Lack / Profke 17.02.2004 1

Kann man die Leistungen eines Schülers im Fach Mathematik objektiv messen?

Kann man die Leistungen eines Schülers im Fach Mathematik objektiv messen?

Sabine Hilf / Claudia Lack / Lothar Profke

Institut für Didaktik der Mathematik

Justus-Liebig-Universität Gießen

Sabine Hilf / Claudia Lack / Lothar Profke

Institut für Didaktik der Mathematik

Justus-Liebig-Universität Gießen

Vortrag zum Einsehen und Herunterladen unter

http://www.uni-giessen.de/math-didaktik/

Vortrag zum Einsehen und Herunterladen unter

http://www.uni-giessen.de/math-didaktik/

Lack / Profke 17.02.2004 2

Lack / Profke 17.02.2004 3

EinleitungEinleitung

Lack / Profke 17.02.2004 4

EinleitungEinleitung

„Kann man die Leistungen eines Schülers im Fach Mathematik objektiv messen?“

Was für eine Frage: wenn nicht im Fach Mathematik, wo dann?• Schüler, Eltern, Lehrer, ... zweifeln kaum daran:

– Leistung zeigt sich beim Lösen von Aufgaben.– Dabei ist jeder Schritt richtig oder falsch und lässt sich eindeutig

mit Punkten bewerten.– Erreichte Gesamtpunktzahlen werden objektiv und leicht

nachvollziehbar durch Notenspiegel in Zensuren transformiert.• Verordnungen unterstützen diese Überzeugung:

– VOBGM, §§ 54 - 62– VOGO, §§ 13, 14, 41, 42– EPA, II Aufgabenbeispiele 1.1– VOESL, §§ 19 - 21

„Kann man die Leistungen eines Schülers im Fach Mathematik objektiv messen?“

Was für eine Frage: wenn nicht im Fach Mathematik, wo dann?• Schüler, Eltern, Lehrer, ... zweifeln kaum daran:

– Leistung zeigt sich beim Lösen von Aufgaben.– Dabei ist jeder Schritt richtig oder falsch und lässt sich eindeutig

mit Punkten bewerten.– Erreichte Gesamtpunktzahlen werden objektiv und leicht

nachvollziehbar durch Notenspiegel in Zensuren transformiert.• Verordnungen unterstützen diese Überzeugung:

– VOBGM, §§ 54 - 62– VOGO, §§ 13, 14, 41, 42– EPA, II Aufgabenbeispiele 1.1– VOESL, §§ 19 - 21

Lack / Profke 17.02.2004 5

EinleitungEinleitung

VOBGM = Verordnung zur Ausgestaltung der Bildungsgänge und Schulformen der Grundschule (Primarstufe) und der Mittelstufe (Sekundarstufe I) und der Abschlussprüfungen in der Mittelstufe. HKM Wiesbaden 20.03.2003

VOGO = Verordnung über die Bildungsgänge und die Abiturprüfung in der gymnasialen Oberstufe und dem beruflichen Gymnasium. HKM Wiesbaden 27.05.2003

EPA = Vereinbarung über Einheitliche Prüfungsanforderungen in der Abiturprüfung. KMK 01.06.1976 und 24.05.2002

VOESL = Verordnung über die Ersten Staatsprüfungen für die Lehrämter im Lande Hessen. HKM Wiesbaden 03.04.1995, ..., 14.09.2001

VOBGM = Verordnung zur Ausgestaltung der Bildungsgänge und Schulformen der Grundschule (Primarstufe) und der Mittelstufe (Sekundarstufe I) und der Abschlussprüfungen in der Mittelstufe. HKM Wiesbaden 20.03.2003

VOGO = Verordnung über die Bildungsgänge und die Abiturprüfung in der gymnasialen Oberstufe und dem beruflichen Gymnasium. HKM Wiesbaden 27.05.2003

EPA = Vereinbarung über Einheitliche Prüfungsanforderungen in der Abiturprüfung. KMK 01.06.1976 und 24.05.2002

VOESL = Verordnung über die Ersten Staatsprüfungen für die Lehrämter im Lande Hessen. HKM Wiesbaden 03.04.1995, ..., 14.09.2001

Lack / Profke 17.02.2004 6

EinleitungEinleitung

Was meint „objektiv“?• Noten geben gültige und zuverlässige Auskunft über die zensierten

Leistungen, damit über erworbene Qualifikationen (Kompetenzen).

(1) Gerechte Bewertung unterschiedlicher Anforderungen:… Rechenaufgabe mit 4 Punkten… Sachaufgabe mit 6 Punkten… Geometrieaufgabe mit 5 Punkten

(2) Zensuren sind aussagekräftig:… Mathematik: befriedigend

(2) Dieselbe Leistung wird (verlässlich) immer gleich bewertet:… heute, morgen, alle Tage… unabhängig vom Prüfling… von jedem Prüfer

• Alle Punkte sind und bleiben gleichwertig.

Was meint „objektiv“?• Noten geben gültige und zuverlässige Auskunft über die zensierten

Leistungen, damit über erworbene Qualifikationen (Kompetenzen).

