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Klassifizierung der Signale
Deterministische Signalegehorchen einer Gesetzmässigkeit (z.B. mathematischer Formel)tragen keine Information (wichtige Test-, Hilfs- und Trägersignale)=> Periodische Signale=> Transiente oder nicht-periodische Signale
Stochastische Signale (Zufallssignale) Beschreibung mit statistischen Grössen (z.B. Amplitudenverteilung)tragen Information oder stellen Rauschen, Störungen dar
s(t)
t
Analoges SignalFunktion mit kontinuierlichem Definitions- und Wertebereichmeist Amplitude (U, I) in Funktion der Zeitwichtiges Hilfsmittel: Darstellung im Spektrum
NTM, 2005/10, Rur, periodische Signale, 1
Linearer Mittelwert
t
s(t)
s(t) = s(t-kT) für k=0, ±1, ±2, ...
Grundfrequenz f0 = 1/T [Hz]
Periode T
T0t
0tdts(t)T
10ALinearer Mittelwert
1
-1
T/m T
Beispiel: A0 = 2/m – 1 (z.B. m=2 => A0 = 0, m=4 => A0 = -0.5)
Mittelwertfreies Signal s(t) - A0 (z.B. durch AC-Kopplung beim KO)
Mittelwertbildung als TP-Funktion:
IA0I
(t0 beliebig)
Approximation (T=N·Δt)
1N
0nΔt)n0s(tN
10A
s(t) A0
NTM, 2005/10, Rur, periodische Signale, 2
Mittlere normierte Leistung (an 1 Ohm)
Leistung
Normierte Momentan-Leistung
p(t) = u(t) · i(t) @ R = 1 Ohm => p(t) = s2(t)
Beispiel Rechtecksignal oben: P = 1 für alle m
Beispiel:
s(t) = Spsin(2πf0t) => PT = Sp2/2 = Seff
2 = (Srms)2 => Sp=√2·Srms
Periodische Signale haben unendliche Energie (Leistung · Zeit) !
T0t
0tdt(t)2sT
1TP
NTM, 2005/10, Rur, periodische Signale, 3
Effektivwert bzw. rms-Wert (Root Mean Square) Srms = √PT
Winkelfunktionen
Die bekanntesten periodischen Signale sind die Winkelfunktionen.
(φ)t
oder s(t) = Sp·cos(2πf0t) = Sp·sin(2πf0t+π/2) s(t) = Sp·sin(2πf0t)
1
j
cos(φ)
φj·sin(φ)
ejφ = cos(φ) + j·sin(φ)
T
φ
(π/2) (3π/2)
T/2
cos(φ) = ( ejφ + e-jφ ) / 2
sin(φ) = ( ejφ - e-jφ ) / 2j
Sp
-Sp
Euler-Formeln:
NTM, 2005/10, Rur, periodische Signale, 4
Fourierreihe
Fourier (1768-1830): Jede periodische Funktion s(t) kann durch eine Summe harmonischer Schwingungen dargestellt werden:
wobei dts(t)T1A
T0t
0t0
k≥1
linearer Mittelwert, „DC-Anteil“
k≥1
„gerade“
Beispiel: periodisches, symmetrisches Rechtecksignal (m=2)
Cosinus-Amplitudenspektrum
Sinus-Amplitudenspektrum
Linienspektrum
s t A A kf t B kf tkk
k( ) cos( ) sin( )
0 01
02 2
„ungerade“
0 0 02 2 24 1 1( ) [sin( ) sin(3 ) sin(5 ) ...]3 5
f f fs t t t t
dtt)kfcos(2πs(t)T2A
T0t
0t0k
dtt)kfsin(2πs(t)T2B
T0t
0t0k
NTM, 2005/10, Rur, periodische Signale, 5
Fourierreihe (Betrag/Phase)
Betrag-/Phasen-Darstellung
Ak
Bk
Mk
φk
Zusammenhang mit Cosinus- und Sinus-Koeffizienten
M·cos(2πkf0t+φ) = M·cos(φ)·cos(2πkf0t) + M·sin(φ)·sin(2πkf0t)
Einseitiges Amplituden-/Phasen-Linienspektrum
ff0
M1
M3
ff0
φ1
φ3
3f0
3f0
2kB2
kAkM
nπ)kAkB
arctan(k
1)02cos(0)(
k ktkfkMMts
M5
5f0φ5
Beispiel Folie 2(m=2)
NTM, 2005/10, Rur, periodische Signale, 6
Fourierreihe (komplex)
Zweiseitige Betrag-/Phasen-Darstellung
Zusammenhang mit anderen Fourier-Koeffizienten
Beispiel Folie 2: zweiseitiges Linienspektrum
t
1
TT2
ff0
cks(t)
t0kfj2πe
k kcs(t)
*k-c)kBjk(A2
1kc
)arg(1200 kckkfürkckMcM
3f0
0
0
0
21 ( )t T
j kf tk
t
c s t e dtT
für k≥1
NTM, 2005/10, Rur, periodische Signale, 7
2
k1k 2
2k
M20M1k 2
2kB2
kA
20AP
kc
Leistung
AC-Leistungen
Satz von Parseval Harmonische sind orthogonal => Addition der mittleren Leistungen
DC-Leistung
Klirrfaktor Mass für Abweichung von einem reinen Sinus-SignalMass für Verzerrung bei Verarbeitung oder analoger ÜbertragungKlirrfaktor-Messgerät: Effektiv-Voltmeter mit tunable Notch-Filter
NTM, 2005/10, Rur, periodische Signale, 8
......
23
22
21
23
22
0
10
MMMMM
PPPPP
kT
T
Numerische Approximation
Approximation mit N Abtastwerten einer Periode (T=N·Δt, t0=0)
DFT
1N
0n
knN2πj
es[n]S[k] k=0, 1, …, N-1
ΔtΔtNΔtnj2π2
e1N
0nΔt)s(n
ΔtN1
kc
NTM, 2005/10, Rur, periodische Signale, 9
ck ≈ S[k] / N für k=0, 1, …, N/2Approximation
Beispiel
1
-1T=N·ΔtΔt
N Stützwerte >> N=10000; % Stützwerte pro Periode
>> s=[ones(1,N/2) (-1)*ones(1,N/2)];
>> S=fft(s)/N; % c0=S(1), c1=S(2)
>> stem(abs(S(1:20))); grid; % Plot
