Körperberechnung - learn.bfzonline.delearn.bfzonline.de/pisa_fit_mathe/lbma03q13-3/files/script_lbma03q13-3.pdf · Körperberechnung copyright by e/t/s Didaktische Medien GmbH Körperberechnung

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Körperberechnung


Grundlegendes zur Körperberechnung ...........................................................................................4

Prismen..........................................................................................................................................5

Prismen - Würfel.............................................................................................................................6

Prismen - Quader ...........................................................................................................................7

Aufgaben zu Würfeln und Quadern .................................................................................................8

Textaufgaben zu Würfeln und Quadern...........................................................................................9

Prismen - Zylinder.........................................................................................................................10

Prismen - Zylinder: Übung 1..........................................................................................................11

Textaufgaben zu Prismen - Zylinder..............................................................................................12

Prismen – Trapezsäule .................................................................................................................13

Prismen – Dreiecksäule ................................................................................................................14

Aufgaben zu Trapez- und Dreiecksäulen.......................................................................................15

Textaufgaben zu Trapez- und Dreiecksäulen ................................................................................16

Spitze Körper................................................................................................................................17

Spitze Körper - Pyramide ..............................................................................................................18

Spitze Körper - Pyramide: Übung 1...............................................................................................19

Textaufgaben zu Spitze Körper - Pyramide ...................................................................................20

Spitze Körper - Kegel....................................................................................................................21

Spitze Körper - Kegel: Übung 1.....................................................................................................22

Textaufgaben zu Spitze Körper - Kegel.........................................................................................23

Kugel............................................................................................................................................24

Kugel: Übung 1.............................................................................................................................25

Textaufgaben zur Kugel................................................................................................................26

Vermischte Aufgaben....................................................................................................................27

Glossar.........................................................................................................................................28

Körperberechnung


Grundlegendes zur Körperberechnung

Ein geometrischer Körper umschließt einen Raum, der durch eine bestimmte Anzahl von geraden

oder gebogenen Flächen begrenzt wird.

Körper haben in der Regel drei Ausdehnungen oder Dimensionen: Länge, Breite und Höhe. Von allen Körpern lassen sich mit bestimmten Formeln der Rauminhalt oder das Volumen, die Oberfläche und

der Mantel berechnen.

Die Sonderform eines Körpers ist die Kugel, die auf einem Kreis basiert und weder eine Grund- noch Deckfläche besitzt.

Geometrische Körper lassen sich in drei verschiedene Gruppen einteilen, von denen nach jeweils unterschiedlichen Formeln die Oberfläche, das Volumen und der Mantel berechnet werden.

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Prismen

Prismen (Einzahl Prisma), werden auch gerade Körper oder Säulen genannt. In Abhängigkeit von der Grundfläche heißen sie z. B. Würfel, Quader, Zylinder, Dreiecksäule und Trapezsäule.

Der Mantel bildet stets ein Rechteck.

Die Oberfläche setzt sich aus dem Mantel und der doppelten Grundfläche zusammen.

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Prismen - Würfel

Ein Würfel entsteht, wenn Sie die Merkmale des Quadrats in die dritte Dimension übertra-gen.

Würfel

Ein Würfel ist ein Körper, der

ausschließlich aus Quadraten besteht.

Formel für die Volumenberechnung:

§ V = a · a · a · = a³ Wenn Sie aus einem gegebenen Rauminhalt eines Würfels die Seitenlänge ermitteln möchten, müssen Sie die dritte Wurzel dieses Wertes bilden. Das heißt: Sie suchen die Zahl, die zweimal mit sich selbst multipliziert genau den vorgege-benen Wert ergibt. Das mathematische Zeichen für die Wurzel ist √. Also:

Formel für die Mantelbe-rechnung

§ M = 4 · a²

Formel für die Oberflächen-

berechnung:

§ O = 6 · a²

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Prismen - Quader

Sie erkennen es sicher sofort:

Im Quader spiegeln sich die Eigenschaften eines Rechtecks wider.

Quader

Ein Quader ist ein Körper, der entweder nur aus Rechtecken

besteht oder aus Rechtecken und Quadraten.

