Kriimmungsschwerpunkte konvexer Kiirper H.

Von ROLF SCHNEIDER ill Berlin

Emle~ung

Unter den geometrisch definierten Funktionalen, die in der klassischen Theorie der konvexen K6rper untersucht werden, nehmen die QuermaB- integrale eine beherrschende Stellung ein. Ihre Bedeutung wird hervor- gehoben dutch die Tatsache, dab sie in ihrer Gesamtheit (das heiBt ihre Linearkombinationen) eindeutig bestimmt sind durch einige ihrer nahe- liegendsten Eigenschaften, etwa durch Bewegungsvarianz, Additivit~t und Stetigkeit. Diese natiirliche Kennzeichnung der QuermaBintegrale, deren MSglichkeit bereits yon BLASCHXE [4] i), w 43, erSrtert worden ist, ist yon HADWIGER (siehe [21], wo sich weitere Literaturangaben ridden) bewiesen und in ihren Auswirkungen untersucht worden. Als besonders ansprechende Anwendung gestatten diese Charakterisierungss~tze einen raschen Zugang zu einigen Formelsystemen der Integralgeometrie im Umkreis der Croftonschen Formeln und der kinematischen Haupt- formel.

In weitgehender Analogie zu den Querma$integralen laBt sich fiir konvexe K6rper eine Serie yon vektorwertigen Funktionalen einfiihren. Diese Quermaflvektoren, die eng mit den Krt~mmungsschwerlounkten zu- sammenh~ngen, kSnnen in der gleichen Weise durch Spezialisierung aus sogenannten gemischten Zielvektoren erhalten werden, wie die Quermal3- integrale sich als Spezialfglle gemischter Volumina ergeben; die ge- mischten Zielvektoren entstehen dabei genauso durch ,,Polarisierung" aus den mit dem Volumen multiplizierten Schwerpunktsvektoren, wie die gemischten Volumina aus dem Volumen hervorgehen. Die Kriim- mungsschwerpunkte, deren Ortsvektoren durch geeignete Streckungen aus den QuermaBvektoren erhalten werden, lassen sich deuten als Schwerpunkte gewisser (mR Kriimmungsfunktionen zusammenh~ngen- der) !Kassenbelegungen auf dem Rande der konvexen KSrper; die Ge-

1) Die Zahlen in den eekigen Klammern verweisen auf das Literaturverzoiehnis am Ende des ersten Tefles dieser Arbei t (ira folgenden zit iert mi t I), der in diesen Abhandlungen 37 (1972), 112--132, ersehienen ist.

Kriimmungsschwerpunkte konvexer KSrper II. 205

samtmassen sind dabei gerade die Querma~integrale. All dies ist aus- ffihrlich in I auseinandergesetzt worden. Ein anderer Zugang zu den Quermal~vektoren finder sich in [23].

In I sind auch eine Reihe yon funktionalen Eigenschaften der Quer- mal~vektoren und damit der Kriimmungsschwerpunkte festgestellt worden, durch die die Analogie zu den Quermai~integralen weiter unterstrichen wird. Es dri~ngt sich die Frage auf, ob es auch zu den ,,Funktionals~tzen" von HADWIGER, die die axiomatische Charakterisierung der Quermal3inte- grale zum Inhalt haben, Gegenstticke bei den QuermaBvektoren gibt. Mit derartigen Kennzeichnungen dieser vektorwertigen Funktionale durch einige geometrische Eigenschaften befaBt sich die vorliegende Arbeit. Es werden zwei Kennzeichnungss~tze (Satz 3 un4 Satz 4) be- wiesen, mit deren Hilfe dann auch integralgeometrische Formelsysteme hergeleitet werden kSnnen. Der Beweis der Chaxakterisierungen stiitzt sich wesentlich auf eine axiomatische Kennzeictmung eines der Krfim- mungsschwerpunkte, n~mlich des Steinerpunktes, die in [36] bewiesen worden ist und auch in [23] benutzt werden mu~te. Es handelt sich um den Nachweis, da~ der Steinerpunkt durch die Forderungen der Additi- viti~t im MJnkowskischen Sinne, Bewegungsi~quivaxianz und Stetigkeit eindeutig festgelegt ist. Daraus wird zun~chst eine analoge Kennzeich- hung (Satz 2) hergeleitet, in der die Additiviti~t im Minkowskischen Sinne ersetzt ist dutch die gewShnliche Additiviti~t. Diese Herleitung sowie auch die weiteren Beweise bedienen sich im wesentlichen der auch yon HADWIGER [21] beim Beweis der Funktionals~tze herangezogenen Schlul~weisen; die in [36] bewiesene Kennzeichnung des Steinerpunktes hat sich diesen elementaren und natiirlichen Methoden jedoch bisher entzogen.

1. Kennzeichnungen der Kriimmungsschwerpunkte

Bei der Herleitung zweier ,,Funktionalsi~tze" fiir Querma]vektoren und Krfimmungsschwerpunkte werden wir uns wesentlich auf die durch den nachfolgenden Satz 1 zum Ausdruck gebrachte Charakterisierung des Steinerpunktes zu sttitzen haben. Zuvor erli~utern wir noch eine zur Abktirzung benutzte Bezeichnungsweise: Eine Abbfldung ~: ~n__> En heiflt bewegungsdquivariant, wenn ~0(TK) ----T~(K) gilt fiir alle K e ~ und jede eigentliche Bewegung T : E ~ -~ E ' ; ferner heiBt ~0 dreh&luiva- riant, wenn die angefiihrte Gleichheit jedenfalls fiir alle eigentlichen Bewegungen T besteht, die den Nullpunkt fest lassen. Im tibrigen sollen die in I eingefiihrten Bezeichnungen im folgenden weiterverwendet werden.

