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Bundesland
Lambacher SchweizerMathematik Qualif ikationsphase
Nordrhein-Westfalen
Arbeitsheft
Leistungskurs
Lambacher SchweizerMathematik Qualifikationsphase
ArbeitsheftLeistungskurs
Nordrhein-Westfalen
Ernst Klett VerlagStuttgart · Leipzig
erarbeitet von Detlef Hoche, Arne Jessen, Peter Neumann
1. Auflage 1 5 4 3 2 1
| 19 18 17 16 15
AlleDruckedieserAuflagesindunverändertundkönnenimUnterrichtnebeneinanderverwendetwerden.DieletzteZahlbezeichnetdasJahrdesDruckes.DasWerkundseineTeilesindurheberrechtlichgeschützt.JedeNutzunginanderenalsdengesetzlichzugelassenenFällenbedarfdervorherigenschriftlichenEinwilligungdesVerlages.Hinweis§52aUrhG:WederdasWerknochseineTeiledürfenohneeinesolcheEinwilligungeingescanntundineinNetzwerkeingestelltwerden.DiesgiltauchfürIntranetsvonSchulenundsonstigenBildungseinrichtungen.FotomechanischeoderandereWiedergabeverfahrennurmitGenehmigungdesVerlages.
©ErnstKlettVerlagGmbH,Stuttgart2015.AlleRechtevorbehalten.www.klett.de
Autorinnen und Autoren:JürgenFrink,Tübingen;DetlefHoche,Stuttgart;Dr.MatthiasJanssen,Inzlingen;ArneJessen,Balingen;Klaus-PeterJungmann,Dortmund;KarenKaps,Stade;Dr.MichaelKölle,Tübingen;PeterNeumann,Markkleeberg;HeikeSpielmans,Köln
Redaktion:FranziskaPfähler,AnkeStöckleHerstellung:RenateMönch
Umschlaggestaltung:KomaAmok,StuttgartTitelbilder:Wasserstrudel:GettyImages(amanaImages/TakeshiDaigo),München;Wendeltreppe:GettyImages(ImageBank/JoaoPaulo),MünchenIllustrationen:Da-TeXGerdBlumenstein,LeipzigSatz:Da-TeXGerdBlumenstein,LeipzigReproduktion:Meyle&MüllerMedienmanagement,PforzheimDruck:MedienhausPlumpGmbH,Rheinbreitbach
PrintedinGermanyISBN978-3-12-735445-4
TextquellennachweisS. 37� Deutsche Presseagentur dpa
Bildquellennachweis
U1.1 Getty Images (amana images/Takeshi Daigo), München; U1.2� Getty Images (Stone/Joao Paulo), München; 7�0.1 shutterstock.com (AGphotographer), New York, NY
Sollte es in einem Einzelfall nicht gelungen sein, den korrekten Rechteinhaber ausfindig zu machen, so werden berechtigte Ansprüche selbstverständlich im Rahmen der üblichen Regelungen abgegolten.
3
Hinweise für Schülerinnen und Schüler ___ 4
I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
Wiederholung: Ableitung ___ 5
Die Bedeutung der zweiten Ableitung ___ 7
Kriterien für Extremstellen ___ 8
Kriterien für Wendestellen ___ 9
Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen ___ 10
Ganzrationale Funktionen bestimmen ___ 11
Funktionenscharen untersuchen ___ 13
Klausurtraining ___ 15
II Schlüsselkonzept: Integral
Rekonstruieren einer Größe ___ 17
Das Integral ___ 18
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ___ 19
Regeln zur Bestimmung von Stammfunktionen ___ 20
Integral und Flächeninhalt ___ 21
Integralfunktionen ___ 22
Unbegrenzte Flächen und Rauminhalte ___ 23
Klausurtraining ___ 24
III Exponentialfunktionen
Wiederholung: Exponentialfunktionen ___ 26
Die natürliche Exponentialfunktion und
ihre Ableitung ___ 27
Natürlicher Logarithmus ___ 28
Exponentialfunktionen im Sachzusammenhang ___ 29
Beschränktes Wachstum ___ 30
Logarithmusfunktion und Umkehrfunktion ___ 31
Klausurtraining ___ 32
IV Zusammengesetzte Funktionen
Neue Funktionen aus alten Funktionen:
Summe, Produkt, Verkettung ___ 34
Produktregel ___ 35
Kettenregel ___ 36
Zusammengesetzte Funktionen untersuchen ___ 37
Zusammengesetzte Funktionen
im Sachzusammenhang ___ 38
Zusammengesetzte Exponential- und Logarithmus-
funktionen ___ 39
Klausurtraining ___ 40
V Geraden
Wiederholung: Punkte und Vektoren im Raum ___ 42
Geraden ___ 44
Gegenseitige Lage von Geraden ___ 45
Zueinander orthogonale Vektoren – Skalarprodukt ___ 46
Winkel zwischen Vektoren – Skalarprodukt ___ 47
Klausurtraining ___ 48
VI Ebenen
Das Gauß-Verfahren ___ 49
Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme ___ 50
Ebenen im Raum – Parameterform ___ 51
Lagebeziehungen von Ebenen und Geraden ___ 52
Geometrische Objekte und Situationen im Raum ___ 53
Klausurtraining ___ 54
VII Abstände und Winkel
Normalengleichung und Koordinatengleichung ___ 55
Lagebeziehungen ___ 56
Abstand eines Punktes von einer Ebene ___ 58
Abstand eines Punktes von einer Geraden ___ 59
Abstand windschiefer Geraden ___ 60
Schnittwinkel ___ 61
Klausurtraining ___ 62
VIII Schlüsselkonzept: Wahrscheinlichkeit – Statistik
Daten erstellen und durch Kenngrößen beschreiben ___ 64
Erwartungswert und Standardabweichung ___ 65
Bernoulli-Experimente, Binomialverteilung ___ 67
Praxis der Binomialverteilung ___ 68
Problemlösen mit der Binomialverteilung ___ 70
Zweiseitiger Signifikanztest ___ 71
Einseitiger Signifikanztest ___ 72
Fehler beim Testen von Hypothesen ___ 73
Klausurtraining ___ 74
IX Stetige Zufallsgrößen – Normalverteilung
Die Analysis der Gauß’schen Glockenfunktion ___ 76
Normalverteilung ___ 77
Klausurtraining ___ 79
X Stochastische Prozesse
Stochastische Prozesse ___ 80
Stochastische Matrizen ___ 81
Matrizen multiplizieren ___ 82
Grenzverhalten – Entwicklung auf lange Sicht ___ 83
Klausurtraining ___ 85
Basisfertigkeiten
Analysis ___ 86
Analytische Geometrie ___ 92
Stochastik ___ 99
Abiturvorbereitung
Abiturähnliche Aufgaben ohne Hilfsmittel ___ 104
Abiturähnliche Aufgaben – Analysis ___ 110
Abiturähnliche Aufgaben – Geometrie ___ 115
Abiturähnliche Aufgaben – Stochastik ___ 118
Lösungen ___ 122
Stichwortverzeichnis ___ 178
Inhaltsverzeichnis
4
ÜbungsaufgabenDer erste Teil enthält Übungsaufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade. Die Kapitelnamen sind gleich wie im Schülerbuch Lambacher Schweizer Qualifikations phase (ISBN 978-3-12-735441-6). Oben auf den Seiten ist angegeben, ab welcher Lerneinheit des entsprechenden Kapitels im Schülerbuch die jeweilige Seite bearbeitet werden kann. Meist ist eine Seite einem Thema gewidmet. Die Aufgaben werden nach unten hin immer schwie-riger. Aufgaben mit orangefarbener Aufgabenziffer sollen ohne GTR/CAS gelöst wer-den, bei Aufgaben mit schwarzer Aufgabenziffer kann der GTR/CAS oder ein anderer Rechner hilfreich sein. Wenn Ihnen der Lösungsansatz für eine Aufgabe fehlt, kön-nen Ihnen die Tipps zu den Aufgaben helfen, einen Ansatz zu finden, mit dem Sie weiterarbeiten können. Am Ende jedes Kapitels stehen Klausuraufgaben mit und ohne Hilfsmittel, die das Niveau von anspruchsvollen Klausuren oder von Abituraufgaben aufweisen. Mit diesen Übungsaufgaben können Sie nicht nur parallel zum Unterricht üben, sondern auch in den Wochen und Monaten vor der schriftlichen Abiturprüfung die Inhalte der Qualifikationsphase systematisch auffrischen und eventuelle Lücken identifizieren. Den Themen, die typischerweise für die Abitur prüfung besonders relevant sind, haben wir in diesem Heft besonders breiten Raum eingeräumt. Die Lösungen zu allen Aufgaben sind hinten im Heft zu finden.
