Kandidatarbete

Konstruktion av kvantfältteori i diskretiserad form med tillämpning på universums inflationsfas

Författare: Jimmy Ljungberg Handledare: Conny Sjögren Examinator: Magnus Paulsson Datum: 2014-02-12 Kurskod: 2FY80E, 15hp Ämne: Fysik Nivå: Kandidatnivå Institutionen för fysik och elektroteknik

Konstruktion av kvantfaltteori i diskretiserad form medtillampning pa universums inflationsfas

Jimmy Ljungberg

2014-02-12

Abstract

This paper describes how one can construct a quantum field theory in a discrete form. The

starting point is a description of a classical mechanical field with non-relativistic quantum

mechanics. The construction is made in a mathematically rigorous manner, where each step

is carefully described. The theory will be used in order to see what kind of predictions it

will result in. This paper will show in what way a Higgs field in its potential minimum can

effect other fields. The cosmical inflation is also going to be studied. It will be shown how

the theory predicts that a Higgs field can increase the mass of particles. And that inflation

leads to a particle production where the number of particles and their energy are depending

on the accurate appearance of the inflation.

Sammandrag

Denna uppsats beskriver hur man utifran klassisk och relativistisk mekanik samt icke-

relativistisk kvantmekanik kan konstruera en kvantfaltteori i diskretiserad form. Konstruk-

tionen gors pa ett matematiskt rigorost satt dar varje steg beskrivs noggrant. Teorin kommer

att tillampas for att se vad den ger for forutsagelser. Dels for vad ett Higgsfalt i sitt poten-

tialminimum har for effekt pa andra falt. Dels genom ett studium for vad som hander nar

universum genomgar en epok av inflation. Uppsatsen kommer att visa hur teorin forutsager

att ett Higgsfalt kan oka massan pa partiklar. Samt att inflation leder till en partikelpro-

duktion dar antalet partiklar och deras energi beror pa inflationens exakta forlopp.

1 Introduktion

1.1 Beskrivning av uppsatsens syfte och innehall

Malet med denna uppsats ar att visa hur man kan bygga upp en kvantfaltteori i diskretiseradform och tillampa den pa en specifik situation. Namligen pa den hypotetiska inflationsfasen somuniversum kan ha genomgatt. Det finns ocksa ett syfte i att testa metoden i sig. Ar sattet somteorin byggs upp pa lampligt? Blir teorin anvandbar?

Det vanliga sattet att konstruera en kvantfaltteori ar att anvanda sig av en Lagrangefunktionpa ett kontinuerligt falt. Utifran detta finns det tva konventionella satt att kvantisera faltet. Detva satten blir till den kanoniska formen och vagintegralformen [1]. Enligt samma principerar ocksa den ovanligare vagfunktionalformen [2] harledd. Vi ska istallet utga fran ett diskretmekaniskt falt (ett system av kulor och fjadrar) for att na samma mal. Priset vi far betala aratt faltet blir just diskret istallet for kontinuerligt.

1

Varfor ar det meningsfullt att konstruera en diskret kvantfaltteori? Svaret ar matematiskenkelhet. Det gor den relativt enkel att harleda och den far en losbarhet som ar anvandbar tillatt testa modeller och erhalla kvalitativa resultat. Den diskreta teorin ar ocksa lattforstaelig somgor det enkelt att se den kvantfalt-teoretiska bilden av en partikel. Bilden av en partikel som enfaltexcitation vars massa orsakas av kopplingar till Higgsfalt.

Kvantfaltteorier i diskretiserad form ar ingen nyhet. Det enda kanda sattet att berakna t.exprotonens massa utifan fundamentala principer ar med just diskreta faltteorier. Ansatser till endiskret faltteori kan sparas tillbaka till 50-talet i ett arbete av Schiff [3]. Dar var utgangspunktenen kontinuerlig kvantfaltteori som sedan diskretiseras. I denna uppsats ar utgangspunkten istalletett fran borjan diskretiserat klassiskt system som sedan beskrivs med kvantmekanik.

Diskreta kvantfaltteorier tillampas bast pa system som ar starkt begransade i utstrackningoch har en ovre grans for energin. Darfor passar de sa bra for hadroner. Vi ska tillampa endiskretiserad teori pa universum som helhet. Det gar egentligen utanfor teorins ramar men dengor det mojligt att pa ett enkelt satt undersoka vilka effekter en inflationsfas kan ha for materiani universum.

I avsnitt 1.2 i detta kapitel ges en introduktion till kvantfaltteori och inflation, som ar detva delar denna uppsatts handlar om. Darefter borjar det egentliga arbetet i kapitel 2. Darkonstrueras en enkel diskret kvantfaltteori med elementar klassisk mekanik, speciell relativitets-teori och icke-relativistisk kvantmekanik (Schrodingerekvationen) tillampade pa ett mekanisktfalt. De forutsagelser teorin ger for Higgsfalt och inflation behandlas i kapitel 3. Dar anvandsen ”toy model”, en modell som ar sa enkel att den knappast representerar hela verklighetenmen anda bor innehalla vissa aspekter av den. Aven om resultaten blir kvalitativa ar de nogsa intressanta. De visar pa ett satt att ge partiklar deras massor, en mojlig mekanism tillpartikelproduktion och en hint till svaret pa fragan om var all materia kommer ifran.

1.2 Bakgrund

Har ges en kortfattad beskrivning av vad kvantfaltteori ar. En motivering till varfor abstraktafalt infors och vad det finns for belagg for att dessa falt verkligen existerar. Universums inflationkommer ocksa att behandlas. Varfor den behovs och vad den har for faltegenskaper.

1.2.1 Faltiden

I kvantfaltteorin beskrivs partiklar och deras vaxelverkan med falt. Man forestaller sig att detexisterar flera abstrakta falt i rummet. Narmare bestamt ett falt for varje fundamentalt partikel-slag. Som vi kommer att se ar varje godtycklig svangning i ett falt med andlig utstrackning ensuperposition av staende vagor. Precis pa samma satt som varje svangning i en gitarrstrang aren overlagring av strangens fundamentalfrekvenser. Nar dessa staende vagor i faltet behandlaskvantmekaniskt visar det sig att de bara kan ha vissa diskreta energier. Det ar dessa energiersom motsvarar partiklar. I denna bild reduceras partiklar till excitationer av falt, faltens kvanta.Vad ar det som har tvingat fysiken till denna revidering av vad en partikel ar? Och vad finnsdet for observationer som stodjer detta synsatt?

Begreppet falt infordes i fysiken i mitten av 1800-talet av Faraday och Maxwell som medframgang forklarade den elektromagnetiska vaxelverkan med kraftfalt. Men ar faltiden ocksagangbar for materia? En antydan till denna mojlighet far man fran Schrodingerekvationen. Desslosningar ar funktioner, eller falt om man sa vill, som ar utstrackta over hela rummet. Men dentraditionella tolkningen av detta falt ar att den anger sannolikhetamplituden for att finna enpartikel i en given punkt. Sa bilden av partiklar som punkter lever kvar.

De mest utmarkande egenskaperna for en traditionell partikel ar att den bar rorelsemangdoch har ett lokaliserat lage. Med ett lokaliserat lage menas att partikeln befinner sig inom ett

2

givet andligt omrade med 100% sakerhet. Hur kan detta beskrivas utifran en faltbild? Nar mankombinerar speciell relativitetsteori med kvantmekanik far man svaren. Nar ett falt transporterarenergi bar den ocksa med sig rorelsemangd enligt det relativistiska sambandet E2 = m

2c4+p

2c2.

Faltet kan da ge en stot pa samma satt som en partikel utan att en partikel i traditionellbemarkelse ar narvarande. Nar det galler lokaliteten sa visade Hegerfeldt [4] att om en partikelar lokaliserad vid tiden t0 sa finns det en sannolikhet skild fran noll att hitta den godtyckligtlangt bort for alla t > t0. Det strider mot relativitetsteorins hastighetsbegransning. Slutsatsenblir att en partikel inte kan vara lokaliserad utan maste vara utspridd over hela rummet.

Sa om punktpartiklar inte behovs for att ge stotar och partiklar dessutom aldrig kan varahelt lokaliserade till ett aldrig sa stort omrade, ar det en stark indikation for att punktpartiklarhelt enkelt inte existerar annat an som anvandbara tankemodeller. Anledningen till att partiklarverkar vara lokaliserade beror pa deras vaxelverkan. Vaxelverkan sker alltid i en punkt. Precissom man absorberar all energi i en gitarrstrang genom att nudda den vid en punkt med fingret.Detta pekar mot en battre tolkning av Schrodingerekvationens falt. Att den ger sannolikhets-amplituden for att en vaxelverkan ska aga rum i en given punkt. Materiefaltet for exempelvis enelektron ar elektronen.

Det kanske storsta experimentella stodet for att falt ar naturens fundamentala enhet snararean partiklar ar studiet av vakuum [5]. Enligt partikelmodellen ar vakuum helt enkelt intet ochborde inte ha nagra egenskaper. Men som det kommer att framga senare i uppsatsen har vakuumenligt faltmodellen bade energi och fluktuerande faltvarden, sa kallade vakuumfluktuationer, somger pavisbara effekter. Som exempel kan namnas Lambskiftet som ar en uppsplittring av tvaenerginivaer i vateatomen som uppstar pa grund av vaxelverkan mellan elektronen och vakuum.Samt Casimireffekten som ar en kraft mellan tva parallella plattor mycket nara varandra. Denorsakas av att vakuum far en annan struktur i det tranga utrymmet mellan plattorna som gerupphov till en matbar kraft.

Det ar ett faktum att kvantfaltteorier ar de teorier som bast overensstammer med experi-mentella data.

1.2.2 Inflation

Universums uppforande beskrivs av den allmanna relativitetsteorin ur vilken Friedmannekva-tionerna ar harledda. I franvaro av kosmologisk konstant lyder den ena

H2 =

8πG

3ρ(t)− kc

2

a2(1.1)

dar a = a(t) ar skalfaktorn, H ≡ a/a ar Hubbleparametern, ρ ar universums densitet (inklusiveenergin). Konstanten k ∈ −1, 0,+1 anger universums geometri, oppen (-1), sluten (+1) ellerplatt (0). Nar denna ekvation tillampas pa konventionell Big Bangteori uppstar en del problem.

