Band 1 -____ 414 Zeitschrift ftir angewandte Mathematik und Mechanik

clementare Weg bevorzugt. (Die analytisclicn Methoden treten zuriick, dementsprechend die astronornischen und spezifisch physikalischcn Beispiele.) Da liier in erster Linie Lechiiiscli und allgeinein interessante Fragen beriihrl werden, darfte diescr Teil des Buches bc- sunders bei den 1,esern dieser Zeilschril Bc- achtung finden.

Ober die anderen Teile des Uuches inu13

ich inich als nicht spezieller Fachniann nalur- gem55 zuriickhaltender aussprechen. Icli glau- be aber sagen zu BBnnen, daO die ftir den Ail-

f h g e r wichtigsten Lehren iiberall beriicksich- tigt und daB d i e Aufgaben gewIhlt sind, die sowolil den cigentlichen Physiker wic aucli den Xngenieur inlercssieren. Im Ganzcn flilll das Bucli ciiie Liiclic aus und is1 willkoninicii

Hanic.1. 63.

KLEINE MITTEILUNGEN Mireellen zur polinrchen Arifhmenk.

1. D i e G r u n d g l e i c h u n g d e r Z i n s e s z i n e - r e c h n u n g . Die allgemeine - auf konti- nuierliche Verzinsung aufgebaute - Zinses- einsrechnung verwertet fur ihre Grundglei- chung den verallgemeinerten Potenzbegriff und inacht lieinen Untorschied zwischeii den FIlleii der ganzzahligen und der nichtganz- zahligen Perioden. Neben dieser sog. exponen- tiellen Auffassung verwendet die in der Praxis meistens iibliche Bog. kommerzielle Rechnungs- weise die einfache Zinsrechnung ftir die Uruchteilperioden. Diese letzte Methode kann als eine erste Approximation des allgemeinen Verfahrens angesehen werden und hat den Vorteil, daB fur sie die sog. Zinseszinstabellen direkt angewendet werden konnen.

Mit den theoretisohen und numerischen Fol- gen dieser Gegeniiberstellung hat sich die Literatur der politischen Arithmetik des ofteren beschiiftigt. I) Wir zeigen i m folgenden, da5 die Diskussion in elemeiitarer Weise ge- schehen kann, wenn wir das Problem als eine M i t t e l w e r t i n t e r p o l a t i o n deuteii, wid daW alle Entscheidung von der Auswahl des be- trefbnden Mittelwertes abhbigt. Demnach braucht dann kein Streit uber die Berechtigung der beiden Auffassungsweisen gefiihrt zu werden nnd auch die bekannten Vergleichsforlneln folgen ohne die in der Literatur vorzukndenden recht weitlllufigen Ansittze, &us dem einfachun Lagengesetz der Mittelwerte.

Wir betrachten die Zinsfunktioii f(.c) an einer Zwischeiistelle cles ganzzahligeii Inter- valles n, n+ 1.

f ( n ) = a und f ( n + l ) = b und gesucht f (n + z), wobei z < 1.

Die einfachsten Mittdwertinterpolntions- formeln 2, sind die folgenden :

a) A r i t 8 h m e t i s c h e ( l i n e a r e ) I n t e r p o l a - t i o n :

f i (n tz) = a + z (6-n) = (1 - z ) n + z b (gewogener arithmetischer Mittelwert der ge- gebcnen Endwerte).

Es sei grgeben

'1 S. meinen Aufeatz in der Oesterreichiwhen Handelswhulreitung V (1913) und K i n g : The theory otbfinanoe I. 16

2, S. den Aufsate ron L a n d r d im Assekurane- dahrbuoh (Ehrensaeig) XXIV (1903).

1 ~ ) H a r ui o n i s o h u (1, y p c r b 1 i s c h e ) I n - t e r u o l a t i o n :

-+- a b

(gewogeiier harinonischer Mittolwert).

t e r p o 1 a t i o ii :

(gewogeiier geometrischer Mittelwert). Diese Mittelwerte ergeben fiir den Wert

z = '/a die einfachen Mittel. Es gilt das Lagengesetz :

c) G e o IU e t r i s c h e ( e x p o II e n t i e 1 la) I n -

f3 (n + s) f= al-' b*

fiCfJCf1. Es ist uun leiclit zu aeigen, duld ini Fallo

a) der kommereiellen Methode, dekursiv gerechnet, eine arithmetische lnterpo- lation,

b) dcr komnierziellen Methode, anticipativ gerechnet, eine harinonischu Interpo- lation,

c) der exponentiellen Methode, dekursiv gerechnet, eine geometrische Interpo- lation,

d) der exponentiellen Methode, anticipativ gerechnet, eine geoinetrische Interpo- lation

erlolgt.