Formel für die Volumenberechnung:

§ V = a · b · h

Formel für die Mantelberechnung

§ M = 2 · a · h + 2 · b · h = 2 · h · (a + b)

Formel für die Oberflächenberechnung

§ O = 2 · a · b + 2 · a · h + 2 · b · h = 2 · (a · b + a · h + b · h)

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Aufgaben zu Würfeln und Quadern

An dieser Stelle finden Sie im Lernprogramm eine interaktive Übungsaufgabe.

Berechnen Sie bitte die in der Tabelle fehlenden Werte!

Runden Sie die Ergebnisse nicht!

Würfel Würfel Quader Quader Quader

a 4,5 cm ______ dm 60 mm ______ dm 1,8 m

b ______ cm ______ dm 40 dm 8 cm ______ m

h ______ mm ______ dm 50 mm 9 cm 1,95 m

A ______ mm² ______ dm² ______ mm² 56 cm² ______ m²

V ______ cm³ ______ dm³ ______ mm³ 504 cm² ______ m³

M ______ cm² 100 dm² ______ mm² ______ cm² 11,895 m²

O ______ cm² ______ dm² ______ mm² ______ mm² ______ m²

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Textaufgaben zu Würfeln und Quadern

Bitte berechnen Sie die Textaufgaben zum Thema "Körperberechnung - Würfel und

Quader"! 1. Wie groß ist das Fassungsvermögen eines würfelförmigen Behälters mit einer inneren Seiten-

länge von 22,5 cm?

2. Wie groß ist der Rauminhalt einer Werkstatt, die 7,40 m lang, 4,20 m breit und 4,10 m hoch ist?

3. Die Gärtnerei Tausendschönchen soll für ein Hotel in Bayern 55 Balkon-Blumenkästen be-pflanzen. Wie viele m3 Pflanzerde müssen die Mitarbeiter bereit stellen, wenn jeder Kasten 80 cm lang und 22 cm breit ist und die Erde 18 cm hoch eingefüllt werden soll? (Runden Sie das Ergebnis bitte auf einen ¾-m3 auf oder ab!)

4. Ein quaderförmiges Aquarium hat bei einer Seitenlänge a von 5 dm und einer Seitenlänge b von 25 cm ein Fassungsvermögen von 50 dm3. a) Wie viele Meter Metallrahmen brauchte man zur Herstellung des Aquariums mindestens? b) Wie viele Quadratmeter Glas brauchte man, wenn die Rückseite aus einer Spiegelfläche und der Boden aus Plastik bestünde?

5. Ein Quader mit einer Länge von 55 cm, einer Breite von 45 cm und einer Höhe von 72 cm soll zu Dekorationszwecken von allen Seiten mit Stoff bespannt werden. Wie viele dm² Stoff wird insgesamt benötigt, wenn 1/10 als Verschnitt hinzugerechnet wird?

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Prismen - Zylinder

Prismen müssen nicht unbedingt Ecken aufweisen.

Zylinder

Ein Zylinder ist ein Prisma mit einem Kreis als Grundfläche.

Formel für die Volumenberechnung

§ V = r² · À · h

Formel für die Mantelberechnung

§ M = 2 · r ·À · h = d · À · h

Formel für die Oberflächenberechnung

§ O = 2 · r² · À + d · À · h = À · (2 · r² + d · h)

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Prismen - Zylinder: Übung 1



Rechnen Sie dabei mit À = 3,14, runden Sie alle Ergebnisse grundsätzlich auf eine Stelle nach dem Komma und rechnen Sie ausnahmsweise auch mit diesen gerundeten Ergebnissen weiter!

Zylinder Zylinder Zylinder Zylinder Zylinder

r 1,5 cm ________ mm ________ mm 5,2 m ________ cm

d ________ cm 32 mm ________ dm ________ m 48 cm

h 5 cm 56 mm 50 dm ________ m ________ cm

A ~ ________ cm² ~ ________ mm² ~ ________ dm² ~ ________ m² ~ ________ cm²

V ________ cm³ ________ mm³ ________ dm³ 6.622,6368 m² ________ cm³

M ________ cm² ~ ________ mm² ________ dm² ~ ________ m² 4.823 cm²

O ________ cm² ________ mm² ________ dm² ________ m² ________ cm²

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Textaufgaben zu Prismen - Zylinder

Bitte berechnen Sie die Textaufgaben zum Thema "Körperberechnung - Zylinder"!