Ett av dem ar horisontproblemet. Hur kan den kosmiska bakgrundsstralningen ha i principsamma temperatur pa diametralt motsatta sidor av himlen? Det maste vara sa att omradenahar kommunicerat med varandra och uppnatt termisk jamvikt. Avstandet en ljussignal somutsandes vid tiden t ar fran sin kalla idag vid tiden t0 ar

t0

t

a(t0)

a(t)cdt (1.2)

[6]. Sa om t∗ anger tiden da bakgrundsstralningen frigjordes fran materian sa maste

t0

t∗

a(t0)

a(t)cdt a(t0)

a(t∗)

t∗

0

a(t∗)

a(t)cdt ⇒

t0

t∗

dt

a(t)

t∗

0

dt

a(t)(1.3)

3

for att jamvikt ska ha hunnit att uppsta. Eftersom t∗≈300 000 ar och t0≈13.7 miljarder ar art∗ t0. Da maste a som minst vara proportionell mot t (a ∝ t

p, p 1) for att olikheten skagalla. Men i konventionell Big Bangteori ar detta inte mojligt. I den ar de enda mojligheternafor densiteten att ρ ∝ a

−3 nar universum ar materiedominerat och ρ ∝ a−4 nar universum ar

stralningsdominerat. Skiftet mellan materie- och stralningsdominans rakar pa ett ungefar sam-manfalla med t∗. Tillsammans med det observationella faktumet att den andra termen i Fried-mannekvationen ar forsumbar gor att dess losning blir

a ∝t2/3 materiedominas

t1/2 stralningsdominans.

(1.4)

Det ar ett for svagt tidsberoende pa a for att olikheten (1.3) ska vara uppfylld.Ett annat problem ar planhetsproblemet. Varfor ar universum sa platt nar det skulle kunnat

ha vilken krokning som helst? Eller ekvivalent, varfor har universum en densitet som ar sa naraden kritiska? Den kritiska densiteten, ρc, ar densiteten som kravs for att universum ska saknakrokning (k = 0). Enligt ekv. (1.1) ar da

ρc ≡3H2

8πG. (1.5)

Om densitetsparametern Ω ≡ ρ(t)/ρc infors kan Friedmannekvationen skrivas

H2 = H

2Ω− kc2

a2⇒ Ω− 1 =

kc2

a2H2=

kc2

a2. (1.6)

Med de ovan givna forutsagelserna for a ar da

|Ω− 1| ∝t2/3 materiedominas

t stralningsdominans(1.7)

som sager att densiteten borde avvika mer och mer fran kritisk densitet. Idag ar utan tvivel|Ω−1| < 1 sa nar universum var en sekund gammalt var |Ω−1| < 10−16! Det ar en for noggrannfinjustering for att vara en tillfallighet.

Bada dessa problem forsvinner om universum under nagon epok genomgick en exponentiellutvidgning, sa kallad inflation. Om a ∝ e

t/τ dar τ ar en konstant kan olikheten (1.3) mycketval vara uppfylld. Anledningen ar att med ett sadant tidsberoende finns det ingen grans for hurmycket mindre a kan ha varit innan inflationen i jamforelse med efterat. Det kravs bara attinflationen ager rum innan t∗ och varar tillrackligt manga τ . En ljussignal som sandes innaninflationen kan da ha kommit godtyckligt langt bort. For densitetsparametern galler under eninflation att |Ω − 1| ∝ e

−2t/τ sa att densiteten drivs mot kritisk densitet. Sa aterigen, barainflationen varar tillrackligt manga τ kan universum bli godtyckligt platt hur krokt det an varfran borjan (sa lange universum inte har hunnit kollapsa innan inflationen).

Ska denna teori vara trovardig maste det finnas en fysikalisk orsak som kan ge upphov tilldetta fenomen. En mojlig mekanism ar just ett falt. Ett falt med en nagot annorlunda potential.

Ett falts potential kan tolkas som dess inre energitathet. Den ar oftast proportionell motfaltvardet i kvadrat, som de elektriska och magnetiska falten. Men med en potential som den ifig. 1 eller nagot liknande ar inflation mojligt [7]. Ett sadant falt benamns allmant for Higgsfaltefter Peter Higgs. En brittisk teoretisk fysiker som tillsammans med (men oberoende av) FrancoisEnglert 1964 var forst med att lansera denna typ av falt. Anledningen var att fa en teoretiskforklaring till varfor kraftformedlarna i den svaga vaxelverkan har massa [8]. Men for att undvikasammanblandning med andra Higgsfalt kallas faltet som orsakar inflationen for inflatonfaltet.

4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

Φ

Φ0

V V 0

Figure 1: En mojlig potential for ett inflatonfalt. Det speciella ar att faltet har minst energi narfaltvardet φ = 0, vilket ar karaktaristiskt for Higgsfalt.

Man utgar fran den hoga temperatur och energitathet som universum hade i borjan avsin existens och tanker sig att faltet da befinner sig pa ”platan” [9]. Faltvardet φ fluktuerarda kring φ = 0. Nar sen den ”normala” utvidgningen far universum att tunna ut och svalna,fastnar inflatonfaltet pa platan och dess energi borjar att dominera. Det leder till att den totalaenergitatheten blir vasentligen konstant. Sa aven om alla faltvarden ar noll finns dar energi.Vakuum kan definieras som det tillstand dar energin har sitt lagsta varde och darfor kallas dettatillstand for ett falskt vakuum. Men hela begreppet vakuum far en ny innebord med ett sadantfalt. Nar energin ar noll finns dar istallet ett faltvarde som ger fysikaliska effekter. Sa dentraditionella bilden av vakuum som ett intet bryts ned av ett Higgsfalt. Aven nar man bortserfran kvantmekaniska effekter.

Eftersom energitatheten, och darmed densiteten, ar konstant under en inflationsfas visarekv. (1.1) attH=konstant sa lange inflationen varar. Aterigen anvander vi att den andra termenkan ignoreras. Den approximationen blir battre ju langre bak i tiden man tittar. Densitetenskalar som a

−3 eller a−4 sa den forsta termen vaxer mycket snabbare nar man gar bakat i tiden.Under inflationen far man att

a = Ha ⇒ a ∝ eHt (1.8)

som beskriver en exponentiell utvidning sa lange inflatonfaltet ar pa platan.For de flesta inflationsmodeller startar inflationen vid plancktiden ∼10−35 s pa nagon stor-

leksordning nar. En uppskattning ar att H ≈ 1035 s−1 vid den tiden. Da racker det med attinflationen varar i endast 10−33 s for att a ska oka med faktorn 1043. Dessa siffror ar mer antillrackliga for att losa horisontproblemet. Planhetsproblemet loses ocksa eftersom |Ω− 1| min-skar med faktorn 1043. Da kan universum ha startat med i stort sett vilken densitet som helstoch anda ha kritisk densitet idag.

5

I denna uppsats ska vi lata inflatonfaltet koppla till ett materiefalt. Vi ska undersoka hurmateriefaltet paverkas nar inflatonfaltet ror sig i sin potential.

2 Konstruktion av diskret kvantfaltteori

I detta kapitel byggs den diskreta kvantfaltteorin upp steg for steg pa ett sa valmotiverat sattsom mojligt. Vi borjar med att ge en klassisk beskrivning av ett mekaniskt falt. Darefterkvantiseras faltet genom att infora kvantmekaniska operatorer. En stor del av kapitlet agnasat att beskriva och motivera de atgarder som gors for att kunna losa Schrodingerekvationen forfaltet. Losningarna analyseras och tolkas. Kapitlet avslutas med nagra papekanden och exempel.

2.1 En mekanisk borjan

Vi skapar en modell av ett falt genom att anvanda kulor och fjadrar [10]. Kulorna har massanm

(dar det finns ett prim pa m:et for att undvika senare sammanblandning med partiklarsmassor). Varje kula ar fastsatt i en given punkt pa x-axeln pa avstandet a fran varandra meden fjader vars fjaderkonstant ar k och som har langden 0 i ostrackt lage. Dessutom ar varje kulakopplad till sina grannar med andra fjadrar som ocksa har langden 0 i ostrackt lage. Det gor attdessa fjadrar orsakar en konstant spannkraft T i x-led. For enkelhetens skull tanker vi oss ett1-dimensionellt falt slutet som en cirkel med endast tre kulor.

x

q

0

q1

q0

q1

1

0

1

x 0

x a x a

T T

k

Α Β

Figure 2: Skiss for var modell av ett falt. Notera att kula -1 kopplar till kula 1. Den valdanumreringen beror pa symmetriskal som kommer att framga.

Den intressanta storheten for systemet ar energin. Lat oss berakna denna. Utifran fig. 2 serman att nettokraften i q-led pa kula 0 ges av

F0 = −kq0+T tanα+T tanβ = −kq0+Tq−1 − q0

a+T

q1 − q0

a= −kq0+

T

a(q−1−2q0+q1) (2.1)

Pa samma satt ar

F−1 = −kq−1 +T

a(−2q−1 + q0 + q1) (2.2)

F1 = −kq0 +T

a(q−1 + q0 − 2q1). (2.3)

6

Enligt definitionen for potentialen V = V (q−1, q0, q1) galler att

∂V

∂qi= −Fi (2.4)

och med det naturliga V (0, 0, 0) = 0 beraknas detta till

V =1

2k(q2−1 + q

20 + q

21) +

T

a(q2−1 + q

20 + q

21 − q−1q0 − q−1q1 − q0q1). (2.5)

Tillsammans med rorelseenergin blir da den totala energin for systemet

E =(p2−1 + p

20 + p

21)

2m +1

2k(q2−1 + q

20 + q

21) +

T

a(q2−1 + q

20 + q

21 − q−1q0 − q−1q1 − q0q1) (2.6)

dar pi = mqi ar rorelsemangden for kula i.

Skapa matrisen

G =

2 −1 −1

−1 2 −1−1 −1 2

(2.7)

sa kan energin enklare skrivas

E =1

i=−1

p2i

2m +1

2kq

2i+

1

i=−1

1

j=−1

T

aqi1

2Gijqj . (2.8)

Denna ekvation ar latt att generalisera till N st kulor. Man behover bara observera att varjekula kopplar till sina tva grannar och till sig sjalv. Det ger att i det generella fallet ar

G =

2 −1 0. . . 0 −1

−1 2 −1 0. . . 0

0 −1. . .

