Friedrich-Schiller-Universität JenaMathematisches InstitutALGEBRA/GEOMETRIEfür Lehrer1Prof. E. Hertel1Skript zur Vorlesung im 2. Semester der Lehrerausbildung für Gymnasien

INHALTSVERZEICHNIS 1Inhaltsverzeichnis1 Grundlagen (Wiederholung) 31.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Abbildungen, Relationen, Operationen . . . . . . . . . . . . . 51.3 Algebraische Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Unendlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Zahlen 142.1 Natürliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Elementare Zahlentheorie (Teilbarkeitslehre) . . . . . . . . . . 172.4 Rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Vektoren 233.1 Geometrische Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Lineare Räume (Wiederholung) . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 A�ne Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4 Euklidische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5 Polyeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 Abbildungen 404.1 Lineare Abbildungen (Wiederholung) . . . . . . . . . . . . . . 404.2 A�ne Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3 Ähnlichkeitsabbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4 Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.5 Anwendung (Klassi�kation der Kurven zweiter Ordnung) . . . 49Index 55

2 INHALTSVERZEICHNIS

31 Grundlagen (Wiederholung)1.1 MengenMengenlehre - Logik als Fundament der Mathematik.Zur Symbolik:Aussage: Der Baum ist grün �! Aussageform: x ist grün �! H(x).Menge - Eigenschaft:Menge G aller grünen Dinge - x ist grün - ist! "���! "! �.x 2 G () H(x)x 2 A \ B () HA(x) ^HB(x)x 2 A [ B () HA(x) _HB(x)M = fM� : � 2 Ig ! H = fH� : � 2 Igx 2\M () �2I �H�(x)�x 2[M () _�2I �H�(x)�Alphabet:� Aussagenlogische Funktoren: : (nicht),^ (und),_ (oder),) (wenn...dann),, (genau dann, wenn)� Prädikatenlogische Funktoren: V (für alle), W (es gibt (mindestens)ein)� Elementfunktion: 2� Mengenvariable: M� Technische Zeichen: j � ( )Beispiel: Durch je zwei verschiedene Punkte geht mindestens eine Gerade:^M�j ^M�jj �M�j 2 M j� ^ M�jj 2M j� ^ :^M j� j �M�j 2M j� j ,,M�jj 2M j� j � ) _M j� jj �M j� jj 2M jj� ^ M�j 2M j� jj ^M�jj 2M j� jj ��:

4 1 GRUNDLAGEN (WIEDERHOLUNG)Axiomatik:Menge als Grundbegri�Mengenbildung: Ist H(x) ein Ausdruck, in dem die Individuenvariable xvollfrei und die Mengenvariable M nicht vorkommt, so gilt(MBA) WM Vx �x 2M () H(x)�.Umfangsgleichheit: A = B :, Vx �x 2 A, x 2 B�:Eigenschaftsgleichheit: A � B :, VM�A 2M, B 2M�.Extensionalität:(EXT) VA;B �A = B =) A � B�:Lemma. VA;B �A = B () A � B�:Einige Grundbeziehungen der Mengenlehre:Für beliebige Mengen A;B (gleicher Stufe) wird mittels (MBA) eine neueMenge C de�niert:_C !! x �x 2 C () (x 2 A ^ x 2 B)�:Diese Menge heiÿt Durchschnitt von A und B : C =: A \ B: Analog:A [ B := fx : x 2 A _ x 2 Bg (V ereinigung);A � B :, Vx (x 2 A) x 2 B) (Inklusion);A � B :, A � B ^ A 6= B;AnB := fx : x 2 A ^ x 62 Bg (Di�erenz),2M := fX : X �Mg (Potenzmenge);; := fx : x 6= xg (leere Menge);(a; b) := nfa; bg; fbgo (geordnetes Paar);1A� B := f(a; b) : a 2 A ^ b 2 Bg (kartesisches Produkt);Mn := � M (n = 1)M �Mn�1 (n > 1) :1oder Paarbildungsprinzip:(PBP) Gilt a 2 A; b 2 B für beliebige Mengen A;B, so kann das geordnete Paar (a; b)als neues Objekt gebildet werden mit: (a1; b1) = (a2; b2), a1 = a2 ^ b1 = b2

1.2 Abbildungen, Relationen, Operationen 51.2 Abbildungen, Relationen, OperationenDe�nition 1. Für beliebige Mengen A;B heiÿt K Korrespondenz (allgemei-ne Abbildung, Relation) aus A in B :, K � A� B,DK := fa 2 A : Wb2B�(a; b) 2 K�g (Definitionsbereich);WK := fb 2 B : Wa2A�(a; b) 2 K�g (Wertebereich);K�1 := f(b; a) : (a; b) 2 Kg (Umkehrkorrespondenz);K eindeutig (Abbildung) :, Va2A Vb;c2B�(a; b) 2 K ^ (a; c) 2 K ) b = c�;K eindeutig umkehrbar :, K�1 ist eindeutig,K Korrespondenz von A in B :, DK = A;K Korrespondenz aus A auf B :, WK = B;F : A �! B :, F ist Abbildung von A in B,F injektiv :, F eindeutig umkehrbare Abbildung von A in B,F surjektiv :, F Abbildung von A auf B,F bijektiv (Bijektion) :, F injektiv und surjektiv,K1 Teilkorrespondenz (Teilabbildung) von K2 :, K1 � K2;K(X) (volles) K-Bild von X � A :, K(X) = fb 2 B : Wx2X �(x; b) 2 K�g;K�1(Y ) (volles) K-Urbild von Y � B:, K�1(Y ) = fa 2 A : Wy2Y �(a; y) 2 K�g;K2 Fortsetzung von K1 auf A2 (K1 Einschränkung von K2 auf A1)K1 = K2jA1 :, Ki � Ai � B (i = 1; 2) ^ A1 � A2 � A ^ K1 =K2 \ (A1 �B);K(a) = b :, (a; b) 2 K (funktionale Schreibweise für Abbildungen),�A = idA := f(a; a) : a 2 Ag identische Abbildung von A (auf A).Hilfssatz 1. Für beliebige Korrespondenzen Ki � A �B (i = 1; 2) gilt:(1) A1 � A2 � A =) K1(A1) � K1(A2),(2) K1 = K2 () VX�A�K1(X) = K2(X)�;(3) (K�11 )�1 = K1;(4) K1 � K2 () K�11 � K�12 :

6 1 GRUNDLAGEN (WIEDERHOLUNG)Satz 1. Sei K � A � B, dann gilt für alle Systeme von TeilmengenA� � A und B� � B (� 2 I):(1) K(S�2IA�) = S�2IK(A�);(2) K(TA�) � TK(A�); 2(3) K�1(SB�) = SK�1(B�);(4) K�1(TB�) � TK�1(B�); 3(5)K eindeutig umkehrbar^ WK = B () VX�A�K(AnX) = BnK(X)�:De�nition 2. Für F � A�B und G � B � C heiÿt die KorrespondenzK � A� C mit(a; c) 2 K () _b2B �(a; b) 2 F ^ (b; c) 2 G�Produkt oder Hintereinanderausführung K = G � F der Korrespondenzen Fund G.Hilfssatz 2. Für die Korrespondenzen Fi � Ai �Ai+1 (i = 1; 2; 3) gilt:(a) F2 � F1 � DF1 �WF2 ,(b) (F3 � F2) � F1 = F3 � (F2 � F1),(c) idA2 � F1 = F1 � idA1 = F1,(d) (F2 � F1)�1 = F�11 � F�12 .Satz 2. Die Menge SA aller Bijektionen von einer Menge A auf sich(die dann auch Transformationen oder Permutationen von A heiÿen) bildetbezüglich der Hintereinanderausführung eine Gruppe (SA; �) - die (volle)Transformations- bzw. Permutationsgruppe4 von A mit dem neutralen Ele-ment idA.De�nition 3. Sei M eine beliebige Menge und n eine natürliche Zahl.a) R heiÿt n-stellige Relation auf M :, R �Mn(R binär :, n = 2; xRy :, (x; y) 2 R):b) P heiÿt n-stellige Operation auf M :, P :Mn �! M(P binär :, n = 2; z = xPy :, P�(x; y)� = z):c) Eine binäre Relation R auf M heiÿt� reflexiv :, idM � R,� irreflexiv :, idM \R = ;,� symmetrisch :, R � R�1,2Gleichheit für alle Systeme A� genau dann, wenn K eindeutig umkehrbar.3Gleichheit für alle Systeme B� genau dann, wenn K eindeutig.4für n-elementige endliche Mengen auch symmetrische Gruppe Sn

1.2 Abbildungen, Relationen, Operationen 7� antisymmetrisch :, R \R�1 � idM ,� asymmetrisch :, R \R�1 = ;,� transitiv :, R �R � R,� linear :, R [R�1 = M �M ,� konnex :, R [ R�1 [ idM = M �M .d) Eine binäre Operation � auf M heiÿt� assoziativ :, Va;b;c2M �a � (b � c) = (a � b) � c�,� kommutativ :, Va;b2M �a � b = b � a�,� idempotent :, Va2M �a � a = a�.e) Eine binäre Operation �1 aufM heiÿt bezüglich der binären Operation �2auf M� linksseitig distributiv :, Va;b;c2M �a�1 (b�2c) = (a�1b)�2(a�1c)�,� rechtsseitig distributiv :, Va;b;c2M �(a�2b)�1c = (a�1c)�2(b�1c)�,� beidseitig distributiv :, �1 ist links- und rechtsdistributiv bezüg-lich �2.f) Das Element nl 2M heiÿt linksneutral bezüglich der binären Operation� auf M :, Va2M �nl � a = a�,nr 2M heiÿt rechtsneutral :, Va2M �a � nr = a�,n 2 M heiÿt (universelles) neutrales Element :, n ist links- undrechtsneutral.g) R heiÿt Äquivalenzrelation auf der Menge M :, R ist re�exive, sym-metrische und transitive binäre Relation auf M .h) Z heiÿt Klasseneinteilung (Zerlegung) von M :,(0) Z � 2M ;(1) Z ist disjunkt � VX;Y2Z�X 6= Y ) X \ Y = ;��;(2) ; 62 Z,(3) M � SZ.

8 1 GRUNDLAGEN (WIEDERHOLUNG)Hilfssatz 3. Jede n-stellige Operation auf einer MengeM ist eine (n+1)-stellige Relation auf M (die in der letzten Stelle eindeutig ist).Satz 3. (Hauptsatz über Äquivalenzrelationen) Die Begri�e Äquivalenz-relation und Klasseneinteilung einer Menge sind kryptomorph (kanonischäquivalent).1.3 Algebraische StrukturenDe�nition 1. a) A = (M;O;R) heiÿt algebraische Struktur (allgemeine Algebra):,(1) M 6= ; Menge.(2) O = fPi : i 2 Ig (wohl-) geordnetes System ni-stelliger OperationenPi : Mni �!M auf M (ni 2 N�; i 2 I).(3) R = fRj : j 2 Jg (wohl-) geordnetes System mj-stelliger RelationenRj �Mmj auf M (mj 2 N�; j 2 J).5(4) I 6= ; _ J 6= ;:b) R heiÿt Kongruenzrelation auf der Algebra A = (M;O;R) :,(1) R Äquivalenzrelation auf M .(2) Für jede Operation Pi 2 O gilt^x� ;x0�2M�=1;:::;ni �(x� ; x0�) 2 R (� = 1; :::; ni) =) �Pi(x1; :::; xni); Pi(x01; :::; x0ni)� 2 R�:(3) Für jede Relation Rj 2 R gilt^x�;x0�2M�=1;:::;mj �(x�; x0�) 2 R (� = 1; :::;mj)) �(x1; :::; xmj) 2 Rj ) (x01; :::; x0mj) 2 Rj��:c) A0 = (M 0;O0;R0) heiÿt Teil- oder Unteralgebra der AlgebraA = (M;O;R) :,(1) M 0 �M .(2) O0 = fPi \ (M 0)ni+1 : i 2 Ig:(3) R0 = fRj \ (M 0)mj : j 2 Jg:d) ' heiÿt Homomorphismus von A = (M;O;R) in A0 = (M 0;O0;R0) :,(1) A und A0 sind vom gleichen Typ.(2) ' : M �!M 0:(3) Vi2I Vx1;:::;xni2M �'�Pi(x1; :::; xni)� = P 0i�'(x1); :::; '(xni)��:(4) Vj2J Vx1;:::;xmj2M �(x1; :::; xmj) 2 Rj , �'(x1); :::; '(xmj)� 2 R0j�:e) Ein Homomorphismus ' heiÿt genauerMonomorphismus :, ' injektiv,5Es können auch unendlichstellige Operationen und Relationen zugelassen werden;(fni : i 2 Ig; fmj : j 2 Jg) heiÿt Typ (Signatur) von A.