BasisfertigkeitenDie Seiten zu Basisfertigkeiten zeigen typische Fragestellungen in Prüfungen und typische Vorgehensweisen zur Lösung dieser Fragestellungen. Der Schwerpunkt der Basisfertigkeiten liegt auf Schrittfolgen, mit denen komplexe Aufgaben in einzelne Schritte zerlegt werden können. Die Schrittfolgen sollen auch das Verständnis für Lösungsstrategien fördern. Probleme, die alleine mit der Anwendung einer Formel aus der Formelsammlung oder einer einfachen Berech-nung mit dem Rechner gelöst werden können, werden bei den Basisfertigkeiten nicht behandelt. Die Basisfertigkeiten und die Formelsammlung ergänzen daher ein-ander, ohne sich gegenseitig überflüssig zu machen.
AbiturvorbereitungDiese Aufgaben sollen eine Abiturvorbereitung unter Echtbedingungen ermöglichen. Speziell zur Vorbereitung auf das Zentralabitur ab 2017 wurden Aufgabenserien erstellt, die ohne Hilfsmittel zu lösen sind, und Aufgabensätze, bei denen ein GTR/CAS verwendet werden darf. Die Aufgaben im Heft haben den üblichen Aufbau und die übliche Länge von Prüfungsaufgaben, enthalten aber auch an schwierigen Stellen Tipps. Die Lösungen der abiturähnlichen Aufgaben sind ausführlich und erlauben eine Selbstkontrolle.
Viel Erfolg!
86 Analysis | Basisfertigkeiten
Steigung von FunktionsgraphenSteigung des Graphen einer Funktion f an der Stelle x 0 Gemeint ist die Steigung m der Tangente: m = f ’ (x0)1. Schritt: f ’ (x) ermitteln2. Schritt: x0 einsetzen, also m = f ’ (x0) berechnen
Beispiel: f (x) = x2; x0 = 3f ’ (x) = 2 xm = f ’ (3) = 2 · 3 = 6
An welchen Stellen x 0 hat der Graph von f die Steigung m?Gegeben: m = f ’ (x0)1. Schritt: f ’ (x) ermitteln2. Schritt: m = f ’ (x0) ansetzen und nach x0 auflösen
Beispiel: f (x) = – x2 + 3 x; m = – 1f ’ (x) = – 2 x + 3– 1 = f ’ (x0) = – 2 x0 + 3 x0 = 2
Monotonie1. Schritt: f ’ (x) ermitteln2. Schritt: Bedingung f ’ (x0) º 0 nach x0 auflösen, um das Intervall zu erhalten, in dem der Graph von f streng monoton wächst3. Schritt: Monotonie im gesamten Definitionsbereich von f angeben
Beispiel: f (x) = x2
f ’ (x) = 2 x { > 0, wenn x > 0 < 0, wenn x < 0
streng monoton fallend (– •, 0]streng monoton wachsend [0, •)
Tangente und Normale
Gleichung der Tangente an den Graph von f im Punkt P ( x 0 | f ( x 0 ))1. Schritt: f ’ (x) ermitteln, x0 für x einsetzenf ’ (x0) = mt
2. Schritt: y0 = f (x0) berechnen3. Schritt: Tangente mit errechnetem Anstieg ansetzen
y = mt x + c geht durch (x0 | y0)
w c = …
4. Schritt: Tangentengleichung angeben
oder alternativ zur Schrittfolge die allgemeine Tangentengleichung y = f ’ (x0) · (x – x0) + f (x0) verwenden
Beispiel: f (x) = x2; x0 = 3f ’ (x) = 2 x; m = f ’ (3) = 6; f (3) = 9y = 6 x + c geht durch (3 | 9)9 = 6 · 3 + c c = – 9Tangente t: y = 6 x – 9Gleichung der Tangente durch einen Punkt außerhalb des GraphenGegeben: P (a | b), f (x)
Gesucht: Berührstelle x0 , Tangentengleichung1. Schritt: m in Anhängigkeit von x0 ermitteln: m = f ’ (x0)2. Schritt: x = a und y = b in die allgemeine Tangentengleichung y = f ’ (x0) · (x – x0) + f (x0) einsetzen, x0 berechnen3. Schritt: x0 in die allgemeine Tangentengleichung einsetzen
Beispiel: f (x) = 9_ x ; P (– 1 | 0)
m = f ’ (x0) = 1 _ 2 · 9__
x 0
0 = 1 _ 2 · 9__
x 0 (– 1 – x0) + 9__
x 0 x0 = 1y = 1
_ 2 · 9_
1 (x – 1) + 9_
1 = 1 _ 2 x + 1 _ 2
Gleichung der NormalenDie Normale ist eine Gerade, die den Graphen der Funktion senk-recht schneidet.1. Schritt: die Steigung mn mit mn = – 1 _ m t aus der Steigung der Tangente mt berechnen2. Schritt: die Koordinaten des Punktes P 2 x0 | f (x0) 3 in y = mn x + c mit x = x0 und y = f (x0) einsetzen und nach c auflösen3. Schritt: Normalengleichung in der Form y = mn x + c angeben
Beispiel: f (x) = x2 – 3 x x0 = 1f ’ (x) = 2 x – 3
m = – 1 _ f ’ (1) = – 1 _ – 1 = 1
y = x + c geht durch (1 | – 2)– 2 = 1 + c c = – 3Normale n: y = x – 3
Analysis | Basisfertigkeiten
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12.08.2015 14:44:14
Liebe Schülerinnen und Schüler,
dieses Arbeitsheft soll Ihnen helfen, sich erfolgreich auf die Abiturprüfung vorzubereiten, es soll Sie aber auch auf dem Weg dorthin bei Klausuren unterstützen. Dieses Heft besteht aus drei Teilen:
Abiturähnliche Aufgaben – Analysis 111
2 Ein Medikament wird in unterschiedlichen Wirkstoffdosierungen hergestellt.
Durch die Funktion fa mit fa (t) = a · t · e– 0,25 t wird die Konzentration dieses Medikamentenwirkstoffs im Blut
eines Patienten beschrieben. Der Parameter a > 0 berücksichtigt die Höhe der Wirkstoffdosierung.
Dabei wird die Zeit t in Stunden seit der Einnahme und die Wirkstoffkonzentration fa (t) im Blut in Milligramm
pro Liter 2 mg _ ® 3 gemessen.
a) Die Abbildung zeigt den zeitlichen Verlauf einer
Wirkstoffkonzentration im Blut eines Patienten.
Die Wirkstoffkonzentration im Blut des Patienten
beträgt vier Stunden nach der Einnahme 8,83 mg
_ ® .
Berechnen Sie den Parameter a. [T1]
Damit das Medikament wirksam ist, sollte die
Wirkstoffkonzentration im Blut mindestens 3 mg
_ ®
betragen. Wie lange ist dies bei dieser Dosierungshöhe
u ngefähr der Fall? [T2]
b) Zeigen Sie, dass die Wirkstoffkonzentration im
Blut unabhängig vom Parameter a vier Stunden
nach der Einnahme maximal ist. [T3]
Um eine Gefährdung des Patienten auszuschließen,
sollte eine Wirkstoffkonzentration von mehr als 14 mg
_ ®
vermieden werden. Ermitteln Sie die Dosierung a,
die nicht überschritten werden sollte. [T4]
c) Zu welchem Zeitpunkt wird das Medikament am stärksten abgebaut? [T5]
Zeigen Sie, dass dieser Zeitpunkt unabhängig von der Wirkstoffdosierung ist. [T6]
d) Weisen Sie nach, dass die Funktion Fa mit Fa (t) = – 4 a · (t + 4) · e– 0,25 t eine Stammfunktion von fa ist. [T7]
e) Vier Stunden nach der ersten Einnahme wird das Medikament wieder in der gleichen Dosierung einge-
nommen. Es wird angenommen, dass sich dabei die Wirkstoffkonzentrationen im Blut des Patienten addieren.
