Lambacher Schweizer - klett.ch · Klett und Balmer Verlag Zug Lambacher Schweizer 9/10 Grundlagen der Mathematik für Schweizer Maturitätsschulen Klett und Balmer Verlag Zug Lambacher

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9/10Lambacher SchweizerGrundlagen der Mathematik für Schweizer Maturitätsschulen




Lambacher SchweizerGrundlagen der Mathematik für Schweizer Maturitätsschulen

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In drei Bänden zur Matura

§ Das Stoffprogramm orientiert sich an den Lehrplänen von Gymnasien, an den Richtlinien der Schweizerischen Maturitätskommission sowie an den Empfehlungen der Arbeitsgruppe HSGYM (Schnittstelle Hochschule – Gymnasium)

§ Band 1 richtet sich an Untergymnasien (7. und 8. Schuljahr)

§ Die Bände 2 und 3 bedienen die Schuljahre 9/10 bzw. 11/12 an Schweizer Kurzzeitgymnasien

§ Als Grundlage dienen die Inhalte der aktuellen Reihe «Lambacher Schweizer» aus dem Ernst Klett Verlag

Über die mathematischen Grenzen hinaus

Neben reinen Rechenfertigkeiten vermittelt ein zeitgemässer Mathematikunterricht wei-tere Fähigkeiten, die für die Allgemeinbildung grundlegend sind und Gymnasiastinnen und Gymnasiasten zu einem tieferen Verständnis der Umwelt verhelfen.

Der Erwerb fachlicher und überfachlicher Ba-sisfähigkeiten wird durch einen folgerichtigen Aufbau der Theorie, verknüpft mit einem viel- fältigen Angebot an Aufgaben, sichergestellt. Exkursionen zeigen Beispiele aus Anwendung-en und Geschichte der Mathematik und tragen zur Allgemeinbildung bei.

Passgenau für die Schweiz entwickelt

Die Schweizer Ausgabe des «Lambacher Schweizer» orientiert sich an verschiedenen Länderausgaben aus dem Ernst Klett Verlag. Die Auswahl der Inhalte erfolgte auf der Grund-lage von kantonalen und schulinternen Gym-nasiallehrplänen sowie auf den Empfehlungen der Schweizerischen Maturitätskommission und der Arbeitsgruppe HSGYM.

Die drei Bände bieten das komplette Stoff- programm für Schweizer Gymnasien in anregender, altersgerechter und attraktiver Form.

FachredaktionPeter Jankovics | dipl. Mathematiker und Redaktor | Zürich

BeratungDr. Volker Dembinski | dipl. Mathematiker | Mathematiklehrer an der Ecole d’Humanité | Hasliberg-Goldern

Dr. Sebastian Lamm | dipl. Mathematiker MA | Mathematiklehrer am Gymnasium Marienburg in Thal und am Gymnasium Friedberg | Gossau

Roman Oberholzer | dipl. Mathematiker ETH | Mathematiklehrer an der Kantonsschule Alpenquai | Luzern

Rita Völlmin-Luchsinger | ehemalige Mathematiklehrerin am Gymnasium der Juventus Schulen | Zürich

Team

I Grundlagen der Arithmetik und Algebra1 Zahlenbereiche und elementare Rechenregeln2 Terme und Gleichungen

II Geometrie3 Grundlagen der Geometrie4 Deckungsgleiche Figuren5 Figuren und Körper6 Die Satzgruppe des Pythagoras

I Geometrie1 Flächenberechnungen2 Ähnliche Figuren – Strahlensätze3 Das rechtwinklige Dreieck4 Räumliche geometrische Körper5 Trigonometrie

II Funktionen und Gleichungen6 Funktionen7 Lineare Funktionen und lineare Gleichungen 8 Systeme linearer Gleichungen9 Quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen10 Potenz- und Wurzelfunktionen11 Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktion12 Trigonometrische Funktionen13 Allgemeine Eigenschaften von Funktionen