. . . 0. . .

. . . 0. . .

. . . −1 0

0. . . 0 −1 2 −1

−1 0. . . 0 −1 2

, Gij =

2 da i = j

−1 da i = j ± 1

0 for ovriga

(2.9)

for alla heltalsvarden i och j sadana att

−N − 1

2 i, j N − 1

2⇔ −N

i, j N. (2.10)

Har har N blivit definierad for senare anvandning. Notera att med detta skrivsatt maste N varaudda och vi ska bara anvanda udda N . Dels for att kunna ha en enkel symmetrisk fordelning pai och j men ocksa av en fysikalisk orsak som kommer att dyka upp senare. Energin ar funnenoch det ar dags att tillampa kvantmekanik pa modellen.

2.2 Kvantmekanisk beskrivning

Vi gar over till en kvantmekanisk bild av systemet som nu ska tolkas som ett fundamentalticke-mekaniskt falt. Det ar da lampligt att gora sig av med kulorna och fjadrarna genom att

7

satta

m = µa (2.11)

k = κa. (2.12)

Har ar µ faltets linjedensitet och κ en slags fjaderkonstant per langdenhet. Dessa storheter aroberoende av variabeln a (som nu ar ett matt pa hur diskretiserat faltet ar) och kan tolkas somfundamentala naturkonstanter for det aktuella faltet. Amplituden q ska nu inte uppfattas som ettrumsligt utslag utan helt enkelt som ett faltvarde som inte har nagon kinematisk motsvarighet.

Med detta sagt ar det dags att fora in kvantmekaniken. Steget fran klassisk fysik tillkvantfysik tas genom att byta ut de klassiska storheterna for position och rorelsemangd motmotsvarande kvantmekaniska operatorer [5] som markeras med ett ”tak”. Med vara beteck-ningar blir bytet

qi → qi = qi (2.13)

pi → pi = −i ∂

∂qi(2.14)

(forvaxla inte index i med den imaginara enheten). Det forsta bytet ar snarast formellt menbelyser anda att variabeln q i kvantmekaniken inte anger positionen for en kula. Endast posi-tionens forvantansvarde kan beraknas med denna operator. Efter anvandning av operatorerna ienergiuttrycket (2.8) tillsammans med ekv. (2.11) och ekv. (2.12) fas for ett godtyckligt N att

H =

i

− 22µa

∂2

∂q2i

+1

2κaq

2i+

i,j

T

aqi1

2Gijqj (2.15)

dar E har bytts ut mot H = E for att visa att den klassiska storheten energi har ersatts av enkvantmekanisk operator, Hamiltonoperatorn.

Operatorerna verkar pa den i kvantmekaniken inforda vagfunktion Ψ = Ψ(q−N , . . . , qN , t)som fullstandigt beskriver tillstandet hos ett givet system. Malet ar att finna vagfunktionen forfaltet. Nar Hamiltonoperatorn saknar tidsberoende finns det stationara losningar med formenΨ(q−N , . . . , qN , t) = ψ(q−N , . . . , qN ) exp(−iEt/). For att finna dessa ska den tidsoberoendeSchrodingerekvationen

Hψ = Eψ (2.16)

losas. Det gors enklast genom att diagonalisera G sa att alla korstermer (qiqj , i = j) elimineras.Da blir Hamiltonoperatorn en operator for N st oberoende harmoniska oscillatorer for vilka detfinns standardlosningar.

2.3 Diagonalisering

Med kolonnmatrisen

q =

...q−1

q0

q1...

(2.17)

kan man skriva ekv. (2.15) som

H = − 22µa

i

∂2

∂q2i

+1

2κaq

Tq +

1

2

T

aqTGq. (2.18)

8

Diagonaliseringen gors med koordinatbytet

q = AQ. (2.19)

Matrisen A ska uppfylla kraven

ATGA = D (2.20)

ATA = I (2.21)

dar D ar en diagonalmatris och I ar enhetsmatrisen. Anledningen till dessa krav ar att iekv. (2.18) elimineras korstermerna i tredje termen samt att det inte uppstar nagra korstermer ide tva forsta termerna. Alltsa att

i

∂2

∂q2i

=

j

∂2

∂Q2j

, qTq = Q

TQ, q

TGq = Q

TDQ. (2.22)

Att det blir sa visas i appendix A.Vi stodjer oss pa satser i den linjara algebran for att konstatera foljande [11]. Ska A kunna

diagonalisera G maste kolonnvektorerna i A vara egenvektorer till G. Kravet ATA = I innebar

att kolonnvektorerna dessutom maste vara ortonormerade. Att dessa krav alltid kan uppfyllasfor ett godtyckligt N garanteras enligt spektralsatsen av att G ar symmetrisk for varje N .

Det innebar att efter koordinatbytet kan Hamiltonoperatorn (2.15) skrivas

H =

i

− 22µa

∂2

∂Q2i

+1

2

κa+ λi

T

a

Q

2i

(2.23)

dar λi = Dii ar diagonalelementen i D och egenvardena till G.

2.4 A-matrisen

For att finna A vars kolonnvektorer ar egenvektorer till G tar vi forst fram egenvardena till Ggenom att losa egenvardesekvationen

0 = det(G− λI). (2.24)

I fallet N = 3 ar den

0 =

2− λ −1 −1−1 2− λ −1−1 −1 2− λ

= −λ

3 + 6λ2 − 9λ (2.25)

som har roten λ = 0 och dubbelroten λ = 3. Egenvektorerna, X, hittas genom att losa ekvationen

GX = λX (2.26)

for varje egenvarde. Losningarna ar

X =

t(1, 1, 1) nar λ = 0

r(−1, 1, 0) + s(−1, 0, 1) nar λ = 3(2.27)

dar t, r och s ar parametrar. Med de givna kraven pa A maste en kolonnvektor vara (1, 1, 1)/√3.

Men det finns ett oandligt antal satt att valja de andra kolonnvektorerna. Alltsa ar A inte unik.

9

Om mojligt bor vi valja kolonnvektorer sa att A blir en symmetrisk matris for att underlattavara berakningar sa mycket som mojligt. Med detta tillagg finns det endast en typ av matris attvalja pa, namligen

A =1√3

− 1

2 −√32 1 − 1

2 +√32

1 1 1

− 12 +

√32 1 − 1

2 −√32

. (2.28)

Notera att varje harmonisk oscillator Qi kan tolkas som en staende vag i faltet, en sa kallad mod,som tillsammans kan superpositionera till en godtycklig form. Att det finns oandligt manga valfor A innebar att det finns ett oandligt antal uppsattningar staende vagor som bildar en bas forsamtliga vagor.

For ett godtyckligt N ger elementen

Aij =1√N

cos

ij2π

N

+ sin

ij2π

N

(2.29)

en matris som uppfyller kraven (2.20) och (2.21). Samtidigt blir A symmetrisk (det ar en avanledningarna till den symmetriska fordelningen pa i och j). Att A uppfyller kraven visas iappendix B. Dar visas ocksa hur man hittar egenvardena till matrisen G som ar

λi = 4 sin2iπ

N

. (2.30)

2.5 Analys av losningarna till Hψ = Eψ

2.5.1 Variabelseparation

Hamiltonoperatorn skriven som i ekv. (2.23) ar en operator for N st oberoende harmoniskaoscillatorer eller moder. Amplituden representeras av Qi och ”fjaderkonstanten” ar κa+ λiT/a.Det ar darfor lampligt att forst ta fram ψ uttryckt i koordinaten Q. Eftersom varje Qi aroberoende av de andra kan losningarna skrivas

ψ(Q−N , . . . , QN ) =

i

ψi(Qi). (2.31)

Da kan man plocka fram varje ψi for sig genom att losa

Hiψi = Eiψi (2.32)

dar H =

Hi och E =

Ei.

2.5.2 Faltteorins partikeltolkning

Till att borja med ska vi titta pa egenvardena Ei som ar de mojliga energierna varje mod Qi kanha (vid en hypotetisk matning). For den harmoniska potentialen vet vi att dessa ar

Ei,ni = ωi(ni + 1/2) (2.33)

dar

ωi =

κa+ λiT/a

µa=

κ

µ+

λiT

µa2. (2.34)

Energistegen, Ei = ωi, ar alltsa lika stora for varje enskild Qi (observera att samma beteckninganvands for ett energisteg som for den totala energin i Schrodingerekvationen). Vi postulerar att

10

ett energisteg motsvarar den totala energin for en reell partikel med massan m och rorelsemang-den pi. Vi tanker oss att partikeln ar en excitation av faltet. Alltsa, vi ansatter det relativistiskasambandet

Ei =m2c4 + p

2ic2 (2.35)

som tillsammans med ekv. (2.34) ger att

2 κµ+ 2λiT

µa2= m

2c4 + p

2ic2. (2.36)

Har har vi antagit att massan ar oberoende av i, att ett falt bara kan ge upphov till en typ avpartiklar. Nar man tittar pa uttrycket (2.36) ar det logiskt att identifiera term for term. Viantar att detta ar mojligt och satter

2 κµ

= m2c4 ⇒ κ = µ

m2c4

2 (2.37)

och

2λiT

µa2= p

2ic2. (2.38)

Det verkar rimligt eftersom rorelsemangden da kopplar till egenvardena pa ett direkt satt. Foratt komma vidare behovs annu ett postulat. Vi postulerar att all vagutbredning i faltet sker med

ljushastigheten (som inte ska forvaxlas med partiklarnas utbredningshastighet). Enligt klassiskmekanik ar farten for vagutbredning i en dimension

T/µ och da ar

c =

T

µ⇒ T = µc

2. (2.39)

Detta tillsammans med ekv. (2.38) och ekv. (2.30) gor att rorelsemangden kan skrivas

p2i= λi

2a2

⇒ pi = ±

λi

a= 2 sin

iπ

N

a. (2.40)

For att fa fram den sista likheten valjs (+) da i > 0 och (−) da i < 0.