1. Kaufmann Supergünstig hat für Werbezwecke vor seinem Geschäft eine 2,20 m hohe Litfass-säule aufgestellt. Ihr Durchmesser beträgt 120 cm. Wie viele dm2 Werbefläche hat Herr Supergünstig dadurch zur Verfügung? (Runden Sie das Ergebnis bitte auf eine Stelle!)

2. Eine Dose mit einem Innendurchmesser von 9 cm ist 11,5 cm hoch mit Cappuccino-Pulver ge-füllt. a) Wie viele cm3 Cappuccino-Pulver enthält die Dose? b) Wie viele cm3 Luft enthält die Dose, wenn sie insgesamt eine Innenhöhe von 13 cm hat?

3. Im Ölhafen der Stadt Ölburg stehen 24 Benzintanks mit einem Innendurchmesser von 15 m und einer Höhe von 7,50 m. a) Wie viele m3 Benzin lagert in den Tanks, wenn alle voll gefüllt sind? b) Ein Tankwagen hat einen zylindrischen Laderaum mit einem Innendurchmesser von 2,50 m und einer Länge von 6 m. Wie oft muss dieser gefüllt werden, bis ein Benzintank leer ist?

4. Ein Kochtopf hat eine kreisförmige Grundfläche mit einem Durchmesser von 24 cm. Er hat ei-ne maximale Füllhöhe von 25 cm, ist jedoch nur zu 4/5 mit Wasser gefüllt. Wie viele cm3 Wasser enthält der Kochtopf?

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Prismen – Trapezsäule

Trapezsäule

Eine Trapezsäule ist ein Prisma, dessen Grundfläche ein Trapez ist und dessen Seitenflächen Rechtecke sind.


§

hT = Höhenlinie im Trapez

hK = Körperhöhe, d.h. Höhe der Trapezsäule

Auf die Darstellung der übrigen Formeln verzichten wir an dieser Stelle

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Prismen – Dreiecksäule

Dreiecksäule

Eine Dreiecksäule ist ein Körper, dessen Grundflä-che ein Dreieck ist und dessen Seitenflächen Rechtecke sind.


§

ha bzw. hb bzw. hc: Höhenlinien im Dreieck

hK : Körperhöhe, d.h. Höhe der Dreiecksäule

Auf die Darstellung der übrigen Formeln verzichten wir an dieser Stelle

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Aufgaben zu Trapez- und Dreiecksäulen



Trapezsäule Trapezsäule Dreiecksäule Dreiecksäule

a 5 cm 8,2 dm 6 cm 7,8 dm

c 7 cm ________ dm - -

m ________ cm 12 dm - -

ha 3 cm ________ dm 3 cm ________ dm

hK 8 cm 12 dm 7,5 cm 25 dm

V ________ cm³ 259,2 dm² ________ cm³ 331, dm³

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Textaufgaben zu Trapez- und Dreiecksäulen

Bitte berechnen Sie die Textaufgaben zum Thema "Körperberechnung - Trapez- und

Dreiecksäulen"! 1. Der 98,7 km lange Nord-Ostsee-Kanal hat die Form eines gleichschenkligen Trapezes. Am

Grund hat er eine Breite von 40 m. Von Ufer zu Ufer misst der Kanal 102 m. Das Wasser steht durchschnittlich 11 m hoch. Wie viele m3 Wasser befinden sich durchschnittlich im Nord-Ostsee-Kanal?

2. Die Fahrbahnen einer vierspurigen Schnellstraße sind je 7,50 m breit, die Standspur auf jeder Seite ist 2 m breit und der Mittelstreifen 2,50 m. Die Schnellstraße verläuft auf einem Damm von 3 m Höhe. Die Sohle des Dammes ist an jeder Seite 2,40 m breiter als die gesamte Fahr-bahnbreite einschließlich Standspur und Mittelstreifen. a) Welchen Flächeninhalt hat der Querschnitt des Dammes? b) Wie viele m3 Erde müssen für 50 m Schnellstraßenlänge aufgeschüttet werden?