1.3 Algebraische Strukturen 9Epimorphismus :, ' surjektiv,Isomorphismus :, ' ist Mono- und Epimorphismus,Endomorphismus :, A = A0,Automorphismus :, ' ist Iso- und Endomorphismus.f) Zwei algebraische Strukturen A und A0 heiÿen isomorph:, W' (' Isomorphismus von A auf A0 ).Hilfssatz 1. (Faktoralgebra ) Ist R eine Kongruenzrelation auf der allgemeinenAlgebra A = (M;O;R), so bildet das System M = M=R aller Restklassenx := fy 2M : (y; x) 2 Rg bezüglich der den Operationen Pi 2 O vermögePi(x1; :::; xni) := Pi(x1; :::; xni)zugeordneten Operationen P i 2 O und bezüglich der den Relationen Rj 2 R ver-möge (x1; :::; xmj ) 2 Rj :, (x1; :::; xmj) 2 Rj zugeordneten Relationen Rj 2 Reine allgemeine Algebra A := (M;O;R), die Faktoralgebra A = A=R von A nach R.Satz 1. (Allgemeiner Homomorphiesatz) Ist R eine Kongruenzrelation auf derallgemeinen Algebra A, so ist die kanonische Abbildung � mit �(x) := x ein Epi-morphismus von A auf die Faktoralgebra A=R (Homomorphiesatz).Ist umgekehrt f ein Epimorphismus von A auf eine Algebra A0, so ist R mit(x; y) 2 R :, f(x) = f(y)eine Kongruenzrelation in A, und die Faktorstruktur A=R ist isomorph zu A0 (Iso-morphiesatz).De�nition 2. a) (G; �) heiÿt Halbgruppe :,(H0) G 6= ; Menge, � binäre Operation auf G.(H1) � ist assoziativ.b) (G; �) heiÿt Gruppe :,(G1) (G; �) Halbgruppe,(G2) We2G Vx2G(e � x = x) (e linksneutral)(G3) Vx2G Wx02G (x0 � x = e) ( x0 linksinvers zu x ).c) Eine Gruppe heiÿt kommutativ (abelsch)6 :, (G4) � kommutativ.d) Eine Untergruppe U der Gruppe G heiÿt invariant oder Normalteiler(U / G) :, Vg2G Vu2U �g � u � g�1 2 U�:Hilfssatz 2. Die Axiome (G2) und (G3) sind äquivalent zu^a;b2G _x2Gy2G !! �a � x = b ^ y � a = b�:6Niels Henrik Abel, 1802-1829

10 1 GRUNDLAGEN (WIEDERHOLUNG)Satz 2. (Satz von Cayley)7 Jede Gruppe ist isomorph zu einer Unter-gruppe einer Transformationsgruppe.Korollar: Jede endliche Gruppe ist isomorph zu einer Permutationsgrup-pe (:= Untergruppe einer symmetrischen Gruppe Sn).De�nition 3. a) (R;+; �) heiÿt Ring :,(R1) (R;+) abelsche Gruppe,(R2) (R; �) Halbgruppe,(R3) � beidseitig distributiv bezüglich +.b) (K ;+; �) heiÿt Körper :,(K1) (K ;+; �) kommutativer Ring mit Einselement e 2 K�,8(K2) Vx2K� Wy2K (x � y = e).Hilfssatz 3. (K ;+; �) Körper ()(K1') (K ;+) abelsche Gruppe,(K2') (K�; �) Gruppe und � kommutative Operation auf K ,(K3) � linksdistributiv bezüglich +.Satz 3. (Quotientenkörper) Jeder Integritätsbereich (Integritätsring) R(nullteilerfreier kommutativer Ring mit Einselement) läÿt sich isomorph ineinen Körper einbetten.Der bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte minimale Körper mit dieser Ei-genschaft heiÿt Quotientenkörper von R.1.4 UnendlichkeitMengenlehre als (mathematische) Theorie des Unendlichen nach Cantor.9Dazu De�nition der Unendlichkeit einer Menge, hier nach Dedekind:10De�nition 1. a) Zwei Mengen A und B heiÿen gleichmächtigA � B :, _' (' Bijektion von A auf B):b) Eine Menge M heiÿt endlich :, : WM 0(M 0 �M ^ M 0 �M):c) M heiÿt unendlich :, M nicht endlich.7Arthur Cayley, 1821-18958K� := K n fng für Nullelement n in (K;+)9Georg Cantor, 1845-191810Richard Dedekind, 1831-1916

1.4 Unendlichkeit 11Unendlichkeitsaxiom:(UAX) WE (E unendlich):Hilfssatz 1. � ist eine Äquivalenzrelation (z. B. auf der Menge 2M allerTeilmengen einer Menge M).Satz 1. (Grundeigenschaften endlicher Mengen)(1) ; ist endlich.(2) A endlich ^ A0 � A) A0 endlich.(3) A;B endlich ) A [B;A \ B;A�B endlich.(4) M endlich ) 2M endlich.(5) M unendlich ) WM1;M2 �M1;M2 unendlich ^^ M1 \M2 = ; ^M1 [M2 = M �:De�nition 2. a) Die Äquivalenzklasse jM j := fX � E : X � Mg allerzu einer Menge M gleichmächtigen Mengen heiÿt Mächtigkeit oder Kardi-nalzahl von M .b) Eine unendliche Menge M heiÿt abzählbar unendlich (jM j = @0) :,M � N; sonst überabzählbar.c) Für Kardinalzahlen a; b; c seia � b :, _A2a _B2b�A � B�;a+ b = c :, _A2a _B2b�A \B = ; ^ A [B 2 c�;a � b = c :, _A2a _B2b _C2c�A� B � C�:Satz 2. ( Cantorsches Diagonalverfahren) Für alle Mengen X und A mitjAj � 2 und die Menge AX aller Abbildungen von X in A gilt jAX j > jX j.Hilfssatz 2 Für jede Menge X gilt jX j < j2X j.Bem.: c := jRj= 2@0 > @0; Kontinuumshypothese.

12 1 GRUNDLAGEN (WIEDERHOLUNG)1.5 OrdnungDe�nition 1. Sei R eine binäre Relation auf einer Menge M .� R heiÿt re�exive Halbordnungsrelation bzw. (M;R) re�exive Halbord-nung (Poset) :, R ist re�exiv, antisymmetrisch und transitiv.� R heiÿt re�exive Ordnungsrelation bzw. (M;R) re�exive Ordnung oderKette :, R ist lineare re�exive Halbordnungsrelation.� R heiÿt irre�exive Halbordnungsrelation bzw. (M;R) irre�exive Halb-ordnung :, R ist irre�exiv und transitiv.� R heiÿt irre�exive Ordnungsrelation bzw. (M;R) irre�exive Ordnung:, R ist konnexe irre�exive Halbordnungsrelation.Hilfssatz 1. Jede irre�exive Halbordnungsrelation ist asymmetrisch.Satz 1. Die Begri�e re�exive Halbordnung und irre�exive Halbordnungsind kryptomorph.De�nition 2. Sei R eine binäre (Halbordnungs-) Relation auf einer Men-ge M und N �M .a) s 2M untere Schranke vonN (bzgl. R) :, Vx2N �(s; x) 2 R _ s = x�;s 2M obere Schranke von N (bzgl. R) :, Vx2N �(x; s) 2 R _ x = s�:b) a heiÿt Minimum von N (bzgl. R); a = minN :,a 2 N ^ a untere Schranke von N .b heiÿt Maximum von N (bzgl. R); b = maxN :,b 2 N ^ b obere Schranke von N .c) i heiÿt In�mum von N (gröÿte untere Schranke); i = inf N :,i unt. Schr. von N ^ Vs2M �s unt. Schr. von N ) (s; i) 2 R _ s = i�:s heiÿt Supremum von N (kleinste obere Schranke); s = supN :,s ob. Schr. von N ^ Vs02M �s0 ob. Schr. von N ) (s; s0) 2 R _ s0 = s�:d) a heiÿt minimales Element in N (bzgl. R) :,a 2 N ^ Vx2N �(x; a) 2 R) x = a�:b heiÿt maximales Element in N (bzgl. R) :,b 2 N ^ Vx2N �(b; x) 2 R) x = b�:e) R heiÿt Wohlordnungsrelation auf M bzw. (M;R) Wohlordnung :,VN�MWx !!�N 6= ; ) x = minN�:

1.5 Ordnung 13Hilfssatz 2. Jede re�exive Ordnungsrelation auf einer endlichen Mengeist eine Wohlordnungsrelation.Satz 2. Jede re�exive (irre�exive) Wohlordnung ist eine re�exive (irre-�exive) Ordnung.Wohlordnungssatz(WO) Jede Menge kann wohlgeordnet werden.Äquivalent zuAuswahlaxiom(AAX) Zu jedem disjunkten MengensystemM existiert eine AuswahlmengeA mit M2M�M 6= ; =) _a �A \M = fag��:Bem.: Ordinalzahlen, ordnungstheoretische Charakterisierung von Ver-bänden.

14 2 ZAHLEN2 Zahlen2.1 Natürliche ZahlenNach dem Unendlichkeitsaxiom (UAX) existiert wenigstens eine unendlicheMenge E. Dann ist die Gleichmächtigkeit � eine Äquivalenzrelation auf demSystemMe � 2E aller endlichen Teilmengen von E.De�nition 1. (Genetische Einführung der natürlichen Zahlen)Eine natürliche Zahl ist eine Klasse m gleichmächtiger endlicher Mengen.Für die Menge N aller natürlichen Zahlen gilt alsoN := nm : _M2Me(M 2 m)o:Die natürliche Zahl Null kann de�niert werden durch 0 := ;. Die natür-liche Zahl m0 heiÿt Nachfolger der Zahl m 2 N:, _M2m _x=2M �(M [ fxg) 2 m0�:Addition, Multiplikation und Ordnung werden für natürliche Zahlen eben-so de�niert wie für beliebige Kardinalzahlen (Def. 1.4.2). Damit gilt folgenderHilfssatz 1. a) Va;b2N�a � b, Wc2N(a+ c = b)�.b) (N;+; �;�; 0; 1) ist ein wohlgeordneter kommutativer Fastring mit Null-element, Einselement und Kürzungsregeln:(F1) (N;+) ist kommutative Halbgruppe,(F2) (N; �) ist Halbgruppe,(F3) � ist distributiv bezüglich +,((F1)-(F3) Fastring und zusätzlich:)(Z1) � ist kommutativ,(Z2) 0 ist Nullelement in (N;+),(Z3) 1 ist Einselement in (N; �);(Z4) Va;b;c2N(a+ c = b+ c) a = b);(Z5) Va;b;c2N(a � c = b � c ^ c 6= 0) a = b);(Z6) � ist mit + und � verträglich,(Z7) (N;�) ist Wohlordnung.c) Jede nichtleere nach oben beschränkte Menge natürlicher Zahlen besitztein Maximum.

2.1 Natürliche Zahlen 15Satz 1. (Algebraische Charakterisierung der natürlichen Zahlen)(N;+;�; 0) ist die bis auf (kanonische) Isomorphie einzige nichttriviale kom-mutative Halbgruppe mit neutralem Element und Kürzungsregel, die bezüg-lich der kanonischen Halbordnung wohlgeordnet ist.De�nition 2. Eine Struktur (N; �; n) heiÿt Peano-Algebra11 :,(P0) N Menge,(P1) n 2 N (Nullelement, Anfangselement),(P2) � : N �! N (einstellige Nachfolgeroperation),(P3) � ist injektiv,(P4) : Wx2N ��(x) = n�,(P5) VM�N �n 2 M ^ Vx2N �x 2 M ) �(x) 2 M� =) N � M�(Induktionsaxiom).Lemma 1. (Rechtfertigungssatz für Beweise durch vollst. Induktion) IstH eine Aussageform auf einer Peano-Algebra (N; �; n), so gilt:H(n) ^ x2N �H(x)) H(�(x))� =) x2NH(x):Lemma 2. (Rechtfertigungssatz für induktive De�nitionen) In jeder Peano-Algebra (N; �; n) existiert für gegebene Abbildungen (Operationen)g : N s �! N und h : N s+2 �! N (s 2 N)genau eine Lösung f : N s+1 �! N des Funktionalgleichungssystemsf(a1; :::; as; n) = g(a1; :::; as)f(a1; :::; as; �(x)) = h(a1; :::; as; x; f(a1; :::; as; x)):Mit der induktiven De�nition x + n := x; x + �(y) := �(x + y) undder kanonischen Halbordnung � ergibt sich für beliebige Peano-Algebren(N; �; n) derHilfssatz 2. (N;+;�; n) ist eine nichttriviale wohlgeordnete kommuta-tive Halbgruppe mit Nullelement n und Kürzungsregel.Satz 2. (Axiomatische Charakterisierung der natürlichen Zahlen)(N; 0; 0) ist bis auf Isomorphie die einzige Peano-Algebra.11Guiseppe Peano, 1858-1932

16 2 ZAHLEN2.2 Ganze ZahlenDe�nition 1. Auf der Menge D := N�N �formaler Di�erenzen� na-türlicher Zahlen wird die Relation der Di�erenzengleichheit eingeführt durch(a1; b1) d= (a2; b2) :, a1 + b2 = a2 + b1 für (ai; bi) 2 D:Hilfssatz 1. a) Mit (a; b) + (c; d) := (a + c; b+ d) und (a; b) � (c; d) :=(ac + bd; ad+ bc) wird (D;+; �) zu einem kommutativen Fastring mit demNullelement (0; 0) und dem Einselement (1; 0).b) d= ist eine Kongruenzrelation auf dem Fastring (D;+; �).De�nition 2. a) Eine ganze Zahl ist eine Klasse di�erenzengleicher Paa-re von natürlichen Zahlen: Z:= (N�N)= d=.b) (a; b) + (c; d) := (a; b) + (c; d):c) (a; b) � (c; d) := (a; b) � (c; d):d) (a; b) � (c; d) :, a+ d � c+ b.Satz 1. (Z;+; �;�) ist ein angeordneter Integritätsbereich (Integritäts-ring), d. h.:a) (Z;+; �;�) ist ein kommutativer angeordneter Ring mit Einselement,b) Zist nullteilerfrei.Hilfssatz 2. (Z;�) ist eine Ordnung, keine Wohlordnung (!), aber es gilt:Jede nichtleere nach oben (unten) beschränkte Menge ganzer Zahlen besitztein Maximum (Minimum).Satz 2. (Isomorphe Einbettung der natürlichen Zahlen)Die Abbildung ' mit '(n) := (n; 0) ist ein Isomorphismus von (N;+; �;�)auf (Z+;+; �;�), wenn Z+ die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen ist.Folgerung. (Algebraische Charakterisierung der ganzen Zahlen)(Z;+; �;�) ist der (bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte) kleinste geord-nete Ring, der eine zu (N;+; �;�) isomorphe Teilstruktur enthält.Bemerkungen zu:Gebrochene Zahlen: Q+ := (N� N�)= q=.

