Leseprobe

Günter M. Gramlich

Lineare Algebra

Eine Einführung

ISBN (Buch): 978-3-446-44140-8

ISBN (E-Book): 978-3-446-44103-3

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© Carl Hanser Verlag, München

Inhaltsverzeichnis

1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 91.1 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Elementare Umformungen und Zeilenstufenformen . . . . . . 131.4 Das Gauß- und Gauß-Jordan-Verfahren . . . . . . . . . . . . 161.5 Mehr uber Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6 Rechnen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.7 Die Matrixform eines linearen Gleichungssystems . . . . . . . 391.8 Losen quadratischer Systeme durch Matrixinvertierung . . . . 401.9 Potenzen von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.10 Weitere Bemerkungen und Hinweise . . . . . . . . . . . . . . 44

2 Vektoren in der Ebene und im Raum 482.1 Geometrische Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2 Arithmetische Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3 Die Lange von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.4 Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.5 Orthogonale Projektionsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . 682.6 Die Komponentenform eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . 712.7 Das Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.8 Weitere Bemerkungen und Hinweise . . . . . . . . . . . . . . 77

3 Geometrische Modelle in der Ebene und im Raum 803.1 Darstellungen von Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.2 Darstellungen von Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.3 Parameterdarstellungen als Funktionen, Bewegungen . . . . . 903.4 Weitere Bemerkungen und Hinweise . . . . . . . . . . . . . . 91

4 Reelle Vektorraume und Unterraume 934.1 Die Vektorraum-Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2 Der Vektorraum Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3 Weitere Beispiele von reellen Vektorraumen . . . . . . . . . . 974.4 Untervektorraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.5 Der Nullraum und homogene lineare Gleichungssysteme . . . 101

8 Inhaltsverzeichnis

4.6 Linearkombinationen, lineare Hulle . . . . . . . . . . . . . . . 1024.7 Die vier Fundamentalraume einer Matrix . . . . . . . . . . . 1064.8 Der Spaltenraum und lineare Gleichungssysteme . . . . . . . 1074.9 Lineare Unabhangigkeit und Abhangigkeit . . . . . . . . . . . 1084.10 Basis und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.11 Die Struktur der Losungsmenge von Ax b . . . . . . . . . 1144.12 Lineare Gleichungssysteme, Zeilen- und Spaltenbild . . . . . . 1174.13 Basen fur die vier Fundamentalraume . . . . . . . . . . . . . 1184.14 Die Dimensionen der vier Fundamentalraume . . . . . . . . . 1234.15 Summe und direkte Summe von zwei Unterraumen . . . . . . 1264.16 Weitere Bemerkungen und Hinweise . . . . . . . . . . . . . . 128

5 Lineare Abbildungen von Rn nach Rm 1325.1 Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.2 Darstellung von linearen Abbildungen durch Matrizen . . . . 1355.3 Weitere Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.4 Weitere Bemerkungen und Hinweise . . . . . . . . . . . . . . 140

6 Der Euklidische Vektorraum Rn 1426.1 Orthogonal- und Orthonormalbasen . . . . . . . . . . . . . . 1456.2 Summe und Orthogonalitat der vier Fundamentalraume . . . 1516.3 Weitere Bemerkungen und Hinweise . . . . . . . . . . . . . . 156

7 Determinanten 1587.1 Die Determinante einer 2, 2 -Matrix . . . . . . . . . . . . . . 1587.2 Verallgemeinerung auf n, n -Matrizen . . . . . . . . . . . . . 1607.3 Determinanten und lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . 1647.4 Weitere Bemerkungen und Hinweise . . . . . . . . . . . . . . 168

8 Eigenwerte und Eigenvektoren 1708.1 Eigenraume und Basen von Eigenvektoren . . . . . . . . . . . 1758.2 Diagonalisierung einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.3 Orthogonale Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1828.4 Diagonalisierung mit orthogonalen Matrizen . . . . . . . . . . 1858.5 Weitere Bemerkungen und Hinweise . . . . . . . . . . . . . . 188

Musterlosungen der Aufgaben 191

Literaturverzeichnis 203

Sachwortverzeichnis 204

Vorwort

Vorlesungen zur Linearen Algebra gehoren zu den Pflichtveranstaltungen dermathematischen Grundausbildung von allen Studierenden der ingenieurwis-senschaftlichen, wirtschaftwissenschaftlichen, naturwissenschaftlichen sowieinformations- und kommunikationstechnischen Fachrichtungen an Fachhoch-schulen, Hochschulen und Universitaten.

Das in einem Band erscheinende Arbeits- und Ubungsbuch zur Linearen Al-gebra in der Reihe

”Mathematik-Studienhilfen“ gibt eine knappe, konzen-

trierte Darstellung der wesentlichen Begriffe, Ergebnisse und Methoden undstellt das Einuben und Trainieren dieser anhand zahlreicher Beispiele mitvollstandigen Losungen in den Mittelpunkt. Das Buch eignet sich daher ins-besondere zum Selbststudium und zur Prufungsvorbereitung.

Die zentralen Gleichungen der Linearen Algebra sind lineare GleichungenAx b und Eigenwertgleichungen Ax λx. Es ist faszinierend, wie vielman uber diese beiden Gleichungstypen sagen (und lernen) kann. Viele An-wendungen sind diskret und nicht kontinuierlich, digital anstatt analog undlinearisierbar anstatt unberechenbar und chaotisch. Dann aber sind Matri-zen und Vektoren die geeigneten Objekte und die Lineare Algebra die richtigeSprache; an die Stelle von kontinuierlichen Funktionen treten Vektoren.