III Vektorgeometrie14 Vektoren15 Geraden und Ebenen16 Abstände und Winkel17 Kreise und Kugeln

I Grenzwerte1 Folgen und Reihen2 Grenzwerte von Funktionen

V Differenzialrechnung3 Die Ableitung4 Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen5 Graphen gebrochenrationaler Funktionen6 Weitere Ableitungsregeln7 Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion8 Weitere Anwendungen der Differenzialrechnung

VI Integralrechnung9 Das Integral10 Anwendungen der Integralrechnung

VII Stochastik11 Wahrscheinlichkeitsrechnung12 Beurteilende Statistik

Band 7/8

Band 9/10

Band 11/12

Die Inhalte

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4 a) Zeichne mehrere Dreiecke mit _

AB = 5 cm und c = 90°.b) Zeichne einen Kreis k mit Radius 4 cm. Bestimme die Punkte A, B und C auf k so, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist. Begründe deine Lösung.

5 Zeichne zuerst eine Skizze und schreibe eine Konstruktionsbeschreibung auf.Konstruiere ein Dreieck ABC ausa) c = 6 cm; c = 90°; hc = 2 cm; b) a = 5 cm; a = 90°; hc = 1,5 cm;c) b = 7,8 cm; b = 90°; hb = 3,2 cm; d) c = 5,4 cm; b = 35°; a = 55°.

6 Konstruiere, ohne Winkel zu messen, mit Zirkel und Lineal. Begründe.a) Ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem ein weiterer Winkel 45° misst.b) Ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem ein weiterer Winkel 30° misst.

7 Tangenten konstruierenZeichne in ein Koordinatensystem den Kreis um M (3 1 4) mit Radius 2,5 cm und den Punkt P (–1 1 –2). Bestimme beide Tangenten durch P. Gib die Koordinaten ihrer Berüh-rungspunkte an.

8 Beweise den Satz von Thales, indem du das Dreieck ABC (Fig. 1) am Mittelpunkt M spiegelst und an dem entstandenem Viereck AC’BC über die Eigenschaften von punktsym-metrischen Figuren argumentierst.

Info

Thales von Milet (um 600 v. Chr.) – Wegbereiter der wissenschaftlichen Mathematik Infolge der dorischen Wanderung (1200 v. Chr.) mussten viele Griechen ihre Heimat verlassen. Über die Inseln der Ägäis bevölkerten sie auch die kleinasiatische Küste. Im 7. Jahrhundert v. Chr. entwickel te sich dort die griechische Siedlung Milet zu einem bedeutenden Handelsplatz. Hier war Thales als Kaufmann, Philo soph und Mathe-matiker tätig.

Zu den grossen Verdiensten von Thales gehört, dass er die Vor-gänge in der Natur nicht mehr dem Wirken der Götter zuschrieb, sondern die Ursachen in den Dingen selbst und ihren Zusam-menhängen suchte. Er erklärte z. B. die jährlichen Überschwem-mungen in Ägypten mit der Schneeschmelze in den Bergen und erkannte als Erster, dass die Sonne durch den Mond verfinstert wird. Für den 28. Mai 585 v. Chr. sagte er eine Sonnenfinsternis voraus, deren wirkliches Eintreten ihn selbst sehr erstaunt haben soll. Danach galt er als der grösste der sieben Weltweisen.Der nebenstehende Satz ist nach ihm benannt. Er war schon den Babyloniern bekannt. Thales hat den Sachverhalt jedoch als Erster mit den symmetrischen Eigenschaften von Figuren begründet.

Satz des Thales Jeder Winkel von einem Punkt auf dem Halbkreis einer Strecke zu ihren End-punkten ist ein Rechter.