206 Rolf Schneider

Satz 1. Sei n ~ 2. Sei ~ : ~" --> E" eine Abbildung mit /olgenden Eigen- scha/ten :

(1) r

(2) q~ ist

(3) ~ ist

+ K2) : q~ (KI) + q~ (K2)

bewegungsdquivariant,

stetig.

/ar Ks, Ks ~ ~'*,

Dann ist q~(K) = p,,(K) /ar K ~ ~".

Dieser Satz ist in [36] bewiesen worden; dort iinden sich auch histori- sche Bemerkungen dazu sowie weitere Literaturangaben.

Aus Satz 1 werden wir zuniichst die folgende abgewandelte Kenn- zeichnung des Steinerpunktes herleiten, in welcher die Additivitiit im Minkowskischen Sinne ersetzt ist durch die gewShnliche Additivit~t.

Satz 2. Sei n ~ 2. Sei ~ : ~ --+ E ~ eine Abbildung mit /olgenden Eigen- scha /ten :

(4) ~ ist additiv au/ ~",

(5) ~ ist bewegungsdquivariant,

(6) ~ ist 8tetig.

Dann ist q~(K) : p,,(K) /ar K ~ ~".

Eine ~hnliche, etwas schw~chere Kennzeichnung des Steinerpunktes folgt bereits aus einer ~berlegung yon HADWIGER [22]. Mit Satz 1 gilt ftir eine Abbildung ~: ~n__> En insbesondere die folgende Aussage: ,,Ist

additiv im Minkowskischen Sinn, ~hnlichkeitsi~quivaxiant und stetig, so gilt ~ ---- Pn." Wie HADWlGER gezeigt hat, ist da~n auch die folgende Aussage richtig: ,,Ist ~ additiv im gewShnlichen Sinn, ~hnlichkeits- ~quivaxiant und stetig, so ist ~----p,." Wir werden in wesentlichen Punkten der Argumentation yon I4_ADWm~R folgen, um Satz 2 auf Satz 1 zuriickzufiihren; da wir jedoch nicht die Kovarianz der Abbfldung

mit Streckungen voraussetzen woUen, miissen wir diese beweisen, was zus~tzlichen Aufwand erfordert. Hierbei machen wir Gebrauch yon SchluBweisen, die HADWm~R [21] beim Beweis seiner Funktionals~tze benutzt hat.

Einen wesentlichen Schlu~ formulieren wir zun~chst als Hilfssatz. Da~u sei unter einem geraden Zylinder ein konvexer KSrper Z e ~" der Form Z ~ Z~ ~- Z~ verstanden, wobei dim Z~ ~_ 1 ist und die ~ffinen Htillen der K5rper Z1 und Z~ total orthogonal sind.

Kriimmungsschwerpunkte konvexer KSrper II. 207

Hilfssatz 1. Sei ~ : ~ --~ ~ e i n Funlctional mit ]olgenden Eigenscha/ten:

(7))~ (K -~ a) -= X (K) /ar a e E ~,

(8) g(K~ w K~) ----- g(K1) § g(K2), ]alls U~, K2, KI ~ K s ~ ~n und dim (K1 (h K2) < n,

(9) g i s t stetig,

(10))~(Z) ~- 0 /~r gerade Zylinder Z e ~ .

Dann gilt )~ (K~ ~ K2) ---- ~ (K1) ~ ~ (Ks) far K~, K s e ~ ' .

Dieses Resultat ergibt sich bei HADWIGER [21] (S. 223 unten--224 oben) im Verlaufe des Beweises f'fir die Funktionals~tze. Wie man un- sehwer nachpriift, wird die Bewegungsinvaxianz, die dem bei HADWIGER auftretenden Funktional zukommt, an dieser Stelle nieht voll ausgenutzt; es geniigt die Translationsinvarianz.

B e w e i s v o n Sa tz 2. Wir beweisen den Satz durch Induktion nach der Dimension. Zun~chst sei n----2. Fiir K e ~2 setzen wir gb(K) = (~ (K) - -p~ (K), b) mit einem beliebigen Vektor b e E 2. Ist K eine Strecke oder ein Reehteek, so folgt aus (5) die Gleichung ~(K) -----p2(K), da es eine eigentliehe Bewegung gibt, die K in sieh fiberftihrt und nur den Punkt/02 (K) festli~Bt. Man folgert leieht, dab das Funktional ;~b alle im obigen Hilfssatz geforderten Voraussetzungen erftillt. Es ist also ;~b (K1 ~ Ks) ---- •b (K1) ~- Xb (Ks) fiir K1, Ks e ~ ; d a b beliebig war und p~ im Minkowskisehen Sinne additiv ist, folg~ ~ (K~ -~ Ks) ---- ~0 (K~) -~ ~ (K,.) ftir K1, K s e ~ . Aus Satz 1 folgt dann ~ = p2.