2.3 Elementare Zahlentheorie (Teilbarkeitslehre) 172.3 Elementare Zahlentheorie (Teilbarkeitslehre)De�nition 1. (1) Die ganze Zahl a 2Zheiÿt Teiler von b 2Z(b Vielfachesvon a) a=b :, _t2Z(a � t = b):(2) Zwei ganze Zahlen a; b heiÿen assoziiert (a � b) :, a=b ^ b=a.Hilfssatz 1. Für ganze Zahlen a; b; c 2Zgilt:(1) a=a ( / ist re�exiv),(2) a=b ^ b=c) a=c (/ ist transitiv),(3) a=b ^ a=c) a=(b+ c);(4) a=b) a=bc,(5) a=b) a=(�b) ^ (�a)=b,(6) � ist Äquivalenzrelation auf Z,(7) a � b, jaj = jbj.Bemerkungen:� / ist keine Halbordnung auf Z(nicht antisymmetrisch).� Bei Einschränkung von / auf N gilt aber: (N, / ) ist Halbordnung (keineOrdnung!) mit 1= minN und 0= maxN.De�nition 2: (1) Eine ganze Zahl d heiÿt gröÿter gemeinsamer Teilerder ganzen Zahlen a1; :::; an (n � 2)d = ggT(a1; :::; an) :, ^1�i�n(d=ai) ^ ^d02Z� ^1�i�n(d0=ai)) d0=d�:(2) Eine ganze Zahl v heiÿt kleinstes gemeinsames Vielfaches der ganzenZahlen a1; :::; an (n � 2)v = kgV(a1; :::; an) :, ^1�i�n(ai=v) ^ ^v02Z� ^1�i�n(ai=v0)) v=v0�:(3) Die ganzen Zahlen a1; : : : ; an heiÿen teilerfremd (relativ prim) :,ggT(a1; : : : ; an) = 1:Bemerkungen:� ggT und kgV sind in Znur bis auf Assoziiertheit eindeutig, auf Ndagegen eindeutig bestimmt.� Mit a t b := kgV(a; b) und a u b := ggT(a; b) wird (N;t;u) zu einemdistributiven Verband mit dem Nullelement 1 und dem Einselement 0.

18 2 ZAHLEN� In N gilt: a=b ^ b 6= 0) a � b.� In N gilt: ggT(a; b)�kgV(a; b) = ab.Hilfssatz 2. (Division mit Rest)^(n;m)2N�N� _(q;r)2N2!! �n = q �m+ r ^ 0 � r < m�:(q heiÿt Quotient, r Rest bei der Division von n durch m).Folgerung. Euklidischer Algorithmus12 zur Bestimmung des gröÿten ge-meinsamen Teilers zweier natürlicher (ganzer) Zahlen.De�nition 3. Eine natürliche Zahl p heiÿt Primzahl:, p > 1 ^ t2N�t=p) (t = 1 _ t = p)�:Satz 1. (Hauptsatz über die eindeutige Primfaktorzerlegung)13Für jede natürliche Zahl n > 1 existiert genau eine Darstellung n = p1 � ::: �pkmit Primzahlen p1 � ::: � pk.Satz 2. Es gibt unendlich viele Primzahlen.Satz 3. (g-adische Zahldarstellung)Zu jeder natürlichen Zahl g 2 Nnf0; 1g existiert für jede natürliche Zahln > 0 genau eine Darstellung der Formn = sXi=0 ai � gi mit s � 0; 0 < as < g; 0 � ai < g (i = 0; :::; s� 1):Bemerkung: g = 10 (Dezimaldarstellung), g = 2 (Dualdarstellung).Hilfssatz 3. (Teilbarkeitsregeln) Ist die natürliche Zahl n in Dezimaldar-stellung gegebenn = ak � 10k + ak�1 � 10k�1 + � � �+ a1 � 10 + a0mit den Zi�ern ai; 0 � ai � 9; (i = 0; : : : ; k), so gilt(1) 2/n () 2/a0 (2 teilt die letzte Zi�er, n ist gerade),(2) 3/n () 3=Pai ( 3 teilt die Quersumme von n),(3) 4/n () 4=(a1 � 10 + a0),12Euklid, um 365 - um 300 v. Chr.13Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie

2.3 Elementare Zahlentheorie (Teilbarkeitslehre) 19(4) 5/n () a0 = 0 _ a0 = 5,(5) 6/n () 2=n ^ 3=n,(6) 8/n () 8=(a2 � 102 + a1 � 10 + a0),(7) 9/n () 9=Pai,(8) 10/n () a0 = 0.Ergänzungen:� Kongruenzen: a kongruent b modulo ma � b (m) :, a; b;m 2Z^ m > 0 ^ m=(a� b):Faktorringe Zm :=Z=�(m), endliche Körper, insbesondereZp (p Prim-zahl).� Eulersche '-Funktion14'(m) := jfx 2 N : 0 < x � m ^ ggT(x;m) = 1gj;also '(1) = '(2) = 1; '(3) = '(4) = 2; '(5) = 4; :::;'(m) = Anzahl der primen Restklassen modulo m.� Satz von Euler: Für teilerfremde natürliche Zahlen k und m giltk'(m) � 1 (m):� Kleiner Satz von Fermat:15 Für Primzahlen p, die kein Teiler der na-türlichen Zahl k sind, gilt: kp�1 � 1 (p):� Eine Primzahl p heiÿt Fermatsche Primzahl :,_t2N(p = 22t + 1):� Satz von Gauÿ:16 Ein reguläres n-Eck ist genau dann mit Zirkel undLineal konstruierbar, wennn = 2mp1 � ::: � pkmit m; k 2 N ^ pi Fermatsche Primzahlen (i = 1; : : : ; k) mit pi < pi+1,also n = 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 16;17; 20; 24; 30; : : : .14Leonhard Euler, 1707-178315Pierre de Fermat, 1601-166516Carl Friedrich Gauÿ, 1777-1855

20 2 ZAHLEN2.4 Rationale ZahlenB := Z�Z� als direktes Produkt der kommutativen Halbgruppen (Z; �)und (Z�; �) (Menge der Brüche oder formalen Quotienten).De�nition 1. Für (a; b); (c; d) 2 B sei(a; b) + (c; d) := (ad+ bc; bd); (a; b) � (c; d) := (ac; bd);(a; b) � (c; d) :, � ad � bc (bd > 0)ad � bc (bd < 0);(a; b) q= (c; d) :, ad = bc (Quotientengleichheit):Hilfssatz 1. a) (B;+) ist eine kommutative Halbgruppe mit dem Null-element (0; 1).b) (B; �) ist eine kommutative Halbgruppe mit dem Einselement (1; 1).c) q= ist Kongruenzrelation auf (B;+; �;�).De�nition 2. a) Eine rationale Zahl ist eine Klasse quotientengleicherPaare von ganzen Zahlen:Q := B= q= = (Z�Z�)= q=:b) (a; b) + (c; d) := (a; b) + (c; d):c) (a; b) � (c; d) := (a; b) � (c; d):d) (a; b) � (c; d) :, (a; b) � (c; d).Hilfssatz 2. (Q;+; �;�) ist ein geordneter Körper (der Quotientenkörperdes Ringes Z).Satz 1. (Anordnungseigenschaften der rationalen Zahlen)a) � ist archimedische17 Ordnungsrelation in Q, d. h.:q2Q ^p2Q�+ _n2N(n � p > q):b) Die rationalen Zahlen liegen dicht, d. h.:^p;q2Q _r2Q�p < q =) p < r < q):c) Es gibt nichtleere beschränkte Mengen rationaler Zahlen, die (in Q) keinIn�mum oder Supremum besitzen.17Archimedes von Syrakus, um 287-212 v. Chr.

2.5 Reelle Zahlen 21Satz 2. (Algebraische Charakterisierung der rationalen Zahlen)a) Der Körper der rationalen Zahlen ist (bis auf Isomorphie) der kleinsteKörper, der einen zum Ring der ganzen Zahlen isomorphen Unterring ent-hält (isomorphe Einbettung der ganzen Zahlen!).b) Der Körper der rationalen Zahlen ist der kleinste geordnete Körper.Hilfssatz 3. Jede rationale Zahl läÿt sich als Quotient einer ganzenZahl und einer von Null verschiedenen natürlichen Zahl darstellen (�gemei-ner Bruch�).De�nition 3. Ein Dezimalbruch ist eine Folge (a�)�2N natürlicher Zah-len mit a� � 9 für alle � � 1.18 Ein Dezimalbruch heiÿt periodisch, wennnatürliche Zahlen l; k (k � 1) existieren mit a� = ak+� für alle � > l(l: Vorperiodenlänge, k: Periodenlänge; Schreibweise: a0; a1a2a3:::).Satz 3. Bei Ausschluÿ der Periode 9 besitzt jede rationale Zahl entwedereine endliche Dezimalbruchentwicklung (Weglassen der Periode 0) oder eineperiodische (unendliche) Dezimalbruchentwicklung.2.5 Reelle ZahlenDe�nition 1. a) Die Menge [a; b] := fx 2 Q : a � x � bg heiÿt (abgeschlos-senes) Intervall in Q für a; b 2 Q mit a � b.b) Eine Folge ha� ja0�i�2N von Intervallen I� = [a� ; a0� ] in Q heiÿt Intervall-schachtelung in Q :,(1) V�2N�I�+1 � I�� (Schachtelung),(2) (a0� � a�)�2N ist Nullfolge (Zusammenziehen).c) Zwei Intervallschachtelungen heiÿen punktgleichha� ja0�i p= hb� jb0�i :, �2N(b� � a0� ^ a� � b0�):Hilfssatz 1. p= ist eine Äquivalenzrelation in der Menge S(Q) aller In-tervallschachtelungen in Q.De�nition 2. a) Eine reelle Zahl ist eine Klasse punktgleicher Intervall-schachtelungen rationaler Zahlen: R := S(Q)= p=:b) Mit [aija0i] := fhxijx0ii 2 S(Q) : hxijx0ii p= haija0iig sei[aija0i] + [bijb0i] := [ai + bi j a0i + b0i];18Die beliebige natürliche (oder auch ganze) Zahl a0 sei dabei in Dezimaldarstellunggegeben.

22 2 ZAHLEN[aija0i] � [bijb0i] := � [aibija0ib0i] für 0 < ai; bi::: usw.[aija0i] � [bijb0i] :, i2N�ai � b0i�:Satz 1. (R;+; �;�) ist ein stetiger Körper, d. h. (R;+; �;�) ist ein geord-neter Körper und jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge besitztein Supremum.Satz 2. (Algebraische Charakterisierung der reellen Zahlen)(R;+; �;�) ist der (bis auf Isomorphie) einzige stetige Körper.Hilfssatz 2. Jede reelle Zahl läÿt sich eindeutig als Dezimalbruch (ohneNeunerperiode) darstellen.Bemerkungen zu:� Irrationale Zahlen� Transzendente Zahlen� Isomorphe Einbettung der rationalen Zahlen in die reellen Zahlen� Archimedische Ordnung� Potenz und Wurzel� Komplexe Zahlen.

