Kapitel D 15 [Kompatibilitätsmodus] · 5 © Finanzmathematik © Dr. A. Brink A Einführung B Finanzmathematische Grundlagen C Zinsrechnungen D Rentenrechnungen 1 Systematisierung

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Finanzmathematik © Dr. A. Brink

(Grob-) Gliederung

A Einführung

B Finanzmathematische Grundlagen

C Zinsrechnungen

D Rentenrechnungen

E Tilgungsrechnungen

F Kurs und Rendite

Finanzmathematik

Dr. Alfred Brink

Thema:

Rentenrechnungen

Institut für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften

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A EinführungB Finanzmathematische GrundlagenC ZinsrechnungenD Rentenrechnungen

1 Systematisierung von Rentenvorgängen

2 Endliche Renten3 Ewige Renten4 Progressive Renten5 Aufgaben


Finanzmathematik

Dr. Alfred Brink


Thema:

Rentenrechnungen

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Finanzmathematik

Kapitalstock versus Sparziel

D. Rentenrechnungen1 Systematisierung von Rentenvorgängen

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Finanzmathematik

Dr. Alfred Brink


Thema:

Rentenrechnungen

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2 Endliche Renten2.1 Jährliche Rentenzahlungen2.2 Unterjährige Rentenzahlungen

3 Ewige Renten4 Progressive Renten


Finanzmathematik

Dr. Alfred Brink


Thema:

Rentenrechnungen

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D Rentenrechnungen1 Systematisierung von

Rentenvorgängen2 Endliche Renten

2.1 Jährliche Rentenzahlungen2.1.1 Vorschüssige Renten-

zahlungen2.1.2 Nachschüssige Renten-

zahlungen2.2 Unterjährige Rentenzahlungen

Finanzmathematik

Dr. Alfred Brink


Thema:

Rentenrechnungen

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Finanzmathematik

Ausgangspunkt:

Über einen endlichen Zeitraum wird aus einemKapital (Rentenbarwert RBWv

n,i), das zinses-zinslich angelegt ist, jeweils zu Beginn einesJahres eine bestimmte Rentenrate ř gezahltbzw. es wird jährlich eine bestimmte Rate ř ein-gezahlt, um am Ende ein bestimmtes Endkapi-tal (Rentenendwert REWn,i) zu erhalten.

D. Rentenrechnungen2 Endliche Renten

2.1 Jährliche Rentenzahlungen2.1.1 Vorschüssige Rentenzahlungen

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Finanzmathematik

vorschüssige

Rentenendwertformel:

11

q

qqrREW

nv

in

,



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Finanzmathematik

Beispiel:

Jemand zahlt 5 Jahre lang jährlich vorschüssigjeweils 1.000 € auf ein Sparkonto ein, das mit10% Zinsen vergütet wird. Auf welchen Betragwächst das Kapital bis zum Ende des 5. Jahresan?

61,715.611,111,1

1,1000.15

1,0;5

vREW

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Finanzmathematik

vorschüssige

Rentenbarwertformel:

111

1,

qq

qrRBW

n

nv

in

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11©

Finanzmathematik

Beispiel:

Jemand möchte nach 47 Jahren eine Lebens-versicherung in Höhe von 1.000.000 € aus-gezahlt bekommen. Welchen Betrag muss erjährlich vorschüssig ansparen bei i = 6%?

91,912.3)106,1(06,1

106,1000.000.1

47

r

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2.1 Jährliche Rentenzahlungen2.1.1 Vorschüssige Renten-

zahlungen2.1.2 Nachschüssige Renten-

zahlungen2.2 Unterjährige Rentenzahlungen

Finanzmathematik

Dr. Alfred Brink


Thema:

Rentenrechnungen

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Finanzmathematik

Ausgangspunkt:

Über einen endlichen Zeitraum wird aus einemKapital (Rentenbarwert RBWv

n,i), das zinses-zinslich angelegt ist, jeweils zum Ende einesJahres eine bestimmte Rentenrate r gezahltbzw. es wird jährlich eine bestimmte Rate r ein-gezahlt, um am Ende ein bestimmtes Endkapi-tal (Rentenendwert REWn,i) zu erhalten.

© Dr. A. Brink


2.1 Jährliche Rentenzahlungen2.1.2 Nachschüssige Rentenzahlungen

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Finanzmathematik

nachschüssige

Rentenendwertformel:

11

,

q

qrREW

nn

in

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Finanzmathematik

Beispiel:

Jemand zahlt 5 Jahre lang jährlich nachschüs-sig jeweils 1.000 € auf ein Sparkonto ein, dasmit 10% Zinsen vergütet wird. Auf welchenBetrag wächst das Kapital bis zum Ende des 5.Jahres an?