A

C´B

C

M

Fig. 1

In drei Bänden zur Matura

§ Das Stoffprogramm orientiert sich an den Lehrplänen von Gymnasien, an den Richtlinien der Schweizerischen Maturitätskommission sowie an den Empfehlungen der Arbeitsgruppe HSGYM (Schnittstelle Hochschule – Gymnasium)

§ Band 1 richtet sich an Untergymnasien (7. und 8. Schuljahr)

§ Die Bände 2 und 3 bedienen die Schuljahre 9/10 bzw. 11/12 an Schweizer Kurzzeitgymnasien

§ Als Grundlage dienen die Inhalte der aktuellen Reihe «Lambacher Schweizer» aus dem Ernst Klett Verlag

Über die mathematischen Grenzen hinaus

Neben reinen Rechenfertigkeiten vermittelt ein zeitgemässer Mathematikunterricht wei-tere Fähigkeiten, die für die Allgemeinbildung grundlegend sind und Gymnasiastinnen und Gymnasiasten zu einem tieferen Verständnis der Umwelt verhelfen.

Der Erwerb fachlicher und überfachlicher Ba-sisfähigkeiten wird durch einen folgerichtigen Aufbau der Theorie, verknüpft mit einem viel- fältigen Angebot an Aufgaben, sichergestellt. Exkursionen zeigen Beispiele aus Anwendung-en und Geschichte der Mathematik und tragen zur Allgemeinbildung bei.

Passgenau für die Schweiz entwickelt

Die Schweizer Ausgabe des «Lambacher Schweizer» orientiert sich an verschiedenen Länderausgaben aus dem Ernst Klett Verlag. Die Auswahl der Inhalte erfolgte auf der Grund-lage von kantonalen und schulinternen Gym-nasiallehrplänen sowie auf den Empfehlungen der Schweizerischen Maturitätskommission und der Arbeitsgruppe HSGYM.

Die drei Bände bieten das komplette Stoff- programm für Schweizer Gymnasien in anregender, altersgerechter und attraktiver Form.

FachredaktionPeter Jankovics | dipl. Mathematiker und Redaktor | Zürich

BeratungDr. Volker Dembinski | dipl. Mathematiker | Mathematiklehrer an der Ecole d’Humanité | Hasliberg-Goldern

Dr. Sebastian Lamm | dipl. Mathematiker MA | Mathematiklehrer am Gymnasium Marienburg in Thal und am Gymnasium Friedberg | Gossau

Roman Oberholzer | dipl. Mathematiker ETH | Mathematiklehrer an der Kantonsschule Alpenquai | Luzern

Rita Völlmin-Luchsinger | ehemalige Mathematiklehrerin am Gymnasium der Juventus Schulen | Zürich

Einblicke ins Lehrwerk

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Inhalt

º Geraden und Winkelº Dreiecke und Viereckeº Kreisº Konstruktionen mit Zirkel und Linealº Spiegelungen, Drehungen und

Verschiebungenº Kongruenzº Prismen und Kreiszylinderº Satz des Pythagorasº Katheten- und Höhensatzº Berechnungen an Figuren und

Körpern

IIGeometrie

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3 Grundlagen der Geometrie

Das Wort Symmetrie kommt aus dem Grie-chischen und bedeutet Ebenmass.

Spiegeln mit dem Geodreieck

3.1 Achsensymmetrische Figuren

Viele Dinge in der Natur und in der Technik sind scheinbar aus zwei gleichen Hälften zusammengesetzt. In der Natur haben sich solche Formen im Laufe der Zeit entwickelt. Sie sind teilweise für die Pflanzen und Tiere lebensnotwendig. Der Mensch baut aus technischen Überlegungen viele Gegenstände und Maschinen in dieser Form.

Faltet man ein Blatt Papier einmal (Fig. 1) und schneidet ein Gebilde aus, dann erhält man nach dem Aufklappen eine Figur, die aus zwei gleichen, sich gegenüberliegenden Hälften besteht (Fig. 2).

Eine solche Figur nennt man achsensymmetrisch. Die Faltlinie, die die Figur teilt, ist die Symmetrieachse.Bei einer achsensymmetrischen Figur findet man zu jedem Punkt auf der einen Seite ei-nen dazugehörigen Punkt auf der anderen Seite (Fig. 3).

