Klausur zum Wintersemester 2011-12 - ttp-schreiber.dettp-schreiber.de/Mathematik/Mathe2_LDK-Klausuren.pdfb) Klausur zum Wintersemester 2011/12 Name: Matrikel-Nr: EMail: (optionale

b)

Klausur zum Wintersemester 2011/12

Name: Matrikel-Nr: EMail: (optionale Schnell-Korrektur) Aufgabe 1 2 3 4 5 6

Punkte 12 15 18 20 15 20 Als Hilfsmittel sind die von dem Lehrbeauftragten zur Verfügung gestellten sowie eigene

Unterlagen zugelassen (Skripte und Musteraufgaben sowie deren Lösungen).

Bücher und elektronische Hilfsmittel sind nicht gestattet.

1. Gegeben sind die Menge A mit � � ��7;�6;�5;�4;�2;�1; 0; 2; 3; 6; 7; 9; 10; 12� und die Menge B der ganzen Zahlen (größer gleich -10 und kleiner gleich 10), die durch 3 oder durch 4 teilbar sind. Bestimmen Sie die Lösungen (2 mal Aufzählung und 2 mal Eigenschaften):

a) BA∩ b) BA∪ c) A\B d) B\A

2. Geben Sie für die folgenden beiden Schaltungen die zugehörigen Aussageformeln an und zeigen Sie, dass beide Ausdrücke äquivalent zueinander sind (Begründung).

3. Berechnen Sie die Lösungen der folgenden komplexen Gleichungen und geben Sie das Ergebnis in der kartesischen Form z=a+bi an. Bestimmen Sie bei Aufgabe b) zusätzlich noch den Betrag und das Argument.

a) )31(

)34(

)13(

)93(5 2

2 i

i

i

iiz

−

−−

+

+⋅= b) ( ) 912462 +=⋅−− iziz

4. Gegeben seien die beiden Ebenen 134:1 =−+ zyxe und 1122:2 =++ zyxe .

a) Im Falle der Parallelität bestimmen Sie den Abstand der Ebenen, ansonsten eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden g.

b) Liegt der Punkt ��1; 1; 1� in der Ebene �� und welchen Abstand hat er von der Ebene ��?

5. Berechnen Sie mittels inverser Matrix die Lösung der folgenden Gleichung.

−

−

=

⋅

−

−−

−−

→=⋅

10

10

5

213

143

331

3

2

1

x

x

x

bxA

6. Das folgende, lineare Gleichungssystem ist auf seine Lösungsmannigfaltigkeit zu untersuchen. Entscheiden Sie mit Hilfe der Ranguntersuchungen nach Frobenius, für welche �, � ∈ � das System

a) i) genau eine Lösung ii) unendlich viele Lösungen iii) keine Lösung besitzt.

Für den Fall ii) geben Sie die Lösungsmenge in Parameterform an!

Geschenke gibt es nicht nur zu

Weihnachten und Ostern!!!!!

I. II.

⟶ ⟶

z y x

∨

z

x

y β

α

⋅=⋅+⋅+⋅

=⋅+⋅+−

−=⋅−⋅+⋅

2572

732

634

321

321

321

xxx

xxx

xxx

∨

b)

Klausur zum Wintersemester 2012/13





1. Gegeben sind die Menge � � �1; 3; 4; 6; 7; 9; 10; 11; 12; 13; 16 und die Menge B der natürlichen Zahlen (größer 1 und kleiner 18), die durch 2 oder durch 5 teilbar sind. Bestimmen Sie die Lösungen (2 mal Aufzählung und 2 mal Eigenschaften):


2. Ist die Formel ��, �, �� = �� ∧ �� ∨ �� ∧ �� ∨ �� ∧ �� identisch zu der gegebenen

Schaltung (Begründung)? Handelt es sich im Nein-Fall um eine Folgerung?

3. Berechnen Sie die Lösungen der folgenden komplexen Gleichungen und geben Sie das Ergebnis in der kartesischen Form z=a+bi an. Bestimmen Sie für beide Aufgaben zusätzlich noch den Betrag und das Argument.

a) ( ) iziz 31322 =−⋅−+ b) ( ) ( ) ( )iiiz 434328 4+⋅−−+=⋅

4. Gegeben seien die folgenden vier Vektoren �� = �1; 3; −2; 0�� , �� = �2;−2; 0; 0�� , �� = �0;−2; 3; 1�� , �� = �−1; 9; 0; 2��

a) Bilden diese Vektoren eine Basis (Begründung)? b) Wie groß ist die maximale Dimension, die durch diese Vektoren aufgespannt

werden kann?