13eweih: E b sui f (4 - a = ; -

und p tler aui die Einheit bezogene dekursive, q der gleichwcrtige anticipative Zinsfuf5 (wo- bei bekanntlich y = L), Dann ist:

1 + P deknrsiv gerechnet: a = 1, b = 1 + p (dekur-

giver Zinsfaktor),

nnticipativ gerechnet: a = 1 , 6 = -- (anti-

cipativer Zinsfaktor).

1 1- -P

Wir erhalten in den vier Fallen: a) f1 (?I+&= 1 - z + z (1 -tp) = 1 + p z

1

Kleine Mitteiluneen 416

Es ist weiterhin: c) <a) und d) > b), aus dem Lagengesetz folgend. Rei gleichwertigen ZinsPiiBen liefort a) den groBten und b) deli kleinsten Effekt.

In der politischen Arithmetik verfiigt man neben tler 1. Talwlle (Potenzen der Zinsfak- toren) auch iiber die reciproke TI. Tabelle.

nritlunietischm geonietrischen

Einer - Interpolation in der reci-

harmonische eeonietrische proken Tabelle eiitHpricht eine ___- v

Interpolation in der I. Tabelle. In dieser Weise ist eiitmeder eine geometrische Inter- polation zu empfehlen oder inan nimuit zweck- mlDig den oinfachen arithmetischen Mittel- wert nus den beiden arithmetisch interpolier- ten Werten der Tabelle I resp. 11.

Wir haben bisher den Fall der Aufziiisung betrachtet. Bei der Diskontierung treten die reciproken Werte oes Aufzinsungsfaktora ein, 80 daD an Stelle des arithmetischen Mittel- wertes der harmonische zu nehmen und der Sinn der obigen Ungleichungen zu tlndern ist.')

2. D i e Mosersche Z i n s f o r m e l . In den autographierten Berner Vorlesungen von Uhr. Moser findet man far die einfache Zins- rechnung die folgende korrigierte Formel:

die als eine parabolische Interpolation gelten kann.9 Diese Formel gehbrt nicht dem oben betrachteten Mittelwerttypus an und ist nicht einwandfrei, da das Anfangsglierl dekursiv, das Korrektionsglied aber anti- cipativ angesetzt wird. Das Zusatzglied soll den einfachen Zins des aufgeeinsten Wertes fur die Periode 1-2 darstellen. Wenn wir nun auch die Korrektion dekursiv berechnen, so erhalten wir die folgende Interpolationsformel:

f t n + s) = 1 + p z - (1 - 2 ) zpa,

-- - l + P - . a + (1 -zz) (1 + p )

Der letzte Ausdruck zeigt, da5 auP diese Weise eine harmonische Interpolation zwischen den Endwerten 1 und 1 + p erfolgt; man er- htllt also kleinere Werte als bei der gewohn- lichen dekursiven koinmeraiellen Methode und

Ueber die Anwendung der Mittelwertprozesse i n der Bevdlkerongsstatistik und in der Ztnsrech- nung slehe t'en Aufsstz des Verfassers in der Skondinavisk Aktuarietidskdft 1820, wo auch der Inhalt dieaer Miscelle bereits angedeutet wnrde. Es wird ferner darsuf hingew wen, daB mlt all- gemeinrn Mittelwertanalitzen nooh weitere Formeln abzuleiten siod.

') 9. I. R . Barriol: Tliborie e t pratique des operations fioencibrei (Paris, Doin, Encyclop. sclentif. 1908), 8. 5

..

gr8Dere Werte als mit der gemischten M o s e r - schen Formel. (Fur die anticipative Auffas- sung wBre eine entsprechende arithmetische

Interpolation aus den Werten 1 und ~ zu konstruieren.)

1 a n g - f r i s t i g e r G e s c h l f t e. Die ZinsfuDbestim- inung der Rentenrechnung fuhrt auf alge- braische Gleichungen hijherbr Ordnung, wel- clie in den wichtigsten Ftlllen der Praxis spezielle drei-, vier- und funfgliedrige Glei- chungen sind. ') Den Fall der trinomischen Gleichung haben wir in einem frtiheren A71P- satzea) vom Standpunkte der angewandten Mathematik ausfiihrlich dargestellt. In fol- genden 'soll der Fall einer funfgliedrigen Glei- chung behandelt werden, und zwar nach einer besonders einPachen Methode von S t e f f e n - sen3), die besonders brauchbare numerische Resultate liefert. passelbe Problem haben mit vie1 kompllzierteren Mitteln bereits R o g g i o und B o t t a s o gelost').)

