Kevin Schellkes und Christian ... - math.uni-wuppertal.deruediger/pages/lehre/ss11/risikomanagement... · Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas Kevin Schellkes und Christian Hendricks

Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas

Kevin Schellkes und Christian Hendricks29.08.2011

Inhalt

� Der herkömmliche Ansatz zur Simulation logarithmischer Renditen

� Ansatz zur Simulation mit Copulas

� Test und Vergleich der beiden Verfahren

� Fazit


Korrelationsansatz

� Geometrische Brownsche Bewegung


für � � 1,… , �Aktien im Zeitraum 0 �und Wiener Prozess � ~��0, �

Korrelationsansatz

� Geometrische Brownsche Bewegung

� Mit festen Parametern


für � � 1,… , �Aktien im Zeitraum 0 �und Wiener Prozess � ~��0, �

Korrelationsansatz

� Analytische Lösung


Korrelationsansatz

� Analytische Lösung

� Darstellung der logarithmischen Rendite


Korrelationsansatz

� Analytische Lösung in Matrixschreibweise


- Aktienkurs einzelner Aktien zum Zeitpunkt t unabhängig voneinander- Entspricht nicht den Beobachtungen in der Realität !

� �

=: α =: �

Korrelationsansatz

� Abhängigkeitsstruktur mit Kovarianzmatrix


Korrelationsansatz

� Zufallsvariable � ∊ ��um logarithmische Renditen zu simulieren mit

�~��α, ∑ �� wobei

� ≔ α �∑� � ≁ ��α, ∑ �


Korrelationsansatz

� Erst Cholesky-Zerlegung von ∑ führt zum Ziel

∑ � ��

� �:� α � �� ~��α,�� bzw. ~��α,∑�


Korrelationsansatz

� Erst Cholesky-Zerlegung von ∑ führt zum Ziel

∑ � ��

� �:� α � �� ~��α,�� bzw. ~��α,∑�� wird mittels �mit � ~�� ,!� simuliert


Korrelationsansatz

� Ziel: Portfoliowert in K Tagen simulieren

1) Transformation der Tagesrenditen auf K-Tagesrenditen

2) Ermittlung der Simulationsparameter

α und ∑


Korrelationsansatz

� Zu 1)

sei γ# $ die l-te Tagesrendite der Aktie i

und X die Beobachtungsmatrix

X :=


Korrelationsansatz

� Bsp.: Sei K=3


%

:=�&

� Zu 2)

-Parameter ∑&ist die Kovarianzmatrix von �&-Parameter α&

Korrelationsansatz


� Monte-Carlo-Algorithmus

Korrelationsansatz


Inhalt




� Fazit


Copulaansatz


� Können wirklich alle Abhängigkeiten durch

die Korrelation erfasst werden?

Copulaansatz


� Gleiche Korrelation

� Gleiche Randverteilungen

� Aber unterschiedliche Abhängigkeitsstrukturen

Copulaansatz


� Gauß-Copula

- mit multivariater Normalverteilung der Dimension � mit Korrelationsmatrix '- univariate Standardnormalverteilung ɸ

Copulaansatz


� Gauß-Copula Dichte

Copulaansatz


� t-Copula

- mit multivariater t-Verteilung der Dimension � mit Korrelationsmatrix ' und νFreiheitsgraden

- univariate t-Verteilung mit ν Freiheitsgraden

Copulaansatz


� t-Copula Dichte

Copulaansatz


Numerische Tests


� Tailabhängigkeit

Numerische Tests


� Bei Gauß-Copula gilt

- Für Korrelation *+1ist λ- � λ. � 0- Extreme Ausprägungen treten unabhängig

voneinander auf

� Bei t-Copula gilt

- Für Korrelation >-1 ist λ- / 0 und λ./ 0- Extreme Ausprägungen treten tendenziell

abhängig voneinander auf

Copulaansatz


Copulaansatz


� Mit Hilfe des Satzes von Sklar kann die Simulation der Renditen aufgeteilt werden

012,…,13�45, … , 4�� 612 75 , … , 613�7��

612,…,13 75, … , 7� � 012,…,13�612 75 , … , 613�7��

Copulaansatz


Copulaansatz


Es gilt 8~0, denn: - 9~6und 9#~6# mit stetiger, monotonwachsender Randverteilung- :#~;�0,1�

Copulaansatz


- Für 6 � und6#<5 � ɸ<5 folgt die Gauß-Copula

- Für 6 �00 und 6#<5 � =<5 folgt die t-Copula

Copulaansatz


Copulaansatz


X erfüllt die gewünschte Verteilung, denn:

Copulaansatz


� Praktische Anwendung von Algorithmus 3:

� 1) Ermittlung der Randverteilungen

� 2) Wie werden die Copulaparameterermittelt?

