Institut für Numerische und Angewandte Mathematik

Alex Sawatzky

Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Einführung•von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen

„hineinzuschauen“zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen

•dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen

•parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die

Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie

•heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der

Medizin•findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen•risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen, z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des

Herzens

2Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Ultraschall in der Natur und Industrie

3Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Ultraschall im physikalischen Sinne

Ultraschall (US)•Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen

wahrgenommenen Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen•mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch

ausbreiten•Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.elektromagnetische Schwingungen

Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

4Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Ultraschall in der Natur

•Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich

wahrnehmen

•manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B.

Fledermäuse, Delphine oder Wale

5Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Echoorientierung der Fledermäuse

Impuls-Echo Prinzip

•besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem •nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender

Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung

•1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse

durch den Gehörsinn konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären, wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

•erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der Fledermaus-Orientierung auf

6Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot

! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips

entwickelte sich völlig unabhängig von der Entdeckung der

Echoorientierung bei Tieren !

•1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-

Ortungssystem zu entwickeln

•Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt,

aber der Meeresboden reflektierte ausreichend stark

•1913: Behm entwickelt den Echolot Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

7Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Einsatzgebiete des Ultraschalls

Metallurgie•Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit

Ultraschall

Elektronik und Mikroelektronik•Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop

Leistungsultraschall•bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B.

Ultraschallbohrer oder Ultraschallzahnsteinentfernung

Medizin•Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

8Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Piezoelektrische Effekt

•1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den

piezoelektrischen Effekt

•Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen

Druck und elektrischer Spannung bestimmter Kristalle

•direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter

Kristalle erzeugt elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche

•inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegeneiner elektrischen Spannung

9Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Erzeugung von Ultraschall

•Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts

•Wechselspannung verursacht periodische Verformung piezoelektrischer Substanzen

Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

•Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

10Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Ultraschall in der Medizin

11Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete•Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

•Unterstützung von Selbstheilungsprozessen•Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe•Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe•Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe

schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

12Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie•bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in

der Medizin•Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und

Veterinärmedizin•aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell

anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen•Echokardiographie Ultraschalluntersuchung des Herzens

•Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …•Schwangerschaftsvorsorge•Beurteilung des Blutflusses Dopplersonographie

•…

13Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie

14Ultraschall-Tomographie

•Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

•Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlichstark akustische Impedanz

•Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit

•Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit liefert die Tiefe der reflektierten Struktur

•Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

•Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium

gebunden unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

•Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten

Problemlösung

•Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzungähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)

maßstabsgetreue Abbildung möglich

15Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion•Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien

Akustische Impedanz•Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen

entgegenwirkt

•Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die

Echointensität Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität

auftreffenden Welle

•Luft sehr starker Reflektor Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

16Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

A - Scan Mode

17Ultraschall-Tomographie

•A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips

•Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt

•Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissenund gute räumliche Vorstellung

•heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

B - Scan Mode

18Ultraschall-Tomographie

•B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode

•jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

•Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitätenergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

M - Scan Mode

•M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar

sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

•Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

19Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Dopplerverfahren

Doppler-Effekt•Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen beisich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger

Doppler-Verfahren•Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber

ausgestrahlten Signale z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

•Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts

z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu blau – Bewegung vom Schallkopf weg

•Entdeckung und Beurteilung von Verengungen derBlutgefäße sowie Herzfehler

20Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Mathematische Analyse der Ultraschall-Tomographie

21Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

•Untersuchungsobjekt ist im Streifen platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

•Felder sind rechtwinklig zur -Achse und auf der Oberfläche des Streifens

platziert

•Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender undEmpfänger

22Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich

•Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

• lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen•Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate

•Elementarwelle mit für beschreibt den Verlauf eines

zum Zeitpunkt ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten

an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

23Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Praktische Annahmen

•Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter

Ausbreitungsgeschwindigkeit umgeben

•Ausbreitungsgeschwindigkeit unterscheidet sich nur gering von ,

•Funktion verschwindet außerhalb des Streifens

•Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

24Ultraschall-Tomographie

klein

Alex Sawatzky

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich

•Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich

•Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der

Zeit führt zum inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

• konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich•Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine

Dimension weniger Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu

bestimmen ist

25Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Born-Approximation

•benutze die Modellierung im Frequenzbereich

• sei die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für

•Ansatz mit der „scattered wave“ liefert

•Born-Approximation , d.h. ersetze durch , ergibt

26Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

•benutze für die Rekonstruktion die Daten

•Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

27Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten

28Ultraschall-Tomographie

•hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von durch die Reflexionsdaten bestimmt

•erfasster Frequenzbereich von ist im Bild rechts abgebildet

• und sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der

Elementarwelle

Alex Sawatzky

Konsequenzen für die Rekonstruktion

•Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B. ,

eindeutig lösbar in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen

Frequenzen

•Wavelets enthalten Frequenzen mit • nur außerhalb der Kugeln um mit dem Radius

bestimmbar•Rekonstruktion von nicht eindeutig bestimmt•Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation

von sich in der Nullumgebung konzentriert

•Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte

vorliegen

29Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Reflektoren in der Ultraschall-Tomographie

30Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Motivation

Bildgebung in der Seismik•Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt,

verbessern die Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben•Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen

Bildgebung•Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines

externen Reflektors zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten

Anteile der Wavelets nicht benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten

eindeutig zu bestimmen

31Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

32Ultraschall-Tomographie

•sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen

Idee•Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen

akustischen Reflektor

Aufbau•Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben•Brust zwischen den Platten fixiert•obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen•untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B. eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

Mathematische Modellierung

•Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren

•Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung

•Untersuchung im Zeitbereich

•Untersuchung im Frequenzbereich

33Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren

•Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

•Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

34Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

•Linearkombination der Werte von für verschiedene Argumente bestimmt

•Argumente enthalten niederfrequente Anteile• auch in den beiden Kreisen um mir dem Radius

bestimmbar•Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle

Frequenzen von innerhalb des Kreises mit Radius

•Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich bandbeschränkte

Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

35Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

36Ultraschall-Tomographie