Das S tef fensensche Verfahren geht von der kontinuierlichen Rehte (a) aus, cleren all- gemeine Gleichung die folge%de ist:

a =JF@ v ' d t ,

1 wo F(t) eine gegebene Funktion, v=- 1 i - P

bedeutet. Indem man das Integral durch eine entsprechende Quadraturformel approximiert, erhtllt man an Stelle der ursprungliohen eine einfachere Gleichung fur v, in cler noch an Stelle des kontinuierlichen Wertes der zur Aufgabe gehorende gewohnliche Rentenwert einzuftihren ist. Dieser letzte Schritt erfolgt am besten mittels der E u l e r - M a c l a u r i n - schen Summenformel. Der Vorteil dieser Me- thode ist, daB auch kompliziertere FlIle ein- heitlich zu erledigeii sind. der Fehler drrrch das Restglied abzirscbsteen und daa Verfahren

1

1--P

3. R e n t a b i 1 i t L t s b e r e c h n u n g

0

I) Einigc Beispiele: a) drriglicdrige Gleiohung: gewlihnliche ZinsfuEprobleiiie der Rentenrechnung, Rentahilitiit von aniortisabeln Obligat onen, in geometrischer Progression variahle Rente b) vier- gliedrige Gleichung: aufges hobene Rente, im Nennmert zuruckzuzahlen 1 e *chuld bei gegebeneln Kurs (6 v. Maugoldt in Jahrtsbericht der deut- schen Mathemstiker - Vereiniyng I X [I BOO]). c) fanfgliedrige Gleichung : In arithmet scher Pro- gresston variabele Rente, Amortisation mit Pro- vislonsqnote bpi gegewnem Kurs, arlthmetische Tilpung he1 gegebeilern Kurs, Rentabliitkt von Obligatirnen be1 Berllck-ichtfgung der h osten.

2, Zeitschrift PHr Mathematik nod Phyelk 59, 1811.

a) The Journal of the Institute of Aotnsriee 60 (191 6).

4, In den Abhandlungen der Tariner Akademig 1908 und 1810.

416 Zeitschrift filr angewandte Matliematik und hfechanik Band

mit geriauerun Fornieln zu vrrfoinern ist. S t e f f e n e e n behandelt den trinomisclien Fall; (lie vier- und fdnfgliedrige Bleichung, dann tler allgelmine Ansatz einer nach qanaer rationnler Funktion varinbeln Rentc sind in gleicher Weise ZII erledigen. Das Verfahren i x t stets anwendbar, wenn der Uebergang zur kontinuierlichen Rente keine neue Schwierig- keit niit sich bringt

Als Beispiel fiihrcn wir das Problem an, (lie Rentabilitat einer in arithmetisclier Pro- qression verlndcrlichen Rente ZII bostimmen, welche auf eine funfgliedrige Gleichung fiihrt. Wir beuchrlnben uns aut den einfachsten E'all der sog. naturlichen Rente (increasing annuity), hoi wekher dals AnfangFglied nnd tler Steigerungssatz = 1 sind. Der Wert dieser Rente, z. B. bezogen auf den Zeitpiinkt: eine Periocle vor Flilligkeit des ersten Renten- gliedes, ist folgender:

i - - V 7 l 1 - v n fa"* A=- +---. P P2 P

Dies liefert fur v d i e funfgliedrige Gleichung:

n v " + 2 - in + l ) v n f l - A v a + ~ Z L I - F I ) V - A = = ,

aelche auWer der trivialen Losung u = 1 noch eine positive Wnrael besitzt.

Die entsprechende kontinuierliche liente kann mit der einfachen S i m p s o n s c h e n For- me1 (ohne Restglied) approvimiert werden:

Aus der E u l e r - M a c l a u r i n s c h e n Summen- formel folgt als erste Approximation :

Wir erhalten soniit als erste Approximation fur v die Gleichung:

n (n f 3) vn + 2 navT - 6 A = 0 , aus der fur die nicht triviale positive Wurzel folgt : l o g v = - 2 16 A - [log (fn. + 6 A + - -- ,&) -- log@+ 3)]

Diems Verfahren kann rnit eirier rntrlirglie- drigen Quadraturformel uiid init oiner schlr- feren Approximation verfeinert werden. 67

Budapest. K. G o l d z i h e r .

