Kreis

Gleichung:

Ein Kreis k ist die Menge aller Punkte einer gegebenen Ebene Ε, die von einem gegebenen Mittelpunkt M einen vorgegebenen Abstand r (Radius) haben.

ϕM=O

P∈k

y

r

k

y=r·sinϕ

x=r·cosϕ xParameterdarstellung:

mit

2 2

2 2

( ) ( ) 1− −+ =M Mx x y y

r r

cossin⋅⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠M

M

xx ryy r

ϕϕ

0 2≤ ≤ϕ π

Zylinderschnitte

Eine Ebene schneidet einen senkrechten Kreiszylinder in einem Kreis (a), einer Ellipse (b) oder in ein oder zwei Mantelgeraden (c)

(b)(a) (c)

Kegelschnitte

α > ϕ: Ellipse(Sonderfall Kreis: ϕ =0° )

Kegelschnitte sind ebene Schnittkurven k eines Kegels κmit Ebenen Ε, die nicht die Kegelspitze S enthalten.

α = ϕ : Parabel α < ϕ : Hyperbel

κ

ϕ

κ κ

Ε

Ε

ΕS S S

kk k

α ϕα α ϕ

Ellipse

F1, F2 … BrennpunkteS1, S2 … HauptscheitelN1, N2 … NebenscheitelM … Mittelpunkt

Eine Ellipse k ist die Menge aller Punkte einer gegebenen Ebene Ε, für die die Summe der Abstände von zwei gegebenen Punkten (den Brennpunkten F1 und F2) einen konstanten Wert (=2a) hat.

M=O

P∈k

y

r1

k

x

r2

N1

S1 S2

N2

F2

F1e a

b 2a … Hauptachsenlänge2b … Nebenachsenlängee … lineare Exzentrizität

2a = r1 + r2

e2 = a2 - b2

Achtung:ϕ≠∠(MP,x)ϕM=O

P∈k

y

k

x

Parameterdarstellung:

mit

2 2

2 2

( ) ( ) 1− −+ =M Mx x y y

a b

cossin⋅⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠M

M

xx ayy b

ϕϕ

0 2≤ ≤ϕ π

Gleichung und Parameterdarstellung einer Ellipse

Scheitelkreise

x=a·cosϕ

y=b·sinϕ

Faden- oder GärtnerkonstruktionDie Enden eines Fadens der Länge 2a werden in den Brennpunkten F1 und F2 befestigt. Wenn man den Faden, wie in der Skizze dargestellt, straff zieht, ist der Punkt, an dem sich die Spitze des Stifts befindet, ein Ellipsenpunkt.

F2F1

r1 r2

2a = r1 + r2

a

M

XE

g

ScheitelkreiskonstruktionScheitelkreis ka

mit Radius a

Scheitelkreis kb

mit Radius b

Xb

Xa

In den Scheitelpunkten haben der jeweilige Scheitelkreis und die Ellipse eine gemeinsame Tangente, d.h. sie berühren einander.

N1

S1

S2

N2

xE=a·cosϕ

y=b·sinϕ

Geg.: Haupt- und Nebenscheitel S1, S2, N1, N2

auch geg.: M (Mittelpunkt der Ellipse), a, b

Ablauf:ka := kr(M,a)kb := kr(M,b)g: beliebiger Strahl aus MXa := g ∩ ka

Xb := g ∩ kb

X := (Xa ⊥ S1S2) ∩ (Xb ⊥ N1N2)

ellipse_In_Um_Kreis.ggb

M

Scheitelkrümmungskreise einer Ellipse

N1

S1 S2

N2

2

=Sbra

2

=Narb

M

X

Papierstreifenkonstruktion

P

Q

a

b

=

=

a QX

b PX

ϕ

x=a·cosϕ

y=b·sinϕ

Liegen Q und P auf den Achsen, bestimmt X einen Ellipsenpunkt.

Auf einem Streifen werden drei Punkte P, Q und X markiert , wobei gilt:

X

Umgekehrte Papierstreifenkonstruktion

S1 S2

ka

Q

P

b

Die umgekehrte Papierstreifenkonstruktion bestimmt Nebenachse b bei gegebener Hauptachse a (bzw. Hauptachse a bei gegebener Nebenachse b) und einem Ellipsenpunkt X.