233 Vektoren3.1 Geometrische EinführungGegeben sei E = E i, die euklidische Ebene (i = 2) oder der euklidische Raum(i = 3) mit der Menge P der Punkte A;B; :::. Die durch zwei verschiedenePunkte A;B 2 P eindeutig bestimmte Gerade werde durch g(AB) bezeich-net. jABj bezeichne die Länge (Längenmaÿzahl) der Strecke AB.De�nition 1. a) S := P � P sei die Menge aller gerichteten Strecken(A;B) (A: Anfangspunkt, B: Endpunkt).b) Zwei gerichtete Strecken (A;B); (C;D) 2 S heiÿen parallelgleich(A;B) k=(C;D) :, 8>>><>>>: A = B für C = DA 6= B ^ WP;Q=2g(AB)[g(CD) �g(AB)kg(PQ)kg(CD) ^^ g(AP )kg(BQ) ^ g(CP )kg(DQ)� für C 6= D:Hilfssatz 1. (Satz von Desargues)19 Sind die Geraden g(A1A2); g(B1B2)und g(C1C2) paarweise parallel und verschieden und gilt auÿerdemg(A1B1)kg(A2B2) und g(B1C1)kg(B2C2), so gilt auch g(A1C1)kg(A2C2).Hilfssatz 2. k= ist Äquivalenzrelation auf der Menge S aller gerichtetenStrecken.De�nition 2. a) Ein Vektor ist eine Klasse parallelgleicher gerichteterStrecken der euklidischen Ebene bzw. des euklidischen Raumes:V := (P�P)= k= = S= k= :b) Für (A;B); (C;D) 2 V sei(A;B) + (C;D) = (E; F ) :, _X2P�(B;X) 2 (C;D) ^ (A;X) 2 (E; F )�:c) Für (A;B) 2 V und � 2 R sei� � (A;B) := 8<: (A;A) für � = 0 oder A = B;(A;C) mit C 2 AB+ ^ jACj = �jABj für � > 0; A 6= B;(A;C) mit C 2 AB� ^ jACj = j�jjABj für � < 0; A 6= B:Satz 1. (V1) �V;+� ist eine abelsche Gruppe.19Gérard Desargues, 1591-1662

24 3 VEKTORENSatz 2. Für alle a; b 2 V und �; � 2 R gilt:(V2) 1 � a = a;(V3) �(�a) = (��)a;(V4) (�+ �)a = �a+ �a;(V5) �(a+ b) = �a+ �b:Bemerkungen: Richtung, Betrag, Richtungssinn, Translationen.3.2 Lineare Räume (Wiederholung)De�nition 1. (V;+;K) ist linearer Raum (Vektorraum) über K :,(V0) V Menge (Elemente: Vektoren), K Körper (Elemente: Skalare, " Eins-element); es existiert eine Vervielfachung � als Abbildung von K � V in Vmit(V1) (V;+) abelsche Gruppe,(V2) Va2V (" � a = a);(V3) V�;�2K Va2V ��(�a) = (��)a�;(V4) V�;�2K Va2V �(�+ �)a = �a+ �a�;(V5) V�2K Va;b2V ��(a+ b) = �a+ �b�:Beispiele: V2;V3;K;Kn , insbesondere R;Rn; C ; C n;A(M;K) := ff j f : M �! Kg für M 6= ; mit�f1 + f2�(x) := f1(x) + f2(x)��f�(x) := � � f(x);insbesondere V � := L(V;R) � A(V;R) - der zu V duale Vektorraum;C[a; b]; B[a; b]; Cr[a; b];F := A(N;R) - Menge aller Folgen reeller Zahlen;�M(m;n)(K);+;K� - Matrizen festen Typs (m;n); Raum der ganzrationalenFunktionen (Polynome) höchstens n-ten Grades.De�nition 2. a) (V 0;+;K) ist linearer Unterraum des Vektorraumes(V;+;K) :, V 0 � V ^ (V 0;+;K) Vektorraum.

3.2 Lineare Räume (Wiederholung) 25b) ' heiÿt lineare Abbildung (Homomorphismus) des Vektorraumes(V1;+;K) in (V2;+;K) �' 2 L(V1; V2) = Hom(V1; V2)� :,(1) ' : V1 �! V2,(2) Va;b2V1 �'(a+ b) = '(a) + '(b)�,(3) Va2V1 V�2K�'(�a) = � � '(a)�.c) Ein Vektor v des Vektorraumes (V;+;K) heiÿt Linearkombination derVektormenge A � V , falls eine Darstellung v = Pa2A�aa existiert, in derfast alle Koe�zienten �a gleich dem Nullelement in K sind (so daÿ sich dieSumme durch Weglassen aller Summanden 0 � a auf eine endliche reduziert).d) Für A � V heiÿt die Menge linA aller Linearkombinationen von Alineare Hülle von A. 20e) Eine Teilmenge A � V von Vektoren eines Vektorraumes (V;+;K)heiÿt linear unabhängig :,aus � 2 linA mit � =Xa2A�aa folgt a2A(�a = 0):f) Eine Teilmenge B � V eines Vektorraumes (V;+;K) heiÿt Basis:, B linear unabhängig ^ linB = V:g) Ist B eine Basis des Vektorraumes V , so heiÿt ihre Kardinalzahldim V := jBj Dimension von V .Hilfssatz 1. a) Für Teilmengen V 0 6= ; von V gilt:(V 0;+;K) ist linearer Unterraum von (V;+;K)() ^x;y2V 0 z2V �z 2 linfx; yg =) z 2 V 0�() ^x;y2V 0 �2K �x+ �y 2 V 0�:b) Ist ' ein Homomorphismus eines linearen Raumes (V1;+;K) in einenlinearen Raum (V2;+;K), so ist das volle Bild '(V1) Unterraum von V2 undder Kern Ker(') := fx 2 V1 : '(x) = �g ein Unterraum von V1.c) Ist fL� : � 2 Ig ein beliebiges System linearer Unterräume eines Vek-torraumes (V;+;K), so ist auch L := T�2I L� ein linearer Unterraum von V .20Ist A = fa1; :::; ang endlich, so bedeutet v 2 linA die Existenz von n Elementen �i 2 Kmit v = �1a1 + :::+ �nan.

26 3 VEKTORENd) Eine Teilmenge A � V eines Vektorraumes ist genau dann linear un-abhängig, wenn kein a 2 A existiert mit a 2 lin(Anfag):Hilfssatz 2. Für Teilmengen A � V eines Vektorraumes (V;+;K) sindfolgende Aussagen äquivalent:(1) V 0 =linA,(2) V 0 = TA�LL (L linearer Unterraum von V ),(3) V 0 = nx 2 V : WA0�A �jA0j <1 ^ x 2 linA0�o:Folgerung. lin ist ein Hüllenoperator auf V , d. h.(H0) lin : 2V �! 2V ,(H1) VA�V (A � linA),(H2) VA;B�V (A � B =) linA � lin B),(H3) VA�V �lin(linA) = lin A ).Satz 1. (Basissatz für Vektorräume) Jeder Vektorraum V besitzt eineBasis, und alle Basen von V haben dieselbe Mächtigkeit.Satz 2. (Hauptsatz über endlichdimensionale Vektorräume)Jeder Vektorraum (V;+;K) mit dimV = n (n 2 N) ist isomorph zu Kn.3.3 A�ne RäumeDe�nition 1. a) (P; Vn;R) ist n-dimensionaler reeller a�ner Raum (Punkt-Vektorraum) :,(0) P 6= ; (Punkte), (Vn;+;R) ist n-dimensionaler reeller linearerRaum, und es ist eine Punkt-Vektor-Addition erklärt + : P� Vn �! P mit(1) VA2P (A+ � = A);(2) VA2P Vx;y2Vn �(A+ x) + y = A+ (x+ y)�;(3) VA;B2P Wx2Vn!! (A+ x = B) (Bezeichnung: x = �!AB):

3.3 A�ne Räume 27b) (U; Vk;R) ist k-dimensionaler a�ner Unterraum des a�nen Raumes(P; Vn;R) :,(1) U � P,(2) Vk linearer Unterraum von Vn,(3) (U; Vk;R) ist k-dimensionaler a�ner Raum.Die Punktmenge U heiÿt dann auch k-Ebene, für k = 1 Gerade,für k = 2 Ebene, für k = n � 1 Hyperebene .c) Ein Vektor v des a�nen Raumes (P; Vn;R) heiÿt a�ne Kombinationder Vektormenge A = fa1; :::; akg � Vn, falls eine Darstellung v = kPi=1�iaiexistiert mit kPi=1�i = 1.d) Für A � Vn heiÿt die Menge a�A aller a�nen Kombinationen vonVektoren aus A a�ne Hülle von A.Standardbeispiel: Jeder n-dimensionale reelle lineare Raum (Vn;+;R)wird mit P := Vn und der Vektoraddition als Punkt-Vektor-Addition zueinem n-dimensionalen a�nen Raum.Dann ist insbesondere jeder lineare Unterraum ein a�ner Unterraum, wäh-rend die Umkehrung i. a. nicht richtig ist.Ferner ist jede a�ne Kombination auch Linearkombination, während dieUmkehrung i. a. nicht gilt.Die leere Menge kann als a�ner Raum der Dimension -1 aufgefaÿt werden.Hilfssatz 1. Sei (P; Vn;R) ein n-dimensionaler reeller a�ner Raum.Dann gilt:a) VA;B2P�(�!AB = �, A = B) ^ � �!AB = �!BA�:b) Wird ein Punkt O 2 P ausgezeichnet, so ist die Abbildung� : P �! Vn mit �(X) := ��!OX eine Bijektion.c) Eine nichtleere Punktmenge U � P ist genau dann eine k-Ebene, wennein k-dimensionaler linearer Unterraum Vk von Vn und ein Punkt A 2 Pexistieren mit U = nX 2 P : _x2Vk(X = A+ x)o =: A+ Vk(U ist verschobener linearer Unterraum, lineare Mannigfaltigkeit).

28 3 VEKTORENd) a� ist Hüllenoperator auf Vn, der sich vermögea�A := \A�UU �(U; V;R) a�ner Unterraum�auch auf P übertragen läÿt (der Durchschnitt eines beliebigen Systems a�-ner Unterräume ist wieder ein a�ner Unterraum).De�nition 2. a) Ist fb1; :::; bng Basis von Vn und O 2 P ein ausgezeich-neter Punkt (Ursprung), so heiÿt (O; b1; :::; bn) a�nes Koordinatensystem imRaum (P; Vn;R), �ibi Komponenten von ��!OX und die Zahlen �i in�(X) = ��!OX = nXi=1 �ibidie a�nen Koordinaten des Punktes X (bzw. des Ortsvektors ��!OX von X).b) Für jeden Vektor t 2 Vn heiÿt die Abbildung � : P �! P mit�(P ) := P + tTranslation (Verschiebung) des a�nen Raumes (P; Vn;R). Die Menge allerTranslationen sei Tn.c) Zwei PunktmengenM1;M2 � P eines a�nen Raumes heiÿen transla-tionsgleich M1 t=M2 :() _�2Tn ��(M1) =M2�:d) Zwei a�ne Unterräume bzw. die entsprechenden Punktmengen Ur;Ul(0 < r; l < n) heiÿen parallelUrkUl :() _�2Tn ��(Ur) � Ul _ �(Ul) � Ur�:Hilfssatz 2. a) Die Menge aller Translationen bildet eine zur Gruppe Vnisomorphe Transformationsgruppe von P:Tn < SP:b) Die Translationsgleichheit t= ist eine Äquivalenzrelation in der Menge2P aller Punktmengen.c) Für festes k (0 < k < n) ist die Parallelität eine Äquivalenzrelationauf der Menge aller k-Ebenen eines a�nen Raumes.

3.3 A�ne Räume 29Satz 1. (Parameterdarstellung) Ist U = A+Vk eine k-Ebene eines a�nenRaumes mit dem Koordinatensystem (O; a1; :::; an) und der Basis fb1; :::; bkgvon Vk, so gilt für die Ortsvektoren x := ��!OX der Punkte X 2 U mit a := �!OAdie Parameterdarstellungx = a+ kXi=1 �ibi (�i 2 R):Folgerungen: 1. Parameterdarstellung einer Geraden g im R2:Vektoriell: x = a+ �b (� 2 R):In Koordinaten:�1 = �1 + ��1�2 = �2 + ��2 für x = ��1�2� = �1a1 + �2a2; b = ��1�2� ; a = ��1�2� :-AAAK ���������1������PPPqPPPPPPPPPPPPPPPa1a2O a xg A b Xr rr -���*������� -@@@R������@@@@@@@@ ������ @@@@@@@@������������� rr XA" bca1a3O a x2. Parameterdarstellung einer Ebene " im R3:Vektoriell: x = a+ �1b+ �2c (�1; �2 2 R):In Koordinaten:�1 = �1 + �1�1 + �2 1�2 = �2 + �1�2 + �2 2�3 = �3 + �1�3 + �2 3 für x = 0@�1�2�31A ; a = 0@�1�2�31A ; b = 0@�1�2�31A ; c = 0@ 1 2 31A :Satz 2. (Inzidenzeigenschaften des a�nen Raumes)21 Für die Menge Gder Geraden und die Menge E der Ebenen eines 3-dimensionalen reellen af-�nen Raumes gilt:(I1) VA;B2P�A 6= B ) Wg2G!! (A 2 g ^ B 2 g)� �g =: g(AB)�:(I2) Vg2G(jgj � 2):21Hilbertsche Inzidenzaxiome,David Hilbert, 1862-1943

30 3 VEKTOREN(I3) WA;B;C2P(A;B; C nicht kollinear):(I4) VA;B;C2P W"2E!! (A;B; C nicht kollinear) A 2 " ^ B 2 " ^ C 2 "):(I5) V"2E WA2P (A 2 "):(I6) VA;B2P V"2E (A 6= B ^ A;B 2 ") g(AB) � "):(I7) V�;�2E VP2P WQ2PnfPg (P 2 � \ � ) Q 2 � \ �):(I8) WA;B;C;D2P : W"2E (A;B; C;D 2 "):(PA) Vg2G VP2P Wh2G!! (P 2 h ^ hkg):3.4 Euklidische RäumeDe�nition 1. a) Ein reeller n-dimensionaler euklidischer Raum ist ein a�nerRaum (P; Vn;R), in dem ein Skalarprodukt de�niert ist, d. h. eine Abbildung� : Vn � Vn �! Rmit(S1) Vx2Vn �x � x � 0 ^ (x � x = 0) x = �)�;(S2) Vx;y2Vn(xy = yx);(S3) Vx;y;z2Vn V�2R�(�x)y = �(xy) ^ (x+ y)z = xz + yz�:b) Zwei Vektoren heiÿen senkrecht (orthogonal) (x ? y) :, x � y = 0:c) jxj := px � x (Länge, Betrag des Vektors x).d) ' ist Gröÿe des Winkels zwischen den Vektoren x; y 6= �:, cos' = x�yjxj�jyj .e) Eine Basis fb1; :::; bng heiÿt orthonormiert:, bi � bk = �ik (i; k = 1; :::; n). 2222�ik := � 0 für i 6= k1 für i = k