Skizzieren Sie für a = 6 den zeitlichen Verlauf der Wirkstoffkonzentration im Blut des Patienten in den ersten
24 Stunden nach der ersten Medikamenteneinnahme. [T8]
Um eine Gefährdung des Patienten auszuschließen, sollte eine Wirkstoffkonzentration von mehr als 14 mg
_ ®
vermieden werden. Ist diese Forderung für a = 6 zu jedem Zeitpunkt erfüllt?
[T1] Setzen Sie die Werte in die Funktionsgleichung ein und lösen Sie die entstehende Gleichung. [T2] Bestimmen Sie die
Schnittpunkte des Graphen von f6 und der Geraden y = 3. Die Zeitspanne ergibt sich aus der Differenz der ermittelten Zeiten.
[T3] Zeigen Sie, dass die Ableitungsfunktion fa’ unabhängig vom Parameter a für t = 4 den Wert 0 annimmt und an dieser Stelle
einen Vorzeichenwechsel von + nach – aufweist. [T4] Bestimmen Sie den Parameter a, so dass der maximale Funktionswert 14
ist. [T5] Zur Bestimmung des Zeitpunktes t0 , an dem der Wirkstoff am stärksten abgebaut wird, bestimmen Sie das Minimum
der Ableitungsfunktion fa’, d.h. bestimmen Sie t0 , so dass fa’’ (t0) = 0 und fa’’ an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel von – nach
+ aufweist. [T6] Formen Sie den Term der zweiten Ableitung so um, dass Sie den Parameter a als Faktor ausklammern können.
[T7] Leiten Sie Fa mithilfe der Produkt- und Kettenregel ab und zeigen Sie die Übereinstimmung mit fa . [T8] Um die Gesamt-
konzentration zu skizzieren, können Sie entweder eine Funktionsgleichung angeben oder eine Wertetabelle aufstellen. Berück-
sichtigen Sie die zweite Einnahme des Wirkstoffs nach vier Stunden (t = 4).
Abiturähnliche Aufgaben – Analysis
34 IV Zusammengesetzte Funktionen
1 Die Funktion f mit f (x) = 1 __
(2 x – 3) 2 kann als Verkettung der Funktionen v und u mit
v (x) = 2 x – 3 und u (x) = 1 _ x 2
aufgefasst werden. Dabei bezeichnet man die Funktion v als
die ___________ Funktion und u als die __________ Funktion. Man schreibt auch
f (x) = (u ° v) (x) = u 2 v (x) 3 .
Bei der Verkettung wendet man auf die Variable ____ zuerst die Zuordnungsvorschrift ____
(multiplizieren Sie mit 2 und subtrahieren Sie 3) und danach auf dieses Zwischenergebnis _____
die zweite Zuordnungsvorschrift ____ (quadriere und bilde den Kehrwert) an.
2 Gegeben sind die beiden Funktionen f und g
mit f (x) = x + 2 und g (x) = x 2 . Aus diesen beiden
Funktionen können weitere Funktionen gebildet
werden. Ordnen Sie die Kärtchen passend zu.
3 Gegeben sind die beiden Funktionen f und g mit f (x) = 2 x – 1 und g (x) = x 2 .
Berechnen Sie die Funktionswerte.
a) f 2 g (2) 3 = ________________ b) f 2 g (– 3) 3 = ______________ c) g 2 f (2) 3 = _______________
d) g 2 f (– 1) 3 = ______________ e) f 2 g 2 – 1 _ 2 3 3 = _______________ f) g 2 f 2 1 _ 3 3 3 = _______________
4 Es ist f (x) = u 2 v (x) 3 . Vervollständigen Sie die Tabelle.
u (x) v (x) f (x)u (x) v (x) f (x)
a) x 3 + 1 4 x – 3c)
0,5 x + 2 e1,5 x + 6
b) 9_ x
9___
x 2 – 9 d) 5 __ x 2
5 ______ (3 x – 2 ) 4
5 Die Funktion f kann als Produkt und als Verkettung aufgefasst werden.
Geben Sie mögliche Funktionen u und v an. [T1]
a) f (x) = (5 x – 6 ) 3 b) f (x) = 3 _
x 2 + 4 c) f (x) = (ex)2
[T1] Es sind mehrere Lösungen möglich.
f (x) + g (x)
Graph A
f (x)
_ g (x)
g 2 f (x) 3 x 2 + x + 2
x 2 + 2– x 2 + x + 2
x 3 + 2 x 2
Graph FGraph E
Graph D
Graph C
Graph B
f 2 g (x) 3 f (x) – g (x)
f (x) · g (x)
(x + 2 ) 2 1 _ x + 2 _
x 2
u
x
v (x)
innere
äußere
v
ab Lerneinheit 1
IV Neue Funktionen aus alten Funktionen:
Summe, Produkt, Verkettung
I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 5
1 Ordnen Sie den Graphen A, B, C und D die Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktionen zu.
2 Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion von f.
a) f (x) = – 2 x 2 b) f (x) = 4 x 2 + 4
m (h) = f ( x 0 + h) – f ( x 0 )
__ h = – 2 ( ) 2 – ( – 2
2 ) ____
= ____________________________________
= ____________________________________
= ________________ ¥ ________ für h ¥ 0
Funktionsgleichung von f ’: f ’ (x) = _______ Funktionsgleichung von f ’: f ’ (x) = _______
3 Füllen Sie die Lücken und skizzieren Sie dann den Graphen von f ’.
Der Graph von f hat an den Stellen ___ und ___ Tangenten, die parallel
zur x-Achse verlaufen. Diese Tangenten haben daher die Steigung ___ .
Also hat der Graph von f ’ dort _______________ .
Die Steigung des Graphen von f ist für x < 0 und für x > ___ positiv,
also verläuft der Graph von f ’ in diesen Intervallen ______________
der x-Achse.
Für 0 < x < ___ ist die Steigung von f ____________ , der Graph von
f ’ verläuft in diesem Intervall somit _________________ der x-Achse.
Um die Steigung der Tangente im Punkt P (1 | ___ ) näherungsweise zu bestimmen, zeichnet man
die Tangente an den Graphen in diesem Punkt ungefähr ein und liest die Steigung ab. Die Steigung
der Tangente ist ungefähr ____ .
A B C D
ab Lerneinheit 1 I Wiederholung: Ableitung
6 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
I Wiederholung: Ableitung ab Lerneinheit 1
4 Bestimmen Sie die Gleichung der Ableitungsfunktion von f.
a) f (x) = x 4 b) f (x) = 2 x 6 + x 3 c) f (x) = 4 x 2 d) f (x) = 0,5 x 5 – 2 x 3
f ’ (x) = __________ _______________ _______________ _______________
5 Markieren Sie zusammengehörige Karten.
f ’ (x) = 2 x + t f ’ (x) = 2 t x + tf ’ (x) = 2 x – t 2 f ’ (t) = x 2 + xf ’ (t) = – 2 t x f ’ (t) = x 2 – 2 t x
f (x) = x 2 + t x f (x) = t x 2 + t x f (x) = x 2 – t 2 xf (t) = t x 2 + t x f (t) = x 2 – t 2 x
f (t) = t x 2 – t 2 x
6 Kontrollieren Sie die Ableitungen (r für richtig und f für falsch) und verbessern Sie gegebenenfalls.Beschreiben Sie auch, worin der Fehler besteht.
