Kapitel 11 Heteroskedastizität

Kapitel 11

Heteroskedastizität

Hackl, Einführung in die Ökonometrie

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Der Sachverhalt

Modell y = X + u, Ordnung von X: nxk

Annahme A6: Var{u} = 2I

Annahme 6 impliziert konstante Varianz der Störgrößen (Homoskedastizität):Var{ut} = 2, t = 1,…,n

In der Realität trifft diese Annahme nicht immer zu; man spricht dann von Heteroskedastizität; Var{u} = diag(1

2, …, n2) = 2 = 2 diag(1, …, n)

Fragestellungen: Konsequenzen von Heteroskedastizität Möglichkeiten zum Identifizieren von Heteroskedastizität Alternative Verfahren, die bei Heteroskedastizität verwendet

werden können


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Ein Beispiel

70 Haushalte (HH): Monatliches HH-Einkommen und Ausgaben für Güter des dauerhaften Konsums

0

400

800

1200

1600

2000

2400

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

Einkommen des HH

Ausg

aben fü

r D

K


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Ein Beispiel, Forts.

Residuen e = y- ŷ aus

Ŷ = 44.18 + 0.17 X

X: Monatliches HH-Einkommen Y: Ausgaben für Güter des dauerhaften Konsums

Je größer das Einkommen, umso mehr streuen die Residuen!

-600

-400

-200

0

200

400

600

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

Einkommen des HH

Resi

duen e


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Typische Situationen für Heteroskedastizität Heteroskedastizität tritt typischerweise auf bei Querschnittserhebungen, etwa von Haushaltsdaten (siehe

obiges Beispiel) oder in verschiedenen Regionen Modell mit stochastischen Regressionskoeffizienten Daten sind mit einem Messfehler behaftet, wobei der

Messfehler einen Trend aufweist Daten aus dem Bereich der Finanzmärkte wie Wechselkurse

oder Renditen von Wertpapieren


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Beispiel: Stochastische RegressionskoeffizientenIm Modell Yt = + t Xt + ut gelte

t = + t

t ist eine für alle t identisch und unabhängig verteilte Variable mit Varianz e

2

Das Modell kann geschrieben werden als

Yt = + Xt + vt

mit Störgrößen vt = ut + Xt t

Achtung! Die Varianz der vt ergibt sich zu

Var{vt} = u2 + Xt

2 e2

und ist nicht konstant


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Beispiel: Modetrend im Konsum

Bereitschaft, einen Modetrend mitzumachen, hängt vom Einkommen ab: Konsum folgt Modetrends eher in Haushalten mit hohen Einkommen

Konsumfunktion enthält keinen Regressor, der diese Bereitschaft repräsentiert: Daher steckt diese Information in der Störgröße

Da die Bereitschaft zum Mitmachen mit dem Regressor Einkommen hoch korreliert, müssen wir mit Heteroskedastizität rechnen: Bei kleinen Einkommen allgemein geringe Bereitschaft; bei hohen Einkommen streut Bereitschaft stärker


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OLS-Schätzer b

Für

b = (X‘X)-1 X‘y = + (X‘X)-1 X‘u

ergibt sich mit E{u} = 0, dass b erwartungstreu ist Mit Var{u} = 2 = 2 diag(1, … , n) findet man

Var{b} = 2 (X'X)-1 X'X (X'X)-1

b ist nicht effizient (nach Gauss-Markov ist Var{b} = 2(X'X)-1 die minimale Varianz von b)


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Konsequenzen von Heteroskedastizität Die OLS-Schätzer b für

sind erwartungstreu sind konsistent haben die Kovarianzmatrix

Var{b} = 2 (X'X)-1 X'X (X'X)-1

sind keine effizienten Schätzer sind unter allgemein erfüllten Bedingungen asymptotisch

normalverteilt Der Schätzer s2 = e'e/(n-k) der Varianz der Störgrößen 2 ist

verzerrt (e: Vektor der OLS-Residuen)

Aus 2(X'X)-1 bestimmte Standardfehler sind verzerrt Achtung! Richtung der Verzerrung kann nicht angegeben

werden! Achtung! t- und F-Test liefern irreführende Ergebnisse


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Tests auf Heteroskedastizität

Residuen sollten wegen Unverzerrtheit von b die Heteroskedastizität anzeigen

Tests auf Basis der Residuen Goldfeld-Quandt-Test Glejser-Test Breusch-Pagan-Test White-Test


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Goldfeld-Quandt-Test

Nullhypothese: HomoskedastizitätAlternative: Zwei Regime mit 1

2 und 22 als Varianz der

Störgrößen; Zugehörigkeit zu Regimen wird durch Variable Z angezeigt

Beispiel: y1 = X11 + u1, Var{u1} = 1

2In1 (Regime 1)y2 = X22 + u2, Var{u2} = 2

2In2 (Regime 2)

Nullhypothese: 12 = 2

2

F-Test:

Si: Summe der quadrierten Residuen für i-tes Regime

1 1

2 2

S n kF

S n k


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Goldfeld-Quandt-Test, Forts.

