Komplexe Zahlen undebene GeometrievonProf. Joachim Engel, Ph.D.Oldenbourg Verlag Mnchen JoachimEngelistseit2006ProfessorfrMathematikanderPdagogischenHochschule Ludwigsburg.NachdemPh.D.inAppliedMathematicsanderUniversityofSouthernCali-fornia, Los Angeles, arbeitete Joachim Engel zunchst als Visiting Assistant Professor an der UniversityofMichigan,AnnArbor.AnschlieendwarerWissenschaftlicherMitarbeiteran denUniversitteninHeidelbergundinBonnsowiealsStRa.e.H.anderPHLudwigsburg ttig,woerauch1999habilitiertwurde.Von2004bis2006lehrteeralsProfessorander Universitt Hannover. Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der DeutschenNationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet ber abrufbar. 2009Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Strae 145, D-81671 Mnchen Telefon: (089) 45051-0 oldenbourg.de DasWerkeinschlielichallerAbbildungenisturheberrechtlich geschtzt.JedeVerwertung auerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulssig undstrafbar.DasgiltinsbesonderefrVervielfltigungen,bersetzungen,Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Kathrin Mnch Herstellung: Dr. Rolf Jger Coverentwurf: Kochan & Partner, Mnchen Gedruckt auf sure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: Books on Demand GmbH, Norderstedt ISBN 978-3-486-58992-4 VorwortDie natrlichen Zahlen hat der liebe Gott geschaen, alles andere ist Men-schenwerk.Leopold Kronecker, 18231891Die Entwicklung der komplexen Zahlen ist aufs Engste verknpft mit der Entwicklungder Theorie zur Ausung von algebraischen Gleichungen. Gleichzeitig sind komplexeZahlen ein wichtiges Darstellungsmittel fr zentrale Problemstellungen der Analysis, derGeometrie und fr viele Anwendungen z. B. aus der Physik. Wie das natrliche Modellzur Darstellung reeller Zahlen der Zahlenstrahl ist, so ist die (Gausche) Zahlenebenedie natrliche grasche Reprsentation der komplexen Zahlen.MitHilfekomplexerZahlenknnenaufeleganteWeisealgebraische,analytischeundgeometrische Probleme der Ebenebearbeitet werden. Aufbauendauf komplexen Zah-len lassen sich wichtige Zusammenhnge zwischen diesen mathematischen Teilgebietenherstellen. DerZugangberkomplexeZahlenbildetdieGrundlagezurLsungvonFragen, die die Mathematik ber viele Jahrhunderte beschftigt hatte. Viele klassischeProblemederMathematik, diez. T. schonseitderAntikeformuliertwaren,konntenmit Hilfe komplexer Zahlen und komplexer Funktionen im 18. und 19. Jahrhundert aufelegante Weise gelst werden.Eine Beschftigung mit komplexen Zahlen und Abbildungen der komplexen Zahlenebe-neistauchfrangehendeLehrerinnenundLehrerbedeutsam: berdenTellerrandderbisherigenZahlbereichehinauszuschauenhilft, eintieferesVerstndnisderbishervertrauten Zahlen zu erwerben unddie Notwendigkeit von Zahlbereichserweiterungenzu verstehen. Jenseits der reellen Zahlen besitzen pltzlich auch Gleichungen der Formx2+1 = 0 Lsungen. Bei der Suche nach Lsungen von Gleichungen 2., 3. oder 4. Gradesnden altbekannte Rechenmethoden wie das quadratische Ergnzen oder Koezienten-vergleiche neue Anwendung. Besonders instruktiv ist die enge Verbindung von AlgebraundElementargeometrie wiesiemitHilfekomplexer Zahlen hergestellt werden kann.KomplexeZahlenerweisensichalshervoragendgeeigneteDarstellungsmittel zurAl-gebraisierungvonFragenderebenenGeometrie. ImGegensatzzurVektorgeometriebeschrnktsicheinaufkomplexenZahlenbasierterZugangzurGeometrienichtnurauf lineare geometrische Objekte, sondern net uns die mathematische wie sthetischeVielfalt gekrmmter Objekte wie z. B. Ellipsen, Hyperbeln, Spiralen und vieles anderemehr. Auch ein kleiner Ausug in die Welt der Fraktale ist mit den hier dargestelltenMethoden mglich.vi VorwortKomplexe Zahlen erhlt man durch eine Zahlbereichserweiterung aus den reellen Zahlen.Wir werden uns in Kapitel 1 in den Abschnitten 1.1 bis 1.5 mit den Rechenregeln und al-gebraischen Eigenschaften des Krpers der komplexen Zahlen befassen. Dieser Teil stelltdas mathematische Handwerkzeug fr die folgenden Kapitel bereit. Die Abschnitte 1.6bis 1.11 lassen durchblicken, wie man mit Hilfe komplexer Zahlen geometrische Objekteund geometrische Zusammenhnge darstellen kann. Nach einem kleinen Ausug in dieTeilbarkeitslehre dersogenannten ganzenGauschen ZahleninKapitel2wendenwiruns in Kapitel 3 Fragen der Lsbarkeit algebraischer Gleichungen zu, die historisch inder Entwicklung der Algebra eine so zentrale Rolle gespielt haben. Dazu gehren sowohldieLsungsformeln von Cardano und Ferrari fr Gleichungen 3. und 4. Grades sowiedie Resultate von Abel und Galois ber die Nichtausbarkeit algebraischer Gleichun-gen hheren Grades. Der Fundamentalsatz der Algebra (Kapitel 4) weist die komplexenZahlen schlielich als algebraisch abgeschlossenen Krper aus. Eine zur Gauschen Zah-lenebene alternative Darstellung komplexer Zahlen bildet die Riemannsche Zahlenkugel(Kapitel 5). Anschlieend betrachten wir Abbildungen oder Funktionen der komplexenEbene auf sich selbst. Allerdings werden wir das Gebiet der komplexen Analysis (d. h.der Dierential- und Integralrechnung im Komplexen), das in der Mathematik auch alsFunktionentheorie bezeichnet wird, nur kurz streifen knnen. Stattdessen betrachten wirAbbildungenderkomplexenEbene,diefolgendespezielleEigenschaftenbesitzen:Siesind winkeltreu und im Kleinstenmastabstreu. Mit diesen Abbildungen erhlt maneinenalgebraischen ZugangzuinteressantenFragestellungen derebenenAbbildungs-geometrie. NacheinerallgemeinenHinfhrungzukomplexenFunktionen(Kapitel 6)wird die Klasse der Mbiustransformationen (Kapitel 7) detaillierter untersucht. Einewichtige Anwendung nden konforme Abbildungen in der Strmungslehre. Hierzu gibtKapitel 8 einige Illustrationen am ausgewhlten Beispiel der Jukowski-Funktion.Moderne benutzerfreundliche Software entlastet nicht nur von mhsamer Rechenarbeit,sondern dient auch als exibles Mittel zur Veranschaulichung. Das 9. Kapitel gibt eineEinfhrung, wiedieInhaltediesesBuchesmitdemComputeralgebrasystem MAPLEdargestellt und illustriert werden knnen.Viele Impulse, wie die mathematische Vielfalt komplexer Zahlen und ihre VernetzungmitFragen der Geometrie Studierenden der Lehrmter an Grund-, Haupt- undReal-schulenzugnglich gemacht werdenknnen, erhieltichvon meinenVorgngern Karl-DieterKloseundHeinrichWlpertanderPdagogischenHochschuleLudwigsburg.DieseAnregungenkonnteichineinerReihevonVorlesungenundSeminarenweitervertiefen. KomplexeZahlensindabernichtnurfrdiereineMathematikundGeo-metrievonzentralerBedeutung. VieleangewandteProbleme, z. B. zurBeschreibungperiodischer Vorgnge oder in der Strmungslehre lassen sich auf relativ einfache WeiseimKontext komplexer Zahlen darstellen undlsen.Daher kanndieses Buchauch alsLektre fr angehende Physiker oder Ingenieurwissenschaftler zur Einfhrung dienen.Begleitend zu diesem Buch wurde eine Internetseite eingerichtet, auf der neben Errata,weiterenergnzendenBeispielenundIllustrationenaktualisierteInternetadressenzueinzelnen Themenbereichen eingesehen werden knnen. Sie nden diese Seite ber dieHomepage des Verfassershttp://www.joachimengel.euper Mausklick auf das Titelbild dieses Buches.Vorwort viiHeinrich Wlpert gilt mein besonderer Dank fr zahlreiche Anregungen, die mich dazuermutigten, der Welt der komplexen Zahlen und ihrer Verknpfung mit der Geometrie inder Lehrerausbildung meine Aufmerksamkeit zu schenken. Auerdem danke ich meinenKolleginnen und Kollegen Sebastian Kuntze, Laura Martignon, Jrg Meyer und MarkusVogel sowieBiancaWatzkaunddenStudierendeninmeinenSeminarenfr stetigeErmutigungen und so manche detaillierte Rckmeldungen, die mir halfen, viele Detailsder in diesem Buch vorgestellte Inhalte und ihre Prsentation zu verbessern.Ludwigsburg Joachim EngelInhaltsverzeichnisVorwort v1 Komplexe Zahlen und ihre geometrische Darstellung 11.1 Von den natrlichen Zahlen zu den komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Die komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Rechnen im Krper (C, +, ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Die Gausche Zahlenebene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Die Betragsfunktion in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 Punktmengen in der Gauschen Zahlenebene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.7 Polarkoordinatendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.8 Die Formeln von Moivre und Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.9 Anwendungen in der Physik: Bewegungen eines Punktes in der Ebene . . 311.10 Spiralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.11 Komplexe Zahlen und Fraktale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 Primzahlen im Komplexen 472.1 Die Menge der ganzen Gauschen Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2 Norm und Einheiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3 Die Gauschen Primzahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.4 Division mit Rest im Ring der ganzen Gauschen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 522.5 Primfaktorzerlegung in G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55x Inhaltsverzeichnis3 Lsungen algebraischer Gleichungen 573.1 Quadratwurzeln und quadratische Gleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2 Allgemeine Wurzeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.3 Einheitswurzeln:n-te Wurzeln aus der Zahl 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.4 Kubische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.5 Ausblick. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.6 Lsungen der Gleichung 4. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854 Fundamentalsatz der Algebra 874.1 Die Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.2 Der Fundamentalsatz der Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.3 Die Bedeutung des Fundamentalsatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985 Riemannsche Kugel 995.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.2 Stereograsche Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.3 Eigenschaften der stereograschen Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.4 Darstellung einer Funktion auf der Riemannschen Zahlenkugel ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066 Komplexe Funktionen 1076.1 Begrisbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.2 Dierenzieren von komplexen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.3 Konforme Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167 Gebrochen lineare Funktionen 1177.1 Ganze lineare Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.2 Die Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.3 Spiegelung am Kreis und hyperbolische Fraktal-Ornamente . . . . . . . . . . . . . 127Inhaltsverzeichnis xi7.4 Kurvenverwandtschaft bei der Inversion y = 1/z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.5 Gebrochen lineare Funktionen: Mbiustransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.6 Das Doppelverhltnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1387.7 Normalform der Mbiustransformation mit zwei Fixpunkten. . . . . . . . . . . 139Aufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438 Die Jukowski-Funktion und die Funktionw = z21479 Komplexe Zahlen und Konforme Abbildungen mit MAPLE 153Lsungen zu den Aufgaben 163Literatur 173Index 1751 Komplexe Zahlen und ihregeometrische DarstellungDas Lsen von Gleichungen durchzieht nicht nur die gesamte Schulmathematik, sondernhatte auch groen Einuss auf die historische Entwicklung der Mathematik. Kann maneine Gleichung nicht mit den vorhandenen Zahlen lsen, so deniert man neue Zahlen,die eineLsung erlauben. DieseKernidee durchzieht die Geschichte derAlgebra vomAltertum bis in die Neuzeit. Hieraus entwickelten sich aus den natrlichen Zahlen zu-nchstdieBruchzahlen.DieerstenBeweise,dassderZahlenstrahlirrationale Zahlenenthlt, wurden bereits von den Pythagorern gefhrt. Hinweise auf die Existenz nega-tiver Zahlen nden sich zwar schon beim griechischen Mathematiker Diophant (um 250n. Chr.). Da die Mathematik im Altertum jedoch stark vom geometrischen Denken ge-prgt war, konnte man sich nur Zahlen vorstellen, die eine geometrische Interpretationbesaen. Negative Zahlen und auch die Zahl Null mussten daher lange warten, bis sie inder Mathematik Akzeptanz fanden. Schlielich fhrten die Inder zwischen 500 und 1200nach Christus die Zahl Null sowie negative Zahlen ein. In Europa dauerte es sogar bis1487, als der in Esslingen geborene Michael Stifel in seinem 1544 verentlichten WerkArithmetica integra wesentlich zur Klarstellung der negativen und irrationalen Zahlenbeitrug. Imaginre Zahlen, die man anfangs noch alseingebildeteZahlen bezeichnete,wurden zwar auch schon im 16. Jahrhundert eingefhrt. Sie wurden lange Zeit aber mitviel Skepsis angesehen, bis ihnen dann im 19. Jahrhundert der Durchbruch gelang undsie als in sich konsistentes und herausragendes Darstellungsmittel fr algebraische undgeometrische Problemstellungen akzeptiert wurden.1.1 Von den natrlichen Zahlen zu denkomplexen ZahlenBetrachten wir die Menge der natrlichen Zahlen einschlielich der Null N0=0, 1, 2, . . .mit der Verknpfung der Addition (N0, +), so sind uns schon seit den ersten Jahren derSchulzeit die wesentlichsten Eigenschaften dieses Zahlbereiches vertraut:Die natrlichen Zahlen sind bezglich der Addition abgeschlossen:Fr allea, b N0 gilta +b N0.Die Addition natrlicher Zahlen ist eine assoziative Verknpfung:Fr allea, b, c N0 gilt (a +b) +c = a + (b +c).Es gibt ein neutrales Element in N0 bezglich der Addition:Es existiert ein Elementn N0, so dass fr allea N0gilta + n =n + a. Dasneutrale Element bezglich der Addition heit 0.2 1 Komplexe Zahlen und ihre geometrische DarstellungDie Verknpfung ist kommutativ: Fr allea, b N0 gilta +b = b +a.Inverses: Fra ,= 0 ist die Gleichunga +x = 0 in N0 nicht lsbar.Wir stellen somit auch Mngel der Addition natrlicher Zahlen fest:M1. Auer der Null besitzt keinanderes Element inN0innerhalbder natrlichenZahlen ein inverses Element: Zu a ,= 0, a N0 existiert kein a

