartitionen 61ker(Φ) ∼= Soc(S(n−r,1r)) und ∧rD ∼= Hd(S(n−r,1r)) gelten. Für r < p ist insbesondere∧rD ∼= D(n−r,1r). Na h [18℄, Cor. 5.5 ist auÿerdem Hd(S(n−r,1r)) ∼= Soc(S(n−r−1,1r+1))für alle r = 0, . . . , n − 1. Somit erhalten wir Dn−2

∼= Hd(S(2,1n−2)) ∼= Soc(S(1n)) = S(1n).Ferner liegt Dr als Kompositionsfaktor von S(n−r,1r) stets im Hauptblo k von FSn undist somit insbesondere ni ht relativ Sn−1-projektiv na h Korollar 3.5.3.Für r < p− 1 wurden die Vertizes von Dr bereits in [72℄ bestimmt. Es handelt si h dabeistets um die p-Sylowgruppen von Sn. Wir werden daher im Folgenden hauptsä hli h denFall r ≥ p − 1 untersu hen. Zunä hst zeigen wir jedo h, dass für r ∈ {0, . . . , n − 2} dieModuln Dr und Dn−2−r die glei hen Vertizes haben.Lemma 6.1.2. Es seien K ein Körper, G eine Gruppe, m ∈ N und V ein KG-Modul derDimension m. Für alle k ∈ {0, . . . ,m} gilt dann(m∧V

)∗

⊗k∧V ∼=

(m−k∧

V

)∗

.Beweis. Es seien λ ∈ (∧m V )∗ und v ∈ ∧k V . Dann ist die Abbildung

γλ,v :

m−k∧V −→ K, w 7−→ λ(v ∧ w),

K-linear und liegt somit in (∧m−k V)∗. Auÿerdem ist die Abbildung

Γ :

(m∧V

)∗

×

(k∧V

)−→

(m−k∧

V

)∗

, (λ, v) 7−→ γλ,vbilinear. Daher existiert genau eine K-lineare AbbildungΨ :

(m∧V

)∗

⊗

(k∧V

)−→

(m−k∧

V

)∗mit Ψ(λ ⊗ v) = Γ(λ, v) = γλ,v für alle λ ∈ (∧m V )∗, v ∈ (

∧k V ). Ist {b1, . . . , bm} eine K-Basisvon V , so ist bekanntli h {bi1∧ . . .∧bik |1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ m} eine K-Basis von ∧k V . Ferner ist∧m V und damit au h (∧m V )∗ eindimensional. Es existiert also eine K-Basis {f} von (

∧m V )∗mit f(b1 ∧ . . . ∧ bm) = 1. Dann lässt si h jedes Element u ∈ (∧m V )∗ ⊗ (

∧k V ) in der Formu =

∑

1≤i1<...<ik≤m

αi1...ik(f ⊗ (bi1 ∧ . . . ∧ bik))mit eindeutig bestimmten Koe�zienten αi1...ik ∈ K s hreiben. Ist nun u ∈ ker(Ψ), so gilt0 =

∑

1≤i1<...<ik≤m

αi1...ikγf,bi1∧...∧bik (w)

=∑

1≤i1<...<ik≤m

αi1...ikf(bi1 ∧ . . . ∧ bik ∧w)für alle w ∈ ∧k V . Wählen wir also 1 ≤ j1 < . . . < jk ≤ m und {jk+1, . . . , jm} := {1, . . . ,m} \{j1, . . . , jk} mit 1 ≤ jk+1 < . . . < jm ≤ m, so ist insbesondere

0 =∑

1≤i1<...<ik≤m

αi1...ikf(bi1 ∧ . . . ∧ bik ∧ bjk+1∧ . . . ∧ bjm) = ±αj1...jk .Demna h ist u = 0 und ker(Ψ) = 0. Also ist Ψ injektiv und aus Dimensionsgründen au hsurjektiv. S hlieÿli h seien g ∈ G, λ ∈ (

∧m V )∗, v ∈∧k V und w ∈ ∧m−k V . Dann ist

γgλ,gv(w) = (gλ)(gv ∧w) = λ(g−1(gv ∧ w)) = λ(v ∧ g−1w) = γλ,v(g−1w) = (gγλ,v)(w).

Kapitel 6. Moduln zu Hakenpartitionen 62Dies zeigt, dassΨ(g(λ ⊗ v)) = Ψ(gλ⊗ gv) = γgλ,gv = gγλ,v = gΨ(λ⊗ v)ist. Somit ist Ψ sogar ein Isomorphismus von KG-Moduln, und die Behauptung folgt.Bemerkung 6.1.3. Man bea hte in vorigem Lemma den Zusammenhang mit der Dimensions-formel der entspre henden Moduln. Es gilt nämli h dim((

∧m V )∗⊗∧k V ) = dim(

∧k V ) =(mk

)=( m

m−k

)= dim((

∧m−k V )∗).Korollar 6.1.4. Es seien K ein Körper der Charakteristik q > 0, G eine Gruppe, m ∈ N undV ein m-dimensionaler KG-Modul. Ferner sei k ∈ {0, . . . ,m}, so dass ∧k V ein unzerlegbarerKG-Modul ist. Dann ist au h ∧m−k V ein unzerlegbarer KG-Modul und hat dieselben Vertizeswie ∧k V .Beweis. Es sei dazu P ein Vertex von ∧k V . Na h obigem Lemma ist ∧m−k V ∼= [(

∧m V )∗ ⊗∧k V ]∗ und damit au h unzerlegbar. Für jeden Vertex Q von ∧m−k V ist ferner Q ≤G P na hLemma 2.2.6. Analog ist aber au h P ≤G Q, so dass P ∼G Q folgt.Bemerkung 6.1.5. Setzen wir in obigem Korollar ∧k V ni ht als unzerlegbar voraus, und ist∧k V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vl mit unzerlegbaren KG-Moduln V1, . . . , Vl, so gilt ∧m−k V = [(∧m V )∗ ⊗

V1]∗⊕· · ·⊕[(

∧m V )∗⊗Vl]∗. Weiter ist für jedes i = 1, . . . , l der Modul [(∧m V )∗⊗Vi]

∗ unzerlegbarund hat dieselben Vertizes wie Vi.Das Korollar zeigt insbesondere au h, dass Dr und Dn−2−r stets die glei hen Vertizes haben fürr ∈ {0, . . . , n − 2}. Genauer ist Dn−2−r

∼= Dr ⊗ S(1n) na h Bemerkung 6.1.1 und Lemma 6.1.2.Ferner gilt Folgendes:Lemma 6.1.6. Für alle r ∈ {0, . . . , n− 2} ist ResSn

Sn−1(Dr) ∼= S(n−r−1,1r).Beweis. O�enbar gilt stets ResSn

Sn−1(D) ∼= D(n−2,1). Zusammen mit Bemerkung 6.1.1 erhaltenwir für r ∈ {0, . . . , n− 2} dann

ResSn

Sn−1(Dr) = ResSn

Sn−1

( r∧D)∼=

r∧(ResSn

Sn−1(D)) ∼=

r∧D(n−2,1) ∼= S(n−1−r,1r).Korollar 6.1.7. Ist r ∈ {0, . . . , n− 2}, und ist P ein Vertex von Dr mit P ≤ Pn, so gilt

Pn−r−2 × Pr <Sn P ≤ Pn.Beweis. Na h Bemerkung 6.1.1 ( ) ist Pn−r−2 × Pr ein Vertex von S(n−r−1,1r). Aus obigemLemma und Lemma 2.2.6 folgt dann Pn−r−2 × Pr ≤Sn P ≤ Pn. Da Dr auÿerdem ni ht relativSn−1-projektiv ist, gilt sogar Pn−r−2 × Pr <Sn P .Bemerkung 6.1.8. (a) Es seien K ein Körper der Charakteristik q > 0, G eine Gruppe und

V ein KG-Modul. Ist s ∈ N∗, s < q, so gilt na h [42℄, 5.2 stetss∧V

s⊗

i=1

V.Ist V projektiv, so ist also au h ∧s V ein projektiverKG-Modul. Für beliebigeKG-ModulnV und U sowie s ∈ N gilt auÿerdem

s∧(V ⊕ U) ∼=

s⊕

i=0

[i∧V ⊗

s−i∧U

].Man bea hte dabei den Zusammenhang mit der Dimensionsformel der entspre henden Mo-duln. Sind nämli h dim(V ) = m1 und dim(U) = m2, so gilt bekanntli h (m1+m2

s

)=∑s

i=0

(m1

i

)(m2

s−i

).

Kapitel 6. Moduln zu Hakenpartitionen 63(b) Ist weiterhin K ein Körper der Charakteristik q > 0, und ist C = 〈g〉 eine zyklis he Gruppeder Ordnung ql für ein l ∈ N, so besitzt KC genau ql Isomorphieklassen unzerlegbarerModuln. Genauer existiert zu jedem i = 1, . . . , ql bis auf Isomorphie genau ein unzerlegbarerKC-Modul Ti der Dimension i. Einen Beweis hierfür �ndet man zum Beispiel in [38℄, Thm.VII.5.3.Mit diesen Bezei hnungen und l = 1 erhalten wir:Lemma 6.1.9. Es seien V ein projektiver KC-Modul und s ∈ N mit s 6≡ 0 (mod q). Dann istau h ∧s V ein projektiver KC-Modul.Beweis. Wir beweisen die Aussage dur h Induktion na h dimK(V ). Im Fall V = 0 ist die Be-hauptung klar. Es sei nun dimK(V ) = q, d.h. V ∼= KC. Für s > q ist dann ∧s V = 0, und für

s < q ist ∧s V⊗s

i=1 V na h obiger Bemerkung, also wieder projektiv. Wir können daher jetztdimK(V ) > q und V = V1 ⊕ V2 mit Untermoduln V1 6= 0 6= V2 annehmen. Dann ist na h obigerBemerkung

s∧V =

s∧(V1 ⊕ V2) ∼=

s⊕

i=0

[i∧V1 ⊗

s−i∧V2

].Wegen q ∤ s folgt q ∤ i oder q ∤ s − i für alle i = 0, . . . , s. Na h Induktion ist also ∧i V1 oder∧s−i V2 projektiv. Folgli h ist ∧i V1 ⊗

∧s−i V2 projektiv für alle i = 0, . . . , s und somit au h∧s V .6.2 Vertizes der Moduln DrEine zentrale Rolle bei der Bere hnung der Vertizes der in Bemerkung 6.1.1 eingeführten ModulnDr wird der folgende Satz spielen.Satz 6.2.1 ([6℄, Thm. 1.1). Es seien G eine Gruppe, K ein Körper der Charakteristik q > 0, Heine Untergruppe von G sowie Z/Zqn1 × · · · × Z/Zqns ∼= X ≤ H für ein s ∈ N∗ und n1 ≥ . . . ≥ns > 0. Auÿerdem seien V ein KG-Modul, wel her relativ H-projektiv ist, und c := cX(ResGX(V ))die Komplexität von ResGX(V ). Dann gilt

|G : H|q|X|

qn1 · · · qnc

dimK(V ).Dabei sei mq für jedes m ∈ N∗ die hö hste q-Potenz, die m teilt.Bemerkung 6.2.2. Da für n < p2 die Vertizes aller irreduziblen FSn-Moduln stets die De-fektgruppen der entspre henden Blö ke sind, werden wir ab jetzt für den Rest dieses Abs hnittsxp = n ≥ p2 annehmen. Weiterhin gelten die Bezei hnungen aus Bemerkung 6.1.1. Dann erhaltenwir zunä hst folgendes Lemma.Lemma 6.2.3. Es seien x = ap + l, r := kp − m für gewisse a ∈ N, 1 ≤ m < p sowie1 ≤ k ≤ l < p im Fall m > 1 und 1 ≤ k < l < p im Fall m = 1. Dann sind die Vertizes von Drdie p-Sylowgruppen von Sn.Beweis. Unter den obigen Voraussetzungen ist n− r − 2 = ap2 + (l − k)p +m− 2. Ist ferner Pein Vertex von Dr mit P ≤ Pn, so existiert na h Korollar 6.1.7 ein g ∈ Sn mit

g(Pap2+(l−k)p+m−2 × Pkp−m) =: Q < P ≤ Pn.Im Fall m ≥ 2 ist somitQ ∼Sn Pap2 × (Pp)

l−k × (Pp)k−1 ∼Sn Pap2 × (Pp)

l−1

Pn = Pap2+lp = Pap2 × (Pp)l.

Kapitel 6. Moduln zu Hakenpartitionen 64Da Dr ni ht relativ Sn−1-projektiv ist, folgt daraus P = Pn. Für m = 1 istQ ∼Sn Pap2 × (Pp)

l−k−1 × (Pp)k−1 ∼Sn Pap2 × (Pp)

l−2

Pn = Pap2+lp = Pap2 × (Pp)l.Damit folgt, dass in diesem Fall stets

Pn = Pap2+lp = Pap2 × (Pp)l ⊆ QCSn(P ) ⊆ PCSn(P )gelten muss. Na h Lemma 3.5.1 muss auÿerdem P = PCSn(P ) sein, so dass in diesem Fallebenfalls P = Pn folgt.Bemerkung 6.2.4. Obiges Lemma s hlieÿt den Fall r = p − 1, x 6≡ 0, 1 (mod p) ein. Somithat also Dp−1

∼= D(n−p+1,1p−1) für n = xp und x 6≡ 0, 1 (mod p) die p-Sylowgruppen von Sn alsVertizes.Satz 6.2.5. Es seien k ∈ {1, . . . , x − 1} und r = kp − 1. Falls die Dimension von Dr dur h p,aber ni ht dur h p2 teilbar ist, so sind die Vertizes von Dr genau die p-Sylowgruppen von Sn.Beweis. Es seien also k ∈ {1, . . . , x − 1} und r = kp − 1. Ferner sei P ein Vertex von Dr mitP ≤ Pn. Da dimF (Dr) na h Voraussetzung ni ht dur h p2 teilbar ist, gilt dann |Pn : P | ∈ {1, p}na h Satz 2.2.10 (ii). Na h Korollar 6.1.7 existiert weiter ein g ∈ Sn mit

g(P(x−k−1)p × P(k−1)p) =: Q < P ≤ Pn. (∗)Wir nehmen P 6= Pn an. Dann ist also |Pn : P | = p. Na h Bemerkung 3.5.2 gilt einerseits〈(1, . . . , p)(p + 1, . . . , 2p) · · · (n − p + 1, . . . , n)〉 ≤ Z(Pn) ≤ P . Andererseits ist (x − k − 1)p ≥ poder (k − 1)p ≥ p, so dass P und damit au h Pn wegen (∗) eine zu Pp konjugierte Untergruppebesitzt. Na h Bemerkung/Korollar 3.1.6 bedeutet das, dass no h mindestens einer der p-Zyklen(1, . . . , p), (p + 1, . . . , 2p), . . . , (n − p + 1, . . . , n) in P enthalten sein muss. Ist also ((j − 1)p +1, . . . , jp) ∈ P für ein j ∈ {1, . . . , x}, so setzen wir z := (1, . . . , p) · · · (n − p + 1, . . . , n)((j −1)p + 1, . . . , jp)−1 und C := 〈z〉, so dass C ≤ P folgt. Ferner sei wieder B = {b1, . . . , bn} dieaus allen (n − 1, 1)-Tabloiden bestehende F -Basis von M . Na h Bemerkung 6.1.1 bildet dannBjp,jp−1 = {bi − bjp|i ∈ {1, . . . , n} \ {jp, jp − 1}} eine F -Basis von D, wobei bi − bjp jeweilswieder die Restklasse von bi − bjp modulo des von ∑n

l=1 bl aufgespannten trivialen Untermodulsvon M bezei hne. Wir können nun o.B.d.A. j = x annehmen und setzen wi := bi − bn füri = 1, . . . , n− 2. Dann folgt:

zwi =

wi+1, falls i ≤ n− p und i 6≡ 0 (mod p),

wi+1−p, falls i ≤ n− p und i ≡ 0 (mod p),

wi, sonst.Wie in Bemerkung 6.1.8 (b) sei wieder {T1, . . . , Tp} ein Repräsentantensystem für die Isomor-phieklassen unzerlegbarer FC-Moduln, so dass dimF (Ti) = i für i = 1, . . . , p gilt. Na h obigenÜberlegungen ist alsoResSn

C (D) ∼= (p − 2)T1 ⊕mTpmit m = n−pp . Na h Bemerkung 6.1.8 (a) erhalten wir damit

ResSn

C (Dr) = ResSn

C (r∧D) ∼=

r∧ResSn

C (D) ∼=

kp−1∧((p− 2)T1 ⊕mTp)

∼=

kp−1⊕

i=0

[i∧

((p − 2)T1)⊗

kp−1−i∧(mTp)

]

=

p−2⊕

i=0

[i∧

((p − 2)T1)⊗

kp−1−i∧(mTp)

],

Kapitel 6. Moduln zu Hakenpartitionen 65denn für i > p − 2 ist ∧i((p − 2)T1) = 0. Für i ∈ {0, . . . , p − 2} ist weiter kp − i − 1 ∈{(k − 1)p + 1, . . . , (k − 1)p + (p − 1)}. Folgli h ist ∧kp−1−i(mTp) in diesen Fällen projektivna h Lemma 6.1.9, und somit ist au h ResSn

C (Dr) projektiv. Na h Satz 2.6.5 bedeutet dies, dasscC(ResSn

C (Dr)) = 0 gilt. Also sind die Voraussetzungen von Satz 6.2.1 mit q = p, H = P, X = Cund c = 0 erfüllt, und es folgtp2 = |Sn : P |p|C|

dimF (Dr),im Widerspru h zu dimF (Dr) 6≡ 0 (mod p2). Es muss demzufolge P = Pn gelten, und dieBehauptung des Satzes ist bewiesen.Bemerkung 6.2.6. Der obige Satz s hlieÿt den Fall k = 1, x 6≡ 1 (mod p) ein. Dann istDr∼= D(n−p+1,1p−1) und hat die p-Sylowgruppen von Sn als Vertizes. Im Fall x ≡ 1 (mod p)lassen si h die Vertizes von Dp−1 mit dieser Methode ni ht bestimmen. Es gilt jedo h das folgendeLemma.Lemma 6.2.7. Es seien n = a1p + a2p

2 + · · · + asps die p-adis he Entwi klung von n mit

a1, a2 > 0 sowie r := a1p − 1. Dann sind die Vertizes von Dr entweder die p-Sylowgruppen vonSn oder in Sn konjugiert zu (Pps)as × · · · × (Pp3)

a3 × (Pp2)a2−1 × (Pp)

a1+p ≤ Pn.Beweis. Es sei dazu P ein Vertex von Dr mit P ≤ Pn. Na h Korollar 6.1.7 existiert dann eing ∈ Sn mit

g((Pps)as × · · · × (Pp3)

a3 × (Pp2)a2−1 × (Pp)

a1+p−2)

=: Q ≤ P ≤ Pn,und na h Voraussetzung ist Pn = (Pps)as×· · ·×(Pp3)a3×(Pp2)

a2×(Pp)a1 . Es ist also |Pn : Q| = p3.Da Dr ni ht relativ Sn−1-projektiv ist, folgt zunä hst Q 6= P und somit |Pn : P | ∈ {1, p, p2}.Weiter können wir wegen Bemerkung/Korollar 3.1.6 (ii) annehmen, dass

g(Pp)a1+p−2 ≤ B × 〈(n− a1p+ 1, . . . , n− (a1 − 1)p)〉 × · · · × 〈(n− p+ 1, . . . , n)〉 (∗∗)gilt. Dabei bezei hne B die Basisgruppe der zu Pp2 konjugierten Untergruppe von Pn, die aufden Zahlen n − p2 − a1p + 1, . . . , n − a1p operiert. Wegen Z(Pn) ≤ P müssen die p-Zyklen

(n− a1p+ 1, . . . , n− (a1 − 1)p), . . . , (n− p+ 1, . . . , n) alle in P enthalten sein. Falls mindestenseiner von diesen ni ht bereits in Q enthalten ist, folgt mit (∗∗), dass entweder P = Pn oderP = (Pps)as × · · · × (Pp3)

a3 × (Pp2)a2−1 × (Pp)

a1+p ist. Im Fall {(n − a1p + 1, . . . , n − (a1 −1)p), . . . , (n − p + 1, . . . , n)} ⊂ Q können wir wegen Bemerkung/Korollar 3.1.6 und Z(Pn) ≤ Pannehmen, dass R := (Pps)as × · · · × (Pp3)

a3 × (Pp2)a2−1 ×R1 ≤ P gilt. Dabei wird R1 von denfolgenden Elementen erzeugt:

(n− p2 − a1p+ 1, . . . , n− p2 − (a1 − 1)p), . . . , (n − (a1 + 3)p + 1, . . . , n− (a1 + 2)p),

(n− (a1 + 2)p + 1, . . . , n− (a1 + 1)p)(n − (a1 + 1)p + 1, . . . , n− a1p),

(n− a1p+ 1, . . . , n− (a1 − 1)p), . . . , (n− p+ 1, . . . , n).Wegen |Pn : R| = p2 und CPn(R) 6⊆ R folgt daraus zunä hst, dass |Pn : P | ∈ {1, p} gelten muss.Die einzige Untergruppe von Pn, die R enthält und Index p in Pn hat, ist aber (Pps)as × · · · ×(Pp3)

a3 × (Pp2)a2−1 × (Pp)

a1+p, so dass au h in diesem Fall die Behauptung folgt.Bemerkung 6.2.8. Das Lemma zeigt also insbesondere, dass im Fall x ≡ 1 (mod p) und a1 = 1die Vertizes von D(n−p+1,1p−1) entweder die p-Sylowgruppen von Sn oder in Sn zu (Pps)as ×· · · × (Pp3)

a3 × (Pp2)a2−1 × (Pp)

p+1 konjugiert sind. So hat also zum Beispiel für p = 3 undn = 12 der irreduzible Modul D2

∼= D(10,12) entweder Vertex P12 = P9 × P3 oder Vertex (P3)4.Computerbere hnungen zeigen, dass D2 tatsä hli h Vertex P12 hat.

Kapitel 6. Moduln zu Hakenpartitionen 666.3 RegularisierungenBemerkung 6.3.1. Wir werden nun abs hlieÿend die Parameter der irreduziblen ModulnDr ausvorigem Abs hnitt bestimmen, d.h. diejenigen p-regulären Partitionen µr von n mit Dr∼= Dµrfür r ∈ {0, . . . , n − 1}, falls n 6≡ 0 (mod p) ist, beziehungsweise r ∈ {0, . . . , n − 2}, falls n ≡ 0

(mod p) ist. Es gelten dabei na h wie vor die Bezei hnungen aus Bemerkung 6.1.1.Auÿerdem werden wir den in [42℄ eingeführten Begri� der Regularisierung einer Partition be-nötigen. Es seien dazu n ∈ N∗, K ein Körper der Charakteristik q > 0 und λ eine Partitionvon n mit Young-Diagramm [λ] und q-Restediagramm [λ]q . Unter einer Leiter Li(λ) verste-hen wir in diesem Zusammenhang eine Stre ke zwis hen dem Knoten (i, 1) und dem Punkt(1, (i− 1)(q − 1)−1 + 1). Diese Leitern haben also Steigung q − 1. Ferner liegt jeder Knoten von[λ] auf einer Leiter, und alle Knoten, die auf einer gemeinsamen Leiter liegen, haben denselbenq-Rest.Beispiel.Für q := 3, n = 15, λ := (4, 32, 2, 13) haben die entspre henden Leitern die folgende Gestalt:Eine Partition λ von n ist genau dann q-regulär, wenn für jede Leiter die S hnittknoten mit [λ]die obersten der Leiter sind.Beispiel.Betra hten wir den Fall q = 3, n = 10, λ := (4, 16), µ := (4, 32), so ist µ eine q-regulärePartition, λ dagegen ni ht. Die Leitern sehen wie folgt aus:

[λ] = [µ] =

Hierbei hat etwa die Leiter L4(λ) genau einen S hnittknoten mit [λ], nämli h (4, 1). Dieser istjedo h ni ht der oberste Knoten der Leiter, sondern (2, 2).Wir wenden nun das Verfahren aus [42℄, 6.3.48 an. Für jede Leiter Li(λ) von [λ], die [λ] ingenau si(λ) Knoten s hneidet, ersetzen wir die obersten Knoten der Leiter dur h genau dieseS hnittknoten. D.h., wir vers hieben alle si(λ) S hnittknoten so weit wie mögli h auf Li(λ) na hoben. Auf diese Weise erhalten wir das Young-Diagramm einer q-regulären Partition µ von n.Diese bezei hnen wir mit λR und nennen sie die Regularisierung von λ. So ist in obigemBeispiel etwa λR = (4, 16)R = (4, 32) = µ. Dabei können vers hiedene Partitionen dur haus dieglei he Regularisierung haben. Mit diesen Bezei hnungen gilt:Satz 6.3.2 ([42℄, 6.3.51). Es seien λ eine Partition von n und µ = λR. Dann ist [Sλ : Dµ] = 1.Gilt ferner [Sλ : Dα] > 0 für eine q-reguläre Partition α 6= µ von n, so ist α⊲ µ.