Das Testverfahren läuft in folgenden Schritten ab:1. Sortieren der Beobachtungen nach steigenden Werten von Z 2. Entfernen von 2c Beobachtungen in der Mitte der sortierten

Beobachtungen

3. Getrennte OLS-Anpassung an die ersten n1 und die letzten n2 Beobachtungen [typischerweise n1 = n2 = (n-c)/2] und Bestimmung der OLS-Schätzer bi und der Summen der quadrierten Residuen Si (i = 1,2)

4. Berechnen der Teststatistik F; sie ist unter H0 exakt oder näherungsweise F-verteilt mit n2-c-k und n1-c-k Freiheitsgraden

1 1

2 2

S n c kF

S n c k


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Konsumfunktion, Forts.

Test, ob zwei Regime: (1) X<4000 und (2) X>4000; Modelle:

A: gemeinsam (n = 70): Ŷ = 44.18 + 0.17 X, S = 2,094.511, s = 175.5

B(1): X < 4000 (n1 = 48): Ŷ = 119.71 + 0.13 X, S1 = 627.648, s1 = 117

B(2): X > 4000 (n2 = 22): Ŷ = -155.34 + 0.20 X, S2 = 1,331.777, s2 = 258

F-Teststatistik:

p-Wert: 0.000004; Nullhypothese kann nicht gehalten werden

Achtung! Ursache für Ablehnung kann sein: 12 ≠ 1

2; aber auch 1 ≠ 2

1331777 48 24.88

627648 22 2F


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Glejser-Test

Modell für Heteroskedastizität

mit p-Vektoren zt und , Interzept 1, p-1 Variablen Z2, …, Zp

zu prüfende Nullhypothese:

H0: 2 = … = p = 0

also t2 = f(1) für alle t, d.h. Homoskedastizität

2 2 ( )t tf z


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Glejser-Test, ob t2 = 1 + Xt2

1. Anpassen der Konsumfunktion: Ŷ = 44.18 + 0.17 X

2. Anpassen der Residuen: e2 = -6385 + 10.9 X

t-Test: t = 4.3, p-Wert: 0.0001

Nullhypothese kann nicht gehalten werden


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Glejser-Test, Forts.

Der Test läuft in den folgenden Schritten ab:

1. Ermitteln der OLS-Residuen et durch OLS-Anpassung des zu prüfenden Modells

2. Regression einer dem funktionalen Zusammenhang f entsprechenden Funktion der Residuen auf die Variablen Z2, …, Zp

3. Test der Nullhypothese: 2 = … = p = 0 mittels Wald-Test bzw. t-Test (wenn p = 2)

Funktionaler Zusammenhang f und Residuen-Modell Regression von et

2 auf (zt' ) zum Test von t2 = 2 (zt' )

Regression von log et2 auf (zt' ) für t

2 = 2 exp{zt' }


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Breusch-Pagan-Test

Modell für Heteroskedastizität

mit p-Vektoren zt und , Interzept 1, p-1 Variablen Z2, …, Zp

zu prüfende Nullhypothese:

H0: 2 = … = p = 0

also t2 = f(1) für alle t, d.h. Homoskedastizität

2 2 ( )t tf z


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Breusch-Pagan-Test, Forts.

Der Test läuft in den folgenden Schritten ab:

1. Ermitteln der OLS-Residuen et durch Anpassen des zu prüfenden Modells

2. Berechnung des Schätzers se2 = e'e/n und Transformation der

quadrierten Residuen et2 in die Größen

gt = et2/ se

2

3. Regression der gt auf die Variablen Z2, …, Zp 4. Berechnen der Lagrange-Multiplier Teststatistik LM(H) = 1/2

[g'Z(Z'Z)-1Z'g], die unter H0 asymptotisch der Chi-Quadrat-Verteilung mit p-1 Freiheitsgraden folgt

Berechnung von LM(H) = nRg2 mit dem Bestimmtheitsmaß Rg

2 der Regression der transformierten Residuen gt auf die Variablen Z2, …, Zp


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Breusch-Pagan-Test, ob t2 = 1 + Xt2


2. Berechnen von gt = et2/ se

2

3. Anpassen der transf. Residuen: g = -0.213 + 0.0004 X

Rg2 = 0.2143, LM(H) = 70 (0.2143) = 15.0, p-Wert: 0.0001

Die Nullhypothese kann nicht gehalten werden


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White-Test

Test der Nullhypothese: H0: t

2 = 2 für alle tgegen die unspezifizierte Alternative, H0 sei unrichtig

Test vergleicht die Kovarianzmatrix (X'X)-1 X'X (X'X)-1 und ihr Pendant bei Homoskedastizität, (X'X)-1