(1) Gerechte Bewertung unterschiedlicher Anforderungen:… Rechenaufgabe mit 4 Punkten… Sachaufgabe mit 6 Punkten… Geometrieaufgabe mit 5 Punkten

(2) Zensuren sind aussagekräftig:… Mathematik: befriedigend

(2) Dieselbe Leistung wird (verlässlich) immer gleich bewertet:… heute, morgen, alle Tage… unabhängig vom Prüfling… von jedem Prüfer

• Alle Punkte sind und bleiben gleichwertig.

Lack / Profke 17.02.2004 7

EinleitungEinleitung

Gliederung

Leistungen gerecht bewerten

Vorher: Wie viele Punkte bekommt jede (Teil-) Aufgabe?

Nachher: Wie viele Punkte gibt man einer Bearbeitung?

Schließlich: Wie zensieren wir?

Leistungen zuverlässig bewerten

Bewerten in der Praxis

Hilf, S.; Lack, C.: Praxisbeispiel zum Bewerten von und mit Zweitklässlern

Gliederung

Leistungen gerecht bewerten

Vorher: Wie viele Punkte bekommt jede (Teil-) Aufgabe?

Nachher: Wie viele Punkte gibt man einer Bearbeitung?

Schließlich: Wie zensieren wir?

Leistungen zuverlässig bewerten

Bewerten in der Praxis

Hilf, S.; Lack, C.: Praxisbeispiel zum Bewerten von und mit Zweitklässlern

Lack / Profke 17.02.2004 8

EinleitungEinleitung

Einschränkungen des Themas• Zwecke von Lernerfolgskontrollen:

– Hier: „Zeugnisfunktion“… Qualitätsnachweis für Absolventen (Karin Wolff 08/2003)

– Aber nicht: pädagogische Absichten und Funktionen• Arten von Lernerfolgskontrollen:

– Hier: Prüfungssituationen– Aber nicht: weitere Formen

… (mündliche) Mitarbeit… Hausaufgaben… Projekte…

• Inhalte von Lernerfolgskontrollen nicht erörtert und berücksichtigt:– Wissen, Fertigkeiten, Fähigkeiten, Arbeitstugenden, ...

Einschränkungen des Themas• Zwecke von Lernerfolgskontrollen:

– Hier: „Zeugnisfunktion“… Qualitätsnachweis für Absolventen (Karin Wolff 08/2003)

– Aber nicht: pädagogische Absichten und Funktionen• Arten von Lernerfolgskontrollen:

– Hier: Prüfungssituationen– Aber nicht: weitere Formen

… (mündliche) Mitarbeit… Hausaufgaben… Projekte…

• Inhalte von Lernerfolgskontrollen nicht erörtert und berücksichtigt:– Wissen, Fertigkeiten, Fähigkeiten, Arbeitstugenden, ...

Lack / Profke 17.02.2004 9

Leistungen gerecht bewertenLeistungen gerecht bewerten

Lack / Profke 17.02.2004 10

Leistungen gerecht bewerten: BeispieleLeistungen gerecht bewerten: Beispiele

Klassenarbeit 3. Schuljahr: Grundanforderungen zum Thema Erweiterung des Zahlenraums bis 1000

(x) Schreibe Vorgänger und Nachfolger

___ 450 ___ ___ 999 ___

___ 631 ___ ___ 699 ___

___ 989 ___ für jede richtige Zeile je 1 Punkt

(y) Nimm das Tausenderbuch zur Hilfe. Wie heißen die Zahlen?

insgesamt 3 Punkte

(z) Bilde mit den Zahlenkarten Zahlen. Findest du 4 Zahlen?

je Zahl 1 Punkt

Klassenarbeit 3. Schuljahr: Grundanforderungen zum Thema Erweiterung des Zahlenraums bis 1000

(x) Schreibe Vorgänger und Nachfolger

___ 450 ___ ___ 999 ___

___ 631 ___ ___ 699 ___

___ 989 ___ für jede richtige Zeile je 1 Punkt

(y) Nimm das Tausenderbuch zur Hilfe. Wie heißen die Zahlen?

insgesamt 3 Punkte

(z) Bilde mit den Zahlenkarten Zahlen. Findest du 4 Zahlen?

je Zahl 1 Punkt

Seite 2 3Reihe 1 7Position 1 5Zahl

5 3 7

aus Radatz, H.; u.a.: Handbuch für den Mathematikunterricht 3. Schuljahr. Hannover: Schroedel 1999, S. 21 - 23

aus Radatz, H.; u.a.: Handbuch für den Mathematikunterricht 3. Schuljahr. Hannover: Schroedel 1999, S. 21 - 23

Lack / Profke 17.02.2004 11

Leistungen gerecht bewerten: BeispieleLeistungen gerecht bewerten: Beispiele

Klassenarbeit 5. Schuljahr: Grund- und erweiterte Anforderungen zum Thema Terme mit Klammern und Platzhaltern

(xG) 24·(47+84:12) = (xE) 198 – 8·6 – [56 – (24:3)] =

(375 – 280:7)·4 = [248 – (18+9·6)]:8 =

je 1 Punkt 197 – [57 – 63:(21:7)]·4 =

65+7·8 – 72:(18:3) = insgesamt 6 Punkte

2 Punkte

Schreibe zunächst einen Term und berechne ihn dann:

(yG) Silke hat 85 DM. Sie kauft 3 CDs zu je 17 DM. Wie viel DM hat sie übrig? 2 Punkte

(yE) Herr Scholz hat in einer Woche 39 Stunden gearbeitet. Außerdem hat er 5 Überstunden gemacht. Jede Überstunde wird mit 23 DM bezahlt. Vom gesamtem Wochenlohn werden 247 DM für Steuern und Versicherungen abgezogen. Wie viel bekommt Herr Scholz ausgezahlt?

