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Klassische und Relativistische Me-chanik

Othmar Marti | 23. 01. 2008 | Institut für Experimentelle PhysikPhysik, Wirtschaftsphysik undLehramt Physik

Seite 2 Physik | Klassische und Relativistische Mechanik | 23. 01. 2008

Lösen von Aufgaben

am 25. 1. 2008muss leider ausfallen. Ich muss in die Kuratoriumssitzung desZAWiW


Flaschenzug

Flaschenzug: Berechnung mit virtuellen Verschiebungen.


Virtuelle BewegungVirtuell heisst, die Bewegungen müssen mit denZwangsbedingungen vereinbar sein. Das bedeutet, dass beieiner durch Führungen vorgegebenen Bahn (Wasserrutsche imSchwimmbad) alle betrachteten Bewegungen dem Weg derWasserrutsche folgen müssen. Wir betrachten zuerst einmalalle Teile des Systems als unabhängig. Die verschiedenenmöglichen Verschiebungen i sind dann durch die Koordinatenxi gegeben. Diese werden zuerst als unabhängig angesehen.Die Energieerhaltung fordert aber, dass

δE =∑ ∂E

∂xiδxi = 0

ist.Dabei ist ∂E

∂xi= 0 die Gleichgewichtsbedingung.


Kurbelwelle

Kurbelwelle und Pleuel berechnet mit virtuellenVerschiebungen.


KurbelwelleFür die virtuellen Verrückungen (Arbeit) bekommt man

F2rδϕ = F1δx1

Weiter verwenden wir die Beziehung zwischen den Grössen

l2 = x21 + r2 + 2xr cosϕ

Daraus kann x1 als Funktion von ϕ dargestellt werden.

x1 = −r cosϕ+√

l2 − r2 sinϕ

und für die virtuelle Verschiebung

δx1 = r sinϕ

1− rcosϕ√

l2 − r2 sin2 ϕ

δϕ


Kurbelwelle

Also ist die Kraft auf die Kurbelwelle

F2 = F1δx1

rδϕ= F1 sinϕ

1− rl

cosϕ√1−

( rl

)2 sin2 ϕ

Wenn r � l ist, dann ist F2 = F1 sinϕ.


Deformationen

Arten der Deformation eines deformierbaren Körpers


Elastomechanik

Allgemeine Kräfte an einem Würfel


Elastomechanik

I An jeder der 6 Flächen können

I 3 unabhängige Kräfte (2 parallel zur Fläche, eine senkrecht dazu) und

I 3 unabhängige Deformationen, die aus einer Kompression oder Dilatation sowie zwei

Scherungen bestehen.

I Da keine Netto-Kraft auf den Würfel wirken soll, müssen die Kräfte in die x-, y -, oder z-Richtung aufgegenüberliegenden Seiten gegengleich sein.

I Wir können also 3 mal 3 Kräfte spezifizieren.I Ebenso müssen die Deformationen auf gegenüberliegenden Seiten gegengleich sein.

I Wir haben also als Resultat der 3 mal 3 Kräfte 3 mal 3 Deformationen.I Kräfte und Deformationen sind jeweils 3 mal 3 Matrizen, die über einen Tensor 4. Stufe (eine 3 mal 3 mal 3

mal 3 Matrix) miteinander verbunden sind.


Elastomechanik

Formal können wir schreiben

σi , j =∑

k

∑`

Ei , j , k , `εk , ` mit i , j , k , ` = x , y , z


Elastomechanik

I Würfel soll drehmomentenfrei sein.I Drehmoment um die 3-Achse⇒ Kräftepaar auf in

2-Richtung auf der 1-Fläche oder Kräftepaar in 1-Richtungauf 2-Fläche herrühren.

I beiden Kräfte positiv⇒ kein Netto-Drehmoment um die3-Achse

I Analog bei den beiden anderen DrehachsenI Fi , j = Fj , i ⇒ F1, 1, F2, 2, F3, 3, F1, 2, F2, 3, F3, 1)

6unabhängige Kräfte.I 6 unabhängige Spannungen (σ1, 1, σ2, 2, σ3, 3, σ1, 2, σ2, 3,σ3, 1)


Elastomechanik

I Von den neun Deformationen εk , ` sind sechs unabhängigI Die Deformationen mit den gleichen Indizes bedeuten

Dehnungen und StauchungenI Die anderen sechs bedeuten Scherungen.I ε1, 2 Scherung der 1-Achse gegen die 2-Achse (Änderung

des Zwischenwinkels)I ε2, 1 Scherung der 2-Achse gegen der 1-Achse (Änderung

des Zwischenwinkels)I Dies ist aber in beiden Fällen der gleiche Winkel.I εk , ` = ε`, k für k 6= `.I sechs unabhängige Deformationen (ε1, 1, ε2, 2, ε3, 3, ε1, 2,ε2, 3, ε3, 1)


Elastomechanik

Es bleiben also noch 6 · 6 = 36 unabhängige Komponenten imTensor übrig.


ElastomechanikI kleine Deformationen εk , ` ⇒ potentielle Energie wie bei

Feder eine quadratische Funktion der DehnungenI Spannungen durch die Ableitung der Energie nach den

Deformationen berechnetI ⇒ 21 unterschiedliche Komponenten des

Elastizitätstensors

Die Deformation des allgemeinsten Materials wird durch 21 Para-meter beschrieben

Je höher die Symmetrie eines Materials ist, desto weniger unab-hängige Konstanten gibt es. Im Grenzfall des isotropen Mediumsbleiben zwei, E und G.


Dehnung und KompressionZieht man an einem Draht (Länge `, Querschnitt d undQuerschnittsfläche A = π

4 d2), dann vergrössert sich die Längeum ∆` und verringert sich (meistens) der Querschnitt um ∆d .

∆` = ε`

−∆d = µεd

Es sindI ε die relative DehnungI µ die Poisson-Zahl

Wir definieren nun die Spannung

σ =FA

dabei ist F die an der Querschnittsfläche A wirkende Kraft .


Dehnung und Kompression

Das Hookesche Gesetz verknüpft Spannung σ undDehnung ε

σ = Eε

E ist eine Materialkonstante, der Elastizitäts- oder derDehnungsmodul (im englischen Young’s Modulus genannt).Einheiten

I ε: dimensionslosI σ: N

m2

I E : Nm2


Dehnung und Kompression

δ` =1E`FA

Aus Änderung des Querschnitts und der Länge können wir dieVolumenänderung berechnen. Wir setzen an, dass V = `d2 ist

∆V = d2∆`+ 2`d∆D = V∆`

`+ 2V

∆dd

Umgeschrieben erhalten wir

∆VV

=∆`

`+ 2

∆dd

= ε− 2µε = ε(1− 2µ) =σ

E(1− 2µ)

Wir sehen, dass für positives ∆V die Poisson-Zahl derUngleichung µ ≤ 0.5 genügen muss. In speziellen fällen kann µauch grösser als 0.5 sein.Wir haben hier σ und ε als Skalare angenommen.


Scherung

Scherung eines Würfels


Verdrillung

Verdrillung. Zur Berechnung wird der Draht in koaxialeZylinder unterteilt.


Balkenbiegung

Biegebalken


AFM-Sensor

REM (Rasterelektronenmikroskop)-Bilder des Balkens a) undder Sonde b) eines AFM-Sensors (W. Noell Dissertation Ulm

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Scherung und Dehnung

Zusammenhang zwischen Scherung und Dehnung


Anelastisches Verhalten

Spannungs-Dehnungs-Kurven von Stahl und Grauguss

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