2.5.3 Rorelsemangden

Det ar dags att reflektera over det vi har fatt fram om rorelsemangden. Vi kan konstatera attp0 = 0 ar ett tillstand i vila. Pa ett naturligt satt blir pi > 0 nar i > 0 och pi < 0 nar i < 0.Rorelsemangden pi ar lika stor som p−i men riktad at motsatt hall som visas i fig. 3. Symmetrinar da total och detta ar den fysikaliska anledningen till att bara anvanda udda N . Man far daett och endast ett tillstand i vila.

p2 p1 p0 p1 p2

Figure 3: Schematisk bild av partiklars rorelsemangder for olika i.

11

Om detta uttryck for rorelsemangden ar korrekt bor partikeln har en deBroglievaglangd,h/|p|, som gar ett helt antal ganger pa ett varv i vart miniuniversum for att inte interfereradestruktivt med sig sjalv. Om det stammer maste det for ett heltal k galla att

Na = kh

|pi|= k

πa

siniπ

N

⇒ siniπ

N

=

kπ

N. (2.41)

Men ekvationen ar inte losbar for i = 0. Vad ar fel? Nar i N ar sin(iπ/N) ≈ iπ/N och medden approximationen ar losningen k = i. Sa modellen ar inte helt fel. Men varfor galler den intefor alla i? Skalet ar att det maste finnas ett storsta varde pa rorelsemangden eftersom faltetar diskretiserat. En deBroglievaglangd mindre an a ar inte mojligt att beskriva med en diskretteori. Det maste galla att

h

|p|max

> a ⇒ |p|max < 2πa

(2.42)

vilket ar uppfyllt, eftersom i var modell ar

|p|max < 2a. (2.43)

Sa vara resultat for rorelsemangden ar rimliga och stammer overens med kand fysik (atminstonefor i N). Att det finns ett maximalt varde pa rorelsemangden ar naturligtvis en brist somteorin har men med ett tillrackligt litet a kan en godtyckligt hog rorelsemangd erhallas.

2.5.4 Hamiltonoperatorn skriven med kanda konstanter

Nu kan de okanda kontanterna k och T i Hamiltonoperatorn skriven som i ekv. (2.23) bytas utmot de kanda konstanterna m och c genom att anvanda ekv. (2.37) och ekv. (2.39). Vi far att

H =

i

− 22µa

∂2

∂Q2i

+1

2

µa

m2c4

2 + µλi

c2

a

Q

2i. (2.44)

Konstanten µ ar fortfarande kvar. For att bli av med den gors annu ett koordinatbyte. I denkvantmekaniska faltmodellen ar Q (och q) abstrakta storheter som ej ar matbara. Darmed kanvi skala faltvardet Q godtyckligt och satta

U =õQ. (2.45)

Med denna koordinat blir Hamiltonoperatorn

H =

i

−22a

∂2

∂U2i

+1

2a

m

2c4

2 + λi

c2

a2

U

2i

(2.46)

och µ ar eliminerad. Den finns i koordinaten U som darmed far dimensionen√ML.

2.5.5 Vagfunktionen ψ for koordinaten U =√µQ

Nu vands uppmarksamheten mot egenfunktionerna ψ. Ekv. (2.31) galler ocksa for koordinatenU . Da kan de kanda losningarna for den harmoniska potentialen anvandas for varje Ui. Eftersomalla ψi har en losning for varje kvanttal ni sa ar

ψn−N ,...,nN (U−N , . . . , UN ) =

i

ψi,ni(Ui) =

i

Ci,niHni

aωi

Ui

exp

−aωi

2 U2i

=

i

Ci,niHni

aωi

Ui

exp

− a

2

i

ωiU2i

(2.47)

12

dar H ar ett Hermitepolynom och C ar en normeringskonstant som ges av

Ci,ni =1√

2nini!

aωi

π

1/4. (2.48)

Med de nya kanda konstanterna ar

ωi =

m2c4

2 + λi

c2

a2. (2.49)

For dessa stationara losningar sa ar rorelsemanden valbestamd. Det innebar att laget for en par-tikel ar fullstandigt obestamt. Dess sannolikhetsfordelning ar jamnt fordelad over hela rummet.

2.5.6 Vagfunktionen ψ for koordinaten u =√µq

Nu nar losningarna ar funna ar malet att ga tillbaka till koordinaten q, eller snarare till denskalade koordinaten u =

õq, eftersom den ar relaterad till x-axeln genom sambandet x(ui) = ia.

Vi vet att

q = AQ ⇒ √µq = A

√µQ ⇔ u = AU ⇒ U = A

−1u = Au (2.50)

som ger

Ui =

k

Aikuk. (2.51)

Detta uttryck kan anvandas i Hermitepolynomet i ekv. (2.47). I samma ekvation kan summan iexponenten skrivas

i

ωiU2i= U

TBU (2.52)

dar B ar en matris med elementen

Bij =

ωi da i = j

0 for ovriga.(2.53)

EftersomU

TBU = (Au)TBAu = u

TA

TBAu = u

TABAu ≡ u

TΓu (2.54)

dar matrisen Γ blivit definierad, sa ar

i

ωiU2i=

i,j

uiΓijuj . (2.55)

Aterstar att ta fram Γ. Anvander man formeln for matrismultiplikation ser man att

(BA)ij =

k

BikAkj = ωiAij (2.56)

och da ar

Γij =

k

AikωkAkj

=1

N

k

ωk

cos

ki

2π

N

+ sin

ki

2π

N

cos

kj

2π

N

+ sin

kj

2π

N

.

(2.57)

Jamfor vi med ekv. (B.4) i appendix B forstar vi att detta ar ekvivalent med

Γij =1

N

k

ωk cos

k(i− j)

2π

N

. (2.58)

13

2.6 Formler for den diskretiserade kvantfaltteorin

Har foljer en sammanfattning av de formler vi har tagit fram.

• Vagfunktionen for koordinaten U

ψn−N ,...,nN =

i

Ci,niHni

aωi

Ui

exp

− a

2

i

ωiU2i

. (2.59)

• Vagfunktionen for koordinaten u

ψn−N ,...,nN =

i

Ci,niHni

aωi

k

Aikuk

exp

− a

2

i,j

uiΓijuj

(2.60)

Aij =1√N

cos

ij2π

N

+ sin

ij2π

N

(2.61)

Γij =1

N

k

ωk cos

k(i− j)

2π

N

. (2.62)

• Normeringskonstant

Ci,ni =1√

2nini!

aωi

π

1/4. (2.63)

• Vinkelfrekvens

ωi =

m2c4

2 + λi

c2

a2. (2.64)

• Energi for en partikel

Ei =

m2c4 + λi

2c2a2

. (2.65)

• Rorelsemangd for en partikel

pi = 2 siniπ

N

a. (2.66)

• Egenvarde

λi = 4 sin2iπ

N

. (2.67)

2.7 Energispektrum

Varje partikel i ett energi-egentillstand kan bara anta nagon av de N st mojliga energiernaE−N , . . . , EN . For min- och maxenergierna galler

Emin = E0 = mc2 (2.68)

Emax = E±N =

m2c4 + 4 sin2

N π

N

2c2a2

→

m2c4 + 42c2a2

da N → ∞. (2.69)

Maxenergin beror pa variabeln a. Det betyder att a kan valjas pa ett sadant satt att man farmed de energier som ar intressanta i varje enskilt fall. Ett stort a for att beskriva lagenergetiskapartiklar och ett litet a for att beskriva hogenergetiska partiklar. Antalet energisteg bestams avN . Ju storre N desto fler energisteg och en mer realistisk modell. Ett lagre N ger istallet enmer latthanterlig vagfunktion for faltet. Sa det rader en kompromiss mellan noggrannhet ochenkelhet.

14

a 0.2

a 0.5

a 2

Figure 4: Energispektrum for olika varden pa a i enheten /mc. En kurva ar oberoende av N

som endast bestammer antalet energisteg pa kurvan.

2.8 Nagra exempel

Det ar instruktivt att explicit skriva ner vagfunktionen for nagra enkla och specifika fall for att faen uppfattning av sannolikhetsfordelningen over olika faltkonfigurationer. Darfor gar vi tillbakstill N = 3 och konstaterar att

Γij =

13 (ω−1 + ω0 + ω1) da i = j

13 (−

12ω−1 + ω0 − 1

2ω1) da i = j, ωi =

mc

2

da i = 0m2c4

2 + 3 c2

a2 da i = ±1.(2.70)

A-matrisen kanner vi sedan innan i ekv. (2.28). Vi borjar med att betrakta vakuum dar n−1 =n0 = n1 = 0 som ger vagfunktionen

ψ0,0,0(u−1, u0, u1) ∝ exp

− a

2

1

i=−1

1

j=−1

uiΓijuj

=exp− a

6(ω−1+ω0+ω1)(u

2−1+u

20+u

21)+(−ω−1+2ω0−ω1)(u−1u0+u−1u0+u0u1)

.

(2.71)

Normeringskonstanten ar inte intressant i detta kvalitativa resonemang dar endast jamforelsermellan sannolikheter for olika utseende pa faltet gors. Men vad sager denna vagfunktion? Forsannolikhetstatheten ρ galler att

ρ(u−1, u0, u1) = |ψ(u−1, u0, u1)|2. (2.72)

Sa ju storre belopp vagfunktionen har desto storre ar sannolikheten for just den faltkonfiguratio-nen. Ett studium av ψ0,0,0(u−1, u0, u1) visar att sannolikheten ar storst for u−1 = u0 = u1 = 0.

15

Det framgar ocksa att sannolikheten ar storre for de konfigurationer dar alla ui har samma teckeneftersom −ω−1+2ω0−ω1 < 0. Med det speciellt fallet u−1 = u0 = u1 = k dar k ar en godtyckligkonstant blir

ψ0,0,0(k, k, k) ∝ exp

−3aω0

2 k2

(2.73)

som ar samma typ av vagfunktion som for en enkel harmonisk oscillator i grundtillstandet. Det arbra att ha i atanke nar man ska gora sig en bild av vagfunktionen nar partiklar finns narvarande.Pa grund av symmetrin ar vantevardet for faltet (0, 0, 0). Vantevardet pa kvadraten av faltet,(u2

−1, u20, u

21), ar dock skilt fran noll. Detta ar vakuumfluktuationer som ger upphov till fenomen

som Lambskiftet och Casimireffekten som omnamndes i introduktionen.Nar normeringskonstanten bortses kan vagfunktionen skrivas pa ett mer overskadligt satt,

namligen

ψn−1,n0,n1 ∝

1

i=−1

Hni

aωi

1

k=−1

Aikuk

ψ0,0,0 (2.74)

som visar pa fordelen av att ha en uppfattning for hur vagfunktionen for vakuum ser ut.Vagfunktionen for faltet nar det finns en partikel i vila narvarande ar

ψ0,1,0 ∝ H1

aω0

1

k=−1

A0kuk

ψ0,0,0 ∝ (u−1 + u0 + u1)ψ0,0,0. (2.75)

Aterigen ar sannolikheten storre nar alla ui har samma tecken. Storst sannolikhet fas for u−1 =u0 = u1 = k for nagot k = 0. Notera att ψ0,1,0 = 0 for k = 0. Slutligen tar vi en narmare titt paett tva-partikeltillstand. Narmare bestamt

ψ0,0,2 ∝ H2

aω1

1

k=−1

A1kuk

ψ0,0,0

≈−2 + 4

aω1

(−0.37u−1 + u0 + 1.37u1)2ψ0,0,0.