4 Punkte

Klassenarbeit 5. Schuljahr: Grund- und erweiterte Anforderungen zum Thema Terme mit Klammern und Platzhaltern

(xG) 24·(47+84:12) = (xE) 198 – 8·6 – [56 – (24:3)] =

(375 – 280:7)·4 = [248 – (18+9·6)]:8 =

je 1 Punkt 197 – [57 – 63:(21:7)]·4 =

65+7·8 – 72:(18:3) = insgesamt 6 Punkte

2 Punkte

Schreibe zunächst einen Term und berechne ihn dann:

(yG) Silke hat 85 DM. Sie kauft 3 CDs zu je 17 DM. Wie viel DM hat sie übrig? 2 Punkte

(yE) Herr Scholz hat in einer Woche 39 Stunden gearbeitet. Außerdem hat er 5 Überstunden gemacht. Jede Überstunde wird mit 23 DM bezahlt. Vom gesamtem Wochenlohn werden 247 DM für Steuern und Versicherungen abgezogen. Wie viel bekommt Herr Scholz ausgezahlt?

4 Punkte

aus Krippner, W.: Mathematik differenziert unterrichten. Hannover: Schroedel 1992, S. 73 - 75

aus Krippner, W.: Mathematik differenziert unterrichten. Hannover: Schroedel 1992, S. 73 - 75

Lack / Profke 17.02.2004 12

Leistungen gerecht bewerten: ProblemeLeistungen gerecht bewerten: Probleme

Probleme

(1) Vorher:

Wie viele Punkte sollen wir jeder (Teil-) Aufgabe zuordnen?

(2) Nachher:

Wie viele Punkte können wir für eine Bearbeitung geben?

(3) Schließlich:

Wie zensieren wir?

Probleme

(1) Vorher:

Wie viele Punkte sollen wir jeder (Teil-) Aufgabe zuordnen?

(2) Nachher:

Wie viele Punkte können wir für eine Bearbeitung geben?

(3) Schließlich:

Wie zensieren wir?

Lack / Profke 17.02.2004 13

Leistungen gerecht bewerten: a priori PunkteverteilungLeistungen gerecht bewerten: a priori Punkteverteilung

• Haben mathematische Leistungen Größeneigenschaft?… so wie ein Körper Masse, Rauminhalt, ... besitzt

– Wir messen doch mit Punkten die Größen (die Werte) mathe-matischer Leistungen und rechnen mit diesen Punkten:

… Bei (z) eine Zahl zu legen, etwa ,

ist gleich viel wert wie,

den Vorgänger und den Nachfolger von 631 zu nennen.… Drei Teilaufgaben von (x) richtig zu haben,

ist so gut wie

eine vollständige Lösung von (y).… Die Summe der Punkte zu (x), (y) und (z) beschreibt eine

mathematische Leistung der Größe 12 Punkte.– Dieselbe Größe repräsentieren wir durch ganz unterschiedliche

mathematische Leistungen.– Nennen wir diese Größenart mathematische Kompetenz.

• Haben mathematische Leistungen Größeneigenschaft?… so wie ein Körper Masse, Rauminhalt, ... besitzt

– Wir messen doch mit Punkten die Größen (die Werte) mathe-matischer Leistungen und rechnen mit diesen Punkten:

… Bei (z) eine Zahl zu legen, etwa ,

ist gleich viel wert wie,

den Vorgänger und den Nachfolger von 631 zu nennen.… Drei Teilaufgaben von (x) richtig zu haben,

ist so gut wie

eine vollständige Lösung von (y).… Die Summe der Punkte zu (x), (y) und (z) beschreibt eine

mathematische Leistung der Größe 12 Punkte.– Dieselbe Größe repräsentieren wir durch ganz unterschiedliche

mathematische Leistungen.– Nennen wir diese Größenart mathematische Kompetenz.

5 3 7

Wir tun so, als wäre mathematische Kompetenz eine Größenart im mathematischen Sinn.

Wir tun so, als wäre mathematische Kompetenz eine Größenart im mathematischen Sinn.

Lack / Profke 17.02.2004 14

Leistungen gerecht bewerten: a priori PunkteverteilungLeistungen gerecht bewerten: a priori Punkteverteilung

• Wie messen wir praktisch eine mathematische Leistung?– Durch die Schwierigkeit von Aufgaben

… was bedeutet dabei schwierig?– Mit Hilfe der Bearbeitungszeit von Aufgaben– Durch die Anzahl der Lösungsschritte bei Aufgaben– Anhand des Wissens, der Fertigkeiten, Fähigkeiten, ..., die man

zum Bearbeiten von Aufgaben braucht.– Mit einer Kombination der genannten Möglichkeiten

• Ist die Größe einer mathematischen Leistung immer wohldefiniert?– Erfordert das Lösen von Päckchenaufgaben jeweils dieselbe

Leistung wie das Lösen einzelner Aufgaben?… Sind Wiederholungen einer Leistung so viel wert wie ihr

erstmaliges Erbringen?… Kann man etwas nicht: weshalb soll man dies mehrfach

zeigen und dafür wiederholt Punktabzüge bekommen?