Zur Berechnung von sfeifen Rahmen- fragwerken mlt Momenfengleichungen. In seiiiem Buchc ,,Dic Berechnung stalisch iin- beslimmler TragwerLc nach der Melhode des V i e ~ ~ ~ i ~ o r n e i ~ l e ~ ~ s a l ~ e s " (Berlin 1918) stcllt Herr F. B 1 e i c h bei ebencn Rahmentra<werlten uiiter Hiuzuffigen d e r Stnbdrehwinkrl als neue IJn- bekanntc zii den stercostatiscli unbestimmlq, Gr613en, die Elastizitatsbecliagungen in Form von sogcnannten Viermonienleng'e chungen iind Wiiikelgleicliuiigeii anl', die dem C 1 a p e y r o n -

schaii ~ I o i i i r i i t ( ~ i i ~ i i r ~ ~ r e i i i tlcs tl~irrlilaiitcnden 13allrciis riilspreclicn I ). llei Ilahmensyslemen init durchwegs stcilcii liiiolcn liann m a n nun dic neueii Unbcltannten des Hrrrn l l l e i c l i von vornhcrein c4iniinieren und dadurch die Uerrchnung milie's hlo~iieiilengleicliu~~~r~i allein rrzirlen, dereii soviele aulyrslclll wertlen, RIS Uherzlililige vorliaiiden sind. Die so entste- hendcn i;leichungcn sind abcr - wic nicht anders zii crw:irlcii ist - dic bclcannteii I:Iastizit8tsbcziehuii~eii, VOII ( I C I I C I I fiir jeden gcschlossc:iicn rM1lllen r1rc.i ~~ngcsclzl werden i i n d die nustlriickcti. daD bci ' jcdrr Form- 5nderung cin geschlosswier I<alinien zusauimen- liingeiitl bleibt2). TVir wollcn n u n ganz im Sinne ties I3 1 e i c h scheii Vrrlahrens vorgehen.

11 o in e n 1 c II g 1 c i c 11 II II g. Dcr gcschl~ocsrne rbene Iklinien von n - Seiten (und sonach 11 - Eckrn oder l inolm) der Abb. 1:

D i e e r s t e

Abb. 1

be1 deni in jcder Ecke cine beliebigc Anzahl von Staben endet, 1st in seincr Ebenc irgend- wie belastet. Wir betrachlen einen Stab zwi- schen den ' Knotcn k und i von dcr Ling[, &,i (= a,,!,); nach der ZufolgedesKraftangriffes entstehenden Formiuderung habc dic Sehne des Stabes dic Lage Ic'i' (Abb. 2) Es be- zeichne fiir den Knoten k: &, < (= &,*) den Stab- drehwinkel, d. h. den Winkel awisclien der ur- sprunglichen und cler iieuen Stabsehne, q h den Knotendrehwinkel, d. 11. den Winkel, um den sicli die Trungente an die Stabrichtung bei der Formlinclerung gedreht hat und T ~ , I den Ablen- -knngswinltel tler n r u e n 'l'angcutr vou der iiciien Sehnc Dcr posilivc Drchsiun firr 6 unrl 9 ist der Uhrzeigersinn von der ur- sprdnglichcii Ilirhlung z u r neuen Richtung und fur 7 von der neuen Sehne zur neuen Tangeutc

Es ist naturlicli 7 , , I der Ablenkungewinkel des Stabes IS,,!. (=&,J im Knoten e'. Sind

I) Aucli: Der Viermomentensat6 und seine An- wendung a i ~ die liereclinung statlsch nnbestimmter Tragwerkc, Der Eisenbau 1 9 1 7 , S 46 bis 61.

a) Siebe H. M H l l e r - B r e s l a u , D1e neueren Methoden der Festfgkeitalehre und der Statik der Baakonstruktionen, 4. Aufl., Lelpzig 1913, 8. 124.