Unser Buch ist so angelegt, dass es in der vorgegebenen Reihenfolge, sicheraber mit haufigem Zuruckblattern, bearbeitet werden kann. Die mathemati-schen Satze sind grau unterlegt, durchnummeriert und (fast) jeder Satz miteinem Namen versehen. Eine Definition erkennt man nicht daran, dass davorDefinition steht, sondern daran, dass der zu definierende Begriff fett gedrucktist. An zahlreichen Beispielen und Aufgaben konnen Sie die zentralen Begrif-fe und Methoden der Linearen Algebra trainieren. Jedes Kapitel beinhaltetAufgaben, deren Musterlosungen am Ende des Buches abgedruckt sind. Siefinden zwei Sorten von Aufgaben. Zum einen ganz einfache Kastchenaufgabenoder Richtig- oder Falsch-Aufgaben, diese dienen zur unmittelbaren Selbst-kontrolle und zum anderen die eigentlichen Aufgaben. Bei diesen habe ichmich bemuht, keine unnotigen Tricks einzubauen, sondern Ihnen Erfolgserleb-nisse zu ermoglichen. Das Sachwortverzeichnis ist recht ausfuhrlich angelegt,um das Auffinden von Definitionen und Erlauterungen beim Zuruckblatternoder bei der spateren Arbeit mit dem Buch zu erleichtern. Beweise habe ich

6

gefuhrt, wenn sie zum Verstandnis der betrachteten Zusammenhange beitra-gen. Oft werden mathematische Satze jedoch nur formuliert und ihre Bedeu-tung wird an Beispielen aufgezeigt. Sind Sie an Beweisen interessiert, die ichnicht gefuhrt habe, so verweise ich Sie auf die angegebene Literatur.

Ich habe mich bemuht, Bezeichnungen konsistent uber das ganze Buch hinwegzu verwenden. Punkte, Mengen und lineare Abbildungen werden mit großenlateinischen Buchstaben A, B, C, L, M , usw. bezeichnet. Besonders wichti-ge Mengen, wie zum Beispiel die reellen Zahlen werden ebenfalls mit großenlateinischen Buchstaben geschrieben, daruber hinaus sind sie aber noch be-sonders gedruckt, zum Beispiel R fur die Menge der reellen Zahlen. ReelleZahlen sind kleine lateinische a, b, c, . . . oder griechische Buchstaben α, β, γ,usw. Vektoren und Matrizen sind fett und kursiv geschrieben; Vektoren sindkleine (a, b, c usw.) und Matrizen sind große lateinische Buchstaben (A, B,C usw.). Beispiele sind mit dem ausgefullten Quadratzeichen � und Beweisemit dem nicht ausgefullten Quadratzeichen abgeschlossen.

Das vorliegende Buch habe ich vollstandig in LATEX mit der Hauptklassescrbook des KOMA-Script Pakets erstellt. Das Literaturverzeichnis wurdemit biblatex und der Index mit MakeIndex erstellt. Alle Bilder wurdenmithilfe von PSTricks erstellt. Ohne diese schonen Tools ware dies alles vielschwieriger oder gar unmoglich gewesen.

Fur jede Anregung, nutzlichen Hinweis oder Verbesserungsvorschlag bin ichdankbar. Sie konnen mich uber Post oder E-Mail gramlich@hs-ulm.de er-reichen.

Ich danke allen Kollegen, Studenten und Interessierten, die durch Hinweiseauf Druck- oder Denkfehler, oder einfach durch ihr fachliches oder didak-tisches Interesse an diesem Buch und seinem Inhalt, zur Verbesserung desTextes beigetragen haben. Dank an Frau Fritzsch und an Frau Wulst furHinweise zur Gestaltung dieses Buchleins.

In dieser uberarbeiteten Auflage habe ich an zahlreichen Stellen Anderungen,Glattungen, Verbesserungen, Erweiterungen und Neubearbeitungen vorge-nommen. So hat diese vierte Auflage ein Kapitel mehr, nun also acht, weilich das vierte Kapitel in zwei kleinere Kapitel unterteilt habe. Daruber hinaushabe ich mehrere Abschnitte in den Kapiteln 1 und 2 uberarbeitet. Weiterhinhabe ich neue Beispiele und Aufgaben mit Losungen eingearbeitet.

Ulm, im Juni 2014 Gunter M. Gramlich

1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

The simplest model in applied mathematics is a system of linear equations.It is also by far the most important.

Gilbert Strang

In vielen realen, aber auch innermathematischen Problemen treten linea-re Gleichungssysteme auf; ihre Behandlung ist eines der wichtigsten The-men der Linearen Algebra. In der Elektrotechnik etwa fuhrt die Anwendungder Kirchhoffschen Knotenregel fur Schaltkreise auf lineare Gleichungs-systeme, Bilanzaufgaben in Technik und Okonomie werden mit linearen Sys-temen modelliert. Innerhalb der Mathematik werden Losungen nichtlinea-rer Gleichungssysteme und Optimierungsaufgaben mit linearen Systemengesucht (Quasi-Newton-Verfahren). Interpolationen und Approximationenvon Kurven und Flachen mittels Spline- und anderer Funktionen fuhrenauf lineare Systeme. Die Integration von Anfangswertaufgaben bei Systemengewohnlicher Differenzialgleichungen, die Diskretisierung von Randwertauf-gaben bei gewohnlichen und partiellen Differenzialgleichungen mittels Dif-ferenzenverfahren oder finiter Elemente oder das Losen von Anfangs- undRandwertaufgaben bei partiellen Differenzialgleichungen fuhrt uber lineareGleichungssysteme zur Losung.