N0 mit a+a

= 0.Etwas allgemeiner stellen wir fest:In (N0, +) ist eine Gleichunga +x = b nur lsbar fra b.Welche Eigenschaften besitzen die natrlichen Zahlen bezglich der Multiplikation alsVerknpfung (N0, )?Es gilt:Die natrlichen Zahlen sind abgeschlossen bezglich der Multiplikation:Fr allea, b N0 gilt:ab N0.Die Multiplikation natrlicher Zahlen ist eine assoziative Verknpfung:Fr allea, b, c N0 gilt: (ab)c = a(bc).Innerhalb der natrlichen Zahlen gibt es bezglich der Multiplikation ein neutralesElement: Es existiert ein Element e N0, so dass fr alle a N0 gilt ae = ea = a.Das neutrale Element bezglich der Multiplikation heit 1.Die Multiplikation natrlicher Zahlen ist kommutativ: Fr alle N0 gilt: ab = ba.Nur zu 1 gibt es ein inverses Element: 11= 1.JedochstellenwirauchbezglichderMultiplikationMngel dernatrlichenZahlenfest:M2. In (N0, ) ist eine Gleichungax =b nur lsbar, wennb ein Vielfaches vona ist(bzw.a ein Teiler vonb ist).Weitere Rechengesetze regeln die Verbindung von Addition und Multiplikation natrli-cher Zahlen. Es gilt das Distributivgesetz: Fr allea, b, c N0a(b +c) = ab +ac.ManversuchtdieMngel zubeheben, indemmandenZahlbereicherweitert. DabeisollenalleRechengesetzeerhaltenbleiben(Permanenzprinzip). DieBehebungvonMangel M1 fhrt auf den Zahlbereich der ganzen Zahlen Z. Welche algebraischen Ei-genschaften charakterisieren die ganzen Zahlen?Zu jedem Elementa Z gibt es ein inverses Element bzgl. der Addition a.Jede Gleichunga +x = b mita, b Z ist in Z lsbar.Die Lsung lautetx = (a) +b.(Z, +) ist eine kommutative Gruppe.Der zweite Mangel M2 der natrlichen Zahlen bleibt jedoch auch bei den ganzenZahlen bestehen. Auer den Elementen 1 und 1 haben ganze Zahlen kein Inversesbezglich der Multiplikation innerhalb der Menge der ganzen Zahlen. Von seineralgebraischen Struktur ist (Z, +, ) ein Ring, aber kein Krper.1.1 Von den natrlichen Zahlen zu den komplexen Zahlen 3Die Beseitigung von Mangel M2 fhrt zu den rationalen ZahlenQ =_pq [ p Z, q Z 0_.Es gelten die InklusionenN0 Z Q.Die rationalen Zahlen haben folgende algebraische Eigenschaften:Zu jedema Q, a =pq ,= 0 gibt es ein inverses Element bzw. der Multiplikation:a1=qp(Kehrwert).Jede Gleichungax =b mita, b Q, a ,= 0ist in Q lsbar. DieLsung lautetx = a1 b.(Q, +)isteinekommutativeGruppe. Ebensoist(Q 0, )einekommutativeGruppe. Es gilt das Distributivgesetz. Damit ist (Q, +, ) ein Krper. Seine Zah-len sind die endlichen und (gemischt-)periodischen Dezimalbrche.AlternativundsoentsprichtessowohlderhistorischenEntwicklungwieauchdenmeistenSchulcurricula httemansichauchzuerstaufdieBeseitigungvonMangelM2 und anschlieend auf M1 konzentrieren knnen. Dann fhrt die erste Zahlbereichs-erweiterung vondennatrlichenZahlen N0aufdieBruchzahlen Bundschlielich zuden rationalen Zahlen Q.Allerdings haben auch die rationalen Zahlen Mngel:M3. Viele nicht-lineare Gleichungen haben keine Lsung, z. B. x2= 2. Die Lsungen2, 2 sind irrational.M4. Die Werte von trigonometrischen Funktionen und Logarithmen sind meist irratio-nal.M5. Wichtige Zahlen wiee und sind irrational.M6. EsgibtFolgenvonnatrlichenZahlen,diekeinenrationalen Grenzwerthaben,z. B.1, 1 13, 1 13 +15, 1 13 +15 17 4(Gottfried Wilhelm Leibniz, 16461716).Eine Innitesimalrechnung ist deshalb in Q nicht mglich.Die Beseitigung der Mngel M3M6 fhrt zu den reellen Zahlen R = QI, wobei I dieMenge der irrationalen Zahlen bezeichnet. Man beachte, dass eine alleinige Behebungvon Mangel M3 nur zu den algebraischen Zahlen fhrt, d. h. denjenigen Zahlen, die alsLsungen algebraischer Gleichungen bzw. als Nullstellen von Polynomen mit rationalenKoezienten auftreten. Transzendente Zahlen wie die Kreiszahl oder die Eulerzahleerhlt manerst durch Einschluss aller Grenzwerte von sog. Cauchy-Folgen in Q. Wirhaben somit folgende Inklusionen:N Z Q R.4 1 Komplexe Zahlen und ihre geometrische DarstellungDie reellen Zahlen haben folgende Eigenschaften:(R, +, )isteinKrper. SeineZahlensinddieendlichenundunendlichenDezi-malbrche.R heit vollstndig, weil jede Intervallschachtelung in R wieder eine reelle Zahleinschliet.R heit angeordnet, weil folgende Axiome gelten:1. Trichotomie: Fr allea, b R gilt genau eines:a > b, a = b odera < b.2. Transitivitt: Fr allea, b, c R gilt: ausa > b undb > c folgta > c.3. Monotonie der Addition: Ausa > b folgta +c > b + c.4. Monotonie der Multiplikation: Ausa > b undc > 0 folgtac > bc.Die reellen Zahlen knnen als Punkte auf der Zahlengeraden dargestellt werden.E-3 -2 -1 0 1 2 32 e RAbb.1.1:ZahlenstrahlObwohl Rvollstndig ist,hat RaucheinenoensichtlichenMangel:Esknnennicht alle Gleichungen gelst werden, z. B. quadratische Gleichungen.Beispiel 1.1a) Die Gleichungx2x 2 = 0hat als Lsungx1,2 =12 _14 + 2 =12 32, d. h.x1 = 2, x2 = 1;Probe (nach Satz von Vieta):(x1 +x2) = (2 1) = 1, x1 x2 = 2.Allgemein gilt:x2+px +q = 0 x1,2 = p2 __p2_2q.1.1 Von den natrlichen Zahlen zu den komplexen Zahlen 5Dann sagt der Satz von Vieta:x1 +x2 = p, x1 x2 = q.ber die Anzahl der reellen Lsungen entscheidet die DiskriminanteD =_p2_2q.IstD> 0, so gibt es zwei reelle Lsungen. Im Fall D = 0 existiert eine, undfallsD < 0 gibt es gar keine reelle Lsung.b) Die Gleichung des Goldenen Schnittsx2x 1 = 0hat als Lsung:x1 =1 +52 1, 618 . . . , x2 =1 52 0, 618 . . . .c) Die Gleichungx2x + 1 = 0fhrt aufx1,2 =12 _14 1 =12 123,wasjedochkeinereelleZahl seinkann, daQuadratereellerZahlenniemalsnegativ sein knnen. Formal erfllen jedoch die Lsungenx1,2 =12 123die Bedingungen des des Satzes von Vieta. Denn es gilt:(x1 +x2) = 1, x1 x2 = 1,d. h. die Probe nach Vieta klappt!!DiereellenLsungenquadratischerGleichungenlassensichgeometrischalsSchnitt-punktevon Normalparabel undbestimmtenGeraden veranschaulichen: InAbbildung1.2sinddieNormalparabel undverschiedeneGeradendargestellt. DerSchnittpunkt(genauerdieAbszisse)vonderNormalparabelmitderGeradeny=x + 2stelltdieLsung aus Beispiel 1.1a) dar, der Schnittpunkt mity = x + 1 die Lsung von Beispiel1.1b. Jedoch hat die Parabel keine Schnittpunkte mit der Geradeny = x 1 (1.1c).Fr welche Geradeny = x +a fallen die Lsungen zusammen?x2x a = 0, D = 1 + 4a = 0 a = 1/4.DieUnlsbarkeitvielerquadratischerGleichungeninRfhrtunszudenkomplexenZahlen.6 1 Komplexe Zahlen und ihre geometrische Darstellung541 -1 0 -2 2123Abb. 1.2: Veranschaulichung der Lsung quadratischer Gleichungen als Schnittpunkt von Nor-malparabelund Geraden1.2 Die komplexen ZahlenDie einfachste Gleichung, die in R nicht lsbar ist, lautet:x2+ 1 = 0, d. h.x2= 1.Abb.1.3:L. EulerDas Quadrat einer Zahla R ist nie negativ! Leonard Euler(17071783) fhrte eine neue Zahl i ein, die diese Gleichunglst:i2= 1, oder i =1.Der Name imaginreEinheit fr die neue Zahl i geht aufRen Descartes (15961650) zurck. Man rechnete schon lan-ge vor Descartes und Euler mit Wurzeln aus negativen Zahlen.Sie wurden als eingebildete Zahlen (numeri imaginarii)be-zeichnet.DieLsungenderdrittenGleichung(Beispiel1.1c)x2x + 1 = 0 lauten dann mit3 =_3(1) =3 1 = 3ix1 =12 + 123i undx2 =12 123i.1.2 Die komplexen Zahlen 7Denition 1.1Ein Ausdruck der Formz = a + bi, a, b R heit komplexeZahl.a heit der Re-alteil,b der Imaginrteil von z: Re(z) = a, Im(z) = b. Die Menge aller komplexenZahlen wird mit C notiert.Gleichheit:Zwei komplexe Zahlen heien gleich, wenn sie in Realteil und Imaginrteil ber-einstimmena +bi = c +di a = c undb = d.Addition:Zwei komplexe Zahlen werden addiert, indem Realteil und Imaginrteil addiertwerdenz1 + z2 = (a +bi) + (c +di) = (a +c) + (b +d)i.(Hier wurde die Assoziativitt und die Kommutativitt fr + verwendet).Multiplikation:z1 z2=(a +bi)(c +di)=ac +adi +bci +bdi2(Distributivitt)=(ac bd) + (ad +bc)i (Kommutativitt, Assoziativitt).Die Einfhrung der komplexen Zahlen ist historisch so geschehen. Das Vorgehen ist aberproblematisch. Man kann nicht einfach eineneue Zahl mitbestimmtenEigenschaften(wiei miti2= 1) einfhren und erwarten, dass alles klappt. Dazu ein illustrativesBeispiel 1.2In R gibt es bekanntlich zu 0 kein Inverses 01bezglich der Multiplikation. Durch0darf man(genauer: kannman)nichtteilen, wiejederSchlerlernt. UmdiesenMangel zu berwinden, fhren wir eine neue Zahljein mitj = 01, d. h.0j = 1.AlsKonsequenzergibtsich(dieblichenRechenregelnsollendannauchfrdasRechnen mit der neuen Zahljgelten) einerseits(0 + 0)j = 0j = 1 (Addition in der Klammer)und anderseits(0 + 0)j = 0j + 0j = 1 + 1 = 2 (Distributivgesetz),also folgt in R: 1=2. Widerspruch!8 1 Komplexe Zahlen und ihre geometrische DarstellungWiekannman nachweisen, dass die Einfhrungvoni auf keinen Widerspruch fhrt?Mangehtanalogvorwiebei derErweiterungvondennatrlichenZahlenNzudenBruchzahlen B oder von N nach Z, d. h. wie bei der Einfhrung der Bruchzahlen nachdem quivalenzklassenkonzept. Man verwendet geordnete Zahlenpaare und deniert ge-eignete Verknpfungen. Fr Zahlenpaare muss man nun nachrechnen, dass alle Gesetzegelten. Die Widerspruchsfreiheit bertrgt sich dann auf den neuen Zahlbereich:z=a + bi, a, b RwirdalsPaargeschrieben: z=(a, b). EinekomplexeZahl ist(zunchst) ein geordnetes Paarz = (a, b) reeller Zahlen.Wir denieren frz1 = (a, b), z2 = (c, d)Addition: z1 +z2 = (a, b) ..Add. in C(c, d) = (a +c, b +d). .Add. in RMultiplikation: z1 z2 = (a, b) ..Mult. in C(c, d) = (ac bd, ad +bc). .Add.,Subtr.,Mult. in R.DieAbgeschlossenheit von Cbezglich und istsomit erfllt.Nachzuprfen sindnoch Assoziativitt, Kommutativitt und Distributivitt. Neutrales Element bezglich ist (0, 0): (a, b) (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b) ist (1, 0): (a, b) (1, 0) = (a1 b0, a0 +b1) = (a, b).Wasist dasinverseElementvon(a, b) ,=(0, 0)bezglich undbezglich ?Wirmachen den Ansatz(x, y) (a, b) = (0, 0)und sehen, dass diese Gleichung genau dann erfllt ist, wennx = a, y = b, whrend(x, y) (a, b) = (1, 0)genau dann gilt, fallsxa yb = 1 , xb +ya = 0,was wiederum gelst wird vonx =aa2+b2, y = ba2+b2.Man beachte, dass wegen (a, b) ,= 0 stetsa2+b2> 0 ist.SchlielichbettenwirdiereellenZahlenindieMengederneudeniertenObjekte,diekomplexenZahlen, ein. Dazubeobachtenwirzunchst, dassdiePaaremitdemImaginrteil 0einebezglichAdditionundMultiplikationabgeschlosseneTeilmengevon C bilden.(a, 0) (c, 0) = (a +c, 0), (a, 0) (c, 0) = (ac, 0).1.2 Die komplexen Zahlen 9Wir setzen (a, 0) =a (analog zu dem bei der Einfhrung der Bruchrechnung blichen31= 3). Damit ist R C. Es gilt(0, 1) (0, 1) = (00 11, 01 + 10) = (1, 0) = 1,also ist (0, 1) die Zahl, deren Quadrat 1 ist. Wir setzen (0, 1) = i.Mit (0, b) = (b, 0) (0, 1) ergibt sich schlielich(a, b) = (a, 0) (0, b) = a +bi.Damit ist gezeigt, dass die Einfhrungvoni zulssig ist undauf keinen Widerspruchfhrt.Satz 1Mit C0 = (x, 0) [ x R gilt(C0, , )=..isomorph(R, +, ).Der Isomorphismus ist die Abbildungf(x, 0) = x.fist bijektiv und operationstreu,d. h.f((x, 0) (y, 0)) = f(xy, 0) = xy = f(x, 0)f(y, 0).Da wegen der Isomorphie zwischen R und C0die Addition in C die Addition+ inR fortsetzt, schreiben wir fr der Einfachheit halber +, ebenso notieren wir auch dieMultiplikation in C mit .Damit ist gezeigt, dass die Einfhrung der komplexen Zahlen widerspruchsfrei mglichist. DieneueWelt derkomplexenZahlenistalsoinOrdnung, allerdingsmiteinerEinschrnkung. Bei der Erweiterung von R nach C geht die Anordnung verloren. Fr0undigiltweder0i. Nehmenwirnmlichan, dassdieimaginreEinheitpositivsei,d. h. i >0,sofhrtdieMultiplikationmit izueinemWiderspruch1 = i2= ii > 0i = 0,weil ja Multiplikation mit einer positiven Zahl (hieri, das ja nach Voraussetzungi > 0ist) die Ungleichung erhlt. Nehmen wir andererseits an, dassi negativ sei, alsoi < 0,so folgt wiederum durch Multiplikation mit der jetzt als negativ angenommenen Zahliein Widerspruch1 = i2= ii > 0i = 0,d. h. 1>0. SchlielichfhrtauchdiedritteMglichkeit i =0auf einunsinnigesErgebnis, da die Multiplikation mit i zu 1 = 0 fhrt. Wir halten also fest: Die imaginreEinheit, und somit alle komplexen Zahlen mit von Null verschiedenem Imaginrteil sindweder positiv noch negativ. Eine Anordnung komplexer Zahlen ist nicht mglich. Wirfassen zusammen:10 1 Komplexe Zahlen und ihre geometrische DarstellungSatz2(C, , ) ist ein Krper, allerdings kein angeordneter Krper.brigens bildet C auch einen Vektorraum ber R. Die Dimension dieses Vektorraumsist zwei und 1 undi bilden eine Basis.1.3 Rechnen im Krper (C, +, )Beispiel 1.3Es seiz1 = 5 + 2i, z2 = 3 4i. Dann istz1 +z2=(5 + 2i) + (3 4i) = 5 + 3 + (2 4)i = 8 2iz1z2=(5 + 2i) (3 4i) = 5 3 + (2 + 4)i = 2 + 6i.Inverses Element bezglich der Addition zuz2 ist z2 = 3 + 4i, dennz2 + (z2) = (3 4i) + (3 + 4i) = 0 + 0i = 0.Fr die Multiplikation und Division ergibt sichz1 z2=(5 + 2i)(3 4i) = 23 14iz1z2=5 + 2i3 4i=(5 + 2i)(3 + 4i)(3 4i)(3 + 4i)=15 8 + (20 + 6)i9 16i2=7 + 26i25Denition 1.2Die beiden Zahlen z = a+bi und z = abi heien konjugiert komplex zueinander(conjugere = verbinden).Eigenschaften von konjugiert komplexen Zahlen: z = (z) = a bi = a +bi = z z +z = (a +bi) + (a bi) = 2a = 2Re(z) z z = 2iIm(z) zz = a2+b2 R1z=zzz=a bia2+b2zz=a +bia bi=(a +bi)(a +bi)(a bi)(a +bi)=a2b2+ 2abia2+b2zz=a2b22abia2+b2, es ist also_zz_=zz z1 z2 = z1 z2 z1 +z2 = z1 +z21.3 Rechnen im Krper (C, +, ) 11Satz 3DieAbbildung k : zz ist einAutomorphismus von(C, +, ), d. h. kist einstrukturerhaltender Isomorphismus von C.Zum Beweis siehe Aufgabe 1.3.Aufgaben1.1. InformierenSiesichinderLiteraturberdieZahlbereichserweiterungvondennatrlichen Zahlen zu den Bruchzahlen. Welche mathematischen Anstze gibt eshier? Erarbeiten Sie sich das quivalenzklassenkonzept zur Einfhrung von Br-chen. Wie sind dabei Brche deniert? Wie sind Addition und Multiplikation de-niert? Worauf muss man bei den Denitionen der Rechenoperationen besondersachten?1.2. (a) WeisenSiedieAssoziativittderMultiplikationimKomplexennach,d. h.die Operation auf R2gegeben durch (a, b) (c, d) = (ac bd, ad +bc) istassoziativ.(b) Weisen Sie das Distributivgesetz fr und auf R2nach.(c) Worin liegt das Problem mit der folgenden Multiplikation auf R2:(a, b) (c, d) = (ac, bd)?1.3. Die Abbildungk : C Cz zist ein Automorphismus von (C, +, ).1.4. Berechnen Sie frz1 = 2 +i, z2 = 3 2i undz3 = 12 +32i:(a) 3z14z2(b)z31 3z21 + 4z18 (c) (z3)41.5. Berechnen Sie (frn = 2, 3, 4, . . . in (d), (e), (f))(a) 3 2i1 +i(b)5 + 5i3 4i(c)3i30i192i 1(d)in(e) (i)n(f) (1 +i)n12 1 Komplexe Zahlen und ihre geometrische Darstellung1.4 Die Gausche ZahlenebeneETX ubEz1z2z3 = z1 +z2z4 = z1z2Abb.1.4:Addition komplexer ZahlenDie reellen Zahlen fllen die Zahlengeradevollstndig aus. Die Darstellung komplexerZahleninder Formz = x +yi =(x, y)legt es nahe, einer komplexen Zahl z denPunktP(x, y)ineinemx, y-Koordinatensys-temzuzuordnen. DenPunktbezeichnenwirmitz. Jeder komplexen Zahlz kann der Vek-tor