10,105.611,111,1

000.15

5,0;5

nREW

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Finanzmathematik

nachschüssige

Rentenbarwertformel:

111

,

q

q

qrRBW

n

nn

in

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Finanzmathematik

Beispiel:

68,147.4106,1

106,1000.000.1

47

r

Jemand möchte nach 47 Jahren eine Lebens-versicherung in Höhe von 1.000.000 € ausge-zahlt bekommen. Welchen Betrag muss erjährich nachschüssig ansparen bei i = 6%?

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D. Rentenrechnung

1 - q

1 - q

n

; ninREF q

nq

1

1-nn q

1

q

q

nachschüssig vorschüssig

Endwert(t = n)

Barwert(t = 0)

1 - q

1 - qn

Alles geschieht eine Periode früher!

Endwert um n-Perioden abzinsen!

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D. RentenrechnungenUmrechnungsfaktoren

Finanzmathematik

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2.1 Jährliche Rentenzahlungen2.2 Unterjährige Rentenzahlungen

3 Ewige Renten4 Progressive Renten5 Aufgaben

Finanzmathematik

Dr. Alfred Brink


Thema:

Rentenrechnungen

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Finanzmathematik

Ausgangspunkt:

Die Rentenraten werden mehrmals pro Jahr (z.B. vierteljährlich oder monatlich) gezahlt.

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2.2 Unterjährige Rentenzahlungen

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Finanzmathematik

Bezüglich der Verzinsung der gezahlten Rentenraten

können mehrere Fälle unterschieden werden

Verzinsung der gezahlten Rentenraten

(a) die Zinsen werden in jedemJahr mehrfach nach-schüssig berechnet

(1) Zinsperiode = Rentenperiode(2) Zinsperiode > Rentenperiode(3) Zinsperiode < Rentenperiode

(b) die Zinsen werden einmalpro Jahr nachschüssig berechnet

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2.2 Unterjährige Rentenzahlungen

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2.2.1 Nachschüssige Renten-zahlungen

2.2.2 Vorschüssige Renten-zahlungen

Finanzmathematik

Dr. Alfred Brink


Thema:

Rentenrechnungen

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Finanzmathematik

Ausgangspunkt:

Die Rentenraten werden mehrmals pro Jahr(z.B. vierteljährlich oder monatlich) nach-schüssig gezahlt, wohingegen die Zinseneinmal pro Jahr nachschüssig berechnetwerden.

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2.2 Unterjährige Rentenzahlungen2.2.1 Nachschüssige Rentenzahlungen

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Finanzmathematik

Vorgehensweise:

Sind Zins- und Rentenperiode nicht identisch,muss eine Transformation der Rentenzahlungenauf das jeweilige Periodenende vorgenommenwerden

Diese Transformation sieht so aus, dass derWert aller Rentenraten einschließlich der Zinsenzum Ende eines Jahres ermittelt wird.

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Finanzmathematik

Symbol:

re = jahreskonforme Ersatzrentenrate

Formel:

1

2m

imrre

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Finanzmathematik

Beispiel:

Jemand zahlt jeweils am Ende eines Viertel-jahres je 1.000 € auf ein Sparbuch. Die Bankverzinst dieses mit 8% p.a. Auf welchen Betragwächst dieses Kapital nach 5 Jahren?

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Finanzmathematik

Ermittlung der jahreskonformen Ersatzrente re:

Ermittlung des Endwertes einer nachschüssigenunterjährigen Rente:

120.414208,0

4000.1

er

40,170.24108,1

108,1120.4

5

08,0;5

nREW

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2.2.1 Nachschüssige Renten-zahlungen

2.2.2 Vorschüssige Renten-zahlungen

Finanzmathematik

Dr. Alfred Brink


Thema:

Rentenrechnungen

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Finanzmathematik

Ausgangspunkt:

Die Rentenraten werden mehrmals pro Jahr(z.B. vierteljährlich oder monatlich) vorschüssiggezahlt.

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2.2 Unterjährige Rentenzahlungen2.2.2 Vorschüssige Rentenzahlungen

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Finanzmathematik

Vorgehensweise:

Wenn man bei der Ermittlung der jahreskonformen vor-schüssigen Ersatzrentenrate die Beträge jeweils auf dasJahresende aufzinst, kann der Rentenendwert analog zuoben (vgl. Abschnitt 2.2.1) bestimmt werden.

Der Unterschied zwischen der vor- und nachschüssi-gen Zahlungsweise ist dann allein bei der Ermittlungder Ersatzrentenrate zu berücksichtigen.

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Finanzmathematik

Symbol:

ře = jahreskonforme Ersatzrentenrate

Formel:

1

2m

imrre

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Finanzmathematik

Beispiel:

Jemand zahlt jeweils zu Beginn eines Viertel-jahres je 1.000 € auf ein Sparbuch. Die Bankverzinst dieses mit 8% p.a. Wie hoch ist diejahreskonforme Ersatzrentenrate?