Analog ist die Konstruktion der Hauptachse a aus der Nebenachse möglich.

PX

Gegeben: ein Punkt X und ein Paar ScheitelpunkteKonstruktion des anderen Paars

b := papk(S1, S2; X)Ablauf:

n := misenk(S1,S2)ka := kr(X,a)Q := n ∩ ka (einen Schnittpunkt auswählen)P := QX ∩ S1S2b :=

a

Gegeben: ein Punkt X und ein Paar ScheitelpunkteKonstruktion des anderen Paars

a := papk(N1, N2; X)Ablauf:

n := misenk(N1,N2)kb := kr(X,b)P := n ∩ kb (einen Schnittpunkt auswählen)Q := PX ∩ N1N2a := QX

Parallelprojektion zwischen zwei Ebenen

X1

Π=Σ2

g2

Y2

Die Schnittgerade s der beiden Ebenen wird Affinitätsachsegenannt.

Z1

Y1

Z2

X2h2

g1

h1Σ=Σ1

Eine Parallelprojektion Σ Πist eine perspektive Affinität zwischen den beiden Ebenen Σ =Σ1 und Π = Σ2.

s

pProjektionsrichtung p≠π

Perspektive AffinitätEs seien ϕp:E³→Π die Parallelprojektion des E³ auf die Bildebene Π mit der Projektionsrichtung p≠πund Σ⊂E³ eine beliebige Ebene Gp und der Spur s=Σ' Π.

Eine Abbildung ϕp: X1∈Σ1 X2∈Σ2 zwischen zwei Ebenen Σ1 und Σ2 mit den folgenden fünf Eigenschaften wird perspektive Affinität genannt:

1. Es existiert genau eine Gerade s mit X1∈s ⇔ X1=X2(s ist eine Fixpunktgerade).

2. Die Verbindungsgeraden zugeordneter Punkte sind parallel: X1X2 || Y1Y2.

3. Für einander zugeordnete Geraden g2 = ϕ(g1) gilt: g1∩ g2 ∈ s oder g1 || g2 || s.

4. Parallelität von Geraden bleibt erhalten: g1 || h1 ⇔ g2 || h2

5. Das Teilverhältnis dreier Punkte einer Geraden ist bezüglich ϕ invariant:TV(X1Y1Z1)= TV(X2Y2Z2)

Die Fixpunktgerade s heißt Affinitätsachse, die Verbindungsgeraden X1X2 heißen Affinitätsgeraden und die Richtung p || X1X2 heißt Affinitätsrichtung.

Falls p ⊥ s gilt, heißt ϕ orthogonale perspektive Affinität.Falls Σ1=Σ2gilt, heißt ϕ ebene perspekive Affinität, mit den Sonderfällen Spiegelung an s: X1X2 ⊥ s und Scherung entlang s: X1X2 || s.

Affine Eigenschaften der Projektion eines Kreises

M0

Perspektive Affinität zwischen Kreis und Ellipse

Durchmesser von k0 gehen in Durchmesser von k über.

Die durch die Affinitätsachse s und die Verbindungsgerade der Mittelpunkte M und M0 gegebene perspektive Affinität ϕ bildet den Kreis k0 auf die Ellipse k ab.

Durch die Verbindungsgerade M0M ist die Affinitätsrichtungdefiniert.

R0

s

P0

Q0 S0

R

M

Q S

P

t0R

t0P

t0St0Q

tQ

tR tP

tS

k0

k

Tangenten von k0 gehen in Tangenten von k über.