OZzugeordnetwerden, denwirauchznennen.Die Addition von komplexen Zahlenentspricht dann der Additionder zugeordne-tenVektoren(Parallelogrammregel). Additi-onundSubtraktionerfolgenkomponenten-weise, sei z. B.z1 = 3 + 2i, z2 = 2 + i, dannistz3=z1 +z2 = 1 + 3iz4=z1z2 = 5 +i.TE BzrrrrrrrrjzAbb. 1.5: KomplexeZahl unddiezuihrkonjugiert komplexe ZahlDie vertikale Achse der Gauschen Ebenez[z=iy, y RheitimaginreAchse,die horizontale Achse z[z=x, x R heitreelle Achse.DieGauscheZahlenebeneistdieindieEbeneausgebreitete komplexe Zahlengerade.An jeder reellen Zahl a hngen die komplexenZahlenz = a +yi, y R, auf der dazugehri-gen imaginren Gerade. Wegeni2= 1 lsstsichdieAnordnungnichtaufdiekomplexenZahlen ausdehnen. Der bergang vonzzuzbedeutet eine Spiegelung an der reellen Achse,siehe Abbildung 1.5.1.5 Die Betragsfunktion in CDenition 1.3Die Lnge des Vektorsz heit sein Betrag [z[. Die Funktion der Gauschen Ebene,die jeder komplexen Zahlz = a +bi ihren Betrag zuordnet, heit Betragsfunktion : z [z[ = [a +bi[ =_a2+b2(Satz des Pythagoras)1.5 Die Betragsfunktion in C 13Es ist[z[2= a2+b2= (a +bi)(a bi) = zzund[z[ = [z[ , [ z[ = [z[Beispiel 1.4 [3 + 2i[ =9 + 4 =13 3, 6 [1 i[ =1 + 1 =2 [ 12 +123i[ =_14 +34= 1.TE1ieeeeee12 + 123iAbb.1.6:Zahl auf dem EinheitskreisDie Zahl z= 12 +123i liegtauf demEin-heitskreis, da [z[ = 1.Satz 4DieBetragsfunktionistmitderMultipli-kation und Division vertrglich: [z1 z2[ = [z1[[z2[z1z2= [z1[[z2[Die Betragsfunktion : z [z[ istein Homomorphismus von C auf R+0 .Beweis als bung.Beispiel 1.5Es seienz1 = 15 + 8i, z2 = 5 + 12i,dann ist[z1[ = 225 + 64 =289 = 17,[z2[ = 25 + 144 =169 = 13.Bei diesem Beispiel bleiben wir im ganzzahligen Bereich, da 8, 15, 17 sowie 5, 12, 13pythagoreische Zahlentripel sind, d. h. Zahlena, b, c mita2+b2= c2.z1 z2= 75 + 180i 40i 96 = 171 + 140i[z1 z2[=_1712+ 1402=29241 + 19600 =48841 = 221.Ist die Betragsfunktion mit der Addition vertrglich?14 1 Komplexe Zahlen und ihre geometrische DarstellungTEX!Qz1z2z1 +z2[z1[[z2[[z1 +z2[Abb.1.7:DreiecksungleichungEs seiz1 = 2 +i; z2 = 1 + 3i. Dann ist[z1[ =5, [z2[ =10,undz1 +z2 = 3 + 4i, d. h. [z1 +z2[ = 5,whrend5 +10 2, 23 + 3, 26 = 5, 39,also 5 +10 > 5.Satz5Frz1, z2 C gilt: [z1 +z2[ [z1[ +[z2[.Diese Gleichung ist auch als Dreiecksungleichung bekannt: In jedem DreieckistdieSummevon zweiSeitenlngengrer alsdieLngederdrittenSeite.Gleichheit gilt genau dann, wennz1 = kz2 fr eink R. [z2z1[ [z2[ [z1[.Beweis: Es sei z1 = a1+ib1, z2 = a2+ib2. Dann ist [z1+z2[2= (a1+a2)2+(b1+b2)2.Es ist zu zeigen, dass(a1 +a2)2+ (b1 +b2)2 a21 +b21 +a22 +b22 + 2_(a21 +b21)(a22 +b22).Dies ist quivalent zua1a2 +b1b2_(a21 +b21)(a22 +b22)a21a22 + 2a1a2b1b2 +b21b22a21a22 +a21b22 +b21a22 +b21b222a1a2b1b2a21b22 +b21a220 (a1b2b1a2)2.Letzteres ist immer erfllt, da Quadrate reeller Zahlen niemals negativ sind. Gleichheitgilt genauwennb2=b1/a1 a2, d. h. esgibt einkR(nmlichk =a1/b1) mita1 +ia2 = k(b1 +b2).Zum Beweis von b) setze manw1 = z2z1, w2 = z1 und erhlt bei Anwendung von a)aufw1, w2[w1 +w2[ [w1[ +[w2[,1.6 Punktmengen in der Gauschen Zahlenebene 15das heit[z2[ [z2z1[ +[z1[,woraus die Behauptung unmittelbar folgt. ETI#}z1z2[z1[[z2[[z2z1[z2z1Abb. 1.8: Der Betrag einer Dierenz istgrerodergleichderDierenzderBe-trge[z2z1[ gibt den Abstand der Punkte z1 und z2in der Zahlenebene an. Die geometrische Aussa-ge dieser Ungleichung lautet: In jedem Dreieckist die Lnge einer Seite grer als die Dierenzder anderen beiden Seitenlngen.DerBetrageinerkomplexenZahl zlsstsichauch mitHilfeder konjugiert komplexen Zahlz ausdrcken. Es seiz = x + yi. Dann ist[z[ =_x2+y2und[z[2= (x +yi)(x yi) = zz.Satz 6[z[2= zz oder [z[ =zz.1.6 Punktmengen in der Gauschen ZahlenebeneGesuchtsindallePunkte z=x + yi, dieeineGleichungoderUngleichungerfllen.1Abb. 1.9: Einheitsscheibe alsLsungsmengevonz 11. [z[ 1:[z[ =_x2+y2, also_x2+y2 1x2+y2 1Die Lsung ist die Scheibe des Einheitskreises mitRand.1.z 3z + 1 1:Wir illustrieren drei unterschiedliche Methoden zur Bestimmung der Punktmenge,die dieser Ungleichung gengen.16 1 Komplexe Zahlen und ihre geometrische Darstellung1. Methode: Betrge ausrechnen.Es istz1z2= [z1[[z2[. Daher suchen wir allez mit[z 3[ [z + 1[[x +yi 3[ [x +yi + 1[_(x 3)2+y2_(x + 1)2+y2x26x + 9 +y2x2+ 2x + 1 +y2x 1.Die Lsung ist somit die Halbebene aller Punkte der Gauschen Zahlenebene,deren Realteil 1 ist.2. Methode: Mit Hilfe der konjugiert komplexen Zahlen.Es istzz = [z[2, daherz 3z + 1 1 [z 3[2[z + 1[2=(z 3)(z 3)(z + 1)(z + 1) 1(z 3)(z 3) (z + 1)(z + 1)zz 3z 3z + 9 zz +z +z + 18 4(z +z = 8Re(z)Re(z) 1, alsox 1.3. Methode: GeometrischDie Ungleichung bedeutet: Der Abstand einesPunkteszvon (3,0) ist gleich oder grer alsder Abstand von (1, 0). Fr gleiche Abstn-deergibtsichdieMittelsenkrechtevon(3,0)und (1, 0), d. h. die Geradex = 1.Insgesamt ergibt sich die Halbebene links vonder Geradenx = 1.1Abb. 1.10: Halbebene als L-sungsmenge3.z 3z + 3 2.Wir wenden die 2. Methode mit dem konjugiert Komplexen an:z 3z + 32=(z 3)(z 3)(z + 3)(z + 3) 4Durchrechnen fhrt auf[z + 5[ 4,d. h. die Lsung ist das Auengebiet des Kreises um (5,0) mit dem Radius 4.1.6 Punktmengen in der Gauschen Zahlenebene 17Wir fhren einige Punktproben durch:z1 = 1 :1 31 + 3= 2,d. h.z = 1 liegt auf dem Rand.z2 = 9 :19 39 + 3= 2liegt ebenfalls auf dem Rand.z3 = 0 :3+3 2liegt im Inneren der Punktmenge.5 1Abb. 1.11: Auengebiet einesKreises als LsungsmengeWas besagt die Gleichungz 3z + 3= 2 geometrisch?Die Lsungsmenge besteht aus allen Punkten, deren Ab-stand zu 3 doppelt so gro ist wie der Abstand zu 3.Als Lsung haben wir den Kreis um (5, 0) mit Radi-us4errechnet.WirhabensomiteinebemerkenswerteCharakterisierung eines Kreises gefunden, die zu EhrendesgriechischenMathematikersApolloniusvonPerge(262190 v. Chr.) benannt ist:Satz 7Satz des Apollonius: Alle Punkte, deren Abstandsverhltnis zu zwei festen Punk-tenA, B den konstanten Wert ,= 1 haben, liegen auf einem Kreis, dem Apolloni-uskreis zuA, B und.Abb.1.12:ApolloniusDiebekanntereundwohl auchanschaulicheregeometrischeCharakterisierung deniert den Kreis als die Menge allerPunkte, die zu einem vorgegebenem Punkt (nmlich dem Mit-telpunkt des Kreises) einen festen Abstand (den Radius) ha-ben. Dieslsstsichdirektmit HilfekomplexerZahlenaus-drcken:Allgemeine Kreisgleichung:k(M; r) = z[[z m[ = r, m C, r R+.18 1 Komplexe Zahlen und ihre geometrische DarstellungHieraus lsst sich eine betragsfreie Form herleiten:[z m[2=r2(z m)(z m)=r2zz mz mz +mmr2..=R=0,zz mz mz + = 0 Kreisgleichungwhrend die Gleichung ohne den Produkttermzzbz +bz + = 0eine Gerade in der Gauschen Zahlenebene darstellt.Denn der Ansatzz = x +iy, b = 1 +i2 fhrt zu(12i)(x +yi) + (a +bi)(x yi) +=01x +1yi 2xi +by +ax ayi +bxi +by +=021x + 22y +=0,was die Geradey =12x 22charakterisiert.Beispiel 1.63+iAbb.1.13:Kreis um3 + i mitRadius 4Welcher Kreis wird dargestellt durchzz (3 i)z (3 +i)z 6 = 0?zz (3 i)z (3 +i)z 6=0(z (3 +i))(z (3 i))=16[z (3 +i)[=4,d. h. wir erhalten den Kreis um 3+i mit Radius 4.Beispiel 1.7Welche Punktmenge wird dargestellt durch[z 1[ +[z + 1[ = 4?1.6 Punktmengen in der Gauschen Zahlenebene 19Wir setzen an mit_(x 1)2+y2+_(x + 1)2+y2=4(x 1)2+ y2+ (x + 1)2+y2+ 2_(x 1)2+y2_(x + 1)2+y2=162x2+ 2y2+ 2 + 2_(x21)2+y2[(x 1)2+ (x + 1)2] +y4=16_(x21)2+y2(2x2+ 2) +y4=7 x2y2Quadrieren auf beiden Seiten fhrt zux42x2+ 1 + 2x2y2+ 2y2+y4=49 +x4+y414x214y2+ 2x2y212x2+ 16y2=48x24+y23=1.111Abb.1.14:Ellipse mit den Brenn-punkten+1 und 1Das Ergebnis ist somit eine Ellipse. Ei-ne geometrische Interpretationder Aus-gangsgleichung kann uns direkt zu diesemErgebnis fhren: Gesucht ist die MengederPunkte zderGauschenEbene, de-renSummeder AbstndezudenPunk-ten 1 und 1 konstant 4 ist. Aus der ana-lytischenGeometrieistbekannt,dassdieOrtslinieallerPunkte, diezuzwei gege-benen Punkten konstante Abstandssummebesitzt,eineEllipseist.DieBrennpunkteder Ellipse sind die Punkte 1 und 1.Beispiel 1.8x1 0,5y01,5-0,510,5-10Abb.1.15:Parabelmit Brennpunkt12i und reeller Achse als LeitgeradeWelche Punktmenge wird dargestellt durch[z 12i[ = Im(z)?Wir setzen an_x2+ (y 12)2= yunderhalten nach Quadrieren auf beidenSeiten und Vereinfacheny = x2+ 14,d. h. das Resultat ist eine Parabel.In der analytischen Geometrie ist eine Pa-rabel deniertalsdieMengeallerPunk-te, deren Abstand zu einem Brennpunkt F20 1 Komplexe Zahlen und ihre geometrische DarstellungAbb.1.16:Kegelschnitte:Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbelgleich dem Abstand zu einer gegebenen Geradeng, der Leitgeraden, ist. Fr obigeGleichung knnen wir schreiben[z 12i[ = [z Re(z)[ = [Im(z)[.DiegesuchtePunktmengeistsomiteineParabel mit Brennpunkt12i undreellerAchse als Leitgerade.Beispiel 1.8 lsst sich verallgemeinern: Gegeben ein PunktP1und eine Geradeg. DieMenge aller PunkteP, deren Abstand zuP1 gleich dem Abstand zur Geraden g ist, isteine Parabel.hnlich lassen sich die anderen Beispiele verallgemeinern. Gegeben seien zwei PunkteP1undP2:DieMengeallerPunktePinderGauschenEbene, derenSummederAbstnde zuP1 undP2 konstant ist,[PP1[ +[PP2[ =konstant,ist eine Ellipse. Ebenso haben wir mit Hilfe des Apolloniuskreises gesehen: Die Mengealler PunkteP, deren Quotient der Abstnde konstant ,= 1 ist,[PP1[[PP2[=konstant > 0, ,= 1,ist ein Kreis. Ebenso lsst sich zeigen (bungen): Soll die DierenzderAbstndezuP1 undP2konstant sein, so ergibt sich eine Hyperbel, d. h. die Gleichung[PP1[ [PP2[ =konstantbeschreibteineHyperbel. DamithabenwireineinteressanteCharakterisierungeinerwichtigen Klasse von Kurven gefunden. Parabel, Kreis, Ellipse und Hyperbel sind Ke-gelschnitte, d. h. diese Kurven entstehen, wenn man die Oberche eines unendlichenKegels bzw. Doppelkegels mit einer Ebene schneidet.Welche Punktmenge erhlt man, wenn nicht Summe, Dierenz oder Quotient, sonderndas Produkt des Abstandes zu zwei vorgegebenen PunktenP1,2 konstant ist?1.6 Punktmengen in der Gauschen Zahlenebene 21Wir whlen frP1undP2die Punkte 1 und 1 in der komplexen Ebene und suchendie Menge der Punkte, fr die gilt[z 1[[z + 1[ = k frk = 1/4, 1 undk = 4.1,5-1 -2y1-0,500,5x210-1,5-1Abb.1.17:Cassinische Kurven frk= 1/4,k= 1 undk= 4.Der Ansatzz = x +iy fhrt zu[(x 1)2+y2][(x + 1)2+y2)=k(x 1)2(x + 1)2+y2[(x + 1)2+ (x 1)2] +y4=k(x21)2+ 2y2(x2+ 1) +y4=kx42x2+ 2x2y2+ 2y2+y4=k 1(x2+y2)22(x2y2)=k 1.Whlen wir fr k die Werte k = 1/4, k = 1 und k = 4, so erhalten wir die Kurven, die inAbbildung 1.17 dargestellt sind. Fr 0 < k < 1 erhalten wir zwei getrennte geschlosseneKurven, fr k = 1 die brezelfrmige Lemniskate. Je grer k ist, umso mehr nhert sichdie Kurve einer Ellipse an. Sie heien Cassinische Kurven. Der Spezialfallk = 1, derzu der Brezelkurve gehrt, heit Lemniskate.Aufgaben1.6. Es seienz1 = 2 +i undz2 = 3 2i komplexe Zahlen. Berechnen Sie:2z2 +z15 i2z1z2 + 3 i1.7. Zeigen Sie: Die Betragsfunktionz [z[ ist mit der Multiplikation und Divisionvertrglich:(a) [z1 z2[ = [z1[[z2[22 1 Komplexe Zahlen und ihre geometrische Darstellung(b)z1z2= [z1[[z2[(c) Die Betragsfunktion ist ein Homomorphismus von (C, ) auf (R+0 , ).1.8. WelchePunktmengeinderGauschenEbenewirdbeschriebendurchfolgendeUngleichungen:[z[ < 2 undz 1212?1.9. Weisen Sie nach: fr komplexe Zahlenz = x +iy, x, y R gilt:(a)z +iz i= 1 genau dann, wennz R, d. h.z = x(b)z + 3z 3= 1 genau dann, wennz = iy1.10. Weisen Sie nach: [z[ = 1 1z= z.1.11. Welche Punktmenge wird in der Gauschen Ebene festgelegt durchz 1z + 1 2 ?1.12. Weisen Sie nach: Durch die Gleichung: z z m z m z + = 0 wird in derGauschen Ebene ein Kreis beschrieben.1.13. Weisen Sie nach, dass die Menge der komplexen Zahlen, die der Gleichung[z 1[ [z + 1[ = 1gengen, eine Hyperbel in der komplexen Ebene bilden.(Inderanalytischen Geometrie isteineHyperbeleineKurve, deren PunktederGleichungx2ay2b= 1 gengen.)1.7 PolarkoordinatendarstellungEine komplexe Zahl z ist eindeutig durch ihren Betrag und den Winkel zwischenz undder reellen Achse bestimmt. Wir erhalten somit eine zweite Darstellungsform komplexerZahlen durch sogenannte Polarkoordinaten.Gegeben die komplexe Zahlz=x + yi, dann ist der Abstand zum Ursprung gegebendurch den Betrag vonz, d. h.r = [z[ =_x2+y2=zz.1.7 Polarkoordinatendarstellung 23TE0yxz = x +iyAbb. 1.18: Polarkoordinateneinerkom-plexen ZahlDer Winkel bezglich derx-Achse, orientiertim Gegenuhrzeigersinn, heit das Argumentvon z, notiert als = arg(z), und ist gegebendurchtan =yx(x ,= 0) und 0 < 2bzw.cos =xr, sin =yr.Wir lesen ab:x = rcos y = rsin Whrend manz = x +iyalsdierechteckige oderkartesischeDarstellungderkomplexenZahl zbezeichnet,istz = r(cos +i sin)die Polarkoordinatenform vonz.Umgekehrt lsst sich aus der kartesischen Darstellung einer komplexen Zahl z = x +yidie Polardarstellung sofort berechnen:r = [z[ =_x2+y2, = arctany/x = tan1y/xcos =x_x2+y2, sin =y_x2+y2.Denition 1.4Die Darstellung einer komplexen Zahlz = x +yi in der Formz = r(cos +i sin )mitr = _x2+y2, tan =yxheit Polarkoordinatendarstellung und (r, ) hei-en die Polarkoordinaten vonz. Das Argument ist dabei immer so zu whlen,dass 0 < 2 gilt. Diesen Winkel nennt man den Hauptwert des Winkels.Fr den Hauptwert muss die Lage vonz = x +yi beachtet werden:x > 0, y 0 x < 0, y 0 x < 0, y 0 x > 0, y 0Gradma 0 < 9090< 180180 < 270270 < < 360Bogenma 0 < /2 /2 < < 3/2 3/2 < < 224 1 Komplexe Zahlen und ihre geometrische DarstellungFrx = 0, y> 0 ist = /2; frx = 0, y< 0 ist = 3/2. Frx = y = 0, alsoz = 0istr = 0 und unbestimmt.Umwandlungen:1. z = 2 + 23i[z[= [2 + 23i[ =4 + 12 = 4,cos =x/[z[ = 2/4 = 1/2 = /3 Hauptwertz=4(cos /3 +isin /3)Andere Lsungen erhlt man, indem man Vielfache von 2 zu hinzuaddiert.2. Frz = 3 + 3i ergibt sich [z[ = [ 3 + 3i[ =9 + 9 = 32cos =x[z[=332= 122sin =y[z[=332=122 =343. Frz = 4 3i errechnen wir [z[ = 42+ 32= 5 und sin = 0, 8, cos = 0, 6,woraus folgt = 5.63968 im Bogenma bzw. = 323, 24 im Gradma.4. Frz = 1 +54+2_5 +54i erhalten wir [z[ = 1, =255. Ist umgekehrt die komplexe Zahl in Polarkoordinatenformgegebenals r =22, = 7/6, so errechnet sich die kartesische Form alsz = 6 2iRechnen in der Polarform:Gegeben seien zwei komplexe Zahlenz1, z2,z1=r1(cos 1 +i sin1) = x1 +y1iz2=r2(cos 2 +i sin2) = x1 +y1i.Die Addition erfolgt komponentenweise, ganz analog wie in der kartesischen Darstellung:z1 +z2 = (r1 cos 1 +r2 cos 2) +i(r1 sin 1 +r2 sin2).Satz8Zwei komplexe Zahlen in Polarkoordinatendarstellung werden addiert, indem Real-teil und Imaginrteil addiert werden.Fr dieAdditionstellt diePolarkoordinatendarstellungkeineErleichterungbei denBerechnungen dar. Anders ist es bei der Multiplikation: Dargestellt in Polarkoordinatenlsst sich die Multiplikation zweier komplexer Zahlen einfach charakterisieren:1.7 Polarkoordinatendarstellung 25z1 z2=r1 (cos 1 + sin 1)r2 (cos 2 + sin 2)=r1 r2[cos 1 cos 2sin 1 sin 2) +i(cos 1 sin2 + sin 1 cos 2)]=r1 r2[cos(1 +2) + i sin(1 +2)]Satz 9ZweikomplexeZahleninPolarformwerdenmultipliziert, indemmandieBetrgemultipliziert und die Argumente addiert.[z1 z2[ =r1 r2 = [z1[[z2[arg(z1 z2)=1 +2 = arg(z1) + arg(z2) modulo 2Beispiel 1.9z1 =2_cos 54+i sin 54_, z2 =18_cos 56+i sin 56_z1 z2 = 6_cos12 +i sin12_.Was ist das inverse Element zuz = r(cos +i sin )?1z=1r [cos() +i sin()] =1r(cos i sin).Dennz 1z= r(cos +i sin ) 1r(cos() +i sin())=rr[cos( ) +i sin( )] = 1.Allgemein gilt fr die Divisionz1z2= z1