(2.76)

Det ar svart att fa en overblick av denna vagfunktion men ett par slutsatser kan dras. Fordet forsta ar i allmanhet ψ0,0,2 = 0 da u−1 = u0 = u1 = 0. Sa trots att partiklar existerar sakan faltet ha ett utseende som ar karaktaristiskt for vakuum. For det andra sa fas den storstasannolikheten for nagra varden dar u−1 har motsatt tecken mot u0 och u1. Man kan alltsa ananagon typ av vag i faltet.

Att ψ0,0,2 = 0 avslojar att faltets kvanta ar bosoner. Det finns det ingen begransning for hurmanga bosoner som kan finnas i samma tillstand. Kvantat i de kanda materiefalten (leptoneroch kvarkar) ar fermioner. De lyder under Paulis uteslutningsprincip som sager att endast enpartikel kan finnas i varje tillstand. Denna kvantfaltteori har alltsa ingen mojlighet att beskrivade kanda materiefalten.

3 Tillampning pa en inflationsfas

Det ar nu dags att anvanda teorin. Teorins begransningar gor att den bast tillampas pa andligasystem som har en uppat begransad energi. Vi ska anda tillampa den pa en tankt inflationsfasnagon gang under universums historia. De enda ansprak vi gor ar att kvalitativt undersokahur ett materiefalt vars kvanta ar bosoner paverkas av inflatonfaltet. Tva olika scenarion forinflationens forlopp kommer att behandlas. Vi ska ocksa se vad inflatonfaltet (eller ett allmantHiggsfalt) har for pavekan i dagens universum. Nu nar inflationen ar over och inflatonfaltetligger i sitt minimum.

16

3.1 Faltkoppling

Tva falt kan paverka varandra om de ar sammankopplade. I den ursprungliga mekaniska modelleni fig. 2 motsvaras det av att det till varje kula finns ytterligare en fjader som ar kopplad till ettyttre falt vars faltvarde betecknas φ. Fran detta falt kommer varje kula att paverkas av kraften

Fφ,i = −µagφ2(xi, t)qi. (3.1)

Har behover flera saker papekas. Det yttre faltet behandlas klassiskt, vilket innebar att dessvarde i varje punkt xi och vid varje tidpunkt t ar valbestamt. Anledningen till att φ upptraderi kvadrat har tva syften. Dels for att φ2 alltid ar positivt, dels for att fa en symmetri mellan detva falten i uttrycket for energin som framgar nedan. Konstanten g 0 ar en kopplingskonstantsom ar ett matt pa hur starkt de tva falten kanner av varandra. Den kommer tillsammans medvariabeln a for att fa rollen som en fundamental naturkonstant oberoende av hur vi valjer attdiskretisera faltet. Den totala kopplingen mellan de tva falten bor vara oberoende av a, sominnebar att kraften pa varje enskild kula blir proportionell mot a (jamfor med hur vi gjorde medkonstanterna k och m

). Har dyker µ upp for att fa g definierad for koordinaten u som vi sedantidigare sett ar en battre koordinat an q.

Denna koppling bidrar med den potentiella energin

Vφ =

i

1

2µagφ

2(xi, t)q2i. (3.2)

For in denna potentiella energi i uttrycket (2.8) sa erhalls den totala energin. Efter att haanvant den kvantmekaniska operatorn for rorelsemangden kan man ga tillbaka till ekv. (2.15) foratt forsta att Hamiltonoperatorn far utseendet

H =

i

− 22µa

∂2

∂q2i

+1

2κaq

2i+

1

2µagφ

2(xi, t)q2i+

i,j

T

aqi1

2Gijqj . (3.3)

Tilde anvands, och kommer att anvandas, pa vissa storheter for att markera att en koppling tillett yttre falt existerar. Nu gar det i allmanhet inte att diagonalisera H eftersom φ i regel varierari rummet. Men vi betraktar inflatonfaltet som bor lyda under den kosmologiska principen somsager att universum overallt ar homogent och isotropt. Det innebar att faltvardet ar detsammaover hela rummet sa att φ(xi, t) = φ(t). Da ar diagonalisering mojlig.

Naturligtvis kan det finnas lokala fluktuationer hos φ utan att strida mot den kosmologiskaprincipen. Det ar rentav troligt att sadana fluktuationer fanns, och finns, i inflatonfaltet. Deskulle ha kunnat ge upphov till de variationer som observeras i bakgrundsstralningen. Universumar inte homogent pa sma skalor. Dessa hypotetiska fluktuationer kommer vi att ignorera.

3.2 Inflatonfaltets effekter idag

I detta avsnitt ska vi titta pa dagens universum efter inflationen. Nu ligger inflatonfaltet i sittminimum sa att φ(t) = φ0, se fig. 1. Med detta faltvarde ska egenvarden och egenfunktioner tillekvationen

H ψ = E ψ (3.4)

hittas. Efter diagonalisering blir ekv. (3.3)

H =

i

− 22µa

∂2

∂Q2i

+1

2

κa+ µagφ

20 + λi

T

a

Q

2i. (3.5)

17

Den enda skillnaden nar det finns en koppling till ett yttre falt ar att ”fjaderkonstanten” har ettannat utseende. Da forstar man att losningarna till ekv. (3.4) i koordinaten U ar

ψn−N ,...,nN (U−N , . . . , UN ) =

i

Ci,niHni

aωi

Ui

exp

− a

2

i

ωiU2i

(3.6)

Ei,ni = ωi(ni + 1/2) (3.7)

dar vinkelfrekvensen nu ges av

ωi =

κa+ µagφ

20 + λiT/a

µa=

κ

µ+ gφ

20 +

λiT

µa2. (3.8)

Det yttre faltet paverkar alltsa energistegen. Men aven nu maste det galla att

Ei =m2c4 + pic

2 (3.9)

som ger relationen

2 κµ+ 2gφ2

0 + 2λiT

µa2= m

2c4 + p

2ic2. (3.10)

Aterigen identifieras termer som innehaller respektive inte innehaller index i med varandra

2 κµ+ 2gφ2

0 = m2c4 (3.11)

2λiT

µa2= p

2ic2. (3.12)

Det innebar att rorelsemangden inte paverkas av en koppling till det yttre faltet utan ges alltidav pi = ±

√λi/a. Daremot okar massan pa partiklarna med stigande φ. En koppling till ett

yttre falt kan generera massa. Det galler att

m2 =

κ2µc4

+g2φ2

0

c4= m

2B+

g2φ20

c4(3.13)

darmB nu betecknar den bara massan eller egenmassan, den massa partikeln skulle haft i franvaroav det yttre faltet. Da kan ekv. (3.8) skrivas

ωi =

m2c4

2 + λi

c2

a2=

m

2Bc4

2 + gφ20 + λi

c2

a2. (3.14)

Egenmassan pa en partikel kan aldrig matas eftersom inflatonfaltet (eller ett allmant Higgs-falt med ett konstant varde i hela rummet) alltid ar narvarande. Man kan tanka sig att egenmas-san ar noll och att all vilomassa genereras pa detta satt. I den ursprungliga mekaniska modellenmotsvaras detta av att det inte finns nagra fjadrar som faster kulorna vid x-axeln. Da skullealla partiklar vara masslosa nar φ = 0 och rora sig med ljushastigheten. Oavsett vardet paegenmassan kommer partikelmassan att forandras da φ gar fran 0 till φ0.

3.3 Abrupt inflation

3.3.1 Forutsattningar

Som en forsta modell av inflationsfasen anvands det enkla tidsberoendet

φ(t) =

0 da t < t0

φ0 da t > t0.(3.15)

18

Modellen ar att sa lange faltet befinner sig pa platan ar φ(t) = 0 och vid t = t0 aker faltet genastner till sitt minimum. For t < t0 ar H=H som ger exakt samma losningar som nar inflatonfaltetar franvarande. Sa vid tiden t0 byts uppsattningen egenfunktioner fran ψ till ψ. Om vi later varmodell av universum starta i vakuum, vilket kanske ar rimligt, vet vi att ψ = ψ0,...,0.

3.3.2 Sudden approximation

Vad hander med vagfunktionen vid tiden t0? Eftersom bytet sker ogonblickligen kan vi anvanda”sudden approximation” och anta att vagfunktionen ar oforandrad och fortfarande ar ψ0,...,0.Efter t0 ar inte ψ0,...,0 nagon egenfunktion langre. Liksom varje vagfunktion kan den skrivas somen linjarkombination av egenfunktioner

ψ0,...,0(U−N , . . . , UN ) =∞

n−N=0

· · ·∞

nN=0

cn−N ,...,nNψn−N ,...,nN (U−N , . . . , UN ). (3.16)

Koefficienterna tas fram med skalarprodukten

cn−N ,...,nN = ψn−N ,...,nN (U−N , . . . , UN )

ψ0,...,0(U−N , . . . , UN )

≡∞

−∞

· · ·∞

−∞

ψ∗n−N ,...,nN (U−N , . . . , UN )ψ0,...,0(U−N , . . . , UN )dU−N · · · dUN .