3.4 Euklidische Räume 31Bemerkungen:1. Geometrischer Zugang (Schule):Länge des Vektors �!AB : j�!ABj := jABj,Winkel zwischen den Vektoren �!AB und �!AC : ](�!AB;�!AC) := ]BAC;Skalarprodukt: �!AB � �!CD := j�!ABj � j�!CDj � cos�](�!AB;�!CD)�.2. Anderer Zugang zum Skalarprodukt x � y := f(x; y) bzw. zum Begri� deseuklidischen Vektorraumes (V; f) - mit positiv de�niter symmetrischer Bili-nearform f auf einem reellen linearen Raum (V;+;R):f : V � V �! R, so daÿ für alle �; � 2 R und x; y; z 2 V gilt:(B1) f(�x+ �y; z) = �f(x; z) + �f(y; z);(B2) f(x; y) = f(y; x);(B3) x 6= �) f(x; x) > 0:Hilfssatz 1. a) Für das Skalarprodukt gilt die Cauchy-SchwarzscheUngleichung:23 ^x;y2V �(x � y)2 � x2y2�:b) Jeder endlichdimensionale reelle lineare bzw. a�ne Raum ist ein euklidi-scher Raum.Satz 1. a) Jeder euklidische Vektorraum (V; f)wird mit kxk :=pf(x; x)zu einem normierten linearen Raum - der Betrag hat die Eigenschaften einerNorm:j � j : V �! R, so daÿ für alle � 2 R und x; y 2 V gilt:(N1) jxj = 0 () x = �,(N2) j� � xj = j�j � jxj;(N3) jx+ yj � jxj+ jyj:b) Jeder euklidische Raum (P; Vn;R) wird mit d(A;B) = j�!ABj zu einemmetrischen Raum (P; d):d : P2 �! R, so daÿ für alle A;B; C 2 P gilt:(M1) d(A;B) = 0 () A = B,(M2) d(A;B) = d(B;A),(M3) d(A;B) + d(B;C) � d(A;C):De�nition 2. a) Ein (a�nes) Koordinatensystem (O; b1; :::; bn) eines eu-klidischen Raumes (P; Vn;R) heiÿt genau dann kartesisch,24 wenn fb1; :::; bngeine Orthonormalbasis ist.23Hermann Amandus Schwarz, 1843-1921; Augustin Louis Cauchy, 1789-185724René Descartes (Cartesius), 1596-1650

32 3 VEKTORENb) Drei Vektoren a = 0@�1�2�31A ; b = 0@�1�2�31A ; c = 0@ 1 2 31A des 3-dimensionaleneuklidischen Raumes bilden genau dann ein Rechtssystem (positive Orientie-rungs�gur), wenn ihr Spatprodukt(abc) := det(a b c) = �������1 �1 1�2 �2 2�3 �3 3������ positiv ist.c) Der Vektor c des 3-dimensionalen euklidischen Raumes heiÿt Vektor-produkt der Vektoren a und bc = a� b :, 8>><>>:(1) c ? a; c ? b;(2) jcj = jajjbj sin�](a; b)�;(3) a; b; c Rechtssystem (für c 6= �):���������*-���� ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................................................................................... ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .........................................................acbParallelepiped und Spatprodukt ������:����AAAAAAK ........................................................................................................................................................................................................................................................ . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . .. ... . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . ... .. . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . ..................................................................... ......................................................... rq aba� bVektorproduktHilfssatz 2. Für alle Vektoren a; b; c des 3-dimensionalen euklidischenRaumes und alle reelle Zahlen � gilt:(1) a � b = �������1 �1 b1�2 �2 b2�3 �3 b3������ := �����2 �2�3 �3���� b1 � �����1 �1�3 �3���� b2 + �����1 �1�2 �2���� b3= 0@�2�3 � �3�2�3�1 � �1�3�1�2 � �2�11A ;(2) a � b = � () a; b linear abhängig;(3) (a+ b)� (�c) = �(a� c) + �(b� c) ^ a� b = �(b� a);(4) ja� bj2 = ����a2 abab b2���� =: G(a; b);( G(a; b) heiÿt Gramsche Determinante25 ).25Jørgen Pedersen Gram, 1850 - 1916

3.4 Euklidische Räume 33Bemerkungen: 1. Das Vektorprodukt läÿt sich (als alternierende Multili-nearform) auf den n-dimensionalen Fall (n � 3) verallgemeinern.2. Für n = 2 kann a � b als die reelle Zahl jajjbj sin�](a; b)�, also alsFlächeninhalt des von den (Seiten-) Vektoren a; b aufgespannten Parallelo-gramms aufgefaÿt werden.3. Im Raum ist das Spatprodukt (abc) = (a� b) � c das (orientierte) Vo-lumen des von den (Kanten-) Vektoren a; b; c aufgespannten Parallelepipeds(Spates), und es gilt (abc)2 = G(a; b; c)) (Gramsche Determinante).Satz 2. (Geraden- und Ebenengleichungen)a) Die Gerade g : x = a+ �u (� 2 R) (Parameterdarstellung oder Punkt-richtungsdarstellung) mit a = �!OA für A 2 g und Richtungsvektor u kannauch beschrieben werden durch die Zweipunkteform(1) x = a+ �(b� a) (� 2 R) für A;B 2 g ^ A 6= B,im 3-dimensionalen Fall auch durch die Vektorproduktform(2) u� (x� a) = � für u Richtungsvektor und A 2 g,im 2-dimensionalen Fall auch durch die Hessesche Normalform26(3) n(x� a) = 0 für n ? u, jnj = 1 und A 2 g;durch die allgemeine Geradengleichung(4) �1�1 + �2�2 + �3 = 0 mit �21 + �22 > 0 und x = ��1�2� ;die Normalform(5) �2 = ��1 + � ;die Punktrichtungsform(6) �2 � �2�1 � �1 = � für a = �!OA = ��1�2� und A 2 g,die Zweipunkteform26Ludwig Otto Hesse, 1811-1874

34 3 VEKTOREN(7) �2 � �2�1 � �1 = �2 � �2�1 � �1 bzw. ������1 �1 �21 �1 �21 �1 �2������ = 0 für A;B 2 gund die Achsenabschnittsform(8) �1� + �2� = 1 .b) Die Ebene " : x = a + �u + �v (�; � 2 R; u; v linear unabhängig,a = �!OA für A 2 ") (Parameterdarstellung oder Punktrichtungsdarstellung)kann auch beschrieben werden durch die Dreipunkteform(1') x = a+ �(b� a) + �(c� a) (�; � 2 R) für A;B; C 2 " nichtkollinear,im 3-dimensionalen Fall auch durch die Vektorprodukt- bzw. Determinan-tenform(2') (u� v)(x� a) = ������u1 v1 �1 � �1u2 v2 �2 � �2u3 v3 �3 � �3������ = 0 für A 2 ",oder durch die Hessesche Normalform(3') n(x� a) = 0 für n ? u; v; jnj = 1 und A 2 ",die allgemeine Ebenengleichung(4') �1�1 + �2�2 + �3�3 + �4 = 0 ( 3Pi=1�2i > 0),die Dreipunkteform(7') ��������1 �1 �2 �31 �1 �2 �31 �1 �2 �31 1 2 3�������� = 0bzw. jx� a b� a c� aj = 0 für A;B; C 2 " nicht kollinear

3.5 Polyeder 35oder die Achsenabschnittsform(8') �1� + �2� + �3 = 1 (�� 6= 0).6 -����� ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ .. .. . . .. . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . .. . .. ...�1 �2�3� � ss sAchsenabschnittsgleichung der Ebene3.5 PolyederIn diesem Kapitel wird der a�ne bzw. euklidische Standardraum Ed :=(Rd;Rd;R) betrachtetmit dem kartesischen Koordinatensystem (O; e1; :::; ed);Punkte A werden mit ihrem Ortsvektor bzw. ihrem Koordinaten-n-Tupelidenti�ziert: A = a = �!OA = dX1 �iei = 0B@�1...�d1CA :Dann ist Ed mit dem Skalarprodukta � b := at � b = dX1 �i�i für at = (�1; :::; �d); bt = (�1; :::; �d)ein euklidischer d-dimensionaler Raum, für d = 2 die euklidische Ebene, fürd = 3 der euklidische Raum.De�nition 1. a) Ein Punkt (Vektor) a 2 Rd heiÿt konvexe Kombinati-on der Punkte (Vektoren) a1; :::; ak 2 Rd, falls eine Darstellung a = kP1 �iaiexistiert mit kP1 �i = 1 und �i � 0 (i = 1; :::; k).

36 3 VEKTORENb) Für eine PunktmengeM � Rd heiÿt die Menge convM aller konvexenKombinationen von Punkten aus M konvexe Hülle von M .c) Die konvexe Hülle ab von zwei Punkten a; b 2 Rd heiÿt Strecke mitden Endpunkten a und b.d) Eine Punktmenge K � Rd heiÿt konvexK konvex :() ^a;b2K (ab � K):'& $%r ra b ������'& rrabkonvex nicht konvexHilfssatz 1. a) Der Durchschnitt jeder Familie konvexer Mengen ist einekonvexe Menge.b) K konvex , Vn2N� Vx1;:::;xn2K (convfx1; :::; xng � K):c) VM�Rd (convM konvex).Satz 1. a) VM�Rd �convM = TM�KK (K konvex)�:b) conv ist ein Hüllenoperator auf Rd.De�nition 2. a) k + 1 Punkte p0; :::; pk heiÿen genau dann in allgemei-ner Lage oder a�n unabhängig, wenn keine (k � 1)-Ebene existiert, die allePunkte pi enthält.b) Die konvexe Hülle Sk von k+1 Punkten p0; :::; pk 2 Rd in allgemeinerLage heiÿt k-SimplexSk := convfp0; :::; pkg= fx 2 Rd : x = kXi=0 �ipi ^ kX0 �i = 1 ^ �i � 0 (i = 0; :::; k)g;

3.5 Polyeder 37für k = 2 auch Dreieck .27c) Die konvexe Hülle P einer endlichen Punktmenge M � Rd, die nichtin einer Hyperebene liegt, heiÿt konvexes Polyeder oder d-PolytopP := convM;für d = 2 auch konvexes Polygon .d) Die Vereinigung von endlich vielen konvexen Polyedern heiÿt allge-meines Polyeder.e) Jede Hyperebene " = fx 2 Rd : u(x � a) = 0g zerlegt den Rdelementargeometrisch in zwei (abgeschlossene) HalbräumeH+" := fx 2 Rd : u(x� a) � 0g und H�" := fx 2 Rd : u(x� a) � 0g :Rd = H+" [H�" ^ H+" \H�" = ":f) Eine Hyperebene " : u(x � a) = 0 heiÿt Stützhyperebene28 an einePunktmenge M � Rd in Richtung u:() M � H�" ^ " \M 6= ;:g) Ist " Stützhyperebene an ein Polytop P , so heiÿt die StützmengeFk := P \ " k-Seite von P , falls k = dimFk := dim (a�Fk). F0 heiÿtEckpunkt, F1 Kante und Fd�1 Seiten�äche von P .Lemma 1. (Analytische Beschreibung konvexer Polyeder) a) Jede k-Seiteeines d-Polytops ist selbst ein k-Polytop.b) Sind "1; :::; "f die Trägerebenen "i : ui(x � ai) = 0 der Seiten�ächenF id�1 � "i des d-Polytops P und p1; :::; pe die Eckpunkte von P , so giltP = f\i=1H�"i = fx 2 Rd : ui(x� ai) � 0 (i = 1; :::; f)g= convfp1; :::; peg = fx 2 Rd : x = eXi=1 �ipi ^ eX1 �i = 1 ^ �i � 0 (i = 1; :::; e)g:Hilfssatz 2. Jedes d-Polytop P ist elementargeometrisch in endlich vieled-Simplexe Si zerlegbar:P = mX1 Si :() P = m[1 Si ^ dim(Si \ Sk) < d für i 6= k:27Ein 1-Simplex ist eine Strecke.28für d = 2 Stützgerade