Kapitel 6. Moduln zu Hakenpartitionen 67Wir wenden dies nun auf den Fall an, dass q = p und λ eine Hakenpartition, d.h. von der Formλ = (n− r, 1r) für ein r ∈ {p, . . . , n − 1} ist. Dann gilt:Lemma 6.3.3. Sind r ∈ {p, . . . , n − 1} sowie n = xp+ y für ein x ≥ 1 und y ∈ {0, . . . , p− 1},so gilt

(n− r, 1r)R =

(p1+⌊ r−p+1

p−1⌋, 1 + r, 1n−r−2−⌊ r−p+1

p−1⌋)′, falls n− r ≥ x+ 1

(pn−r−1, (p− 1)

1+⌊ rp−n(p−1)+1p−1

⌋, r + 1

)′

, falls x ≥ n− r ≥ 2((p− 1)⌊

np−1

⌋, n)′, falls n− r = 1.Dabei sei m stets die Restklasse von m modulo p− 1 für alle m ∈ N.Beweis. Es seien also n und r wie oben, und wir setzen λ := (n−r, 1r). Weiter betra hten wir dieLeitern L1(λ), . . . , Lr+1(λ). Die erste dieser Leitern, deren S hnittknoten mit [λ] ni ht die ober-sten der Leiter sind, ist Lp+1(λ). Es liegt nämli h (2, 2) auf Lp+1(λ). Um nun die Regularisierungvon λ zu erhalten, müssen wir also die Knoten (p + 1, 1), . . . , (r + 1, 1) auf den entspre hendenLeitern Lp+1(λ), . . . , Lr+1(λ) so weit wie mögli h na h oben vers hieben.Für n−r ≥ x+1 verfahren wir nun wie folgt. Wir s hieben auf den Leitern Lp+1(λ), . . . , Lr+1(λ)die jeweiligen S hnittknoten mit [λ] stufenweise na h oben, so weit wie mögli h. Im ersten S hrittrü ken also die Knoten (p + 1, 1), . . . , (r + 1, 1) alle jeweils eine Stufe auf den entspre hendenLeitern na h oben. Wir erhalten dadur h ein uneigentli hes Diagramm der folgenden Form:

[λ](1) =

· · ·.........Die ersten p Knoten der zweiten Spalte können auf ihren Leitern ni ht weiter na h oben vers ho-ben werden. D.h., im zweiten S hritt rü ken ab dem (p + 1)-ten alle Knoten der zweiten Spaltevon [λ](1) auf ihren Leitern na h oben. Wir erhalten:

...[λ](2) =

... ......· · ·

Dieses Verfahren iterieren wir. O�enbar werden dabei im j-ten S hritt genau die Knoten unter-halb der p-ten Zeile von [λ](j−1) um eine Stufe auf ihren Leitern na h oben bewegt. Insgesamt

Kapitel 6. Moduln zu Hakenpartitionen 68müssen wir hö hstens 1 + ⌊ r−p+1p−1 ⌋ sol her S hritte ma hen, um das Young-Diagramm einer p-regulären Partition zu erhalten. Na h Konstruktion haben die ersten 1 + ⌊ r−p+1

p−1 ⌋ Spalten diesesDiagramms die Länge p. Die 2 + ⌊ r−p+1p−1 ⌋-te Spalte hat Länge 1 + (r − p+ 1) = 1 + r, und dierestli hen Spalten haben Länge 1. Man bea hte dabei, dass wegen x + 1 ≤ n − r tatsä hli h

2 + ⌊ r−p+1p−1 ⌋ ≤ n− r ist.Wir betra hten nun den Fall 2 ≤ n− r ≤ x. Zunä hst können wir au h hier so verfahren wie imvorigen Fall. Na h dem (n − r − 1)-ten S hritt erhalten wir dann:

... ... ......

· · ·· · ·

· · ·

...[λ](n−r−1) =...

Für j ≥ n − r werden im j-ten S hritt nun also ab dem p-ten alle Knoten der j-ten Spal-te von [λ](j−1) auf ihren Leitern na h oben vers hoben. Insgesamt werden somit hö hstensn − r − 1 + ⌊ r−(p−2)−(n−r−1)(p−1)

p−1 ⌋ + 1 S hritte benötigt, um aus [λ] das Diagramm einer p-regulären Partition zu konstruieren. Die ersten n − r − 1 ≥ 1 Spalten dieses Diagramms habenLänge p. Die na hfolgenden ⌊ r−(p−2)−(n−r−1)(p−1)p−1 ⌋+1 Spalten haben Länge p−1, und die letzteSpalte hat Länge (r − (p− 2)− (n− r − 1)(p − 1)) = r + 1. Man bea hte, dass wegen n− r ≤ xin diesem Fall tatsä hli h (n− r − 1)p ≤ (x− 1)p < n gilt.Im Fall r = n − 1 ist λ = (1n). Wir müssen für j ≥ 1 somit im j-ten S hritt stets alle Knotenunterhalb der (p − 1)-ten Zeile der j-ten Spalte von [λ](j−1) na h oben vers hieben. Dabei sei

[λ](0) := [λ]. Demzufolge ist (1r)R =((p− 1)⌊

np−1

⌋, n)′.Damit ist das Lemma bewiesen.Bemerkung 6.3.4. (a) Unter den Voraussetzungen von Lemma 6.3.3 und y = 0 ist stets

(x + 1, 1xp−x−1)R = (x + 1, xp−2, x − 1) = (x, 1xp−x)R. Wegen xp − x − 1 − p + 1 =(x− 2)(p − 1) + p− 2 ist für n− r = x+ 1 nämli h

1 +

⌊r − p+ 1

p− 1

⌋= x− 1

1 + r = p− 1

n− r − 2−

⌊r − p+ 1

p− 1

⌋= x+ 1− 2− x+ 2 = 1.Also ist in dem Fall (x+ 1, 1xp−x−1)R = (px−1, p− 1, 1)′ = (x+ 1, xp−2, x− 1).

Kapitel 6. Moduln zu Hakenpartitionen 69Für n− r = x ist andererseitsn− r − 1 = x− 1

⌊r − (p− 2)− (n− r − 1)(p − 1)

p− 1

⌋+ 1 =

⌊1

p− 1

⌋+ 1 = 1

r + 1 = 1.Folgli h ergibt si h au h (x, 1xp−x)R = (px−1, p− 1, 1)′ = (x+ 1, xp−2, x− 1). Alle anderenRegularisierungen sind paarweise vers hieden.(b) Im Fall y > 0 sind alle Regularisierungen paarweise vers hieden. Na h Satz 6.3.2 ist insbe-sondere S(n−r,1r) ∼= D(n−r,1r)R für alle r = 0, . . . , n− 1.Lemma 6.3.5. Es seien n = xp, x ≥ 1 und r ∈ {1, . . . , n − 2}.(i) Falls n− r ≥ x+ 1 oder r < p ist, so gilt:Hd(S(n−r,1r)) ∼= D(n−r,1r)R

,

Soc(S(n−r,1r)) ∼= D(n−r+1,1r−1)R

.(ii) Falls n− r ≤ x und r ≥ p ist, so gilt:Hd(S(n−r,1r)) ∼= D(n−r−1,1r+1)R

,

Soc(S(n−r,1r)) ∼= D(n−r,1r)R

.(iii) Ferner ist S(n) ∼= D(n) und S(1n) ∼= D(1n)R.Beweis. Die Moduln S(n) und S(1n) sind irreduzibel, so dass die Behauptung (iii) aus Satz 6.3.2folgt. Die restli hen Spe htmoduln zu Hakenpartitionen sind na h Bemerkung 6.1.1 einreihig mitgenau zwei Kompositionsfaktoren, und na h [18℄, Cor. 5.5 ist Hd(S(n−r,1r)) ∼= Soc(S(n−r−1,1r+1))für 0 ≤ r ≤ n − 1. Damit ist die Behauptung im Fall r < p klar. Für r ≥ p gilt na h Lemma6.3.3 und Bemerkung 6.3.4 stets(n − r, 1r)R ⊲ (n− r − 1, 1r+1)R, falls n− r > x+ 1 ist ,(n − r, 1r)R = (n− r − 1, 1r+1)R, falls n− r = x+ 1 ist ,

(n− r − 1, 1r+1)R ⊲ (n− r, 1r)R, falls n− r < x+ 1 ist .Na h Satz 6.3.2 ist D(n−r,1r)R einer der Kompositionsfaktoren von S(n−r,1r), und der andere istvon der Form Dα mit α ⊲ (n − r, 1r)R. Aus diesen Überlegungen folgt die Behauptung im Fallr ≥ p, und das Lemma ist bewiesen.Korollar 6.3.6. (i) Für n = xp, x ≥ 1 und r ∈ {0, . . . , n− 2} gilt:

Dr =

r∧D ∼=

{D(n−r,1r)R

, falls n− r ≥ x+ 1 oder r < p,

D(n−r−1,1r+1)R, falls n− r ≤ x und r ≥ p.(ii) Falls n 6≡ 0 (mod p) ist, so gilt für alle r ∈ {0, . . . , n − 1}:

Dr∼= S(n−r,1r) ∼= D(n−r,1r)R

.

Kapitel 7Moduln kleiner DimensionenWir werden im Folgenden die Vertizes aller irreduziblen Moduln symmetris her Gruppen derDimensionen ≤ 1000 bestimmen. Dazu seien n ∈ N∗ und F ein Körper von Primzahl harakteristikp. Ferner bezei hnen wir ab jetzt für jedes m = 0, . . . , n mit Rn(m) die Klasse irreduzibler FSn-Moduln D mit der Eigens haft, dass D ∼= Dµ oder D ∼= Dµ⊗S(1n) ∼= Dm(µ) für ein µ ∈ Pn,p mitµ1 ≥ n−m gilt. Dann wird der folgende Satz eine zentrale Rolle für unsere weiteren Überlegungenspielen.Satz 7.0.1 ([40℄ L.4). Es seien m,N ∈ N und f : N −→ N, n 7→ f(n) eine Funktion, wel he diefolgenden Bedingungen erfüllt:(i) 2f(n− 2) > f(n) für alle n ≥ N + 2.(ii) Sind n ∈ {N,N +1} und D ein irreduzibler FSn-Modul, dann liegt D entweder in Rn(m),oder es ist dim(D) > f(n).(iii) Für alle n ≥ N und jeden irreduziblen FSn-Modul D in Rn(m+ 2) \Rn(m) ist dim(D) >

f(n).Für alle n ≥ N liegt dann jeder irreduzible FSn-Modul D entweder in Rn(m), oder es istdim(D) > f(n).Bemerkung 7.0.2. Um obigen Satz anwenden zu können, werden wir im Verlauf dieses Kapitelsdie Dimensionen der irreduziblen FSn-Moduln für p = 2 und n ≤ 18 sowie für p = 3 und n ≤ 17benötigen. Sowohl im Fall p = 2 als au h im Fall p = 3 sind die Zerlegungszahlen von Snfür alle n ≤ 17 bekannt [siehe http://www.math.rwth-aa hen.de/homes/MOC/de omposition/℄. Dabei gibt die Zerlegungszahl dµλ an, mit wel her Vielfa hheit der irreduzible FSn-ModulDλ als Kompositionsfaktor des Spe htmoduls Sµ vorkommt. Da die Dimensionen der Spe ht-moduln stets bekannt sind, lassen si h mit Hilfe der Zerlegungszahlen au h die Dimensionen derirreduziblen Moduln bestimmen. Dies liegt daran, dass die Zerlegungsmatrix (dµλ)µ∈Pn,λ∈Pn,pstets vollen Rang hat. Da für n ≥ 18 Zerlegungszahlen nur no h in Spezialfällen vorliegen, sinddann au h die Dimensionen der irreduziblen FSn-Moduln im Allgemeinen ni ht bekannt. DieTabelle aus Anhang A enthält jedo h untere S hranken für die Dimensionen der irreduziblenFS18-Moduln in Charakteristik 2.Insbesondere erhalten wir auf diese Weise, dass im Fall p = 2 jeder irreduzible FS17-Modulentweder in R17(3)∪{D

(9,8)} liegt oder Dimension ≥ 1582 hat und, dass jeder irreduzible FS18-Modul entweder in R18(3)∪{D(10,8)} liegt oder Dimension ≥ 1582 hat. Ferner haben alle Modulnin R17(3) ∪ {D

(9,8)} Dimensionen < 1155, und die Moduln in R18(3) ∪ {D(10,8)} haben Dimen-sionen < 1580. Im Fall p = 3 und n ∈ {16, 17} liegt jeder irreduzible FSn-Modul entweder in

Rn(3) oder hat Dimension ≥ 1260 beziehungsweise ≥ 1597. Ferner haben die Moduln in R16(3)Dimensionen < 819, und die Moduln in R17(3) haben Dimensionen < 1155.70

Kapitel 7. Moduln kleiner Dimensionen 717.1 Irreduzible Moduln in Charakteristik 3Wir betra hten zunä hst den Fall p = 3. Dann gilt folgendes Lemma:Lemma 7.1.1. Es seien N := 16 und m := 3. Ferner setzen wirf(n) :=

n4 − 14n3 + 47n2 − 34n− 24

24für alle n ∈ N. Dann gilt:(i) 2f(n− 2) > f(n) für n ≥ 18.(ii) Sind n ∈ {16, 17} und D ein irreduzibler FSn-Modul, so liegt D entweder in Rn(3), oderes ist dim(D) > f(n).(iii) Sind n ≥ 16 und D ein irreduzibler FSn-Modul in Rn(m + 2) \Rn(m), so gilt dim(D) >f(n).Beweis. (i): Eine Routinere hnung zeigt, dass n4 − 30n3 + 263n2 − 810n + 744 > 0 für allen ≥ 18 gilt, woraus sofort die Behauptung folgt.(ii): Es ist f(16) = 819 und f(17) = 1155. Die Behauptung folgt dann aus Bemerkung 7.0.2.(iii): Es seien n ≥ 16 und Dλ ein irreduzibler FSn-Modul aus Rn(5) \Rn(3).(a) Im Fall Dλ ∈ Rn(4) \ Rn(3) können wir λ ∈ {(n − 4, 4), (n − 4, 3, 1), (n − 4, 22), (n −4, 2, 12)} annehmen. Na h [40℄ ist:

dim(D(n−4,4)) ≥n4 − 14n3 + 47n2 − 34n

24= f(n) + 1 > f(n),

dim(D(n−4,3,1)) ≥3n4 − 38n3 + 129n2 − 118n

24> f(n),

dim(D(n−4,22)) ≥n4 − 14n3 + 71n2 − 154n + 120

24> f(n),

dim(D(n−4,2,12)) ≥3n4 − 38n3 + 153n2 − 190n − 24

24> f(n).(b) Wir betra hten nun den Fall Dλ ∈ Rn(5) \ Rn(4) und können λ ∈ {(n − 5, 5), (n −

5, 4, 1), (n − 5, 3, 2), (n − 5, 3, 12), (n − 5, 22, 1)} annehmen.λ = (n− 5, 3, 2)Na h Korollar 6.3.6 und Lemma 6.3.3 gilt stets λ = (n− 5, 15)R, und es ist

dim(Dλ) =

{(n−15,

) falls n 6≡ 0 (mod 3)(n−25,

) falls n ≡ 0 (mod 3).In beiden Fällen gilt somit dim(Dλ) > f(n). Für λ ∈ {(n − 5, 5), (n − 5, 4, 1), (n −5, 3, 12), (n − 5, 22, 1)} betra hten wir zunä hst die Fälle n = 16, 17, 18. Na h Bemer-kung 7.0.2 ist die Behauptung (iii) für n = 16, 17 ri htig. Es sei also n = 18. Dann istf(n) = 1580. Die modularen Bran hing-Regeln aus Bemerkung 4.1.4 und Satz 4.1.5 liefernauÿerdem Folgendes:• 2D(12,4)|ResS18

S16(D(13,5))

• ResS18S17

(D(13,4,1)) ∼= D(12,4,1) ⊕D(13,3,1)

• 2D(12,3,1)|ResS18S16

(D(13,3,12))

• 2D(12,22)|ResS18S16

(D(13,22,1)).

Kapitel 7. Moduln kleiner Dimensionen 72Dies zeigt, dass dim(Dλ) > 1580 = f(18) für λ ∈ {(13, 5), (13, 4, 1), (13, 3, 12 ), (13, 22, 1)}gilt. Die restli hen Fälle beweisen wir nun induktiv und nehmen ab jetzt n > 18 an. Fernerbenutzen wir wieder die modularen Bran hing-Regeln aus Bemerkung 4.1.4 und Satz 4.1.5.λ := (n− 5, 5)Im Fall n ≡ 1 (mod 3) ist ResSn

Sn−1(Dλ) ∼= D(n−1−5,5)⊕D(n−1−4,4), so dass na h Induktion,(i) und (a) dann dim(Dλ) = dim(D(n−1−5,5))+dim(D(n−1−4,4)) > 2f(n−1) > 2f(n−2) >

f(n) folgt.Im Fall n ≡ 2 (mod 3) ist ResSn

Sn−1(Dλ) ∼= D(n−1−5,5). Wegen n− 1 ≡ 1 (mod 3) ist na hden obigen Überlegungen dim(Dλ) = dim(D(n−1−5,5)) > 2f(n−1−1) = 2f(n−2) > f(n).Ist n ≡ 0 (mod 3), so besitzt ResSn

Sn−2(Dλ) zwei zu D(n−2−4,4) isomorphe direkte Summan-den, d.h. na h (a) ist dim(Dλ) ≥ 2 dim(D(n−2−4,4)) > 2f(n− 2) > f(n).

λ := (n− 5, 4, 1)Für n ≡ 1 (mod 3) besitzt ResSn

Sn−2(Dλ) zwei zu D(n−2−4,4) isomorphe direkte Summan-den, und mit (a) folgt dim(Dλ) ≥ 2 dim(D(n−2−4,4)) > 2f(n− 2) > f(n).Im Fall n ≡ 2 (mod 3) kommen in ResSn

Sn−1(Dλ) die Moduln D(n−1−4,4) und D(n−1−4,3,1)als Kompositionsfaktoren vor, und na h (a) erhalten wir au h hier dim(Dλ) > 2f(n− 1) >

2f(n− 2) > f(n).Ist n ≡ 0 (mod 3), so gilt ResSn

Sn−1(Dλ) ∼= D(n−1−5,4,1)⊕D(n−1−4,3,1), so dass na h (a) undInduktion dim(Dλ) > 2f(n− 1) > 2f(n− 2) > f(n) gilt.

λ := (n− 5, 3, 12)Im Fall n ≡ 1 (mod 3) hat ResSn

Sn−2(Dλ) zwei zu D(n−2−4,2,12) isomorphe direkte Summan-den. Wegen (a) ist also dim(Dλ) > 2f(n− 2) > f(n).Falls n ≡ 2 (mod 3) ist, giltResSn

Sn−1(Dλ) ∼= D(n−1−5,3,12)⊕D(n−1−4,2,12), so dass dim(Dλ) >

2f(n− 1) > 2f(n− 2) > f(n) na h (a) und Induktion folgt.Im Fall n ≡ 0 (mod 3) s hlieÿli h besitzt ResSn

Sn−2(Dλ) zwei zu D(n−2−4,3,1) isomorphedirekte Summanden, und na h (a) folgt au h hier dim(Dλ) > 2f(n− 2) > f(n).

λ := (n− 5, 22, 1)Für n ≡ 1 (mod 3) ist ResSn

Sn−1(Dλ) ∼= D(n−1−5,22,1) ⊕D(n−1−4,22), d.h. es ist dim(Dλ) >

2f(n− 1) > 2f(n− 2) > f(n) wegen (a) und Induktion.Für n ≡ 2 (mod 3) besitzt ResSn

Sn−2(Dλ) zwei zu D(n−2−4,2,12) isomorphe direkte Summan-den, und na h (a) ist dann dim(Dλ) > 2f(n− 2) > f(n).Im Fall n ≡ 0 (mod 3) besitzt ResSn

Sn−2(Dλ) zwei zu D(n−2−4,22) isomorphe direkte Sum-manden, so dass dim(Dλ) > 2f(n− 2) > f(n) folgt.Damit ist das Lemma bewiesen.Somit sind also die Voraussetzungen von Satz 7.0.1 mit p = 3, N = 16, m = 3 erfüllt, undzusammen mit den Ergebnissen aus Bemerkung 7.0.2 erhalten wir sofort:Korollar 7.1.2. Es seien p = 3, n ≥ 16 und D ein irreduzibler FSn-Modul. Dann liegt D in

Rn(3), oder es ist dim(D) > 1000.Bemerkung 7.1.3. Für n ≤ 15 kennen wir die Vertizes aller irreduziblen FSn-Moduln in Cha-rakteristik 3 der Dimension ≤ 1000 (siehe 9.2).Die Moduln aus Rn(1) sind gerade D(n), Dm((n)), D(n−1,1), Dm((n−1,1)). Die Vertizes dieserModuln sind stets die Defektgruppen der entspre henden Blö ke.Na h [72℄, Satz 4.2.6 sind ferner die Vertizes von D(n−2,2) und damit au h von Dm((n−2,2)) dieDefektgruppen der entspre henden Blö ke.

Kapitel 7. Moduln kleiner Dimensionen 73Die Vertizes vonD(n−3,3) undDm((n−3,3)) sind na h [72℄, Satz 4.2.10 stets die 3-Sylowgruppen vonSn, es sei denn, es ist n ≡ 5 (mod 9). Für n ≡ 5 (mod 9) ist aberD(n−3,3) ∼= S(n−3,3) ∼= Y (n−3,3),so dass die Vertizes au h in diesem Fall bekannt sind. Na h Bemerkung 5.3.3 und Satz 5.4.1 sindsie in Sn konjugiert zu Pn−6 × P

23 .Um nun die Vertizes aller irreduziblen Moduln symmetris her Gruppen in Charakteristik 3 derDimension≤ 1000 zu bestimmen, müssen wir also no h Moduln der FormD(n−2,12) undD(n−3,2,1)für n ≥ 16 betra hten. Im Fall n 6≡ 0 (mod 3) ist D(n−2,12) ∼= S(n−2,12) und D(n−3,2,1) ∼= S(n−3,13)na h Lemma 6.3.3 und Korollar 6.3.6. In diesen Fällen sind die Vertizes also bekannt. Sie sindna h Bemerkung 6.1.1 konjugiert zu Pn−3 beziehungsweise Pn−4 × P3. Na h Bemerkung 6.2.6wissen wir au h, dass im Fall n ≡ 0 (mod 3) und n 6≡ 3 (mod 9) die Vertizes von D(n−2,12)gerade die 3-Sylowgruppen von Sn sind. Für n ≡ 0 (mod 3) gilt auÿerdem:

dim(D(n−2,12)) =

(n− 2

2

) und dim(D(n−3,2,1)) =

(n− 2

3

).Es ist also dim(D(n−2,12)) > 1000 für n > 45 und dim(D(n−3,2,1)) > 1000 für n > 21. Ferner ist

dim(D(15,2,1)) = 560 6≡ 0 (mod 3), und die Vertizes von D(15,2,1) sind damit die 3-Sylowgruppenvon S18. Demna h haben wir no h folgende Fälle zu betra hten:n λ dim(Dλ)21 (19, 12) 171 ≡ 0 (mod 9)

(18, 2, 1) 969 ≡ 0 (mod 3)30 (28, 12) 378 ≡ 0 (mod 27)39 (37, 12) 666 ≡ 0 (mod 9)Computerbere hnungen zeigen, dass in all diesen Fällen die Vertizes der entspre henden irredu-ziblen Moduln stets die 3-Sylowgruppen von Sn sind. Dabei wurden die Vertizes der ModulnD(19,12), D(28,12) und D(37,12) direkt mit den Computerprogrammen aus [72℄ bere hnet.Der irreduzible FS21-Modul D(18,2,1) ist na h Korollar 6.3.6 und Lemma 6.3.3 isomorph zuD3 =

∧3D(20,1). Betra hten wir nun einen Vertex P ≤ P21 = P9 × P9 × P3 von D3, so istP9 × (P3)

3 <S21 P ≤ P21 na h Korollar 6.1.7. Wegen Z(P21) ≤ P und Bemerkung/Korollar3.1.6 folgt daraus sofort, dass entweder P = P21 oder P = P9 × (P3)4 gelten muss. Wir nehmenzunä hst P = P9× (P3)

4 an und setzen H := NS21(P ). Dann besitzt H für S ∈ Syl2(S4) eine zuNS9(P9) × (S3 ≀ S) isomorphe Untergruppe K, und es gilt P ≤ K ≤ H sowie |K : P | = 29 6≡ 0(mod 3). Ferner ist ResF3S21

F3K(D3) absolut unzerlegbar, wie Computerbere hnungen zeigen. Wirkönnen daher annehmen, dass F algebrais h abges hlossen ist. Aus Korollar 2.4.6 folgt dann derWiderspru h P = P9 × (P3)

4 ∈ Syl3(S21). Folgli h ist P = P21.7.2 Irreduzible Moduln in Charakteristik 2Nun betra hten wir den Fall p = 2. MitD(n) bezei hnen wir jetzt stets den Spinmodul für FSn.Dies ist der irreduzible FSn-Modul zur Partition (n2 +1, n2−1), falls n gerade ist, beziehungsweiseder zur Partition (n+12 , n−1

2 ), falls n ungerade ist. Wir werden ein Analogon zu Satz 7.0.1 beweisenund benötigen hierfür no h folgendes Lemma.Lemma 7.2.1. Es seien n ≥ 8 und G = Sn. Dann gilt:(i) Im Fall n ≡ 0 (mod 4) ist IndSn+1

Sn(D(n)) ∼= f0(D(n)) ∼ 2D(n + 1) + D(n

2+1,n

2−1,1) und

dim(D(n2+1,n

2−1,1)) = (n− 3)2

n−22 .(ii) Im Fall n ≡ 1 (mod 4) ist Ind

Sn+1

Sn(D(n)) ∼= f0(D(n)) ⊕ f1(D(n)), wobei f0(D(n)) ∼

2D(n + 1) und f1(D(n)) ∼= D(n+12,n−1

2,1) gilt. Ferner ist dim(D(n+1

2,n−1

2,1)) = (n− 1)2

n−12 .