(3.17)

Koordinaten U ar diagonaliserad och da ar precis som tidigare

ψ0,...,0(U−N , . . . , UN ) =

i

ψi,0(Ui) (3.18)

ψn−N ,...,nN (U−N , . . . , UN ) =

i

ψi,ni(Ui) (3.19)

och da ar ekv. (3.17) ekvivalent med

cn−N ,...,nN =

i

∞

−∞

ψ∗i,ni

(Ui)ψi,0(Ui)dUi =

i

ψi,ni(Ui)ψi,0(Ui)

. (3.20)

3.3.3 Sannolikheten for ett givet tillstand

Vid en matning av energin pa ett system kan endast ett egenvarde erhallas. Da kollapsarvagfunktionen momentant till motsvarande egenfunktion. Sannolikheten for att vid en matningerhalla tillstand k ar Pk = |ck|2. Sa vid en matning pa faltet ar sannolikheten for ett givettillstand

Pn−N ,...,nN = |cn−N ,...,nN |2 =

i

| ψi,ni(Ui)

ψi,0(Ui)|2. (3.21)

Satt nuPn−N ,...,nN =

i

Pi,ni (3.22)

dar Pi,ni ar sannolikheten for att moden Ui exciterats ni ganger och darmed producerat ni

partiklar. Vi beraknar denna sannolikhet

Pi,ni = | ψi,ni(Ui)

ψi,0(Ui)|2

=

∞

−∞

Ci,niCi,0Hni

aωi

Ui

exp

−a(ωi + ωi)

2 U2i

dUi

2

.

(3.23)

19

Har framgar att Pi,ni = 0 for alla i nar ni ar udda eftersom Hermitepolynomet da ar en uddafunktion. Det vill saga det maste bildas ett jamnt antal partiklar. Det aterspeglar verklighetentrots att det inte finns nagra antipartiklar i var modell. For att komma vidare behovs ettgenerellt uttryck for Hermitepolynomen. For jamna k ar detta uttryck

Hk(x) = k!

k/2

l=0

(−1)k/2−l

(2l)!(k/2− l)!(2x)2l (3.24)

[12] och det innebar att sannolikheten kan skrivas

Pi,ni =

Ci,niCi,0ni!

ni/2

l=0

(−1)ni/2−l

(2l)!(ni/2− l)!

2

aωi

2l ∞

−∞

U2liexp

−a(ωi + ωi)

2 U2i

dUi

2

. (3.25)

Integralen ar en standardintegral som kan losas exakt och med hjalp av Mathematica kan summanforenklas. Efter insattning av normeringskonstanterna och en smula algebra blir slutligen

Pi,ni =2ni!

2ni [(ni/2)!]2

ωi/ωi

1 + ωi/ωi

2

1 + ωi/ωi

− 1

ni

. (3.26)

Kvoten K ≡ ωi/ωi bestammer sannolikheten for ett givet ni hos varje mod. Eftersomωi ωi galler alltid att 0 K 1. Som framgar av fig. 5 minskar sannolikheten ju storre ni ar.

2

4

6

8

10

ni

0.0

0.5

1.0

K0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Pi,ni

Figure 5: Sannolikhet som funktion av ni och K. Fallet ni = 0 har klippts bort. For det fallet ardet storst sannolikheten nar K = 1. En svag koppling okar sannolikheten for fortsatt vakuum.

Dar syns ocksa att ett lagre K ger en hogre sannolikhet for att producera partiklar. Det finnsett varde pa K sa att sannolikheten for ett givet ni ar maximal. Det vardet visas i fig. 6.

20

0 2 4 6 8 100.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ni

K

Figure 6: Kurvan visar det K som ger hogst sannolikhet for att moden exciterats ni ganger.

Da K ges av

K =ωi

ωi

=1

1 + gφ20

m2Bc4/2+λic

2/a2

(3.27)

betyder det att det bildas fler partiklar nar kopplingen till det yttre faltet ar starkt och nar λi,och darmed rorelsemangden, ar liten. Sammanfattningsvis, for varje mod minskar sannolikhetenmed okat antal partiklar och sannolikheten for excitation ar storre for de moder som producerarpartiklar med liten rorelsemangd.

3.3.4 Kvalitativa slutsatser

Lat oss nu anvanda resultaten fran var diskreta kvantfaltteori tillampad pa den enkla modellenav inflationen till att dra nagra kvalitativa slutsatser om universum direkt efter inflationsfasen.En intressant storhet ar antalet partiklar, M (multiplicitet), efter inflationen. I modellen startaruniversum i vakuum. Sannolikheten PM att vid en matning av universum (hur nu den matningenska ga till) finna M st partiklar ges av

PM =

n−N ,...,nN

Pn−N ,...,nN (3.28)

dar summationen gar over alla mojliga kombinationer av n−N , . . . , nN sadana att

i

ni = M. (3.29)

Denna sannolikhet beror pa de parametrar som ingar i uttrycket for kvoten K i ekv. (3.27) ochaven paN . Tva diagram presenteras. I det forsta ar det i nagon mening naturliga gφ2

0 = m2Bc4/2

21

valt (notera att man inte kan satta mB = 0, det ger problem nar i = 0). Vardet pa a bestammerenergispannet. Tva olika varden valjs

a = 1mc

mojlighet till relativistiska partiklar (3.30)

a = 10mc

ingen mojlighet till relativistiska partiklar. (3.31)

Av det givna vardet pa gφ20 foljer det att m =

√2mB . Vardet pa N bor vara sa hogt som

mojligt men de numeriska berakningarna satter en praktisk grans. For de berakningsmetoderi Mathematica som har anvants har N = 29 visat sig ge rimliga berakningstider. Som synes

a 1

a 10

Figure 7: Sannolikhetsfordelningar for multipliciteten nar gφ20 = m

2Bc4/2. Nar a = 1 ar rela-

tivistiska partiklar tillatna och nar a = 10 ar de forbjudna. Enheten pa a ar /mc.

i fig. 7 ar vakuum det mest sannolika tillstandet aven om kurvan plattas ut nar relativistiskapartiklar ar forbjudna. Tittar man pa det minimala vardet pa kvoten K som fas nar λi = 0ar det ungefar 0.71. Det betyder att detta ar en svag koppling till inflatonfaltet. Vi gor darforocksa en berakning dar kopplingen ar starkare och satter gφ

20 = 100m2

Bc4/2 som gor att det

minimala vardet pa K ar ca 0.10. Samma varden pa a anvands och och med det nya vardetpa gφ

20 ar m =

√101mB . Det ar lampligt att lata M -axeln ga till 12 och for att det ska vara

praktiskt mojligt anvands N = 15. Denna berakning redovisas i fig. 8.Den visar samma typ av kurva som fig. 7 nar relativistiska partiklar ar tillatna. Dock

betydligt mer avplattad sa att tillstand med flera partiklar ar mer sannolika, som vantat narkopplingen ar starkare. Men det blir stor skillnad nar relativistiska partiklar inte har mojlighet attuppkomma. Sannolikhetsfordelningen forskjuts kraftigt mot storre antal partiklar och vakuumar inte langre det mest sannolika tillstandet.

Som vi redan har konstaterat ar det framst de lagenergetiska moderna som exciteras. Rel-ativistiska partiklar bildas endast i undantagsfall. Sa om relativistiska partiklar inte ges nagonmojlighet att uppsta (genom att valja ett tillrackligt stort a) och kopplingen inte ar allt for svag

22

a 1

a 10

Figure 8: Sannolikhetsfordelningar for multipliciteten nar gφ20 = 100m2

Bc4/2. Nar a = 1 ar

relativistiska partiklar tillatna och nar a = 10 ar de forbjudna. Enheten pa a ar /mc.

ar alla moder lagenergetiska. Det gor att samtliga moder har ungefar samma sannolikhet attexciteras. Darfor ar de tva kurvorna i fig. 8 sa olika.

De slutsatser vi har dragit har forutsatter att det inte finns nagot krav for att energin ochrorelsemangden ska vara bevarade. Inflatonfaltet bar en viss energi som avges. Den energinmaste baras av partiklar och da ar vakuum knappast det mest sannolika tillstandet. Ett rimligtkrav for den totala rorelsemangden ar att den ar noll. Aven om inflatonfaltet bar rorelsemangdmast den vara konstant. Dessa krav satter stora begransningar for vilka partikeltillstand somhar mojlighet att uppkomma.

3.4 Periodisk inflation

3.4.1 Forutsattningar

I forra avsnittet behandlades en idealiserad bild av vad som hander nar inflatonfaltet ”rullar”ner fran platan till sitt minimum. Men stannar faltet dar? Ett falt har inte bara potentiellenergi. Precis som for det mekaniska faltet vi utgick fran i avsnitt 3.1 har inflatonfaltet ocksa enform av rorelseenergi. Sa likt en kula som rullar ner for en backe far inflatonfaltet rorelseenerginar den lamnar platan. Det innebar att faltet behaller rorelsen och fortsatter till andra sidanav sitt minimum sa att en oscillation i potentialgropen uppstar. Som de flesta lokala potential-minimum bor denna kunna approximeras med en harmonisk potential som innebar att faltetutfor en harmonisk svangning. Inflatonfaltet kommer att tappa energi till ovriga falt nar dessasuccessivt exciteras. Oftast innebar en dampning av ett harmoniskt system att amplituden avtarexponentiellt. Vi antar att det ar sa aven i detta fallet. Vi satter att

φ(t) = φ0 + δ sin(Ωt)e−t/τ (3.32)

23

dar δ φ0 ar svangningens amplitud, Ω dess vinkelfrekvens och τ representerar den karaktaris-tiska tiden som svangningen avstannar pa. Vi anvander fortfarande inget rumsberoende i enlighetmed den kosmologiska principen. Eftersom amplituden ar liten sa ar

φ2(t) ≈ φ

20 + 2φ0δ sin(Ωt)e

−t/τ. (3.33)

Efter en titt pa ekv. (3.3) och ekv. (3.5) ser man att med detta φ blir Hamiltonoperatorn

H =

i

− 22µa

∂2

∂Q2i

+1

2

κa+ µagφ

20 + λi

T

a

Q

2i+µagφ0δ sin(Ωt)e

−t/τQ

2i≡ H

0+H(t) (3.34)

(inget tilde anvands langre eftersom en koppling till inflatonfaltet ar en forutsattning) dar entidsoberoende del, H0, och en tidsberoende del, H (t), har blivit definierade. Aven nu ar H

diagonal sa att varje mod kan behandlas var for sig. For att slippa ett index i pa varje storhetlater vi det vara underforstatt att endast en, men godtycklig, mod betraktas.