38 3 VEKTORENBeispiele dreidimensionaler Polytope:� Pn ist eine (konvexe) n-seitige Pyramide :, es existiert ein n-EckGn � " in einer Ebene " des R3 (Grund�äche von Pn) und ein Punkts 62 " (Spitze von Pn) mitPn := conv(fsg [Gn):� Qn ist ein (konvexes) n-seitiges Prisma :, es existiert ein n-EckGn � " in einer Ebene " des R3 (Grund�äche von Qn) und eine Trans-lation �t 6= id, deren Translationsvektor t nicht parallel zu " ist mitQn := conv�Gn [ �(Gn)�:� Ist die Grund�äche des (vierseitigen) Prismas Q4 ein Parallelogramm,so heiÿt Q4 Parallelotop, Spat oder Parallelepiped.� Gilt t ? ", so heiÿt das Prisma Qn gerade.� Ein gerades Prisma mit rechteckiger Grund�äche heiÿt Quader.� Ein Quader mit gleichlangen Kanten ist regulär und heiÿt Würfel oderHexaeder.� Die weiteren regulären dreidimensionalen Polytope (Platonische Kör-per)29 sind das Tetraeder (reguläre dreiseitige Pyramide), dasOktaedermit acht gleichseitigen Dreiecken als Seiten�ächen, das Dodekaedermit12 regelmäÿigen Fünfecken als Seiten�ächen und das Ikosaeder mit 20gleichseitigen Dreiecken als Seiten�ächen.3-Polytope e k fn-seitige Pyramide Pn n+1 2n n+1n-seitiges Prisma Qn 2n 3n n+2Tetraeder T 4 6 4Hexaeder W 8 12 6Oktaeder O 6 12 8Dodekaeder D 20 30 12Ikosaeder I 12 30 20Lemma 2. (Eulerscher Polyedersatz) Für jedes konvexe Polyeder deseuklidischen Raumes mit e Eckpunkten, k Kanten und f Seiten�ächen giltdie Eulersche Formel e� k + f = 2 :29Platon, 427 - 347

3.5 Polyeder 39Satz 2. Ist Sd =convfp0; :::; pdg ein d-Simplex, so gilt mit den Kanten-vektoren ai := pi � pi�1 (i = 1; :::; d) die DarstellungSd = fx 2 Rd : x = p0 + dXi=1 �iai ^ 1 � �1 � ::: � �d � 0g;und für das d-dimensionale Volumen von Sd giltvold(Sd) = 1d!pG(ai; ak)mit der Gramschen DeterminanteG(ai; ak) := �������� a21 a1a2 ::: a1ada2a1 a22 ::: a2ad::: ::: ::: :::ada1 ada2 ::: a2d �������� :.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................... ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............... ............. ............. ............. ............. ............. ............. ................................................................................................................................ ....................................................Dodekaeder ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .......................................................................................................................................................................... ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .......................... ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ................... ............. ............. ............. ............. ............. ............. ...........................................Ikosaeder

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............Tetraeder .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ...........................................................................................Hexaeder ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ...........................................................................................................................................Oktaeder

40 4 ABBILDUNGEN4 Abbildungen4.1 Lineare Abbildungen (Wiederholung)� ' ist lineare Abbildung (Homomorphismus) des Vektorraumes (V;+;K)in den Vektorraum (W;+;K) (' 2 L(V;W ) = Hom(V;W )) :,(1) ' : V �! W ,(2) Va;b2V �'(a+ b) = '(a) + '(b)�;(3) Va2V V�2K �'(�a) = �'(a)�.� Hintereinanderausführung linearer Abbildungen ist wieder lineare Ab-bildung.� Für lineare Räume (V;+;K) und (W;+;K) ist (L(V;W );+;K) ein li-nearer Raum.� V � := L(V;K) ist der zu (V;+;K) duale lineare Raum.� Für jede lineare Abbildung ' 2 L(V;W ) ist das volle Bild Im(') :='(V ) ein Unterraum von W und der Kern Ker(') := '�1(�) ein Un-terraum von V .� rg(') := dim Im(') (Rang der Abbildung ').� ' 2 L(V;W ) =) dimKer(')+rg(') = dim V (Dimensionssatz fürlineare Abbildungen).� Ist fb1; :::; bng eine Basis in V , so existiert zu jedem n-Tupel (w1; :::; wn) 2Wn genau ein ' 2 L(V;W ) mit '(bi) = wi (i = 1; :::; n).� Die linearen Räume �M(m;n)(K);+;K� und L(Kn;Km) sind isomorph(jeder linearen Abbildung ' eines n-dimensionalen Raumes (V;+;K)in einen m-dimensionalen linearen Raum (W;+;K) entspricht genaueine (m� n)-Matrix über K und umgekehrt).� Die Automorphismengruppe GL(V ) < SV eines n-dimensionalen li-nearen Raumes (V;+;K) ist isomorph zur multiplikativen GruppeGL(n;K) =Mrn(K)30 der regulären quadratischen Matrizen n-ter Ord-nung über K (General Linear group).30Mrn :=Mr(n;n)

4.2 A�ne Abbildungen 414.2 A�ne AbbildungenDe�nition 1. a) � heiÿt a�ne Abbildung des n-dimensionalen reellen a�nenRaumes (Pn; Vn;R) in (Pm; Vm;R) �� 2 A(Pn;Pm)� :,(1) � : Pn �! Pm,(2) VA;B;C;D2Pn V�2R ��!AB = ��!CD ) ������!�(A)�(B) = ��������!�(C)�(D)�:b) Jede bijektive a�ne Abbildung von Pn auf Pn heiÿt A�nität (a�neTransformation) des a�nen Raumes (Pn; Vn;R); An bezeichne die Mengealler a�nen Transformationen von Pn.Bemerkung/Beispiel:1. Die Forderung (2) ist äquivalent zur Forderung nach Teilverhältnisin-varianz(2') VA;B;C2Pn V�2R ��!AC = ��!CB ) ������!�(A)�(C) = �������!�(C)�(B)�: 312. � ist Parallelprojektion des R3 auf R2 (�1 � �3�Ebene) in Richtungr :=0@�1�2�31A mit �2 6= 0 :�(X) := 0B@1 ��1�2 00 0 00 ��3�2 11CA0@�1�2�31A = 0@�1 � �1�2 �20�3 � �3�2 �21A :Lemma 1. a) Jede a�ne Abbildung � 2 A(Pn;Pm) induziert vermögex = �!AB 7�! x0 = '�(x) := ������!�(A)�(B)eine lineare Abbildung '� 2 L(Vn; Vm).b) Ist umgekehrt ' 2 L(Vn; Vm), so existiert zu zwei festen PunktenA 2 Pn; B 2 Pm genau eine a�ne Abbildung �' 2 A(Pn;Pm) mit(1) VX2Pn ��'(X) = B + '(�!AX)� (also �'(A) = B) und(2) VP;Q2Pn �'(�!PQ) = ��������!�'(P )�'(Q)�.31� = (A;B;C) = TV (ABC) ist das Teilverhältnis der Punkte A;B;C :, �!AC =��!CB; C teilt die (gerichtete) Strecke AB im Verhältnis � : 1.

42 4 ABBILDUNGENSatz 1. Die Menge An aller A�nitäten des n-dimensionalen a�nenRaumes (P; Vn;R) bildet eine Gruppe, die (volle) a�ne Gruppe mit derGruppe Tn aller Translationen als Untergruppe.Korollar 1. Die Abbildung �, die gemäÿ Lemma 1 jeder a�nen Trans-formation � 2 An eine lineare Abbildung '� = �(�) 2 GL(Vn) zuordnet, istein Gruppenhomomorphismus mit Ker� = Tn: Es gilt alsoTn C An < SP ^ An=Tn � GL(Vn).32Korollar 2. Zu jeder A�nität � 2 An und jedem PunktX0 2 P existierteine Translation � 2 Tn, so daÿ die A�nität �0 := � � � den Fixpunkt X0besitzt: �0(X0) = X0:Hilfssatz 1. Bei festem a�nen Koordinatensystem (O; b1; :::; bn) in(P; Vn;R) kann jede A�nität � 2 An als Produkt � = � � ' einer linearenAbbildung ' 2 GL(Vn) und einer Translation � 2 Tn aufgefaÿt werden:�(X) = X 0 () �(x) = '(x) + t für x := ��!OX; t := ����!O�(O):Folgerung 1. (Analytische Beschreibung a�ner Transformationen)�(X) = X 0 () x0 = Ax + t �A 2Mrn(R)�:Folgerung 2. Eine A�nität � 2 An ist eindeutig bestimmt durch Vor-gabe von n+1 Punkten in allgemeiner Lage und deren Bilder in allgemeinerLage.Satz 2. (Invarianten der a�nen Gruppe) Die a�ne Gruppe An besitztneben dem Teilverhältnis von kollinearen Punktetripeln 33 folgende wichtigeweitere Invarianten:� k-Ebenen werden auf k-Ebenen abgebildet (insbesondere Geraden aufGeraden),� parallele a�ne Unterräume werden auf parallele a�ne Unterräume ab-gebildet,� Polytope werden auf Polytope abgebildet.32� : isomorph33als charakteristischer Invariante

4.2 A�ne Abbildungen 43De�nition 2. (Spezielle ebene A�nitäten)34a) Eine A�nität � 2 A2 (� 6= id) mit einer Fixpunktgeraden a, d. h.,P2a��(P ) = P�;heiÿt axiale A�nität mit der Achse a.b) Eine axiale A�nität mit der Achse a heiÿt Scherung :,^P2Pna�g(P�(P )) k a�:c) Eine axiale A�nität � mit der Achse a heiÿt Orthogonalstreckung:, ^P2Pna�g(P�(P )) ? a�:d) Eine axiale A�nität � mit der Achse a heiÿt A�nspiegelung an a:, ^P2Pna_Z �fZg = a \ g(P�(P )) ^ TV (P �(P )Z) = 1�:e) Ebene A�nitäten �, die den Inhalt (von Polygonen) festlassen, heiÿenäquia�ne Transformationen (� 2 Ae2).Hilfssatz 2. a) Bezüglich kartesischer Koordinaten gilt für axiale A�-nitäten � mit der Achse �2 = 0 (�1-Achse) im Sinne von obiger Folgerung 1stets x0 = Ax (t = �) und� � Scherung () W�2R��A = �1 �0 1��;� � Orthogonalstreckung () W�2Rnf0;1g�A = �1 00 ���;� � A�nspiegelung () W�2R�A = �1 �0 �1��:b) Scherungen und A�nspiegelungen sind äquia�ne Transformationen.c) Eine A�nität � mit �(x) = Ax + t ist genau dann äquia�n, wennjAj = �1.34analog für höhere Dimensionen!

44 4 ABBILDUNGENLemma 2. Die Menge As2 der A�nspiegelungen bildet ein invariantesinvolutorisches Erzeugendensystem der äquia�nen Gruppe Ae2:(1) V�2As2(� 6= id ^ �2 = id) (� Involution);(2) V�2As2 V�2Ae2(����1 2 As2) (Invarianz von As2);(3) V�2Ae2 Wn2N W�1;:::;�n2As2(� = �1 � ::: � �n) (As2 erzeugt Ae2):4.3 ÄhnlichkeitsabbildungenDe�nition 1. heiÿt Ähnlichkeitstransformation (äquiforme Transforma-tion, Ähnlichkeitsabbildung) des n-dimensionalen euklidischen Raumes (P; Vn;R):()(1) 2 SP ( ist Bijektion von P auf P),(2) VA;B;C;D2P� W�2R�+ �d(A;B) = �d(C;D)�)d( (A); (B)) = �d( (C); (D))�:35Hn bezeichne die Menge aller Ähnlichkeitstransformationen von (P; Vn;R).Hilfssatz 1. Jede Ähnlichkeitstransformation bildet parallele Geradenauf parallele Geraden ab.Folgerung: 2Hn _�2R�+!! ^X;Y 2P�d( (X); (Y )) = � � d(X; Y )�:Diese durch eindeutig bestimmte Zahl � heiÿt Ähnlichkeitsfaktor von .Lemma 1. Jede Ähnlichkeitstransformation des euklidischen Raumes(P; Vn;R) induziert vermögex = �!AB 7�! x0 = ' (x) := ������! (A) (B)eine lineare Abbildung ' 2 GL(Vn).35d: euklidischer Abstand, vgl. S. 31.