5. Gegeben ist die Matrix � = � 1 −2 23 � −2−2 3 � und der Vektor �� = � 6−3−10 .

a) Für welche � ∈ ℝ existiert die inverse Matrix �#$ (Begründung)?

b) Berechnen Sie für � = −3 die Lösung der Gleichung � ∙ �� = ��.

6. Das folgende, lineare Gleichungssystem ist auf seine Lösungsmannigfaltigkeit zu untersuchen. Entscheiden Sie mit Hilfe der Ranguntersuchungen nach Frobenius, für welche �, & ∈ ' das System


Für den Fall ii) geben Sie die Lösungsmenge in Parameterform an!

82

432

22

−=+⋅+⋅

−=⋅+⋅−

=⋅+⋅+

cbxa

cba

ycba

∨

↔

a b

c ∧

∧

Wenn das hier mal

kein Valentinsgeschenk für Sie ist!!!

b)

Klausur (Mathematik I) - Sommersemester 2012





1. Gegeben sind die Menge A mit � = ��25; �20; �15; �5; 0; 5; 10; 15; 20; 25; 35� und die Menge B der ganzen Zahlen (größer gleich -30 und kleiner als 42), die sowohl durch 5 als auch durch 2 teilbar sind. Bestimmen Sie die Lösungen (2 mal Aufzählung und 2 mal Eigenschaften):


2. Prüfen Sie, ob die gegebene Schaltung zu der Aussage � ∧ �� ∨ � ∧ �� ∨ �� ∧ ��

äquivalent ist (Begründung).

3. Berechnen Sie die Lösungen der folgenden komplexen Gleichungen und geben Sie das Ergebnis in der kartesischen Form z=a+bi an. Bestimmen Sie bei Aufgabe a) zusätzlich noch den Betrag und das Argument.

a) i

i

i

iz

31

515

24

10

+

+−

−= b) ( )[ ]123

20

7 433 −−⋅= iiz

4. Gegeben sind die beiden Punkte ( )TA 2;3;1 −= und ( )T

B 1;4;3 −= und die Ebene mit

532: −=+− zyxe .

a) Bestimmen Sie die Geradengleichung durch die beiden Punkte A und B und geben Sie die Parameterdarstellung der Ebene an.

b) Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene.

5. Gegeben ist die folgende Gleichung: � ⋅ �� ⟶ � 3 �5 1�4 5 �11 1 1 � ∙ �� 0�36 �

a) Bestimmen Sie den Lösungsvektor mittels der inversen Matrix. b) Verifizieren Sie ihr Ergebnis unter Verwendung der Cramer‘schen Regel.

6. Das folgende lineare Gleichungssystem ist auf seine Lösungsmannigfaltigkeit zu untersuchen. Entscheiden Sie mit Hilfe der Ranguntersuchungen nach Frobenius, für welche , � ∈ " das System


Für den Fall ii) geben Sie die Lösungsmenge in Parameterform an.

Auch Sie können sich

die Meisterschaft holen!!!!!

bxxx

xxax

xxx

=⋅+⋅+

=+⋅+⋅

−=⋅+⋅−

321

321

321

22

22

432

a b ∧

↔

c ∧

∨

Klausur (Mathematik II) - Sommersemester 2012

Name: Matrikel-Nr: EMail: (optionale Schnell-Korrektur) Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8

Punkte 10 10 12 10 10 16 12 20 Als Hilfsmittel sind die von dem Lehrbeauftragten zur Verfügung gestellten sowie eigene



1. Begründen Sie, ob es sich bei ψ um eine totale bzw. partielle Ordnungsrelation oder

um eine Äquivalenzrelation (inkl. der Äquivalenzklassen) handelt.

( ) ( ) ( ) ( ){ } ),(),,(;| 21212

22

12

22

122 yyyxxxyyxxxyx ==+=+ℜℜ∈×=ψ

2. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion den folgenden Zusammenhang.