Hat man zwei zueinander gehörende Punkte gefunden, so gilt:– Die Verbindungslinie zwischen den beiden Punkten steht senkrecht auf der Symmetrie-

achse (Fig. 5).– Die beiden Punkte haben denselben Abstand zur Symmetrieachse.

Achsensymmetrische Figuren kann man durch Zeichnen herstellen. Diesen Vorgang nennt man Spiegeln an der Spiegelachse. Dabei geht man folgendermassen vor:1. Man legt eine Spiegelachse fest.2. Dann zeichnet man durch einen Punkt A der Figur eine Hilfslinie, die senkrecht zur

Spiegelachse verläuft. 3. Man legt den Spiegelpunkt A’ so auf der Hilfslinie fest, dass der Punkt A und der Spie-

gelpunkt A’ den gleichen Abstand von der Spiegelachse haben.4. Nun wiederholt man die Schritte 2 und 3 für alle Eckpunkte der Figur.5. Zum Schluss verbindet man die gespiegelten Eckpunkte in der richtigen Reihenfolge.

Fig. 2Fig. 1

Fig. 4 Fig. 5Fig. 3

Die Auftaktseiten zu den Themenkreisen bieten in Bild und Text einen Überblick über die Inhalte.

Der Einstieg in ein Thema erfolgt in Form einer Über-legungsaufgabe die Anlass zu Diskussionen in der Klasse bietet oder von einzelnen Schülerinnen oder Schülern kommentiert werden kann.

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Bei einer Drehung (Rotation) wird jedem Punkt P ein Bildpunkt Pq zugeordnet. Dabei gilt:1. Ein Punkt P und sein Bildpunkt Pq liegen auf einem Kreis um das Drehzentrum Z.2. Alle Punkte P und ihre Bildpunkte Pq bilden mit Z denselben Drehwinkel a:¼ PZPq = a.

Das Bild des Steuerrades muss man nicht vollständig drehen, um es auf sich selbst abzu-bilden (hier reicht eine Drehung um 60° um die Radachse aus). Figuren, die diese Eigen-schaft haben, nennt man drehsymmetrisch. Bei einer Drehung um 180° bilden Original und Bild eine punktsymmetrische Figur (Fig. 1).

Eine Figur heisst drehsymmetrisch, wenn sie bei einer Drehung von weniger als 360° auf sich selbst abgebildet wird. Eine Drehung um 180° entspricht einer Punktspiegelung.

Beispiel 1Konstruktion des Bildes bei der Drehung des Dreiecks PQR um Z um 90°.Lösung:– Zeichne das Dreieck PQR und das Drehzentrum Z.– Verbinde Z mit P, Q und R. Trage jeweils den Drehwinkel von 90° ab. Zeichne um Z

einen Kreisbogen von P (bzw. Q, R) zum zweiten Schenkel des Drehwinkels.– Zeichne das Bilddreieck PqQqRq.

Beispiel 2Wie gross ist der Drehwinkel bei den dreh-symmetrischen Figuren in Fig. 2?

Lösung:Quadrat: 90°; Rhombus (Raute): 180°; Dreieck: 120°; Sechseck: 60°; Kreis: beliebiger Drehwinkel

Fig. 2

Fig. 1

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Da die beiden Kreise den gleichen Radius haben, sind ihre Schnittpunkte gleich weit von A und B entfernt.

Der Schritt 2) dieser Konstruktionsbeschrei-bung kürzt die ausführ-liche Angabe der Kon-struktionsschritte mit Zirkel und Lineal ab.

Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke Konstruktionsbeschreibung:1) Zeichne um A und B zwei sich schnei-dende Kreise mit gleichem Radius.2) Zeichne die Gerade m durch die beiden Schnittpunkte der Kreise.Die Mittelsenkrechte zu AB ist die Gerade m.

Konstruktion der Winkelhalbierenden eines Winkels Konstruktionsbeschreibung:1) Zeichne um den Scheitel von a einen Kreis, der die Schenkel in A und B schnei-det.2) Konstruiere die Mittelsenkrechte w der Strecke AB.Die Winkelhalbierende von a ist der Strahl w.