Heft 6 Kleine Mitteilungen 417 ~~

fiir den Stab &,i die Knotenmomente (d. h. die Werte des Biegungsmomentes am Ende X. bzw. am Ende a1 Mk, 1 und Mi, k, so bestehen die Beziehungen

die sich als die durch E J k , i dividierten Auf- lagerreaktionen eiiies auf zwei Stiitzen gela- gerten, rnit der Momentenfliiche belasteten Stahes 8 k , i ergeben. E ist der fiir alle StLbe konstante Yo uggsche Modul (Elastizitats- modul) des Stabmaterials, Jk, i (= k, a) das Querechnittstrlgheitstnoment von sk, i bemug- lich der wagrechten Schwerachse, die a le eine Hauptachse vorausgesetzt ist, 6 , k und 6 k , z sind die statischen Momente der Momenten- flache des einfachen Balkens s k , i fur den Knoten i baw. k. Die Eckmomente sind i m Sinn einer VergroSerung der Deformation positiv gezghlt.

Abb. 2

Infolge der steifen Verbindung drehen sic11 in einem Knotcn alle Stabe um dcnsellwii Winkel, d. h. es gilt

ftir i- 1 bis i = r , wenn r-Stsbe in der Ecke k zusammentreffen. Purch Gleich- setzen von cp fur zwei in k endende Stibe gewinnt man in Hinblick auf (1) die vor- erwilhnte Viermomentengleichung, die die vier Endmomente und die zwei Stabdrehwinkel enthlllt. Wir wollen jetzt wie folgt verfahren. Wir stellen ftir den geschlossenen Rahmen der Abb. 1 an Viermomentengleichungen auf: imKnoten1: T ~ , ~ +81,2=~l,n +a*,,

q k = T k , i + d k , i * . . . . . (2)

n n 2 : 72.3 +s2,2,3=22,1 +d2,1

9. 7, '-1: ~n-l,n+6n-1,n=',-1,..%+6,-1,n-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P n n: Z n , l + 6 n , l = 7 n , n - l + 8 n , n - l

und summieren alle diem Gleichungen. Dadurch entsteht 'Ti,$ - 22,~+72,3- 2 3 3 4 - * . .

+ 2w1, Pp rn, n-1 f an, 1 - 21,91= 0 * (4)

und mit GH. (1) nach Multiplikation mit einem willkiirlichen Trlgheitsmoment J ,

Hierbei bedeuten h, i die ,,reduzierte LBnge",

S X , ~ Jkri und m~t,' die Momentenflsche der an-

greifenden Krtifte far den einfacheu Ualken SL,~; die Summe auf der rechten Seite von G1. (5) ist tiher sllmtliche Stgbe auszudehnen. DieRe Gleichung ist die e r s t e M o m e n t e n - g l e i c h u n g ; sie bildet eine Beziehung zwi- schen allon Eckmomenten (wir konnen quch jede beliebige Stelle des Rahmens als Ecke ansehen) und den Bul3eren Lasten. Man sieht unmittelhar, da13 dies die Gleichung

J c

(5')

ist, wobei M das auf das Element ds wir- kende Biegungsmoment ist und sich das In- tegral fiber den geschlossenen Rahmen er- strgckt.

D i e z w c i t e u n d d r i t t e Momenten- g 1 e i c h u n g. DaB der Rahmen geschlossen ist, wird durch die beiden Gleichungen

. . . . . (6) und C,Sb, i * sin a k , i = 0

ausgedriickt, rnit ihren Summen iiber siimtliche Stlhe. Dabei bezeichnet a k , i (- ai, k) den Nei- gungswinkel von &,i gegen eine beliebige, be- zilglich eines Stabes festgelegte Richtung e; er wird gezilhlt am niedriger bezifferten Stab- ende von der positiven s-Richtung im Gegen- uhrzeigersinn zum Stab (vgl. Abb. l).. Die Aenderung dee Winkels (z bei der Deforma- tion ist gleich dem negativen Stabdrehwinkel, und man gewinnt mit Annahme einer Aende- rung der Stablsnge 8 urn J s (z. B. positiv bei Verllngcrung, negativ bei Verkiirzung) durch Differentiation der Gleichungen (6) und Ein- fuhren der wirklichen Aenderungen die beiden W i n k e l g l e i c h u n g e n ')

1 2 SIC, i * COS a h , I = 0

Sbk,iSk,iSill n k , i f S ~ S k , , ' C O S n k , i = 0 . . (7) 2 dk, I s k , i COB O k , i - 2 d s k , i * Sin U k , i =5 0 , . (8). Sie sind die Bedingung, da8 der ltahmen auch nach der Formhderung geschlossen bleiht. Wir hotrachten jetzt unsere e-Achse, die man zur Vereinfachung rnit einem Stab zusammenfallen lassen kann, als die eine Achse eines cartesischen Koordinatensystems, bezeichnen die Koordinaten eines Knotens k mit a und .z/k und schreiben die Gleichun- gen (7) und (8)

2 8 k k r l 8; - gk) f 2 d S k r ; * cog U k , i = 0 . . (7') Zd'k,I@i--sk) -ZZ'Sh,t.sin a k , r - ~ . . (8').