( ) 1;132

1)23(...741 ≥−⋅⋅=−++++ nnnn

3. Bestimmen Sie den Grenzwert

+−−

−

→ 5)1(

4010lim

4 xx

x

x auf zwei Arten, mittels

a) Erweiterung durch das 3. Binom. b) Regel von L’Hospital.

4. Geben Sie zu der Funktion ( )π⋅+⋅⋅−= 5,52,0cos43)( 4 xxf

das Symmetrieverhalten,

die Periode und die Amplituden (Wertebereich) an und beweisen Ihre Ergebnisse.

5. Bestimmen Sie die Fläche, die von den beiden Funktionen ( )2212)( +⋅= xxxf

und

( )7260)( +⋅= xxxg eingeschlossen wird.

6. Die Folge na

sei rekursiv gegeben mit 2;56 11 =⋅+=+ aaa nn

für 1≥n .

Zeigen Sie:

a) Die Folge ist streng monoton wachsend oder fallend. b) Die Folge besitzt eine obere und untere Schranke. c) Die Folge ist konvergent. d) Berechnen Sie den Grenzwert.

7. Berechnen Sie die Werte (Grenzwert bzw. Partialsumme) der folgenden Reihen:

a) ∑⋅∞

=

+

3

2

!

25,0

k

k

k b) ∑

⋅

=

+4

1

3

3

281

k

k

8. Gegeben ist die Funktion ( )4 62834)( +⋅−⋅= xxxf .

a) Geben Sie den maximalen Definitions- und Wertebereich an. b) Berechnen Sie das 3. Taylorpolynom ( )5,3 xP (ohne Fehlerabschätzung) c) Bestimmen Sie zu der 1. Ableitung die Umkehrfunktion.

Sie müssen nur Mathe können

-kein spanisch-

um die Meisterschaft zu gewinnen!!

Mit einem Tripel gebe ich mich nicht zufrieden,

ich erwarte mehr von Ihnen!!!!!

( ) ( )

+−+⋅

−

→ 152(

279lim

3 xx

x

x

Klausur (Mathematik II) - Sommersemester 2013

Name: Matrikel-Nr: EMail: (optionale Schnell-Korrektur) Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8

Punkte 10 12 10 10 10 16 12 20 Als Hilfsmittel sind die von dem Lehrbeauftragten zur Verfügung gestellten sowie eigene



1. Begründen Sie, ob es sich bei ∴ um eine Ordnungs- oder um eine Äquivalenzrelation (inkl. der Äquivalenzklassen) handelt. Was wird durch die gegebene Relation beschrieben? ∴� ��; �� ∈ � |2 ∙ � � 2 ∙ � � 1�

2. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion den folgenden Zusammenhang.

( ) ( ) 101;1211 ≤≤∧≥⋅−+≤+ βββ nnn

3. Bestimmen Sie den Grenzwert auf zwei Arten, mittels

a) Erweiterung durch das 3. Binom. b) Regel von L’Hospital.

4. Wie müssen die beiden Parameter �; � ∈ � gewählt werden, damit die Funktion sowohl stetig als auch differenzierbar ist?

<+⋅+⋅

≥++⋅+⋅=

− 0;4

0;1cossin)(

xxeaeb

xbxbxaxf

xx

5. Bestimmen Sie die Fläche, die von der Funktion �� 4�� 12�� 24� � 32 und der x-Achse eingeschlossen wird.

6. Die Folge na

sei rekursiv gegeben mit ( ) 1,20;6222 111 ≥=−+⋅=−⋅ ++ naaaa nnn

.

Zeigen Sie:

a) Die Folge ist streng monoton wachsend oder fallend. b) Die Folge besitzt eine obere und untere Schranke. c) Die Folge ist konvergent. d) Berechnen Sie den Grenzwert.

7. Untersuchen Sie die gegebenen Reihen auf Konvergenz (Begründung):

a) ∑ nn

n! b) ∑

+⋅

n

n

n

9

142

8. Gegeben ist die Funktion

⋅−⋅=

−2

24

22

1)( xe

exf

x

.

a) Geben Sie den maximalen Definitions- und Wertebereich an (Begründung). b) Berechnen Sie das 4. Taylorpolynom ( )2,4 xP (ohne Fehlerabschätzung) c) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente.