Matrizen dienen der Erfassung, Darstellung und Bearbeitung von Daten.Zur sachgerechten Behandlung mathematischer Probleme der Technik undWirtschaft, etwa zu Netzwerkberechnungen in der Elektrotechnik oder zurBerechnung von Fachwerken in der Statik, zur Losung von Transportproble-men oder anderen Optimierungsaufgaben, zur qualitativen und quantitativenDiskussion mechanischer dynamischer Systeme bedient man sich der Matri-zenrechnung.

1.1 Lineare Gleichungssysteme

Die Gleichung 2x 5 3 ist eine lineare Gleichung, weil die Variable x linearin ihr vorkommt. Lost man die Gleichung 2x 5 3 nach der Unbekanntenx auf, so erhalt man die (eindeutige) Losung x 4.

10 1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

Allgemein ist eine lineare Gleichung in einer Variablen x von der Form

ax b,

wobei a, b reelle Konstanten sind. Fur a 0 ist x b a die Losung. Einelineare Gleichung in n Variablen x1, x2, . . . , xn hat die Gestalt

a1x1 a2x2 anxn b,

wobei a1, a2, . . . , an und b gegebene reelle Konstanten sind. Die reellen Zahlenai nennt man die Koeffizienten der Gleichung und b R ist die rechte Seiteder Gleichung (Zur Schreibweise sei bemerkt, dass wir fur die Variablen x1,x2, x3 einer Gleichung auch x, y oder z schreiben. Kommen mehr als dreiUnbekannte vor, so schreiben wir x mit Index, also x1, x2 usw.).

Eine Losung der linearen Gleichung a1x1 a2x2 anxn b ist eineendliche Folge (n-Tupel) von n Zahlen x1, x2, . . ., xn mit der Eigenschaft,dass die Gleichung durch die Substitution x1 x1, x2 x2, . . ., xnxn erfullt wird. Die Gesamtheit aller Losungen heißt allgemeine Losung(Losungsmenge) der Gleichung.

Beispiel 1.1 (Allgemeine Losung) Finden Sie die allgemeine Losung derlinearen Gleichung

4x 2y 1.

Losung : Um Losungen dieser Gleichung zu finden, konnen wir fur x einenbeliebigen Wert aus R wahlen und nach y auflosen; alternativ konnen wirauch irgendeinen Wert fur y wahlen und nach x auflosen. Der erste Ansatzliefert fur x t, wobei t R beliebig ist, y 2t 1 2. Die derart bestimmteparameterabhangige Losung

x t, y 2t 1 2

ist die allgemeine Losung, jede spezielle Wahl des reellen Parameters tergibt eine spezielle Losung (Teillosung). Einzelne Losungen erhalten wirdurch Einsetzen entsprechender Zahlen fur t. Beispielsweise liefert t 3 dieLosung x 3, y 11 2. Schlagen wir die zweite Losungsstrategie ein, soerhalten wir fur s R

x 1 2s 1 4, y s.

Obwohl sich diese Formeln von den ersten unterscheiden, beschreiben siedieselbe allgemeine Losung. Zum Beispiel liefert hier s 11 2 genau dieLosung x 3, y 11 2, die wir oben fur t 3 erhalten haben. �

1.1 Lineare Gleichungssysteme 11

Ublicherweise treten lineare Gleichungen mit mehreren Variablen nicht ein-zeln auf. Kommen endlich viele Gleichungen mit den Variablen x1, x2, . . ., xnvor, so spricht man von einem linearen Gleichungssystem. Die m linearenGleichungen

a11x1 a12x2 a1nxn b1a21x1 a22x2 a2nxn b2

...am1x1 am2x2 amnxn bm

ergeben ein lineares Gleichungssystem mit n Variablen; es ist m,n N. Diebeiden Gleichungen

x1 2x2 1

3x1 2x2 11

bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten, das heißt, es istm 2 und n 2.

Eine Losung des linearen Gleichungssystems ist eine endliche Folge vonn Zahlen (n-Tupel) x1, x2, . . ., xn mit der Eigenschaft, dass jede Glei-chung erfullt ist, wenn man x1 x1, x2 x2, . . ., xn xn in das Glei-chungssystem einsetzt. Besitzt ein lineares System keine Losung, so sagtman, es ist unlosbar (inkonsistent); hat es eine Losung, so ist es losbar(konsistent). Sind die rechten Seiten des Gleichungssystems Null, das heißtb1 b2 bm 0, so heißt das System homogen. Beachten Sie, dassein homogenes Gleichungssystem stets die Losung x1 x2 xn 0hat; man nennt sie die triviale Losung.

Zwei Gleichungssysteme sind aquivalent, wenn sie dieselbe Losungsmengehaben. Das lineare System

x1 3x2 7

2x1 x2 7

hat die Losung x1 2 und x2 3. Das lineare System

8x1 3x2 7

3x1 2x2 0

10x1 2x2 14

hat ebenfalls die Losung x1 2 und x2 3. Daher sind die beiden Systemeaquivalent.

12 1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

1.2 Matrizen

Das rechteckige Zahlenschema

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

......

...ai1 ai2 ain...

......

...am1 am2 amn

mit aij R, i 1, 2, . . . ,m, j 1, 2, . . . , n heißt reelle Matrix mit mZeilen und n Spalten oder m,n -Matrix. Die reellen Zahlen aij sind dieElemente der Matrix (Matrixelemente). Statt aij schreibt man aucha i, j oder A i, j . Zum Beispiel ist

1 2 27 3 π

eine Matrix mit 2 Zeilen, 3 Spalten und insgesamt 2 3 6 Elementen. Esist a11 1, a12 2, a13 2, a21 7, a22 3 und a23 π.