Copulaansatz


� Zu 1)

Copulaansatz


Für die Randverteilungen einzelner Beobachtungen kann ausgenutzt werden, dass

Copulaansatz


Copulaansatz


Wir erhalten dadurch eine Matrix ; mit ;#,> � 6#,?�7#,>�

Copulaansatz


Copulaansatz


� Bei praktischer Anwendung von Algorithmus 3 bleibt

noch ein Problem offen:

- wie erfolgt die Auswertung von 6#<5 8# ?

Copulaansatz


� Wir kennen nur die Auswertung der Randverteilungen an den einzelnen Beobachtungen 7#,>

� 6# 7#,> � @#,> bzw. 6#<5 @#,> � 7#,>� i.A. gilt 6#<5 8# * 7#,> für alle j

Copulaansatz


� Ist die Anzahl der Datensätze groß genug

Randverteilung fast kontinuierlich

Copulaansatz


� Zu 2) Copula-Parameterschätzung

Maximum-Likelihood-Methode:

Idee: Wähle denjenigen Parameter, der auf Grund der gemachten Beobachtungen am plausibelsten erscheint

Copulaansatz


� Fasse dazu Beobachtungen als identisch verteilte und stochastisch unabhängige Zufallsvariablen auf

mit c als Dichte der Copula

Copulaansatz


� Randverteilungsparameter bereits implizit geschätzt

� Monotonie Logarithmus und Maximum von logarithmierter Dichte an gleicher Stelle

Log-Maximum-Likelihoodfunktion

Copulaansatz


� Einsetzen der beobachteten Werte

Pseudo-Log-Maximum-Likelihoodfunktion

Copulaansatz


� Praktische Anwendung bei Gauß-Copula

- Maximum des Likelihoodschätzers für Parameter P

Copulaansatz


Copulaansatz


� Praktische Anwendung bei t-Copula

- Parameter P über Beziehung zum Kendall‘schenRangkorrelationskoeffizient τ'B � sin F

G H ;- Freiheitsgrade ν mittels Log-Likelihoodschätzers

max= $�7, ν, 'B)

Copulaansatz


Copulaansatz


Inhalt




� Fazit


Numerische Tests


� In der Praxis ist VaR oft interessanter als PF-Wert

� Um ihn berechnen zu können, wird aus den einzelnen Simulationsausgängen LM> für N � 1,… , Odie Dichte approximiert

Numerische Tests


Testportfolio mit Daten vomUnternehmen

02.01.2007 bis 29.07.2011Portfoliogewicht

Dt. Telekom AG 25 %

RWE AG 25 %

BMW AG 25 %

Infineon AG 25 %

Numerische Tests


Dichte und VaR bei 100.000 Simulationen mit t-Copula für α � 0.99

Numerische Tests


VaR bei 100.000 Simulationen

Numerische Tests


� Welcher Ansatz erzielt die besseren Ergebnisse?

� Backtest:

Numerische Tests


� Gauß- oder t-Copula ?

� Nach Ergebnissen von Herrn Deuß bildet die t-Copula die Abhängigkeitstruktur besser ab

� Worauf könnte dies zurückzuführen sein?

Numerische Tests


� Untersuchung der Tail-Abhängigkeit für Aktien in unserem PF

Numerische Tests


Tailabhängigkeitsschätzer für log-Renditen der Dt. Telekom AG und RWE AG

Fazit


� Standardkorrelationansatz bildet nicht die komplette Abhängigkeitsstruktur ab

� Standardkorrelationsansatz unterschätzt das Risiko

� Copulaansatz erfasst die Abhängigkeiten besser

� t – Copula im Markt mit Tailabhängigkeit besser

geeignet als Gauß-Copula

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