Es sei nun n > 2 und Satz 2 bereits bewiesen ftir alle Dimensionen 2 und < n. Seien Ev, Eq C E n zwei orthogonale Ebenen der Dimen-

sion P --~ 1 bzw. q ~ 1 dureh den Nullpunkt. Sind K1 C E~, K~. C Eq konvexe I45rper, so gibt es eine eindeutige Darstellung

(KI § Ks) = ~)1 (K1, K2) + ~2 (K~, Ks)

mlt ~01 (K1, K2) ~ E~ und ~ (K1, K2) E Eq. Wir betraehten nun zu einem lest gew~hlten KSrper Q C Eq das durch diese Gleiehung definierte Funktional ~(., Q), das also jedem KSrper aus E~ einen Punkt dieser Ebene zuordnet. Sind K1, Ks, K 1 u K s konvexe KSrper aus E~, so ergibt sich aus der Voraussetzung (4), wenn noch die trivialen Bezie- hungen

(K1 @ Q) w (Ks ~- Q) -- (El (J Ks) -]- Q,

(K1 + Q) ~ (K2 ~- Q) = (K1 (~ Ks) ~- Q

beaehtet werden, die Relation

~ ( K 1 u Ks, Q) + ~ ( K 1 N K2, Q) -- q9 I(K~, Q) + cf2(Ks, Q).

208 Rolf Schneider

Ist "[' : E~ --> E~ eine eigentliche Bewegung, die den Nul lpunkt festl~Bt, so gibt es eine eigentliche Bewegung T:E~--> E% die auf E~ mit T' und auf Eq mit der Ident i t~t zusammenfiillt. Aufgrund dieser Bemerkung findet man wegen (5)

~ (T' K, Q) = T' ~ (K, Q).

Ist T : E ~ -> E ~ eine Translation, die E~ in sich fiberfiihrt, so finder man unter Beachtung yon (5)

~I (TK, Q) = T~i (K, Q).

Diese Gleichung gilt also ftir beliebige eigentliche Bewegungen T : E~-->E~. Schliel~lich leitet man aus der Voraussetzung (6) auch unschwer die Stetigkeit des Funktion&ls ~01(., Q) her. Damit ist gezeigt, dag ~1(', Q) bezfiglich der Ebene E~ die gleichen Eigenschaften besitzt wie ~ beziig- lich E ~. Nun ist eine Fallunterscheidung erforderlich.

F a l l 1. p _> 2. In diesem Fall kSnnen wir die Indukt ionsannahme be- nutzen und auf die fiir alle KSrper K C E~ giiltige Relation ~1 (K, Q) ~-p~(K) schliel~en (man beachte G1. I(37)).

F a l l 2. p = 1. Wir bezeichnen die Punkte der Geraden E~ durch ihren orientierten Abstand vom Nullpunkt und bezeichnen die Strecke mit Endpunk ten a und b durch ab. Sei K C Eq ein konvexer KSrper; wir setzen ~01 (a-b, K) ~-- /(a, b). Die oben nachgewiesenen Eigenschaften der Translationsi~quivarianz und der Additiviti~t des Funktionals ~01(. , Q) ergeben nun die Gleichungen

(11) ](a + c, b + c) = / ( a , b) + c,

(12) /(0, a -t- b) + / ( a , a) -= /(0, a) -Jr-/(a, a + b).

Aus (11) folgt insbesondere/ (a , a) ---- ~ ~ a mit ~, ----/(0, 0) sowie die Gle ichung/(a , b ~ a) ~--/(0, b) ~ a. Somit wird aus (12) die Gleichung /(0, a ~ b) ~ ~, ----/(0, a) -]-/(0, b), so dab also die F u n k t i o n / ( 0 , -) - - ~ der Cauchyschen Funktionalgleichung geniigt. Da aus (6) die Stetigkeit dieser Funkt ion folgt, ergibt s ich / (0 , a) ~- ~a ~ r mit ~ = / ( 0 , 1) - - ~ , wegen (11) also /(a, b) = /(O, b - - a ) + a = (1--c~)a-[-c~b-[-~. Wir haben somit

q~l(ab, K) = [1 - - ~(K)]a + ~(K)b + r(K)

erhalten, wobei jetzt durch die Schreibweise angedeutet ist, dab die Kons tan ten ~ und y noch yon der Wahl des K6rpers K abhgngen. In ~hnlicher Weise wie oben weist man nun nach, dab bei festgehaltener Strecke a-b das auf den konvexen KSrpern yon Eq erklgrte Funkt ional ~ol(a--b, .) die Eigenschaften der Additivitat , Invarianz gegeniiber eigent-

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lichen Bewegungen und Stetigkeit besitzt. Da a und b noch frei gew~hlt werden kSnnen, miissen die gleichen Eigenschaften daher den reell- wertigen Funktionalen ~ und y zukommen. Nach dem ersten Funktional- satz yon HADWIGER [21], S. 221, gibt es also Konstanten ci, di (i = 0, 1 , . . . , q), so dal3 fiir alle konvexen KSrper K C E~ die Glei- chungen

q q

(g) : ~ c, W~(K), y(K) = ~ d,W;(K) i=O i=O

bestehen; durch W~ sind darin die q-dimensionalen Quermal~integrale bezeichnet. Fiir r e (0, 1 , . . . , q) wah]en wir in Eq einen r-dimensionalen KSrpe r K, der symmetrisch ist beziiglich einer zu Eq orthogonalen (n - - 2)-dimensionalen Ebene En_, durch den Nullpunkt. Die Spiegelung an der Ebene E,_, -~ �89 (a -}- b) ist dann eine eigentliche Bewegung, die den KSrper ab --}-K in sich iiberfiihrt. Wegen (5) mul~ der Punkt q~ (ab --}- K) in der bei der Spiegelung lest bleibenden Ebene liegen; daher ist q~l(ab, K) ---- �89 -}- b). Da a und b jetzt noch variiert werden kSnnen, folgt a ( K ) = �89 und y ( K ) = 0 . Andererseits ist W~(K)----0 fiir i - - - - 0 , 1 , . . . , q - - r - - 1 und W~(K)~=0 fiir i - - - - q - - r , . . . , q . Wi~hlt