3. Ein gläsernes Prisma hat als Grund- und Deckfläche ein gleichschenklig-rechtwinkliges Drei-eck. Die beiden Schenkel sind jeweils 3 cm lang. Die Säule ist 4 cm hoch. Berechnen Sie das Volumen des Prismas!

4. Ein hölzerner Eckschrank mit dreieckiger Grundfläche hat eine vordere Breite von 70 cm. Sei-ne beiden Schenkel sind jeweils 50 cm lang. Der Schrank ist 120 cm hoch und hat ein Fas-sungsvermögen von 149.940 cm3. a) Wie tief (in cm) ist der Schrank? b) Wie viele m2 Holz waren zu seiner Herstellung nötig (ohne Einlegeböden)?

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Spitze Körper

Spitze Körper verlaufen von unten nach oben spitz zu. Sie haben keine Deckfläche. In Abhängigkeit

von der Grundfläche unterscheidet man Pyramiden und Kegel. Für die Berechnung gelten spezielle Formeln, die aus den Grundformeln abgeleitet sind. In diesen Abschnitt stellen wir die allgemeinen Berechnungsformeln vor. Das Volumen eines spitzen Körpers berechnet sich mit der dargestellten

Formel. Da diese Körper spitz zulaufen, muss Ihr Volumen kleiner sein als das von geraden Körpern. Die Oberfläche setzt sich aus der Grund- und Mantelfläche zusammen.

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Spitze Körper - Pyramide

Ein allseits bekannter spitzer Körper ist die Pyramide.

Pyramide

Eine Pyramide hat als Grundfläche ein beliebiges Vieleck, z.B. Quadrat, Rechteck oder gleichseitiges

Dreieck. Der Mantel einer Pyramide besteht stets aus Dreiecken.

Die folgende Tabelle enthält die jeweiligen Formeln für die gängigsten Pyramidenformen.

ha = Höhenlinie im gleichseitigen Dreieck (in der Grundfläche)

hDa = Höhenlinie im Dreieck über der Seite a (im Seitendreieck)

hDb = Höhenlinie im Dreieck über der Seite b (im Seitendreieck)

hK = Körperhöhe, d.h. Höhe der Pyramide

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Spitze Körper - Pyramide: Übung 1



Runden Sie - falls erforderlich - gemäß der Rundungsregel.

Grundfläche:

Quadrat Grundfläche:

Rechteck Grundfläche:

gleichseitiges Dreieck

a 15 cm 18 cm ________ m

b ________ cm ________ cm ________ m

c - - 27 m

ha - - ________ m

A ________ cm² 108 cm² 315,63 m²

hK 16,36 cm 24 cm ~ ________ m

hDa 18 cm 24,2 cm 24 m

hDb - 25,6 cm ________ m

hDc - - ________ m

V ________ cm³ ________ cm³ 2.459,81 m³

M ________ cm² ________ cm² ________ m²

O ________ cm² ________ cm² ________ m²

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Textaufgaben zu Spitze Körper - Pyramide

Bitte berechnen Sie die Textaufgaben zum Thema "Körperberechnung - Pyramide"!

1. Eine Pyramidenkerze mit quadratischer Grundfläche ist 12 cm hoch. Sie hat eine Grundfläche von 324 cm2. Die Fläche eines Seitendreiecks beträgt 135 cm2. Berechnen Sie die Oberfläche der Kerze und ihr Volumen!

2. Die Cheopspyramide in Ägypten hat eine quadratische Grundfläche. Ursprünglich betrug die Seitenlänge des Quadrates 230,3 m. Die Original-Höhe betrug 146,6 m. a) Wie viele m3 Steine wurden für den Bau der Pyramide benötigt? (Runden Sie das Ergebnis bitte auf volle hundert m3!) b) Heute beträgt die Seitenlänge des Quadrates nur noch 227,5 m und sie ist nur noch 137 m hoch. Wie groß ist das Volumen der heutigen Pyramide, wenn man davon ausgeht, dass es sich nach wie vor um einen spitzen Körper handelt? (Runden Sie das Ergebnis bitte auf volle fünf-zig m3!) c) Wie viele m3 Steine sind demnach inzwischen abhanden gekommen?