1z2=r1r2[cos(12) +i sin(12)].Satz 10Zwei komplexeZahleninPolarkoordinatenwerdendividiert, indemihreBetrgedividiert und ihre Argumente subtrahiert werden.26 1 Komplexe Zahlen und ihre geometrische Darstellung1.8 Die Formeln von Moivre und EulerPotenzen einer komplexen Zahl auf dem Einheitskreis:Moivre-FormelWir bilden die Potenzen einer Zahlz auf dem Ein-heitskreis:z=cos + i sinz2=(cos +i sin)2=cos2 sin2 +i(2 sincos )=cos 2 +i sin2z3=zz2=(cos +i sin)(cos 2 +i sin2)=cos 3 +i sin3.123Abb. 1.19: Potenzen einer komple-xen Zahl mitz= 1Allgemein gilt:Satz11Fr alle n N und alle R gilt die Formel von Abraham de Moivre (16671754):(cos +i sin )n= cos(n) +i sin(n).Beweis: Beweis mit vollstndiger Induktion:A(n) : (cos +i sin )n= cos(n) +i sin(n)Verankerung:A(1) ist richtig.Induktionsschluss: Fr allen N : A(n) A(n + 1)(cos +i sin )n+1=(cos +i sin )n (cos +i sin )=[cos n +i sinn](cos +i sin )=cos(n +) +i sin(n +)=cos(n + 1) +i sin(n + 1).Beim Schritt von der ersten zur zweiten Zeile wurde die Induktionsvoraussetzung ange-wandt, der Schluss von der zweiten zur dritten Zeile gilt aufgrund von Satz 8.Mit Hilfe dieser Formel kann man cos n und sin n in Potenzen von cos bzw. sin ausdrcken.1.8 Die Formeln von Moivre und Euler 27Beispiel 1.10cos 5 +i sin5=(cos +i sin)5=_50_cos5 +_51_cos4i sin +. . . +_55_(i sin )5=cos5 + 5i cos4sin 10 cos3sin210i cos2sin3 + 5 cos sin4 +i sin5Realteil: cos 5=cos5 10 cos3sin2 + 5 cos sin4=cos5 10 cos3(1 cos2) + 5 cos (1 cos2)2=16 cos5 20 cos3 + 5 cos Imaginrteil: sin5=16 sin5 20 sin3 + 5 sin .Die Multiplikation komplexer Zahlen in Polarkoordinaten erlaubt eine anschauliche geo-metrische Interpretation. Diese Tatsache stellt eine wichtige Verbindung zwischen demalgebraischen Rechnen mit komplexen Zahlen und Aussagen der hnlichkeitsgeometrieher.Gegeben sei z1 = r1(cos 1+i sin1) beliebig, aber z1 ,= 0, d. h. r1 ,= 0, z2 = r2(cos 2+i sin2), z2 ,= 0. Wir betrachten folgende Flle:1. [z2[ = 1, alsor2 = 1, d. h. z2liegt auf dem Einheitskreis. Die Multiplikation mitz2 entspricht eine Drehung mit dem Winkel2 um den Ursprung.2. z2 =r2, also2= 0, z2 R+. Die Multiplikation mitz2bewirkt eine Streckungvonz1mit dem Ursprung als Streckzentrum mit dem Streckfaktork =r2(oderStauchung). Konstruktion mittels Strahlensatz: [z1 z2[ : [z2[ = [z1[3. z2beliebig: DieMultiplikationmit z2bedeuteteineDrehstreckungvonz1mitdem Ursprung als Zentrum mit Drehwinkel2 und Streckfaktorr2.z111z1 z2z2z1 z2z1z2x1 x2x1x2Abb. 1.20: Multiplikationmit a) komplexer Zahl vomBetrag 1entspricht einer Drehung(links); b) reeller Zahl entspricht Streckung (Mitte) c) beliebiger komplexer Zahl entsprichtDrehstreckung(rechts)28 1 Komplexe Zahlen und ihre geometrische DarstellungKomplexe Exponenten: Formel von EulerImReellengilt: limn_1 +xn_n=ex, e=2, 71828 . . .WirbertragendiesgemLeonard Euler (17071783) ins Komplexe:limn_1 +ixn_n= eix.Was solleixbedeuten? Wir untersuchen die Folge (1 +ixn )nfrx = 2/3 2, 0944.z1 = 1 +ix = 1 + 2, 09i = 2, 32(cos 1, 1245 +i sin 1, 1245)z2 = (1 +ix2 )2= (1 + 1, 05i)2= 2, 10(cos 1, 6196 +i sin 1, 6196)z3 = (1 +ix3 )3= (1 + 0, 700i)3= 1, 81(cos 1, 8322 +i sin1, 8322z5 = (1 +ix5 )5= (1 + 0, 419i)5= 1, 50(cos 1, 9839 +i sin1, 9839)z10 = (1 +ix10)10 = (1 + 0, 209i)10= 1, 24(cos 2, 0603 +i sin)2, 0603z100 =(1 +ix100)100= (1 + 0, 0209i)100= 1, 022(cos 2, 0897 +i sin2, 0897) ei231(cos 23+i sin 23) (23 2, 0944).Allgemein giltSatz12(Formel von Euler)eix= cos x +i sinx, x R. (1.1)Somit ergibt sich fr die komplexe Exponentialfunktionz f(z) = ez= ex+iy= ex eiy= ex(cos y +i siny).Beweis:1Wir betrachten die Funktionf(x) = eix (cos x +i sinx).Die Formel von Euler besagt dann gerade, dassf(x) 1. Wir beweisen diese Aussage,indemwir zunchst nachweisen, dassf