Funktion f Ableitung Kontrolle und Verbesserung Fehlerbeschreibung
a) f (x) = x 3 + 3 f ’ (x) = 3 x 2 + 3 f f ’ (x) = 3 x 2 2. Summand wurde übernommen
b) f (x) = x 6 – 6 x f ’ (x) = 6 x 5 + 6
c) f (x) = Å _ x f ’(x) = – Å _ x 2
d) f (x) = 2 _ 3 x 2 – 4 x f ’ (x) = Å _ 3 x – 4
e) f (t) = t x 2 f ’ (t) = 2 t x
7 Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von f ’. Wandeln Sie zuerst den Funktionsterm um.
a) f (x) = x 2 · (x – 2) b) f (x) = (x + 2 ) 2 · 5 c) f (x) = Å _ 2 (x – 4 ) 2
= ____________________ = ____________________ = ____________________
= ____________________ = ____________________ = ____________________
f ’ (x) = _________________ f ’ (x) = _________________ f ’ (x) = _________________
d) f (x) = (x + 3) · (x – 2) e) f (x) = (x + 5) · (x – 5) f) f (x) = 4 · ( x 4 + 3) · x 2
= ____________________ = ____________________ = ____________________
= ____________________ = ____________________ = ____________________
f ’ (x) = _________________ f ’ (x) = _________________ f ’ (x) = _________________
8 Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P. Kontrollieren Sie das Ergebnis mit dem GTR/CAS.a) f (x) = 2 x3 + 3 x, P 2 1 | f (1) 3 b) f (x) = 3 _ 8 x4 + 1 _ 2 x2, P 2 1 | f (1) 3 Steigung der Tangente:
y-Koordinate des Punktes P: __________________
Tangentengleichung: ______________________ Tangentengleichung: ______________________
I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 7
ab Lerneinheit 2 I Die Bedeutung der zweiten Ableitung
1 Verbinden Sie passende Kärtchen miteinander.
Ay
x
By
x
Cy
x
Dy
x
(1) streng monoton wachsend,Linkskurve
(2) streng monoton fallend, Rechtskurve
(3) streng monoton fallend, Linkskurve
(4) streng monoton wachsend, Rechtskurve
2 Gegeben sind der Graph einer Funktion f und der Graph der Ableitung g ’ einer Funktion g.
x
y
O – 8 – 6 – 4 – 2 2 4 6 8
4
2
– 2
– 4
f
x
y
O – 8 – 6 – 4 – 2 2 4 6 8
4
2
– 2
– 4
g’
a) Geben Sie näherungsweise die Intervalle an, in denen der Graph von f eine Links- bzw. Rechtskurve ist.
Linkskurve: Rechtskurve:
b) Geben Sie näherungsweise die Intervalle an, in denen der Graph von g eine Links- bzw. Rechtskurve ist.
Linkskurve: Rechtskurve:
3 Bestimmen Sie das Krümmungsverhalten des Graphen von f rechnerisch.
a) f (x) = Å _ 6 x 4 – 9 x 2 + 2 x – 3
Ableitungen: f ’ (x) =
f ’’ (x) =
Bestimmung der Nullstellen von f ’’:
; x 1 = ; x 2 =
Für x < – 3 gilt f ’’ (x) 0, d. h. der Graph von f
ist .
Für – 3 < x < 3 gilt f ’’ (x) 0, d. h. der Graph von f
ist .
Für gilt , d. h. der Graph
von f ist .
b) f (x) = Å _ 4 x 4 + Å _ 2 x 3 – 3 x 2 – 17
4 Der Graph von f ist eine Rechtskurve. Welches Krümmungsverhalten hat der Graph von g?
a) g (x) = f (x) – 2 Rechtskurve b) g (x) = 2 · f (x)
c) g (x) = f (x – 2) d) g (x) = – 2 · f (x)
8 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
1 Bestimmen Sie die Extrempunkte des Graphen von f mithilfe der zweiten Ableitung.a) f (x) = x 4 – 4 x 3 + 8Ableitungen:
f ’ (x) = ; f ’’ (x) =
Nullstellen von f ’ bestimmen: = 0
Faktorisieren: = 0
Nullstellen von f ’: x 1 = ; x 2 =
Überprüfung mit der zweiten Ableitung:
f ’’ ( ) = ; f ’’ ( ) =
An der Stelle hat der Graph von f einen
, die Stelle muss mithilfe des
Vorzeichenwechselkriteriums von weiter unter-
sucht werden: Es ist f ’ (– 1) 0 und f ’ (1) 0,
d. h. an der Stelle hat der Graph von f einen
.
Extrempunkt des Graphen von f:
f ( ) = ; ( | )
b) f (x) = – 1,5 x 4 + 4 x 3 – 3 x 2 + 5Ableitungen:
f ’ (x) = ; f ’’ (x) =
Extrempunkt des Graphen von f:
f ( ) = ; ( | )
2 Der Graph der Funktion f mit f (x) = x 4 hat nur einen einzigen Extrempunkt, nämlich den
punkt ( | ) . Setzt man die Extremstelle in die erste und zweite Ableitung
von f ein, erhält man jeweils den Wert . Man kann die Extremstelle also nur mithilfe des
nachweisen.
3 Der Graph einer Funktion ist im Intervall I = [– 3; 3] dargestellt. Welche Aussagen können Sie über das Vorzeichen der ersten und zweiten Ableitung der Funktion in I machen?
4 Der Graph von f hat den Hochpunkt H (6 | 11). Welchen Extrempunkt hat der Graph von g, falls gilt:
a) g (x) = f (x) – 2 H (6 | ) b) g (x) = – 2 · f (x) c) g (x) = f (– x)
d) g (x) = f (x – 2) e) g (x) = (f (x) ) – 2 f) g (x) = f (– 2 x)
5 Bestimmen Sie mit dem GTR/CAS alle Extrempunkte des Graphen von f. [T1]
a) f 2x3 = 2 x 3 – 9 x 2 + 12 x - 4 b) f 2x3 = – Å _ 8 x 4 – Å _ 3 x 3 + Å _ 10 x + 2
c) f 2x3 = 0,2 x 5 – 2,5 x 4 d) f 2x3 = 0,125 x 4 – 1,5 x 3 + 4 x 2 – x + 1
[T1] Die Extrempunkte können auch außerhalb des standardmäßig eingestellten Fensterbereichs des GTRs liegen.
ab Lerneinheit 3I Kriterien für Extremstellen
I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 9
1 Berechnen Sie die Wendepunkte des Graphen von f.
a) f (x) = Å _ 3 x 4 – 2 x 2 + 3 x
1. bis 3. Ableitung:
f ’ (x) = ;
f ’’ (x) = ; f ’’’ (x) =
Nullstellen von f ’’ bestimmen: = 0
Faktorisieren: = 0
Nullstellen: x 1 = ; x 2 =
Einsetzen der Nullstellen in die 3. Ableitung:
f ’’’ ( ) = ; f ’’’ ( ) =
Koordinaten der Wendepunkte bestimmen:
f 2 3 = = ; W 1 " §f 2 3 = = ; W 2 " §
b) f (x) = Å _ 20 x 5 + Å _ 4 x 4 + Å _ 3 x 3
3 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x 4 + a · x 3 + x 2 . Sie hat die Wendestelle x w = 1. Bestimmen Sie die Gleichung der zugehörigen Wendetangente.
Ableitungen: f ’ (x) = ; f ’’ (x) = ; f ’’’ (x) =
Berechnung von a: Da 1 eine Wendestelle von f ist, gilt die notwendige Bedingung .
Demnach gilt: ; a =
Also: f (x) = ; f (1) = ; W ( | ) Gleichung der Wendetangente an den Graphen von f in W :
Ergebnis: y =
2 Gegeben ist der Graph der Ableitungsfunktion f ’ einer Funktion f. Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? Begründen Sie Ihre Antworten.a) Der Graph von f hat bei x = – 2 ein Minimum.b) Der Graph von f hat für – 2,5 ª x ª 6 genau einen Wendepunkt.c) Der Graph von f ist im Bereich – 2 < x < 0 eine Linkskurve.d) f (1) > f (2)
ab Lerneinheit 4I Kriterien für Wendestellen
10 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
1 Ein Quader mit quadratischer Grundfläche soll ein Volumen von 1000 cm3 haben.Bestimmen Sie die Seitenlängen a des Quaders so, dass sein Oberflächeninhalt minimal wird. Wie groß ist dieser minimale Oberflächeninhalt?