Kapitel 7. Moduln kleiner Dimensionen 74(iii) Im Fall n ≡ 2 (mod 4) ist IndSn+1

Sn(D(n)) ∼= f0(D(n)) ⊕ f1(D(n)), wobei f1(D(n)) ∼=

D(n+ 1) und f0(D(n)) ∼= D(n2+1,n

2−1,1) gilt. Ferner ist dim(D(n

2+1,n

2−1,1)) = (n− 1)2

n−22 .(iv) Im Fall n ≡ 3 (mod 4) ist Ind

Sn+1

Sn(D(n)) ∼= f0(D(n)) ∼ 3D(n + 1) + D(n+1

2,n−1

2,1) und

dim(D(n+12,n−1

2,1)) = (n− 2)2

n−12 .Beweis. Wir beweisen die Aussagen mittels Induktion na h n und betra hten zunä hst die Fälle

n = 8, 9, 10, 11. Auÿerdem setzen wir jeweils M := IndSn+1

Sn(D(n)) für alle n ≥ 8.

• n = 8Es ist D(8) = D(5,3), und (5, 3) hat reduzierte 0-Signatur + +−. Ferner ist D(9) = D(5,4).Na h Satz 4.1.3 ist daher [M : D(5,4)] = 2 und [M : D(5,3,1)] = 1. Wegen dim(D(5,3,1)) =40 = 72 − 2 · 16 = dim(M)− 2 dim(D(9)) folgt die Behauptung.• n = 9Es ist D(9) = D(5,4), und (5, 4) hat reduzierte 0-Signatur +−− und reduzierte 1-Signatur

++. Auÿerdem ist D(10) = D(6,4). Na h Satz 4.1.3 ist also [M : D(6,4)] = 2 und [M :D(5,4,1)] = 1. Wegen dim(D(5,4,1)) = 128 = 160 − 2 · 16 = dim(M) − 2 dim(D(10)) folgtau h hier die Behauptung.• n = 10In diesem Fall ist D(10) = D(6,4), und (6, 4) hat reduzierte 0-Signatur + und reduzierte1-Signatur +−. Na h Satz 4.1.2 ist also M ∼= D(6,5)⊕D(6,4,1), woraus (iii) für n = 10 folgt.• n = 11S hlieÿli h ist D(11) = D(6,5), und (6, 5) hat reduzierte 0-Signatur + + +. Wegen Satz4.1.3 ist demna h [M : D(7,5)] = 3 und [M : D(6,5,1)] = 1. Aus dim(D(6,5,1)) = 288 =

384− 3 · 32 = dim(M)− 3 dim(D(12)) = dim(M)− 3 dim(D(7,5)) folgt au h in diesem Falldie Behauptung.Wir können also ab jetzt n ≥ 12 und, dass die Behauptung für 8 ≤ k < n gilt, annehmen. Wirbenutzen wieder die modularen Bran hing-Regeln und insbesondere Satz 4.1.3.Für n ≡ 0 (mod 4) ist D(n) = D(n2+1,n

2−1), hat Dimension 2

n−22 und reduzierte 0-Signatur

+ + −. Na h Satz 4.1.3 ist somit [M : D(n + 1)] = 2 und [M : D(n2+1,n

2−1,1)] = 1. Betra htenwir andererseits D := D(n

2+1,n

2−1,1), so hat dieser Modul reduzierte 0-Signatur − und reduzierte1-Signatur ++. Na h Satz 4.1.2 ist also Res

Sn+1

Sn(D) ∼= D(n

2,n2−1,1). Aus n− 1 ≡ 3 (mod 4) undder Induktionsvoraussetzung folgt dim(D(n

2+1,n

2−1,1)) = dim(D(n

2,n2−1,1)) = (n − 3)2

n−22 . Wegen

dim(M) = (n+ 1)2n−2

2 = 2dim(D(n+ 1)) + dim(D) folgt daraus die Aussage (i).Im Fall n ≡ 1 (mod 4) ist D(n) = D(n+12,n−1

2), hat reduzierte 0-Signatur + − − und reduzierte1-Signatur ++, so dass na h Satz 4.1.3 hier [M : D(n+1)] = 2 und [M : D(n+1

2,n−1

2,1)] = 1 folgt.Wegen dim(M) = (n+ 1)2

n−12 gilt also

dim(D(n+12,n−1

2,1)) ≤ (n+ 1)2

n−12 − 2 dim(D(n+ 1)) = (n+ 1)2

n−12 − 2 · 2

n−12

= (n− 1)2n−1

2 .Andererseits betra hten wirD := D(n+12,n−1

2,1) und Res

Sn+1

Sn(D) =: L. DaD reduzierte 0-Signatur

−−− und reduzierte 1-Signatur ++++ hat, ist [L : D(n)] = 3 und [L : D(n+12,n−3

2,1)] = 2. Na hInduktionsvoraussetzung ist somit

dim(D(n+12,n−1

2,1)) ≥ 3 dim(D(n)) + 2dim(D(n+1

2,n−3

2,1))

= 3 · 2n−1

2 + 2(n − 4)2n−3

2 = (n− 1)2n−1

2 .

Kapitel 7. Moduln kleiner Dimensionen 75Damit erhalten wir (ii).Es sei nun n ≡ 2 (mod 4). Dann ist D(n) = D(n2+1,n

2−1), hat Dimension 2

n−22 sowie reduzierte0-Signatur + und reduzierte 1-Signatur +−. Demzufolge ist M na h Satz 4.1.2 halbeinfa h mit

M ∼= D(n+ 1) ⊕D(n2+1,n

2−1,1). Wir erhalten somit dim(D(n

2+1,n

2−1,1)) = dim(M) − dim(D(n +

1)) = (n+ 1)2n−2

2 − 2n2 = (n− 1)2

n−22 , so dass (iii) folgt.S hlieÿli h sei n ≡ 3 (mod 4). Dann ist D(n) = D(n+1

2,n−1

2) mit reduzierter 0-Signatur + + +und reduzierter 1-Signatur −−. Ferner ist dim(D(n)) = 2

n−12 . Wegen Satz 4.1.3 ist also [M :

D(n+ 1)] = 3 und [M : D(n+12,n−1

2,1)] = 1. Daraus folgt

dim(D(n+12,n−1

2,1)) ≤ dim(M)− 3 dim(D(n+ 1)) = (n+ 1)2

n−12 − 3 · 2

n−12

= (n− 2)2n−1

2 .Andererseits betra hten wir wieder D := D(n+12,n−1

2,1) und L := Res

Sn+1

Sn(D). Da D reduzierte0-Signatur + und reduzierte 1-Signatur −− hat, gilt [L : D(n+1

2,n−3

2,1)] = 2 wegen Satz 4.1.3. Da

n− 1 ≡ 2 (mod 4) ist, folgt nun aus der Induktionsvoraussetzungdim(D) = dim(L) ≥ 2 dim(D(n+1

2,n−3

2,1)) = 2(n− 2)2

n−32 = (n − 2)2

n−12 .Somit ist au h (iv) bewiesen.Als direkte Folgerung aus obigem Lemma erhalten wir:Korollar 7.2.2. Es sei n ≥ 9. Ferner sei D = D(n+1

2,n−3

2,1), falls n ungerade ist, und D =

D(n2,n−2

2,1), falls n gerade ist. Dann gilt:

dim(D) = g(n) :=

(n− 3)2n−2

2 , falls n ≡ 0 (mod 4)

(n− 4)2n−3

2 , falls n ≡ 1 (mod 4)

(n− 2)2n−2

2 , falls n ≡ 2 (mod 4)

(n− 2)2n−3

2 , falls n ≡ 3 (mod 4).Wir bezei hnen weiterhin mit Rn(m) die zu Beginn dieses Kapitels eingeführte Klasse irreduziblerFSn-Moduln für n,m ∈ N, n ≥ 1. Dann gilt folgender Satz:Satz 7.2.3. Es seien m,N ∈ N mit N ≥ 9. Ferner sei f : N −→ N eine Funktion, wel he diefolgenden Bedingungen erfüllt.(i) Es ist f(n) > f(n− 1) für n ≥ N + 1 und 2f(n− 2) > f(n) für n ≥ N + 2.(ii) Für n ∈ {N,N + 1} liegt jeder irreduzible FSn-Modul D in Rn(m) ∪ {D(n)}, oder es ist

dim(D) > f(n).(iii) Für alle n ≥ N + 1 ist g(n) > 2f(n− 1), wobei g die Funktion aus obigem Korollar sei.(iv) Für alle n ≥ N und D ∈ Rn(m+ 2) \Rn(m) ist dim(D) > f(n).Dann gehört für alle n ≥ N jeder irreduzible FSn-Modul D zu Rn(m) ∪ {D(n)}, oder es istdim(D) > f(n).Beweis. Wir beweisen die Aussage dur h Induktion na h n. Wegen Bedingung (ii) gilt sie inden Fällen n = N, n = N + 1. Wir können also ab jetzt n ≥ N + 2 annehmen. Es sei dannD ein irreduzibler FSn-Modul mit D 6∈ Rn(m) und D 6∼= D(n). Wir müssen zeigen, dass danndim(D) > f(n) gilt.1.Fall: L := ResSn

Sn−1(D) ∼= e0(D)⊕ e1(D) ist reduzibel.

Kapitel 7. Moduln kleiner Dimensionen 76(1.1): L besitzt mindestens zwei Kompositionsfaktoren der Dimension ≥ f(n − 1). Dann istdim(D) = dim(L) ≥ 2f(n− 1) > 2f(n− 2) > f(n) na h (i).(1.2): L besitzt hö hstens einen Kompositionsfaktor der Dimension ≥ f(n− 1). Besitzt L genaueinen sol hen Kompositionsfaktor D , und kommt dieser im So kel von L vor, so könnenwir annehmen, dass er im So kel von e0(D) vorkommt. Dann ist also D ∼= Soc(e0(D)) ∼=Hd(e0(D)), und wegen [e0(D) : D] = 1 folgt e0(D) ∼= D na h Satz 4.1.2 (ii) und Satz 4.1.3(i). Da L reduzibel ist, ist in diesem Fall e1(D) 6= 0, und es gilt dim(Soc(e1(D))) < f(n−1).Haben alle Kompositionsfaktoren von L Dimensionen < f(n− 1), so gilt dies insbesonderefür diejenigen im So kel. In jedem Fall besitzt L einen irreduziblen Untermodul D derDimension < f(n−1). Somit istD zu einem Kompositionsfaktor von IndSn

Sn−1(D) isomorph,und na h Induktion gilt D ∈ Rn−1(m) ∪ {D(n − 1)}. Im Fall D ∈ Rn−1(m) ist D ∈

Rn(m+ 1), woraus dim(D) > f(n) na h (iv) folgt.Im Fall D = D(n− 1) gilt na h Lemma 7.2.1:D ∼=

{D(n+1

2,n−3

2,1), falls n ungerade

D(n2,n−2

2,1), falls n gerade.Also erhalten wir dim(D) = g(n) > 2f(n− 1) > 2f(n− 2) > f(n) na h Korollar 7.2.2, (i)und (iii).2.Fall: L := ResSn

Sn−1(D) ist irreduzibel. Dann ist also L ∼= Dµ für ein µ ∈ Pn−1,2.In jedem Fall ist na h [40℄, L.3 aber L := ResSn

Sn−2(D) ∼= e0(D

µ)⊕ e1(Dµ) reduzibel.(2.1): L hat mindestens zwei Kompositionsfaktoren der Dimension ≥ f(n−2). Dann ist dim(D) =

dim(L) ≥ 2f(n− 2) > f(n) na h (i).(2.2): L hat hö hstens einen Kompositionsfaktor der Dimension ≥ f(n−2). Wie im Fall (1.2) folgtdann, dass ein irreduzibler Untermodul D ∈ Rn−2 ∪ {D(n− 2)} von L existiert, so dass Dals Kompositionsfaktor von IndSn

Sn−2(D) auftritt. Im Fall D ∈ Rn−2(m) ist D ∈ Rn(m+2),und es folgt dim(D) > f(n) na h (iv). Wir können also D = D(n− 2) annehmen. Dann istaber au h L isomorph zu einem Kompositionsfaktor von Ind

Sn−1

Sn−2(D). Na h Lemma 7.2.1wissen wir, dass also entweder L ∼= D(n− 1) oder

L ∼=

{D(n−1

2,n−3

2,1), falls n ungerade

D(n2,n−4

2,1), falls n geradeist. Im Fall L ∼= D(n− 1) ist wegen D 6∼= D(n) und Lemma 7.2.1 wiederum

D ∼=

{D(n+1

2,n−3

2,1), falls n ungerade

D(n2,n−2

2,1), falls n gerade,d.h. dim(D) = g(n) > 2f(n − 1) > 2f(n − 2) > f(n) na h Korollar 7.2.2 und (i). Imanderen Fall ist dim(D) = dim(L) = g(n− 1) > 2f(n− 2) > f(n) na h Korollar 7.2.2 und(i).In jedem Fall gilt also dim(D) > f(n), und der Satz ist bewiesen.Lemma 7.2.4. Es seien n ∈ N mit n ≥ 12 und g die Funktion aus Korollar 7.2.2. Ferner setzenwir h(n) := n4 − 14n3 + 47n2 − 34n − 24. Dann ist stets

12g(n) > h(n − 1) = n4 − 18n3 + 95n2 − 174n + 72.

Kapitel 7. Moduln kleiner Dimensionen 77Beweis. O�enbar gilt die Behauptung für n = 12, . . . , 19. Dur h eine Routinere hnung folgt dieBehauptung für n ≥ 20 dann induktiv.Lemma 7.2.5. Es seien N := 17 und m := 3. Ferner setzen wirf(n) :=

n4 − 14n3 + 47n2 − 34n− 24

24für alle n ∈ N. Dann gilt:(i) Es ist f(n) > f(n− 1) für n ≥ 18 und 2f(n− 2) > f(n) für n ≥ 19.(ii) Ist n ∈ {17, 18} und D ein irreduzibler FSn-Modul, so liegt D entweder in Rn(m)∪{D(n)},oder es ist dim(D) > f(n).(iii) Für alle n ≥ 18 ist g(n) > 2f(n− 1), wobei g wieder die Funktion aus Korollar 7.2.2 sei.(iv) Für alle n ≥ 17 und D ∈ Rn(m+ 2) \Rn(m) ist dim(D) > f(n).Beweis. Die Aussage (i) haben wir bereits in Lemma 7.1.1 bewiesen. Weiter ist f(17) = 1155und f(18) = 1580. Die Behauptung (ii) folgt dann aus Bemerkung 7.0.2. Aussage (iii) folgt direktaus Lemma 7.2.4. Wir zeigen nun no h (iv). Es sei dazu n ≥ 17.(a) Wir betra hten zuerst den Fall Dλ ∈ Rn(4) \ Rn(3), d.h. also λ ∈ {(n − 4, 4), (n − 4, 3, 1)}.Dann folgt die Aussage wie im Fall p = 3 aus den Dimensionsformeln in [40℄. Es gilt nämli hdim(D(n−4,4)) ≥

n4 − 14n3 + 47n2 − 34n

24= f(n) + 1 > f(n),

dim(D(n−4,3,1)) ≥2n4 − 28n3 + 118n2 − 140n − 48

24> f(n).(b) Es sei jetzt Dλ ∈ Rn(5) \Rn(4). Dann ist λ ∈ {(n − 5, 5), (n − 5, 4, 1), (n − 5, 3, 2)}. Da dieBehauptung für n = 17, 18 stimmt, können wir n ≥ 19 annehmen und die Behauptung induktivzeigen.

λ := (n− 5, 5)Ist n ungerade, so hat λ reduzierte 0-Signatur + + + und reduzierte 1-Signatur −−, so dassna h Satz 4.1.3 [ResSn

Sn−1(Dλ) : D(n−1−4,4)] = 2 und daher dim(Dλ) ≥ 2 dim(D(n−1−4,4)) >

2f(n− 1) > f(n) na h (a) folgt.Ist n gerade, so ist ResSn

Sn−1(Dλ) ∼= Dµ mit µ := (n − 1 − 5, 5). Aus den Überlegungen fürden Fall, dass n gerade ist, folgt nun [ResSn

Sn−2(Dλ) : D(n−2−4,4)] = 2. Mit (a) erhalten wir

dim(Dλ) ≥ 2 dim(D(n−2−4,4)) > 2f(n− 2) > f(n).

λ := (n− 5, 4, 1)Ist n ungerade, so hat λ reduzierte 0-Signatur − und reduzierte 1-Signatur + + +−, so dassResSn

Sn−1(Dλ) ∼= D(n−1−4,4) ⊕ D(n−1−5,4,1) na h Satz 4.1.2 gilt. Na h Induktionsvoraussetzungund (a) erhalten wir dim(Dλ) > 2f(n− 1) > f(n).Im Fall, dass n gerade ist, hat λ reduzierte 0-Signatur −−− und reduzierte 1-Signatur ++++.Na h Satz 4.1.3 ist daher [ResSn

Sn−1(Dλ) : D(n−1−4,4)] = 3, und es folgt wegen (a) au h hier

dim(Dλ) > 3f(n− 1) > f(n).λ := (n− 5, 3, 2)Wenn n ungerade ist, dann hat λ reduzierte 0-Signatur +++ und reduzierte 1-Signatur +−−−,so dass [ResSn

Sn−1(Dλ) : D(n−1−4,3,1)] = 3 na h Satz 4.1.3 und somit dim(Dλ) > 3f(n−1) > f(n)na h (a) folgt.Ist s hlieÿli h n gerade, dann hat λ reduzierte 0-Signatur + +− und reduzierte 1-Signatur +−.Es ist in diesem Fall also ResSn

Sn−1(Dλ) ∼= D(n−1−5,3,2) ⊕D(n−1−4,3,1), und na h Induktion und(a) ergibt si h dim(Dλ) > 2f(n− 1) > f(n).Damit ist das Lemma bewiesen.

Kapitel 7. Moduln kleiner Dimensionen 78Lemma 7.2.6. Es gilt:(i) Im Fall n ≡ 3 (mod 4) ist D(n−2,2) ∼= S(n−2,2). Ferner gilt:dim(D(n−2,2)) =

12 (n2 − 5n+ 4), falls n ≡ 0 (mod 4)12 (n2 − 3n− 2), falls n ≡ 1 (mod 4)12 (n2 − 5n+ 2), falls n ≡ 2 (mod 4)12 (n2 − 3n), falls n ≡ 3 (mod 4).(ii) Im Fall n ≡ 1 (mod 4) ist D(n−3,3) ∼= S(n−3,3). Ferner gilt:

dim(D(n−3,3)) =

16(n3 − 9n2 + 14n), falls n ≡ 0 (mod 4)16(n3 − 6n2 + 5n), falls n ≡ 1 (mod 4)16(n3 − 9n2 + 20n − 12), falls n ≡ 2 (mod 4)16(n3 − 6n2 − n+ 6), falls n ≡ 3 (mod 4).(iii) Im Fall n ≡ 0 (mod 2) ist D(n−3,2,1) ∼= S(n−3,2,1). Ferner gilt:

dim(D(n−3,2,1)) =

13 (n3 − 6n2 + 8n), falls n ≡ 0 (mod 2)16 (2n3 − 15n2 + 25n), falls n ≡ 1 (mod 4)16 (2n3 − 15n2 + 25n − 6), falls n ≡ 3 (mod 4).Beweis. Die Aussagen (i) und (ii) folgen aus [72℄, S. 4.2.3, Kor. 4.2.4, S. 4.2.7 und Kor. 4.2.8.Wir zeigen (iii).Es sei also λ := (n−3, 2, 1). Im Fall n ≡ 0 (mod 2) ist Dλ Blo kführer eines Blo ks von FSn mitGewi ht n−6

2 und 2-Kern (3, 2, 1), d.h. unter allen Partitionen, die zu irreduziblen Moduln diesesBlo ks gehören, ist λ die lexikographis h gröÿte. Demna h gilt Dλ ∼= Y λ na h [72℄, S. 4.3.1, alsoau h Dλ ∼= Sλ , und die Hakenformel liefertdim(Dλ) =

n!

(n− 1)(n − 3)(n − 5)! · 3=n(n− 2)(n − 4)

3=n3 − 6n2 + 8n

3.Im Fall n ≡ 1 (mod 2) hat λ reduzierte 0-Signatur − und reduzierte 1-Signatur + + +−. Es istalso ResSn

Sn−1(Dλ) ∼= D(n−1−2,2) ⊕D(n−1−3,2,1). Aus obigen Überlegungen und (i) folgt dann

dim(Dλ) = dim(D(n−1−2,2)) + dim(D(n−1−3,2,1))

=

{16(2n3 − 15n2 + 25n), falls n ≡ 1 (mod 4)16(2n3 − 15n2 + 25n − 6), falls n ≡ 3 (mod 4).Bemerkung/Korollar 7.2.7. (i) Für n ≤ 14 kennen wir die Vertizes aller irreduziblen FSn-Moduln in Charakteristik 2 (siehe 9.1). Für n = 15, 16 sind die irreduziblen FSn-Modulnder Dimension ≤ 1000 genau die zu den Partitionen (15), (13, 2), (12, 2, 1), (11, 4), (8, 6, 1),

(14, 1), (12, 3), (8, 7) beziehungsweise (16), (15, 1), (14, 2), (9, 7), (13, 3), (13, 2, 1), (12, 4).(ii) Aus Satz 7.2.3 und Lemma 7.2.5 folgt, dass für n ≥ 17, p = 2 jeder irreduzible FSn-Modul in Rn(3) ∪ {D(n)} liegt oder Dimension >1155 hat. Die Moduln in Rn(1) sindgerade D(n) und D(n−1,1). Deren Vertizes sind stets die Defektgruppen der entspre hendenBlö ke, auÿer im Fall n = 4. Die Vertizes von D(3,1) sind konjugiert zu Q4.(iii) Es ist dim(D(n)) = 2n−1

2 , wenn n ungerade und dim(D(n)) = 2n−2

2 , wenn n gerade ist.Somit folgt dim(D(n)) > 1000 für n ≥ 21.

