KUKA KR 16 - · PDF fileDipl.-Ing. Frank Abelbeck, Januar 2008 Blatt 3 Wahl der Koordinatensysteme Nachdem nun die Teile des Systems klar bezeichnet sind, müssen ihnen ihre

Vorwort
Nachfolgend soll die Koordinatentransformation nach Denavit-Hartenberg-Konvention am Beispiel eines realen Industrieroboters demonstriert werden.
In der Krze kann auf die ntigen Grundlagen nicht eingegangen werden. Aus diesem Grund sind Schlsselworte markiert, um einerseits Begriffe einzufhren und andererseits Hinweise fr weiteres Selbststudium zu geben. Literaturempfehlung zum Einstieg:
Bei dem betrachteten Industrieroboter handelt es sich um einen KUKA KR16 mit einer zulssigen Traglast von 16 kg am Endeffektor.
Die technischen Daten sind im Internet verfgbar, in den angebotenen Dokumenten findet sich unter anderem die rechts abgebildete Zeichnung. Ihr knnen die Abmessungen sowie grau eingefrbt der Arbeitsraum des Roboters entnommen werden.
KUKA KR 16
Koordinatentransformation nach Denavit-Hartenberg am Beispiel eines KUKA KR16
Blatt 1Dipl.-Ing. Frank Abelbeck, Januar 2008
B. Heimann, W. Gerth, K. Popp: Mechatronik. Dritte, neu bearbeitete Auflage. Carl Hanser Verlag, Mnchen, 2007.
Quelle: http://www.kuka.comDeutschland Produkte Niedrige
Traglast KR 16
Ebenso sind CAD-Modelle der Roboter verfgbar, aus denen man sich beispielsweise die links dargestellte Skizze erzeugen kann.
Eingezeichnet sind neben den relevanten Abmessungen das fr die nachfolgenden Betrachtungen herangezogene Grundgerst (blau) sowie die Gelenkachsen (rot).
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http://www.kuka.com/

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Ausgangssituation: Der Roboter als Mehrkrpersystem
Ein Roboter stellt ein Mehrkrpersystem dar, in welchem eine Anzahl von Krpern durch Gelenke verbunden sind. Bei dem hier betrachteten Industrieroboter sind die Krper hintereinander angeordnet und durch rotatorische Gelenke verbunden. Dieses ist eine offene, kinematische Kette.
Die Bewegung eines jeden Krpers des Roboters kann aus den Gelenkbewegungen und den Abmessungen der einzelnen Krper berechnet werden. Dafr wird jedem Krper ein eigenes, krperfestes Koordinatensystem zugeordnet jeder Krper stellt somit ein (Teil-)System dar.
Zustzlich wird ein Krper als Basis ausgewhlt, der im Gesamtsystem als beschleunigungsfrei angesehen werden kann. Im hier behandelten Beispiel ist dieses der Robotersockel, der mit dem Boden verschraubt ist. Das Koordinatensystem dieses ruhenden Krpers wird als Basis- oder Weltkoordinatensystem definiert und stellt die Referenz in diesem Mehrkrpersystem dar.
Orientierung im Mehrkrpersystem
Fr die weiteren Betrachtungen muss klar sein, welcher Krper und welches Gelenk gemeint ist. Die Numerierung der Krper wird an der Basis mit Null begonnen. Der erste bewegliche Krper erhlt die 1, entsprechend wird das diese beiden Krper verbindende Gelenk mit der Nummer 1 versehen. Fr die brigen Krper wird ebenso verfahren. Hilfreich sind hierbei Analogien zur menschlichen Anatomie:
Krper-Nr.0 Basis, Sockel, Fu1 Schulter2 Oberarm3 Unterarm4 Hand5 Hand6
Trivialname
Endeffektor
Verbindung Gelenk-Nr.1 Hftgelenk23 Ellenbogengelenk4 Handgelenk5 Handgelenk6 Handgelenk
Trivialname0 11 2 Schultergelenk2 33 44 55 6
Die Numerierung der Gelenke beginnt wie bereits erwhnt bei 1:

Wahl der Koordinatensysteme
Nachdem nun die Teile des Systems klar bezeichnet sind, mssen ihnen ihre jeweiligen Koordinatensysteme zugeordnet werden. Die korrekte Festlegung von Lage und Ausrichtung der einzelnen Koordinatensysteme ist wichtig fr die weiteren Schritte. Aus diesem Grund gibt es Regeln, mit denen die Wahl der Koordinatensysteme erleichtert wird:
Regel 2.1: Die z-Achse des KS2 liegt in der Achse des Gelenks 3.Regel 2.2: Die x-Achse verluft entlang der gemeinsamen Normalen der Gelenkachsen.Regel 2.3: Die y-Achse liegt derart, dass sich ein Rechtssystem ergibt (Dreifingerregel).
Regel 1: Lage
Regel 2: Ausrichtung
Der Ursprung des Koordinatensystems des Krpers i (nachfolgend KSi genannt) liegt im Schnittpunkt der Achse des Gelenks i+1 und der gemeinsamen Normalen der Achsen von Gelenk i und i+1.
Beispiel im Bild rechts: Das KS2 des senkrecht stehenden Oberarms soll festgelegt werden. Die Normale ist rot eingezeichnet, sie steht sowohl auf Achse 2 als auch auf Achse 3 senkrecht.
Als Erinnerung: Die Achse 2 stellt den bergang von Krper 1 auf Krper 2 dar. Der bergang von Krper 2 auf Krper 3 erfolgt durch Achse 3.
Entspreched ergibt sich der Urprung von KS2 wie gezeigt als Schnittpunkt (rot eingekreist) der Normalen und folgenden Achse 3.
Beispiel im Bild rechts: Das KS2 des senkrecht stehenden Oberarms liegt vom Ursprung her schon fest. Die Normale ist erneut rot eingezeichnet.
Die Achse z2 liegt gem Regel in der Achse des Gelenks 3, wobei die Richtung durch den Drehsinn des Gelenks festgelegt wird (Rechtsschraube, Rechte-Hand-Regel).
Achse x2 verluft entlang der gemeinsamen Normalen. Achse y2 vervollstndigt das Rechtssystem.