(1) Aufstellen einer Formel für den Oberflächeninhalt (Seitenlänge a, Höhe h):
_________________
(2) Vorgegebenen Rauminhalt als Nebenbedingung berücksichtigen:
_________________ bzw. _________________
(3) Zielfunktion für die Quaderoberfläche als Funktion von a aufstellen:
______________________________________ ; _________________
(4) Untersuchung der Zielfunktion auf Extremwerte: [T1] ________________ ; _____________________
_____________ für _____________; _________________________
lokale Minimumstelle: ______________________ ; lokales Minimum: __________________________
Ergebnis: ______________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
2 Gegeben sind die Funktionen f1 und f2 mit f1 (x) = x2 – 2 und f2 (x) = – (x – 4)2. Der Punkt P liegt auf dem Graph der Funktion f1 und der Punkt Q liegt auf dem Graph der Funktion f2 . Bestimmen Sie die beiden Punkte P und Q, sodass die beiden Punkte die gleiche x-Koordinate haben und die Strecke
_ PQ minimal ist. [T2]
3 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = – 1 _ 4 x2 + 2 x. Der Punkt P 2 a | f (a) 3 mit 0 ª a ª 8 liegt auf dem Graphen von f. Bestimmen Sie den Wert von a so, dass der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks OQP maximal wird und geben Sie diesen maximalen Flächeninhalt an. Ordnen Sie zunächst die Rechenschritte in die richtige Reihenfolge und die Begriffe jeweils passend zu und lösen Sie dann das Extremwertproblem.
ha = f (a)
A ’(a) = ...
A (a) = – 1 _ 8 a3 + a2
A∆= 1 _ 2 a ha
Zielfunktion
Formel
Nebenbedingung
Funktionsuntersuchung
4 Aus einem runden Stamm mit 30 cm Durchmesser soll ein Balken mit rechteckiger Querschnittsfläche gefertigt werden. Die Tragfähigkeit eines Holzbalkens mit rechteckiger Querschnittsfläche ist proportional zur Breite b und zum Quadrat der Höhe h des Balkens. [T3]a) Für welche Maße wird die Tragfähigkeit des Balkens möglichst groß?b) Wie viel Prozent des Stammes werden so für den Balken genutzt?
5 Gegeben sind die Funktionen f und g mit f (x) = – 1 _ 5 x 3 + 5 x und g (x) = x im Intervall 0 ª x ª 9__ 20 .
Der Punkt P 2 a | f (a) 3 , der Koordinatenursprung und der Punkt Q 2 a | g (a) 3 bilden ein Dreieck. Für welchen Wert von a ist die Fläche dieses Dreiecks am größten?
O =
h =
O (a) = a *
O ’ (a) = O ’’ (a) =
O ’ (a) = 0 O ’’
[T1] Es gilt für f (x) = 1 _ x : f ’(x) = –
1 _
x 2 und f ’’(x) =
2 _
x 3 [T2] Skizzieren Sie die beiden Funktionsgraphen und zeichnen Sie die Strecke
_ PQ ein. Stellen Sie dann eine Zielfunktion für die Differenz der y-Koordinaten auf. [T3] Die Diagonale des Balkens entspricht
dem Kreisdurchmesser. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich die Nebenbedingung: d2 = b2 + h2. Bestimmen Sie dann eine Zielfunktion für die Tragfähigkeit des Balkens.
ab Lerneinheit 5 I Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen
I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 11
1 Ein Basketball beschreibt bei einem Freiwurf näherungsweis eine Wurfparabel. a) Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion f zweiten Grades, deren Graph Gf den Verlauf der Wurfparabel näherungsweise beschreibt. Das Koordinatensystem wird so gewählt, dass sich der Ball bei Abwurf
im Punkt P ( ___ | ___ ) und der Korb im Punkt Q ( ___ | ___ ) befindet.
Lösungsansatz: f (x) = _________________________________
f ’ (x) = _________________________________
Bedingungen: P ( ___ | ___ ) * Gf ; d. h. f ( ___ ) = ___ ; _________
Q ( ___ | ___ ) * Gf ; d. h. f ( ___ ) = ___ ; _________
m = ___ in Q; d. h. f ’ ( ___ ) = ___ ; _________
Das Gleichungssystem hat die Lösungen a = _________ ; b = _________ und c = _________ ; also gilt:
f (x) = _________________________________________________________________________
b) Berechnen Sie den höchsten Punkt der Wurfparabel über dem Boden.
f ’ (x) = ______ ; ________________________________________________ für x0 = __________
f ’ hat bei x0 einen Vorzeichenwechsel von nnn nach nnn , also hat f hier ein _______________________ .
f ( ___ ) = ______ . Hochpunkt der Wurfparabel: H ( ___ | ___ ).
2 Die Flugbahn eines Handballs bei einem weiten Abwurf durch den Torwart wird durch die Parabel mit der Funktionsgleichung h (s) = – 0,03 · (s – 13,5) + 7,5 beschrieben. Dabei gibt s die horizontale Entfernung vom Abwurfpunkt und h die Flughöhe des Balls über dem Boden in Meter an.
a) Bestimmen Sie die Flugweite des Balls bei diesem Wurf. ___________________________________
b) Geben Sie eine geeignete Definitionsmenge für die Funktion h an. ____________________________
c) Bestimmen Sie die Abwurfhöhe des Balls. _____________________________________________
d) Ermitteln Sie die maximale Flughöhe des Balls. _________________________________________
3 Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades schneidet die Koordinatenachsen in S1 (0 | 1) und S2 (– 1 | 0). Außerdem hat er in T (2 | 0) einen Tiefpunkt. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.
Ansatz: f (x) = a x3 + b x2 + c x + d Ableitung: f ’ (x) = _________________________
1. Bedingung Achsenschnittpunkt S1: f 2 nnn 3 = nnn
2. Bedingung Achsenschnittpunkt S2: f 2 nnn 3 = nnn
3. Bedingung Achsenschnittpunkt T: f 2 nnn 3 = nnn
4. Bedingung Tiefpunkt T: f ’ 2 nnn 3 = nnn [T1]
Aus den vier Bedingungen ergeben sich vier Gleichungen für a, b, c und d:
I _______________________________ [T2]
II __________________________________
III __________________________________
IV _______________________________ [T3]
Lösung des LGS mit dem GTR ergibt a = nnn ; b = nnn ; c = nnn ; d = nnn , also gilt f (x) = _______________
4 Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat einen Hochpunkt H (2 | 0) und einen Wende-punkt W (1 | – 2). Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.
2,0 m3,0 m
4,0 m
×45˚0 3
0 0 c =
– 1
[T1] Hier benötigen Sie die notwendige Bedingung für ein Extremum. [T2] Setzen Sie x = 0 in die Funktionsgleichung ein. [T3] Setzen Sie x = 2 in die Gleichung der Ableitung ein. Es muss sich 0 ergeben.