M

X

Perspektive Affinität zwischen Ellipse und Scheitelkreis

Zwischen der Ellipse k und ihrem Hauptscheitelkreis ka bzw. ihrem Nebenscheitelkreis kb besteht je eine orthogonale perspektive Affinität mit der Affinitätsachse sa = S1S2 bzw. sb = N1N2

Xb

N1

S1=S1a

N2

sa

N1a

N2a

X

Xa

S2=S2a S2S2b

S1 S1b

N1=N1b

N2=N2b

M

sbka

kbkk

p ⊥ s

p ⊥ s p ⊥ s

M

P

sa

Tangentenkonstruktion für eine Ellipse

Pa

Die orthogonale perspektive Affinität zwischen Ellipse und ihrem Scheitelkreis lässt sich für die Konstruktion der Tangente t in einem Punkt P ausnutzen, denn es gilt:

PPa ⊥ sa undt ∩ ta ∈ sa

N1

S1 S2

N2

t

ta

Analog ist die Konstruktion auch mit Hilfe des Nebenscheitelkreises möglich.

Konjugierte Durchmesser einer Ellipse

Die affinen Bilder orthogonaler Kreisdurchmesser heißen konjugierte Ellipsendurchmesser.

Konjugierte Durchmesser bestimmen eine Ellipse eindeutig.M0

R0

s

P0

Q0 S0

R

M

Q S

P

k0

kDurch die vier Punkte P und Q,R und S ist ein Paar konjugierter Ellipsendurchmesser gegeben.

Wichtig – es muss gelten: R0S0 ⊥ P0Q0Achtung: Aber konjugierte Durchmesser sind i.A. nicht orthogonal!Spezielle konjugierte Durchmesser: Ellipsenachsen 1 2S S und 1 2N N

das einzige Paar zueinander orthogonaler konjugierter Durchmesserdamit möglich: Konstruktion der Ellipse

m

Orthogonale Geradenpaare

a1

k ist Thaleskreis über Sa und Sb

X1

X2 X2

X1

Sa

Sb

M

k

a1

a2

a2

b1b2

b1

b2

m

s

sM := m ∩ sk := kr(M, 1 2MX ( MX )={Sa, Sb} := k ∩ sa1 := X1Sab1 := X1Sba2 := X2Sab2 := X2Sb

) Thales-Kreis!

(a1, b1; a2, b2) := ortpaar(X1, X2; s)Ablauf:

Gegeben: Affinität α durch s und zwei Punkte X1, X2Gesucht: Geraden a1, b1 und a2, b2 mit a1 ∩ b1 = X1 a2 ∩ b2 = X1 und a1 ⊥ b1 sowie a2 ⊥ b2

Direkte Achsenkonstruktion

M0

N1

S10

N2

s

N10

N20

MT

S20

k0k

M

S1

S2

kT

Thaleskreis kT zur Konstruktion der beiden orthogonalen Durchmesser

Affinitätsgeraden

n0

h0

h n

k(S1,S2;N1,N2) = achs(k; M0, r, M, s)Ablauf:k0 := kr(M0,r)(h0, n0; h, n) := ortpaar(M0, M; s){S10,S20} = h0 ∩ k0

S1 := (S10 || M0M) ∩ hS2 := (S20 || M0M) ∩ h{N10,N20} = n0 ∩ k0

N1 := (N10 || M0M) ∩ nN2 := (N20 || M0M) ∩ n

RYTZsche Achsenkonstruktion - Konzept• Mit Hilfe der Rytzschen Achsenkonstruktion ist es möglich, ausgehend von zwei

konjugierten Durchmessern einer Ellipse deren Haupt- und Nebenachse und die zugehörigen Ellipsenscheitel zu finden.

• Abb. 1 zeigt die gegebenen und gesuchten Größen. Gegeben sind die beiden konjugierten Durchmesser d`1 und d`2 (blau),gesucht sind die Achsen a und b der Ellipse (rot).

• Zur Verdeutlichung ist die zugehörige Ellipse ebenfalls eingezeichnet, sie ist allerdings weder gegeben, noch ist sie ein direktes Ergebnis der Rytzschen Achsenkonstruktion

• Eine Ellipse kann als affines Bild ihres Hauptkreises unter einer senkrechten Achsenaffinität betrachtet werden. Abb. 1 zeigt neben der Ellipse e ihren Hauptkreis kh.

• Die Affine Abbildung α , welche kh in e überführt ist durch gestrichelte Pfeile angedeutet. Das Urbild eines Ellipsendurchmessers unter der Abbildung α ist ein Kreisdurchmesser von kh. Die definierende Eigenschaft konjugierter Durchmesser und einer Ellipse ist, dass ihre Urbilder d1 und d2 und aufeinander senkrecht stehen.