3. Eine kleine Marmor-Pyramide mit quadratischer Grundfläche (A = 6,25 cm²) ist 2,5 cm hoch. Wie schwer ist die Pyramide, wenn 1 cm³ Marmor 2,8 g wiegt? (Runden Sie das Ergebnis bit-te auf volle g!)

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Spitze Körper - Kegel

Auch aus einem Kreis lässt sich ein spitzer Körper ableiten. Das Ergebnis ist dann ein Ke-gel.

Kegel

Ein Kegel hat als Grundfläche einen Kreis. Sein

Mantel ist stets ein Teil eines Kreises, jedoch in der Regel mit einem anderen Radius.


Auf die Darstellung der übrigen Formeln verzichten wir an dieser Stelle.

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Spitze Körper - Kegel: Übung 1



Rechnen Sie dabei mit À = 3,14, runden Sie alle Ergebnisse grundsätzlich auf eine Stelle nach dem Komma und rechnen Sie ausnahmsweise auch mit diesen gerundeten Ergebnissen weiter!

Kegel Kegel Kegel Kegel

r 3,5 cm _______ dm ~ _______ m _______ mm

d _______ cm _______ dm _______ m 400 mm

h 6 cm _______ dm 15,5 m _______ mm

A ~ _______ cm² 706,5 dm² 50,27 m² ~ _______ mm²

V _______ cm³ 4.710 dm³ ~ _______ m³ 8.792.000 mm³

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Textaufgaben zu Spitze Körper - Kegel

Bitte berechnen Sie die Textaufgaben zum Thema "Körperberechnung - Kegel"!

1. Ein kegelförmiges Turmdach ist 2,10 m hoch und hat einen Durchmesser von 300 cm. a) Wie groß (in dm2) ist die Grundfläche des Turmdaches? b) Welchen Raum (in dm3) umschließt das Turmdach?

2. Wie viel Flüssigkeit (in cm3) befinden sich in einem kegelförmigen Sektglas, das bis 1 cm un-ter den Glasrand mit Sekt gefüllt ist? Der Kegel hat einen Durchmesser von 5,5 cm und eine Höhe von 13,6 cm ! (Runden Sie das Ergebnis bitte auf volle cm3!)

3. Ein Fahrbahnmarkierungskegel bedeckt eine kreisförmige Grundfläche von A = 708,86 cm2. Wie hoch ist der Kegel, wenn er ein Volumen von 14.177,2 cm3 hat?

4. In einem Steinbruch liegen 522,5 m3 Schotter kegelförmig auf Halde. Die Grundfläche der Schotterhalde hat einen Umfang von 50,24 m. a) Wie groß ist die Grundfläche der Halde? b) Wie hoch ist sie? c) Wie viele LKW-Fahrten sind nötig, wenn der gesamte Schotter von einem LKW mit 18 t La-degewicht weggeschafft werden soll und 1 m3 Schotter 1,6 t wiegt?

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Kugel

Für die Kugel gelten ganz spezielle Regeln, denn es gibt weder eine Grundfläche noch einen Mantel. Das Volumen einer Kugel berechnen Sie mit der dargestellten Formel. Die Oberfläche lässt sich mit

der dargestellten Formel berechnen. Sowohl Volumen als auch Oberfläche können über den Radius oder den Durchmesser berechnet werden.

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Kugel: Übung 1



Rechnen Sie dabei mit À = 3,14 und runden Sie alle Ergebnisse grundsätzlich auf eine Stelle nach dem Komma!

Kugel Kugel Kugel Kugel

r 2,3 cm ________ mm ________ dm ________ m

d ________ cm 58 mm ________ dm ________ m

O ~ ________ cm² ~ ________ mm² 12,56 dm² ~ ________ m²

V ~ ________ cm³ ~ ________ mm³ ~ ________ dm³ 14,13 m³

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Textaufgaben zur Kugel

Bitte berechnen Sie die Textaufgaben zum Thema "Körperberechnung - Kugel"!

1. Ein aufgeblasener kugelförmiger Luftballon hat einen inneren Durchmesser von 25 cm. Wie viele cm3 Luft enthält er? (Runden Sie das Ergebnis bitte auf volle cm3!)