Die Matrixelemente aij sind in diesem Buch fast immer reelle Zahlen, al-so aij R. Gelegentlich ist es jedoch erforderlich, fur die Matrixelementeauch Funktionsterme oder andere mathematische Objekte zuzulassen. Ei-ne Matrix muss nicht mithilfe des undefinierten Begriffes des

”rechteckigen

Schemas“ eingefuhrt werden. Man kann sie vielmehr wie folgt auf bekannteObjekte zuruckfuhren: Eine reelle Matrix A aij ist eine Abbildung von1, 2, . . . ,m 1, 2, . . . , n nach R. Jedem Paar i, j mit i 1, 2, . . . ,m undj 1, 2, . . . , n wird die reelle Zahl aij zugeordnet.

Ein lineares Gleichungssystem mitmGleichungen und nUnbekannten konnenwir als Matrix in der Form

a11 a12 a1n b1a21 a22 a2n b2...

......

......

ai1 ai2 ain bi...

......

......

am1 am2 amn bm

oder

a11 a12 a1n b1a21 a22 a2n b2...

......

......

ai1 ai2 ain bi...

......

......

am1 am2 amn bm

1.3 Elementare Umformungen und Zeilenstufenformen 13

schreiben, wenn wir uns merken, dass die Matrixelemente in der j-ten Spaltemit der Variablen xj zu multiplizieren sind, zwischen zwei Spalten ein Pluszei-chen und zwischen der vorletzten und letzten Spalte ein Gleichheitszeichen

steht. Wir nennen diese Matrix die erweiterte Koeffizientenmatrix deslinearen Gleichungssystems. Erweitert deshalb, weil die rechte Seite desGleichungssystems mit in die Matrix aufgenommen wird. Ist dies nicht derFall, so spricht man nur von der Koeffizientenmatrix des linearen Systems.Zum Beispiel hat das lineare Gleichungssystem

x1 x2 2x3 9

2x1 4x2 3x3 1

3x1 6x2 5x3 0

die erweiterte Koeffizientenmatrix

1 1 2 92 4 3 13 6 5 0

oder1 1 2 92 4 3 13 6 5 0

.

Mithilfe von Matrizen konnen wir lineare Gleichungssysteme ubersichtlichund kompakt schreiben und behandeln.

1.3 Elementare Umformungen und Zeilenstufenformen

Wir entwickeln nun ein Losungsverfahren fur lineare Gleichungssysteme. Diegrundlegende Idee dieses Verfahrens besteht darin, das gegebene System inein aquivalentes System zu bringen, das einfacher gelost werden kann. Syste-me, die einfach zu losen sind, sind zum Beispiel Systeme in

”Diagonalform“,

”Dreiecksform“ oder

”Orthogonalform“.

Unter einer elementaren Gleichungsumformung versteht man eine derfolgenden drei grundlegenden Operationen:

Vertauschen von zwei Gleichungen,

Multiplikation einer Gleichung mit einer von Null verschiedenen Konstan-ten,

Addition eines Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen Gleichung.

Die elementaren Gleichungsumformungen gestatten uns den folgenden Satz.

6 Der Euklidische Vektorraum Rn

In einem Vektorraum V sind Lange, Winkel und Orthogonalitat von Vekto-ren (zunachst) nicht definiert. Dies gilt insbesondere auch fur den Vektor-raum V Rn. Wir betrachten in diesem Kapitel nur den Vektorraum Rn

und definieren auf diesem eine zusatzliche Struktur, namlich das naturlicheSkalarprodukt. Dadurch ist es moglich, die Lange eines Vektors, den Winkelzwischen zwei Vektoren und den Begriff Orthogonalitat fur Vektoren in Rn

zu erklaren. Damit konnen wir vielfach vereinfachend rechnen, weil wir zumBeispiel orthogonale und orthonormale Basisvektoren zur Verfugung haben.

Es sind u u1, u2, . . . , un und v v1, v2, . . . , vn Vektoren im Rn. Dasnaturliche (gewohnliche, ubliche, kanonische) Skalarprodukt u vim Rn ist definiert durch

u v u1v1 u2v2 unvn.

Fur n 2 und n 3 kennen wir dies schon aus Kapitel 2. Das naturliche Ska-larprodukt wird auch Standardskalarprodukt genannt (Das Wort naturlichlassen wir im Folgenden auch weg).

Beispiel 6.1 Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren u 1, 2, 3, 7und v 5, 4, 7, 0 im Vektorraum R4.

Losung : Nach Definition ist

u v 1 5 2 4 3 7 7 0 18. �

Im folgenden Satz sind die vier wichtigsten Rechenregeln des Skalarprodukteszusammengefasst, siehe Satz 2.10.

Satz 6.1 (Rechenregeln des Skalarproduktes im Rn) Es sind u, v undw Vektoren im Rn und c ein Skalar. Dann gilt:

(a) Kommutativitat, Symmetrie: u v v u.

(b) Distributivitat: u v w u v u w.

(c) Assoziativitat: c u v cu v u cv .

(d) Positive Definitheit: v v 0 fur v o und v v 0 fur v o.

143

Schreiben wir die Vektoren u und v aus Rn als Spaltenmatrizen und lassen(wie ublich) die Klammern der 1, 1 -Matrizen (Skalare) weg, so ist nach derDefinition der Matrizenmultiplikation

uTv u1 u2 un

v1v2...vn

u1v1 u2v2 unvn u v,

womit wir bewiesen haben, dass fur das Skalarprodukt zweier Vektoren uund v im Rn gilt

uTv u v.

