Kapitel 9 Analyse der Modellstruktur. 14.1.2005 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 2 Rekursive OLS-Schätzung Spezifiziertes Modell: y = X + u y, u:

Kapitel 9

Analyse der Modellstruktur

14.1.2005 Hackl, Einführung in die Ökonometrie

2

Rekursive OLS-Schätzung

Spezifiziertes Modell: y = X + u y, u: n-Vektoren; X: Ordnung nxk, : k-Vektor

b t: OLS-Schätzer für aus Beobachtungen

{(x i, Y i), i =1,...,t }

b t = (Xt’ Xt)-1 Xt’ yt, t =k+1,...,n

mit Xt: Ordnung txk, yt : t-Vektor

Rekursive Beziehung zum Berechnen der b t

Var{bt} = 2 (Xt’ Xt)-1


3

Konsumfunktion

OLS-Anpassung an Österreichische Jahres-Daten 1954 bis 1999:

rekursiv geschätzte

marginale Konsum-

neigung und Kon-

fidenzband (=0.95)

ˆ 1.948 0.897C Y

0.78

0.80

0.82

0.84

0.86

0.88

0.90

0.92

65 70 75 80 85 90 95

Recursive C(2) Estimates ± 2 S.E.


4

Dummy-Variable

Regressor, der das Zutreffen eines bestimmen Umstandes anzeigt; er hat den Wert 1 in Perioden, in denen der Umstand zutrifft, sonst den Wert 0

Beispiele: Konjunktur/Stagnation Zeit vor/nach Ölpreis-Schock Regionen (Stadt/Land) Saisonen des Jahres


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Dummy-Variable für Saisonen

Für die Saisonen sind definiert:

Frühlings-Dummy Q1t hat den Wert 1 in jedem ersten Quartal; analog das Sommer-Dummy (i = 2), etc.

Beachte: Für jede Periode (t = 1,…, n) gilt

Q1t + Q2t + Q3t + Q4t = 1

1,

0,it

it

Q i tes Quartal

Q sonst


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Modelle für Quartalsdaten

Das Modell Y = + X + u berücksichtigt keine saisonalen Effekte

Modell mit saisonspezifischem Interzept und Anstieg: Yt = + Xt + ut

Yt = + Xt + ut

Yt = + Xt + ut

Yt = + Xt + ut

Schreibweise mit Saison-Dummyvariablen Qit:

Yt = iQit+ i Qit Xt + ut oder

Yt = Q2tQ3tQ4t+ Xt+ Q2t Xt+ Q3t Xt+ Q4t Xt + ut mit , , i = 2,3,4.


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Modelle für Quartalsdaten, Forts.

Modell mit saisonspezifischem Interzept, aber gemeinsamen Anstieg

Yt = iQit+ Xt + ut = + iQit + Xt + ut

Modell mit gemeinsamem Interzept, aber saisonspezifischem Anstieg

Yt = + i Qit Xt + ut


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Strukturbruch

Strukturbruch: Der datengenerierende Prozess kann in Teilbereichen des Beobachtungszeitraums durch das gleiche Modell beschrieben werden; den Teilbereichen entsprechen aber unterschiedliche Werte einiger oder aller Regressionskoeffizienten

Den Teilbereichen (Regimen) entsprechen unterschiedliche Strukturen

Strukturbruch-Analyse: Gibt es Teilbereiche mit unterschiedlichen Strukturen? Wann hat der Strukturbruch stattgefunden? Schätzung des

Zeitpunktes des Strukturbruchs (change point)


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Chow-Test

Chow-Test: Zum entscheiden, ob unterschiedliche Strukturen vermutet werden müssen oder nicht

Voraussetzungen:

1. Teilbereiche mit konstanter Struktur können identifiziert werden

2. bekannter Zeitpunkt, zu dem der Übergang zwischen den Regimen stattgefunden hat

3. ausreichende Anzahl von Beobachtungen aus jedem Regime, so dass das Modell an die Daten jedes einzelnen Regimes angepasst und die Residuen bestimmen werden können

Oft erlauben Dummies das Modellieren von Regimen


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Chow-Test, Forts.

