Integrationsunterricht zum Thema Differenzialgleichungen

Daniel Diserens und Martin Lehner Deutsches Gymnasium Biel

Workshop Köniz, 27.10.03

http://www2.dgb.ch/users/le/iwshop.html

Workshop Übersicht• Die fächerübergreifende Kursform

‚Integrationsunterricht‘ (IU) am Deutschen Gymnasium Biel (DGB)

• Maturprüfung im Schwerpunktfach PAM am DGB• Inhalt und Hauptziele unseres IU‘s• Organisation des IU‘s Differenzialgleichungen• Zwei konkrete Beispiele aus dem IU• Erfahrungen, Material zum IU• Diskussion

Die fächerübergreifende Kursform ‚Integrationsunterricht‘ (IU) am

Deutschen Gymnasium Biel (DGB)

• Dauer 1 Semester (2 Lektionen/Woche)• Die zwei Lehrkräfte der beiden Fächer sind in beiden

Lektionen anwesend.• Kosten: In jedem Fach eine zusätzliche Lehrer/innen-

Lektion.• Die Anzahl Lektionen für die Klasse bleibt

unverändert.• Inhalt: Ein fächerübergreifendes Thema.

Die Maturprüfung im SPF PAM am DG Biel

• Schriftliche AM-Prüfung mit einer ‚physiknahen‘, obligatorischen Aufgabe aus dem IU

• Beispiele siehe mat-am.doc auf http://www2.dgb.ch/users/le/wshop/• Mündliche Physikprüfung

Hauptziele des IU Differenzialgleichungen

• Verbindung der Teile P+AM zu PAM

• Erkennen des Zusammenhangs zwischen physikalischem Problem und Differenzialgleichung

• Programmierung und Anwendung numerischer Verfahren

Semesterplanung

Woche Inhalt Unterricht

1 Einführung (Freier Fall,Euler, Begriffe)

Gemeinsam

2 Einführung (Runge-Kutta II, Übungen)

Gemeinsam

3-6 FederpendelEinschaltvorgängeDiffgl. 2. OrdnungAnalytische Lös.wege

4 Gruppenje 2 betreutvon 1 LK

Semesterplanung

Woche Inhalt Unterricht

7-10 FadenpendelEinschaltvorgängeLogistischesWachstumRäuber-Beute-Modell

4 Gruppenje 2 betreutvon 1 LK

11 Übungen Gemeinsam

12 Probe Gemeinsam

Semesterplanung

Woche Inhalt Unterricht

13 Rückgabe, Projektthemen und–organisation

Gemeinsam

14-16 Projekte:TaylorreiheKettenlinie, GekoppelteSchwingung, Schiefer Wurfmit Luftwiderstand

Gemeinsam

17 Abschluss, Präsentation derProjekte

Gemeinsam

Einschaltvorgänge

• Kondensatorladung (Einfaches RC-Glied)

• RLC-Glied

R

L

CU

ULI, PC

• Messung mit ULI (Interface) und PC• Rechnung mit MATHEMATICA

0)0y(,0y(t)C

1Ry'(t)Ly''(t)

RC-Glied mit MATHEMATICAClearR, c, U;c 0.00105; R 480; U 2.624; L 630.;

sol1 DSolveR y't 1c yt U, y0 0, yt, t;p1 PlotEvaluate1cyt.sol1,t, 0, 2

0.5 1 1.5 2ts0.5

1

1.5

2

2.5

UV

Eulerverfahren

xen_ x0 nh;yen_: yen hfxen 1, yen 1 yen 1;ye0 y0;euler Tablexen, yenc,n, 0, 20;TableFormeuler

fx_, y_ UR yRc;h 0.1; x0 0; y0 0;

0.5 1 1.5 2ts0.5

1

1.5

2

2.5

UV

Runge-Kutta 2. Ordnung

xrn_ x0 nh;yrn_: yrn yrn 1 1

2hfxrn 1, yrn 1

12hfxrn 1 h, yrn 1hfxrn 1, yrn 1

yr0 y0;0.5 1 1.5 2

t s0.5

1

1.5

2

2.5

U V

RLC-Glied (Messung und Theorie)