Kapitel 7. Moduln kleiner Dimensionen 79(iv) Ferner ist D(n−2,2) ∼= S(n−2,2) im Fall n ≡ 3 (mod 4) und D(n−3,3) ∼= S(n−3,3) im Fall n ≡ 1(mod 4). Die Vertizes dieser Moduln sind also na h Bemerkung 5.4.3 bekannt. Sie sind inSn zu Pn−4 × P

22 beziehungsweise zu Pn−6 × P

22 konjugiert. Die Dimensionsformeln ausobigem Lemma zeigen ferner dim(D(n−2,2)) > 1000 für n ≥ 48 und dim(D(n−3,3)) > 1000für n ≥ 21.(v) Der Modul D(n−3,2,1) ist na h obigem Lemma isomorph zum Spe htmodul S(n−3,2,1), falls

n gerade ist, so dass die Vertizes dann na h Bemerkung 5.4.3 bekannt sind. Sie sind inSn zu Pn−5 konjugiert. Ist n ungerade, so gilt D(n−1−2,2)|ResSn

Sn−1(D(n−3,2,1)) und au h

D(n−3,2,1)| IndSn

Sn−1(D(n−1−2,2)). Somit sind in diesem Fall die Vertizes von D(n−1−2,2) au hVertizes von D(n−3,2,1).(vi) Falls n ungerade ist, gilt D(n−3,3)| IndSn

Sn−2(D(n−4,2)) und au h D(n−4,2)|ResSn

Sn−2(D(n−3,3)).Also sind die Vertizes von D(n−4,2) dann au h Vertizes von D(n−3,3).(vii) Die Moduln D(n−2,2) mit n ≤ 20 beziehungsweise D(n−3,3) mit n ≤ 14 wurden bereitsin [72℄ untersu ht. Diese haben, mit Ausnahme der bereits in (iii) erwähnten sowie derModuln D(3,2), D(4,3) und D(5,3), stets die 2-Sylowgruppen von Sn als Vertizes. Weiterhaben D(3,2) und D(4,3) Vertex Q4, und D(5,3) hat Vertex Q8.(viii) Um nun also die Vertizes aller irreduziblen Moduln symmetris her Gruppen in Charakteri-stik 2 der Dimension ≤ 1000 zu bestimmen, müssen wir no h folgende Moduln betra hten:

•D(11,4), D(8,6,1), D(12,4),

•D(n−3,3) für n ∈ {16, 18, 20},•D(n−2,2) für n ∈ {21, 22, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 36, 37, 38, 40, 41, 42, 44, 45, 46},

•D(8,7) = D(15), D(9,7) = D(16), D(9,8) = D(17), D(10,8) = D(18), D(10,9) = D(19),

D(11,9) = D(20).Die Vertizes von D(8,6,1) sind in S15 konjugiert zu denen von D(8,6), da ResS15S14

(D(8,6,1)) ∼=

D(8,6) ⊕D(7,6,1) gilt und D(7,6,1) relativ S8-projektiv ist, D(8,6,1) dagegen ni ht. Weiter istD(11,4) ∼= S(11,4) und hat somit Vertex P 3

4 × P2 na h Bemerkung 5.4.3. Der Modul D(12,4)liegt im Hauptblo k von FS16, und Computerbere hnungen zeigen, dass er bezügli h kei-ner der maximalen Untergruppen von P16, wel he selbstzentralisierend in P16 sind, relativprojektiv ist. Folgli h hat er die 2-Sylowgruppen von S16 als Vertizes.Die Vertizes der Moduln D(n−3,3) für n = 16, 18, 20 sowie die der Moduln D(n−2,2) fürn = 21, . . . , 41, 45 wurden direkt mit den Computerprogrammen aus [72℄ bere hnet. Eshandelt si h in all diesen Fällen um die Defektgruppen der entspre henden Blö ke.Wir betra hten nun die Moduln D(40,2), D(42,2), D(44,2), und für n ≥ 41 bezei hnen wir mit

Vn jeweils einen Vertex von D(n−2,2) mit Vn ≤ Pn. Ferner gilt im Fall n ≡ 0 (mod 2) stetsResSn

Sn−1(D(n−2,2)) ∼= D(n−1−2,2) und somit Vn−1 ≤Sn Vn. Damit erhalten wir nun:

• Im Fall n = 42 ist P32 × P8 = V41 ≤S42 V42 ≤ P32 × P8 × P2. Da D(40,2) ni ht relativS41-projektiv ist, folgt V42 = P32 × P8 × P2.• Im Fall n = 44 ist P32 × P4 × P

32 = V43 ≤S44 V44 ≤ P32 × P8 × P4 = P44. Weiter besitzt

P44 einerseits genau eine in S44 zu P32 konjugierte Untergruppe na h Bemerkung/Korollar3.1.6 und andererseits genau 31 Konjugationsklassen maximaler Untergruppen, wel he P32enthalten. Computerbere hnungen zeigen, dass D(42,2) bezügli h keiner dieser maximalenUntergruppen relativ projektiv ist. Somit folgt V44 = P32 × P8 × P4 = P44.• Im Fall n = 46 ist P32 × P8 × P4 = V45 ≤S46 V46 ≤ P32 × P8 × P4 × P2. Da D(44,2) ni htrelativ S45-projektiv ist, folgt V46 = P32 × P8 × P4 × P2.

Kapitel 7. Moduln kleiner Dimensionen 80Somit handelt es si h bei den Vertizes au h in diesen Fällen jeweils um die 2-Sylowgruppen vonSn, also um die Defektgruppen des Hauptblo ks.S hlieÿli h bestimmen wir no h die Vertizes der Spinmoduln D(15), . . . ,D(20). Im Beweis vonLemma 7.2.1 hatten wir bereits gesehen, dass D(n) im Fall n ≡ 1 (mod 4) reduzierte 1-Signatur++ und im Fall n ≡ 3 (mod 4) reduzierte 1-Signatur −− hat. Genauer gilt e(2)1 (D(n)) ∼= D(n−2)im Fall n ≡ 3 (mod 4) sowie f (2)

1 (D(n)) ∼= D(n + 2) im Fall n ≡ 1 (mod 4). Somit habenD(4m+ 1) und D(4m+ 3) für alle m ∈ N∗ stets einen gemeinsamen Vertex.Es seien nun n ∈ {15, . . . , 20} und P ≤ Pn ein Vertex von D(n). Computerbere hnungen zeigendann, dass Folgendes gilt:

P =

Q16 für n = 16, 17

P18 für n = 18,

Q20 für n = 20.Aus obigen Überlegungen und den Ergebnissen aus [72℄, Kap. 7 folgt dann s hlieÿli h P = Q8×Q4im Fall n = 15 und P = Q16 im Fall n = 19.7.3 Irreduzible Moduln in Charakteristik p > 3Abs hlieÿend betra hten wir den Fall p > 3. Dann giltLemma 7.3.1 ([9℄, L. 1.20). Es seien n ≥ 13 und F ein Körper der Charakteristik p. Ferner seiD ein irreduzibler FSn-Modul. Dann liegt D in Rn(2), oder es ist

dim(D) ≥n3 − 9n2 + 14n

6.Bemerkung 7.3.2. Obiges Lemma zeigt also, dass für n ≥ p2 jeder irreduzible FSn-Modulin Rn(2) liegt oder Dimension > 1000 hat. Die Vertizes der Moduln aus Rn(2) sind na h [72℄Satz 4.2.6 und Satz 4.1.4 stets die Defektgruppen der entspre henden Blö ke. Im Fall n < p2gilt dies für alle irreduziblen FSn-Moduln. Somit sind die Vertizes der irreduziblen Modulnsymmetris her Gruppen in Charakteristik p > 3, deren Dimensionen ≤ 1000 sind, stets dieDefektgruppen der zugehörigen Blö ke.

Teil IIIComputerbere hnungen

81

Kapitel 8Methoden zur Vertexbere hnungIm Folgenden seien stets G eine Gruppe und F ein Körper mit char(F ) = p > 0. In [72℄ entwi kel-te R. Zimmermann einen Algorithmus zur Vertexbere hnung unzerlegbarer FG-Moduln. DessenMAGMA-Implementierung bildet die Grundlage der im Rahmen dieser Arbeit dur hgeführtenComputerbere hnungen. Allerdings kann dieser Algorithmus für Moduln groÿer Dimensionen ausSpei herplatzgründen meist ni ht mehr direkt angewendet werden. Zwei der Hauptprobleme stel-len in diesem Zusammenhang das Eins hränken von FG-Moduln auf Untergruppen von G unddas Bestimmen der unzerlegbaren direkten Summanden sol her Eins hränkungen dar. Wir wer-den daher einige Verfahren erläutern, wel he es ermögli hen, dieses Problem zu umgehen. Dabeiwerden wir weiterhin alle theoretis hen Aussagen für Linksmoduln formulieren, die jeweiligenAlgorithmen später jedo h entspre hend für Re htsmoduln implementieren.8.1 Abspalten unzerlegbarer direkter Summanden mit zyklis henVertizesBemerkung 8.1.1. Es sei P eine p-Untergruppe von G. Ferner sei M ein relativ P -projektiverunzerlegbarer FG-Modul mit Vertex Q ≤ P . Ist weiter ResGP (M) = M1 ⊕ · · · ⊕Mr mit unzer-legbaren FP -Moduln M1, . . . ,Mr, und ist Qi ≤ P ein Vertex von Mi für i = 1, . . . , r, so giltna h Satz 2.2.10 dann Qi ≤G Q für i = 1, . . . , r und Qj ∼G Q für ein j ∈ {1, . . . , r}. Kenntman also die Vertizes der Summanden M1, . . . ,Mr, so kennt man au h die Vertizes von M . Dieprojektiven Summanden Mi können bei der Bere hnung von Q verna hlässigt werden.Der na hfolgende Algorithmus dient dazu, genau diese unzerlegbaren projektiven Summandenvon ResGP (M) abzuspalten, ohne die gesamte Zerlegung ResGP (M) = M1 ⊕ · · · ⊕Mr explizit zubere hnen. Dabei bea hte man, dass für einen FP -Modul N stets Folgendes gilt: Ist x ∈ N , undist dim(FPx) = |P | = dim(FP ), so ist die Abbildung FP −→ FPx, g 7−→ gx ein Isomorphis-mus von FP -Moduln. Folgli h ist FPx ein projektiver Untermodul von N und na h Bemerkung2.2.3 dann sogar ein direkter Summand von N .Algorithmus: ProjSummands• Eingabe: eine p-Gruppe P und ein FP -Modul N , wel her unzerlegbare projektive Sum-manden N1, . . . , Nl für ein l ∈ N hat• Ausgabe: ein zu N/(N1 ⊕ · · · ⊕Nk) isomorpher FP -Modul für ein k ≤ l• Falls dim(N) > 0 ist, wähle ein Element x ∈ N zufällig und bere hne den davon erzeugtenFP -Untermodul FPx von N .• Falls dim(FPx) = |P | ist, setze N := N/(FPx) und starte den Algorithmus mitdiesem neuen Modul N .• Andernfalls bleibt N unverändert, und der Algorithmus wird wiederholt.82

Kapitel 8. Methoden zur Vertexbere hnung 83Der Algorithmus stoppt, falls dim(N) = 0 ist, oder, falls na h 10 Versu hen kein Ele-ment x ∈ N mit dim(FPx) = |P | gefunden wurde, und gibt den bis dahin bere hnetenFaktormodul von N zurü k.Das obige Verfahren garantiert ni ht, dass alle unzerlegbaren projektiven Summanden von Ngefunden werden. Besitzt N jedo h einen projektiven Summanden, so existiert ein x ∈ N , wel hesdiesen erzeugt, und in allen konkreten Bere hnungen wurde sol h ein Element na h hö hstens 10Versu hen au h stets gefunden.Bemerkung 8.1.2. Es gelten wieder die Voraussetzungen aus der vorigen Bemerkung. Ist Mzusätzli h irreduzibel, und sind die Defektgruppen des Blo ks von M ni ht zyklis h, so sind au hdie Vertizes vonM na h [19℄ ni ht zyklis h. Im Fall G = Sn gilt dies für alle irreduziblen Modulnin Blö ken vom Defekt > 1. Daher werden wir als nä hstes einen Algorithmus entwi keln, wel herunzerlegbare direkte Summanden eines FP -Moduls abspaltet, die zyklis he Vertizes haben. Wirtre�en zunä hst wieder einige Vorüberlegungen.Dazu betra hten wir einen Körper K, eine Gruppe H und eine kurze exakte SequenzE : 0 −→ L

ι−→ N

ν−→ N/L −→ 0von KH-Moduln. Dabei seien L ein Untermodul von N , ι die Inklusionsabbildung und ν derkanonis he Epimorphismus. Na h [12℄, Thm. 1.5.8 zerfällt die Sequenz E genau dann, wenn

N ∼= L⊕ (N/L) gilt.Sind nunK = F ,H = P , C = 〈c〉 eine zyklis he Untergruppe von P sowie L = IndPC(X) für einenabsolut unzerlegbaren FC-Modul X, so ist L na h Satz 2.2.11 ebenfalls absolut unzerlegbar undhat zyklis he Vertizes. Auÿerdem ist L relativ C-projektiv. Na h Satz 2.2.1 zerfällt die SequenzE also genau dann, wenn die kurze exakte Sequenz

E ′ : 0 −→ ResPC(L) −→ ResPC(N) −→ ResPC(N/L) −→ 0von FC-Moduln zerfällt. Demzufolge ist L genau dann ein direkter Summand von N , wennResPC(N) ∼= ResPC(L) ⊕ ResPC(N/L) gilt. Sind weiter ∆ eine von ResPC(N) und Γ eine vonResPC(L) ⊕ ResPC(N/L) induzierte Matrixdarstellung von FC, so ist L genau dann ein direk-ter Summand von N , wenn ∆(c) und Γ(c) ähnli h sind.Konkrete Bere hnungen zeigen, dass die unzerlegbaren direkten Summanden von N mit zykli-s hem Vertex C in der Regel isomorph zum Permutationsmodul IndPC(FC) sind. Wir betra htendaher jetzt den SpezialfallX = FC . Dann gilt HomFP (IndPC(FC),N) ∼= NC (als F -Vektorräume).Hierbei bezei hne NC die Menge aller Fixpunkte von N unter der Operation von C. Ist nunx ∈ NC mit dimF (FPx) = |P : C| = dimF (IndPC(FC)), so ist FPx ein zu IndPC(FC) isomorpherUntermodul von N .Algorithmus: Cy li VertexSummands• Eingabe: eine p-Gruppe P und ein FP -Modul N , wel her für ein l ∈ N unzerlegbare direkteSummanden N1, . . . , Nl mit zyklis hen Vertizes besitzt• Ausgabe: ein zu N/(N1 ⊕ · · · ⊕Nk) isomorpher FP -Modul für ein k ≤ l• N := ProjSummands(P,N);• Bere hne Repräsentanten C1, . . . , Cm für die Konjugationsklassen zyklis her Untergruppenvon P mit |Ci| > 1 für i = 1, . . . ,m.• Setze i := 1.

Kapitel 8. Methoden zur Vertexbere hnung 84• Setze C := Ci.

∗ Falls dim(N) ≥ |P : C| ist:• Bere hne NC .• Setzte j := 0.◦ Wähle ein Element x ∈ NC zufällig, und bere hne FPx.• Ist dim(FPx) = |P : C|, teste, ob ResPC(FPx) ⊕ ResPC(N/(FPx)) ∼= ResPC(N)ist.• Falls ja, setze N := N/(FPx), und wiederhole ∗ mit diesem neuen Modul.• Andernfalls erhöhe i um 1.

• Ist j < 10, setze j := j + 1, und gehe zu ◦.• Andernfalls, erhöhe i um 1.

∗ Andernfalls erhöhe i um 1.Na hdem für alle i = 1, . . . ,m getestet wurde, ob N einen zu IndPCi(FC) isomorphen direktenSummanden besitzt, wird der bere hnete Faktormodul von N zurü kgegeben.Für jede Gruppe Ci werden jeweils hö hstens 10 Versu he unternommen, einen zu IndPCi

(FC)isomorphen direkten Summanden von N zu �nden. Wieder ist somit ni ht garantiert, dass derAlgorithmus tatsä hli h alle unzerlegbaren direkten Summanden von N mit zyklis hen Vertizes�ndet. Besitzt jedo h N für eine zyklis he Gruppe Ci einen zu IndPCi(FCi

) isomorphen Summan-den, so existiert au h ein x ∈ NCi , wel hes diesen erzeugt. Und au h hier rei hten in konkretenBere hnungen 10 Versu he stets aus, um ein sol hes Element tatsä hli h zu �nden.Der Algorithmus �Cy li VertexSummands� spaltet zu Beginn mittels �ProjSummands� unzer-legbare projektive Summanden und ans hlieÿend unzerlegbare Summanden mit ni httrivialenzyklis hen Vertizes ab.8.2 KondensationAls nä hstes betra hten wir das Verfahren der Kondensation und fassen die dafür wi htigenAussagen aus [56℄ und [57℄ zusammen, formulieren diese jedo h für Linksmoduln. In diesemZusammenhang werden wir einige kategorientheoretis he Aussagen benutzen. Für die Detailsverweisen wir auf [2℄.Bemerkung 8.2.1. Zunä hst seien K ein Körper, A eine K-Algebra und e ein Idempotent inA. Dabei lassen wir au h char(K) = 0 zu. Ferner bezei hnen wir mit A-mod die Kategorie derA-Linksmoduln. Dann erhält man einen additiven, exakten Funktor

Ce : A-mod −→ eAe-modmit Ce(M) := eM und Ce(f) := f|eM für alle A-Moduln M und N sowie alle f ∈ HomA(M,N).Dieser Funktor heiÿt Kondensationsfunktor bezügli h e, und den eAe-Modul eM bezei hnetman als kondensierten Modul .Der additive FunktorAe⊗eAe? =: Ue : eAe-mod −→ A-modmit Ue(f) = idAe⊗f für alle eAe-Moduln M, N und alle f ∈ HomeAe(M, N) heiÿt Unkonden-sationsfunktor bezügli h e. Ist M ein eAe-Modul, so bezei hnet man den A-Modul Ue(M) alsunkondensierten Modul. Der Funktor Ue ist jedo h im Gegensatz zu Ce im Allgemeinen ni htexakt.

Kapitel 8. Methoden zur Vertexbere hnung 85Ist I ein Repräsentantensystem für die Isomorphieklassen irreduzibler A-Moduln, so bildet{eD|D ∈ I und eD 6= 0} ein Repräsentantensystem für die Isomorphieklassen irreduzibler eAe-Moduln. Ist M ein A-Modul mit der Eigens haft, dass keiner seiner Kompositionsfaktoren von eannulliert wird, so sind EndA(M) und EndeAe(eM) als K-Algebren isomorph. Insbesondere istin diesem Fall der A-Modul M genau dann (absolut) unzerlegbar beziehungsweise (absolut) irre-duzibel, wenn der eAe-Modul eM (absolut) unzerlegbar beziehungsweise (absolut) irreduzibel ist.Falls eD 6= 0 für alle D ∈ I gilt, so ist der Funktor Ue exakt. Ferner erhält man in dem Fall na-türli he Äquivalenzen Ce◦Ue ∼ IdeAe-mod und Ue◦Ce ∼ IdA-mod. Folgli h sind die F -Algebren Aund eAe Morita-äquivalent. Insbesondere ist dann EndA(M) ∼= EndeAe(eM) für jeden A-ModulM , und es gilt Ue(Ce(M)) ∼= M sowie Ce(Ue(M)) ∼= M für jeden A-Modul M und jeden eAe-Modul M .Wir betra hten nun den Fall K = F und A = FG. Für eine Untergruppe H von G mit p ∤ |H|ist

e := eH :=1

|H|·∑

h∈H

h ∈ FHdas Hauptblo kidempotent in FH und damit insbesondere ein Idempotent in FG. Für denentspre henden Kondensationsfunktor Ce und jeden FG-Modul M ist dannCe(M) = eM = MH ,wobei MH die Menge aller Fixpunkte von M unter der Operation von H sei. Man spri ht daherau h von Fixpunktkondensation bezügli h H. Ferner gilt dimF (eM) = [ResGH(M) : FH ].Bemerkung 8.2.2. Wir werden das Verfahren der Fixpunktkondensation dazu benutzen, einen

FG-Modul M bezügli h einer mögli hst groÿen p′-Untergruppe H von G zu kondensieren. Derkondensierte Modul eM hat dann in der Regel eine deutli h geringere Dimension alsM . Dies hatunter anderem zur Folge, dass unzerlegbare direkte Summanden des eFGe-Moduls eM e�zientbestimmt werden können, im Gegensatz zu denen des FG-Moduls M selbst. Die Kenntnis derunzerlegbaren direkten Summanden von eM lässt dann na h obigen Überlegungen wiederumRü ks hlüsse auf die unzerlegbaren direkten Summanden von M zu.Für den kondensierten Modul M := eM haben wir stets eine Einbettung ι : M −→M . Ist fernerN ein eFGe-Untermodul von M , so existiert au h eine Einbettung ι : N −→ M . Der kleinsteFG-Untermodul vonM , der im(ι◦ ι) enthält, ist genau der unkondensierte Modul Ue(N), falls Ueexakt ist, und isomorph zu einem Faktormodul von Ue(N ), falls Ue ni ht exakt ist. Bei unserenkonkreten Bere hnungen werden die Einbettungen ι und ι explizit gegeben sein. Dies wird es unsdann gegebenenfalls ermögli hen, den unkondensierten Modul Ue(N) tatsä hli h als Untermodulvon M zu konstruieren.In praktis hen Anwendungen ergibt si h allerdings das Problem, dass man die Algebra eFGeselbst eventuell ni ht explizit konstruieren kann. Wir werden daher statt dessen für ein Erzeu-gendensystem G von G die von den Elementen ege mit g ∈ G erzeugte F -Algebra B konstruieren.Ferner arbeiten wir dann mit ReseFGeB (eM) an Stelle von eM . Dabei kann B dur haus eine e h-te Unteralgebra von eFGe sein. Aus der Unzerlegbarkeit von ReseFGeB (eM) zum Beispiel folgtjedo h weiterhin die von eM . Somit liefert au h die Analyse des B-Moduls ReseFGeB (eM) Infor-mationen über die Struktur des Ausgangsmoduls M .8.3 Benson-TestS hlieÿli h betra hten wir ein Verfahren, wel hes ermögli ht, für einen unzerlegbaren FG-ModulM Aussagen darüber zu tre�en, ob eine bestimmte elementarabels he Untergruppe E von G in

Kapitel 8. Methoden zur Vertexbere hnung 86einem Vertex von M enthalten sein muss. Auf diese Weise kann dann für gewisse Untergruppenvon G grundsätzli h ausges hlossen werden, dass sie überhaupt als Vertizes von M in Fragekommen. Wir nehmen dabei ab jetzt an, dass der Körper F ⊃ Fp algebrais h abges hlossen ist.Dann erhalten wir:Lemma 8.3.1. Es seien n ∈ N∗, V ein n-dimensionaler Fp-Vektorraum mit Basis {b1, . . . , bn}und α1, . . . , αn ∈ F linear unabhängig über Fp. Ist ferner U ⊂ V ein e hter Fp-Untervektorraumvon V , so gilt:x := α1 ⊗ b1 + · · ·+ αn ⊗ bn 6∈ F ⊗Fp U.Beweis. Wir nehmen an, dass U ⊂ V ein e hter Fp-Untervektorraum von V ist, so dass F ⊗Fp Udas oben de�nierte Element x enthält. Ferner seien dimFp(U) = m und {u1, . . . , um} eine Fp-Basis von U . Dann existieren Elemente β1, . . . , βm ∈ F mit x = β1⊗u1+· · ·+βm⊗um. Auÿerdemlässt si h ui für jedes i ∈ {1, . . . ,m} in der Form ui =

∑nj=1 γijbj mit gewissen γij ∈ Fp s hreiben.Somit ist

n∑

j=1

αj ⊗ bj =

m∑

i=1

βi ⊗ ui =

m∑

i=1

n∑

j=1

βi ⊗ γijbj =

n∑

j=1

m∑

i=1

γijβi ⊗ bj.Für j = 1, . . . , n ist folgli h αj =∑m

i=1 γijβi ∈∑m

i=1 Fpβi. Wegen m < n müssen α1, . . . , αndaher linear abhängig über Fp sein, im Widerspru h zur Voraussetzung, und die Behauptungfolgt.Satz 8.3.2 ([5℄). Es seien G eine Gruppe und M ein unzerlegbarer FG-Modul mit Vertex P .Ferner seien E := 〈g1, . . . , gn〉 ≤ G eine elementarabels he Gruppe der Ordnung pn für einn ∈ N∗ mit E �G P sowie α1, . . . , αn ∈ F linear unabhängig über Fp. Dann gilt:(i) ResFGF 〈u〉(M) ist frei. Dabei sei 〈u〉 die von u := uα := 1 +

∑ni=1 αi(gi − 1) ∈ 1 + J(FE) ⊆

U(FE) erzeugte zyklis he vers hobene Untergruppe von FE.(ii) dimF ((u− 1)p−1 ·M) = dimF (M)/p.Beweis. Der FP -Modul L sei eine Quelle von M . Dann ist also M | IndGP (L) und somitResGE(M)|ResGE(IndGP (L)) ∼=

⊕

EgP∈E\G/P

IndEE∩gPg−1(ResgPg−1

E∩gPg−1(gL))na h Satz 2.1.3. Wegen E �G P existieren also ein r ∈ N∗, maximale Untergruppen Ei von Eund FEi-Moduln Ni für i = 1, . . . , r mit

ResGE(M) =

r⊕

i=1

IndEEi(Ni). (∗)Die Abbildung

f : F ⊗Fp E −→ J(FE)/J(FE)2, β ⊗ g 7−→ β(g − 1) + J(FE)2ist ein Isomorphismus von F -Vektorräumen. Na h Lemma 8.3.1 ist auÿerdem α1 ⊗ g1 + · · · +αn ⊗ gn 6∈ F ⊗Fp U für jede e hte Untergruppe U von E. Sind also i ∈ {1, . . . , r} und Ei =〈x1, . . . , xn−1〉 eine der maximalen Untergruppen von E aus (∗), so gilt:

(u− 1) + J(FE)2 = α1(g1 − 1) + · · ·+ αn(gn − 1) + J(FE)2 6∈n−1∑

j=1

F [(xj − 1) + J(FE)2].Demzufolge ist {(x1 − 1) + J(FE)2, . . . , (xn−1 − 1) + J(FE)2, (u − 1) + J(FE)2} eine F -Basisvon J(FE)/J(FE)2. Daraus folgt, dass FE = FE für die elementarabels he Untergruppe E :=

Kapitel 8. Methoden zur Vertexbere hnung 87〈x1, . . . , xn−1, u〉 von 1 + J(FE) gilt. Insbesondere ist also |E| = pn und E = Ei〈u〉. Damiterhalten wir nun

IndEEi(Ni) = FE ⊗FEi

Ni = FE ⊗FEiNi = IndEEi

(Ni)undResFEF 〈u〉(IndEEi

(Ni)) = ResFEF 〈u〉(IndEEi(Ni)) ∼= Ind

〈u〉〈u〉∩Ei

(ResEi

〈u〉∩Ei(Ni)) = Ind

〈u〉1 (ResEi

1 (Ni)).Dies ist ein freier F 〈u〉-Modul, und wegenResFGF 〈u〉(M) = ResFEF 〈u〉(ResFGFE(M)) ∼=

r⊕

j=1

ResFEF 〈u〉(IndEEj(Nj))ist au h ResFGF 〈u〉(M) frei. Daher ist also ResFGF 〈u〉(M) ∼= t · F 〈u〉 = F 〈u〉 ⊕ · · · ⊕ F 〈u〉︸ ︷︷ ︸

t Summanden mit t :=

dimF (M)/p.S hlieÿli h betra hten wir die F -lineare AbbildungF 〈u〉 −→ F 〈u〉, x 7−→ (u− 1)p−1x = 〈u〉+x.Diese hat Bild (u − 1)p−1F 〈u〉 = J(F 〈u〉)p−1, also Rang 1 na h [12℄, L. 4.6.1, und sie induzierteine F -lineare Abbildung t · F 〈u〉 −→ t · F 〈u〉 vom Rang t. Damit folgt au h Behauptung (ii),und der Satz ist bewiesen.Bemerkung 8.3.3. Der Satz zeigt also, dass P für den Fall, dass ResFGF 〈u〉(M) ni ht frei ist, einezu E konjugierte Untergruppe von G enthalten muss. Mit den Bezei hnungen aus 2.6 bedeutetdas wiederum, dass E in einem Vertex von M enthalten sein muss, falls ein α = (α1, . . . , αn) ∈

V rE(ResGE(M)) existiert, so dass α1, . . . , αn linear unabhängig über Fp sind.