• Wie messen wir praktisch eine mathematische Leistung?– Durch die Schwierigkeit von Aufgaben

… was bedeutet dabei schwierig?– Mit Hilfe der Bearbeitungszeit von Aufgaben– Durch die Anzahl der Lösungsschritte bei Aufgaben– Anhand des Wissens, der Fertigkeiten, Fähigkeiten, ..., die man

zum Bearbeiten von Aufgaben braucht.– Mit einer Kombination der genannten Möglichkeiten

• Ist die Größe einer mathematischen Leistung immer wohldefiniert?– Erfordert das Lösen von Päckchenaufgaben jeweils dieselbe

Leistung wie das Lösen einzelner Aufgaben?… Sind Wiederholungen einer Leistung so viel wert wie ihr

erstmaliges Erbringen?… Kann man etwas nicht: weshalb soll man dies mehrfach

zeigen und dafür wiederholt Punktabzüge bekommen?

Lack / Profke 17.02.2004 15

Leistungen gerecht bewerten: Punkte für BearbeitungenLeistungen gerecht bewerten: Punkte für Bearbeitungen

• Sind alle korrekten Bearbeitungen gleichwertig?– „Grundsätzlich ist jede vollständige, richtige und der Aufgaben-

stellung entsprechende Lösung mit voller Punktzahl zu bewer-ten, auch wenn der vom Schüler beschrittene Lösungsweg von dem im Bewertungsmaßstab vorgesehenen Weg abweicht.“ ([4] David, G., S. 9)

– Manchmal umständliche, aber immer erfolgreiche Standard-Lösung gleichwertig einer kurzen (kreativen) Einzelfall-Lösung?

… Vorteilhaft Rechnen oder nicht: 43 + 65 + 27,… Gleichungen algorithmisch lösen oder mittels Raten

x2 + x – 6 = 0, 4x2 – 6 = 0… Abzählfragen durch bloßes Zählen oder durch Überlegung

beantworten

Mit einem Spiegel aus OMA möglichst viele Wörter herstellen

• Sind alle korrekten Bearbeitungen gleichwertig?– „Grundsätzlich ist jede vollständige, richtige und der Aufgaben-

stellung entsprechende Lösung mit voller Punktzahl zu bewer-ten, auch wenn der vom Schüler beschrittene Lösungsweg von dem im Bewertungsmaßstab vorgesehenen Weg abweicht.“ ([4] David, G., S. 9)

– Manchmal umständliche, aber immer erfolgreiche Standard-Lösung gleichwertig einer kurzen (kreativen) Einzelfall-Lösung?

… Vorteilhaft Rechnen oder nicht: 43 + 65 + 27,… Gleichungen algorithmisch lösen oder mittels Raten

x2 + x – 6 = 0, 4x2 – 6 = 0… Abzählfragen durch bloßes Zählen oder durch Überlegung

beantworten

Mit einem Spiegel aus OMA möglichst viele Wörter herstellen

134

811

Lack / Profke 17.02.2004 16

Leistungen gerecht bewerten: Punkte für BearbeitungenLeistungen gerecht bewerten: Punkte für Bearbeitungen

• Wie viele Punkte für unvollständige und teilweise falsche Bearbeitungen?

– „Brunnenaufgabe“: Rohr 1 füllt das Bassin in 2 d, Rohr 2 in 3 d, Rohr 3 in 4 d, Rohr 4 in 6 h. Wie lange dauert die Füllung durch alle Rohre gemeinsam?

Lösung: mittlere Füllzeit eines Rohrs =

gemeinsame Füllzeit = mittlere Füllzeit : 4… Was könnte sich der Schüler Richtiges gedacht haben?… Hat er dies tatsächlich getan oder nur zufällig Erinnertes

ungeprüft niedergeschrieben?– Weitere Beispiele:

… Kapitänsaufgaben einen Sinn beilegen wollen oder Zahlen irgendwie miteinander verrechnen

… Überzeugende, aber fehlerhafte Lösungen von Aufgaben– Ohne Rückfragen beim Bearbeiter können wir nur raten.

• Wie viele Punkte für unvollständige und teilweise falsche Bearbeitungen?

– „Brunnenaufgabe“: Rohr 1 füllt das Bassin in 2 d, Rohr 2 in 3 d, Rohr 3 in 4 d, Rohr 4 in 6 h. Wie lange dauert die Füllung durch alle Rohre gemeinsam?

Lösung: mittlere Füllzeit eines Rohrs =

gemeinsame Füllzeit = mittlere Füllzeit : 4… Was könnte sich der Schüler Richtiges gedacht haben?… Hat er dies tatsächlich getan oder nur zufällig Erinnertes

ungeprüft niedergeschrieben?– Weitere Beispiele:

… Kapitänsaufgaben einen Sinn beilegen wollen oder Zahlen irgendwie miteinander verrechnen

… Überzeugende, aber fehlerhafte Lösungen von Aufgaben– Ohne Rückfragen beim Bearbeiter können wir nur raten.

d1637

Lack / Profke 17.02.2004 17

Leistungen gerecht bewerten: ZensierenLeistungen gerecht bewerten: Zensieren

• Gesamtpunktzahlen repräsentieren unterschiedliche mathematische Leistungsprofile.

– Gesamtpunktzahlen sagen nicht, welche Teilleistungen in ihnen stecken.