In Worten: Das Skalarprodukt in Rn kann als Matrizenmultiplikation aufge-fasst werden; Zeilenmatrix mal Spaltenmatrix.

Ein Euklidischer Vektorraum ist ein reeller Vektorraum, auf dem ein Ska-larprodukt definiert ist. Es gibt viele Euklidische Vektorraume (siehe zumBeispiel [9]), der Rn mit dem naturlichen Skalarprodukt ist der wichtigste.Wir betrachten nur den Euklidischen Vektorraum Rn mit dem naturlichenSkalarpordukt. Auch wenn sich die Vektoren fur n 4 nicht mehr zeichnenlassen, so konnen wir dann dennoch von Lange und Orthogonalitat sprechen,nachdem wir die entsprechenden Konzepte von n 2, 3 auf beliebiges n Nubertragen haben.

Wir definieren die Euklidische Lange (Euklidische Norm, Betrag) einesVektors v im Rn durch

v v v v21 v22 v2n.

Beispiel 6.2 Berechnen Sie die Lange des Vektors v 1, 2, 0, 1 .

Losung : Es ist

v v21 v22 v23 v24 12 22 02 1 2 6 2.45

die Lange von v. �

Zwei Vektoren u und v im Euklidischen Vektorraum Rn heißen orthogonal(senkrecht), wenn u v 0 ist. Man schreibt dann u v.

Beispiel 6.3 Zeigen Sie, dass die beiden Vektoren u 2, 3, 1, 4 undv 1, 2, 0, 1 im Raum R4 orthogonal sind (senkrecht aufeinander stehen).

144 6 Der Euklidische Vektorraum Rn

Losung : Es ist

u v 2, 3, 1, 4 1, 2, 0, 1 2 1 3 2 1 0 4 1 0,

also sind die beiden Vektoren orthogonal; es ist also u v. �

Sind u und v zwei zueinander orthogonale Vektoren im Rn, so gilt wegen

u v 2 u v u v u 2 2u v v 2 u 2 v 2

der Satz des Pythagoras auch im Rn.

Satz 6.2 (Satz des Pythagoras im Rn) Zwei Vektoren u, v aus Rn sindgenau dann zueinander orthogonal, wenn gilt

u v 2 u 2 v 2.

Zwei orthogonale Vektoren u und v im Raum Rn heißen orthonormal, wennsie beide die Lange 1 haben.

Orthonormale Vektoren stehen also senkrecht aufeinander und sind Einheits-vektoren. Im Raum Rn sind die naturlichen Basisvektoren e1, e2, . . ., enorthonormale Vektoren.

Gegeben ist ein Vektor u Rn. Dieser soll orthogonal auf die eindimensionalelineare Hulle Lin a projiziert werden (o a Rn). Dieses Problem habenwir bereits in Kapitel 2 fur Vektoren aus R2 und R3 gelost, siehe Satz 2.11 undBild 2.17. Wie lautet der orthogonale Projektionsvektor ProjLin a u ? Dergesuchte Vektor muss ein Vielfaches von a sein, also ist ProjLin a u kafur eine reelle Zahl k. Nun sind die Vektoren u ProjLin a u u kaund a orthogonal, also gilt a u ka 0 und mit den Rechenregeln ausSatz 6.1 k a u a a . Somit ist

ProjLin a ua u

a aa

a u

a 2a

der orthogonale Projektionsvektor von u auf Lin a oder auf a in Rn.

Beispiel 6.4 Berechnen Sie im Raum R4 den orthogonalen Projektionsvek-tor von u 2, 3, 3, 1 auf Lin e1 mit e1 1, 0, 0, 0 und auf Lin e2 mite2 0, 1, 0, 0 .

Losung : Es ist

ProjLin e1u

e1 u

e1 e1e1

2

11, 0, 0, 0 2, 0, 0, 0 .

Analog ist ProjLin e2u 0, 3, 0, 0 . �

6.1 Orthogonal- und Orthonormalbasen 145

6.1 Orthogonal- und Orthonormalbasen

Gewohnlich kann man zur Losung eines Problems der Vektorrechnung ir-gendeine Basis des zugrunde liegenden Vektorraumes wahlen, die der Aufga-be angemessen erscheint. Basen, deren Vektoren zueinander orthogonal (odersogar orthonormal) sind, erleichtern die Rechnungen oft erheblich. Außerdemtragen orthonormale Basen zur Stabilisierung bei numerischen Algorithmenbei.

Eine Menge von Vektoren im Vektorraum Rn heißt orthogonale Menge(Orthogonalsystem), wenn ihre Elemente paarweise orthogonal sind (DieMenge darf nicht leer sein und der Nullvektor darf nicht dazu gehoren). Habensie außerdem die Lange 1, so heißt die Menge orthonormal (Orthonormal-system).

Beispiel 6.5 Zeigen Sie, dass die Menge der Vektoren v1 0, 1, 0, 0 ,v2 1, 0, 1, 0 , v3 1, 0, 1, 0 und v4 0, 0, 0, 1 im Vektorraum R4

orthogonal ist.

Losung : Vektoren sind orthogonal, wenn das Skalarprodukt Null ist:

v1 v2 v1 v3 v1 v4 v2 v3 v2 v4 v3 v4 0. �

Fur jeden vom Nullvektor verschiedenen Vektor v gilt

v

v

1

vv

1

vv

1

vv 1,

also hat der Vektor v v die Lange (Norm) 1. Wir haben so den Vektorv normalisiert (normiert), indem wir ihn mit dem Kehrwert seiner Langemultipliziert haben. Auf diese Art erhalten wir aus einer orthogonalen Mengeeine orthonormale Menge.