• So gesehen sind die Achsen einer Ellipse spezielle konjugierte Durchmesser d`1 und d`2 , bei denen nicht nur ihre Urbilder d1 und d2 sondern die Durchmesser selbst aufeinander senkrecht stehen.

• Die Rytzsche Achsenkonstruktion findet zu zwei beliebigen konjugierten Durchmessern d`1

und d`2 diejenigen konjugierten Durchmesser der zugehörigen Ellipse, die aufeinander senkrecht stehen. Diese speziellen konjugierten Durchmesser sind die Achsen der Ellipse.

Abb. 1: Gegebene Größen und Ergebnisse

RYTZsche Achsenkonstruktion - Konstruktion

• Abb. 2 zeigt die Schritte der Konstruktion. Gegeben sind die beiden konjugierten Durchmesser d`1 und d`2,die sich im Mittelpunkt M der Ellipse schneiden.

1. Von jedem konjugierten Durchmesser wird ein Endpunkt gewählt: U' auf d'1 und V' auf d‘2.

2. Der Winkel <(U‘MV') ist entweder stumpf (> 90°) wie in der Abbildung, oder spitz (< 90°). Stünden die konjugierten Durchmesser aufeinander senkrecht (= 90°), wären die Achsen bereits gefunden: In diesem Fall wären sie identisch mit den gegebenen konjugierten Durchmessern.

3. Im ersten Schritt wird U' um den Mittelpunkt M um 90° in Richtung V'gedreht. Das Ergebnis ist der Punkt U‘r. Die Punkte U‘r und V' definieren die Gerade g. Der Mittelpunkt der Strecke [U‘rV‘‚] sei S.

4. Im nächsten Schritt schlägt man einen Kreis t um S, so dass dieser durch den Mittelpunkt Mder Ellipse verläuft. Die Schnittpunkte dieses Kreises mit der Geraden g definieren die Punkte R und L. R und L werden so gewählt, dass, vom Punkt S aus gesehen der Punkt R auf derselben Seite wie U‘r liegt und L auf derselben Seite wie V'.

5. Man zeichnet als Nächstes vom Punkt M aus zwei Geraden, eine durch R und die andere durch L. Diese Geraden schneiden sich in M in einem rechten Winkel (da t ein zugehöriger Thaleskreis ist).

6. Die Aussage der Rytzschen Achsenkonstruktion ist nun, dass die Ellipsenachsen auf den Geraden durch M und R bzw. M und L liegen, und dass die Länge der Strecke [V'R] der Länge a des Ellipsen-Hauptscheitels und [V'L] der Länge b des Ellipsen-Nebenscheitels entspricht.

7. Im letzten Schritt schlägt man daher zwei Kreise um M mit den Radien a und b. Man findet die Hauptscheitelpunkte S1 und S2 im Abstand a von M auf der Geraden durch ML und entsprechend die Nebenscheitelpunkte S3 und S4 im Abstand b von M auf der Geraden durch MR.

Abb. 2: KonstruktionAbb. 2: Konstruktion

RYTZsche Achsenkonstruktion - Begründung• Abb. 3 erläutert die Begründung der Konstruktion, mithilfe des

Hauptkreises kh und des Nebenkreises kn. Gegeben sind die beiden konjugierten Durchmesser d`1 und d`2 (blau), die sich im Mittelpunkt M der Ellipse schneiden.

1. Die Punkte U' und V' seien Endpunkte von d`1 und d`2 , die sich im Mittelpunkt M des Hauptkreises schneiden.

2. Die Urbilder d1 und d2 (grün) von d`1 und d`2 bezüglich α sind damit Kreisdurchmesser des Ellipsen-Hauptkreises kh.

3. Aufgrund der Eigenschaft, dass d`1 und d`2 konjugierte Durchmesser sind, stehen ihre Urbilder d1 und d2 aufeinander senkrecht.