… Falscher Ansatz und richtige Rechnung oder richtiger Ansatz, aber fehlerhafte Rechnung

… Wenige Aufgaben vollständig oder viele Aufgaben nur teilweise bearbeitet

(x) ganz richtig und (y), (z) gar nicht oder (x) gar nicht, (y) richtig und (z) zur

Hälfte

… Aufgaben nur zu einem Gebiet oder Aufgaben zu mehreren Bereichen bearbeitet

– Sind verschiedene Leistungsprofile tatsächlich gleichwertig?

• Gesamtpunktzahlen repräsentieren unterschiedliche mathematische Leistungsprofile.

– Gesamtpunktzahlen sagen nicht, welche Teilleistungen in ihnen stecken.

… Falscher Ansatz und richtige Rechnung oder richtiger Ansatz, aber fehlerhafte Rechnung

… Wenige Aufgaben vollständig oder viele Aufgaben nur teilweise bearbeitet

(x) ganz richtig und (y), (z) gar nicht oder (x) gar nicht, (y) richtig und (z) zur

Hälfte

… Aufgaben nur zu einem Gebiet oder Aufgaben zu mehreren Bereichen bearbeitet

– Sind verschiedene Leistungsprofile tatsächlich gleichwertig?

Lack / Profke 17.02.2004 18

Leistungen gerecht bewerten: ZensierenLeistungen gerecht bewerten: Zensieren

• Angemessenes Umrechnen von Gesamtpunktzahlen in Noten?– „Es hat sich bewährt, die Note ausreichend zu erteilen, wenn

ein Schüler etwa die Hälfte der Punkte erreicht hat. Der für sehr gut bis ausreichend vorgesehene Bereich sollte in annähernd gleich große Intervalle unterteilt werden.“

(aus [3] Winter, M., S. 40)– Vergröberndes Messen von mathematischer Kompetenz

… durch Notenspiegel entsprechend der Auffassung, mathematische Leistung habe Größeneigenschaften.

… Bei anderen Höchstpunktzahlen proportional strecken– Beim Mitteln von Einzelnoten zu Gesamtnoten unterstellen wir

wieder, dass mathematische Kompetenz eine Größe ist.

• Angemessenes Umrechnen von Gesamtpunktzahlen in Noten?– „Es hat sich bewährt, die Note ausreichend zu erteilen, wenn

ein Schüler etwa die Hälfte der Punkte erreicht hat. Der für sehr gut bis ausreichend vorgesehene Bereich sollte in annähernd gleich große Intervalle unterteilt werden.“

(aus [3] Winter, M., S. 40)– Vergröberndes Messen von mathematischer Kompetenz

… durch Notenspiegel entsprechend der Auffassung, mathematische Leistung habe Größeneigenschaften.

… Bei anderen Höchstpunktzahlen proportional strecken– Beim Mitteln von Einzelnoten zu Gesamtnoten unterstellen wir

wieder, dass mathematische Kompetenz eine Größe ist.

654321Note

20 - 040 - 2150 - 4160 - 5170 - 6180 - 71Punkte

Lack / Profke 17.02.2004 19

Leistungen gerecht bewerten: ZensierenLeistungen gerecht bewerten: Zensieren

– Schwierigkeiten:… Vielleicht waren die Aufgaben zu leicht, zu schwer, zu

umfangreich, ... ? Dann haben wir die zugehörigen mathematischen

Leistungen falsch eingeschätzt und gemessen. Rechtfertigung des „Drittelerlasses“

Mindestens 2/3 der Schüler sollen die Note ausreichend und besser erhalten.

… Wie geht man mit Randfällen um? Zum gut fehlt noch ein Punkt. Vergabe von Zwischennoten hilft nicht weiter.

… Dieselbe Gesamtpunktzahl kann zu ganz verschiedenen Leistungsprofilen gehören.

– Lassen sich Noten inhaltlich rechtfertigen?

– Schwierigkeiten:… Vielleicht waren die Aufgaben zu leicht, zu schwer, zu

umfangreich, ... ? Dann haben wir die zugehörigen mathematischen

Leistungen falsch eingeschätzt und gemessen. Rechtfertigung des „Drittelerlasses“

Mindestens 2/3 der Schüler sollen die Note ausreichend und besser erhalten.

… Wie geht man mit Randfällen um? Zum gut fehlt noch ein Punkt. Vergabe von Zwischennoten hilft nicht weiter.

… Dieselbe Gesamtpunktzahl kann zu ganz verschiedenen Leistungsprofilen gehören.

– Lassen sich Noten inhaltlich rechtfertigen?

Lack / Profke 17.02.2004 20

Leistungen gerecht bewerten: ZensierenLeistungen gerecht bewerten: Zensieren

• Welches Leistungsprofil ist gut, befriedigend, ...?– Vorschlag aus [5] Krippner, W., S. 76

ausreichend für das richtige Lösen aller Grundaufgaben.

befriedigend für das zusätzliche Lösen einfacher Erweiterungsaufgaben.

(sehr) gut für das Lösen aller Grundaufgaben und schwieriger Erweiterungsaufgaben.

– Ein solcher idealer Fall kommt nur selten vor.… Meistens werden Aufgaben beiden Typs bearbeitet, aber nur

teilweise vollständig und richtig.… Wie geht man in solchen Fällen mit dem Vorschlag um?