ab Lerneinheit 6I Ganzrationale Funktionen bestimmen
12 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
I Ganzrationale Funktionen bestimmen ab Lerneinheit 6
5 Bestimmen Sie zu den abgebildeten Graphen jeweils eine mögliche Funktionsgleichung. Überlegen Sie zunächst, welchen Grad die ganzrationale Funktion haben könnte. Nutzen Sie auch mögliche Symmetrie-eigenschaften. a) b) c)
6 Die Abbildung zeigt die Graphen zweier linearer Funktionen. Die beiden Graphen sollen durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion f knickfrei verbunden werden. Folgende Lösungsschritte werden vorgeschlagen: f (0) = 1 und f ’ (0) = 0 f (2) = 2 und f ’ (2) = 1 Es müssen vier Bedingungen erfüllt werden, also muss die Funktion f eine ganzrationale Funktion vom Grad drei sein. f (x) = a x 3 + b x 2 + c x + d f ’ (x) = 3 a x 2 + 2 b x + c f (0) = 1 d = 1 f (2) = 2 8 a + 4 b + 2 c + d = 2 f ’ (0) = 0 c = 0 f ’ (2) = 1 12 a + 4 b + c = 1 a) Begründen Sie die Richtigkeit des Lösungsansatzes. [T1] b) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von f. [T2]
7 Eine neue Verbindungsstraße soll zwei geradlinig verlaufende Straßenstücke miteinander verbinden. Die Verbindungsstraße soll dabei bei A und B knickfrei in die Straßen münden. Die Trasse der Verbindungsstraße lässt sich durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion beschreiben. Wählen Sie jeweils das Koordinatensystem geeignet und bestimmen Sie den Funktionsterm. [T3] [T4] a) b) c)
8 Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion fünften Grades, die im Punkt P (– 4 | – 4) einen Sattelpunkt und im Ursprung einen Wendepunkt hat. Die Wendetangente im Ursprung hat die Gleichung y = x. Zeichnen Sie den Graph der Funktion zwischen x = – 5 und x = 2. [T5]
5 m
A
50 m
B A
45˚
20 m
10 m
B
A45˚
2000 m
B
[T1] Die Zahl der zu bestimmenden Parameter muss größer oder gleich der Zahl der zu erfüllenden Bedingungen sein. [T2] Set-zen Sie für c und d die ermittelten Werte in die Gleichungen ein und lösen dann das Gleichungs system. [T3] Eine ganzrationale Funktion vom Grad n kann maximal n + 1 Bedingungen erfüllen. [T4] Wählen Sie für das Koordinatensystem z. B. 1 m = 1 LE und den Punkt A im Koordinatenursprung. Ordnen Sie dem Punkt B die entsprechenden Koordinaten zu. Die Richtung der Straße kann als Steigung des Funktionsgraphen interpretiert werden. [T5] Setzen Sie eine ganzrationale Funktion fünften Grades an und stellen Sie ein Gleichungssystem auf, das sich aus der Übereinstimmung der Funktionswerte und der Werte der ersten und zweiten Ableitung an den Stellen – 4 und 0 ergibt. Lösen Sie das Gleichungssystem mit dem GTR.
I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 13
1 Beschreiben Sie, welche Wirkung der Parameter t auf den Verlauf des Graphen hat. Schreiben Sie den passenden Buchstaben bzw. die passenden Buchstaben in der richtigen Reihenfolge in die Tabelle.
f (x) = x 3 t > 0 t < 0
f t (x) = x 3 + t
f t (x) = (x – t ) 3
f t (x) = t · x 3 A
f t (x) = t · (x – t ) 3 + t B, F, ___
2 Gegeben ist die Funktionenschar f t (t * R) mit f t (x) = t x 3 – 4 t x.a) Welche Punkte haben die Graphen aller Funktionen f t gemeinsam? [T1]b) Für welchen Wert von t verläuft der Graph von f t durch A (1 | 6)?c) Für welchen Wert von t ist der Graph von f t an der Stelle 2 parallel zur Ursprungsgeraden y = 4 x?d) Bestimmen Sie den Parameter t so, dass der Graph von f t den Graphen von f 4 im Koordinatenursprung orthogonal schneidet. [T2]
3 Gegeben ist die Funktionenschar fa (x) = x2 + a x – 4 x + 1. a) Für welchen Wert von a liegt P (2 | 3) auf dem Graphen von fa?b) Zeigen Sie, dass alle Graphen von fa durch den Punkt Q (0 | 1) verlaufen.c) Bestimmen Sie die Extrempunkte des Graphen von fa in Abhängigkeit von a. Für welche Werte von a liegt der Extrempunkt auf der x-Achse bzw. auf der y-Achse?d) Skizzieren Sie die Graphen für a = 2, a = 4 und a = 6 in ein gemeinsames Koordinatensystem. Kontrollieren Sie Ihre Lösungen mit dem GTR/CAS.
4 Gegeben sind die Funktionenschar f t (t * R) mit f t (x) = – 1 _ 4 x 4 + 1 _ 2 t 2 x 2 + 1 und die Gerade g: y = – 5 _ 4 x + 5 _ 2 .
a) Bestimmen Sie die Extremstellen von f t in Abhängigkeit von t.b) Für welche Werte von t liegt der Hochpunkt des Graphen von f t auf der Geraden g? c) Für welchen Wert von t hat der Graph von f t zwei zueinander orthogonale Wendetangenten? [T3]
5 Bei einem großen Feuerlöschfahrzeug ist auf dem Fahrzeugdach ein Wasserstrahlrohr montiert. Für den Verlauf des Wasserstrahls in Abhängigkeit von der Wassergeschwindigkeit v gilt näherungsweise
w v (x) = 1 _ 2 x + 7 _ 2 – 5 _ v 2 · x 2 (1 Längeneinheit entspricht einem Meter, v in m _ s , 0 < v ª 20, y = 0 gibt das Boden niveau an).
a) Unter welchem Winkel zur Horizontalen und in welcher Höhe über dem Boden wird das Wasser vom Strahlrohr ausgeworfen? [T4]b) Bestimmen Sie die Wurfweite des Wasserstrahls in Abhängigkeit vom Parameter v. [T5]c) Bestimmen Sie die mit dem Wasserstrahl maximal erreichbare Höhe in Abhängigkeit von v.d) Für welche Wassergeschwindigkeit beträgt die Wurfweite des Wasserstrahls 30 m?e) Skizzieren Sie in einem geeigneten Koordinatensystem den Verlauf des Wasserstrahls für v 1 = 5, v 2 = 10und v 3 = 20.
A: Streckung um den Faktor t in y-Richtung
B: Verschiebung um
|t| Einheiten in
negative x-Richtung
C: Verschiebung um t Einheiten in
positive x-Richtung
F: Spiegelung an der x-Achse und Streckung
um den Faktor |t| in y-Richtung
E: Verschiebung um |t| Einheiten in
negative y-Richtung
D: Verschiebung um t Einheiten in
positive y-Richtung
[T1] Ersetzen Sie t durch die Parameter r und s und bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der Graphen f r und f s . [T2] Damit
sich die Graphen von f t und f 4 im Koordinatenursprung orthogonal schneiden, muss f ’ t (0) · f ’ 4 (0) = – 1 gelten. [T3] Berechnen Sie die Wendestellen in Abhängigkeit von t und bestimmen Sie an diesen Stellen die Steigungen der Wendetangenten. [T4] Für den Steigungswinkel α gilt: tan (α) = w v ’ (x). [T5] Berechnen Sie den Schnittpunkt des Graphen von w v mit der x-Achse.
ab Lerneinheit 8 I Funktionenscharen untersuchen
14 I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
I Funktionenscharen untersuchen ab Lerneinheit 8
6 Gegeben ist die Funktionenschar fa mit fa (x) = x2 – 2 a x und a * R. a) Skizzieren Sie die Graphen für a = – 2; – 1; 0; 0,5 und 1,5 in ein gemeinsames Koordinatensystem.b) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Graphen mit der x-Achse in Abhängigkeit von a.
fa (x) = x2 – 2 a x = x • ( )
fa (x) = für x1 = und x2 =
N1 ( | 0 ) und N2 ( | ).
c) Berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunktes in Abhängigkeit von a.
fa ’(x) = ; fa ’(x) = für x3 =
fa ’’(x) = nnn 0; fa ( ) = ; T ( | )
d) Geben Sie die Gleichung für die Ortslinie aller Tiefpunkte an und zeichnen Sie die Ortslinie mit in die
Abbildung ein. Aus x = folgt y = = .
7 Gegeben ist die Funktionenschar f t mit f t (x) = 1 _ 4 x 4 – 1 _ 2 t x 2 + 2, t > 0.
Die Abbildung zeigt die Graphen von f 1 , f 2 und f 3 .
a) Berechnung der Extrempunkte der Kurvenschar f t :
f ’ t (x) = ______________________________
f ’ ’ t (x) = ______________________________
f ’ t (x) = 0 ______ = 0
x · ( _______ ) = 0
für x 1 = ______ ; x 2 = _____ und x 3 = _____
f ’’ t ( x 1 ) < 0 und f t ( x 1 ) = 2 ; H ( 0 | _____ )
f ’ ’ t ( x 2 ) ___ 0 und f t ( x 2 ) = ___ ; ___ ( ___ | ___ )
f ’ ’ t ( x 3 ) ___ 0 und f t ( x 3 ) = ___ ; ___ ( ___ | ___ )
b) Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen von f 4 mithilfe der Extrempunkte.
c) Bestimmung der Ortskurve aller Tiefpunkte T1 ( 9_ t | _________ ) und T2 (– 9_ t | _________ ):
aus x = _______ folgt t = _______ bzw. y = __________________ = ___________________ und
aus x = _______ folgt t = _______ bzw. y = __________________ = ______________________ .