2. Eine Pflanzschale hat die Form einer Halbkugel. Ihr Durchmesser beträgt 1,5 m. Wie viele m³ Blumenerde benötigt Gärtner Piepenbrink, um insgesamt fünf gleich große Pflanzschalen mit Erde zu füllen?

3. Dekorateur Max Gestalter benötigt für die Dekoration eines Schaufensters 6 Styropor-Halbkugeln mit einem Durchmesser von je 40 cm. Wie groß ist das Gesamtvolumen der Halbkugeln!

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Vermischte Aufgaben

Bitte berechnen Sie die Textaufgaben zum Thema "Körperberechnung"!

1. Auf einem Grundstück von 11,5 a werden 23 LKW-Ladungen mit je 5 m3 Mutterboden gleich-mäßig verteilt. Wie hoch (in cm) ist die Schicht Mutterboden auf dem Grundstück?

2. Der sichtbare kegelförmige Teil einer Boje ist 60 cm hoch und hat einen Durchmesser von 50 cm. Wie groß ist das Volumen der Boje?

3. Ein Rundholz aus einem Kinder-Baukasten hat einen Radius von 1,5 cm und eine Länge von 80 mm. Berechnen Sie seine Oberfläche und sein Volumen.

4. Ein 2,5 km langer Hochwasserdeich ist unten 8 m breit und oben 3,80 m. Er hat eine Höhe von 2,80 m. Wie viele m3 Erde mussten für den Deich insgesamt aufgeschüttet werden?

5. Ein 4,80 m hohes Turmdach hat die Form einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche (Sei-tenlänge: 4 m). Welchen Rauminhalt schließt das Turmdach ein?

6. In einem Gewächshaus sind 275 laufende Meter Heizrohre installiert. Wie viele dm3 Wasser enthalten diese Rohre bei einem inneren Durchmesser von 45 mm?

7. In einem zylindrischen Glas mit einer Innenhöhe von 20 cm und einem Innendurchmesser von 12 cm befinden sich insgesamt 1.500 cm3 Flüssigkeit. Wie viele cm3 Flüssigkeit könnte das Glas zusätzlich aufnehmen, wenn es bis 1 cm unter dem Rand gefüllt wäre?

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Glossar

Dreiecksäule

Eine Dreiecksäule ist ein Körper, dessen Grundfläche ein Dreieck ist und dessen Seitenflächen

Rechtecke sind.

Kegel

Ein Kegel hat als Grundfläche einen Kreis. Sein Mantel ist stets ein Teil eines Kreises, jedoch in der Regel mit einem anderen Radius.

Körper

Ein geometrischer Körper umschließt einen Raum, der von einer bestimmten Anzahl gerader oder gebogener (gekrümmter) Flächen begrenzt wird. Körper haben in der Regel drei Ausdehnungen (Dimensionen), nämlich Länge, Breite und Höhe.

Kugel

Eine Kugel ist ein geometrischer Körper, bei dem alle Punkte auf der Oberfläche von einem Punkt

M (Mittelpunkt) den gleichen Abstand r (Radius) haben. Sie entsteht durch Rotation (Drehung) eines Kreises. Eine Kugel hat keinen Mantel, sondern nur eine Oberfläche.

Prismen

Prismen verlaufen von unten nach oben gerade hoch. Das heißt: Grundfläche und Deckfläche sind stets gleich groß. Diese Flächen können beliebige Vielecke oder Kreise sein.

Pyramide

Eine Pyramide hat als Grundfläche ein beliebiges Vieleck, z.B. Quadrat, Rechteck oder gleichsei-tiges Dreieck. Der Mantel einer Pyramide besteht stets aus Dreiecken.

Quader

Ein Quader ist ein Körper, der entweder nur aus Rechtecken besteht oder aus Rechtecken und

Quadraten.

Spitze Körper

Sie laufen von unten nach oben spitz zu, haben also keine Deckfläche, sondern nur eine Grund-fläche. Sie werden auch zugespitzte Körper genannt.

Würfel

Ein Würfel ist ein Körper, der ausschließlich aus Quadraten besteht.

Zylinder

Ein Zylinder ist ein Prisma mit einem Kreis als Grundfläche.

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