Beispiel 6.6 Normalisieren Sie die vier Vektoren v1 0, 1, 0, 0 , v2

1, 0, 1, 0 , v3 1, 0, 1, 0 , v4 0, 0, 0, 1 aus Beispiel 6.5.

Losung : Fur die Vektoren gilt: v1 1, v2 2, v3 2, v4 1.Also ergeben sich die normalisierten Vektoren zu

q1

1

v1v1 0, 1, 0, 0 , q2

1

v2v2 1 2, 0, 1 2, 0

und

q3

1

v3v3 1 2, 0, 1 2, 0 , q4

1

v4v4 0, 0, 0, 1

Die Menge q1, q2, q3, q4 ist eine orthonormale Menge in R4. �

146 6 Der Euklidische Vektorraum Rn

Eine Basis aus Rn, die aus orthonormalen Vektoren besteht, heißt Orthonor-malbasis (orthonormale Basis). Sind die Basisvektoren nur orthogonal,so spricht man von einer Orthogonalbasis (orthogonalen Basis).

Beispiel 6.7 Bilden die Vektoren e1 1, 0, 0, 0 , e2 0, 1, 0, 0 , e30, 0, 1, 0 und e4 0, 0, 0, 1 eine orthonormale Basis?

Losung : Ja! Die Vektoren bilden eine Basis von R4, stehen paarweise senk-recht aufeinander und haben alle die Lange 1. �

Allgemein bilden die Vektoren e1 1, 0, . . . , 0 , e2 0, 1, . . . , 0 usw.en 0, 0, . . . , 1 eine Orthonormalbasis im Vektorraum Rn. In Worten: Dienaturliche Basis des Raumes Rn ist eine Orthonormalbasis.

Satz 6.3 Eine Menge von orthogonalen Vektoren in Rn ist stets auchlinear unabhangig.

Beweis: Wir nehmen an, U u1,u2, . . . ,ur ist eine orthogonale Menge inRn. Wir zeigen, dass aus der Gleichung

c1u1 c2u2 crur o

c1 c2 . . . cr 0 folgt. Zunachst gilt fur jeden Vektor ui U : c1u1

c2u2 crur ui o ui 0 oder c1u1 ui c2u2 ui crur ui 0. DaU eine orthogonale Menge ist, gilt uj ui 0 fur i j, also bleibt von allenSummanden nur noch einer ubrig. Also ist ciui ui 0. Nach Voraussetzungist ui o und damit ui ui 0, woraus wir ci 0 fur alle i 1, 2, . . . , rerhalten. Somit ist die orthogonale Menge U linear unabhangig.

Die Koordinaten eines Vektors in einer Orthonormalbasis

Liegt eine orthonormale Basis in Rn vor, so lasst sich jeder Vektor besonderseinfach als Linearkombination dieser orthonormalen Basisvektoren darstellen.

Satz 6.4 (Fourier-Entwicklung) Es ist q1, q2, . . . , qn eine Orthonor-malbasis von Rn. Dann gilt fur jeden Vektor v aus Rn

v c1q1 c2q2 cnqn

wobei die Koeffizienten ci der Linearkombination auf folgende Weiseleicht berechnet werden konnen: ci vTqi fur i 1, 2, . . . , n.

Sachwortverzeichnis

Alle fett gedruckten Seitenzahlen sind Referenzen auf die Definition des jeweiligen Be-griffs. Demgegenuber geben normal gedruckte Seitenzahlen die Seiten der Verwendung desjeweiligen Begriffs wieder.

Abbildungidentische, 138lineare, 132, 133

Additionvon Vektoren, 50, 53

aquivalente Gleichungssysteme, 11außeres Produkt, 72allgemeine Losung

eines Gleichungssystems, 10, 114Analytische Geometrie, 80, 91Arbeit, 63arithmetische Vektoren, 53, 55arithmetischer Mittelwert, 135Aufvektor, 80

Basis, 110, 110, 112, 114, 145, 147, 166,183, 186, 201

naturliche, 111, 111orthogonale, 146orthonormale, 146

Basiswechsel, 188Berechnung

spaltenweise, 35zeilenweise, 35

Betrag, 59, 143eines Vektors, 59, 143Euklidischer, 143

Bildraum, 128Blockmatrix, 31

charakteristische Gleichung, 172charakteristisches Polynom, 172Cramersche Regel, 166

darstellende Matrix, 136Darstellungsmatrix, 136

naturliche, 136Determinante, 158–162, 162, 163, 166,

168, 172, 188einer 2, 2 -Matrix, 158

einer 3, 3 -Matrix, 160einer n, n -Matrix, 162

diagonalisierbare Matrix, 178Diagonalmatrix, 24, 25, 174, 180, 185Diagonalmatrizen, 174Differenzengleichung, 102Differenzialgleichung, 102Differenzialoperatoren, 189Dimension, 97, 112direkte orthogonale Summe, 152direkte Summe, 127, 127diskretes Signal, 140Drehung, 135, 139Dreiecksmatrix, 25, 174Dreiecksmatrizen, 174Dreiecksungleichung, 134Dupel, 53dyadisches Produkt, 31, 77, 187

Ebenengleichungin Parameterform, 85

Eigenfunktion, 189Eigenpaar, 170Eigenraum, 175Eigensysteme, 119Eigenvektoren, 22, 119, 170, 172–180, 186,