'1 Vgl. F. B l e i c h in seinem eirigangs Eitierien Bvche 8. 16 bie 18.

418 Zeitdehrift fur angewandte

Wir untersuchen zunhchst GI. (7’). Ent- wickelt und naeh Ordinaten y geordnet, lautet sie yl (81,2-8n,I) + ? / J (8%3-8131) +?/3 (83,4-8%,3) +. . . ?/n(8n,l-8n-l,n)=CdSx’I.c0~ IX,,~. . (7”) ~ t n d m i t Hficksicht auf die Zusammenhlugc 3) yj (*l,n-rlrd-i-ya (r2,1-7d+y3 (ra,i-~’a,d .i= . + . . . y n ( ~ n , n - ~ - C n , 1 ) = P d S R , f . C 0 S f f k l t . . (9). Setzen wir fur die Ablenkungswinkel die Werte aim (1) ein, so geht aus GI. (9) - naeh Multiplikation mit J, --‘die z w e i t e Momen- t e n g l e i c h u n g hervor : ~1 ,1b ,9 (2? /1+ys ) +M%,l l 1 , 9 1 + 2 Y d ‘t &,3 h 3 (Zyi + $3) M s , ~ l ~ ? ( y d f 2 Y d f

+ Mn-i, n 1,-I, n (2 yn-I +gn) + Mn, n-I h -1 1 n (.+-I +zyn)+Mn,l (~Y.+Y,) f M 1 - n lr ,n @ n + 2 ~ 1 )

+ 6 E J , Sd&,i COS ( I k , i = - G 2- @&

+yr@’k,,) . . . . . . . . . . . . . . . . . (10).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2k, I

sk, ia

In gleicher Weise erhglt man aus Ql. (8’) die d r i t t e M o m e n t e n g l e i c hu n g : Mi,s ZI,S (2 XI + ~ s ) + M2,i L a ($1 + 2 23 + J h s l i 9 3 @$a + $8) + M392 h 1 3 (2s + 2x9) i- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i-Mn-19 n In-1 n ( z ~ n - l + ~ n ) + M n , n-i, Zn, I-n (~n-1 +Z .~n’l +Mn, 1 ZI 9 n (2 zn+Ti)+MI n 11, n (~n+Zl D I )

k , I

w, in (Z& @A,& + xr Gk’d . . . . . . . . . . . . (11).

- 6 EJ, C d S~,C sin ahri = - G 2 ~

Auch dicsc beideu Gleichuugcii siud l k - ziehungcn zwischeii den Eckmoniciiten i i i i t l den angrcifenden iiuI3ercri Iir&ften, in tlcncit die Stabdreliwinkcl nicht mehr vorkomina.i.

Wic leicht zu C ~ ~ C I I I ~ ~ I I i s l . stellen abcr die Gleichungcn 10) und 1 1 ) iiichts nndcrcs \‘or, als

und

wobei Af das Uiegungsmomenl uud N dic Nor malkrafl im Qucrschnitt Z, y Sind und dic 111 legrale iiber den geschlosscnen Rahmen ausgr- deb@ werden.

Z u s a m mcii f a s s uug. Aus den B 1 c i cli - schen Ansltzen lassen sich b e i laulcr steifeii Ecken die Stabdrehwhkcl :illgrmein climi- nieren. Die dadurrh liervorgchendcn Monicn- lengleichungen sind dic rntwickeltc Form dcr (z. B. aus dem Satz der klcil~sten Formindc- rungsarbeit berechenbaren j Elast izit;itsgleichoii- gen. Da ffir jeden geschlossenen Rahmen i i i i t drei Oberzihligen drei Gleichungeii aufgeslclll werdcn, bilanzicrt - ii:ich cleni vorhcrgchcii- den srlbstverstludlich - hei jedeni ehcncil Ilahmcntragwerk, das ja iiur aus geschlossenrii Bahmen zusammengesetzt seiit kanu, die Znlil dcr Gleichungeii mit der dcr Oberzhhligcii. Die Momente werden positiv chgefiihrl; h i den fiir zwei Rahmen gemeinsamen Siiibeii bind sic fiir einen Rahmen init positivcni. liir dcii andern mit negativem Vorzeichen Z I I