Kapitel 9Vertexbere hnungenIn den na hfolgenden Tabellen fassen wir unsere Ergebnisse über die irreduziblen FSn-Modulnin Charakteristik 2 und 3 zusammen, wel he mit dem Computer untersu ht wurden. Dabei sinddie irreduziblen Moduln dur h die zugehörigen p-regulären Partitionen parametrisiert und jeweilsna h Blö ken sortiert. Jeder Blo k wiederum ist dur h seinen p-Kern parametrisiert.Stehen zwei Partitionen nebeneinander, so sind diese Mullineux-konjugiert. Die Tabellen ent-halten für jeden irreduziblen Modul ferner dessen Dimension, eine Defektgruppe seines Blo ks,einen Vertex sowie die Dimension einer Quelle, sofern diese bere hnet werden konnte. Ist einaufgelisteter irreduzibler Modul auÿerdem zu gewissen Spe htmoduln isomorph, so beeinhaltetdie Spalte �Spe ht� die zugehörigen Partitionen dieser Spe htmoduln. Die Bere hnungen wurdenzunä hst stets über den Primkörpern F2 beziehungsweise F3 dur hgeführt. Stehen für p = 2 ineiner Zeile zwei Dimensionswerte der Quellen eines Moduls, so ist der erste die Dimension derQuellen über F2. Der zweite ist die Dimension der Quellen über F4 oder F8, wel he dann stetsabsolut unzerlegbar sind.Falls wir ni ht explizit etwas anderes voraussetzen, wird es si h bei dem Körper F in diesemKapitel stets um den Primkörper Fp für p = 2, 3 und bei allen Moduln um Re htsmodulnhandeln.9.1 Vertizes irreduzibler Moduln in Charakteristik 2In [72℄ wurden bereits die Vertizes aller irreduziblen Moduln in Charakteristik 2 bis n = 12 sowiedie Dimensionen der Quellen bis n = 11 bere hnet.n = 1, . . . , 5

n Blo k Def. Partition Dim. Vertex Quelle Spe ht1 (1) 1 (1) 1 1 1 (1)2 ∅ P2 (2) 1 P2 1 (2) (12)3 (1) P2 (3) 1 P2 1 (3) (13)(2, 1) 1 (2, 1) 2 1 1 (2, 1)4 ∅ P4 (4) 1 P4 1 (4) (14)

(3, 1) 2 Q4 1 (22)5 (1) P4 (5) 1 P4 1 (5) (15)(3, 2) 4 Q4 4/2 - -

(2, 1) P2 (4, 1) 4 P2 1 (4, 1) (2, 13)

88

Kapitel 9. Vertexbere hnungen 89n = 6, . . . , 11

n Blo k Def. Partition Dim. Vertex Quelle Spe ht6 ∅ P6 (6) 1 P6 1 (6) (16)(5, 1) 4 P6 4 - -(4, 2) 4 P6 4 - -

(3, 2, 1) 1 (3, 2, 1) 16 1 1 (3, 2, 1)7 (1) P6 (7) 1 P6 1 (7) (17)(5, 2) 14 P 3

2 1 (5, 2) (22, 13)(4, 2, 1) 20 P6 4 - -

(2, 1) P4 (6, 1) 6 P4 1 (6, 1) (2, 15)(4, 3) 8 Q4 4/2 - -8 ∅ P8 (8) 1 P8 1 (8) (18)(7, 1) 6 P8 6 - -(6, 2) 14 P8 14 - -(5, 3) 8 Q8 4 - -

(4, 3, 1) 40 Q8 20 - -(3, 2, 1) P2 (5, 2, 1) 64 P2 1 (5, 2, 1) (3, 2, 13)9 (1) P8 (9) 1 P8 1 (9) (19)

(7, 2) 26 P8 26 - -(6, 2, 1) 78 P8 14 - -(5, 4) 16 Q8 8 - -

(5, 3, 1) 40 Q8 20 - -(2, 1) P6 (8, 1) 8 P6 1 (8, 1) (2, 17)

(6, 3) 48 P 32 1 (6, 3) (23, 13)

(4, 3, 2) 160 Q4 × P2 4/2 - -10 ∅ P10 (10) 1 P10 1 (10) (110)(9, 1) 8 P10 8 - -(8, 2) 26 P10 26 - -(7, 3) 48 P10 48 - -(6, 4) 16 P10 16 - -

(6, 3, 1) 198 P10 70 - -(5, 3, 2) 200 P10 200 - -

(3, 2, 1) P4 (7, 2, 1) 160 P4 1 (7, 2, 1) (3, 2, 15)(5, 4, 1) 128 Q4 4/2 - -

(4, 3, 2, 1) 1 (4, 3, 2, 1) 768 1 1 (4, 3, 2, 1)11 (1) P10 (11) 1 P10 1 (11) (111)(9, 2) 44 P4 × P

32 1 (9, 2) (22, 17)

(8, 2, 1) 186 P10 26 - -(7, 4) 164 P10 20 - -

(7, 3, 1) 198 P10 70 - -(6, 4, 1) 144 P10 16 - -(5, 4, 2) 416 P10 96 - -

(2, 1) P8 (10, 1) 10 P8 1 (10, 1) (2, 18)(8, 3) 100 P8 26 - -(6, 5) 32 Q8 8 - -

(6, 3, 2) 848 P4 ×Q4 8 - -(5, 3, 2, 1) 1168 Q8 20 - -

Kapitel 9. Vertexbere hnungen 90n = 12Blo k Def. Partition Dim. Vertex Quelle Spe ht

∅ P12 (12) 1 P12 1 (12) (112)(11, 1) 10 P12 10 - -(10, 2) 44 P12 44 - -(9, 3) 100 P12 100 - -(8, 4) 164 P12 164 - -

(8, 3, 1) 570 P12 314 - -(7, 5) 32 Q12 32/16 - -

(7, 3, 2) 1046 P12 534 - -(6, 5, 1) 288 Q12 288/144 - -(6, 4, 2) 416 P12 416 - -

(5, 4, 2, 1) 2368 Q12 - -(3, 2, 1) P6 (9, 2, 1) 320 P6 1 (9, 2, 1) (3, 2, 17)

(7, 4, 1) 1408 P 32 1 (7, 4, 1) (3, 22, 13)

(5, 4, 3) 1792 Q4 × P2 4/2 - -(4, 3, 2, 1) P2 (6, 3, 2, 1) 5632 P2 1 (6, 3, 2, 1) (4, 3, 2, 13)Die Vertizes der irreduziblen FS12-Moduln wurden, wie bereits erwähnt, in [72℄ bestimmt. MitAusnahme des Moduls D(5,4,2,1) konnten mit dem Computer au h die Quellen der Moduln imHauptblo k bere hnet werden. Ferner ist der Blo k mit 2-Kern (3, 2, 1) S opes-äquivalent zumBlo k von FS9 mit 2-Kern (2, 1). So kommen die entspre henden Quellendimensionen zustande.Der Modul D(6,3,2,1) ist ein Spe htmodul und hat somit triviale Quelle.

n = 13Blo k Def. Partition Dim. Vertex Quelle Spe ht(1) P12 (13) 1 P12 1 (13) (113)

(11, 2) 64 P12 32 - -(10, 2, 1) 364 P12 44 - -

(9, 4) 364 P12 172 - -(9, 3, 1) 570 P12 314 - -(8, 4, 1) 1572 P12 164 - -(7, 6) 64 Q8 ×Q4 32/16 - -

(7, 5, 1) 288 Q12 288/144 - -(7, 4, 2) 2510 P12 846 - -(6, 4, 3) 2208 P12 416 - -

(5, 4, 3, 1) 8448 Q12 512 - -(2, 1) P10 (12, 1) 12 P10 1 (12, 1) (2, 111)

(10, 3) 208 P4 × P32 1 (10, 3) (23, 17)

(8, 5) 560 P10 20 - -(8, 3, 2) 2848 P6 ×Q4 4/2 - -(6, 5, 2) 1728 Q8 × P2 8 - -

(7, 3, 2, 1) 8008 P10 70 - -(6, 4, 2, 1) 3200 P10 96 - -Wir betra hten zuerst den Blo k mit 2-Kern (2, 1). Mit den Bezei hnungen aus 4.1 und i = 1erhalten wir dann zunä hst:

(8, 5)←→ (7, 4), (7, 3, 2, 1) ←→ (7, 3, 1), (6, 4, 2, 1) ←→ (5, 4, 2).So kommen die Aussagen über Vertizes und Quellen der entspre henden Moduln zustande.Weiter sind D(12,1) und D(10,3) irreduzible Spe htmoduln zu 2-regulären Partitionen, haben also

Kapitel 9. Vertexbere hnungen 91triviale Quellen. Die Aussagen über ihre Vertizes folgen aus Bemerkung 5.4.3. Die Vertizes undQuellen der beiden übrigen irreduziblen Moduln dieses Blo ks wurden mit dem Computer be-re hnet.Für den Hauptblo k gilt mit i = 0:(10, 2, 1) ←→ (10, 2), (9, 3, 1) ←→ (8, 3, 1), (8, 4, 1) ←→ (8, 4),

(7, 5, 1) ←→ (6, 5, 1), (6, 4, 3) ←→ (6, 4, 2).Daraus folgen die Aussagen über Vertizes und Quellen der zugehörigen Moduln. Die Vertizes undQuellen der restli hen irreduziblen Moduln dieses Blo ks wurden mit dem Computer bestimmt.Dabei wurde insbesondere der Modul D(5,4,3,1) der Dimension 8448 auf P12 einges hränkt. DerAlgorithmus aus Bemerkung 8.1.1 �ndet alle sieben unzerlegbaren projektiven Summanden dieserEins hränkung. Der Faktormodul na h diesen hat Dimension 1280 und besitzt einen absolutunzerlegbaren direkten Summanden der Dimension 1024 mit Vertex Q12. Die Eins hränkungdieses Summanden auf Q12 ist also eine direkte Summe zweier absolut unzerlegbarer Modulnder Dimension 512, die beide Vertex Q12 haben. Folgli h besitzt D(5,4,3,1) Quellen der Dimension512.n = 14Blo k Def. Partition Dim. Vertex Quelle Spe ht

∅ P14 (14) 1 P14 1 (14) (114)(13, 1) 12 P14 12 - -(12, 2) 64 P14 64 - -(11, 3) 208 P14 208 - -(10, 4) 364 P14 364 - -

(10, 3, 1) 1300 P14 404 - -(9, 5) 560 P14 560 - -

(9, 3, 2) 3418 P14 - -(8, 6) 64 P14 64 - -

(8, 5, 1) 4576 P14 - -(8, 4, 2) 2510 P14 1486 - -(7, 5, 2) 2016 P14 992 - -

(7, 4, 2, 1) 19240 P14 - -(6, 5, 3) 4704 P14 1120 - -

(6, 4, 3, 1) 11648 Q14 - -(3, 2, 1) P8 (11, 2, 1) 560 P8 1 (11, 2, 1) (3, 2, 19)

(9, 4, 1) 3808 P8 26 - -(7, 6, 1) 768 Q8 8 - -(7, 4, 3) 10880 P4 ×Q4 8 - -

(5, 4, 3, 2) 35840 E8 12/4 - -(4, 3, 2, 1) P4 (8, 3, 2, 1) 23296 P4 1 (8, 3, 2, 1) (4, 3, 2, 15)

(6, 5, 2, 1) 13312 Q4 4/2 - -Der Blo k mit 2-Kern (4, 3, 2, 1) ist S opes-äquivalent zum Blo k von FS10 mit 2-Kern (3, 2, 1).Für den Blo k mit 2-Kern (3, 2, 1) und i = 0 gilt:(11, 2, 1) ←→ (10, 1), (9, 4, 1) ←→ (8, 3), (7, 6, 1) ←→ (6, 5),

(7, 4, 3) ←→ (6, 3, 2).Damit erhalten wir die Vertizes und Quellen der entspre henden Moduln. Wir untersu hen denModul D(5,4,3,2) =: D der Dimension 35840. Na h [29℄, Cor. 3.21 ist D ∼= D(8,6) ⊗ D(9,5). Wir

Kapitel 9. Vertexbere hnungen 92s hränken beide Faktoren auf F2S8 ein und erhalten ResS14S8

(D(8,6)) ∼= 4M1 und ResS14S8

(D(9,5)) ∼=6M2⊕4M3. Dabei sind M1,M2,M3 unzerlegbar mit dim(M1) = 16, dim(M2) = 48, dim(M3) =68. Weiter ist ResS8

P8(M1⊗M2) projektiv, und ResS8

P8(M1⊗M3) besitzt sieben unzerlegbare pro-jektive Summanden. Der Faktormodul na h diesen sei M . Er hat Dimension 192, ist unzerlegbarüber F2 und hat Vertex E8, wobei E8 eine elementarabels he Gruppe der Ordnung 8 ist, wel heregulär auf den Zahlen 1, . . . , 8 operiert. Somit hat au h D Vertex E8. Wir bestimmen no h dieDimension einer Quelle von D. Die Eins hränkung ResP8

E8(M) besitzt 12 unzerlegbare projekti-ve Summanden sowie a ht paarweise ni htisomorphe 12-dimensionale unzerlegbare Summanden,wel he alle E8 als Vertex haben. Auÿerdem ist jeder dieser Summanden zwar unzerlegbar über

F2, zerfällt jedo h über F8 in eine direkte Summe dreier absolut unzerlegbarer 4-dimensionalerModuln. Somit erhalten wir die Dimension der Quellen von D.S hlieÿli h betra hten wir den Hauptblo k. Die Aussagen über D(14) sind klar, und für D(13,1)folgen sie aus [72℄, Satz 4.1.5, L. 4.1.13. Mit i = 1 gilt ferner:εi((12, 2)) = 1, ei(D

(12,2)) ∼= D(11,2),

εi((10, 4)) = 1, ei(D(10,4)) ∼= D(9,4),

εi((9, 3, 2)) = 1, ei(D(9,3,2)) ∼= D(9,3,1),

εi((8, 4, 2)) = 1, ei(D(8,4,2)) ∼= D(7,4,2).Für λ ∈ {(12, 2), (10, 4), (9, 3, 2), (8, 4, 2)} besitzt also ResS14

S13(Dλ) stets einen irreduziblen direk-ten Summanden mit Vertex P12. Da |P14 : P12| = 2 und Dλ ni ht relativ S13-projektiv ist, mussalso Dλ in diesen Fällen die 2-Sylowgruppen von S14 als Vertizes haben.Der Modul D(6,4,3,1) ist relativ A14-projektiv, da (6, 4, 3, 1) eine S-Partition ist. Auÿerdemist ε1((6, 4, 3, 1)) = 1 und e1(D(6,4,3,1)) ∼= D(5,4,3,1). Somit ist Q12 in einem Vertex von D(6,4,3,1)enthalten. Da D(6,4,3,1) ni ht relativ S13-projektiv ist und |Q14 : Q12| = 2 gilt, müssen die Ver-tizes von D(6,4,3,1) also in S14 zu Q14 konjugiert sein.Die Vertizes der restli hen Moduln sowie in einigen Fällen au h die Quellen wurden mit demComputer bere hnet. Dabei konnten die Vertizes des Moduls D := D(7,4,2,1) der Dimension 19240ni ht mit den übli hen Methoden wie Eins hränken auf geeignete Untergruppen und Abspaltenprojektiver Summanden bere hnet werden. Hier wenden wir das Kondensationsverfahren an.Dazu seien P ≤ P14 = P8×P4×P2 ein Vertex von D sowie D1 := D(8,4,2) und D2 := D(13,1).Zunä hst betra hten wir diese Moduln wieder über dem Körper F2. Computerbere hnungen zei-gen dann, dass D1⊗D2

∼= D⊕D(7,4,3) gilt. Wir wissen bereits, dass der Modul D(7,4,3) in einemBlo k vom 2-Gewi ht 4 liegt und Vertex P4 ×Q4 hat. Wir bere hnen nun die Eins hränkungenvon D1 und D2 auf die Young-Untergruppe S(8,6) und erhalten:Es ist ResS14S(8,6)

(D2) absolut unzerlegbar, und es gilt ResS14S(8,6)

(D1) = M1⊕M2 mit absolut unzer-legbaren F2S(8,6)-Moduln M1 und M2 der Dimensionen 1486 beziehungsweise 1024. AuÿerdemistM2 relativ S(8,4)-projektiv, D1 dagegen hat Vertex P14. Na h Satz 2.2.10 ist somit P14 ein Ver-tex von M1, und P ist Vertex eines unzerlegbaren direkten Summanden von M1⊗ResS14S(8,6)

(D2).Die Computerbere hnungen zeigen auÿerdem, dass unzerlegbare F2S(8,4)-Moduln N1 und N2mit N1|ResS(8,6)

S(8,4)(M1) und N2|ResS14

S(8,4)(D2) derart existieren, dass N1⊗N2 einen unzerlegbarendirekten Summanden mit Vertex P8 × P2 besitzt. Also hat dann ResS14

S(8,4)(D1 ⊗D2) und damitau h ResS14

S(8,4)(D) einen unzerlegbaren direkten Summanden mit Vertex P8×P2. Somit erhaltenwir P8 × P2 ≤S14 P ≤ P8 × P4 × P2.Da auÿerdem CP14(P ) = Z(P ) gelten muss, ist P eine der folgenden vier Untergruppen von P14:

P8 × P4 × P2, P8 × (P2)3, P8 × 〈(9, 11, 10, 12)〉 × P2, P8 ×Q4 × P2.

Kapitel 9. Vertexbere hnungen 93Wir betra hten nun die elementarabels he Gruppe E := 〈g1, . . . , g7〉 = (P2)7 von P14 mit

gi := (2i − 1, 2i) für i = 1, . . . , 7. Auÿerdem wählen wir eine Normalbasis λ1, . . . , λ7 von F128über F2 und setzen u := 1 +∑7

i=1 λi(gi − 1). Dann sind sowohl ResF128S14

F128〈u〉(DF128

2 ) als au hRes

F128S(8,6)

F128〈u〉(MF128

1 ) ni ht frei. Fassen wir jetzt D1 und D2 als Moduln über F := F128 auf undverwenden wieder die Bezei hnungen aus De�nition 2.6.2, so erhalten wir zusammen mit Satz2.6.4 Folgendes: Es existieren ein unzerlegbarer direkter Summand X von ResFS14FE (D1) sowie einunzerlegbarer direkter Summand Y von ResFS14

FE (D2), so dass (λ1, . . . , λ7) ∈ VrE(X) ∩ V r

E(Y ) =V rE(X⊗Y ) gilt. Na h Satz 2.6.4 existiert also ein unzerlegbarer direkter Summand Z von X⊗Y ,dessen Eins hränkung auf F 〈u〉 ni ht frei ist. Mit Satz 8.3.2 folgt daraus wiederum, dass (P2)

7in einem Vertex von Z enthalten sein muss. Demzufolge enthält dann au h der Vertex P vonD eine in S14 zu (P2)

7 konjugierte Untergruppe. Deshalb ist entweder P = P8 × P4 × P2 oderP = P8 × (P2)

3. Wir wollen die zweite Mögli hkeit auss hlieÿen.Dazu betra hten wir den F2S(8,6)-Modul M := ResF2S14F2S(8,6)

(D) und untersu hen dessen un-zerlegbare direkte Summanden, wel he im Hauptblo k von F2S(8,6) liegen. Unter diesen existiertnämli h einer, dessen Vertizes au h Vertizes von D sind.Mit Hilfe der Formeln aus [55℄ bere hnen wir dazu das Hauptblo kidempotent von F2S(8,6) (be-ziehungsweise dessen Operation auf M) sowie den F2S(8,6)-Modul Me. Dies ist der Eigenraumder F2-linearen Abbildung M −→ M, m 7→ me zum Eigenwert 1 und hat Dimension 9000.Auÿerdem ist Me die direkte Summe aller unzerlegbaren direkten Summanden von M , wel heim Hauptblo k von F2S(8,6) liegen.Als nä hstes untersu hen wir die Vertizes der unzerlegbaren direkten Summanden von Me. Zudiesem Zwe k bere hnen wir L := ResF2S(8,6)

F2C(Me) für

C := 〈(1, . . . , 8), (1, 2), (9, 10), (9, 11, 13)(10, 12, 14)〉 ∼= S8 × (P2 ≀ C3)und kondensieren L bezügli h der Untergruppe H := 〈(1, 5, 4)(2, 6, 7)〉 von C. Mit den Bezei h-nungen aus Abs hnitt 8.2 gilt dann SeH 6= 0 für alle Kompositionsfaktoren S von L. Folgli hsind die F2-Algebren EndF2C(L) und EndeHF2CeH(LeH) isomorph. Wie bereits in Bemerkung8.2.1 erwähnt, lässt si h die Algebra eHF2CeH eventuell ni ht explizit konstruieren. Statt dessenkonstruieren wir die F2-Unteralgebra A von eHF2CeH , wel he von den Elementen eHgeH mit

g ∈ {(1, . . . , 8), (1, 2), (9, 10), (9, 11, 13)(10, 12, 14), (1, . . . , 7)} erzeugt wird, sowie den A-ModulReseHF2CeH

A (LeH) =: L. Dieser hat Dimension 2992 und besitzt genau zwei absolut unzerlegbaredirekte Summanden der Dimensionen 1536 und 1456. Da A mögli herweise eine e hte Unteral-gebra von eHF2CeH ist, könnte LeH und damit au h L dur haus unzerlegbar sein.Wir �unkondensieren� nun beide Summanden von L und erhalten Untermoduln L1 und L2 vonL mit dim(L1) = 4392, dim(L2) = 4608. Ferner ist L1 + L2 = L und L1 ∩ L2 = 0. Daher giltL = L1 ⊕ L2. Damit folgt nun au h, dass L1 und L2 absolut unzerlegbar sind.Abs hlieÿend nehmen wir P = P8 × (P2)

3 an und setzenG := 〈(1, . . . , 8), (1, 2), (9, 10), (9, 11, 13)(10, 12, 14), (9, 11)(10, 12)〉 ∼= S8 × (P2 ≀S3).Dann ist also P ≤ C ≤ G mit |G : C| = 2 und NS(8,6)