0 ist. DieAbleitung des ersten Faktors istieix, die des zweiten Faktors sinx +i cos x. Anwendung der Produktregel ergibtsomitf

(x)= ieix(cos x +isin x) +eix(sinx +icos x)=eix(icos x + sin x) +eix(sin x +icos x)=0 fr allex.1Wir unterstellen hier, dass die im Reellen gltigen Dierentiationsregeln auch im Komplexen gelten.Die in der Literatur meist blichen Beweise der Euler-Formel kommen ohne diese Annahmen aus undbasieren auf einem Potenzreihenargument, siehe z. B. Needham (2001).1.8 Die Formeln von Moivre und Euler 29Da die Ableitung berall 0 ist, istfkonstant. Um den konstanten Wert zu berechnen,gengt es,fan einer einzigen Stelle zu berechnen. Es giltf(0) = ei0(cos 0 +isin0) = 1. Die Gleichung erscheint in Leonhard Eulers Introductio, verentlicht in Lausanne 1748.Fr den Winkelx = ergibt sich die Identittei= 1 bzw.ei+ 1 = 0,dieeinenverblendeinfachenZusammenhangzwischenvierderbedeutendstenma-thematischenKonstantenherstellt: DerEulerschenZahl e, derimaginrenEinheit i,der Kreiszahlsowie der Einheit 1 der reellen Zahlen.EineLeserumfragedesFachblattesMathematical IntelligencerimJahre1990sahdieEulersche Identitt als das schnste Theorem der Mathematik an. Die Zeitschrift PhysicsWorld nannte im Jahre 2004 die Identitt die grte Gleichung aller Zeiten.Die Eulersche Identitt ist der Schlssel zur hheren Arithmetik im Komplexen. WiewirinAbschnitt1.3gesehenhaben, sindAddition, Subtraktion, MultiplikationundDivisionkomplexerZahleneineeinfacheFortsetzungdieserOperationenimReellen.Basierend auf der Eulerschen Identitt lassen sich nun Logarithmen auch aus negativenundsogar komplexen Zahlen bestimmen.Ebensolassen sich PotenzenmitkomplexerBasis oder komplexer Potenz berechnen.Beispiel 1.11Was istii? Zunchst giltii= e(i ln(i))und wir mssen den Logarithmus der imaginren Einheit nden.Der Ansatzln(i) = a +bifhrt zui = ea+bi= ea ebi= ea (cos b +i sinb).Eine Lsung hiervon istb = /2, a = 0, was aber bedeutet, dassln(i) = i2.DerPotenzausdruckiiistmehrdeutig. DieLsungensindaberallereellmitdemHauptwertii= e/2 0, 207879576350762.30 1 Komplexe Zahlen und ihre geometrische DarstellungEtwas allgemeiner fragen wir: Was ist ln(z)? Der Ansatz ln(z) = a +ib fhrt aufz = ea+ib= ea eib= ea(cos b +i sinb).Aberz = [z[eiarg(z),weshalba = ln [z[, b = arg(z) +k2und daherln z = ln [z[ +iarg(z).Diekomplexe Exponentialfunktion bildet die reelle Achse auf die reelle Achse ab unddie imaginre Achse auf den Einheitskreis.Folgerungen:1. ei(y+k2)= eiyfrk Z.2. eiy= cos y i siny.3. Ausen der Formel freiyundeiynach siny und cos y ergibt:cos y =eiy+eiy2sin y =eiyeiy2i.4. Sonderflle:e2i= 1 ei/2= iei= 1 e3/2i= i.Die Eulersche Formel dient auch als Bindeglied zwischen Analysis und Trigonometrie,dadietrigonometrischenFunktionenalsLinearkombinationenvonimaginrenExpo-nentialfunktionen dargestellt werden knnen.y1w=eiyAbb.1.21: Das Bild der imaginre Achse unter der Exponentialfunktion ist der Einheitskreis1.9 Anwendungen in der Physik: Bewegungen eines Punktes in der Ebene 31Denition 1.5Wir denieren zwei Funktionen cosh und sinh (genannt: Cosinus Hyperbolicus undSinus Hyperbolicus) .coshx =ex+ex2sinh x =exex2Dann ist frz = x +yi Ccos z = cos xcoshy i sinxsinh y.Denncos z=cos(x +iy) = cos xcos(iy) sin xsin(iy)=cos xey+ey2sin xeyey2i=cos xcoshy i sinxsinh yund entsprechendsin z = sin(x +iy) = sinxcoshy +i cos y sinh x.1.9 Anwendungen in der Physik:Bewegungen eines Punktes in der EbeneEinPunktPbewegesichinderEbeneberdieZeitthinweg.DieKoordinatendesPunktes Pzum Zeitpunkt t notieren wir mittels des Koordinatenpaares (x(t), y(t)). DieZuordnungt (x(t), y(t))wird auch als Parameterdarstellung einer (Bahn-)Kurve bezeichnet. So ist zum Bei-spielt (sin(t), cos(t)), 0 t < 2dieParameterdarstellung einesKreises.DawirkomplexeZahlenalsVektoreninderEbene kennengelernt haben, knnen wir die Bahnkurve eines Punktes durch die kom-plexe Funktionz(t) = x(t) +iy(t)darstellen. Diese Darstellung wird sich als sehr geeignet erweisen, um verschiedene Be-wegungen in der Ebene zu charakterisieren.Manbeachte, dass zeineFunktionvonR(meistR+0 )nachCist. ImnchstenAb-schnittbetrachtenwirmitdiesemAnsatzspeziell Spiralen. InKapitel 6werdenwirauch komplexe Funktionen von C nach C untersuchen.32 1 Komplexe Zahlen und ihre geometrische DarstellungDieAbleitungderkomplexwertigen Funktionz(t)istganzanalogzumreellenAblei-tungsbegri deniert alsddtz(t)= limt0z(t + t) z(t)t= limt0_x(t + t) x(t)t+iy(t + t) y(t)t_= limt0x(t + t) x(t)t+i limt0y(t + ) y(t)t=ddtx(t) +i ddty(t),vorausgesetzt diese Grenzwerte existieren. In der Physik wird die Ableitungnach derZeit blicherweise durch einen ber die Gre gesetzten Punkt bezeichnet. Man schreibtalso z(t) =ddtz(t) und z(t) = x(t) +i y(t).ManerhltsomitdieAbleitungvonz(t), indemmanReal-undImaginrteil nachtableitet und die imaginre Einheiti wie eine Konstante behandelt.WasbedeutetdieAbleitung z(t)physikalisch?DerVektorz(t + t) z(t)stelltdieVerschiebung des Vektorsz im Zeitintervall t dar. Der Dierenzenquotientz(t + t) z(t)tist die mittlere Geschwindigkeit, und der Grenzwert fr t 0 , d. h. die Ableitung z(t),ist die Momentangeschwindigkeit vonz im Zeitpunktt. Man beachte dabei, dass x dieGeschwindigkeit in horizontaler Richtung, y die Geschwindigkeit in vertikaler Richtungangibt. Die Geschwindigkeit in Flugrichtung ist ein Vektor bzw. eine komplexe Gre,deren Betrag gegeben ist durch[ z(t)[ =_ x2(t) + y2(t).Entsprechend ist die zweite Ableitung deniert alsddt z(t) = z(t) = x(t) +i y(t).Als Grenzwert der mittleren Beschleunigung gibt die zweite Ableitung die Momentan-beschleunigung im Zeitpunktt an.Beispiel 1.12EinFuballtormannschietdenBall beimAbstomiteinerGeschwindigkeitvon25 m/Sek im 45 Winkel nach oben. Wie weit iegt der Ball? Mit welcher Geschwin-digkeit kommt der Ball auf dem Boden wieder auf?1.9 Anwendungen in der Physik: Bewegungen eines Punktes in der Ebene 33Wir entnehmen dem Text, dass wegen des Winkels von 45 giltx(0) = y(0), x(0) = y(0) und daher25 = [ z(0)[ =_ x2(0) + y2(0) =2 x(0).DieHorizontalbewegung, ausgedrckt durchx(t),isteine gleichmige Bewegung,die vertikale Bewegung y(t) des Fuballs ist eine gleichmig beschleunigte Bewegungmit Beschleunigung y = g 9, 81m/Sek2.Hieraus folgt fr die Flugbahn des Fuballsz(t) =252t +i_252t g2t2_.Die Geschwindigkeit des Fuballs zum Zeitpunktt ist dann gegeben durch z(t) =252 +i_252 gt_bzw.[ z(t)[ =6252+_252 gt_2.Der Ball ist wieder auf dem Spielfeld, wenn der Imaginrteil von z(t) 0 ist, d. h. nacht =502g 3, 604 Sekunden. Bis zu diesem Zeitpunkt ist der Ball 25/23, 604m =63, 71m geogen und hat eine Geschwindigkeit von 25 m/Sek, also genau wiederumdie Anfangsgeschwindigkeit des Abstoes, was ja vom Energieerhaltungsprinzip auchzu erwarten ist.Harmonische und gedmpfte SchwingungenDank der Euler-Formel 1.1 lassen sich Kreisbewegungen elegant mit komplexen Zahlenausdrcken. Ein Punkt Plaufe mit konstanter Winkelgeschwindigkeit auf einer Kreis-bahn mit Radiusr um den Ursprung. Dann ist der Ortsvektor des PunktesPgegebendurchz(t) = reit= r[cos(t) +i sin(t)].Seine Geschwindigkeit ist gegeben durch z(t) = ireit= r[sin(t) +i cos(t)] = iz(t)und die Beschleunigung betrgt z(t) = 2reit= 2z(t).Manbeachtedabei, dassderVektor z(t)durcheineDrehstreckungum90ausdemVektorz(t) entsteht, die Vektoren somit senkrecht sind. Der Beschleunigungsvektor zist dem Vektorz(t) genau entgegengerichtet.34 1 Komplexe Zahlen und ihre geometrische DarstellungAbb. 1.22:Schrau-benfederDie Projektion der Kreisbewegung auf die reelle oder imaginre Achse be-schreibteineSchwingung. Bei einerkonstantenWinkelgeschwindigkeit erhlt man die harmonische Schwingung mit der Amplitude r. Beispielehierfr sind das Pendel oder die Schraubenfeder.Physikalischlsst sichdieser Zusammenhangwiefolgt beschreiben: DieKraft ist einerseits proportional zur Auslenkung, d. h. F=Dz(t), wobeiDals Federkonstante wiedergibt, wiesteif die Federist. Anderseitswirktdieser Kraft entgegengerichtet eine Kraft, die deniert ist als Produkt ausMasse und Beschleunigung, d. h.F= m z(t).Sindm undD gegeben, so lsst sich bestimmen als =_Dm.Daher erhaltenwir zur Beschreibungder harmonischenSchwingungdieFormelz(t) = r_cos_Dmt +i sin_Dmt_.Der Vorzug des Rechnens im Komplexen tritt besonders hervor, wenn man gedmpfteSchwingungenbetrachtet. Hiertritt nocheinTermhinzu, derproportional zurGe-schwindigkeit z(t) ist. Die Dierenzialgleichung der gedmpften Schwingung lautetm z(t) +k z(t) +Kz(t) = 0. (1.2)Zur Lsung dieser Dierenzialgleichung machen wir den Ansatzz(t) = A eitund erhalten mit z(t) = iAeit= iz(t) und z(t) = 2 Aeit= 2z(t)die Gleichung2i km Dm= 0,deren Lsung =ik2m _Dm k24m2ist. Daraus ergibt sich als Lsung von (1.2)z(t) = A e(k2mtiqDmk24m2 )t.1.9 Anwendungen in der Physik: Bewegungen eines Punktes in der Ebene 35Der Punkt z(t) luft in der Zahlenebene auf einer logarithmischen Spirale (siehe nchsterAbschnitt) von auen nach innen. Die Projektion auf die Zahlengeraden beschreibt einegedmpfte Schwingung, die durch den Realteil (oder den Imaginrteil) dieser komplexenZahl dargestellt wirdz(t) = Aek2mt cos__Dm k24m2t_.berlagerung von SchwingungenOft kommt es vor, dass sich Schwingungen berlagern. Der PunktPbewegt sich dannauf zwei oder mehreren Schwingungen gleichzeitig.x1(t)=A1 cos 1tx2(t)=A2 cos(2t +),wobeiA1, A2 die jeweiligen Amplituden,1, 2 die Winkelgeschwindigkeiten und diePhasenverschiebung der beiden Wellen angibt. Die Bewegung des PunktesPist danndurch die Summex(t) = x1(t) +x2(t) = A1 cos 1t +A2 cos(2t +)gegeben und man sagt, dass sich die Schwingungen berlagern.Eine illustrative Darstellung von berlagerungen ist mittels des Zeigerdiagramms mg-lich. Die komplexen Zahlenz1(t) undz2(t) bewegen sich in der komplexen Ebene aufeinemKreis.WirknnensieunswiediezweiZeiger einerUhrvorstellen.IhreSum-me ist dann die Diagonale im Parallelogramm (siehe Abbildung 1.23). Wenn sich jetztdieZeigermitmglicherweiseunterschiedlichenWinkelgeschwindigkeiten1bzw. 2drehen, so bendet sich die Diagonale in einer stndigen nderung.z1zz +z22121Abb.1.23:Zeigerdiagramm zweier Schwingungen36 1 Komplexe Zahlen und ihre geometrische DarstellungAbb.1.24:berlagerung zweier Schwingungen mit unterschiedlichen FrequenzenMitHilfederkomplexenDarstellunglsstsichdieberlagerungvonSchwingungenelegant darstellen. Wir reprsentieren die Schwingungen in der komplexen Ebene mittelsz1(t) = A1ei1tund z2(t) = A2ei2t+.Wir betrachten zwei wichtige Spezialflle:1. Essei =1=2.DiebeidenSchwingungen sindalso von gleicher Frequenz.Dann istz(t)=z1(t) +z2(t) = A1eit+A2ei(t+)= [A1 +A2ei]eit=Aeieit= Aei(t+).Die Summe in der eckigen Klammer ist eine komplexe Zahl, die man in Polardar-stellung alsAeischreiben kann. Die resultierende berlagerungsschwingung hatAalsAmplitudeundeinePhasenverschiebunggegenberdererstenSchwin-gung.2. WeichendieFrequenzendersichberlagerndenSchwingungennurgeringfgigvoneinander ab, so ndert sich der Winkel zwischenz1undz2bestndig, vergli-chen mit der Drehgeschwindigkeit jedoch nur langsam. Der resultierende Vektorz1(t) +z2(t) ndert dauerndseinenBetragundist maximal, wennz1undz2dasselbe Argument haben, undminimal,wenn diejeweiligen Argumente geradeentgegengesetzt gerichtet sind. Die resultierende berlagerungsschwingung vern-dert somit stndig ihre Amplitude (siehe Abbildung 1.24). Der Einfachheit halbernehmen wir an, beide Schwingungen haben eine Amplitude von 1 und haben zumZeitpunktt = 0 keine Phasenverschiebung. Dann istz(t)=z1(t) +z2(t) = ei1t+ei2t=ei1+22t_ei122t+ ei12t_=ei1+22t_2 cos 122t_.1.10 Spiralen 371.10 SpiralenAbb. 1.25:Spiralen gibt es berallSpiralen haben die Menschen schon immer fasziniert.Sie sind auerordentlich beeindruckende und sthe-tisch attraktive Gebilde, fr die sich die Menschheitzu allen Zeiten interessiert hat (Schupp & Dabrock,1995). Es gibt Spiralen berall:Inder Natur vomSchneckenhaus ber denLuftwirbel undWasserwirbel, bei Schneckenund Muscheln und beim Fruchtstand der Son-nenblume bis hin zum Spiralnebel; in der Tech-nikvomKorbbodenber die Bandwicklungund Turbinen bis zur Datenspur einer CD;In der Kunst von der Hhlenmalerei und neo-lithischen Keramikzieraten ber arabische Or-namente bis hin zu phantastischen Figuren beiFriedensreich Hundertwasser ebenso wie in derMusik (Ravels Bolero);InderMystikvonFormenundVerzierungenan antiken Kultgegenstnden ber mittelalterliche Mandalas bis hin zu Symbol-guren moderner Sekten.Gemeinsam ist allen diesen Gebilden dass ein Zentrum in immer greren (bzw.klei-neren)Windungenstetigumlaufenwird.MitHilfevonkomplexen Zahlenlassen sichSpiralenauf einfacheWeisemathematischdarstellen.AuchvomMathematischenhersind Spiralen hchst interessante Objekte, die geeignet erscheinen, zu wesentlichen In-halten und Zielen des Geometrieunterrichts hinzufhren (Schupp, 2000).Denition 1.6UntereinerSpiraleverstehtmaneineKurve, dieinderGauschenZahlenebenedurch eine Gleichung der Formz(t) = f(t)eitmit einer stetigen und streng monotonen Funktionfdargestellt wird.DerEinfachheithalberbetrachtenwir nursichumdenUrsprung windendeSpiralen.AnsonstenaddieremandasZentrumz0zuz(t)hinzu. InPolarkoordinatengibtdieFunktionfden Abstand vom Ursprung undt den Winkel des Punktesz(t) an.Spezielle Spiralen sind ber den jeweiligen Typ der Funktionfdeniert.1. Istfeine proportionale Funktionf(t) = at mitt R+0 , a R+,38 1 Komplexe Zahlen und ihre geometrische Darstellungso heit die resultierende Kurve Archimedische Spirale. Sie hat die Gleichungz(t) = ateit.Ein Beispiel einer Archimedischen Spirale ist in Abbildung 1.27 (linkes Bild) dar-gestellt. Bei einer Archimedischen Spirale wchst dieEntfernung zum Ursprungproportional zumWinkel.DieseSpirale istsomitdieBahnkurve einesPunktes,der sich auf einem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit drehenden Strahl vomRotationszentrumausmitkonstanterGeschwindigkeitbewegt. DieWindungeneiner Archimedischen Spirale sind gleichabstndig. Oder anders ausgedrckt: AusallenUrspungsgeraden schneidetdieseSpiraleStreckengleicherLngeaus. DieEntfernungen benachbarter Kurvenpunkte auf einer Nullpunktsgeraden sind kon-stant, nmlich immer 2a.2. Bei der Archimedischen Spirale ist der Radiusr = f(t) proportional zum Winkelt.Die1.AbleitungderFunktionfistdaherkonstant,d. h. rwchstkonstant.Betrachten wir hingegen eine Spirale, bei der das Wachsen des Radius proportionalzur geschieht, d. h.f