I man also der Reihe nach r ~ - 0 , 1 . . . . . r so finder man c q W q : � 8 9 l (W~ hi~ngt nicht yon K ab), c, ---- 0 fiir i ~ 0, 1 , . . . , q - - 1 und di = 0

ftir i ---- 0, 1 . . . . , q. Damit ist gezeigt, dab a (K) : �89 und y (K) -~ 0 ftir alle K CE~ und daher q~(ab, K)-~ �89 ~ b)-~p~(ab) ist. Damit ist Fall 2 abgeschlossen.

Wir haben ftir beliebige KSrper Q C E~ und K C E~ die Gleichung ~ ( K , Q) -- p , (K) gezeigt. Analog ergibt sich ~,(P, K) ---- pn(K) ftir be- liebige KSrper P C E~ und K C Eq. Es ist Mso fiir P C E~, Q C E~

~0(P § Q) : ~l(p , Q) ~- ~ ( P , Q) : p,,(p) -t- p,,(Q) -: p,,(P -[- Q)

wegen der Minkowskischen Additiviti~t des Steinerpunktes. Damit haben wir ~(Z) = p,(Z) fiir gerade Zylinder Z bewiesen.

Nun setzen wir mit einem beliebigen Vektor b e E" ffir K e ~

Z~ (K) ---- (W (K) - - p~ (K), b).

Dann ist 2b translationsinvariant. Sei E~_ 1 C E ~ eine Hyperebene durch den Nullpunkt. Die Einschri~nkung der Abbildung W auf die in E~_I ent- haltenen konvexen KSrper erfiillt die Voraussetzungen yon Satz 2; aus der Induktionsannahme folgt daher W (K) : p~ (K) ftir K C E~_ 1. Somit ist Xb (K) ----- 0 ftir K C E~_I; wegen der Translationsinvaxianz yon Xb gilt also Zb (K) ~ 0 ftir alle K e ~ mit dim K ~ n. Daher folgt aus (4) und I (38) die Gleichung •b (K~ k) K2) = Zb (K~) + Z~ (K2) fttr alle K1, K2 e ~n mit K1 u Ks e ~n und dim (K1 (~ Ks) ~ n. Ferner ist Zb stetig, und es

210 Rolf Schneider

gilt %b (Z) = 0 f'tir gerade Zylinder Z. Aus Hilfssatz 1 folgt also, dab noch variiert werden kann,

(K~ + Ks) = ~ (K,) ~- ~ (K2) ftir K~, Ks e R~.

Aus Satz 1 ergibt sich nun die Gleichung ~0 (K) ~- p~ (K) fiir alle K e R" und damit die Behauptung von Satz 2.

Zur Herleitung der in Aussicht gestellten Kennzeichnung der Krtim- mungsschwerpunkte benStigen wir noch einen einfachen Hilfssatz.

tIilfssatz 2. Sei q~ : ~" ---> E '~ eine Abbildung mit den Eigenscha/ten

(13) 9 ist additiv au[ g~n,

(14) 9 ] ~ ist stetig.

Dann ist q~ stetig.

Beweis . Wir beweisen durch Induktion nach r, dab ~1~-~ stetig ist (r = 0, 1 . . . . . n). Ftir r = 0 ist das nach Voraussetzung richtig; sei es also bewiesen fiir ein r e {0, 1 . . . . , n - - 1}. Sei Ko, K1, Ks . . . . e ~-~-1, limK~----Ko und o.B.d.A, dim Ko ---- n - - r - - 1 . Sei S C E " eine i--~oo

Strecke mit einem Endpunkt im Nullpunkt und derart, d a f S nicht zu einer in Ko enthaltenen Strecke parallel ist. S* gehe aus S durch Spiege- lung am Nullpunkt hervor. Die folgenden Aussagen sind leicht nachzu- weisen:

(15) (K, q- S) c~ (K~ + S*) -~ K , , I (i -~ O, 1, 2 , . . . ) (16) (K~ ~- S) ~J (Ki -~ S*) ist konvex,)

(17) K o ~- S, K o ~ S* e ~_~,

(18) lira (Ki ~- S) • K o + S, lim (Ki -+- S*) -~ K o ~ S*,

woraus insbesondere

(19) Ki Jr S, K~ ~ S* e ~ - r ftir fast alle i

folgt. Wir vei~zcenden nun der Reihe nach (15); (16) und (13); (18), (17),

(19) und die Induktionsannahme; (16) und (13); (15); und erhalten

9(Ko) = 9[(go + S) n (K o + S*)]

= ~o (Ko -1- S) q- ~o (Ko q- S*) - - ~o [(K. q- S) u (Ko q- S*)]

= l im~(K, - + - S ) + l i m g ( K , ~-S*) - - l im~[(K, -~S) u (K, +S*) ]

= lim q~[(K, -~S) n (K, +S*) ]

= lira q~ (K~).