• Welche Bedeutung hat eine Gesamtnote?

Gesamtnote gut für Deutsch sehr gut gut Englisch sehr gut gut Mathematik ausreichend gut

• Welches Leistungsprofil ist gut, befriedigend, ...?– Vorschlag aus [5] Krippner, W., S. 76

ausreichend für das richtige Lösen aller Grundaufgaben.

befriedigend für das zusätzliche Lösen einfacher Erweiterungsaufgaben.

(sehr) gut für das Lösen aller Grundaufgaben und schwieriger Erweiterungsaufgaben.

– Ein solcher idealer Fall kommt nur selten vor.… Meistens werden Aufgaben beiden Typs bearbeitet, aber nur

teilweise vollständig und richtig.… Wie geht man in solchen Fällen mit dem Vorschlag um?

• Welche Bedeutung hat eine Gesamtnote?

Gesamtnote gut für Deutsch sehr gut gut Englisch sehr gut gut Mathematik ausreichend gut

Vgl. hierzu die Regelungen in VOBGM §§ 55, 60Vgl. hierzu die Regelungen in VOBGM §§ 55, 60

Lack / Profke 17.02.2004 21

Leistungen gerecht bewerten: ZusammenfassungLeistungen gerecht bewerten: Zusammenfassung

Bedeutung der Praxis des Bewertens mathematischer Leistungen• Wir behandeln mathematische Kompetenz wie mathematische

Größenarten.– Wir definieren

… durch die Zuordnung von und das Rechnen mit Punkten und Zensuren

welche mathematischen Leistungen und Leistungsprofile zueinander gleichwertig sind und Vielfache voneinander.

– Solche Definitionen sind Setzungen, Vereinbarungen,… vielleicht mehrheitlich beschlossen,… auch wieder veränderbar

sogar veränderlich (wie das Wetter, s.u.),… also nicht objektiv.

• Vgl. das analoge Problem der Rechtssprechung.

Bedeutung der Praxis des Bewertens mathematischer Leistungen• Wir behandeln mathematische Kompetenz wie mathematische

Größenarten.– Wir definieren

… durch die Zuordnung von und das Rechnen mit Punkten und Zensuren

welche mathematischen Leistungen und Leistungsprofile zueinander gleichwertig sind und Vielfache voneinander.

– Solche Definitionen sind Setzungen, Vereinbarungen,… vielleicht mehrheitlich beschlossen,… auch wieder veränderbar

sogar veränderlich (wie das Wetter, s.u.),… also nicht objektiv.

• Vgl. das analoge Problem der Rechtssprechung.

Lack / Profke 17.02.2004 22

Leistungen gerecht bewerten: ZusammenfassungLeistungen gerecht bewerten: Zusammenfassung

• Mathematische Kompetenz als Größe aufzufassen, setzt eine Abstraktion voraus:

– Punkte, Gesamtpunktzahlen, Einzelnoten und Gesamtnoten geben keine Auskunft mehr, für welche Leistungen und Leistungsprofile sie stehen.

• Mathematische Kompetenz ist nicht eindimensional.

• Mathematische Kompetenz als Größe aufzufassen, setzt eine Abstraktion voraus:

– Punkte, Gesamtpunktzahlen, Einzelnoten und Gesamtnoten geben keine Auskunft mehr, für welche Leistungen und Leistungsprofile sie stehen.

• Mathematische Kompetenz ist nicht eindimensional.

Lack / Profke 17.02.2004 23

Leistungen zuverlässig bewertenLeistungen zuverlässig bewerten

Lack / Profke 17.02.2004 24

Leistungen zuverlässig bewerten: FehlerquellenLeistungen zuverlässig bewerten: Fehlerquellen

Dieselbe mathematische Leistung sollte immer gleich bewertet werden ... auf der Grundlage eines anerkannten Leistungsmaßstabs.

Fehlerquellen• Unsere Erwartungen, wie Anforderungen zu bearbeiten sind.

– Was damit auf den ersten Blick übereinstimmt, betrachten wir etwas flüchtiger und oberflächlicher.

– Dagegen begutachten wir Abweichungen gründlicher und kritischer (oft negativ).

• „Vor“-Urteile über den Bearbeiter und seine Leistungsfähigkeit– beeinflussen unsere Interpretation seiner Arbeit:

… Was könnte er gemeint haben?… Flüchtigkeitsfehler oder echtes Nichtkönnen?… Lücken im Gedankengang akzeptiert oder moniert?

Dieselbe mathematische Leistung sollte immer gleich bewertet werden ... auf der Grundlage eines anerkannten Leistungsmaßstabs.

Fehlerquellen• Unsere Erwartungen, wie Anforderungen zu bearbeiten sind.

– Was damit auf den ersten Blick übereinstimmt, betrachten wir etwas flüchtiger und oberflächlicher.

– Dagegen begutachten wir Abweichungen gründlicher und kritischer (oft negativ).

• „Vor“-Urteile über den Bearbeiter und seine Leistungsfähigkeit– beeinflussen unsere Interpretation seiner Arbeit:

… Was könnte er gemeint haben?… Flüchtigkeitsfehler oder echtes Nichtkönnen?… Lücken im Gedankengang akzeptiert oder moniert?