2 4 6 8 10ts

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

UV

IU Klasse 1e, Messung 4.11.02

Simulation MATHEMATICADSolveLy''tRy't1Cyt Uo,

y00, y'00, yt, t

data ReadList"mess.txt",Number, Number;plomess ListPlotdata, PlotStyle PointSize0.007;

Eulerverfahren für RLC-Gliedft_, x_, y_ x;gt_, x_, y_ UL RLx 1cLy;h 0.1;

tn_: t0 nh;t0 0;

xen_: xen xen 1 hgtn 1, xen 1, yen 1;yen_: yen yen 1 hftn 1, xen 1, yen 1;xe0 0;ye0 0;

Eulerverfahren für RLC-Glied

Abweichung von der exakten Kurve für h = 0.1 s

2 4 6 8 10ts0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

UV

Populationsmodelle

• Modell 1: Exponentielles Wachstum

• Modell 2: Logistisches Wachstum

• Modell 3: Räuber-Beute Modell von Lotka/Volterra

Exponentielles Wachstum

kan(t): Anzahl Kaninchen zum Zeitpunkt t

tc

tc

eatkan

eytcytyc

dtdyyc

dtyc

dyyc

dt

dy

)(

lnln1

11

)()(' tkanctkan

Logistisches Wachstum

)()(' tkanctkan

Die Differenzialgleichung zum exponentiellen Wachstum wird um den Faktor in der Klammer erweitert.

K

tkan )(1

K ist die Kapazitätsgrenze.

Beispiel: Hefewachstum

http://www.learn-line.nrw.de/angebote/modell/hefe/hefe.htmbefindet sich eine Tabelle mit Messdaten des Hefe-Wachstums.Tab. 1: Wachstum einer Hefekultur (Carlson 1913)Zeit t (in Std.) Hefemenge, N(t) (in mg) Zeit t Hefemenge

0 9,6 10 513,31 18,3 11 559,72 29,0 12 594,83 47,2 13 629,44 71,1 14 640,85 119,1 15 651,16 174,6 16 655,97 257,3 17 659,68 350,7 18 661,89 441,0 Quelle: Krebs 1972,S.218

Hefewachstum (2)

Die Messdaten ergeben folgenden Kurve:

2 4 6 8 10 12 14 16 18

100

200

300

400

500

600

Hefewachstum (3)Durch Ausprobieren finden die Schüler

c=0.29, K=665 und f(0)=9.6: (Euler-Verfahren)

2 4 6 8 10 12 14 16 18

100

200

300

400

500

600

Räuber-Beute Modell

• kan(t): Kaninchen zum Zeitpunkt t• fu(t): Füchse zum Zeitpunkt t• Gekoppelte Differenzialgleichung

)()()()('

)()()(

1)()('

tfustkantfugftfu

tkantfujK

tkantkanctkan

Parameter

• c und K aus dem Modell logistisches Wachstum

• j: Jagderfolg der Füchse

• gf: Vermehrung der Füchse aufgrund von Fresserfolg

• s: Sterben der Füchse aufgrund von Konkurrenz

Berechnung mit Euler-Verfahren

kan(0)=2000, K=4000, fu(0)=10,

c=0.1, j=0.05, gf=0.00005, s=0.025.

200 400 600 800 1000

500

1000

1500

2000

2500

3000

Kaninchen

Berechnung mit Euler-Verfahren

200 400 600 800 1000

5

10

15

20

25

30Füchse

Populationen konvergieren gegen ein Gleichgewicht

250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000Kaninchen

5

10

15

20

25

30

35Füchse

Material zum IU

Skripte, MATHEMATICA-Dateien, Einführungsübungen, etc. siehe http://www2.dgb.ch/users/le/iwshop.html