4.3 Ähnlichkeitsabbildungen 45Satz 1. Die Menge Hn aller Ähnlichkeitstransformationen des n-dimen-sionalen euklidischen Raumes (P; Vn;R) bildet eine Untergruppe von An, die(volle) Ähnlichkeitsgruppe (Hauptgruppe oder äquiforme Gruppe) mit derGruppe Tn aller Translationen als Normalteiler:Tn � Hn < An:Folgerung: (Analytische Darstellung von Ähnlichkeitstransformationen)Zu jeder Ähnlichkeitstransformation 2 Hn des euklidischen Raumes(P; Vn;R) existieren bei festem (kartesischem)Koordinatensystem (O; e1; :::; en)eine reguläre Matrix H 2Mrn(R) und ein Vektor t 2 Vn mit (X) = X 0 () x0 = Hx+ t ;wobei für H = ( ik) und Ähnlichkeitsfaktor � von giltnXl=1 li lk = (0 (i 6= k);�2 (i = k) und jH j = ��n:Satz 2. (Invarianten der Hauptgruppe)Neben den Invarianten der a�nen Gruppe (Satz 4.2.2) und der (charakteristi-schen) Invariante �Streckenverhältnis� besitzt Hn die Winkelgröÿe als wich-tige zusätzliche Invariante.36 Insbesondere werden orthogonale a�ne Unter-räume auf orthogonale a�ne Unterräume abgebildet.De�nition 2. = Z;� heiÿt zentrische Streckung (Dilatation) des eu-klidischen Raumes (P; Vn;R) mit dem Zentrum Z und dem Streckungsfaktor� 2 R�+ :, X2P� (X) = Z + � � �!ZX�:Hilfssatz 2. a) Jede zentrische Streckung = Z;� ist eine Ähnlich-keitstransformation mit dem Fixpunkt Z, dem Ähnlichkeitsfaktor � und deranalytischen Darstellung (x) = � �Enx+ (1� �)z für z := �!OZ bzw. (x) = �x+ (1� �)z :b) Die Menge HZ aller zentrischen Streckungen mit demselben ZentrumZ bildet eine Untergruppe von Hn:Z2P(HZ < Hn):Lemma 2. (Strahlensätze) Werden zwei verschiedene Strahlena = ZA+ := fX 2 P : X = Z+��!ZA ^ � � 0g und b = ZB+ mit demselben36deshalb der Name äquiforme Gruppe

46 4 ABBILDUNGENAnfangspunkt Z von zwei Geraden g := g(AB) und g0 := g(A0B0) ge-schnitten (A0 2 a; B0 2 b), so gilt mit XY := d(X; Y )(1) gkg0 =) ZA0ZA = ZB0ZB (und damit AA0ZA = BB0ZB ),(2) gkg0 =) ZA0ZA = A0B0ABund umgekehrt(1') ZA0ZA = ZB0ZB =) gkg0,(2') ZA0ZA = A0B0AB ^ AB > ZA =) gkg0:4.4 BewegungenDe�nition 1. � heiÿt Bewegung (Kongruenztransformation, Isometrie) desn-dimensionalen euklidischen Raumes (P; Vn;R) :()(1) � 2 SP (� ist Bijektion von P auf P),(2) VA;B2P�d(A;B) = d(�(A); �(B))�:Bn bezeichne die Menge aller Bewegungen von (P; Vn;R).Lemma 1. Jede Bewegung � des euklidischen Raumes (P; Vn;R) indu-ziert vermöge x = �!AB 7�! x0 = '�(x) := ������!�(A)�(B)eine lineare Abbildung '� 2 GL(Vn).Satz 1. Die Menge Bn aller Bewegungen des n-dimensionalen euklidi-schen Raumes (P; Vn;R) bildet eine Untergruppe von Hn, die (volle) Be-wegungsgruppe (Kongruenztransformationsgruppe, Isometriegruppe) mit derGruppe Tn aller Translationen als Normalteiler:Tn �Bn < Hn ^ Bn=Tn � O(n) < GL(Vn):Folgerung: (Analytische Darstellung von Bewegungen)Zu jeder Bewegung � 2 Bn des euklidischen Raumes (P; Vn;R) existierenbei festem (kartesischem) Koordinatensystem (O; e1; :::; en) eine orthogonaleMatrix B 2Mrn(R) und ein Vektor t 2 Vn mit�(X) = X 0 () x0 = Bx + t ;wobei x = ��!OX; x0 = ��!OX 0, und für B = (�ik) giltnXl=1 �li�lk = (0 (i 6= k);1 (i = k) bzw. Bt = B�1; also jBj = �1:

4.4 Bewegungen 47Satz 2. (Invarianten der Bewegungsgruppe)Neben den Invarianten der a�nen Gruppe (Satz 4.2.2), der Hauptgruppe(Satz 4.3.2) und der (charakteristischen) Invariante �Länge� besitzt Bn denInhalt (n-dimensionales Volumen) als wesentliche zusätzliche Invariante.De�nition 2. (Spezielle Bewegungen)a) Eine Bewegung � 2 Bn heiÿt eigentlich, orientierungstreu oder direk-te Kongruenztransformation (� 2 B+n ) :, jBj = +1; sonst uneigentlichoder indirekte Kongruenztransformation.b) Eine Abbildung � = �O;' von P in P heiÿt Drehung der euklidischenEbene (P; V2;R) mit dem Drehzentrum O 2 P um den (Dreh-) Winkel derGröÿe ', wenn für alle X 2 P mit x := ��!OX und x0 = ����!O�(X) giltx0 = ��01�02� = �cos' � sin'sin' cos' ���1�2� :c) Eine Abbildung � = �a von P in P heiÿt Spiegelung (Geradenspiege-lung) der euklidischen Ebene an der Spiegelachse a = �1�Achse, wenn fürx0 = �(x) gilt x0 = ��01�02� = �1 00 �1���1�2� :d) Eine Abbildung � = �a;' von P in P heiÿt Drehung des euklidischenRaumes (P; V3;R) mit der Drehachse a = �3�Achse um den (Dreh-) Winkelder Gröÿe ', wenn für alle X 2 P mit x = ��!OX und x0 = ����!O�(X) giltx0 =0@�01�02�031A = 0@cos' � sin' 0sin' cos' 00 0 11A0@�1�2�31A :e) Eine Abbildung � = �" von P in P heiÿt Spiegelung (Ebenenspiege-lung) des euklidischen Raumes (P; V3;R) an der Ebene " = �1 � �2�Ebene,wenn für alle X 2 P mit x = ��!OX und x0 = ����!O�(X) giltx0 = 0@�01�02�031A = 0@1 0 00 1 00 0 �11A0@�1�2�31A :Hilfssatz 1. a) Alle in Def. 2 erklärten Abbildungen sind Bewegungender euklidischen Ebene bzw. des euklidischen Raumes.b) Jede nicht identische ebene Bewegung ist entweder eine Translationx0 = x+ t

48 4 ABBILDUNGENoder eine Drehung mit einem Zentrum Z 2 P um einen Winkel der Gröÿe 'x0 = Bx+ (E2 �B)z mit B = �cos' � sin'sin' cos' � ; E2 = �1 00 1� ; z = �!OZ;oder eine Gleitspiegelung � � �g an der Achse g��01�02� = �cos 2' sin 2'sin 2' � cos 2'���1 � �1�2 � �2�+ ���1�2� + ��1�2� ;wenn die Achse g die Gleichung x = y + �a mit y = ��1�2� ; a = ��1�2� hat,ae1 = jaj cos' gilt und der (eventuell verschwindende) Translationsanteil �durch einen Translationsvektor t = �a bestimmt ist.Hilfssatz 2. a) Eine Drehung �g;' des euklidischen Raumes mit derDrehachse g(AB) um den Winkel der Gröÿe ' wird für a = �!OA, b = �!OBund c := b� a beschrieben durchx0 = a+ (x� a) cos'+ 1� cos'c2 �(x� a)c�c+ sin'jcj �c� (x� a)�:b) Jede Bewegung des euklidischen Raumes ist entweder eine Schraubung�t � �g;' (g k t) mit eventuell verschwindendem Dreh- oder Translationsan-teil, eine Drehspiegelung �g � �" (g ? ") mit eventuell verschwindendemDrehanteil oder eine Gleitspiegelung �t � �" (t k ").Lemma 2. a) Die eigentlichen Bewegungen bilden eine Untergruppe derBewegungsgruppe:Tn �B+n < Bn ^ B+n =Tn � SO(n) < O(n):b) Jede ebene Bewegung ist das Produkt von höchstens drei Geraden-spiegelungen.c) Jede räumliche Bewegung ist das Produkt von höchstens vier Ebenen-spiegelungen.Folgerung: Die Spiegelungen bilden ein invariantes involutorisches Er-zeugendensystem der Bewegungsgruppe.37Bemerkungen:1. In der reellen euklidischen Ebene gibt es keine allgemeineren Kol-lineationen als die a�nen Abbildungen: Jede geradentreue Transformation37vgl. Lemma 4.2.2

4.5 Anwendung (Klassi�kation der Kurven zweiter Ordnung) 49(Kollineation) der (reellen) euklidischen Ebene ist eine A�nität.2. Erst in allgemeineren (projektiven) Räumen gibt es allgemeinere Kol-lineationen (projektive Transformationen).3. Erlanger Programm (F. Klein: �Vergleichende Betrachtungen überneuere geometrische Forschungen.� Antrittsvorlesung, Erlangen 1872):38�Es ist eine Mannigfaltigkeit und in derselben eine Transformationsgruppe gegeben;man soll die der Mannigfaltigkeit angehörigen Gebilde hinsichtlich solcher Eigen-schaften untersuchen, die durch die Transformationen der Gruppe nicht geändertwerden.�- Geometrie ist die Invariantentheorie einer Transformationsgruppe über ei-ner Mannigfaltigkeit.Mannigfaltigkeit Gruppe Invarianten GeometrieA�ner Raum An Teilverhältnis a�ne GeometrieEuklidischer Raum Hn Streckenverh. äquiforme GeometrieEuklidischer Raum Bn Längen euklidische Geometrie4.5 Anwendung (Klassi�kation der Kurven zweiter Ordnung)De�nition 1. Eine Kurve zweiter Ordnung (Kegelschnitt) ist die Menge Kaller Punkte X 2 P der euklidischen Ebene (P; V2;R), deren Koordinaten�; � eine quadratische Gleichung der Form(1) �11�2 + �22�2 + 2�12�� + 2�13� + 2�23� + �33 = 0erfüllen mit Koe�zienten �ik 2 R und �211 + �222 + �212 > 0:Als Spezialfall einer Quadrik können die Ortsvektoren x der Punkte von K auchdurch eine inhomogene quadratische Formq(x) + '(x) + �33 = 0beschrieben werden mit der homogenen quadratischen Form q(x) = f(x; x), diedurch die symmetrische Bilinearformf(x; y) = xtA33 y mit A33 = ��11 �12�12 �22� 2Ms2(R)gegeben ist, der linearen Form'(x) = 2�13� + 2�23�38Felix Klein, 1849-1925

50 4 ABBILDUNGENund der Konstanten �33 2 R.Schlieÿlich läÿt sich K auch beschreiben durch die Matrixform(1') (�; �; 1)A0@��11A = 0 mit A = 0@�11 �12 �13�12 �22 �23�13 �23 �331A 2Ms3(R):Zwei Matrizen A;B 2Mn(R) heiÿen orthogonal kongruentA � B :() _C2O(n)(B = CtAC):Hilfssatz 1. Jede symmetrische Matrix A 2Msn(R) ist othogonal kongruentzu einer Diagonalmatrix.Früher wurde durch Hauptachsentransformation eine Orthonormalbasisaus Eigenvektoren der Matrix A33 konstruiert, so daÿ der �quadratische An-teil� q(x) der Quadrik durch eine Diagonalmatrix beschrieben werden konnteund so eine Normalform der Gleichung (1) erreicht wurde. Jetzt soll (äquiva-lent dazu) die Punktmenge K einer Bewegung � 2 B2 unterworfen werden,so daÿ sich �(K) in Hauptachsenlage bezüglich des vorgegebenen kartesischenKoordinatensystems be�ndet.1. Schritt: Eine Drehung � = �O;' um den Ursprung O und einen Winkelder Gröÿe ' mit(a) cot 2' = �22��112�12 für �12 6= 039überführt K in �(K) mit der Gleichung(2) �11�2 + �22�2 + 2�13� + 2�23� + �33 = 0 bzw.(2') (�; �; 1)B0@��11A = 0 mitB = 0@�11 0 �130 �22 �23�13 �23 �331A = CtAC für C := 0@ cos' sin' 0� sin' cos' 00 0 11A ; alsox0 = �(x) = Ct33x = �cos' � sin'sin' cos' �����39Im Fall �12 = 0 ist ' = 0 zu setzen, die Drehung ist nicht notwendig: � = id.

4.5 Anwendung (Klassi�kation der Kurven zweiter Ordnung) 51und mit(b) �11 + �22 = �11 + �22 und �33 = �33,(c) jBj = jAj;(d) B33 = �11�22 = A33;40(e) B11 + B22 = A11 +A22:2. Schritt: Durch eine Translation x = �(x) := x � x0 bzw. x = x + x0wird �(K) mit Gleichung (2) in � � �(K) überführt mit der Darstellung�11�2 + �22�2 + 2�(�11�0 + �13) + 2�(�22�0 + �23) + = 0 mit(f) := �11�20 + �22�20 + 2�13�0 + 2�23�0 + �33(bei Weglassen der Querstriche).Dabei sollen �0; �0 bestimmt werden durch das Gleichungssystem(g) � �11�0 + �13 = 0�22�0 + �23 = 0 .1. Fall: �11�22 = B33 (d)= A33 6= 0 =) (g) ist eindeutig lösbar mit�0 = ��13�11 ; �0 = ��23�22 ; = jBjB33 ; also(3) �11�2 + �22�2 + jBjB33 = 0:Eine weitere Fallunterscheidung erfolgt nun nach dem Rang r := rgA =rgB der Matrix B bzw. A (vgl. Hilfssatz 1):1.1. r = 3 ; also jAj = jBj 6= 0 und = jBjB33 6= 0:Im elliptischen Fall A33 > 0 haben �11 und �22 dasselbe Vorzeichen,und es ergeben sich mit �2 := j �11 j > 0; �2 := j �22 j > 0 die folgendenbeiden Möglichkeiten:40Xik := (�1)i+kjXik j bezeichne das algebraische Komplement des Elementes �ik einerMatrix X .