Lack / Profke 17.02.2004 25

Leistungen zuverlässig bewerten: FehlerquellenLeistungen zuverlässig bewerten: Fehlerquellen

• Äußere Form einer Darstellung– Gefälliges Layout, ordentliche Sprache, saubere Schrift, ...

stimmen uns gnädiger.– Schlampige Darstellungen erzeugen Widerwillen.

• Nachwirkungen– An ordentlichen Bearbeitungen messen wir die nachfolgenden.– Nach schlechten Bearbeitungen freuen wir uns über bessere.

• Ermüdungserscheinungen– Allmähliches Abstumpfen gegen Lücken, Fehler, ... lässt uns

besser bewerten.– Wachsender Ärger über Fehler führt zu verschärfter Bewertung.

• Gefühl, sich anpassen zu müssen– an Kollegen, an andere Schulen, ...– an die Erwartungen von Schülern, Eltern, Gesellschaft, ...

• Äußere Form einer Darstellung– Gefälliges Layout, ordentliche Sprache, saubere Schrift, ...

stimmen uns gnädiger.– Schlampige Darstellungen erzeugen Widerwillen.

• Nachwirkungen– An ordentlichen Bearbeitungen messen wir die nachfolgenden.– Nach schlechten Bearbeitungen freuen wir uns über bessere.

• Ermüdungserscheinungen– Allmähliches Abstumpfen gegen Lücken, Fehler, ... lässt uns

besser bewerten.– Wachsender Ärger über Fehler führt zu verschärfter Bewertung.

• Gefühl, sich anpassen zu müssen– an Kollegen, an andere Schulen, ...– an die Erwartungen von Schülern, Eltern, Gesellschaft, ...

Lack / Profke 17.02.2004 26

Bewerten in der PraxisBewerten in der Praxis

Lack / Profke 17.02.2004 27

Bewerten in der PraxisBewerten in der Praxis

„Zensieren wir so gut wie möglich, so diskret wie möglich und so selten wie möglich! Hüten wir uns davor, bei den Kindern die Illusion zu erzeugen, Noten seien gerecht. Noten sind immer Willkür. Für manche Kinder sind sie vernichtend.“ (Holt, J.: Wozu überhaupt Schule? Ravensburg: Ravensburger 1975, S. xxx)

• Dieser Rat hilft dem Praktiker wenig.– Beurteilen, Zensieren müssen wir weiterhin

… damit andere die Leistungsfähigkeiten und Kompetenzen von Menschen miteinander vergleichen können.

– Beurteilungen sollten sowohl formal nachprüfbar als auch inhaltlich einsichtig sein.

… Bewertungsalgorithmen lassen sich zwar nachvollziehen, brauchen aber keinen Sinn zu machen und schließen Fehlurteile nicht aus.

„Zensieren wir so gut wie möglich, so diskret wie möglich und so selten wie möglich! Hüten wir uns davor, bei den Kindern die Illusion zu erzeugen, Noten seien gerecht. Noten sind immer Willkür. Für manche Kinder sind sie vernichtend.“ (Holt, J.: Wozu überhaupt Schule? Ravensburg: Ravensburger 1975, S. xxx)

• Dieser Rat hilft dem Praktiker wenig.– Beurteilen, Zensieren müssen wir weiterhin

… damit andere die Leistungsfähigkeiten und Kompetenzen von Menschen miteinander vergleichen können.

– Beurteilungen sollten sowohl formal nachprüfbar als auch inhaltlich einsichtig sein.

… Bewertungsalgorithmen lassen sich zwar nachvollziehen, brauchen aber keinen Sinn zu machen und schließen Fehlurteile nicht aus.

Lack / Profke 17.02.2004 28

Bewerten in der PraxisBewerten in der Praxis

• Auswege?

– Gesamt-Mindestnoten für jedes Fach

… Gut eine Teilleistung gut undalle anderen Teilleistungen

mindestens gut

… Nicht gut wenn wenigstens eine Teilleistung schlechter als gut

geben wohl das wieder, was wir von einem guten Handwerker erwarten.

– Ausführliche Qualifikationsprofile für alle Bereiche eines Faches

… Zeugnisse an Waldorfschulen

… Personalbeurteilungen in der Wirtschaft

• Vgl. Neue (?) Ansätze zum Bewerten von Leistungen

• Auswege?

– Gesamt-Mindestnoten für jedes Fach

… Gut eine Teilleistung gut undalle anderen Teilleistungen

mindestens gut

… Nicht gut wenn wenigstens eine Teilleistung schlechter als gut

geben wohl das wieder, was wir von einem guten Handwerker erwarten.

– Ausführliche Qualifikationsprofile für alle Bereiche eines Faches

… Zeugnisse an Waldorfschulen

… Personalbeurteilungen in der Wirtschaft

• Vgl. Neue (?) Ansätze zum Bewerten von Leistungen

Lack / Profke 17.02.2004 29

Bewerten in der PraxisBewerten in der Praxis

• Neue (?) Ansätze zum Bewerten von Leistungen

[1] Beutel, S.-I.; u.a.: Ermittlung und Bewertung schulischer Leis-tungen. Expertisen zum Entwicklungs- und Forschungsstand. Hamburger Behörde für Schule, Jugend und Berufsbildung

[2] Thillm: Einschätzungen zum Lernprozess - ein Projekt zur Schulentwicklung. Materialien Heft 40