(P ) ≤ G. Ferner besitzt Me einen un-zerlegbaren direkten Summanden mit Vertex P , und dieser ist insbesondere relativ G-projektiv.Falls nun ResS(8,6)

G (Me) absolut unzerlegbar ist, so hat ResS(8,6)

G (Me) na h Satz 2.2.10 ebenfallsVertex P , ist also insbesondere relativ C-projektiv, worausRes

S(8,6)

G (Me)| IndGC(ResS(8,6)

C (Me)) ∼= IndGC(L1)⊕ IndGC(L2)folgt. Na h Satz 2.2.11 und obigen Bere hnungen sind aber IndGC(L1) und IndGC(L2) absolut un-zerlegbar der Dimensionen 8784 beziehungsweise 9216. Widerspru h.Demzufolge ist ResS(8,6)

G (Me) ni ht absolut unzerlegbar, und es sei K|F2 eine endli he Kör-pererweiterung mit der Eigens haft, dass alle unzerlegbaren direkten Summanden des KG-Moduls ResS(8,6)

G (Me)K absolut unzerlegbar sind. Die obigen Bere hnungen zeigen, dass dann

Kapitel 9. Vertexbere hnungen 94Res

S(8,6)

G (Me)K die direkte Summe zweier absolut unzerlegbarer Moduln U1 und U2 der Dimen-sionen 4392 beziehungsweise 4608 sein muss. Ferner besitzt einer von beiden Vertex P , ist alsoau h relativ C-projektiv. Die Bere hnungen und Satz 2.2.11 zeigen jedo h, dass IndGC(ResGC(U1))und IndGC(ResGC(U2)) absolut unzerlegbar sind und Dimensionen 8784 beziehungsweise 9216 ha-ben, so dass Ui ∤ IndGC(ResGC(Ui)) für i = 1, 2 folgt. Widerspru h.Wir haben nun s hlieÿli h gezeigt, dass P kein Vertex eines unzerlegbaren direkten Summan-den von M und somit au h kein Vertex von D ist. Also gilt P = P8 × P4 × P2.n ≥ 15Für n ≥ 15 wurden no h die Vertizes derjenigen irreduziblen FSn-Moduln bestimmt, wel heDimensionen ≤ 1000 haben. Wir fassen die entspre henden Ergebnisse in der na hfolgenden Ta-belle zusammen. Dabei führen wir für n ≥ 17 die Moduln D(n) und D(n−1,1) ni ht mehr auf.

n Blo k Def. Partition Dim. Vertex Quelle Spe ht15 (1) P14 (15) 1 P14 1 (15) (115)(13, 2) 90 P8 × P

32 1 (13, 2) (22, 19)

(12, 2, 1) 624 P14 64 - -(11, 4) 910 P 3

4 × P2 1 (11, 4) (24, 111)(8, 6, 1) 832 P14 64 - -

(2, 1) P12 (14, 1) 14 P12 1 (14, 1) (2, 113)(12, 3) 336 P12 44 - -(8, 7) 128 Q8 ×Q4 32/16 - -16 ∅ P16 (16) 1 P16 1 (16) (116)(15, 1) 14 P16 14 - -(14, 2) 90 P16 90 - -(13, 3) 336 P16 336 - -(12, 4) 910 P16 910 - -(9, 7) 128 Q16 64 - -

(3, 2, 1) P10 (13, 2, 1) 896 P10 1 (13, 2, 1) (3, 2, 111)17 (1) P16 (15, 2) 118 P16 118 - -(9, 8) 256 Q16 128 - -

(2, 1) P14 (14, 3) 544 P8 × P32 1 (14, 3) (23, 111)18 ∅ P18 (16, 2) 118 P18 118 - -

(10, 8) 256 P18 256 - -(15, 3) 544 P18 544 - -19 (1) P18 (17, 2) 152 P12 × P

32 1 (17, 2) (22, 115)

(2, 1) P16 (16, 3) 780 P16 118 - -(10, 9) 512 Q16 128 - -20 ∅ P20 (18, 2) 152 P20 152 - -(11, 9) 512 Q20 512/256 - -(17, 3) 780 P20 780 - -In den Fällen 21 ≤ n ≤ 48 wurden jeweils no h die Vertizes des irreduziblen FSn ModulsD(n−2,2)bestimmt. Wie bereits in Bemerkung/Korollar 7.2.7 erwähnt, handelt es si h dabei stets um die2-Sylowgruppen von Sn, es sei denn, es ist n ≡ 3 (mod 4). Dann ist nämli h D(n−2) ∼= S(n−2,2)und hat daher Vertex Pn−4 × P

22 .Für n = 21, . . . , 27 wurden s hlieÿli h au h die Vertizes des FSn-Spinmoduls D(n) bere hnet.Bezei hnen wir jeweils mit P einen Vertex von D(n) mit P ≤ Pn, und ist n =

∑sn

i=0 αi(n)2i die

Kapitel 9. Vertexbere hnungen 952-adis he Entwi klung von n, so gilt in diesen Fällen:P =

Qn, falls n ≡ 0 (mod 4)∏sn

i=0(Q2i)αi(n), falls n ≡ 1, 3 (mod 4)

Pn, falls n ≡ 2 (mod 4).9.2 Vertizes irreduzibler Moduln in Charakteristik 3In [72℄ wurden für p = 3 bis auf eine Ausnahme bereits die Vertizes aller irreduziblen FSn-Moduln für n ≤ 11 bere hnet, jedo h keine Quellen.n = 1, . . . , 8

n Blö ke Def. Partitionen Dim. Vertex Quelle Spe ht1 (1) 1 (1) 1 1 1 (1)2 (2) (12) 1 (2) (12) 1 1 1 (2) (12)3 ∅ P3 (3) (2, 1) 1 P3 1 (3) (13)4 (1) P3 (4) (22) 1 P3 1 (4) (14)(3, 1) (2, 12) 1 (3, 1) (2, 12) 3 1 1 (3, 1) (2, 12)5 (2) (12) P3 (5) (3, 2) 1 P3 1 (5) (15)

(22, 1) (4, 1) 4 P3 1 (2, 13) (4, 1)(3, 12) 1 (3, 12) 6 1 1 (3, 12)6 ∅ P 2

3 (6) (32) 1 P 23 1 (6) (16)

(5, 1) (3, 2, 1) 4 P 23 4 -

(4, 12) 6 P 23 6 -

(4, 2) (22, 12) 1 (4, 2) (22, 12) 9 1 1 (4, 2) (22, 12)7 (1) P 23 (7) (4, 3) 1 P 2

3 1 (7) (17)(5, 2) (3, 2, 12) 13 P 2

3 4 -(4, 2, 1) 20 P 2

3 1 (4, 13)(3, 1) (2, 12) P3 (6, 1) (32, 1) 6 P3 1 (6, 1) (2, 15)

(3, 22) (5, 12) 15 P3 1 (3, 14) (5, 12)8 (2) (12) P 23 (8) (42) 1 P 2

3 1 (8) (18)(5, 3) (3, 22, 1) 28 P 2

3 1 (5, 3)∗ (23, 12)(5, 2, 1) (4, 22) 35 P 2

3 1 (5, 13) (4, 14)(4, 3, 1) (7, 1) 7 P 2

3 1 (2, 16) (7, 1)(32, 12) (6, 2) 13 P 2

3 4 - -(3, 12) P3 (6, 12) (32, 2) 21 P3 1 (6, 12) (3, 15)

(4, 2, 12) 1 (4, 2, 12) 90 1 1 (4, 2, 12)Für n ≤ 5 sind alle irreduziblen FSn-Moduln au h Spe htmoduln, haben also triviale Quellen.Die Eins hränkungen von D(5,1) und D(4,12) auf P 23 sind absolut unzerlegbar. Des Weiterengilt D(5,1)|ResS7

S6(D(5,2)) und D(5,2)| IndS7

S6(D(5,1)) sowie ResS8

S7(D(6,2)) ∼= D(5,2). So erhaltenwir die Quellen der irreduziblen Moduln zu den Partitionen (5, 1), (4, 12), (5, 2), (6, 2) und derenMullineux-konjugierten. Die restli hen FSn-Moduln sind für 6 ≤ n ≤ 8 Spe htmoduln, habenalso triviale Quellen.

Kapitel9.Vertexbere hnungen96

n=

9n

=10

Blö ke Def. Partitionen Dim. Vertex Quelle Spe ht∅ P9 (9) (5, 4) 1 P9 1 (9) (19)

(8, 1) (42, 1) 7 P9 7 -(7, 12) (4, 3, 2) 21 P9 21 -(6, 3) (32, 2, 1) 41 P9 41 -(6, 2, 1) (5, 22) 35 P9 35 -

(4, 2) (22, 12) P3 (7, 2) (4, 3, 12) 27 P3 1 (7, 2) (22, 15)(4, 22, 1) (5, 2, 12) 189 P3 1 (4, 2, 13) (5, 2, 12)

(5, 3, 1) (3, 22, 12) 1 (5, 3, 1) (3, 22, 12) 162 1 1 (5, 3, 1) (3, 22, 12)Blö ke Def. Partitionen Dim. Vertex Quelle Spe ht(1) P9 (10) (52) 1 P9 1 (10) (110)

(8, 2) (42, 12) 34 P9 7 -(7, 3) (4, 3, 2, 1) 41 P9 41 -

(7, 2, 1) (4, 32) 84 P 33 1 (7, 13) (4, 16)

(6, 2, 12) (5, 22, 1) 224 P9 35 -

(3, 1) (2, 12) P 23 (9, 1) (5, 4, 1) 9 P 2

3 1 (9, 1) (2, 18)(6, 4) (32, 22) 90 P 2

3 1 (6, 4) (24, 12)(6, 22) (5, 3, 2) 126 P 2

3 1 (6, 14) (5, 15)(42, 2) (8, 12) 36 P 2

3 1 (3, 17) (8, 12)(32, 2, 12) (6, 3, 1) 279 P 2

3 4 - -

(5, 3, 12) (4, 22, 12) 1 (5, 3, 12) (4, 22, 12) 567 1 1 (5, 3, 12) (4, 22, 12)

DieEins hränkungenderirreduziblenModulndesHauptblo ksvonF

S9 auf

P9 sindalleabso-

lutunzerlegbar.DieirreduziblenModulnderanderenBlö kevonF

S9 sindSpe htmodulnund

habendahertrivialeQuellen.Für

n=

10istderBlo kmit3-Kern(3,1)S opes-äquivalentzumHauptblo kvon

FS

8 ,undderBlo kmit3-Kern

(2,12)istS opes-äquivalentzumalternierendenBlo kvon

FS

8 .Betra htenwirdenHauptblo k,sogiltmit

i=

0:(8,2)

←→

(8,1),(7,3)

←→

(6,3),(6,2,1

2)←→

(6,2,1).

DamiterhältmandieQuellenderirreduziblenModulnzudiesenPartitionenundderenMullineux-konjugierten.Dierestli henirreduziblen

FS

10 -ModulnsindSpe htmoduln.

Kapitel 9. Vertexbere hnungen 97n = 11Blö ke Def. Partitionen Dim. Vertex Quelle Spe ht(2) (12) P9 (11) (6, 5) 1 P9 1 (11) (111)

(8, 3) (42, 2, 1) 109 P9 28 - -(8, 2, 1) (42, 3) 120 P 3

3 1 (8, 13) (4, 17)(7, 3, 1) (4, 3, 2, 12) 320 P9 41 - -(6, 3, 12) (5, 22, 12) 791 P9 35 - -(52, 1) (10, 1) 10 P9 1 (2, 19) (10, 1)

(5, 4, 12) (9, 2) 34 P9 7 - -(5, 32) (7, 22) 210 P 3

3 1 (5, 16) (7, 14)(5, 3, 2, 1) (6, 22, 1) 714 P 3

3 4 - -(4, 3, 22) (7, 4) 131 P9 41 - -

(3, 12) P 23 (9, 12) (5, 4, 2) 45 P 2

3 1 (9, 12) (3, 18)(6, 4, 1) (32, 22, 1) 693 P 2

3 1 (6, 4, 1) (3, 23, 12)(6, 3, 2) 252 P 2

3 1 (6, 15)

(4, 2, 12) P3 (7, 2, 12) (4, 32, 1) 594 P3 1 (7, 2, 12) (4, 2, 15)Die einzigen irreduziblen FS11-Moduln, deren Vertizes in [72℄ ni ht bestimmt wurden, sindD(5,3,2,1) und der dazu Mullineux-konjugierte Modul D(6,22,1) der Dimension 714. Computerbe-re hnungen zeigen, dass diese Moduln Vertex P 3

3 und 4-dimensionale Quellen haben. Auÿerdemwurden die Quellen der Moduln D(8,3) und D(7,3,1) mit dem Computer bere hnet. Für i = 1 giltferner:(6, 3, 12)←→ (6, 2, 12), (5, 4, 12)←→ (42, 12), (4, 3, 22)←→ (4, 3, 2, 1).So kommen die Dimensionen der Quellen der zugehörigen irreduziblen Moduln zustande. Dierestli hen Moduln des Hauptblo ks sind Spe htmoduln.Die irreduziblen Moduln des Blo ks mit 3-Kern (12) sind die Mullineux-konjugierten zu den ir-reduziblen Moduln des Hauptblo ks.Die irreduziblen Moduln der beiden anderen Blö ke sind Spe htmoduln.

Kapitel 9. Vertexbere hnungen 98n = 12

Blö keDef.PartitionenDim.VertexQuelleSpe ht

∅P

12

(12)

(6,6

)

1P 121(12)

(112)

(11,

1)(6,5,1

)

10P 1210-

(10,

12)

(52,2

)

45P 1245-

(9,3

)(5,4,2,1

)

143P 1262-

(9,2,1

)(5,4,3

)

120P 12120-

(8,4

)(4

2,2

2)

131P 12131-

(8,2

2)

(6,3

2)

210P 12210-

(7,4,1

)(4,3,2

2,1

)

1013P 12284-

(7,3,2

)

252P 12126-

(6,4,1

2)

(5,3,2,1

2)

1936P 12235-

(6,3,2,1

)

1428P 12147-

(4,2

)(2

2,1

2)

P2 3

(10,

2)(5

2,1

2)

54P2 3

1(10,2)(2

2,1

8)

(7,5

)(4,3

2,2

)

297P2 3

1(7,5)(2

5,1

2)

(7,2

2,1

)(5,3

2,1

)

1728P2 3

1(7,2,13)

(5,2,1

5)

(42,3,1

)(8,2,1

2)

945P2 3

1(4,2,16)

(8,2,1

2)

(4,3

2,1

2)

(7,3,1

2)

1431P2 3

4--

(5,3,1

)(3,2

2,1

2)

P3

(8,3,1

)(4

2,2,1

2)

891P 31(8,3,1

)(3,2

2,1

5)

(5,3,2

2)

(6,2

2,1

2)

3564P 31(5,3,14

)(6,2

2,1

2)

(6,4,2

)(3

2,2

2,1

2)

1(6,4,2)(3

2,2

2,1

2)

267311(6,4,2

)(3

2,2

2,1

2)

Der einzige Blo k von FS12, wel her keine abels hen Defektgruppen hat, ist der Hauptblo k.Ferner ist der Blo k mit 3-Kern (4, 2) S opes-äquivalent zum Blo k von FS10 mit 3-Kern (3, 1),und der konjugierte Blo k mit 3-Kern (22, 12) ist S opes-äquivalent zum Blo k von FS10 mit3-Kern (2, 12). Die irreduziblen Moduln der anderen Blö ke mit abels hen Defektgruppen sindalle Spe htmoduln. So erhalten wir au h die Dimensionen der Quellen dieser Moduln.Die irreduziblen Moduln im Hauptblo k, wel he dur h 3 teilbare Dimensionen besitzen, sindD(10,12), D(9,2,1), D(8,22), D(7,3,2) D(6,3,2,1) und die entspre henden Mullineux-konjugierten Mo-duln. Die Vertizes dieser Moduln sowie die Dimensionen der Quellen aller Moduln des Haupt-blo ks wurden mit dem Computer bere hnet.

Kapitel9.Vertexbere hnungen99

n=

13

Blö ke Def. Partitionen Dim. Vertex Quelle Spe ht(1) P12 (13) (7,6) 1 P12 1 (13) (113)(11,2) (6, 5, 12) 64 P12 10 -(10,3) (52, 2, 1) 143 P12 62 -(8,5) (42, 3, 2) 428 P12 131 -(10,2,1) (52, 3) 220 P12 1 (10, 13) (4, 19)(7,5,1) (4, 32, 2, 1) 2287 P12 154 -(7, 4, 12) (5, 32, 12) 3367 P12 235 -(9, 2, 12) (5,4,3,1) 1065 P12 120 -(6, 32, 1) (8, 22, 1) 1938 P12 210 -

(7, 32) 924 P34 1 (7, 16)(7,3,2,1) 1428 P12 147 -

(3, 1) (2, 12) P9 (12,1) (62, 1) 12 P9 1 (12, 1) (2, 111)(9,4) (5, 4, 22) 417 P9 28 - -

(9, 22) (5, 42) 495 P33 1 (9, 14) (5, 18)(7,4,2) (4, 3, 22, 12) 5082 P9 41 - -(6,5,2) (11, 12) 66 P9 1 (3, 110) (11, 12)(6,4,3) (8, 3, 2) 792 P33 1 (6, 17) (8, 15)( 6,4,2,1) (5, 3, 22, 1) 10296 P33 1 (6, 4, 13) (5, 23, 12)

(6, 3, 2, 12) (6, 3, 2, 2) 8568 P33 4 - -

(42, 22, 1) (8, 4, 1) 1275 P9 41 - -

(5, 4, 2, 12) (9,3,1) 1299 P9 7 - -

(5, 3, 12) (4, 22, 12) P3 (5, 32, 2) (7, 22, 12) 7371 P3 1 (5, 3, 15) (7, 22, 12)(8, 3, 12) (42, 3, 12) 4212 P3 1 (8, 3, 12) (4, 22, 15)

DerBlo kmit3-Kern(5,3,1

2)undseinkonjugierterBlo khabenabels heDefektgruppen,undalleirreduziblenModulndieserBlö kesindSpe htmoduln,habenalsoVertex

P3 undtriviale

Quellen.Wirbetra htendenBlo kmit3-Kern(3,1).Mit

i=

2giltdann:(9,4)

←→

(8,3),(7,4,2)

←→

(7,3,1),(6,3,2,1

2)←→

(5,3,2,1),

(42,2

2,1)←→

(4,3,22)

(5,4,2,12)←→

(5,4,12).

DiesliefertdieAussagenüberVertizesunddieDimensionenderQuellenderentspre hendenModuln.DerModul

D(6,4,2,1

)istisomorphzumSpe htmodulS

:=S

(6,4,1

3).Wirbehandelndiesen

mitdemComputer.Dazus hränkenwirSauf

P9 ein.DieseEins hränkungbesitzt119unzer-

legbareprojektiveSummanden.Unterdenrestli henunzerlegbarendirektenSummandensind

Kapitel 9. Vertexbere hnungen 100unter anderem drei isomorphe Moduln der Dimension 3, deren Vertizes zu P 33 konjugiert sind.Alle weiteren Summanden haben kleinere Vertizes. Somit hat D(6,4,2,1) Vertex P 3

3 und trivialeQuellen.Alle anderen irreduziblen Moduln dieses Blo ks sind irreduzible Spe htmoduln zu Hakenpar-titionen. Deren Vertizes erhalten wir aus Bemerkung 6.1.1 (e). Auÿerdem haben diese Modulnwieder triviale Quellen.Die Aussagen über die irreduziblen Moduln im Blo k mit 3-Kern (2, 12) erhalten wir dur hMullineux-Konjugation.Wir betra hten den Hauptblo k. Mit i = 0 erhalten wir dann zunä hst:(11, 2)←→ (11, 1), (10, 3) ←→ (9, 3), (8, 5)←→ (8, 4),

(7, 4, 12)←→ (6, 4, 12), (7, 3, 2, 1) ←→ (6, 3, 2, 1), (9, 2, 12)←→ (9, 2, 1),

(6, 32, 1)←→ (6, 32).Dies liefert die Aussagen über Vertizes und Quellen der entspre henden Moduln und ihrerMullineux-konjugierten.Die Moduln D(13), D(10,2,1), D(7,32) und deren Mullineux-konjugierte sind irreduzible Spe ht-moduln zu Hakenpartitionen. Sie haben also triviale Quellen, und die Aussagen über ihre Vertizesfolgen aus Bemerkung 6.1.1 (e).Den Modul D(7,5,1) behandeln wir s hlieÿli h mit dem Computer. Wir s hränken ihn dazuauf P12 ein. Unter den unzerlegbaren direkten Summanden dieser Eins hränkung be�ndet si heiner der Dimension 154 mit Vertex P12. Dieser ist au h absolut unzerlegbar. Folgli h hat D(7,5,1)Vertex P12 und 154-dimensionale Quellen.

Kapitel9.Vertexbere hnungen101

n=

14

Blö ke Def. Partitionen Dim. Vertex Quelle Spe ht(2) (12) P12 (14) (72) 1 P12 1 (14) (114)

(11, 3) (6, 5, 2, 1) 273 P 43 1 (11, 3) (23, 18)

(11, 2, 1) (6, 5, 3) 286 P12 1 (11, 13) (4, 110)(10, 3, 1) (52, 2, 12) 1442 P12 62 - -(9, 3, 12) (5, 4, 3, 12) 5277 P12 120 - -

(8, 6) (42, 32) 1000 P12 28 - -(8, 5, 1) (42, 3, 2, 1) 3562 P12 154 - -(8, 4, 12) (6, 32, 12) 3367 P12 235 - -(8, 32) (7, 4, 3) 1716 P 4

3 1 (8, 16) (7, 17)(8, 3, 2, 1) (6, 4, 3, 1) 6369 P 4

3 4 - -(7, 6, 1) (13, 1) 13 P12 1 (2, 112) (13, 1)(7, 3, 22) (7, 3, 2, 12) 9996 P12 147 - -

(62, 12) (12, 2) 64 P12 10 - -

(6, 32, 2) (8, 22, 12) 9309 P12 210 - -

(52, 4) (10, 22) 715 P12 1 (5, 19) (10, 14)(52, 22) (10, 4) 560 P12 62 - -

(5, 42, 1) (9, 22, 1) 4213 P12 7 - -

(5, 4, 3, 2) (9, 5) 428 P12 131 - -

(5, 32, 2, 1) (7, 4, 2, 1) 20747 P12 - -

(4, 32, 2, 12) (7, 5, 2) 13012 P12 154 - -

(3, 12) P9 (12, 12) (62, 2) 78 P9 1 (12, 12) (3, 111)(9, 4, 1) (5, 4, 22, 1) 4290 P9 28 -

(8, 4, 2) (42, 22, 12) 6357 P9 41 -

(6, 42) (9, 3, 2) 1287 P 33 1 (6, 18) (9, 15)

(6, 4, 22) (6, 3, 22, 1) 28665 P 33 1 (6, 4, 14) (6, 23, 12)

(4, 2, 12) P 23 (10, 2, 12) (52, 3, 1) 2079 P 2

3 1 (10, 2, 12) (4, 2, 18)(7, 5, 12) (4, 32, 22) 15444 P 2

3 1 (7, 5, 12) (4, 24, 12)(7, 32, 1) 9504 P 2

3 1 (7, 2, 15)

(6, 4, 2, 12) (5, 3, 22, 12) 1 (6, 4, 2, 12) (5, 3, 22, 12) 69498 1 1 (6, 4, 2, 12) (5, 3, 22, 12)

DieBlö kemit3-Kernen(4,2,1

2),(6,4,2,1

2)und(5,3,2

2,12)habenabels heDefektgruppen,

undalleirreduziblenModulndieserBlö kesindSpe htmoduln,habenalsodiejeweiligenDefekt-gruppenalsVertizessowietrivialeQuellen.FürdenBlo kmit3-Kern

(3,12)erhaltenwirmit

i=

1:(9,4,1)

←→

(9,4),(8,4,2)

←→

(7,4,2),(6,4,2

2)←→

(6,4,2,1).

Darausergebensi hdieAussagenüberVertizesundQuellenderzugehörigenModulnundderdazuMullineux-konjugierten.AlleweiterenirreduziblenModulndiesesBlo kssindSpe htmo-dulnzuHakenpartitionen.DerenVertizeserhaltenwirwiederausBemerkung6.1.1.