Damit ist gezeigt, daft auch 91~-~- : stetig ist; der Hilfssatz ist also bewiesen.

Krtimmungsschwerpunkte konvexer KSrper II. 211

Nun kSnnen wir Satz 2 zu einer Kennzeichnung des r-ten Kriimmungs- sehwerpunktes verallgemeinern. Zuvor wollen wir zur Vereinfaehung einiger Formulierungen noeh im Einklang mit der Erkl~rung im AnsehluB an Gleichung I (26) die folgende Verabredung treffen: Ist ~ : ~ - r --> E n ein Funktional, das also ftir KSrper K der Dimension < n - r nicht erkl~rt ist, so sell der Ausdruek W, (K) ~ (K) fiir dim K < n - - r stets den Nullvektor bedeuten.

Satz 3. Sei n >_ 2 und 0 ~ r ~ n. Sel qJ : ~ _ , --> E" eine Abbildung mit ]olgenden Eigenscha/ten:

(20) W ~ ist additiv au/ ~ - r ,

(21) ~ ist bewegungsdquivariant,

(22) ~ ist stetig.

Dann ist ~(K) ---- p~(K) /at K e ~_~.

DaB umgekehrt die Abbildung p~ : ~ - r - - > E" die Voraussetzungen dieses Satzes erfiillt, wird dutch I (24), I (25), I (26) zum Ausdruek gebraeht. Den besonders einfaeh zu formulierenden Speziaffall von Satz 3, der sieh auf den gewShnliehen Sehwerpunkt bezieht, woUen wir ge- sondert hervorheben: Ist q~ : ~ - - > E" eine stetlge, mit eigentlichen Be- wegungen vertauschbare Abbildung derart, daft V r (V -~ Volumen) additiv ist, so ist ~ (K) der Schwerpunkt yon K.

Bewe i s y o n Sa t z 3. Wir setzen

(g) ---- Wr (K) [r (K) - - p, (K)] q- p , (K)

ftir K e ~ (naeh obiger Verabredung also ~(K) = p,(K), falls dim K < n - r). Aus (20) und I (26) folgert man, dab ~ additiv auf R" ist. Ferner grit ~ ( T K ) = T~(K) fiir jede eigentliehe Bewegung T : E ~ --> E ~, wie aus (21), I (24) und tier Bewegungsinvarianz der Quer- maBintegrale folgt (zum Naehweis betraehte man Drehungen um den Nullpunkt und Translationen gesondert). Aus (22), I (25) und der Stetigkeit der QuermaBintegrale folgt die Stetigkeit yon v 2 auf ~_~; Hilfssatz 2 liefert dann die Stetigkeit auf ganz ~n. Nun folgt aus Satz 2 die Gleichung v2(K ) = p,,(K) fiir alle K e ~" und somit ~(K) = pf(K) fiir K E ~ _ , , wie behauptet.

Zwisehen HADWIG~RS Kennzeiehnung der QuermaBintegrale ([21], S. 221) und der in Satz 3 ausgesproehenen Chaxakterisierung der Krtim- mungssehwerpunkte besteht ein grundlegender Untersehied: Dutch lqAnwm~l~s Funktionalsatz werden nieht die QuermaBintegrale je fiir sieh, sondern notwendigerweise deren Linearkombinationen mit kon- stanten Koeffizienten gekennzeichnet. DaB demgegeniiber die Kriim- mungsschwerpunkte einzeln eharakterisiert werden, erkl/irt sieh durch

212 Rolf Schneider

ihre Eigenschaft der gewogenen Additiviti~t, wobei die Gewichte ftir ver- schiedene Schwerpunkte durch verschiedene Funktionale gegeben sind. Ein genaueres Gegenstfick zum Funktionalsatz ftir die QuermaBintegrale liefert die folgende Kennzeictmung der Linearkombinationen der Quer- maBvektoren mit konstanten Koeffizienten. Dieser Satz erweist sich dazm auch als sehr nfitzlich, wenn man zu den Anwendungen, die HAD- WmER Yon seinen Funktionalsiitzen beim Nachweis integrMgeometri- scher Relationen gemacht hat, in ana]oger Weise Gegenstticke auffmden will.

Satz 4. Sei n ~ 2. Sei 9 : ~" --> E" eine Abbildung mit den/olgenden Eigenscha/ten :

(23) 9 ist additiv au/ ~",

(24) 9 ist drehdquivariant,

(25) /~tr alle a e E ~ ist der Vektor q~(K + a ) - -q~(K) parallel zu a,

(26) 9 ist stetig.

Dann ist n n

9(K) = ~ c,q,(K) : ~ c, W , ( K ) p , ( K ) i ~ 0 i = 0

/~r K e ~", wo co, �9 �9 c~ passende Konstanten sind.

Der Beweis finder sich im wesentlichen bereits ill [23], sei aber der Vollst•ndigkeit halber kurz angegeben: Nach (25) gilt fiir a e E"

(27) 9(K + a) - - ~(K) = 2(K)a .