Mathematik und Mechanik Rand 1

verschen, wetln mail den Ansaiz der Gleicliim- gen von verschiedenen Seilen des Stabes vor- ninimt. Stofien in einer Ecke des geschlosse nen Rahmens nur zwei StHbe ‘zusammen, so ist das Moment Iinks und rechts von dcr Ecke das gleiche. Bei cinem z. B. in 1 und i f eingespannten Stabzug wird, da das Quer- sclinittstrlgheitsmonicnt des hinzugedachten Stabes 1 n unendlich grof3 iat, 11, = is, = 0. - In den iMomeiiteii~leicliunge~ driiekt man, tlcin €3 1 e i c h schen Vcrfahrcn enlsprechend, (1 i c Eckmo niente mi t tels der G1 eichgewicht s - bedingungen durch die erst jet& zu wEhlen- deli Uberzlhligen aus und berechiiet die- Un- bek_annten. Die Lrstglieder der Gleiehungen, d. h. die Werte Sm und 6 sind fur verschiedene Augriffc cin f i i r alleinal zu bestimmen.

J)iisseldorE. J R a t z e r s d o r f e r . 53

filn efnfacfier Werkzeqj f U r dewisre flllcfienfreue Abbfldungen der Gbene. Xwei I’unktc P und P der Ebene seien starr mit- ctiiander verbunden. . Die Bcwglichkeit der Streclte PP oder s soll nuii so beschrlukl \\-crden. daI3, sobald P irgend e:n FliichenstficL umltiuft, allemal P’ ein Fllchenstiick uin- whreibl, daD jenem an Inhalt gleich ist. Tnsbesondrre werde noch verlangt, da5 beidr I~1lchenslficlie in deniselbell Sinn umlaufeii werdeu Eiiie einfache geoinelrische Tatsache. die wir hier iu aller Kiirze nachweiseu wollen, gcslattet die Herstellung cine Werlizedges, inittcls dessen man die geforderte Art der Be- weguug der Strecke P P’ in allgenieinsler Wcisc inccIianisch verwirklichen lrann.

Wir benutzen ein reatwinkligek Achsen- I,rcuz in der Ebene; der Punkt P liabe die Koordinaten s. g, der Punkt P‘ die Koordi- uateu z’, y’ Nun handelt es sich um eine gleichsinnig flachenlreue Abbildung, bei der drm Punkte P der Punkt P’ eiilspriclit Dem- iincli sind untcr 2’. g’ solche Funktionen v011 . t . y zu verstehen. dte der Bedinguitg

gciiiigeu.. Ferner soll (d - x ) ~ + (y’- y)g = a* = konst. . (2)

will . Micraus folgl durch Differentiation narli c Ulld nach y ’

Nach (1) und (3) ist

Mil der Strecke s= PP’ werde eine zu ilir senkrechte Gerade g stap verknirpft, etwn im Pnnkte Q (der iibrigens auch auf der starren Verliingerung von PP iiber P oder P’ hin- airs liegen darf). Die IZoordinalen des Punktes

sind mit HilEc rincr Konstante c durcli (1 - c) y + cy’

L (1 - c) 2.4- c d und

dargeslelll. lioordinatcii X, Y die Gleichuiig

x - (1 - c ) x - ex

Die Geradc g lial iu deli l:i~iI’cuclc~i

Y- (1 - c) y - e y’ 2’- x y’- Y ’

----= - ~

die wegeii (2) so geschrieben werdeii Itaun: ( ~ ’ - ~ ) ( X - I ) + ~ ’ - g ) ( ~ ~ - ? ~ ) = c s a (5). Das Wcsentliclic is1 iiun der tolgeiide Uni-

sland: Dn x‘, g’ wic gcsagt Funklioneii voii x , g sind, hiiigen die Iioeft’izieiiteii diescr ill X. Y liucarcn Gleichung (5) zunichst \‘on zwei willltiirlichcii Vrranderlichen x: g ab. Aber man kann iiachwciseii, daB dcnuocli tlorch (5) nur cine cinfach uiiendliche Schar yon Gcradeii g dargestelll wird. Da in ( 5 ) die Parameter 3: uiid g vorkomiiieu, geiiiigl cs zn dieseiii Zweclte zu zeigen, dab tliejcnigcii Gleichungen, die ails (5 ) durch Dif f t~eut ia t ion nncli .r nnd uach g enlstelien, milciii.aiider iibereinstiiniiieii. 1% sind das die Gleichungen