(t) = r

= ar = af(t)ist, so hat diese Dierenzialgleichung die Lsungf(t) = ceat.Eine Spirale mit der Gleichungz(t) = ce(a+i)theit logarithmischeSpirale. Ein Beispiel einer logarithmischen Spirale ist inder mittleren Darstellung von 1.27 abgebildet.Die Darstellung einer logarithmischen Spirale lsst sich noch vereinfachen zuz=ce(a+i)t= c_ea+i_t= czt0mitz0 = ea(cos 1 +i sin1).Andererseits ist fr jede komplexe Zahlz0 mit Im(z0) ,= 0z=zt0 = et lnz0= et(ln |z0|+iarg(z0))= [z0[teitarg(z0),so dass jede Exponentialfunktion mir reellen Exponenten zueiner logarithmischen Spirale fhrt.Abb.1.26:NautilusLogarithmische Spiralen nden sich auch in der Natur, z. B. beimNautilius, einem lebenden Fossil. Hier wird auch deutlich, dass lo-garithmische Spiralen bei biologischen Wachstumsprozessen einewichtige Rolle spielen.2Die logarithmische Spirale hat eine Reihe2DieheutigenVertreterderNautilidenlebeninWassertiefenbiszu600m,meistum400m,nurseltenbeobachtetmansienahederWasseroberche. SoweitmandiesinErfahrungbringenkonnte,haltensichdieTiereamBodenoderinBodennheauf. IhrVerbreitungsgebiet sinddietropischenMeere auerhalb der Korallenrie, die die Inseln des westlichen Paziks umgeben.1.10 Spiralen 3910-1055105-10 005-0,4-0,20,200,6-0,6 0,600,8 0,4 10,4-0,20,2 -0,4 10,5-0,5-0,5Abb.1.27:ArchimedischeSpirale (links)z(t) = 2teit, LogarithmischeSpirale (Mitte)z(t) =(0, 15 + 0, 8i)tund Potenzen der komplexen Zahl z= 0, 7 + 0, 6i (rechts)einzigartigerEigenschaften, dieJakobBernoulli (16541705) sobegeisterten, dass er sie als wundersame Spirale (spira mirabi-lis) bezeichnete.Einige der besonderen Eigenschaften logarithmischer Spiralensind:a) Unterzieht man eine logarithmische Spirale einer zentrischen Streckung, so kommtdies einer Drehung gleich. Dennkceat= eln kceat= cea(t+ln ka),d. h. die logarithmische Spirale wurde um den Winkelln kagedreht. Diese Tatsacheentspricht dem optischen Phnomen, dass eine logarithmische Spirale beim Drehenum ihr Zentrum zu wachsen bzw. zu schrumpfen scheint.b) Mit jeder Windung wchst der Radius um einen konstanten Faktor:r(t + 2) = aek(t+2)= aek2ekt= a(e2)kr(t).Diese Eigenschaft unterscheidet die logarithmische Spirale von der archimedischen,die sich mit jeder Windung um eine Konstante ausdehnt. Dae2 535, 5 relativgro ist, ergeben nur Spiralen mit sehr kleinemk 0(3) = p, p 3 mod 4Dabei bedeutetp eine Primzahl in Z.52 2 Primzahlen im KomplexenBeweis: Die Zahlen unter (1) und (2) sind prim, weil aus einer Zerlegung =in G die Gleichungp = N() = N()N()mit einer Primzahlp folgt, so dass entwederN() = 1 oderN() = 1, d. h. odersind Einheiten. Zahlen der Form (3) sind Gausche Primzahlen, wie in Satz 16 gezeigtwurde.Esbleibtnochumgekehrtzuzeigen,dasseinebeliebigeGauschePrimzahl zueinerZahl der Form (1), (2) oder (3) assoziiert ist. Zunchst folgt ausN() = = p1 . . .pr,pi Primzahl in Z, dass[p fr einp = pi. Daher istN()[N(p) = p2,d. h. entwederistN()=poderN()=p2. FallsN()=p,soist=a + bimita2+ b2= p, d. h. ist vom Typ (2). oder fallsp = 2 assoziiert zu 1 + i. Ist jedochN()=p2,soistassoziiertzup,weil p/wegenN(p/)=1eineEinheitist.Esmuss auerdem gelten, dass p 3 mod 4, weil sonst p = 2 oder p = 1 mod 4 und daherp = a2+ b2= (a +bi)(a bi) nicht prim wre. 2.4 Division mit Rest im Ring der ganzenGauschen ZahlenDiekomplexen Zahlen besitzen nicht die Anordnungseigenschaft. Wennwir daher einAnalogon zum Teilen mit Rest und somit auch zum Euklidischen Algorithmus aufstel-lenwollen, somssenwirdabei auf dieNormenzurckgreifen,diejaderMengeN0angehren. Es giltSatz19Zu zwei Zahlen0, 1 G mit1 ,= 0 gibt es ein Zahlenpaar 1, 2 G mit0 = 11 +2, wobeiN(2) < N(1) ist.Beweis: Der Quotient der zwei Zahlen ist wiederum eine komplexe Zahl01= A +Bi mitA, B Q.Es bezeichne1 = x +yi den nchstgelegenen Punkt im Gitter der ganzen GauschenZahlen, d. h. x und y sind so gewhlt, dass [Ax[ 12und [By[ 12. Darber hinaus2.4 Division mit Rest im Ring der ganzen Gauschen Zahlen 53notieren wir2 = 011. Dann ist2 = 1_011_= 1[(A x) + (B y)i]und somit[2[ = [1[ _(A x)2+ (B y)2 [1[ _14 + 14< [1[.Daraus folgt, dassN(2) = [2[2< [1[2= N(1).WiederholteAnwendungvonSatz19fhrt zueinemAnalogonzumEuklidischenAlgorithmus. Gegeben ganze Gausche Zahlen 0 und 1 ,= 0, so existieren nach Satz19 ganze Gausche Zahlen1, 2 G mit0 = 11 +2 mitN(2) < N(1).Ist2 ,= 0, so knnen wir den Satz erneut anwenden, und erhalten1=22 +3 mitN(3) < N(2)und so weiter. DabeibildendieN(1), N(2), . . . eineabnehmende Folge von ZahlenN0. Es muss daher ein n geben, fr das N(n+1) = 0 und somit auch n+1 = 0 ist. DerAlgorithmus bricht daher ab, und die beiden letzten Schritte lautenn2=n1n1 +n mitN(n) < N(n1)n1=nn.Wieinder Teilbarkeitslehre innerhalb derganzen Zahlen lsst sichhieraus schlieen,dassnein gemeinsamer Teiler von0und1ist und dass jeder andere gemeinsameTeiler von 0 und1 auch ein Teiler vonn ist.Denition 2.7a) Ist G ein gemeinsamer Teiler von0, 1 G und jeder andere Teiler von0, 1 ein Teiler von , so heit grter gemeinsamer Teiler von 0 und1, in ZeichenggT(0, 1) = .b) Zwei Zahlen0, 1Gheienteilerfremd, fallsihrgrtergemeinsamerTeiler eine Einheit ist.54 2 Primzahlen im KomplexenDergrtegemeinsameTeilerin Gistnichteindeutigbestimmt, dajedesassoziierteElement eines ggT auch ein grter gemeinsamer Teiler ist.2.5 Primfaktorzerlegung in GNachdem wir nun die Gauschen Primzahlen kennen gelernt haben, stellt sich die Frage,obmanjedeganze Gausche Zahl alsProduktvon Gauschen Primzahlendarstellenkann, wie dies fr Primzahlen in Z der Fall ist, und ob diese Darstellung eindeutig ist.Nun gilt2 = (1 +i)(1 i) = (1 i)(1 +i).Die Darstellungen von 2 als Produkt von Primfaktoren unterscheiden sich hier nur inder Reihenfolge der Faktoren oder in Einheitsfaktoren bei den einzelnen Primfaktoren.Auch in G gilt der Satz der eindeutigen Primfaktorzerlegung. Zunchst zeigen wir einigeStzederTeilbarkeitslehreinG, dieganzanalogwieinZauchimKomplexenihreGltigkeit haben.Satz20Istdergrte gemeinsameTeilerzweierganzer Gauscher Zahlen0und1eineEinheit und teilt0 das Produkt1, so teilt0 die ganze Gausche Zahl.Beweis: Multiplizierenwir jedeZeile desEuklidischenAlgorithmus, angewandt auf0 und 1, mit , so erhalten wir ggT(0, 1) = n. Da 0 und 1 teilerfremd sind,istneineEinheit. SomitistderggT(0, 1)=