GAMES ACADEMY™ Seite 1 von 4 Art der Prüfung: Schriftliche Prüfung Kurs ID und Bezeichnung: CS420 Fachdozent: Torsten Schreiber Seminargruppe: PRO 2013 FRA Datum: 12.06.2015 Gesamtpunkte: 100 Zeitrahmen: 180 Notwendige Arbeitsmittel: Stift und Papier Erlaubte Hilfsmittel: Als Hilfsmittel sind die von dem Dozenten zur Verfügung gestellten sowie eigenen Unterlagen zugelassen (Skripte und Musteraufgaben sowie deren Lösungen). Als Buch ist ausschließlich der „Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler für Dummies“ (ISBN 978-3527707447) gestattet. Jegliche elektronischen Hilfsmittel wie z.B. Taschenrechner sind nicht erlaubt. Bitte notieren Sie auf jedem Blatt Ihren Namen! Nummerieren Sie jede Zeichnung und Skizze oder Text laut Aufgabenstellung! Mit dem vorhandenen Lückentext können Sie bis zu maximal 10 mögliche Zusatzpunkte erlangen. Für jedes richtig eingetragene Wort ergibt sich somit ein Bonuspunkt. Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 Bonus Mögliche Punkte 12 10 14 14 14 12 12 12 10 Erreichte Punkte Wir wünschen viel Erfolg! Bewertungsschlüssel: Note Prozentzahl 1,0: 100% >= p >= 95% 1,3: 95% > p >= 90% 1,7: 90% > p >= 80% 2,0: 80% > p >= 75% 2,3: 75% > p >= 70% 2,7: 70% > p >= 65% 3,0: 65% > p >= 60% 3,3: 60% > p >= 55% 3,7: 55% > p >= 50% 4,0: 50% > p >= 40% 5,0: 40% > p >= 0%

GAMES ACADEMY™ Seite 2 von 4 Lückentext (Mathematik) 2015 Zwei Mengen heißen ______________, wenn die UND-Verknüpfung die leere Menge liefert. Diese Eigenschaft ist eine der Grundbedingungen für eine ______________. In der Mengenlehre ist bzgl. der ______-Verknüpfung neben der Menge selber auch Ω neutal. Für die ___________________ Darstellung einer komplexen Zahl werden der Betrag und der Winkel benötigt. Durch Multiplikation einer komplexen Zahl mit der dazugehörigen konjugiert komplexen Zahl entsteht eine ______________Zahl. Durch die Erweiterung eines Bruchs mit dem 3. Binom kann man die Wurzel aus einer Summe im ______________entfernen. Mit Hilfe des Substitutionsverfahrens kann eine ______________Gleichung gelöst werden. Steht bei einer Gleichung die gesuchte Variable im Exponenten, so benötigt man zum Lösen den ______________. Ist bei einer Parabel der Koeffizient vom �� größer als Eins, dann ist die Funktion ________. Der ______________einer Funktion kann direkt durch die x-Achse abgelesen werden. Vereinigung Exponenten Definitionsbereich kartesische Wertebereich Betrag UND einfacher disjunkt Logarithmus rationale gestaucht reelle gestreckt Nenner biquadratische ODER bijunktiv Zerlegung exponentielle

GAMES ACADEMY™ Seite 3 von 4 Aufgabe 1: Gegeben sind die Menge A der natürlichen Zahlen (größer 7 und kleiner gleich 22), die durch 2 oder 3 oder durch 5 teilbar sind und die Menge B der nicht durch zwei teilbare Zahlen im Intervall von �6; 24�. Bestimmen Sie die Lösungen (2-mal Aufzählung und 2-mal Eigenschaften): a) ∩ � b) ∪ � c) \� d) �\ Aufgabe 2: Fassen Sie die gegebenen Brüche soweit als möglich zusammen und kürzen Sie dabei maximal. a) ��

�� 2 � �

�� b) ��

��

��

Aufgabe 3: Berechnen Sie die Lösungen der folgenden komplexen Gleichungen und geben Sie das Ergebnis in der kartesischen Form z=a+bi an. Bestimmen Sie für beide Aufgaben zusätzlich noch den Betrag und das Argument. a) ( ) ( )izizz 433322 23 +⋅+−⋅= b) � � �� !