3.4.2 Losningar till den tidsberoende Hamiltonoperatorn

Eftersom H ar tidsberoende finns det inga stationara losningar. Da maste den tidsberoendeSchrodingerekvationen

HΨ = i∂Ψ∂t

(3.35)

losas. For att gora detta kommer ett standardforfarande att anvandas [13]. Losningarna till dentidsoberoende ekvationen

H0ψ0 = E

0ψ0 (3.36)

ar redan framplockade eftersomH0 ar identisk med Hamiltonoperatorn i ekv. (3.5). De stationara

losningarna i koordinaten U finns i ekv. (3.6) tillsammans med ekv. (3.14).Det galler att

Ψ0n = ψ0

nexp(−iE

0nt/) (3.37)

bildar en ortonormerad och fullstandig bas over alla vagfunktioner. Darfor kan de allmannalosningarna till ekv. (3.35) skrivas

Ψ =

n

cn(t)ψ0nexp(−iE

0nt/) (3.38)

dar koefficienterna cn(t) ar funktioner av tid. Sannolikheten att vid tiden t finna n partiklar iden givna moden ar |cn(t)|2. Darfor ar malet att finna dessa koefficienter. For att gora dettasattes ekv. (3.38) explicit in i ekv. (3.35) som tillsammans med att H = H

0 +H(t) ger att

n

(H0 +H(t))cn(t)ψ

0nexp(−iE

0nt/)

= i

n

cn(t)ψ0nexp(−iE

0nt/) +

n

cn(t)E0nψ0nexp(−iE

0nt/).

(3.39)

I jamforelse med (3.36) forenklas detta till

n

H(t)cn(t)ψ

0nexp(−iE

0nt/) = i

n

cn(t)ψ0nexp(−iE

0nt/). (3.40)

24

For att komma vidare plockas en godtycklig funktion ψ0bfran mangden ψ0

n. Forst konstateras

att ortonormeringen gor attψ0b

ψ0n

=

1 da n = b

0 da n = b.(3.41)

Sa funktionen ψ0bskalart med uttrycket (3.40) blir

n

ψ0b

H (t)ψ0

n

cn(t) exp(−iE

0nt/) = icb(t) exp(−iE

0bt/)

⇒ cb(t) = − i

n

ψ0b

H (t)ψ0

n

exp(i(E0

b− E

0n)t/)cn(t).

(3.42)

Skalarprodukten i summan ar enligt forutsattningarna

ψ0b

H (t)ψ0

n

= agφ0δ sin(Ωt)e

−t/τψ0b

U2ψ0

n

. (3.43)

I appendix C kommer vi fram till att

ψ0b

U2ψ0

n

=

2aω

b(b− 1) da n = b− 2

2aω (2b+ 1) da n = b

2aω

(b+ 1)(b+ 2) da n = b+ 2

0 ovriga n.

(3.44)

Det tillsammans med ekv. (3.43) gor att ekv. (3.42) kan skrivas

cb(t) =− igφ0δ

2ωsin(Ωt)e−t/τ

b(b− 1) exp(2iωt)cb−2(t) + (2b+ 1)cb(t) +

(b+ 1)(b+ 2) exp(−2iωt)cb+2

(3.45)

dar vi anvant att E0b− E

0b−2 = 2ω och E

0b− E

0b+2 = −2ω. Med de givna forutsattningarna

finns det ett krav pa produkten gφ0δ. Enligt ekv. (3.14) sa ar gφ20 ω

2 som tillsammans medδ φ0 ger att gφ0δ ω

2.

3.4.3 Kvalitativa resultat

For att entydigt losa de kopplade differentialekvationerna (3.45) kravs valbestamda begynnelse-villkor, alltsa vardena pa alla koefficienter vid t = 0. Det ar nar inflatonfaltet precis har lamnatplatan och natt sitt minimum for forsta gangen. Det forloppet studerades i forra avsnittet. Darsag vi att tillstandet vid t = 0 inte ar bestamt men att vakuum ar det mest sannolika tillstandet.Har gors inga ansprak pa att beskriva en realistisk inflationsfas. Vi studerar bara vissa delar avett mojligt forlopp. Sa for att halla det enkelt antar vi att det ar vakuum vid t = 0 och satter

cb(0) =

1 for b = 0

0 for b = 0.(3.46)

Detta begynnelsevillkor innebar att cb(t) = 0 for alla udda b eftersom dessa bara kopplar tillvarandra enligt ekv. (3.44). De kan inte andra sina varden nar alla ar noll fran borjan. Saaterigen kan vi konstatera att om universum startar i vakuum maste det bildas ett jamnt antalpartiklar.

25

n

Ω

t

0.45

0.50

0.550

5

10

Figure 9: Valda numeriska varden pa parametrarna: gφ0δ = 0.02, Ω = 1 och τ = 100.

0.45

0.50

0.550

5

10

Figure 10: Valda numeriska varden pa parametrarna: gφ0δ = 0.02, Ω = 1 och τ = 75.

26

Efter att ha latit Matematica losa differentialekvationerna (3.45) erhalles en del intressantakvalitativa resultat. Figurerna 9, 10 och 11 visar vantevardet av antalet partiklar

n =∞

b

bPb =∞

b

b|cb|2 (3.47)

for den betraktade moden som funktion av tid och kvoten ω/Ω. Tiden gar fran 0 till 5τ i allafigurer. Som synes uppstar det ett resonansfenomen. Endast da ω ≈ 0.5Ω blir n namnvartskilt fran noll. Nar inflatonfaltet har ett periodiskt tidsberoende sa ar det alltsa bara de moder

dar ω ≈ 0.5Ω som exciteras. Att resonans uppstar for moder vars frekvens ar halva vardet av Ωberor pa att endast ett jamnt antal partiklar kan produceras. Partiklar produceras i par. Detinnebar att energin som kravs for excitation ar dubbla partikelenergin 2ω. Nar denna energimotsvarar kvantiseringsenergin i inflatonfaltets oscillation, Ω, uppstar resonans.

Rakar partikelenergin ω = 0.5Ω vara relativistisk sa ar det anda dessa som produceras.Det ar nagot helt annat mot vad vi fann i forra avsnittet dar vi studerade en abrupt forandring iinflatonfaltet. Da exciteras framst lagenergetiska moder. Den exakta formen pa grafen beror pade olika parametrarna. Om τ minskas innebar det en snabb dampning av svangningen som gor attmoderna inte hinner exciteras lika mycket. Aven en mattlig minskning av τ gor att excitationengar ner kraftigt som fig. 10 visar. Om kopplingsstyrkan okar samtidigt som τ minskar blir deten mycket bredare topp kring ω = 0.5Ω som framgar av fig. 11. Vi har ingen kunskap om

n

Ω

t

0.45

0.50

0.550

5

10

Figure 11: Valda numeriska varden pa parametrarna: gφ0δ = 0.08, Ω = 1 och τ = 25.

inflatonfaltet, bara att ett falt med en sadan potential kan ge upphov till en inflation. Vardenapa gφ0δ, Ω och τ ar helt okanda. Det ar darfor inte mojligt att fora analysen langre. Endastkvalitativa resultat om att ett resonansfenomen uppstar kan erhallas.

Sammanfattningsvis, det ar bara de moder for vilka ω ≈ 0.5Ω som exciteras och excitationenblir storre ju langre oscillationen varar. Ar kopplingen stark exciteras fler moder kring ω = 0.5Ω.

27

4 Diskussion

Vi har byggt upp en kvantfaltteori i diskret form. Utgangspunkten var att det finns falt i rummetsom kan representeras av kulor och fjadrar. Genom att anvanda klassisk fysik och kvantmekanikpa detta mekaniska system har en kvantfaltteori erhallits. Teorin beskriver partiklar som excita-tioner av faltets moder. Olika moder ger upphov till partiklar med olika energi och rorelsemangd.Tva satt att forklara partikelmassor har framkommit. Massa kan orsakas av fundamentala egen-skaper hos faltet sjalvt och av kopplingar till Higgsfalt. Vi har tillampat kvantfaltteorin pauniversums hypotetiska inflation och fatt fram intressanta kvalitativa resultat. Teorin visar paatt en inflationsfas har mojlighet att producera partiklar fran ett falskt vakuum. Partikelen-ergierna beror pa det satt som inflatonfaltet hamnar i sitt minimum. Vid en abrupt overgangar det framst lagenergetiska partiklar som produceras. Om inflatonfaltet oscillerar uppstar enresonans dar moder med ratt partikelenergi exciteras i hog grad oavsett om dessa ar relativistiskaeller inte.

Malet med att skapa en kvantfaltteori ar uppnatt. Det satt som teorin beskriver partiklarpa, att partiklar ar faltexcitationer och massa kan genereras av Higgsfalt, ar kand fysik. Det aren indikation pa att sattet som teorin byggs upp pa ar korrekt. Att faltteorin blir diskret innebarbegransningar, t.ex att rorelsemangden far en ovre grans. Samtidigt ar diskretiseringen ocksa enfordel. Teorin blir latthanterlig som gor det mojligt att pa ett enkelt satt gora berakningar ochtesta olika mekanismer. Av den anledningen ar teorin anvandbar.

Hur troliga ar de slutsatser som har dragits om inflationens effekter? Flera antaganden ominflationens uppforande har gjorts och den diskreta faltteorin har begransningar. Men teorinoch berakningarna i denna uppsats gor inget ansprak pa att exakt beskriva vad som hande vidinflationen. Uppsatsen ska endast ses som ett forsta steg till att forsta vad som kan ha skettmed hjalp av kvalitativa resonemang. En slutsats ar att en fullstandig teori troligtvis innehallersadana fenomen som partikelproduktion och resonans.

Avslutningsvis tar vi upp nagra komplikationer som inte namnts tidigare. De kommer attpeka pa omraden som det kan vara lont att arbeta vidare med. Som vi sett leder den abruptainflationen till att lagenergetiska partiklar produceras. For dessa ar E ≈mc

2 och det leder tillett problem. Universums temperatur skalar som a

−1. Sa med vart forsiktiga antagande atta okar med faktorn 1043 (det finns modeller som forutsager en mycket storre utvidgning, upp

mot 101012!) minskar temperaturen med faktorn 1043. Om vi som en grov uppskattning antar

att temperaturen vid plancktiden var plancktemperaturen ∼1032 K sa var temperaturen endast10−11 K efter inflationen. Konventionell inflationsteori sager att universum aterupphettas avden energi som inflatonfaltet avger sa att temperaturen blir vasentligen densamma som innaninflationen. Men en sadan hog temperatur kraver att relativistiska partiklar med E mc

2 arnarvarande. Darav problemet.