Alle Tiefpunkte liegen auf der Parabel _____ Grades mit y = _______________________________ .
8 Gegeben ist die Funktionenschar f t mit f t (x) = x 3 + t · ( x 2 – x) und t * R. a) Zeigen Sie, dass sich alle Funktionsgraphen in genau zwei Punkten schneiden. [T1] b) Bestimmen Sie die Extrempunkte von f 3 . c) Für welche Werte von t hat der Graph von ft keine Extrempunkte? [T2] d) Gibt es einen Wert von t, bei dem der Graph von f t keinen Wendepunkt hat? [T3]
9_ t
[T1] Ersetzen Sie t durch die Parameter r und s und bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der Graphen von f r und f s . [T2] Überprüfen Sie, ob die notwendige Bedingung für Extrempunkte (f ’ ( x 0 ) = 0) und die hinreichende Bedingung (f ’’ ( x 0)≠0) für jeden Wert von t erfüllt sind. [T3] Überprüfen Sie, ob die notwendige Bedingung für Wendepunkte 2 f ’’ ( x 0 ) = 0 3 und die hin-reichende Bedingung 2 f ’’’ ( x 0)≠03 für jeden Wert von t erfüllt sind.
I Eigenschaften ganzrationaler Funktionen 15
1 Berechnen Sie alle Nullstellen der Funktion f mit f (x) = 1 _ 6 x4 – 13 _ 6 x2 + 6. [T1]
2 Skizzieren Sie den möglichen Graphen einer Funktion, für die gilt: f (0) = – 4; f ’ (0) = 0; f (3) = 0; f ’ (3) = 0; f ’’ (3) = 0
3 a) Bestimmen Sie die Nullstellen und Extrempunkte des Graphen von f mit f (x) = 0,1 x4 – 2 x2 + 6,4. [T1]
b) Bestimmen Sie die Extrem- und Wendepunkte des Graphen von f mit f (x) = 1 _ 64 x4 – 1 _ 8 x3.
4 Prüfen Sie, ob es Werte von u gibt, für die der Graph von fu mit fu (x) = 1 _ 2 x4 + u · x3 + 8 x – 3 einen Sattel-punkt hat. Geben Sie die Koordinaten der möglichen Sattelpunkte an. [T2]
5 Gegeben sind Funktionen ft mit den Funktionstermen ft (x) = 3 x2 – 2 t x + 4 t2 – 11 t. Für welchen Wert von t wird die y-Koordinate des Tiefpunktes am kleinsten?
6 Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f (x) = 2 x3 – 6 x2 + 4,5 x. a) Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen von f mit der x-Achse sowie die Extrempunkte.b) Begründen Sie, dass der Graph von f genau einen Wendepunkt hat und bestimmen Sie diesen. [T3]c) Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente t an den Graphen von f im Punkt P 2 1 | f (1) 3 . Die Tangente t und die Koordinatenachsen begrenzen ein Dreieck. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. [T4]d) Eine Gerade g ist durch die Punkte A (0 | – 1) und B (4 | 6,5) bestimmt. Es existieren Tangenten an den Graphen von f, die parallel zur Geraden g verlaufen. Ermitteln Sie die x-Koordinaten der Berührpunkte dieser Tangenten mit dem Graphen der Funktion f. [T5]
7 Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitung f ’ einer Funktion f. Sind die folgenden Aussagen über f richtig, falsch oder nicht entscheidbar? Begründen Sie Ihre Antwort.a) Die Funktion f hat im Intervall [– 1; 3,1] zwei Extremstellen. b) Es ist f ’’(1) = 3. [T6]c) Die Funktion f hat im Intervall [– 1; 3,1] zwei Wendestellen.
8 Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f ’ einer Funktion f. Wo besitzt die Funktion f im Bereich –1 < x < 7 a) Maximumstellen,b) Wendestellen,c) Stellen, an denen der Graph von f Tangenten parallel zur ersten Winkelhalbierenden hat? [T7]Begründen Sie Ihre Antworten.
x
y
1 2 3 4 5 6– 1
1
2
3
– 1O
f’
7
[T1] Bei Gleichungen, die x nur in der 2. und 4. Potenz haben, ersetzt man x2 durch u. [T2] Sattelstellen sind Wendestellen mit waagerechten Tangenten. Der Ansatz f ’ (x) = 0 und f ’’ (x) = 0 führt auf ein Gleichungssystem aus 2 Gleichungen, das zu lösen ist. [T3] Hinreichend für die Existenz eines Wendepunktes ist f ’’(x0) = 0 und f ’’’(x0) ≠ 0. [T4] Skizzieren Sie den Graphen von f mithilfe der Angaben aus Teilaufgabe a) und tragen Sie die Tangente ein. [T5] Bestimmen Sie die Steigung der Gerade g: m =
y B – y A _ xB – x A . Für die Berührstelle x0 muss dann f ’(x0) = m gelten. [T6] f ’’(x0) ist die Steigung des Graphen von f ’ an der Stelle x0.
[T7] Die erste Winkelhalbierende hat die Steigung 1.
I Klausurtraining
Analysis | Basisfertigkeiten 89
Der Graph welcher der Funktionen f t hat an der Stelle x 0 die gleiche Steigung wie die Gerade g?1. Schritt: Steigung m der Geraden in m = f ’ (x0) einsetzen2. Schritt: aus dieser Gleichung den Parameter berechnen
Beispiel: Für welchen Wert von t ist die Tangente an den Graphen der Funktion ft mit ft (x) = 1 _ t x
2 – 2 x + 2 im Punkt 2 4 | ft (4) 3 parallel zur Geraden y = 1 _ 2 x?Die Gerade hat die Steigung 1 _ 2 . ft ’ (x) = 2 _ t x – 2
Also muss ft ’ (4) = 1 _ 2 sein. ft ’ (4) = 2 _ t · 4 – 2 = 1 _ 2 t = 16 _ 5
Ortskurve einer FunktionenscharGesucht ist die Funktion, auf deren Graph alle Extrempunkte oder Wendepunkte liegen. (vgl. nebenstehende Grafik)1. Schritt: die Koordinaten von Extrempunkt bzw. Wendepunkt in
Abhängigkeit von t berechnen 2 x (t) | y (t) 3 2. Schritt: x (t) nach t auflösen und in y (t) einsetzen
Beispiel: Ortskurve von T (2 t | 9 – t2)x (t) = 2 t; y (t) = 9 – t2
t = x _ 2 in y (t) einsetzen → y = 9 – 1 _ 4 x2
Für welchen Wert von t ist das Minimum von f t am größten?1. Schritt: Ortskurve des Tiefpunktes berechnen2. Schritt: Maximumstelle der Ortskurve x0 berechnen3. Schritt: aus x0 = x (t) den Wert für t berechnen
Beispiel: Der Tiefpunkt einer Funktio-nenschar liegt bei (t | 4 – t2). Für wel-chen Wert von t ist das Minimum am größten?Ortskurve: y = 4 – x2
y ’ = – 2 x = 0 ¥ x0 = 0 = tMinimum für t = 0
Für welchen Wert von t hat der Graph von f t zwei zueinander orthogonale Wendetangenten?1. Schritt: berechnen der beiden Wendestellen2. Schritt: berechnen der Steigung an diesen Stellen3. Schritt: Ansatz für zueinander senkrechte Geraden: m1 = – 1
_ m 2
Beispiel: Für welchen Wert von t > 0 hat ft (x) = t x4 – 6 t x2 zwei zueinander orthogonale Wendetangenten?ft’ (x) = 4 t x3 – 12 t x; ft ’’ (x) = 12 t x2 – 12 t = 0 x1 = – 1; x2 = 1
m1 = ft’ (– 1) = 8 t; m2 = – 8 t Ansatz: 8 t = – 1 _ – 8 t ¥ t = 1 _ 8 (t > 0)
Welche Punkte haben die Graphen aller Funktionen f t gemeinsam?1. Schritt: für t die Parameter r und s im Ansatz fr (x) = fs (x) ver-
wenden2.Schritt: fürr≠sdieSchnittstellenerrechnen.3. Schritt: y-Werte errechnen und gemeinsame Punkte angeben
Beispiel: ft (x) = x3 + t x2 + (8 t – 1) xAnsatz fr (x) = fs (x), also x3 + r x2 + (8 r – 1) x = x3 + s x2 + (8 s – 1) xx1 = 0 Restgleichung: r x + (8 r – 1) = s x + (8 s – 1)(r – s) · x = – 8 · (r – s) x2 = – 8gemeinsame Punkte: P1 (0 | 0) und P2 (– 8 | – 504)
Analysis | Basisfertigkeiten
114 Abiturvorbereitung
6 Auf einem Abenteuerspielplatz wird der Querschnitt eines Geländes beschrieben durch den Graphen der ganzrationalen Funktion g dritten Grades (x und g (x) in Meter; – 5 ª x ª 20).Zwei senkrecht stehende Masten haben einen horizontalen Abstand von 25 m. Der Fußpunkt des linken Mastes befindet sich im Punkt M1 (– 5 | 1). An den oberen Enden der beiden Masten ist das Seil einer Seilrutsche befestigt. Der Verlauf des Seils wird beschrieben durch die Funktion s mit s (x) = e 0,1 x + e – 0,1 x + 2.