Fiir das hierdurch auf ~" definicrte reenwcrtige Funktional 2 weist man nach, dab es wegen (23) additiv, wegen (24) invaxiant gegen eigentliche Drehungcn um den Koordinatenursprung und wegen (26) stetig scin mul~. Wcgen (27) ist qJ(K + a + b ) - - c p ( K ) = ,~(K)a + ~(K +a)b = ~(K)b + 2 (K + b) a, woraus 2 (K + a) = ~ (K), also die Translationsinvarianz yon 4, folgt. Das bewegungsinvariante, additive und stetige Funktional ;t ist nach HADWlGERS erstem Funktionalsatz ([21], S. 221) voi1 der Form

n

i = 0

mit passenden Konstanten c o . . . . . c,. Wir setzen fox K e ~"

n

y ( K ) = q~(K) - ~ c,q,(K) + p,,(K) ~=o

und weisen mtihelos nach, dab v 2 additiv, bewegungs~quivariant und stetig ist. Satz 2 ergibt to = p , , also die Behauptung yon Satz 4.

K r i i m m u n g s s c h w e r p u n k t e k o n v e x e r K S r p e r I I . 213

2. Integralgeometrische Relationen

Fiir die Querma•vektoren (und damit fiir die Kriimmungsschwer- punkte) lassen sich einige integralgeometrische Relationen herleiten, die man als vektorielle Gegenstiicke zu bekannten •ormelsystemen fiir die Quermal3integrale ansehen kann. Fiir diese Formelsysteme sowie fiir die im folgenden benutzten Begriffe und Schreibweisen der Integralgeome- trie sehe man HADWm~m [21], Kap. 6. Zum Teil werden die im folgenden dargelegten Ergebnisse auch in [23] angegeben; da der Zugang zu den QuermaBvektoren hier jedoch andersartig ist, diirfte es yon Interesse sein, die erforderlichen Uberlegungen vollst~ndig anzugeben. Jede der bier erhaltenen integralgeometrischen Formeln l~Bt sich wahlweise ftir QuermaBvektoren oder ftir Kriimmungsschwerpunkte anschreiben; wir bevorzugen hier die letztgenannte Schreibweise, da die Kriimmungs- schwerpunkte wegen ihrer ~_hnlichkeits~quivarianz geometrisch bedeut- samer sind, und da sich Spezialf~lle der angefiihrten Gleichungen in dieser Form in der ~lteren Literatur finden.

Um den Geltungsbereich der im folgenden aufzustellenden integral- geometrischen Relationen mSglichst weir zu fassen, setzen wir die bier betrachteten Funktionale zun~chst fort auf den Konvexring ~n (HAD- WIG~.R [21], S. 236). Das ist die Klasse aller Punktmengen des E n, die Vereinigungsmenge yon endiich vielen KSrpern aus ~ sind. Damit ~n ein )/[engenring ist, wird auch die leere Menge dazugerechnet.

Sei nun ~ ein additives, vektorwertiges Funktional auf ~ , also eine Abbildung ~ : ~n --> E ~ mit

(28) ~(K w _~) + ~ ( g (h _K) ---- ~(K) ~- ~(_K),

falls K, _K, K (J K e ~ sind. Wir setzen noch ~(~)----o. Ist ~0 unter Beibehaltung der l~unktionalgleichung (28) auf ~ fortsetzbar, so ist diese Fortsetzung jedenfalls eindeutig; denn ist K e ~ dargestellt in der Form K - - - - K l W - . . w K m mit K i e ~ (i---- 1 . . . . . m), so mu~

(29) q~(K)----~q~(gi)--~ (g~ng~.) + ~ ~ ( g ~ n g ~ . n g k ) - - . . . i i < ] i < ] < k

gelten, wie man durch Induktion unter Benutzung yon (28) einsieht. DaB auch in der Tat eine Fortsetzung yon ~ auf ~n existiert, l i~t sich aus bekannten Resultaten folgern: :Die Fortsetzbarkeit eines auf tier Menge der konvexen Polytope des E ~ erkl~rten additiven Funktionals auf den Mengenring, der yon den Polytopen erzeug~ wird, ist bereits yon VOLLA~D [43] gezeigt worden. Ist das Funktional fiberdies auf ~ stetig, so li~Bt es sich auf ganz ~ erkli~ren; dies folgt aus Resultaten von SALL~.E [35] und P~.RLES-S~L~E [33]. In [35] wird nur speziell das Steinerpunkt- funktional betrachtet, was aber unwesentlich ist.

14 Hbg. Math. Abh., Bd, XXXVII

214 R o l f Schne ide r

Den Funktionalen qo . . . . . q~ kommen die Eigensehaften der Additivi- t/~t und der Stetigkeit auf R~ zu; setzt man also noch q~(0) = 0 ffir r ---- 0, 1 , . . . , n, so ist eine eindeutige Fortsetzung auf den Konvexring mSglieh, wobei die Gleichung

(30) q, (K u _K) -[- q, (K n K) ---- q, (K) -k q, (K)

fiir alle K, _K e ~" besteht. Wir merken an, dab bekanntlich aueh die QuermaBintegrale W0 . . . . , W. auf ~ unter Beibehaltung ihrer Additi- vit/~t fortgesetzt werden kSnnen (s. HADWmER [21], S. 240). W~ stimmt dann bis auf einen nur yon der Dimension abh/ingenden Faktor mit der Eulersehen Charakteristik Z iiberein.