4. Das Urbild von U' bzw. V' bezüglich a sind die korrespondierenden Endpunkte U bzw. Vder Kreisdurchmesser d1 bzw. d2.

5. Die Schnittpunkte der Kreisdurchmesser d1 bzw. d2 mit dem Nebenkreis kn der Ellipse seien die Punkte Un bzw. Vn.

6. Interessanterweise sind die Strecken [U U'] und [U' Un] parallel zu den Ellipsenachsen und bilden daher einen rechten Winkel in U'. Gleiches gilt für die Strecken [V V'] und [V' Vn] im Punkt V'.

7. Zu Beginn der Konstruktion sind nur die Punkte M, U' und V' gegeben. Weder die Urbilder d1 und d2

der konjugierten Durchmesser d`1 und d`2 , noch die Punkte U, Un, V und Vn sind bekannt, noch werden sie im Verlauf der Konstruktion bestimmt. Sie sind lediglich für das Verständnis der Konstruktion wichtig. Wenn im weiteren Verlauf der Beschreibung auf diese Punkte Bezug genommen wird, ist das zu verstehen als „Wenn diese Punkte bekannt wären, dann würde man feststellen dass…“

Abb. 3: Begründung der Konstruktion

RYTZsche Achsenkonstruktion - Begründungshintergrund

• Abb. 4 und 5 erläutern die Begründung der Konstruktion1. Dreht man, wie in Abbildung 3 gezeigt, den Ellipsendurchmesser d`1 mitsamt

seinem Urbild d1 um 90° um den Mittelpunkt M in Richtung V', so kommen die Urbilder d1 und d2 zur Deckung, und der gedrehte Punkt U fällt mit Vund Un mit Vn zusammen. Der Punkt U' geht in U'r über. Aufgrund der Parallelität von [U' Un] und [Vn V'] mit einer Ellipsenachse und der Parallelität von [U U'] und [V V'] mit der anderen Ellipsenachse bilden die Punkte U'r, V, V' und Vn ein Rechteck, wie man in Abb. 4 sieht. Von diesem Rechteck sind allerdings nur die Punkte V' und U'r bekannt. Dies reicht aber aus, um seinen Diagonalenschnittpunkt zu finden.

2. Der Diagonalenschnittpunkt S ergibt sich durch Halbierung der Diagonalen [U'r V‚]. Die andere Diagonale liegt auf der Geraden durch M und S(weil S der Diagonalenschnittpunkt ist und die Diagonale auf einem Durchmesser des Hauptkreises liegen muss), allerdings sind ihre Endpunkte V und V' durch die Konstruktion noch nicht identifiziert.

3. Wichtig zum Finden der Ellipsenachsen ist aber lediglich, dass die Ellipsen-Hauptachse eine Parallele zu [V' Vn] durch M ist und entsprechend die Ellipsen-Nebenachse eine Parallele zu [U'r Vn] durch M ist.

4. Verlängert man die bereits bekannte Diagonale [U'r V'] wie in Abb. 5, so schneidet sie die Ellipsen-Hauptachse in einem Punkt L und die Ellipsen-Nebenachse in R, und es entstehen gleichschenklige Dreiecke [SVn V'] und [SML] in S (die Diagonalen teilen ein Rechteck in vier gleichschenklige Dreiecke, plus Strahlensatz).

5. Selbiges gilt für die Dreiecke [SVnU'r] und [SMR]. Diese Eigenschaft wird für die Konstruktion der Punkte L und R ausgenutzt: Da die Länge der Strecke [SM] gleich der Länge der Strecken [SL] bzw. [SR] sein muss, findet man L bzw. R als Schnittpunkte eines Kreises um S mit Radius [SM]. Mit den Punkten L und R ist jetzt auch die Lage der Ellipsenachsen bekannt (auf den Geraden durch M und L bzw. R). Es fehlen lediglich die Scheitelpunkte.