a) Der tiefste Punkt des Geländes befindet sich im Koordinatenursprung und der Fußpunkt des rechten Mastes auf dem höchsten Punkt des Geländehügels. Bestimmen Sie eine Gleichung der ganzrationalen Funktion g dritten Grades, die den Verlauf des Geländequerschnitts beschreibt. [T1] Teilergebnis: g (x) = – 1
_ 875 · x3 + 6 _ 175 · x2.
Bestimmen Sie den maximalen Höhenunterschied zwischen zwei Punkten des Geländes. Bestimmen Sie die mittlere Steigung des Geländes zwischen den beiden Masten. Bestimmen Sie die maximale Steigung des Geländes.
b) Jeder Mast reicht 2 m tief ins Erdreich. Berechnen Sie die Länge der beiden Masten. Aus Sicherheitsgründen müssen Kinder, die von rechts nach links rutschen, mindestens die letzten 5 m vor dem linken Masten aufwärts fahren. Überprüfen Sie, ob diese Forderung erfüllt ist. Bestimmen Sie die Stellen zwischen den Masten, an denen das Seil parallel zum Gelände verläuft. [T2] Überprüfen Sie, ob das Seil überall mindestens 2,5 m oberhalb des Geländes verläuft.
c) Bei Vermessungsarbeiten wird eine Schnur geradlinig vom Fußpunkt des linken Mastes zum rechten Mast gespannt. Bestimmen Sie die Höhe über dem Gelände, in welcher der Befestigungspunkt am rechten Mast mindestens liegen muss. [T3]
d) Geben Sie den Bereich an, in dem die Neigung des Geländes mindestens 30 % beträgt. [T4] Das gesamte Gelände zwischen den Fußpunkten der beiden Masten soll auf einer Breite von 4 m so um gestaltet werden, dass eine ebene Hangfläche entsteht. Das vorhandene Erdreich reicht hierfür nicht aus. Berechnen Sie das Volumen des zusätzlich anzufahrenden Erdreichs.
e) Berechnen Sie den kürzesten Abstand des Seils vom Fußpunkt des rechten Mastes M2. [T5]
[T1] Wählen Sie als Lösungsansatz für eine ganzrationale Funktion dritten Grades g (x) = a · x3 + b · x2 + c · x + d. Bestimmen Sie aus den Angaben vier Bedingungen für ein lineares Gleichungssystem. [T2] Das Gelände und das Seil verlaufen parallel, wenn die Bedingung g ’ (x) = s ’ (x) erfüllt ist. [T3] Die Schnur in der tiefst möglichen Position verläuft tangential zu einem Punkt Q 2 a | g(a) 3 des Geländes g. Für die Tangentengleichung gilt dann: y = g ’ (a) · (x – a) + g(a). Da die Tangente auch durch den Punkt M1 verläuft, kann x = – 5 und y = 1 gesetzt werden um a zu berechnen. [T4] Eine Neigung des Geländes von mindestens 30 % liegt vor, wenn | g ’ (x)| º
30 _ 100 gilt. [T5] Für den Abstand d zwischen den beiden Punkten M2 (20 | 4,57) und R 2 u | s(u) 3 auf dem Seil
gilt: d (u) = 9_____________
(20 – u)2 + (4,57 – s (u))2 .
Abiturähnliche Aufgaben – Analysis
178 Stichwortverzeichnis
Stichwortverzeichnis
Die Seitenangaben in Schwarz verweisen auf die Aufgabenseiten, die Seitenangaben in Orange auf Basis fertigkeiten-Seiten.
Abhängigkeit von der Startverteilung 103
Ablehnungsbereich 102Ableitung 5, 6, 7Abstände 98Abstand eines Punktes von einer
Ebene 58, 98Abstand eines Punktes von einer
Geraden 59, 98Abstand paralleler Geraden 98Abstand windschiefer Geraden
60, 98Abstand zweier Punkte 92Analysieren gegebener Aufgaben 99Annahmebereich 102
Baumdiagramm 100Beachtung der Reihenfolge 100Bedingte Wahrscheinlichkeiten 102Bernoulli-Experimente 67Bernoulliversuche 67berühren 87Beschränktes Wachstum 30Binomialverteilung 67-70, 101
Charakteristische Punkte 88
Dreieck 92, 97
Ebenen 51, 92Einheitsvektor 92Erwartungswert 65, 66, 101Exponentialfunktionen 26, 29exponentielles Wachstum 29Extrempunkte 8, 88Extremwertprobleme 10
Faires Spiel 101Fehler beim Testen von
Hypothesen 73, 102Flächeninhalt 21, 90Folgeverteilung 103Funktionenscharen 13, 14, 88
Ganzrationale Funktionen 11, 12Gauß’sche Glockenfunktion 76Gauß-Verfahren 49gegenseitige Lage von Geraden 45gemeinsame Punkte 89Geraden 44, 92Gesamtänderung 91Glockenfunktion 76Grenzverhalten 83, 84, 103
Grenzverteilung 83, 84, 103Hauptsatz der Differential- und
Integralrechnung 19Hoch- und Tiefpunkte 8Hypothesentest 71-73, 102
Integral 18, 90Integralfunktion 22, 91Integralwert 90Integrationsgrenze 90
Kettenregel 36Koordinatengleichung 55
Lagebeziehungen 52, 56, 57, 92-95Lage von Ebenen und Geraden 52lineare Gleichungssysteme 50Logarithmusfunktionen 31, 39Lösungsmengen 50Lotfußpunkt 95
Matrizen 81, 82, 103Mittelpunkt 92Monotonie 86
natürliche Exponentialfunktion 27Natürlicher Logarithmus 28Normale 86Normalengleichung 55Normalverteilung 77, 78
orthogonale Vektoren 46Ortskurve 89
Parameterform 51Produktregel 35Produkt von Funktionen 34Punkte im Raum 42, 43
Rauminhalte 23, 91Rekonstruieren einer Größe 17, 91Rotationsvolumen 23, 91
Sattelpunkte 88Schattenpunkt 97Schnittgerade 94, 95Schnittpunkt 87, 88, 93Schnittwinkel 61, 87Schnitt zweier Geraden 94senkrecht 94Sigmaregeln 102Signifikanztest 71-73, 102Skalarprodukt 46, 47
Spiegelungen 96Stammfunktion 20Standardabweichung 65, 66Steigung 86, 87, 89Stochastische Prozesse 103Strecke 97
Tangente 86, 87Testen von
Wahrscheinlichkeiten 102Treffpunkt zweier Bahnen 95
Umkehrfunktion 31Unbegrenzte Flächen 23, 90Uneigentliche Integrale 23, 90Urnenmodell 99, 100
Vektoren 42, 43, 92
Wahrscheinlichkeitsverteilung 101Wendepunkte 9, 88Winkel zwischen Vektoren 47
zueinander orthogonale Vektoren 46
Zusammengesetzte Funktio- nen 37-39
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