Kapitel 9. Vertexbere hnungen 102S hlieÿli h betra hten wir den Hauptblo k. Die Aussagen über den konjugierten Blo k folgendann wieder sofort. Mit i = 1 gilt hier:(10, 3, 1) ←→ (10, 3), (9, 3, 12)←→ (9, 2, 12), (8, 5, 1) ←→ (7, 5, 1),

(8, 4, 12)←→ (7, 4, 12), (7, 3, 22)←→ (7, 3, 2, 1), (62, 12)←→ (6, 5, 12),

(6, 32, 2)←→ (6, 32, 1), (52, 22)←→ (52, 2, 1), (5, 4, 3, 2) ←→ (42, 3, 2),

(4, 32, 2, 12)←→ (4, 32, 2, 1).So kommen Vertizes und Quellen der entspre henden Moduln zustande.Wegen Y (11,3) ∼= S(11,3) ∼= D(11,3) hat D(11,3) na h Bemerkung 5.3.3 Vertex P 43 und trivialeQuellen.Die irreduziblen Moduln D(11,2,1), D(8,32), D(14), D(7,6,1) und D(52,4) sind Spe htmoduln zuHakenpartitionen. Damit folgen die Aussagen über ihre Vertizes wieder aus Bemerkung 6.1.1 (e).Die Moduln D(5,42,1) und D(5,32,2,1) haben P12 als Vertex, da ihre Dimensionen ni ht dur h3 teilbar sind.Die Vertizes und Dimensionen der Quellen der restli hen beiden Moduln des Hauptblo kssowie die Dimension der Quellen von D(5,42,1) wurden s hlieÿli h mit dem Computer bere hnet.

Kapitel9.Vertexbere hnungen103

n=

15

Blö ke Def. Partitionen Dim. Vertex Quelle Spe ht(4, 2) (22, 12) P9 (13, 2) (7, 6, 12) 90 P9 1 (13, 2) (22, 111)

(10, 5) (52, 3, 2) 1548 P9 28 - -(10, 22, 1) (52, 4, 1) 7722 P 3

3 1 (10, 2, 13) (5, 2, 18)(7, 5, 3) (4, 32, 22, 1) 43497 - -

(7, 5, 2, 1) (5, 32, 22) 61425 P 33 1 (7, 5, 13) (5, 24, 12)

(7, 4, 3, 1) (8, 32, 1) 19305 P 33 1 (7, 2, 16) (8, 2, 15)

(7, 32, 12) (7, 32, 2) 32670 P 33 4 - -

(6, 5, 3, 1) (11, 2, 12) 2925 P9 1 (4, 2, 19) (11, 2, 12)(52, 3, 12) (10, 3, 12) 8163 P9 7 - -(42, 3, 22) (8, 5, 12) 26937 P9 41 - -

(5, 3, 1) (3, 22, 12) P 23 (11, 3, 1) (6, 5, 2, 12) 2835 P 2

3 1 (11, 3, 1) (3, 22, 18)(8, 6, 1) (42, 32, 1) 11583 P 2

3 1 (8, 6, 1) (3, 25, 12)(8, 3, 22) (6, 4, 3, 12) 44550 P 2

3 1 (8, 3, 14) (6, 22, 15)(5, 42, 2) (9, 22, 12) 24948 P 2

3 1 (5, 3, 17) (9, 22, 12)(5, 32, 2, 12) (7, 4, 2, 12) 159327 P 2

3 4 - -

(6, 4, 2) (32, 22, 12) P3 (9, 4, 2) (5, 4, 22, 12) 22113 P3 1 (9, 4, 2) (32, 22, 15)(6, 4, 22, 1) (6, 3, 22, 12) 221130 P3 1 (6, 4, 2, 13) (6, 3, 22, 12)

DieirreduziblenModulnindenBlö kenvom3-Gewi ht1sindirreduzibleSpe htmoduln.DieBlö kevom3-Gewi ht2sindS opes-äquivalentzumHauptblo kbeziehungsweisezumalternie-rendenBlo kvon

FS

8 .SoerhaltenwirjeweilsdieAussagenüberdieQuellenderirreduziblenModulndieserBlö ke.Setzenwir

i:=

0,sogiltfürdenBlo kmit3-Kern(4,2):

(13,2)←→

(12,1),(10,5)

←→

(9,4),(10,2

2,1)←→

(9,22),

(7,5,2,1)←→

(6,4,2,1),(7,4,3,1)

←→

(6,4,3),(7,3

2,12)←→

(6,3,2,12),

(6,5,3,1)←→

(6,5,2),(5

2,3,12)←→

(5,4,2,12),

(42,3,2

2)←→

(42,2

2,1).

AufdieseWeiseerhaltenwirdieVertizesundQuellenderjeweiligenModuln.DieAussagenüber

Kapitel 9. Vertexbere hnungen 104die irreduziblen Moduln des konjugierten Blo ks mit Kern (22, 12) folgen dann wieder sofort.Blö ke Def. Partitionen Dim. Vertex Quelle Spe ht∅ P15 (15) (8, 7) 1 P15 1 (15) (115)

(14, 1) (72, 1) 13 P15 13 -(13, 12) (7, 6, 2) 78 P15 78 -(12, 3) (62, 2, 1) 337 P15 94 -(12, 2, 1) (62, 3) 286 P15 286 -(11, 4) (6, 5, 22) 560 P15 317 -(11, 22) (6, 5, 4) 715 P15 715 -(10, 4, 1) (52, 22, 1) 5732 P15 -(10, 3, 2) (7, 42) 1287 P15 -(9, 6) (5, 4, 32) 1428 P15 456 -(9, 5, 1) (5, 4, 3, 2, 1) 3562 P15 -(9, 4, 12) (5, 42, 12) 15365 P15 -(9, 32) (8, 4, 3) 1716 P15 -(9, 3, 2, 1) (6, 42, 1) 10582 P15 -(8, 5, 2) (42, 3, 2, 12) 19369 P15 -(8, 4, 2, 1)(6, 32 , 2, 1) 24114 P15 -(8, 3, 2, 12)(6, 4, 3, 2) 29106 -(7, 4, 22) (7, 3, 22, 1) 38661 P15 -S hlieÿli h betra hten wir den Hauptblo k. Die modularen Bran hing-Regeln liefern dann zu-nä hst:

ResS15S14

(D(9,6)) ∼= D(8,6) ⊕D(9,5),

ResS15S14

(D(8,4,2,1)) ∼= D(8,4,12) ⊕D(7,4,2,1),

ResS15S14

(D(7,4,22)) ∼= D(6,4,22) ⊕D(7,3,22).Sind also λ ∈ {(9, 6), (8, 4, 2, 1), (7, 4, 22 )} und P ein Vertex von Dλ mit P ≤ P15, so istP12 ≤S15 P15. Da Dλ ni ht relativ S14-projektiv ist und |P15 : P12| = 3 gilt, hat Dλ in alldiesen Fällen Vertex P15.Der Modul D(13,12) hat na h Bemerkung 6.2.4 Vertex P15. Computerbere hnungen zeigenauÿerdem, dass ResS15

P15(D(13,12)) absolut unzerlegbar ist.Na h Lemma 6.3.3 und Korollar 6.3.6 gilt ferner D(10,3,2) = D(10,15)R ∼= D5 sowie D(9,32) =

D(9,16)R ∼= D6. Es sei nun P ein Vertex von D5 mit P ≤ P15 = P9 ×P23 . Na h Lemma 6.2.7 wis-sen wir, dass entweder P = P15 oder P = P 5

3 gelten muss. Wir nehmen an, dass P = P 53 gilt. Dannexistiert eine zu S3 ≀C5 isomorphe Untergruppe K von S15 mit P EK und |K : P | = 25 · 5 6≡ 0

(mod 3). Computerbere hnungen zeigen ferner, dass ResS15K (D5) absolut unzerlegbar ist. Be-tra hten wir nun D5 als F3S15-Modul, so ist also der F3S15-Modul ResS15

K (D5) unzerlegbar. MitKorollar 2.4.6 erhalten wir daraus den Widerspru h P 53 ∈ Syl3(S15). Demzufolge hat D5 Vertex

P15.Nun sei Q ein Vertex von D6 mit Q ≤ P15. Na h Korollar 6.1.7 ist dann (P3)4 <S15 Q ≤ P15.Wegen Z(P15) ≤ Q folgt mit Lemma 3.1.2 und Bemerkung/Korollar 3.1.6 sofort, dass au h indiesem Fall entweder Q = P15 = P9 × P

23 oder Q = P 5

3 ist. Wir nehmen Q = P 53 an, und K seiwieder die obige Untergruppe von S15. Computerbere hnungen zeigen, dass au h ResS15

K (D6)absolut unzerlegbar ist. Betra hten wir also D6 als F3S15-Modul, so ist au h dessen Eins hrän-kung auf K unzerlegbar. Aus Korollar 2.4.6 folgt dann erneut der Widerspru h P 53 ∈ Syl3(S15).Folgli h hat D6 ebenfalls Vertex P15.Ferner sind die Eins hränkungen von D(10,3,2) und D(9,32) auf P15 jeweils absolut unzerlegbar.

Kapitel 9. Vertexbere hnungen 105Die restli hen Moduln des Hauptblo ks, mit Ausnahme von D(8,3,2,12) und D(6,4,3,2), sind entwe-der Mullineux-konjugiert zu einem der bereits erwähnten Moduln oder haben Dimensionen, dieni ht dur h 3 teilbar sind. Folgli h haben all diese Moduln au h Vertex P15.n ≥ 16Für n ≥ 16 wurden in erster Linie die Moduln Dr =

∧rD(n−1,1) mit n ≡ 0 (mod 3) und0 ≤ r ≤ n − 2 untersu ht. Die na hfolgende Tabelle enthält die Ergebnisse für n ≤ 27. In alldiesen Fällen handelt es si h bei den Vertizes der Moduln Dr jeweils um die 3-Sylowgruppenvon Sn. Dabei kennzei hnen die eingerahmten Einträge diejenigen Vertizes, die ni ht aus dentheoretis hen Ergebnissen in Kapitel 6 folgen, sondern mit dem Computer bere hnet wurden. Diegrau hinterlegten Einträge kennzei hnen die Vertizes, die zu Moduln gehören, deren Dimensionenni ht dur h 3 teilbar sind.3 6 9 12 15 18 21 24 27 n/r

P3 P6 P9 P12 P15 P18 P21 P24 P27 0P3 P6 P9 P12 P15 P18 P21 P24 P27 1

P6 P9 P12 P15 P18 P21 P24 P27 2P6 P9 P12 P15 P18 P21 P24 P27 3P6 P9 P12 P15 P18 P24 P27 4

P9 P12 P15 P18 P27 5P9 P12 P15 P18 P27 6P9 P12 P15 P18 P27 7

P12 P15 8P12 P15 P18 P21 P24 P27 9P12 P15 P18 P21 P24 P27 10

P15 P18 P24 P27 11P15 P18 P24 P27 12P15 P18 P24 P27 13

P18 P27 14P18 P27 15P18 P21 P27 16

P21 17P21 P24 P27 18P21 P24 P27 19

P24 P27 20P24 P27 21P24 P27 22

P27 23P27 24P27 25

Kapitel 10Fragen und VermutungenWir werden an dieser Stelle nun abs hlieÿend einige der im Verlauf dieser Arbeit entstandenenVermutungen und o�en gebliebenen Fragen zusammenfassen. Dazu seien wieder p eine Primzahl,F ein Körper der Charakteristik p und n ∈ N∗.Allgemeine FragenIn Lemma 4.3.2 haben wir die Gruppen der Ordnungen ≤ p3 bestimmt, wel he potentiell alsVertizes irreduzibler FSn-Moduln in Frage kommen. In diesem Zusammenhang kamen die ele-mentarabels hen Gruppen Ep2 ≤ Pp2 und Ep3 ≤ Pp3 der Ordnung p2 beziehungsweise p3 vor.Dabei operiert Ep2 regulär auf {1, . . . , p2}, und Ep3 operiert regulär auf {1, . . . , p3}.Für p = 2 konnten wir ferner explizit angeben, wel he Gruppen au h tatsä hli h als Vertizesirreduzibler FSn-Moduln auftreten. Unter anderem ist E4 = Q4 Vertex des irreduziblen FS4-Moduls D(3,1), und E8 ist Vertex des irreduziblen FS14-Moduls D(5,4,3,2).Allgemein enthält für beliebiges p ∈ P, k ≥ 1 und n = (p2k+1 − p2k + pk+1 + pk)/2 der Blo kvon FSn mit p-Kern ((pk − 1)(p− 1), (pk − 2)(p− 1), . . . , 2(p− 1), p− 1) und p-Gewi ht pk denirreduziblen FSn-Modul zur Partition

λ := ((pk − 1)(p − 1) + p, (pk − 2)(p − 1) + p, . . . , 2(p − 1) + p, p− 1 + p, p).Ferner gilt jeweils Dµ|ResSn

Sn−pk

(Dλ) und Dν | IndSn+1

Sn(Dλ) mit

µ = (pk(p−1), (pk−1)(p−1), . . . , 2(p−1), p−1) und ν = ((pk−1)(p−1)+p, . . . , (p−1)+p, p, 1).Sowohl Dµ als au h Dν ist projektiv.Frage: Ist dann Epk+1 ein Vertex von Dλ? Dabei bezei hne Epk+1 stets eine elementarabels heGruppe der Ordnung pk+1, wel he regulär auf {1, . . . , pk+1} operiert.Betra htet man die Ergebnisse der Computerbere hnungen, so zeigt si h, dass im Fall p > 2, p|ndie irreduziblen FSn-Moduln des Hauptblo ks in allen Beispielen die p-Sylowgruppen von Snals Vertizes haben. Im Fall p = 2, 2|n haben die untersu hten irreduziblen FSn-Moduln aus demHauptblo k entweder die 2-Sylowgruppen von Sn oder die 2-Sylowgruppen von An als Vertizes,abhängig davon, ob die entspre hende Partition eine S-Partition ist.Vermutung: Dies ist allgemein ri htig.Spe htmoduln und Young-ModulnIn Kapitel 5 haben wir für p > 2 gesehen, dass si h die Vertizes eines unzerlegbaren verallge-meinerten Young-Moduls Y (λ|pµ) rein kombinatoris h in Abhängigkeit vom Parameter (λ|pµ)bestimmen lassen. Insbesondere sind irreduzible Spe htmoduln stets verallgemeinerte Young-Moduln. Der entspre hende Parameter ist allerdings im Allgemeinen nur für irreduzible Spe ht-moduln zu p-regulären und zu p-bes hränkten Partitionen bekannt.106

Kapitel 10. Fragen und Vermutungen 107Frage: Es sei Sν ein irreduzibler FSn-Spe htmodul. Wie sehen dann die Partitionen λ und µmit Sν ∼= Y (λ|pµ) aus? [siehe Vermutung 5.4.2.℄Die Ergebnisse aus Kapitel 5 zeigen weiter, dass die unzerlegbaren verallgemeinerten Young-Moduln beziehungsweise die gewöhnli hen Young-Moduln in Charakteristik 2 stets triviale Quel-len haben. Die Computerbere hnungen legen die Vermutung nahe, dass die irreduziblen Modulnsymmetris her Gruppen mit trivialen Quellen genau die irreduziblen Spe htmoduln, d.h. die ir-reduziblen (verallgemeinerten) Young-Moduln sind.Vermutung: Die irreduziblen FSn-Moduln mit trivialen Quellen sind genau die irreduziblenSpe htmoduln.Äuÿere Potenzen des natürli hen irreduziblen FSn-ModulsEs sei p > 2. Die in Kapitel 6 untersu hten äuÿeren Potenzen Dr :=∧rD des natürli hen irredu-ziblen FSn-Moduls D := D(n−1,1) sind für 0 ≤ r ≤ dim(D) wieder irreduzibel. Im Fall p|n liegt

Dr auÿerdem im Hauptblo k von FSn, sollte na h obiger Vermutung also die p-Sylowgruppenvon Sn als Vertizes haben. Sowohl für alle theoretis h behandelten als au h für alle mit demComputer untersu hten Moduln war dies der Fall.Wir hatten weiter gesehen, dass wir die irreduziblen FSn-Moduln zu den Hakenpartitionen alsSpezialfälle dieser äuÿeren Potenzen erhalten, da Dr∼= D(n−r,1r) für r < p gilt. Mit Ausnahmedes Falls r = p − 1, n = xp und x ≡ 1 (mod p) kennen wir die Vertizes der Moduln Dr mit

r < p.Frage: Lassen si h ähnli he Methoden wie die in Satz 6.2.5 verwendeten �nden, um au h dieVertizes der Moduln Dp−1 für den Fall n = xp und x ≡ 1 (mod p) zu bestimmen? Dann wärendie Vertizes der irreduziblen Moduln zu Hakenpartitionen vollständig klassi�ziert.S opes-Äquivalenz und Blö ke von bestimmtem Gewi htIn Abs hnitt 4.2 konnten wir für p = 2 dur h Anwendung der S opes-Äquivalenz auf unse-re Computerbere hnungen die Vertizes derjenigen irreduziblen Moduln symmetris her Gruppenklassi�zieren, wel he in 2-Blö ken vom Gewi ht 4 liegen.Für p = 3 kennen wir die S opes-Klassen von Blö ken vom Gewi ht ≤ 2. Na h [22℄ liefern diefolgenden Blö ke ein Repräsentantensystem für die S opes-Klassen von 3-Blö ken vom Gewi ht3:n Blo k9 ∅10 (1)11 (2)11 (12)13 (3, 1)13 (2, 12)14 (3, 12)15 (4, 2)15 (22, 12)19 (5, 3, 12)19 (4, 22, 12)25 (6, 4, 22, 12)Kennt man die Vertizes der irreduziblen Moduln in den obigen Blö ken, so kennt man na hBemerkung 4.2.5 die Vertizes aller irreduziblen Moduln symmetris her Gruppen, wel he in 3-Blö ken vom Gewi ht 3 liegen. Dabei besitzt FSn für n ∈ {11, 13, 15, 19} jeweils zwei Blö ke

Kapitel 10. Fragen und Vermutungen 108vom Gewi ht 3, wel he jedo h konjugiert zueinander sind. Die irreduziblen Moduln in diesenBlö ken besitzen also jeweils dieselben Vertizes. Auÿerdem genügt es sogar, die Vertizes derirreduziblen FSn-Moduln für n ≤ 15 zu bestimmen. Wiederholtes Anwenden der modularenBran hing-Regeln liefert nämli h Folgendes: Sind n ≥ 16 und Dλ ein irreduzibler FSn-Modulaus einem Blo k vom Gewi ht 3, so existieren ein m ≤ 15 und ein irreduzibler FSm-Modul Dµaus einem Blo k vom Gewi ht 3, so dass Dλ| IndSn

Sm(Dµ) und au h Dµ|ResSn

Sm(Dλ) gilt.Um für p = 3 nun die Vertizes der irreduziblen Moduln symmetris her Gruppen in Blö ken vomGewi ht 3 klassi�zieren zu können, müssen also nur no h die Vertizes des irreduziblen FS15-Moduls D(7,5,3) bestimmt werden. Dieser ist na h obiger Vermutung ein Kandidat für einenirreduziblen Modul mit Vertex E9. Aber au h, wenn D(7,5,3) ni ht Vertex E9 hat, würde dieKenntnis der Vertizes von D(7,5,3) klären, ob E9 oder eine der beiden extraspeziellen Gruppenaus Lemma 4.3.2 tatsä hli h unter den Vertizes der irreduziblen Moduln symmetris her Gruppenin Charakteristik 3 vorkommt.SpinmodulnIm Zuge der Computerbere hnungen wurde unter anderem der FSn-Spinmodul D(n) in Cha-rakteristik 2 untersu ht. Dieser ist dur h die Partition (n2 + 1, n2 − 1) im Fall 2|n und dur h diePartition (n+1

2 , n−12 ) im Fall 2 ∤ n parametrisiert. Für n ≤ 27 liefern die Bere hnungen Folgendes:Sind P ein Vertex von D(n) und n =

∑sn

i=0 αi(n)2i die 2-adis he Entwi klung von n, so gilt:P ∼Sn

Qn, falls n ≡ 0 (mod 4)∏sn

i=0(Q2i)αi(n), falls n ≡ 1, 3 (mod 4)

Pn, falls n ≡ 2 (mod 4).Dabei wurden die Fälle n ≤ 15 bereits in [72℄ behandelt.Vermutung: Die Vertizes des FSn-Spinmoduls haben stets die oben angegebene Form.

Anhang ADimensionenPartition 17 16 15 14 Dimension(18) 1(17,1) 16(16,2) 118(15,3) 544(15,2,1) 1344(14,4) 1582(13,5) 3808(14,3,1) (13,2,1) ≥ 1792(12,6) 4488(10,8) 256(11,7) 6528(13,4,1) (12,3) ≥ 2016(13,3,2) (12,3,2);(13,3,1) 19124(12,5,1) (11,4,1) ≥ 21504(9,8,1) 4096(11,6,1) (10,5) ≥ 7728(9,5,4) (8,5,4);(9,5,3) 170494(9,6,3) (8,5,2) ≥ 192192(8,6,4) (7,6,4) 55808(8,7,2,1) (7,6,1) ≥ 18432(10,5,2,1) (9,4,1) ≥ 91392(10,4,3,1) (10,4,2,1);(9,4,3,1) 492386(9,6,2,1) (8,5,2,1) ≥ 532480(9,5,3,1) (8,5,3,1) 225760(7,6,4,1) (6,5,4,1) ≥ 442368(8,6,3,1) (8,6,2,1);(7,6,3,1) 202368(9,4,3,2) (8,3,2,1) ≥ 559104(8,5,4,1) (7,4,3) ≥ 261120(6,5,4,3) (5,4,3,2) ≥ 860160(7,6,3,2) (6,5,2,1) ≥ 319488(8,5,3,2) (7,4,3,2) ≥ 1003520(7,5,4,2) (6,5,4,2);(7,5,3,2) 574464(8,4,3,2,1) (8,4,2,1) ≥ 145560(6,5,4,2,1) (5,4,3,2,1) ≥ 1757184(7,5,3,2,1) (6,5,3,1) ≥ 139776Die obige Tabelle beinhaltet die 2-regulären Partitionen von 18 sowie untere S hranken für dieDimensionen der entspre henden irreduziblen FS18-Moduln. Dabei sei F ein Körper der Cha-109

Anhang A. Dimensionen 110rakteristik 2. Die Einträge dieser Tabelle seien wie folgt zu verstehen: Steht für λ ∈ P18,2 undm ∈ {14, 15, 16} in Spalte �m� eine Partition µ ∈ Pm,2, so gilt (n − m)!Dµ|ResS18

Sm(Dλ) na hden modularen Bran hing-Regeln. Enthält die Spalte �17� eine Partition µ (beziehungsweise zweiPartitionen µ und ν) von 17, so gilt ResS18

Sm(Dλ) ∼= Dµ (beziehungsweise ResS18

Sm(Dλ) ∼= Dµ⊕Dν).Aus der Kenntnis der Dimensionen der irreduziblen FSm-Moduln erhält man dann die jeweiligenunteren S hranken für die Dimensionen der irreduziblen FS18-Moduln. Stehen in einer Zeile nurdie Partition λ von 18 und die Dimension von Dλ, so wurde diese mittels bekannter Formelnoder mit dem Computer bere hnet.