Vermutung: der datengenerierende Prozess läuft in mehreren Regimen ab; das Modell muss hinsichtlich seiner Koeffizienten regimespe-zifisch angepasst werden

Nullhypothese: die Regressionskoeffizienten sind in allen Teilbereichen des Beobachtungszeitraums die gleichen

Alternative: zu bestimmten Zeitpunkten ändern das Interzept und einige oder alle anderen Regressionskoeffizienten ihren Wert


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Chow-Test, Forts.

Modell mit zwei Regimen:

die partitionierten Größen y, X, und u entsprechen den Größen vor und nach dem Strukturbruch

Nullhypothese (kein Strukturbruch) H0: 1 = 2 kann

mittels F-Test überprüft werden:

S: Summe der Fehlerquadrate im Modell mit Strukturbruch

SR: Summe der Fehlerquadrate im Modell unter H0

1 1 1 1

2 2 2 2

0

0

y X u

y X u

2RS S n kF

S k


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Chow-Test, Forts.

Die F-Statistik folgt bei Zutreffen von H0 der F-Verteilung F(k,n-2k) bei normalverteilten Störgrößen näherungsweise der Chi-Quadrat-Verteilung (k) bei

großem n


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Konsumfunktion, Forts.

OLS-Anpassung des Modells mit 2 Regimen

1. 1954 bis 1971: b = 0.817, S1 = 200.68

2. 1972 bis 1999: b = 0.824, S2 = 5107.17

F-Statistik:

p-Wert: 0.004

6899.7 (200.68 5107.17) 46 46.30

200.68 5107.17 2F


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Chow-Test für m Regime

Verallgemeinerung: m Regime

H0: 1 = … = m

F-Statistik

Si: Summe der Fehlerquadrate im Modell für i - tes Regime (i = 1,…, m)

Verteilung von F: F(k,n-mk) oder ([m-1]k)

( 1)R ii

ii

S S n mkF

S m k


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Chow‘s Prognosetest

Änderung der Struktur gegen Ende des Beobachtungszeitraums, nach der Änderung p < k Beobachtungen: Der Chow-Test ist nicht anwendbar

Anpassen des Modells y = X + u an Beobachtungen t = 1,…, n-p gibt OLS-Schätzer b

Prognose ŷf=Xfb für Beobachtungen t = n-p+1,…, n

Der Prognosetest prüft die Nullhypothese, dass das Modell auch im Prognosebereich gültig ist:

H0: yf = Xf + u

F-Statistik (mit Prognosefehlern ef)

p

kpneXXXXIe

eeF fffpf

ff

1)'('

'

1


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Prognosetest: Berechnung von F

1. Anpassen des Modells an die n-p Beobachtungen; Summe der Fehlerquadrate SD

2. Anpassen des Modells an alle n Beobachtungen; Summe der Fehlerquadrate SD+F

3. Einsetzen in F-Statistik gibt

p

kpn

S

SSF

D

DFD


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OLS-Anpassung des Modells mit 2 Regimen

1. 1954 bis 1991: S91 = 3400.90

2. 1954 bis 1999: S2 = 6899.69

F-Statistik des Prognosetests

p-Wert: 0.0005

63.48

)28(46

90.3400

90.340069.6899

F


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Rekursive Residuen

Modell y = X + u Rekursive Residuen sind definiert als 1-Schritt

Prognosefehler:

bt ist OLS-Schätzer von b auf Basis der Beobachtungen {(xi, Yi), i=1,...,t}

Der (n-k)-Vektor w folgt (bei normalverteilten Störgrößen)

w ~ N(0, 2I)

Gut geeignet für Konstruktion von Tests zur Struktursta-bilität

1

1, 1,...,

1 ( )t t t

t

t t t t

Y x bw t k n

x X X x


19


-30

-20

-10

0

10

20

30

40

60 65 70 75 80 85 90 95

Recursive Residuals ± 2 S.E.

Rekursive Residuen


20

Tests zur Strukturstabilität

Test, die auf Basis der rekursiven Residuen konstruiert sind: CUSUM Test MOSUM Test CUSUM-SQ Test

CUSUM Test:

Kritische Schranken nach Brown et al. (1975)

1

1 t

t ss kW w

s


21


-20

-10

0

10

20

30

60 65 70 75 80 85 90 95

CUSUM 5% Significance

CUSUM Test

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