einzuassoziiertes Element.NachVoraussetzung gilt1[0undsomitauch1[ggT(0, 1)=

.Mit

teilt1 auch. Satz21Teilt eineGauschePrimzahl GPeinProdukt vonzwei ganzenGauschenZahlen, so teilt die Primzahl schon einen der beiden Faktoren, d. h. aus[folgtentweder [oder [. Verallgemeinerndgilt: Teilt eineGauschePrimzahl einProdukt mehrerer ganzer Gauscher Zahlen, so teilt die Primzahl mindestens einender Faktoren, in Zeichen [ 12. . . s [ 1 oder [ 2 oder . . . oder [ s.Beweis: Es sei ggT(, ) = . Da prim ist, ist entweder zu assoziiert oder selbsteine Einheit. Im ersten Fall folgt aus[ dass auchein Teiler von ist. Im zweitenFall folgt aus Satz 20, dass ein Teiler von ist.Die Verallgemeinerung folgt direkt per vollstndiger Induktion. 2.5 Primfaktorzerlegung in G 55Satz 22DiePrimfaktorzerlegungeinerganzenGauschenZahl istbisauf assoziierteEle-mente eindeutig, d. h. aus = 12. . . r =

1

2 . . .

s, r, s 1, folgt1. r = s2. Die Primelementeisind, von der Reihenfolge abgesehen, assoziiert mit ent-sprechenden Elementenj.Beweis: Die erste Aussage wird mittels vollstndiger Induktion bewiesen.DerSatzistrichtigfr N() =2. DenneineZahl, derenNorm2(oderirgendeinePrimzahl) ist, ist eine Gausche Primzahl. In diesem Fall istr = s = 1 und1 =

1.Es sei N() > 2 und die Behauptung fr jedes mit 1 < N() < N() schon bewiesen.Ist prim, so ist r = s = 1, 1 =

1 und der Satz gezeigt. Andernfalls sind r, s > 1. AusSatz 20 folgt ausr[

1

2. . .

s, dassr[

jfr ein gewisses 1 j s. Da wir von derReihenfolge der Primfaktoren ohnehin absehen, knnen wir ohne Einschrnkungj = sannehmen, d. h. r[

s. DasbedeutetwegenN(r) >1, dassrund

smiteinanderassoziiert sind. Daher gilt =r= 12. . . r1 =

1

2. . .

s1.Fr ist wegen 1 < N() < N() die Induktionsvoraussetzung erfllt, und weil mit

1auch

1 =

1 prim ist, folgt r1 = s1, d. h. r = s, und abgesehen von der Reihenfolgesind1, 2, . . . , r1 zu

1,

2, . . . ,

s1zueinander assoziiert. Dasselbe gilt dann auchfr = r, weilrzu

sassoziiert ist. Wir fassen diese Resultate zusammen im Hauptsatzder Gauschen Zahlen.Satz 23Jede ganze Gausche Zahl mitN() > 1 kann als ein Produkt von endlich vielenPrimzahlen geschrieben werden. Diese Primfaktordarstellung ist abgesehen von derReihenfolge der Faktoren und von Faktoren aus ceindeutig.Aufgaben2.1. Zeigen Sie, dass (G, +, ) ein kommutativer, nullteilerfreier Ring mit Einselementist.2.2. Weisen Sie nach: 1 +i[2 und 1 +i ,[1 + 2i2.3. Zeigen Sie: Die [-Relation in G ist reexiv und transitiv, jedoch nicht antisymme-trisch.56 2 Primzahlen im Komplexen2.4. Bestimmen Sie alle zu = 3 + i assoziierten Zahlen. Geben Sie eine graphischeDarstellung.2.5. Bestimmen Sie alle Gauschen Primzahlen, deren Norm 15 ist.2.6. Zeigen Sie: Gibt es zun N zwei Zahlenr, s N, so dassn =r2+ s2, so istnkeine Gausche Primzahl.2.7. Zeigen Sie:(a) Jede Primzahl p, fr welchep keine Gausche Primzahl ist, ist Summe vonzwei Quadratzahlen (aus N).(b) Essei pPrimzahl inZ. pzerflltinGgenaudann, wennsichpinNalsSumme von zwei Quadratzahlen darstellen lsst.3 Lsungen algebraischerGleichungen3.1 Quadratwurzeln und quadratischeGleichungenQuadratwurzelnDie Zahlbereichserweiterung von R nach C wurde vorgenommen, weil in R nicht jedequadratische Gleichung lsbar ist, d. h. nicht zu jeder Zahl die Quadratwurzel gefundenwerden kann.In R gilt zum Beispiel:x2= a, a 0, hat als Lsungenx0 = +a, x1 = a.Damitx x, x 0 eine Funktion ist, wird gewhnlich festgesetzt:Fra 0 ist a die positive reelle Zahl, die mit sich selbst multiplizierta ergibt.Auf derGrundlage dieser FestsetzungsinddannauchbestimmteRegeln mglich wiez. B. das Wurzelgesetz ab =a b.In C ist die Situation komplizierter:z2= 5 hat als Lsungen: z0 =5, z1 = 5, denn (5)2= (5)2= 5. Aber z2= 5hat auch zwei Lsungen:z0 = +5i, z1 = 5i, denn (5i)2= (5i)2= 5.Lsst sich auch die Wurzel aus der imaginren Einheiti bilden? Wir schreibenz2= i = 1(cos /2 +i sin /2).Was istz?Wir setzen an ber Polarkoordinaten:z = r(cos +i sin )und erhalten(z)2= r2(cos 2 +i sin2).58 3 Lsungen algebraischer GleichungenET1iz1z24baAbb. 3.1: Die Wurzel aus der ima-ginrenEinheit i hat zwei Lsun-gen.Ein direkter Vergleich ergibt:r2=1 r = 1(r > 0),2=/2 +k2, k Z, = /4 +kWir erhalten somit die beiden Lsungen0=/4 frk = 0 und1=/4 + =54frk = 1.Frk = 2, 3, . . . ergeben sich Werte, die sich von0und1umVielfachevon2unterscheiden.Dahersind die Lsungenz0=cos 2+i sin 2=122 + 122i=22(1 +i)z1=cos 52+i sin 52= 122 122i= 22(1 +i)Probe:_22(1 +i)_2=12(1 + 2i 1) = i.Allgemein lsst sich aus komplexen Zahlen wie folgt die Wurzel ziehen:Gegeben seiz = x +iy = r(cos +i sin).Gesucht sind Zahlenw mitw2= z bzw.w =z.Wir setzen wiederum ber die Polardarstellung an, die besser fr die Multiplikation imKomplexen geeignet ist:w=s(cos +i sin)w2=s2(cos 2 +i sin2).Es sollw2= z sein. Ein direkter Vergleich ergibts2= r s =r2= +k2, k Z=/2 +k1 = /2 2 = /2 +Ergebnis:z0= r(cos /2 +i sin/2)z1= r[cos(/2 +) +i sin(/2 +)].3.1 Quadratwurzeln und quadratische Gleichungen 59Wir fassen zusammen:Satz 24Jede komplexe Zahlz ,= 0 hat in C zwei Quadratwurzeln.Frz = r(cos +i sin) sind dies die Zahlenz0= r[cos /2 +i sin/2]z1= r[cos(/2 +) +i sin(/2 +)] = z1.Die Zahl mit 0 /2 < heit der Hauptwert und wird mit z bezeichnet.TEu323zz1 =zz2 = z!