Um nun festzustellen, inwieweit die Kriimmungsschwerpunkte unter Beibehaltung ihrer wichtigsten Eigensehaften, der gewogenen Additivit/~t und der _i~mliehkeits/iquivarianz, fortgesetzt werden kSnnen, unter- suchen wir das Translationsverhalten yon q~: Sei K e ~ dargestellt in der Form K ---- K~ t3 �9 �9 �9 u K~ mit K~ e R ~. Fiir a e E ~ gilt dann

K - k a - ~ ( K ~ q-a) o . . . u ( K ~ - k a ) ,

aus (29) (mit ~ ---- q,) ergibt sich also, wenn noeh I (19) beachtet wird,

qr(K -]- a) = ~ qr(K, -ka) - - ~ qr((K, q-a) N (Kj -ka) ) q- . . . i i < i

(31) -~ ~ [q~(K~) + W,(K~)a]-- ~ [q~(K~nK~) + W~(K~nKj)a] +. . . i i < j

---- qr (K) q- Wr (K) a.

Dabei wurde zuletzt benutzt, dab sich der Funktionswert der Fort- setzung yon Wr auf ~" ebenfalls vermSge der Gleichung (29) (mit ~0---- Wr) bereelmen 1/~Bt. Sei nun

~ ---- {K e ~ [ W~_,(K) =4= O}

(insbesondere ist also ~ 6~ ~'----R~). Wir kSnnen dann den Kriim- mungsschwerpunkt p, fortsetzen auf ~ - r , indem wir

qr (K) p, (K) -- w, (K)

defmieren. Daxm ist p~ nach (31) /iquivariant gegentiber Translationen. Es gilt auch p~(AK) ---- Ap~(K) Ffir jede J~anlichkeit A, die den Null- punkt lest l~Bt, wie aus (29) hervorgeht. Ferner l~Bt (30) sich jetzt in der Form

I W,(K w K)Ia,(K w K) -Jr- W,(K n .K)p,(K n K) (32) ! -~ W,(K)p,(K) -~ W,(K)p,(K)

Kriimmungsschwerpunkte konvexer K6rper II. 215

schreiben, soweit K, _~, K w _K, K c~ -~ e ~ _ , sind; W,p, ist also auf ~ _ , additiv. Wir halten das Ergebnis als Satz fest:

Satz 5. Sei 0 ~ r ~ n. Bezeichnet ~'~_~ die Teilmenge der]enigen Men- gen K des Konvexringes 6'*, ]ar die Wr (K) =~ 0 ist, so gibt es eine ein- deutig bestimmte Abbildung p, : ~'~_~ ---> E n derart, daft p~(K) /t2r K e ~'* der r-te Krammungsschwerpunkt (p0(K) der Schwerpunkt) ist und daft Pr au/ ~'~_~ die Eigenscha/ten der Ahnlichkeits5quivarianz und der ge- wogenen Additivitgit (32) mit Gewicht W, besitzt.

Speziell ist der Steinerpunkt p , also erkl~rbar fiir alle Mengen des Konvexringes, deren Eulersche Charakteristik yon Null verschieden ist, und XP~ ist additiv. Die Fortsetzbarkeit des Steinerpunktes auf nicht- konvexe Mengen ist au]3er in der bereits zitierten Arbeit yon S~LEE [35] auch yon MA~I [27] untersucht worden, und zwar auf anderem Wege.

Satz 6. Sei 0 ~ n - - k ~ i ~ n - - 1 und K e ~,,_~_~. Sei E~ eine in E" ]rei bewegliche i-dimensionale Ebene und dEi ihre Bewegungsdichte. Dann gilt

(33) f Wk(K r~ E~) p~(K r~ Et) dE i f W~ (K n E,) d E, ~ Pk+i-n (K),

wo tiber alle Bewegungen von E~ zu integrieren ist.

Die Gleichung (33) ist ein Gegenstfick zu der fiir die QuermaBinte- grale gti]tigen Formel

(34) fW~(K (5 E , )dE , : d,~k, Wk+,_,,(K)

(s. HADWIOER [21], S. 232, G1. (103)); die Zahlen d~k, hangen dabei nicht yon K ab (man en tn immt diese Konstanten aus [21], S. 232, G1. (103), wenn man noeh die Gleichung (50) in [21], S. 215, mehrfach anwendet). Ftir n ~-- 3 und i --~ 2 finden sich die Gleichungen (33) bei BLASCHKE [4], S. 118.

B e w e i s y o n S a t z 6. Wir setzen ftir K e ~"

~o(K) ---- fWk(K n E , )pk (K n E , )dE ,

(wobei nach der friiheren Verabredung der In tegrand gleich o ist im Fall dim (K c~ Ei) < n - - k). Dann ist ~0 auf ~" addit iv (vgl. die ScMuB- weise yon HADWIOER [21], S. 233) und stetig (vgl. die Sctflu~weise yon HADWIGER [20], S. 90). Unter Beachtung der Invarianzeigenschaften der Bewegungsdichte weist man nach, dab ~ dreh~quivaxiant ist, wohin- gegen das Translationsverhalten des Funktionals ~0 durch

(35) q~(K ~-a) = ~o(K) + a f W~(K n E , )dE , , a e E n,

14"

216 Rolf Schneider

beschrieben wird. Aus Satz 4 folgt die Existenz yon Konstanten c o , . . . , c n mit

(36) q~(K) = ~ c, W, (K)p , (K) . r = 0

Wegen (35) besteht dabei fiir alle K E ~n die Identit~t

(37) • c~W,(K) : f W , ( K n E, )dE, = d,,k,W~,+,_,,(K) r ~ O

nach (34). Aus Homogeniti~tsgriinden ist also cr = 0 ftir r =V k ~- i - - n. Aus (36) und (37) folgt nun die Darstellung

~(g) = fW~, (g n E , )dE, p~+,_,,(g).