" ∙ $%3 � 2!"'� � 1� Aufgabe 4: Vereinfachen Sie die folgenden Terme und fassen Sie das Ergebnis zusammen. a) ( ) ( )k k

k k

k k

k k

x

x

x

x

−

−

−

−⋅

⋅3

4 226

2 54

43 b) ( )( )

( )2

131

2423

2352

3232

125

5

2,0

5

⋅

⋅⋅

⋅

⋅−−

−−

−− cba

cba

cba

cba

GAMES ACADEMY™ Seite 4 von 4 Aufgabe 5: Vereinfachen Sie die folgenden Terme und fassen Sie das Ergebnis zusammen. a) ( ) 5ln22,0log

210 11100

132208

1ln2001,0log100 ⋅⋅−

−⋅−+

⋅+⋅ eld

e

ld b) 2 ∙ )6 ∙ *+,√�� *+,0,51 � 0,5 ∙ *+,�� 3 ∙ *+,3 � 2 ∙ 2*+, �3 � 5 ∙ *+,√9� 5 Aufgabe 6: Berechnen Sie die zugehörigen Lösungsmengen. Achten Sie dabei auf den Definitionsbereich. a) xx +−= 832 b) ( ) ( )

48

40152

22

+=+−⋅+

xx

xxx Aufgabe 7: Geben Sie für die folgenden Ungleichungen den Lösungsbereich an. a) 32123 −≥− xx b) 14

1222

3

+≥+

++x

x

xx Aufgabe 8: Berechnen Sie den Scheitelpunkt, die Achsenschnittpunkte und beschreiben den Verlauf der Parabeln. a) 6%�' � �2�� 20� � 42 b) ,%�' � ��

� � 2� � 12

Torsten Schreiber 08.07.2009

3

Klausur zum Sommersemester 2010 Name: Matrikel-Nr: EMail: (Schnellkorrektur)

Als Hilfsmittel sind nur die von dem Lehrbeauftragten zur Verfügung gestellten Unterlagen

(Skripte und Musteraufgaben sowie deren Lösungen) zugelassen.

Handschriftliche Notizen, die nicht innerhalb des Skriptes vorgenommen wurden, wie auch

elektronische Hilfsmittel, sind nicht gestattet.

1. a) Zeigen Sie, dass für alle { }n;...1∈γ der Ausdruck γγ 272 − durch 47 teilbar ist. 5 Punkte

b) Bestimmen Sie folgenden Grenzwert :

+−

−⋅−

→ 107

)1ln(3lim

2)2( xx

x

x. 5 Punkte

c) Für welche x ist die Reihe 322

3

2

2

3

3

2+∞

=

∑

k

k

k

x konvergent? 5 Punkte

Berechnen Sie für 1−=x den Grenzwert.

2. Berechnen Sie den Wert des Integrals: ( ) ( )∫ ⋅2

0

42sin

π

dxxex . 10 Punkte

3. Die Folge { }na sei rekursiv gegeben mit 11

=a , nn aa +=+ 11 , 1≥n . 10 Punkte

a) Zeigen Sie, dass die Folge streng monoton wachsend oder fallend ist.

b) Weisen Sie nach, dass 3 eine obere Schranke ist. c) Berechnen Sie den Grenzwert, sofern er existiert.

4. Gegeben sei die Funktion ( ) ( ) ( )[ ]4 1222 −⋅−= xxf 25 Punkte

a) Bestimmen Sie den maximalen Definitions- und den zugehörigen Wertebereich von f. b) Bestimmen Sie den Monotonieverlauf von )(xf .

c) Bestimmen Sie das 3. Taylorpolynom P3(x,x0) zu 20

=x (ohne Fehlerabschätzung).

d) Bestimmen Sie für 1−fD die Umkehrfunktion f

−1.

Holen Sie sich den Analysis-Pokal!!

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Klausur zum Wintersemester 2011-12 - ttp-schreiber.dettp-schreiber.de/Mathematik/Mathe2_LDK-Klausuren.pdfb) Klausur zum Wintersemester 2011/12 Name: Matrikel-Nr: EMail: (optionale