Die Konstruktionen der Mittelsenkrechten einer Strecke und der Winkelhalbierenden eines Winkels gehören zu den geometrischen Grundkonstruktionen.Für die Konstruktion von Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende reichen Zirkel und Lineal. Die Konstruktionsbeschreibung enthält die Reihenfolge der Zeichenschritte.

Beispiel Konstruktion der Senkrechten zu einer Geraden g durch einen Punkt PKonstruktionsbeschreibung:1) Zeichne um P einen Kreis, der die Gera-de g in den Punkten A und B schneidet.2) Konstruiere die Mittelsenkrechte h der Strecke AB.Die Gerade h ist senkrecht zu g und geht durch P. Sie heisst auch Lotgerade oder Normale.

Aufgaben

Verwende nur Zirkel und Lineal – Beschreibe deine Konstruktionen

1 a) Halbiere eine Strecke der Länge 11,7 cm.b) Teile eine Strecke der Länge 17 cm in vier gleich lange Teilstrecken.

2 a) Zeichne eine Gerade g. Konstruiere die beiden Parallelen zu g im Abstand 2 cm.b) Zeichne eine Strecke AB der Länge 6 cm. Konstruiere die Mittelpunkte zweier Kreise mit dem gleichen Radius 4 cm, die durch die Punkte A und B gehen.

3 a) Zeichne einen Winkel der Grösse 87°. Konstruiere einen Winkel der Grösse 43,5°.b) Zeichne einen Winkel der Grösse 110°. Konstruiere einen Winkel c der Grösse 27,5°.c) Wie kann man ohne Geodreieck einen Winkel von 45° konstruieren?

Grafisch hervorgehoben sind die Definitionen, welche den Stoff sprachlich und in Formeln zusammenfassen.

Beispiele mit Lösungen zeigen exemplarisch die Anwendung des Stoffes.

Am Schluss jedes Unterkapi-tels befinden sich Aufgaben zum vermittelten Stoff. Sie ermöglichen das Üben und Vertiefen der Theorie.

Grau unterlegte Informations-boxen geben weitere Hinweise, zum Beispiel zu berühmten Mathematikern wie Thales von Milet.

Exkursionen behandeln Themen aus der Geschichte der Mathematik, beispielsweise zum Zusammenhang zwischen der Mathematik und der musikalischen Stimmung.

Team

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Mit Saiten, wie sie zum Beispiel bei Streich- oder Zupfinstrumenten verwendet werden,kann man Töne verschiedener Höhen erzeugen. Die Höhe eines Tones hängt von der An-zahl der Schwingungen der Saite pro Sekunde, der Frequenz, ab. Die Frequenz gibt man in Hertz (Hz) an: 1 Hz = 1 Schwingung in der Sekunde. Je grösser die Frequenz ist, desto höher ist der Ton. Zum Musizieren verwendet man Töne, die „gut zueinanderpassen“.

Das Prinzip der pythagoreischen StimmungPythagoras (etwa 580 – 500 v. Chr.) und seine Schüler untersuchten mithilfe eines Mono-chords (Fig. 1), welche Töne gut zusammen klingen. Sie verglichen den Ton einer Saite,den Grundton, mit den Tönen, die man erhält, wenn man jeweils nur einen Teil dieser Saite bei gleicher Spannung schwingen lässt:Der Grundton und der Ton der halben Saite klingen besonders harmonisch zusammen.Einen guten Zusammenklang ergeben auch der Grundton und der Ton von 2 _ 3 der Saite. Gerade noch angenehm empfanden die Pythagoreer den Grundton und den Ton von 3 _ 4 der Saite. Hat der Grundton die Frequenz f0 , so haben die drei mit ihm gut klingenden Töne die Frequenzen 2 f0 , 3 _ 2 f0 und 4 _ 3 f0 , da die Frequenz eines Tones umgekehrt proportional zur Länge der schwingenden Saite ist.Das Verhältnis der Frequenzen 3 _ 2 f0 und 4 _ 3 f0 ist 9 _ 8 . Die Pythagoreer nutzten das Frequenz-verhältnis 9 _ 8 , um weitere Töne festzulegen. Tab. 1 zeigt eine „pythagoreische Tonleiter“ mitden heutigen Tonbezeichnungen c’, d’, e’, …