189Eigenvektorenmatrix, 178, 180, 181, 186,

187Eigenwert, 22, 119, 170, 170, 171–176,

180Eigenwertaufgabe, 173, 174, 188Eigenwertmatrix, 180Einheitsmatrix, 25, 182Einheitsvektor, 61

kanonischer, 61naturlicher, 61

elementare Gleichungsumformung, 13elementare Zeilenumformung, 14, 118endlich dimensionaler Vektorraum, 112

Sachwortverzeichnis 205

endliche Folge, 10, 11Erzeugendensystem, 105Euklidische Lange, 143Euklidische Norm, 143Euklidischer Vektorraum, 143

Falksches Schema, 28Filter, 96

linearer, 139Folge

endliche, 10, 11Fourier-Entwicklung, 147Fourier-Koeffizient, 147freie Variablen, 16, 124fuhrende Eins, 14, 124fuhrende Variablen, 16, 124Fundamentalraume, 106Fundamentalsatz der Algebra, 172Funktion

lineare, 132, 133reelle, 132

Gauß-Jordan-Verfahren, 16Gauß-Verfahren, 17Gegenvektor, 50, 94Geometrie, 72, 77, 91geometrischer Vektor, 49, 97geordnete Paare, 53Geradengleichung

in Parameterform, 81gerichtete Strecke, 48Gestaltgleichheit, 58gewohnliches Skalarprodukt, 142gleiche Vektoren, 50Gleichheit

strukturelle, 56Gleichung

charakteristische, 172lineare, 10

Gleichungssystembestimmtes, 22homogenes, 11inhomogenes, 11inkonsistentes, 11konsistentes, 11losbares, 11lineares, 11quadratisches, 22uberbestimmtes, 22unlosbares, 11

unterbestimmtes, 22Gleichungssysteme

aquivalente, 11Gleichungsumformung

elementare, 13Große

gerichtete, 48skalare, 48, 63vektorielle, 48

Hauptachsentransformation, 188Hauptdiagonale, 24Hauptdiagonalelemente, 164, 174Hilbert-Schmidt-Probleme, 189Hintereinanderausfuhrung, 50, 50Homomorphismus, 133

idempotente Matrix, 44identische Abbildung, 138inkonsistentes Gleichungssystem, 11Integraloperatoren, 189Inverse, 40inverse Matrix, 40invertierbare Matrix, 40Isomorphismus, 58, 133

kanonische Basis, 111kanonische Darstellungsmatrix, 136kanonischer Einheitsvektor, 61kartesische Koordinaten, 71, 147kartesisches Produkt, 53, 54Kehrmatrix, 40Kern, 128Koeffizienten

einer linearen Gleichung, 10einer Linearkombination, 103

Koeffizientenmatrix, 13, 101eines linearen Systems, 13erweiterte, 13

Kombinationlineare, 102

komplexe Zahlen, 94komplexer Vektorraum, 94Komponenten, 72

eines Vektors, 72Komponentenform, 71konsistentes Gleichungssystem, 11Koordinaten, 53

eines Vektors, 71, 72kartesische, 71

206 Sachwortverzeichnis

Koordinatendarstellungeiner Ebene, 86einer Geraden, 82

Koordinatenformeiner Ebene, 86einer Geraden, 82

Koordinatengleichung, 87Koordinatenursprung, 104, 115Koordinatenvektor, 147, 148Kosinussatz, 64Kreuzmenge, 53, 54Kreuzprodukt, 72, 73–75, 77

Lange, 49, 59eines Vektors, 143Euklidische, 143

linear abhangig, 109linear unabhangig, 109lineare Abbildung, 132, 133lineare Filter, 139lineare Funktion, 132, 133lineare Gleichungen, 10lineare Hulle, 103, 104lineare Kombination, 102lineare Transformation, 133, 138linearer Operator, 133linearer reeller Raum, 22, 93lineares Gleichungssystem, 11, 39, 86Linearkombination

von Matrizen, 28von Vektoren, 102

losbares Gleichungssystem, 11Losung

allgemeine, 114eines linearen Gleichungssystems, 11,

114linearer Gleichungen, 10, 114

Losungsraum, 115, 119, 121

Massenpunkt, 63Matlab, 78Matrix, 12

Diagonal-, 24diagonalisierbare, 178Einheits-, 25idempotente, 44inverse, 40invertierbare, 40Null-, 24obere Dreiecks-, 25

orthogonale, 182quadratische, 24regulare, 40symmetrische, 25, 175, 185transponierte, 23untere Dreiecks-, 25

Matrixelemente, 12Matrixfaktorisierung, 188Matrixprodukt

skalares, 27Matrizen

gleiche, 26ungleiche, 26

Matrizenaddition, 26Matrizengleichung, 36, 178Matrizenprodukt, 66Matrizensubtraktion, 27Menge von Vektoren, 145

orthogonale, 145orthonormale, 145

Mengenprodukt, 54Merkregel von Sarrus, 161Mittelwert

arithmetischer, 135Modalmatrix, 178Multiplikation

skalare, 94Multiplikation mit Skalaren, 52Multiplikation Skalar mit Vektor, 54Multiplikation von Matrizen, 28

naturliche Basis, 111, 111naturliche Darstellungsmatrix, 136naturlicher Einheitsvektor, 61naturliches Skalarprodukt, 142negativer Vektor, 50, 94Norm, 59

eines Vektors, 59, 143Euklidische, 143

Normalenformeiner Ebenengleichung, 87einer Geradengleichung, 84

Normalenvektor, 89Normalenvektor der Ebene, 87Normalenvektor der Geraden, 84normalisierter Vektor, 145Normieren eines Vektors, 61normierter Vektor, 61, 145Nullabbildung, 137Nullmatrix, 24, 36