En mojlig losning ar den periodiska inflationen. Dar sag vi att det blir en hog grad avexcitering for de moder med ratt partikelenergi. Om dessa partiklar rakar vara relativistiska sakanske universum kan fa ratt temperatur? En annan mojlighet ar sonderfall av partiklar. For deflesta falten ar partiklarna inte stabila utan energin overfors till andra falt som exciteras. Produ-cerar inflationen lagenergetiska men tunga partiklar, t.ex Z0 eller annu tyngre exotiska partiklar,kommer dessa att genom sonderfall resultera i latta och relativistiska partiklar. Universum farkanske sin hoga temperatur pa detta satt?

Mojligheten for varje mod att exciteras obegransat manga ganger betyder att faltets kvantaar bosoner. Vi har inte gjort nagot ansprak pa att gora en teori for fermioner som lyder underPaulis uteslutningsprincip. En sadan teori bor ge kvalitativt andra resultat. For fermioner medtva spinntillstand kan maximalt tva partiklar finnas i varje mod. Det far flera konsekvenser.For den abrupta inflationen sa kommer de lagenergetiska moderna snabbt att bli uppfyllda. Det

28

kommer att tvinga upp de ovriga partiklarna pa relativistiska energier. Det forutsatter att energi-principen beaktas, att inflatonfaltet har en viss energi som maste avges. Om de lagenergetiskapartiklarna inte racker till for att bara denna energi sa maste relativistiska partiklar produceras.Vid en periodisk inflation kan det kanske inte uppsta nagot resonansfenomen? Aven de modermed ratt energi kan inte exciteras mer an tva ganger.

Vad blir skillnaden om inflatonfaltet fluktuerar i rummet? En trolig forandring ar att par-tiklarnas sannolikhetsfordelning inte blir jamnt fordelad over rummet. Alltsa att de blir nagotlokaliserade. Ifall inflatonfaltet behandlas kvantmekaniskt sa kanske slutsatsen blir att det mastefinnas en fluktuation? Om man i denna bild dessutom tar hansyn till gravitationen inverkan ardet inte svart att tanka sig att dessa fluktuationer kan leda till de lokala inhomogeniteter somuniversum har idag.

En naturlig fortsattning ar att anvanda sig av en kontinuerlig kvantfaltteori i tre dimensioner.Vad blir det for skillnader med en sadan mer realistisk teori? Den bor ge kvalitativt sammaresultat som en diskretiserad teori men kanske den ocksa kan ge kvantitativa forutsagelser?Forutsagelser om specifika varden pa partikel- och energitatheter. Vardena skulle bara beropa parametrar som beskriver inflationsforloppet och pa naturkonstanter som partikelmassor ochkopplingsstyrkor. En teori som kan ge sadana forutsagelser har forhoppningsvis mojlighet atttesta inflationsmodeller mot empiriska observationer.

Appendix

A

Vi ska visa att kraven

ATGA = D (A.1)

ATA = I (A.2)

med forutsattningen q = AQ, leder till att Hamiltonoperatorn

H = − 22µa

i

∂2

∂q2i

+1

2κaq

Tq +

1

2

T

aqTGq (A.3)

diagonaliseras.Att korstermerna i tredje termen elimineras visas av

qTGq = (AQ)TG(AQ) = Q

TA

TGAQ = Q

TDQ V SV . (A.4)

Det kravs ocksa att det inte bildas nagra nya korstermer i de tva forsta termerna. For den andratermen ses detta direkt, eftersom

qTq = (AQ)T (AQ) = Q

TA

TAQ = Q

TQ V SV . (A.5)

For den forsta termen anvander vi oss av kedjeregeln for en partiell derivata som sager att

∂

∂qi=

j

∂Qj

∂qi

∂

∂Qj

=

j

A−1ji

∂

∂Qj

(A.6)

och da ar

i

∂2

∂q2i

=

i

j

A−1ji

∂

∂Qj

k

A−1ki

∂

∂Qk

=

j,k

∂2

∂Qj∂Qk

i

A−1ji

A−1ki

. (A.7)

29

Kravet ATA = I ger att

i

A−1ji

A−1ki

=

i

AT

jiAik =

1 da k = j

0 da k = j(A.8)

och da ar slutligen

i

∂2

∂q2i

=

j

∂2

∂Q2j

V SV . (A.9)

B

Har visas att matrisen A med elementen

Aij =1√N

cos

ij2π

N

+ sin

ij2π

N

(B.1)

uppfyller kraven

ATGA = D (B.2)

ATA = I. (B.3)

Vi borjar med att kontrollera att ATA = I. Satt AT

A = B sa ger matrismultiplikation att

Bij =

k

AT

ikAkj =

k

AkiAkj

=1

N

k

cos

ki

2π

N

+ sin

ki

2π

N

cos

kj

2π

N

+ sin

kj

2π

N

.

(B.4)

Efter att ha utvecklat paranteserna och anvant de trigonometriska additionssatserna sa blir

Bij =1

N

k

cos

k(i− j)

2π

N

+ sin

k(i+ j)

2π

N

=

1

N

k

cos

k(i− j)

2π

N

. (B.5)

Summan over sinus ar noll eftersom den ar en udda funktion ock k gar fran N till −N

. Detger att Bij = 1 da i = j eftersom varje term i summan da ar 1 och det finns N st termer. Foratt visa att Bij = 0 da i = j ska vi resonera geometriskt. Enhetscirkeln delas av N st punkterpa lika avstand och nar k genomlops besoks varje punkt en och endast en gang. Det rader dajamvikt och summan av alla cosinus maste vara noll. Alltsa ar B = I V SV .

Vi overgar nu till att visa att kravet ATGA = D ocksa ar uppfyllt genom att visa att

alla kolonnvektorer i A ar egenvektorer till G. Samtidigt kommer alla egenvarden λi att hittas.Plocka godtycklig ut den j:te kolonnen ur A och kalla den A

j och satt GAj = C

j . Ett godtyckligtelement i Cj ges av

Cj

i=

k

GikAj

k=− 1√

N

cos

(i− 1)j

2π

N

+ sin

(i− 1)j

2π

N

+ 21√N

cos

ij2π

N

+ sin

ij2π

N

− 1√N

cos

(i+ 1)j

2π

N

+ sin

(i+ 1)j

2π

N

.

(B.6)

30

Genom att anvanda trigonometriska satser kommer man efter viss moda fram till att

Cj

i= 4 sin2

jπ

N

· 1√

N

cos

ij2π

N

+ sin

ij2π

N

= λjA

j

i. (B.7)

Konstanten λj ar oberoende av i och alltsa ar

Cj = λjA

j ⇒ GAj = λjA

j (B.8)

som sager att varje kolonnvektor Aj ar en egenvektor till G med egenvardet λj V SV . Noga

raknat fungerarar inte detta forfarande for j = ±N. Men en rakning for just dessa kolonner

kommer fram till exakt samma resultat.Som framgar av ekv. (B.7) sa ges egenvarderna av

λi = 4 sin2iπ

N

(B.9)

dar index i anvands for att passa in i ekv. (2.23). Detta anvande vi oss av i avsnitt 2.4.

C

I detta avsnitt ska vi berakna skalarproduktenψ0b

U2ψ0

n

.

Det finns en rekursionsformel for Hermitepolynomen [12] som lyder

xHn(x) = nHn−1(x) +1

2Hn+1(x). (C.1)

Det ar ekvivalent med

xψn =

n

2αψn−1 +

n+ 1

2αψn+1 (C.2)

dar

ψn(x) =1√2nn!

α

π

1/4Hn(

√αx) exp(−αx

2/2) (C.3)

ar den allmanna formen av vagfunktionen for en harmonisk oscillator. Det gor att

x2ψn = x(xψn) =

n

2αxψn−1 +

n+ 1

2αxψn+1 = . . .

=

n(n− 1)

2αψn−2 +

2n+ 1

2αψn +

(n+ 1)(n+ 2)

2αψn+2.

(C.4)

Det innebar inte nagra komplikationer nar n = 0 eller n = 1. Den forsta termen tas da inte medvilket en rakning for just dessa n bekraftar. For de egenfunktioner vi jobbar med ar α = aω/,som tillsammans med att

ψ0b

ψ0n

=

1 da n = b

0 da n = b(C.5)

gor att

ψ0b

U2ψ0

n

=

2aω

b(b− 1) da n = b− 2

2aω (2b+ 1) da n = b

2aω

(b+ 1)(b+ 2) da n = b+ 2

0 ovriga n.

(C.6)

31

Referenser

[1] S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Cambridge University Press, 1998.

[2] R. Jackiw, in: Field Theory and Particle Physics, 5th Jorge Andre Swieca Summer School, Brazil.World scientific, Singapore, (1989), 78.

[3] L. I. Schiff, Phys. Rev. 92 (1953), 766.

[4] A. Hobson, Am. J. Phys. 81 (3), (2013), 211.

[5] S. Y. Auyang, How Is Quantum Field Theory Possible?, Oxford University Press, 1995.

[6] A. R. Liddle, astro-ph/9901124.

[7] B. Ryden, Introduktion to Cosmology, Pearson Education, 2003.

[8] G. Ingelman, Fysikaktuellt 4, (2013), 6.

[9] A. Guth, The Inflationary Universe, Vintage, 1998.

[10] I. J. Aitchison & A. J. Hey, Gauge theories in particle physics, Taylor & Francis, 1989.

[11] Anders Tengstrand, Linjar algebra med vektorgeometri, Studentlitteratur, 2005.

[12] M. H. Winkel, Encyclopedia of Mathematics. Vol. 4, Kluwer Academic Publishers, 1989.

[13] B. H. Bransden & C. J. Joachain, Quantum Mechanics, Prentice Hall, 2000.

32

Fakulteten för teknik 391 82 Kalmar | 351 95 Växjö Tel 0772-28 80 00 teknik@lnu.se Lnu.se/fakulteten-for-teknik