Abb. 3.2: DieWurzel ausjederkomplexenZahlhat zwei LsungenBeispiel 3.1Frz= 3 + 33i = 6_cos 23+i sin 23_erhalten wirz0= 6_cos 3+i sin 3_= 6_12 +i23_=62+ 322iz1= 62322i.Wenn die komplexe Zahlz = x +iy nicht in Polarform gegeben ist, ist die Berechnungder Wurzelweniger elegant. Diesillustriert folgende, zweiteMethode zur Berechnungder Quadratwurzel einer komplexen Zahl, die natrlich zum gleichen Ergebnis fhrt.Ansatz:Zuz = x +iy istw = a +bi mitw2= z = (a +bi)2= a2b2+ 2abigesucht.Ein direkter Vergleich fhrt zu:a2b2=x (3.1)2ab=y. (3.2)60 3 Lsungen algebraischer GleichungenAusen von (3.2) und Einsetzen in (3.1) resultiert ina2_y2a_2=x4a44a2x y2=0a4xa2_y2_2=0a21,2=x2 _x2+y24=x [z[2.Nun ista eine reelle Zahl, a2daher nicht negativ. Da abera [z[, entfllt die zweiteLsung und wir erhalten durch Wurzelziehena = _x +[z[2= 12_x +[z[.Einsetzen in (3.2) fhrt dann auch zu einer Lsung frbb=y2a= 2y2_x +[z[= 12y_[z[ x_[z[ +x _[z[ x= 12y_[z[ xz2x2= 12_[z[ x.Welche Vorzeichen sind fra undb mglich?Wegen 2ab = y gilt: Fry> 0 habena undb das gleiche Vorzeichen, fry< 0 habenaundbverschiedeneVorzeichen. Wir bezeichnendas Vorzeichenvonymit sgn(y)(Signum), d. h.sgn(y) =1 fallsy> 01 fallsy< 00 sonst.Mit der Festlegunga 0 ergibt sichSatz25Die Quadratwurzeln vonz = x +iy sindz0=12__[z[ +x +i sgn(y)_[z[ x_,z1= 12__[z[ +x +i sgn(y)_[z[ x_.Der Hauptwert ergibt sich aus der Lage in der Zahlenebene.3.1 Quadratwurzeln und quadratische Gleichungen 61Beispiel 3.2a) Was ist 3 + 4i? Mitx = 3, y = 4, sgn (y) = +1, [z[ = 5 ergibt sichz0 = 2 +i(Hauptwert) , z1 = 2 i.Probe: (2 +i)2= 3 + 4ib) Was ist 3 4i? Mitx = 3, y = 4, sgn(y) = 1 und [z[ = 5 ergibt sichz0 =12_8 i2_= 2 isowiez1 = 2 +i, wobeiz1 der Hauptwert ist.c) Fr 1 +i erhalten wir mitx = y = 1 mit den obigen Formelnz0=12__2 + 1 +i_2 1_z1= 12__2 + 1 +i_2 1_.Quadratische GleichungenMit Hilfe der Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen kann jede allgemeine quadratischeGleichung in Cz2+pz +q = 0 p, q Cgelst werden. Quadratische Ergnzung fhrt zu:z2+ 2 p2z +_p2_2_p2_2+q=0_z +p2_2=_p2_2qz0= p2 +__p2_2qz1= p2 __p2_2q.Die aus R bekannte Lsungsformel gilt somit auch in C. Die Quadratwurzel kann in Cjedoch stets berechnet werden, so dass gilt:Satz 26In (C, +, ) hat jede quadratische Gleichung genau zwei Lsungen.62 3 Lsungen algebraischer GleichungenBeispiel 3.3z2+ 2iz + 1 + 2i = 0 hat die beiden Lsungenz0,1= i 2 2i = i 2i1 +i= i 2i_12_2 + 1 +i2_2 1_= _2 1 (1 _2 + 1)i,(siehe Beispiel 3.2c).3.2 Allgemeine WurzelnEinen-te Wurzelz1einer komplexen Zahlz ,= 0 ist Lsung der Gleichungzn1=z. Dasich die Potenzen einer komplexen Zahl besonders einfach in der Polarform darstellenlassen, verwenden wir diese Form:z = r(sin +i sin).Wir verfolgen den Ansatz:w = s(cos +i sin) wn= sn(cos n +i sin n).Ein Vergleich ergibt:sn= r bzw. s =nr,n = +k2k Z,d. h. = + 2kn, k Z frk = 0, 1, . . . , n 1.Es ergeben sich somitn verschiedene Werte.Satz27Fr jedes n Nhat diekomplexeZahl z =r(cos +i sin), z,=0, genaunverschiedene Wurzeln, nmlichwk=nr_cos + 2kn+i sin + 2kn_, k = 0, . . . , n 1.w =nr_cos n +i sin n_ mit 0 n 2nheit der Hauptwert. Fr ihn schreibtmanw =nz = z1n.Achtung: Beim Rechnen mit Wurzeln im Komplexen ist Vorsicht geboten. Die aus demRechnen in R bekannten Wurzelgesetze wie z. B.ab =a b gelten im Komplexen3.2 Allgemeine Wurzeln 63nur eingeschrnkt. Was ist verkehrt mit folgender Rechnung? Es ist_(1)(1) =1 = 1.Andererseits gilt doch auch nach den Wurzelgesetzen_(1)(1) =1 1 = ii = i2= 1.Ist also 1 = 1???DasinRgltigeWurzelgesetz ab= a bgiltinCnichtuneingeschrnkt.Eineauch fr C gltige Fassung msste lauten: Irgendeine Wurzel vona multipliziert mitirgendeiner Wurzel vonb ergibt irgendeine Wurzel vonab.Ew0w1w3w4/5w2 = 2TAbb. 3.3: z5=32hat fnf verschiedeneLsungenBeispiel 3.4z = 32 hat folgende fnfte Wurzeln:w0=2_cos 5+i sin 5_w1=2_cos 35+i sin 35_w2=2 (cos +i sin )w3=2_cos 75+i sin 75_w4=2_cos 95+i sin 95_ETw0w1w2w3Abb.3.4:Vierte Wurzeln vonz=23 2i (rechts)Beispiel 3.5z= 23 2i = 4(123 12i)=4_cos 76+i sin 76_hat folgende vierte Wurzeln:w0= 2_cos 724+i sin 724_w1= 2_cos 1924+i sin 1924_w2= 2_cos 3124+i sin 3124_w3= 2_cos 4324+i sin 4324_64 3 Lsungen algebraischer Gleichungen3.3 Einheitswurzeln:n-te Wurzeln aus der Zahl 1Denition 3.1Die Lsungen der Gleichungwn= 1 (3.3)heien n-te Einheitswurzeln. Die Gleichung (3.3) heit Kreisteilungsgleichung.n-te Einheitswurzeln haben alle den Betrag 1 und liegen somit auf dem Einheitskreis.Satz28Dien-ten Einheitswurzeln sindk = cos 2kn+i sin 2kn, k = 0, 1, . . . , n 1Es ist0=11=cos 2n+i sin 2n2=cos 2n 2 +i sin 2n 2 = 213=cos 2n 3 +i sin 2n 3 = 31n1=cos 2(n 1)n+i sin 2(n 1)n= n11Dien-tenEinheitswurzelnbildeneinregelmigesn-Eck, dasdemEinheitskreisein-beschrieben ist und die Ecke 1 enthlt. Wegen der Punktsymmetrie der Sinusfunktionergibt sich Folgendes:1 +n1=cos 2n+i sin 2n+ cos 2(n 1)n+i sin 2(n 1)n= 2 cos 2n R2 +n2=2 cos 4n R,3 +n3=2 cos 6n R,. . . .Mit HilfederEinheitswurzelnknnendieWurzelnderGleichungwn=zeinfachergeschrieben werden.3.3 Einheitswurzeln: n-te Wurzeln aus der Zahl 1 65TE2/912 = 21 3 = 31Abb.3.5:Neun 9-te EinheitswurzelnSatz 29Dien-ten Wurzeln einer komplexen Zahlz erhlt man, wenn man einen-te Wurzelvon z mit denn-ten Einheitswurzeln multipliziert.Beispiel 3.6w4= 23 2i = 4_123 12i_= 4_cos 76+i sin 76_w0= 2_cos 724+i sin 724_= w1 0w1= 2_cos_724+ 24_+i sin_724+ 24__= w1 1w2= 2_cos_724+ 24 2_+i_sin 724+ 24 2__= w1 21w3= 2_cos_724+ 24 3_+i_sin 724+ 24_ 3_= w1 31Dritte EinheitswurzelnDie dritten Einheitswurzeln sind Lsungen der Gleichungz3 1 = 0 (Kreisteilungs-gleichung frn = 3). Eine Lsung wissen wir:0 = 1. Polynomdivision ergibt(z31) : (z 1) = z2+z + 1.66 3 Lsungen algebraischer Gleichungenz2+z + 1 = 0 hat als Lsungen1= 12 + 123i = cos 2/3 +i sin 2/32= 12 123i = cos 4/3 +i sin 4/3.Es ist2 = 21 =_12 + 123i_2= 12 123i = 1 =111 +2 = 1 +1 = 1 +11= 1 = 2 sin 23.Fnfte EinheitswurzelnFnfte Einheitswurzeln sind Lsungen der Kreisteilungsgleichungz51 = 0, in Polar-formk = cos 2k5+i sin 2k5, k = 0, 1, 2, 3, 4.Wir suchen eine Darstellung der 5. Einheitswurzeln mit Wurzelausdrcken. Wir spaltenzunchst die Lsung0 = 1 ab und erhalten mittels Polynomdivision(z51) : (z 1) = z4+z3+z2+z + 1.Es ist1 +4 = 1 +11= 2 cos 25= 2Re(1) =: t12 +3 = 2 +12= 2 cos 45= 2Re(2) =: t2Wir versuchen eine Lsung frt1 undt2 zu nden.Wirstellenzunchstfest, dass 1, . . . , 4alsfnfteEinheitswurzelneineLsungderGleichungz4+z3+z2+z + 1 = 0sind. Denieren wirt = z +1z, so ist dies gleichbedeutend mitt2+t 1 = 0,wast1,2= 12 125zur Lsung hat. Damit erhalten wirRe(1) = Re(4) =12t1= 14 +54Re(2) = Re(3) =12t2= 14 54.3.3 Einheitswurzeln: n-te Wurzeln aus der Zahl 1 6701234 Abb.3.6:Regelmiges FnfeckFr die Imaginrteile erhlt man, dai als Einheitswurzel auf dem Einheitskreis liegt,Im(1) =_1 Re2(1) =14_10 + 25Im(2) =_1 Re2(2) =14_10 25Damit lauten die 5. Einheitswurzeln0=11=14_1 +5 +i2_5 +5_2=14_1 5 +i2_5 +5_3=14_1 5 i2_5 +5_4=14_1 +5 i2_5 +5_Somit ist auch die Frage beantwortet, ob das regelmige Fnfeck mit Zirkel und Linealkonstruierbar ist.Danur Quadratwurzeln auftreten,istdieKonstruktion mglich. Inder Wurzelschnecke (Abbildung 3.7) ergibt sicha =2, b =3, c =4, d =5.11a1b1c1dAbb.3.7:WurzelschneckeDieklassische MathematikdesAltertums,d. h.diegriechische Mathematikzwischenca. 600bis 200v. Chr., beschftigte sich mit mehreren Problemen,auf die man im Altertum keine Antwort fand. DazugehrendieDreiteilungdesWinkels,d. h.einengege-benen Winkel in drei Teile zu teilen;68 3 Lsungen algebraischer Gleichungendie Verdoppelung des Wrfels, d. h. zu einem gegebenen Wrfel einen Wrfel mitdem doppelten Volumen zu konstruieren;die Quadratur des Kreises, d. h. zu einem gegebenen Kreis ein Quadrat mit glei-chem Flcheninhalt zu konstruieren;die Konstruktion des regelmigen Vielecks.Abb.3.8:GauAlle Aufgaben durften nur mit Zirkel und Lineal und in endlichvielenSchrittendurchgefhrtwerden. Erstim19. Jahrhundertkonnte dann fr die ersten drei Probleme bewiesen werden, dasssiesonichtlsbarsind. DurchdieArbeitenvonCarl FriedrichGau (17771855) und Evariste Galois (18111832) konnten geo-metrische Probleme jetzt auch algebraisch angegangen werden.Bezglich der Konstruierbarkeit des regelmigenn-Ecks kanntemanimAltertumnebendenKonstruktionendesDreiecks, desQuadrates und des Fnfecks mit Zirkel und Lineal nur noch diedarauf aufbauenden, nmlich das 15-Eck durch berlagerung vonDrei- und Fnfeck, sowie aus den genannten durch Kantenverdoppelung bzw. Winkel-halbierung hervorgehenden mit 6, 8, 10, 12, 16, 20, 24, 30, 32, 40, . . . Ecken. Damit schiendas Problem abgeschlossen.Abb.3.9:GaloisDas hier verwendete Verfahren fhrt nur fr spezielle n zum Ziel.Carl Friedrich Gau hat im Alter von 20 Jahren bewiesen, dassfrPrimzahlenderFormp=22k+ 1, k N0dasregelmigep-Eckkonstruierbar ist.Das bedeutet,dass danndiep-ten Ein-heitswurzeln durch Quadratwurzeln ausgedrckt werden knnen.Damit hat der junge Gau ein Problem gelst, das die Mathema-tik schon seit dem Altertum beschftigt hat.k = 0 regelmiges Dreieck 220+ 1 = 21+ 1 = 3k = 1 regelmiges Fnfeck 221+ 1 = 22+ 1 = 5k = 2 regelmiges Siebzehneck 222+ 1 = 24+ 1 = 17.Nichtallediese ZahlensindPrimzahlen. Manwei nicht,wie vielesolche sogenannteFermatschePrimzahlen es gibt. Es gilt folgenderSatz30Einregulresn-Eck ist genau dann mitZirkel undLineal konstruierbar, fallsn =2k p1 . . .pr, wobeipkverschiedene Fermatsche Primzahlen sind.Aufgaben3.1. Berechnen Sie jeweils die beiden Quadratwurzeln und stellen Sie das Ergebnis inder Gauschen Zahlenebene dar:(a) z = 3 + 33i (b) z = 3 + 4i (c) z = 4 + 5i3.2. Berechnen Sie:(a) (4 + 4i)1/5(b) (64)1/6(c) (i)2/33.3 Einheitswurzeln: n-te Wurzeln aus der Zahl 1 693.3. Bestimmen Sie die Lsungen der Gleichungen:(a) z26z + 10 = 0 (b) z2+ (5 2i)z + (5 + 5i) = 0(c) z2+ (2i)z 1 = 03.4. Berechnen Sie alle Lsungen von(a) z5= 32 (b) z3= 64i (c) z5= 16 + 163i3.5. Es seien0, . . . , n1 dien-ten Einheitswurzeln.(a) Was ist0 1 . . .n1? (Hinweis: Erst mitn = 2, 3, 4, 5, 6 probieren)(b) Was ist0 +1 +. . . +n1?3.6. Gibt es zu beliebigen z1, z2 C immer eine quadratische Gleichung z2+bz+c = 0,deren Lsungenz1, z2 sind?3.7. Es seiz2+bz +c = 0 eine Gleichung mitb, c R. Zeigen Sie: Sind die Lsungenz1, z2 nicht reell, so giltz2 = z1.3.8. (a) Es seiw2= z. Gesucht sind die Wurzeln aus dem komplex konjugierten vonz, d. h. z.(b) Es seinz=w, und0, . . . , n1dien-ten Einheitswurzeln. Berechnen Siealle Lsungen vonn z.3.9. Es sei EWn die Menge aller n-ten Einheitswurzeln und EW = z[k N : zk= 1die Menge aller Einheitswurzeln. Zeigen Sie:(a) (EW, ) ist eine Gruppe.(b) Fr jedesn N ist (EWn, ) eine Untergruppe von (EW, ).(c) Istk ein Teiler vonn N, so ist (EWk, ) eine Untergruppe von (EWn, ).(d) Gilt auch die Umkehrung der Aussage in (c)?3.10. Bilden Sie alle mglichen Produkte aus einer 2-ten und einer 3-ten Einheitswurzelund zeichnen Sie diese Produkte in die Gausche Zahlenebene ein. Interpretierendie das Ergebnis!3.11. Zeigen Sie:(a) Istzeinen-teEinheitswurzel,soistauchzeinen-teEinheitswurzel.Wasbedeutet das geometrisch?(b) Istz einen-te Einheitswurzel, so auch1z3.12. Berechnen Sie die Lsungen der Gleichungen(a) z2= 2 + 23i (b) z3= 1 3i (c) z4= 3 + 33i3.13. Lsen Sie die Gleichungen(a) iz3+2 = 0 (b)9z3i = 0 (c)(zi)3+i = 0 (d)(z+3)3+24 = 070 3 Lsungen algebraischer Gleichungen3.14. Zeigen Sierechnerisch undgeometrisch, dass eine komplexe Zahl nurdann einereellen-te Wurzel hat, wenn sie selbst reell ist.3.15. Zeigen Sie: Istq R, dann ist mitz auchz einen-te Wurzel aus q. Erklren Siediese Tatsache auch geometrisch. Ist indiesem Fall auch stets mitzdie Zahl1zeinen-te Wurzel aus q?3.4 Kubische GleichungenWir betrachten Gleichungen der Formx3+ax2+bx +c = 0, a, b, c R.Zur GeschichteDie Lsung der kubischen Gleichung mit Hilfe von Wurzeln ist eng mit der Entwicklungder komplexen Zahlen verknpft. Gleichungen 3. Grades waren aus der Antike (Babylon,Griechenland)bekannt: EinklassischesProblemderAntikewardieFragenachderMglichkeit, einen beliebigen Winkel mit Hilfe von Zirkel und Lineal in drei gleicheTeile zu teilen. Das Problem fhrt auf die Gleichung4x33x = b mitb = cos .Fr =/3(b = 1/2) ist die Gleichung nicht in Faktoren zerlegbar (irreduzibel) unddamitx nicht konstruierbar.DieAusungvonPolynomgleichungenhat dieMathematikermehrereJahrhunder-telang beschftigt. Dieersten interessanten Beitrge stammen dabeiaus dem ItalienderRenaissance. DerFranziskanermnchLucaPacioli (14451509)hattenochkeineLsunggefunden. Scipionedel Ferro(14651526) undNiccoloTartaglia(14991557)fanden ein Lsungsverfahren. Sie stritten heftig um den Ruhm der Entdeckung. Gero-nimo Cardano (15011576) lernte 1539 das Verfahren von Tartaglia und verentlichtees 1545inseinerArs magnadeRegulis Algebraicis. DieGeschichteder Cardano-schenFormelnzurAusungvonGleichungendrittenGrades istabenteuerlich.Car-danohatdieFormelnvonTartagliagestohlen. DochauchdieseristnichtihrersterEntdecker. Vielmehr sind sie wahrscheinlich zum ersten Mal von delFerro aufgestelltworden. Schwierigkeiten bereitete der sogenannte casus irreducibilis, bei dem Wurzelnaus negativen reellen Zahlen auftraten. Mindesten eine der sich ergebenden Lsungenwar aber reell. Dieser Weg ber komplexe Zahlen war lange Zeit sehr umstritten. MansprachvonunmglichenLsungen,sophistischenGren,nureingebildetenWur-zeln.Cardano und viele seiner Nachfolger haben quadratische oder auch kubische Gleichun-gen keineswegs als Anlass gesehen, einen neuen Typ von Zahlen, nmlich die komple-xen Zahlen, einzufhren. Sie betrachteten viele quadratische und kubische Gleichungenals skurrile, aber falsche oder unmgliche Aufgaben (siehe Fhrer, 2001). WahreAufgaben mussten anschaulich, und das heit vor allem geometrisch deutbar sein. Sie3.4 Kubische Gleichungen 71Abb.3.10:Von links nach rechts:Pacioli, Tartaglia, Cardano,Bombellidurften somit nur positive reelle Koezienten enthalten, wie das folgende Beispiel vonBombelli illustriert.Rafael Bombelli (15261572) entwickelte die Algebra von Cardano weiter, indem er mitden komplexen Zahlen rechnete und quadratische und kubische Gleichungen lste. ErkonntespezielledritteWurzelnausrechnenunddamitbestimmteGleichungenlsen:Die Gleichungx3= 15x + 4fhrt aufx1 =3_2 +121 +3_2 121 = (2 +1) + (2 1) = 4.Denn