Sachwortverzeichnis 207

Nullraum, 101, 102, 106, 115–119, 121,123–126, 128, 166, 175

Nullraumbasis, 119, 121Nullunterraum, 101Nullvektor, 50, 94

der Translationen, 50der Verschiebungen, 50

Nullvektorraum, 100numerisch stabil, 184

obere Dreiecksmatrix, 25Operator

linearer, 133Orthogonalbasis, 146, 147, 149orthogonale Basis, 146orthogonale direkte Summe, 152orthogonale Matrix, 182orthogonale Menge, 145orthogonale Projektion, 135, 138, 139,

190orthogonale Projektionsmatrix, 44orthogonale Teilmenge, 151orthogonaler Projektionsvektor, 68, 144orthogonales Komplement, 153Orthogonalisierungsverfahren, 149

nach Gram-Schmidt, 149Orthogonalprojektion, 68Orthogonalraum, 151, 151, 152, 153Orthogonalsystem, 145Orthonormalbasis, 146, 186, 199orthonormale Basis, 146orthonormale Menge, 145orthonormale Vektoren, 144Orthonormalisierungsverfahren, 150

nach Gram-Schmidt, 150Orthonormalsystem, 145

Parallelogramm, 51, 73, 164Parallelogrammregel, 51Parallelotop, 164parameterfreie Ebenengleichung, 88parameterfreie Geradengleichung, 84Parametergleichung, 82, 86, 87

einer Ebene, 85einer Geraden, 81

Pfeile, 48Polynom

charakteristisches, 172Produkt

dyadisches, 31, 77

kartesisches, 53, 54Skalar mit Vektor, 54skalares Matrix-, 27

Produkt von Matrizen, 28Produktmenge, 53, 54Projektionsmatrix

orthogonale, 44Projektionsvektor

orthogonaler, 68, 144Punkt-Normalenform

einer Ebenengleichung, 87

quadratische Matrix der Ordnung n, 24

Randwertaufgaben, 189Rang, 124Rechenregeln, 48rechte Seite

einer linearen Gleichung, 10Rechtssystem, 74, 75reduzierte Staffelform, 45reduzierte Treppenform, 45reduzierte Zeilenstufenform, 15, 22reelle Funktion, 132reelle Matrix, 12reeller linearer Raum, 93reeller Vektorraum, 22, 93regulare Matrix, 40Reprasentant, 49

eines Vektors, 49Richtungsvektor, 80, 82, 193Ruckwartssubstitution, 17, 19

Sarrussche Merkregel, 161Satz des Pythagoras im Rn, 144Schema nach Falk, 28Signal, 96

diskretes, 140Signalverarbeitung, 96Skalare, 23, 94skalare Multiplikation, 52, 54, 55, 94skalares Matrixprodukt, 27skalares Produkt, 54skalares Vektorenprodukt, 62, 64skalares Vielfaches, 51Skalarmultiplikation, 52, 94Skalarprodukt, 62, 71–73, 77, 142, 184

gewohnliches, 142naturliches, 142

Spaltenbild, 117

208 Sachwortverzeichnis

Spaltenmatrix, 23Spaltenraum, 105, 105, 106–108, 117, 118,

124–126, 128spaltenweise Berechnung, 35Spannvektoren, 85Spat, 164Spektraldarstellung, 187Spektraltheorie, 189Spiegelungen, 138Stutzvektor der Ebene, 85Stutzvektor der Geraden, 80Staffelform, 45Standardbasis, 111, 111Standarddarstellungsmatrix, 136Standardmatrix, 136Standardskalarprodukt, 142strukturelle Gleichheit, 56Strukturgleichheit, 56, 58, 59, 133Sturm-Liouville-Probleme, 189Summe, 53, 126

direkte, 127einer Matrix, 26orthogonale, 152von Vektoren, 55

symmetrische Matrix, 25, 175, 185

Teilmengeorthogonale, 151

Tensorprodukt, 31Transformation, 138

lineare, 133, 138Translationen, 48transponierte Matrix, 23Treppenform, 45triviale Losung, 11

universell losbar, 108unlosbares Gleichungssystem, 11untere Dreiecksmatrix, 25Untermatrizen, 31Unterraum, 98, 104–106, 115, 175, 187

aufgespannter, 105erzeugter, 105

Untervektorraum, 98

Variablenfuhrende, 16freie, 16

Vektorarithmetischer, 53, 55

geometrischer, 49, 97negativer, 50, 94normalisierter, 145normierter, 59, 145

Vektoren, 48, 93gleiche, 50orthogonale, 67, 143orthonormale, 144senkrechte, 67, 143

Vektorenaddition, 50, 51, 53, 94Vektorenprodukt, 63–65, 72

außeres, 72skalares, 62vektorielles, 72

Vektorgeometrie, 80Vektorgleichung, 82, 109, 172, 173, 193vektorielles Vektorenprodukt, 72Vektorraum, 22, 45, 132, 143, 170

endlich dimensionaler, 112Euklidischer, 143reeller, 22, 93

Vektorraumhomomorphismus, 133Vektorsubtraktion, 51, 54Verfahren

nach Gauß, 17nach Gauß-Jordan, 16

Verschiebungen, 48vier Fundamentalraume, 106

Winkel, 61zwischen Vektoren, 61

Zahlentripel, 54Zeilenbild, 117Zeilenmatrix, 23, 66Zeilenraum, 105, 105, 106, 118, 119, 122–

125Zeilenraumbasis, 119, 121, 122Zeilenstufenform, 14, 14, 15–22, 45, 46,

123normierte, 15reduzierte, 15

Zeilenstufenmatrix, 122zeilenweise Berechnung, 35