Teststatistik: n-faches Bestimmtheitsmaß Re2 der

Hilfsregression der quadrierten Residuen et2 auf die

Regressoren des Modells, ihre Quadrate und gegebenenfalls auch auf ihre Produkte

W = n Re2

W folgt asymptotisch der Chi-Quadrat-Verteilung; Zahl der Freiheitsgrade ist gleich der Anzahl der geschätzten Koeffizienten weniger Eins


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White-Test, ob t2 = 2 für alle t


2. Anpassen der Residuen: e2 = -18185 + 18.4 X – 0.0008 X2

Re2 = 0.226, W = 70 (0.226) = 15.82, p-Wert: 0.0004

Die Nullhypothese kann nicht gehalten werden


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Inferenz bei Heteroskedastizität

Kovarianzmatrix von b:Var{b} = 2 (X'X)-1 X'X (X'X)-1

Verwendung von (X'X)-1 führt zu verfälschten Ergebnissen

Vermeidung von Fehlern durch

1. Verwendung der korrekten Varianzen

2. Transformation des Modells so, dass die Störgrößen homoskedast sind


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Schätzen von Var{b}

Nach White: heteroskedasticity consistent Kovarianzmatrix

statt Var{b} = 2 (X'X)-1 X'X (X'X)-1

Daraus erhält man die „White-Standardfehler“ für die bi

Achtung: Simulationen zeigen, dass die White-Standardfehler die tatsächlichen Standardfehler unterschätzen!

EViews verwendet White-Standardfehler als Option der OLS-Schätzung

1 2 1( ) ( )t t tt

nX X e x x X X

n k


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Anpassen der Konsumfunktion: Ŷ = 44.18 + 0.17 X

• Der Standardfehler des Koeffizienten von X beträgt 0.0091

• Der White-Standardfehler beträgt 0.0120

Der nicht korrigierte Standardfehler unterschätzt um mehr als 30%


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Variablen-Transformation

Bei bekannter funktionaler Form der Abhängigkeit der t2:

Transformation so, dass die Störgrößen des transformierten Modells homoskedast sind

Beispiel: Modell Yt = + Xt + ut hat heteroskedaste Störgrößen: t

2 = Zt2

für t = 1, …, n; oder Var{u} = 2 = 2 diag(Z12, …, Zn

2)

Mit vt = ut/Zt ergibt sich Var{vt} = Var{ut}/Zt2 = 2

Transformiertes Modell

erfüllt Annahme 6

1t tt

t t t

Y Xv

Z Z Z


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Gewichtete LS-Schätzer

Minimieren der Summe der Abweichungsquadrate für transformiertes und nicht-transformiertes sind verschieden!

Beispiel: Modell Yt = + Xt + ut mit Var{ut} = t2 = Zt

2 Beim nicht-transformierten Modell wird minimiert:

t (Yt – – Xt)2

Beim transformierten Modell wird minimiert:

t wt (Yt – – Xt)2

mit Gewichten wt = Zt-2

Achtung! wt = t-1/2 mit t aus Var{u} = 2 = 2 diag(Z1

2, …, Zn2)

Diese Gewichtete LS-Schätzung ist ein Fall der GLS-Schätzung (generalized LS-Schätzung)


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Transformation von Yt = a + b Xt + ut durch Division durch √Xt

Entspricht den Gewichten wt = Xt-1/2

Die angepasste Funktion ist

Achtung! R2 der Schätzungen mit und ohne Gewichtung sind nicht vergleichbar!

EViews erlaubt gewichtete LS-Schätzung als Option der Modellanpassung

t

tt

t XXX

Y153.0

42.90ˆ


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GLS-Schätzer

Transformation von Yt = xt‘ + ut mit Var{ut} = t2 durch Dividieren

durch t ergibt das Modell

Yt/t = Yt* = xt/t + ut/t = xt/t + vt

mit Var{vt} = 1

Die Annahme 6 der Homoskedastizität ist für das Modell in transformierten Variablen erfüllt, die OLS-Schätzer sind beste Schätzer.

Das Schätzen der Parameter des Modells in transformierten Variablen entspricht der gewichteten OLS- oder GLS-Schätzung.

Achtung! In den meisten Fällen sind die t2 nicht bekannt!


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FGLS-Schätzer

Bei unbekannten Parametern in den Gewichten t: 2-stufiges Verfahren

1. Anpassen des Modells ohne Gewichtung und Schätzen der Varianzen t

(Regression von et2)

2. Transformation der Variablen: Division durch geschätzte t

3. Anpassen des Modells in transformierten Variablen

Man spricht von einem FGLS-Schätzer (feasible GLS-Schätzer), auch vom „anwendbaren“ oder „geschätzten GLS-Schätzer“

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