200.414208,0

4000.1

er

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Finanzmathematik

Dr. Alfred Brink


Thema:

Rentenrechnungen

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2 Endliche Renten3 Ewige Renten

3.1 Nachschüssige ewige Rente3.2 Vorschüssige ewige Renten

4 Progressive Renten

Finanzmathematik

Dr. Alfred Brink


Thema:

Rentenrechnungen

35©

Finanzmathematik

Ausgangspunkt:

Über einen unendlichen Zeitraum wird auseinem Kapital (Rentenbarwert), das zinses-zinslich angelegt ist, jeweils zum Ende einesJahres eine bestimmte Rentenrate r gezahlt.

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D. Rentenrechnungen3 Ewige Renten

3.1 Nachschüssige ewige Renten

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Finanzmathematik

Formel:

ir

RBW ni ,

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Finanzmathematik

Beispiel:

Jemand möchte eine jährlich nachschüssigeewige Rente von 1.000 € erhalten. Wie hochmuss der Kapitalstock sein bei einer Verzin-sung von 8% p.a.?

500.1208,0

000.1,

niRBW

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2 Endliche Renten3 Ewige Renten

3.1 Nachschüssige ewige Rente3.2 Vorschüssige ewige Renten

4 Progressive Renten

Finanzmathematik

Dr. Alfred Brink


Thema:

Rentenrechnungen

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Finanzmathematik

Ausgangspunkt:

Über einen unendlichen Zeitraum wird auseinem Kapital (Rentenbarwert), das zinses-zinslich angelegt ist, jeweils zu Beginn einesJahres eine bestimmte Rentenrate ř gezahlt.

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3.2 Vorschüssige ewige Renten

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Finanzmathematik

i

rr

irRBW v

i

11

,

Formel:

~~~

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Finanzmathematik

Beispiel:

Jemand möchte aus seinem Kapitalstock inHöhe von 13.500 € eine ewige Rente beziehen.In welcher Höhe kann eine jährlich vorschüssi-ge ewige Rente gezahlt werden, wenn die Ver-zinsung 8% p.a. beträgt?

000.1

08,01

1

500.131

1

,

i

RBWr

vi

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Rentenvorgängen2 Endliche Renten3 Ewige Renten4 Progressive Renten

4.1 Geometrisch fortschreitende Renten

4.2. Arithmetisch fortschreitende Renten

5 AufgabenE Tilgungsrechnungen

Finanzmathematik

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Thema:

Rentenrechnungen

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Finanzmathematik

Definition:

Bei einer geometrisch fortschreitende Rentesteigt die (Jahres-)Rentenrate r von Jahr zuJahr um einen bestimmten Prozentsatz.

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D. Rentenrechnungen4 Progressive Renten


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Finanzmathematik

Formel:

qfqf

rREWnn

gsin

,

Symbol:f = Progressionsfaktor

(nachschüssig)

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Finanzmathematik

Beispiel:

Jemand bezieht eine nachschüssige Renten-rate über 10 Jahre. Die erste Rentenrate be-trägt 4.000 € und wird jährlich um 4% angeho-ben. Welchen Endwert weist diese Rente beieinem Zinssatz von 6% auf?

68,120.6206,104,106,104,1

000.41010

06,0;10

gsREW

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Rentenvorgängen2 Endliche Renten3 Ewige Renten4 Progressive Renten


4.2. Arithmetisch fortschreitende Renten

5 AufgabenE Tilgungsrechnungen

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Thema:

Rentenrechnungen

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Finanzmathematik

Definition:

Bei einer arithmetisch fortschreitenden Rentesteigt die (Jahres-)Rentenrate r von Jahr zuJahr um einen vorgegebenen Betrag.

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4.2 Arithmetisch fortschreitende Renten

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Finanzmathematik

Formel:

nn

inn

inas

inq

nRBFid

RBWRBW1

,,,

Symbol:

d = jährlicher Steigerungsbetrag der Rente

(nachschüssig)

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Finanzmathematik

Beispiel:

Jemand bezieht eine nachschüssige Renten-rate über 10 Jahre. Die erste Rentenratebeträgt 4.000 € und wird jährlich um 200 €angehoben. Welchen Barwert weist dieseRente bei einem Zinssatz von 6% auf?

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Finanzmathematik

€82,360.35583948,5360088,706,0

20035,440.29

06,1

110

06,0

200

06,0;10

1006,0;1006,0;1006,0;10

as

nnas

RBW

RBFRBWRBW

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Finanzmathematik

Dr. Alfred Brink


Thema:

Rentenrechnungen

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Finanzmathematik 52

• Aufgabe 9

• Aufgabe 10

• Aufgabe 13

• Aufgabe 17

• Aufgabe 20

• Aufgabe 27

• Aufgabe 29

• Aufgabe 32

Aufgaben:

Aufgabenheft S. 14 - 19

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D. Rentenrechnungen5 Aufgaben

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Kapitel D 15 [Kompatibilitätsmodus] · 5 © Finanzmathematik © Dr. A. Brink A Einführung B Finanzmathematische Grundlagen C Zinsrechnungen D Rentenrechnungen 1 Systematisierung