Abb. 4:

Abb. 5:

RYTZsche Achsenkonstruktion - Scheitelpunkte• Abb. 6 erläutert die Identifikation der Scheitelpunkte

1. Die Länge der Hauptachse a entspricht der Länge des Radius des Hauptkreises. Die Länge der Nebenachse b ist gleich dem Radius des Nebenkreises. Der Radius des Hauptkreises ist aber gleich der Länge der Strecke [MV] und der Radius des Nebenkreises ist gleich der Länge der Strecke [MVn]. Zur Bestimmung von a und b muss die Lage der Punkte V und Vn nicht konstruiert werden, da folgende Identitäten gelten:

2. In der Konstruktion lässt sich also die Länge der Ellipsenachsen bereits ablesen: a =[R V'] und b = [V' L].

3. Mit dieser Information lassen sich der Haupt- und Nebenkreis der Ellipse einzeichnen. Die Hauptscheitelpunkte S1 und S2 findet man als Schnittpunkte des Hauptkreises mit der Ellipsen-Hauptachse. Die Entscheidung, bei welcher der beiden gefundenen Achsen es sich um die Haupt- bzw. die Nebenachse handelt, begründet sich wie folgt:

4. V' ist das Bild von V bezüglich der affinen Abbildung α, die den Ellipsen-Hauptkreis auf die Ellipse abbildet. Da es sich bei α um eine Kontraktion in Richtung der Hauptachse handelt, muss sich die Hauptachse auf der V gegenüberliegenden Seite von d`2 befinden und daher durch den Punkt L verlaufen, der auf der Seite des nicht gedrehten Ellipsendurchmessers d`2 liegt.

5. Dies ist unabhängig von der initialen Wahl der Punkte U' und V' . Entscheidend ist allein, dass U' bei der Drehung um 90° auf V' zugedreht wird, da nur dann der Punkt S auf dem Urbild d2

des konjugierten Durchmessers d`2 liegt. Die Ellipsen-Hauptachse liegt dann von V' aus betrachtet immer auf der S gegenüberliegenden Seite von d2.

Abb. 6:

Im ersten Schritt wird U’ um den Mittelpunkt M um 90° in Richtung V’ gedreht. Das Ergebnis ist der Punkt Ur’. Die Punkte Ur’und V’ definieren die Gerade g. Der Mittelpunkt der Strecke Ur’V’ sei S.

Im nächsten Schritt schlägt man einen Kreis t um S, so dass dieser durch den Mittelpunkt M der Ellipse verläuft. Die Schnittpunkte dieses Kreises mit der Geraden g definieren die Punkte R und L. R und L werden so gewählt, dass, vom Punkt S aus gesehen der Punkt R auf derselben Seite wie U'r liegt und L auf derselben Seite wie V'.

Man zeichnet als nächstes vom Punkt M aus zwei Geraden, eine durch R und die andere durch L. Diese Geraden schneiden sich in M in einem rechten Winkel (da t ein zugehöriger Thaleskreis ist).

Die Aussage der Rytzschen Achsenkonstruktion ist nun, dass die Ellipsenachsen auf den Geraden durch M und R bzw. M und L liegen, und dass die Länge der Strecke V'R der Länge a des Ellipsen-Hauptscheitels und V'L der Länge b des Ellipsen-Nebenscheitels entspricht.

Im letzten Schritt schlägt man daher zwei Kreise um M mit den Radien a und b. Man findet die Hauptscheitelpunkte S1 und S2 im Abstand a von M auf der Geraden durch L und entsprechend die Nebenscheitelpunkte S3 und S4 im Abstand b von M auf der geraden durch R.

Zusammenfassung:RYTZsche Achsenkonstruktion

https://de.wikipedia.org/wiki/Rytzsche_Achsenkonstruktion

M

Q

RYTZsche Achsenkonstruktion

N1

S1

S2

N2

P

R

S

Q*

N

V2

V1m

vkm

knn h

Ist k, also die Ellipse, nicht durch eine geg.perspektive Affinität aus einem Kreis k0 festgelegt, kann man die Konstruktion der Achsen S1,S2;N1,N2 durch punktweise Konstruktion eines Paares konjugierter Durchmesser erzeugen

geg.: konjugierte Durchmesser PQ und RS k(S1,S2;N1,N2) = rytz(P, Q, R, S)