Anhang BQuell odes der ProgrammeIm Folgenden werden wir kurz eine Zusammenfassung der unter MAGMA implementierten Funk-tionen geben und diese ans hlieÿend näher erläutern. Dabei sind alle mit dem Computer behan-delten Moduln wieder Re htsmoduln.Funktionsname: ChangeFieldEingabe: ein endli her Körper F der Charakteristik p und eine Matrix matmit Einträgen aus Z oder einem Teilkörper von FAusgabe: eine Matrix mit Einträgen aus F , die aus mat dadur h entsteht, dass dieEinträge zunä hst, falls nötig, modulo p reduziert und ans hlieÿendals Elemente in F aufgefasst werdenAufruf: ChangeField(F,mat);Funktionsname: Spe htModuleEingabe: eine positive natürli he Zahl n , eine Primzahl p und einePartition lambda von nAusgabe: der FpSn-Spe htmodul zur Partition lambdaAufruf: Spe htModule(n,p,lambda);Funktionsname: ProjSummandsEingabe: eine p-Gruppe H und ein FH-Modul M , wobei p eine Primzahlund F ein endli her Körper mit char(F ) = p seien. Der Modul Mbesitze m unzerlegbare projektive Summanden M1, . . . ,Mmfür ein m ∈ N.Ausgabe: der Faktormodul M/(M1 ⊕ · · · ⊕Ml) für ein l ≤ mAufruf: ProjSummands(H,M);Funktionsname: Cy li VertexSummandsEingabe: eine p-Gruppe P und ein FP -Modul M für einenendli hen Körper F mit char(F ) = pAusgabe: ein Faktormodul M/N , wobei N eine direkte Summe unzerlegbarerUntermoduln von M ist, wel he zyklis he Vertizes habenAufruf: Cy li VertexSummands(P,M);Funktionsname: ExteriorPowerEingabe: ein FG-Modul W für einen endli hen Körper Fund eine Gruppe G sowie eine natürli he Zahl mAusgabe: der FG-Modul ∧mWAufruf: ExteriorPower(W,m);111

Anhang B. Quell odes der Programme 112Funktionsname: SpinmoduleOddEingabe: eine natürli he Zahl m ≥ 1Ausgabe: der irreduzible F2S2m+1-Modul zur Partition (m+ 1,m)Aufruf: SpinmoduleOdd(m);Funktionsname: SpinmoduleEvenEingabe: eine natürli he Zahl m ≥ 2Ausgabe: der irreduzible F2S2m-Modul zur Partition (m+ 1,m− 1)Aufruf: SpinmoduleEven(m);B.1 Koe�zientenkörper1 ChangeField:=fun tion(F,mat)2 r:=NumberOfRows(mat);3 :=NumberOfColumns(mat);4 new:=[[mat[i℄[j℄*One(F) : j in [1.. ℄℄ : i in [1..r℄℄;5 return Matrix(new);6 end fun tion;B.2 Spe htmodulnBemerkung B.2.1. Es seien n ∈ N∗, g ∈ Sn und λ ⊢ n. Dann bere hnet die MAGMA-Funktion Symmetri Representation(lambda,g) die Matrix ∆(g−1)T , wobei ∆ eine vom QSn-Spe htmodul Sλ induzierte Matrixdarstellung von QSn ist. Ferner sind die Einträge von ∆(g−1)Tstets ganzzahlig. Wir können diese also mittels der Funktion ChangeField modulo p reduzierenund erhalten so eine Matrix ∆(g−1)T mit Einträgen in Fp. Setzen wir nun Γ(g) := ∆(g), soliefert uns das eine vom FpSn-Spe htmodul Sλ induzierte Matrixdarstellung Γ von FpSn. Diena hfolgende Funktion Spe htModule konstruiert genau auf diese Weise die beiden MatrizenΓ((1, . . . , n)) und Γ((1, 2)) und gibt den FpSn-Spe htmodul Sλ zurü k.1 Spe htModule:=fun tion(n,p,lambda);2 G:=Sym(n); // Erzeuger sind G.1=(1,...,n) und G.2=(1,2)3 F:=GF(p);4 gens:=[Symmetri Representation(lambda,G.i) : i in [1..2℄℄;5 gens:=[ChangeField(F,gens[i℄) : i in [1..2℄℄;6 gens:=[Transpose(gens[i℄^-1): i in [1..2℄℄;7 S:=GModule(G,gens);8 return S;9 end fun tion;Bemerkung B.2.2. Mittels der MAGMA-Funktion ConstituentsWithMultipli ities(S) kön-nen wir die Kompositionsfaktoren von S und deren Vielfa hheiten bestimmen. Auf diese Weiseerhalten wir also die irreduziblen FpSn-Moduln Dµ, wel he zu Kompositionsfaktoren von Sλisomorph sind.B.3 Abspalten projektiver SummandenDie na hfolgende Funktion basiert auf dem Algorithmus zum Abspalten unzerlegbarer projektiverSummanden aus Bemerkung 8.1.1.1 ProjSummands:=fun tion(H,M)2 hilf:=true;3 while hilf eq true do

Anhang B. Quell odes der Programme 1134 if Dimension(M) gt 0 then5 i:=0;6 bool:=false;7 while bool eq false do8 ve :=Random(M);9 test:=sub<M|ve >;10 if Dimension(test) eq Order(H) then //Dann ist test ein//projektiver direkter//Summand von M.11 M:=quo<M|ve >;12 bool:=true;13 elif i lt 10 then14 i:= i+1;15 else16 hilf:=false;17 bool:=true;18 end if;19 end while;20 else21 hilf:=false;22 end if;23 end while;24 return M;25 end fun tion;B.4 Abspalten unzerlegbarer direkter Summanden mit zyklis henVertizesDie na hfolgende Funktion basiert auf dem Algorithmus zum Abspalten unzerlegbarer Summan-den mit zyklis hen Vertizes aus Bemerkung 8.1.2.1 Cy li VertexSummands:=fun tion(P,M);2 M:=ProjSummands(P,M);3 y :=Cy li Subgroups(P);4 y :=[x`subgroup: x in y |x`order gt 1℄;5 for j in [1..# y ℄ do6 gens:=Generators( y [j℄);7 for g in gens do8 if Order(g) eq Order( y [j℄) then9 C:=sub< y [j℄|g>;10 end if;11 end for;12 :=Order(P)/Order(C);13 K:=Coeffi ientRing(M);14 p:=Chara teristi (K);15 if Dimension(M) ge then16 resquo:=Restri tion(M,C);17 a tsquo:=A tionGenerators(resquo);18 hilf:=true;19 while hilf eq true do20 if Dimension(M) ge then21 a ts:=a tsquo;22 fix:=Eigenspa e(a ts[1℄,1);

Anhang B. Quell odes der Programme 11423 i:=0;24 bool:=false;25 while bool eq false do26 ve :=Random(fix);27 sub:=sub<M|ve >;28 if Dimension(sub) eq then // Dann ist sub isomorph zu Ind_C^P(F).29 q:=quo<M|sub>;30 resquo:=Restri tion(q,C);31 ressub:=Restri tion(sub,C);32 sum:=Dire tSum(ressub,resquo);33 a tssum:=A tionGenerators(sum);34 if IsSimilar(a ts[1℄,a tssum[1℄) eq true then // Dann ist sub ein//direkter Summand//von M.35 a tsquo:=A tionGenerators(resquo);36 M:=q;37 bool:=true;38 else39 hilf:=false;40 bool:=true;41 end if;42 elif i lt 10 then43 i:=i+1;44 else45 hilf:=false;46 bool:=true;47 end if;48 end while;49 else50 hilf:=false;51 end if;52 end while;53 end if;54 end for;55 return M;56 end fun tion;

Anhang B. Quell odes der Programme 115B.5 Äuÿere Potenzen eines FG-ModulsBemerkung B.5.1. Es seien F ein Körper und V ein F -Vektorraum der Dimension n mit F -Basis {b1, . . . , bn}. Ferner sei f ∈ HomF (V, V ). Dann ist also f(br) =∑n

i=1 airbi mit eindeutigbestimmten Koe�zienten air ∈ F für alle i, r = 1, . . . , n. Für m ∈ N betra hten wir nun dieF -lineare Abbildung ∧m f :

∧m V −→∧m V, v1 ∧ . . . ∧ vm 7−→ f(v1)∧ . . .∧ f(vm). Bekanntli hist dim(

∧m V ) =(nm

)=: d, und B := {br1 ∧ . . . ∧ brm|1 ≤ r1 < . . . < rm ≤ n} ist eine F -Basisvon ∧m V . Weiter gilt:

(

m∧f)(br1 ∧ . . . ∧ brm) = f(br1) ∧ . . . ∧ f(brm) =

(n∑

i1=1

ai1r1bi1

)∧ . . . ∧

(n∑

im=1

aimrmbim

)

=

n∑

i1,...,im=1

ai1r1 · · · aimrm(bi1 ∧ . . . ∧ bim)

=∑

1≤i1<...<im≤n

∑

σ∈S({i1,...,im})

aσ(i1)r1 · · · aσ(im)rm(bσ(i1) ∧ . . . ∧ bσ(im))

=∑

1≤i1<...<im≤n

∆f (i1, . . . , im; r1, . . . , rm)(bi1 ∧ . . . ∧ bim).Dabei sei ∆f (i1, . . . , im; r1, . . . , rm) := det((aikrl)k,l=1,...,m).Wir wählen nun eine Bijektionϕ : {1, . . . , d} −→ {(i1, . . . , im) ∈ Nm|1 ≤ i1 < . . . < im ≤ n}, x 7−→ (ϕ(x)1, . . . , ϕ(x)m)und setzen cx := bϕ(x)1 ∧ . . .∧ bϕ(x)m

für alle x = 1, . . . , d. Dann ist {c1, . . . , cd} eine F -Basis für∧m V , und für y = 1, . . . , d gilt(

m∧f)(cy) =

d∑

x=1

∆f (ϕ(x);ϕ(y))cx.Also ist (∆f (ϕ(x);ϕ(y)))x,y=1,...,d die Matrix von ∧m f bezügli h der Basis {c1, . . . , cd}.Es sei nun zusätzli h G = 〈g1, . . . , gk〉 eine Gruppe, und V sei ein FG-Modul. Es seien auÿerdemΓ : FG −→ Mat(n,F ) die von V bezügli h der Basis {b1, . . . , bn} induzierte Matrixdarstel-lung von FG sowie fl : V −→ V, bi 7−→ glbi =

∑kj=1 Γ(gl)jibj für l = 1, . . . , k die jeweili-ge F -lineare Abbildung. Mit obigen Bezei hnungen erhalten wir dann eine von ∧m V bezüg-li h der Basis {c1, . . . , cd} induzierte Matrixdarstellung ∆ : FG −→ Mat(d, F ) mit ∆(gl) =

(∆fl(ϕ(x);ϕ(y)))x,y=1,...,d für l = 1, . . . , k.Entspre hend lässt si h au h für einen FG-Re htsmodul W der FG-Re htsmodul ∧mW kon-struieren. Die na hfolgende Funktion ExteriorPower tut genau dies.1 ExteriorPower:=fun tion(W,m);2 G:=Group(W);3 Wgens:=A tionGenerators(W);4 Wgens:=[Transpose(x): x in Wgens℄;5 Glength:=#Wgens;6 n:=Dimension(W);7 d:=Binomial(n,m);8 F:=BaseRing(W);9 M:={1..n};10 S:=Subsets(M,m);11 phi:=[[a: a in b℄: b in S℄;12 gens:=[℄;13 for r in [1..Glength℄ do

Anhang B. Quell odes der Programme 11614 gr:=ZeroMatrix(F,d,d);15 for x in [1..#phi℄ do16 for y in [1..#phi℄ do17 z:=ZeroMatrix(F,m,m);18 for k in [1..m℄ do19 for l in [1..m℄ do20 z[k℄[l℄:=Wgens[r℄[phi[y℄[k℄℄[phi[x℄[l℄℄;21 end for;22 end for;23 gr[x℄[y℄:=Determinant(z);24 end for;25 end for;26 Append(~gens,gr);27 end for;28 T:=GModule(G,gens);29 return T;30 end fun tion;B.6 Spinmoduln in Charakteristik 2Bemerkung B.6.1. Die beiden na hfolgenden Programme dienen dazu, die Spinmoduln in Cha-rakteristik 2 zu konstruieren. Wir verwenden hierfür das in [70℄, Ex. 4.8 bes hriebene Verfahren.Ferner seien F ein Körper der Charakteristik 2, n ≥ 3 und D(n) der FSn-Spinmodul. D.h. D(n)ist der irreduzible FSn-Modul zur Partition (m + 1,m), falls n = 2m + 1 ist, beziehungsweise(m+ 1,m− 1), falls n = 2m ist, für ein m ∈ N.Zuerst betra hten wir den Fall n = 2m + 1 für ein m ∈ N. Auÿerdem setzen wir σi := (i, i + 1)für i = 1, . . . , n − 1 und E := 〈σj |j ∈ {1, . . . , n − 1}, j ≡ 1 (mod 2)〉. Dann ist E eine ele-mentarabels he 2-Gruppe der Ordnung 2m, und der reguläre FE-Modul besitzt eine F -Basis derForm

B := {1, σi1σi2 · · · σit |i1, . . . , it ∈ {1, 3, . . . , 2m− 1}, t ∈ {1, . . . ,m}}.Für ungerade i ∈ {1, . . . , n − 1} operiert dann also σi in natürli her Weise auf FE. Für r ∈{1, . . . ,m− 1} und i = 2r setzen wir

(σi1 · · · σit)σi :=

σi1 · · · σit , falls 2r − 1, 2r + 1 ∈ {i1, . . . , it}

σi1 · · · σit(σ2r+1 + 1), falls 2r − 1 ∈ {i1, . . . , it}und 2r + 1 6∈ {i1, . . . , it}

σi1 · · · σit(σ2r−1 + 1), falls 2r − 1 6∈ {i1, . . . , it}und 2r + 1 ∈ {i1, . . . , it}

σi1 · · · σit(σ2r−1 + σ2r+1 + 1), falls 2r − 1, 2r + 1 6∈ {i1, . . . , it}sowie(σi1 · · · σit)σ2m :=

{σi1 · · · σit , falls 2m− 1 ∈ {i1, . . . , it}

σi1 · · · σit(σ2m−1 + 1), falls 2m− 1 6∈ {i1, . . . , it}.Na h [70℄, L. 4.9 wird FE auf diese Weise zu einem FSn-Modul, wel her isomorph zu D(n) ist.Wir wählen nun eine Bijektionψ : {1, . . . , 2m} −→ P({1, 3, . . . , 2m− 1}),wobei P({1, 3, . . . , 2m− 1}) die Potenzmenge von {1, 3, . . . , 2m− 1} bezei hne. Auf diese Weisekönnen wir die Basiselemente von D(n) mit den Teilmengen von {1, 3, . . . , 2m−1} identi�zieren.Dabei entspre hen ∅ dem Basiselement 1 und {i1, . . . , it} ⊆ {1, 3, . . . , 2m − 1} mit t ≥ 1 demBasiselement σi1 · · · σit .

Anhang B. Quell odes der Programme 1171 SpinmoduleOdd:=fun tion(m);2 K:=FiniteField(2);3 n:=2*m+1;4 M:={1..n-2};5 for a in M do6 if IsEven(a) eq true then7 M:=M diff {a}; // die Menge {1,3,...,2m-1}8 end if;9 end for;10 S:=Subsets(M);11 psi:=[{�a: a in b�}: b in S℄;12 mats:=[℄;13 l:=1;14 mat:=ZeroMatrix(K,2^m,2^m);15 for r in [1..#psi℄ do16 I:=psi[r℄;17 if l in I then18 L:=I diff {�l�};19 else L:=I join {�l�};20 end if;21 for t in [1..#psi℄ do22 if L eq psi[t℄ then23 mat[r℄[t℄:=1;24 end if;25 end for;26 end for;27 Append(~mats,mat);28 for l in [2..n-2℄ do29 test:=ZeroMatrix(K,2^m,2^m);30 if IsOdd(l) eq true then31 for r in [1..#psi℄ do32 I:=psi[r℄;33 if l in I then34 L:=I diff {�l�};35 else L:=I join {�l�};36 end if;37 for t in [1..#psi℄ do38 if L eq psi[t℄ then39 test[r℄[t℄:=1;40 end if;41 end for;42 end for;43 else44 for r in [1..#psi℄ do45 I:=psi[r℄;46 if l-1 in I and l+1 in I then47 for t in [1..#psi℄ do48 test[r℄[t℄:=0;49 end for;50 elif l-1 in I and l+1 notin I then51 L:=I join {l+1};52 for t in [1..#psi℄ do53 if L eq psi[t℄ then

Anhang B. Quell odes der Programme 11854 test[r℄[t℄:=1;55 end if;56 end for;57 elif l-1 notin I and l+1 in I then58 L:=I join {l-1};59 for t in [1..#psi℄ do60 if L eq psi[t℄ then61 test[r℄[t℄:=1;62 end if;63 end for;64 else L1:=I join {l-1};65 L2:=I join {l+1};66 for t in [1..#psi℄ do67 if L1 eq psi[t℄ then68 test[r℄[t℄:=1;69 end if;70 end for;71 for t in [1..#psi℄ do72 if L2 eq psi[t℄ then73 test[r℄[t℄:=1;74 end if;75 end for;76 end if;77 end for;78 for t in [1..#psi℄ do79 test[t℄[t℄:=test[t℄[t℄+1;80 end for;81 end if;82 mat:=test*mat;83 end for;84 l:=n-1;85 test:=ZeroMatrix(K,2^m,2^m);86 for r in [1..#psi℄ do87 I:=psi[r℄;88 if l-1 notin I then89 L:=I join {�l-1�};90 for t in [1..#psi℄ do91 if L eq psi[t℄ then94 test[r℄[t℄:=1;95 end if;96 end for;97 end if;98 end for;99 for t in [1..#psi℄ do100 test[t℄[t℄:=test[t℄[t℄+1;101 end for;102 mat:=test*mat;103 Append(~mats,mat);104 modul:=GModule(Sym(n),[mats[2℄,mats[1℄℄); // der F_2S_n-Spinmodul D(n)105 return modul;106 end fun tion;Bemerkung B.6.2. In den Zeilen 13-26 wird die Operation von σ1 := (1, 2) auf D(n) bere hnet.In den Zeilen 28-102 wird sukzessive die Operation der σi für i = 2, . . . , n−1 auf D(n) bere hnet.

Anhang B. Quell odes der Programme 119Dabei ist die Matrix mat na h dem i-ten S hritt die darstellende Matrix von σiσi−1 · · · σ1 =(1, . . . , i). Am Ende erhält man so also die darstellende Matrix von (1, . . . , n). Der SpinmodulD(n) ist dann der in Zeile 104 konstruierte F2Sn-Modul modul .Bemerkung B.6.3. Wir betra hten nun den Fall n = 2m für ein m ≥ 2 und bezei hnen denFSn-Spinmodul wieder mit D(n). Die modularen Bran hing-Regeln aus Abs hnitt 4.1 lieferndann

ResSn+1

Sn(D(n+ 1)) = Res

Sn+1

Sn(D(m+1,m−1)) ∼ D(n) +D(n).Wir konstruieren daher Res

Sn+1

Sn(D(n + 1)), indem wir die Operation von (1, 2) und (1, . . . , n)auf D(n + 1) mittels des obigen Verfahrens bere hnen. Ans hlieÿend bestimmen wir die beidenzu D(n) isomorphen Kompositionsfaktoren von Res

Sn+1

Sn(D(n+ 1)).1 SpinmoduleEven:=fun tion(m);2 K:=FiniteField(2);3 k:=2*m;4 n:=2*m+1;5 M:={1..n-2};6 for a in M do7 if IsEven(a) eq true then8 M:=M diff {a};9 end if;10 end for;11 S:=Subsets(M);12 psi:=[{�a: a in b�}: b in S℄;13 mats:=[℄;14 l:=1;15 mat:=ZeroMatrix(K,2^m,2^m);16 for r in [1..#psi℄ do17 I:=psi[r℄;18 if l in I then19 L:=I diff {�l�};20 else L:=I join {�l�};21 end if;22 for t in [1..#psi℄ do23 if L eq psi[t℄ then24 mat[r℄[t℄:=1;25 end if;26 end for;27 end for;28 Append(~mats,mat);29 for l in [2..n-2℄ do30 test:=ZeroMatrix(K,2^m,2^m);31 if IsOdd(l) eq true then32 for r in [1..#psi℄ do33 I:=psi[r℄;34 if l in I then35 L:=I diff {�l�};36 else L:=I join {�l�};37 end if;38 for t in [1..#psi℄ do39 if L eq psi[t℄ then40 test[r℄[t℄:=1;41 end if;

Anhang B. Quell odes der Programme 12042 end for;43 end for;44 else45 for r in [1..#psi℄ do46 I:=psi[r℄;47 if l-1 in I and l+1 in I then48 for t in [1..#psi℄ do49 test[r℄[t℄:=0;50 end for;51 elif l-1 in I and l+1 notin I then52 L:=I join {l+1};53 for t in [1..#psi℄ do54 if L eq psi[t℄ then55 test[r℄[t℄:=1;56 end if;57 end for;58 elif l-1 notin I and l+1 in I then59 L:=I join {l-1};60 for t in [1..#psi℄ do61 if L eq psi[t℄ then62 test[r℄[t℄:=1;63 end if;64 end for;65 else L1:=I join {l-1};66 L2:=I join {l+1};67 for t in [1..#psi℄ do68 if L1 eq psi[t℄ then69 test[r℄[t℄:=1;70 end if;71 end for;72 for t in [1..#psi℄ do73 if L2 eq psi[t℄ then74 test[r℄[t℄:=1;75 end if;76 end for;77 end if;78 end for;79 for t in [1..#psi℄ do80 test[t℄[t℄:=test[t℄[t℄+1;81 end for;82 end if;83 mat:=test*mat;84 end for;85 Append(~mats,mat);86 Modul:=GModule(Sym(k),[mats[2℄,mats[1℄℄); // die Eins hr\"ankung// von D(2m+1) auf S_(2m)87 ons:=ConstituentsWithMultipli ities(Modul);88 modul:= ons[1℄[1℄; // der Spinmodul D(2m)89 return modul;90 end fun tion;

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Sti hwortverzei hnisB-Paar, 25[w : k]-Paar, 44i-Signatureiner Partition, 41eines Moduls, 41Abakus, 33Algebragraduierte, 22Gruppen-, 16lokale, 13vers hränkte Gruppen-, 22Blo k, 13alternierender, 37Haupt-, 17Bran hing-Regel, 36modulare, 41Brauerpaar, 25Defekt eines Blo ks, 19Defektgruppe eines Blo ks, 19direkte Summanden eines Moduls, 11direkte Summe von Moduln, 11Endomorphismenalgebra eines Moduls, 11Faktorensystem, 21Feit-Vermutung, 48Fittingkorrespondenz, 21Frobenius-Formel, 17Green-Korrespondent, 21Green-Korrespondenz, 21Greens Unzerlegbarkeitssatz, 20Haken, 31

q-Rand-, 31Rand-, 31Hakendiagramm, 31Hakenformel, 36Hakenlänge, 31halbeinfa hes induktives System, 52Idempotent, 13Blo k-, 13orthogonale ∼e, 13primitives, 13

Ja obson-Radikal eines Moduls, 12Knoten eines Young-Diagramms, 30i- oguter, 42i- onormaler, 42i-guter, 42i-normaler, 42entfernbarer, 41hinzufügbarer, 41Komplexität eines Moduls, 26Komposition, 29Kompositionsfaktoren, 12Kompositionslänge, 12Kompositionsreihe, 12Kondensation, 84Fixpunkt-, 85Kondensationsfunktor, 84Kopf eines Moduls, 12Kostka-Zahl, 37Kranzprodukt, 27Basisgruppe eines ∼ s, 27kurze exakte Sequenz, 13zerfallende, 13Ma key-Formel, 17Ma key-System, 56Matrixdarstellung, 15ähnli he ∼en, 15Grad einer, 15Modulabsolut irreduzibler, 13absolut unzerlegbarer, 13alternierender, 37dualer, 17einfa her, 12einges hränkter, 12einreihiger, 12halbeinfa her, 12induzierter, 12injektiver, 13irreduzibler, 12kondensierter, 84konjugierter, 17maximaler Unter-, 12minimaler Unter-, 12projektiver, 13125

Sti hwortverzei hnis 126reduzibler, 12regulärer, 12relativ projektiver, 18selbstdualer, 17Spe ht-, 35Spin-, 73trivialer, 17uniserieller, 12unkondensierter, 84unzerlegbarer, 11verallgemeinerter Permutations-, 55verallgemeinerter Young-, 55vollständig zerfallender, 52Young-, 36zerlegbarer, 11Nakayama-Vermutung, 38OrdnungDominanz-, 30lexikographis he, 30Partition, 29S-, 38q-Gewi ht einer, 31q-Inhalt einer, 31q-Kern einer, 31q-Restediagramm einer, 31q-adis he Entwi klung einer, 30q-bes hränkte, 29q-reguläre, 29q-singuläre, 29konjugierte, 29Mullineux-konjugierte, 37Polytabloid, 33Standard-, 33Quelle, 19Young-, 56Radikalideal, 26reduzierte i-Signatureiner Partition, 42eines Moduls, 42Regularisierung, 66relative Spurabbildung, 18S opes-Äquivalenz, 44So kel eines Moduls, 12Spaltenstabilisator, 32Summe von Moduln, 11Tabloid, 32Standard-, 33Trägheitsgruppe eines Moduls, 22

Unkondensationsfunktor, 84Varietäta�ne, 25irreduzible a�ne, 26Krull-Dimension einer a�nen , 26Rang-, 26vers hränktes Produkt, 22Vertex, 19Young-, 56Young-Diagramm, 30Young-Tableau, 32Standard-, 33Young-Untergruppe, 30Zeilenstabilisator, 32zentrale Gruppenerweiterung, 21Zerlegungszahl, 70zyklis he vers hobene Untergruppe, 26

LebenslaufName Susanne DanzGeburtsdatum 17.04. 1982Geburtsort S hmalkalden1988-1992 Grunds hule Trusetal1992-2000 Werratal-Gymnasium S hwallungen19.06. 2000 AbiturOktober 2000-Januar 2005 Studium der Mathematik mit Nebenfa hWirts haftswissens haften an derFriedri h-S hiller-Universität Jena04.01. 2005 Abs hluss mit dem Diplomseit Februar 2005 wissens haftli he Mitarbeiterin am Mathematis hen Institutder Friedri h-S hiller-Universität JenaJena, 10.12. 2006 Susanne Danz

SelbständigkeitserklärungHiermit erkläre i h, dass i h die vorliegende Arbeit selbständig und nur unter Verwendung derangegebenen Hilfsmittel und Literatur angefertigt habe.Jena, 10.12. 2006 Susanne Danz