[3] Winter, M.: „Leistungen“ im Fach Mathematik: Wie lassen sie sich feststellen und beurteilen? Konsequenzen einer veränder-ten Unterrichtskultur.Oldenburger VorDrucke 441 (2001), 28 - 47

• Neue (?) Ansätze zum Bewerten von Leistungen

[1] Beutel, S.-I.; u.a.: Ermittlung und Bewertung schulischer Leis-tungen. Expertisen zum Entwicklungs- und Forschungsstand. Hamburger Behörde für Schule, Jugend und Berufsbildung

[2] Thillm: Einschätzungen zum Lernprozess - ein Projekt zur Schulentwicklung. Materialien Heft 40

[3] Winter, M.: „Leistungen“ im Fach Mathematik: Wie lassen sie sich feststellen und beurteilen? Konsequenzen einer veränder-ten Unterrichtskultur.Oldenburger VorDrucke 441 (2001), 28 - 47

Lack / Profke 17.02.2004 30

Bewerten in der Praxis: TippsBewerten in der Praxis: Tipps

• Verbessern der Bewertung mathematischer Leistungen– Berücksichtige die Überlegungen zum gerechten und

zuverlässigen Bewerten.– Ergänze eine zusammenfassende Zensur durch ein Gutachten:

… Leistungsprofil, Qualifikationsprofil (falls möglich)… Hinweise zum Verbessern von Qualifikationen

– Beurteilungsmaßstäbe offen legen, erörtern, eventuell ändern… mit Kollegen absprechen

– „Konsiliarisches“ Beurteilen… wenigstens bei unklaren Fällen

• Verbessern der Bewertung mathematischer Leistungen– Berücksichtige die Überlegungen zum gerechten und

zuverlässigen Bewerten.– Ergänze eine zusammenfassende Zensur durch ein Gutachten:

… Leistungsprofil, Qualifikationsprofil (falls möglich)… Hinweise zum Verbessern von Qualifikationen

– Beurteilungsmaßstäbe offen legen, erörtern, eventuell ändern… mit Kollegen absprechen

– „Konsiliarisches“ Beurteilen… wenigstens bei unklaren Fällen

Lack / Profke 17.02.2004 31

Bewerten in der Praxis: TippsBewerten in der Praxis: Tipps

– Bewerten in mehreren Schritten… Formales Vorgehen mit Punkten und Notenspiegel liefert

Rohdaten… Beurteilungsmaßstab an seinen Folgen prüfen und eventuell

abändern… Endgültige Zensuren festlegen

nach einer didaktischen Einschätzung der Prüfungsfragen:welche Leistungsprofile für eine bestimmte Zensur?

einer pädagogischen Würdigung des einzelnen Betroffenen:

welche Leistungen erbrachte der Kandidat bisher?

– Bewerten in mehreren Schritten… Formales Vorgehen mit Punkten und Notenspiegel liefert

Rohdaten… Beurteilungsmaßstab an seinen Folgen prüfen und eventuell

abändern… Endgültige Zensuren festlegen

nach einer didaktischen Einschätzung der Prüfungsfragen:welche Leistungsprofile für eine bestimmte Zensur?

einer pädagogischen Würdigung des einzelnen Betroffenen:

welche Leistungen erbrachte der Kandidat bisher?

Lack / Profke 17.02.2004 32

Bewerten in der Ausbildung von LehrernBewerten in der Ausbildung von Lehrern

Das Beurteilen von Schülerleistungen muss ein Thema in der Ausbildung von Lehrern sein.

[4] David, G.; u.a.: Zur Ermittlung und Bewertung von Schüler-leistungen im Mathematikunterricht. Lehrmaterial zur Ausbildung von Diplomlehrern Mathematik. Jena/Potsdam 1984

Das Beurteilen von Schülerleistungen muss ein Thema in der Ausbildung von Lehrern sein.

[4] David, G.; u.a.: Zur Ermittlung und Bewertung von Schüler-leistungen im Mathematikunterricht. Lehrmaterial zur Ausbildung von Diplomlehrern Mathematik. Jena/Potsdam 1984

Lack / Profke 17.02.2004 33

LiteraturhinweiseLiteraturhinweise

[5] Krippner, W.: Mathematik differenziert unterrichten. Hannover: Schroedel 1992

[6] Nestle, F.: WerWieWas.bildungsstandards.de. Beiträge zum MU 2003, S. 461-464

[7] Radatz, H.; u.a.: Handbuch für den Mathematikunterricht 2. Schuljahr. Hannover: Schroedel 1998

[8] Romagnano, L.: The Myth of Objectivity in Mathematics Assessment. Mathematics Teacher 94(2001), 31-37

[9] Schönwald, H. G.: Wie viele Punkte ist ein „falscher Beweis“ wert? mathe-journal 1/2000

[5] Krippner, W.: Mathematik differenziert unterrichten. Hannover: Schroedel 1992

[6] Nestle, F.: WerWieWas.bildungsstandards.de. Beiträge zum MU 2003, S. 461-464

[7] Radatz, H.; u.a.: Handbuch für den Mathematikunterricht 2. Schuljahr. Hannover: Schroedel 1998

[8] Romagnano, L.: The Myth of Objectivity in Mathematics Assessment. Mathematics Teacher 94(2001), 31-37

[9] Schönwald, H. G.: Wie viele Punkte ist ein „falscher Beweis“ wert? mathe-journal 1/2000