Ablauf:km := kr(M, MQQ* := (M ⊥ PQ) ∩ km (d.h. MQum M mit 90° drehen)v := R Q*

N := mpkt(R, Q*) (Mittelpunkt)kn := kr(N, MN

h := V1M (die Hauptachse liegt im spitzen Winkel von PQ und RS)n := V2M

)

)

S1,S2 ∈ h mit *1 2 1 2S M S M a V Q V R= = = =

N1,N2 ∈ n mit *1 2 2 1N M N M b V Q V R= = = =

Darstellung von Kreisen / Normalrisse, d.h. Parallelprojektion

Es sei k(Σ,M,r) ein Kreis mit der Trägerebene Σ, dem Mittelpunkt M ∈ Σ und dem Radius r. Die Senkrechte z = M⊥ Σ ist die Kreisachse von k.Zwei besondere Lagen ergeben sich, bei denen sich k kongruent als Kreis abbildet:

Σ 7 Π1 Σ 7 Π2

r

k‘M‘

k‘‘M‘‘

r r

M‘ k‘

r r

M‘‘k‘‘

r

Bei allgemeiner Lage von Σ ergeben sich für die Darstellung von k‘ bzw. k‘‘ als Ellipsenpaar im Grund- und Aufriss:Die Hauptachse A'B' von k‘ liegt auf der Höhengeraden h’ durch M’Die Hauptachse P’’Q’’ von k‘‘ liegt auf der Frontgeraden v’’ durch M’’

x12 x12

A'

Zweitafelprojektion eines Kreises

s2

x12

s1

B'

C'

D'

Q' v'

h'

b1

k'

k''

h''

v''

P''

Q''R''

S''

A''

b2

k = (k’, k’’) := kreis(Σ,M,r)Ablauf:h’’ := M’’ || x12h’ := inz(h’’; h ⊂ Σ)A’, B’ ∈ h’ mit M ' A ' M ' B' r= =A’’ := ord(A’) ∩ h’’(B’’ := ord(B’) ∩ h’’ nicht notwendig)

M '' P '' M ''Q '' r= =

f1:=M'^h’b1 := papk(A’,B’;Q’)C’,D’e f1 mit C’D’=2b1

k’ := ell(A’,B’;C’,D’)M''

M'

B''

P'

Ablauf alternativ:v’ := M’ || x12v’’ := inz(v’; v ⊂ Σ)P’’, Q’’ ∈ v’’ mit P’ = ord(P’’) ∩ v’(oder Q’ = ord(Q’’) ∩ v’ )f2:=M”^v”b2 := papk(P’’,Q’’;A’’)R’’,S’’e f2 mit R’’,S’’ =2b2

k’’ := ell(P’’,Q’’;R’’,S’’)

f1=z'

f2 =z''

Mit den Hauptscheiteln (A’,B’∈k’ bzw. P‘‘, Q‘‘∈k‘‘) und einem Ellipsenpunkt (P’∈k’ bzw. A‘‘∈k‘‘) ist eine Ellipse festgelegt, die Nebenscheitel können mit der Papierstreifenkonstruktion daraus ermittelt werden.Da die Achse z von k orthogonal zu Σ ist gilt jeweils z'^h’ und z’'^v’’, d.h. z’ fällt mit der Nebenachse von k’ und z’’ mit der von k’’ zusammen.

T

Perspektivische Darstellung eines Kreises

Parabelk ∩ v = T

(k berührt v in T )

Ellipsek ∩ v = ∅

(k und v schneiden sich nicht,Der Kreis liegt also voll im Blickwinkel)

kc ist jeweils das perspektivische Bild eines Kreises k in der Ebene Σ. Z ist das Projektionszentrum und Π die Bildebene. Dann ist Πv = Z || Π die Verschwindungsebene. Die Punkte der Verschwindungsgeradenv = Πv ∩ Σ gehen bei der Projektion aus Z in uneigentliche Punkte von Π über. In Abhängigkeit von der Lage des Kreises k bezüglich v ist das Bild kc eine Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel.

k

Z

Hyperbelk ∩ v = {U,V}

(k schneidet v in U und V)

v kc

Πv Π Π

Πv v U,V

ZZ

Σ ΣΣ

k

kkc

kc

kc