JIulliplizicrt man tlic crste niit !I’ - (1 und tlic zweitc mil s’ - .r und zicht man sit, tlaiiii voiieiiiantler ab. so k o i n i n t :

Vcriiioge ( 3 ) gcht diwc Glcichuiig iibcr 1 1 1

- (x’ - z) (1 ‘ - ?/)I = 0,

iind dies is1 wegcw ( 4 j iii der Tat cine Idrnliliil. Da deiniiach die Schar tlcr Gcraden g, die

iiiit dcr Slreclte PI” odcr s iii alleii ilircii h g e n s l a r r vcrltiiiiptl siiid, iiur ciiifach I I I I - eiidlicli isl, 1)cslehI sic, nus alleii Tangenlcii riiicr gewissen Iiiirvc I;. Diescr Unislantl lie- lert das fmolgendc sclir cinl’aclic \V c I‘ It z c II g z II r d r r j cii i g eii g1 e i c h s i n ii i g A 11 11 i 1 - d u n g c n , b c i t l e i i cn d i e E ~ i l l c r n i ~ i i g z w i s c 11 e 11 c 11 I s p r c c h c n d e 11 P II 11 It t e 11 P 11 11 d 1’’ e i 11 e It o 11 s t n 11 t c

Mi t eincr slarrcu Scliiene y - siche die AIJ- bilduiig - wird eiiie sweite starre Schiene s

H e r s 1 c 11 l i n g :I 11 c r I1 ii c 11 e n t r c i i c 11

c i II a ii tl c r

1 , i i I lge s 11al:

W

seikrccht nnd Eest \wkn i ip I l . ,4uf dieser Scliiene werden zwei Punltte I’ uiid 1” belie- big, aber bestirnint angenonimen. Der IJunkt P dicnt als Fahrslift, dcr Punltt 2’’ als Schreib- stilt. Man wiihlc nuu irgciitl ciiic Iiurve k in der Ebene, elwa die 8uBere liaiile cines fest auf der Zeichenebcnc aiigebrachten linrven- lineals. Dann bcwegc inaii dns Stabpaar g, s so, dali g beslandig die Iiurve I; beriihrl. LPBt man den Ptltikt I’ irgend chi Fllcheii- stuck unilaufen, so uinschreibt,‘ PJ im glei- clien Umlaufsinnc chi zwcites Fliicheiistiiclt, das denselben Inhall wic jeties hat. Man ltanii iiiiinlich, worauf wir nichl ciiigeheii wolleii, lcicht zeigen, daB die Iiiirvc k in der Tal ganz belicbig aiigeiimoiiiiiicn werdcii darf. Ins- besoiiderc ltaiiii man die I<urvc auch durcli ciiien Punltt ersetzen.

Miiglicherweise is1 dies Wcrltzeug zur Her- slelluiig fllchentrcucr bbbildungen gelegeiitlicli sclioii voii anderen angegeben worden. Mir ist allerdings davon nichts belinnnt. Jeden- lalls 1)cmcrkc ich dann. daO im Vorhergelien- den gezeigt worden ist, da8 man mitlels tlieses Werlczcugcs iiberhaupt a 11 c gleichsinnig Iliichentreuen Abbildungen beltomrnt, bci denen die Enlfernung zwischcn eiiiaiider eiitsprecllcll- deli Punkten einc ltoiistaiitc Lliigc hat.

Berlin-Dahlem, 7. Augusl 1921. G c o r g S c h e f f c r s . 102.

NACHRICHTEN Die angewandte Mathematik und Me-

chanlk auf der Taeung in Jena. Der Ver- lauf der Taguiig, uber deren I’rograiiiiii in friiheren Ileften berichtet wurtle, crfirlllc voll- :uf die Erwartung, daO hicr zum ersteiimal im Rahmen tler jahrlich wiederkehrenden Ma- thematiker- und Physikerversaiiimlunge~i die angewandte Mathematik und Mechaiiik in gro-

Iiereiii Ausiiiali uiitl ziciiilich geschlosseii zur Gelluiig komnicn sollte. Drci grBDerc Bcrichtc. die erstattet wurden von Dr. J a f 1’6 - Leipzig iiber ,,Unstetige und inelirdeutige Losungcil der hydrodynaiiiisclicii Glcichungen“, von DI.. H e n c k y - Dresdcn iiber ,,Numerisclie Vcrl‘:ili- reii zur LBsung voii Difl’erentialgleicliiiii~~,~~ i i i der Technili“ und V Q I ~ Prof. L. F 6 11 1) I ..