Die vier Schritte bei der Denavit-Hartenberg-Transformation
Schritt Beschreibung Parameter
1
2
3
4
Drehung um z-Achse Winkel
Verschiebung entlang z-Achse Weg dVerschiebung entlang neuer x-Achse Weg a
Drehung um neue x-Achse Winkel
Es sollen die Koordinaten eines Punktes von einem Krperkoordinatensystem in das Basiskoordinatensystem umgeformt werden, um die Position dieses Punktes in seiner Umwelt zu berechnen. Von zentraler Bedeutung ist dieses fr Punkte am Endeffektor, um dessen Position im Raum zu bestimmen.
Es ist bei Industrierobotern aber auch mglich, an Ober- oder Unterarm Lasten zu befestigen. Fr die kinematische und kinetische Beschreibung dieser Zusatzlasten mssen unter anderem deren Schwerpunkte vom jeweiligen Krpersystem ins Weltsystem umgeformt werden.
Entlang der kinematischen Kette wird von einem Koordinatensystem ins nachfolgende umgeformt. Hierzu wird vom Basissystem ausgehend jedes Koordinatensystem gedreht, verschoben und wieder gedreht, um Position und Ausrichtung des nachfolgenden Systems zu erreichen. Drehwinkel und Verschiebungswege ergeben die Denavit-Hartenberg-Parameter.
Aufgabe: Koordinatentransformation
Vorgehensweise nach Denavit-Hartenberg
Es ist ersichtlich, dass durch die Parameter und d die Gelenkstellung einbezogen wird. Denn wie bei der Wahl der Koordinatensysteme gezeigt fllt die z-Achse mit der Gelenkachse zusammen. In diesen Parametern tauchen somit die Aktorwinkel (rotatorisches Gelenk) oder Aktorwege (translatorische Gelenk) auf.
Beispiel im Bild rechts: Bei der Denavit-Hartenberg-Transformation vom KS1 ins KS2 kann der Aktor von Achse 2 den Oberarm in einem beliebigen Winkel ausrichten. Der Parameter bercksichtigt dieses, indem dort der Gelenkwinkel eingetragen wird.
Zustzlich kann in diesem Fall auch noch ein konstanter Wert /2 abgezogen werden, damit sich fr die weiteren Schritte die x-Achse in der richtigen Lage befindet.
Die Parameter a und bercksichtigen die Dimensionen der Krper, im nebenstehenden Falle entspricht a der Lnge des Oberarms.

1 = q1d 1 = 675 mma1 = 260 mm
1 = 2
2 = q2 2
d 2 = 0 mma2 = 680 mm2 = 0
Die folgenden Seiten zeigen nun Schritt fr Schritt, wie die Denavit-Hartenberg-Parameter von der Basis bis zum Endeffektor bestimmt werden.
Das KS0 der Basis kann mangels Vorgngergelenk frei gewhlt werden, in diesem Fall wird es auf den Boden gelegt. Die z-Achse liegt auf der Gelenkachse 1. Die x-Achse wird derart gewhlt, dass sich der bergang auf das nchste System einfach gestaltet.
Die Gelenkwinkel seien nachfolgend durch die verallgemeinerten Koordinaten q1 bis q6 gegeben.

3 = q3d 3 = 0 mma3 = 0 mm
3 =2
4 = q4d 4 = 670 mma4 = 0 mm
4 = 2
Die Richtung der z-Achsen wurde in bereinstimmung mit dem Drehsinn der Aktoren gem technischer Daten gewhlt.
Bei sich kreuzenden Achsen (beispielsweise 3 und 4) nimmt die Verschiebung a den Wert Null an.
Senkrecht aufeinanderstehenden Achsen kennzeichnen sich dadurch aus, dass der Winkel einen Wert von +/2 oder -/2 einnimmt.

5 = q5d 5 = 0 mma5 = 0 mm
5 =2
6 = q6d 6 = 158 mma6 = 0 mm6 =
Die kinematische Kette des KUKA KR16 endet in einem sphrischen Handgelenk. Dieses zeichnet sich dadurch aus, dass sich alle Achsen in einem Punkt schneiden. Mathematisch gesehen kann dadurch der Roboter an dieser Stelle in zwei Teilsysteme zerfallen. Dieses erleichtert bei komplexeren Fragestellungen der Robotik die Modellierung und Berechnung.
Wie die Basis nimmt der Endeffektor als anderes Ende der Kette eine Sonderstellung ein. Er besitzt kein nachfolgendes Gelenk. Es ist blich, die z-Achse aus der Handflche weisen zu lassen und die anderen Achsen so anzuordnen, dass sich die Transformation einfach gestaltet.

1 675 mm 260 mm
2 0 mm 680 mm 0

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