52 4 ABBILDUNGEN(I) �2�2 + �2�2 + 1 = 0 (K heiÿt imaginäre Ellipse)für den Fall (�11 + �22)jAj > 0 und(I') �2�2 + �2�2 � 1 = 0 (K heiÿt (reelle) Ellipse)für den Fall (�11 + �22)jAj < 0.Im hyperbolischen Fall A33 < 0 haben �11 und �22 verschiedene Vor-zeichen, und es ergeben sich analog die beiden Möglichkeiten:(II) �2�2 � �2�2 � 1 = 0 (K heiÿt Hyperbel)für den Fall �11jAj > 0 und(II') �2�2 � �2�2 + 1 = 0 (K heiÿt (zu (II) konjugierte) Hyperbel)für den Fall �11jAj < 0.1.2. r = 2 ; also jAj = jBj = = 0; und (3) reduziert sich zu�11�2 + �22�2 = 0:In Abhängigkeit von den Vorzeichen von �11 und �22 ergeben sich wiederzwei Möglichkeiten:(III) �2�2 + �2�2 = 0 (K heiÿt imaginäres Geradenpaar)41für den Fall A33 = �11�22 > 0 und(III') �2�2 � �2�2 = 0 (K ist ein (reelles) Geradenpaar)für den Fall A33 = �11�22 < 0:2. Fall: �11�22 = B33 = A33 = 0 : Das bedeutet, daÿ der Rang � derKoe�zientenmatrix B33 des Gleichungssystems (g) kleiner als 2 ist, und dieLösbarkeit von (g) hängt vom Rang�0 := rg��11 0 �130 �22 �23�41mit reellem Schnittpunkt

4.5 Anwendung (Klassi�kation der Kurven zweiter Ordnung) 53der Systemmatrix ab. Da � = 0 unmöglich ist, muÿ zunächst geltenentweder �11 = 0 oder �22 = 0; sei o.B.d.A. �11 = 0 ^ �22 6= 0 :Also gilt � = 1, und (g) ist genau dann lösbar, wenn auch �0 = 1 ist. Eineweitere Fallunterscheidung erfolgt nun wieder nach dem Rang r der MatrixA bzw. B.2.1. r = 3 Dann ergibt sich mit������ 0 0 �130 �22 �23�13 �23 �33������ = ��22�213 6= 0�0 = 2 > �, und (g) ist nicht lösbar, und für�22�2 + 2�13� + 2�23� + �33 = 0ist nur das Verschwinden des Koe�zienten �23 erreichbar durch den erneutenTranslationsansatz � = � + �0 ^ � = � + �0:Mit �0 := �23�22 ; �0 := 12�13 (�33 � �223�22 ); p := ��13�22 6= 0 ergibt sich(IV) �2 � 2p� = 0 (K heiÿt Parabel).2.2. r = 2 Dann muÿ B31 = B32 = 0 gelten, was auf �0 = 1 führt, sodaÿ (g) lösbar wird, und sich mit �11 = 0 die Darstellung�22�2 + = 0ergibt, so daÿ sich in Abhängigkeit von der Vorzeichenverteilung von �22 und folgende zwei Fälle ergeben:(V) �2 + �2 = 0 (K heiÿt imaginäres Parallelenpaar)für den Fall A11 + A22 > 0 und(V') �2 � �2 = 0 (K heiÿt (reelles) Parallelenpaar)für den Fall A11 + A22 < 0:2.3. r = 1 Dann ist �0 = 1 und (g) lösbar bei gleichzeitigem Verschwin-den des absoluten Gliedes , und es ergibt sich schlieÿlich(VI) �2 = 0 (K heiÿt Doppelgerade).

54 4 ABBILDUNGENSatz 1. (Klassi�kation der Kurven 2. Ordnung) a) Für Kurven 2. Ord-nung mit der Gleichung (1) bzw. (1') gilt folgende Einteilung in Abhängigkeitvon den Koe�zienten:rgA A33 > 0 A33 < 0 A33 = 0Ellipse3 reelle: (�11 + �22)jAj < 0 Hyperbel Parabelimag.: (�11 + �22)jAj > 0imaginäres Parallelenpaar2 Geradenpaar Geradenpaar reell: A11 + A22 < 0mit reellem S.-Pkt. imag.: A11 +A22 > 01 - - Doppelgeradeb) Nach �Hauptachsentransformation� lassen sich die Kurven entspre-chend durch folgende Normalformen beschreiben:rgA A33 > 0 A33 < 0 A33 = 03 �2�2 + �2�2 � 1 = 0 �2�2 � �2�2 � 1 = 0 �2 � 2p� = 02 �2�2 + �2�2 = 0 �2�2 � �2�2 = 0 �2 � �2 = 01 - - �2 = 0

IndexAbel, N. H., 9Archimedes, 20Cantor, G., 10Cauchy, A. L., 31Cayley, A., 10Dedekind, R., 10Desargues, G., 23Descartes, R., 31Euklid, 18Euler, L., 19Fermat, P., 19Gram, J. P., 32Hesse, L. O., 33Hilbert, D., 29Klein, F., 49Peano, G., 15Platon, 38Schwarz, H. A., 31Abbildung, 5identische, 5a�ne, 41lineare, 25, 40Rang einer linearen, 40abzählbar unendlich, 11Ähnlichkeitsfaktor, 44Ähnlichkeitsgruppe, 45Ähnlichkeitstransformation, 44Äquivalenzrelation, 7a�n unabhängig, 36a�ne Kombination, 27a�ne Koordinaten, 28A�nität, 41A�nspiegelung, 43algebraische Struktur, 8allgemeine Lage, 36Anfangspunkt, 46aussagenlogische Funktoren, 3Auswahlaxiom, 13Auswahlmenge, 13Automorphismus, 9

axiale A�nität, 43Basis, 25orthonormierte, 30Betrag eines Vektors, 30, 31Bewegung, 46eigentliche, 47uneigentliche, 47Bewegungsgruppe, 46bijektiv, 5Bilinearform, 31Bruch, 21CantorschesDiagonalverfahren, 11Cauchy-Schwarzsche Ungleichung,31De�nitionsbereich, 5Dezimalbruch, 21dicht, 20Di�erenz, mengentheoretische, 4Di�erenzengleichheit, 16Dilatation, 45Dimension, 25Dimensionssatz, 40Division mit Rest, 18Dodekaeder, 38Doppelgerade, 53Drehachse, 47Drehspiegelung, 48Drehungebene, 47im Raum, 47Drehzentrum, 47Dreieck, 37Durchschnitt, 4Ebene, 27Achsenabschnittsform, 35allgemeine Gleichung, 34Determinantenform, 34Dreipunkteform, 3455

56 INDEXHessesche Normalform, 34Parameterdarstellung, 29Punktrichtungsdarstellung, 34Vektorproduktform, 34Ebenenspiegelung, 47Eckpunkt, 37Eigenschaftsgleichheit, 4Ellipseimaginäre, 52reelle, 52endliche Menge, 10Endomorphismus, 9Epimorphismus, 9Erlanger Programm, 49Erzeugendensystem, 44invariantes, 44involutorisches, 44euklidische Ebene, 35Euklidischer Algorithmus, 18Eulersche '-Funktion, 19Extensionalitätsaxiom, 4Faktoralgebra, 9Fastring, 14Fermatsche Primzahl, 19Fixpunkt, 42Fixpunktgerade, 43Flächeninhalt, 33g-adische Zahldarstellung, 18ganze Zahlen, 16algebraische Charakterisierung,16assoziierte, 17teilerfremde, 17gebrochene Zahlen, 16geordnetes Paar, 4Gerade, 27Achsenabschnittsform, 34allgemeine Gleichung, 33Hessesche Normalform, 33Normalform, 33Parameterdarstellung, 29Punktrichtungsdarstellung, 33

Punktrichtungsform in Koor-dinaten, 33Richtungsvektor, 33Vektorproduktform, 33Zweipunkteform, 33Geradenpaarimaginäres, 52reelles, 52Geradenspiegelung, 47gleichmächtig, 10Gleitspiegelung, 48Gramsche Determinante, 32gröÿter gemeinsamer Teiler, 17Gruppe, 9äquia�ne, 44äquiforme, 45abelsche, 9symmetrische, 6a�ne, 42der Ähnlichkeitstransformatio-nen, 45der Isometrien, 46der Kongruenztransformationen,46Halbgruppe, 9Halbordnungsrelation, 12Halbraum, 37Hauptgruppe, 45Hintereinanderausführung, 6Homomorphiesatz, allgemeiner, 9Homomorphismus, 8Hüllea�ne, 27konvexe, 36lineare, 25Hüllenoperator, 26Hyperbel, 52konjugierte, 52Hyperebene, 27Ikosaeder, 38In�mum, 12injektiv, 5

INDEX 57Inklusion, 4Integritätsbereich, 10, 16Integritätsring, 10, 16Intervallschachtelung, 21Involution, 44Isometrie, 46isomorph, 9Isomorphiesatz, 9Isomorphismus, 9kanonische Abbildung, 9Kante, 37Kardinalzahl, 11kartesisches Produkt, 4k-Ebene, 27Kegelschnitt, 49Kern, 25, 40Kette, 12Klasseneinteilung, 7kleinstes gemeinsames Vielfaches,17Körper, 10stetiger, 22Kollineation, 49Komponenten, 28Kongruenz modulo m, 19Kongruenzrelation, 8Kongruenztransformation, 46direkte, 47uneigentliche, 47konvex, 36konvexe Kombination, 35Koordinatensystema�nes, 28Korrespondenz, 5Kurve zweiter Ordnung, 49Länge, 30, 31leere Menge, 4Linearkombination, 25Mächtigkeit, 11maximales Element, 12Maximum, 12Mengenbildungsaxiom, 4

minimales Element, 12Minimum, 12Monomorphismus, 8Nachfolger, 14natürliche Zahlen, 14algebraische Charakterisierung,15axiomatische Charakterisierung,15genetische Einführung, 14isomorphe Einbettung, 16neutrales Element, 7Norm, 31Normalform, 50, 54Normalteiler, 9Oktaeder, 38Operationn-stellige, 6assoziative, 7binäre, 6distributive, 7idempotente, 7kommutative, 7Ordnung, 12Ordnungsrelation, 12archimedische, 20orthogonal, 30orthogonale Kongruenz, 50Orthogonalstreckung, 43Ortsvektor, 28Paar, geordnetes, 4Paarbildungsprinzip, 4Parabel, 53parallel, 28Parallelenpaarimaginäres, 53reelles, 53Parallelepiped, 33, 38Parallelotop, 38Parallelprojektion, 41Parameterdarstellung, 29Peano-Algebra, 15

58 INDEXPermutation, 6Permutationsgruppe, 6, 10Platonische Körper, 38Polyederallgemeines, 37konvexes, 37Polygonkonvexes, 37Polytop, 37Potenzmenge, 4prädikatenlogische Funktoren, 3Primzahl, 18Prisma, 38Produkt von Korrespondenzen, 6Pyramide, 38Quadrik, 49Quotientengleichheit, 20Quotientenkörper, 10rationale Zahlen, 20algebraische Charakterisierung,21Anordnungseigenschaften, 20Rauma�ner, 26dualer linearer, 40euklidischer, 30, 35linearer, 24metrischer, 31normierter, 31Rechtssystem, 32reelle Zahlen, 21algebraische Charakterisierung,22Relationantisymmetrische, 7asymmetrische, 7binäre, 6irre�exive, 6konnexe, 7lineare, 7n-stellige, 6re�exive, 6

symmetrische, 6transitive, 7Restklasse, 9Ring, 10Satz (Hauptsatz)Äquivalenzrelationen, 8algebraische Charakterisierungder natürlichen Zahlen, 15algebraische Charakterisierungder rationalen Zahlen, 21algebraische Charakterisierungder reellen Zahlen, 22allgemeiner Homomorphiesatz,9Anordnung rationaler Zahlen,20axiomatische Charakterisierungder natürlichen Zahlen, 15Basissatz für Vektorräume, 26CantorschesDiagonalverfahren,11endlichdimensionale Vektorräu-me, 26endliche Mengen, 11Eulerscher Polyedersatz, 38g-adische Zahldarstellung, 18Invarianten der Bewegungsgrup-pe, 47isomorphe Einbettung der na-türlichen ZAhlen, 16Kurven 2. Ordnung, 54Parameterdarstellung a�ner Un-terräume, 29Primfaktorzerlegung, 18Quotientenkörper, 10Rechtfertigungssatz, 15Strahlensätze, 45von Cayley, 10von Desargues, 23Scherung, 43Schrankeobere, 12untere, 12

INDEX 59Schraubung, 48Seite, 37Seiten�äche, 37senkrecht, 30Simplex, 36Skalarprodukt, 30, 31Spat, 38Spatprodukt, 32Spiegelung, 47Standardraum, 35Strahl, 45Strecke, 36Strecken, gerichtete, 23paralellgleiche, 23Streckungzentrische, 45Streckungsfaktor, 45Stützgerade, 37Stützhyperebene, 37Supremum, 12surjektiv, 5Teilbarkeitsregeln, 18Teiler, 17Teilverhältnis, 41Teilverhältnisinvarianz, 41Tetraeder, 38Transformation, 6äquia�ne, 43äquiforme, 44a�ne, 41Transformationsgruppe, 6Translation, 28translationsgleich, 28überabzählbar, 11Umfangsgleichheit, 4Umkehrkorrespondenz, 5unendliche Menge, 10Unendlichkeitsaxiom, 11Unteralgebra, 8Unterrauma�ner, 27linearer, 24

Vektor, geometrischer, 23Vektorprodukt, 32Vektorraum, 24dualer, 24euklidischer, 31Vereinigung, 4Verschiebung, 28volles Bild, 40vollständige Induktion, 15Volumen, 33, 39Wertebereich, 5Winkel, 30, 31Wohlordnung, 12Wohlordnungssatz, 13zentrische Streckung, 45Zentrum, 45Zerlegung, 7