Aufgrund der Additiviti~t beider Seiten ergibt sich die Identi tat

fw~(g n E,)p~,(g n E , )dE, : fwk(g n E , )dE, Tk+,_,,(K)

ftir aUe Mengen K des Konvexringes 6". Im Fall K e 6~,-k-~ ist der rechts auftretende Koeffizient von Null verschieden, so da0 sich die Behauptung (33) ergibt.

Von der Gleichung (33) erscheint besonders der Speziaffall k = n und K e ~_~ bemerkenswert; da W,,(K) nicht yon K abh~ngt, lautet er

f pn(Kc~E~)dE~ (38) K,~E~.~ f dE, ---- p~(K), O ~ i . < n .

K ~ E ~ 4= B

Fttr i : 0 ist das nichts anderes als die urspriingliche Definition des Schwerpunktes.

Benutzen wir start der KriiTnmungsschwerpunkte voriibergehend wieder die QuermaBvektoren, so lal3t (38) sich auch in der Form

(39) fq,,(K n E, )dE, = b,,,q,(K), 0 < i .< n,

(mit gewissen Konstanten bi,) schreiben; diese Gleichung gilt ftir alle K aus dem Konvexring 6". Hieraus ergeben sich nun nach einem Satz yon HADWmER sogleich weitere Integralrelationen: Gem~13 (39) sind q0, �9 �9 q,-~ (bis auf konstante Faktoren) die zu q,, assoziierten Funktio- hale im Sinne yon I-IADwm~R [21], S. 241. Aus tIadwigers ,,All- gemeinem Integralsatz" (lot. cit.; dieser sich auf skalaxe Funktionen beziehende Satz ist in unserem Fall komponentenweise anzuwenden) ergibt sich fiir K, h" ~ 6" die Integrafformel

(40) fq , , (g n K ) d g = ~ d,,, W,,_,(_K)q,(K) r ~ 0

KriimmtmgsschwerpunkCe konvexer KSrper II. 217

mit nieht yon K oder _K abh~ngenden Konstanten dnT. Darin ist fiber alle Bewegungen yon _K zu integrieren; d_K ist die kinematisehe Dichte. Die Gleichung (40) l~Bt sich auch in der Form

(41) f x(K c~ _K)p,,(K n K ) d K -~ ~ d'~T W,,_,(_K) W , ( K ) p ~ ( K ) r ~ O

schreiben, wo • die Eulersche Charakteristik ist. Diese Formel, die sich ffir n ~ 3 bei BLASCHXE [4], S. 118, finder, l~Bt sich als vektorielles Gegenstfick zur kinematischen t tauptformel der Integralgeometrie (vgl. HA])WIOER [21], S. 243) ansehen. Die kinematisehe t tauptformel ergibt sieh ihrerseits sofort aus (41), wenn man dort auf die KSrper K und K: eine Translation ausfibt und die Translations~quivaxianz der Krfim- mungsschwerpunkte beachtet. Ferner sei erw~lmt, dal3 sich aueh zu dem die kinematische Hauptformel umfassenden ,,vollstgndigen Formel- system" flit die QuermaBintegrale ([21], S. 244) ein Gegenstfiek auf- stellen l~l~t (siehe [23]). Ffir n = 2 (und konvexe K6rper) finden sieh diese Formeln bereits bei MOT.LV.R [30] (S. 135, G1. (2), S. 136, G1. (6), S. 138, G1. (14)).

Wit woUen zum Abschlul3 noeh eine integralgeometrisehe Formel an- merken, die bier insofern etwas aus dem Rahmen f~llt, als sie sieh auf die Integralgeometrie zur Translationsgruppe bezieht und nur fiir den Zielpunkt z = q0 gilt. Es handelt sich u m die Relation

(42) f . . . f z ( K o n g l n . . . n g T ) d K 1 . . . d K , : v ( g l ) . . , v ( g , ) z ( g o ) .

Hierin sind K0, K1 . . . . . K, konvexe KSrper (oder allgemeiner meBbare Mengen), zu integrieren ist unabh~ngig fiber alle Translationen yon K ~ , . . . , K, , und dK~ bezeiehnet die Translationsdiehte yon K,. Die Gleiehung (42) ist ein vektorielles Gegenstfick zu einer entspreehenden Formel, in der z dureh das Volumen V ersetzt ist; fiir diese Formel und ffir Li teraturangaben dazu sehe man [37], S. 264.

Zum Beweis von (42) bezeiehne */i die charakteristische Funkt ion yon K~. Dann ist offenbax (die folgenden Integrale erstrecken sieh jeweils fiber den ganzen Raum)

f~0 (Y)~I ( y i x l ) �9 �9 ~r ( y - - z , ) yd V (y) : z (Ko n (K~-t- xl) n . . . n (K,--I- x,)) .

Das in (42) links stehende Integral kSnnen wir aueh in der Form

f . . . f z ( K o c~ (K~ + x~) c~ . . . c~ (K~.--~-x~.))c~V(xi) . . . aV(x~.)

sehreiben, und es ist

= f " " f [ f ~ o ( Y ) ~ ( Y - - X l ) . . , n , ( Y - - x , ) y d V ( y ) ] d V ( x , ) . . , d V ( x , )

= f~o(Y) Y [ f ~ ( Y - - x~)d V ( x ~ ) . . . f ~ , ( y - - x , )d V(x,)]d V(y )

= V ( K ~ ) . . . V ( K , ) z (Ko).