Tonbezeichnung c’ d’ e’ f’ g’ a’ h’ c’’

Frequenz f0 9 _ 8 f0 81 _ 64 f0 4 _ 3 f0 3 _ 2 f0 27

_ 16 f0 243 _ 128 f0 2 f0

Frequenzverhältnis zum vorherigen Ton

9 : 8 9 : 8 256 : 243 9 : 8 9 : 8 9 : 8 256 : 243

Der Zusammenklang von Tönen, deren Frequenzen im Verhältnis kleiner ganzer Zahlenstehen, empfindet man als besonders angenehm. Betrachtet man jedoch in der pytha-goreischen Stimmung zum Beispiel den Dreiklang c’–e’–g’, so erhält man das Frequenz-verhältnis 64 : 81 : 96, das heisst, zu c’–e’ gehört das Frequenzverhältnis 64 : 81 und zu e’–g’ das Frequenzverhältnis 81 : 96.Dem Prinzip der pythagoreischen Stimmung warf man Klangarmut vor, besonders beimSpielen von Akkorden. Didymos (etwa 63 v. Chr. – 10 n. Chr.) entwickelte ein Stimmungs-prinzip, das sehr gut die Forderung nach harmonischem Zusammenklang der Töne erfüllt:

Das Prinzip der diatonischen Stimmung

Tonbezeichnung c’ d’ e’ f’ g’ a’ h’ c’’

Frequenz f0 9 _ 8 f0 5 _ 4 f0 4 _ 3 f0 3 _ 2 f0 5 _ 3 f0 15 _ 8 f0 2 f0

Frequenzverhältnis zum vorherigen Ton

9 : 8 10 : 9 16 : 15 9 : 8 10 : 9 9 : 8 16 : 15

Dem Dreiklang c’–e’–g’ entspricht nun das Frequenzverhältnis 4 : 5 : 6. Die diatonische Stimmung unterstützt im besonderen Masse den harmonischen Zusammenklang von Tönen. Aber auch die diatonische Stimmung ist keine reine Stimmung in dem Sinne, dass alle Intervalle rein gespielt werden können. Eine solche Stimmung gibt es nicht.

Tab. 1

Tab. 2

Fig. 1

Exkursion Musikalische Stimmungen

$ Bei diesen Titeln erhalten Sie als Lehrperson ein Prüfstück mit 25 % Rabatt, wenn die Möglichkeit besteht, diese im Klassensatz einzuführen. | % Keine Prüfstücke möglich. | Die aufgeführten Preise beinhalten die Mehrwertsteuer und gelten für den Direktkauf bei Klett und Balmer. Änderungen vorbehalten, Preisstand 1.1.2011.

P264-2011 (03/11)

Klett und Balmer AG, Verlag, Baarerstrasse 95, 6302 ZugTelefon 041 726 28 50, Telefax 041 726 28 51, [email protected]

Das Lehrwerk im Überblick


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Dazu empfehlen wir folgende Zusatzprodukte:

Lambacher Schweizer 7/87. und 8. Schuljahr | Schulbuch978-3-264-83981-4 | Fr. 28.50 $Erscheint im Juni 2011

Lambacher Schweizer 9/109. und 10. Schuljahr | Schulbuch978-3-264-83982-1 | Fr. 35.50 $Erscheint im August 2011

Lambacher Schweizer 11/1211. und 12. Schuljahr | Schulbuch978-3-264-83983-8 | Fr. 32.50 $Erscheint im Januar 2012

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Tafelwerk Mathematik Formeln – Daten – TabellenSekundarstufe I und II 978-3-12-718513-3 | Fr. 15.60 $

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